zienkiewicz o. c. the finite element method (5th ed.) vol 3 - fluid dynamics

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Preface to Volume 3.......................................................Acknowledgements....................................................................

1 Introduction and the equations of fluid dynamics...1.1 General remarks and classification of fluid mechanicsproblems discussed in the book.................................................1.2 The governing equations of fluid dynamics..........................1.3 Incompressible (or nearly incompressible) flows..................1.4 Concluding remarks.............................................................

2 Convection dominated problems - finite elementappriximations to the convection-diffusionequation...........................................................................

2.1 Introduction...........................................................................2.2 the steady-state problem in one dimension..........................2.3 The steady-state problem in two (or three) dimensions.......2.4 Steady state - concluding remarks.......................................2.5 Transients - introductory remarks.........................................2.6 Characteristic-based methods..............................................2.7 Taylor-Galerkin procedures for scalar variables...................2.8 Steady-state condition..........................................................2.9 Non-linear waves and shocks..............................................2.10 Vector-valued variables......................................................2.11 Summary and concluding...................................................

3 A general algorithm for compressible andincompressible flows - the characteristic-basedsplit (CBS) algorithm......................................................

3.1 Introduction...........................................................................3.2 Characteristic-based split (CBS) algorithm..........................3.3 Explicit, semi-implicit and nearly implicit forms....................3.4 ’Circumventing’ the Babuska-Brezzi (BB) restrictions..........3.5 A single-step version............................................................3.6 Boundary conditions.............................................................

3.7 The performance of two- and single-step algorithms onan inviscid problems...................................................................3.8 Concluding remarks.............................................................

4 Incompressible laminar flow - newtonian andnon-newtonian fluids......................................................

4.1 Introduction and the basic equations....................................4.2 Inviscid, incompressible flow (potential flow)........................4.3 Use of the CBS algorithm for incompressible or nearlyincompressible flows..................................................................4.4 Boundary-exit conditions......................................................4.5 Adaptive mesh refinement....................................................4.6 Adaptive mesh generation for transient problems................4.7 Importance of stabilizing convective terms...........................4.8 Slow flows - mixed and penalty formulations.......................4.9 Non-newtonian flows - metal and polymer forming..............4.10 Direct displacement approach to transient metalforming.......................................................................................4.11 Concluding remarks...........................................................

5 Free surfaces, buoyancy and turbulentincompressible flows.....................................................

5.1 Introduction...........................................................................5.2 Free surface flows................................................................5.3 Buoyancy driven flows..........................................................5.4 Turbulent flows.....................................................................

6 Compressible high-speed gas flow...........................6.1 Introduction...........................................................................6.2 The governing equations......................................................6.3 Boundary conditions - subsonic and supersonic flow...........6.4 Numerical approximations and the CBS algorithm...............6.5 Shock capture......................................................................6.6 Some preliminary examples for the Euler equation..............6.7 Adaptive refinement and shock capture in Eulerproblems.....................................................................................

6.8 Three-dimensional inviscid examples in steady state..........6.9 Transient two and three-dimensional problems...................6.10 Viscous problems in two dimensions.................................6.11 Three-dimensional viscous problems.................................6.12 Boundary layer-inviscid Euler solution coupling.................6.13 Concluding remarks...........................................................

7 Shallow-water problems.............................................7.1 Introduction...........................................................................7.2 The basis of the shallow-water equations............................7.3 Numerical approximation......................................................7.4 Examples of application.......................................................7.5 Drying areas.........................................................................7.6 Shallow-water transport........................................................

8 Waves...........................................................................8.1 Introduction and equations...................................................8.2 Waves in closed domains - finite element models...............8.3 Difficulties in modelling surface waves.................................8.4 Bed friction and other effects................................................8.5 The short-wave problem.......................................................8.6 Waves in unbounded domains (exterior surface waveproblems)...................................................................................8.7 Unbounded problems...........................................................8.8 Boundary dampers...............................................................8.9 Linking to exterior solutions..................................................8.10 Infinite elements.................................................................8.11 Mapped periodic infinite elements......................................8.12 Ellipsoidal type infinite elements of Burnnet and Holford...8.13 Wave envelope infinite elements........................................8.14 Accuracy of infinite elements..............................................8.15 Transient problems8.16 Three-dimensional effects in surface waves......................

9 Computer implementation of the CBS algorithm.....

9.1 Introduction...........................................................................9.2 The data input module..........................................................9.3 Solution module....................................................................9.4 Output module......................................................................9.5 Possible extensions to CBSflow...........................................

Appendix A Non-conservative form ofNavier-Stokes equations................................................

Appendix B Discontinuous Galerkin methods inthe solution of the convection-diffusion equation......

Appendix C Edge-based finite element forumlation...

Appendix D Multigrid methods......................................

Appendix E Boundary layer-inviscid flow coupling....

Author index....................................................................

Subject index..................................................................

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(a) Original form

(b) Form after one revolution using consistent M matrix

(c) Form after one revolution using lumped mass (Lax–Wendroff)

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Lumped

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Consistent

C = 0.5, 3/T

Consistent

C = 0.1, 3/T(a) Courant number = 0.5 (b) Courant number = 0.1

Lumped/consistent M Courant number = 0.5 Courant number = 0.1

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Creation of a shock

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(a) Profile at time t = 0

(d) Profile at time t = 2

(c) Profile at time t = 1 x

(b) Characteristics

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(a) Single-step explicit

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(b) Standard predictor–corrector

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(c) Local prediction–corrector(c) (two-step Taylor–Galerkin)

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SIDE(Free-stream)

INLET(Free-stream)

SIDE(Free-stream)

SLIP or NO-SLIP

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(parallel flow)

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Multi-step1.500

0 500 1000 1500 2000 2500Iterations

Single step

(d) (e)M = 1.2

1.5001.4501.4001.3501.3001.2501.2001.1501.1001.0501.000

0 250 500 750 1000 1250 1500No. of iterations

Multi-stepSingle step

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Distance X

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(a) (b)

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(b) Re = 400

–0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u1

'Ghia''CBS'

(c) Re = 1000

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'Ghia''CBS'

(d) Re = 5000

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(a) Stokes flow, viscosity 1

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x1

(b) Re = 400

–0.02–0.03–0.04–0.05–0.06–0.07–0.08–0.09–0.10–0.11

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x1

(c) Re = 1000

–0.02

–0.03

–0.04

–0.05

–0.06

–0.07

–0.08

–0.09

–0.100 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(d) Re = 5000

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Streamlines Pressures

(a) Stokes flow, viscosity 1, 9600 iterations

(b) Re = 400, 4400 iterations

(c) Re = 1000, 6100 iterations

(d) Re = 5000, 48000 iterations

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Linear φ

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(a) Final adapted mesh, Nodes: 1514, Elements: 2830

(b) Streamlines

(a) Final adapted mesh, Nodes: 1746, Elements: 3293

(b) Streamlines

(c) Pressure contours

II Gradient based refinement

I Curvature based refinement

(c) Pressure contours

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O (h ) (T3B1/3C)

O (h2) (T6/3C)

+ O (h2) (Q9/4C)

(a) Continuous p interpolation

+ O (h2) (T6 B1/3D)*

+ O (h) (Q4/1D)*

+ O (h2) (Q9/4D)*

+ O (h2) (Q9/3D)

+ O (h) (T6/1D)

(b) Discontinuous p interpolationVelocity nodePressure nodeDenotes elements failingBabuska–Brezzi test butstill performing reasonably

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(a)Linear, newtonian, fluidε•

σ ∝ εm

(b) Non-newtonian polymers

|m | < 1

µ = σ/3ε

(c) Viscoplastic-plastic metals

σ ∝ (σy + γεm)(Bingham)

γ = 0(Ideal plasticity)

σy γ = 0

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Prescribedvelocity

Prescribedtraction

Extrusion

Rolling

(a) Steady rate

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Moving mesh

Extrusion

Rolling

Forging

Cutting

Sheet forming(deep drawing)

(b) Transient

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Free boundary

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CLTemperature (T ) t = 2.9 s

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(c) Load versus time

(b) Contours of state parameters at t = 2.9 s

0.20.2 0.8 0.8

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(Initi

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Stressσy (kips/in2)

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Punch load (kN)

0 Punc

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–0.3

–0.5

–0.7

Strain

800 Orig

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(a) Mesh of 856 elements for sheet idealization

(b) Mesh for establishing die geometry

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t = 2400 s

t = 4280 s

(c) Deformed shapes of various times

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Free surface

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Sea floor

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(a) Surface Pressure Contour

(b) Comparison of Wave Profiles

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–0.10

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Idelsohn et al.18

Hino et al.14

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ExperimentIdelsohn et al.18

(a) Surface pressure contour

(b) Comparison of wave profiles

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α = 0°g α = 0°g

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IsothermsStreamlines

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(a) (b)

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ψmax = 16.16, ψmin = –20.12,vmax = 248.29

ψmax = 16.11, ψmin = –26.8,vmax = 211.3

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(b) Da = 10–4, Ra = 106, ε = 0.8

(c) Da = 10–2, Ra = 104, ε = 0.8

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0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0U/Uo

1 unit of U/Uo = 1 unit of X/h

(a) Velocity profiles downward of the step

k-ε model (CBS)Exp.

(b) Streamline pattern

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(a) Subsonic inflow and outflow

00 1.0 2.0 3.0 4.0

(b) Supersonic inflow and outflow

00 1.0 2.0 3.0 4.0

(c) Supersonic inflow–subbsonic outflow with shock

00 1.0 2.0 3.0 4.0

ExactCL = 2.0CL = 1.0

0.75 0.50.0 5.0

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(a) Structured uniform mesh

3.00.6

Inflow

2016 elements1089 nodes

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t = 1.5

t = 2.5

t = 4.0

(b) Solution – contours of pressure at various times

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(a) Triangle subdivision

(b) Restoration of connectivity

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20°CL

Initial configuration Density after 100 steps

20°CL

After 101 steps Density after 200 steps

20°CL

After 201 steps Density after 250 steps

Exactsolution

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(c) The corresponding pressure contours

(b) The corresponding density

(a) Sequence of meshes employed

Analysisdomain

22° Flowvelocity

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(c) (d)

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MUSCLCBS: Anisotropic Shock CaptureCBS: Second Derivative Shock Capture

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Analysis domain

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Pendine tests

CFDresults

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Computerresults

Pendinetest results

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(a) Mesh on analysis surface

(b) Mesh on analysis surface (c) Pressure contours

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Unstructured, adaptively refinedtriangles

10–15 ‘body’ layers of quadrilateralelements with length l, correspondingadaptive layer thickness d and number of layers decided by user

(a) A two-dimensional sublayer of structured quadrilaterals

‘Body’ layer subdivision in three dimensions joining a tetrahedral mesh

(b) A three-dimensional sublayer of prismatic elements

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U/Uinf

MUSCLCBSCarter

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First mesh

Third mesh

Experiment

Surface pressure

X/Xshk

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+++ ++

+ First mesh

Second mesh

Experiment

Skin friction

–0.00

–0.10

–0.20

–0.50 –0.10 0.30 0.70 1.10 1.50

×10–2

X/Xshk

(d) Surface pressure and skin friction

-'/ #;- # 3

Density contours(b)

Wake region, density contours(c)

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Initial mesh, 1804 points, 3487 elements Mach number

Mach number

adaptive mesh, 916 points, 1830 elements

1162 points, 2258 elements(c)

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(c) (d)

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–0.5

–1.0