analízis - kjfturizmus | instead of learning blindly · pdf filerekurzív...

Analízis

Glashütter Andrea

Analízis Halmazok

2 Készítette: Glashütter Andrea

I. Halmazok

Definíció (halmaz): elemek összessége.

Megadása:

1. elemek felsorolásával (az összes elemet felsorolom, vagy legalább annyit, hogy az alapján következtetni lehessen a többi elemre); pl: A={1,2,4,7,14,28}.

2. a halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával; pl.: A={28 pozitív osztói}.

3. formulával; pl.: 23n12na n +

+=

4. jellel; pl.: ℵℜ, (�; �; �; �)

A halmazokat mindig nagybetűvel jelöljük. Az elemeket { } zárójelbe tesszük. Ha egy adott a elem benne van az A halmazban, akkor a következőképpen jelöljük: a∈∈∈∈A; ha nincs benne a halmazban: a∉∉∉∉A.

Műveletek:

Legyen adott két tetszőleges halmaz: A és B.

Unióképzés: Két halmaz (A és B) uniója azon elemek összessége, amelyek vagy A-ban, vagy B-ben benne vannak. Jelölése: A+B

Metszetképzés: Két halmaz (A és B) metszete azon elemek összessége, amelyek A-ban és B-ben is benne vannak. Jelölése: A⋅B

Különbségképzés: Két halmaz (A és B) különbsége azon elemek összessége, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem. Jelölése: A\B

Részhalmaz: Az A halmaznak a B halmaz részhalmaza, ha B valamennyi eleme A-nak is eleme. Jelölése: A⊇B (vagy B⊆A)

Valódi részhalmaz: Az A halmaznak a B halmaz valódi részhalmaza, ha B valamennyi eleme A-nak is eleme, de A-nak van legalább egy olyan eleme, amely nem elemen B-nek. Jelölése: A⊃B (vagy B⊂A) Ha ez nem teljesül, azaz B nem valódi részhalmaza A-nak, akkor azt így jelöljük: B⊄A

Komplementerképzés: Egy adott A halmaz komplementere Az U\A halmaz (U:univerzum). Jelölése: Ā

Analízis Halmazok


Üreshalmaz: az a halmaz, amelynek nincs eleme. Jelölése: ∅

Direkt szorzat: A és B direkt szorzatának eredményeképpen olyan számpárokat kapunk, amelynek első tagja A eleme, második tagja B eleme Jelölés: (a,b), ahol a∈A és b∈B

Tulajdonságok:

Tetszőleges A halmazra érvényesek a következők:

A+A=A ∅+A=A A\A=∅A⋅A=A ∅⋅A=∅ A\∅=A

A+Ā=U A⊆A A⋅H=A A⋅Ā=∅ ∅⊆A A+H=H

FONTOS!!!

i. A halmaz elemei mind különbözőek. (Nincs két azonos eleme.) ii. Nincs az elemek között rendezettség

Analízis Valós függvények


II. Valós függvények

Ha egy nem üres halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük egy halmaz egy, de csakis egy elemét, akkor függvényt adunk meg.

A függvényeket az abc kisbetűivel jelöljük: f, g, h, …. Egy függvény akkor tekinthetőadottnak, ha ismert Df és a hozzárendelési utasítás. Jelölések: Df: értelmezési tartomány

Rf: értékkészlet x�f(x) hozzárendelési utasítás

K⊃Rf: képhalmaz f(a): a∈Df helyen felvett helyettesítési érték

Az f és g függvények akkor egyenlők, ha ugyanaz az értelmezési tartományuk és az értelmezési tartomány minden eleméhez azonos függvényérték tartozik.

Valós értékű függvénynek, röviden valós függvénynek olyan függvényt nevezünk, amelynek értékkészlete része a valós számok halmazának.

Ha az f valós függvénynek az értelmezési tartománya is a valós számhalmaz egy részhalmaza, akkor egyváltozós valós függvényről beszélünk.

A kétdimenziós koordináta rendszerben az fDxf(x)),(x, ∈ pontok halmazát az f függvény grafikonjának (ábrájának, görbéjének, gráfjának) nevezzük.

Fontosabb függvénytípusok

1. Konstansfüggvény

ℜ→ℜ:f , cxf =)( , ahol ℜ∈c

2. Lineáris függvény ℜ→ℜ:f , baxxf +=)( , ahol ℜ∈ba,

Megjegyzés: a = 0 esetén a fenti függvény megegyezik a konstansfüggvénnyel.

3. Hatványfüggvény

ℜ→ℜ:nf , nn xxf =)( , ahol ,...7,5,3,1=n

+ℜ→ℜ 0:nf , nn xxf =)( , ahol ,...8,6,4,2=n

4. Lineáris törtfüggvény

ℜ→

−ℜ

cdf -: ,

dcxbaxxf

++=)(

Speciálisan: { } ℜ→ℜ 0-:f ,x

xf 1)( =

5. Exponenciális függvény +ℜ→ℜ:f , xaxf =)( , ahol 0>a



{ }1: →ℜf , xaxf =)( , ahol 1=a

6. Logaritmusfüggvény

ℜ→ℜ+:f , xxf alog)( = , ahol 0>a és 1≠a

7. Trigonometrikus függvények

[ ]1;1: −→ℜf , xxf sin)( =[ ]1;1: −→ℜf , xxf cos)( =

ℜ→

∈+ℜ Zkk\f |

2)12(: π , tgxxf =)(

{ } ℜ→∈ℜ Zkk\f |: π , ctgxxf =)(

8. Négyzetgyökfüggvény ++ ℜ→ℜ 00:f , xxf =)(

Függvénytranszformációk

Legyen az f függvény grafikonja egy Descartes-féle koordináta-rendszerben ismert.

• Az f + c, vagyis az x→f(x) + c , x∈Df függvény görbéje az f görbéjének y tengely irányú eltolásával nyerhető, az eltolás nagysága c egység, iránya c előjelének megfelelő.

• A c⋅f, vagyis az x→c⋅f(x), x∈Df , c > 0 függvény grafikonja az f grafikonjának y tengely irányú c-szeres nyújtásával kapható. (Az x tengely helyben marad.)

• A –f, vagyis az x→-f(x), x∈Df függvény grafikonja az f grafikonjának az x tengelyre vonatkozó tükörképe.

• Az x→f(x + a), (x + a)∈Df függvény ábrája az f függvény ábrájának x tengely irányú eltolásával adódik. Az eltolás mértéke |a| egység, a > 0 esetén csökkenő x értékek irányába, a < 0 esetén az eltolás iránya ezzel ellentétes.

• Az x→f(a⋅x), (a⋅x)∈Df függvény grafikonját az f grafikonjának x tengely irányú a-szoros

zsugorításával (a > 1), illetve a1 -szoros nyújtásával (0 < a < 1) kapjuk. (Az y tengely

helyben marad.) • Az x→f(-x), -x∈Df függvény grafikonja az f grafikonjának az y tengelyre vonatkozó

tükörképe.

Műveletek függvényekkel

Legyenek f és g valós függvények.

• f és g összege az a h függvény, amelynek értelmezési tartománya Df∩Dg, és

g(x)f(x)h(x) += .Jelölés: h = f + g

• f és g szorzata az a h függvény, amelynek értelmezési tartománya Df∩Dg, és

g(x)f(x)h(x) ⋅=



Jelölés: h = f⋅g• f és g hányadosának azt a h függvényt nevezzük, amelynek értelmezési tartománya

Df∩Dg\{x | g(x) = 0}, és

g(x)f(x)h(x) =

Függvényvizsgálat

1) Értelmezési tartomány A függvény mely pontokban van értelmezve.

2) Zérushely Df-nek az az x0 értéke, amelyre f(x0)=0 az f(x) függvény zérushelye.

3) Korlátosság

Az f függvényt az X⊂Df halmazon felülről korlátosnak, alulról korlátosnak, illetve korlátosnak mondjuk, ha az f(X) halmaz (a függvényértékek halmaza) felülrőlkorlátos, alulról korlátos, illetve korlátos. Korlátosság esetén az f(X) halmaz felső,alsó határát az f függvény X halmazra vonatkozó felső, alsó határának nevezzük. Felső határ: legkisebb felső korlát. Alsó határ: legnagyobb alsó korlát.

4) Monotonitás

Azt mondjuk, hogy az f függvény a X⊂Df halmazon (szigorúan) monoton növekedő,ha x1,x2∈X, x1<x2 esetén f(x1) < f(x2); (szigorúan) monoton csökkenő, ha x1,x2∈X, x1<x2 esetén f(x1) > f(x2). Ha a függvényértékek között az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett monoton növekedésről, illetve csökkenésről beszélünk.

5) Szélsőérték Legyen f tetszőleges függvény, és H része f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy a∈H az f-nek H-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden x∈H (x ≠ a) esetén

f(x) < f(a), (f(x) > f(a)) Ha az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett abszolút maximumhelyről (minimumhelyről) beszélünk. A maximumhely és minimumhely közös neve szélsőértékhely. Ha mást nem mondunk, H alatt az értelmezési tartományt értjük. Az a∈Df az f függvény lokális maximumhelye (minimumhelye), ha a-nak van olyan K környezete, hogy f-nek „a” a K∩Df halmazra nézve abszolút maximumhelye (minimumhelye).

6) Görbület f függvény [a,b] intervallumon szigorúan konvex, ha bármelyik érintője a függvénynek az [a,b]-n f görbéje alatt halad el. (Kivéve az érintési pontot.) f függvény [a,b] intervallumon szigorúan konkáv, ha bármelyik érintője a függvénynek az [a,b]-n f görbéje fölött halad el. (Kivéve az érintési pontot.)



x0 az f függvény inflexiós pontja, ha az f függvény x0-beli érintője metszi a görbét az (x0,f(x0)) pontban.

7) Paritás

Az f függvényt páros függvénynek mondjuk, ha x∈Df esetén -x∈Df és f(-x) = f(x); f páratlan függvény, ha x∈Df esetén -x∈Df és f(-x) = -f(x).

8) Periodicitás

f függvény periodikus, ha van olyan p≠0 szám, hogy ha x∈Df, akkor x+p∈Df, és igaz, hogy f(x)=f(x+p). p: a függvény periódusa.

Analízis Számsorozatok


III. Számsorozatok

Sorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozatnak nevezzük a sorozatot, ha a függvényértékek valós számok.

n��an, ahol n∈∈∈∈��+ és an∈∈∈∈��.Jelölések: an n-hez rendelt függvényérték, a sorozat n-edik tagja n a tag indexe (an) a sorozat {an} a sorozat tagjainak halmaza

Sorozat megadása

• Direkt módon Pl.: an=2n+3

• Rekurzív módon A sorozat első, vagy első néhány tagját a további tagok megadásához felhasználjuk. Pl.: a1=2; an=an-1+7

Szemléltetés: számegyenesen vagy Descartes-véle derékszögű koordináta rendszerben

Sorozatok tulajdonságai

• monotonitás • korlátosság • konvergencia

1. Monotonitás Az (an) számsorozat szigorúan monoton növekvő, ha

minden n-re an<an+1 Az (an) számsorozat szigorúan monoton csökkenő, ha

minden n-re an>an+1 Az (an) számsorozat monoton nő, ha

minden n-re an ≤ an+1 Az (an) számsorozat monoton csökken, ha

minden n-re an ≥ an+1

Monotonitás eldöntése

• különbségkritérium • hányadoskritérium • hipotézis • egyéb

Különbség-kritérium:

Ha minden n-re an+1-an>0, akkor a sorozat szigorúan monoton nő.Ha minden n-re an+1-an<0, akkor a sorozat szigorúan monoton csökken.



Példa.

Legyen 2n1na n +

−= .

Ekkor 3n

n21)(n11)(na 1n +

=++−+=+

A monotonitás eldöntéséhez vizsgáljuk a sorozatot különbség-kritériummal:

re-nminden 02)(n3)(n

32n1n

3nnaa n1n >

+⋅+=

+−

−+

=−+ , így a sorozat szigorúan monoton

nő.Példa.

Legyen 9-2n3nbn

+= .

Ekkor 7-2n4n

9-1)2(n31)(nb 1n

+=+

++=+

9)-(2n7)-(2n15-

9-2n3n

7-2n4nbb n1n ⋅

=+−

+=−+ tört előjele lehet pozitív (n=4) és lehet negatív

(n=3) is, így a sorozat nem monoton. (A kritérium szerint minden n-re vagy pozitív vagy negatív előjelűnek kell lennie a különbségnek)

a számláló(-15) 2n-7 2n-9 a nevező((2n-7)(2n-9)) a törtn≤3 ⇒ - - - + -n=4 ⇒ - + - - +

n≥5 ⇒ - + + + -

Hányados-kritérium:

Ha minden n-re

a) 0aés1a

an

n

1n >>+ akkor a sorozat szigorúan monoton nő.

b) 0aés1a

an

n

1n <>+ akkor a sorozat szigorúan monoton csökken.

c) 0aés1a

an

n

1n ><+ akkor a sorozat szigorúan monoton csökken.

d) 0aés1a

an

n

1n <<+ akkor a sorozat szigorúan monoton nő.

Példa.

Legyen n

1

n 21-2a

+

=n

.

Ekkor 1

2

1n

1)1(

1n 212

21-2a +

+

+

++

+−== n

nn

.

A monotonitás eldöntéséhez vizsgáljuk a sorozatot hányados-kritériummal:



0aés12212

1)2(212

122

2212

212

212

aa

n2n

2n

1n

2n

1n

n

n

2n

n

1n

1n

2n

n

1n >>−−=

−−=

−⋅

⋅−=

−

−

= +

+

+

+

+

+

+

+

+

+ , így a sorozat

szigorúan monoton nő.

2. Korlátosság Az (an) számsorozat alulról (felülről) korlátos, ha tagjainak halmaza alulról (felülről) korlátos. Ha egy sorozat alulról is és felülről is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük.

Megjegyzések:

• Ha egy sorozat monoton nő, akkor alulról korlátos, és alsó határa az első elem. • Ha egy sorozat monoton csökken, akkor felülről korlátos, és felső határa az első elem.

Példa.

Legyen 1n

na n += .

Ekkor 21a1 =

32a 2 =

43a 3 =

54a 4 = …

1110a10 =

2625a 25 =

Látható, hogy a sorozat minden tagja <1 (számláló mindig kisebb a nevezőnél), és a sorozat tagjai ½ és 1 közöttiek. Így ½ a sorozat alsó korlátja, 1 a sorozat felső korlátja. A fenti sorozat tehát korlátos. A mi esetünkben nem csak ezeket a korlátokat adhattuk volna meg, hiszen alsó korlát lehet 0, -1, és -150236 is, ugyanis nincsen a sorozatnak ezeknél kisebb eleme. Ugyanígy felső korlát lehetne 1,1 vagy 234 is, hiszen nincs a sorozatnak ezeknél nagyobb eleme. Egy sorozatnak tehát végtelen sok alsó, illetve felső korlátja lehet. Ezek közül kitűnik a legnagyobb alsó korlát, amelynél nagyobb érték már nem lenne alsó korlátja a sorozatnak. Ennek neve alsó határ (itt ha= ½ ). Hasonlóan definiálható a legkisebb felső korlát is, amelynél kisebb már nem lenne felső korlátja a sorozatnak. Ennek neve felső határ (itt hf=1).

3. Konvergencia

Az (an) számsorozat határértéke az A valós szám, ha bármelyik ε > 0 számhoz van olyan n0

küszöbindex, hogy n>n0 esetén |an-A|<ε. (Azaz megadható olyan n0 küszöbszám, hogy n0-tól kezdve a sorozat összes eleme benne van az A ε sugarú környezetében, bármilyen kicsinek is választjuk ε-t.) Ha az an sorozatnak van véges határértéke, akkor a sorozat konvergens, ha nincs, akkor divergens.

, azaz |an-A|<ε



∞∞∞∞-be tartó sorozaton egy olyan (an) sorozatot értünk, melyre bármely P>0-hoz van olyan n0küszöbindex, hogy n>n0 esetén an>P. -∞∞∞∞-be tartó sorozaton olyan (an) sorozatot értünk, melyre bármely P<0-hoz van olyan n0küszöbindex, hogy n>n0 esetén an<P. Példa.

Legyen 6n52na n +

+= .

212

61

52lim

)61(

)52(lim

652limlim ==

+

+=

+

+=

++=

∞∞∞∞

n

n

nn

nn

nnan , azaz a sorozat határértéke ∞-ben 2.

Konvergenciára vonatkozó tételek

Tétel: Egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos. Tétel: Minden korlátos és monoton sorozat konvergens. Tétel: Egy korlátos és egy nullsorozat (határértéke 0) szorzata is nullsorozat. Tétel: Ha lim an = A és lim bn = B, akkor

� lim(c⋅an) = c⋅A (c tetszőleges valós szám). � lim(an±bn) = A±B. � lim(an⋅bn) = A⋅B.

�BA

ba

limn

n = , ahol bn ≠ 0, B ≠ 0.

� αα Aan =lim , ahol α∈�.Rendőr-elv: Tegyük fel, hogy lim an = lim bn = A és minden n-re an ≤ cn ≤ bn.

Ekkor limcn = A. Tétel: Ha lim an = ∞ és minden n-re bn > an, akkor limbn = ∞.

Teljes sorozatvizsgálat

Példa.Végezzen teljes sorozatvizsgálatot a következő sorozaton. Konvergencia esetén ε=10-2-hoz adjon küszöbszámot!

2213

+−=

nnan

1. lépés: MONOTONITÁS (különbség-kritériummal)

02)4)(2n(2n

822n13n

42n23n

22n13n

21)2(n11)3(naa n1n >

++=

+−

−++=

+−

−++−+=−+ minden n-re, így a

sorozat szigorúan monoton növekvő.



2. lépés: KORLÁTOSSÁG

20022999a

202299a

...

188a

65a

21

42a

1000

100

3

2

1

=

=

==

=

==

Látjuk, hogy a sorozat tagja ½ -től növekvő értékeket vesznek fel, de a 100. tag már 23

körüli értéket vesz fel, az 1000. tagról nem is beszélve, azonban a 23 -t soha nem érik el.

Tehát a sorozat korlátos, alsó korlátja az első tagja, felső korlátja 23 .

23k

21k

f

a

=

=

Kaptuk tehát, hogy a sorozat monoton és korlátos is, amiből következik, hogy konvergens.

3. lépés: KONVERGENCIA

23

)n2n(2

)n1n(3

lim22n13nlimalim n =

+

−=

+−=

∞∞∞, tehát a sorozat konvergens, és határértéke

23 .

4. lépés: KÜSZÖBSZÁM

Az |an-A|<ε egyenlőtlenségből indulunk ki.

n199100

144n

8

4n796100

12)2(2n

8

44n800100

12)2(2n

2)3(2n1)2(3n100

144n

8100

123

22n13n

<<+

−

<<+

−

+<<+

+−−

<+

<−+−

azaz a küszöbszám 199. 1990 =n .



Nevezetes határértékek

Tétel: Legyen q∈�, ekkor

−≤<<−

=>∞+

=

1qhadivergens,1q1ha0,

1qha1,1qha,

limqn

Tétel: Legyen 011k

1kk

kn ana...nanaa +⋅++⋅+⋅= −− , ahol ak≠0. Akkor

<∞−>∞+

=0aha,0aha,

limak

kn .

Tétel: Legyen 01

1k1k

kk

011l

1ll

ln bnb...nbnb

ana...nanaa

+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅

= −−

−− , ahol al≠0, bk≠0. Akkor

<<∞−

><∞+

>

=

=

0ba

éslkha,

0ba

éslkha,

lkha0,

klha,ba

lima

k

l

k

l

k

l

n

Tétel: Legyen n

n n11a

+= . Ekkor liman = e. (e ≈ 2,71)

Tétel: Legyen 0a,na1a

n

n ≠

+= . Ekkor liman = ea.

Analízis Függvények határértéke


IV. Függvények határértéke

Az f függvény értelmezési tartományában vegyünk fel egy a-hoz konvergáló tetszőleges x1,x2, . . ., xn, . . . számsorozatot. Ezzel képezhetünk egy másik sorozatot is: f(x1), f(x2), . . ., f(xn), . . .; ez az {xn} számsorozathoz tartozó függvényértékek sorozata.

A függvény véges helyen vett véges határértékeHeine-féle definíció: Legyen az f függvény értelmezve az a valamely környezetében (kivéve esetleg a-t). Az f függvénynek a-ban határértéke A, ha tetszőleges a-hoz konvergáló {xn}sorozat esetén (xn∈Df) az {f(xn)} sorozat A-hoz konvergál.

Jelölése:

1. Axf naxn

=→

)(lim

2. Axf na=)(lim

3. axAxf nn →→ ha,)(

Féloldali határértékekAz f függvénynek a-ban baloldali határértéke A, ha tetszőleges a-hoz konvergáló {xn}sorozat esetén (xn∈Df, xn < a) {f(xn)} sorozat konvergál A-hoz.

Az f függvénynek a-ban jobboldali határértéke A, ha tetszőleges a-hoz konvergáló {xn}sorozat esetén (xn∈Df, xn > a) {f(xn)} sorozat konvergál A-hoz.

Tétel: Ha az f függvénynek a-ban létezik mindkétoldali határértéke és ezek egyenlők, akkor van határértéke a-ban és ez a határérték megegyezik a féloldali határértékkel.

Véges helyen vett végtelen határérték

Az f függvénynek a-ban a határértéke +∞∞∞∞, ha tetszőleges a-hoz konvergáló {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart +∞-hez.

Az f függvénynek a-ban a határértéke -∞∞∞∞, ha tetszőleges a-hoz konvergáló {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart -∞-hez.

Végtelenben vett véges határérték

Az f függvénynek +∞∞∞∞-ben a határértéke A, ha tetszőleges +∞-hez tartó {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart A-hoz.



Az f függvénynek -∞∞∞∞-ben a határértéke A, ha tetszőleges -∞-hez tartó {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart A-hoz.

Végtelenben vett végtelen határérték

Az f függvénynek +∞∞∞∞-ben a határértéke +∞∞∞∞, ha tetszőleges +∞-hez tartó {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart +∞-hez.

Az f függvénynek +∞∞∞∞-ben a határértéke -∞∞∞∞, ha tetszőleges +∞-hez tartó {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart -∞-hez.

Az f függvénynek -∞∞∞∞-ben a határértéke +∞∞∞∞, ha tetszőleges -∞-hez tartó {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart +∞-hez.

Az f függvénynek -∞∞∞∞-ben a határértéke -∞∞∞∞, ha tetszőleges -∞-hez tartó {xn} sorozat esetén (xn∈Df) {f(xn)}sorozat tart -∞-hez.

Határérték tételek

� Tétel:Legyen R)BA,(a,Bg(x)a

limésAf(x)a

lim ∈== , ekkor

� BAg(x))(f(x)lima

±=±

� BAg(x))(f(x)lima

⋅=⋅

� 0g(x)0,Bha,BA

g(x)f(x)lim

a≠≠=

� ( ) αα

aAf(x)lim =

� Rendőr-elv: Ha Ag(x)limf(x)limaa

== és a-nak van olyan környezete, amelyben f(x) ≤

h(x) ≤ g(x), akkor Ah(x)lima

= .

� Ha Bg(x)ésBg(x)lima

≠= a-nak valamely környezetében, továbbá Af(x)limB

= , akkor

( )( ) Axgflima

= .

� Az x→c (c∈R)

x→x, polinomok, racionális törtfüggvények

x→sinx, cosx, tgx, ctgx

x→ex, ax

x→lnx, logaxfüggvényeknek az értelmezési tartományuk minden pontjában létezik határértéke és ez megegyezik az adott pontban felvett függvényértékkel.



Speciális határértékek

� 1x

sinxlim0

=

� 1x

1elimx

0=−

�( )

x1xlnlim

0

+

� ex11lim

x

=

+

∞+

� ( ) ex1lim x1

0=+

Analízis Függvények folytonossága


V. Függvények folytonossága

Az f függvény folytonos az értelmezési tartományának valamely x0 pontjában, ha az x0pontban létezik véges határértéke és ez egyenlő a helyettesítési értékkel, azaz

f00xDxés)f(xf(x)lim

0

∈= .

Az f függvény x0∈Df-ben balról folytonos, ha a függvény baloldali határértéke az x0 pontban megegyezik a helyettesítési értékkel.

Az f függvény x0∈Df-ben jobbról folytonos, ha a függvény jobboldali határértéke az x0pontban megegyezik a helyettesítési értékkel.

Megjegyzés: Ha a függvény balról és jobbról is folytonos az x0 pontban, akkor folytonos az x0pontban.

Ha az f függvény az x0∈Df pontban nem folytonos, akkor az x0 pontot a függvény szakadási helyének mondjuk.

Műveletek folytonos függvényekkel

Ha f és g folytonos az x0 pontban, akkor az f+g, f⋅g, )Da,0(g(a)gf

f∈≠ is folytonos az x0

pontban.

Összetett függvények folytonosságaHa g folytonos az x0 pontban és f folytonos g(x0)-ban, akkor az f(g(x)) összetett függvény is folytonos az x0 pontban.

Intervallumon folytonos függvényekAz f folytonos az ]a;b[ intervallumon, ha az intervallum minden pontjában folytonos.

Az f folytonos az [a;b] intervallumon, ha ]a;b[ minden pontjában folytonos, a-ban jobbról folytonos, b-ben balról folytonos.

Az függvényt folytonosnak mondjuk, ha értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Tétel: A polinomok, a racionális törtfüggvények, a trigonometrikus függvények, az exponenciális függvények, a logaritmus függvények folytonosak az értelmezési tartományuk minden pontjában.

Tétel: Ha az f függvény folytonos az [a;b] intervallumon és f(a) és f(b) előjele különböző,akkor van olyan x0∈[a;b] pont, hogy f(x0) = 0, azaz az f függvénynek van legalább egy zérushelye az [a;b] intervallumon.

Tétel: Ha az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos, akkor f-nek van legnagyobb és legkisebb eleme.

Analízis Függvények folytonossága


Példa.Határozza meg az A paraméter értékét úgy, hogy a függvény folytonos legyen az x = 6 helyen!

≥+

<−−−−

=6xha

285Ax

6xha2420x4x

903x3x

f(x)2

2

1. lépés:2833

)1(4)5(3lim

)6)(1(4)6)(5(3lim

2420x4x903x3xlim)(lim

662

2

66=

++=

−+−+=

−−−−=

xx

xxxxxf

2. lépés: 6ahol ,2833

285Ax ==+ x

61azaz,

2833

2856A ==+ A

Analízis Differenciálszámítás


VI. Differenciálszámítás

Legyen az a∈Df. Aaxf(a)f(x)(x)df

a −−= (x∈Df \{a}) függvényt az f(x) függvény a pontjához

tartozó differenciahányados függvénynek nevezzük.

Geometriai jelentése: (a, f(a)) és (x, f(x)) pontokhoz tartozó szelő meredeksége Függvénytani jelentése: Az (a;x) intervallumon mennyi az átlagos függvényérték változás.

Legyen az a∈Df egy belső pontja Df-nek. Azt mondjuk, hogy az f(x) függvény differenciálható az a pontban, ha a f

ad differenciahányados függvénynek az a pontban létezik

véges határértéke. A (a)faxf(a)f(x)lim(x)dlim

a

faa

′=−−= számot az f(x) függvény a ponthoz

tartozó differenciálhányadosának nevezzük. Ha a fenti határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az a pontban nem differenciálható.

Példa:

42)(xlim2x

2)(x2)(xlim2x4xlim

2xf(2)f(x)lim

2a,xf(x)

22

2

22

2

=+=−

+⋅−=−−=

−−

==

Ha a fenti függvény más pontjában vizsgáltuk volna a differenciálhányadost, más és más értéket kaptunk volna. ⇒ A differenciálhányados értéke függ a megválasztásától.

Az f´(x) az f(x) függvény differenciálhányados függvénye az A⊂Df halmazon, ha A minden pontjához az f(x) adott pontbeli differenciálhányadosát rendeli hozzá.

Megjegyzés:

1. axf(a)f(x)

−− függvény, míg (a)f ′ szám.

2. Differenciálhányados függvénytanilag az (a, f(a)) ponthoz tartozó érintőmeredeksége.



Példa.Határozzuk meg az 2xf(x) = függvény differenciálhányados függvényét.

2x.f´(x)Így

2aa)(xlimax

a)(xa)(xlimaxaxlim

axf(a)f(x)lim

Ekkor pont. legesegy tetszőDaLegyen xf(x)

aa

22

aa

f

2

=

=+=−

+⋅−=−−=

−−

∈=

Legyen f(x) egy függvény, a pedig az értelmezési tartományának valamely belső pontja, és tegyük fel, hogy f(x) differenciálható az a pontban. Ekkor az a)(xf´(a)f(a)e(x) −⋅+=elsőfokú polinomot az f(x) függvény a pontbeli érintőfüggvényének, e polinom grafikonját pedig f(x) (a;f(a)) pontbeli érintőjének nevezzük.

Példa.Írjuk fel az 2xf(x) = 3 abszcisszájú pontjába húzott érintő egyenletét.

1. megoldás:

1. lépés: 63)(xlim3x9xlim(3)f

3

2

3=+=

−−=′ , azaz az érintő

meredeksége (m) 6. 2. lépés: Behelyettesítés az érintő egyenletének általános képletébe, y=mx+b-be.

y: a megadott pontban felvett függvényérték; itt: 9. x: a megadott érték; itt: 3. m: a kiszámított meredekség; itt: 6. b: az eltolás mértéke (kiszámítandó érték) Behelyettesítve: b369 +⋅= , amiből b=-9, azaz az

érintő egyenlete: 96 −= xy

(Látható, hogy m-et megkaptuk volna úgy is, hogy 3-at behelyettesítünk a differenciálhányados függvényébe.)

2. megoldás:1. lépés: u.a. 2. lépés: . a)(xf´(a)f(a)e(x) −⋅+= egyenletbe behelyettesítünk.

f(a): a megadott pontban felvett függvényérték; itt: 9. f´(a) a kiszámított meredekség; itt: 6. Behelyettesítve: 9-6x3)6(x9e(x) =−+= .

Tehát mindkét esetben ugyanazt a végeredményt kaptuk. (Bármelyik eljárás tetszőlegesen alkalmazható.)

Legyen f(x) az a pontban és annak jobb oldali környezetében értelmezve. Azt mondjuk, hogy az f(x) függvény jobbról differenciálható, az a pontban, ha a f

ad differenciálfüggvénynek az a

pontban létezik jobb oldali véges határértéke. Az axf(a)f(x)lim´(a)f

0a −−=

++ jobb oldali

határértéket az f(x) függvény a ponthoz tartozó jobb oldali differenciálhányadosának nevezzük.

Legyen f(x) az a pontban és annak bal oldali környezetében értelmezve. Azt mondjuk, hogy az f(x) függvény balról differenciálható, az a pontban, ha a f

ad differenciálfüggvénynek az a



pontban létezik bal oldali véges határértéke. Az axf(a)f(x)lim´(a)f

0-a −−=− bal oldali határértéket

az f(x) függvény a ponthoz tartozó bal oldali differenciálhányadosának nevezzük.

Legyen az A az f(x) függvény értelmezési tartományának nyílt nem üres részhalmaza. Azt mondjuk, hogy f(x) differenciálható az A halmazon, ha f(x) differenciálható A minden pontjában.

Ha az f(x) függvény az [a;b] zárt intervallum belső pontjaiban differenciálható, az intervallum kezdő- és végpontjában pedig jobbról illetve balról differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy f(x) differenciálható az [a;b] zárt intervallumon.

A folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolataHa a az f(x) függvény értelmezési tartományának egy belső pontja és f(x) az a pontban differenciálható, akkor ott folytonos is.

Megjegyzések: � A folytonosság a differenciálhatósághoz szükséges, de nem elégséges. � A differenciálhatóság a folytonossághoz elegendő, de nem szükséges. � Ha az f(x) függvény a-ban jobbról differenciálható, akkor ott jobbról

folytonos is. � Ha az f(x) függvény a-ban balról differenciálható, akkor ott balról folytonos

is.

Differenciálási szabályokLegyen f(x) és g(x) differenciálható az a pontban. Ekkor

� (c⋅f)´(a) = c⋅f´(a) bármely c∈R esetén � (f+g)´(a) = f´(a)+g´(a) � (f⋅g)´(a) = f´(a)⋅g(a)+f(a)⋅g´(a)

� 0g(a)ha(a)g

g´(a)(a)g1

2

'

≠−=

� 0g(a)ha(a)g

g´(a)f(a)g(a)f´(a)(a)gf

2

'

≠⋅−⋅=

Így a differenciálható függvények deriváltfüggvényeire vonatkozó összefüggések:

� (c⋅f)´(x) = c⋅f´(x) bármely c∈R esetén � (f+g)´(x) = f´(x)+g´(x) � (f⋅g)´(x) = f´(x)⋅g(x)+f(x)⋅g´(x)

�)g(D0ha

(x)gg´(x)(x)

g1

g2

'

∉−=

�)g(D0ha

(x)gg´(x)f(x)g(x)f´(x)(x)

gf

g2

'

∉⋅−⋅=

Ha a g(x) függvény differenciálható a-ban és f(x) függvény differenciálható g(a)-ban, akkor az (fog)(x) összetett függvény is differenciálható a-ban és (f og)´(a)=f´(g(a))⋅g´(a).



Elemi függvények deriváltja� konstansfüggvény: c´= 0 � hatványfüggvény: (xα)´= α⋅xα-1

� exponenciális függvény: (ax)´= ax⋅lna speciálisan: (ex)´= ex

� logaritmus függvény: (logax)´= lnax1⋅

speciálisan: (lnx)´= x1

� trigonometrikus függvények: (sinx)´= cosx (cosx)´= −sinx

(tgx)´= xcos

12

(ctgx)´= xsin

12−

Ha az f´(x) függvény differenciálható egy A⊂Df halmazon, akkor f´(x) deriváltfüggvényét f(x) második deriváltfüggvényének nevezzük.

Ha f(n)(x) függvény deriváltja létezik valamely A⊂Df(n) halmazon, akkor azt az f(x) (n+1)-edik

deriváltfüggvényének nevezzük.

L’Hospital szabály:Tegyük fel, hogy 0.(x)gés0g(x)limf(x)lim

aa≠′== .

Ekkor(x)g(x)flim

g(x)f(x)lim

aa ′′

=

Ez igaz akkor is, ha ∞=a .Példa.

i. 11

coslimsinlim00

== xx

x

ii. 71

5232lim

6523lim

12

2

1−=

+−=

−++−

xx

xxxx

iii. 06lim6lim3limlim23

====∞∞∞∞ xxxx ee

xex

ex

Analízis Függvényvizsgálat


VII. Függvényvizsgálat

Monotonitás

Legyen a∈Df. Az f(x) függvény szigorúan monoton nő a-ban, ha a-nak van olyan ε sugarú környezete, hogy x∈]a-ε,a[ esetén f(x) < f(a), x∈]a,a+ε[ esetén f(x) > f(a).

Legyen a∈Df. Az f(x) függvény szigorúan monoton csökken a-ban, ha a-nak van olyan εsugarú környezete, hogy x∈]a-ε,a[ esetén f(x) > f(a), x∈]a,a+ε[ esetén f(x) < f(a).

Megjegyzés: monoton növekedés illetve csökkenés esetén az egyenlőség is megengedett.

Legyen f(x) differenciálható az a∈Df pontban.

Tétel: Ha f(x) a-ban (szigorúan) monoton nő, akkor f´(a) ≥ 0

Tétel: Ha f(x) a-ban (szigorúan) monoton csökken, akkor f´(a) ≤ 0.

Tétel: Ha f´(a) > 0, akkor f szigorúan monoton nő a-ban.

Tétel. Ha f´(a) < 0, akkor f szigorúan monoton csökken a-ban.

Az f(x) függvény az (a,b) intervallumon szigorúan monoton nő, ha tetszőleges a < x1 < x2 < besetén f(x1) < f(x2).

Az f(x) függvény az (a,b) intervallumon szigorúan monoton csökken, ha tetszőleges a < x1 < x2 < b esetén f(x1) > f(x2).

Megjegyzés: monoton növekedés és csökkenés esetén az egyenlőség is megengedett.

Tétel: Legyen az f(x) függvény folytonos az [a,b] intervallumon és differenciálható az ]a,b[ intervallumon.

(a) Ha minden x∈]a,b[ esetén f´(x) ≥ 0, akkor f(x) monoton nő az [a,b] intervallumon. (b) Ha minden x∈]a,b[ esetén f´(x) ≡ 0, akkor f(x) konstansfüggvény az [a,b] intervallumon. (c) Ha minden x∈]a,b[ esetén f´(x) ≥ 0 és az [a,b] intervallumnak nincs olyan

részintervalluma, ahol f´(x) ≡ 0, akkor f(x) szigorúan monoton nő az [a,b] intervallumon.

Szélsőértékek

Tétel: Ha az f(x) függvénynek a-ban helyi szélsőértéke van és f´(a) létezik, akkor f´(a) = 0.

Tétel: Legyen az f(x) függvény differenciálható az a pont valamely környezetében. Ha f´(x) = 0 és f´(x) a-ban előjelet vált, akkor az f(x) függvénynek a-ban lokális szélsőértéke van.

Tétel: Az f(x) függvénynek a-ban helyi szélsőértéke van, ha f´(a) = 0 és f”(x) ≠ 0.



Megjegyzés: � Ha f´(a) =0 és f”(a) > 0 , akkor az f(x) függvénynek a-ban lokális minimuma van. � Ha f´(a) =0 és f”(a) < 0 , akkor az f(x) függvénynek a-ban lokális maximuma van.

Görbület

Legyen az f(x) függvény az értelmezési tartományának valamely (a,b) intervallumán differenciálható. Ha bármely x0∈(a,b) esetén f(x) > f(x0)+f´(x0)⋅(x−x0) (x∈(a,b)\{x0}), vagyis az f(x) az (a,b) intervallumon mindig az érintője felett van, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) az (a,b) intervallumon konvex.

Legyen az f(x) függvény az értelmezési tartományának valamely (a,b) intervallumán differenciálható. Ha bármely a∈(a,b) esetén f(x) < f(x0)+f´(x0)⋅(x−x0) (x∈(a,b)\{x0}), vagyis az f(x) az (a,b) intervallumon mindig az érintője alatt van, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) az (a,b) intervallumon konkáv.

Legyen az f(x) függvény az (a,b) intervallumon kétszer differenciálható.

Tétel: Ha f´(x) szigorúan monoton nő, akkor f(x) konvex az (a,b) intervallumon.

Tétel: Ha f´(x) szigorúan monoton csökken, akkor f(x) konkáv az (a,b) intervallumon.

Tétel: Ha f”(x) > 0 az (a,b) intervallumon, akkor f(x) konvex (a,b)-n.

Tétel: Ha f”(x) < 0 az (a,b) intervallumon, akkor f(x) konkáv (a,b)-n.

Inflexiós pont

Legyen az f(x) függvény az értelmezési tartományának valamely a belső pontjában differenciálható. Ha a pontbeli érintő az a-ban átmetszi az f(x) függvény grafikonját, akkor az a pontot f(x) inflexiós pontjának nevezzük.

Tétel: Ha a az f(x) függvény inflexiós pontja és f”(x) létezik, akkor f”(x) = 0.

Tétel: Legyen az f(x) függvény az a pont környezetében kétszer differenciálható. Ha f”(x) = 0 és f”(x) az a pontban előjelet vált, akkor f(x)-nek az a pontban inflexiós pontja van.

Tétel: Legyen az f(x) függvény az a pontban háromszor differenciálható. Ha f”(a) = 0 és f”’(a) ≠ 0, akkor f(x)-nek a-ban inflexiós pontja van.



Példa.Végezzen teljes függvényvizsgálatot!

14

2

+=

xxxf )(

I. lépés: ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, ZÉRUSHELY

Df:

−

41\R

Z.H.: x=0 (ahol a számláló 0)

II. lépés: MONOTONITÁS

2

2

2

22

2

2

1)(4x2x4x

1)(4x4x2x8x

1)(4x4x1)2x(4x(x)f

++=

+−+=

+⋅−+=′

A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol f’=0.

f’=0 01)2x(2x02x4x 2 =+⇔=+⇔ , azaz 0x1 = ;21x 2 −=

Táblázat:

f nincs értelmezve: 41-x =

f’ nincs értelmezve: 41-x =

f’=0: 0;21-x =

x x<21- x=

21-

21- <x<

41- x=

41-

41- <x<0 x=0 0<x

f’ + 0 - - 0 +

f ↗lok.max

=

21-f

41- ↘

ninc

sér

telm

ezve

↘lok. min

f(0)=0 ↗



III. lépés: GÖRBÜLET

2

2

1)(4x2x4x(x)f

++=′

=+

+⋅⋅−++=+

+⋅⋅+−++=′′3

2

4

22

1)(4x2x)(4x421)2)(4x(8x

1)(4x2x)(4x41)2(4x1)2)(4x(8x(x)f

33

22

1)(4x2

1)(4x16x32x28x8x32x

+=

+−−+++=

A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol f”=0. f”=0 02 =⇔ , ami azonban soha nem teljesülhet, tehát a függvénynek nincs inflexiós pontja. Táblázat:

f nincs értelmezve: 41-x =

f” nincs értelmezve: 41-x =

f”=0: nincs ilyen hely

x x<41- x=

41-

41- <x

f” - +

f ∩

ninc

sér

telm

ezve

∪IV. lépés: HATÁRÉRTÉKEK

(Határértéket mindig az értelmezési tartomány (Df) két végpontjában kell vizsgálni, valamint azokon a helyeken ahol a függvény nincs értelmezve. Ezeken a helyeken mind a jobb-, mind a baloldali határértéket ki kell számítani))

∞==+

=∞∞∞ 4

2xlim14x

xlimf(x)limHospitalL'2

−∞=+

=+⋅=

+=

∞−∞−∞−∞−x

14xlim

x1x(4xxlim

14xxlimf(x)lim

2

)

−∞=+

=+⋅=

+=

−−−−−−−− x14

xlim)x

1x(4xxlim

14xxlimf(x)lim

0410

41

2

0410

41

∞=+

=+⋅=

+=

+−+−+−+− x14

xlim)x

1x(4xxlim

14xxlimf(x)lim

0410

41

2

0410

41



V. lépés: ÁBRÁZOLÁS

VI. lépés: ÉRTÉKKÉSZLET

Rf: [ [∞∪

−∞− ;; 0

41

Analízis Kétváltozós függvények


VIII. Kétváltozós függvények

Az f(x,y) függvényt kétváltozós valós függvénynek nevezzük, ha Df⊂R2 és Rf⊂R.

Legyen f(x,y) értelmezési tartományának egy pontja (a,b). Rögzítsük y értékét, hogy y = b. Ekkor egy, csak x-től függő egyváltozós függvényt kapunk, amit az f(x,y) függvény x változó szerinti szintvonalának nevezzük.

Jelölés: f1(x) = f(x,b) Hasonlóan megadható az y változó szerinti szintvonal.

forgási paraboloid

Az f(x,y) függvény korlátos, ha a függvényértékek halmaza korlátos.

Az f(x,y) függvénynek (a,b)-ben szigorú abszolút maximuma van, ha tetszőleges (x,y)∈Df esetén f(x,y) < f(a,b).

Megjegyzés: a többi szélsőérték definíciója hasonlóan.



Az f(x,y) határértéke az (a,b)-ben A, ha tetszőleges (a,b)-hez konvergáló (xn,yn) sorozat esetén f(xn,yn) konvergál A-hoz.

Jelölés: Ay)f(x,lim

b)(a,=

Az f(x,y) folytonos (a,b)-ben, ha b)f(a,y)f(x,lim

b)(a,=

.

Az f(x,y) függvény x változó szerinti parciális differenciálhányadosa az (a,b)-ben az f1(x) = f(x,b) egyváltozós függvény differenciálhányadosa az a-ban.

axb)f(a,b)f(x,lim

ax(a)f(x)f

lim´(a)fb)´(a,fa

11

a1x −−=

−−

==

Az f(x,y) függvény y változó szerinti parciális differenciálhányadosa az (a,b)-ben az f2(y) = f(a,y) egyváltozós függvény differenciálhányadosa a b-ben.

byb)f(a,y)f(a,lim

by(b)f(y)f

lim´(b)fb)´(a,fb

22

b2y −−=

−−

==

Tegyük fel, hogy f(x,y) értelmezési tartományának valamely A részhalmazán x-szerint parciálisan differenciálható. Azt a függvényt, amely az A halmaz minden pontjához hozzárendeli az f(x,y) függvény x szerinti parciális differenciálhányadosát, az f(x,y) függvény x szerinti parciális deriváltfüggvényének nevezzük.

Tegyük fel, hogy f(x,y) értelmezési tartományának valamely A részhalmazán y-szerint parciálisan differenciálható. Azt a függvényt, amely az A halmaz minden pontjához hozzárendeli az f(x,y) függvény y szerinti parciális differenciálhányadosát, az f(x,y) függvény y szerinti parciális deriváltfüggvényének nevezzük.

Jelölés: y)(x,fésy)(x,f ,y

,x

Tegyük fel hogy egy halmazon léteznek az f(x,y) függvény x és y szerinti parciális deriváltfüggvényei, és ezek parciálisan differenciálhatók valamely ,

y?x ff DDb)(a, ∩∈ pontban.

Ekkor azt mondjuk, hogy f(x,y) kétszer parciálisan differenciálható az (a,b) pontban.

Legyenek az f(x,y) függvény valamely A halmazon kétszer parciálisan differenciálható. Ekkor az

Ay)(x,y)(x,)(fy)(x,f:f

y),(x,)(fy)(x,f:f

y),(x,)(fy)(x,f:f

y),(x,)(fy)(x,f:f

'y

'y

''yy

''yy

'x

'y

''yx

''yx

'y

'x

''xy

''xy

'x

'x

''xx

''xx

∈=

=

=

=

függvényeket f(x,y) második parciális deriváltfüggvényeinek nevezzük.

Tétel: Ha az f(x,y) függvénynek (a,b)-ben helyi szélsőértéke van és léteznek 'y

'x fésf , akkor

0ff 'y

'x == .



Tétel:(szükséges feltétel) Ha f(x,y) függvénynek az (a,b) pontban szélsőértéke van, akkor 0b)(a,fb)(a,f '

y'x == .

Tétel:(elégséges feltétel) Az f(x,y) függvénynek az (a,b) pontban SZÉLSŐÉRTÉKe van, ha 0b)(a,fb)(a,f '

y'x == és [ ] 0b)(a,fb)(a,fb)(a,fb)D(a, 2''

xy''

yy''

xx >−⋅= .

Ha 0b)(a,f ''xx > akkor lokális minimuma, ha 0b)(a,f ''

yy < akkor lokális maximuma van a függvénynek.. Ha [ ] 0b)(a,fb)(a,fb)(a,fb)D(a, 2''

xy''

yy''

xx <−⋅= , akkor NYEREGPONTja van a függvénynek (a,b) helyen. Ha [ ] 0b)(a,fb)(a,fb)(a,fb)D(a, 2''

xy''

yy''

xx =−⋅= , akkor ezzel a módszerrel nem dönthető el a szélsőérték létezése. Összefoglalva:

Ha 0b)D(a, > szélsőértéke van Ha 0b)(a,f ''

xx > lokális minimum Ha 0b)(a,f ''

xx < lokális maximum Ha 0b)D(a, < nyeregpontja van Ha 0b)D(a, = nem lehet eldönteni

Példa.Határozza meg a következő függvény szélsőérték helyeit és nyeregpontjait, ha léteznek!

2824 33 ++−= yxyxyxf ),(szükséges feltétel:

22átalakítva

2y

2átalakítva

2x

yx0yx024y24xf

0y8x024y3xf

=⇒=−⇒=+−=′

=−⇒=−=′

Az x=y2 összefüggést behelyettesítjük az első egyenletbe:

4x2y0x0y

08)y(y08yy

22

11

3

4

=⇒==⇒=

=−

=−

Kaptunk tehát két pontot, amelyek szélsőértékei lehetnek ennek a függvénynek: (0,0)P1

),( 24P2



elégséges feltétel:

2

xy

yy

xx

(-24)-48y6xy)D(x,

így24,f

48y24y2f6xf

⋅=

−=′′

=⋅=′′=′′

Behelyettesítve a pontokat: P1(0,0): 0(-24)-00D(0,0) 2 <⋅= nyeregpont P2(4,2): 0(-24)-6942D(4,2) 2 >⋅= szélsőérték mivel 02424fxx >=′′ ),( , ezért ez

minimumhely

Analízis Integrálszámítás


IX. Integrálszámítás

Határozatlan integrál

F(x) az f(x) primitív függvénye az I intervallumon, ha F(x) folytonos I minden belsőpontjában és F´(x) = f(x).

Tétel: Ha f(x)-nek van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van és ezek csak egy konstansban különböznek.

Az f(x) függvény primitív függvényeinek halmazát f(x) határozatlan integráljának nevezzük.

Jelölés: ∫ f(x)dx

Elemi függvények primitív függvényei

� C0dx =∫� Cx1dx +=∫� C

1αxdxx

1αα +

+=

+

∫� Cxlndx

x1 +=∫

� Csinxcosxdx +=∫� Ccosxsinxdx +−=∫� Ctgxdx

xcos1

2 +=∫

� Cctgxdxxsin

12 +−=∫

� Ccosxlntgxdx +−=∫� Csinxlnctgxdx +=∫� Cedxe xx +=∫� C

lnaadxa

xx +=∫

� Cxlnxxdxlnx +−⋅=∫� C

lnaxxlogxxdxlog aa +−⋅=∫



Integrálási szabályok

Tétel: Ha f(x)-nek és g(x)-nek létezik primitív függvénye I-n, akkor (f+g)(x)-nek és (c⋅f)(x)-nek is van primitív függvénye:

� ∫∫ ⋅=⋅ f(x)dxcdxf)(x)(c

� ∫∫∫ +=+ g(x)dxf(x)dxg)(x)dx(f

Tétel: Ha f(x)-nek az I-n F(x) a primitív függvénye, akkor ∫ ++⋅=+ Cb)F(axa1b)dxf(ax .

Példa.

C4)sin(5x51dx4)5cos(5x

514)dxcos(5x ++=+=+∫ ∫

Tétel: Legyen f(x) differenciálható I-n, akkor C1α

(x)ff´(x)dx(x)f1α

α ++

=⋅+

∫ , α ≠ -1.

Példa.

( ) ( )∫ += C

7sinxcosxdxsinx

76

Tétel: Legyen f(x) differenciálható I-n és f(x) ≠ 0, akkor Cf(x)lndxf(x)f´(x) +=∫ .

Példa.

C12x3x2lndx12x3x

26x2dx12x3x

412x 222 +−+=

−++=

−++

∫ ∫

Tétel: Ha g differenciálható I-n és f-nek létezik primitív függvénye, akkor

CF(g(x))g´(x)dxf(g(x)) +=⋅∫Példa.

( ) Cedx32xe 3xx3xx 22

+=+ ++∫Példa.

C2)3xsin(2)dx(6x2)cos(3x 22 ++=+⋅+∫



Parciális integrálás módszere Tétel: Ha f(x) és g(x) differenciálható továbbá f´(x) és g´(x) folytonos I-n, akkor

∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ g(x)dxf´(x)g(x)f(x)g´(x)dxf(x) „Szereposztás”:

g’ f g’ f g’?f g’?f αx lnx sinx αx ex sinx

logax cosx ax cosxex

ax

mindegy a szereposztás, de többször kell integrálnunk és a szerepeket minden esetben ugyanúgy kell kiosztani

Példa.Cexedxe1xedxxe xxxxx +−=⋅−=∫ ∫

xx egeg1fxf=⇒=′

=′⇒=

Példa.

∫ sinxdxex ( ) ( )∫ =−−−= dxcosxecosxe xx

-cosxgsinxgefef xx

=⇒=′=′⇒=

∫ =+−= cosxdxecosxe xx

sinxgcosxgefef xx

=⇒=′=′⇒=

dxsinxesinxecosxe xxx ∫−+−=

Csak az aláhúzott részeket vizsgálva egy egyenlethez jutunk:

C++−=

+−=

∫

∫

2sinxecosxedxsinxe

sinxecosxedxsinxe2xx

x

xxx

, amely már az eredeti feladat megoldását adja.

Integrálás helyettesítéssel Tétel: Ha f(x)-nek van primitív függvénye és g(x) differenciálható I-n, akkor

CF(g(x))g´(x)dxf(g(x)) +=⋅∫Határozott integrál

Legyen f(x) [a;b]-n korlátos és f(x) ≥ 0. Ekkor a ∑=

⋅n

1iii ∆x)f(ξ összeget f(x) [a;b]-n vett

integrálközelítő összegének nevezzük.

f(x) [a;b]-n vett határozott integrálján értjük f(x) [a,b]-n vett integrálközelítő összegének határértékét ha létezik és véges.



Határozott integrál tulajdonságai

Legyen f(x) és g(x) integrálható [a;b]-n.

Tétel: ∫∫ ⋅=⋅b

a

b

a

f(x)dxcf(x)dxc

Tétel: ∫ ∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

g(x)dxf(x)dxg(x))dx(f(x)

Definíciók: 0f(x)dxa

a

=∫

∫∫ −=a

b

b

a

f(x)dxf(x)dx

Tétel: ∫∫∫ =+c

a

c

b

b

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dx

Tétel: Ha m ≤ f(x) ≤ M, akkor m⋅(b-a) ≤ ∫b

a

f(x)dx ≤ M⋅(b-a).

Tétel: Ha f(x) [a;b]-n folytonos, akkor van olyan ξ∈[a;b], hogy a)(bf(ξ(f(x)dxb

a

−⋅=∫ .

Tétel: Ha f(x) ≥ 0 [a;b]-n, akkor 0f(x)dxb

a

≥∫ ,

ha f(x) ≤ 0 [a;b]-n, akkor 0f(x)dxb

a

≤∫ ,

ha f(x) ≡ 0 [a;b]-n, akkor 0f(x)dxb

a

≡∫ .

Határozott integrál kiszámítása a primitív függvény segítségével

Newton-Leibniz-tétel: Ha f(x)-nek F(x) primitív függvénye [a,b]-n, akkor

∫ =−=b

a

ba[F(x)]F(a)F(b)f(x)dx



Területszámítás határozott integrál segítségével

Területen mindig előjeles területet értünk. A mi számításainkban, ha egy terület előjele negatív, akkor a terület mértéke ezen szám abszolútértéke lesz.

Kiszámítási mód: ∫ =−=b

a

ba[F(x)]F(a)F(b)f(x)dx , azaz a Newton-Leibniz formulát kell

alkalmaznunk.

Példa.Számítsuk ki a következő területeket!

i. ( ) ( ) ( )3

521329

32x

32

23xdxx

39

1

39

1

39

1

23

=−=

==

=∫ , azaz T=

352

.

ii. [ ] 220lneln1eln1lnxlndxx1 221

e

1

e

2

2

−=−=−=−−−== −

−

−

−∫ , ami <0 azaz T=2.

Bezárt síkidom területe

Legyen a<b és minden x∈(a,b) esetén g(x)<f(x), valamint f(a)=g(a), f(b)=g(b). Ekkor a két függvény [a,b]-n tekintett görbéje által határolt síkidom területe:

( )∫ ∫∫ −=−b

a

b

a

b

a

dxg(x)f(x)g(x)dxf(x)dx

Ez a képlet onnan származik, hogy, ha meg akarjuk kapni a satírozott rész területét nem kell mást tennünk, mint a „felső” (f(x)) függvény alatti területből le kell vonni az „alsó” (g(x)) függvény alatti területet. A valóságban nem kell tudnunk eldönteni, hogy melyik függvény megy „felül”, mert ha a kapott eredmény negatív, vesszük annak abszolútértékét és megkapjuk a keresett értéket.



Példa.Számítsa ki a két függvény által bezárt terület nagyságát!

1048

2

2

+−=−=

xxxgxxxf

)()(

1. lépés: a metszéspontok (a és b) kiszámítása Ehhez az f(x)=g(x) egyenletet kell megoldanunk.

05)1)(x(x056xx

01012x2x104xxx8x

2

2

22

=−−=+−

=+−

+−=−

amiből 5xés1x 21 ==2. lépés: a terület kiszámítása

( ) ( )( ) ( )3

6410x6xx32dx1012x2x-dx104xxx8xT

5

1

235

1

25

1

22 =

−+−=−+=+−−−= ∫∫

Képletgyűjtemény matematikából a módszertani szigorlathoz

(vizsgán és szigorlaton használható) Differenciál- és integrálszámítás:

f f’ ∫ f

c 0 cx+C

αx 1-αx⋅α 1haC,1α

x 1α

−≠++

+

α

x1

ln|x|+C, ha 1−=α

ax ax.lna Clnaa x

+

ex ex ex+C

logax xlna1 C

lnaxxxloga +−

lnx x1

xlnx-x+C

sinx cosx -cosx+C

cosx -sinx sinx+C

tgx 1xtgxcos

1 22 += -ln|cosx|+C

ctgx ( )1xctgxsin

1 22 +−=− ln|sinx|+C

DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK:

( ) gfgf ′+′=′+ ( ) gfgfgf ′⋅+⋅′=′⋅ 2ggfgf

gf ′⋅−⋅′=′

( )( ) ( ) ggfgf ′⋅′=′

INTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK:

( )∫ ∫ ∫+=+ gfgf ∫ ∫ ⋅′−⋅=′⋅ gfgfgf ∫ ++⋅=+ Cb)F(axa1b)dxf(ax

C1α

(x)ff´(x)dx(x)f1α

α ++

=⋅+

∫ , α ≠ -1 Cf(x)lndxf(x)f´(x) +=∫ CF(g(x))g´(x)dxf(g(x)) +=⋅∫

∫ =−=b

a

ba[F(x)]F(a)F(b)f(x)dx

analízis - kjfturizmus | instead of learning blindly · pdf filerekurzív...

Documents