anÁlise numÉrica bidimensional de interaÇÃo fluido … · os problemas de interação...
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ISSN 1809-5860
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 43, p. 33-54, 2008
ANÁLISE NUMÉRICA BIDIMENSIONAL DE INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA Rodolfo André Kuche Sanches1 & Humberto Breves Coda2
R e s u m o
O presente trabalho apresenta o desenvolvimento de um código computacional baseado no Método dos Elementos Finitos (MEF), para análise da interação bidimensional fluido-estrutura. Desenvolve-se um código bidimensional para dinâmica de fluidos compressíveis, viscosos ou não, em formulação Lagrangeana – Euleriana Arbitrária, com base no algoritmo CBS – Characteristic Based Split. O código desenvolvido é acoplado a um código para análise dinâmica de estruturas de formulação Lagrangeana posicional e não linear geométrica, baseado no Método dos Elementos Finitos, conforme desenvolvido por MACIEL e CODA (2005). Exemplos são resolvidos para mostrar a validade e aplicabilidade da técnica. Palavras-chave: interação fluido estrutura; método dos elementos finitos; dinâmica dos fluidos computacional; não linearidade geométrica.
1 INTRODUÇÃO
Os problemas de interação fluido-estrutura estão presentes nas mais diversas áreas de engenharia, desde obras de engenharia civil, mecânica, aeronáutica, naval, e até de problemas de biomecânica, como exemplo, a circulação sanguínea.
Um problema muito comum de interação entre fluido e estrutura consiste na ação do vento sobre estruturas expostas à atmosfera. Para as obras civis mais comuns, costuma-se considerar o efeito do vento sobre a estrutura como um carregamento estático, porém as estruturas estão sujeitas a vibrações devido ao escoamento do fluido, que podem levar a estrutura à ruína, ANTUNES et. al (2005). Outra aproximação assumida no tratamento dos problemas envolvendo fluido e estrutura é o fato de que comumente se considera a estrutura rígida TEIXEIRA (2001).
Um dos exemplos mais clássicos de ruína estrutural devido à interação fluido estrutura é o caso da ponte de Tacoma Narrows, uma estrutura suspensa construída no Estados Unidos, em Puget Sound, Washington, na década de 1940, que entrou em ressonância em 1948, devido à não consideração, durante o projeto, do efeito dinâmico provocado pelo escoamento, ver GLÜCK et. al (2001) por exemplo.
1Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]
Rodolfo André Kuche Sanches & Humberto Breves Coda
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Desde então, tanto os estudos de aerodinâmica, aeroelasticidade e dinâmica dos sólidos obtiveram grandes avanços. Devido à complexidade e número elevado de operações de cálculo envolvidos em problemas destas áreas, o emprego de técnicas computacionais para a resolução dos mesmos tem sido bastante requisitado, de forma que, atualmente, as publicações nestas áreas concentram-se no desenvolvimento de ferramentas computacionais baseadas em métodos numéricos para análise da interação fluido-estrutura.
No presente trabalho explora-se duas áreas da mecânica: a mecânica dos sólidos e a mecânica dos fluidos. Ambas estão baseadas nos mesmos princípios (Leis de Newton), e os materiais aos quais seus estudos são dirigidos, possuem muitas coisas em comum: tanto no meio fluido como no meio sólido ocorrem tensões e deslocamentos. Porém também existem particularidades que separam estas duas áreas sendo a principal delas, o fato de que o fluido (Newtoniano) não resiste a nenhum valor de tensões desviadoras, de forma que as principais variáveis do fluido são velocidades e tensões, tornando ideal o emprego de uma formulação Euleriana, enquanto as principais variáveis do sólido são tensões e deslocamentos, fazendo da formulação Lagrangena a ideal.
Em casos onde é possível descrever o fluido na forma Lagrangeana (compressão e descompressão de gases por exemplo), pode-se facilmente acoplar fluido e estrutura de forma monolítica, onde ambos são integrados simultaneamente no tempo. Já para os demais casos, o esquema de acoplamento particionado, onde fluido e estrutura são integrados independentemente, torna-se mais adequado.
Deve ser levado em conta no momento de se propor um acoplamento particionado, o fato de os dois meios estarem descritos de forma diferente, o que é feito aqui através da aplicação de uma descrição Lagrangeana – Euleriana Arbitrária (ALE).
2 MODELO NUMÉRICO
2.1 Dinâmica dos fluidos
O algoritmo utilizado foi o CBS – Characterístic based split, o qual foi primeiramente apresentado por ZIENKIEWICZ E CODINA (1994), e desde então vários autores já aplicaram o mesmo pra resolver problemas de dinâmica dos fluidos.
Sejam as Equações Governantes da Mecânica dos Fluidos (Navier-Stokes), na formulação Euleriana, descritas em notação indicial, onde os índices i, j e k correspondem ao eixo x, y ou z, conforme as equações (1) a (3): Conservação da massa:
( )i
i
ut x
ρρ ∂∂= −
∂ ∂ (1)
Conservação da Quantidade de Movimento:
( )( ) j i ijii
j j j
u uu p gt x x x
ρ τρ ρ∂ ∂∂ ∂
= − + − +∂ ∂ ∂ ∂ (2)
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Conservação da Energia:
( )( ) ( ) ( )j j ij jj i i j
E Tu E k u p ut x x x xj xρ ρ τ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3)
onde ρ é a massa específica, iu é a velocidade na direção do eixo ix , t é o tempo,
ijτ é a tensão desviadora, p é a pressão, ig é a constante das forças de campo na
direção i, E é a energia específica total, k é a condutividade térmica e T é a temperatura do fluido.
Se uma partícula se propaga com uma determinada característica, com determinada velocidade constante u, que é idêntica à velocidade de convecção para problemas escalares conforme a Figura 1, aplicando-se à mesma o método característico de Galerkin (NITHIARASU et al. (2000)), chega-se à equação (4).
Figura 1 - Linhas características.
2 2 2 331
2 3
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )2 6
n nn n n
y y t t uu y u y u y O tt x x x
φ φ φ φ φ+ − ∂ Δ ∂ Δ ∂= − + − + Δ
Δ ∂ ∂ ∂ (4)
Deve notar-se que para uma convecção linear a velocidade média u é constante e não é necessário mais aproximações, porém para convecção não linear, mais aproximações são necessárias. A eq. (4) é uma forma não conservativa da convecção, sendo diretamente aplicável a problemas incompressíveis ou sem aproximações de divergência, com velocidade constante (Nithiarasu et. al, (2000)).
Para se obter a forma conservativa da equação de convecção com propagação
não linear (eq. (6)), NITHIARASU ET AL., (2000) usa a aproximação para ( )u xφ apresentada na eq. (5).
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2 2
2
3 3
3
( )( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) )2
( ) ( ( ))6
n n n n
n
y xu x u y y x u y u yx x
y x u yx
φ φ φ φ
φ
∂ − ∂= − − +
∂ ∂− ∂
−∂ (5)
)(
))((6
))((2
))(()()(
3
2
22
21
tO
yuxx
utyuxx
utyuxt
yy
nnn
nn
Δ+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂
∂∂Δ
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂
∂∂Δ
+∂∂
−=Δ−+ φφφφφ
(6)
O algoritmo CBS é obtido primeiramente retirando-se os termos referentes à pressão da equação (1), substituindo iuρ por *iU e expandindo com base em (6), através do método das características de Galerkin, chegando-se a equação(7):
* ( ) ( )2
iji j i i k j i i
j j k j
tU t u u g u u u gx x x x
τρ ρ ρ ρ
⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ Δ ∂ ∂Δ = Δ − + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
. (7)
Na equação (7), todos os termos do lado direito são conhecidos no tempo n , de
forma que *iU pode ser expresso da seguinte forma:
( )* * ( )i i iU U u t nρΔ = − = (8)
Como no cálculo de *iUΔ não se considerou os efeitos da pressão, para se calcular a variação da quantidade de movimento no passo de tempo tΔ , deve-se fazer uma correção, restituindo-se tal influência. Assim, das equações (2) e (8), pode-se
corrigir *iUΔ de modo a obter-se a variação da quantidade de movimento no intervalo tΔ (equação (9)).
2
*2i i k
i k i
p t pu U t ux x x
ρ⎛ ⎞∂ Δ ∂ ∂
Δ = Δ −Δ + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (9)
Fazendo-se uma aproximação das derivadas da pressão em relação às direções
ix , de tal forma que sejam tratadas como uma quantidade conhecida avaliada no
tempo 2nt t tθ= + Δ obtém-se a eq. (10), com a eq. (11) sendo válida, observando-se
que o parâmetros 2θ .pode variar de 0 a 1, tornado o algoritmo explícito no tempo
quando 2θ for nulo, ou semi-implícito, ou semi-implícito caso contrário.
2 2
*2
n
i i ki k i
p t pu U t ux x x
θ
ρ+ ⎛ ⎞∂ Δ ∂ ∂
Δ = Δ −Δ + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (10)
2 2
2 2(1 )n n n
i i i
p p px x x
θ θ
θ θ+ +∂ ∂ ∂
= + −∂ ∂ ∂
(11)
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Ou ainda, em função da variação da pressão pΔ , avaliada no intervalo tΔ , entre
nt e 1nt + tem-se a eq. (12).
2
2
n n
i i i
p p px x x
θ
θ+∂ ∂ ∂Δ
= +∂ ∂ ∂
(12)
Utilizando-se a equação da conservação da massa (1), pode-se escrever a aproximação:
( ) ( ) ( )( )1 1( )i n i ii
t u t t t t u uxi xi x
ρ ρ θ ρ θ ρ⎡ ⎤∂ ∂ ∂
Δ = −Δ = + Δ = −Δ + Δ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ (13)
onde 1θ tem o mesmo significado descrito para 2θ .
Aproximando-se 1( )i nu t t tρ θ= + Δ pela soma de *iUΔ , dado pela equação (7)
com iuρ e negligenciando os termos de ordem superior da série de Taylor em *iU , chega-se à equação (14):
( ) ( )2 2
1 1 22 2*i ii i i
p pt u U txi x x x
ρ ρ θ θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ Δ
Δ = −Δ + Δ −Δ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ (14)
Assim, de (7) obtém-se *iUΔ , da equação (14) obtém-se ρΔ , e através das
equações (10) e (12) encontra-se ( )iuρΔ , faltando resolver a equação da conservação da energia (eq.(3)), que pelo mesmo processo pode ser discretizada no tempo conforme a eq.(15).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂Δ
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
−Δ=Δ
iijiji
iiii
iik
k
iijiji
iiii
ii
ugux
puxx
Tkx
Euxx
ut
ugux
puxx
Tkx
Eux
tE
ρτρ
ρτρρ
)()()()(2
)()()()()(
2 (15)
2.1.1 Obtenção das formas variacionais e solução via MEF
As variáveis são aproximadas pelas funções de forma φ , conforme as eq. (16)-(20):
( )iiu uρ φ ρ= (16)
iiu uφ= (17)
**iiU UφΔ = (18)
ρ φρΔ = (19)
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p pφΔ = (20)
onde:
{ }1 2 ... nφ φ φ φ= (21)
Usando o método de resíduos ponderados segundo o processo de Galerkin na equação (7), tem-se a equação (22):
* ( ) ( )2
iji j i i k j i i
j j k j
tU d t u u g u u u g dx x x x
τφ φ ρ ρ ρ ρ
⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ Δ ∂ ∂Δ Ω = Δ − + + + − Ω⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ .(22)
Integrando-se o segundo e o quarto termo do lado direito da igualdade por partes e aplicando o teorema do divergente, aparecem termos a serem integrados no contorno, porém, a parcela do quarto termo é desconsiderada devido ao produto entre os vetores normais e as velocidades serem nulos, conforme a equação (23):
2
* ( )
( ) ( )2
i j i ij ij j
kj i i ij j
k j
U d t u u d d g dx x
ut u u g d t n dx x
φφ φ ρ τ φρ
φ ρ ρ φτ
Ω Ω Ω Ω
Ω Γ
⎡ ⎤∂ ∂Δ Ω = Δ − Ω− Ω+ Ω⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞∂Δ ∂
+ − + Ω+ Δ Γ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ (23)
Com base nas equações (16)-(21), e, admitindo-se que a lei da viscosidade de Newton acrescida da hipótese de Stokes (25) seja válida, pode-se escrever matricialmente a equação (23):
1 21 2* ( ) ( ( ) )i i u i u i i i siM U t C u K u K u f t K u fτ τρ ρ⎡ ⎤Δ = Δ − − − + + Δ +⎣ ⎦ (24)
23
ji kij ij
j i k
uu ux x x
τ μ δ⎛ ⎞∂∂ ∂
= + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (25)
onde as matrizes de massa M, a matriz de convecção C, e as demais matrizes e vetores são descritos nas equações (26)-(34), e as barras superiores indicam valores nodais.
TM dφ φΩ
= Ω∫ (26)
( )Tj
j
C u dx
φ φΩ
∂= Ω
∂∫ (27)
1 11 1 2 2
43
T T
u xK dx x x xτφ φ φ φμ μ
Ω
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ (28)
2 11 2 2 1
23
T T
u xK dx x x xτφ φ φ φμ μ
Ω
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − + Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ (29)
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1 22 1 1 2
23
T T
u xK dx x x xτφ φ φ φμ μ
Ω
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − + Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ (30)
2 22 2 1 1
43
T T
u xK dx x x xτφ φ φ φμ μ
Ω
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ (31)
T Ti i ij jf g d n dφ ρ φ τ
Ω Γ
= Ω + Γ∫ ∫ (32)
1 ( ) ( )2
Tk j
k j
K u u dx x
φ φΩ
∂ ∂= − Ω
∂ ∂∫ (33)
1 ( )2
Tsi k i
k
f u g dx
φ ρΩ
∂= Ω
∂∫ (34)
Aplicando-se o mesmo método para a equação (14), tem-se:
∫
∫∫∫
Ω
ΩΩΩ
Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂Δ∂
+∂∂
Δ+
ΩΔ∂∂
Δ−Ω∂∂
Δ−=ΩΔ
dx
px
pt
dUx
tdux
td
ii
ii
ii
2
2
22
2
12
1 )*()(
θφθ
φθρφρφ
(35)
Integrando-se os termos à direita da igualdade de (35) por partes e aplicando-se o teorema do divergente, chega-se à equação (36):
∫
∫∫
Γ
ΩΩ
Γ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Δ∂
+∂∂
Δ−Δ+Δ−
Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Δ∂
+∂∂
Δ−Δ+∂∂
Δ−=ΩΔ
dnxp
xptUut
dxp
xptUu
xtd
iii
ii
iiii
i
211
211
*
*
θθθρφ
θθθρφρφ
, (36)
que é escrita matricialmente conforme a equação (37), com as novas matrizes e vetores descritos nas equações (38)-(40).
( )piii fpHtUuGtpHtM −Δ−Δ+Δ=ΔΔ+Δ 11212 )*( θθρθθρ (37)
T
ii
G dxφ φ
Ω
∂= Ω
∂∫ (38)
T
i i
H dx xφ φ φ
Ω
∂ ∂= Ω
∂ ∂∫ (39)
( ) 1 1*p i i ii
pf t u U t n dx
φ ρ θ θΓ
⎛ ⎞⎛ ⎞∂= Δ + Δ −Δ Γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ (40)
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40
Repetindo-se a aplicação do processo de Galerkin, agora para a equação (10), tem-se como resultado:
2 2
*2
n
i i ki k i
p t pu d U d t d u dx x x
θ
φ ρ φ φ φ+
Ω Ω Ω Ω
⎛ ⎞∂ Δ ∂ ∂Δ Ω = Δ Ω−Δ Ω+ Ω⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ (41)
Integrando-se o último termo por partes, aplicando o teorema do divergente, lembrando-se que e desprezando-se a integral sobre o contorno, e expandindo a
aproximação numérica 2n
i
px
θ+∂∂
, chega-se à equação (42),
2
2* ( )2i i k
i i k i
p p t pu d U d t d u dx x x x
φ ρ φ φ θ φΩ Ω Ω Ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂Δ Δ ∂ ∂Δ Ω = Δ Ω−Δ + Ω− Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ , (42)
cuja forma matricial é dada pelas equações (43) e (44).
2
2* ( )2
Ti i i i
tM u M U t G p p P pρ θ ΔΔ = Δ −Δ + Δ − (43)
onde:
( )Ti k
k i
P u dx x
φφΩ
⎛ ⎞∂ ∂= Ω⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ . (44)
Finalmente, seguindo o mesmo processo para a equação (15), chega-se à equação (45), cuja forma matricial é apresentada nas equações (46)-(49).
( )
( )
∫
∫
∫∫
Γ
Ω
ΩΩ
Γ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+Δ+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
∂∂
∂∂Δ
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−Ω+∂∂
Δ=Δ
dnxTkut
dpEux
ux
t
dxTku
xdpEu
xtE
ii
jij
ii
ii
ijij
ii
i
τφ
ρφ
τφρφρ
))((2
)()(
2
(45)
[ ]))(()( pEKtfuKTKpECtEM ueiEiT +Δ−++++Δ=Δ ρρρ τ (46)
Com as matrizes dadas por:
∫Ω
Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
= dx
kx
Kii
T
Tφφ
(47)
( )∫Ω
Ω∂∂
= dx
K jii
T
Ei φτφτ (48)
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∫Γ
Γ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+= dnxTkuf i
ijij
Te τφ (49)
2.1.2 Formulação lagrangeana euleriana arbitrária
Sendo o fluido modelado por uma formulação Euleriana e o sólido por uma formulação Lagrangeana (método particionado), surgem dificuldades para se analisar ambos simultaneamente. A solução para o acoplamento particionado entre o fluido e a estrutura é descrever o fluido através da formulação lagrangeana-euleriana arbitrária (ALE) (DONEA (1982), GLÜCK et al. (2001) e TEIXEIRA e AWRUCH (2005) ).
A formulação ALE é obtida introduzindo-se um domínio de referência com movimento arbitrário e independente dos pontos materiais, conforme a Figura 2 onde R, C(to) e C(t) são respectivamente os domínios de referencia e contínuo no tempo inicial to e final t. O domínio R será tomado como o domínio computacional, contendo a malha de pontos da formulação do MEF.
Figura 2 - Cinemática adotada na descrição ALE.
Uma partícula na formulação ALE, tal como na formulação lagrangeana, é definida nas suas coordenadas materiais na configuração inicial do contínuo, mas o processo de definição é indireto e feito sobre o vetor posição ξ que está ligado à variável a e à variável t, de acordo com a lei que rege o movimento do domínio de referência (DONEA et al. (1982)).
Seguindo este procedimento se escreve as equações ALE para conservação da massa, quantidade de movimento e energia, como segue:
ii
i
i
xw
xu
t ∂∂
=∂∂
+∂∂ ρρρ
(50)
j
iji
jj
ij
j
iji
xuwg
xp
xxuu
tu
∂∂
=−∂∂
+∂
∂−
∂
∂+
∂∂ )()()( ρρ
τρρ (51)
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42
ij
j
jij
j
j
iij
j
xEw
xu
xpu
xTk
xxEu
tE
∂∂
=∂
∂−
∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−∂
∂+
∂∂ )()()()()( ρτρρ
(52)
Observa-se que quando a velocidade da malha w for nula, a formulação é a Euleriana, e quando a velocidade w for igual à velocidade u a formulação é a Lagrangeana (DONEA et al. (1982)).
Para finalmente obter-se a formulação ALE do algoritmo apresentado, basta aplicar o método das linhas características de Galerkin aos termos do lado direito das equações (50), (51) e (52), e em seguida escreve-los matricialmente, agrupando-os corretamente às eq. (24), (34), e (45). Neste trabalho é utilizada somente a forma explícita das equações com 1θ igual a 1 e 2θ igual a zero, conforme as equações (53), (54) e (55) onde as barras superiores indicam valores nodais, com a matriz L descrita na equação (56).
[ ]i
siiiiuiuii
utL
fuKtfuKuKuCtUM
ρ
ρρ ττ
Δ+
+Δ++−−−Δ=Δ ))(()(* 21 21
(53)
[ ] ρρρ tLfptHUuGtM piii Δ+−Δ−Δ+Δ=Δ )*( (54)
[ ] EtLpEKtfuKTKpECtEM ueiEiT ρρρρ τ Δ++Δ−++++Δ=Δ ))(()( (55)
∫Ω
Ω∂∂
= dx
wLi
T
i φφ
(56)
Finalmente, às equações (53), (54), (43) e (55), nas quais toma-se a velocidade do escoamento e a massa específica como variáveis principais do problema, torna-se necessário a adição de relações das quais possam ser extraídas as demais variáveis. Essas relações são, as equações (55)-(57) que são obtidas do calcula da energia total, da equação de estado dos gases e da equação de Poison (ver por exemplo ZIENKIEWICZ e TAYLOR(2000)):
iip uuTcE21
+= (57)
vpv
pp ccRe
cc
comTcc −==−= γγ )1(2 (58)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= iiuuEp ρργ
21)1( (59)
Onde pc é o calor específico à pressão constante e vc é o calor específico a
volume constante.
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2.2 Equacionamento da estrutura
Utilizou-se o código desenvolvido por MACIEL e CODA (2005), o qual se baseia em uma formulação não linear geométrica desenvolvida por CODA (2003).
Para obter-se tal formulação, inicialmente, considera-se o princípio da mínima energia potencial para elasticidade conservativa, escrito em termos das posições (equação (60)):
QKU e ++Ρ−=Π (60)
onde Π é a energia potencial total, eU é a energia de deformação e P é a energia potencial das forças aplicadas, K , é referente à energia cinética e o outro termo Q , referente à dissipação por amortecimento.
Torna-se então necessário mapear a geometria do corpo em estudo e ter o conhecimento da relação entre esse mapeamento e as “deformações de engenharia” adotadas. MACIEL e CODA (2005) fazem o mapeamento empregando a cinemática de Reissner, da qual escreve-se as coordenadas de um ponto ( ),i i i
m m mp x y= conforme
as eq. (61) e (62):
i i im
hx ( , ) x ( ) sin ( )2
ξ η ξ η θ ξ= − (61)
i i im
hy ( , ) y ( ) cos ( )2
ξ η ξ η θ ξ= + . (62)
Os Gradientes do espaço adimensional para a configuração inicial quando i=I, ou deste espaço para a configuração deformada, quando i=II, conforme mostrados na figura 3, são obtidos derivando-se as equações (61) e (62), conforme (63):
i i
i ii 11 12
i i i i21 22
dx dxd dA A
AA A dy dy
d d
ξ η
ξ η
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
, (63)
Os estiramentos tλ e nλ podem ser calculados, seguindo as direções
adimensionais ξ e η com o uso dos vetores unitários TtM ]0,1[=
re T
nM ]1,0[=r
(ver Figura 3) como segue nas equações (64) e (65):
( ) ( )2212
1101
)( iiit
it AAAM +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
rλλ (64)
110
)( =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== i
nin AM
rλλ (65)
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Figura 3 - Versores e vetores nas 3 configurações.
nota-se que nas direções 2 e 3 não ocorre deformação nesta formulação, ou seja, 12 =λ e 13 =λ .
Os estiramentos λt e λn em relação à configuração inicial B0 conforme eq. (66) e (67), e as deformações não lineares “de engenharia” tε e nε , conforme GRECO e
CODA (2006), nas direções Tr
e Nr
, são descritas nas equações (68) e (69).
( ) ( )( ) ( )221
211
221
211
II
IIII
It
IIt
t
AA
AA
+
+==
λλ
λ (66)
1== In
IIn
n λλ
λ (67)
1−= tt λε (68)
01 =−= nn λε (69)
Finalmente, a energia específica de deformação para uma lei constitutiva linear simples, é escrita na equação (70), onde E é o modulo de elasticidade do material.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
221 2
2 tnte Eu
γε (70)
Integrando-se no volume de referência, obtém-se a energia de deformação:
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
0
0
22
221
V
tnte dVEU
γε , (71)
A Energia cinética é calculada conforme a equação (72):
∫=0V 0ii0 dvxx
21K &&ρ (72)
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onde ix& são as velocidades e 0ρ a densidade. O termo dissipativo Q , tem sua forma diferencial de acordo com a equação (73) (ver GRECO e CODA (2006)):
∫∫ =∂∂
=∂∂
0000),(),(
v imvii
dvxdvtxqp
xtQp
&λ (73)
onde q é o funcional dissipativo, mλ é uma constante de proporcionalidade e ip , que agora varia no tempo, é a posição.
Substituindo-se as equações (71), (72) e (73) na equação (60) e derivando-se a mesma em relação a uma posição nodal genérica sX , sendo iX a posição i, e aplicando o princípio do mínimo potencial de energia, desenvolve-se a técnica de solução (ver MACIEL e CODA (2005)).
2.3 Acoplamento entre fluido e estrutura
O esquema de acoplamento utilizado foi o esquema particionado, conforme já definido, e segue o procedimento descrito no fluxograma da Figura 4.
Figura 4 - Fluxograma do programa de interação fluido-estrutura.
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O critério principal para a deformação da malha é o de que a mesma tenha mínimas alterações na forma (ângulos) dos elementos na região da estrutura (onde em geral a discretização é bem mais detalhada), de forma que os pontos próximos à estrutura terão deslocamentos próximos aos da estrutura, e, a medida em que os pontos se afastam da estrutura, os deslocamentos diminuem. Para os pontos no contorno da estrutura o deslocamento será igual ao da estrutura, e para os pontos no contorno da discretização do problema, o deslocamento será nulo. Assim, o método utilizado é semelhante ao utilizado por TEIXEIRA (2001), e consiste na distribuição das velocidades k
iw dos pontos k da malha, na direção do eixo i=x ou y, variando de
acordo com a distância aos pontos no contorno da estrutura, onde kiw assume o valor
da velocidade do ponto comum à estrutura kiu , i a distância aos pontos do contorno
fixo, onde a velocidade kiw é nula, conforme a equação (74).
1
1 1
nej
kj ijk
i nfne
kj klj l
a uw
a b
=
= =
=+
∑
∑ ∑ (74)
onde ne é o número de nós da estrutura, nf é o número de nós no contorno fixo, kja
são os coeficientes de influência dos nós da estrutura no ponto k dados na equação (75), e klb são os coeficientes de influência dos nós do contorno fixo no ponto k conforme eq. (76).
1
1kj e
kj
ad
= (75)
2
1kl e
kl
bd
= (76)
onde kjd é a distância entre o nó k e o nó j e e1 e e2 são expoentes referentes à
influencia dos contornos móvel e fixo, arbitrados pelo operador do programa. A atualização das cargas sobre a estrutura no tempo t é feita fazendo a
componente de carga normal igual à força de superfície normal do fluido no contorno que é fronteira com a estrutura e a componente de carga tangencial igual à força de superfície tangencial no mesmo ponto, conforme (77) e (78), onde o índice i
representa o nó do domínio fluido comum à estrutura e xn e yn são os as componentes em x e em y do vetor normal no ponto i, para fora do domínio do fluido.
2i yy y y xx x x xy x y iqn n n n n p n nτ τ τ⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦ (77)
( ) ( )i yx y y x x yy xx y x iqt n n n n n nτ τ τ⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦ (78)
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3 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
Para o fluido utilizou-se elementos triangulares com 3 nós e funções aproximadoras lineares φi, onde i é o número do nó variando de 1 a 3, observando-se a partição da unidade.
Para que o presente algoritmo na forma explícita tenha estabilidade, o intervalo de tempo a ser utilizado para cada elemento, definido pelo problema de convecção difusão, é função do tamanho do elemento e da velocidade do escoamento e do som no fluido, conforme (79), (NITHIARASU et al., (2000), ZIENKIEWICZ e TAYLOR (2000)):
convht
V cΔ =
+, (79)
onde V é o módulo da velocidade no nó i, c é a velocidade do som, e h mede o tamanho relativo do elemento, sendo que para os problemas bidimensionais, é obtido da equação (80), onde Ladoi é o comprimento do lado oposto ao ponto i.:
min(2* / )elemento ih Área Lado= (80)
Conforme desenvolvido por MACIEL e CODA (2005), o código para mecânica das estruturas permite ao operador escolher o número de nós de cada elemento finito, sendo o grau das funções de forma Φ igual ao número de nós do elemento menos 1 (nnos-1). As funções de forma e suas derivadas são calculadas automaticamente pelas formulas gerais dos polinômios de Lagrange.
4 APLICAÇÕES
4.1 Escoamento sobre arco flexível Neste exemplo de aplicação, tomou-se um arco de 180º e raio de 20 m de
material com módulo de elasticidade longitudinal E=210 GPa e coeficiente de Poisson nulo. Testaram-se duas seções transversais diferentes, a primeira com espessura de 1 cm e largura de 1 m, e a segunda com espessura de 5 cm e largura de 1 m. O escoamento não perturbado apresenta:
Velocidade do som: c=345 m/s
Velocidade do escoamento não perturbado nas direções x e y:
28,0)10/(30 yu =∞ m/s,
0=∞v m/s
Massa Específica: =ρ 1,21 Kg/m³
Calor específico a pressão constante: =pc 1005,2 J/(kg.K)
Calor específico a volume constante: =vc 718 J/(kg.K)
Viscosidade dinâmica =μ 0.0000179 Pa.s
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Condutividade térmica nula.
No instante inicial consideram-se as propriedades acima para todo o domínio de fluido, então se impõe a condição de contorno na estrutura. Na entrada prescreveu-se as velocidades, na saída prescreveu-se a pressão e a velocidade vertical e internamente ao arco, impôs-se uma pressão constante igual a 100281 Pa (fluxo não perturbado).
A malha para o domínio do fluido (ver Figura 5) possui 1272 nós e 2392 elementos. A estrutura foi discretizada com 31 nós e 10 elementos de aproximação cúbica. Para a estrutura foi de 0,01 s, com um ciclo de 100 passos de 0,0001 s para o fluido.
Figura 5 - Malha para o arco.
Nos gráficos da figuras 7 (a) e (b), apresenta-se respectivamente o deslocamento horizontal do nó destacado na figura 6 com o passar do tempo para o arco com espessura de 1 cm e para o com espessura 5 cm.
Figura 6 - Nó usado para gerar os gráficos.
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00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
5
0 2 4 6 8 10
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
hor
izon
tal (
m)
(a) e=1 cm
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 2 4 6 8 10
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
hor
izon
tal (
m)
(b)e=5 cm
Figura 7 - Deslocamento horizontal vs. tempo para o nó de referencia.
Na Figura 8 (a-c) é mostrado a distribuição de pressão sobre o arco de espessura 1 cm deformado nos instantes 0,5 s, 1 s e 2 s, enquanto na Figura 9 (a-c), é mostrado a distribuição de pressão sobre o arco de espessura 5 cm deformado nos instantes 0,35 s, 0,95 s e 1,87 s.
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(a) t=0,5 s
(b) t=1,0 s
(c) t=2,0 s
Figura 8 - Pressão (Pa) sobre o arco de espessura de 1 cm.
(a) t=0,35 s (b) t=0,95 s
(c) t=1,87 s
Figura 9 - Distribuição de pressão sobre o arco de 5 cm de espessura.
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Nas figuras 10 a e b, apresenta-se a distribuição de tensões normais xxσ , sendo x o eixo longitudinal da estrutura, nas faces externas do arco de 1 cm de espessura no instante t=0,5 s e do arco de 5 cm de espessura, no instante t=0,95 s.
(a) (b)
Figura 10 - Tensões (Pa) no arco (a) de 1 cm de espessura em t=0,5 s e (b) de 5 cm de espessura e t=0,95 s.
4.2 Escoamento sobre arco com estrutura interna
Tomando-se o arco de espessura e=1 cm do item 11.3, criou-se uma estrutura interna ao mesmo, toda composta por barras rotuladas nos nós e com as mesmas propriedades do arco, conforme a Figura 11.
Figura 11 - Arco treliçado.
Utilizando-se a mesma malha para o fluido, as mesmas propriedades e condições de contorno, e o mesmo nó de referência do item 11.3, foi possível gerar o gráfico da figura 12, onde nota-se o elevado aumento de rigidez em relação ao mesmo arco sem a estrutura interna. As distribuições de pressão mostradas na Figura 13 (a-c) foram obtidas para os instantes t=0,05 s, t=0,12 s e t=1,8 s.
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0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo (s)
Des
loca
men
to h
oriz
onta
l (m
)
Figura 12 - Deslocamento horizontal vs. tempo para o arco treliçado.
(a)t=0,05 s
(b)t=0,12 s
(c)t=1,8 s
Figura 13 - Distribuição de pressão (Pa) sobre o arco treliçado.
Na figura 14 apresenta-se a distribuição dos esforços normais no arco, no instante t=1 s.
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Figura 14 - Esforços normais (N).
Nota-se que estruturando-se o arco internamente foi possível cria uma estrutura com menores deslocamentos e mais leve do que aumentando de 5 vezes a espessura da estrutura do primeiro exemplo.
5 CONCLUSÃO
Neste trabalho, utiliza-se com sucesso o algoritmo CBS (Characteristic Based Split) em sua versão explícita, em uma formulação Lagrangeana – Euleriana Arbitrária acoplado ao algoritmo para mecânica das estruturas desenvolvido por MACIEL e CODA (2005) de forma a produzir um algoritmo particionado para análise de interação fluido – estrutura, e exemplos de aplicações foram apresentados de forma a demonstrar o funcionamento do mesmo.
Muitas são as dificuldades para elaboração de algoritmos que simulem problemas de interação fluido estrutura. Dentre estas dificuldades destacam-se, por exemplo, a formulação e características diferentes para os dois materiais, a dificuldade em se encontrar as condições de contorno adequadas a cada problema e a qualidade do equipamento utilizado, uma vez que à medida que os problemas a serem simulados vão se tornando mais ricos em detalhes, faz-se necessário uma discretização bem mais refinada, elevando bastante o tempo de processamento.
Os seguintes 6 tópicos são levantados como importantes para futuros estudos que podem ser desenvolvidos sobre o presente trabalho: 1) Melhoria do desempenho do algoritmo e da sua interação com o usuário, incluindo processamento paralelo, 2) Estudo aprofundado sobre instabilidade e amortecimento numérico que possam ocorrer no algoritmo, 3) Implementação de modelos de turbulência, 4) Implementação de elementos finitos iso-paramétricos de maior ordem para o fluido, 5) Implementação de algum modelo de adaptação de malha para o domínio do fluido e 6) Expansão para uma análise tridimensional.
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