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Analisis de Funciones

El proposito de este apartado es hacer un recuento de todas las propiedades y carac-terısticas de una funcion que deben ser analizadas e indicadas en un estudio de funcionespara nuestro curso. Es importante, a tal efecto, que quien lea sepa calcular y utilizarderivadas y comprenda su naturaleza, origen e implicancias geometricas (como ser lapendiente de la recta tangente a la funcion en un punto dado).

Comenzaremos entonces a enumerar y describir en secciones los elementos a ser tenidosen cuenta en el analisis. El orden en que estan numeradas las secciones de este texto esel orden sugerido para efectuar un analisis de funcion.Antes de comenzar, recapitularemos brevemente la definicion de una Funcion Matematica

Funcion Matematica

Una funcion matematica es una “regla” que establece relaciones entre dos conjun-tos, uno de partida y otro de llegada. El conjunto de partida se llama Dominio deDefinicion o Dominio y el de llegada Codominio. para que esta “regla” pueda serconsiderada una funcion es primordial que a cada elemento del Dominio (Conjunto departida) le corresponda un y solo un elemento del Codominio (Conjunto de llegada).

A continuacion se muestra un diagrama de una funcion que relaciona algunas letrasdel alfabeto latino (A, B, C, D, E, F y G) con algunas del alfabeto griego (α, β, γ, δ y ε).Las flechas que los conectan simbolizan a la transformacion que realiza la funcion

Dominio Codominio

A

BCD

E

F

G

α

β

γδ

ε

Figura 1: Ejemplo de Funcion

Es importante destacar que una funcion relaciona un elemento del Dominiocon un y solo un elemento del Codominio, y todos los elementos del Dominiodeben apuntar a uno del Codominio, no siendo verdad la afirmacion inversa: no esnecesario que un elemento del Codominio este apuntado solamente por uno del Dominio;tampoco es necesario que todos los elementos del Codominio esten apuntados. Como

1Analisis de Funciones - Matematica - Escuela Tecnica ORT - Ezequiel Wajs - 2015

puede verse en la figura 1 todas las letras latinas tienen solo una flecha que partede ellas. Al mismo tiempo, las letras griegas α, γ y δ estan apuntadas por mas de unelemento del Dominio, mientras que ε no esta apuntada por ninguno. El subconjuntodel Codominio formado por los valores que si estan efectivamente apuntados se llamaConjunto Imagen y siempre debe estar totalmente incluıdo en el Codominio (lo que enNotacion Matematica se escribe como: Imf ⊆ Codf ).

En general, las funciones pueden caracterizarse por una expresion algebraica queaplicada a los valores del Dominio permite transformarlos en valores (o Imagenes) pertenecientesal Codominio.

La o las variables de esta expresion algebraica seran lo que se llama Variables In-dependientes y el resultado de la misma (la imagen de la funcion para esos valor/es dela/s variable/s) sera la Variable Dependiente. Una funcion puede pensarse como unacadena de montaje, en donde ingresa un insumo (un valor perteneciente al Dominio) ytras ser transformado por la maquina (la funcion), se devuelve un producto (un valor delConjunto Imagen).

Figure 2: La funcion como una lınea de montaje

Llamaremos a las funciones con letras y seguido escribiremos entre parentesis el o lasvariables de las que la funcion depende.Ejemplos:

f(x) = x3 − log(√

sen(x) + 1)

g(x) = 4x4 − 2x3 + 3x

h(z) =√z2 + 1

E(x, y, z) =1√

x2 + y2 + z2


1 DOMINIO DE DEFINICION

1 Dominio de Definicion

El Dominio de Definicion (o simplemente Dominio) es el conjunto de numerospara los cuales una funcion existe (esta definida). Es el conjunto de numerossusceptibles de (que pueden) ser transformados por la funcion hacia un valor del ConjuntoImagen.

Por ejemplo, un polinomio puede ser evaluado en cualquier numero real, por lo tanto,su dominio seran todos los reales, un logaritmo puede calcularse solo si su argumentoes mayor que cero (positivo), una raız cuadrada (cualquier raız par en realidad) solosi el radicando es mayor o igual a cero y una funcion racional no puede existir si sudenominador llegara a valer cero (raıces del polinomio del denominador). En cada casohabra que evaluar que restricciones se tienen (que valores de la/s variable/s no puedenser evaluados).

Como muchas veces los valores que no pertenecen al Dominio son valores discretos(pueden ser contados) o son intervalos continuos de la Recta Real, suele indicarse elDominio como el Conjunto de los Reales (R) menos el/los valor/es o intervalo/s. Losvalores que no pertenecen al Dominio suelen ser llamados Restricciones al Dominio.Las mismas deberan enumerarse de menor a mayor.Ejemplos:

f(x) = x4 + 3x2 − 5

Domf = R

g(x) =√x

Domg = R+0 (Reales positivos y cero)

h(x) = ln x

Domh = R+

i(x) = ln(x2 − 1

)Domi = (−∞;−1) ∪ (1; +∞)

j(x) =x3

x2 − 1

Domj = R− {−1; 1}


2 INTERSECCIONES CON LOS EJES DE COORDENADAS

2 Intersecciones con los Ejes de Coordenadas

2.1 Ordenada al Origen

Como su nombre lo indica, la Ordenada al Origen es el valor de la funcion cuando estase evalua en el origen (tıpicamente 0). Es decir, es la funcion especializada para cuandola variable vale cero.Ejemplos:

f(x) = x4 + 3x2 − 5

f(0) = −5

g(x) =√x

g(0) = 0

h(x) = ln x

h(0) @ (El logaritmo de cero no existe, por lo tanto, no hay ordenada al origen)

2.2 Conjunto de Raıces

Las Raıces son los valores de x (o de la/s variable/s cualquiera sea/n su/s nombre/s)tales que la funcion vale cero cuando se evalua en ellos, en Notacion Matematica:x/f(x) = 0. Las Raıces pueden hallarse mediante la igualacion de la funcion a cero ydespejando los valores de x que satisfagan la ecuacion planteada. Cuando hay mas deuna raız, suele indicarselas con subındices numericos (x1, x2, x3, . . . , xn).El conjunto de raıces se indica: C0 = {x1;x2;x3; . . . ;xn}. Las raıces deberan estarordenadas de menor a mayor.Ejemplos:

f(x) = x2 − 5x+ 4 = 0

x1 = 1 ∧ x2 = 4

C0 = {1; 4}

g(x) =√x = 0

x = 0

C0 = {0}

h(x) = ln x = 0

e0 = x = 1

C0 = {1}


3 CONJUNTOS DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD

3 Conjuntos de Positividad y Negatividad

Los Conjuntos de Positividad y de Negatividad son los subconjuntos (subdivisiones)del Dominio formados por los valores de x en los cuales la imagen de dicho valor es posi-tiva y negativa, respectivamente. Es evidente que el conjunto de Raıces, el de Positividady el de Negatividad no se intersectan (no comparten ningun elemento) y que sumadosdan el Dominio de la funcion.

Para hallar los conjuntos de positividad y negatividad nos valdremos de los Teore-mas de Bolzano y de Weierstrass, que nos permiten deducir que si una funcion escontinua en un intervalo cerrado y cambia de signo en dicho intervalo es porque dentrodel mismo debe/n haber una o mas raıces (deduccion que es sumamente logica inclusosin inspeccionar los Teoremas con rigor). Por lo tanto, deberemos verificar el signo de lafuncion en intervalos en donde sospechemos que este pueda cambiar. Solo hay dos val-ores notables en donde el signo de la imagen podrıa cambiar: las Raıces y los Puntos (oIntervalos) de Discontinuidad. En general, para las funciones que trabajemos (o su granmayorıa) los Puntos de Discontinuidad seran los valores que no pertenezcan al Dominio(si son discretos, si son intervalos, verificaremos en sus extremos). En el caso de funcionespor tramos tambien tendremos que verificar en los puntos en donde cambie el tramo. Esdecir, podemos darnos el lujo (casi siempre pero no siempre) de sospechar que las fun-ciones son continuas hasta que nos demuestren lo contrario. Con esto se quiere decir quebuscaremos cambios en el signo solo en los “puntos sospechosos” antes mencionados (estono es estrictamente correcto, pero nos servira practicamente en todos los casos).

Entonces, a efectos de analizar Positividad y Negatividad confeccionaremos una tablade dos filas, en la primera indicaremos valores de x y en la segunda los signos de f(x).La primer fila ira barriendo todo el Dominio de a intervalos, inaugurando una nuevacolumna (y un nuevo intervalo) cada vez que se arribe a una raız o a una Restriccional Dominio. La segunda fila ira indicando para cada columna si la funcion es positiva(+), negativa (-), cero (0) o no existe (@) para ese intervalo. Luego de la tabla, se indicanlos Conjuntos de Positividad (C+) y Negatividad (C−).

Por ejemplo, imaginemos una funcion f(x) que tenga tres raıces (C0 = {x1;x2;x3}) ycuyo Dominio sea Domf = R− {xa;xb}, una tabla de Positividad y Negatividad posibleserıa entonces:

x (−∞;x1) x1 (x1;xa) xa (xa;x2) x2 (x2;xb) xb (xb;x3) x3 (x3; +∞)f(x) - 0 + @ + 0 + @ - 0 +

C+ = (x1;xa) ∪ (xa;x2) ∪ (x2;xb) ∪ (x3; +∞)C− = (−∞;x1) ∪ (xb;x3)Ejemplo:

f(x) =x2 − 3x− 4

xDomf = R− {0} C0 = {−1; 4}

x (−∞;−1) −1 (−1; 0) 0 (0; 4) 4 (4; +∞)f(x) - 0 + @ - 0 +

C+ = (−1; 0) ∪ (4; +∞)C− = (−∞;−1) ∪ (0; 4)


4 DERIVADA PRIMERA

4 Derivada Primera

Llegado este punto del analisis es conveniente calcular la Derivada Primera (f ′(x)),mediante la cual podremos hallar los Puntos Crıticos y los Intervalos de Crecimiento yDecrecimiento. Es importante recordar que la derivada de una funcion es el valor de lapendiente de la recta tangente a la misma para el valor de x dado. Se ve facilmente queel signo de la pendiente de la recta tangente (que esta relacionado con la orientacion dela misma) esta directamente ligado al crecimiento de la funcion:

Figure 3: Grafico de la Funcion f(x) = x3 − 3x2 − 6x+ 8

Como puede verse el signo de la derivada primera (pendiente de la Recta Tangente)es positivo cuando la funcion crece, negativo cuando decrece y cero cuando esta llegaa lo que llamaremos un Punto Crıtico. Los Puntos Crıticos son aquellos puntos paralos cuales la recta tangente es horizontal (o paralela al eje x), de entre ellos podemosdistinguir tres clasificaciones:

• Maximos

• Mınimos

• Puntos de Ensilladura


4 DERIVADA PRIMERA

Los Maximos son aquellos puntos crıticos antes de los cuales la funcion crece y luegode los cuales decrece. Clasificaremos a los Maximos como Maximos Absolutos si noexiste otra imagen de la funcion que sea mayor (Matematicamente f(xMax) ≥ f(x) ∀x),si esto no sucede (hay puntos mayores al valor del maximo hallado) diremos que estamosen presencia de un Maximo Relativo. En la siguiente figura se muestra un Maximo:

Figure 4: Un Maximo

Los Mınimos son aquellos puntos crıticos antes de lo cuales la funcion decrece y luegode los cuales crece. Clasificaremos a los Mınimos como Mınimo Absolutos usando elmismo razonamiento (Matematicamente f(xmin) ≤ f(x) ∀x), si esto no sucede (haypuntos menores al valor del mınimo hallado) diremos que estamos en presencia de unMınimo Relativo. En la siguiente figura se muestra un Mınimo:

Figure 5: Un Mınimo

Por ultimo, los Puntos de Ensilladura son puntos crıticos antes y despues de loscuales la funcion toma el mismo estado de crecimiento o decrecimiento:

Figure 6: Un Punto de Ensilladura


4 DERIVADA PRIMERA

Cualquiera de estos puntos crıticos pueden hallarse si pueden hallarse las raıces dela derivada primera, y aplicando un proceso similar al que se aplica en Positividad yNegatividad pueden entonces deducirse los Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento yconfeccionar otra tabla con los mismos, esta vez, con tres filas.

La primer fila ira barriendo todo el Dominio de a intervalos, inaugurando una nuevacolumna (y un nuevo intervalo) cada vez que se arribe a una raız de la DerivadaPrimera o a una Restriccion al Dominio. La segunda fila ira indicando para cadacolumna si la Derivada Primera es positiva (+), negativa (-), cero (0) o no existe (@)para ese intervalo. La tercera fila indicara que sucede (en terminos de Crecimiento) conla funcion a estudiar, si la Derivada Primera resulto Positiva (+) colocaremos una flecha(para denotar el sentido de crecimiento) que apunte hacia arriba (↗), si la DerivadaPrimera resulto Negativa (-), colocaremos una flecha que apunte hacia abajo (↘) y siresulto cero (0), colocaremos el valor de la funcion para dicho punto (que sera la ordenadapara ese Punto Crıtico). Luego de la tabla, se indican los Conjuntos de Crecimiento (C ↑)y Decrecimiento (C ↓).

Por ejemplo, imaginemos una funcion f(x) cuyo Dominio sea Domf = R − {xa}, ycuya derivada f ′(x) tenga 3 raıces (les agregaremos un apostrofe ’ al nombre para noconfundirlas con las raıces de la funcion, ajenas a este estudio) {x′1;x′2;x′3} una tabla deCrecimiento y Decrecimiento posible serıa entonces:

x (−∞;x′1) x′1 (x′1;xa) xa (xa;x′2) x′2 (x′2;x′3) x′3 (x′3; +∞)

f ′(x) - 0 + @ + 0 - 0 +f(x) ↘ f(x′1) ↗ @ ↗ f(x′2) ↘ f(x′3) ↗

C ↑= (x′1;xa) ∪ (xa;x′2) ∪ (x′3; +∞)

C ↓= (−∞;x′1) ∪ (x′2;x′3)Ejemplo:

f(x) =1

3· x3 − x Domf = R f ′(x) = x2 − 1

x′1 = −1; x′2 = 1 (Raıces de la Derivada)

x (−∞;−1) −1 (−1; 1) 1 (1; +∞)f ′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗ f(−1) = 2

3↘ f(1) = −2

3↗

C ↑= (−∞;−1) ∪ (1; +∞)C ↓= (−1; 1)


5 DERIVADA SEGUNDA

5 Derivada Segunda

Luego de la Derivada Primera, es conveniente analizar la Derivada Segunda (f ′′(x)),mediante la cual podremos hallar los Puntos de Inflexion y los Intervalos de Concavidady Convexidad. Para no confundir Concavidad con Convexidad, llamaremos a los tramosconcavos Concavo hacia abajo y a los convexos Concavo hacia arriba.

La concavidad puede observarse facilmente gracias a las rectas tangentes: si la funciones concava hacia abajo las rectas tangentes en dicho tramo quedaran por encima de lafuncion, si es concava hacia arriba, quedaran por debajo de la misma. La concavidadentonces, se estudia de a tramos (de manera muy similar al crecimiento). En la siguientefigura puede verse como las tangentes rojas estan por encima de la funcion mientras lasverdes por debajo, evidenciando distintas concavidades en la misma.

Figure 7: Tramos de distinta concavidad

Como puede verse el signo de la derivada segunda (crecimiento de la pendiente de laRecta Tangente) es positivo cuando la funcion es concava hacia arriba, negativo cuandoes concava hacia abajo y cero cuando esta llega a lo que llamaremos un Punto de In-flexion. Los puntos de inflexion son los puntos en donde cambia la concavidad.Deduciremos los intervalos de concavidad aplicando el mismo procedimiento aplicado


5 DERIVADA SEGUNDA

para sacar el crecimiento, pero esta vez, valiendonos de la derivada segunda, nuevamente,tendremos tres filas en nuestra tabla.

La primer fila ira barriendo todo el Dominio de a intervalos, inaugurando una nuevacolumna (y un nuevo intervalo) cada vez que se arribe a una raız de la Derivada Se-gunda o a una Restriccion al Dominio. La segunda fila ira indicando para cadacolumna si la Derivada Segunda es positiva (+), negativa (-), cero (0) o no existe (@)para ese intervalo. La tercera fila indicara que sucede (en terminos de Concavidad) conla funcion a estudiar, si la Derivada Segunda resulto Positiva (+) colocaremos un valle(∪), que denotara concavidad hacia arriba, si la Derivada Segunda resulto Negativa (-),colocaremos una cresta (∩) denotando lo opuesto y si resulto cero (0), colocaremos elvalor de la funcion para dicho punto (que sera la ordenada para ese Punto de Inflexion).Luego de la tabla, se indican los Conjuntos de Concavidad (C∪ y C∩).

Por ejemplo, imaginemos una funcion f(x) cuyo Dominio sea Domf = R − {xa},y cuya derivada segunda f ′′(x) tenga 3 raıces (les agregaremos un apostrofe doble ” alnombre para no confundirlas con las raıces de la funcion o de la derivada primera, ajenasa este estudio) {x′′1;x′′2;x′′3} una tabla de concavidades posible serıa entonces:

x (−∞;x′′1) x′′1 (x′′1;xa) xa (xa;x′′2) x′′2 (x′′2;x′′3) x′′3 (x′′3; +∞)

f ′′(x) - 0 + @ + 0 - 0 +f(x) ∩ f(x′′1) ∪ @ ∪ f(x′′2) ∩ f(x′′3) ∪

C∪ = (x′′1;xa) ∪ (xa;x′′2) ∪ (x′′3; +∞)

C∩ = (−∞;x′′1) ∪ (x′′2;x′′3)

Ejemplo:

f(x) =1

x2 + 1Domf = R f ′′(x) =

6x2 − 2

(x2 + 1)3

x′′1 = − 1√3

; x′′2 =1√3

(Raıces de la Derivada Segunda)

x (−∞;− 1√3) − 1√

3(− 1√

3; 1√

3) 1√

3( 1√

3; +∞)

f ′′(x) + 0 - 0 +f(x) ∪ f(− 1√

3) = 3

4∩ f( 1√

3) = 3

4∪

C∪ = (−∞;− 1√3) ∪ ( 1√

3; +∞)

C∩ = (− 1√3; 1√

3)


6 LIMITES

6 Lımites

Luego del analisis de las derivadas se procede a evaluar que sucede con la funcioncuando x tiende a valores notables (valores que no esten en el dominio o que esten en losextremos). A tal efecto, entonces, calcularemos lımites de nuestra funcion, los mismosnos permitiran determinar si hay asıntotas, de que tipo y cual es su ecuacion, y sacarconclusiones sobre la continuidad de la funcion en estos puntos. Podemos distinguir dostipos de lımites, aquellos que se evaluan cuando x tiende a una restriccion del dominio yaquellos cuando tiende a los extremos (tıpicamente x→ ±∞):

6.1 Lımites tendientes a restricciones del dominio

Estos lımites nos permitiran sacar conclusiones sobre la continuidad de la funcion,recordaremos brevemente que condiciones deben cumplirse para que una funcion f(x)sea continua en un punto generico x = a:

1. ∃ f(a)

2. ∃ limx→a

f(x) = limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = l

3. f(a) = l

Si alguna de estas tres condiciones no se cumpliese, entonces la funcion no sera con-tinua. Dependiendo de que condiciones se incumplan, habran distintos tipos de discon-tinuidades. Como es necesario verificar que existe el lımite, deberemos probar los lımiteslaterales y verificar que estos coincidan.

Si se cumple la condicion 2 pero no la 1 (ni la 3), estamos en presencia de una Dis-continuidad Evitable, si no se cumple la condicion 2 y ambos limites laterales tiendena numeros reales distintos, estamos en presencia de una Discontinuidad Esencial conSalto Finito, por ultimo si el incumplimiento de la condicion 2 se debe a que al menosuno de los lımites dio un resultado que tiende a infinito la discontinuidad es una Dis-continuidad Esencial con Salto Infinito. La siguiente figura tiene ejemplos de estostres tipos de discontinuidad:

Figure 8: Tipos de Discontinuidad


6.1 Lımites tendientes a restricciones del dominio 6 LIMITES

Como puede verse, las discontinuidades esenciales con salto infinito se comportan deuna manera muy particular, a medida que el valor de la variable independiente se acercaa la discontinuidad, la funcion tiende a comportarse como una recta vertical (perpen-dicular al eje x), esta recta de tendencia, a la cual la funcion se aproxima cada vezmas, se llama Asıntota Vertical y ası la indicaremos en nuestro analisis. Las asıntotasverticales son discontinuidades esenciales con salto infinito.

Ejemplo:

f(x) =2x3 − 8x2 + 6x

x2 + x− 2=

2x · (x− 1) · (x− 3)

(x− 1) · (x+ 2)

Domf = R− {−2; 1}

Una vez aclarado el dominio puede simplificarse la funcion

f(x) =2x · (x− 3)

(x+ 2)

Se procede a verificar la existencia e igualdad de los lımites laterales para ambas restric-ciones del dominio

limx→−2−

2x · (x− 3)

(x+ 2)= −∞

limx→−2+

2x · (x− 3)

(x+ 2)= +∞

Lo que prueba la existencia de una asıntota vertical en x = −2

Por lo tanto, en x = −2 hay una Discontinuidad Esencial con Salto Infinito

limx→1−

2x · (x− 3)

(x+ 2)= −4

3

limx→1+

2x · (x− 3)

(x+ 2)= −4

3

Lo que prueba la existencia de una Discontinuidad Evitable en x = 1


6.2 Lımites tendientes a los extremos 6 LIMITES

6.2 Lımites tendientes a los extremos

Por ultimo, buscaremos saber como se comporta la funcion cuando la variable inde-pendiente adquiere valores muy alejados del origen. Practicamente en todos los casos estoimplica evaluar la funcion en un numero sumamente grande, o lo que es mejor, calcularel lımite de la misma cuando x → ±∞. Es de suma importancia evaluar los dos lımites(+∞ y −∞) por separado, dado que no todas las funciones se comportan de la mismamanera hacia el extremo izquierdo que hacia el derecho. Lo que se busca es determinarsi la funcion termina comportandose como una recta o no. A tal efecto definiremos dostipos de rectas de interes, la recta constante y la que no lo es, es decir, si la funcion,cuando x→ ±∞ se comporta como un valor constante o como una recta con pendientedistinta a cero. En el primer caso (recta constante) diremos que la funcion posee unaAsıntota Horizontal, en el segundo, una Asıntota Oblicua.

En el caso de la Asıntota Horizontal, se verifica su existencia si al evaluar el lımite deuna funcion hacia +∞ y/o −∞ esta tiende a un valor constante. Matematicamente:

limx→∞

f(x) = a a ∈ R

En el caso de la Asıntota Oblicua, necesita hallarse la funcion a la que esa rectaresponde, es decir, especificar su pendiente y su ordenada al origen, estos parametrospueden ser determinados a traves de las siguientes ecuaciones:

m = limx→∞

f(x)

xm ∈ R

b = limx→∞

(f(x)−mx) b ∈ R

Es importante destacar que de este analisis surgen tres y solo tres conclusiones posi-bles: La funcion tiende a un valor (Asıntota Horizontal), la funcion tiende ainfinito comportandose como una recta (Asıntota Oblicua) o la funcion divergesin comportarse como una recta (no hay Asıntotas cuando x→ ±∞). En todos loscasos llegaremos a una y solo una de estas conclusiones posibles, no pueden coexistir parala misma funcion.

Ejemplo:

f(x) = e−x

limx→−∞

e−x = +∞

limx→+∞

e−x = 0

Lo que prueba la existencia de una Asıntota Horizontal en y = 0, solo cuando x→ +∞


7 GRAFICO E INDICACIONES FINALES

7 Grafico e indicaciones finales

El Grafico de una funcion es una representacion grafica del comportamiento de lafuncion, el mismo se logra mediante la ubicacion en un par de ejes coordenados de lospuntos conformados por un valor del dominio y su imagen, es decir, los puntos (x; f(x)).

En los graficos que hagamos deberan estar marcados todos los puntos notables que sehayan encontrado en el analisis (Ordenada al Origen, Raıces, Maximos, Mınimos, Pun-tos de Ensilladura y de Inflexion, si los hubiere), se trazaran (preferentemente de algunaforma que permita diferenciarlas inequıvocamente del grafico verdadero de la funcion) to-das las rectas de tendencia (Asıntotas) si las hubiere y se procedera a graficar la funcionrespetando todas las propiedades anteriormente calculadas (Positividad y Negatividad,Crecimiento y Decrecimiento, Concavidad y Convexidad). El grafico es la culminaciondel analisis, ningun dato se obtiene del grafico, todos se vuelcan en el.

Luego del grafico indicaremos todos los puntos notables y su clasificacion (Absolutoo Relativo para puntos crıticos, esencial o evitable para discontinuidades) y rectas detendencia halladas (y su clasificacion). Por ultimo indicaremos el Conjunto Imagen, cabeaclarar que si bien es la primera vez que se indica dicho conjunto, el mismo no se estadeduciendo del grafico, pero por simplicidad y porque el grafico es una herramientamuy potente, lo utilizaremos para deducir el Conjunto Imagen mas facilmente.

Ejemplo:f(x) = x3−x

x2+x−2

Figure 9: Grafico de f(x)

A.O: y = x− 1 A.V.: x = −2 Discontinuidad Evitable en x = 1Discontinuidad Esencial con Salto Infinito en x = −2Maximo Relativo en x ∼= −3, 41 Mınimo Relativo en x ∼= −0, 58No hay puntos de inflexion.Imf = (−∞;−5, 82) ∪ (−0, 17; +∞)


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