vectores 2d
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VECTORESCANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
SUBSTRACCIÓN DE VECTORES
A – B = A + ( - B )
Para hallar el vector diferencia se suma al vector minuendo el opuesto al substraendo.
Es decir, gráficamente, la diferencia A – B no es otra cosa que la suma de A con el negativo (opuesto) de B.
A
B
R
-B
A - B
ADICIÓN DE VECTORES: METODO ANALITICOLey del coseno: analítico del paralelogramo
A
B 222
yx BBAR 2222 2 yxx BBABAR
222 60cos2 BABAR o oABBAR 60cos2222
x
y
BA
B
tan
o
o
BA
Bsen
60cos
60tan
o
o
BA
Bsen
60cos
60tan 1
By
Bx
R
B
xBA
60º
60º
Vamos a deducir las expresiones que determinan la magnitud del vector resultante y su dirección, mediante un método analítico que da resultados más precisos que el método grafico.
By
Bx
VECTORES EN 2DMETODO DEL PARALELOGRAMO
A=7g
B=8.3g
30º
50º
40º
40º 30º 70º
222yx BBAR
2222 2 yxx BBABAR 222 2 BABAR x
oABBAR 70cos2222
x
y
BA
B
tan
o
o
BA
Bsen
70cos
70tan
o
o
BA
Bsen
70cos
70tan 1
o30
B
R
A - B
x
By
Bx A=7g
B=8.3g
20º
42º
40º
48º
30º
x
y
BA
B
tan
B
R
A - B
x
A
B 222yx BBAR
2222 2 yxx BBABAR ooo senBBABAR 6060cos60cos2 222222
ooo senBABAR 6060cos60cos2 22222 222 60cos2 BABAR o oABBAR 60cos2222
x
y
BA
B
tan
o
o
BA
Bsen
60cos
60tan
o
o
BA
Bsen
60cos
60tan 1
o360
By
Bx
R
B
xBA
60º 60º
60º
-B
A
SUBSTRACIÓN DE VECTORES: METODO ANALITICOLey del coseno: analítico del paralelogramo
La diferencia de vectores es anticonmutativa, esto es si los vectores se sustraen en el orden opuesto, resulta el vector opuesto. A – B = R ; B – A = - R
VECTORES EN 2DRESTA DE DOS VECTORESMETODO DEL PARALELOGRAMO
AB
222yx AABR
2222 2 yxx AABABR ooo senAAABBR 7575cos75cos2 222222
ooo senAABBR 7575cos75cos2 22222 222 75cos2 AABBR o oABBAR 75cos2222
x
y
AB
A
tan
o
o
AB
Asen
75cos
75tan
o
o
AB
Asen
75cos
75tan 1
o50
R
-B
B
A
35º
50º
Ax
Ay
40º
50º
55º 50º 75º
B - A
x
55º
BA
30º
VECTORES EN 2DSUMA DE DOS VECTORESMETODO DE LAS COMPONENTES
30º
A=6
B=4C=5.5
D=5
R
Rx
Ry
75º
By
BX-Cx
Cy
-Dy
DX
iAA x 6
jsenkpBy
ikpBxB
o
o
86.3754
04.175cos4
jsenCy
iCxC
o
o
75.2305.5
763.430cos5.5
jsenDy
iDxD
o
o
330.4605
5.260cos5
jRy
iRxR
28.2
777.4
22 RyRxR
97.9R
Rx
Rytan
777.4
28.2tan 1
o54.25
AAy = Acosqq
Ax = Asenq
30º
VECTORES EN 2DSUMA DE DOS VECTORESMETODO DE LAS COMPONENTES
75º
30º
A
BC
D
R
Rx
Ry
E
PROBLEMA 1Sean los vectores a, b y c como se muestran en la figura, encuentre
la magnitud y dirección del vector 2a -b – c/2
-4
-6
5
4
2
1
2 5
a
b
c
-3i
-3j
jia33
-3i
3j
-1
jib33
4i
-6j
jic64
mc
ba
2
2
2
6433332
jijiji
jijiji 323366 jim 65
m
mx
my
222
yx mmm
81.761m
x
y
m
mtan
5
6tan 1
o2.50 oo 2.50180 o2.230
3625m
PROBLEMA 2Un cuerpo se desplaza 2km hacia el este, luego 4km al sur, luego una distancia
adicional en dirección desconocida. Su posición final es de 5km, directamente al este de su punto de partida. Encuentre la magnitud y dirección del tercer desplazamiento.
A
iA 2
jB 4
CyjCxiC
BC
D
N
E
S
Cy
Cx
q
iD 5
DCBA
BADC
jiiC 425
jiC 43
5Cx
y
c
ctan
3
4tan 1
o1.53
a = 15
b = 20
C
222 bac 222 2015 c
a
btan
15
20tan 1
o1.53
PROBLEMA 3Los vectores mostrados en la figura tienen una resultante R = a + b + c = 0, si + = 90º, determine los valores y y la magnitud de
c.
5c
90o9.36
A=5kg
B=7kg
C=6kg
D=4kg
45°85°
A=7,5kg
B=6,5kg 40°
10°
A=7,5kg
B=6,5kg
50°
80°
a = 20 u
PROBLEMA 4Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores a y
b de la figura dan como resultado una resultante nula.
60º
40º
b = 10 u
jsenua
iuaa
oy
ox
71.254020
32.1540cos20
jsenuby
iubxb
o
o
515010
66.8150cos10
ji
jiba
566.8
71.2532.15
jiR 71.3066.6
baR
jinulaR 71.3066.6)(
by
bx
b = 10 u
30º
ay
ax
60º
PROBLEMA 5Los vectores mostrados en la figura tienen la misma magnitud ( 10
unidades ), encuentre la magnitud del vector: ( b + c ) – ( d + a ) – 2c
c
d
b
a cadcbm 2
jijji 10210101010
jijji 2010101010
im 20
20m
cd
b
a
b = 20 u
PROBLEMA 6Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula. ¿Cuáles son los valores a y de “ es el ángulo con respecto
al eje positivo”
40º
60º by
bx72º
c = 30
a
jsenc
icc
oy
ox
28.1914030
98.22140cos30
jsenby
ibxb
o
o
103020
32.1730cos20
ji
jibc
1032.17
28.1998.22
jia 28.2966.5
0 bcabca
82.29a
x
y
a
atan
66.5
28.29tan 1 o79
by
bx
En la figura se muestra un elemento que se somete a las fuerzas indicadas, calcule el (los
valores) valor de la fuerza P, para que la magnitud de la resultante de todas las fuerzas sea igual a 50Kgf. Asuma que no se genera torque por la
acción de estas fuerzas.
P
10 Kgf
30 kgf
60°30°
10 kgf
P
30 kgf
60º30º
PkgfkgfFx º150cos30º60cos10
º15030º6010 senkgfsenkgfFy 222 FyFxF
222 º15030º6010º150cos30º60cos1050 senkgfsenkgfPkgfkgfkgf
kgfP 0.65
60°30°
R
Rx
Ry
FxRx
FyRy
Para los vectores mostrados en la figura, la opción correcta es:
abfhc
jfdb
acje
bafhc
cjca
0
i
fc
hed
a b
Para los vectores mostrados en la siguiente figura, ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?
hjaifb
ihfedba
gcba
ahjifb
eacgj
2
2
j
gc
f
a
b
d e
i
h
Si cada cuadrícula es una unidad, entonces, la suma del árbol vectorial mostrado en la figura es: i + 6j –i +6j =12j
22
22
24
12
0
Determine la magnitud del vector a + b + c, si a = 10, b = 12, c = 8
87.7
6.10
3.14
4.17
0.30
60°
30°
20°
500g
F=12N
P=4.9NNkgf
Nkgf
g
kgg 9.4
1
8.95.0
1000
1500
NR
JR
JP
jF
1.7
1.7
9.4
12
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