análise e resolução prova affe sefaz pi
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Prova de ConcursoTRANSCRIPT
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Anlise e Resoluo da prova de Auditor
Fiscal da Fazenda Estadual do Piau
Disciplina: Matemtica Financeira
Professor: Custdio Nascimento
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Anlise e Resoluo da prova de AFFE SEFAZ/PI Matemtica Financeira
Prof. Custdio Nascimento
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Neste artigo, faremos a anlise das questes de Matemtica Financeira
cobradas na prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piau, por ser uma
de nossas disciplinas no Exponencial Concursos.
Primeiramente, seguem alguns comentrios gerais sobre a prova.
A prova de Matemtica Financeira trouxe uma boa distribuio dos
assuntos pedidos no edital. A maioria das questes era de esquematizao
simples, porm de clculos complexos, como j praxe na FCC. Com isso, houve
muita reclamao nos fruns sobre a escassez de tempo para fazer tais contas.
Aps resolvermos todas as questes, no visualizamos recurso para
as questes da prova. Atentar que uma das questes j foi anulada pela
prpria banca, que atribuiu a pontuao a todos os candidatos.
Matemtica Financeira
Vamos resolver cada questo, com comentrios. A teoria foi abordada no
nosso curso de Matemtica Financeira para AFFE SEFAZ/PI, focado na
banca FCC, lanado no site do Exponencial Concursos.
Eis as questes da prova, com a devida resoluo:
11. Um capital de R$ 14.700,00 foi aplicado a juro simples da seguinte forma:
1/3 taxa de 6% ao ms por um trimestre;
2/5 taxa de 13% ao bimestre por 5 meses e
o restante taxa de x% ao bimestre por 1 semestre.
O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Se um capital de R$ 18.000,00 for
aplicado a juros compostos, taxa de x% ao bimestre, por um perodo de 4
meses, o montante dessa aplicao ser
(A) R$ 23.594,33
(B) R$ 19.260,00
(C) R$ 19.945,95
1- Anlise da prova
2- Resoluo das questes
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(D) R$ 20.520,00
(E) R$ 20.608,20
Resoluo:
Chamaremos os capitais aplicados de C1, C2 e C3, os juros de J1, J2 e J3 e
os prazos de n1, n2 e n3. Eis os dados da questo:
1 =1
3 14700 = 4900
1 = 6% . .
1 = 1 . = 3 .
2 =2
5 14700 = 5880
2 = 13% . . = 6,5% . .
2 = 5 .
1 + 2 + 3 = 14700
3 = 14700 4900 5880 = 3920
3 = % . .
3 = 1 . = 3 .
Inserindo os valores nas equaes que representam os juros de cada
operao:
1 = 1 1 1 = 4990 0,06 3 = 882
2 = 2 2 2 = 5880 0,065 5 = 1911
3 = 3 3 3 = 3920 3
O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Logo:
1 + 2 + 3 = 3616,2 882 + 1911 + 3920 3 = 3616,2
3920 3 = 3616,2 882 1911 = 823,2 = 0,07 = 7% . .
Note que a questo traz a informao de que o capital de R$ 18.000,00
foi aplicado a juros compostos, taxa de x% ao bimestre, por um perodo de 4
meses (2 bimestres). Inserindo os valores na frmula do montante a juros
compostos, temos:
= (1 + )
= 18000 (1 + 0,07)2 = 18000 1,1449 = 20608,20
A alternativa E a resposta correta.
12. Um capital C foi aplicado a juros compostos, taxa de 5% ao ms. Ao
completar 1 bimestre, seu montante foi resgatado e imediatamente aplicado a
juro simples, taxa de 6% ao ms. Ao fim de 1 semestre da segunda aplicao,
o montante M era de R$ 14.994,00. Suponha que, desde o incio, o capital C
tivesse sido aplicado a juro simples, taxa mensal i, de modo que o montante
final fosse igual a M. Dos nmeros abaixo, o mais prximo de i
(A) 6,5%
(B) 6,1%
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(C) 6,2%
(D) 6,3%
(E) 6,4%
Resoluo:
Com a primeira aplicao a juros compostos, teremos o seguinte
montante:
1 = (1 + 0,05)2 = 1,1025
Conforme o enunciado, tal montante foi aplicado a juros simples (6% ao
ms), por 6 meses, o que gerou o montante M. Logo, temos:
= 1 (1 + 0,06 6) = 1,1025 1,36
Note que a alternativa de investimento era deixar o capital inicial, a juros
simples, taxa mensal i, pelo mesmo perodo (2 meses + 6 meses), e que isso
tambm daria M. Logo, temos:
= (1 + 8)
Igualando as duas equaes anteriores, temos:
(1 + 8) = 1,1025 1,36
1 + 8 = 1,1025 1,36 = 1,4994 8 = 0,4994 0,0624 6,2%
A alternativa C a resposta correta.
13. Um investidor aplicou um capital de R$ 10.000,00 e resgatou o total de R$
13.600,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse perodo, a taxa real de juros foi de
32%, ento, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de inflao
do perodo
(A) 2,5%
(B) 4,5%
(C) 4%
(D) 3,5%
(E) 3%
Resoluo:
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Como a questo trata de juros com influncia da inflao, utilizamos a
seguinte frmula:
(1 + ) = (1 + ) (1 + )
Os dados da questo so:
= 32% = 0,32
= (1 + ) 13600 = 10000 (1 + )
(1 + ) = 1,36 = 0,36
Aplicando a frmula, temos:
(1 + ) = (1 + ) (1 + )
1,36 = (1 + 0,32) (1 + ) 1 + =1,36
1,32= 1,0303 = 3,03%
A alternativa E a resposta correta.
14. Trs meses antes de seus vencimentos, dois ttulos foram descontados em
um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal
do primeiro ttulo era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro,
utilizou-se a operao de desconto comercial simples e, para o segundo, a de
desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00,
ento, o mdulo da diferena entre os dois valores lquidos recebidos foi
(A) R$ 9.285,00
(B) R$ 3.035,00
(C) R$ 3.500,00
(D) R$ 3.830,00
(E) R$ 3.965,00
Resoluo:
Como dissemos em nosso curso de curso de Matemtica Financeira
para AFFE SEFAZ/PI, esta uma questo clssica da FCC.
Como de nosso costume, comeamos listando os dados do enunciado:
= 3 .
= 48% . . = 4% . .
= 0,04 3 = 0,12
1 + 2 = 1215
1 = 2 2
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A questo nos informa que o primeiro ttulo sofreu desconto comercial
simples, logo empregamos = , e temos:
1 = 1 0,12
J o segundo ttulo sofreu desconto racional simples, ento empregamos
= , e ficamos com:
2 = 2 = 2 0,12
Mas 2 = 2 (1 + ) e 1 = 2 2 logo podemos substituir os valores:
2 =2
(1 + ) 0,12 =
12 0,12
1,12=
1 0,06
1,12
Logo, temos:
1 + 2 = 1215 1 0,12 +1 0,06
1,12= 1215
Aplicando o MMC, temos:
1 0,12 1,12 + 1 0,06
1,12= 1215
1 (0,1344 + 0,06) = 1360,8 1 =1360,8
0,1944= 7000
Calculando os demais valores, temos:
1 = 1 (1 ) = 7000 0,88 6160
2 =12
= 3500
2 = 2 1,12 2 = 3125
Logo, a diferena entre os valores lquidos (atuais) :
1 2 = 6160 3125 = 3035
A alternativa B a resposta correta.
15. Uma pessoa deve a um credor trs parcelas mensais consecutivas de
mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a 30 dias.
Deseja hoje substitu-las por dois pagamentos iguais entre si, um com
vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o
critrio do desconto racional composto, com taxa de 5% ao ms, o valor X de
cada uma dessas duas prestaes, em reais, tal que
(A) 1 570 < X < 1 575
(B) 1 590 < X < 1 595
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(C) 1 575 < X < 1 580
(D) 1 580 < X < 1 585
(E) 1 585 < X < 1 590
Resoluo:
Vamos comear montando os diagramas de cada sequncia de
pagamentos, para facilitar a visualizao. A opo original dada a seguir:
A opo alternativa mostrada a seguir:
Como h equivalncia entre ambas, os valores atuais (ou valores
presentes) so iguais, logo vlida a seguinte equao:
1000
1,05+
1000
1,052+
1000
1,053=
1,052+
1,054
1000 (1
1,05+
1
1,052+
1
1,053) = (
1
1,052+
1
1,054)
Multiplicando todas as parcelas por 1,054, temos:
1000 (1,053 + 1,052 + 1,05) = (1,052 + 1)
1000 (1,1576 + 1,1025 + 1,05) = (1,1025 + 1)
1000 3,3101 = 2,1025
1574
A alternativa A a resposta correta.
16. Em uma loja, um computador est sendo vendido de duas formas:
0 1 2 3
A
1000 1000 1000
0 1 2 3 4
A
X X
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vista, por um preo P igual a R$ 4.500,00 ou
a prazo, sem juros, com pagamento em 3 parcelas de R$ 1.5000,00 cada,
sendo a primeira dada como entrada e as outras vencendo da a 30 e 60 dias
da data da compra.
O proprietrio da loja consegue aplicar seu dinheiro a juros compostos, taxa
de 5% ao ms. Ele deseja oferecer um desconto no preo vista desse
computador, mas no quer ter prejuzos. Dessa forma, o valor mais prximo da
taxa de desconto mximo que ele pode oferecer sobre o preo P de
(A) 9,23%
(B) 4,68%
(C) 4,70%
(D) 4,96%
(E) 5,25%
Observao:
Conforme gabarito preliminar, a questo foi anulada pela banca. Em
consequncia, foi atribuda a todos os candidatos.
17. Uma pessoa contraiu uma dvida a ser paga pelo Sistema de Amortizao
Constante SAC em 40 prestaes mensais e consecutivas. Se a primeira
prestao, que vence ao completar um ms da data do emprstimo, de R$
3.000,00 e a dcima igual a R$ 2.550,00, ento a ltima prestao de
(A) R$ 1.200,00
(B) R$ 1.000,00
(C) R$ 1.050,00
(D) R$ 1.100,00
(E) R$ 1.150,00
Resoluo:
Eis uma questo diferente do que a banca usualmente cobra, pois no foi
informado o valor da dvida. Logo, temos que empregar um pouco de raciocnio
matemtico para podermos resolv-la.
Estudando o modelo SAC, vimos que cada prestao a soma de uma
parcela de amortizao com outra de juro:
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= +
Lembramos que a amortizao constante, e que o juro pago
proporcional ao valor devido (saldo devedor), as prestaes so dadas por:
{ + 1 = 3000 + 10 = 2550
Do sistema de equaes, tiramos que:
1 10 = 3000 2550 = 450
Mas o valor de cada parcela de juro dado por:
= 1
Alm disso, o saldo devedor calculado com a frmula:
= ( )
Assim, temos:
= ( ( 1))
Calculando os valores de J1 e J10, temos:
1 = (40 (1 1)) = 40
10 = (40 (10 1)) = 31
1 10 = 40 31 = 9
Inserindo o valor da diferena dos juros que j obtivemos anteriormente,
temos:
9 = 450 = 50
Voltando ao valor da primeira prestao, temos:
1 = + 1 3000 = + 40 3000 = + 40 50 = 1000
A ltima prestao ser dada por:
40 = + 40 = + = 1000 + 50 = 1050
A alternativa C a resposta correta.
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18. Considere a tabela abaixo, com taxa de 4% ao perodo. Use somente duas
casas decimais em seus clculos.
Nessa tabela, tem-se que o fator de acumulao de capital para pagamento
nico dado por , o fator de valor atual de uma srie de pagamentos
dado por e o fator de acumulao de capital de uma srie de
pagamentos dado por
Um empresrio tomou em um banco um emprstimo no valor de R$ 94.550,00,
a ser pago em 36 meses. Ser utilizado o Sistema Francs de Amortizao,
taxa de 4% ao ms, com parcelas mensais e consecutivas, a primeira vencendo
um ms aps a data do contrato. Sobre a terceira prestao desse emprstimo,
verdade que
(A) ao ser paga, ela deixa um saldo devedor de R$ 93.500,00.
(B) seu valor de R$ 5.200,00.
(C) sua cota de amortizao R$ 1.266,22.
(D) sua parcela de juros R$ 3.682,61.
(E) ela difere de R$ 100,00 da segunda prestao.
Resoluo:
Como vimos em nosso curso, a prestao de um fluxo de caixa uniforme
postecipado calculada pela frmula:
= [(1 + ) 1
(1 + ) ]
A tabela apresentada na questo mostra que, para 36 parcelas, o valor
do fator de valor atual (ou fator de valor presente) 18,91. Assim, temos o
valor de cada parcela:
= 18,91 =94550
18,91= 5000
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Sabemos que, no sistema Francs, as prestaes so fixas, ou seja, todas
elas sero de R$ 5.000,00. Precisamos, ento, montar a tabela at a 3
prestao:
k SDk-1 Jk Pk Ak SDk
1 94550 5000
2 5000
3 5000
Os juros so sempre calculados em funo do saldo devedor:
= 1
Assim, podemos calcular os juros do primeiro ms:
1 = 0,04 94550 = 3782
A prestao sempre ser a soma da amortizao e dos juros, ou seja,
ser dada pela frmula j estudada:
= +
Logo, a amortizao ser calculada por:
=
Assim, podemos calcular o valor da amortizao do primeiro ms:
1 = 1 = 5000 3782 = 1218
Por fim, o saldo devedor do ms atual ser o saldo do ms anterior,
menos a amortizao do ms atual:
= 1
1 = 94550 1218 = 93332
Podemos, ento preencher a primeira linha da tabela:
k SDk-1 Jk Pk Ak SDk
1 94550 3782 5000 1218 93332
2 93332 5000
3 5000
Repetindo esse mesmo raciocnio para a 2 e 3 prestaes, chegamos
seguinte tabela:
k SDk-1 Jk Pk Ak SDk
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1 94550 3782 5000 1218 93332
2 93332 3733,28 5000 1266,72 92065,28
3 92065,28 3682,61 5000 1317,39 90747,89
A alternativa D a resposta correta.
19. Na tabela abaixo, tm-se os fluxos de caixa de dois projetos, A e B.
Sabe-se que a taxa mnima de atratividade de 20% e os valores presentes
lquidos dos dois projetos so iguais. Nessas condies, o valor de E , em reais,
(A) 5.832,17
(B) 4.485,60
(C) 4.533,00
(D) 4.965,00
(E) 5.170,00
Resoluo:
Vamos comear calculando o VPL do projeto A:
= 8000 +4998
1,2+
6192
1,22= 8000 + 4165 + 4300 = 465
Agora, basta calcularmos o VPL do projeto B, lembrando que ambos so
iguais:
= 6000 +4020
1,2+
1,22= 465
6000 + 3350 +
1,22= 465
1,44= 3115 = 4485,6
A alternativa B a resposta correta.
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20. No fluxo de caixa abaixo, a taxa interna positiva de retorno de 20% ao
ano.
O valor de K
(A) R$ 5.000,00
(B) R$ 117,84
(C) R$ 260,00
(D) R$ 714,00
(E) R$ 3.896,00
Resoluo:
A taxa interna de retorno (TIR) a taxa de juros que torna nulo o
valor presente lquido (VPL) de um determinado fluxo de caixa.
Logo, basta calcularmos o VPL desse investimento, a uma taxa de 20%
a.a.:
= (5 + 1300) +3
1,2+
4 128
1,22= 0
Multiplicando tudo por 1,22=1,44, temos:
(5 + 1300) 1,44 + 3 1,2 + 4 128 = 0
7,2 1872 + 3,6 + 4 128 = 0
0,4 = 2000 = 5000
A alternativa A a resposta correta.