hidhablogs.files.wordpress.com … · web viewmatriks dan operasinya. matriks. matriks adalah...
Post on 06-Feb-2018
278 Views
Preview:
TRANSCRIPT
A. Matriks dan Operasinya
1. Matriks
Matriks adalah sekelompok bilangan yang tersusun dalam baris
dan kolom yang berbentuk persegi panjang dan ditulis dengan lambang
huruf besar. Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom
ditulis:
A=(a11
a 21
a12
a22
⋯⋯
a1 n
a2 n
⋮am1
⋮am2
⋯⋯
⋮amn
)Macam-macam matriks:
Matriks persegi, adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama
dengan banyak kolomnya. Matriks persegi yang mempunyai m baris
n kolom berukuran mxn.
Contoh:
A=( 2 −1 3−2 1 1−1 −2 1)
Matriks baris, adalah suatu matriks yang terdiri dari satu baris.
Matriks baris yang mempunyai n kolom berukuran 1xn.
Contoh:
A=(1 −1 3 )
Matriks kolom, adalah suatu matriks yang terdiri dari satu kolom.
Matriks kolom yang mempunyai m baris berukuran mx1.
Contoh:
A=( 2−1)
Matriks nol, adalah suatu matriks yang semua unsurnya nol
Contoh:
A=(0 0 00 0 00 0 0)
Matriks diagonal, adalah suatu matriks persegi berukuran nxn dengan
unsur a11 , a22 , a33 ,…ann pada diagonal utamanya tidak semuanya 1
sedangkan semua unsur lainnya nol.
Contoh:
A=(2 0 00 1 00 0 −1)
Matriks identitas, adalah suatu matriks persegi berukuran nxn dengan
unsur a11 , a22 , a33 ,…ann pada diagonal utama semuanya 1 sedangkan
semua unsur lainnya nol.
Contoh:
I=(1 0 00 1 00 0 1)
Matriks segitiga atas, adalah suatu matriks persegi yang semua unsur
bawah diagonal utamanya nol
Contoh:
A=(2 1 30 1 −10 0 1 )
Matriks segitiga bawah, adalah suatu matriks persegi yang semua
unsur atas diagonal utamanya nol
Contoh:
A=(1 0 03 3 01 −1 1)
Matriks transpose, adalah suatu matriks yang diperoleh dari suatu
matriks dengan cara menukar letak baris dan kolomnya. Transpose
dari matriks A yang berukuran mxn adalah At yang berukuran nxm.
Contoh:
A=(3 2 −11 2 1 )maka A t=( 3 1
2 2−1 1)
2. Operasi Matriks
a. Penjumlahan Matriks
Niko Sentera dan Ucok mengikuti tes untuk membuat SIM C.
Tes initerdiri atas tes tertulis dan tes praktek. Hasil tes mereka ini
tampak sepertipada tabel berikut.
Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan
menggunakanmatriks, yaitu sebagai berikut.
(45)+(4
2)=(45+4
2)=(87)Perhatikan bahwa kedua matriks yang dijumlahkan memiliki
ordoyang sama. Hasil matriks yang diperoleh adalah matriks yang
berordo sama,diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen
yang seletak.
Contoh:
( 2 3 x+ yx− y 5 )+(−4 − y
−x 2 )=( 2−4 3x+ y− yx− y−x 5+2 )
= (−2 3 x− y 7 )
b. Pengurangan Matriks
Kita telah mengetahui bahwa apabila a dan b
merupakanbilangan nyata, maka a – b = a + (–b). Dengan cara yang
sama,karena setiap matriks memiliki negatif, kita dapat menulis A +
(–B) sebagai A – B. Dengan demikian, suatu matriks
dapatdikurangkan dari matriks lain.
A – B = A + (–B)
Untuk mengurangkan matriks B dari A, jumlahkan negatif B kepada
A.
Contoh:
Hiunglah operasi pengurangan matriks berikut ini:
a. (a bc d )−(e f
g h)b. (2 8 −5 )−(5 3 −1 )
Jawab:
a. (a bc d )−(e f
g h)=(a−e b−fc−g d−h)
b. (2 8 −5 )−(5 3 −1 )= (2−5 8−3 −5+1 )= (−3 5 −4 )
c. Perkalian Matriks
Perkalian matriks dengan skalar
Jika : k adalah skalar (suatu bilangan riil), dan A adalah suatu matriks maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
Dapat dijelaskan seperti berikut:
Jika A=[a bc d ]
maka kA= k [ a b
c d ] kA=[ka kbkc kd ]
Perkalian matriks dengan matriks
Perhatikan ilustrasi berikut yang menggambarkan konstruksi
dari perkalian dua matriks.
Ilustrasi:
Setiap bulan keluarga Pak Amir memerlukan 40 kg beras dan
20 liter minyak tanah. Sedangkan keluarga Pak Budi memerlukan 50
kg beras dan 30 liter minyak tanah. Kedua keluarga itu membeli
semua keperluannya di toko yang sama dan dengan harga yang sama
pula. Di toko itu harga setiap kg beras adalah Rp 3.000,00 dan setiap
liter minyak tanah adalah Rp 2.500,00. Kita akan menghitung
besarnya pengeluaran keluarga tersebut dalam bentuk matriks.
Pengeluaran Pak Amir selama satu bulan untuk beras dan minyak
tanah adalah
40 ∙3000+20 ∙2.500=120.000+50.000=170.000rupiah
yang dapat ditulis dalam bentuk
(40 20 )( 32,5)=40 ∙ 3+20 ∙2,5=120+50=170 ribu rupiah
Matriks baris di ruas paling kiri menyatakan banyaknya beras dan
minyak tanah yang diperlukan Pak Amir, sedangkan matriks
kolomnya menyatakan harga barang (dalam ribuan) tersebut.
Pengeluaran Pak Budi selama satu bulan untuk beras dan minyak
tanah adalah
50 ∙3000+30∙2.500=150.000+75.000=225.000 rupiah
yang dapat ditulis dalam bentuk
(50 30 )( 32,5)=50 ∙3+30 ∙2,5=150+75=225 ribu rupiah
Matriks baris di ruas paling kiri menyatakan banyaknya beras dan
minyak tanah yang diperlukan Pak Budi, sedangkan matriks
kolomnya menyatakan harga barang (dalam ribuan) tersebut
Jika pengeluaran Pak Amir dan Pak Budi dalam satu bulan untuk
beras dan minyak tanah digabungkan, maka bentuk matriksnya
adalah
(40 2050 30)( 3
2,5)=(40∙ 3+20 ∙ 2,550 ∙ 3+30 ∙ 2,5)=(120+50
150+75)=(170225)
(dalam ribuan rupiah)
Jika pada bulan berikutnya harga beras naik menjadi Rp 4.000,00
dan harga minyak tanah menjadi Rp 3.000,00, maka biaya yang
dikeluarkan Pak Amir dan Pak Budi selama satu bulan setelah
kenaikan ini bentuk matriksnya adalah
(40 2050 30)(4
3)=(40∙4+20 ∙350 ∙4+30 ∙3)=(160+60
200+90)=(220290)
(d alam ribuanrupiah)
Jika pengeluaran Pak Amir dan Pak Budi selama dua bulan saat
sebelum dan sesudah kenaikan harga digabungkan, maka bentuk
matriksnya adalah
(40 2050 30)( 3 4
2,5 3 )=(40 ∙ 3+20 ∙2,5 40 ∙ 4+20∙ 350 ∙3+30∙2,5 50 ∙ 4+30 ∙ 3)
¿(120+50 160+60150+75 200+90)=(170 220
225 290)(dalam ribuan rupiah)
Fenomena ini memberikan gambaran tentang konsep perkalian
matriks berikut:
Perkalian matriks baris ( a11 a12) dan matriks kolom (b11
b21) adalah
a11∙ b11+a12 ∙ b21 , yang ditulis dalam bentuk
( a11 a12) (b11
b21)=a11 ∙ b11+a12 ∙ b21
Perkalian matriks (a11 a12
a21 a22) dan matriks kolom (b11
b21) adalah
(a11 ∙ b11+a12 ∙ b21
a21 ∙ b11+a22 ∙ b21) , yang ditulis dalam bentuk
(a11 a12
a21 a22)(b11
b21)=( (a11 a12 )(b11
b21)(a21 a22)(b11
b21))=(a11 ∙b11+a12 ∙b21
a21 ∙ b11+a22 ∙ b21)
Perkalian matriks (a11 a12
a21 a22) dan matriks (b11 b12
b21 b22) adalah
(a11 a12
a21 a22)(b11 b12
b21 b22)=(( a11 a12 )(b11
b21) ( a11 a12 )(b12
b22)(a21 a22 )(b11
b21) ( a21 a22 )(b12
b22))¿(a11 ∙ b11+a12 ∙ b21 a11 ∙ b12+a12 ∙ b22
a21 ∙ b11+a22 ∙ b21 a21 ∙ b12+a22 ∙ b22)
Jika A=(a11 a12
a21 a22) dan B=(b11 b12
b21 b22) dan AB=C=(c11 c12
c21 c22) ,
maka
c11 adalah perkalianbaris ke−1dari A dan kolom ke−1dar i B
c12 adalah perkalianbaris ke−1dari A dan kolom ke−2dari B
c21 adalah perkalianbaris ke−2dari A dan kolom ke−1dari B
c22 adalah perkalianbaris ke−2dari A dan kolom ke−2dari B
Dari hasil diatas membawa kita pada definisi formal perkalian dua
matriks yang didefinisikan sebagai berikut:
Hasilkali matriks baris berukuran 1 ×n dan matriks kolom
berukuran n×1 adalah amtriks berukuran 1 ×1yang ditentukan
oleh
( a11 a12 ⋯ a1n) (b11
b21
⋮bn 1
)=a11∙ b11+a12 ∙ b21+⋯+a1n ∙ bn1
Jika matriks A berukuran m× p dan matriks B berukuran p ×n
maka hasilkali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB
adalah suatu matriks C yang berukuran m× n dimana c ij=¿
perkalian baris ke−i martiks A dengan kolom ke− j matriks B
Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya
kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Diluar
ketentuan ini, AB tidak didefinisikan.
Contoh:
Jika A=(3 2 −11 2 1 ) dan B=( 0 1
1 −13 −2) hitung matriks AB dan BA
Jawab:
AB=(3 2 −11 2 1 )( 0 1
1 −13 −2)=(0+2−3 3−2+2
0+2+3 1−2−2)=(−1 35 −3)
BA=( 0 11 −13 −2)(3 2 −1
1 2 1 )=( 0+1 0+2 0+13−1 2−2 −1−19−2 6−4 −3−2)=(1 2 1
2 0 −27 2 −5)
d. Sifat-sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks
Jika untuk A, B, C, matriks nol 0, dan matriks satuan I penjumlahan
dan perkaliannya terdefinisi, maka
Sifat komutatif terhadap penjumlahan : A+B = B+A
Sifat asosiatif terhadap penjumlahan : (A+B)+C = A+(B+C)
Sifat matriks nol : A + 0 = A
Sifat lawan matriks : A +(-A) = 0
Sifat asosiatif erhadap perkalian: (AB)C=A(BC)
Sifat distributif kiri : A(B+C)=AB+AC
Sifat distributive kanan : (A+B)C=AC+BC
Sifat perkalian dengan konstanta : k(AB)=(kA)B=A(kB), k
konstanta real
Sifat perkalian dengan matriks satuan: AI=IA=A
Matriks Matriks
2×3 3 ×2Matriks
2×2
Matriks Matriks
2×33×2Matriks
3 ×3
B. Determinan dan Invers Matriks Persegi
1. Determinan Matriks Persegi
Determinan untuk setiap matriks persegi A dapat menentukan tepat satu
bilangan real yang diperoleh dengan aturan tertentu terhadap unsur-unsur
di A.
a. Determinan Matriks Tingkat Dua
Determinan dari matriks A=a ij didefinisikan sebagai |A|=a ij
Determinan dari matriks A=(a11 a12
a21 a22) didefinisikan sebagai
|A|=a11∙ a22−a21 ∙ a12
Determinan dari matriks 2x2 diperoleh dengan mengambil hasil
kali unsur diagonal utama kemudiandikurangkan dengan hasilkali
unsur diagonal lainnya.
(+) ( - )
A=(a11 a12
a21 a22)=a11∙ a22−a21 ∙ a12
b. Determinan Matriks Tingkat Tiga
A = (a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)
Determinan dari Matriks diatas adalah
|A| = |a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
Jika dalam suatu permutasi ( susunan ) bilangan-bilangan yang lebih
besar terletak di depan bilangan yang lebih kecil, maka permutasi itu
disebut mempunyai inversi. Hasil kali susunan bilangan-bilangan
dalam determinan A yang bertanda negatif apabila permutasi dari
bilangan mempunyai banyak inversi ganjil, dan bertanda positif
apabila permutasi mempunyai inversi nol atau genap.
Misalnya, permutasi dari 3 bilangan { 1 , 2 , 3 } yaitu :
123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321
Inversi dari 123 adalah 0, maka tanda perkaliannya “+”
Inversi dari 132 adalah 1, yaitu 32,maka tanda perkaliannya “-“
Inversi dari 213 adalah 1, yaitu 21,maka tanda perkaliannya “-“
Inversi dari 231 adalah 2, yaitu 21 dan 31,maka tanda
perkaliannya “+“
Inversi dari 312 adalah 2, yaitu 31 dan 32,maka tanda
perkaliannya “+“
Inversi dari 321 adalah 3, yaitu 32, 21 dan 31,maka tanda
perkaliannya “-“
|A| = |a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33| merupakan determinan dari matriks A ordo
Perkalian susunan bilangan-bilangan disesuaikan dengan permutasi n
= 3 unsur yaitu :
ε 123 , ε 132 , ε 123 , ε 213 , ε 231 , ε 312 ,dan ε 321
Lambang ε 213 artinya perkalian anggota-anggota pada baris pertama
kolom ke-2 ; baris kedua kolom ke-3 dan pada baris ketiga kolom
ke-1
|A| = |a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
= ε 123 a11 a22 a23 + ε 132 a11 a23 a32 + ε 213 a12 a21 a33 + ε 231 a12 a23 a31 + ε123
a11 a22 a23
|A| = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33 +a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13
a22 a31
= a11 (a22 a33 - a23 a32 ) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 + a22 a31 )
= a11 |a22 a23
a32 a33| - a12 |a21 a23
a31 a33| + a13 |a21 a22
a31 a32|Determinan ordo 3 juga dapat diselesaikan dengan cara SARRUS :
(+) (+) (+) (-) (-) (-)
|A| = |a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
a11 a12
a21 a22
a31 a32
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22
a31
Contoh soal :
Jika A = ( 2 −1 3−2 1 1−1 −2 1) dan B = (−1 2 3
4 5 −1−2 0 1 )
Hitunglah
a. |A|
b. |B|
Penyelesaian :
a. |A| = | 2 −1 3−2 1 1−1 −2 1| = 2 . | 1 1
−2 1| – (-1) . |−2 1−1 1| + 3. |−2 1
−1 −2| = 2 ( 1 – (-2)) + (-2 – (-1) + 3(4 – (-1))
= 2(3) + (-1) + 3(5)
= 6 – 1 + 15
= 20
b. Dengan cara sarrus |B| ordo 3 dapat
|B| = |−1 2 34 5 −1
−1 0 1 |−1 24 5
−2 0
= (-1)(5)(1) + (2)(-1)(-2) + (3)(4)(0) – (3)(5)(-2) – (-1)(-1)(0) –
(2)(4)(1)
= -5 + 4 + 0 + 30 – 0 – 8
= 21
Penggunaan Determinan Tingkat Tiga untuk Sistem Persamaan
Linier
Aturan cramer untuk sistem persamaan linier dua persamaan
dengan dua variabel dapat diperumum untuk tiga persamaan dengan
dengan tiga variabel. Proses penyelesaiannya dengan determinan
tingkat tiga. Untuk persamaan linier
a11 + a12y + a13z = b1
a21 + a22y + a23z = b2
a31 + a32y + a33z = b3
jika D = |a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|, Dx = |b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33|, Dy = |a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33| ,
Dz =|a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3|, dan D ≠ 0 maka sistemnya mempunyai solusi
tunggal yang ditentukan oleh x = Dx
D , y =
D y
D dan z =
Dz
D
Seperti pada sistem persamaan linier dua veriabel, D dinamakan
determinan matriks koefisien sedangkan Dx , Dy dan Dz
dinamakan determinan untuk mencari x , y dan z.
Contoh soal :
Tentukan solusi dari sistem persamaan linier :
2x – 3y – z = 5
x + 2y + 2z = 4
x + y + 3z = 7
penyelesaian :
Determinan matriks koefisiennya adalah
D = |2 −3 −11 2 21 1 3 | = 2|2 2
1 3| + 3|1 21 3| - |1 2
1 1| = 2.4+3.1 – 1.(-1) =
8+ 3+ 1=12
Hitunglah determinan Dx , Dy dan Dz (kerjakan rinciannya),
diperoleh
Dx = |5 −3 −14 2 27 1 3 | = 24, Dy = |2 5 −1
1 4 21 7 3 | = -12 , Dz = |2 −3 5
1 2 41 1 7|
=24
Jadi, solusi persamaan liniernya adalah
x = Dx
D=24
12=2 , y =
D y
D=−12
12=−1 dan z =
Dz
D =
2412
=2
2. Minor dan kofaktor
Perhatikan matriks persegi (a11 a12
a21 a22)
Buanglah baris ke-1 dan kolom ke-1, diperoleh a22 , kita namakan a22
= minor a11
Buanglah baris ke-1 dan kolom ke-2, diperoleh a21 , kita namakan a21
= minor a12
Buanglah baris ke-2 dan kolom ke-1, diperoleh a12 , kita namakan a12
= minor a21
Buanglah baris ke-2 dan kolom ke-2, diperoleh a11 , kita namakan a11
= minor a22
(a11 a12
a21 a22)
a22 = minor a11
(a11 a12
a21 a22)
a21 = minor a12
(a11 a12
a21 a22)
a12 = minor a21
(a11 a12
a21 a22)
a11 = minor a22
Dengan menggunakan penulisan minor, determinan matriks persegi
2 x 2 dapat dihitung dengan empat cara berikut:
|a11 a12
a21 a22| = a11∙ a22−a12 ∙ a21
¿a11 ( minor a11)−a12(minor a12)
|a11 a12
a21 a22| = a11∙ a22−a21 ∙ a12
¿a11 ( minor a11)−a21(minor a21)
|a11 a12
a21 a22| = −a21 ∙ a12+a22 ∙ a11
(a11 a12
a21 a22)
¿
¿−a21 (minor a21 )+a22(minor a22)
|a11 a12
a21 a22| = −a12 ∙ a21+a22 ∙ a11
¿−a12 (minor a12 )+a22(minor a22)
Kotak disebelah kiri menyatakan bahwa perhitungan
determinannya bertumpu pada unsur-unsur di baris atau kolom
pada kotak itu.
Tanda positif dan negatif pada perhitungan determinannya
membentuk suatu pola berdasarkan jumlah indeks yang genap
atau ganjil, lihat gambar disebelah kanan.
Kofaktor adalah minor yang disertai tandanya. Pada matriks persegi
2x2 diatas,
Kofaktor a11 , ditulis kof a11 didefinisikan sebagai
kof a11=(−1 )1+1minor a11=a22
Kofaktor a12 , ditulis kof a12 didefinisikan sebagai
kof a12=(−1 )1+2 minor a12=−a21
Kofaktor a21 , ditulis kof a21 didefinisikan sebagai
kof a21=(−1 )2+1 minor a21=−a12
Kofaktor a22 , ditulis kof a22 didefinisikan sebagai
kof a22=(−1 )2+2 minor a22=a11
Dengan menggunakan penulisan kofaktor, determinan matriks
persegi 2x2 dapat dihitung dengan empat cara berikut:
Perhitungan yang bertumpu pada baris pertama:
|a11 a12
a21 a22| = a11(+minor a11)+a12(−minor a12)
¿a11 ( kof a11)+a12(kof a12)
Perhitungan yang bertumpu pada kolom pertama:
|a11 a12
a21 a22| = a11(+minor a11)+a21(−minor a21)
¿a11 ( kof a11)+a21(kof a21)
Perhitungan yang bertumpu pada baris kedua:
|a11 a12
a21 a22| = a21 (−minor a21 )+a22 (+minor a22 )
¿a21 (kof a21 )+a22(kof a22)
Perhitungan yang bertumpu pada kolom kedua:
|a11 a12
a21 a22| = a12 (−minor a12 )+a22(+minor a22)
¿a12 (kof a12 )+a22(kof a22)
3. Adjoint Matriks
Adjoint dari matriks persegi ordo 3
Jika A = (aij) adalah suatu matriks persegi ordo 3 dengan elemen-
elemen aij adalah kofaktor aij, maka didefinisikan adjoint A adalah :
adj A = |a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33|
contoh soal :
Tentukan adjoin matriks A =[ 4 2 110 6 33 2 2]
Solusi :
|M 11|=|6 32 2|=12−6=6⇒∝11=(−1)1+1 .6=6
|M 12|=|10 33 2|=20−9=11⇒∝12=(−1)1+2 .11=−11
|M 13|=|10 63 2|=20−18=2⇒∝13=(−1)1+3 .2=2
|M 21|=|2 12 2|=4−2=2⇒∝21=(−1)2+1 .2=−2
|M 22|=|4 13 2|=8−3=5⇒∝22=(−1)2+2 .5=5
|M 23|=|4 23 2|=8−6=2⇒∝23=(−1)2+3 .2=−2
|M 31|=|2 16 3|=6−6=0⇒∝31=(−1)3+1 .0=0
|M 32|=| 4 110 3|=12−10=2⇒∝32=(−1)3+2 .2=−2
|M 33|=| 4 210 6|=24−20=4⇒∝33=(−1)3+3 .4=4
Jadi ,adj A=|a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33|=| 6 −2 0
−11 5 −22 −2 4 |
4. Invers Matriks Persegi
Matriks persegi A=(aij)n xn dikatakan mempunyai inversjika terdapat
matriks B yang berukuran sama sehingga AB = BA = I matriks satuan.
Kondisi agar matriks persegi A=(aij)n xn mempunyai invers adalah
|A|≠ 0 , determinannya taknol. Invers dari matriks A ditulis A-1, dan
memenuhi AA-1 = A-1A= I
Matriks persegi A yang mempunyai invers dinamakan matriks non
singular, sedangkan yang tidak mempunyai invers dinamakan matriks
singular.
Matriks persegi paling banyak hanya mempunyai satu invers. Dengan
perkataan lain, jika A matriks persegi dan |A|≠ 0, maka invers matriks
A tunggal.
a. Invers Matriks Berordo 2x2
Menentukan invers suatu matriks berukuran 2x2 yang
determinannya tak nol. Jika A=(a bc d) dengan ad – bc ≠ 0, akan
ditentukan matriks B=(x yz u ) sehingga AB = BA = I, dengan I
matriks satuan. Kondisi AB = I memberikan
(a bc d )(x y
z u )=(1 00 1)
Kalikan matriks di ruas kiri, maka diperoleh kesamaan matriks
(ax+bz ay+bucx+dz cy+du)=(1 0
0 1)Dari sini diperoleh system persamaan linear
{ax+bz=1cx+dz=0 dan {ay+bu=0
cy+du=1 , yang solusinya adalah
x= dad−b c
, z= −cad−bc
, y= −bad−bc
,u= aad−bc
Jadi invers matriks A adalah
A−1=B=( x yz u)=(
dad−bc
−bad−bc
−cad−bc
aad−bc
)= 1ad−bc ( d −b
−c a )
Jadi proses diatas merupakan bukti dari teorema berikut
Invers dari matriks persegi 2x2
Invers dari matriks A=(a bc d)dengan ad−bc ≠ 0adalah
A−1= 1ad−bc ( d −b
−c a )Sistem Persamaan Linear dengan Invers Matriks
Sistem persamaan linear dua peubah dan dua anpeubah {ax+by=pcx+dy=q
dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks (a bc d )
−1
( xy )=( p
q ). Jika
ad-bc ≠ 0, kalikan persamaan matriks satuan, maka ruas kiri, diperoleh
(a bc d )
−1((a bc d)
−1
(xy))=(a b
c d )−1
( pq )
Karena perkalian matriks bersifat asosiatif dan perkalian
invers dengan matriksnya adalah matriks satuan, maka ruas kirinya
adalah matriks dngan unsure x dan y dicari.
( xy )=(a b
c d )−1
( pq )
Dalam konteks ini matriks dapat menjadi suatu alat dalam penyelesaian sistem persamaan linear diatas.
Contoh :
Tentukan invers dari matriks ¿(1 23 5) !
Solusi:
Invers dari matriks A=(1 23 5)adalah A−1= 1
1.5−2.3 ( 5 −2−3 1 ) =
(−5 23 −1)
Cek jawaban
(1 23 4)(−5 2
3 −1)=(1 00 1)=(−5 2
3 −1)(1 23 4)
b. Invers Matriks Berordo 3x3
jika A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 , maka invers dari
matriks A dinyatakan dengan
contoh :
Tentukan invers matriks A =[ 4 2 110 6 33 2 2]
Solusi :
determinan dari matriks A (metode sarrus)
|A|¿| 4 2 110 6 33 2 2|
4 210 63 2
¿ (4.6 .2 )+(2.3 .3 )+ (1.10 .2 )− (3.6 .1 )−(2.3.4 )− (2.10 .2 )
¿48+18+20−18−24−40
¿4
adjoin matriks A
adj A=| 6 −2 0−11 5 −2
2 −2 4 | invers matriks A
A−1= 1detA
adj A↔A−1=14 | 6 −2 0
−11 5 −22 −2 4 |
¿|32
−12
0
−114
54
−12
12
−12
1 |
jadi ,invers dari A=[ 4 2 110 6 33 2 2]adalah A−1=|
32
−12
0
−114
54
−12
12
−12
1 |c. Sifat-sifat invers matriks:
1. Jika A dan B adalah matriks yang memenuhi AB = BA = I, maka
matriks A dan B dikatakan sebagai matriks yang saling invers
karena A = B−1 dan B = A−1
2. Jika matriks A mempunyai invers, maka inversnya tunggal
3. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai invers dan ordonya
sama maka :
a). AB mempunyai invers
b). (AB) −1= B −1 A −1
c). (A −1) −1= A
d). (kA) −1= k 1 A −1, k ≠ 0
Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0
maka
matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang tidak
mempunyai invers disebut matriks singular. Bila det(A) ≠ 0, maka
matriks A pasti mempunyai invers. Suatu matriks persegi yang
mempunyai invers disebut matriks non singular.
SOAL
A. PILIHAN GANDA
1. (55)+(18)=…
a. (55) d. (18)
b. ( 613) e. (06)
c. (10)2. ( 7
−4)−( 5−6)=…
a. ( 5−6) d. ( 2
−2)b. (91) e. ( 7
−4)c. (22)
3. (3 12 21 3)+(1 3
2 23 1)=…
a. (1 32 23 1) d. (3 1
2 21 3)
b. (4 44 44 2) e. 4 (1 1
1 11 1)
c. (2 32 22 1)
4. (−4 22 2
−1 2)−( 4 42 1
−5 1)=…
a. (−8 −20 14 1 ) d. (6 −2
0 11 1 )
b. (−4 22 2
−1 2) e. ( 4 42 1
−5 1 )c. (−8 2
0 84 0)
5. Matriks A=¿ (1 2 )dan matriks B=(23), maka matriks AB adalah ...
a. 6 d. 9
b. 7 e. 10
c. 8
6. Matriks A berordo 2 ×3 dan matriks B berordo 3×3 , jika matriks AB=C ,
maka matriks C berordo ...
a. 1×2 d. 2×3
b. 1×3 e. 3×3
c. 2×2
7. Jika matriks A =(1 x4 y) matriks 2 A=(2 1
z 4), maka nilai x, y, z adalah ...
a. x=1 , y=2 , z=4 d. x=12
, y=2 , z=4
b. x=1 , y=4 , z=8 e. x=12
, y=2 , z=8
c. x= 12
, y=2 , z=2
8. Matriks A =(1 12 −1) , matriks A2 adalah ...
a. (3 24 1) d. (3 2
4 3)b. (3 2
0 1) e. (3 24 2)
c. (3 04 1)
9. Semua nilai x yang memenuhi |2−x 2 11 3−x 11 2 2−x| = 0 adalah . . .
a. x = 1 atau x = 5 d. x = -1 atau x =-5
b. x = 1 atau x =-5 e. x = 5 atau x = 0
c. x= -1 atau x = 5
10. Nilai determinan A = (1 2 32 3 23 3 4) adalah . . .
a. 7 d.-8
b. -7 e. 6
c. 8
11. Nilai determinan B = (1 0 23 4 −50 1 −2) adalah . . .
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
12. Diketahui matriks C = (1 2 32 3 23 3 4) , tentukan nilai dari adj C × C adalah...
a. -7 I d. 8 I
b. 7 I e. 1 I
c. 6 I
13. Jika (1 23 4) X=(4 3
2 1) dan X adalah matriks ordo (2x2) maka X adalah ….
a. (1 00 1) d. ( 2 −1
−12
1 12 )
b. (0 11 0) e. (−6 −5
5 4 )c. (−5 −6
4 5 )14. Jika (−1 2
2 3)(xy)=(−1
9 ) maka x dan y adalah …
a. x=1 dan y=-3 d. x=-3 dan y=1
b. x=1 dan y=3 e. x=3 dan y=1
c. x=-3 dan y=-1
15. Jika (1 11 3)( x
y)=(52) maka x dan y adalah …
a. x=−32 dan y=
132 d. x=
52 dan y=
82
b. x=32 dan y=
−132 e. x=
12 dan y=
82
c. x=35 dan y=
137
16. Invers dari matriks A=(1 25 4 ) adalah …
a. (−23
13
56
−16
) d.(−23
18
56
−16
)b. (
−25
15
56
−16
) e. (−235
13
56
−16
)c. (
−24
13
56
−7)17. Invers dari matriks B=[ 1 3 4
3 −1 6−1 5 6 ]adalah…
a. |152
−3 −9
32
−12
−2
1 5 1| d. |−5 4 5
292
−11 23
7 13
−1|b. | 9
2−5 −3
2
−1 7 52
3 11 4| e.|2 −4 −1
3 1 0
5 −1 12
|
c. |312
−172
−11
92
−52
−3
−7 4 5|
18. kofaktor a12 dari matriks [ 3 11 2−1 2 43 −2 1 ]adalah…
a. 11 d.14
b. 12 e.15
c. 13
19. Adjoin dari matriks [ 3 11 2−1 2 43 −2 1 ]adalah…
a. [−12 −18 16−10 2 −4−6 −22 8 ] d.[−3 19 −15
8 −9 316 21 −5 ]
b. [−18 9 −34 −24 172 16 20 ] e.[−23 −12 −4
8 −30 1615 7 18 ]
c. [ 5 16 −148 −12 20
−19 32 −7 ]20. Kofaktor a31dari matriks [1 3 −2
2 −4 15 2 −4 ] adalah…
a. -3 d.-6
b. -4 e.-7
c. -5
B. ESAI
1. (x yz w)−(−3 2
−4 0)=( 7 −5−6 1 ), tentukan matriks (x y
z w)!
2. Tentukan minor-minor dari matriks [ 4 2 110 6 33 2 2] !
3. Tentukan solusi dari sistem persamaan linier!
x + 2y + z = 8
x + y + z = 6
2x + y + 2z = 10
4. Hitunglah invers dari matriks
a. D = (3 24 3)
b. F = (−3 22 −1)
5. Tentukan invers dari matriks B=[7 3 64 1 58 2 9] !
KUNCI JAWABAN
A. PILHAN GANDA
1. B
2. C
3. E
4. A
5. C
6. D
7. E
8. A
9. A
10. B
11. C
12. A
13. E
14. B
15. A
16. A
17. C
18. C
19. A
20. C
1. (55)+(18)=(5+1
5+8)=( 613)
B
2. ( 7−4)−( 5
−6)=( 7−5−4+6)=(2
2)C
3. (3 12 21 3)+(1 3
2 23 1)=(3+1 1+3
2+2 2+21+3 3+1)=(4 4
4 44 4)=4 (1 1
1 11 1)
E
4. (−4 22 2
−1 2)−( 4 42 1
−5 1)=( −4−4 2−42−2 2−1
−1−(−5) 2−1)=(−8 −20 14 1 )
A
5. Matriks A=(1 2 )dan matriks B=(23)AB=(1 2 )(2
3)=1∙ 2+2 ∙3=2+6=8
C6. Matriks A berordo 2×3 dan matriks B berordo 3 ×3,
A=(a11 a12 a13
a21 a22 a23) B=(b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33)
jika matriks AB=C
AB=(a11 a12 a13
a21 a22 a23)(b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33)
¿(a11b11+a12 b21+a13 b31 a11b12+a12 b22+a13b32 a11 b13+a12b23+a13b33
a21 b11+a22b21+a23 b31 a21b12+a22 b22+a23 b32 a21 b13+a22 b23+a23 b33)
maka matriks C berordo 2 ×3 D
7. matriks A =(1 x4 y), 2 A=(2 1
z 4)2 A=(2 1
z 4)A=1
2 (2 1z 4)
¿( 2 12
12
z 2 )x=1
2, y=2 , 1
2z=4 , z=8
E
8. A =(1 12 −1)
A2=A ∙ A=(1 12 −1)(1 1
2 −1)=( 1+2 1−(−1)2−(−2) 2−1 )=(3 2
4 1) A
9. Hitung determinannya dan selesaikan persamaan yang muncul dalam x,
diperoleh
(2 - x) |3−x 12 2−x| - 2 |1 1
1 2−x| - |1 3−x1 2 | = 0
(2 – x)(x2 – 5x + 6 – 2) - 2(2 – x – 1) + (2 – 3 + x ) = 0
(x – 2 ) ( x2 – 5x + 4 ) – 2 ( x – 1) – (x – 1) = 0
(x - 2)(x - 1)(x - 4) – 2 (x - 1) – (x – 1) = 0
(x - 1)(x2 – 6x + 8 – 2 – 1) = 0
(x - 1)2(x - 5) = 0
x = 1 atau x = 5
A
10. |A|= |1 2 32 3 23 3 4| = |3 2
3 4| - 2.|2 23 4| + 3.|2 3
3 3| = (12 - 6) – 2.(8 – 6) + 3.(6 – 9)
= 6 – 4 – 9
= -7
Jadi, |A| = -7
B
11. |B| = |1 0 23 4 −50 1 −2| = 1.4.(-2) – 1.(-5).1 + 0.(-5).0 – 0.3.(-2) + 2.3.1 – 2.4.0
= -8 + 5 + 0 + 0 + 6 – 0 = 3
C
12. Adj C x C = ( 6 1 −5−2 −5 4−3 3 −1) (1 2 3
2 3 23 3 4)
= (−7 0 00 −7 00 0 −7) = -7 (−1 0 0
0 −1 00 0 −1) = -7 I
A
13. (1 23 4)X=(4 3
2 1)X= 1
4−6 ( 4 −2−3 1 )(4 3
2 1) =
−12 ( 4 −2
−3 1 )(4 32 1)
= (−2 132
−12 )(4 3
2 1)
= (−6 −55 4 )
E
14. −x+2 y=−12 x+3 y=9 |x3
x2 −3 x+6 y=−3¿
-7x =-21
x=3
disub ke pers di atas
-(3)+2y = -1
y =1
jadi, x=3 dan y=1
B
15. x + y = 5
x +3y = 2 –
y = −32
sub ke persamaan : x+−32 =5
x= 5+32
x = 132
A
16. A=(1 25 4 )=A−1= 1
4−10 ( 4 −2−5 1 )=(
−23
13
56
−16
)A
17. Invers matriks B=|29 17 22−9 5 614 −8 −10|adalah…
determinan dari matriks A (metode sarrus)
|B|¿| 1 3 43 −1 6
−1 5 1|1 33 −1
−1 5
¿ (1. (−1 ) .1 )+ (3.6 .(−1))+ (4.3 .5 )−( 4. (−1 ) .(−1))−(1.5.6 )−(3.3 .(−1))
¿−1−18+60−4−30−9
¿−2
kofaktor – kofaktor dari matriks B
|M 11|=|−1 65 1|=−31⇒∝11=(−1 )1+1 .(−31)=31
|M 12|=| 3 6−1 1|=9⇒∝12=(−1)1+2 .9=−9
|M 13|=| 3 −1−1 5 |=14⇒∝13=(−1)1+3 .14=14
|M 21|=|3 45 1|=−17⇒∝21=(−1 )2+1 .(−17)=17
|M 22|=| 1 4−1 1|=5⇒∝22=(−1)2+2.5=5
|M 23|=| 1 3−1 5|=8⇒∝23=(−1)2+3 .8=−8
|M 31|=| 3 4−1 6|=22⇒∝31=(−1)3+1 .22=22
|M 32|=|1 43 6|=−6⇒∝32=(−1 )3+2 .(−6)=6
|M 33|=|1 33 −1|=−10⇒∝33=(−1 )3+3 . (−10 )=−10
adjoin matriks B
adj B=|29 17 22−9 5 614 −8 −10|
invers matriks B
A−1= 1detA
adj A↔A−1=1
−2|29 17 22−9 5 614 −8 −10|
¿|−312
−172
−11
−92
−52
−3
−7 4 5|
C
18. |M 12|=|−1 43 1|=−1−12=−13⇒∝12=(−1 )1+2 . (−13 )=13
C
19. adjoin dari matriks [ 3 11 2−1 2 43 −2 1 ]adalah…
Kofaktor –kofaktor dari matriks
|M 11|=|0 43 −3|=−12⇒∝11=(−1 )1+1 . (−12 )=−12
|M 12|=|−2 44 −3|=10⇒∝12=(−1)1+2 .10=−10
|M 13|=|−2 04 3|=−6⇒∝13=(−1 )1+3 .1 (−6 )=1−6
|M 21|=|−4 −23 −3|=18⇒∝21=(−1 )2+1 . (18 )=−18
|M 22|=|2 −24 −3|=2⇒∝22=(−1)2+2.2=2
|M 23|=|2 −44 3 |=22⇒∝23=(−1)2+3 .22=−22
|M 31|=|−4 −20 4 |=−16⇒∝31=(−1 )3+1 .(−16)=216
|M 32|=| 2 −2−2 4 |=4⇒∝32=(−1 )3+2 .4=−4
|M 33|=| 2 −4−2 0 |=−8⇒∝33=(−1 )3+3 . (−8 )=8
adjoin matriks |−12 −18 16−10 2 −4−6 −22 8 |
A
20. |M 31|=| 3 −2−4 1 |=3−8=−5⇒∝31=(−1 )3+ 1 . (−5 )=−5
C
B. ESAI
1. (x yz w)−(−3 2
−4 0)=( 7 −5−6 1 ), maka matriks (x y
z w) adalah
(x+3 y−2z+4 w−0)=( 7 −5
−6 1 ),x+3=7x=4
y−2=−5y=−3
z+4=−6z=−10
w−0=1w=7
Jadi, Matriks (x yz w) = ( 4 −3
−10 1 )!
2. minor-minor dari matriks [ 4 2 110 6 33 2 2] adalah ...
|M 11|=|6 32 2|=12−6=6
|M 12|=|10 33 2|=20−9=11
|M 13|=|10 63 2|=20−18=2
|M 21|=|2 12 2|=4−2=2
|M 22|=|4 13 2|=8−3=5
|M 23|=|4 23 2|=8−6=2
|M 31|=|2 16 3|=6−6=0
|M 32|=| 4 110 3|=12−10=2
|M 33|=| 4 210 6|=24−20=4
3. Determinan matriks koefisiennya adalah
D = |1 2 11 1 12 1 2| = 1. |1 1
1 2| – 2.|1 12 2| + 1 |1 1
2 1| = 1 (1) – 2.(1) + 1(-1) = -2
Hitunglah determinan Dx , Dy dan Dz (kerjakan rinciannya), diperoleh
Dx = | 8 2 16 1 1
10 1 2| = -2 , Dy = |1 8 11 6 12 10 2| = -4 , Dz = |1 2 8
1 1 62 1 10| = -6
Jadi solusi persamaan liniernya adalah
x = Dx
D=−2
−2=1 , y =
D y
D=−4
−2=2 dan z =
Dz
D =
−6−2
=3
4. Diketahui: D = (3 24 3)
F = (−3 22 −1)
Ditanya : hitunglah invers dari matriks diatas….
Jawab :
D = (3 24 3)=
13.3−4.2 ( 3 −2
−4 3 )=(−3 24 −3)
F = (−3 22 −1) =
1(−3 ) .(−1)−2.2 (−3 2
2 −1)=( 3 −2−2 1 )
5. invers dari matriks B=[7 3 64 1 58 2 9] adalah…
Solusi:
determinan dari matriks A (metode sarrus)
|B|¿|7 3 64 1 58 2 9|
7 34 18 2
¿ (7.1 .9 )+ (3.5.8 )+ (6.4 .2 )−(6.1 .8 )−(7.5 .2 )− (3.4 .9 )
¿63+120+48−48−70−108
¿5
kofaktor – kofaktor dari matriks B
|M 11|=|1 52 9|=−1⇒∝11=(−1 )1+1 .(−1)=1
|M 12|=|4 58 9|=−4⇒∝12= (−1 )1+2(−4)=4
|M 13|=|4 18 2|=0⇒∝13=(−1)1+3 .0=0
|M 21|=|3 62 9|=15⇒∝21=(−1 )2+1 . (15 )=−15
|M 22|=|7 68 9|=15⇒∝22=(−1)2+2 .15=15
|M 23|=|7 38 2|=−10⇒∝23=(−1 )2+3 .(−10)=10
|M 31|=|3 61 5|=9⇒∝31=(−1)3+ 1 .9=9
|M 32|=|7 64 5|=11⇒∝32=(−1 )3+2 .11=11
|M 33|=|7 34 1|=−5⇒∝33=(−1 )3+3 . (−5 )=−5
adjoin matriks B
adj B=|a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33|=|1 −15 9
4 15 −110 10 −5 |
invers matriks B
B−1= 1detA
adj B↔B−1=15|1 −15 9
4 15 −110 10 −5 |
¿|15
−3 95
45
3 −115
0 2 −5|
jadi ,invers dari B=[7 3 64 1 58 2 9]adalah B−1=|1
5−3 9
545
3 −115
0 2 −5|
top related