zonski model kristala€¦ · energetski nivoi elektrona u kristalu •kada se atomi dovoljno...

Zonski model kristalaFizička hemija čvrstog stanja

Energetski nivo elektrona u slobodnom atomu

• Stanje elektrona u atomu određeno je kvantnim brojevima n (glavni), l (orbitalni), m (magnetni) i s (spinski).

• U slobodnom izolovanom atomu određeni energetski nivoi su degenerisani

• Ukoliko se atom nađe u spoljašnjem polju ukida se degeneracija

Atomske orbitale vodonika, https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_number

Elektroni u kristalu

• Konstante rešetki jednostavnijih kristala su reda angstrema

• Ukoliko su atomi na dovoljno velikom rastojanju, ponašaju se kao izolovani.

• Nije moguća intekacija između njih, aenergetski nivoi elektrona su degenerisani isto kao u slobodnom atomu

Materijal Konstanta rešetke (Å) Kristalna struktura

C (diamond) 3.567 Diamond (FCC)

C (graphite)a = 2.461c = 6.708

Hexagonal

Si 5.431020511 Diamond (FCC)

Ge 5.658 Diamond (FCC)

AlAs 5.6605 Zinc blende (FCC)

AlP 5.4510 Zinc blende (FCC)

AlSb 6.1355 Zinc blende (FCC)

GaP 5.4505 Zinc blende (FCC)

GaAs 5.653 Zinc blende (FCC)

GaSb 6.0959 Zinc blende (FCC)

InP 5.869 Zinc blende (FCC)

InAs 6.0583 Zinc blende (FCC)

InSb 6.479 Zinc blende (FCC)

MgO 4.212 Halite (FCC)

https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_constant

Elektroni u kristalu

• Ukoliko rasporedimo atome u odgovarajući raspored koji odgovara simetriji kristalne rešetke i počnemo polako da ih približavamo od velikih rastojanja do rastojanja koja odgovaraju onima u rešetci počinje interakcija između njih.

Približavanje atoma i formiranje rešetke

Elektroni u kristalu

• Energetska barijera između pojedinačnih atomskih nivoa postaje mala

• Valentni elektroni mogu slobodno da prelaze sa atoma na atom

• Kolektivizacija elektrona u rešetci (slobodni elektroni)

• Skup slobodnih elektrona –elektronski gas

Približavanje atoma i formiranje rešetke

Energetski nivoi elektrona u kristalu

• Osnovni zadatak teorije – opis energetskog spektra elektrona u kristalu.

• Ako slobobodni elektroni ostvaruju jaku vezu sa atomima potencijalna energija se može prikazati kao U = Ua + δU

• Ua je potencijalna energija elektrona u izolovanom atomu (u kristalu periodična funkcija)

∆Ψ +2𝑚

ħ2𝐸 − 𝑈 =0

Ukupna energija Potencijalna energija

Energetski nivoi elektrona u kristalu

• U prvoj aproksimaciji, δU može da se zanemari, pa se kao rešenja dobijaju energetski novoi izolovanih atoma.

• Razlika kristala sa N atoma u odnosu na izolovan atom je da je jedan nivo N puta degenerisan (permutaciona degeneracija)

∆Ψ +2𝑚

ħ2𝐸 − 𝑈 =0

U = Ua + δU

Energetski nivoi elektrona u kristalu

• Kada se atomi dovoljno približe nalaze se u jakom polju i dolazi do ukidanja degeneracije, δU više ne može da se zanemari.

• Ukoliko je u izolovanom atomu nivo degenerisan (2l+1) puta, onda onda se od istog energetskog nivo u kristalu formira zona koju čini N (2l+1) nivoa.

• Naveži uticaj trpe elektroni koji su najslabije vezani, odnosno valentni elektroni, pa su ove trake najšire.

∆Ψ +2𝑚

ħ2𝐸 − 𝑈 =0

U = Ua + δU

Energetski nivoi elektrona u kristalu

ATOM

s orbitala

p orbitala

d orbitala

KRISTAL

s traka

p traka

d traka

Zabranjena (zona, oblast) energija

Zabranjena (zona, oblast) energija

Energetski nivoi elektrona u kristalu

Zabranjena (zona, oblast) energija

Zabranjena (zona, oblast) energija

Zabranjena (zona, oblast) energija

Energetski nivoi elektrona u kristalu

Zabranjena (zona, oblast)

energija

Pt bulk

10 eV

Širina trake: 10 eV

Broj atoma 1023

Rastojanje između pojedinačnih energetskih nivoa 10-22 eV

Zavisnost energije elektrona od talasnog vektora• Jednoelektronska aproksimacija (u uniformnoj kutiji dimenzija L × L × L)

uslov Kvantni brojevi, različiti za sve elektrone

uz gde je

Gustina elektronaFermijeva energija (najviša energija u sistemu kada su svi niži energetski nivoi popunjeni

Elektron u periodičnom polju kristala

• Nezavisni elektroni koji se pokoravaju jednoelektronskoj Šredingerovoj jednačini za periodični potencijal se nazivaju Blohovi elektroni i za njih važi Blohova teorema

• Za neki perodonični potencijal U(x+na)=U(x) gde je n prozivoljni ceo broj, talasna funkcija elektrona može da se izrazi kao:

By Sbyrnes321 - Own work, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=28487539

Kronig-Penijev model

• Periodični potencijal u 1D

• Rešenja u obliku

• Rešenja ukazuju na ravne talase između delta funkcija, kao rezultat javlja se energetski procep

Disperzione krive i gustine stanja

Disperziona kriva – zavisnost energije od impulsa elektrona

Gustina stanja – verovatnoća nalaženja elektrona u datoj oblasti energija

Visokosimetrijski pravci u 1.Briluenovoj zoni

Efektivna masa elektrona

Ukoliko imamo slobodan elektron

Pa je efektivna masa jednaka masi mirovanja elektrona

Za elektron u rešetci možemo koristiti efektivnu masu i tada ga možemo tretirati kao slobodnog

Fermi-Dirakova raspodelaZa sistem identičnih fermiona (dakle i elektrona) koji su u termodinamičkoj ravnoteži, raspodela po energijama može da se opiše Fermi-Dirakovom raspodelom

Ukupni hemijski potencijal, u odsustvu spoljašnjih polja i na 0 K, elektrohemijski potencijal elektrona u metalnoj fazi, tj. Fermijeva energija

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FD_e_mu.svg

Fermijeva površina

• Površina u recipročnom prostoru koja odvaja popunjena od nepopunjenih stanja na 0 K. Zavisi od simetrije rešetke i popunjenosti energetskih nivoa.

http://www.phys.ufl.edu/fermisurface/

Popunjavanje energetskih nivoa

Osnovna podela kristala po načinu popunjavanja energetskih zona• Pretpostavimo da smo u kristalu formirali električno polje

• Usled formiranja električnog polja ukida se simetrija raspodele elektrona po brzinama

• I grupa - Ukoliko postoji traka koja nije popunjenja elektroni mogu da pređu na nove energetske nivo, imaju visoku pokretljivost pa to rezultuje visokom provodljivošću (metali)

• II grupa - Ako je valentna zona popunjena do kraja, a postoji veliki energetski procep, novi energetski nivoi ne mogu da se zauzmu što rezultujemo malom ili nikkavom provodljivošću

• Po širini zabranjene zone, tj. energetskog procepa, II grupa se deli na popuprovodnike i dielektrike.

Osnovna podela kristala po načinu popunjavanja energetskih zona

1 s elektron, popunjava se d traka 1 s elektron, popunjena d traka

Osnovna podela kristala po načinu popunjavanja energetskih zona

Zabranjena zona

MgO je tipičan primer izolatora. Kubna rešetka izgrađena od katjona Mg2+ i anjona O2-

Poluprovodnici

• Hemijski čisti poluprovodnici (npr. Si, Ge) –sopstveni poluprovodnici

• Na T>0 K deo elektrona može da pređe u provodnu zonu ostavljajući u valentnoj zoni šupljinu (pozitivno naelektrisanje)

• Provodljivost poluprovodnika je pobuđena provodljivost – uslovljena je spoljašnjim faktorom kao što je temperatura, svetlost ili jonizujuće zračanje

Poluprovodnici

Elektroni u provodnoj traci pod uticajem polja

Vreme rasejanja

Mobilnost nosilaca

Šupljive u valentnoj traci pod uticajem polja

Efektivna masa šupljina

Sopstveni poluprovodnici

Broj elektrona u provodnoj traci

Gustina stanja

FD raspodela

Sopstveni poluprovodnici

Broj broj šupljina u valentnoj traci

Sopstveni poluprovodnici

Sopstvena gustina nosilaca naelektrisanja

Raste sa temperaturom Opada sa veličinom procepa

Sopstveni poluprovodnici

Opada sa veličinom procepa

Primesni poluprovodnici

Stanja dopanta smeštaju se u šupljinu

Primesni poluprovodnici

• Na niskim temperaturama (ali ne suviše niskih, carrier freeze out):• Za slučaj donorskih promesa, Fermijev nivo je između nivoa primese i dna

provodne zone• Za slučaj akceptorskih primesa, Fermijev nivo između vrha valentne zone i

nivoa primesa• Koncentracija nosilaca zavisi od koncentracije primesa i energije potrebne za

prelaz između donorskih nivoa i nivoa poluprovodnika, energija aktivacije

• Ako temperatura krene da raste primesni nivo i iscrpljuju, a Fermijev nivo se vraća na položaj koji odgovara sopstvenom poluprovodniku

• Na dovoljno visokim temperaturama novoi primesa su iscrpljeni i dopinira sopstvena poluprovodljivost.

Primesni poluprovodniciTemperatura raste

https://archive.cnx.org/contents/64d67245-4b32-4106-b5cf-b5bca68c2a6b@1/sspd-chapter-2-2-6-drift-velocity-in-semiconductor-metal-and-its-conductivity

exp(-E/kT)

Log vs. 1/T je linearan

Električna provodljivost metala

Omov zakon

Specifična provodljivost

Ako uspostavimo električno polje kroz provodnikGustina struje je data sa:

Koncentracija nosilacanaleektrisanje

Srednja brzina drifta nosilaca

Srednji slobodni put elektrona / vreme relaksacije

Električna provodljivost metala

mobilnost

Fermijeva energija

Fermijeva brzina

Slobodni elektron u metalu – kvantna teorija

Slobodni put zavisi od koncentracije fonona koja raste sa temperaturom, s obzirom da se elektorni rasejavaju na njima. Efikasnost rasejanja dodatno zavisi od temperature

Stoga, električna provodljivost metala opada sa T

Električna provodljivost metala

Otpornost = 1/ provodljivost

Visoke temperature

Niske temperature

𝜎 =𝐴

𝑇

𝜎 =𝐵

𝑇5

Metali su degenerisani provodnici, koncentracija elektronskog gasa praktično ne zavisi od T

Električna provodljivost poluprovodnika

Sopstveni poluprovodnik

+ koncentracija sopstvenih nosilaca lnσ = f(1/T)

Električna provodljivost poluprovodnika

Primesni poluprovodnik uz uslov,

zavisnost od temperature kompleksna, i dobrim delom određena koncentracijom nosilaca

Konstantna konc

nosilaca, samo

rasejanje

Hall-ov efekat

• Hallov efekat je pojava razlike potencijala (Hall-ov napon) duž električnogprovodnika kroz koji protiče struja, transverzalno na električnu struju i na magnetno polje primenjeno na struju.

Sila koja deluje na naelektrisanja

F = 0 u stacionarnom stanju pa je 0 = Ey − vxBz,

Rezultujući napon

Public Domain, https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=22918777

Možemo da odredimo koncentraciju nosilaca

Hall-ov efekat

m3 C-1

Pogledajte ovaj link: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hall_Sensor.webm

Hall-ov efekat

• Klasični Hall-ov efekat otkriven je 1879, pre otkrića elektrona.

• Kvantni Hall-ov efekat – 2D elektronski sistem. Kada se 2D elektronski sistem izloži jakom magnetnom polju na niskoj temperaturi Hall-ova provodljivost zauzima diskretne vrednosti sa kvantnim Hall-ovim prelazima između njih

• Nobelova nagrada 1985. (experimenti sa MOSFET)

Novoselov et al. Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene, Science 09 Mar 2007: Vol. 315, Issue 5817, pp. 1379DOI: 10.1126/science.1137201