análise numérica da transição à turbulência em jatos circulares livres universidade federal de...

Análise Numérica da Transição à Turbulência em

Jatos Circulares Livres

Universidade Federal de Uberlândia

Pós Graduação em Engenharia Mecânica

Faculdade de Engenharia Mecânica

Ana Marta de Souza

Orientador: Aristeu da Silveira Neto

Co-orientador: Francisco José de Souza

Introdução• Jatos cisalhantes livres

• Transição à Turbulência

• Importância dos escoamento do tipo jato:– Aplicações industriais;

– Sistemas de propulsão de aviões e aeronaves;

– Sistemas de geração de ruídos.

• A compreensão da dinâmica do escoamento permite:– Controle ativo ou passivo do jato;

– Análises importantes para escoamentos complexos;

– Refinamento de teorias e modelos existentes para descrição dos escoamentos turbulentos.

• Métodos Experimentais X Métodos Teóricos

• Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD):

-Simulação Numérica Direta (SND)

-Simulação de Grandes Escalas (SGE)

OBJETIVOS

• Analisar fisicamente os escoamentos de jatos circulares livres através de simulações numéricas tridimensionais, incluindo:– análises da influência de diferentes tipos de perturbação

sobre a formação e evolução das estruturas turbilhonares;

– avaliação da importância do refinamento da malha e precisão do esquema numérico utilizado;

– prática e uso de experimentação numérica, com amostragem de informações e tratamento estatístico adequado.

• Foram utilizados 2 códigos computacionais, previamente desenvolvidos:

- LAYER2 (Chernousov, 2001),

- CIL3D (Souza, 2003).

• Foi desenvolvido o código SPECTRAL.

MODELO MATEMÁTICO E METODOLOGIA

• Modelagem Matemática

onde,

0,jj

ut x

,ij i ij

j i j

u pu u

t x x x

,j j j i ijj j j

Eu E pu q u

t x x x

2

3ji k

ij ef ijj i k

uu u

x x x

j efj

Tq

x

- Os coeficientes de transporte escalar efetivos são representados simplesmente como:

onde Prt é assumido ser constante 0,8 e é modelado Smagorinsky:

ef mol sgs ,Pr Pr

mol p sgs pef mol sgs

mol t

c c

2 22 2 ij ijt sC S S

t

• Os cálculos avançam no tempo através de um esquema de Runge-Kutta;

• Os fluxos viscosos são calculados a partir de diferenças finitas centradas de 2a ordem no espaço;

• Os fluxos convectivos são calculados usando uma aproximação parabólica “piecewise” uniforme e o solver de Riemann baseado em características linearizadas.

• O solver de Riemann tem se mostrado extremamente rápido, sendo essencialmente não-iterativo e não requerendo multiplicação de vetor/matriz.

• Foi simulado um jato circular livre tridimensional. O domínio de cálculo foi definido em função das dimensões L e H.

Figura 3: Representação bidimensional do Domínio de Cálculo

• Condições de Contorno para a entrada

Uma perturbação aleatória do tipo “ruído branco”:

sendo = a*Ua e = a*Va, onde a é um número entre 0 e 1 aletoriamente gerado e Ua=Va=0,1W.

2 2( , , 0) / 2w x y z W para x y D

2 2( , , 0) 0,0 / 2w x y z para x y D

2 2( , , 0) / 2v x y z V para x y D

2 2( , , 0) / 2u x y z U para x y D

VU

• Condições de Contorno para a saída

( , , )0,0

u x y z L

z

( , , )0,0

w x y z L

z

( , , )0,0

v x y z L

z

( , , )0,0

p x y z L

z

SIMULAÇÕES COM O CÓDIGO LAYER2:

• 1LAYER2:– Dimensões do domínio: L= 16D e H= 10D – Re = 25000;– Ma 0,3;– Malha cartesiana, tridimensional, não-uniforme,

com 900.000 células; t= 0,0004 s;– C = 0,1.

RESULTADOS DA SIMULAÇÃO 1LAYER2

Visualização das Estruturas do Escoamento• Isosuperfícies de velocidade axial

Figura 4. Isosuperfícies da componente axial u da velocidade: (a) u= 98m/s; (b) u= 99 m/s

• Isosuperfícies de velocidade axial

• Visualização Bidimensional da Vorticidade

• Isosuperfícies do Módulo de Vorticidade

Figura 5. Isosuperfícies do módulo de vorticidade: (a) W=500 s-1; (b) W=1000 s-1.

• Isosuperfícies do Módulo de Vorticidade

AMOSTRAGEM DE INFORMAÇÕES SIMULAÇÃO 1LAYER2

• Variações temporais da flutuação de velocidade axial w’ em diferentes posições do domínio:

10 15 20 25 30

-40

-20

0

20

40

tempo (s)

u’ (m/s)

10 15 20 25 30

-40

-20

0

20

40

tempo (s)

u’ (m/s)

10 15 20 25 30

-40

-20

0

20

40

tempo (s)

u’ (m/s)

10 15 20 25 30

-40

-20

0

20

40

tempo (s)

u’ (m/s)

(a) (b)

(c) (d)

TRATAMENTO ESTATÍSTICO

• Espectro de Potência

• Comparação entre resultados numéricos e dados experimentais: Velocidade axial média

• Raiz da média quadrática (r.m.s ) da flutuação de velocidade axial

• Comparação entre o perfil de velocidade média axial resultante da simulação e o experimental

SIMULAÇÕES COM O CÓDIGO LAYER2

2LAYER2, 3LAYER2 e 4LAYER2:

– Dimensões do domínio: L= 30D e H= 15D – Re = 100000;– Ma 0,3;– Malhas cartesianas, tridimensionais, não-

uniformes, com 112000 (2LAYER2), 490000 (3LAYER2) e 2050000 (4LAYER2) células;

t= 0,0007 s;– C = 0,1.

Visualização do Módulo de vorticidade no plano yz (x=0)

z

y

z

y

z

y

(a) 2LAYER2 (a) 3LAYER2

(a) 4LAYER2

CÓDIGO CIL3D

• Equações na forma incompressível e isotérmica:

• Algoritmo de passo fracionário, o qual utiliza o esquema de Adams-Bashforth de 2a ordem para os termos advectivo e difusivo;

0j

j

u

x

1 ji ii

i j j i

uu upH

t x x x x

• Solução da equação de Poisson é obtida via FFT .

• Os termos advectivos e difusivos são discretizados via diferenças finitas centradas de 2a ordem.

• Malha em coordenadas cilíndricas.

• Condições de Contorno

a) Condições de contorno para a entrada:

b) Condições de contorno para a saída:

( , , 0) 0u r z 0)0,,( zrv

1 1( , , 0) 1 tanh

2 4

R r Rw r z

R r

0)0,,(

zrz

p

0,0),,(

z

Lzru 0,0

),,(

z

Lzrv

0,0),,(

z

Lzrw 0),,( Lzrp

SIMULAÇÕES UTILIZANDO O CÓDIGO CIL3D:

1CIL3D E 2CIL3D

- malha de 340.000 pontos (100x34x100);

- passo de tempo 0,001s.

- 1CIL3D: domínio de dimensões L=16D e R=5,5D e número de Reynolds 1600.

- 2CIL3D: domínio de dimensões L= 24D e R=5,5D e número de Reynolds 11000 .

RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES

• Campos de velocidade do escoamento para a simulação 1CIL3D (Re=1600).

(a) t = 40,0 s. (b) t = 100,0 s.

- Campos de Vorticidade para a simulação 1CIL3D (Re=1600).

(a) t = 40,0 s. (b) t = 100,0 s.

Campos de Velocidade para a simulação 2CIL3D (Re=11000).

(a) t = 11,0 s. (b) t = 40,0 s.

-Campos de Vorticidade para a simulação 2CIL3D (Re=11000).

(a) t = 11,0 s. (b) t = 40,0 s.

• Tratamento Estatístico: Simulações 1CIL3D e 2CIL3D

-Perfis de velocidade axial média

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1 z = 8 Dz = 11.2 Dz = 12.8 Dz = 14.4 DHussein et al. (1994)

0 0.1 0.2 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1 x = 12 Dx = 16.8 Dx = 19.2 Dx = 21.6 DHussein et al. (1994)

Frame 001 24 Feb 2005

máx

w

Wmáx

w

W

r /z-z0 r /z-z0

(c) 2CIL3D(a) 1CIL3D

• Estruturas típicas do escoamento não foram capturadas;

• Não houve boa concordância entre resultados simulados e dados experimentais para os tensores de Reynolds.

- Estruturas de vórtices instantâneas obtidas por Glaze e Frankel (2003).

- Comparação da Velocidade e Intensidade turbulenta (Glaze e Frankel, 2003).

• Trabalhos recentes que apresentam boa concordância entre resultados simulados e dados experimentais utilizam esquemas de alta ordem (Uzun, 2003 e Freund, 2001).

• Diante deste contexto, decidiu-se utilizar um método pseudo-espectral para atingir os objetivos propostos.

CÓDIGO SPECTRAL:

MÉTODO PSEUDO-SPECTRAL

• Equações de Navier-Stokes no espaço espectral:

2 2 2ˆ ˆ ˆu x y z

uH k k k u

t

2 2 2ˆ ˆ ˆv x y z

vH k k k v

t

2 2 2ˆ ˆ ˆu x y z

wH k k k w

t

• Tratamento do termo não-linear:

- Forma “skew”-simétrica:

-Alternância entre:

Forma advectiva:

Forma divergente:

uu

u u

( )uu

uuuu

2

1

2

1

• Evolução temporal

Os dois passos de tempo iniciais são obtidos pelo esquema de Runge Kutta de 3a ordem (RK3):

O avanço temporal segue o esquema de Adams Bashforth de 3a ordem (AB3):

22

11

1 ,5,16,2312

nn

nn

nn

nn tftftft

111 ,,

nnin

ninn tftft

i i

i i

VALIDAÇÃO DO CÓDIGO SPECTRAL

• Equação de Burgers

Solução (Whitiam, 1974) é:

sendo:

com a constante c= 8.

2

2

x

uv

x

uu

t

u

1,

1,2,

tctx

tctxxtxu

n

tnxetx 4/))12(( 2

),(

- Foram realizadas simulações do instante t=0 até t =/8 s, utilizando um passo de tempo de /12800 s e malhas de 16, 32, 64 e 128 nós.

- Comparação gráfica dos resultados simulados e analítico

- Erros Máximos para Equação Periódica de Burgers.

N Código SPECTRAL Solução Método Espectral

(Canuto, 1986)16 1,29 x 10-1 2,1 x 10-1

32 9,74 x 10-3 2,5 x 10-2

64 3,26 x 10-5 3,6 x 10-4

128 1,99 x 10-9 6,1 x10-8

• Vórtices de Green Taylor

- Em um domínio retangular Lx x Ly com condições

periódicas nos contornos e partindo das condições iniciais:

a solução analítica das equações incompressíveis de Navier-Stokes é dada por:

yx L

y

L

xUyxu

2cos

2sen0,,

yx L

y

L

xUyxv

2cos

2sen0,,

t

LL

yx

yxeL

y

L

xUtyxu

2

224

11

2cos

2sen,,

t

LL

yx

yxeL

y

L

xUtyxv

2

224

11

2sen

2cos,,

- Foram utilizadas malhas com 82, 162, 322, 642 e 1282

pontos;

- O passo de tempo foi de 0,0005 s;

- O número de Reynolds foi igual a 1000.

- Campo de velocidade e linhas de corrente resultantes da simulação dos Vórtices de Green-Taylor

- Os erros foram da ordem de 10-15.

ANÁLISE DO JATO CIRCULAR TRIDIMENSIONAL EM DECAIMENTO TEMPORAL

• Condições de contorno periódicas;

• As simulações foram conduzidas com em um domínio cúbico.

x

z y

8R

8R

8R

W

2R

• Perfil inicial da componente axial de velocidade

sendo e =2,5/16 m.

0

1

1( , , ) 1 tanh

2 2

0

r R

r Rw r z R r R

r R

2 2r x y

2 2r x y

R

r (m)

W0 (m/s)

RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES

CASO 1: JATO NATURAL

• Perturbação randômica tipo “ruído branco”:

sendo a um número aleatoriamente gerado entre 0 e 1.

• A simulação foi realizada utilizando precisão simples, uma malha 1203 pontos, número de Reynolds 1600 e um passo de tempo de 0,0025 s .

0

0,5( , , ) ( , , )

100,0

aw x y z w x y z

• Visualização das estruturas do escoamentoEvolução Temporal de Isosuperficies pelo critério Q

Evolução Temporal de Isosuperficies pelo critério Q

Esquema do arranjo de anéis de vórtice conduzindo à ocorrência de emparelhamento alternado. (Silva e Métais, 2002).

Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)

Módulo de vorticidade no plano xy (z=0)

• Espectro de Energia

Log

Log k

• Resultados do Tratamento Estatístico

Tempo (s) Tempo (s)

1/ w2b

3/ 2w

3b

• Comparação Qualitativa com Dados Experimentais

(a) (b)

Visualizações da vorticidade no jato natural: (a) Isosuperfície de vorticidade=1,3s-1 (presente trabalho),(b) Visualização experimental via PIV (Sakakibara, 2004).

CASO 2: JATO FORÇADO 1

• Perturbação:

• Foi utilizado um número de Reynolds 1600 e um passo de tempo de 0,0025 s .

• Foram realizadas análises da influência do refinamento da malha e da precisão simples e dupla.

0,01 2 0,02 2 0,03 24,0 2,0 1,0r

z z zU sen sen sen

2

2,02

cos

r R

ru U e

2

2,02

sin

r R

rv U e

Evolução Temporal de Isosuperficies pelo critério Q

(a) Malha 643

(b) Malha 963

(b) Malha 1203

a) Análise da influência do refinamento da malha

• Módulo de vorticidade no plano xz (y=0)

• Módulo de vorticidade no plano xy (z=0)

• Espectros de Energia

(a) malha 643

Log k

Log k

Log k

Log k

Log

Log

Log

Log

(a) (b)

(c)

(b) malha 963

(c) malha 1203

b) Análise da influência da simples e dupla precisão

• Espectros de Energia

Log kLog k

Log Log

(a) precisão simples

(a) (b)

(b) precisão dupla

CASO 3: JATO FORÇADO 2

• Perturbação aleatória:

• Perturbação na componente radial de velocidade:

• Foram realizadas três simulações utilizando precisão simples, uma malha 1203 células, passo de tempo de 0,0025 s e três diferentes números de Reynolds 1600, 5000 e 10000.

• Foram realizadas análises da influência do refinamento da malha e da precisão utilizada no código.

2

22

0

0,5( , , ) ( , , )

100,0

r Ra

w x y z w x y z e

0,01 2 0,02 2 0,03 24,0 2,0 1,0r

z z zU sen sen sen

2

2,02

cos

r R

ru U e

2

2,02

sin

r R

rv U e

a) Jato simulado a número de Reynolds 1600• Evolução temporal de isosuperfícies pelo critério Q

• Evolução temporal de isosuperfícies pelo critério Q

• Módulo de vorticidade no plan xy (z=0)

b) Jato simulado a número de Reynolds 5000• Evolução temporal através de isosuperfícies pelo

critério Q

• Evolução temporal através de isosuperfícies pelo critério Q

c) Comparação entre as simulações realizadas a números de Reynolds 1600, 5000 e 10000


Log

Log

Log

Log

Log k

Log k

Log k

(a) Re=1600 (b) Re=5000

(c) Re=10000

CASO 4: JATO BIFURCADO

• Perturbação aleatória

• Perturbação na componente radial de velocidade:

• Foi realizada uma simulação com precisão simples, malha de 1203 células, passo de tempo de 0,0025s e número de Reynolds 1600.

• Foram realizadas análises da influência do refinamento da malha e da precisão utilizada no código.

2

22

0

0,5( , , ) ( , , )

100,0

r Ra

w x y z w x y z e

0,01 2 0,02 2 0,03 2 (cos )4,0 2,0 1,0r

z z zU sen sen sen signal

2

2,02

cos

r R

ru U e

2

2,02

sin

r R

rv U e

• Evolução temporal através de isosuperfícies pelo critério Q

• Módulo de vorticidade no plnao xy (z=0)


Log k

Log

COMPARAÇÃO ENTRE OS JATOS NATURAL E BIFURCADO

ANALOGIA ENTRE AS EVOLUÇÕES TEMPORAL E ESPACIAL

CONCLUSÕES

• Através das primeiras simulações (códigos LAYER2 e CIL3D) constatou-se que esquemas de 2a ordem não são suficientes para SGE de jatos livres.

• A análise temporal dos jatos livres através do método pseudo-espectral permitiu a comparação qualitativa com um jato experimental e a identificação das fases de evolução em jatos espaciais.

CONCLUSÕES

• Estruturas e fenômenos típicos do escoamento do jato foram evidenciadas e os espectros de energia demonstraram a proximidade da região inercial do jato à inclinação de -5/3 e a região de decaimento do jato.

• Comprovou-se a relevância da resolução da malha para obtenção de resultados satisfatórios.

• A possibilidade de controle do jato, de grande interesse prático, foi constatada.

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