workshop – memecahkan masalah kendali optimal dengan ... · beberapa definisi elementer i misal...
Post on 23-Aug-2019
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Outline
Bagian 0: Motivasi
Bagian 1: Optimasi TaklinierDasar–dasarTeorema Karush–Kuhn–Tucker
Bagian 2: Sequential Quadratic Programming
Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di↵erensial BiasaBeberapa definisi elementerMasalah kendali optimalMetode Langsung
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 44
Beberapa definisi elementer
I Misal X adalah ruang vektor atas lapangan R. Ruang�
X , k·kX�
adalah sebuahruang norm.
I Barisan (xk)k ⇢ X dikatakan sebagai barisan Cauchy jika untuk setiap ✏ > 0terdapat K✏ 2 N sehingga kxk � xlkX ✏ for all k, l > K✏.
I Konvergen =) Cauchy.I Tidak harus Cauchy =) konvergen! Jika
�
X , k·kX�
memenuhi maka�
X , k·kX�
kita katakan complete.I
�
X , k·kX�
kita sebut sebagai ruang Banach, jika complete.I Pemetaan h·, ·i : X ⇥ X ! R dikatakan sebagai hasil kali dalam jika untuk setiap
x , y , z 2 X dan a, b 2 R,
hx , xi � 0 and hx , xi = 0 , x = 0, (definit positif)
hx , yi = hy , xi , (simetri)
hax + by , zi = a hx , zi+ b hy , zi , (linieritas)
terpenuhi. Diberikan hasil kali dalam h·, ·iX di X , ruang�
X , h·, ·iX�
dikatakansebagai ruang hasil kali dalam atau ruang pre-Hilbert. Jika sebuah ruangpre-Hilbert
�
X , h·, ·iX�
complete dengan norm k·kX :=p
h·, ·iX , maka itudikatakan ruang Hilbert.
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 45
Beberapa definisi elementer
I Sekarang perhatikan Rn, sebuah subhimpunan U ✓ Rn danf : U ! R : x 7! f (x).
I Ruang semua fungsi kontinu f yang memetakan U pada R dinotasikan denganC(U;R)
I Misal ↵ 2 Zn+ dan definisikan |↵| := k↵k1, dimana k↵k1 = ↵1 + · · ·+ ↵n
menotasikan 1–norm dari ↵. Definisikan D↵f (x) := @|↵|f (x)/@x↵11 · · · @x↵n
n . Kitadefinisikan dengan C k(U) ruang semua fungsi f : U ! R dimana D↵f untuksemua |↵| k kontinu di U.
I⇣
C k(U), k·kCk (U)
⌘
, dimana kf kCk (U) =P
|↵|k kD↵f kC(U) dan
kf kC(U) = maxU f , mendefinisikan sebuah ruang Banach
I Untuk k = 1, kita mendapatkan C1(U) =T1
k=0 Ck(U) ruang semua fungsi
yang terdi↵erensiasi takhingga di U.
I Semua fungsi f di C k(U) dengan support kompaksupp(f ) := {x 2 U : f (x) 6= 0}, diklasifikasikan dalam ruang C k
0 (U).
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 46
Beberapa definisi elementer
I Ruang Lebesgue Lp(U), dimana 1 p 1 adalah ruang dari semua fungsiterintegrasi Lebesgue f : U ! R yang memenuhi kf kLp(U) < 1
I Norm yang disebutkan didefinisikan sebagai
kf kLp(U) :=
(
�R
U|f |p dx
�1/p, 1 p < 1,
ess supU |f | = infµ(E)=0 supU\E |f | , p = 1.
Dalam formulasi terakhir µ(E) menotasikan ukuran Lebesgue dari subhimpunanE .
I untuk semua p, i.e. p = 1,1 (resp. 1 < p < 1),⇣
Lp, k·kLp(U)
⌘
mendefinisikan
ruang Banach (refleksif)
I Untuk p = 2, kita mendapatkan ruang Hilbert⇣
L2(U), h·, ·iL2(U)
⌘
dengan
mendefinisikan hf , giL2(U) :=R
Ufg dx untuk setiap f , g 2 L2(U)
I Kita menotasikan Lploc(U) sebagai ruang semua fungsi terintegrasi Lebesgue f
sehingga f 2 Lp(V ) untuk setiap V ⇢c U. Catat bahwa L1loc(U) tidak harus
terdi↵erensiasi di seluruh bagian dari U.
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 47
Beberapa definisi elementer
I Untuk kasus f 2 L1loc(U), kita katakan g : U ! R sebagai turunan lemah dari f
untuk spesifik ↵ 2 Zn+ jika
Z
U
fD↵h dx = (�1)|↵|Z
U
gh dx 8h 2 C10 (U)
terpenuhiI Dengan menggunakan kembali D↵f untuk semua turunan lemah dari f , kita
menotasikan W k,p(U) sebagai ruang semua fungsi f 2 Lp(U) dengan semuaturunan lemah D↵f in Lp(U) untuk semua |↵| k.
I Bersamaan dengan kf kWk,p(U) :=⇣
P
|↵|k
R
U|D↵f |p dx
⌘1/p, ruang
⇣
W k,p(U), k·kWk,p(U)
⌘
mendefinisikan ruang Banach.
I Jika p = 1, maka norm tersimplikasi menjadikf kWk,1(U) = max|↵|k kD↵f kL1(U).
I Semua ruang W k,p(U) biasanya disebut sebagai ruang Sobolev.I Untuk p = 2, kita biasa menuliskan W k,2(U) =: Hk(U).I Ruang H1(U) hanya menggunakan Jacobian dan, bersama dengan hasil kali
dalam hf , giH1(U) :=R
Ufg dx +
R
Uru0rg dx , mendefinisikan ruang Hilbert.
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 48
Outline
Bagian 0: Motivasi
Bagian 1: Optimasi TaklinierDasar–dasarTeorema Karush–Kuhn–Tucker
Bagian 2: Sequential Quadratic Programming
Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di↵erensial BiasaBeberapa definisi elementerMasalah kendali optimalMetode Langsung
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 49
Kendali Optimal
Definisi
I Diberikan sebuah interval waktu ⌦ := [t0,T ]
I variabel kendali u yang didefinisikan di himpunan semua kendali yangdiperbolehkan U, bisa jadi L1(⌦), L2(⌦), atau C(⌦)
I himpunan semua keadaan x yang memungkinkan dinotasikan X , bisa jadi C k(⌦),W k,1(⌦) atau Hk(⌦) dimana k � 1.
I Definisikan S := {x 2 X : x = f (t, x , u), t 2 ⌦, x(t0) = x0, u 2 U} sebagaihimpunan semua keadaan x yang diperbolehkan.
Maka masalah kendali optimal didefinisikan sebagai
minS⇥U
J(x , u) := �(T , x(T )), (Mayer)
minS⇥U
J(x , u) :=
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt, (Lagrange)
minS⇥U
J(x , u) := �(T , x(T )) +
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt. (Bolza)
dimana J0 : Rn ⇥ Rm ! R disebut distributional cost and � : R⇥ Rn ! R terminalpay o↵.
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 50
Beberapa contoh masalah kendali optimal
minS⇥U
�(T , x(T )) +
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt Standard problem
minS⇥U
T � t0 Minimal time problem
minS⇥U
�(T , x(T )) +
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt
s.t. T � t0
Variable time problem
minS⇥U
�(T , x(T )) +
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt
s.t. x0 arbitrary
Free initial condition problem
minS⇥U
�(T , x(T )) +
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt
s.t. g(t, x , u) 5 0, h(t, x , u) ⌘ 0
Mixed constraints problem
minS⇥U
�(T , x(T )) +
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt
s.t.
Z
⌦
g(x(t), u(t)) dt Cg ,
Z
⌦
h(x(t), u(t)) dt = Ch
Isoperimetric problem.
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 51
Outline
Bagian 0: Motivasi
Bagian 1: Optimasi TaklinierDasar–dasarTeorema Karush–Kuhn–Tucker
Bagian 2: Sequential Quadratic Programming
Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di↵erensial BiasaBeberapa definisi elementerMasalah kendali optimalMetode Langsung
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 52
Metode Langsung
min�(T , x(T )) +
Z
⌦
J0(x(t), u(t)) dt s.t.
x = f (x , u), t 2 ⌦, x(t0) = x0, u 2 U,
gig (t, x , u) 0, hih (t, x , u) = 0,
Z
⌦
pip (t, x , u) dt cip ,
Z
⌦
qiq (t, x , u) dt = diq ,
ig 2 {1, · · · , ng}, ih 2 {1, · · · , nh}, ip 2 {1, · · · , np}, iq 2 {1, · · · , nq}.
I Berasal dari ide ”dikritisasi kemudian optimasi”.
I Kuncinya: diskretisasi
⌦ ⇡⇢
ti = t0 + ih : h =T � t0
N, i = 0, · · · ,N
�
, N 2 N.
I Akibatnya
x ⇡ (x0, x1, · · · , xN) 2 Rn⇥(N+1) dan u ⇡ (u0, u1, · · · , uN) 2 Rm⇥(N+1).
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 53
Metode Langsung
I Intergrasi numerik
Z T
0
p(t, x , u) dtdiskritisasi�!
NX
k=0
akp(tk , xk , uk).
dimana koefisien-koefisien a0, a1, · · · , aN mengidentifikasi skema numeriktertentu.
I Masalah kendali optimal diskrit sekarang menjadi
minRn⇥N⇥Rm⇥(N+1)
�(tN , xN) +NX
k=0
akJ0(xk , uk) s.t.
xk+1 = ⇧(tk , tk+1, xk , xk+1, uk , uk+1), k = 0, · · · ,N � 1, x0 = x0,
gig (tk , xk , uk) 0, hih (tk , xk , uk) = 0, k = 0, · · · ,N,
NX
k=0
akpip (tk , xk , uk) cip ,NX
k=0
akqiq (tk , xk , uk) = diq ,
ig 2 {1, · · · , ng}, ih 2 {1, · · · , nh}, ip 2 {1, · · · , np}, iq 2 {1, · · · , nq}.
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 54
Diskritisasi persamaan di↵erensial ...
I Metode Runge–Kutta eksplisit order r
c1 a11c2 a21 a22...
......
. . .cr ar1 ar2 · · · arr
b1 b2 · · · br
�!
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
xk+1 = xk +Pr
i=1 bi'i
'i = f⇣
tk + cih, xk + hPi�1
j=1 aij'j
⌘
i = 1, · · · , rk = 0, · · · ,N � 1
I Metode Runge–Kutta implisit order r
c1 a11 a12 · · · a1rc2 a21 a22 · · · a2r...
......
. . ....
cr ar1 ar2 · · · arrb1 b2 · · · br
�!
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
xk+1 = xk +Pr
i=1 bi'i
'i = f⇣
tk + cih, xk + hPr
j=1 aij'j
⌘
i = 1, · · · , rk = 0, · · · ,N � 1
I Menentukan Butcher–tableauc A
bmembutuhkan definisi konsistensi
dengan order r !I N besar, r kecil ”besar tapi sparse”; N kecil, r besar ”kecil tapi padat”
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 55
Diskritisasi persamaan di↵erensial ...
I Runge–Kutta eksplisit order 1: Metode Euler
0 01
�!(
xk+1 = xk + hf (tk , xk)
k = 0, · · · ,N � 1
I Runge–Kutta eksplisit order 2
0 0 0↵ ↵ 0
�
1� 12↵
�
12↵
�!
8
>
<
>
:
xk+1 = xk + h��
1� 12↵
�
f (tk , xk)
+ 12↵ f (tk + ↵h, xk + ↵hf (tk , xk))
�
k = 0, · · · ,N � 1
↵ = 1 ! Metode Heun!I Runge–Kutta implisit order 2: Metode Trapesium
0 0 01 1
212
12
12
�!
8
>
>
>
<
>
>
>
:
xk+1 = xk + h�
12'1 + 1
2'2
�
'1 = f (tk , xk)
'2 = f�
tk + h, xk + 12h('1 + '2))
�
k = 0, · · · ,N � 1
�!(
xk+1 = xk + h2(f (tk , xk) + f (tk+1, xk+1))
k = 0, · · · ,N � 1
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 56
Metode Langsung
I Dengan metode langsung
minRn⇥N⇥Rm⇥(N+1)
�(tN , xN) +NX
k=0
akJ0(xk , uk) s.t.
xk+1 = ⇧(tk , tk+1, xk , xk+1, uk , uk+1), k = 0, · · · ,N � 1, x0 = x0,
gig (tk , xk , uk) 0, hih (tk , xk , uk) = 0, k = 0, · · · ,N,
NX
k=0
akpip (tk , xk , uk) cip ,NX
k=0
akqiq (tk , xk , uk) = diq ,
ig 2 {1, · · · , ng}, ih 2 {1, · · · , nh}, ip 2 {1, · · · , np}, iq 2 {1, · · · , nq}.
kita menyelesaikan masalah optimasi
minx2S
f (x)
dengan jumlah kendala N + (N + 1)(ng + nh) + np + nq dan jumlah variabelnN +m(N + 1)!
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 57
EXERCISE
1. Perhatikan model IR berikut
I = � (N � I � R)I
I + ⌫N� (� + µ)I ,
R = �I � µR.
1.1 Estimasi � sebagai variable bebas yang bervariasi setiap waktu denganmembandingkan I dan data
1.2 Estimasi �0,�1, · · · ,�m,!1, · · · ,!m pada
�(t) = �0 +mX
i=1
�i cos(!i t)
untuk m = 1 and m = 3 dengan membandingkan I dan data
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 58
EXERCISE
2 Lakukan hal yang sama untuk model berikut
ddt
Si = � �NSi Ii + ↵Ri + µ(�S)i
ddt
Ii =�NSi Ii � �Ii + pµ(�I )i
ddt
Ri = �Ii � ↵Ri + µ(�R)i
untuk i = 1, · · · , 5. Gunakan data berikut:
↵ = 1/36, p = 0.2, � = 1/3, µ = 0.7 dan
� =
0
B
B
B
B
@
�0.5212 0.1354 0.0261 0.0453 0.24340.1131 �0.5611 0.0933 0.0656 0.11630.1318 0.1763 �0.2989 0.0694 0.03570.1280 0.0721 0.1414 �0.2443 0.06750.1483 0.1773 0.0381 0.0640 �0.4629
1
C
C
C
C
A
,
UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 59
top related