anÁlise de distribuiÇÃo de pressÃo em vÁlvulas de...
TRANSCRIPT
INPE-13603-TDI/1042 ANÁLISE DE DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO EM VÁLVULAS DE
DIAFRAGMA POROSO
José Carlos Lombardi
Tese de Doutorado do Curso de Pós-Graduação em Computação Aplicada, orientada pelo Dr. Jerônimo dos Santos Travelho, aprovada em 30 de março de 2005.
INPE São José dos Campos
2006
681.3 LOMBARDI, J. C. Análise de distribuição de pressão em válvulas de diafragma poroso. / J. C. Lombardi. – São José dos Campos: INPE, 2005. 125p.; - (INPE-13603-TDI/1042). 1.Dinâmica dos fluidos computacional. 2.Fluidos hidráulicos. 3.Golpe de Aríete. 4.Materiais porosos. 5.Método dos volumes finitos. I.Título.
Para Gabi,
Juliana e Luciana.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todas pessoas que me ajudaram a vencer mais esta etapa da vida. Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais – INPE pela oportunidade de estudos e utilização de suas instalações. Aos professores do INPE pelo conhecimento compartilhado. À Universidade de Taubaté – UNITAU pelo auxílio financeiro. Ao meu orientador, Dr. Jerônimo dos Santos Travelho, pelo conhecimento passado, e pela orientação e apoio na realização deste trabalho. Ao meu amigo Jeff, pelas lições de vida. Ao meu amigo Hélcio Francisco Villa Nova pela ajuda técnica no uso do software CFX e, principalmente, pelo apoio moral nos momentos difíceis. Ao meu amigo Maurício Ribeiro Baldan pelo apoio, incentivo e companheirismo. Aos amigos que conheci durante o curso e que passaram a fazer parte da minha vida, principalmente as mulheres nota 10, Maju e Nanci. Às minhas amigas dos momentos felizes e dos momentos difíceis, Alindacir, Claudia e Maysa. A meus pais por terem me dado a vida.
A Deus, sem Quem nada seria possível.
RESUMO
Neste trabalho é proposto o uso de elementos porosos para estudo de dispositivos de fechamento em tubulações. A simulação numérica é feita via um código comercial de DFC (Dinâmica dos Fluidos Computacional), que emprega um esquema numérico baseado em discretização por Volumes Finitos. O objetivo principal está em comparar os resultados 3-D da distribuição de pressão nas faces de fechamento do equipamento em manobra com os resultados obtidos em 1-D, pelo Método das Características, visando obter parâmetros mais precisos para o projeto estrutural de válvulas e comportas empregadas no controle de vazão em tubulações gerais. O emprego de elementos porosos permitirá uma análise fluido-estrutura da válvula e um controle mais suave na manobra de fechamento. Muitos autores têm apresentado resultados referentes a 1-D de instalações hidráulicas. Porém, visões 2-D e 3-D têm sido suprimidas em virtude da limitação do Método das Características, normalmente empregado na solução desses problemas. Este trabalho marca exatamente a possibilidade de implementações mistas, 1-D e 3-D, com métodos apropriados para cada situação.
ANALYSIS OF PRESSURE IN VALVES WITH POROUS DIAPHRAGM
ABSTRACT
This work proposes the use of porous elements to study the valves in pipe net. The numerical simulation is made by a commercial Computational Fluid Dynamic (CFD) software that applies the Finite Volume Method in discretizing the FDE. The main goal of this work is to compare the results in 3-D of pressure distribution on the faces of the valve against the results 1-D obtained from the Method of Characteristics. The 3-D results will provide better parameters in structural project of valves. The use of porous media will permit an analysis fluid-structure and a smooth control of the valve closing. Many works have been made about 1-D hydraulic installations, but 2-D or 3-D results have been suppressed due the limitations of the Characteristics Method used to solve this kind of problem. This work brings the possibility of mixed implementations, 1-D and 3-D, using the appropriated method for each case.
SUMÁRIO
Pág.
LISTA DE FIGURAS LISTA DE SÍMBOLOS CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO...................................................................................... 21 1.1 Descrição do Trabalho....................................................................................................21 1.2 Estrutura Geral do Presente Trabalho.............................................................................22 1.3 Revisão Bibliográfica .....................................................................................................23 1.4 Descrição do Problema...................................................................................................25 1.5 Natureza do Golpe de Aríete ..........................................................................................26 1.6 Tubulações ... .............................................................................................................27 1.7 Golpe de Aríete em Instalações de Bombeamento.........................................................30 CAPÍTULO 2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................ 35 2.1 Equação do Momento.....................................................................................................35 2.2 Equação da Continuidade ...............................................................................................38 2.3 Equações Características ................................................................................................43 2.4 Método dos Volumes Finitos..........................................................................................45 2.5 Escoamentos Turbulentos...............................................................................................49 2.5.1
Turbulência ........................................................................................................ 50
2.5.2 Modelos de Turbulência ..............................................................................................51
2.5.2.1 Equações de Reynolds (RANS)................................................................................ 52 2.5.2.2 O Modelo de Turbulência ε−Κ .............................................................................. 55 2.5.2.3 Equações do modelo ε−Κ ..................................................................................... 56 2.6 Lei de Manobra de Válvulas...........................................................................................57 CAPÍTULO 3 ANÁLISE 1-D DE ESCOAMENTOS TRANSIENTES ....................... 59 3.1 Descrição........ ... .............................................................................................................59 3.2 Solução Pelo Método das Características.......................................................................59 3.2.1 Condições de Contorno ...............................................................................................61
3.3 Implementação.... ...........................................................................................................62 3.4 Visualização dos Resultados 1-D ...................................................................................63 CAPÍTULO 4 ANÁLISE 3-D DE ESCOAMENTOS TRANSIENTES ....................... 65 4.1 Descrição................ ........................................................................................................65 4.2 Introdução à Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) ...........................................65 4.2.1 Evolução da DFC ........................................................................................................65
4.2.2 Teoria Matemática da DFC .........................................................................................66
4.2.3 Aplicações da DFC......................................................................................................66
4.2.4 Metodologia da DFC ...................................................................................................67
4.3 Descrição do Código Comercial CFX-5.........................................................................69 4.3.1 Estrutura do CFX-5 .....................................................................................................70
4.4 Discretização Numérica no CFX-5 ................................................................................70 4.4.1 Algoritmo de Solução do CFX-5.................................................................................71
4.4.2 Solução Geral no CFX-5 .............................................................................................72
4.4.3 Solução do Sistema de Equações Lineares no CFX-5.................................................73
4.4.4 Técnica Multigrid Implementada no CFX-5 ...............................................................73
4.5 Simulação de Escoamento em Material Poroso no CFX-5 ............................................76 4.5.1 Modelo de Perda Direcional ........................................................................................78
4.5.2 Visualização dos Resultados 3-D ................................................................................79
CAPÍTULO 5 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS.............................................. 107 5.1 Preâmbulo.....................................................................................................................107 5.2 Comparação dos Resultados.........................................................................................113 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS ...... 117 6.1 Conclusões....................................................................................................................117 6.2 Propostas de Trabalhos Futuros....................................................................................117 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 119 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA.................................................................................... 123
LISTA DE FIGURAS
1.1: Esquema da Válvula com Distribuição da Pressão ................................................. 21 2.1: Volume de Controle Elementar ............................................................................... 35 2.2: Volume de Controle para Balanço de Massa .......................................................... 38 2.3: Volume de Controle de Volumes Finitos ................................................................ 47 2.4: Distribuição de Pressão em Manobras Rápidas ...................................................... 58 2.5: Distribuição da Pressão em Manobras Lentas......................................................... 58 3.1: Gráfico das Retas Características ............................................................................ 59 3.2: Sistema Reservatório-Tubulação-Válvula............................................................... 62 3.3: Variação da Pressão em função do Tempo.............................................................. 63 3.4: Variação da Pressão em função do Tempo.............................................................. 64 3.5: Variação da Pressão em função do Tempo.............................................................. 64 4.1: Volume de Controle usado no CFX-5..................................................................... 71 4.2: Esquema de Malhas usadas na Técnica Multigrid .................................................. 76 4.3: Vista de um seção do tubo contendo a região da válvula........................................ 77 4.4: Vista da válvula em ângulo lateral .......................................................................... 77 4.5: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 0,5 s.................................. 80 4.6: Distribuição da Pressão após o Diafragma – Tempo: 0,5 s..................................... 80 4.7: Vetor Velocidade – Tempo: 0.5 s............................................................................ 81 4.8: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1.0 s................................... 82 4.9: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 1.0 s...................................... 82 4.10: Vetor Velocidade - Tempo: 1.0 s .......................................................................... 83 4.11: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,5 s................................. 84 4.12: Distribuição da Pressão após do Diafragma - Tempo: 1,5 s.................................. 84 4.13: Vetor Velocidade - Tempo:1,5 s ........................................................................... 85 4.14: Vetor Velocidade - Tempo: 1,8 s .......................................................................... 85 4.15: Vetor Velocidade - Tempo: 1,9 s .......................................................................... 86 4.16: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 2.0 s................................. 87 4.17: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 2.0 s.................................... 87 4.18: Vetor Velocidade - Tempo: 2.0 s – Válvula Fechada ........................................... 88 4.19: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 3,5 s................................. 89 4.20: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 3.5 s.................................... 89 4.21: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 4.0 s................................. 90 4.22: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 4,0 s.................................... 91 4.23: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 0,5 s................................. 92 4.24: Distribuição de Pressão após o Diafragma - Tempo: 0,5 s.................................... 92 4.25: Vetor Velocidade - Tempo: 0,5 s .......................................................................... 93 4.26: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1.0 s................................. 94 4.27: Distribuição de Pressão após o Diafragma - Tempo: 1,0 s.................................... 94 4.28: Vetor Velocidade - Tempo: 1,0 s .......................................................................... 95 4.29: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,5 s................................. 96 4.30: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 1,5 s.................................... 96 4.31: Vetor Velocidade - Tempo: 1,5 s .......................................................................... 97 4.32: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 2.0 s................................. 98 4.33: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 2.0 s.................................... 98
4.34: Vetor Velocidade - Tempo: 2,0 s .......................................................................... 99 4.35: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 0,5 s.............................. 100 4.36: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 0,5 s.................................. 100 4.37: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,0 s............................... 101 4.38: Distribuição da Pressão após o Diafragma – Tempo: 1,0 s................................. 102 4.39: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,5 s............................... 103 4.40: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 1,5 s.................................. 103 4.41: Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 2.0 s............................... 104 4.42: Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 2.0 s ................................ 105 5.1: Comparação entre Resultados Experimentais, Método das Características e CFX108 5.2: Distribuição da Pressão no Tubo - Caso Estacionário........................................... 108 5.3: Efeito do Refinamento da Malha no CFX............................................................. 109 5.4: Malha usada nas simulações (aproximadamente 2 milhões de nós) ..................... 109 5.5: Malha refinada (aproximadamente 4 milhões de nós) .......................................... 110 5.6: Variação de Pressão na Válvula - Porosidade: 2e-1.............................................. 111 5.7: Variação de Pressão na Válvula – Porosidade 5e-1 .............................................. 111 5.8: Variação de Pressão na Válvula – Porosidade 1e-5 .............................................. 112 5.9: Diferença de Pressão na Válvula – Porosidade: 1e-5............................................ 112 5.10: Pressão antes e depois do Diafragma - VF: 0,25 m/s .......................................... 114 5.11: Diferença de Pressão na Válvula - VF: 0,25 m/s ................................................ 114 5.12: Diferença de Pressão antes e depois da Válvula - VF: 0,5 m/s ........................... 115 5.13: Diferença de Pressão - VF: 0,5 m/s ..................................................................... 115
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos Latinos
A Área da seção transversal do tubo
A Vetor área do escoamento em meio poroso
A’ Vetor área disponível para escoamento em meio poroso
AG Área de abertura da Válvula
a Velocidade do pulso de pressão ou celeridade
C Coeficiente que introduz os efeitos da relação de Poisson
−+ CC , Equações características
Cd Coeficiente de descarga na válvula
CM,CP Constantes conhecidas das equações características
CR1 Coeficiente de resistência linear em meio poroso
CR2 Coeficiente de resistência quadrático em meio poroso
dt Quantidade infinitesimal de tempo
D Diâmetro do Tubo
dx Distância incremental
E Energia; Módulo de Elasticidade linear do tubo
ijE Tensor da taxa média de deformação em escoamento turbulento
e Espessura da parede do Tubo
ije Tensor da taxa de deformação em escoamento turbulento
'ije Tensor da componente flutuante da taxa de deformação
f Fator de atrito de Darcy-Weisbach
F Força
g Aceleração da Gravidade
H,h Altura Piezométrica
H0 Pressão média para o caso estacionário
HR Pressão da coluna d’água no reservatório
HP Pressão desconhecida em algum ponto computacional
k Energia cinética por unidade de massa
K Módulo de Elasticidade Volumétrica; Condutividade Hidráulica
K Energia cinética média do modelo ε−Κ
Kloss Coeficiente de perda empírico em meio poroso
K Tensor simétrico de segunda ordem ou tensor de área de porosidade
L Comprimento da tubulação
m Massa
nr Vetor normal
M Número de Mach
P Ponto de solução em um plano xt; Pressão média no modelo ε−Κ
p Pressão
Q Vazão instantânea em uma seção do tubo
r Raio do Tubo
S Termo Fonte nas equações de Navier-Stokes
SM Fonte geral de momentum em meio poroso
Sspec Fontes de momentum
t Tempo; Como subscrito especifica diferenciação parcial em relação ao tempo
tc Tempo de fechamento de uma Válvula
Ti Intensidade da turbulência
U Velocidade na direção x
U0 Velocidade média do escoamento
Uref Velocidade de referência
U Vetor velocidade
u Componente x do vetor velocidade U
''jiuu Tensores do stress de Reynolds
V Velocidade na direção x; Volume físico do meio poroso; Volume
'V Volume disponível para escoamento em meio poroso
v Componente y do vetor velocidade U; Volume
W Velocidade na direção z
w Componente z do vetor velocidade U
x Distância ao longo do Tubo
y Diferença entre a altura do Tubo e o nível do reservatório
Z,z Altura em relação ao solo no sentido vertical
Símbolos Gregos
α Ângulo de inclinação da tubulação
δx Distância infinitesimal
δt Quantidade infinitesimal de tempo
∆A Variação da área transversal do tubo
∆p Variação da pressão
∆x Intervalo espacial da malha
∆t Intervalo de tempo da malha
∆V Variação do Volume
ε Taxa de dissipação de energia cinética turbulenta no modelo ε−Κ
ε1 Contração longitudinal relativa do tubo
ε2 Dilatação transversal relativa do tubo
φ Valor escalar
rmsφ Valor médio quadrático das flutuações no modelo ε−Κ
'φ Componente escalar que varia com o tempo em regimes turbulentos
Φ Valor médio usado nas equações de modelos de turbulência
Γ Coeficiente de difusão
γ Peso específico do fluido; Fator de permeabilidade
Κ Energia cinética no modelo ε−Κ
λ Multiplicador usado no Método das Características
µ Relação de Poisson; viscosidade; coeficiente de viscosidade;
ν Viscosidade cinemática
π Número adimensional Pi
θ Relação entre as dimensões da malha, ∆t/∆x
ρ Massa específica do fluido
σ
Tensão de tração
τ Tempo de fechamento da Válvula; Período da tubulação
0τ Tensão de cisalhamento
ψ Valor escalar
'ψ Componente escalar que varia com o tempo em regimes turbulentos
Ψ Valor médio usado nas equações de modelos de turbulência
21
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Este trabalho estuda os processos transientes em escoamentos hidráulicos. Nele é
proposto um novo modelo de válvula para controle de vazão em que o elemento
obturador é construído com material poroso. Várias simulações são apresentadas com
elementos de porosidades diferentes, utilizando o software comercial CFX-5. Este
software permite, através de modelo matemático, simular o escoamento de um fluido
em material poroso. Os resultados são comparados com soluções obtidas pelo Método
das Características apresentado em (Wylie & Streeter, 1978). A FIGURA 1.1 mostra o
esquema de um protótipo da válvula a ser construída com elemento poroso e o
comportamento do campo de pressão no momento de um transiente hidráulico.
FIGURA 1.1 - Esquema da Válvula com Distribuição da Pressão.
1.1 Descrição do Trabalho
Neste trabalho é proposto o uso de elementos porosos na construção de dispositivos de
controle de escoamento em tubulações. A proposta inicial é parar o fluxo de fluido na
tubulação através de uma válvula com obturador construído com elemento poroso. Para
isso, foram testadas várias porosidades, apropriadas para barrar o fluxo em
determinadas pressões. Conforme mostrado na FIGURA 1.1, no momento do
fechamento da válvula há um crescimento da pressão antes do obturador e uma
conseqüente queda da pressão após o obturador. Tais variações de pressão podem levar
22
a tubulação ao colapso caso não sejam instalados dispositivos de proteção. No caso da
válvula construída com elemento poroso, no momento do fechamento, e conseqüente
aumento da pressão, o obturador permitirá a passagem de uma certa quantidade de
fluido até que a pressão caia ao nível normal. Esta quantidade de fluido que atravessa o
meio poroso alivia o aumento de pressão antes do obturador assim como alivia a queda
de pressão após o obturador. Conseqüentemente, funciona como um dispositivo de
proteção, ao mesmo tempo em que controla o escoamento na tubulação. Outra
contribuição importante do trabalho é a determinação do campo de pressão antes do
obturador através de simulações com o software CFX-5 (Ansys, 1996). Diferente do
Método das Características, comumente usado na solução deste tipo de problema, onde
é determinada a pressão média no obturador limitando as informações para o projetista
(Wylie & Streeter, 1978), conhecendo-se o campo de pressão no obturador pode-se ter
parâmetros mais precisos para o projeto estrutural da válvula.
1.2 Estrutura Geral do Presente Trabalho
Este trabalho foi dividido em mais cinco capítulos, descritos a seguir.
• CAPÍTULO 2 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA: Neste Capítulo é tratada a
formulação matemática envolvida na solução do problema.
• CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DE TRANSIENTES HIDRÁULICOS 1-D: Neste
Capítulo é tratado o problema da análise de transientes hidráulicos 1-D através
de um programa em linguagem Fortran, utilizando o Método das
Características.
• CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DE TRANSIENTES HIDRÁULICOS 3-D: Neste
Capítulo é tratada a análise de transientes hidráulicos 3-D utilizando o
software comercial CFX-5.
• CAPÍTULO 5 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS: Neste Capítulo são
comparados os resultados 1-D e 3-D.
23
• CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS
FUTUROS: Neste Capítulo são apresentadas as conclusões e propostas de
trabalhos futuros.
1.3 Revisão Bibliográfica
Os conceitos básicos e as equações para análise de transientes hidráulicos foram
desenvolvidos e confirmados experimentalmente por Joukowsky, em 1898 e por Allievi,
em 1903 (Streeter & Wylie, 1967). Os métodos de análise dos transientes hidráulicos
baseiam-se nas equações de momento, continuidade ou energia, aplicadas de alguma
forma. A partir destas equações básicas, diferentes métodos, empregando diferentes
níveis de restrições, foram desenvolvidos. Em (Wylie & Streeter, 1978), os autores
apresentaram um estudo dos diversos métodos de análise de transientes hidráulicos, tais
como o método aritmético, gráfico, algébrico, entre outros, mas, principalmente
mostraram as vantagens do uso do método das características através de soluções
numéricas utilizando programas de computador. (Kirik e Gradle, 1981) analisaram o
problema do transiente hidráulico causado pelo fechamento rápido de uma válvula, em
uma linha de distribuição de água. Propuseram um modelo analítico do fechamento da
válvula para prever os efeitos do golpe de aríete e constataram que, com o fechamento
no tempo adequado os efeitos eram bastante atenuados. Os resultados foram
comparados com resultados experimentais, mostrando que o modelo analítico
apresentava estimativas razoáveis. (Popi, 1982), estudou os escoamentos transientes
unidimensionais e bidimensionais em meios porosos não-saturados, tanto de forma
analítica como experimental. Os resultados experimentais foram comparados com um
modelo analítico para o escoamento unidimensional horizontal. Foram feitas
considerações sobre a determinação analítica do coeficiente de difusão da água em
meios porosos. (Koelle, 1983) apresentou um trabalho sobre transientes hidráulicos em
instalações de condutos forçados. Neste trabalho, uma metodologia para a representação
e equacionamento dos dispositivos de uma instalação hidráulica foi apresentada. (Lessa,
1984), apresentou um modelo matemático computacional destinado à análise de
fenômenos transitórios em sistemas complexos de adução de água. As equações são
24
resolvidas através do Método das Características. (Mendonça, 1986), fez um estudo dos
transientes hidráulicos em uma instalação experimental de bombeamento de água, em
especial em um trecho situado logo após o conjunto moto-bomba, provocados por
interrupção da energia elétrica. Ensaios de campo foram realizados para diferentes
vazões, o que permitiu observar as variações de pressão máximas e mínimas. Com a
finalidade de examinar teoricamente a questão, Mendonça desenvolveu um modelo
computacional baseado, também, no Método das Características, para simulação das
condições transitórias. (Camargo, 1989), apresentou um artigo em que, baseado nas
equações básicas do golpe de aríete, propõe um método gráfico para representar as
pressões, sobre-pressões e sub-pressões a que a tubulação está sujeita. (Porto, 1990)
apresenta uma formulação adimensional para sistemas de bombeamento, constituídos
por bomba-chaminé de equilíbrio-válvula borboleta, analisando, em função de vários
parâmetros, transientes causados pelo corte de energia. (Camargo, 1991) fez uma
análise no golpe de aríete pelo Método das Características, baseando-se nas teorias
desenvolvidas em (Wylie & Streeter, 1978). (Izquierdo & Iglesias, 2002), apresentaram
um modelo matemático para análise de transientes hidráulicos em sistemas simples de
distribuição, baseado no Método das Características, que resultou no desenvolvimento
de um programa de computador chamado DYAGATS. Os resultados foram comparados
com resultados obtidos pelo software comercial SURGE5. Os mesmos (Izquierdo &
Iglesias, 2004), generalizaram o programa desenvolvido em (Izquierdo & Iglesias,
2002) para sistemas hidráulicos mais complexos, através de um aprimoramento na
definição das condições de contorno. (Nieves, 2004) apresenta um estudo fluido-
estrutura onde analisa problemas de vibrações por ressonância de freqüências a alta e
baixa velocidade de escoamento, bem como técnicas para suavizar o golpe de aríete. No
presente trabalho é proposta uma solução para encontrar o campo de pressão
bidimensional no obturador da válvula, comparando os resultados com soluções
apresentadas na literatura usando o Método das Características. Além disso, é proposta a
construção de uma válvula cujo obturador é construído de material poroso. As
simulações numéricas para determinar a porosidade adequada do obturador são feitas
usando o software comercial CFX-5 (Ansys, 1996).
25
1.4 Descrição do Problema
Em sistemas hidráulicos, constituídos de tubulação com água ou qualquer outro líquido
sob pressão, ocorrem com freqüência alterações nas condições de escoamento
caracterizadas pela variação de pressão e de velocidade de escoamento do fluido em
função do tempo, ocasionando regimes variados. Tais regimes, chamados de transientes
ou transitórios hidráulicos, acontecem durante a passagem de um regime permanente
para outro regime permanente devido à alteração das condições de contorno. Durante o
transitório hidráulico, as oscilações de pressão ao longo da canalização ocorrem de
maneira brusca, provocando ruídos que se assemelham a pancadas. Por isso, o
transitório hidráulico é, também, chamado de Golpe de Aríete. As sobre-pressões e sub-
pressões que ocorrem durante o transitório hidráulico podem causar sérios problemas à
tubulação e seus equipamentos, se estes não forem dimensionados para suportar tais
sobrecargas ou então, que medidas atenuantes sejam adotadas. Se tais cuidados não
forem tomados, certamente serão comprometidos a segurança, o funcionamento e a
integridade do sistema. Assim, a determinação das pressões máximas e mínimas é de
fundamental interesse do engenheiro, a fim de poder dimensionar a tubulação e
introduzir equipamentos protetores adequados, cuja finalidade é amortecer as variações
de carga, prejudiciais à vida útil da instalação. A análise do Golpe de Aríete nos
sistemas hidráulicos é baseada na equação da continuidade e na equação da quantidade
de movimento. Essas duas equações formam um sistema de equações diferenciais cuja
solução exata não está disponível, sendo necessário utilizar técnicas específicas para
determinar uma solução aproximada do problema. Desse modo, foram criados
diferentes métodos gráficos e analíticos, baseados em diferentes suposições restritivas.
Esses métodos, porém, são pouco precisos e difíceis de serem aplicados a sistemas
complexos. Apesar dos fenômenos transitórios serem conhecidos desde o início do
século, foi só recentemente, com o surgimento e aperfeiçoamento dos computadores
digitais, que estes fenômenos puderam ser estudados mais detalhadamente, sem a
necessidade de simplificações grosseiras (Streeter & Wylie, 1967; Wylie & Streeter,
1978). Para o estudo do Golpe de Aríete é necessário o conhecimento das condições
iniciais do regime permanente e das condições de contorno da instalação, que são os
26
pontos onde ocorrem descontinuidades das grandezas físicas, como pressão e
velocidade do escoamento.
1.5 Natureza do Golpe de Aríete
As variações de pressão, resultantes da variação da vazão causadas por perturbações no
escoamento permanente, em condutos forçados, são conhecidas por Golpe de Aríete.
Estas alterações de pressão variam com o tempo e se propagam em forma de ondas ao
logo da tubulação. Entre os diversos eventos que podem causar o Golpe de Aríete estão
as operações de abertura ou fechamento de válvulas ou paradas de eletrobombas, que
provocam o transitório. Durante este regime variável, a pressão pode atingir níveis
indesejáveis, causando danos à tubulação e aos dispositivos instalados. Uma descrição
do fenômeno pode ser feita, por exemplo, analisando o fechamento de uma válvula na
extremidade de uma tubulação. Como a energia cinética do escoamento não pode ser
anulada, esta energia, ou parte dela, é transformada em energia de pressão, aumentando
a pressão em relação à pressão reinante antes do evento (Macintyre, 1997). Esta sobre-
pressão é o Golpe de Aríete, um dos chamados fenômenos transitórios. A energia de
pressão resultante do Golpe de Aríete se converte em trabalho de compressão do líquido
e de deformação das paredes da tubulação, válvulas e máquinas, em locais onde a onda
de sobre-pressão se propaga. Supondo-se uma massa m de líquido, escoando com
velocidade V, a quantidade de movimento a que essa massa está sujeita, dada por mV, é
igual à impulsão gerada por uma força F agindo durante um tempo t, ou seja:
( ) ∫+
=∆tt
tFdtmV
δ0
0
(1.1)
Se o tempo tδ se reduzisse a zero, no caso de uma manobra instantânea de fechamento
da válvula, F tenderia ao infinito. Na prática o fechamento leva sempre um certo tempo
e a energia a ser absorvida se transforma em esforços de compressão do líquido e
deformação das paredes da tubulação e dos dispositivos que fazem parte da tubulação.
O volume que contém o líquido parado irá se expandir, na forma de uma onda de
27
pressão, ao longo da tubulação, a uma certa velocidade a denominada velocidade de
propagação da onda de pressão ou celeridade. No estudo do Golpe de Aríete as
variáveis dependentes, podem ser a pressão p e a velocidade média V, ou,
alternativamente, a carga H e a vazão Q. As variáveis independentes são sempre a
posição x, medida ao longo do eixo do tubo, e o tempo t, sempre com origem a partir do
início da manobra que produziu o transitório. Os parâmetros de interesse para o estudo
do Golpe de Aríete são: o diâmetro interno do tubo D, a espessura da parede do tubo e,
o comprimento L e a duração da manobra de fechamento τ . As propriedades físicas
envolvidas são: a massa específica ρ , o módulo de elasticidade volumétrica do líquido
K e o módulo de elasticidade linear do material do tubo E.
1.6 Tubulações
As tubulações podem ser feitas de vários materiais tais como aço, pvc, concreto, etc.
Cada tipo de material tem suas características próprias que interferem no
comportamento do escoamento do fluido em seu interior. Um dos parâmetros mais
importantes a ser estudado, e que depende do material do qual é feita a tubulação e de
como ela está ancorada, é a velocidade de propagação da onda de pressão no fluido ou
celeridade (Koelle, 2002), que é dada por:
pA
eAKD
K
a
∆∆
+=
1
ρ
(1.2)
onde K é o módulo de elasticidade volumétrica do líquido, ρ é a massa específica do
fluido, D é o diâmetro interno da tubulação e e é a espessura da parede do tubo. A
determinação de ∆A/A.∆p , que relaciona o efeito da deformação transversal
relativa AA /∆ da tubulação com a variação da pressão ∆p que provoca essa deformação,
é efetuada para cada tipo de estrutura e condições de assentamento (vínculos) da
tubulação, o que define as condições de deformação. Sendo E o módulo de Elasticidade
28
de Young do material do tubo, pode-se definir um número adimensional que depende
das características elásticas do conduto:
pE
AAC
∆∆
= (1.3)
Com o uso desse número adimensional, a equação para a celeridade fica:
CeEKD
K
a+
=1
ρ
(1.4)
A celeridade, então, vai depender das características do fluido K/ρ, das características
do material da tubulação (E), da geometria (D/e), e de como a tubulação está instalada
fisicamente (Koelle, 2002).
A determinação de C é feita para os vários casos a seguir.
• Tubulação Rígida
Neste caso, 0=∆A , e portanto, 0=C . A celeridade é máxima e dada por ρK que é
a velocidade do som no fluido.
• Tubulação Elástica com Parede Fina
Por parede fina entende-se as tubulações com relação entre o diâmetro (D) e a espessura
da parede (e) maior que 40, ou seja, 40/ >eD . Nestas condições, quando a tubulação é
submetida a um aumento da pressão interna p∆ , a dilatação transversal é acompanhada
de uma contração longitudinal proporcional, sendo esta proporcionalidade constante
29
entre os limites elásticos, para um determinado material. Esta constante designada por
µ , é chamada de Relação de Poisson, e dada por:
1
2
....
εεµ ==
relativaallongitudincontraçãorelativaltransversadilatação
(1.5)
Para materiais com a mesma propriedade elástica em todas as direções (materiais
isótropos), Poisson achou, analiticamente, o valor de 25,0=µ . Para este tipo de
tubulação podem-se considerar três casos:
a) O movimento longitudinal é restrito pela pressão interna exercida no
extremo do tubo pela válvula fechada. Neste caso, tem-se:
eDC
−=
21 µ
(1.6)
b) A tubulação é ancorada nos extremos e impedida de deformar-se
longitudinalmente. Tem-se, então:
( )eDC 21 µ−=
(1.7)
c) Se a tubulação não transmite tensões longitudinais, como é o caso de
tubulações com juntas elásticas do tipo ponta e bolsa, com anéis de
vedação, tem-se:
eDC =
(1.8)
30
• Tubulação com Parede Espessa
Para as mesmas situações do item anterior, tem-se:
para o caso a:
( )
−
+
++=2
11
12 µµ
Dee
DC (1.9)
para o caso b:
( ) ( )211
12 µµ −
+
++=
Dee
DC (1.10)
para o caso c:
( )
+
++=
Dee
DC1
12 µ (1.11)
1.7 Golpe de Aríete em Instalações de Bombeamento
O Golpe de Aríete em instalações de bombeamento pode ocorrer por vários motivos,
entre eles a atuação rápida das válvulas e dispositivos de regularização, pela interrupção
da corrente elétrica que alimenta o motor, deliberadamente ou não, e, eventualmente,
pela ocorrência de um defeito mecânico da bomba. O desenvolvimento do Golpe de
31
Aríete em uma instalação de bombeamento acontece da seguinte maneira
(Macintyre,1997)
Fase 1 - Quando o fornecimento de energia elétrica é interrompido, a única energia que
mantém o rotor girando por algum tempo é a energia cinética dos elementos rotatórios
do conjunto moto-bomba. Esta energia, porém, é pequena para manter a descarga sob a
altura manométrica da instalação, de modo que a velocidade angular do rotor decresce
rapidamente. A redução da velocidade angular provoca diminuição da descarga. A
coluna líquida na linha de recalque prossegue escoando em virtude da inércia e à
energia residual do rotor, também em virtude da inércia do conjunto rotatório. Nesta
fase ocorre redução na pressão interna da tubulação, sendo maior no início, na união
com a bomba e propagando-se ao longo do encanamento no sentido da saída. É o
chamado Golpe de Aríete Negativo. Cada elemento do encanamento se contrai por uma
diminuição elástica do diâmetro enquanto a onda de depressão se propaga até o
reservatório, com uma velocidade a, que pode ser calculada pela fórmula de Allievi
(Koelle, 2002):
eDK
a+
=3,48
9900 (1.12)
onde
D é o diâmetro do tubo, em metros;
e é a espessura da parede do tubo, em metros;
K assume valores diferentes para cada material usado na construção do tubo.
Se a distância entre a bomba e o reservatório é l, o tempo que a onda leva para chegar ao
reservatório é al . Após este tempo, a tubulação está em depressão ao longo de toda sua
extensão e o líquido fica imóvel.
32
Fase 2 - Devido à sua elasticidade, o encanamento retorna ao seu diâmetro normal. O
líquido retorna à bomba e, ao fim de novo tempo al a contar do início do fenômeno,
ou seja, al2 a onda de pressão chega à bomba. Nessa situação, duas coisas podem
ocorrer, dependendo da existência ou não de uma válvula de retenção antes da bomba.
a) Se houver a válvula, o liquido ao encontrá-la será parado, e uma onda de
pressão em sentido contrário irá percorrer o encanamento até o
reservatório, provocando a compressão do líquido e expansão da
tubulação, que é o golpe de aríete positivo. Se a válvula de retenção se
fechar no momento preciso, a sobre-pressão na válvula poderá atingir
valores de até 90% da altura estática de elevação. Os efeitos do golpe de
aríete irão se repetir de forma oscilatória, até a energia ser absorvida pelas
forças elásticas do encanamento (dilatação e contração).
b) Se não houver a válvula de retenção, o liquido irá escoar na bomba no
sentido inverso, embora durante algum tempo, o rotor por sua inércia,
continue girando no mesmo sentido. É a fase de dissipação da energia. O
rotor vai girando cada vez mais devagar, sua velocidade de rotação passa
por zero e começa, depois, a girar em sentido contrário como se fosse uma
turbina hidráulica sob a ação da água que vem da linha de recalque.
Fase 3 - Os elementos sucessivos do encanamento irão sofrer os efeitos da onda de
pressão à medida que ela se propaga. Ao fim de novo tempo al , ou seja, al3 a partir
do início, todo o encanamento terá se dilatado com o líquido submetido à sobre-pressão
e estará imóvel.
Fase 4 - Novamente, devido à sua elasticidade, o encanamento recupera seu diâmetro
primitivo, no sentido de volta à bomba. Ao fim de um novo tempo al , ou seja, al4 a
partir do início, volta-se à situação que existia no momento do desligamento da bomba.
O período do movimento total é, então, al4 . O ciclo se repetiria indefinidamente se
33
não houvesse o efeito amortecedor das perdas de carga e da elasticidade do material do
encanamento.
34
35
CAPÍTULO 2
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
As equações do movimento transiente são derivadas de duas equações básicas da
mecânica que são a equação da continuidade e a segunda lei de Newton ou equação de
momento, cujo desenvolvimento e aplicação dados a seguir foram baseados em
(Camargo, 1991).
2.1 Equação do Momento
Considere-se o elemento de fluido especificado na FIGURA 2.1:
FIGURA 2.1 - Volume de Controle Elementar.
FONTE: Adaptada de Streeter & Wylie (1967).
36
Nesta figura têm-se como variáveis dependentes, a pressão p e a velocidade V, e como
variáveis independentes, a distância x e o tempo t. A equação do movimento baseia-se
no somatório das forças que atuam no elemento de fluido. Assim, tem-se:
a) Força resultante da diferença de pressão entre as seções,
dxxpAAdx
xpppA
∂∂
−=
∂∂
+− (2.1)
b) Força resultante da componente do próprio peso,
dxxZgAgAdx
∂∂
−= ραρ sen (2.2)
uma vez que senα = ∂Z/∂x e ρ é a massa específica do fluido.
c) Força resultante da resistência devida ao atrito com o conduto,
dxDVfV
AdxD
fVgADdx22
2
0 ρρπτ =±= (2.3)
com
8/20 fVρτ = (2.4)
onde f é o fator de atrito de Darcy-Weisbach. A Equação 2.4 é derivada da
equação de Darcy-Weisbach, dada por
37
2
2VDfLp ρ
=∆ (2.5)
e do balanço de forças no tubo quando em escoamento permanente dado
por
DLDp τππ=∆
4
2
(2.6)
pela eliminação de ∆p. Usa-se VVV =2 para levar em conta o sinal
adequado quando da inversão do fluxo transitório. De acordo com a
segunda lei de Newton, a soma destas forças deve ser igual ao produto da
massa ρAdx do elemento de fluido pela componente tangencial da
aceleração dV/dt. Assim, a equação do momento será:
tVAdxdx
DVfV
AdxxZgAdx
xpA
∂∂
=+∂∂
−∂∂
− ρρρ2
(2.7)
Dividindo a Equação 2.7 por ρAdx, obtém-se,
dtdV
DVfV
xZg
xp
=+∂∂
−∂∂
−2
1ρ
(2.8)
Como o termo tV
xVV
∂∂
<<∂∂ , então
tV
dtdV
∂∂
≅ . Levando-se isto em conta
mais o fato de que Q = AV , Z = H − h e p = ρgh, podemos escrever:
38
02
=+∂∂
+∂∂
DAQfQ
xHgA
tQ
(2.9)
que é a equação diferencial parcial do movimento.
2.2 Equação da Continuidade
FIGURA 2.2 - Volume de Controle para Balanço de Massa.
FONTE: Adaptado de Streeter & Wylie, (1967).
Aplicando-se o princípio da conservação de massa ao Volume de Controle da FIGURA
2.2, sabe-se que a quantidade de massa que atravessa a superfície de fronteira do
volume será igual à variação de massa contida em seu interior. Então, tem-se,
( ) ( )dxAVx
dxAVx
AVAV ρρρρ∂∂
−=
∂∂
+− (2.11)
A variação de massa no tempo é dada por:
( )Adxtt
m ρ∂∂
=∂∂
(2.12)
39
Somando-se as Equações 2.11 e 2.12, obtém-se:
( ) ( ) 0=∂∂
+∂∂ Adx
tdxAV
xρρ
(2.13)
Desenvolvendo as derivadas parciais, e dividindo por ρAdx, a Equação 2.13 fica:
011=++
∂∂
dtd
dtdA
AxV ρ
ρ
(2.14)
mas,
dtdp
eED
dtdA
A=
1 (2.15a)
e
dtdp
Kdtd 11
=ρ
ρ
(2.15b)
Porém, como o escoamento está sendo tratado como compressível, e supondo-se um
certo volume v de líquido com massa específica ρ submetido a uma pressão p,
comprimido por uma força F, a massa total do fluido, ρν , permanece constante, ou
seja:
( ) 0=+= ρρρ vddvvd (2.16)
que resulta em
40
ρρ
ddvv
=− (2.17)
Se os dois membros são multiplicados por dp, então:
Kddp
vdvdp
==−
ρρ
(2.18)
A grandeza K é definida como o módulo de elasticidade volumétrica do fluido. Fazendo
as transformações convenientes na Equação 2.18 e dividindo por dt, chega-se à:
dtdp
Kdtd 11
=ρ
ρ
(2.19)
Com relação à elasticidade da parede do tubo, verifica-se que:
rdrArdrdA 22 == π
(2.20)
Pela lei de Hooke, quando se trabalha com sólidos de comportamento elástico linear,
tem-se:
Erdrd
=σ
(2.21)
Substituindo a Equação 2.21 na Equação 2.20, obtém-se:
σdEAdA 2
= (2.22)
Sendo r o raio do tubo e e a espessura da parede, chega-se a:
41
dperd =σ
(2.23)
Substituindo-se a Equação 2.23 na Equação 2.22, obtém-se:
dpeEADdp
er
EAdA ==
2 (2.24)
que, após as operações apropriadas, produz:
dtdp
eED
dtdA
A=
1 (2.25)
Substituindo-se as Equações 2.25 e 2.19 na Equação 2.14, obtém-se
01=++
∂∂
dtdp
Kdtdp
eED
xV
(2.26)
O segundo membro da equação 2.26 representa os efeitos da deformação da tubulação
devida à variação de pressão. Conforme definido no Capítulo 1, Seção 1.7 (Tubulações),
quando uma tubulação é submetida a um aumento da pressão interna, a dilatação
transversal é acompanhada de uma contração longitudinal, cuja relação definida como
µ, é conhecida como Relação de Poisson. Esta relação é introduzida pelo número
adimensional C, definido na Seção 1.7 para os vários casos de assentamento da
tubulação, e, obtém-se:
011=
++
∂∂
eEKDC
dtdp
KxV
(2.27)
42
Usando-se a definição de celeridade dada na Equação 1.4, aqui convenientemente
reescrita:
eEKDC
K
a+
=1
ρ (2.28)
e, elevando-se ao quadrado, fica:
eEKDC
K
a+
=1
2 ρ
(2.29)
Multiplicando-se a Equação 2.27 pela Equação 2.29, obtém-se:
01 2 =+dxdVa
dtdp
ρ
(2.30)
Mas, como:
tp
xVV
dtdp
∂∂
+∂∂
= (2.31)
e como o termo
tp
xpV
∂∂
<<∂∂
(2.32)
então, ................ .................................................................................................................
tp
dtdp
∂∂
≅ (2.33)
Levando-se isto em conta, mais o fato de que Q = AV e que
43
tHg
tp
∂∂
≅∂∂ ρ
(2.34)
pode-se reescrever a Equação 2.30 como:
02
=∂∂
+∂
∂xQ
gAa
tH
(2.35)
que é a equação diferencial parcial da continuidade.
2.3 Equações Características
As Equações 2.9 e 2.35 representadas por L1 e L2 e aqui reescritas:
02
1 =+∂∂
+∂∂
=DA
QfQxHgA
tQL
(2.36)
022
=∂∂
+∂
∂=
xQ
gAa
tHL
(2.37)
são as equações diferenciais de derivadas parciais, não lineares, do movimento e da
continuidade, para líquidos compressíveis que escoam em tubulações de material com
comportamento elástico (Camargo, 1991). Possuem duas variáveis dependentes Q e H, e
duas independentes x e t. As propriedades do fluido e da tubulação são consideradas
através da celeridade a. Fazendo-se uma combinação linear de L1 e L2, com L = L1 +
λL2, sendo λ um parâmetro qualquer, com a substituição de valores e operações
convenientes, obtém-se:
02
12 =+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
DAQfQ
xH
tHgA
xQa
tQ
λλλ
(2.38)
44
Sendo as funções Q = Q(x, t) e H = H (x, t) soluções das Equações L1 e L2, analisando
a Equação 2.38 verifica-se que o primeiro termo entre parênteses é a derivada total
dQ/dt, se λa2 = dx/dt, já que:
xQa
tQ
dtdx
xQ
tQ
dtdQ
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
= 2λ (2.39)
Analogamente, o segundo termo entre parênteses é a derivada total dH/dt, se 1/λ =
dx/dt, pois:
xH
tH
dtdx
xH
tH
dtdH
∂∂
+∂
∂=
∂∂
+∂
∂=
λ1
(2.40)
Para que as Equações 2.39 e 2.40 estejam corretas, então, é preciso que:
λλ 12 == a
dtdx
(2.41)
ou, então:
a1
±=λ (2.42)
Assim,
adtdx
±= (2.43)
Substituindo-se as Equações 2.39, 2.40 e 2.42 na Equação 2.38, obtém-se:
02
=++DA
QfQdt
dHa
gAdtdQ
(2.44)
se
45
adtdx
= (2.45)
ou, obtém-se:
02
=+−DA
QfQdt
dHa
gAdtdQ
(2.46)
se
adtdx
−= (2.47)
2.4 Método dos Volumes Finitos
Soluções analíticas para as equações de Navier-Stokes existem apenas para os fluxos
mais simples e sob condições ideais. Para obter a solução para casos reais de
escoamentos um método numérico deve ser adotado. Assim, as equações são
substituídas por aproximações algébricas que podem ser resolvidas por um método
numérico (Versteeg, 1995). No caso do software comercial usado neste trabalho o
método numérico utilizado é o Método dos Volumes Finitos. Em termos físicos, o
Método dos Volumes Finitos permite a solução numérica de equações diferenciais
parciais baseado no balanço de massa, energia e quantidade de movimento,
considerando-se um determinado volume de meio contínuo. Este método evoluiu do
método das diferenças finitas e não apresenta problemas de instabilidade ou
convergência por garantir que, em cada volume discretizado, a propriedade em estudo,
como por exemplo, a massa, obedece à lei da conservação (Maliska, 1995; Fortuna,
2000). É utilizado largamente na resolução de problemas envolvendo transferência de
calor ou massa e em mecânica dos fluidos. Para explicar o funcionamento do Método
dos Volumes Finitos, pode-se analisar a equação diferencial que exprime as leis de
46
conservação para o transporte de uma grandeza escalar φ em um fluxo transiente dada
por:
( ) ( ) ( ) φφφρρφ Sut
+∇Γ⋅∇=⋅∇+∂∂ r
(2.48)
O primeiro termo do lado esquerdo da equação representa a taxa de variação da
grandeza φ , ao longo do tempo. Assim, para analisar problemas transientes, este termo
deve ser mantido na equação. O segundo termo do lado esquerdo da equação representa
o transporte convectivo. Do lado direito da equação, o primeiro termo representa o
transporte difusivo e o segundo termo representa o termo fonte. A integração do volume
finito para a Equação 2.48, em um volume de controle CV, deve ser feita para cada
passo de tempo dt. Substituindo-se as integrais de volume dos termos convectivos e
difusivos por integrais de superfície aplicando o teorema de Gauss, obtém-se:
( ) ( )
( ) dVSdAn
dtdAundVdtt
tt
t CV
tt
t A
tt
t ACV
tt
t
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∆+∆+
∆+∆+
+
∇Γ⋅
=
⋅+
∂∂
φφ
φρρφ
r
rr
(2.49)
Para ilustrar o processo de discretização da Equação 2.49, será feita a discretização dos
termos difusivo e termo fonte para um volume de controle VC, unidimensional. A
integração do VC é o passo principal da técnica do Método dos Volumes Finitos, e que
distingue esse método de outras técnicas de Dinâmica dos Fluidos Computacional
(DFC). Sendo assim, no caso da difusão e termo fonte integra-se os seguintes termos:
( ) 0=+
∇Γ⋅ ∫∫ dVSdAn
CVAφφr
(2.50)
Para discretizar a Equação 2.50 será usado o VC apresentado na FIGURA 2.3.
47
FIGURA 2.3 - Volume de Controle de Volumes Finitos.
FONTE: Versteeg (1995).
Baseadas na Figura 2.3 serão introduzidas as técnicas para obter a equação discretizada,
inicialmente em 1-D, que poderá ser entendida para 2-D e 3-D. O primeiro passo do
Método dos Volumes Finitos é dividir o domínio de integração em volumes de controle
discretos. Sendo assim, um espaço delimitado pelos pontos A e B, será dividido em n
pontos. Os limites ou faces de cada volume de controle são posicionados a meio
caminho entre os pontos da divisão, chamados nós. Então, cada nó é englobado em um
volume de controle ou célula. Para facilitar o entendimento, usa-se um sistema de
notação já consagrado na literatura e apresentado em (Versteeg,1995). Essa notação é a
mostrada na Figura 2.3. Nesta figura, um ponto genérico, identificado por P, tem seus
vizinhos a oeste e leste identificados respectivamente por W e E. A face oeste do
volume de controle é identificada por w e a face leste, identificada por e. As distâncias
entre os nós W e P, e entre os nós P e E são identificadas por δxWP e δxPE
respectivamente. Similarmente, as distâncias entre as faces w e o ponto P e entre o
ponto P e a face e são dados por δxwP e δxPe. Nesta figura é mostrado, também, que o
tamanho do volume de controle é ∆x = δxwe. A discretização da Equação 2.50, é dada
por:
0=∆+
Γ−
Γ VS
dxdA
dxdA
we
φφ (2.51)
48
Uma das principais vantagens do Método dos Volumes Finitos é o fato de ter uma
interpretação física direta. A Equação 2.51 mostra que o fluxo difusivo de φ que sai pela
face Leste menos o fluxo difusivo de φ que entra pela face Oeste é igual a geração de φ
dentro do volume de controle, ou seja, é uma equação do balanço de φ no volume de
controle. Para o cálculo das derivadas, é preciso conhecer o valor do coeficiente de
difusão Γ e do gradiente dxdφ nas faces e e w. Como é comum atribuir-se valores da
propriedade φ e do coeficiente de difusão Γ nos pontos nodais, é preciso fazer uma
aproximação dos valores nas faces. Uma aproximação linear é a maneira mais simples e
natural de fazer estas aproximações. Esta prática é conhecida como diferença central.
Em uma malha uniforme, valores interpolados linearmente para eΓ e wΓ são dados por:
2PW
wΓ+Γ
=Γ (2.52)
2EP
eΓ+Γ
=Γ (2.53)
E os termos do fluxo difusivo nas faces são dados por:
−Γ=
Γ
PE
PEee
e xA
dxdA
δφφφ
(2.54)
−Γ=
Γ
WP
WPww
w xA
dxdA
δφφφ
(2.55)
Em situações reais, o termo fonte S pode ser uma função da variável dependente. Nestes
casos, o Método dos Volumes Finitos aproxima o termo fonte por meio de uma
expressão linear:
49
PPu SSVS φ+=∆ (2.56)
Substituindo-se as Equações 2.54, 2.55 e 2.56 na Equação 2.51, obtém-se:
( ) 0=++
−Γ−
−Γ PPu
WP
WPww
PE
PEee SS
xA
xA φ
δφφ
δφφ
(2.57)
que pode ser reescrita como:
uEePE
eWw
WP
wPPw
WP
we
PE
e SAx
Ax
SAx
Ax
+
Γ+
Γ=
−
Γ+
Γ φδ
φδ
φδδ
(2.58)
Identificando os coeficientes de wφ e eφ na Equação 2.58 como sendo wa e ea , e
o coeficiente de Pφ como sendo Pa , ela pode ser escrita como:
ueewwPP Saaa ++= φφφ (2.59)
Onde se tem:
TABELA 2.1- Coeficientes de φ
Wa Ea Pa
wWP
w AxδΓ
ePE
e AxδΓ PEW Saa −+
2.5 Escoamentos Turbulentos
Qualquer caso real de escoamento, desde os mais simples aos mais complexos, torna-se
instável em regimes acima de um certo número de Reynolds, em torno de 2300, dado
50
por UL/ν, onde U e L são, respectivamente, a velocidade característica e comprimento
característico do escoamento e ν é a viscosidade cinemática. A baixos números de
Reynolds, (Re < 2000), o escoamento é laminar. A altos números de Reynolds, observa-
se um comportamento turbulento do escoamento. Um estado aleatório e caótico se
desenvolve no qual a velocidade e a pressão mudam continuamente em relação ao
tempo em determinadas regiões do fluxo. As maiorias dos fluxos que tem significância
em engenharia são turbulentas. Assim, estudar regimes turbulentos tem aplicação
prática e não apenas teórica. Este tópico dará uma breve introdução à física do regime
turbulento e sua modelagem em Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) baseado
em (Versteeg, 1995).
2.5.1 Turbulência
O número de Reynolds de um escoamento dá a relação entre as forças de inércia
(associadas com os efeitos convectivos) e as forças viscosas. Em experimentos observa-
se que com número de Reynolds abaixo de um valor crítico, em torno de 2300
(Versteeg, 1995), o escoamento é suave e camadas adjacentes de fluido deslizam uma
pela outra de forma ordenada. Se as condições de contorno não mudam com o tempo, o
escoamento é estável. Este regime é chamado laminar. Com números de Reynolds
acima desse valor crítico, uma série de eventos acontecem e levam a mudanças radicais
nas características do escoamento. No estágio final o comportamento do escoamento é
aleatório e caótico. Este regime é chamado de turbulento. Assim, a turbulência consiste
na flutuação das características do escoamento no tempo e no espaço. É um processo
complexo, principalmente porque é tridimensional, instável e composto de muitas
escalas, provocando efeitos significantes na característica do escoamento. A turbulência
ocorre quando as forças de inércia no fluido se tornam significantes comparadas às
forças viscosas. Em princípio, as equações de Navier-Stokes descrevem tanto fluxos
laminares como turbulentos sem a necessidade de informações adicionais. Entretanto,
escoamentos turbulentos produzem regimes que, geralmente, exigem o uso de malhas
tão refinadas para capturar as nuances do fluxo que tornam inviável a análise numérica
do fenômeno. A Simulação Numérica Direta, (DNS), destes escoamentos, requer um
51
poder de computação muitas ordens de magnitude maior do que o que está disponível
atualmente (Fortuna, 2000). Para permitir que os efeitos da turbulência sejam
analisados, pesquisas em DFC têm concentrado esforços na obtenção de métodos que
usem modelos de turbulência. Os modelos de turbulência tem sido desenvolvidos com o
objetivo de permitir a análise dos efeitos da turbulência sem que seja necessário o uso
de malhas extremamente refinadas ou o uso de DNS. A maioria dos modelos de
turbulência são modelos estatísticos, descritos a seguir.
2.5.2 Modelos de Turbulência
Um modelo de turbulência é um procedimento computacional para resolução das
equações de Reynolds. Para um modelo de turbulência ser útil em um código DFC de
propósito geral, ele precisa ter grande aplicabilidade, ser acurado, simples e requerer o
mínimo de esforço computacional (Ansys, 1996). Quando são analisados em escalas de
tempo muito maiores que as escalas de tempo das flutuações turbulentas, escoamentos
turbulentos podem ser estudados analisando suas características médias e mais uma
componente flutuante em função do tempo. Por exemplo, a velocidade pode ser dividida
em uma componente média e uma componente flutuante em função do tempo. Em
geral, modelos de turbulência modificam as equações originais de Navier-Stokes pela
introdução de quantidades médias e flutuantes, produzindo as equações de Navier-
Stokes pelas Médias de Reynolds, (do inglês: Reynolds Avereged Navier-Stokes:RANS).
Estas equações representam as quantidades médias do escoamento, modelando os
efeitos da turbulência sem a necessidade de resolver as flutuações turbulentas. Modelos
de turbulência baseados nas equações de RANS são conhecidos como Modelos
Estatísticos de Turbulência devido ao procedimento de médias estatísticas, empregado
para obter as equações. A simulação das equações de RANS reduz substancialmente o
esforço computacional comparado a Simulação Numérica Direta e, geralmente, é
adotado nos cálculos práticos de engenharia. Entretanto, o procedimento das médias
introduz termos desconhecidos formados por produtos cruzados das quantidades
flutuantes, que agem como estresse adicional no fluido. Estes termos, chamados
turbulentos ou estresses de Reynolds, são difíceis de determinar diretamente e se tornam
52
incógnitas adicionais. Os estresses turbulentos precisam ser modelados por equações
adicionais baseadas em quantidades conhecidas para poder fechar o sistema de
equações. As equações utilizadas para fechar o sistema definem o tipo de modelo de
turbulência.
2.5.2.1 Equações de Reynolds (RANS)
Como descrito no item anterior, modelos de turbulência procuram resolver um conjunto
modificado de equações de transporte pela introdução de uma média e uma flutuação
temporal das quantidades envolvidas. Por exemplo, uma propriedade φ pode ser
dividida entre uma componente média, Φ , e uma componente que varia com o tempo, 'φ , ou seja:
( ) ( )tt 'φφ +Φ= (2.60)
No sentido de facilitar a escrita, não será mais explicitada a dependência do tempo de φ
e 'φ . O valor médio no tempo da flutuação 'φ é dado por:
01
0
'' ≡∆
= ∫∆
dtt
t
φφ (2.61)
Informações sobre a parte flutuante do fluxo podem ser obtidas do valor médio
quadrático (rms) das flutuações:
( ) ( )21
0
2'2' 1
∆
== ∫∆t
rms dtt
φφφ (2.62)
A energia cinética k (por unidade de massa) associada à turbulência é definida como:
53
( ) ( ) ( )
++=
2'2'2'
21 wvuk (2.63)
A intensidade da turbulência iT está ligada à energia cinética e a uma velocidade de
referência do fluxo Uref pela equação:
refi U
kT
21
32
=
(2.64)
Antes de derivar as equações do fluxo médio para um regime turbulento, será feito um
sumário das regras que governam as médias temporais de flutuação das propriedades e
suas combinações, derivadas e integrais:
;0'' ==ψφ ;Φ=Φ ;ss ∂
Φ∂=
∂∂
∫∫ Φ= ;dsdsφ
(2.65a)
;Ψ+Φ=+ψφ ;φψφψ +ΦΨ= ;ΦΨ=Ψφ ;0' =Ψφ (2.65b)
As regras 2.65 podem ser estendidas a uma quantidade vetorial flutuante a=A+a’ e suas
combinações com um escalar flutuante 'φφ +Φ= , ou seja:
A;a ⋅∇=⋅∇ ( ) ( ) ( );aAa ''φφ ⋅∇=Φ⋅∇=⋅∇
(2.66a)
( ) ( );Φ∇⋅∇=∇⋅∇ φ (2.66b)
Para mostrar a influência das flutuações turbulentas no fluxo médio, consideram-se as
equações da continuidade e de Navier-Stokes para um fluxo incompressível com
viscosidade constante. Isto irá simplificar a álgebra envolvida sem perda de validade do
54
método. Usam-se coordenadas Cartesianas, o que implica em um vetor u com
componente u, v e w para as coordenadas x, y e z respectivamente. Estas equações são
dadas por:
0u =⋅∇ (2.67)
( ) ( )uvxpu
tu
∇⋅∇+∂∂
−=⋅∇+∂∂
ρ1u
(2.68)
( ) ( )vvxpv
tu
∇⋅∇+∂∂
−=⋅∇+∂∂
ρ1u
(2.69)
( ) ( )wvxpw
tu
∇⋅∇+∂∂
−=⋅∇+∂∂
ρ1u
(2.70)
Substituindo-se o vetor u e suas componentes u, v e w, e a variável p pela soma de uma
média e uma componente flutuante, e aplicando as regras estipuladas nas equações
(2.65) e (2.66) obtemos as equações de Reynolds, dadas a seguir:
( ) ( )
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−+∇⋅∇+∂∂
−=⋅∇+∂
∂zwu
yvu
xuUv
xpU
tU ''''2'1U
ρ
(2.71)
( ) ( )
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−+∇⋅∇+∂∂
−=⋅∇+∂∂
zwv
yv
xvuVv
ypV
tV ''2'''1U
ρ (2.72)
( ) ( )
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−+∇⋅∇+∂∂
−=⋅∇+∂
∂z
wyvu
xvuWv
zpW
tW 2'''''1U
ρ (2.73)
55
2.5.2.2 O Modelo de Turbulência ε−Κ
A energia cinética instantânea de um escoamento turbulento, definida por k(t), é a soma
da energia cinética média, dada por K=1/2(U2+V2+W2) e a energia cinética turbulenta,
dada por
++=
2'2'2' wvuk , ou seja:
kKtk +=)( (2.74)
Uma equação para a energia cinética média é obtida pela multiplicação da equação de
Reynolds para a componente x (2.71) por U, a componente y (2.72) por V, e a
componente z (2.73) por W. Após as transformações algébricas necessárias, obtém-se a
equação para a energia média do escoamento (Tennekes & Lumley, 1972), citado em
(Versteeg, 1995):
( ) ( ) ( ) ijjiijijjiij EuuEEuuEPKtK
⋅+⋅−−+−⋅∇=⋅∇+∂
∂ '''' 2UU2UU ρµρµρρ (2.75a)
Traduzindo em palavras, para a energia cinética média K, tem-se (Taxa de variação de K
+ Transporte de K por convecção = Transporte de K pela pressão + Transporte de K
pelas forças viscosas + Transporte de K por Reynolds – Taxa de dissipação de K +
Produção da Turbulência).
A equação para a energia cinética turbulenta k é dada por:
( ) ( )
ijjiijijjiiij Euueeuuue
ktk
⋅+⋅−
⋅−+−⋅∇
=⋅∇+∂
∂
''''''''''' 221u2up
U
ρµρµ
ρρ
(2.75b)
56
Traduzindo em palavras, para a energia cinética turbulenta k, tem-se (Taxa de variação
de k + Transporte de k por convecção = Transporte de k pelas forças viscosas +
Transporte de k por Reynolds – Taxa de dissipação de k + Produção da Turbulência).
2.5.2.3 Equações do modelo ε−Κ
O modelo tradicional ε−Κ tem duas equações, uma para Κ , referente à energia
cinética e outra para ε , referente à taxa de dissipação da energia cinética, conforme
apresentado em (Launder & Spalding, 1974), citado em (Versteeg, 1995). Estas
equações são apresentadas a seguir.
( ) ( ) ρεµσµρρ
−⋅+
∇⋅∇=⋅∇+
∂∂
ijijtk
t EEkktk 2U
(2.76)
( ) ( )k
CEEk
Ckt ijijt
t2
21 2U ερµεσµρερε
εεε
−⋅+
∇⋅∇=⋅∇+
∂∂
(2.77)
Traduzindo em palavras, tem-se (Taxa de variação de k ou ε + Transporte de k ou ε por convecção = Transporte de k ou ε por difusão + Taxa de produção de k ou ε - Taxa de
destruição de k ou ε). As equações contém cinco constantes de ajuste1,,, CC k εµ σσ e
2C. O modelo padrão
ε−Κ usa valores para estas constantes que se ajustam a uma
larga faixa de escoamentos turbulentos, dada a seguir:
;09,0=µC ;00,1=kσ ;30,1=εσ ;44,11 =C ;92,12 =C (2.78)
O modelo ε−Κ é o modelo padrão usado no Software CFX-5, empregado nas
simulações apresentadas neste trabalho.
57
2.6 Lei de Manobra de Válvulas
As manobras de abertura ou fechamento de válvulas podem ser lentas ou rápidas. Uma
manobra é lenta quando seu tempo de duração é superior ao período da tubulação τ .
Esse período é calculado por
aL2
=τ (2.79)
onde L é o comprimento da tubulação e a é a velocidade de propagação da onda de
pressão provocada pela manobra, também chamada de celeridade. A maior sobre-
pressão ocorre quando a manobra é rápida. Ela pode ser calculada, no extremo da linha,
pela expressão a seguir, dada por JOUKOWSKY (Costa et al., 2001):
gaUH 0
max = (2.80)
Esta lei permite determinar a pressão máxima provocada pelo fechamento brusco de
uma válvula instalada em uma tubulação conforme mostra a distribuição de pressão da
FIGURA 2.4. A tubulação AB é alimentada pelo reservatório sob a carga H0. A
tubulação tem um diâmetro constante D, onde circula água em movimento permanente
com velocidade média U0. Se a válvula em B se fechar instantaneamente, a coluna
líquida de comprimento x terá sua velocidade anulada no tempo t.
58
FIGURA 2.4 - Distribuição de Pressão em Manobras Rápidas.
FONTE: Adaptada de Costa et al (2001).
Se a manobra for lenta, usa-se a fórmula de MICHAUD (Costa et al., 2001), dada por:
gtLUH 0
max2
= (2.81)
onde t é o tempo que leva a manobra. Neste caso, a distribuição de pressão é a mostrada
na FIGURA 2.5.
FIGURA 2.5 - Distribuição da Pressão em Manobras Lentas.
FONTE: Adaptada de Costa et al (2001).
59
CAPÍTULO 3
ANÁLISE 1-D DE ESCOAMENTOS TRANSIENTES
3.1 Descrição
A análise 1-D de escoamentos transientes é a forma mais comum e popular de tratar
esses fenômenos, utilizando como ferramenta o Método das Características. Neste caso,
obtém-se o valor médio da pressão na tubulação.
3.2 Solução Pelo Método das Características
As equações de continuidade e de momento, Equações (2.36) e (2.37), formam um par
de equações diferenciais parciais hiperbólicas quase-lineares, em termos de duas
variáveis dependentes, vazão Q e elevação H e duas variáveis independentes, distância
ao longo da tubulação x e tempo t. Estas equações são transformadas em quatro
equações diferenciais ordinárias pelo método das características resultando nas
Equações (2.44), (2.45), (2.46) e (2.47). Pode-se chamar o conjunto de Equações (2.44)
e (2.45) de C+ e o conjunto de Equações (2.46) e (2.47) de C−, ou seja, converteu-se as
Equações diferenciais parciais (2.9) e (2.35) em duas Equações diferenciais totais,
(2.44) e (2.46), ambas restritas à validade das Equações (2.45) e (2.47),
respectivamente. A FIGURA 3.1 mostra o gráfico das Equações (2.45) e (2.47).
FIGURA 3.1 - Gráfico das Retas Características.
FONTE: Streeter & Wylie, (1967).
60
Como o parâmetro a geralmente é constante para um determinado tubo, o resultado do
gráfico no plano xt é uma reta para cada equação, uma com inclinação +1/a e outra com
inclinação −1/a. Estas linhas no plano xt são as linhas “características” ao longo das
quais as Equações (2.44) e (2.46) são válidas. Estas equações são conhecidas como
equações de compatibilidade, válidas apenas na linha característica apropriada. A
subdivisão do plano xt na malha (∆x, ∆t) convenientemente obedece a condição ∆t =
∆x/a (Streeter & Wylie, 1967), onde tem-se:
( ) taxttaxx APAP ∆=∆⇒−=− (3.1)
o que faz com que as linhas características a partir de A e B, chamadas de C+ e C−, se
cruzem em P, conforme mostra a F. Como não foi feita nenhuma aproximação
matemática nestas transformações, cada solução para os conjuntos C+ e C− será uma
solução para o sistema original dado pelas Equações (2.36) e (2.37). Multiplicando-se as
Equações (2.44) e (2.46) por adt/gA, pode-se isolar o termo dH, colocando estas
equações numa forma apropriada para integração ao longo das linhas C+ e C−:
02 2 =++ ∫∫∫ dxQQ
gDAfdQ
gAadH B
A
B
A
B
A
x
x
Q
Q
H
H
(3.2)
A variação de Q em função de x na integral do último termo é desconhecida, a priori.
Assim, uma aproximação é introduzida na avaliação. Uma aproximação de primeira
ordem é satisfatória para a maioria dos problemas. A integração da equação (3.2), que
corresponde à linha característica C+ e uma integração similar para linha característica
C− geram:
( ) 02 2 =
∆+−+− AAAPAP QQ
gDAxfQQ
gAaHH
(3.3)
61
( ) 02 2 =
∆+−+− BBBPBP QQ
gDAxfQQ
gAaHH
(3.4)
Estas duas equações de compatibilidade são relações algébricas básicas que descrevem
a propagação do transiente de pressão e o escoamento em um tubo (Wylie & Streeter,
1978). Resolvendo estas equações para HP , elas podem ser escritas como:
( ) AAAPAP QRQQQBHHC −−−=+ : (3.5)
( ) BBBPBP QRQQQBHHC −−−=− : (3.6)
onde
B = a/gA e
R = f∆x/(2gDA2).
3.2.1 Condições de Contorno
Em cada ponta de uma tubulação, apenas uma das equações de compatibilidade é válida
para duas variáveis, ou seja, é preciso encontrar uma equação auxiliar para especificar
QP e HP ou alguma relação entre eles. Cada condição de contorno é resolvida
independente da outra e independente, também, do cálculo dos pontos interiores. No
exemplo de implementação apresentado na FIGURA 3.2, reservatório com elevação
conhecida e válvula no final da tubulação, tem-se:
• Condição de contorno no reservatório: Em reservatórios muito grandes, a
altura da linha d’água normalmente pode ser assumida como constante durante
um curto transiente hidráulico. A condição de contorno fica sendo RP HH =1
onde RH é o nível do reservatório em relação a uma superfície de referência.
• Condição de contorno na válvula: Neste caso considera-se a válvula como um
orifício e aplica-se a equação para escoamento em estado estacionário através
62
dela, ou seja, ( ) 000 2gHACQ Gd= onde 0Q é o escoamento em estado
estacionário, 0H é a perda de carga através da válvula, e Gd AC é a área de
abertura da válvula multiplicada pelo coeficiente de descarga.
FIGURA 3.2 - Sistema Reservatório-Tubulação-Válvula.
FONTE: Costa et al (2001).
3.3 Implementação
O procedimento para resolver um transiente hidráulico numericamente envolve um
certo número de repetições de cálculos. Portanto, um programa de computador é a
maneira mais adequada para resolver tal procedimento, dado a seguir:
(1) Leitura dos valores dos dados que descrevem o sistema e as características
do transiente.
(2) Cálculo das constantes e condições iniciais do estado estacionário,
armazenagem dos valores iniciais de Qi e Hi para t = 0.
(3) Impressão dos valores de Qi e Hi em cada seção da tubulação, e dos valores
do tempo e abertura da válvula.
(4) Incremento do tempo de ∆t e cálculo dos pontos interiores QP2 a QPn, HP2 a
HPn, e então calcular os valores dos contornos QP1, HP1, QPns e HPns.
(5) Armazenar os valores de QPi, HPi, Qi e Hi, respectivamente.
63
(6) Voltar ao passo de impressão (passo 3), ou ao passo de incremento de
tempo (passo 4) e verificar se o tempo t atingiu o valor Tmax. Se não
atingiu, continuar com os cálculos.
3.4 Visualização dos Resultados 1-D
A seguir são apresentados os gráficos com as curvas de H x t, para os resultados obtidos
pelo Método das Características, utilizando o programa em linguagem Fortran
disponível em (Koelle, 2002). Os dados de entrada para o programa foram fornecidos
baseando-se numa tubulação de água com tubo de PVC com 0,5 m de diâmetro e 250 m
de comprimento, tendo uma válvula localizada na posição correspondente a 200 m. A
celeridade é de 1200 m/s e o nível do reservatório está a 150 m. A velocidade de
fechamento da válvula é determinada em função do tempo de fechamento. Foram
usados três valores característicos de tempo de fechamento de válvulas (Costa, 2001),
que são 0,1 m/s, 0,25 m/s e 0,5 m/s. A FIGURA 3.3 mostra os resultados para a
velocidade de 0,1 m/s, levando um tempo de 5 s para o fechamento total da válvula.
Observa-se que, neste caso, a variação de pressão é bastante suave.
FIGURA 3.3 - Variação da Pressão em função do Tempo.
64
A FIGURA 3.4 mostra os resultados para a velocidade de 0,25 m/s e tempo total de
fechamento da válvula de 2 s. Neste caso há um pico de pressão bem mais evidente
provocado pela maior velocidade de fechamento.
FIGURA 3.4 - Variação da Pressão em função do Tempo.
A FIGURA 3.5 mostra os resultados para a velocidade de 0,5 m/s e tempo total de
fechamento de 1 s. Percebe-se claramente que, na medida em que se aumenta a
velocidade de fechamento da válvula há um significativo aumento na variação da
pressão, tanto a montante como a jusante do diafragma mostrando que o transiente
hidráulico é bastante dependente da velocidade de fechamento da válvula.
FIGURA 3.5 - Variação da Pressão em função do Tempo.
65
CAPÍTULO 4
ANÁLISE 3-D DE ESCOAMENTOS TRANSIENTES
4.1 Descrição
A análise 2-D ou 3-D de transientes hidráulicos tem sido suprimida da literatura pelo
fato dos métodos utilizados para tal serem bastante simplificados (Koelle, 2002),
fornecendo resultados em apenas uma dimensão. Porém, usando um software
desenvolvido para solução de problemas de Dinâmica dos Fluidos Computacional
(DFC), é possível e viável obter resultados em 2-D ou 3-D, como mostrado no presente
trabalho.
4.2 Introdução à Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC)
Dinâmica dos Fluidos Computacional é uma ferramenta baseada em computadores
usada na simulação do comportamento de sistemas envolvendo o escoamento de
fluidos, transferência de calor e outros processos físicos relacionados. Ela permite a
solução das equações do escoamento de fluidos sobre uma região de interesse, com
condições de contorno especificadas para aquela região.
4.2.1 Evolução da DFC
Computadores tem sido usados para resolver problemas de escoamentos de fluidos
desde a muito tempo. Inúmeros programas foram desenvolvidos para resolver
problemas específicos. No começo dos anos 80, algoritmos de propósito gerais
começaram a exigir computadores com alto poder de processamento, além de um
conhecimento profundo da dinâmica dos fluidos, bem como um grande tempo de
processamento para ajustar as simulações. Conseqüentemente, DFC era uma ferramenta
usada quase que exclusivamente em centros de pesquisa. Recentes avanços no poder de
processamento dos novos computadores, mais a evolução dos recursos gráficos e
66
interatividade na manipulação de imagens 3-D tornaram a DFC menos trabalhosa,
reduzindo o tempo e conseqüentemente, o custo do seu uso, principalmente pelo uso de
algoritmos mais avançados que permitiram soluções mais robustas em um tempo mais
razoável. Como resultado destes fatores, DFC é, hoje, uma ferramenta usada pela
indústria como alternativa mais econômica nos novos projetos. DFC é uma alternativa
de melhor custo-benefício do que os testes de modelos em escala, com variações na
simulação sendo feitas rapidamente, oferecendo óbvias vantagens.
4.2.2 Teoria Matemática da DFC
O conjunto de equações que descrevem o processo de momentum, transferência de calor
e transferência de massa é conhecido como equações de Navier-Stokes (Ansys, 1996).
São equações diferenciais parciais que foram desenvolvidas no início do século
dezenove. Elas não têm uma solução analítica geral conhecida, mas podem ser
discretizadas e resolvidas numericamente. Equações que descrevem outros processos,
tais como combustão, podem também ser resolvidas em conjunto com as equações de
Navier-Stokes. Geralmente, um modelo aproximado é usado para derivar estas equações
adicionais, sendo os modelos de turbulência um exemplo particular importante. Existem
vários métodos de discretização numérica. No caso do software CFX-5, é usado o
Método dos Volumes Finitos. Nesta técnica, a região de interesse é dividida em
pequenas sub-regiões, chamadas volumes de controle. As equações são discretizadas e
resolvidas iterativamente para cada volume de controle. Como resultado, uma
aproximação do valor de cada variável em pontos específicos dentro do domínio é
obtida.
4.2.3 Aplicações da DFC
DFC é usada por engenheiros e cientistas em um vasto campo de aplicações. Aplicações
típicas incluem (Ansys, 1996):
a) Processos Industriais: Tanques de mistura, Reatores químicos;
67
b) Saúde e Segurança: Investigação dos efeitos de fogo e fumaça;
c) Indústria Automotiva: Modelagem de sistemas de combustão,
Aerodinâmica dos carros;
d) Indústria Aeronáutica e Espacial;
e) Eletrônica: Transferência de calor nos circuitos eletrônicos;
f) Meio Ambiente: Dispersão de poluentes no ar ou na água;
g) Previsão Numérica do Tempo;
h) Hidráulica: Análise de escoamentos em tubulações.
4.2.4 Metodologia da DFC
DFC pode ser usada para determinar a validade de um componente no estágio de projeto
ou pode ser usada para encontrar maneiras de melhorar as características de
componentes já implementados. Isto pode levar a modificações de projeto que podem
ser testadas pela mudança da geometria do modelo da DFC e realizar as simulações para
verificar os efeitos das mudanças. O processo de simulação via DFC é dividido em
quatro estágios descritos a seguir.
• Geometria e Malha
Este processo interativo é o primeiro estágio do pré-processamento. Seu objetivo é
produzir uma malha onde serão especificados os parâmetros físicos usados no pré-
processamento. Antes, porém, de produzir a malha, é preciso criar a geometria de um
sólido a ser modelado. A geometria e a malha podem ser criadas por qualquer
ferramenta e o resultado importado pelo pre-processador. Os passos básicos do pré-
processamento são:
a) Definição da geometria da região de interesse.
b) Criação das regiões do fluxo do fluido, regiões sólidas e superfícies com
respectivos nomes.
c) Ajustar as propriedades da malha.
68
• Definição física
Este processo interativo é o segundo estágio do pré-processamento e é usado para criar
os parâmetros de entrada para o solver. O arquivo com dados da malha é lido pelo pre-
processador e, então, as seguintes propriedades são definidas:
a) O modelo físico que será usado na simulação é especificado.
b) As propriedades do fluido são especificadas.
c) As condições de contorno são especificadas.
• O Solver
O Solver é o componente que resolve o problema em DFC, produzindo os resultados
requeridos em um processo não-interativo. Ele usa para isso os seguintes passos:
a) As equações diferenciais parciais são integradas nos volumes de controle
dentro da região de interesse. Isto é equivalente a aplicar as leis de
conservação ao volume de controle.
b) Estas equações integrais são convertidas em um sistema de equações
algébricas pela geração de um conjunto de aproximações para os termos
das equações integrais.
c) As equações algébricas são resolvidas iterativamente.Um processo
iterativo é necessário por causa da natureza não-linear das equações e, na
medida que a solução se aproxima da solução exata, assume-se que ela está
convergindo. Para cada iteração, um erro ou resíduo é comparado a uma
precisão especificada. Quão próximo o resultado vai ficar da solução exata
depende de uma série de fatores, entre eles o tamanho e formato do volume
69
de controle e ordem de grandeza dos resíduos. Processos físicos
complexos, tais como combustão e turbulência, são geralmente modelados
usando relações empíricas e as aproximações, inerentes a esses modelos,
também contribuem para aumentar ou diminuir a diferença entre a solução
da DFC e o resultado real. O Solver produz um arquivo com os resultados
que são passados para o pos-processador.
• O pos-processador
O pos-processador é o componente usado na análise, visualização e apresentação dos
resultados, de forma interativa. Exemplos de características importantes do pos-
processamento são:
a) Visualização da geometria e volumes de controle.
b) Gráficos dos vetores mostrando a direção e magnitude do fluxo.
c) Visualização das variáveis escalares tais como temperatura, pressão e
velocidade.
d) Animações.
4.3 Descrição do Código Comercial CFX-5
CFX-5 é um código para DFC de propósito geral que combina um solver robusto, que
produz resultados confiáveis, com uma grande capacidade de pré e pos-processamento.
O pre-processador trabalha com diferentes formatos de malhas, permitindo que
geometrias complexas sejam modeladas com a malha apropriada. As principais
características do CFX-5 são:
a) Um solver robusto e confiável.
b) Pacote completo de solução, desde a definição do problema, resolução,
análise e apresentação dos resultados.
70
c) Um processo de ajuste interativo, com o uso de menus e gráficos
avançados.
d) Ajuda on-line detalhada.
4.3.1 Estrutura do CFX-5
CFX-5 é composto de quatro módulos, que são ativados no processo de solução de um
problema por DFC. O primeiro módulo permite a geração ou importação da malha e
especificação da geometria. O segundo módulo é o pré-processamento no qual são feitas
as especificações do tipo de escoamento a ser estudado, das condições de contorno, dos
valores iniciais e parametrização do problema para uso do solver. O terceiro módulo vai
ativar o solver que, usando as condições especificadas no pré-processamento, irá obter a
solução do problema. O quarto módulo vai ativar o pos-processamento que tem como
características principais ferramentas gráficas de última geração para visualização dos
resultados, definição de variáveis pelo usuário, geração de objetos gráficos nos quais
visibilidade, transparência e suavização podem ser facilmente controladas. CFX-5 faz a
modelagem de:
a) Fluxos estacionários e transientes.
b) Fluxos laminares e turbulentos.
c) Fluxos subsônicos, trans-sônicos e supersônicos.
d) Transferência de calor e radiação térmica.
e) Fluxos não-Newtonianos.
f) Fluxos multifase.
g) Combustão.
h) Trajetória de partículas
4.4 Discretização Numérica no CFX-5
Soluções analíticas das equações de Navier-Stokes existem apenas para os fluxos mais
simples, sob condições ideais. Para obter soluções para fluxos reais um método
71
numérico deve ser usado, onde as equações são substituídas por aproximações
algébricas que podem ser resolvidas numericamente (Ansys, 1996). CFX-5 usa o
método dos Volumes Finitos já descrito anteriormente (Maliska, 1995; Versteeg,
1995). Esta estratégia envolve a discretização do domínio espacial em volumes de
controle finitos, usando uma malha computacional não-estruturada. As equações
governantes são integradas sobre cada volume de controle, de maneira que quantidades
relevantes como massa, momento e energia são conservados em um sentido discreto
para cada volume de controle. A FIGURA 4.1 mostra uma malha típica com
profundidade unitária (2-D), na qual a superfície de um volume finito é representada
pela área achureada. Nesta figura fica claro que cada nó está rodeado por um conjunto
de superfícies que formam o volume finito. Todas as soluções das variáveis e
propriedades do fluido são armazenadas nos nós da malha.
FIGURA 4.1 - Volume de Controle usado no CFX-5.
FONTE: Adaptada de Ansys (1996).
4.4.1 Algoritmo de Solução do CFX-5
A maioria dos solvers usa uma estratégia de solução onde as equações de momento são
resolvidas primeiro, usando uma previsão para a pressão, e, em seguida, obtendo uma
72
equação para a correção da pressão. Devido à natureza “previsão e correção” deste
sistema, um grande número de iterações é necessária para atingir a convergência além
de requerer uma seleção cuidadosa dos parâmetros de relaxação das variáveis. O
software CFX-5 usa um solver que, para escoamentos incompressíveis, usa uma malha
co-localizada, com uma técnica similar à apresentada em (Rhie & Chow, 1982) e citada
em (Ansys-Solver Theory, 1996). Para escoamentos compressíveis, resolve as equações
hidrodinâmicas (para u, v, w e p) como um único sistema. Esta estratégia de solução usa
uma discretização implícita das equações. Para o estado estacionário o passo de tempo
funciona como um parâmetro de aceleração, que leva a solução aproximada, de uma
maneira física, a um estado estacionário. Isto reduz o número de iterações necessárias
para a convergência ao estado estacionário, ou a necessidade de calcular a solução para
cada passo de tempo em análises dependentes do tempo.
4.4.2 Solução Geral no CFX-5
A solução de cada conjunto de equações consiste de duas operações numéricas
intensivas. Para cada passo de tempo, tem-se:
1) As equações não-lineares são linearizadas pela iteração dos coeficientes e
montadas em uma matriz de solução.
2) As equações lineares são resolvidas usando um método algébrico
multigrid.
A iteração a cada passo de tempo é controlada pelo passo de tempo físico (global) ou
fator de passo de tempo local ajustado para avançar a solução no tempo para cada
estado estacionário da simulação.
73
4.4.3 Solução do Sistema de Equações Lineares no CFX-5
CFX-5 usa uma técnica de fatorização Multigrid Incomplet Lower Upper (ILU) para
solução do sistema de equações discretas linearizadas. Esse sistema de equações pode
ser escrito na forma matricial a seguir:
[ ][ ] [ ]bA =φ (4.1)
onde [A] é a matriz dos coeficientes, [φ] é o vetor solução e [b] é o vetor dos termos
independentes. O sistema de equações acima pode ser resolvido iterativamente,
começando com uma solução aproximada, nφ , que será melhorada com uma
correção 'φ , levando a uma solução melhor 1+nφ , ou seja:
'1 φφφ +=+ nn (4.2)
onde 'φ é a solução para
nrA ='φ (4.3)
com nr , o resíduo, obtido por:
nn Abr φ−= (4.4)
Repetidas aplicações deste algoritmo levarão a uma solução com a precisão desejada.
4.4.4 Técnica Multigrid Implementada no CFX-5
A técnica multigrid nasceu da necessidade de se reduzir o tempo de processamento na
obtenção de soluções numéricas para equações diferenciais e integrais. Os primeiros
resultados práticos foram conseguidos por (Brandt, 1973) e descoberto
74
independentemente por (Hackbusch, 1976) ambos citados em (Moro Filho, 2004).
Multigrid é uma técnica iterativa que demanda menor tempo de processamento que
outras técnicas quando aplicada à resolução de equações diferenciais. Pode ser utilizada
para tratar de problemas lineares e não lineares, e pode ser implementada utilizando um
método iterativo qualquer. Para se obter o máximo de vantagem da técnica multigrid,
várias malhas devem ser utilizadas. Normalmente o tamanho dos elementos contidos
nas malhas é aumentado por um fator de dois a cada nível de malha que se acrescenta. A
passagem de cálculo de uma malha mais refinada para uma mais grosseira, ou seja, com
menor número de nós, ocorre na fase conhecida por restrição. A passagem dos cálculos
de uma malha para outra mais refinada ocorre na etapa de prolongação. A seqüência de
restrições e prolongações adotadas na marcha de cálculo recebe o nome de ciclo. A
técnica multigrid pode ser aplicada utilizando tantas malhas quantas forem possíveis de
serem geradas a partir de uma malha original. A ordem de visitação destas malhas pode
ser fixa ou adaptativa. Fixa caso se defina com antecedência a ordem de restrições e
prolongações formando uma seqüência fixa ou ciclo. As seqüências adaptativas são
dependentes dos resultados de cada etapa de restrição ou prolongação. A partir do
resultado, o algoritmo define qual será a próxima etapa do ciclo. A convergência da
técnica de inversão de matriz usada no CFX-5 pode ser melhorada pelo uso da técnica
Multigrid. Esta técnica envolve o uso de uma malha refinada nas primeiras iterações e
depois o uso de malhas mais grosseiras nas iterações subseqüentes. Os resultados são,
então, transferidos das malhas grosseiras para a malha refinada. Do ponto de vista
numérico a técnica Multigrid traz uma vantagem significativa, pois para um dado
refinamento de malha, solvers iterativos são eficientes na redução de erros que tem
escala da ordem do espaçamento da malha. Assim, enquanto erros de pequena escala
desaparecem rapidamente, erros de escala maiores, da ordem da dimensão do domínio
em estudo, podem levar um tempo extremamente longo para desaparecer. A técnica
Multigrid resolve este problema usando uma série de malhas grosseiras de maneira que
erros de escala maior aparecem como pequenos, relativos ao espaçamento da malha.
Para evitar a necessidade de criar malhas para a geometria usando uma série de
diferentes espaçamentos, CFX-5 usa a técnica de Multigrid Algébrica (Raw & Chow,
1996) citado em (Ansys-Solver Theory, 1996). Essa técnica forma um sistema de
75
equações discretas para uma malha grosseira pela soma das equações da malha refinada.
Isto faz com que se trabalhe virtualmente em uma malha grosseira e se obtenha o
resultado real com a malha refinada. Esta técnica melhora significativamente a taxa de
convergência, além de ser menos custosa do que outras técnicas Multigrid, uma vez que
a discretização das equações não-lineares é feita apenas uma vez, para a malha refinada.
CFX-5 usa uma implementação particular da técnica Multigrid Algébrica chamada
Correção Adítica (Hutchinson & Raithby, 1986) citado em (Ansys-Solver Theory,
1996). Esta técnica está idealmente ajustada à implementação do solver do CFX-5,
porque ela se aproveita do fato de que as equações discretas representam um balanço da
conservação das quantidades dentro de um volume de controle finito. As equações da
malha grosseira são criadas sobre volumes de controle formados pela união de volumes
de controle da malha original refinada. Isto resulta na criação de malhas virtuais mais
grosseiras durante as iterações, e posteriormente, no refinamento destas malhas virtuais
para obter uma solução mais acurada. Esta técnica melhora significantemente as taxas
de convergência. A FIGURA 4.2 mostra a criação das malhas virtuais a partir da malha
refinada original.
76
FIGURA 4.2 - Esquema de Malhas usadas na Técnica Multigrid.
FONTE: Adaptada de Ansys-Solver Theory (1996).
Como pode ser visto na FIGURA 4.2, o Volume de Controle da malha grosseira criado
a partir de Volumes de Controle da malha refinada aparece como regular. Mas, em
geral, sua forma se torna bastante irregular. As equações da malha grosseira, então,
impõem as leis de conservação sobre um volume maior e, fazendo isso, reduz a
componente devida a erros numéricos de larga escala.
4.5 Simulação de Escoamento em Material Poroso no CFX-5
Escoamento em meio poroso no CFX-5 é calculado usando um modelo para simulação
da perda de momento, baseado numa generalização das equações de Navier-Stokes e na
77
Lei de Darcy, comumente usados em escoamentos em regiões porosas. Este modelo
conserva tanto os termos convectivos como os difusivos e pode ser usado onde os
efeitos de escoamento em meios porosos for importante, como no caso da simulação do
obturador da válvula construído por material poroso, proposta neste trabalho. A
geometria para simulação, criada pelo módulo 1 do CFX-5, é mostrada na FIGURA 4.3 e
na FIGURA 4.4.
FIGURA 4.3 - Vista de uma seção do tubo contendo a região da válvula.
FIGURA 4.4 - Vista da válvula em ângulo lateral.
Na derivação das equações assume-se que os volumes de controle infinitesimais e as
superfícies são grandes relativamente aos espaços intersticiais do meio poroso, embora
78
pequenos relativamente às escalas do problema que se deseja resolver. Assim, assume-
se que as células e superfícies de controle contêm tanto regiões sólidas como fluidas. A
porosidade volumétrica γ em um dado ponto é dada pela relação entre o volume V’
disponível para o escoamento em uma célula de controle infinitesimal envolvendo o
ponto, e o volume físico V da célula. Assim,
VV γ=' (4.5)
Assume-se que o vetor área disponível para o escoamento, A’, em uma superfície de
controle planar infinitesimal do vetor área A é dada por:
AKA' ⋅= (4.6)
onde Kij é um tensor simétrico de segunda ordem, chamado de tensor de área de
porosidade. A equação geral para difusão-advecção de um escalar Φ em um meio
poroso se torna:
( ) ( ) ( ) St
γργρ =Φ∇⋅Γ⋅∇−Φ⋅⋅∇+Φ∂∂ KUK
(4.7)
4.5.1 Modelo de Perda Direcional
A equação geral de fonte de momento em um meio poroso é representada por:
spec
M SUUCRUCRs +−−= 21 (4.8)
Uma forma generalizada da lei de Darcy é dada por:
79
UUKUKx
Ploss ρ
µ+=
∂∂
(4.9)
Comparando as Equações (4.8) e (4.9), os coeficientes de resistência podem ser
definidos como segue:
KCR µ
=1
(4.09)
ρlossKCR =2 (4.10)
4.5.2 Visualização dos Resultados 3-D
Resultados 3-D para distribuição de pressão e vetor velocidade foram gerados para uma
velocidade de fechamento da válvula de 0,25 m/s e simulando um elemento poroso
utilizando a Equação 4.8 com CR1=1010. Nesta simulação foram desprezados os termos
de segunda ordem e termo fonte da Equação 4.8. A pressão de referência usada na
simulação pelo software CFX-5 foi de 1,5 MPa. Percebe-se claramente que não há uma
esperada simetria na distribuição de pressão. A explicação para isso está no fato de que
a malha cresce aleatoriamente, criando os elementos tridimensionais de maneira
desigual a fim de adaptar-se à geometria do volume. Para garantir a simetria seria
necessária a criação da malha de metade da geometria, usando-se um eixo de simetria e
depois fazer o rebatimento dos resultados obtidos. As distribuições de pressão no
diafragma são mostradas na FIGURA 4.5 a montante da válvula e na FIGURA 4.6 a
jusante da válvula para o instante 0,5 s e porosidade 10e-10. O vetor velocidade para o
mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na FIGURA 4.7.
80
FIGURA 4.5 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 0,5 s.
FIGURA 4.6 - Distribuição da Pressão após o Diafragma – Tempo: 0,5 s.
81
FIGURA 4.7 - Vetor Velocidade – Tempo: 0.5 s.
Para o instante 1,0 s e porosidade 10e-10, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas na FIGURA 4.8 a montante da válvula e na FIGURA 4.9 a jusante da
válvula. O vetor velocidade para o mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na
FIGURA 4.10.
82
FIGURA 4.8 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1.0 s.
FIGURA 4.9 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 1.0 s.
83
FIGURA 4.10 - Vetor Velocidade - Tempo: 1.0 s.
Para o instante 1,5 s e porosidade 10e-10, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas na FIGURA 4.11 a montante da válvula e na FIGURA 4.12 a jusante da
válvula. O vetor velocidade para o mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na
FIGURA 4.13. São mostrados, também, para a mesma porosidade, os vetores
velocidade para os instantes 1,8 s, na FIGURA 4.14 e 1,9 s, na FIGURA 4.15, que
apresentam claramente o comportamento do escoamento nos instantes finais do
fechamento da válvula.
84
FIGURA 4.11 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,5 s.
FIGURA 4.12 - Distribuição da Pressão após do Diafragma - Tempo: 1,5 s.
85
FIGURA 4.13 - Vetor Velocidade - Tempo: 1,5 s.
FIGURA 4.14 - Vetor Velocidade - Tempo: 1,8 s.
86
FIGURA 4.15 - Vetor Velocidade - Tempo: 1,9 s.
Para o instante 2,0 s e porosidade 10e-10, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas na FIGURA 4.16 a montante da válvula e na FIGURA 4.17 a jusante da
válvula. O vetor velocidade para o mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na
FIGURA 4.18.
87
FIGURA 4.16 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 2.0 s.
FIGURA 4.17 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 2.0 s.
88
FIGURA 4.18 - Vetor Velocidade - Tempo: 2.0 s – Válvula Fechada.
Para o instante 3,5 s e porosidade 10e-10, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas da FIGURA 4.19 a montante da válvula e na FIGURA 4.20 a jusante da
válvula.
89
FIGURA 4.19 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 3,5 s.
FIGURA 4.20 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 3.5 s.
90
Para o instante 4,0 s e porosidade 10e-10, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas da FIGURA 4.21 a montante da válvula e na FIGURA 4.22 a jusante da
válvula.
FIGURA 4.21 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 4.0 s.
91
FIGURA 4.22 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 4,0 s.
Os resultados mostrados a seguir foram gerados nas mesmas condições onde se obteve
os resultados anteriores, porém com CR=105. Para o instante 0,5 s e porosidade 10e-5,
as distribuições de pressão no diafragma da válvula são mostradas na FIGURA 4.23 a
montante da válvula e na FIGURA 4.24 a jusante da válvula. O vetor velocidade para o
mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na FIGURA 4.25.
92
FIGURA 4.23 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 0,5 s.
FIGURA 4.24 - Distribuição de Pressão após o Diafragma - Tempo: 0,5 s.
93
FIGURA 4.25 - Vetor Velocidade - Tempo: 0,5 s.
Para o instante 1,0 s e porosidade 10e-5, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas da FIGURA 4.26 a montante da válvula e na FIGURA 4.27 a jusante da
válvula. O vetor velocidade para o mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na
FIGURA 4.28.
94
FIGURA 4.26 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1.0 s.
FIGURA 4.27 - Distribuição de Pressão após o Diafragma - Tempo: 1,0 s.
95
FIGURA 4.28 - Vetor Velocidade - Tempo: 1,0 s.
Para o instante 1,5 s e porosidade 10e-5, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas da FIGURA 4.29 a montante da válvula e na FIGURA 4.30 a jusante da
válvula. O vetor velocidade para o mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na
FIGURA 4.31.
96
FIGURA 4.29 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,5 s.
FIGURA 4.30 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 1,5 s.
97
FIGURA 4.31 - Vetor Velocidade - Tempo: 1,5 s.
Para o instante 2,0 s e porosidade 10e-5, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas da FIGURA 4.32 a montante da válvula e na FIGURA 4.33 a jusante da
válvula. O vetor velocidade para o mesmo instante e mesma porosidade é mostrado na
FIGURA 4.34.
98
FIGURA 4.32 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 2.0 s.
FIGURA 4.33 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 2.0 s.
99
FIGURA 4.34 - Vetor Velocidade - Tempo: 2,0 s.
No caso em que CR=2e1, e usando as mesmas condições dos resultados anteriores, são
mostrados apenas os gráficos com a distribuição de pressão, uma vez que não houve
mudança significativa no comportamento do escoamento. Para o instante 0,5 s e
porosidade 2e-1, as distribuições de pressão no diafragma são mostradas na FIGURA
4.35 a montante da válvula e na FIGURA 4.36 a jusante da válvula.
100
FIGURA 4.35 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 0,5 s.
FIGURA 4.36 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 0,5 s.
101
Para o instante 1,0 s e porosidade 2e-1, as distribuições de pressão no diafragma são
mostradas da FIGURA 4.37 a montante da válvula e na FIGURA 4.38 a jusante da
válvula.
FIGURA 4.37 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,0 s.
102
FIGURA 4.38 - Distribuição da Pressão após o Diafragma – Tempo: 1,0 s.
Para o instante 1,5 s e porosidade 2e-1, as distribuições de pressão no diafragma da
válvula são mostradas da FIGURA 4.39 a montante da válvula e na FIGURA 4.40 a
jusante da válvula.
103
FIGURA 4.39 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 1,5 s.
FIGURA 4.40 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 1,5 s.
104
Para o instante 2,0 s e porosidade 2e-1, as distribuições de pressão no diafragma da
válvula são mostradas da FIGURA 4.41 a montante da válvula e na FIGURA 4.42 a
jusante da válvula.
FIGURA 4.41 - Distribuição da Pressão antes do Diafragma - Tempo: 2.0 s.
105
FIGURA 4.42 - Distribuição da Pressão após o Diafragma - Tempo: 2.0 s.
106
107
CAPÍTULO 5
COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS
5.1 Preâmbulo
O objetivo deste trabalho foi mostrar a possibilidade de aplicação de material poroso na
construção de dispositivos de controle de vazão, seja estancando o escoamento ou
simplesmente funcionando como dispositivo de proteção para suavização dos efeitos
nocivos dos transientes hidráulicos. Baseados nesta idéia são comparados a seguir os
resultados obtidos pelo uso do software CFX-5, com os resultados obtidos pelo Método
das Características, método tradicionalmente usado para análise de transientes
hidráulicos (Streeter & Wylie, 1967). Procurou-se mostrar primeiro a viabilidade do uso
do CFX-5 na solução deste tipo de problema. Percebeu-se que a máquina onde está
instalada a licença do software CFX-5.7, no laboratório de computação da CAP, um PC
com processador Athlon de 3,0 Ghz, com 768 Mbytes de memória RAM, limitou a
obtenção de resultados mais precisos, pois os tempos de execução se tornariam
inviáveis. Mas, levando-se em conta a qualidade dos resultados obtidos pelo Método
dos Volumes Finitos, vale a pena o uso de um equipamento com melhor configuração,
quando certamente os tempos de execução ficarão dentro de um faixa razoável. A
FIGURA 5.1 mostra a comparação entre dados experimentais (Streeter & Wylie, 1967),
resultados obtidos pelo Método das Características e resultados obtidos pelo software
CFX-5, onde se observa um casamento muito bom entre os três resultados. Verifica-se
que o Método das Características, por não levar em conta as perdas de carga, acusa uma
alta pressão no início do fechamento da válvula. No caso do CFX-5, o gráfico começa
com uma pressão mais baixa, o que está de acordo com o gráfico da FIGURA 5.2 que
mostra a distribuição de pressão para o caso estacionário, usada como dados iniciais
para os cálculos do regime transiente no CFX-5, concordando melhor, também, com os
resultados experimentais. Na FIGURA 5.3 é mostrada a comparação entre o Método das
Características e o CFX-5 calculado com duas malhas, uma malha grossa
(aproximadamente 2 milhões de nós) mostrada na FIGURA 5.4 e outra malha mais
108
refinada (aproximadamente 4 milhões de nós), mostrada na FIGURA 5.5,
principalmente na região de interesse que é a válvula, ficando claro que os resultados
com a malha refinada não justificam o maior custo computacional a menos que se
deseje uma análise muito detalhada na região de interesse.
FIGURA 5.1 - Comparação entre Resultados Experimentais, Método das Características
e CFX.
FIGURA 5.2 - Distribuição da Pressão no Tubo - Caso Estacionário.
109
FIGURA 5.3 - Efeito do Refinamento da Malha no CFX.
FIGURA 5.4 - Malha usada nas simulações (aproximadamente 2 milhões de nós).
110
FIGURA 5.5 - Malha refinada (aproximadamente 4 milhões de nós).
Os resultados pelo Método dos Volumes Finitos, utilizando material poroso como
obturador da válvula, mostram que quando uma porosidade adequada é usada, o
diafragma deixa passar fluido suficiente para amenizar tanto a sobre-pressão antes da
válvula como a sub-pressão após a válvula, como mostra o gráfico da FIGURA 5.6,
para uma porosidade de 2e-1 e o gráfico da FIGURA 5.7, para uma porosidade de 5e-1.
A FIGURA 5.8 mostra os gráficos da pressão à jusante e à montante do diafragma e a
FIGURA 5.9 mostra o gráfico da diferença entre estas duas pressões, ambas para uma
porosidade de 1e-5. Isto indica que, mesmo que não seja possível a construção de uma
válvula com diafragma de material com porosidade baixa o suficiente para estancar o
escoamento, certamente esta idéia poderá ser usada na construção de um dispositivo de
segurança para amenizar os efeitos dos transientes hidráulicos.
111
FIGURA 5.6 - Variação de Pressão na Válvula - Porosidade: 2e-1.
FIGURA 5.7 - Variação de Pressão na Válvula – Porosidade 5e-1.
112
FIGURA 5.8 - Variação de Pressão na Válvula – Porosidade: 1e-5.
FIGURA 5.9 - Diferença de Pressão na Válvula – Porosidade: 1e-5.
113
5.2 Comparação dos Resultados
Para comparação dos resultados obtidos pelo Método das Características e pelo Método
dos Volumes Finitos foram gerados gráficos da variação da Pressão pelo Tempo na
região da válvula para duas velocidades típicas de fechamento da válvula, 0,25 m/s e 0,5
m/s. Na FIGURA 5.10 é feita a comparação entre os resultados obtidos pelo Método das
Características e pelo CFX-5 a montante da válvula para a velocidade de 0,25 m/s. O
mesmo gráfico mostra a pressão a jusante da válvula mostrando que há uma grande
depressão pouco antes do fechamento total do diafragma. Na FIGURA 5.11 é mostrada
a diferença entre a pressão a montante e a pressão a jusante do diafragma para a mesma
velocidade de fechamento da válvula. A FIGURA 5.12 e a FIGURA 5.13 mostram as
mesmas informações das figuras 60 e 61, porém para uma velocidade de fechamento de
0,5 m/s. Pode-se observar pelos resultados que, quando a porosidade é alta, o
escoamento flui normalmente. Na medida em que se diminui a porosidade, diminui-se a
velocidade do escoamento. Percebe-se, porém, que claramente o material poroso está
atenuando os efeitos do transiente hidráulico. Verificou-se que nas simulações com alta
porosidade (10-1, 10-2) pode-se trabalhar com um passo de integração relativamente
grande, de 0.01 s. Nas simulações de porosidade menores (10-10), o passo de integração
teve que ser reduzido para 0.001 s. A explicação para isso é devida ao fato de que,
quando usada porosidade mais baixa, a simulação se aproxima mais da condição real de
fechamento da válvula, aparecendo com mais evidência o transiente hidráulico e todos
os seus efeitos no escoamento.
114
FIGURA 5.10 - Pressão antes e depois do Diafragma - VF: 0,25 m/s.
FIGURA 5.11 - Diferença de Pressão na Válvula - VF: 0,25 m/s.
115
FIGURA 5.12 - Diferença de Pressão antes e depois da Válvula - VF: 0,5 m/s.
FIGURA 5.13 - Diferença de Pressão - VF: 0,5 m/s.
116
117
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS
6.1 Conclusões
Pelos resultados obtidos conclui-se que o Método das Características tem, como
principal vantagem a facilidade e a rapidez de implementação. Porém, a sua
implementação requer algumas simplificações que prejudicam a qualidade do resultado.
Sobretudo, em uma análise 2-D ou 3-D do fenômeno transiente. Já com o CFX, que é
um código 3-D, os resultados se mostraram ser mais confiáveis e próximos da
realidade, principalmente levando-se em conta que ele dá uma visão em 3 dimensões do
fenômeno, além de considerar as perdas de carga devidas às forças viscosas. Mais
importante, ainda, é o fato de o CFX mostrar não só as pressões médias, como no caso
do Método das Características, mas principalmente mostrar as pressões máximas à que
o diafragma está sujeito, permitindo um projeto mais realista e adequado a cada tipo de
aplicação. Tendo em vista os gráficos apresentados na seção 4.5.2, o código 3-D usando
Volumes Finitos mostra-se bastante vantajoso em relação ao código Fortran 1-D pelo
Método das Características. A principal vantagem está na visualização dos resultados,
distribuição de pressão e velocidade, efeitos de turbulência e viscosidade. Tudo isso
obtido com pouco potencial computacional comparado àquele do Método das
Características. Além disso, a análise transiente empregada traz uma novidade, até então
não encontrada na bibliografia especializada, que é a implementação do elemento
poroso para este tipo de análise. Isto está rendendo a elaboração de uma nova concepção
de válvula de fechamento rápido com elementos porosos.
6.2 Propostas de Trabalhos Futuros
Com o uso de computadores mais potentes, será possível o tratamento de problemas
mais complexos pois no presente caso, com uma tubulação de 250 m, chegou-se ao
118
limite de processamento do equipamento utilizado. Portanto, para trabalhos futuros,
visando aplicações que empreguem geometrias de grandes escalas, tais como:
aplicações na área hidrologia, no estudo de projeto de represas e reservatórios, estudo de
escoamentos que envolvam capilares será necessário o emprego de equipamentos com
capacidade superior. Assim sendo, estudos envolvendo mudanças de análise 1-D para 3-
D e vice-versa, o que representaria nos dias de hoje um grande passo no casamento da
DFC com o método das Características, pode ser feito com os elementos porosos.
119
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Ansys Canada Installing and Introduction to CFX-5. Ontário, Canada, 1996.
Ansys Canada CFX-5 Solver Theory. Ontário, Canada, 1996.
Brandt, A. Multilevel adaptive technique (MLAT) for fast numerical solution to boundary value problems. In: International Conference On Numerical Methods in Fluid Mechanics, 3., 1973, Berlin, Proceedings…, Vol. 1, H. Cabannes and R. Temam (eds)(Lecture Notes in Physics 18) Springer, Berlin, 1973, p. 82-89.
Brandt, A. Multilevel Adaptive Solutions to Boundary-Value Problems, Mathematics of Computation, v. 31, n. 138, p. 333-390, 1977.
Camargo, L. A. Golpe de Aríete em Tubulações de Recalque. Análise Simplificada. In: Encontro de Engenheiros de Assistência Técnica – Tubos e Conexões Tigre S/A., 15., 1989, Joinvile, Santa Catarina, Anais..., Joinvile, Santa Catarina, [s.n.], 1989. Disponí-vel em: <http://www.pipesystem.com.br/Artigos_Tecnicos/artigos_tecnicos.html>. Acesso em: 08 set. 2005.
Camargo, L. A. Golpe de Aríete em Condutos. Análise pelo Método das Características. In: Encontro de Engenheiros de Assistência Técnica – Tubos e Conexões Tigre S/A., 16., 1991, Joinvile, Santa Catarina, Anais..., Joinvile, Santa Catarina, [s.n.], 1991. Dis-ponível em: <http://www.pipesystem.com.br/Artigos_Tecnicos/artigos_tecnicos.html>. Acesso em: 08 set. 2005.
Costa, T.; Santos, D.; Lança, R. Choque Hidráulico (Golpe de Aríete), Escola Superior de Tecnologia, Universidade de Algarve, Faro, 2001, Disp. em: <http://w3.ualg.pt/~rlanca/sebenta-hid-aplicada/ha-07-golpe_de_ariete.pdf>. Acesso em: 08 Set 2005.
Fortuna, A. O. Técnicas computacionais para dinâmica dos fluidos: conceitos básicos e aplicações. São Paulo:Edusp, 2000.
Hackbusch, W. Ein iteratives Verfahren zur schnellen Auflosung elliptischer Randwertprobleme. Cologne, Germany:Universitat Koln, 1976. Hutchinson, B. R.; Raithby, G. D. A multigrid method based on the additive correction strategy. Numerical Heat Transfer, v. 9, n. 5, p. 511-537, 1986. Izquierdo, J.; Iglesias, P.L. Mathematical modelling of hydraulic transients in simple systems, Mathematical and Computer Modelling. v. 35, n. 7-8, p. 801-812, Apr. 2002. Izquierdo, J.; Iglesias, P.L. Mathematical modelling of hydraulic transients in complex systems, Mathematical and Computer Modelling. v. 39, n. 4-5, p. 529-540, Feb. 2004.
120
Kirik, M. J., Gradle, R. J. A Model for Check Valve/Feedwater System Waterhammer Analysis, Applied Mechanics, Flow Control Division, Rockwell International, 1981. Disponível em: < http://www.edwardvalves.com/pdf/vrep/81-1/v-rep81-1.pdf>. Acesso em: 08 set. 2005. Koelle, E. Transientes hidráulicos em instalações de condutos forçados. 1983. 234p. Tese (Livre Docência em Engenharia Mecânica) - Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 1983. Koelle, E. Golpe de aríete: curso intensivo. Brasília,DF:ABES, 26-28 jun. 2002. Lessa, R. C. Transientes hidráulicos em sistemas complexos de adução de água. 1984. 154p. Dissertação (Mestrado em Hidráulica e Saneamento) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1984. Macintyre, A. J. Bombas e instalações de bombeamento. Rio de Janeiro:LTC, 1997.
Maliska, C. R. Transferência de calor e mecânica dos fluidos computacional: fundamentos e coordenadas generalizadas. Rio de Janeiro:LTC, 1995.
Mendonça, L. C. de. Estudo de transientes hidráulicos em uma estação de bombeamento. 1986. Dissertação (Mestrado em Hidráulica e Saneamento) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1986.
Moro Filho, R. C. Aplicação da técnica multigrid em transferência de calor computacional. 2004. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) - Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2004.
Nieves, V. R. Static and dynamic analysis of a piping system, 2004. 92p. Thesis (Master of Science In Mechanical Engineering) - University of Puerto Rico, Mayagüez Campus, 2004. Popi, O. Determinação e análise de escoamentos unidimensionais e bidimensionais transientes em meios porosos e não-saturados. 1982. Dissertação (Mestrado em Hidráulica e Saneamento) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1982. Porto, R. M. Formulação adimensional e verificação experimental de transientes em sistemas de bombeamento com chaminé. 1990. Tese (Doutorado em Hidráulica e Saneamento) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1990. Raw, M. Robustness of coupled algebraic multigrid for the Navier-Stokes equations. In:Aerospace and Sciences Meeting & Exhibit, 34., Jan. 15-18 1996, Reno, NV. Proceedings…, Jan. 15-18 1996, Reno, NV. AIAA 96-0297
121
Rhie, C. M.; Chow, W. L. A Numerical study of the turbulent flow pass an isolated airfoil with trailing edge separation. AIAA Journal v. 21, n. 11, p. 1525-1532, 1983. Streeter, V.L.; Wylie, E.B. Hydraulic transients. New York:McGraw-Hill, 1967. Tennekes, D. J.; Lumley, J. L. A First course in turbulence. Cambridge, MA:MIT, 1972. Versteeg, H. K.; Malalasekera, W. An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. Harlow:Prentice Hall, 1995. Wylie, E. B.; Streeter, V. L. Fluid transients. New York:McGraw-Hill, 1978.
122
123
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
Abalakin, I.; Dervieux, A. On time averaging in organized eddy simulation modelling. Sophia, France: Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, 2000.
Abate, C.; Botrel, T. A. Carneiro hidráulico com tubulação de alimentação em aço galvanizado e em PVC. Scientia Agrícola, v.59, n.1, p. 197-203, jan./mar. 2002.
Balino, J. L.; Larreteguy, A. E.; Lorenzo, A. C. The differential perturbative method applied to the sensitivity analysis for waterhammr problems in hydraulic networks. Applied Mathematical Modeling, v. 25, n. 12, p. 1117-1138, Dec. 2001.
Basha, H. A.; Kassab, B. G. A perturbation solution to the transient pipe flow problem. Journal of Hydraulic Research, v. 34, n. 5, p. 633-649, 1996.
Bastos, E. R.; Ferreira, E. Modelo matemático para análise de fluxo transiente em rede de canais. Ciências Agrotécnicas, Lavras, v23, n.3, p.667-674, jul./set. 1999.
Hirsch, C. Numerical computation of internal and external flows, Vol. 1: Fundamentals of Numerical Discretization. Chichester:John Wiley & Sons, 2001.
Hirsch, C. Numerical Computation of internal and external flows, Vol. 2: computational methods for inviscid and viscous flows. Chichester:John Wiley & Sons, 2002.
Hoffman, J. D. Numerical methods for engineers and scientists. New York:McGraw-Hill, 1993.
Hoffmann, K. A.; Chiang, S. T. Computational fluid dynamics for engineers - Vol. I. Wichita:Engineering Education System, 1993. Hoffmann, K. A., Chiang, S. T. Computational fluid dynamics for engineers - Vol. II. Wichita:Engineering Education System, 1995. Incropera, F. P., De Witt, D. P. Introduction to heat transfer. New York:John Wiley & Sons, 1985. Lai, A.; Hau K. F.; Noghrehkar, R.; Swartz, R. Investigation of waterhammer in piping networks with voids containing non-condensable gas, Nuclear Engineering and Design, v.197, n. 1-2, p. 61-74, Apr. 2000. Laney, C. B. Computational gasdynamic. Cambridge:Cambridge University Press, 1998. Lasseigne, D. G.; Joslin, R. D.; Jackson, T. L.; Criminale,W. O. The transient period for boundary layer disturbances, Journal of Fluid Mechanics, v. 381, p. 89-119, 1999.
124
Latini, M., Bernoff, A. J. Transient anomalous diffusion in Poiseuille flow, Journal of Fluid Mechanics, v. 441, p. 399-411, 2001, Launder, B. E.; Spalding, D. B. The numerical computation of turbulent flows, Computational Methods for Applied Mechanical Engineering, v. 3, p. 269-289, 1974. Murillo, J. A. F. Transientes hidráulicos em estações elevatórias e linhas de descarga de bombas. 1982. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) - Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, 1982. O’Sullivan, P. L.; Breuer, K. S.; Transient growth in circular pipe flow. II. Nonlinear development, Physical of Fluids, v. 6, n. 11, p. 3652-3664, Nov. 1994. Özisik, M. N. Heat transfer - a basic approach. New York:McGraw-Hill, 1985. Park, J. S.; Hyun, J. M. Transient response of a compressible fluid in a rapidly rotating circular pipe, Journal of Fluid Mechanics, v. 427, p. 275-297, Jan. 2001. Patankar, S. V. Numerical heat transfer and fluid flow. New York:Hemisfere Publishing Corporation, 1980. Rachid F.B.F.; Mattos H.S.C.; Modelling of Pipeline Integrity taking into account the Fluid-Structure Interactions, International Journal for Numerical Methods in Fluids, v. 28, n. 2, p. 337-355, Aug.1998. Rey, P. L. I.; Miquel, V. S. F.; Sebastian, J. I. Modelo Arhiete. Análisis de Transitorios Hidráulicos en Sistemas Complejos Mediante Modelo Elástico. Valencia, Espanha: Universidad Politécnica de Valencia, 2002. Schlichting, H. Boundary-layer theory. 7.ed. New York:McGraw-Hill, 1979. Shapiro, A. H. Compressible fluid flow. New York:John Wiley & Sons, 1953. V.1 Suwan, K.; Anderson, A. Method of lines applied to hyperbolic fluid transient equations, International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 33, n. 7, p. 1501-1511, May 1992. Tanapandi, P.; An efficient marching algorithm for waterhammer analysis by the method of characteristcs, Acta Mechanica, v. 94. n. 1-2, p. 105-112, 1992. Tiago Filho, G. L.; Viana, A. N. C. Carneiro hidráulico: o que é e como construí-lo, Itajubá, MG:CERPCH, 2002.
125
Venkatalaxmi, A.; Padmavathi,B. S.; Amaranath, T. A general solution of unsteady Stokes equations, Fluid Dynamics Research, v. 35, n. 3, p. 229-236, Sept. 2004. White, F. M. Viscous fluid flow. 2.ed. New York:McGraw-Hill, 1991. Wu T.; Ferng C.C. Effect of nonuniform conduit section on waterhammer, Acta Mechanica, v. 137, n. 3-4, p. 137-149, 1999. Xu, H.; Zhang C.; Numerical solution of a transformed parabolic equation, Applied Mathematics and Computation, v. 139, n. 2-3, p. 535-554, Jul 2003. Zhou, F.; Hicks, F. E.; Steffler, P. M. Transient flow in a rapidly filling horizontal pipe containing trapped air, Journal of Hydraulic Engineering-ASCE, v. 128, n. 6, p. 625-634, Jun. 2002.