an explicit approach to elementary number theory - stein
TRANSCRIPT
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
1/168
! # & ! 1 2 3 1 # 7 9 A 2 C 1 F & 1 ! 7
P Q S S Q V W X Y a Q d
e f h i q r s u v x v x x f r q
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
2/168
j
l m n n {
| } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } - } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
n l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} } | - } } } } } } } } } } } | |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } | | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - } } } } } } } } } } } } } } } |
m n n n n m l
} | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
n l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
n n
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
3/168
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
}
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
}
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } | } } } } } } } } } } } } } } } } }
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
n n m m
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
{ n n m m m
} | | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} | } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} | } | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} - } } } } } } } } } } } } } } } }
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } | - } } } } } } } }
" $ $ m ' ( 0 2 n 5 $ 7 8 n
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} B C } } } } } } } } } } } } } }
} } | D } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
}
F } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
}
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
H 5 $ $ $ m
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} | } | Q } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} | } B } } } } } } } } } } } } }
} | } - - } } } } } } } } } } } } }
} | } } } } } } } } } } } } } } } } }
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } |
R - T } } } } } } } } } }
} C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } | C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } W C } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} W W - } } } }
l " n
| } | b } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } e - f } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } g } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
4/168
l l i
| | } | p r e p } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| | } p r e p u w y | e | } } } } } } } } } } } } } }
| | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
l $ m {
| } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } D -
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| }
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
l $ m m l
| } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
| } D -
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } | C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
l 7 8
| } | W } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } D - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } b } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } | B C } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } - C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
l n n m m m { l
| } | W - Q
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
| } | } | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
| } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } | }
} } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } | }
} } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
l n n n m {
| } | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
5/168
| } - } } } } } } } } } } } } } } } } }
l { n n n m m ' m n n n n n { H
| } | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
l n n n m m m ' m n
| } | D - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } - - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
l H n n n m ' n {
| } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } k D - - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
m n $ m ' o H
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} | } | } } } } } } } }
} | } - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
l m n $ m m ' m n H
| } | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| } - - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
| }
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
m n $ m m m ' n $ l
} | - - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - - - } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
m n $ m ' l
} |
} } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
7 i l ' m n n l l l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | | |
}
- D - } } } } } } } } } } } } } | |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} } | F } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
}
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
6/168
7 i o l l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} z } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
}
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} C Q - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
n n n 7 i n { m l
} | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} | } ~ } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
{ n o 7 i l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} Q - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
7 i $ $ l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} | } | } } } } } } } } } } } } } } } |
} | } - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
}
} } } } } } } } } } } } | |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} k } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
H n 7 i m l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - e | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - - F } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - } } } } } } } } } } } } } } } |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - F } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
n 7 i m m l
} | - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
l { n $ 7 i l
| } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
| } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
| } - - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
| } } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
7/168
| } - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
m n o n n n ( $ n l l H
m n o n n n ( $ n l l
} | W } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} B } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } | |
} | } } } } } } } } } } } } } } |
} } | W - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
m n o n n n ( $ n l
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} C } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
2 o " l
} | - - } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} B } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - D - } } } } } } } } } } } } } } | |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} W D - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} - } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
} | } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } |
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
8/168
-
} - - -
- - }
" m ' - } } W -
-
B - } - -
- - -
- } W }
R
- - T }
- Q | -
- - -
-
v
} - -
q q f h f h
- C
| w
- - C
R T
- F F -
}
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
9/168
- } -
- -
- - - - C - - }
q r f h f i
- w "
" } - R
T - - } C |
- | | w | % | }
p r p w y -
R - T p r e f p -
- } F
- C }
q ' h
- }
} -
-
R T }
q s ) ' 1 3 5 ) 7 f
- - -
} C - - -
- - - - | } C
}
q 9 @ h A
C C - - }
C }
}
w C
- - D } }
| } w y D } }
w C G y H
R T }
| R - - T }
C -
} C
P P w R P
T - }
- - - -
V - }
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
10/168
W X ` c d e
g
h - - | }
- } W
- } }
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
11/168
r
s
- t u v - w v
V - - }
w y |
- V -
p w y | |
- - p - R T -
| - }
( n n l l D p R - - T w D p }
C - } - - }
( n n l e T | | - e
- e } } } e w | w e }
'
| |
'
| | w %
% | w % %
R T }
l n n k l m e V
m
` V V V V V V z {
| ~
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
12/168
n n ' - - }
- } } w
%
}
n z p } R T
p w y D p } p
-
% w w |
% |
- } V
m V -
- - } - R - T }
( n n l
- w C y g g - g
n n ' - - w - R T }
-
- | w | - w - w - w - | | w
n n ' - - -
R T } -
}
r r q @ h i ' 1 ' h
- | | }
| w | % |
| |
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
13/168
g - - | - | - -
- g - - | } - - | -
- - | F -
- | | w - |
| w | %
- | w - }
w % | |
w % | | |
| | w % | |
- | | w % % % w - | | | | |
- | | w |
} - - - }
' 7 { }
R - - } T
C D T } k R - - -
- T w f }
- w -
w
w - w } - - }
C
l } } ~ w | - w }
| w % - | w -
w % - w - w
- C R | - T
l } } ~ w | - w }
| w % - | w -
w % - w - w
- - - - -
- - } e
}
7 k e D ~ e e
e ~
~ e - } e - e w | | - e - - e }
- - e w
} e e -
e e - e w }
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
14/168
w | - | | -
w | % } C % | w % % } | w % % % | }
}
-
- }
w } W - -
- }
- - - | -
- -
| w % } w % | - | w | % -
}
-
n i n '
R T - -
- - }
- R T - -
- - - } } } }
- - - }
r q q i f
| - R T
Q k Q
F F F
| | | | | |
| | | | | | |
| | | |
- e - }
# % ( ) 3 4 5 6 3 3 7 8 5 A ( # 7 8 # 7 D E ) 3
- }
I Q S
} | } } - }
} k } } }
- - C
} - e - f
~
w e
% e % % % e U
e W }
w f
% f % % % f
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
15/168
C - }
e
w f
% f
% % % f
- e
w f
e
f % % % f
} W -
e
w f W Y }
e
- fW
- } -
- }
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
16/168
a
- t b c v
s d e
f Q
R - } T X e
X V g ~ i ~
~ g ~
-
} - -
} e q } -
-
-
-
} C
- - - } C
- |
- }
- -
- }
r
R T
} }
W e
| V s e e m
V ~
u
w y -
|
v w y y y y y j y k y y o y y
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
17/168
-
u
|
w |
u
| C
w | |
u
| w |
u
| w
u
- - F -
u
z | ~ |
|
~
z ~
z z ~
z
|
z
|
z
|
z
|
l m e m T V V ` V ~
-
e f
|
|o
} } } - }
} - -
- - - e - f
z |
|
~
z
z z z
z
|
z
|
z
|
z
|
z ~
|
W s e e V e V ! e V V ~
w y e e - e } k
-
|
w | C
w | w | w |
-
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
18/168
z | ~ |
|
~
z ~
z z ~
z
|
z
|
z
|
z
|
F F
Q
C -
- F }
- R - T - -
| } -
Q -
-
~
| |
| |
- % |
~ ~ ~
~
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
19/168
R T } -
~
~
~
~
| | - k - - - - - -
- - | | %
| }
R - - T }
R - T
- -
- }
C -
}
r S
' - | - - -
} - T
T
- - }
n ' W
- -
~ - }
m ' C
-
C }
' }
C C - | }
$
o ' -
z
I r Q f
s q ' h f h
-
~
~
-
| }m n n '
k }
} '
}
} { '
-
} n '
- - -
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
20/168
s r ) i h 3
~
~ ~
~
~ z
z
~
z
z
~
~
~
~
~ ~
z ~
~ |
~
~
~ ~ ~ | ~
~
|
~ | |
~ ~
|
z
|
z
|
z
|
|
s
~
~
~
~
~
z
~
~
|
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
21/168
~
~
~
~
~ ~
~ ~
~ ~
~
~ ~
~
~
~
~ z
| | z
~
~
z
~
~ z
~ z
~
~
~ ~ z
~
z
~
z
~ ~ z
~ ~
~ z
~
~
~
~
~
~ ~
~
~
~ ~ ~ ~ ~ ~
~
~
~ ~
~ ~
~ ~ ~
~ ~
~
~
| z
~ ~
~
~
~
~ z
~
~
~
~
~ z
~
~
~ ~
- - Q | }
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
22/168
s
- t
t
" $ & ( 0 " 4 0 0 6 9 @ $ C " 0 9 G
H I P $ $ 9 S 9 U V & 9 U ` $ V c e U h
i I P $ $ 9 S 9 U V & 9 U ` $ V 0 4 4 0 $ V r t u w c e U 4 @ e r w h H h
I 0 6 V & 9 U ` $ V & $ $ c e & U V ` 0 & U t 0 @ e t h ` $ V & 9 t h
j k j n k j o o j n z k o j }
~
0 & 9 0 0 ( 0 " I $ & $ 0 V ` U $ & 0 9 & ( $ 9 @ 6 $
4 & " &
-
r
w
G r w & 9 @ e w h H
$ & $ & U $ ` $ V 9
& 9 & I
" ` ` 0 9 0 I i ( & 0 4 ` $ V I
i u H
9
H 0 & ` $ 0 9 " $ i
6 & ` $ V & 9 H I 4 i 9
r u H 0
& 0 9 $ & 0 9 I " 0 " $ & " V ` 0 9 & i & $ & 0 4 ` $ V
4 & 6 ` $ 0 & $ V " ( 9 S 9 U V & 9 U ` $ V I
4 6 6 $ 0 $ U & V & $ ` $ 0 0 4 9
6 $ " 9 9 0 $ 0 " ( I 6 0 "
i u H H 6 & " 9 9 9 0 & 9 0 9 $ & ` $ 0 " 0 4 ` $ V I
$ & $ 9 S 9 U V & 9 U 0 V ` 0 9 " V ( $ I
" ` U
0 @ $ S $ ` $ V & 9 0 9 & H I
P 0 $ 9 @ 0
i H
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
23/168
& $ @ 9 0 6 9 ` $ V
i
H
6 & 9 " V ( $ & 9 @ 0 $ 6 0 V 0 9
V & @ I " 0 $ V V `
& $ S 9 U & ( @ @ $ ` $ V 9 " V ( $ I 0 6 $ 9 0 ( 0 U & U 4 0 " 9
I 9 4 & $ V 9 9 @ 6 $ 0 $ 9 0 & 9 " V ( $
` $ V & 9 $ V U 9 $ 9 @ ` $ 0 ( V I 6 " ` $ 0 ( V V 0 $ & $ I
k o j } j k # $ & (
6 " $ 9 0 ` $ V 0 4 4 0 $ V r t u w I & " V & @ e r w h H ( & "
0 $ 6 $ 9 0 0 ` & r t u w ` $ V 0 4 9 I 0 0 $ & V ` t u 2
0 9 U ` $ V 4 0 $ 0 9 & " 0 4 t I
4 5 7 9 t H
U V @ ( $ " c 9 " V ( $ 0 4 4 0 $ V 9 t H & 9 " 9 $ 9
0 9 & & $ ` $ V G
D H H H H F i i D H F 9 9 D
$ & 9 U 0 0 ` & " ( & " 9 $ 9 9 " V ( $ 6 0 9 9 " 0 & ` ` & $ I
4 0 0 6 9 @ P P R ` $ 0 @ $ & V & 9 ( " 0 4 " $ $ 0 9 9 U 0 " G
T U W Y
a c e a
T g
U i
a p
Y W Y
T U
U s u i v
p e
Y
x x e
` $ 0 0 4 V & $ 0 ` $ 0 0 4 0 4 " 0 $ V ( " 4 0 $ & $ U 6
` & 9 9 & @ U $ 9 6 & U I
" ` ` 0 & $ ` $ V 0 4 4 0 $ V 9 t H I 0 9 $ 9 " V ( $
9 H
9
4 0 $ & 9 U I 0 $ 0 $ 9 0 $ U ` $ V
0 4 4 0 $ V 9 t u H 4 U
& 6 $ 9
6 0 " & 0 ( 0 4 4 0 $ V 9 t u H 6 9 0 I " $ &
& 0 4 4 0 $ V 9 t H I 9
4 0 $ & 9 U 6 & 4 0 " 9 & 9 0 $ ` $ V
0 4 4 0 $ V 9 t H I & 9 $ ` & ` $ 0 9 S 9 U 0 0 4 ` $ V 0 4
4 0 $ V 9 t H 9 S 9 I
9 I i I i D I 9
9 D H
& ` $ V 0 4 4 0 $ V 9 t H I
9 D H 2 F D H
6 & & @ & 9 & ` $ V 0 4 4 0 $ V 9 t H I P @ & 9 G
9 D 2 F D H H 9 2 H H H 2 H D F 2 D H
m n z | ~ z
i i
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
24/168
V 2 H & ` $ V ( " 0 4 4 0 $ V 9 t u H 9 H u H I 0 6 $ D F 2 H D H
` $ V & 9 e D F 2 D H e H h h 9 H F F H I & $ " 9 0 ` ` & (
9 D 2 F D H D F 2 D H H F H 2 F i 2 9 F 9 i H
V V & ` $ V F H 0 4 4 0 $ V 9 t H & 9 & $ @ 0 9 0 4
4 0 $ V 9 t u H I
~ 7 r w @ e r w h H
r t u w
` $ 0 0 4 0 " 0 4 0 ` 0 4 0 " $ I 0 " 6 ` $ 0 ( & ( U & ` $ 0 0 4 4 U 0 "
& & H i F 4 $ 0 V 0 $ 9 " 9 V $ I
n z k o j } n k j j k j
$ & $ 9 S 9 U V & 9 U ` $ V I
& 9 6 & U 0 V 9 @ V 0 $ ` $ c
0 9 $ & V & $ C " 0 9 G
0 6 V & 9 U 9 9 @ $ & $ $ c
) 0 4 & 9 @ $ I
7 0 6 V & 9 U 9 @ $ & $ $ 0 4 4 0 $ V 9 t H c
0 4 & 9 @ $ I
0 6 V & 9 U ` $ 4 C " & $ & $ $ c
$ 0 ` $ 9 0 4 & 9 " V ( $ 9 9 & V 0 4 ` $ 0 ` 0 $ 0 9
0 4 ` $ 4 C " & $ 0 & 9 " V ( $ 0 9 $ @ 0 I 0 $ ` $ U
V
-
G t & 9 & ` $ 4 C " & $ t
9 9 " V $ & 0 $ $ 0 " @ U t & 9 t t I
P ( $ C " 0 9 G
0 6 V & 9 U 9 " V ( $ t & $ ` $ 4 C " & $ & & 4 " 9 0 9 0 4 t c
P U V ` 0 & U & 9 6 $
t I
0 & @ 0 0 C " 0 9 G
0 6 V & 9 U 9 " V ( $ t & $ ` $ V c
e t h
-
` $ V t
0 0 $ & V `
e 2 h
-
i
& 9 0 V ` " & 4 6 V 0 $ & " 0 4
e t h " 9 @ P P R G
i
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
25/168
U i Y a c e a
T g
U a
Y i Y x x e
T g
U W
a p
Y Y
W
U W u
p c c
Y
Y
U W u
p c c e e e
p c c
c cs
c c
s
c c
c c
c c p c
c c p
0 6 $ & 6 & @ $ & ` 0 9 ( & ( 0 & $ I 6 0 0 & $ & @ 9 I I I
& " ` 9 0 V 0 4 4 $ V 0 " 9 9 @ ` $ V I U 9 0 4 4
& 0 V ` "
e t h 4 0 $ t " ` 0 V 0 9 I
e h i HG 2 H 2
e 0 9 9 0 6 4
& " @ 0 $ @ & 9 6 $ I h
& " 0 9 " $ 4 0 0 6 9 @ G
~
4
e t h
t 0 @ e t h
V
e t h
t 0 @ e t h
H
6 9 0 ` $ 0 0 $ V 9 & I 0 $ V V ` & t e 0 @ e t h
r h & 9 ( " 0 & ` ` $ 0 V &
e t h 4 0 $ & 9 U r I 9 4 & r H ( 0 I
U i Y
a c e a
T g
U
a
Y i Y
x x e
T g
U W
a p
Y
p c
Y
W
U W u
p c c c
Y
Y
U W u
p c c c e
Y
Y W u
p c c c
U
g
U W u
p c c c e
v
p e e e
p c c c p
p
c c
cs s
c
p
p
c c c
c
c
s
s
s
c
c c
s
c c c
s c
s
p
p
p
c
s s
sc
s
c c c c
s
c
s
p
s
c c
c c c
ps
p s s
c p
s
p
c c c
s
s
c c c c c
p
c
s
c c c p c c
p c c p
c
s
c c
c
s s
p
c c c p p p
p p p c s
s
p
p
p c
c p p
p c c c c p p p
c p
s
p c
c c
c
9 I I D
P 0 ` & 0 $ 6 0 $ & $ 0 " 9 9 @ ` $ V ` $ 0 ( & ( U 9 &Y 6 ` & I I @ I
g
W
W
g
g W
T
T
g W
W
i
i
g
P " @ 0 V ` " & 0 9 G
e H
h i H 9l 2 H D i 2 2 F H F 2 i F
e 0 9 9 0 6 4 0 $ " $ 4 $ @ I I I h
i 9
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
26/168
4 " 9 0 9
e t h
H
0 @ e t h
t
& 0 & @ 0 0 & ` ` $ 0 V & 0 9 0
e t h I
4 & V 0 " 5 C " & 9 0 & $ 0 9 &
e t h e t h u e
t 0 @ e t h h
e & 9 0 $ H ` $ ` $ 0 ( V I h
U
p c 6 e a c p
s
p c
c
U
p c 6 e a c ps
p s
ps
p c U
W
e
g
U i
e U i v
pI e a c p
p s s
p
s
U
e
i
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
27/168
! # %
& ' ( 0 1 ( 4
~ 5 5
7 S 9 $ 9 @ 0 4 9 @ $ V 0 " 0 I P $ 0 0 $ V & 0 $ V 6
& $ & 4 @ e t h H 9 t 8 @
B D
H e V 0 h I
F G n o
H P R r w & 9 S I 9
r
D
w e V 0 h
4 r w I
& $ U " &
U r w
X
9 6 & U 9 & ( 0 " G r 0 9 @ $ " 9 0 w V 0 " 0 4 6 & 9 @ 4 $ 0 V w 0 r
( U & 9 @ V " ` 0 4 I
0 9 @ $ " 9 V 0 " 0 & 9 Y I
0 4 C " & 9 &
& $ 9 @ 0 4 9 @ $ V 0 " 0 I C " 0 9 0 4
$ 9 @ ( U & @ 9 $ & ( U I
I H I i
i H 9 H i a c a H c a i c
6 $ 6 a r c 9 0 C " & 9 & 0 4 r I
F i k o j o p r s t u
" ` ` 0 r r w w w w & 9
r
D
r
w
e V 0 h w
D
w
w
e V 0 h
i 2
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
28/168
9
r u w
D
r
w
u w
w
e V 0 h e I H h
r w
D
r
w
w
w
e V 0 h e I i h
0 V & 9 0 S 9 u & 9 ( U a r c u a w c a r u w c & 9 a r c a w c a r w c I
4 5 7 @ e U h H
r U
D
w U e V 0 h
r
D
w e V 0 h
U S 9 0 9
r U w U e r w h U
9 @ e U h H 4 0 0 6 & r w 0
r
D
w e V 0 h
& & V I
4
5 7 7
$
r u H w u H U u
9 H
D
H e V 0 h
r u H w u H U u
D
r u w u U u e V 0 h
4 $ 0 V 6 ` $ 0 ` 0 0 9 4 0 0 6 I
V & $ U U 0 " & 9 S 9 $ " 4 0 $ ( U ( U F & 9 H H I & & ( 0 "
( U ( U D c
F j o j n k k m k t j p j }
H P 5 o 5 P V 0
" 0 & " (
0 4 6 0 $ " 0 9 V 0 " 0 & $ 9 I 9 0 $
6 0 $ & 0 V ` 0 4 $ " & 0 0 4 $ ` $ 9 4 0 $ & C " & 9
& 9 I
0 V & V ` G
H i H
& 0 V ` 0 4 $ " V 0 " 0 I 9 & 0 V ` 0 4 $ "
H H i i
i D
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
29/168
7
r
@ e r h H r
r t G t
4 r t
D
r t w e V 0 h 6 t t w
9 P $ 0 ` 0 0 9 I i I H V ` & t
D
t w e V 0 h I & "
& 0 V ` 0 4 $ " V ` & t t w I "
V 9 0 4 r
& 9 $ " 0 9 V 0 " 0 I 4 0 0 6 9
-
r
& r
& 0 V ` 0 4 $ " V 0 " 0 I
H P R P & 9 C " & 0 9 0 4
4 0 $ V
r t
D
w e V 0 h
4 5 @ e r h H Y
r t
D
w e V 0 h
( & 0 V ` 0 4 $ " V 0 " 0 e 4 0 $ & V `
H
H h I 9 ( U V V & I I i r
& 0 & 0 V ` 0 4 $ " I " $ & 9
V 9 r t r
" & r t
D
w e V 0 h 6 ` $ 0 ` $ 0 ` 0 0 9 I
` 0 9 9 ` $ 0 0 4 & 4 V " ` & 0 9 ( U r S 9 & V & `
6 V " ( " $ ( & " S 9 I
i t
D
e V 0 D h
H i 9 2 I 9
i
i 9 2
D
H H
D
H i
D
0 i
D
e V 0 D h I
R
0 & C " & 0 9 r t
D
w e V 0 h V @ & & 0 " 0 9 9 4 @ e r h
H I
0 0 9 $ " " & V ` r ( & 9 U 0 $ 0 4 t & 9 U 9 " V ( $ & 9 w r t I
0 0 $ & V ` i t
D
2 e V 0 h & & 0 " 0 9
F z j k n { } j o j j k j
H ~ S & 9 t 6 @ e t h H I 0 4
t V 0 " 0 V & S " &
t
D
H e V 0 h
V " 0 6 & S 9 0 9 V & 9 I 0 0 0 6 $ 4 U & "
& 9 I 0 9 $ t t
t
V 0 " 0 I $ & $ 0 9 U S 9 U V & 9 U $ "
& V 0 " 0 0 6 V " 9 " & U S 9 6 0 9 @ $ 6 " &
t
D
t e V 0 h
9 @ e t h H P $ 0 ` 0 0 9 I i I H V ` & 6 & 9 & 9 t & 9 0 9 "
&
t
D
H e V 0 h
i
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
30/168
H 7
4
5
e h
-
r S G r & 9 @ e r h H
0 0 $ & V `
e H h
-
H H
e h
-
H i 9 9
e H i h
-
H D H H 9
4 & 9 U ` $ V 9 " V ( $ 9
e h
-
H i H H
~ ~ @ e t h H
t
8 @
B
D
H e V 0 h
r G H r & 9 @ e r h H
9 & V 6 & U & 6 ` $ 0 V V & I I i 6 & $ " 0 9 V 0 " 0
0 4 V 9 0 4 t
& $ & U & V & $ " 0 9 0 4 V 9 0 4
I
"
e t r h
r e V 0 h
9 ` $ 0 " & $ 0 $ & U & V 9 " V ( $ V 0 " 0 I 0 6 & 9
r 0 9 ( 0 0 @
t
D
H e V 0 h
& & V I
0 4 9 $ ( V 9 0 4 & @ $ 0 " `
e h a r c G @ e r h H
@ $ 0 " ` & 0 $ $
e h I 0 $ V I 9 I & $ & 0 $ $ 0 4 & 9 V 9 0 4
e h 0 $ $
e h 0 4 e h I & ` & & 0 4 V 0 $
@ 9 $ & 0 $ V & 4 & S 9 @ $ 0 " ` & 9 9 0 $ $ 0 4
-
I
F
F n n z z j j s
& 0 " & ` 0 4 ` & ` $ & 9 & 9 6 $ 4 0 0 6 9 @ 6 0 C " 0 9 G
H I & & 9 $ & & & U 0 " & $ 9 9 " $ c
i I & ` & $ 0 4 " $ U 0 " S 9 V " $ U c
i F
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
31/168
! #
& ' ( 0 1 ( 4
~
0 9 0 $ V
9 R V & 9 $ 0 $ V
" ` & U 0 4
o } { } j k j
~
5 H
e H h
D
H e V 0 h
2 I H I i
a
-
p a
U
v
p e
-
-
a
a p
-
a p
U
v
p e
-
s
a c
c c c
U
vp e
-
-
a p
S $ 5 & 9 ` $ 0 & e H h
D
H e V 0 h I
4 r H i H 9 C " & 0 9
r t
D
H e V 0 h
& & " 9 C " 0 " 0 9 r w H i H I 4 r r w 9 r
D
H e V 0 h 0
r
H e r H h e r u H h 0 e r H h 0 $ e r u H h 0 r H H I & 9 "
` & $ 0 V 9 0 4 i i & 6 9 $ I "
i e i h
D
H e V 0 h
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
32/168
" ` U 9 @ ( 0 ( U H ` $ 0 & e H h
D
H e V 0 h I
6 e H h
D
H e V 0 h & 9 ` $ 0 & V " ( ` $ V I
" ` ` 0 9 0 0 & & 0 V ` 0 9 " V ( $ 9 I ( & ` $ V 0 $ 0 4 I
9 0 e H h I P 0
e e H h H h
& 0 9 $ & 0 9 ( & " & ` $ V & 9 & 9 " V ( $ r & 9 & 0
r H 9 6 0 " 9 & 0 r e r H h H I
2 I H I 9 H D 6 &
i H e i F h e 2 h e 9 H h e D h e H h e H H i h e H 9 H H h
D
H e V 0 H D h
6 $ 6 & ` & $ " ` 9 " V ( $ r w 4 0 $ 6 r w
D
H e V 0 H D h I
0 9 0 $ V 9 P P R G
g W U W
e a
g
U U W v
p e
Y W
e a a
g
U v
p
Y W
e
g W U
e
-
a p
g W U
p c e
-
p c a c
g W U e
-
p p a p
g W U c c p e
-
p a c
R 9 ` $ & & 0 $ $ ( U 9 9 6 & U 0 6 $ 0 $ 9 0 &
9 " V ( $ ` $ V I
j k o j } j j n o s j k j k j
" 9 " " & 9 9 @ e 9 9 " $ U P7
h G
$ & $ $ & 9 9 @ 6 0 9 " V ( $ " 9 9 0 6 9 I R ` & U
( U $ V & 9 $ i ( U $ V & 9 $ & 9 ( U D $ V & 9 $
i I & 6 ( 9 " V ( $ c
9 V 0 $ 9 9 0 & 0 9 " 9 & 9 @ " 0 0 4 0 0 6 9 @ U V 0 4 C " & 0 9 G
t
D
i e V 0 h
t
D
e V 0 h
t
D
i e V 0 D h
9 R V & 9 $ 0 $ V & $ & & 0 " 0 9 0 " 9 C " 0 9
& 9 ` $ 0 0 4 @ & V 0 0 S 9 & 0 " 0 9 I
~ 7 ~ P ~ r w
S @ e h H
t
t
D
r e V 0 h
t
D
w e V 0 h
H
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
33/168
C " & 0 9
D
w r e V 0 h
& & 0 " 0 9
9 @ e h H I t r u
I 9 $ 4 U & t &
0 " 0 9 0 6 0 C " & 0 9 I 9
t
D
r u e w r h
D
w e V 0 h
& 9
t r u
D
r e V 0 h
0 6 6 & 9 0 " 9 ` $ 0 ( V G
t
D
i e V 0 h
t
D
e V 0 h
t
D
i e V 0 D h
0 $ 6 " 0 $ V 0 S 9 & 0 " 0 9 0 ` & $ 0 4 C " & 0 9
t
D
i e V 0 h
t
D
e V 0 h
r i w I ` H 0 S 9 & 0 " 0 9 0
D
i e V 0 h I
P 0 " 0 9
i I 9 t r u
i u i I 9 & 9 U t w 6 t w
D
t
e V 0 H h & 0 & 0 " 0 9 0 0 6 0 C " & 0 9 6 & 9 0 & $ C " & 0 9
( U S 9 9 @ & 0 " 0 9 0 ` & $ 0 4 C " & 0 9
t
D
e V 0 H h
t
D
i e V 0 D h
P @ & 9 6 S 9 & 0 " 0 9 0
H
D
i e V 0 D h I P 0 " 0 9
H 0
t r u
u H i
0 & $ & $ 0 $ 0 " 0 9 I P 9 U t w
D
t e V 0 D h & 0 & 0 " 0 9
I @ I i u D H i I
& 9 & 0 0 " 9 ` $ 0 ( V 9 P P R G
W
U
g
U
Y
e
Y
g
U Y
e e
-
p
a g
U Y
p e
W
U
g
U Y
p e
Y
g
U
Y
e e
-
p
s
a
g
U
Y
p c e
r t o z o p n o j z t p o }
H P 4 " 9 0 9 G S 4 6 9 $ S
& 9 @ e h H 6 &
e h e h e h
i
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
34/168
R & &
e h
-
r G H r & 9 @ e r h H
4
5 7
" ` ` 0 & S & 9 @ e h H I 0 9 $ V & `
U G H U & 9 @ e U h H
r G H r & 9 @ e r h H w G H w & 9 @ e w h H
S 9 ( U
e U h e U V 0 U V 0 h
~ 5 4 e U h e U w h 9 U U w & 9 U U w 0 9
@ e h H U Uw
0 U Uw
I
~ 5
9 r w 6 @ e r h H @ e w h H
9 R V & 9 $ 0 $ V V ` & $ U 6 U
D
r e V 0 h & 9
U
D
w e V 0 h I V & U & " V & H U & 9 9 @ e r h H & 9
@ e w h H 6 V " & @ e U h H I " e U h e r w h I
& " & ( 0 9 0 9 4 & & V & ` $ 0 "
0 9 $ @ I "
e h
e h
e h
2 I I ` $ 0 ` 0 0 9 V & & $ 0 0 V ` "
e h I 0 0 $ & V `
e H i h
e i
h
e h i i 9
P 0 4 0 $ H 6 &
e
h
9
e
h 9 " V ( $ 0 4 9 " V ( $ & 9
V 9 " 9 " V ( $ 0 4 0 &
& $ ( ( U I " I @ I
e F H H
h e H H
H H h H H 9 i 2
4 " 9 0 9 & 0 & & & ( 9 P P R G
U
u
p p e
-
p as
c
0 V ` " 9 @
e H @ 9 " V ( $ h $ & U & U 0 $ $ & U & $ c
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
35/168
! #
& ' ( 0 1 ( 4
H I 0 6 0 0 r t
D
H e V 0 h 9 U I
i I 0 6 0 0 V ` " r
e V 0 h 9 U I
I P ` $ 0 ( & ( ` $ V & U I
j # $
r S 6 @ e r h H I 9 6 9 0 6 & r t
D
H e V 0 h & & 0 " 0 9 I
0 6 & 9 6 S 9 t c
4 5 r w @ e r w h
t
r t u w
6 0 9 @ & 4 0 $ V & ` $ 0 0 4 0 4 ` $ 0 ` 0 0 9 0 " @ $ & $ V & 9 U 9
$ & " $ I 9 & 6 0 6 U 0 " 0 6 0 S 9 t & 9 9 ` $ & ( & " &
6 & U 0 " 6 9 0 0 9 0 $ $ 0 0 C " & 0 9 r t
D
H e V 0 h I
D I H I i r & 9 w D I ` 0 4 " & 9 @ & @ 0 $ V & $ G
D H u i 0 i D
i i u H 0 H i i i D
X
9 $ @ 6 & 6 $ 9 & ` & $ & $ V & 9 $ & & 9 & $ 0 V ( 9 & 0 9 0 4 r
& 9 w I 9 & ` 6 6 $ @ e r w h & & 9 & $ 0 V ( 9 & 0 9 0 4 r & 9 w &
$ I
& & V ` 6 & 9 0 0 0 V ` & 9 6 $ U & V " 0 9 @ $ & V ` I
9
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
36/168
D I H I r H & 9 w 2 H I &
H i 2 H u 0 H i 2 H
2 H D u 0 D H u H 2 H
H u 0 H H D 2 H
H u i 0 i H H u i 2 H
H i u H 0 H i H 9 F 2 H
" t H & 9 9 F I
D I H I 9 0 0 $ 0 " $ ` $ 9 ` " $ ` 0 6 & 6 & U ( " 9 0 S 9 0 9
0 " 0 9 0 r t u w
I 9 4 & $ & $ & 6 & U 9 S 9 U V & 9 U 0 " 0 9 I 4 t
& 0 " 0 9 0
r t u w
9 4 0 $ & 9 U
r t u
w
u w
r
& 0 & 0 " 0 9 & 9 & 0 " 0 9 & $ 0 4 & ( 0 4 0 $ V 4 0 $ 0 V I
& 0 ` 0 ( 0 0 V ` " t & 9 " 9 @ P P R I
g
g
U i Y
e v
W
g W
g
g
Y
Y
a
U i Y
e
W
u i
x
u
a
g
U
p
c
Y
p e
-
p a Y v s
Y
p
" ` ` 0 @ e r h H I 0 0
r t
D
H e V 0 h
S 9 t & 9 " & r t u H I 9
r t
D
r t u
D
H e V 0 h
D I H I 0 H D t
D
H e V 0 2 H h I 0 $ 6 " " & 9 & @ 0 $ V 0
S 9 t " & H D t u 2 H H G
2 H H D u H 0 H 2 H H D
H D H H u D 0 D 2 H u 9 H D
HB H D u 0 i 2 H D H D
i u H 0 H 2 H u H H D
" t H & 0 " 0 9 0 H D t
D
H e V 0 2 H h I
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
37/168
k z t j # p o j
P 6 6 0 9 0 $ & U & C " V 0 0 0 V ` " r
e V 0 h & ( 0 " U
0 ` " ( U $ U ` 0 @ $ & ` U I
R 0 V ` " r r r e V 0 h ( U $ ` & U V " ` U 9 @ ( U
r & 9 $ " 9 @ V 0 " 0 I ( & " & H V " ` & 0 9 I
P
R 4 0 0 6 9 @ 0 ( $ & 0 9 U & 6 V &
$ & @ 0 $ V 6 0 $ I $
i
6 &
H I I 6 $ 9
( & i e ( 9 & $ U h I 9
r
r
e V 0 h
$ & @ 4 0 $ 6 & $ 0 6 $ & 9 " V ( $ 9 ( 9 & $ U & 4 0 0 6 G !
#
H & '
#
2 4 7 8 9 @ B D F & e
h 2 ! ' !
H
& '
2 T 7 & 7 9 ! ` a ! 8 2
D I i I H
4
c e i 2
o 0 V ` " 2
e V 0 H h I
2
V 0 H
F H H 2
H 9 H 2
i i i F 2
HY H H H 2
9 H 2
i 2
2 H H F 2
P & 9 0 & F H H H H H H i
u i f u i
u i u i
#
I 0 9 & U 6 &
2
2
g
2
i
2
p
2
2
D
F 2 2 H 2 2 2
D
2 e V 0 H h
o 5 c c S $ 0 " V 9 & ( " 0 ` $ &
0 4 I 0 9 0 " V 9 & ( @ 0 ( U 9 @ 9 $ U & ( 0 ( U i
& 9 & 9 @ 9 @ $ ` & $ 0 4 $ " I $ 0 " V 9 & (
V ` U
$ 0 $ 6 $ 0 $ 9 0 0 9 0 " V 9 0 I 4 0 $ 0 " V 9 0 V ` "
( U C " & $ 9 @ V 0 " 0 H 9 $ U & ( 0 I
0 V & V ` 9 P P R 0 0 9 9 U 0 " & ` 0 6 $ 9 @ 9 0 0 " G
g
Up
Y e c c c
-
p
a
g
U
c
Y
e
g
U c
Y s c
sc
e
s
s
s
-
ps
a g
U
p
p
s Y s
c s
c
e
( 0 & 9 0 9 0 & ( V I
2
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
38/168
i k q n q o o } o p k o n o j }
R &
~ $ U r
D
e V 0 h
r s
D
H e V 0 h
" 4 S & 9 I @ I i
s
D
H e V 0 h 9 6 & ` $ 0 &
` $ V I 4 0 6 $ r
s
D
H e V 0 h 4 0 $ & 0 " ` 0 4 r 9 @ U U
& ` $ V I 6 9 0 & 9 & U ` $ 0 ( & ( U $ ( " 6 V @ & $ 9
0 " $ I
D I I i i I ` $ V c 0 V ` " i
V 0 " 0 i I & 9 @
& & ( & & ( 0 6 &
i
V 0 i
iY i i
H H 2 H H 9
i ) H 2
92 i 2
9 i) i F
HB H i
2 H H
D i H D
H H
"
i
D
9 H
D
H D e V 0 i h
0 i 9 0 ` $ V I 9 4 & i H D H F I
` 0 ( 0 ` $ 0 & & & $ @ 9 " V ( $ 0 V ` 0 ( " U ( " 9 & ( 0
e & U h S 9 & 4 & 0 $ & 0 9 0 0 $ & V ` 4
F 9 2 F 9 2 F 9 F 9 F 9 F F 9 F 9 F
9 i
D
H e V 0 h 0 0 V ` 0 I 0 V 9 @ 0 9 0 " $ 4 U 9 &
$ & 0 9 & ( & V 0 " 9 0 4 V ( U & 9 I e 0 " @ S 9 9 @ & 4 & 0 $ & 0 9 ( U & 9 6 0 "
( $ U " h
t
g
U W Y
a e a
g
U
Y W
e
U W v
p e a a
g
U
p
Y W
e
ia c
s c
s
sc
sc
c
s c
s c
sc
c
s c
s c
c
s
-
a
s c
s
sc
sc
c
s c
s c
sc
c
s c
s c
c
s
T g
U
a c
Y
p c c
Y
T U
g
U i
x
u
Y
e
Y
W
U
e e e
a
i
x
u
-
a
s c
s
sc
sc
c
s c
s c
sc
c
s c
s c
c
g
U
Y
e
-
a p
D
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
39/168
! # u
1 v w 4 y & '
w y v v ( 4 ( 0
P ( k l U k n U ` 0 @ n ` U
l
7
l l V 9 l U l k 9 @ l
t q o p z j k k z m k n z
V | k } V V 9 k l 9 4 } n V } 9 } k l 6 } | } | 9
} V l l n | 6 U I
l n k } V V 9 k } 9 | n l l 9 @ V } 9 } n l U
l } l k l
6 k V | 9 } | k } l n l V l | | @ l I 4 9 k l k } | } V l } 6 @ n l l
} 9 | l k n l l 9 k } 9 @ l U l U k } l 9 k n U ` l n V l | | @ l I 0 } n 9 l U
9 } 6 | } 9 @ } n V l l } ` l U
7
l 9 l V 9 9 H F D 2 I
j o j j n j p n m j k p
9 k l @ n l l } 9 ` n V l 9 V l n 9 9 9 l @ l n | } n l n H
V } } I e }
s
D
H e V } h
D
H e V } h 4 } n 9 U ` } | l H I h
k } } | l | n 9 } V 9 V l n 9 k l k } } | l | n 9 } V 9 V l n
I | l 9 |
e V } h } k l 9 k l | l 9 |
e V } h }
I k 9 9 } 6 k } V ` l l | l k n l l U G
e
h
e V } h
l 6 | l k l k } V ` l | l | l k n l l U G
e
h
e V } h
} 6 | l | l | l k n l l U
} | l 9 k l 9 l 9 k n U ` l l n | } 9 } 4 l n k n k
V l | | @ l I k l 6 } | } 9 } 6 |
| l } l k } l l V l | | @ l I
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
40/168
l 9 6 l k l n | 9
l } l k l | l l }
e V } h 9
e V } h
l U n l 9 l } | l | 9 4 } n V } 9 } l k l l l n } n
e V } h
C k U l 9 } @ } | } ` k l 4 n } V 6 n 9 @ l n ` 9 | I l
l
7
l l V 9 l U l k 9 @ l | l S n | ` k l U k n U ` } | U | l V l l n U `
| l e H F D 2 h I
l | U | l V 6 | | k } l n l U
e n | 9 l @ l 9 k l h 4 l 6
U l n | l 4 } n l7
l 9 l V 9 4 } 9 l U k } 9 l 9 U } 9 l } l n
6 } n ` l n ` | 6 | | k } l n l U } l n | l 4 } n l I
| | U | l V 6 | | k } l n l
9 l ` l 9 l 9 U V } n l 9 } 9 k l | } 9 | n ` n | l U } @ l 9 } 6 | V ` l |
P n l l }
7
l l V | n } n l n k l | V | l k | l l
n l l l n I I } l | U |
l U ` n } ` } | l k } ` l } l k l | } n V ` l V l l
| U | l V l n l l l n | k } k l I
T T
Y -
T
W Y
W
g W
W
g
W
W T g
g W
g
v
U
p
e
Y W g
Y s s v v
s
l } n | | k | | | } V l } l n l k l n l | | k } V V k } | l
} n U l n | l } } l l l } n | l k n U l l U | n }
k l |
l U k } k l n l } l | l } k ` l n | } n l | n k l l n k
} } } n V } n } V k } V V k } } l n | l k n l a k l c
| | l } l n | V | | } | n } | l l U }
l k } V l ` n } l V l k l k U } | l k n U
l } n | | l |
n } | ` } | | l ` ` n } k l | } } l | l n l n ` n } l V | n | l
l S n | l U k ` k l U | n } | U | l V k | l l
n l } n l l l | n } ` ` l n S k } V ` } U
l | l } l k ` l n l V l | | l | k l l l k ` l n l k ` l n
n l } l n l U | k l U |
l U ` n } ` } | l k } ` l } l k l | } n
V ` l V l l | U | l V l n l l l n | k } k l
} V l } U V l
l | n } ` l n } l F F } ` } k V ` k } |
l F D 2 ` k } } l
7
n l k } | n U ` } n ` U U S l
7 l n l V | l ` } k k n U ` } n ` k | } n U U
n l n | l l } ` k l U k n U ` } n ` U } } | } S n |
| } | l k } V l } } l } l n ` n k U k l n l |
l V l } | } l n l U k U l n | ` k l
l n l | 7
l l V } } l n l | ` l k l U
F
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
41/168
j j { } k o
} l l | l n l | k } } | l n l | k | n l | }
n l k l } n k
D
}
l } n l n } | } n | } l } n l n } | l | } k } l
0 } n } n n | l l l
l | } n l n }
| l k }
W
g g
P
R } k | } | k } l l } n l n
} l k } l n } n l n
} } | l | | l k n l | l |
D
}
} } | l | | l k n l | l |
D
7 }
P 5 o
o
D
}
k l
D
}
p
j m
q
l l } | l n l l n | l k
} }
| l } k } | } l | l } } n } l l | l } l n
} l } l | k
| l
k k } n k l |
}
}
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
42/168
l | k n l l } n } l | l } l } | n } l } } #
$ %
' ) 1 3 c 5 l } #
} # 9 } l n
k } l }
l A C # C
| n | l } | n } l | F G I P R T I$
} | } l k X } }
| l k } n } l l | k n l l } k ` l | } l k
l n | n l } l l n l n } | k k l l l b ` | l | } n l
e g h
n } n } | } l l | k n l l } n } l
l n l n l l l n l } |
l } ` | k | | l | k | |
p q r t v w x y x t t x w y
w q y x r y t y t t x j
p q r t v w x y l o w q y
p q r t v w x y j o w q y
} l l l } l | n } } | l
l ` | n | n l n n l
p z z r | y ~ l
l ~ l
p r t z r | y y z
~
p
w q y o w q y z
j ~ l
p x o w q y z
o w q y ~ l
p x l ~
o w q y
j ~ l
p q r t v w x y x
l ~
| | | l n l | } k n k
l ` | n l l l n } l
p z ~ j l
j j j
~ j l
j j j
p x o w q y z
o w q y ~ j l
j j j
p x ~ l
j
o w q y
l ~ ~ j
~ j l
j j j
p q r t v w x y x r t r v
~ l
j
p v w x y x r v r t z w z r | r q t r w t w t w q
~ l
j
} l | k n l l } l | | } k l n l n l l l # }
l l n } | } l } | l | l | k n l l } k k n l n
-
r t v w x r | t r y
w | v q
v r v r
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
43/168
w
o
z j j
l j j j
- z v t q w w w q w q r t v w x r |
z w v | - v w w | z q r t v w x r | t r
y r t t q w r w | w w r o
q r z w t t w t
r x r v
v z
l j j w | z z z w
w v v w q r t v r | z v | r w w x v r w
r v q
r t q t r q w | w r v z w r w r
q v |
q ~
t t w v x t t w | z r w z r w t v q w t
z w | q r y j
w o ~ t r x v x w r | q w w z z t | r
w l
w t w v t r w r | q w w | z r x q r t
v w x r | t r y w o
q r z w t t w v z t
l j j w | z r t z z w r | r v w t w w t r r x
t z y q t q v r v x t z y j q t r t z w | q
w r
y
t t v t o w v r
w r w t
v q
y
t v r v
0
p z z r | y ~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l
~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~
p r t z r | y y z
l j
p x w w q z r | y z r v y r t z r | y y z z z r | y z z
p x w w q z r | y z
~ ~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~
p x
p w q y o w q y x z
~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~
j
p p q w |
q w | y
q w | r x j q
p r r q w | y z
l ~ ~
l ~
~ l
p | r v q w | y z
l l
l
~
l j j j j
p r r t o w q y x z r r
o w q y
j
l
l
j ~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~
p | r v t o w q y x z | r v
o w q y j l ~
~ ~
j
~ j
~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
44/168
p t r r t | r v
l o w q y ~ ~ l j l ~ ~ ~ ~ ~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~
p t | r v t r r
~ o w q y ~ ~ l j l ~ ~ ~ ~ ~ j ~ l j ~ l j ~ l j ~ l j ~
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
45/168
6
%
5
! # % ' %
1 3 5 7 8 # @
A
% @
3 ! # % ' % F F @
3 ! # % ' H I I ' I
P
# % '
1 % F R @ ! U # % '
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
46/168
X X
a b d e f h p f r
t u v w x y v v
7
# % F
1 # I ! U !
! U @ U % I ! 5 @ !
U %
R 5 % @ ! # U %
k
# l l
k
%
% @
3 ! # U %
R 5 % @ ! # U % o
I 5 @
!
! # ! # I I
R U
X
#
# !
k
I
k
! U @ U H 3 5 !
o
k
7 5 !
F R U %
7 U F
8 I
! U @ U H 3 5 !
o
l
t | } x ~ v y
# I
U
X
#
# ! H
I U %
R 5 % @ ! # U %
o
l
X
#
# ! 3 # @
I ! U 8 ' 3 # H I
#
% F
k
% F 8 ! I
#
l
l
b
! # I I
R U
X
#
# ! ! U !
% @ U H 3 5 !
#
#
l
X
#
# ! %
! @
U U I I
% F U H
# % ! ' # !
% F ' @ F
l # % 8 8
k X
#
# ! 5 I I !
8 ' U # !
H R U H
@ ! 5 ! U % F I U 8 5 ! # U % ! U !
5 ! # U %
H U F
G
1 '
5
X
#
# ! F % I R 5 % @ ! # U %
o
C C
C C
o
@ 8 8 !
!
C C
# !
F F # ! # U % % F H 5 8 ! # 3 8 # @ ! # U % H U F 5 8 U
l
% %
7 U F
@ % @ U H 3 5 !
o
R # 8
5 # @
8
5 I # % ' !
3 ! F I 5 # % ' 8 ' U # !
H
R U H
@ ! 5 l
X
#
# !
`
I
# I !
3 # U R # % ! ' I
k
# @
# I 5 I ! % U 5 '
# % R U H
! # U % R U 3 U 3 8 ! U I # 8
@ U H 3 5 !
o
l
X
#
# !
% U I % 5 H 7 I 5 @
!
!
H U F
k
I U
k
I # 8 8 I 7 8 U
k
I
@ % 5 # @
8
@ U H 3 5 !
o
l
X
U # @
8 U
%
U 8 8 @ ! #
@ % I % F
X
#
# ! H I I '
%
!
% !
k
% # R
X
#
# ! # I I 8 3 l
8 U U
5 3
U ! U @ U H 3 5 !
o
% F @ U H 3 5 ! o
!
# H I I '
l
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
47/168
t v v ~ v v y
A
% @ U F
U 5 H I I ' I I 5 % @ U R % 5 H 7 I H U F 5 8 U
I @ ! # U %
l
A C C
% Fo
o
! U
X
#
# ! l
@ 8 8 !
!
o
l
t } x ~ y
%
X
#
# ! @ #
I %
o
k
I
% F I
I R U 8 8 U I
o
o
o
R U 8 8 U # % ' 3 U 3 U I # ! # U % 3 U
I !
! !
8 I ! 5 8 # !
U 8 F I l
3
%
'
e
A e
#
g
#
H U F
g
A C
g g
# % @
# R % F U % 8
# R
#
R U @
3 # H F #
# I U U R
# k
# ! I 5 @ I
! U 3 U
!
!
H U F
#
R U @
3 # H F #
# I U
#
U R
l
b
R ' @ F
# k
!
%
H U F
# k
I U
H U F
#
l
b
R ' @ F
# k
!
% H !
`
I
# ! ! 8
U H
I I ! I !
!
H U F
#
l # % @
#
k
H U F
#
I
8 8 l 5 8 ! # 3 8
# % ' 7 U !
I # F I 7
I
U I !
!
H U F
#
l
a b
# % U R I 5 % @ U R 8 ! ! I % F I 3 @ I I % 5 H 7 # % 7 I
l ! I # % ' 8 I 3 @
@ U I 3 U % F ! U
k
!
8 ! ! ! U
k
! U
k
l l l
k !
! U
#
l
5 I
k
l ' l
k
1 % ' 1 %
F % U ! I % 5 H 7 # ! ! % # % 7 I
l
@ U I 3 U % F # % ' % 5 H 7 # ! ! % # % F @ # H 8
# I
0 0 3 3 3 #
1 % ' 1 %
5 0 6
6
9
0 6
A
6
B
6
E
0 6
F
G 0 0 3 3 3 #
U @ U I !
F # ' # ! I U R !
% 5 H 7
k
3 ! F 8
F # I # F 7
0 0 3 3 3 # # # 3 3
G
6 0
# # 3 3
G G 0 3 3
6
1
% F I U U % l
t | } x v y S U v ~ W Y } a b
b
R
d
e k
!
% g 8 ! ! I @ % 7 % @ U F F # % % 5 H 7
e
l i 5 ! % U !
k
g
8 U '
e
8 U '
8 U '
9 q
e
G #
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
48/168
a b s u
x
t W y W
U !
# !
H ! # @ # I I
! U R U 8 8 U
k
5 I I H 8 8 3 # H I % F % F % @
3 ! !
I # % ' 8 8 ! !
l
l
U U I % F
!
k
3 k
I U
e
l
l U H 3 5 !
e
e
6
3 6 0 0
l % % F U H 8
@
U U I %
@
U U I
3
l
G
l U 8 I
3
H U F
0 0
I # % ' !
8 ' U # !
H
k
% F !
!
3
I U 8 I I !
5 ! # U % l
3 5 7 8 # @
# I
3
l U
o
# I F % F 7
o
E
X
!
k
% @
3 ! !
8 ! !
l
b
! # I % @ U F F I !
% 5 H 7
G k
I # % @
# I !
G
!
8 ! ! U R !
8 3
7 ! l
I
o
G G
E
3 G
U F @
3 !
k
@ U H 3 5 !
o
o
3 G 3 G
G
t | y W v
z z j | k l m | k j j
l l
j l ~ l j
~
n z j | k l m | k j o o
l
l j
l
l l
l
z
~ l
l
~ j ~ ~
j
j
~
j ~ l ~
l
~
l m | k o
l ~ ~ ~ l
j
~ l
j j l
~ j ~
j
~ ~
z j k z o k o
~ l
l
~ j ~ ~
j
l
j
j j l ~ ~ ~ l
~
j k l k z j o o
l l ~ ~ ~ l
j
~ l
j j l
~ j ~
j
~ ~
l j } k o m l k z j o k o o
~
~ l ~
j
~ l l
j l l
~
l j l
l
j l j
k l o
z j
j
m k o m k
o
l j l
~ ~ ~
~ l j l
G
-
8/9/2019 An Explicit Approach to Elementary Number Theory - Stein
49/168
@ % % @ U F I # % ' 8 7 8 U @ I U R 5 3 ! U
0
8 ! ! I l ! I % @ U F
1 % ' 1 %
| l
l
l
l j l ~