anÁlise de sÉries temporais econÔmicas
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ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS Prof. Henrique Dantas Neder – Universidade Federal de Uberlândia. Processos Estocásticos. Definição: Seja T um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família . tal que, para cada . é uma variável. aleatória. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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ANÁLISE DE SÉRIES ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICASTEMPORAIS ECONÔMICAS
Prof. Henrique Dantas Neder – Universidade Federal de Uberlândia
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Processos EstocásticosProcessos EstocásticosDefinição: Seja T um conjunto arbitrário. Definição: Seja T um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família Um processo estocástico é uma família
{ ( ), },Z Z t t T tal que, para cada , ( )t T Z t é uma variável
aleatória.Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias.
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O processo estocástico { ( ), }Z Z t t T
Está completamente especificado se conhecermos as funções de distribuição
1 1
1 1
( ,...., ; ,...., )
( ) ,...., ( )n n
n n
F z z t t
P Z t z Z t z
n 1para todo
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Processos estocásticos Processos estocásticos estacionáriosestacionários
{ ( ), }Z Z t t T Um processo estocástico é
estritamente estacionário se todas as funções de distribuições permanecem as mesmas no decorrer do tempo, ou seja,
1 1
1 1
( ,...., ; ,...., )( ,...., ; ,...., )
n n
n n
F z z t tF z z t t
para quaisquer t1,...,tn,
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Processo estocástico Processo estocástico estacionárioestacionário
Todas as distribuições univariadas são invariantes no tempo:Todas as distribuições univariadas são invariantes no tempo:
µ(t)=µ,V(t)=µ(t)=µ,V(t)=σσ2 2 parapara todotodo
Podemos também supor que Podemos também supor que µ=0 ou, de forma alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ}µ=0 ou, de forma alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ}
Como Como
.t T
1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ,0) ( )t t t t t t t t
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Processo estocástico Processo estocástico estacionárioestacionário
Logo, em um processo estritamente Logo, em um processo estritamente estacionário, é uma função de estacionário, é uma função de um único argumento, ou seja, o valor um único argumento, ou seja, o valor da covariância depende apenas da da covariância depende apenas da defasagem temporal.defasagem temporal.
1 2( , )t t
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Processo estocástico Processo estocástico fracamente estacionáriofracamente estacionário
Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo):Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo):
1) E{Z(t)}=1) E{Z(t)}=µ(t)=µ, constante, para todo t µ(t)=µ, constante, para todo t ЄЄ T; T;
2) E{Z2) E{Z22(t)} < ∞; para todo t (t)} < ∞; para todo t ЄЄ T; T;
3) é uma função de 3) é uma função de ׀׀tt1 1 –t–t22׀׀
1 2 1 2( , ) cov{ ( ), ( )}t t Z t Z t
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AutocorrelaçãoAutocorrelação
É o coeficiente de correlação entre É o coeficiente de correlação entre observações defasadas no tempo:observações defasadas no tempo:
1
1 1 21
1 12 2
1 1 21
( )( )
( ) ( )
n
t ttn
t tt
x x x xr
x x x x
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AutocorrelaçãoAutocorrelaçãoonde as médias amostrais onde as médias amostrais
são: são: 1
11
( 1)n
ti
x x n
22
( 1)n
ti
x x n
e
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AutocorrelaçãoAutocorrelaçãoCostuma-se simplificar a expressão anterior Costuma-se simplificar a expressão anterior
da seguinte forma:da seguinte forma:
1
11
1 12
1
( )( )
( 1) ( )
n
t tt
n
tt
x x x xr
n x x n
Já que 1 2x x e assumindo variância constante.
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AutocorrelaçãoAutocorrelaçãoA expressão anterior pode ser generalizada para k A expressão anterior pode ser generalizada para k períodos de tempo (defasagem):períodos de tempo (defasagem):
11
2
1
( )( )
( )
n k
t t kt
k n
tt
x x x xr
x x
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Séries aleatóriasSéries aleatórias
Se xSe x11,x,x22,...,x,...,xnn são i.i.d (independentes e são i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) então o identicamente distribuídas) então o coeficiente de autocorrelação coeficiente de autocorrelação amostral ramostral rkk é assintoticamente é assintoticamente normalmente distribuído com média normalmente distribuído com média e variância dados por:e variância dados por:k( ) 1/ e Var(r ) 1/kE r n n
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Processo ruído branco - Processo ruído branco - StataStata
* simulação de um processo ruído branco e um * simulação de um processo ruído branco e um passeio aleatóriopasseio aleatório
drawnorm ruido, n(500) seed(500)drawnorm ruido, n(500) seed(500)gene tempo = _n gene tempo = _n tsset tempotsset tempotwoway (tsline ruido)twoway (tsline ruido)wntestq ruidowntestq ruido
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-4-2
02
4ru
ido
0 100 200 300 400 500tempo
Simulação de um processo ruído branco – todas as Simulação de um processo ruído branco – todas as variáveis Xvariáveis Xtt tem distribuição normal com média tem distribuição normal com média µ=0 e µ=0 e σσ=1=1
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Processo Passeio Aleatório Processo Passeio Aleatório - Stata- Stata
set obs 500 set obs 500 gen int t = _n gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform()))gen sumz = sum(invnorm(uniform()))tset ttset ttwoway (tsline sumz) twoway (tsline sumz)
O passeio aleatório é não estacionário.O passeio aleatório é não estacionário.A sua especificação econométrica é:A sua especificação econométrica é:
YYtt=Y=Yt-1t-1+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))
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Simulação de um processo passeio aleatório (“random Simulação de um processo passeio aleatório (“random walk”)walk”)
-15
-10
-50
5su
mz
0 100 200 300 400 500t
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Processo Passeio Aleatório Processo Passeio Aleatório - Stata- Stata
Ou um passeio aleatório com tendência:Ou um passeio aleatório com tendência:YYtt==ββ00++YYt-1t-1+at, +at, aatt~N(0,~N(0,σσ22))
Se Se ββ00, então em média, , então em média, YYt t aumenta.aumenta.A melhor previsão da série para t+1 é YA melhor previsão da série para t+1 é Ytt++ββ00. . No modelo anterior, passeio aleatório sem No modelo anterior, passeio aleatório sem tendência, a melhor previsão da série tendência, a melhor previsão da série t+1 é t+1 é YYtt..
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Processo Passeio Processo Passeio AleatórioAleatório
O modelo de passeio aleatório é uma caso especial do O modelo de passeio aleatório é uma caso especial do modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem:modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem:YYtt==ββ11YYt-1t-1+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))quando quando ββ11=1, o modelo AR é não estacionário e sua =1, o modelo AR é não estacionário e sua variância aumenta ao longo do tempo.variância aumenta ao longo do tempo.Na equação Na equação YYtt=Y=Yt-1t-1+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))Var(YVar(Ytt) = Var(Y) = Var(Yt-1t-1)+Var(a)+Var(att))Para que YPara que Ytt seja estacionário Var(Y seja estacionário Var(Ytt) = Var(Y) = Var(Yt-1t-1), mas ), mas para isto Var(apara isto Var(att) = 0) = 0
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Processo Passeio Processo Passeio AleatórioAleatório
YY00=0 , Y=0 , Y11=a=a11, Y, Y22=a=a11+a+a22,Y,Ytt=a=a11+a+a22+...+a+...+att
Var(YVar(Ytt)=t.)=t.σσ2 2 :: a variância aumenta a medida que t aumenta.a variância aumenta a medida que t aumenta.
No caso de um modelo auto-regressivo de ordem p (AR(p)):No caso de um modelo auto-regressivo de ordem p (AR(p)):
YYtt==ββ11YYt-1t-1++ββ22YYt-2t-2+...++...+ββppYYt-pt-p+a+att, , aatt~N(0,~N(0,σσ22))
Para ser estacionário todas as raízes do polinômio Para ser estacionário todas as raízes do polinômio 1-1-ββ11z-z-ββ11zz22-...-...ββppzzpp
devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.
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Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller Dickey-Fuller
Consideremos o modelo AR(1):Consideremos o modelo AR(1):
ZZtt = = θθ11ZZt-1t-1+a+att , a , att~N(0,~N(0,σσ22))
ΔΔZZtt = = θθ’’11ZZt-1t-1+a+at t θθ’’1 1 == θθ11-1-1
HH0 0 {{θθ’’1 1 = 0= 0 HHÁÁ { {θθ’’1 1 < 0< 0
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Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado
0 1 1 1 2 2
0 t
A t
...
H { 0 (Z tem uma tendencia estocastica)H { 0 (Z estacionaria)
t t t t p t p tZ Z Z Z Z u
é
• O número de defasagens p pode ser obtido utilizando os critérios AIC (Akaike) ou Schwarz que veremos adiante.
• A estatística ADF não tem distribuição normal, mesmo para amostras grandes.
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Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado
use use http://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dtahttp://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dtatsset qtrtsset qtrtwoway (tsline investment)twoway (tsline investment)dfuller investimentdfuller investimentdfuller D.investmentdfuller D.investmentdfuller D.investment, lags(4)dfuller D.investment, lags(4)fitstatfitstatdfuller D.investment, lags(3)dfuller D.investment, lags(3)fitstatfitstatdfuller D.investment, lags(2)dfuller D.investment, lags(2)fitstatfitstat
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200
400
600
800
1000
Inve
stm
ent
1960q1 1965q1 1970q1 1975q1 1980q1 1985q1qtr
Evolução temporal da série investimento – antiga Evolução temporal da série investimento – antiga Alemanha OcidentalAlemanha Ocidental
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Testes de raiz unitária – Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentadoDickey-Fuller aumentado
Com a seguinte seqüência de comandos Com a seguinte seqüência de comandos Stata, verifique a estacionariedade de um Stata, verifique a estacionariedade de um passeio aleatório:passeio aleatório:
set obs 500 set obs 500 gen int t = _n gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform()))gen sumz = sum(invnorm(uniform()))tset ttset tdfuller sumzdfuller sumzdfuller D.sumzdfuller D.sumztwoway (tsline D.sumz) twoway (tsline D.sumz)
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-4-2
02
D.s
umz
0 100 200 300 400 500t
Evolução temporal da diferença de um passeio aleatórioEvolução temporal da diferença de um passeio aleatório
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Existem alguns problemas adicionais com relação a testes deraiz unitária:
1)Eles tem baixo poder para discriminar entre uma raiz unitária e um processo próximo de raiz unitária.2) Eles podem usar um conjunto inapropriado de regressores determinísticos.3) Para os testes deve ser considerada a possibilidade de quebra estrutural.
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Os testes ADF devem considerar o seguinte conjunto de equações:
1 12
0 1 12
0 1 2 12
p
t t i t i ti
p
t t i t i ti
p
t t i t i ti
y y y
y a y y
y a y a t y
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Operadores para séries Operadores para séries temporaistemporais
Operador translação para o passado Operador translação para o passado BZBZtt=Z=Zt-1 t-1 BBmmZZtt=Z=Zt-mt-m
Operador diferençaOperador diferençaΔΔZZtt=Z=Ztt-Z-Zt-1t-1=(1-B)Z=(1-B)Zt t ΔΔ = 1 – B= 1 – BOperador somaOperador somaSZSZtt==
21
0
-1
... (1 ...)
(1 ) S=
t j t t tj
t
Z Z Z B B Z
B Z
![Page 34: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/34.jpg)
Modelos ARMA (Box-Modelos ARMA (Box-Jenkins)Jenkins)
ARMA(p,q)ARMA(p,q)1 1 1 1
21 2
21 2
... ...
( ) ( )
( ) 1 ...
( ) 1 ...
t t p t p t t p t p
t t
pp
pp
Z Z Z a a a
ouB Z B Z
onde
B B B B
B B B B
![Page 35: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/35.jpg)
Modelos ARMA (Box-Modelos ARMA (Box-Jenkins)Jenkins)
Filtro linearFiltro linear
Filtro linearat zt
Ψ(B)
Zt=μ+at+ψ1at-1+ ψ2at-2+...=μ+ ψ(B) at
Onde
ψ(B)=1+ψ1B+ ψ2B2+...
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Modelo ARMA(1,1)Modelo ARMA(1,1) ZZtt=0,8Z=0,8Zt-1t-1+a+att-0,3a-0,3at-1t-1 Simulação no Stata:Simulação no Stata: drawnorm a, n(50) seed(500)drawnorm a, n(50) seed(500) gene tempo = _n gene tempo = _n tsset tempotsset tempo set matsize 800set matsize 800 gene z = 0gene z = 0 mkmat a z,matrix(Z)mkmat a z,matrix(Z) forvalues i = 2(1)50 {forvalues i = 2(1)50 { matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] }} svmat Z, name(serie)svmat Z, name(serie) twoway (tsline serie2)twoway (tsline serie2)
![Page 37: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/37.jpg)
Função de autocorrelação Função de autocorrelação parcial parcial
Seja um modelo autorregressivo AR(k):Seja um modelo autorregressivo AR(k):
1 1 2 2
1 1 2 2
...... , j = 1,...,k
t k t k t kk t k
j k j k j kk j k
Z Z Z Z
Temos assim as equações de Yule-Walker:
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Equações de Yule-WalkerEquações de Yule-Walker
1 2 11 1
1 2 22 2
1 2 3
1 ...
1 ... .
.......
... 1
kk
kk
kkkk k k
![Page 39: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/39.jpg)
Função de autocorrelação Função de autocorrelação parcialparcial
Resolvendo para k =1,2,3...Resolvendo para k =1,2,3...
11 1
1 1
1 212
2 1 31 2 2 122 332
1 21 1
1 11
2 1
*
kk
111
11 1
111
e em geral,
k
k
Onde Pk é a matriz de autocorrelações e Pk
* é a matriz Pk com a última coluna substituída pelo vetor de autocorrelações (ver Morettin, 2004).
![Page 40: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/40.jpg)
Modelos ARMAModelos ARMA1.1. Um processo AR(p) tem fac que decai de Um processo AR(p) tem fac que decai de
acordo com exponenciais e/ou senoides acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas, infinita em extensão;amortecidas, infinita em extensão;
2.2. Um processo MA(q) tem fac finita, com Um processo MA(q) tem fac finita, com um corte após o lag q;um corte após o lag q;
3.3. Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita em extensão, que decai de acordo com em extensão, que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas exponenciais e/ou senoides amortecidas após o lag q-papós o lag q-p
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Modelos ARMAModelos ARMA
1.1. Um processo AR(p) tem facp Um processo AR(p) tem facp ØØkkkk≠0, ≠0, para k≤p e Øpara k≤p e Økkkk=0, para k >p;=0, para k >p;
2.2. Um processo MA(q) tem facp que se Um processo MA(q) tem facp que se comporta de maneira similar à fac de comporta de maneira similar à fac de um processo AR(p);um processo AR(p);
3.3. Um processo ARMA(p,q) tem facp que Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comporta como a facp de um se comporta como a facp de um processo MA puro (ver Morettin, 2004) processo MA puro (ver Morettin, 2004)
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Modelos ARMAModelos ARMAVamos simular no Stata diversos processos ARMA e Vamos simular no Stata diversos processos ARMA e
verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o arquivo do-file: arquivo do-file:
http://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAOhttp://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAO%20ARMA.do %20ARMA.do
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Modelos ARMAModelos ARMA-4
-20
24
serie
2
0 50 100 150 200tempo
Processo AR(1)
-2-1
01
23
serie
3
0 50 100 150 200tempo
Processo MA(1)
-4-2
02
4se
rie4
0 50 100 150 200tempo
Processo ARMA(1)
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Correlograma processo Correlograma processo AR(1)AR(1)
![Page 45: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/45.jpg)
Correlograma processo Correlograma processo MA(1)MA(1)
![Page 46: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/46.jpg)
Correlograma processo Correlograma processo ARMA(1,1)ARMA(1,1)
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Identificação de modelos Identificação de modelos ARMAARMA
ARIMA(1,0,0)ARIMA(1,0,0)ρρkk decai exponencialmente decai exponencialmenteSomente Somente ØØ1111≠0≠0
ARIMA(0,0,1)ARIMA(0,0,1)Somente Somente ρρ11 ≠0≠0ØØkkkk decai exponencialmente decai exponencialmente
ARMA(2,0,0)ARMA(2,0,0)ρρ k k – mistura de exponenciais ou – mistura de exponenciais ou senoides amortecidas senoides amortecidas ØØ1111≠0 e Ø≠0 e Ø2222≠0 ≠0
ARMA(0,0,2)ARMA(0,0,2)ρρ11 ≠0 e ≠0 e ρρ22 ≠0 ≠0 ØØkkkk – mistura de exponenciais ou – mistura de exponenciais ou senoides amortecidassenoides amortecidas
ARMA(1,0,1)ARMA(1,0,1)ρρ k k decai exponencialmente após o lag decai exponencialmente após o lag 11ØØkkkk decai decai exponencialmente após o exponencialmente após o lag 1lag 1
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Outras alternativas de Outras alternativas de identificação de modelos identificação de modelos
ARMAARMA Critério de informação de Akaike:Critério de informação de Akaike:
2,ˆ( , ) ln 2( 2)k lAIC k l N k l
onde:2,ˆk l é a estimativa de máxima verossimilhança da
variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.
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Outras alternativas de Outras alternativas de identificação de modelos identificação de modelos
ARMAARMA Critério de informação BayesianoCritério de informação Bayesiano
2,
lnˆ( , ) ln ( )k lNBIC k l k lN
onde:2,ˆk l é a estimativa de máxima verossimilhança da
variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.
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Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados a Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados a série gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – série gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – Exemplo GujaratiExemplo Gujarati
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Aplicação dos critérios AIC e BIC através do StataAplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata
![Page 52: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/52.jpg)
Aplicação dos critérios AIC e BIC através do StataAplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata
ModeloModelo AICAIC SICSIC -2log -2log likelihoodlikelihood
No. de No. de parâmetroparâmetross
AR(1 8 9 12)AR(1 8 9 12)MA(1 2 8 MA(1 2 8 12)12)
853.78007853.78007 875.97324875.97324 835.78007 835.78007 99
ARMA(1,1)ARMA(1,1) 865.28999865.28999 872.68771872.68771 859.28999859.28999 33
ARMA(2,1)ARMA(2,1) 866.95925866.95925 876.82288876.82288 858.95925858.95925 33
ARMA(1,2)ARMA(1,2) 867.10988867.10988 876.97351 876.97351 859.10988 859.10988 44
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Verificação da adequação do Verificação da adequação do modelo - diagnósticomodelo - diagnóstico
Para verificar a adequação do modelo aos dados, Para verificar a adequação do modelo aos dados, um dos procedimentos utilizados é verificar se os um dos procedimentos utilizados é verificar se os resíduos são auto-correlacionados.resíduos são auto-correlacionados. Os resíduos do modelo podem ser obtidos através Os resíduos do modelo podem ser obtidos através do comando predict: do comando predict: arima d.gdp, ar(1) ma(1)arima d.gdp, ar(1) ma(1)predict residuo, residualspredict residuo, residualscorrgram residuocorrgram residuoac residuo ac residuo
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Verificação da adequação do Verificação da adequação do modelo - diagnósticomodelo - diagnóstico
-0.4
0-0
.20
0.00
0.20
0.40
Aut
ocor
rela
tions
of r
esid
uo
0 10 20 30 40Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
Aparentemente, os resíduos do modelo ARMA(1,1) não são auto-correlacionados (com exceção do lag 8, as correlações dos resíduos defasados não são significativas).
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Introdução a Análise VAR – Vector Autoregressive Regression
Considere o sistema bi-variado simples: 10 12 11 1 12 1
20 21 21 1 22 1
t t t t yt
t t t t zt
y b b z y z
z b b y y z
Assume-se que:
1) yt e zt são séries estacionárias2) εyt e εzt são erros aleatórios ruído branco com desvios-padroes σy e σz respectivamente.3) εyt e εzt são séries não auto-correlacionadas
b12 é o efeito contemporâneo de uma mudança unitária de zt em yt.
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Podemos colocar este sistema na forma matricial:
10 112 11 12
21 21 2220 1
0 1 1
0 1 1
1 1 10 0 1 1
11
:
, A , A ,
ytt t
t t zt
t t t
t t t
tt t t
t
y b ybb z b z
ouBx xoux A A x eonde
yx B B e B
z
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A Função de Impulso-RespostaConsidere um modelo VAR bi-variado:
1 1
1, 1, 1,1 1,2t t 1
2,1 2,22, 2,
onde:
y
t t t
t t
t t
y y
y
y
Considere os efeitos dos choques correntes e passados na serie yt. Por exemplo, um choque unitário ε1,t tem um efeito de aumentar y1,t em uma unidade e ε2,t tem um efeito similar sobre y2,t. Mas examinemos os efeitos de outros choques e choques passados.
![Page 58: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/58.jpg)
Fazendo repetidas substituições para trás:
1 21 0 1 1 1 2 1 1
1, 1, 11,1 1,21 21 0 1 1 1 2
2,1 2,22, 2, 1
1,1 1, 1 1,2 2, 11 21 0 1 1 1 2
2,1 1, 1 2,2 2, 1
...
...
...
t tt t t t
t tt tt t
t t
t tt tt
t t
y y
yy
y
y
t
Isto torna claro que o efeito de uma unidade no choque ε1,t-1 sobre y1,t é Φ1,1 e que o mesmo choque tem um efeito de Φ2,1 sobre y2,t.
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O impulso-resposta de segunda ordem é obtido por:2
1 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,221 2
2,1 1,1 2,2 2,1 2,1 1,2 2,2
21, 1, 21 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,21
1 0 1 1 22, 2,1 1,1 2,2 2,1 2,1 1,2 2,2 2, 2
...
t tt t
t t
yy
y
1 1 t t
Generalizando: o efeito de uma unidade do choque ε1,t-h sobre y1,t é dado pelo elemento superior esquerdo da matriz Φ1
h. Em geral, o efeito sobre yi,t de uma unidade de choque εj,t-h é dado pelo elemento (i,j) da matriz Φ1
h.
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Para as aplicações a seguir iremos utilizar o arquivo de dados Stata obtido através do comando:
use http://www.ecn26.ie.ufu.br/DADOS/money.dta
Este comando irá carregar através da web o arquivo de dados para o Stata.
Para obter um modelo VAR o primeiro passo a ser executado é a obtenção de seu número de lags. Isto é conseguido através do comando varsoc:
set matsize 800
varsoc y m inf, maxlag(7)
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Determinação do número de lags de um modelo VAR irrestrito
![Page 62: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/62.jpg)
Pelo resultado anterior, de acordo com os critérios de AKAIKE (AIC), Final Predction Error (FPE) e Likelihood Ratio Test (LR) a melhor estrutura de lags corresponde ao modelo de 4 lags.
Rodamos então o modelo VAR com 4 lags através do comando:
var y m inf, lags(1/4)
O resultado em si das estimativas MQO do modelo não tem valor analítico para o tipo de análise que iremos fazer a seguir. Portanto, para suprimir a saída das estimativas do modelo, iremos executar o comando:
quietly var y m inf, lags(1/4)
![Page 63: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/63.jpg)
Teste de normalidade dos resíduos para modelo VAR
![Page 64: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/64.jpg)
Pelos resultados do teste Jarque-Bera, os resíduos para as equações das variáveis y e m são normais ao passo que para a equação da variável inf é rejeitada a hipótese nula de normalidade dos resíduos.
É importante também verificar a condição de não auto-correlação dos resíduos do modelo. Utiliza-se para isto o comando:
varlmar
Pelos resultados da saída Stata a seguir, os resíduos do modelo apresentam auto-correlação de primeira ordem, mas não apresentam auto-correlação de segunda ordem.
![Page 65: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/65.jpg)
Teste de auto-correlação dos resíduos do modelo VAR
![Page 66: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/66.jpg)
Para realizar a análise das funções impulso-resposta e decomposição de variância no Stata temos uma seqüência de comandos:
irf set “arquivo1”
irf create modelo1
irf table irf fevd
Com estes comandos especificamos a saída para as funções impulso-resposta e decomposição de variância, mostradas a seguir.
![Page 67: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/67.jpg)
Funções impulso-resposta e decomposição de variância para modelo VAR
![Page 68: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/68.jpg)
Decomposição de variância
• Diferentemente da análise de impulso-resposta, na decomposição de variância estamos interessados em avaliar a importância relativa (percentual) sobre os erros de previsão para uma determinada variável.
• Na análise de impulso-resposta podemos verificar o sentido dos efeitos de cada variável (impulso) sobre as outras variáveis (resposta). O efeito neste caso pode ser positivo ou negativo.
• No caso da decomposição de variância esta noção de sentido dos efeitos já não existe, mas apenas o valor relativo dos efeitos de cada variável sobre o erro de previsão de uma determinada variável.
![Page 69: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/69.jpg)
-.5
0
.5
1
-.5
0
.5
1
-.5
0
.5
1
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
modelo1, inf, inf modelo1, inf, m modelo1, inf, y
modelo1, m, inf modelo1, m, m modelo1, m, y
modelo1, y, inf modelo1, y, m modelo1, y, y
95% CI impulse response function (irf)
step
Graphs by irfname, impulse variable, and response variable
Funções Impulso-Resposta para Modelo VAR
![Page 70: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/70.jpg)
• Nos gráficos da primeira coluna do slide anterior vemos as respostas das três variáveis sobre a inflação. No primeiro gráfico desta coluna vemos o efeito resposta de uma variação unitária do choque exógeno na equação da inflação sobre a própria inflação quando transmitido através dos seus efeitos multiplicadores pelo conjunto do sistema. Ele mostra que a inflação tem efeitos sobre seus próprios valores futuros até o terceiro ou quarto lags.
• Observando a segunda linha de gráficos verifica-se que a oferta monetária não produz efeito futuro sobre as variáveis inflação (inf) e Produto Interno Bruto (y). Ela apresenta um impacto significativo sobre a própria oferta monetária até o segundo lag.
• Isto sugere que há uma fraca relação dinâmica entre as variáveis do modelo.
![Page 71: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/71.jpg)
Um comando apropriado para o Stata para gráficos de decomposição de variância é:
irf graph fevd, irf(modelo1)
Isto também pode ser obtido através do menu:
Statistics => Multivariate time series => IRF & FEDV Analysis => Graphs by Impulse or response (e especifique em Statistics to graph: fevd)
![Page 72: ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081507/56815dfd550346895dcc3ac9/html5/thumbnails/72.jpg)
0
.5
1
0
.5
1
0
.5
1
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
modelo1, inf, inf modelo1, inf, m modelo1, inf, y
modelo1, m, inf modelo1, m, m modelo1, m, y
modelo1, y, inf modelo1, y, m modelo1, y, y
95% CI fraction of mse due to impulse
step
Graphs by irfname, impulse variable, and response variable
Decomposição de variância para Modelo VAR