Análise Dimensional

Relembrando as definições de dimensão e unidade. Dimensão é uma medida de uma quantidade

física (sem valores numéricos), enquanto uma unidade é uma forma de atribuir um número àquela

dimensão. Por exemplo, o comprimento é uma dimensão que é medida em unidades como pés,

centímetros, metros, quilômetros, etc. Existem sete dimensões primárias – massa, comprimento,

tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de luz e quantidade de matéria. Por exemplo, a força

tem as mesmas dimensões da massa vezes a aceleração. Assim, em termos de dimensões primárias:

=

=22 t

mL

tempo

ocomprimentmassaForça

Homogeneidade dimensional: Todo termo aditivo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.

Exemplo: Provavelmente a equação mais conhecida na mecânica dos fluidos é a equação de Bernoulli.

A forma padrão da equação de Bernoulli para o escoamento irrotacional de um fluido incompressível é:

CP

zgub =∆+∆+∆

ρ2

2

a) Verifique se cada termo aditivo da equação de Bernoulli tem as mesmas dimensões.

b) Quais são as dimensões da constante C?

Análise Dimensional e Similaridade

Muitas vezes precisamos efetuar experimentos em objetos que são muito grandes, para serem

manipulados em experiências a um custo razoável. Isso incluiria escoamentos sobre açudes e represas;

interações de ondas com píeres e quebra-mares; escoamentos ao redor de submarinos e navios;

escoamentos subsônicos e supersônicos ao redor de aeronaves, escoamentos ao redor de estádios e

edifícios; escoamentos através de grandes bombas e turbinas; e escoamentos ao redor de automóveis e

caminhões. Esses escoamentos são geralmente estudados em laboratórios, com modelos que são

menores que o protótipo, o aparelho real. Isso reduz substancialmente os custos quando comparados aos

estudos em escala plena e permite a análise de várias configurações ou condições de escoamento.

A adimensionalização de uma equação pela análise inspecional é útil apenas quando se sabe a

equação com a qual é preciso começar. Entretanto, em muitos casos na engenharia da vida real, as

equações não são conhecidas ou são muito difíceis de serem solucionadas. Quase sempre a

experimentação é o único método para obter informações confiáveis. Na maioria das experiências, para

economizar tempo e dinheiro, são executados testes em um modelo em escala geométrica, em vez de um

protótipo em escala natural. Em tais casos, é preciso tomar cuidado para mudar adequadamente a escala

dos resultados. A análise dimensional é uma ferramenta utilizada para reduzir a complexidade de

programas experimentais e aumentar a generalidade dos resultados. É um meio para simplificação de um

problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de

análise.

A análise dimensional é particularmente útil para:

• Apresentar e interpretar dados experimentais;

• Resolver problemas difíceis de atacar com solução analítica;

• Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno;

• Modelagem física.

Utilização de modelos em escala

• Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);

• Podem-se utilizar fluidos diferentes dos fluidos de trabalho;

• Os resultados podem ser extrapolados;

• Podem-se utilizar modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da conveniência);

As comparações são realizadas entre o PROTÓTIPO (avião, navio) em escala real e o MODELO

em escala reduzida ou aumentada.

Princípio da Similaridade: Todos os parâmetros adimensionais relevantes tem os mesmos valores para

o modelo e para o protótipo. Para que seja possível está comparação e conseqüente a utilização dos

resultados do modelo ao protótipo é indispensável que os conjuntos de condições sejam fisicamente

semelhantes. Existem três condições necessárias para a similaridade completa entre um modelo e um

protótipo:

Primeira condição: similaridade geométrica: o modelo deve ter a mesma forma do protótipo,

mas pode ser escalonado com algum fator de escala constante.Todos os ângulos são preservados; todas

as direções de escoamento são preservadas. Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem

que ser semelhante à do protótipo, como também a rugosidade das superfícies deveria ser

geometricamente semelhantes.

Segunda condição: similaridade cinemática, é a semelhança do movimento, o que implica

necessariamente semelhança de comprimento (semelhança geométrica) e semelhança de intervalos de

tempo, o que significa que a velocidade em determinado ponto de escoamento do modelo deve ser

proporcional (por um fator de escala constante) à velocidade no ponto correspondente de escoamento do

protótipo. Especificamente, para a similaridade cinemática a velocidade nos pontos correspondentes

deve ser proporcional em módulo e deve apontar na mesma direção relativa. A similaridade geométrica

é um pré-requisito para a similaridade cinemática.

Escoamentos que possuem semelhança cinemática, os padrões formados pelas linhas de corrente

são geometricamente semelhantes.

Terceira e mais restritiva condição: similaridade dinâmica: é atingida quando todas as forças de

escoamento do modelo são proporcionais, por um fator constante, às forças correspondentes de

escoamento do protótipo (equivalência de escala de força).

Todas as três condições de similaridade existem para garantir a similaridade completa. Em um

campo de escoamento geral, a similaridade completa entre um modelo e um protótipo é atingida apenas

quando há similaridade geométrica, cinemática e dinâmica. Para garantir a similaridade completa, o

modelo e o protótipo devem ser geometricamente similares e todos os grupos Pi (π) independentes

devem coincidir no modelo e no protótipo. Onde Pi indica um parâmetro adimensional. Ou seja,

( )kf ππππ ,...., 321 =

pmpkmkpmpm entãoe ,1,1,,,3,3,2,2 :.......; ππππππππ ==== (6)

Exemplo 1: O projeto de um novo automóvel esporte, cuja aerodinâmica deva ser testada em um túnel

de vento. Para economizar dinheiro, é desejável testar um modelo em escala geométrica menor que o

automóvel em vez de usar um protótipo completo dele. No caso do arrasto aerodinâmico em um

automóvel, se o escoamento for aproximado como incompressível, existem apenas dois Pi’s no

problema:

µρπ

ρπ vL

Lv

FD == 2221 Onde: ( )21 ππ f= (7)

Na equação 7, FD é a intensidade do arrasto aerodinâmico do automóvel, ρ é a densidade do ar ,

v é a velocidade do automóvel (ou a velocidade do ar no túnel de vento), L é o comprimento do

automóvel e µ é a viscosidade do ar. Π1 é uma forma não padronizada do coeficiente de arrasto e π2 é o

número de Reynolds, Re. Muitos dos problemas da mecânica dos fluidos envolvem um número de

Reynolds.

Neste problema existe apenas um π independente, logo: pm ,2,2 ππ = , o que garante que o π

independente coincide (os números de Reynolds coincidem), o π dependente também coincidirá,

pm ,1,1 ππ = . Isso permite aos engenheiros medirem o arrasto aerodinâmico do automóvel modelo e, em

seguida, usar esse valor para prever o arrasto aerodinâmico no automóvel protótipo.

Exemplo 2: O arrasto aerodinâmico de um novo automóvel esporte deve ser previsto a uma velocidade

de 50,0 mi/h em ar com temperatura de 25oC. Os engenheiros automotivos criaram um modelo em

escala um para cindo do automóvel para testá-lo em um túnel de vento. É inverno e o túnel de vento está

localizado em um prédio sem aquecimento. A temperatura do ar no túnel de vento é de apenas 5oC.

Determine a velocidade do vento que os engenheiros devem colocar o túnel de vento para atingir a

similaridade entre o modelo e o protótipo.

Solução: Devemos utilizar o conceito da similaridade para determinar a velocidade no túnel de vento.

Hipóteses: A compressibilidade do ar é desprezível; as paredes do túnel de vento estão suficientemente

distantes para não interferir no arrasto aerodinâmico do automóvel modelo; o modelo é geometricamente

similar ao protótipo; o túnel de vento tem uma esteira móvel para simular o solo sob o automóvel (a

esteira móvel é necessária para atingir a similaridade cinemática em qualquer parte do escoamento)

Propriedades: Para o ar à pressão atmosférica e T = 25oC, ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849x10-5 kg/m.s. Da

mesma forma, a T = 5 oC, ρ = 1,269 kg/m3 e µ = 1,754x10-5 kg/m.s

Análise: Como só existe um π independente neste problema, a equação da similaridade (Eq. 7) é válida

se pm ,2,2 ππ = , onde π2 é dado pela Equação 7 e podemos chamá-lo de número de Reynolds. Assim,

escrevemos:

p

ppppp

m

mmmmm

Lv

eLv

µρ

π

µρπ

==

==

Re

,Re

,2

,2

Que pode ser resolvida para a velocidade desconhecida do túnel de vento para os testes do modelo, vm,

p

ppp

m

mmm

mp

LvLv

fazendo

µρ

µρ =

⇒= ReRe:

hmix

xv

L

Lvv

p

pmm

ppmpm

/221269,1*10849,1

5*184,1*10754,1*505

5

==

=

−

−

µρρµ

Dessa forma, para garantir a similaridade, o túnel de vento de funcional a 221 mi/h. Observe que não

tínhamos o comprimento real de nenhum dos automóveis, mas a razão entre Lp e Lm é conhecida, porque

o protótipo é cinco vezes maior do que o modelo em escala.

Discussão: essa velocidade é bastante alta (cerca de 100 m/s) e o túnel de vento talvez não possa

funcional àquela velocidade.

O poder da análise dimensional e da similaridade para suplementar a análise experimental é

melhor ilustrado pelo fato de que os valores reais dos parâmetros dimensionais (densidade, velocidade,

etc) são irrelevantes. Desde que os π’s independentes correspondentes sejam iguais entre si, a

similaridade é atingida – mesmo que sejam usados fluidos diferentes. Isso explica porque o desempenho

de um automóvel ou avião pode ser simulado em um túnel de água, e porque o desempenho de um

submarino pode ser simulado em um túnel de vento. Suponhamos, por exemplo, que os engenheiros do

exemplo 1 usem o túnel de água em vez de um túnel de vento para testar seu modelo em escala um para

cinco. Usando as propriedades da água a temperatura ambiente (suposto 20oC), a velocidade do túnel de

água necessária para atingir a similaridade seria de 16,1 mi/h (8 m/s).

O método das variáveis repetidas e o teorema Pi de Buckingham

Neste tópico aprenderemos a gerar os parâmetros adimensionais, ou seja, os pi’s. Existem vários

métodos que foram desenvolvidos em essa finalidade, mas o mais conhecido (e simples) é o método das

variáveis repetidas, popularizado por Edgar Buckingham (1867-1940). O método foi publicado pelo

cientista russo Dimitri Riabouchinsky (1882-1962) em 1911. Podemos imaginar esse método como um

procedimento passo a passo ou uma “receita” para obter os parâmetros adimensionais.

Determinação dos grupos Pi:

PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos no problema. Define-se n como o número de

parâmetros envolvidos;

PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões primárias. Define-se m como o número

de dimensões primárias presentes no problema;

PASSO 3: Determinar o número necessário de termos pi (número de grupos adimensionais), onde:

mn −=π (número de grupos adimensionais = números de parâmetros ou variáveis do problema menos

número de dimensões necessária para descrever os parâmetros.

Selecione da lista um número m de parâmetros que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias.

Tome cuidado para que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes;

PASSO 4: Escolha dos parâmetros repetidos (escolher um grupo de parâmetros que se repetirão em

todos os grupos adimensionais);

PASSO 5: Construa um termo pi pela multiplicação de um parâmetro não repetido pelo produto dos

parâmetros repetidos elevados a um expoente que se torne a combinação adimensional. Ex. 421

321

,,

,,

uuu

uuuba

ba

PASSO 6: Repetir o passo 5 para cada uma dos parâmetros não repetidos restantes;

PASSO 7: Verifique se cada grupo obtido é adimensional;

PASSO 8: Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos pi e analise o significado

da relação física.

Exemplo 3: Aplique a análise dimensional para explicar o coeficiente de transferência de massa, onde

uma variável deve considerar a geometria envolvida, uma variável para explicar as características do

fluxo de uma corrente que se mofe, e as propriedades da corrente em movimento. Prediga as variáveis

que são necessárias para explicar o coeficiente de transferência de massa de uma corrente de gás que flui

sobre uma placa plana lisa e rearranje estas variáveis em grupos adimensionais.

Variável Símbolo Dimensão

Coeficiente de transferência de massa Kc L/t

Comprimento L L

Velocidade v L/t

Viscosidade Μ m/Lt

Difusividade DAB L2/t

Densidade ρ m/L3

Exemplo 4. A força de arrasto F sobre um corpo submerso depende da viscosidade (µ) e massa

específica do fluido (ρ), da dimensão do corpo () e da sua velocidade.

( )vLfF ,,,ρµ=

Tabela 2: Principais grupos adimensionais.

Grupos adimensionais mais usados em mecânica dos fluidos:

Variáveis mais importantes (escoamentos isotérmicos): comprimento, velocidade, pressão, velocidade

do som, massa específica, viscosidade, tensão superficial, freqüência angular, aceleração da gravidade

� n = 9 variáveis. Se m = 3 (M, L, t), tem-se n-m = 6 grupos adimensionais.

Exercícios

1. Acredita-se que a potência, P, requerida para acionar um ventilador depende da massa específica do

fluido, da vazão volumétrica, Q, do diâmetro do impulsor (hélice), D, e da velocidade angular, w. Usar a

análise dimensional para determinar a dependência de P nas outras variáveis. Escolher r, D e w como

variáveis repetitivas.

R:

2. Um automóvel deve viajar através de ar padrão a uma velocidade de 100 km/h. Para determinar a

distribuição de pressão, um modelo de escala 1/5 do comprimento real do carro deve ser testado em

água. Determinar a velocidade da água que deve ser usada. Quais os fatores que devem ser considerados

para assegurar a similaridade cinemática nos testes? (R: Vm = 9,58 m/s)