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Análise Combinatória: uma sondagem através da
contextualização
Almir de Lima Serpa1
Eduardo Ferreira Lima
RESUMO
A proposta deste artigo visou sondar por meio de atividades de Análise Combinatória com problemas contextualizados e não contextualizados apresentados em sala de aula com alunos do 3º ano do Ensino Médio de Escolas Públicas distintas como parte da disciplina Tópicos no Ensino de Estatística e Probabilidades do Mestrado da UFPE. O objetivo visou, portanto, identificar quantitativamente os acertos e erros das soluções das questões nos textos das provas/atividades de combinação. Para tanto, em alguns problemas, bastaria escrever uma lista explícita de todos os elementos do conjunto apresentado e depois contá-los. Entretanto, em muitos casos, o conjunto será demasiadamente grande para se fazer essa contagem direta dos seus elementos e, para isso, são necessários outros processos de contagem e, em um deles utilizando a fórmula genérica estes problemas foi desenvolvidos como método de análises. Concluiremos as análises com os dados obtidos com apresentação dos dados quantitativamente analisados.
INTRODUÇÃO
De um ponto de vista investigativo, é importante saber se as estruturas e
fórmulas matemáticas axiomáticas postuladas ao longo da construção dos
alicerces do processo cognitivo negligenciam a contribuição do texto das
questões, enquanto matriz de produção de autêntico significado, na compreensão
dos signos e símbolos que podem e devem prestar um grande auxílio ao ensino
da matemática contextualizada. Isso porque, encontrávamos frequentemente, a
constituição de um método o qual considerava, tradicionalmente, que ensinar
matemática era apresentar problemas e que aprender seria resolver problemas.
Assim, esse método consistia em apresentar ao aluno problemas que
estimulassem o pensamento reflexivo na busca de uma solução satisfatória.
1 Universidade Federal de Pernambuco – UFPE e-mail: [email protected] [email protected]
Concordamos com o fato de os aspectos lógicos aplicados
matematicamente serem organizados de acordo com os alicerces do saber
anterior, como mediador do fazer matemático, dentre esses, nos apoiamos em
Vergnaud (1996) quando o autor indica que cada conceito ampara-se em três
dimensões fundamentais: as situações que dão significado (S); as relações
invariantes (I) e as representações simbólicas (R).
Assim sendo, procuramos em nossa pesquisa realizar um estudo de
sondagem de caráter interpretativo, visando auxiliar o ensino de combinação em
seu contexto aplicativo e norteador das condições de crescimento social,
intelectual e tecnológico necessários ao desenvolvimento progressivo e real de
nossa humanidade. Com vistas, no embasamento legal vigente em nosso país.
Para tanto, este trabalho estuda com o apoio da Teoria dos Campos
Conceituais, proposta por Vergnaud (1996) nas atividades dessa disciplina
(combinação) nas Escolas Estaduais em turmas de 3º ano do Ensino Médio, as
quais podem se envolverem na contextualização. Durante este estudo, teremos a
oportunidade de esclarecer dúvidas que correlacionam o domínio das
representações matemáticas pelo conceito de combinação à solução dos
problemas nas questões de matemática contextualizadas e não contextualizadas.
Nossa hipótese é que a apresentação dos textos contextualizados em
questões de combinatória, nas avaliações apresentadas em duas turmas de
alunos do 3º ano do Ensino Médio de Escolas Estaduais da região metropolitana
do Estado de Pernambuco, pouco contribui como recurso facilitador para a
solução dessas, bem como não se apresentam como mediadores do conceito de
combinação nas representações.
Temos como objetivo geral, portanto, identificar quantitativamente os
acertos e erros das soluções das questões contextualizadas e não
contextualizadas nos textos das provas/atividades de combinatória nas turmas do
Ensino Médio de Escolas Públicas da região metropolitana do Recife. Quanto a
metodologia selecionaremos questões apropriadas ao contexto dos alunos
adequando a realidade local de cada Escola para posteriormente apresentar 04
(quatro) modelos de atividades com 08 (oito) questões, dentre elas 06 (seis)
contextualizadas e 02 (duas) não contextualizadas em ordens diferentes em cada
modelo de atividades segundo os componentes básicos fundamentais para o
ensino de combinatória.
A justificativa deste trabalho apóia-se na expectativa de que o instrumento
didático avaliativo, no caso atividades com questões contextualizadas e não
contextualizadas, atrelado ao conceito matemático, venha a se constituir num
instrumento a ser utilizado em uma nova perspectiva de ensino-aprendizagem. A
fim de que o contexto inserido na avaliação/prova de combinação não possua
difícil interpretação e compreensão, mas deva ser idealizado para ser um texto
lúdico, motivador e real passível de releituras e estimulador de novas criações,
tanto para os alunos, como para os professores.
Na conclusão, faremos reflexões sobre os resultados obtidos, procurando
manter aspectos dentro de uma coerência com o referencial teórico e com as
demais análises que nortearam o estudo. Nossa intenção é que o presente
trabalho possa contribuir de forma significativa para que os professores de
matemática reflitam sua prática docente, visando à organização de um trabalho
que possa mediar entre a disciplina de combinatória e a possível realidade social
de Escolas Públicas, favorecendo a compreensão dos conceitos envolvidos nessa
disciplina.
Por fim, analisaremos quantitativamente os acertos e erros em cada turma
disponibilizando numa tabela descritiva para posteriores considerações sobre o
corpus.
A ANÁLISE COMBINATÓRIA E A CONTEXTUALIZAÇÃO
Para o processo esclarecedor da análise combinatória faremos um breve
relato diacrônico (histórico) o qual relata que a ação combinatória se ocupava na
sua origem, com a resolução de problemas sempre vinculados aos jogos de azar,
dentre os que especificamente manipulavam dados e roletas de apostas. Porém,
na medida em que a necessidade de expansão econômica e territorial nas
grandes cidades surge teorias e aplicabilidades em combinações específicas para
o uso do cotidiano tais como: cálculos em probabilidades, nos problemas das
redes ferroviárias e transportes urbanos, de grande circulação, na malha aérea
usada pelas aeronaves durante as guerras em diversas partes do mundo pelas
combinações dos vetores, dentre outros fatores que ocasionaram o crescimento
dos estudos em análise combinatória.
Segundo Trotta (1988) a análise combinatória, atua em diversos outros
domínios e fornece fundamentação para a contagem de possibilidades de eventos
do cotidiano. Distante dos relatos encontrados no livro do celebre matemático e
jogador Girolamo Cardano (1501-1576) Liber de ludo aleae (O livro dos jogos de
azar), que ele sequer achava digno de publicação, porém inicia-se neste período
a parte técnica da discussão em equiprobabilidade2.
Nesta linha, a pesquisadora do Grupo de Estudos em Raciocínio
Combinatório do Centro de Educação (Geração) da Universidade Federal de
Pernambuco – UFPE professora Cristiane Azevedo dos Santos Pessoa discute a
importância em desenvolver o raciocínio combinatório, como uma forma de
estratégia e pensamento que possa auxiliar no aprendizado matemático
especificamente nos conteúdos dos quais se faça necessária a sistematização de
informações e análise das atividades quanto aplicabilidade dos exercícios.
Para o raciocínio da análise combinatória Pessoa (2009, p. 02) relata que:
Portanto, a Combinatória nos permite quantificar conjuntos ou subconjuntos de objetos ou de situações, selecionados a partir de um conjunto dado, ou seja, a partir de determinadas estratégias ou de determinadas fórmulas, pode-se saber quantos elementos ou quantos eventos são possíveis numa dada situação, sem necessariamente ter que contá-los um a um (PESSOA, 2009, p 02).
Baseado nas pesquisas realizadas no âmbito da análise combinatória, as
quais foram desenvolvidas anteriormente, como a de Pessoa e Borba (2009), que
orientam o professor quanto à importância do aprendizado da Combinatória nos
anos iniciais de escolarização, podem ser mais facilmente compreendidas
posteriormente quando retratadas através de formulas. Diferentemente em nossa
pesquisa, estaremos adequando o estudo já realizado por Pessoa e Borba (2009)
com o uso apenas da fórmula de combinação em turmas do Ensino Médio.
Usando o número de combinações simples de n elementos tomados p a p,
denotado por pnC ou por p , nC ou por
p
n, é dado por:
p)!(np!n!
=Cpn
−
visto a
2 Corresponde ao cálculo do montante correto da aposta a ser feita por um jogador o qual possui probabilidade p de ganhar a importância s.
necessidade de adequação do tempo de intervenção e a disponibilidade do
período nas turmas de Escolas Públicas.
Contudo, ao relatamos sobre contexto neste trabalho de pesquisa,
buscamos aproximar o termo aos sentidos defendidos pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1999), pois neles encontramos que os
contextos estão relacionados aos da vida prática. Como por exemplo:
Encontre o número de combinações possíveis formados com os 05 (cinco) filmes disponibilizados abaixo tomados 03 (três) a 03 (três). Visto que estes filmes ainda são sucesso de bilheteria e locações em uma determinada Locadora do Bairro em Olinda, os quais chamaremos de termo binomial.
Atrelado ao contexto sugerido pelos Parâmetros Curriculares Nacionais -
PCN (BRASIL, 1999), encontramos a essência do ensino-aprendizagem
matemática contextualizada em problemas nas atividades de combinação
diluídas, no contexto para fazer da significação dos conteúdos matemáticos
ensinados aos alunos uma relação de funcional e útil podendo ser aplicada ao
cotidiano, tornando a aprendizagem significativa no campo do real. Minimizando
as abstrações excessivas e traduzindo o valor da construção do pensamento
matemático facilitador inserido na sociedade moderna.
Segundo Sousa (2002), a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
(LDB –nº 9.394/96), em seu art. 3º, inciso I, tem como um dos princípios do
ensino garantir a igualdade de condições para o acesso e permanência na escola.
Portanto, garantir formas de aprendizado que motivem o aluno e que facilitem a
aquisição de conhecimento, de modo que ele obtenha um resultado satisfatório, é
também uma maneira de garantir sua permanência na escola e,
consequentemente, permitir-lhe dar continuidade a seus estudos, o que está
contemplado na Lei de Diretrizes e Base - LDB, tanto no art. 22 como no art. 35,
inciso I.
Entendemos que adequar o material e instrumento didático (atividades) às
especificações e às necessidades do aluno é uma forma de valorizar as
experiências que ele traz de sua vida extra-escolar, viabilizando uma metodologia
que estimule sua criatividade, o que é contemplado no art. 3º, inciso X e no art.
36, inciso II.
Outra possibilidade de justificar o atrelamento do texto contextualizado às
questões de combinação em consonância ainda com a Lei de Diretrizes e Base -
LDB — em seu art. 35, inciso II — é o oferecimento aos educandos, ao final de
sua educação básica, de uma bagagem cultural e de compreensão das ciências
exatas. Isso capacita sua adaptação crescente quanto às mudanças e exigências
do mercado de trabalho, bem como garante a opção de um posterior
aperfeiçoamento.
Isso é reafirmado no art. 36, inciso I, da Lei de Diretrizes e Base - LDB,
com destaque para a educação tecnológica básica, na qual incluímos as
pesquisas em sites e outros manuseios informáticos como forma de exercício da
cidadania. É ainda relevante destacar que o parágrafo 1º desse mesmo artigo
indica que o aluno do Ensino Médio deverá dominar os princípios científicos e
tecnológicos relacionados diretamente às ocupações pós-modernas.
MÉTODO
Para a realização deste estudo, inicialmente verificamos a possibilidade de
os alunos encontrarem ao longo do trajeto para Escola, elementos referenciais, os
quais poderiam ser usados em atividades classificadas como contextualizadas.
Na tentativa de mediar às questões a proximidade da realidade local de cada
Escola investigada para isso verificou-se a existência de Locadoras, Lan House,
Lojinhas de produtos importados e Shopping.
Em seguida foram elaboradas 08 (oito) questões (ver anexo) com os dados
obtidos na investigação local das escolas, sendo que 06 (seis) dessas questões
foram classificadas como sendo contextualizadas e, nelas atribuímos uma
sequência de resolução em combinação.
As 02 (duas) questões restantes foram dispostas num perfil de não
contextualizadas por dois processos hipotéticos: primeiro pelo fato de alguns
alunos não levarem em consideração a relação do contexto e apenas a
aplicabilidade da fórmula de combinação com os dados obtidos nas questões
apresentadas no livro didático usados por estas turmas; em segundo, pelo fato do
uso do raciocínio lógico dedutivo por meio de outras possibilidades de solução
das questões apresentadas, bem como o uso de árvores de possibilidades, ou a
distribuição em listagens, desenhos e tabelas dentre outras formas de solução
para a combinação de elementos.
Para tanto, em alguns problemas, bastaria escrever uma lista explícita de
todos os elementos do conjunto apresentado e depois contá-los. Entretanto, em
muitos casos, o conjunto foi apresentado demasiadamente grande para se fazer
essa contagem direta dos seus elementos e, para isso, são necessários outros
processos de contagem e, em um deles utilizando a fórmula genérica.
Complementando nossa metodologia modificamos a ordem das questões
quanto à distribuição das mesmas aplicadas em sala de aula, ou seja, não houve
modificações das estruturas textuais das questões do corpus, apenas as
modificações das posições numéricas quanto à ordem posicional.
Aplicamos as atividades no mesmo dia e horário nas duas Escolas
Públicas as quais estão em locais equidistantes aproximadamente 18 (dezoito)
quilômetros. Em seguida, as atividades foram recolhidas para posterior análise
das questões e distribuição em uma tabela descritiva como proposto nesta
pesquisa.
RESULTADOS E ANÁLISES
Segue análise do Gráfico dos dados coletados do corpus (atividades), onde
dispomos as questões contextualizadas contabilizadas em um total de 86 (oitenta
e seis) questões das 120 (cento e vinte) para a Escola estadual de Olinda. A qual
obteve um percentual correspondente a 71,6% das questões validadas, ou seja,
corretamente resolvidas pelos alunos da Escola Pública de Olinda. Já a Escola
Pública de Igarassu resultou da solução apenas e 19 (dezenove) questões
corretas o que gerou um percentual de 15,8% do total de 120 (cento e vinte)
questões perfazendo um universo de 240 (duzentos e quarenta) questões
aplicadas nas duas escolas como mostra o gráfico abaixo.
Banco de dados do pesquisador
Quanto à hipótese dos alunos resolverem as questões usando outros
métodos deferentes da aplicação direta da fórmula algébrica, verificamos que em
nenhum momento surgiu outra forma de solução nas questões na Escola
Estadual de Olinda, ou seja, todos os alunos que responderam as questões,
responderam usando a fórmula algébrica como mostrado abaixo. Diferentemente
observado na Escola Estadual de Itapissuma, na qual verificamos a existência de
tentativas de solução usando outras possibilidades diferentes da fórmula, para
isso, os alunos tentaram usar o método de listagem.
Este foi o modelo de solução das questões para a maioria dos alunos
sondados, desde as questões contextualizadas e não contextualizadas, apenas a
decodificação da fórmula algébrica na substituição dos valores apresentados nas
questões e superpostos na fórmula de combinação para todas as questões
certas.
O perfil de solução visto em outro modelo de combinação com o mesmo
procedimento para calcular o resultado solicitado na questão acima.
Para a variável (eixo 2), referente às questões não contextualizadas,
encontram-se na quantidade total de 80 (oitenta questões) as quais classificamos
em quantidades menores, visando que são encontradas no livro didático numa
quantidade maior. Para tanto, esse modelo de questões ainda é apresentado
apenas no sentido de práticas repetitivas, não despertando a real potencialidade
do decodificador em função das representações possíveis durante o processo de
solução das questões.
As questões não contextualizadas corresponderam a 32,5% das questões
apresentadas aos alunos da Escola Pública de Olinda. Já a Escola Pública de
Itapissuma resultou num percentual de 25% das mesmas questões do universo
de 80 (oitenta) questões. Esses dados mostram que a quantidade de acertos das
questões não contextualizadas foram maiores, pois o número de questões é
menor que as contextualizadas de acordo com gráfico abaixo.
Banco de dados do pesquisador
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta desta pesquisa foi guiada na relação contextual dos problemas
de combinatória nas turmas de 3º ano do Ensino Médio de Escolas Públicas de
Olinda e Itapissuma, mediante a análise de acertos e erros dos alunos nos
problemas contextualizados e não contextualizados.
Devido à característica de sondagem presente neste trabalho, pudemos
constatar através de análises algumas situações peculiares ao nosso objeto de
estudo, dentre as quais umas positivas e outras negativas, baseado naquilo que
nos propusemos analisar em combinatória.
Dentre as positivas, destacamos as questões contextualizadas encontradas
no corpus, as quais já estão inseridas, mesmo que em quantidade menor, no livro
didático utilizado pelo Estado de Pernambuco em Escolas Públicas, oferecendo
aos seus alunos atividades de combinatória diversificadas. Outro aspecto positivo
observado foi à tentativa de solucionar questões utilizando o método de listagem
pelos alunos da Escola Pública de Itapissuma sem ocorrem no devido sucesso da
resposta.
Todavia, dentre os aspectos negativos, podemos destacar, infelizmente,
alguns fatores tais como: (i) a presença de questões plagiadas, ou seja, copiadas
por outros alunos de mesma sala de aula; (ii) a inexistência de outras
possibilidades de solução das questões corretas com uso de métodos por
exemplo de árvores de possibilidades, distribuição em listagens, desenhos e
tabelas dentre outras formas de solução para a combinação de elementos; (iii) um
maior percentual de acertos nas questões não contextualizadas.
Por fim, conscientes de que há ainda muito a ser observado, consideramos
parcialmente essa etapa acreditando que as parciais a que chegamos até aqui
nos mostram que há a necessidade de mais estudos dessa natureza, com este
efetivo objeto: o de conhecer a realidade da educação matemática em
combinatória e adequação da legalidade vigente em nosso país. Então, esses
resultados parciais apresentados servirão de subsídios para os próximos passos
que são, acima de tudo, diluir as informações aqui descritas para quem precisar,
para quem dela possa se servir.
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