Analisa

Fourier

S1 Sistem Komputer

Oleh Musayyanah, S.ST, MT

1

Analisis Fourier

• Hal ini penting karena pengolahan sinyal dalam domain waktu biasanya

tidak cukup, dan kita memerlukan pengolahan sinyal dalam domain

frekuensi.

• Sinyal yang memiliki lebih dari 1 frekuensi memberikan kesulitan

tersendiri untuk mengetahui frekuensi berapa saja yang ada dalam sinyal

tersebut.

• Ide besar di balik deret Fourier adalah menemukan informasi

tersembunyi dalam sinyal, yaitu frekuensi.

• Secara umum, pengolahan sinyal dalam domain frekuensi lebih mudah

daripada dalam domain waktu.

2

Analisis Fourier

– Contoh analisis frekuensi :

Saat kita mendengar dentingan piano, sebenarnya kita tidak terlalu peduli

dengan seberapa cepat getaran udara yang merambat masuk ke telinga

kita karena semuanya telah dirancang Tuhan untuk memprosesnya secara

otomatis. Di dalam proses tersebut sebenarnya terdapat analisis frekuensi

karena kita pada akhirnya bisa membedakan dentingan itu bernada tinggi

atau rendah.

3

Analisis Fourier

• Salah satu dampak analisis Fourier adalah kemungkinan untuk

menganalisis sinyal selain sinusoid dengan menggunakan komputer.

sehingga analisis

terhadap sinyal

tersebut dapat

dilakukan.

Dengan

menggunakan

analisis Fourier

kita bisa mendapatkan

pendekatan dari sinyal

apa pun sebagai

penjumlahan sinyal-sinyal

sinusoid

• Analisis Fourier dipergunakan untuk mendekomposisi sinyal menjadi

sinyal sinusoid. Sehingga, sinyal apa pun dapat dicari pendekatannya

berdasarkan sinyal sinusoid.

4

Pengenalan Bilangan

Kompleks

– Bilangan Kompleks -> 𝑎 = c + jd

– Riel : c R = Re [c]

– Imajiner : d X = Im [d]

– Bilangan Eksponensial -> 𝑎 = 𝑎 𝑒𝑗𝜃

– 𝑎 = 𝑎2 + 𝑏2

– 𝜃 = tan−1 𝑑

𝑐

𝑃𝑒𝑛𝑢𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐵𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎= 𝑎 < 𝜃

5

Identitas Euler

Diingat bahwa

𝒆𝒋𝜽𝒕 = 𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒕) + 𝒋 𝐬𝐢𝐧(𝜽𝒕)

𝒆−𝒋𝜽𝒕 = 𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒕) − 𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝜽𝒕)

)1...(2

)sin(j

ee jj

)2...(2

)cos(

jj ee

6

Aplikasi Fourier pada Sinyal

Sinyal Periodik NON PERIODIK

Kontinyu (x(t)) Fourier Series (FS) Fourier Transform

Diskrit (x(k))Discrete Time Fourier Series Series (DTFS)

Discrete Time Fourier Transform(DTFT)

Deret FOURIERTransform FOURIER

7

DERET FOURIER

ANALISA SINYAL PERIODIK

8

Fourier Series Eksponensial

0

0)(

1

)(

Ttjk

k

tj

k

k

dtetxT

a

eatx

• Koefisien 𝑎𝑘disebut koefisien deret Fourier / koefisien spektral x(t)

• X(t) sinyal kontinyu yang periodik

9

Contoh Soal

– Sinyal periodik x(t) dengan frekuensi dasar

2𝜋, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑖𝑛𝑖 ∶

Jika diketahui :

3

3

2)(k

tjk

k eatx

3

1

2

1

4

1

1

33

22

11

0

aa

aa

aa

a

Fourier Series Eksponensial10

– Komponen yang harmonis dengan frekuensi dasar yang

sama maka diperoleh :

)6cos(3

2)4cos()2cos(1)(

)(3

1)(

2

1)(

4

11)( 664422

ttttx

eeeeeetx tjtjtjtjtjtj

Fourier Series Eksponensial

Contoh Soal

11

Fourier Series Eksponensial

Contoh Soal (2)

x(t)sinyaluntuk Fourier deret koefisien -koefiseinTentukan

)sin()( ttx

0

2

1

2

1

diperoleh

2

1

2

1)sin(

1

1

k

tjtj

a

ja

ja

maka

ej

ej

t

12

Fourier Series Eksponensial

Contoh Soal (2)

)4

2cos()cos(2)sin(1)(

tersebutkoefisien grafik gambar dan

inibawah di x(t)sinyalFourier deret koefisien -koefisienTentukan

ttttx

tjj

tjj

tjtj eeeeej

ej

tx

anPenyelesai

2)

4(

2)

4(

)2

1()

2

1()

2

11()

2

11(1)(

13

)1(4

2

2

1

)1(4

2

2

1

2

11)

2

11(

2

11)

2

11(

1

)4

(

2

)4

(

2

1

1

0

jea

jea

jj

a

jj

a

a

j

j

14

Fourier Series Sinusoidal

DC :

dimana

)sin()cos(

0

)sin()(1

)cos()(1

10

)(

2/

2/

2/

2/

komponena

tnbtnaa

dttntxT

b

dttntxT

a

nnntx

T

Tn

T

Tn

15

DTFS (Discrete Time

Fourier Series)

Rate Sampling :

lfundamenta frekuensi :

2

DTFS Inverse )2...()()(

DTFS )1...()(1

)(

1

0

1

0

N

N

enxkX

ekXN

nx

njN

k

njN

k

16

– Tentukan transformasi x[n] -> X[k] menggunakan IDTFS, jika

diketahui N = 17,

DTFS

Contoh Soal

17

)(2

1][

)317

6cos(][

17

2)3(

317

2)3(

3njjnjj

eeeenx

nnx

)3

cos( x(n): dimana

3,2dan 0

n

kN

18

8}{-8,-7,... k lainnya yangk ,0

3,2

1

3,2

1

X[k]

sbbadalah X[k] nilai masing-masing maka

)(][

3

3

1

0

ke

ke

enxkX

j

j

njN

k

– Sinyal diskrit domain frekuensi X[k] (seperti pada gambar)

ditransformasikan ke dalam domain waktu x(n)

menggunakan IDTFS, jika ditentukan N = 5 dan 𝜔 ∶2𝜋

5.

Tentukan Transformasinya, dimana n , k : -2,-1,0,1,2

IDTFS

Contoh Soal

X[k]

-2-1

0 1 2

19

X[k]

-2-1

0 1 2

2

2

5

2

][][k

knj

ekxnx

)5

4sin(2)

5

2sin(21][

1][ 5

4

5

2

5

4

5

4

njnjnx

eeeenxnjnjnjnj

20