wichtige formelzeichen, größen und einheiten nach din 1304
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Wichtige Formelzeichen, Größen und Einheiten Nach DIN 1304
Formel- zeichen*
GrößeEinheit,Einheiten-name
Einheiten-zeichen
1. Länge und ihre Potenzen
𝑙Δ𝑙
bh
d, 𝛿r, R
d, Ds
Länge, AbstandLängenänderung, LängendifferenzBreiteHöhe, TiefeDicke, SchichtdickeRadius, Halbmesser, AbstandDurchmesserWeglänge, Kurvenlänge
Meter m
A, S
S, q
Flächeninhalt, Fläche, OberflächeQuerschnittsfläche, Querschnitt
Quadrat-meter
m2
VΔV
𝛾
Volumen, RauminhaltVolumenänderung, VolumendifferenzVolumenausdehnungs-koeffizient
Kubik- meter
m3
𝛼, 𝛽, 𝛾 ebener Winkel Grad ° (Grad)
𝜑 Drehwinkel Radiantrad = m ___
m
= 1
Ω, 𝜔 Raumwinkel Steradiant sr
2. Raum und Zeit
tΔt
T
𝜏, T
Zeit, DauerZeitdifferenz, ZeitänderungPeriodendauer, SchwingungsdauerZeitkonstante
Sekunde s
f, 𝜈fc
fr
FrequenzGrenzfrequenzResonanzfrequenz
Hertz Hz = 1/s
𝜔 Kreisfrequenz, Pulsatanz – rad/s = 1/s
n Drehzahl, Umdrehungsfrequenz – 1/s
𝜔, Ω Winkelgeschwindigkeit, Drehgeschwindigkeit
Radiant je Sekunde
rad/s
𝜆 Wellenlänge Meter m
v, u, wc
GeschwindigkeitAusbreitungsgeschwin-digkeit einer Welle
Meter je Sekunde
m/s
a
g
Beschleunigung, Verzögerungörtliche Fallbeschleunigung
Meter je Sekunde hoch zwei
m/s2
* Sind für eine Größe mehrere Zeichen angeführt, so ist das an erster Stelle stehende (meist internationale) Zeichen zu bevorzugen.
** 𝜉 griech. Kleinbuchstabe zeta
Formel- zeichen*
GrößeEinheit,Einheiten-name
Einheiten-zeichen
3. Mechanik
m Masse, Gewicht als Wägeergebnis
Kilo-gramm
kg
𝜚, 𝜚m
Dichte, Massendichte, volumenbezogene Masse
Kilogramm je Kubik-meter
kg/m3
FFG, G
KraftGewichtskraft
Newton N
M Kraftmoment, Drehmoment
Newton-meter
Nm
p Druck Pascal Pa
𝜀 Dehnung, relative Längenänderung
– 1
𝜇 Reibungszahl – 1
W Arbeit, Energie Joule J
P Leistung Watt W
𝜂
𝜉
i
Wirkungsgrad (Leistungsverhältnis)Arbeitsgrad** Nutzungsgrad (Arbeitsverhältnis, Energieverhältnis)Übersetzungsverhältnis
– 1
4. Wärme und Wärmeübertragung
T, 𝛩
ΔT, Δt, Δ𝜗
thermodynamische TemperaturTemperaturdifferenz
Kelvin K
t, 𝜗 Celsius-TemperaturGrad Celsius
°C
𝛼𝑙
𝛼v, 𝛾
Längenausdehnungs-koeffizientVolumenausdehnungs-koeffizient
je Kelvin 1/K
Q Wärme, Wärmemenge Joule J
Rththermischer Widerstand, Wärmewiderstand
Kelvin je Watt
K/W
Cth WärmekapazitätJoule je Kelvin
J/K
c spezifische Wärmekapazität
Joule je kg und Kelvin
J/(kg ∙ K)
Fortsetzung siehe hintere Umschlag-Innenseite
01
23
45
67
89
1011
1213
1415
1617
1819
2021
2223
EUROPA-FACHBUCHREIHE für Elektrotechnik
Formeln Elektrotechnik PLUS +
Bearbeitet von Ingenieuren und Lehrernan beruflichen Schulen (siehe Rückseite)
Lektorat: Klaus Tkotz
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL • Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 • 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 30289
Autoren: Isele, Dieter Lauterach
Klee, Werner Mehlingen
Tkotz, Klaus Kronach
Winter, Ulrich Kaiserslautern
Leitung des Arbeitskreises und Lektorat: Klaus Tkotz
Bildbearbeitung: Grafische Produktionen Jürgen Neumann, 97222 Rimpar
Betreuung der Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern
Bildentwürfe: Die Autoren
1. Auflage 2021, korrigierter Nachdruck 2021
Druck 5 4 3 2
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Korrektur von Druckfehlern identisch sind.
ISBN 978-3-7585-3028-9
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2021 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten www.europa-lehrmittel.de
Umschlag: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Umschlagfotos: Erwin Wodicka - wodicka@aon.at; ©AA+W - stock.adobe.com; Casio Europe GmbH
Satz: Grafische Produktionen Jürgen Neumann, 97222 Rimpar
Druck: mediaprint solutions GmbH, 33100 Paderborn
Wegweiser Formeln für Elektrotechniker
Inhaltsverzzeichnis Kurzform
1 Mathematische Grundlagen 6
2 Längen- und Flächenberechnungen 10
3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen 14
4 Mechanik 16
5 Wärmelehre 18
6 Elektrotechnische Grundlagen 20
7 Elektrisches Feld, Kondensator 30
8 Magnetisches Feld 32
9 Wechselstrom und Drehstrom 36
10 Elektrische Maschinen 53
11 Elektrische Anlagen 65
12 Digitaltechnik 90
13 Elektronik 93
14 Regelungstechnik 111
15 Messtechnik 114
16 Info und Tabellenteil 116
Nützliches
Mathematische Zeichen (Tabelle 4) 116
Griechisches Alphabet (Tabelle 6) 116
E-Reihen von Widerständen und Kondensatoren (Tabelle 21) 121
Drehstrommotoren (Betriebsdaten) 123
Wichtige Formelzeichen Innenumschlagseiten
Arbeiten mit Formeln hintere Innenumschlagseite
1 Mathematische Grundlagen
9 Wechselstrom und Drehstrom
5 Wärmelehre
13 Elektronik
3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen
11 Elektrische Anlagen
7 Elektrisches Feld, Kondensator
15 Messtechnik
2 Längen- und Flächen-berechnungen
10 Elektrische Maschinen
6 Elektrotechnische Grundlagen
14 Regelungstechnik
4 Mechanik
12 Digitaltechnik
8 Magnetisches Feld
16 Info und Tabellenteil
4 Inhaltsverzeichnis
Inha
ltsve
rzei
chni
s
1 Mathematische Grundlagen 6
1.1 Summieren, MuItiplizieren 6
1.2 Rechnen mit Brüchen 6
1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 7
1.4 Winkel, Winkeleinheiten 7
1.5 Rechnen am Dreieck 8
1.6 Zahlensysteme, BCD-Code, Rechenregeln 9
2 Längen- und Flächenberechnungen 10
2.1 Drahtlängen von Rundspulen und von Rechteckspulen 10
2.2 Flächen 10
3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen 14
3.1 Volumen und Oberflächen 14
3.2 Masse und Gewichtskraft 15
4 Mechanik 16
4.1 Kräfte 16
4.2 Wirkungsgrad, Arbeitsgrad 17
5 Wärmelehre 18
5.1 Temperatur 18
5.2 Wärmedehnung 18
5.3 Wärmemenge 19
5.4 Wärme-Kreisprozess 19
6 Elektrotechnische Grundlagen 20
6.1 Grundgesetze 20
6.2 Anpassung 21
6.3 Schaltungen von Widerständen 22
6.4 Spannungsteiler 23
6.5 Widerstandsbestimmung 24
6.6 Unabgeglichene Brückenschaltung 25
6.7 Dreieck-Stern-Umwandlung 25
6.8 EIektrische Arbeit und elektrische Leistung 26
6.9 Kosten der elektrischen Arbeit (Arbeitspreis) 26
6.10 Elektrowärme 27
6.11 Elektrochemie 28
6.12 Schaltung von gleichartigen Spannungserzeugern 28
7 Elektrisches Feld, Kondensator 30
7.1 Elektrische Feldstärke 30
7.2 Kondensator 30
7.3 Zeitkonstante bei RC-Schaltung, Ladezeit und Entladezeit 31
8 Magnetisches Feld 32
8.1 Magnetische Größen 32
8.2 Haltekraft von Elektromagneten 33
8.3 Magnetische Feldkräfte 33
8.4 Induktion 34
9 Wechselstrom und Drehstrom 36
9.1 Grundgrößen des Wechselstroms 36
9.2 Wechselstromwiderstände 37
9.3 Resonanz (Parallel- und Reihenschwingkreis) 43
9.4 Leistung bei Wechselstrom 44
9.5 Kompensation der Blindleistung 45
9.6 Sinus- und nichtsinusförmige Spannungen 46
9.7 Hoch- und Tiefpässe 48
9.8 DreiphasenwechseIstrom (Drehstrom) 49
10 Elektrische Maschinen 53
10.1 Transformator 53
10.2 Antriebstechnik 5610.2.1 Bewegungen 5610.2.2 Mechanische Arbeit, mechanische Energie 5710.2.3 Riementrieb, Zahnradtrieb, Schneckentrieb 5910.2.4 Drehmoment und Hebel 5910.2.5 Mechanische Leistung 60
10.3 Umlaufende elektrische Maschinen 6110.3.1 Wechselstrommotoren 6110.3.2 Drehstrommotoren 6210.3.3 Schrittmotor 6210.3.4 Zahnläufer 6310.3.5 Gleichstrommaschinen 63
11 Elektrische Anlagen 65
11.1 Schutzmaßnahmen 6511.1.1 Fehlerstromkreis 6511.1.2 Schutzmaßnahmen im TN-System 6611.1.3 Schutzmaßnahmen im TT-System 6611.1.4 Schutzmaßnahmen im lT-System 6711.1.5 FehIerstrom-Schutzeinrichtung (RCD) 6711.1.6 Maximale Abschaltzeiten im TN-System und
im TT-System (nach DIN VDE 0100-410) 6811.1.7 Abschaltströme von Leitungsschutzschaltern
(LS-Schalter) 6811.1.8 Messen des Isolationswiderstandes 6811.1.9 Isolationswiderstandsmessung von
isolierenden Fußböden und Wänden 6811.1.10 Auslösekennlinien von Überstrom-
Schutzeinrichtungen 69
11.2 Leitungsberechnungen 7011.2.1 Unverzweigte Leitungen 7011.2.2 Verzweigte Leitungen 7311.2.3 Ringleitung 7611.2.4 Lichtwellenleitung (LWL) 7711.2.5 Bestimmung des Leiterquerschnittes A
(nach DIN VDE 0298-4) 7811.2.6 Bestimmung des Leiterquerschnittes A
bei Oberschwingungen (nach DIN VDE 0100-520, Bbl.3) 79
11.3 Fotovoltaik 81
11.4 Licht und Beleuchtung 8211.4.1 Lichttechnische Größen 8211.4.2 Berechnung von Beleuchtungsanlagen 83
11.5 Antennen 8411.5.1 Frequenzbereiche 8411.5.2 Wellenlänge, Empfangsspannung,
Wellenwiderstand 84
5Inhaltsverzeichnis
Inha
ltsve
rzei
chni
s
11.5.3 Verstärkungen, Dämpfungen, Pegel 8611.5.4 Mechanische Sicherheit von Antennenanlagen 89
12 Digitaltechnik 90
12.1 Grundfunktionen 90
12.2 Zusammengesetzte Funktionen 90
12.3 Spezielle zusammengesetzte Funktionen 91
12.4 Rechengesetze der Schaltalgebra 92
13 Elektronik 93
13.1 Halbleiterdioden 93
13.2 Bipolarer Transistor 94
13.3 Feldeffekttransistor 97
13.4 Transistor als Schalter 98
13.5 KippschaItungen 98
13.6 GIeichrichterschaItungen 101
13.7 Glättung und Siebung der gleichgerichteten Spannung 103
13.8 Spannungsstabilisierung 104
13.9 Kühlung von elektronischen HalbIeiterbaueIementen 106
13.10 LeistungseIektronik 107
13.11 Operationsverstärker 108
14 Regelungstechnik 111
14.1 Regelstrecken 111
14.2 Unstetiges Regeln (bei 100 % Leistungsüberschuss) 111
14.3 Stetiges Regeln 112
15 Messtechnik 114
15.1 Messfehler von Zeigermessgeräten 114
15.2 Messfehler von digitalen Messgeräten 114
15.3 Messwertbestimmung sinusförmiger Größen mit dem Oszilloskop 115
16 Info und Tabellenteil 116
Tabelle 1: Wichtige Formelzeichen, Größen und Einheiten 116
Tabelle 2: SI-Basisgrößen und SI-Basiseinheiten (Grundeinheiten) 116
Tabelle 3: Vielfache und Teile von Einheiten 116Tabelle 4: Mathematische Zeichen 116Tabelle 5: Wichtige physikalische Konstanten 116Tabelle 6: Griechisches Alphabet 116Tabelle 7: Werkstoffwerte von Metallen (und Kohle) 117Tabelle 8: Werkstoffwerte von Legierungen 117Tabelle 9: Elektrochemische Äquivalente und Wertigkeit 117Tabelle 10: Verlegearten von Kabeln und isolierten
Leitungen (nach DIN VDE 0298-4) 118Tabelle 11: Bemessungswert Ir der Strombelastbarkeit
von Kabeln und Leitungen für feste Verlegung in den Verlegearten A1, A2, B1, B2, C und D bei einer Umgebungstemperatur von 30 °C (nach DIN VDE 0298-4) 118
Tabelle 12: Zuordnung von Überstrom-Schutzeinrichtungen gG und LS-Schaltern Typ B, C und D mit einem Abschaltstrom Ia ≤ 1,45 · IN, zu den
Leiternennquerschnitten isolierter Leitungen bei Dauerbetrieb (umgerechnet auf eine Umgebungstemperatur von 25 °C) (nach DIN VDE 0298-4) 119
Tabelle 13: Umrechnungsfaktoren f 1 für abweichende Umgebungstemperaturen (nach DIN VDE 0298-4) 119
Tabelle 14: Umrechnungsfaktoren f 2 für Häufung von Kabeln oder Leitungen (nach DIN VDE 0298-4) 119
Tabelle 16: Typische Verbraucher- und Verzerrungsströme elektronischer Verbraucher (nach DIN VDE 0100-520) 120
Tabelle 17: Belastbarkeit von Kabeln und Leitungen für die Verlegeart A1, A2, B1, B2 und C mit Berücksichtigung der Oberschwingungen.(Betriebstemperatur: 70 °C, Umgebungstemperatur: 25 °C, Leitermaterial: Kupfer) (nach DIN VDE 0100-520) 120
Tabelle 18: Umrechnungsfaktor f 4 für Verbraucher, die Oberschwingungen erzeugen (nach DIN VDE 0100-520) 120
Tabelle 19: Leiternennquerschnitte in mm2 121
Tabelle 20: Bemessungsströme von Typ-B-Leitungsschutzschaltern (LS-Schaltern) in A 121
Tabelle 21: Übliche Fertigungswerte für Widerstände und Kondensatoren (E-Reihen) (nach DIN IEC 63) 121
Tabelle 22: Bemessungsleistung von Widerständen in W 121
Tabelle 23: Farbkennzeichnung von Widerständen 121
Tabelle 24: Wertkennzeichnung von Widerständen durch Buchstaben (Beispiele) (nach DIN EN 60062) 122
Tabelle 25: Schutzarten elektrischer Betriebsmittel (nach DIN VDE 0470) 122
Tabelle 26: Baugrößen, Bemessungswerte und Kurzschlussschutzsicherungen für Drehstrom-Asynchronmotoren mit Kurzschlussläufer bei Direktanlauf oder YΔ-Anlauf 123
Tabelle 27: Kernblechschnitte und Bemessungswerte für Kleintransformatoren 123
Tabelle 28: Wartungswerte Em der mittleren Beleuchtungsstärke
_ E v
(nach DIN EN 12464-1) 124
Tabelle 29: Reflexionsgrade 𝜚 von Farben und Werkstoffen 124
Tabelle 30: Leuchtenbetriebswirkungsgrade und Raumwirkungsgrade 124
Tabelle 31: Auszug aus dem Datenblatt der Z-Diode BZX 55/C3V9 … BZX 55/C18 125
Tabelle 32: Auszug aus dem Datenblatt der Leuchtdioden CQX35 und CQX37 125
Tabelle 33: Auszug aus dem Datenblatt der Silicium- Diode BYT 79/… 126
Tabelle 34: Auszug aus dem Datenblatt des NPN- Transistors BC 107, BC 171, BC 237/… 126
Sachwortverzeichnis 127
* siehe vordere und hintere Umschlag-Innenseite
i
6
1
2M
athe
mat
ik
1 Mathematische Grundlagen
1 Mathematische Grundlagen
1.1 Summieren, MuItiplizieren
1.2 Rechnen mit Brüchen
Kommutativgesetz Assoziativgesetz
a + b + c
= a + c + b
= b + c + a
a · b · c
= a · c · b
= b · c · a
a + b + c + d
= a + (b + c + d)
= (a + c) + (b + d)
a – b + c – d
= a – (b – c + d)
= (a + c) – (b + d)
a · b · c · d
= a · (b · c · d)
= (a · c) · (b · d)
Regeln für das Rechnen mit Vorzeichen
(+ a) + (+ b) = a + b (+ a) – (– b) = a + b (+ a) – (+ b) = a – b (+ a) + (– b) = a – b
(+ a) · (+ b) = + a · b = ab
(– a) · (– b) = + a · b = ab
(+ a) · (– b) = – a · b = – ab
(– a) · (+ b) = – a · b = – ab
Distributivgesetz
a · (c + d) = ac + ad a · (c – d) = ac – ad a – bc – bd + be = a – b · (c + d – e)
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
(a – b) · (c – d) = ac – ad – bc + bd
(a + b) · (c – d) = ac – ad + bc – bd
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
Vorzeichenregeln
+ a ____ + b
= + a __ b
= a __ b
– a ____ – b
= + a __ b
= a __ b
– a ____ + b
= – a __ b
+ a ____ – b
= – a __ b
Rechenregeln
Kürzen mit k: Erweitern mit n: Summieren:
ak ___ bk
= a · k _____ b · k
= a __ b
a __ b
= a · n _____ b · n
= an ___ bn
a __ d
+ b __ d
= a + b _____ d
a __ d
– b __ d
= a – b _____ d
a __ c
+ b __ d
= ad + bc _______ cd
a __ c
– b __ d
= ad – bc _______ cd
Multiplizieren: Dividieren:
a __ b
· c = a · c ____ b
= ac ___ b
a __ b
· c __ d
= a · c _____ b · d
= ac ___ bd
a __ b
: c = a _____ b · c
= a ___ bc
a __ b
: c __ d
= a · d _____ b · c
= ad ___ bc
Wichtige Anwendungen:
ak + bk _______ ck
= k (a + b) ________ ck
= a + b _____ c
; a _____ b + c
+ d __ e
= ae + (b + c) · d ______________ (b + c) · e
; 1 __ a
= 1 __ b
+ 1 __ c
= b + c _____ b · c
⇒ a = b · c _____ b + c
7
1
2
Mat
hem
atik
1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
1.4 Winkel, Winkeleinheiten
Winkel 𝛼G im Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Winkel 𝛼B im Bogenmaß 0 π __ 6 = 0,52 π __
4 = 0,79 π __
3 = 1,05 π __
2 = 1,57 π = 3,14 3 __
2 · π = 4,71 2 · π = 6,28
Potenzena Grundzahl (Basis)n Hochzahl (Exponent) an = cc Potenzwert
c = a · a · a · … · a ⇒ an
n Faktorenan = c
am · an = am + n am ___
an = am – n a0 = 1 1 ___ an = a –n
am · bm = (a · b)m am ___
bm = ( a __ b
) m
am ___
bm = am · b–m (am)n = am · n
Wurzelna Wurzeln Wurzelexponent √
__ c = a
c Radikand
c = a · a · a · … · a ⇒ n √ __
c = a
n Faktoren n √
__ c = c
1 __ n
n √ ____
c · d = n √ _
c · n √ __
d n √
__
c __ d
= n √
_ c ___
n √ __
d = ( c __
d )
1 __ n
n √ ___
cm = c m __ n a2 = c ⇒ a = ± √
_ c
Logarithmen
10 gleiche Teile
Logarithmische Teilung fürdie Werte 1, 2, 5 und 10
3 Teile 3 Teile4 Teile
1 2 5 10
n Logarithmus a Basisc Numerus
Eingabemodus: Taste log c = an ⇒ loga c = n
• Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus): log10c = lg c
• Natürlicher Logarithmus (e = 2,718...): logec = ln c
• Zweierlogarithmus (binärer Logarithmus): log2c = lb c
logac + logad = loga(c · d)
k · logac = loga(ck)
logac – logad = loga ( c __ d
)
1 __ n
· logac = loga ( n √ __
c )
– logad = loga ( 1 __ d
)
logbc = logac ______ logab
= logac · logba
ååB
G
1
r
b
𝛼B Winkel im Bogenmaß, Einheit Radiant (rad)
𝛼G Winkel im Gradmaß, Einheit Grad (°)
b Bogenlänge
r Radius
𝛼B = b __ r rad = m ___
m = 1
𝛼B = 𝛼G _____ 360º
· 2 π
⇒ 𝛼G = 𝛼B ___ 2 π · 360º
8
1
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athe
mat
ik
1 Mathematische Grundlagen
1.5 Rechnen am Dreieck
Satz des Pythagoras
C
BA
ba
c
c2 = a2 + b2
a = √ ______
c2 – b2
c = √ ______
a2 + b2
b = √ _____
c2 – a2
c Hypotenuse a Kathete b Kathete ⦝
Kennzeichen für rechten Winkel
Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktionen)
C
BA
b a
c
¿å
c Hypotenusea Gegenkathete von 𝛼,
Ankathete von 𝛽b Gegenkathete von 𝛽,
Ankathete von 𝛼
Einheitskreis
tan å
sin å
cos å
cot å2. Quadrant
r = 1
å
å
4.3.
1.
Qua-drant sin 𝜶 cos 𝜶 tan 𝜶 cot 𝜶
1. + + + +2. + – – –3. – – + +4. – + – –
sin 𝛼 = a __ c
cos 𝛼 = b __ c
tan 𝛼 = a __ b
cot 𝛼 = b __ a
sin 𝛽 = b __ c
cos 𝛽 = a __ c
tan 𝛽 = b __ a
cot 𝛽 = a __ b
⇒ a = c ∙ sin 𝛼 ; c = a _____ sin 𝛼
⇒ b = c ∙ cos 𝛼 ; c = b _____ cos 𝛼
⇒ a = b ∙ tan 𝛼 ; b = a _____ tan 𝛼
⇒ b = a ∙ cot 𝛼 ; a = b _____ cot 𝛼
⇒ b = c ∙ sin 𝛽 ; c = b _____ sin 𝛽
⇒ a = c ∙ cos 𝛽 ; c = a _____ cos 𝛽
⇒ b = a ∙ tan 𝛽 ; a = b _____ tan 𝛽
⇒ a = b ∙ cot 𝛽 ; b = a _____ cot 𝛽
Sinussatz
C
BA
b a
c
å ¿
©
a __ b
= sin 𝛼 _____ sin 𝛽
b __ c
= sin 𝛽 _____ sin 𝛾
c __ a
= sin 𝛾 _____ sin 𝛼
⇒ a = b ∙ sin 𝛼 _____ sin 𝛽 ; b = a ∙ sin 𝛽 _____
sin 𝛼
sin 𝛼 = a __ b
∙ sin 𝛽 ; sin 𝛽 = b __ a
∙ sin 𝛼
⇒ b = c ∙ sin 𝛽 _____ sin 𝛾 ; c = b ∙ sin 𝛾 _____
sin 𝛽
sin 𝛽 = b __ c
∙ sin 𝛾 ; sin 𝛾 = c __ b
∙ sin 𝛽
⇒ c = a ∙ sin 𝛾 _____ sin 𝛼 ; a = c ∙ sin 𝛼 _____
sin 𝛾
sin 𝛾 = c __ a
∙ sin 𝛼 ; sin 𝛼 = a __ c
∙ sin 𝛾
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Mat
hem
atik
1.6 Zahlensysteme, BCD-Code, Rechenregeln
1.6 Zahlensysteme, BCD-Code, Rechenregeln
Wichtige Winkelfunktionswerte:
Funktion Winkel 𝜶
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°
Sinus 𝛼 0 0,259 0,500 0,707 0,866 0,966 1 0 – 1 0
Cosinus 𝛼 1 0,966 0,866 0,707 0,500 0,259 0 – 1 0 1
Tangens 𝛼 0 0,268 0,577 1 1,732 3,732 ∞ 0 ∞ 0
Vergleich von Zahlensystemen: BCD-(8-4-2-1-) Code: Rechnen mit Dualzahlen:
Dezimal-zahl
DualzahlSedezimal-
zahl***
0 0 0
1 = 20 1 1
2 = 21 10 2
3 11 3
4 = 22 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 = 23 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
16 = 24 10000 10
Dezimal-zahl
Stellen-wert
8421
0 0000 0000
1 0000 0001
2 0000 0010
3 0000 0011
4 0000 0100
5 0000 0101
6 0000 0110
7 0000 0111
8 0000 1000
9 0000 1001
* 0000 1010
** +0110
10 0001 0000
11 0001 0001
12 0001 0010
13 0001 0011
14 0001 0100
15 0001 0101
16 0001 0110
17 0001 0111
18 0001 1000
19 0001 1001
* 0001 1010
** +0110
20 0010 0000
00+ 0
00
00– 0
00
01+ 0
01
01– 0
01
00+ 1
01
00– 1– 01
01+ 1
10
01– 1
00
011+ 10
101
011– 10
001
011+ 11
110
011– 100– 001
1 · 1 = 1
0 · 0 = 0
1 · 0 = 0
0 · 1 = 0
0 : 1 = 0
1 : 1 = 1
* Pseudotetrade, bewirkt Rückstellung und Übertrag auf die nächste Dekade.
** Korrektursummand beim Übertrag.*** auch Hexadezimalzahl genannt.
Kosinussatz
C
BA
b a
c
å ¿
©
a2 = b2 + c2 – 2 · bc · cos 𝛼
b2 = a2 + c2 – 2 · ac · cos 𝛽
c 2 = a2 + b2 – 2 · ab · cos 𝛾
⇒ cos 𝛼 = c2 + b2 – a2
___________ 2 bc
⇒ cos 𝛽 = c2 + a2 – b2
___________ 2 ac
⇒ cos 𝛾 = a2 + b2 – c2
___________ 2 ab
10
2
Läng
en/F
läch
en
2 Längen- und Flächenberechnungen
2 Längen- und Flächenberechnungen
2.1 Drahtlängen von Rundspulen und von Rechteckspulen
2.2 Flächen
Rechteck
e
b
l
A = 𝑙 ∙ b
u = 2 (𝑙 + b)
e = √ ______
𝑙2 + b2
⇒ 𝑙 = A __ b
⇒ 𝑙 = u __ 2 – b
A Flächeu Umfang
𝑙 Längee Diagonale, Eckenmaß
b Breite
Quadrat
e
l
lA = 𝑙2
u = 4 ∙ 𝑙
e = √ __
2 ∙ 𝑙
⇒ 𝑙 = √ __
A
⇒ 𝑙 = u __ 4
A Fläche𝑙 Seitenlänge
u Umfange Diagonale, Eckenmaß
Rechteckspulen
b
hlm
a h
𝑙 = (2a + 2b + π · h) · N
𝑙 = 𝑙m · N
⇒ N = 𝑙 ______________ 2a + 2b + π ∙ h
;
h = 1 __ π ∙ ( 𝑙 __
N − 2a − 2b)
𝑙 Drahtlängeb Breite
𝑙m mittlere Windungslängeh Wickelhöhe
a LängeN Windungszahl
Rundspulen
D
dm
d
h
𝑙 DrahtlängeD, d Durchmesserdm mittlerer Durchmesserh Höhe (Wickelhöhe)N Windungszahl
𝑙 = π · dm · N
dm = D + d ______ 2
h = D – d ______ 2
dm = d + h
dm = D – h
⇒ N = 𝑙 ______ π ∙ dm
⇒ D = 2 ∙ dm − d
⇒ D = 2 ∙ h + d ; d = D − 2 ∙ h
11
2
Läng
en/F
läch
en
2.2 Flächen
Trapez
l2
l1
l 3
l4
b
lm
A Flächeb Breite𝑙1 große Länge𝑙2 kleine Länge𝑙m mittlere Länge𝑙3, 𝑙4 Längen der Schrägseiten
A = 𝑙1 + 𝑙2 ______ 2 ∙ b
u = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + 𝑙4
u = 2 · 𝑙m + 𝑙3 + 𝑙4
A = 𝑙m ∙ b
𝑙m = 𝑙1 + 𝑙2 ______ 2
⇒ 𝑙1 = 2 ∙ A _____ b
− 𝑙2
⇒ 𝑙1 = u − 𝑙2 − 𝑙3 − 𝑙4
⇒ 𝑙m = u − 𝑙3 − 𝑙4 _________ 2
⇒ 𝑙m = A __ b
; b = A ___ 𝑙m
⇒ 𝑙1 = 2 ∙ 𝑙m − 𝑙2 ; 𝑙2 = 2 ∙ 𝑙m − 𝑙1
Dreieck
l1
l 2 l3
b
A Fläche𝑙1, 𝑙2, 𝑙3 Längen der Seitenb Breiteu Umfang
A = 𝑙1 ∙ b _____ 2
u = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3
⇒ b = 2 ∙ A _____ 𝑙1 ; 𝑙1 = 2 ∙ A _____
b
⇒ 𝑙1 = u − 𝑙2 − 𝑙3
Parallelogramm
l 2
b
l1
A Fläche𝑙1, 𝑙2 Längen der Seitenb Breiteu Umfang
A = 𝑙1 ∙ b
u = 2 (𝑙1 + 𝑙2)
⇒ 𝑙1 = A __ b
; b = A __ 𝑙1
⇒ 𝑙1 = u __ 2
− 𝑙2 ; 𝑙2 = u __ 2 − 𝑙1
Raute
l
b
l
A Fläche𝑙 Längeb Breiteu Umfang
A = 𝑙 ∙ b
u = 4 ∙ 𝑙
⇒ 𝑙 = A __ b
⇒ 𝑙 = u __ 4
12
2
Läng
en/F
läch
en
2 Längen- und Flächenberechnungen
Regelmäßiges Vieleck
D
d
l
b
¿å
å
A Fläche𝑙 Seitenlängeb Breite eines Teildreiecksn Eckenzahlu UmfangD Umkreisdurchmesserd Inkreisdurchmesser𝛼 Mittelpunktswinkel𝛽 Eckenwinkel
A = 𝑙 + b ______ 2 ∙ n
u = 𝑙 ∙ n
𝑙 = D ∙ sin 𝛼 __ 2
𝛼 = 360° _____ n
b = 1 __ 2 · d
𝛽 = 180° – 𝛼
⇒ n = 2 ∙ A _____ 𝑙 + b ; 𝑙 = 2 ∙ A _____
n − b
⇒ 𝑙 = u __ n
; n = u __ 𝑙
⇒ D = 𝑙 _____ sin 𝛼 __
2
⇒ n = 360° _____ 𝛼
⇒ d = 2 · b
⇒ 𝛼 = 180° – 𝛽
Kreis
d
r
A Kreisfläched Durchmesserr Radius, Halbmesseru Umfangπ Kreiszahl (π = 3,1415...)
A = d2 ∙ π ______ 4 ;
A = π ∙ r2
u = π ∙ d ;
u = 2π ∙ r
⇒ d = √
____
4 ∙ A _____ π
⇒ r = √
__
A __ π
⇒ d = u __ π
⇒ r = u ____ 2 ∙ π = d ____
2
Kreisring
ddm
D
b
R
r
A KreisringflächeD Außendurchmesserd Innendurchmesserdm mittlerer DurchmesserR, r Radienb Breite (Dicke)um mittlerer Kreisumfang
(gestreckte Länge)
A = π __ 4 (D2 – d2)
um = π ∙ dm
b = D – d ______ 2
dm = D + d ______ 2
⇒ D = √
________
4 ∙ A _____ π + d2 ;
d = √
________
D2 − 4 ∙ A _____ π
⇒ dm = um ___ π
⇒ D = 2 ∙ b + d ; d = D – 2 b
⇒ D = 2 ∙ dm – d ; d = 2 ∙ dm – D
13
2
Läng
en/F
läch
en
2.2 Flächen
Kreisausschnitt (Kreissektor)
r d
lB
å
A Fläche des Kreisausschnitts
d Durchmesser
r Radius
𝑙B Bogenlänge
𝛼 Innenwinkel
A = π ∙ d 2 ∙ 𝛼 ________ 4 ∙ 360°
;
A = r ∙ 𝑙B _____ 2
𝑙B = π ∙ r ∙ 𝛼 _____ 180°
⇒ d = √ ___________
4 ∙ A ∙ 360° ___________ π ∙ 𝛼 ;
𝛼 = 4 ∙ A ∙ 360° ___________ π ∙ d 2
⇒ r = 𝑙B ∙ 180° ________ π ∙ 𝛼
Kreisabschnitt
r
d
lB
å
l
b
A Fläche
r Radius
d Durchmesser
𝑙B Bogenlänge
𝑙 Sehnenlänge
b Breite
𝛼 Innenwinkel
𝑙B = π ∙ r ∙ 𝛼 _______ 180°
A = 𝑙B ∙ r − 𝑙 (r − b) ______________ 2
Näherungsformel:
A ≈ 2 __ 3
∙ 𝑙 ∙ b
⇒ r = 2 ∙ A − r ∙ b ___________ 𝑙B − 𝑙 ;
𝑙B = 2 ∙ A + 𝑙 (r − b) _____________ r
Ellipse
r
d
R
D
A Fläche
d kleine Achse
D große Achse
r kleine Halbachse
R große Halbachse
u Umfang
A = π ∙ D ∙ d ________ 4 ;
A = π ∙ R ∙ r
u ≈ D + d ________ 2 ;
u ≈ π ∙ (R + r)
⇒ D = 4 ∙ A _____ π ∙ d ; d = 4 ∙ A _____ π ∙ D
⇒ R = A ____ π ∙ r ; r = A _____ π ∙ R
14
3
Körp
er
3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen
3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen
3.1 Volumen und Oberflächen
Zylinder
d
r
h
A
V VolumenA Grundflächeh Höhed Durchmesserr RadiusA0 Oberfläche
V = A ∙ h
V = π ∙ d 2 ______
4 ∙ h
A0 = π ∙ d ∙ h + π ∙ d 2 ______
2
A = π ∙ r2
A = d2 ∙ π ______ 4
π = 3,1415 …
π __ 4
= 0,785 …
⇒ h = V __ A
; A = V __ h
⇒ h = 4 ∙ V __ π ∙ d2
; d = √ _____
4 ∙ V __ π ∙ h
⇒ h = A0 __ π ∙ d − d __
2
d = √
____
4 ∙ V _____ π ∙ h
d = √
___________
2 ∙ (A0 − π ∙ d) _____________ π
Prisma
h
lb
d
A
V VolumenA Grundflächeh Höhe𝑙 Längeb BreiteA0 Oberfläched Raumdiagonale
V = A ∙ h
V = 𝑙 ∙ b ∙ h
A0 = 2 ∙ (𝑙 ∙ b + 𝑙 ∙ h + b ∙ h)
d = √ _________
𝑙2 + h2 + b2
A = 𝑙 ∙ b
⇒ A = V __ h
; h = V __ A
⇒ 𝑙 = V _____ b ∙ h
; b = V _____ 𝑙 ∙ h ;
h = V _____ 𝑙 ∙ b
⇒ h = √ ____________
d 2 − 𝑙2 − b2
𝑙 = √ ____________
d 2 − h2 − b2
b = √ ____________
d 2 − 𝑙2 − h2
Würfel
l
ll
d
A
V VolumenA Grundfläche𝑙 KantenlängeA0 Oberfläched Raumdiagonale
V = A ∙ 𝑙
V = 𝑙3
A0 = 6 ∙ 𝑙2
d = 𝑙 ∙ √ __
3
A = 𝑙2
⇒ A = V __ 𝑙 ; 𝑙 = V __ A
⇒ 𝑙 = 3 √ __
V = V 1 __ 3
⇒ 𝑙 = √ ___
A0 ___ 6
⇒ 𝑙 = d ___ √
__ 3
15
3
Körp
er
3.2 Masse und Gewichtskraft
3.2 Masse und Gewichtskraft
m
FG
V Volumenm Masse𝜚 DichteFG Gewichtskraftg Fallbeschleunigung (9,81 m/s2)
Werte für Dichte 𝜚: Seite 117
m = 𝜚 ∙ V
FG = m ∙ g
FG = 𝜚 ∙ V ∙ g
[𝜚] = kg _____ dm3
; [m] = kg
1 t ___ m3
= 1 kg _____ dm3
= 1 g ____ cm3
[FG] = kg · m ______ s2 = N
⇒ V = m ___ 𝜚 ; 𝜚 = m ___ V
⇒ V = FG _____ 𝜚 ∙ g ; 𝜚 = FG _____
V ∙ g
i
Kugel
d
V = π · d 3 _____
6
A0 = π ∙ d 2
⇒ d = 3 √
_____
6 · V _____ π
⇒ d = √ ____
A0 ___ π
V Volumen d Durchmesser A0 Oberfläche
Kegel
d
r
l
hA
AM
V VolumenA GrundflächeAM MantelflächeA0 Oberflächeh Höhed Durchmesserr Radius𝑙 Länge der Mantellinie
V = A · h _____ 3
V = π ___ 12
· d 2 · h
AM = π ∙ r ∙ 𝑙
A0 = π ∙ (𝑙 ∙ r + r 2)
A = d2 · π ______ 4 = π ∙ r 2
𝑙 = √ ______
h2 + r 2
A0 = AM + A
⇒ A = 3 · V _____ h
; h = 3 ∙ V _____ A
⇒ d = √ ______
12 · V ______ π · h ; h = 12 ∙ V ______
π · d 2
⇒ r = AM ____ π ∙ 𝑙 ; 𝑙 = AM _____ π ∙ r
⇒ 𝑙 = A0
_____ π ∙ r − r
16
4
Mec
hani
k
4 Mechanik
4 Mechanik
4.1 Kräfte
Zusammensetzen von zwei Kräften
F
F2F1
F2F
F2
F1
F1
F
å
¿
ƒ
ƒ
F
F1
F1
F2
F2
d)
c)
b)
a)
e)
å
F1, F2, ... Teilkräfte, KomponentenF Gesamtkraft, resultierende Kraft,
Ersatzkraft𝜑 Winkel zwischen Teilkraft und
Ersatzkraft𝛼 Winkel zwischen den Teilkräften𝛽 Winkel im Krafteck 𝛽 = 180° – 𝛼 – 𝜑
In den Formeln sind für F1, F2 und F Beträge einzusetzen.
arccos, Eingabemodus:
2nd cos
a) Teilkräfte gleichgerichtet:
F = F1 + F2
b) Teilkräfte entgegen- gerichtet:
F = F1 − F2
c) Gleichgewichtsbedingung:
F1 = F2
d) Teilkräfte senkrecht aufeinander:
F = √ _______
F12 + F2
2
F = F1 _____ cos 𝛼
F = F2 _____ cos 𝜑
⇒ F1 = F − F2 ; F2 = F − F1
⇒ F1 = F + F2 ; F2 = F1 − F
⇒ F1 − F2 = 0
⇒ F1 = √ ______
F2 − F22 ; F2 = √
______ F2 − F1
2
⇒ F1 = F ∙ cos 𝛼; cos 𝛼 = F1 ___ F
⇒ F2 = F ∙ cos 𝜑; cos 𝜑 = F2 ___ F
e) Teilkräfte nicht senkrecht aufeinander:
F = √ ____________________
F12 + F2
2 − 2 ∙ F1 ∙ F2 ∙ cos 𝛽
⇒ 𝛽 = arccos ( F12 + F2
2 − F 2 _____________ 2 ∙ F1 ∙ F2
)
F1 = √ ___________________
F + F22 − 2 ∙ F ∙ F2 ∙ cos 𝜑
⇒ 𝜑 = arccos ( F2 + F2
2 − F12 _____________
2 ∙ F ∙ F2 )
F2 = √ ___________________
F 2 + F12 − 2 ∙ F ∙ F1 ∙ cos 𝛼
⇒ 𝛼 = arccos ( F2 + F1
2 − F22 _____________
2 ∙ F ∙ F1 )
i
Einheit, Darstellung
Angriffspunkt
ƒWirk-linie
F
Formelzeichen: FEinheit: [F ] = N
Einheitenname: Newton
Kräftemaßstab: z. B. 200 N ≙ 10 mm
Betrag der Kraft ≙ Länge des Pfeils
Richtung der Kraft ≙ Richtung des Pfeils
17
4
Mec
hani
k
4.2 Wirkungsgrad, Arbeitsgrad
4.2 Wirkungsgrad, Arbeitsgrad
Welle
Netz
VerlustePv
Pab , Wab
Pzu , Wzu𝜂 = Pab ___
Pzu
Pv = Pzu – Pab
𝜁 = Wab ___ Wzu
𝜂 = 𝜂1 · 𝜂2 · 𝜂3 ...
⇒ Pab = 𝜂 ∙ Pzu ; Pzu = Pab ___ 𝜂
⇒ Pab = Pzu – Pv ;
Pzu = Pab + Pv
⇒ Wab = 𝜁 ∙ Wzu ;
Wzu = Wab ____ 𝜁
⇒ 𝜂1 = 𝜂 _________ 𝜂2 · 𝜂3 · ...
𝜂* Wirkungsgrad (Leistungsverhältnis)
Pab abgegebene Leistung (statt Pab auch: P2)
Pzu zugeführte Leistung (statt Pzu auch: P1)
Pv Verlustleistung𝜁** Arbeitsgrad, Nutzungsgrad
(Arbeits-, Energieverhältnis)Wab abgegebene EnergieWzu zugeführte Energie
𝜂 Gesamtwirkungsgrad𝜂1, 𝜂2 … Einzelwirkungsgrade*𝜂 griech. Kleinbuchstabe eta**𝜁 griech. Kleinbuchstabe
zeta
Zerlegen einer Kraft in zwei Teilkräfte (Komponenten)
¿/2 ¿/2å
FS FS
FG
FS
¿
Aufhängung
Schiefe Ebene
l
b
h
FH
FH
FGFN
ƒ
ƒ
𝛽 = 180° − 𝛼
FS = FG ______________ √
__________ 2 ∙ (1 − cos 𝛽)
FH = FG · sin 𝜑
sin 𝜑 = h __ 𝑙
FN = FG · cos 𝜑
cos 𝜑 = b __ 𝑙
FH = FN · tan 𝜑
tan 𝜑 = h __ b
⇒ 𝛼 = 180° − 𝛽
⇒ FG = FS · √ __________
2 · (1 – cos 𝛽)
cos 𝛽 = 1 − FG2 ______
2 ∙ FS2
⇒ FG = FH _____ sin 𝜑
FH = FG ∙ h __ 𝑙 ; FG = FH ∙ 𝑙 _____ h
⇒ FG = FN _____ cos 𝜑
FN = FG ∙ b __ 𝑙 ; FG = FN ∙ 𝑙 _____ b
⇒ FN = FH _____ tan 𝜑
FH = FN ∙ h __ b ; FN = FH ∙ b _____
h
FG GewichtskraftFS Seilkräfte𝛼 Winkel zwischen den Seilkräften𝛽 Winkel im Krafteck
FH HangabtriebskraftFN Normalkraft𝑙 Länge der schiefen Ebene
b Basislänge der schiefen Ebene
h Höhenunterschied𝜑 Neigungswinkel der
schiefen Ebene
18
5
Wär
mel
ehre
5 Wärmelehre
5 Wärmelehre
5.1 Temperatur
5.2 Wärmedehnung
0 K
0 °C
°C
°F20
40
60
110
-273,15 °C -459,7 °F
32 273,15K
-40
-20
80
Ska
le d
er a
bso
lute
n T
emp
erat
ur
Tem
per
atu
rska
le n
ach
Cel
siu
s
Tem
per
atu
rska
le n
ach
Fah
ren
hei
t
𝜗 Temperatur in Grad Celsius
T Temperatur in Kelvin
Δ𝜗, ΔT Temperaturdifferenz in Kelvin
𝜗F Temperatur in Grad Fahrenheit
T = (273 + 𝜗 ___ °C
) K
Δ𝜗 = 𝜗2 – 𝜗1
ΔT = T2 – T1
𝜗F = 9 __ 5 𝜗 + 32 °F
Absoluter Nullpunkt:T0 = 0 K ≙ 𝜗0 = – 273,15 °C ≈ – 273 °C
Eispunkt des Wassers:T1 = 273,15 K ≈ 273 K ≙ 𝜗1 = 0 °C
[𝜗] = °C[T ] = K[Δ𝜗] = [ΔT ] = °C = K
⇒ 𝜗 = ( T __ K
− 273) °C
⇒ 𝜗2 = 𝜗1 + Δ𝜗; 𝜗1 = 𝜗2 − Δ𝜗
⇒ T2 = T1 + Δ𝜗; T1 = T2 − Δ𝜗
⇒ 𝜗 = 5 __ 9 ∙ (𝜗F − 32 °F)
l1
l2
#l
Werkstoff
Δ𝑙, ΔV Längen- bzw. Volumen- änderung
𝑙1, V1 Länge bzw. Volumen in kaltem Zustand
𝑙2, V2 Länge bzw. Volumen in erwärmtem Zustand
Δ𝜗 Temperaturdifferenz
𝛼𝑙 Längenausdehnungs- koeffizient
𝛾 Volumenausdehnungs- koeffizient
i Weitere Werte für 𝛼𝑙 : Seite 117
Δ𝑙 = 𝛼𝑙 · 𝑙1 · Δ𝜗
Δ𝑙 = 𝑙2 − 𝑙1
ΔV = 𝛾 · V1 · Δ𝜗
ΔV = V2 − V1
𝑙2 = 𝑙1 ∙ (1 + 𝛼𝑙 · Δ𝜗)
V2 = V1 ∙ (1 + 𝛾 · Δ𝜗)
𝛾 ≈ 3 · 𝛼𝑙
[𝛼𝑙] = [𝛾] = 1 ___
°C =
1 __
K
Längenausdehnungskoeffizient 𝛼𝑙 in 1 __ K
Kupfer Aluminium Silber Eisen Lithium
17 ∙ 10−6 23,8 ∙ 10−6 19,3 ∙ 10−6 11,5 ∙ 10−6 56 ∙ 10−6
⇒ 𝛼𝑙 = Δ𝑙 _______ 𝑙1 · Δ𝜗
; 𝑙1 = Δ𝑙 _______ 𝛼𝑙 · Δ𝜗
Δ𝜗 = Δ𝑙 ______ 𝛼𝑙 · 𝑙1
⇒ 𝛾 = ΔV _______ V1 · Δ𝜗
; V1 = ΔV ______ 𝛾 · Δ𝜗
Δ𝜗 = ΔV _____ 𝛾 · V1
⇒ 𝑙1 = 𝑙2 __________ 1 + 𝛼𝑙 · Δ𝜗
⇒ V1 = V2 _________ 1 + 𝛾 · Δ𝜗
⇒ 𝛼𝑙 ≈ 1 __ 3 ∙ 𝛾
19
5
Wär
mel
ehre
5.3 Wärmemenge
5.3 Wärmemenge
Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe bei Temperaturänderung
#ª
ª2
ª1
Heizplatte
Q
c, m
Q Wärme, Wärmemengem MasseΔ𝜗 Temperaturdifferenz𝜗1 Anfangstemperatur𝜗2 Endtemperaturc spezifische WärmekapazitätCth Wärmekapazität
• Weitere Werte für c : Seite 117
• Elektrowärme: Seite 27
Δ𝜗 = 𝜗2 – 𝜗1
Q = c · m · Δ𝜗
C th = c · m
Q = C th · Δ𝜗
[c ] = kJ ______
kg · K
[Cth] = kJ
___ K
Spezifische Wärmekapazität c in kJ _____ kg ∙ K
Stoff Wert Stoff Wert
Wasser 4,187 Aluminium 0,921
Kupfer 0,389 Eisen 0,461
Silber 0,234 Messing 0,377
Wasserstoff 14,277 Luft 1,005
⇒ 𝜗2 = 𝜗1 + Δ𝜗; 𝜗1 = 𝜗2 − Δ𝜗
⇒ c = Q _______ m · Δ𝜗 ; m = Q ______
c · Δ𝜗 ;
Δ𝜗 = Q _____ c · m
⇒ c = C th ___ m
; m = C th ___ c
⇒ C th = Q ___ Δ𝜗 ; Δ𝜗 = Q ___ C th
i
5.4 Wärme-Kreisprozess
Wärmepumpe (Funktionsschema)
Wel
Wk
Qzu Qab
Außen-raum
Ver-dampfer
Ver-flüssiger
Entspannungsventil
Verdichter(Kompressor)
Kältemittel-Kreislauf
Innen-raum
M
Qab = Qzu + Wk
Eine Wärmepumpe bringt die vom Außenraum zugeführte Wärme Qzu von einer niedrigen Temperatur auf eine höhe-re Temperatur und gibt sie im Innenraum als Heizwärme Qab ab.
i
𝛽 = QJahr ______ WJahr
Die Jahresarbeitszahl 𝛽 ist ein Maß für die Wirtschaftlich-keit einer Wärmepumpe.
Typische Werte der Jahresarbeitszahl: 𝛽 = 3,5 … 5
i
⇒ Qzu = Qab − Wk;
Wk = Qab − Qzu
⇒ QJahr = 𝛽 ∙ WJahr;
WJahr = QJahr _____ 𝛽
Qzu zugeführte Wärme (Umweltwärme)Qab abgegebene Wärme (Heizwärme)QJahr pro Jahr abgegebene HeizwärmeWk Kompressionsarbeit
Wel zugeführte elektrische EnergieWJahr pro Jahr zugeführte elektr. Energieβ Jahresarbeitszahl
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