UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL

ANLISE NUMRICA DE LAJES NERVURADAS POR MEIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

DISSERTAO DE MESTRADO

Christian Donin

Santa Maria, RS, Brasil 2007

ANLISE NUMRICA DE LAJES NERVURADAS POR MEIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

por

Christian Donin

Dissertao apresentada ao Curso de Mestrado do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil, rea de Concentrao em Construo Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obteno do grau de Mestre em Engenharia Civil

Orientador:Eduardo Rizzatti Co-orientador: Herbert Martins Gomes

Santa Maria, RS, Brasil 2007

___________________________________________________________________________ 2007 Todos os direitos autorais reservados a Christian Donin. A reproduo de partes ou do todo deste trabalho s poder ser feita com autorizao por escrito do autor. Endereo: Rua Floriano Peixoto, n.40, Bairro Ipiranga, Frederico Westphalen, RS, 98400-000 Fone (0xx)55 37441612; End. Eletr: cdonin@yahoo.com.br ___________________________________________________________________________

Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil

A Comisso Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertao de Mestrado

ANLISE NUMRICA DE LAJES NERVURADAS POR MEIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS elaborada por Christian Donin

como requisito parcial para obteno do grau de Mestre em Engenharia Civil COMISO EXAMINADORA:

Eduardo Rizzatti, Dr. (Presidente/Orientador)

Emil de Souza Snchez Filho, Dr. (UFF)

Herbert Martins Gomes, Dr. (UFRGS) (Co-orientador)

Santa Maria, 23 de maro de 2007.

Nec plus ultra

AGRADECIMENTOS

Agradeo acima de tudo minha Me Elecy, minha Irm Vivian e meu Sobrinho e afiliado Luiz Henrique, pela compreenso que tiveram nos momentos em que estive ausente, e principalmente pelo incentivo que me dedicaram durante toda minha vida. A vocs dedico minhas conquistas, pois foi pensando em vocs que sempre encontrei foras para enfrentar todas as dificuldades. Sou eternamente grato minha Me, pela sua dedicao na construo de minhas virtudes e meus princpios, e pelo esforo dedicado para que minha formao acadmica fosse possvel. Agradeo ainda, ao meu Pai que embora se encontre em outra dimenso, sempre serviu como modelo para minha vida. Agradeo ao meu amigo e orientador, Professor Eduardo Rizzatti, pelos sbios ensinamentos transmitidos e pelo incentivo, que muito contriburam na elaborao deste trabalho. Ao meu amigo e co-orientador, Professor Herbert Martins Gomes, que mesmo distante, muito contribuiu para a elaborao deste trabalho e acima de tudo para minha formao. Agradeo ao meu grande amigo e colega Clairson Dutra, pelo apoio e incentivo na elaborao desta dissertao, mas principalmente pelo conhecimento e pelas horas de discusso que podemos compartilhar, pois so estas discusses que nos fazem evoluir. A todos meus familiares e amigos, sou grato pelo carinho e pelo apoio que sempre me dedicaram. Sou grato ao meu primo Jos Ricardo pelo apoio e incentivo na elaborao desta dissertao, assim como ao meu primo Neuri que sempre me incentivou. Agradeo aos amigos que fiz no Centro de Tecnologia da UFSM. Em nome do Gilberto do DECC, do Nei do GAP e do Eliomar do PPGEC agradeo a todos pela amizade, pela convivncia e pelo incentivo que todos sempre dedicaram.

O mecanismo do descobrimento no lgico e intelectual uma iluminao subtnea, quase um xtase. Em seguida, certo, a inteligncia analisa e a experincia confirma a intuio. Alm disso, h uma conexo com a imaginao. Albert Einstein

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RESUMO Dissertao de Mestrado Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil Universidade Federal de Santa Maria ANLISE NUMRICA DE LAJES NERVURADAS POR MEIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AUTOR: CHRISTIAN DONIN ORIENTADOR: EDUARDO RIZZATTI CO-ORIENTADOR: HERBERT MARTINS GOMES Data e Local da Defesa: Santa Maria, 23 de maro de 2007.A anlise de lajes nervuradas tem sido tema de vrias pesquisas, visto a dificuldade de determinao de solicitaes e deslocamentos que este sistema estrutural apresenta, assim como, as discrepncias que o modelo de clculo sugerido pela NBR 6118:2003 tem demonstrado. A utilizao de mtodos exatos no clculo de lajes nervuradas torna-se invivel pelo fato das geometrias geradas nas estruturas de edificaes serem de extrema complexidade. Desta forma, o Mtodo dos Elementos Finitos tem se mostrado uma ferramenta para anlise de estruturas com enorme potencial para resolver problemas elevada complexidade. Portanto, neste trabalho so propostos modelos de clculo utilizando o Mtodo dos Elementos Finitos, por meio da modelagem tridimensional de estruturas de lajes nervuradas e cogumelo nervuradas. So verificados ainda, parmetros envolvidos no clculo deste tipo de estrutura, como o mdulo de deformao longitudinal, e mtodos para a determinao de uma seo equivalente para simplificar a seo nervurada, com objetivo de utilizar tal parmetro no clculo de estrutura via Mtodo dos Elementos Finitos, atravs de elementos finitos planos. Aps as anlises so comparados os resultados do modelo proposto, e cada parmetro verificado, com resultados experimentais disponveis na bibliografia, chegando-se assim, s concluses deste estudo. Palavras-chave: Lajes nervuradas; mtodo dos elementos finitos; estruturas de concreto

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ABSTRACT Master Thesis Postgraduate Program in Civil Engineering Universidade Federal de Santa Maria, RS, Brazil ANLISE NUMRICA DE LAJES NERVURADAS POR MEIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (NUMERICAL ANALYSIS OF WAFFLES SLABS THROUGH FINITE ELEMENT METHOD) AUTHOR: CHRISTIAN DONIN ADVISOR: EDUARDO RIZZATTI ADVISOR: HERBERT MARTINS GOMES Date and Local of Defense: Santa Maria, March 23, 2007.The analysis of waffles slabs has been theme of several researches, seen the difficulty of determination of strength and displacements that this structural system presents, as well as, the discrepancies that the calculation model suggested by NBR 6118:2003 have been demonstrated. The use of exact methods in the calculation of waffles slabs becomes unsuitable for the fact that the geometries of some in the structures of constructions is of extreme complexity. This way, the Finite Element Method has shown a tool for analysis of structures with potential to solve problems with high complexity. Therefore, in this work it is proposed models for design using the Finite Element Method, through the three-dimensional modeling of structures of waffles slabs and ribbing flat slabs. The involved parameters are verified in the calculation of this structure type like, the modulus of elasticity, and the methods for determination of the equivalent section, witch simplify the ribbing section, with the objective of using these parameters in the calculation through the Finite Element Method by finite elements of plane. After the analysis, have been compared the results of the proposed model and each parameter is compared with experimental results in the bibliography. Keywords: Waffles slabs; finite element method; concrete structures.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Laje retangular com carregamento aplicado......................................................................7 Figura 2.2 Laje nervurada, conforme GUERRIN (2002). ..................................................................9 Figura 2.3 Laje cogumelo com capitel aparente. ..............................................................................11 Figura 2.4 Laje cogumelo com capitel invertido. .............................................................................12 Figura 2.5 Laje cogumelo sem capitel. .............................................................................................12 Figura 2.6 Perspectiva de uma laje cogumelo nervurada. ................................................................15 Figura 2.7 Vista em planta da laje cogumelo nervurada...................................................................15 Figura 2.8 Vista inferior da laje cogumelo nervurada. .....................................................................16 Figura 2.9 Corte AA da laje cogumelo nervurada...........................................................................16 Figura 2.10 Corte BB da laje cogumelo nervurada. ........................................................................16 Figura 2.11 Superfcie de ruptura puno......................................................................................17 Figura 2.12 Permetro crtico em pilares internos conforme a NBR 6118:2003. .............................22 Figura 2.13 Permetro crtico em pilares de borda, conforme a NBR 6118:2003. ...........................24 Figura 2.14 Permetro crtico em pilares de canto, conforme a NBR 6118:2003.............................26 Figura 2.15 Permetro crtico no caso de o contorno C apresentar reentrncia, conforme a NBR 6118:2003....................................................................................................................................26 Figura 2.16 Permetro crtico junto abertura na laje, conforme a NBR 6118:2003. ......................27 Figura 2.17 Concretagem da capa de concreto da laje de SILVA FILHO (2002)............................28 Figura 2.18 Laje prxima da ruptura, nos ensaios de SILVA FILHO (2002). .................................28 Figura 2.19 Nervuras de uma laje ensaiada em escala reduzida por DUTRA (2005). ....................30 Figura 3.1 Equilbrio da fora cortante em um elemento de placa. ..................................................32 Figura 3.2 Equilbrio de momentos fletores e torores num elemento de placa. ..............................33 Figura 3.3 Placa retangular com carregamento uniformemente distribudo em sua superfcie. .......37 Figura 3.4 Malha de elementos finitos tridimensionais. ...................................................................42 Figura 3.5 Convergncia medida que se refina a malha, SORIANO (2003). ................................49 Figura 3.6 Representao esquemtica dos modelos mecnicos 1, 2, 3 e 4 de DIAS (2003)............53 Figura 3.7 Representao esquemtica dos modelos mecnicos 5, 6 e 7 de DIAS (2003)................54 Figura 3.8 Definio dos prticos analisados por NOBREGA et al (2003)......................................56 Figura 3.9 Deslocabilidades para uma barra de grelha. ....................................................................61 Figura 3.10 Faixas da laje para distribuio de solicitaes nos prticos mltiplos.......................63 Figura 4.1 Diagrama tenso-deformao especfica para o concreto, segundo ARAJO (2003)....64 Figura 4.2 Seo transversal da laje nervurada.................................................................................70

x

Figura 4.3 Sistema de referncia e disposio das nervuras de ARAJO (2006)............................71 Figura 4.4 Seo equivalente............................................................................................................72 Figura 5.1 Vista em planta da geometria da laje S1. ........................................................................76 Figura 5.2 Seo transversal da geometria da laje S1.......................................................................76 Figura 5.3 Vista em planta da geometria da laje S2. ........................................................................77 Figura 5.4 Seo transversal da geometria da laje S2.......................................................................77 Figura 5.5 Vista em planta da geometria da laje S3. ........................................................................78 Figura 5.6 Seo transversal da geometria da laje S3.......................................................................78 Figura 5.7 Vista em planta da geometria da laje S4. ........................................................................79 Figura 5.8 Seo transversal da geometria da laje S4.......................................................................79 Figura 5.9 Geometria e malha de elementos finitos das lajes simuladas em elementos finitos bidimensionais.............................................................................................................................81 Figura 5.10 Deslocamentos de acordo com a dimenso de elemento empregada. ...........................82 Figura 5.11 Geometria e malha de elementos finitos para o caso da laje S4, simulada em elementos finitos tridimenionais...................................................................................................................83 Figura 5.12 Resultados de deslocamento vertical (flechas) da laje S4 para o modelo MEF-2D-A. 85 Figura 5.13 Resultados de deslocamento vertical (flechas) da laje S4 para o modelo MEF-3D .....85 Figura 5.14 Vista em planta da laje (unidades em metros)...............................................................87 Figura 5.15 Seo transversal da laje (unidades em centmetros). ...................................................87 Figura 5.16 Elemento de placa bidimendsional utilizado na simulao da laje................................88 Figura 5.17 Elemento tridimensional SOLID45, (a) disposio dos oito ns (I,J,L,M,N,O,P,K), sistema de coordenadas (X, Y, Z). (b) direo das tenses (SX, SY, SZ). ..............................89 Figura 5.18 Discriminao das reas com diferentes espessuras para o MEF-01. ...........................90 Figura 5.19 Malha de elementos finitos discretizada da laje para o modelo MEF-01......................91 Figura 5.20 Detalhe dos deslocamentos impedidos na direo z (UZ) para os ns dos da base pilares. .........................................................................................................................................91 Figura 5.21 Vista inferior da geometria das lajes geradas em volumes, para os modelos MEF-04 e MEF-05. ......................................................................................................................................95 Figura 5.22 Grfico de deslocamentos de acordo com a dimenso de elemento empregada. ..........97 Figura 5.23 Grfico de tenses normais na direo z (SZ) de acordo com a dimenso de elemento empregada....................................................................................................................97 Figura 5.24 Vista superior da malha de elementos finitos discretizada para os modelos MEF-04 e MEF-05. ......................................................................................................................................98 Figura 5.25 Vista inferior da malha de elementos finitos discretizada para os modelos MEF-04 e MEF-05. ......................................................................................................................................99 Figura 5.26 Vista inferior da geometria e da malha de elementos finitos na regio do pilar central para os modelos MEF-04 e MEF-05. .........................................................................................99

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Figura 5.27 Vista inferior da geometria e da malha de elementos finitos para um pilar de canto nos modelos MEF-04 e MEF-05. ...................................................................................................100 Figura 5.28 Detalhe dos deslocamentos verticais impedidos (direo y - UY) para os ns dos da base dos pilares. ........................................................................................................................101 Figura 6.1 Posio dos strain gauges na face superior da laje. ......................................................104 Figura 6.2 Posio dos strain gauges na face inferior da laje. .......................................................104 Figura 6.3 Posio dos Defletmetros na laje.................................................................................105 Figura 6.4 Linhas e pontos de leituras na laje em planta. ...............................................................106 Figura 6.5 Vista em perspectiva dos deslocamentos na direo z (UZ) para o modelo MEF-01. ...................................................................................................................................................109 Figura 6.6 Vista superior dos deslocamentos na direo z (UZ) para o modelo MEF-01. .........110 Figura 6.7 Vista superior dos deslocamentos na direo z (UZ) para o modelo MEF-02. .........110 Figura 6.8 Vista superior dos deslocamentos na direo z (UZ) para o modelo MEF-03. .........111 Figura 6.9 Vista superior dos deslocamentos na direo y (UY) para o modelo MEF-04..........112 Figura 6.10 Vista em perspectiva da face superior para os deslocamentos na direo y (UY) segundo o modelo MEF-04.......................................................................................................112 Figura 6.11 Vista em perspectiva da face inferior para os deslocamentos na direo y (UY) segundo o modelo MEF-04.......................................................................................................113 Figura 6.12 Vista superior dos deslocamentos na direo y (UY) para o modelo MEF-05........113 Figura 6.13 Vista superior das tenses normais na direo y (SY) para o modelo MEF-01. .....115 Figura 6.14 Vista superior das tenses normais na direo y (SY) para o modelo MEF-03. .....115 Figura 6.15 Vista superior das tenses normais na direo z (SZ) para o modelo MEF-04. ......117 Figura 6.16 Vista em perspectiva da face superior para as tenses normais na direo z (SZ) do modelo MEF-04. .......................................................................................................................117 Figura 6.17 Vista em perspectiva da face inferior para as tenses normais na direo z (SZ) do modelo MEF-04. .......................................................................................................................118 Figura 7.1 Grfico com a relao entre resultados dos deslocamentos tericos divididos pelos experimentais. ...........................................................................................................................120 Figura 7.2 Grfico com a relao entre resultados dos momentos fletores tericos divididos pelos experimentais. ...........................................................................................................................123 Figura 10.1 Detalhe das tenses normais na direo z (SZ), para o pilar central do modelo MEF04...............................................................................................................................................138 Figura 10.2 Corte na linha B, indicando as tenses normais na direo z (SZ), para o pilar central do modelo MEF-04. ..................................................................................................................138

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LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 Valores e K.......................................................................................................................23 Tabela 3.1 Distribuio dos momentos nas faixas centrais e de pilares, de acordo com ACI 318-95 e NBR 6118:1978. .........................................................................................................................56 Tabela 5.1 Valores de modulo de elasticidade de acordo com a resistncia mdia do concreto. ......75 Tabela 5.2 Parmetros para determinao da altura equivalente e seu valor de acordo com o mtodo de clculo. ...................................................................................................................................80 Tabela 5.3 Deslocamento experimental e numrico para as diversas dimenses de elementos finitos no caso da Laje S4. .....................................................................................................................82 Tabela 5.4 Resultados experimentais para cada mtodo de clculo proposto, de deslocamentos verticais (flechas) das lajes no centro das lajes. ..........................................................................84 Tabela 5.5 Tenso normal na direo z (SZ) e deslocamento (UY) para as diversas dimenses de elementos finitos. ........................................................................................................................96 Tabela 6.1 Resultados experimentais de deslocamentos verticais. ..................................................106 Tabela 6.2 Resultados experimentais das deformaes especficas, tenses normais e momentos fletores resultantes.....................................................................................................................107 Tabela 6.3 Resultados de momentos fletores obtidos segundo o mtodo dos Prticos Equivalentes da NBR 6118:2003....................................................................................................................108 Tabela 6.4 Deslocamento verticais (direo z ) para os modelos com elementos bidimensionais e tridimensionais. .........................................................................................................................109 Tabela 6.5 Deslocamento verticais (direo y ) para os modelos com elementos tridimensionais. ...................................................................................................................................................111 Tabela 6.6 Tenses normais (direo y ) e os momentos fletores resultantes para os modelos MEF-01 e MEF-03....................................................................................................................114 Tabela 6.7 Tenses normais (direo z) e os momentos fletores resultantes para o modelo MEF04...............................................................................................................................................116 Tabela 7.1 Resultados experimentais e numricos de deslocamentos .............................................119 Tabela 7.2 Relao entre resultados de deslocamentos tericos e experimentais............................119 Tabela 7.3 Resultados experimentais e numricos para os momentos fletores. ..............................122 Tabela 7.4 Relao entre resultados dos momentos fletores tericos e experimentais....................122

LISTA DE SMBOLOS

Letras romanas minsculas aeb a1 bx,by bx,by,bz bw b2 bf, bfx bfy d dl e fc fcm fck h heq lx, ly men mx, my mxy, myx p p pmn tx, ty, tz dimenses da placa distncia entre eixos de nervuras espaamentos axiais das nervuras, paralelos aos eixos x e y foras por unidade de volume largura da nervura distncia entre as nervuras espaamento entre as nervuras altura til da laje ao longo do contorno crtico o comprimento infinitesimal no permetro crtico u distncia de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar resistncia compresso simples resistncia mdia do concreto resistncia caracterstica do concreto altura ou espessura da placa ou laje altura ou espessura equivalente da laje vos nas direes x e y nmero de retngulos em que se divide a placa momentos fletores momentos torores carga distribuda carga uniformemente distribuda valor mximo da ao no centro de cada retngulo foras por unidade de rea

xiv

qx qy u* u u w x y z

foras cortantes permetro crtico reduzido comprimento do permetro de controle campo de deslocamentos flecha da placa em um dado ponto coordenada global x coordenada global y coordenada global z

Letras romanas maisculas Ae B Bx,By Cx, Cy C C C1 C2 D D1 D2 De Dp Ec Ecs EPS Fe Fsd rea de contorno do elemento matriz que relaciona as deformaes aos deslocamentos nodais rigidez a flexo das nervuras paralelas aos eixos x e y rigidez a toro das nervuras paralelas aos eixos x e y contorno da rea de aplicao de carga contorno crtico, externo e distante 2d do contorno C, no plano da laje dimenso do pilar paralela excentricidade da fora dimenso do pilar perpendicular excentricidade da fora rigidez flexo da placa rigidez da laje na regio das nervuras rigidez na regio da mesa rigidez equivalente da laje dimetro do pilar mdulo de elasticidade ou mdulo de deformao longitudinal do concreto mdulo de elasticidade secante ou mdulo de deformao longitudinal secante do concreto poliestireno expandido vetor de foras fora ou reao de puno de clculo

xv

I Ie K Ke L N Mx, My Mxy, Myx MSd* MSd MSd1 MSd2

momento de inrcia inrcia equivalente coeficiente que fornece a parcela de MSd transmitida ao pilar matriz de rigidez do elemento operador diferencial linear matriz com funes de interpolao momentos fletores momentos torores momento de clculo resultante da excentricidade do permetro crtico reduzido u* em relao ao centro do pilar momento de clculo transmitido pela laje ao pilar de borda momento de clculo transmitido pela laje ao pilar de borda, no plano perpendicular a borda livre momento de clculo transmitido pela laje ao pilar de borda, no plano paralelo borda livre

Nx, Ny, Nxy foras de membrana Pe Q Qx,Qy SX SY SZ U Ue UX UY UZ Ve Wint vetor de foras, as quais aplicadas diretamente sobre os ns carga total foras cortantes tenso normal na direo x, no Ansys tenso normal na direo y, no Ansys tenso normal na direo z, no Ansys energia de deformao vetor com os deslocamentos nodais do elemento Deslocamento linear na direo x, no Ansys Deslocamento linear na direo y, no Ansys Deslocamento linear na direo z, no Ansys volume do elemento trabalho virtual interno

xvi

Wext Wexp W1 Wp Wp1 Wp2

trabalho virtual externo flecha obtida experimentalmente flecha calculada para laje macia de concreto de espessura equivalente mdulo de resistncia plstica do permetro crtico mdulo de resistncia plstica do permetro crtico, na direo perpendicular borda livre mdulo de resistncia plstica do permetro crtico, na direo paralela borda livre

Letras gregas minsculas

c cwd Sd

vetor de deformaes deformao do concreto tensor de tenses tenso do concreto tenso tangencial de clculo ou tenso de cisalhamento de clculo tenso de cisalhamento solicitante de clculo coeficiente de Poison do material

Letras gregas maisculas

operador laplaciano ngulo de inclinao

Smbolos especiais

integral derivada parcial somatrio menor que maior que

< >

xvii

SUMRIO

RESUMO .............................................................................................................................viii ABSTRACT........................................................................................................................... ix LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................ x LISTA DE TABELAS.........................................................................................................xiii LISTA DE SMBOLOS...................................................................................................... xiv 11.1 1.2 1.3 1.4

INTRODUO............................................................................................................ 1Objetivos Gerais.....................................................................................................................1 Objetivos Especficos.............................................................................................................2 Justificativa ............................................................................................................................3 Estrutura do trabalho..............................................................................................................4

22.1

LAJES NERVURADAS .............................................................................................. 6Lajes de Concreto...................................................................................................................6 2.1.1 Introduo ...................................................................................................................6 2.1.2 Classificao ...............................................................................................................7 2.1.2.1 Quanto forma......................................................................................................8 2.1.2.2 Quanto natureza..................................................................................................8 2.1.2.3 Quanto ao tipo de apoio ......................................................................................11 2.1.2.4 Quanto ao tipo de armao ..................................................................................12 2.2 Lajes Cogumelo Nervuradas ................................................................................................13 2.2.1 Introduo .................................................................................................................13 2.2.2 Definies .................................................................................................................14 2.2.3 Consideraes e Reviso Sobre a Puno.................................................................16 2.2.4 Prescries da NBR 6118:2003 ................................................................................20 2.2.4.1 Espessuras ...........................................................................................................20 2.2.4.2 Nervuras ..............................................................................................................21 2.2.4.3 Pilares ..................................................................................................................21 2.2.4.4 Puno .................................................................................................................22 2.2.4.4.1 Dimensionamento de lajes puno ........................................................22 2.3 Estudos Realizados na UFSM..............................................................................................27

33.1 3.2

MTODOS DE CLCULO...................................................................................... 31Consideraes Iniciais..........................................................................................................31 Teoria de Placas ...................................................................................................................31 3.2.1 Introduo .................................................................................................................31 3.2.2 Teoria Clssica de Placas Delgadas ..........................................................................32 3.2.3 Solues por Meio de Sries.....................................................................................36 3.2.4 Teoria de Placas para Lajes Nervuradas ...................................................................38 3.3 Mtodo dos Elementos Finitos.............................................................................................40 3.3.1 Introduo .................................................................................................................40 3.3.2 Fundamentos Tericos do Mtodo dos Elementos Finitos .......................................41

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3.3.3 Avaliao da Convergncia do Mtodo dos Elementos Finitos................................48 3.3.4 Trabalhos Utilizando o Mtodo dos Elementos Finitos ............................................49 3.4 Mtodo da Analogia de Grelhas...........................................................................................59 3.4.1 Introduo .................................................................................................................59 3.4.2 Clculo de Grelhas pela Anlise Matricial de Estruturas..........................................61 3.5 Mtodo dos Prticos Equivalentes .......................................................................................63 3.5.1 Consideraes da NBR 6118:2003 ...........................................................................63

44.1

PARMETROS DE CLCULO.............................................................................. 64Mdulo de Deformao Longitudinal do Concreto .............................................................64 4.1.1 Introduo .................................................................................................................64 4.1.2 Frmulas da NBR 6118:2003 ...................................................................................65 4.1.3 Frmulas do CEB-FIP 90..........................................................................................65 4.1.4 Frmulas do ACI 318-95 ..........................................................................................66 4.1.5 Consideraes Gerais................................................................................................66 4.2 Determinao da Seo Equivalente ....................................................................................67 4.2.1 Introduo .................................................................................................................67 4.2.2 Equivalncia da Energia de Deformao da Laje .....................................................68 4.2.3 Equivalncia de Momento de Inrcia........................................................................71 4.2.4 Mtodo da Rigidez Mdia.........................................................................................72

55.1 5.2

ANLISE NUMRICA ............................................................................................ 74Apresentao........................................................................................................................74 Aplicao 01 Estruturas de ABDUL-WAHAB e KHALIL (2000) ..................................74 5.2.1 Caractersticas das Lajes ...........................................................................................74 5.2.2 Modelo em Elementos Finitos Bidimensionais.........................................................80 5.2.3 Modelo em Elementos Finitos Tridimensionais........................................................81 5.2.3.1 Definio da Malha de Elementos Finitos...........................................................81 5.2.4 Resultados e Concluses...........................................................................................83 5.3 Aplicao 02 Estrutura de DUTRA (2005).......................................................................86 5.4 Modelos Propostos em Elementos Finitos Bidimensionais e Tridimensionais ....................88 5.4.1 Geometria da Laje.....................................................................................................89 5.4.2 Definio da Malha de Elementos Finitos ................................................................90 5.4.3 Condies de Contorno da Estrutura ........................................................................91 5.4.4 Carga Aplicada Laje...............................................................................................92 5.4.5 Modelo Proposto MEF-01 ........................................................................................92 5.4.5.1 Propriedades dos Materiais .................................................................................92 5.4.5.2 Espessura Equivalente para as Regies Nervuradas............................................92 5.4.6 Modelo Proposto MEF-02 ........................................................................................93 5.4.6.1 Propriedades dos Materiais .................................................................................93 5.4.6.2 Espessura Equivalente para as Regies Nervuradas............................................93 5.4.7 Modelo Proposto MEF-03 ........................................................................................94 5.4.7.1 Propriedades dos Materiais .................................................................................94 5.4.7.2 Espessura Equivalente para as Regies Nervuradas............................................94 5.5 Modelos Propostos em Elementos Finitos Tridimensionais ................................................94 5.5.1 Geometria da Laje.....................................................................................................95 5.5.2 Definio da Malha de Elementos Finitos ................................................................95 5.5.3 Condies de Contorno da Estrutura ......................................................................100 5.5.4 Fora Aplicada Laje .............................................................................................101 5.5.5 Modelo Proposto MEF-04 ......................................................................................101

xix

5.5.6

Modelo Proposto MEF-05 ......................................................................................102

66.1 6.2 6.3

RESULTADOS ........................................................................................................ 103Apresentao......................................................................................................................103 Resultados Experimentais ..................................................................................................103 Resultados dos Deslocamentos para os Modelos em Elementos Finitos ...........................108 6.3.1 Resultados para os Modelos com Elementos Bidimensionais e Tridimensionais...108 6.3.2 Resultados para os Modelos com Elementos Finitos Tridimensionais ...................111 6.4 Resultados de Momentos Fletores para os Modelos em Elementos Finitos.......................114 6.4.1 Resultados para os Modelos com Elementos Bidimensionais e Tridimensionais...114 6.4.2 Resultados para os Modelo com Elementos Finitos Tridimensionais.....................116 6.5 Demais Possibilidades de Anlise dos Modelos Tridimensionais. ....................................118

77.1 7.2

ANLISE DOS RESULTADOS............................................................................. 119Deslocamentos ...................................................................................................................119 Momentos Fletores.............................................................................................................122

88.1 8.2 8.3

CONCLUSES ........................................................................................................ 126Concluses .........................................................................................................................126 Demais Concluses ............................................................................................................127 Sugestes para Trabalhos Futuros......................................................................................127

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BIBLIOGRAFIA...................................................................................................... 129 ANEXOS................................................................................................................... 138

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INTRODUO

cada vez mais crescente a busca por edificaes com maior liberdade de espaos, vos livres mais ousados, muitas vezes sem vigas e com pilares cada vez mais espaados. Esta tendncia tem levado busca constante por tcnicas que viabilizem essa liberdade. Desta forma, as lajes nervuradas, assim como, as lajes cogumelo nervuradas apresentam uma vantagem significativa em relao aos sistemas convencionais que utilizam, lajes, vigas e pilares, que o fato de ocuparem um menor volume nos ambientes construdos, os quais possibilitam uma maior liberdade ao projetista arquitetnico, e o melhor aproveitamento da edificao por parte do usurio. O desenvolvimento de novas tecnologias e o aperfeioamento das tcnicas construtivas faz com que, alm de aumentar os vos, se tenha elementos estruturais mais esbeltos. Com base nesses princpios as lajes nervuradas e as lajes cogumelo nervuradas tm demonstrado serem alternativas com enorme potencial nesse tipo de construo. Porm, as lajes nervuradas e cogumelo nervuradas tem sido tema de estudos para inmeros pesquisadores. Nestas pesquisas tem-se buscado aperfeioar os mtodos empregados no clculo deste tipo de estrutura, no que se refere determinao das solicitaes, assim como, contribuir para o desenvolvimento deste sistema estrutural. Desta forma, cada vez mais importante o estudo das lajes nervuradas e cogumelo nervuradas, visto que se trata de uma tcnica bastante difundida, com expressivas vantagens e que muito tem a evoluir do ponto de vista tcnico e cientfico.

1.1 Objetivos Gerais Este trabalho visa o aprimoramento dos mtodos de clculo de lajes nervuradas, assim como, de lajes cogumelo nervuradas, de forma a contribuir com o avano

tecnolgico e com a consolidao deste sistema estrutural. Por meio de mtodos de clculo mais confiveis, que reproduzam com mais preciso o comportamento real da estrutura, possvel obter estruturas menos onerosas e mais seguras.

1.2 Objetivos Especficos Este trabalho tem como objetivos especficos: Implementar a anlise numrica lajes cogumelo nervuradas por meio de elementos finitos bidimensionais, como de placas e cascas. Verificar a partir dos modelos em elementos finitos bidimensionais, os parmetros empregados no clculo, como no caso do mdulo de elasticidade do concreto e das metodologias que prope uma seo macia equivalente para simplificar a seo nervurada. Analisar os mtodos de clculo de lajes cogumelo nervuradas por meio de uma reviso preliminar nos mtodos analticos clssicos, e em seguida, com o estudo dos mtodos numricos computacionais, como o caso do Mtodo dos Elementos Finitos. Analisar os mtodos de clculo, no que se refere determinao das solicitaes (momentos fletores) e deslocamentos necessrios para o dimensionamento das lajes cogumelo nervuradas, confrontando os resultados tericos com resultados experimentais, apresentados na bibliografia e provenientes de pesquisas desenvolvidas na UFSM. Propor uma metodologia de anlise estrutural para as lajes cogumelo nervuradas, utilizando-se o Mtodo dos Elementos Finitos, fazendo-se simulaes com elementos finitos tridimensionais que possam reproduzir exatamente e geometria da laje e melhor representar suas solicitaes e seus deslocamentos. Verificar o desempenho da metodologia proposta, utilizando-se elementos finitos tridimensionais, e identificando-se suas vantagens e desvantagens em relao aos outros mtodos.

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1.3 Justificativa Inmeras pesquisas tm sido realizadas com o objetivo de otimizar os processos de clculo de lajes cogumelo nervuradas, de modo a eliminar algumas desvantagens quanto s tcnicas de clculo dos deslocamentos, assim como, de determinao das solicitaes. Grande parte dos pesquisadores que utilizam o Mtodo dos Elementos Finitos tem utilizado elementos de barra de modo a simplificar o clculo usando analogias como a de vigas, grelhas e prticos. Porm, em vrias pesquisas destacada a necessidade da modelagem de toda a estrutura da edificao considerando-se as interaes que ocorrem entre pilares e lajes. As simplificaes incorporadas nos modelos de clculo das estruturas resultam na reduo da confiabilidade dos sistemas estruturais. Com isso h a tendncia de aumentar os coeficientes de ponderao que so incorporados nos clculos para a determinao da segurana de uma estrutura, resultando diretamente no aumento do custo das edificaes. Esta pesquisa justifica-se pelo objetivo de empregar elementos finitos tridimensionais para a simulao de todo o conjunto estrutural, de modo a reproduzir exatamente a geometria da laje e dos pilares. Com isso, possvel otimizar o processo de obteno das solicitaes e deslocamentos, pois se trata de modelo estrutural mais realista. importante destacar que no se verificou estudo semelhante na bibliografia existente, tratando-se, portanto, de um estudo indito. Esta tentativa no seria possvel a alguns anos devido capacidade de processamento dos computadores usuais. Entretanto, os avanos tecnolgicos da engenharia de computao permitem que sejam melhor implementadas algumas teorias e inovaes na engenharia de estruturas. Por fim, a viabilidade deste estudo contribuiu com o avano tecnolgico e com a consolidao deste sistema estrutural.

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1.4 Estrutura do trabalho No Captulo 1 apresentada uma introduo sobre esta dissertao, so definidos os objetivos gerais e especficos, assim como, a justificativa e a estrutura deste trabalho. No Captulo 2 so revisados os fundamentos das lajes, suas caractersticas e classificaes. Nesse captulo dada ateno especial s lajes cogumelo nervuradas, realizando-se um estudo mais detalhado sobre esse tipo de laje, por meio de suas definies, e algumas consideraes sobre o fenmeno da puno que ocorre neste tipo de laje. So apresentados alguns estudos recentes realizados na UFSM sobre o tema lajes. No Captulo 3 revisada a teoria clssica de placas, sua soluo aproximada por meios de sries, sua formulao para o caso de lajes nervuradas, assim como os demais mtodos ressaltando-se o Mtodo dos Elementos Finitos, para o qual ser apresentada uma reviso quanto sua utilizao no clculo de lajes nervuradas. So feitas algumas consideraes sobre o mtodo da analogia por grelhas, e por ltimo sobre o mtodo dos prticos equivalente proposto pela NBR 6118:2003. O Captulo 4 apresenta um estudo sobre os parmetros empregados no clculo, como o mdulo de elasticidade do concreto e as metodologias que prope uma seo macia equivalente para simplificar a seo nervurada. No Captulo 5 so propostos modelos de clculo para a anlise de estruturas de lajes cogumelo nervuradas, utilizando-se o Mtodo dos Elementos Finitos, por meio de simulaes com elementos finitos bidimensionais e elementos finitos tridimensionais. Neste captulo so realizados duas aplicaes, duas estruturas diferentes as so conhecidos os resultados experimentais. No Captulo 6 so apresentados os resultados oriundos dos modelos numricos definidos no captulo anterior, e os resultados experimentais utilizados como referncia nesta pesquisa. O Captulo 7 apresenta uma anlise dos resultados apresentados no Captulo 6. O Captulo 8 contm as concluses obtidas nesta pesquisa alm de algumas sugestes para trabalhos futuros.

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No Captulo 9 so apresentadas as referncias bibliogrficas que embasaram esta dissertao e no Capitulo 10 alguns anexos que a complementam.

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LAJES NERVURADAS

2.1 Lajes de Concreto 2.1.1 Introduo Segundo BAYKOV e SIGALOV (1986), o concreto muito mais resistente compresso do que trao, com isto, quando sujeito flexo, resulta em uma baixa capacidade de resistir solicitaes, devido a sua pouca resistncia trao. Admite-se normalmente que seja desprezada a parcela de resistncia trao do concreto. Entretanto, a utilizao de armadura na zona tracionada assegura uma capacidade resistente consideravelmente mais elevada. Para o caso de uma viga, por exemplo, a resistncia flexo de uma seo armada pode ser 20 vezes maior do que a mesma seo em concreto simples. Esta observao monstra que um adequado arranjo estrutural pode resultar em estruturas mais eficientes e econmicas. Desta forma, para que se tenha uma concepo estrutural coerente, de extrema importncia que sejam conhecidos os mecanismos que ocorrem nos sistemas estruturais. As lajes de concreto so elementos estruturais de superfcie plana que esto sujeitas a aes em seu plano, conforme especifica a NBR 6118:2003. ARAJO (2003), assim como SILVA e SOUTO (2002), definem que a principal finalidade das lajes de concreto a de transmitir as cargas de utilizao aplicadas diretamente nos pisos, para as vigas e/ou pilares que as suportam, alm disto, as lajes de concreto apresentam outras funes importantes, como no contraventamento das estruturas, funcionando como diafragmas, visto que so elementos infinitamente rgidos no seu plano, que distribuem as cargas horizontais atuantes entre as estruturas de contraventamento. SILVA e SOUTO (2002) definem ainda que outra funo importante das lajes a de quando construdas ligadas monoliticamente com as vigas, contribuem no seu enrijecimento, funcionando assim como mesas de compresso da seo T. De acordo com estes autores as lajes de concreto esto presentes em vrios tipos de construo, tais como edificaes residenciais e comerciais, galpes indus-

triais, pontes, reservatrios, estruturas de conteno de terras, pistas de rodovias e aeroportos, entre muitas outras obras de engenharia. Com a notria utilidade das lajes de concreto, foram sendo desenvolvidas variaes de forma e de composio com o objetivo de melhorar o seu desempenho estrutural para determinadas aplicaes. A escolha mais adequada do tipo de laje para determinado projeto depende muito da experincia profissional do projetista, de forma que a estrutura satisfaa plenamente todos requisitos arquitetnicos, econmicos e de segurana. As lajes de concreto ainda se prestam como isolantes trmicos e acsticos. Para LEONHARDT e MNNIG (1977) as lajes so os elementos planos que separam os andares e recebem as cargas dos revestimentos dos pisos e cargas acidentais que possam surgir sobre elas. Para SOUZA e CUNHA (1998) as lajes so componentes bsicos das estruturas, sendo as lajes de concreto armado as mais comumente utilizadas. So elementos estruturais planos bidirecionais, geralmente retangulares e monolticos, onde a espessura h muito menor que as outras dimenses, com carregamento predominantemente transversal. A Figura 2.1 mostra o esquema estrutural de uma laje retangular de espessura h com carregamento aplicado.

Figura 2.1 Laje retangular com carregamento aplicado.

2.1.2 Classificao Segundo SUSSEKIND (1984), RESINOR (1988), SOUZA e CUNHA (1998), ARAJO (2003), e DUTRA (2005), existem diferentes critrios para classificar as lajes de concreto armado ou protendido: quanto forma, tipo de apoio, tipo de arma-

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o e quanto natureza. Sendo que LEONHARDT e MNNIG (1977) define ainda que cada tipo possui suas caractersticas prprias quanto construo e desempenho. Para ARAJO (2003) o termo laje empregado para designar as placas de concreto armado. A partir destas definies so apresentadas neste item as classificaes das lajes de concreto. 2.1.2.1 Quanto forma Todo projeto tem caractersticas prprias e peculiaridades, muitas vezes so exigncias que conduzem a elementos estruturais que devem satisfazer essas formas. Portanto, quanto forma as lajes podem ser: a) lajes poligonais: retangulares, quadradas, triangulares octogonais, em T, L, Z, entre outras; b) lajes elpticas: lajes circulares ou anelares. 2.1.2.2 Quanto natureza As lajes podem ser diferenciadas quanto natureza, atravs da maneira de execuo e dos tipos de materiais utilizados em sua confeco, classificando-se em: a) lajes macias: so lajes constitudas por placas monolticas de concreto armado ou de concreto protendido, com espessura uniforme, construdas sobre uma forma de madeira ou metlica que removida aps a cura do concreto. So as lajes mais utilizadas em edificaes e obras de arte, mas no pode vencer grandes vos devido ao seu peso prprio; b) lajes nervuradas: so lajes compostas por nervuras na zona de trao e uma mesa macia de concreto na zona de compresso. As nervuras so configuradas por um determinado espaamento entre si, regulamentado pela NBR 6118:2003, nesse caso as nervuras ficam aparentes, ou ento, so obtidas com o emprego de algum material inerte de baixo peso especfico, como blocos cermicos ou EPS. O peso prprio da laje reduzido, uma vez que se elimina uma parte do concreto que ficaria na

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zona tracionada, caso fosse adotada a soluo em laje macia. Nas nervuras onde esto concentradas as armaduras longitudinais de trao. Este tipo de laje utilizado para vencer grandes vos ou em casos de carregamentos especiais. A Figura 2.2 ilustra um corte transversal de uma laje nervurada de concreto, de acordo com GUERRIN (2002);

Figura 2.2 Laje nervurada, conforme GUERRIN (2002).

c) lajes mistas: so semelhantes as lajes nervuradas, porm, tm o espao entre as nervuras preenchidos com material cermico, o qual participa com uma parcela de resistncia mecnica na laje, contribuindo na resistncia flexo da regio comprimida. Outra caracterstica marcante que ao contrrio da laje nervurada, na laje mista no existe a obrigatoriedade da utilizao da mesa de concreto na regio comprimida, devendo o bloco cermico ser de boa qualidade. O revestimento assentado diretamente sobre as nervuras ortogonais de concreto e sobre a face superior dos blocos cermicos; d) lajes em grelhas: as lajes em grelha constituem um caso particular das lajes nervuradas, onde as nervuras so mais altas e o espaamento entre elas superior a 1 m. Alm disso, no se utiliza material inerte como o EPS ou outro qualquer, as vigas so aparentes, exceto se colocado forro falso. O dimensionamento da capa de concreto deve ser de tal forma que se considere a possibilidade de puno de uma sobrecarga pontual. O clculo normalmente feito como o de lajes macias contnuas, sendo o vigamento calculado como grelha. Geralmente so utilizadas em edificaes industriais e/ou comerciais;

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e) lajes duplas: as lajes duplas podem ser entendidas como um caso particular das lajes nervuradas ou das lajes em grelhas, e ainda, em alguns casos, como lajes macias. Elas apresentam duas capas de concreto, sendo uma superior que trabalha a compresso e outra inferior, entre estas duas capas ficam as vigas ou nervuras de concreto. Geralmente so utilizadas em pilotis ou pavimentos de transio de edifcio. Atualmente estas lajes esto praticamente em desuso, exceto em situaes particulares; f) lajes pr-fabricadas: as lajes pr-fabricadas so formadas por um conjunto de vigotas, ou seja, nervuras de concreto armado ou protendido, e blocos cermicos ou de concreto, tambm conhecidos por tavelas, solidarizados por uma capa de concreto que trabalha compresso. As lajes pr-fabricadas podem ser uniderecionais, constitudas por nervuras principais longitudinais dispostas em uma nica direo, ou bidirecionais, na qual so executadas nervuras transversais s pr-lajes, resultando em uma laje acabada bidirecional. As lajes pr-fabricadas unidirecionais so regulamentadas pela NBR 14859-1:2002 e NBR 148601:2002, e as lajes pr-fabricadas bidirecionais regulamentadas pela NBR 14859-2:2002 e NBR 14860-2:2002. As nervuras de concreto podem ser convencionais dando origem s lajes pr-fabricadas convencionais, ou nervuras treliadas, dando origem as chamadas lajes treliadas. As vantagens deste tipo de laje so relativas rapidez de execuo e economia de formas e de escoramento. Alm dessas duas variaes, enquadra-se na classificao de laje pr-fabricada, a laje formada por painis pr-fabricados, que compem os entre pisos apenas pela justaposio das placas, utilizadas especialmente em obras industriais. g) Lajes cogumelo: as lajes cogumelo so lajes apoiadas diretamente sobre os pilares, sem a utilizao de vigas, podendo ter capitis sobre os pilares. h) Lajes lisas: as lajes lisas pertencem ao grupo das lajes cogumelo, as quais se apiam diretamente sobre os pilares, sem o uso de vigas, es-

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tando a eles rigidamente ligadas. O termo lisa refere-se ausncia de capitis, ou engrossamento de pilares. 2.1.2.3 Quanto ao tipo de apoio Dependendo das condies de apoio, ou seja, do caminho percorrido pelas cargas at determinados pontos da estrutura, as lajes de concreto podem ser discriminadas como: a) apoio contnuo: ocorre quando a laje est apoiada sobre uma linha contnua, formada por alvenarias, paredes de concreto, vigas de sustentao de concreto armado ou protendido, metlicas ou de madeira. Podendo estar todos os bordos apoiados ou eventualmente um ou mais bordos livres; b) apoio discreto: ocorre quando a laje est apoiada diretamente sobre os pilares, tambm chamada de laje cogumelo ou laje plana. Pode ser de trs tipos, dependendo da presena ou no de reforo ou capitel, e de sua localizao no encontro do pilar com a laje, ou seja, laje cogumelo com capitel aparente, com capitel invertido, e sem capitel, conforme pode ser visto na Figura 2.3, Figura 2.4, e Figura 2.5.

Figura 2.3 Laje cogumelo com capitel aparente.

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Figura 2.4 Laje cogumelo com capitel invertido.

Figura 2.5 Laje cogumelo sem capitel.

2.1.2.4 Quanto ao tipo de armao A classificao das lajes quanto armao se restringe apenas a lajes retangulares, visto que as lajes com outras formas tm variaes de armadura conforme os apoios e particularidades da forma e do projeto. Portanto, as lajes retangulares podem ser classificadas como: a) armadas em uma s direo: so lajes que apresentam solicitaes importantes de momentos fletores e foras cortantes apenas em uma direo, isso ocorre quando a relao entre o maior e o menor vo superior a 2, e a maior parte do carregamento passa ento a ser suportada pelos apoios da menor direo; b) armadas em duas direes, ou armadas em cruz: so lajes que esto sujeitas a solicitaes importantes nas duas direes, ou seja, quando a relao entre o maior e o menor vo menor do que 2.

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2.2 Lajes Cogumelo Nervuradas 2.2.1 Introduo Sem dvida a tendncia atual em construo civil a de aumentar os vos livres entre pilares. Essa tendncia est baseada principalmente no desenvolvimento de novos materiais, como por exemplo, na melhoria das propriedades mecnicas do ao e do concreto. Alm dos materiais, o desenvolvimento de novas tecnologias e o aperfeioamento das tcnicas construtivas, como o caso da protenso, faz com que, alm de se aumentar os vos, se tenha elementos estruturais mais esbeltos impondo menores limitaes arquitetnicas. Associado a este fenmeno notrio o surgimento e a potencializao de alternativas de construo, como o caso das lajes nervuradas e das lajes cogumelos, com e sem protenso. Segundo BAYKOV e SIGALOV (1986), a essncia das estruturas de piso monoltico nervuradas consistem em que o concreto, por motivos econmicos, eliminado das zonas tracionadas das sees, conservando-se somente as almas em que se encontram as armaduras tracionadas. PINHEIRO e RAZENTE (2003) complementam ainda que alm do concreto eliminado propiciar economia de materiais, de mo-de-obra e de formas, aumenta a viabilidade do sistema construtivo, pois o emprego de lajes nervuradas simplifica a execuo e permite sua industrializao, reduzindo perdas, aumentando a produtividade e racionalizando a construo. Como monstrado, as lajes nervuradas tm duas partes principais, a mesa, que consiste de uma pequena camada de concreto comprimida, e as nervuras, que so as regies tracionadas onde esto localizadas as armaduras de trao. Para as regies onde se tem momentos fletores negativos, como nas superfcies prximas s ligaes com os pilares, em que a nervura passaria a ser comprimida, comum a utilizao de capitis, ou trechos em laje lisa macia. Este procedimento assegurar capacidade resistente aos momentos fletores negativos, pois a face inferior da laje, que est sendo comprimida tem um macio de concreto. Outro fator de grande importncia que a utilizao de capitis, ou trechos em laje lisa macia garante, a resistncia puno das lajes, que para os casos de edifcios sem vigas fundamental.

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2.2.2 Definies PINHEIRO e RAZENTE (2003) definem uma laje nervurada, como sendo constituda por um conjunto de vigas que se cruzam, as quais so solidarizadas pela mesa. Desta forma, este elemento estrutural ter comportamento intermedirio entre o de laje macia e o de grelha. Segundo PINHEIRO e RAZENTE (2003) as evolues arquitetnicas induzem ao aumento dos vos, sendo que e o alto custo das formas tornaram as lajes macias desfavorveis economicamente, para a maioria dos casos. Desta forma, as lajes nervuradas apresentam a vantagem da eliminao do concreto abaixo da linha neutra, propiciando a reduo do peso prprio e um melhor aproveitamento do ao e do concreto. Para CABRAL (1998) a busca do aperfeioamento das tcnicas construtivas possibilitou a associao dos vrios tipos de lajes de concreto, onde a fuso da laje cogumelo com a laje nervurada deu origem laje cogumelo nervurada, um tipo de estrutura que apresenta uma srie de vantagens em relao ao sistema construtivo tradicional de laje, viga e pilar. De acordo com a NBR 6118:2003 as lajes-cogumelo so lajes apoiadas em pilares com capitis, uma vez que lajes lisas so apoiadas diretamente em pilares sem capitis. Nas lajes nervuradas a zona de trao para momentos positivos localiza-se nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte. Usualmente comum substituir parte do concreto tracionado por material inerte mais leve, como blocos cermicos, tijolos furados, tavelas e EPS. Atualmente, tem-se desenvolvido formas de materiais plsticos de fcil utilizao e remoo e que possibilitam moldar os espaos vazios de maneira mais eficiente. A Figura 2.6 mostra um exemplo de laje cogumelo nervurada em perspectiva, onde esto destacadas as regies macias dos capitis, assim como as nervuras que a compem. As Figuras 2.7 a 2.10, mostram todas as particularidades de uma laje cogumelo nervurada, em planta, vistas e cortes, respectivamente.

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Figura 2.6 Perspectiva de uma laje cogumelo nervurada.

Figura 2.7 Vista em planta da laje cogumelo nervurada.

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Figura 2.8 Vista inferior da laje cogumelo nervurada.

Figura 2.9 Corte AA da laje cogumelo nervurada.

Figura 2.10 Corte BB da laje cogumelo nervurada.

2.2.3 Consideraes e Reviso Sobre a Puno A puno um fenmeno caracterizado pelo rompimento frgil de uma determinada rea da laje, geralmente nas sees em torno dos pilares ou nos apoio, devido alta concentrao de cargas. Este tipo de solicitao caracterstico em lajes lisas, onde as mesmas esto diretamente apoiadas sobre os pilares. A fim de se evitar este

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tipo de ruptura, o dimensionamento dessas lajes deve ser em funo da resistncia puno nas ligaes com os pilares. A puno pode ocorrer quando uma fora concentrada atua sobre uma rea de elemento estrutural plano (laje ou elemento de fundao), provocando altas tenses de cisalhamento. De acordo com a NBR 6118:2003, puno o Estado Limite ltimo no entorno de foras concentradas. A ligao laje-pilar uma regio crtica em termos de resistncia, pois onde atuam foras cortantes de alta intensidade, que podem ocasionar uma runa por puno, de forma brusca, abrupta, no fornecendo qualquer aviso prvio, antes mesmo da armadura de flexo atingir sua tenso de escoamento. Esse problema agravado quando ocorre a transferncia de momentos no equilibrados da laje para o pilar, como nos casos de pilares de borda e de canto, onde o momento no equilibrado o mximo e a seo em torno do pilar em contato com a laje menor. Segundo ACCETTI e PINHEIRO (1999) a redistribuio de momentos em combinao com tenses de membrana, garante as lajes cogumelo uma considervel reserva de capacidade flexo. Por isso a capacidade resistente dessas lajes geralmente ditada pelo cisalhamento, e no pela flexo. A runa por puno caracteriza-se pela formao de uma superfcie troncnica ou tronco-piramidal, cujas arestas tm inclinao entre 25 a 30 em relao ao plano mdio da placa, conforme mostra a Figura 2.11. Esta superfcie pode ser alterada em funo da posio do pilar e da presena de armaduras de cisalhamento.

Figura 2.11 Superfcie de ruptura puno.

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Alm dos foras cortantes e momentos fletores, existem outros fatores que tambm exercem influncia na ruptura por puno, tais como, resistncia caracterstica do concreto, espessura da laje, taxa de armadura flexo, existncia de armadura de cisalhamento, ancoragem adequada nos nveis superior e inferior da armadura de puno, e as dimenses, formas e posio dos pilares, entre outros. Segundo ACCETTI e PINHEIRO (1999), tambm possvel aumentar a resistncia puno das lajes de concreto utilizando-se de fibras de ao, as quais proporcionam maior ductilidade ligao. AZEVEDO e HANAI (1999) estudaram a resistncia e ductilidade das ligaes laje-pilar em lajes-cogumelo de concreto de alta resistncia armado com fibras de ao e armadura transversal de pinos, e constataram que o emprego de concreto de alta resistncia, juntamente com armadura transversal, aumenta substancialmente a resistncia da ligao laje-pilar. Quando combinado com fibras de ao garante uma considervel ductilidade, tornando possvel redistribuio de solicitaes na estrutura, influenciando inclusive na formao da superfcie de ruptura, possibilitando assim, um tempo para a tomada de providncias antes da runa total. ANDRADE e GOMES (1999) estudaram a resistncia puno de lajes cogumelo de concreto armado com armadura de cisalhamento posicionada ao redor da coluna e internamente s armaduras de flexo dos bordos superior e inferior, visando verificar a possibilidade do uso e as restries quanto ao posicionamento da armadura de cisalhamento. De acordo com esses autores, as armaduras de cisalhamento para o combate a puno nas lajes cogumelo (studs, estribos), so de fcil confeco, mas apresentam certa dificuldade de fixao no canteiro de obras devido ao seu posicionamento na laje. O posicionamento adequado das armaduras de cisalhamento nas lajes cogumelo requer que a mesma envolva a armadura de flexo para que se tenha uma boa ancoragem, o que aumenta o tempo e a mo-de-obra envolvidos no servio. Porm, o posicionamento executado com a armadura de cisalhamento ancorada interiormente armadura de flexo, mesmo no sendo o mais recomendado, de fcil execuo, servindo como espaador de armadura e contribuindo na colocao da armadura de flexo.

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Esses estudos revelam que posicionando-se a armadura de cisalhamento dessa maneira, possvel que o recobrimento da armadura no seja diminudo, no havendo a necessidade de se aumentar a altura da laje para manuteno de sua altura til efetiva. Os resultados obtidos revelaram que quando utilizada armadura de cisalhamento envolvendo-se a armadura de flexo pelo menos pela face inferior, pode-se obter uma superfcie de ruptura externa a regio de puno e uma fora de ruptura prxima da fora de ruptura esperada para uma laje com a armadura de cisalhamento armada da forma convencional; e que o uso de uma armadura de cisalhamento que no envolva a armadura de flexo pode aumentar significativamente a fora de ruptura puno em lajes cogumelo. Justificam o uso deste tipo de posicionamento, pela grande facilidade de fixao da armadura de cisalhamento, e posteriormente da armadura de flexo. Destacam que a maior limitao no uso deste tipo de posicionamento de armadura est na necessidade de ajuste dos mtodos de clculo, e da realizao de um maior nmero de ensaios para analise dos modos de ruptura, de maneira a comprovar a sua potencialidade. COELHO e MELO (1999) estudaram o comportamento de lajes cogumelo de concreto armado com estribos inclinados resistindo ao puncionamento. Constaram que os estribos inclinados apresentaram desempenho superior ao dos estribos verticais, ao contrrio do esperado, de acordo com algumas normas internacionais que no recomendam a utilizao de armadura de cisalhamento inclinada. Ao ensaiarem as lajes obtiveram uma fora de ruptura 49% maior com a utilizao de estribos inclinados abertos, e uma fora de ruptura 18% maior com a utilizao de estribos verticais retangulares fechados, ambos em comparao com a fora de ruptura das lajes sem armadura de cisalhamento. Relatam ainda que os estribos inclinados abertos so de fcil instalao e podem ser posicionados aps a colocao da armadura de flexo. HOLANDA (2002) analisou os mecanismos resistentes e as similaridades de efeitos da adio de fibras de ao na resistncia e na ductilidade puno de lajescogumelo e ao cisalhamento de vigas de concreto. Segundo esse autor a runa por puncionamento da ligao laje-pilar pode ser evitada, proporcionando-se s lajes melhores condies para o desenvolvimento de mecanismos de escoamento das armaduras e de runa por flexo, antes da ocorrncia da runa por cisalhamento, com a

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introduo de fibras de ao nos elementos de concreto submetidos a solicitaes tangenciais proporcionando assim, um melhor desempenho, seja pelo aumento da capacidade resistente, ou pela alterao da forma de runa. Esse autor analisou as similaridades dos efeitos da adio de fibras de ao na resistncia e na ductilidade de lajes-cogumelo puno, com as caractersticas observadas no cisalhamento de vigas prismticas anlogas. Abordou os casos de ligaes laje-pilar interno sem armadura de puno, variando a resistncia do concreto, a taxa e o tipo de fibra utilizado. A partir dos resultados experimentais verificou a existncia de uma similaridade de comportamento estrutural entre esses dois elementos e concluiu que possvel utilizar ensaios de cisalhamento em vigas prismticas para se obter indicadores para os ensaios de puno de lajes. Estabeleceu critrios quantitativos para a avaliao da resistncia e da ductilidade das ligaes laje-pilar, por meio da anlise de modelos tericos existentes sobre cisalhamento em vigas e puno em lajes, considerando o efeito da adio de fibras de ao ao concreto. NGO (2001) estudou a resistncia puno de lajes de concreto armado de alta resistncia. Segundo esse autor o uso de concreto de alta resistncia em lajes de concreto armado na Austrlia e em outros pases est se tornando cada vez mais popular. Porm, as atuais especificaes de projeto do AS3600: Concrete Structures Standard, Standards Association of Australia, 1994, e das principais normas internacionais esto baseadas em relaes empricas, desenvolvidas por meio de testes em lajes de concreto de baixa-resistncia. Esse autor utilizou os resultados experimentais de quatro pesquisas para revisar as recomendaes existentes nos cdigos de projeto AS3600 e CEB-FIP 90, para o caso de runa por puncionamento de lajes de concreto armado. 2.2.4 Prescries da NBR 6118:2003 2.2.4.1 Espessuras De acordo com a NBR 6118:2003, as espessuras mnimas para lajes cogumelo, devem obedecer aos seguintes critrios: a) 12 cm para lajes de cobertura no em balano.

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b) 15 cm para lajes de piso e lajes em balano. c) 15 cm para lajes destinadas passagem de veculos. 2.2.4.2 Nervuras Para a determinao das dimenses das nervuras, segundo a NBR 6118:2003, deve-se respeitar os seguintes parmetros: a) a distncia livre entre as nervuras no deve ultrapassar a 100 cm; b) a espessura das nervuras no deve ser inferior a 4 cm e da mesa no deve ser menor que 4 cm nem menor que 1/15 da distncia livre entre as nervuras; c) nas lajes armadas numa s direo, so necessrias nervuras transversais sempre que haja cargas concentradas a distribuir ou quando o vo terico for superior a 4 m, exigindo-se duas nervuras no mnimo se esse vo ultrapassar 6 m; d) o apoio das lajes deve ser feito ao longo de uma nervura; e) nas nervuras com espessura inferior a 8 cm no permitido colocar armadura de compresso no lado oposto mesa. 2.2.4.3 Pilares Quanto aos pilares que recebem as cargas de lajes cogumelo, a NBR 6118:2003 recomenda que a menor dimenso dos pilares no cintados no deve ser inferior a 20 cm, nem a 1/25 da sua altura livre. O dimetro do ncleo dos pilares cintados no deve ser inferior a 20 cm, nem a 1/10 de sua altura livre. Para o caso dos pilares suportarem lajes cogumelo, esses limites passam a ser 30 cm e 1/15 para os no cintados, e 30 cm e 1/10 para os cintados, devendo ainda a espessura em cada direo no ser inferior a 1/20 da distncia entre eixos dos pilares nessa direo.

21

2.2.4.4 Puno 2.2.4.4.1 Dimensionamento de lajes puno De acordo com a NBR 6118:2003 o modelo de clculo para o dimensionamento de lajes puno, corresponde verificao de duas ou mais superfcies crticas definidas no entorno de foras concentradas (Figura 2.12).

Figura 2.12 Permetro crtico em pilares internos conforme a NBR 6118:2003.

Na primeira superfcie crtica (contorno C) do pilar ou da fora concentrada, a tenso de compresso diagonal do concreto verificada indiretamente, por meio da tenso de cisalhamento. Na segunda superfcie crtica (contorno C), afastada 2d do pilar ou fora concentrada, verifica-se a capacidade da ligao puno, associada resistncia trao diagonal. Essa verificao tambm pode ser feita usando-se uma tenso de cisalhamento no contorno C. Caso haja necessidade a ligao deve ser reforada por armadura transversal. A terceira superfcie crtica (contorno C), apenas verificada quando for necessria a utilizao de armadura transversal. A definio da tenso solicitante nas superfcies crticas C e C (Figura 2.12) para o caso de um pilar interno onde o efeito do carregamento pode ser considerado simtrico, dado pela expresso:

Sd =

FS d ud

(1)

22

d=

(d

x

+ dy ) 2

(2)

onde d a altura til da laje ao longo do contorno crtico C, externo ao contorno C da rea de aplicao da fora e distante 2d no plano da laje; dx e dy so as alturas teis nas duas direes ortogonais; u o permetro do contorno crtico C; ud a rea da superfcie crtica; Fsd a fora de puno ou a reao concentrada de clculo. Para pilares internos nos quais, alm da fora vertical, existe transferncia de momento da laje para o pilar, o efeito de assimetria deve ser considerado, de acordo com a expresso:

Sd =

FS d ud

+

K M Sd Wp d

(3)

onde K o coeficiente que fornece a parcela de MSd transmitida ao pilar por cisalhamento, sendo dependente da relao C1/C2; De acordo com a NBR 6118:2003, o coeficiente K assume os valores indicados na Tabela 2.1.Tabela 2.1 Valores e K.

C1/C2 K onde

0,5 0,45

1,0 0,60

2,0 0,70

3,0 0,80

C1 a dimenso do pilar paralela excentricidade da fora; C2 a dimenso do pilar perpendicular excentricidade da fora.

23

Os valores de Wp para pilar retangular e pilar circular, devem ser calculados pelas expresses (4) e (5), respectivamente: Wp = C12 + C1 C 2 + 4 C 2 d + 16 d 2 + 2 d C1 2 (4)

W p = (D p + 4d )

2

(5)

onde D p o dimetro do pilar. Desprezando-se a curvatura dos cantos do permetro crtico, pode-se calcular Wp por meio da expresso:W p = e dl0 u

(6)

onde dl o comprimento infinitesimal no permetro crtico u; e a distncia de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor MSd. Para o caso de pilares de borda a NBR 6118:2003 apresenta duas consideraes. Quando agir ou no momento no plano paralelo borda livre (Figura 2.13) as quais so apresentadas a seguir.

Figura 2.13 Permetro crtico em pilares de borda, conforme a NBR 6118:2003.

24

a) Quando no agir momento no plano paralelo borda livre: Sd = FS d u d*

+

K1 M Sd 1 W p1 d

(7)

M Sd 1 = M Sd M Sd 0

(

*

)

(8)

onde

FSd a reao de apoio;

u * o permetro crtico reduzido;M Sd o momento de clculo no plano perpendicular borba livre;M Sd o momento de clculo resultante da excentricidade do permetro crtico reduzido u * em relao ao centro do pilar;*

W p1 o mdulo de resistncia plstica perpendicular borda livre, calculadopara o permetro u . O coeficiente K1 assume os valores estabelecidos para K na Tabela 2.1, e os parmetros C1 e C2 so mostrados na Figura 2.13. b) Quando agir momento no plano paralelo borda livre: Sd = FS d u d*

+

K1 M Sd 1 K 2 M Sd 2 + W p1 d Wp2 d

(9)

onde

M Sd 2 o momento de clculo no plano paralelo borda livre;

W p 2 o mdulo de resistncia plstica na direo paralela borda livre, calculado pelo permetro u .

25

O coeficiente K 2 assume os valores estabelecidos para K na Tabela 2.1, substituindo-se C1/C2 por C2/2C1, sendo C1 e C2 mostrados na Figura 2.13. Para o caso de pilares de canto quando no age momento no plano paralelo borda, aplica-se o disposto para pilar de borda. Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, a verificao deve ser feita separadamente para cada uma delas, considerando-se o momento fletor cujo plano perpendicular borda livre adotada. Para esse caso o coeficiente K deve ser calculado em funo da proporo C1/C2, sendo C1 e C2, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo borda livre adotada, conforme Tabela 2.1 e Figura 2.14.

Figura 2.14 Permetro crtico em pilares de canto, conforme a NBR 6118:2003.

A NBR 6118:2003 indica ainda alguns casos especiais, onde necessria a definio de um contorno crtico. Como ilustrado na Figura 2.15, se o contorno C apresentar reentrncias, o contorno C deve ser paralelo ao polgono circunscrito ao contorno C.

Figura 2.15 Permetro crtico no caso de o contorno C apresentar reentrncia, conforme a NBR 6118:2003.

26

Caso exista abertura na laje situada a menos de 8d do contorno C, o trecho do contorno crtico C entre as duas retas que passam pelo centro de gravidade da rea de aplicao da fora e que tangenciam o contorno da abertura no deve ser considerado (Figura 2.16).

Figura 2.16 Permetro crtico junto abertura na laje, conforme a NBR 6118:2003.

2.3 Estudos Realizados na UFSM

Neste item so revisados e apresentados alguns trabalhos recentes desenvolvidos na Universidade Federal de Santa Maria, relacionados ao tema lajes, sendo que os trs estudos apresentados referem-se lajes do tipo nervuradas. SILVA FILHO (2002) realizou a anlise experimental de lajes pr-moldadas, compostas de vigotas de concreto armado e tavelas cermicas. A realizao desse trabalho envolveu desde o acompanhamento de todo o processo de fabricao das vigotas, com controle da dosagem do concreto e moldagem de corpos-de-prova, at a montagem e concretagem das lajes (Figura 2.17) na qual empregou mo-de-obra (pedreiros e serventes de obra) tpica da regio, a fim de avaliar o comportamento das lajes executadas sob estas circunstncias, sendo tambm moldados corpos-deprova desse concreto.

27

Figura 2.17 Concretagem da capa de concreto da laje de SILVA FILHO (2002).

Para a realizao dos ensaios construram-se piscinas, cujos fundos eram as prprias lajes a serem ensaiadas, e as laterais compostas por painis com estrutura de madeira, revestidas internamente por uma pelcula de PVC. Os carregamentos foram distribudos uniformemente e aplicados em estgios, controlando-se a altura de lmina de gua sobre as lajes. As deformaes foram medidas usando-se defletmetros e rguas graduadas posicionadas na face inferior das lajes. A Figura 2.18 mostra o momento anterior ruptura e o exato momento da ruptura de uma das lajes ensaiadas.

Figura 2.18 Laje prxima da ruptura, nos ensaios de SILVA FILHO (2002).

28

Os resultados experimentais mostraram que as lajes resistiram ao carregamento mnimo previsto, porm apresentaram deformaes superiores s previstas pela NBR 6118:1978. Segundo esse autor a comparao entre o modelo de clculo utilizado para dimensionamento e previso de fora de ruptura apresentou grande diferena quando comparado com os resultados experimentais. Na anlise dos resultados de fora mxima de servio determinada em funo da deformao mxima estipulada pela NBR 6118:1978, verificou que as cargas mximas permitidas so baixas quando comparadas capacidade de fora final de cada laje. Com esse fator concluiu que a utilizao da laje pr-moldada fica dependente da deformao mxima permitida. BOROWISKI (2005) faz uma adaptao do fluxograma proposto por SARKIS (2001) para a aplicao em sees transversais com forma de T. Neste estudo aplicado o princpio do material homogneo equivalente na determinao de flechas em lajes nervuradas. Nas anlises empregado o elemento finito Poutre do programa CASTEM 2000. So empregados os resultados de SILVA FILHO (2002) para a anlise de lajes nervuradas unidirecionais e de SELISTRE (2000) para a anlise de lajes bidirecionais. O clculo das lajes unidirecionais foi realizado por meio da simplificao em vigas de seo T, utilizando-se elemento finito de barra denominado Poutre, alm da discretizao da seo T e com elemento tridimensional, sendo utilizado o elemento Cu20, sendo que ambos os elementos compem a biblioteca do CASTEM 2000. J as lajes bidirecionais foram simuladas utilizando-se elementos finitos lineares discretizao da laje por meio de uma grelha. DUTRA (2005) estudou as solicitaes e deslocamentos nas lajes cogumelo nervuradas. Nesse estudo comprova-se que nos casos de carregamento e de geometria no previstos pela NBR 6118:2003, o mtodo simplificado recomendado apresenta discrepncias com os resultados previstos para lajes de formas diversas utilizadas na prtica. Nesta pesquisa foram confeccionados e instrumentados trs modelos iguais deste tipo de laje, em escala reduzida, com vistas a se obter dados comparativos que validem ou no a aplicao dos mtodos simplificados para a anlise desse tipo estrutural recomendados pela Norma brasileira (Figura 2.19).

29

Figura 2.19 Nervuras de uma laje ensaiada em escala reduzida por DUTRA (2005).

Para fins comparativos foi utilizado um modelo numrico por elementos finitos, simulando-se as caractersticas das lajes ensaiadas, com a aplicao dos softwares ANSYS e CYPECAD.

30

3

MTODOS DE CLCULO

3.1 Consideraes Iniciais

Inmeros so os mtodos de clculo que podem ser empregados na soluo, tanto analtica quanto numrica de lajes lisas, nervuradas e cogumelo nervuradas. Neste captulo sero estudados alguns destes mtodos, porm, ser dada maior ateno ao Mtodo dos Elementos Finitos e s teorias e mtodos clssicos que fundamentam esse mtodo numrico, visto que o mesmo utilizado como base para esta pesquisa. De maneira especfica ser revisada a teoria clssica de placas, sua soluo aproximada por meios de sries, sua formulao para o caso de lajes nervuradas, e o Mtodo dos Elementos Finitos, para o qual ser apresentada uma breve reviso quanto sua utilizao no clculo de lajes nervuradas. Sero feitas algumas consideraes sobre o mtodo da analogia por grelhas, e sobre o mtodo dos prticos equivalentes proposto pela NBR 6118:2003.

3.2 Teoria de Placas

3.2.1 Introduo Neste item so apresentadas as hipteses fundamentais consideradas na teoria clssica de placas, e o seu desenvolvimento terico. Da teoria de placas decorre inmeros mtodos simplificados para o dimensionamento de lajes, principalmente por meio de planilhas e bacos. fundamental revisar a Teoria Geral de Placas Delgadas, que de difcil aplicao na soluo de problemas mais complexos, mas a base para aplicaes numricas, tanto utilizando-se sua soluo aproximada por meio de sries de Fourier, como por meio do Mtodo dos Elementos Finitos.

31

3.2.2 Teoria Clssica de Placas Delgadas Para um elemento de placa de dimenses dx e dy, submetido a uma carga distribuda p, pode-se estabelecer o equilbrio de foras e momentos, conforme desenvolvido a seguir, e mostrado na Figura 3.1.Q y dx

dxxQ x dy

dy

h

y

(Q + Qy dy )dxy y

(Q + Qx dx )dyx x

z

Figura 3.1 Equilbrio da fora cortante em um elemento de placa.

Considerando-se a fora total Q resultante da carga distribuda p aplicada na rea dxdy do referido elemento, tem-se que:

Q = pdxdye seguindo-se para o equilbrio das foras (Figura 3.1): Qx Qy dx dy + Qy + dy dx Qxdy Qydx + pdxdy = 0 Qx + x y

(10)

(11)

ento

Qx Qy + = p x y

(12)

Como ilustrado na Figura 3.2, por meio do equilibrio dos momentos em torno do eixo x, tem-se:

32

m xy m y m xy + dx dy m xy dy m y + dy dx m y dx Q y dxdy = 0 x y

(13)

que simplificada fica:

m y y

m xy x

= Qy

(14)

Da mesma forma possvel definir o equilbrio dos momentos em torno do eixo y:m yx m m yx + dy dx m yx dx + m x + x dx dy m y dy Qx dydx = 0 y x

(15)

que simplificada fica:

m x m yx = Qx x y

(16)

m yx dx

dxm y dx

mxy dy

m x dy

x

dy

h

(m(m + m dx )dy xx x

xy

+

mxy dx dy x

)

(m + my dy )dxy y

y

(

m m yx + yyx dy dx

)

z

Figura 3.2 Equilbrio de momentos fletores e torores num elemento de placa.

Considerando-se que mxy = m yx resulta:

33

m x m xy = Qx x y

(17)

Assim, substituindo-se as expresses (14) e (17) na expresso (12), tem-se: m x m xy x x y m y m xy + y y x = p

(18)

que pode ser escrita da seguinte forma2 2 2 2 m x m xy m y m xy + = p xy xy x 2 y 2

(19)

Simplificando-se segue para a equao geral de placas:2 2 m xy 2 mx m y + 2 = p xy x 2 y 2

(20)

Sendo possvel relacionar tambm deslocamentos com a solicitao, seguindose as expresses que relacionam os momentos com as curvaturas da placa: 2w 2w mx = D 2 + 2 x y

(21)

2w 2w m y = D 2 + 2 y x

(22)

2w mxy = D(1 ) xy

(23)

onde w a flecha da placa num dado ponto da placa, e D a rigidez flexo da placa dada pela expresso

34

E h3 D= 12 1 2

(

)

(24)

em que:

E = mdulo de deformao longitudinal do material;h = espessura da placa;

= coeficiente de Poison do material.As expresses que relacionam as foras cortantes com as curvaturas da placa, so: 3w 3w q x = D 3 + x xy 2

(25)

3w 3w q y = D 3 + 2 y x y

(26)

Substituindo-se as expresses (21), (22) e (23) na expresso (20), tem-se: 4w 4w 4w p + 4 +2 2 2 = 4 D x y x y

(27)

Essa expresso a equao diferencial de placas, conhecida como equao de Lagrange, que pode ser escrita como:

4w =

p D

(28)

sendo 2 o operador laplaciano dado por 2 = 2 + 2 x y

(29)

35

3.2.3 Solues por Meio de Sries TIMOSHENKO e WOINOSWSKY-KRIGER (1959) relatam que Navier apresentou em 1820 na Academia Francesa de Cincias a soluo da equao de placas, num trabalho contendo a soluo por sries duplas trigonomtricas de uma placa retangular simplesmente apoiada. Esta soluo permite calcular placas retangulares simplesmente apoiadas com qualquer tipo de carregamento p(x,y), onde esse carregamento pode ser representado aproximadamente por sries duplas de Fourier. A equao de Lagrange apresenta poucas solues exatas, restringindo-se a casos de geometrias e carregamentos comuns. Para o caso de uma placa retangular com carregamento bisenoidal distribudo sobre a superfcie da placa, a soluo pode ser dada por uma srie de Fourier dupla trigonomtrica, onde esse carregamento pode ser representado pela expresso:

p = p(x, y ) = pmn senm n

n y m x sen b a

(30)

em que

a e b = dimenses da placa; m e n = nmero de retngulos em que se divide a placa, cada um com lados a/m e b/n;

pmn = valor mximo da ao no centro de cada retngulo.A linha elstica w(x,y) dada por uma srie dupla obtida a partir das derivadas da equao fundamental e das condies de contorno para a placa apoiada ao longo das bordas e com rotao livre, resultando:

w=

pmn m x n y sen sen 2 2 2 a b m n 4 D 2 + 2 a b

(31)

em que os valores de pmn so dados por

pmn =

m x n y 4 ba p( x, y )sen sen dx dy a b 0 0 a b

(32)

36

O caso de uma placa retangular com carregamento uniformemente distribudo na superfcie, como ilustrado na Figura 3.3.

Figura 3.3 Placa retangular com carregamento uniformemente distribudo em sua superfcie.

Considerando-se a ao uniformemente distribuda p = p( x, y ) , tem-se pmn dado pela expresso:pmn = 16 p 2 mn (33)

Em que m e n so nmeros mpares (1,3,5, ...), pois ao serem pares tem-se pmn = 0 . Superpondo-se os efeitos e colocando-se pmn da equao (33) na equao da linha elstica, tem-se a funo w(x,y), que descreve a flecha de uma placa retangular, para o carregamento uniformemente distribudo em sua superfcie: sen m x n y sen a b m2 n2 m n 2 + 2 a b

w=

16 p 6 D m n

(34)

37

Obtm-se os momentos fletores mx e m y por faixa de comprimento unitrio, nas direes x e y, a partir das derivadas da superfcie elstica w(x,y), conforme as expresses (21) e (22), resultando nas expresses: m2 n2 2 + 2 a b 16 p sen m x sen n y mx = 4 2 a b m n m2 n2 m n 2 + 2 a b

(35)

n2 m2 2 + 2 b a 16 p sen m x sen n y my = 4 2 a b m n m2 n2 m n 2 + 2 a b

(36)

As expresses para m x e m y dependem somente as dimenses a e b, da placa e de seu carregamento p . Cabe observar que a preciso dos resultados depender de quantos valores de

m e n sero adotados.3.2.4 Teoria de Placas para Lajes Nervuradas Segundo SHTAERMAN e IVIANSKI (1960) a anlise de lajes cogumelo por mtodos de clculo exatos impossvel, considerando-se as lajes como placas macias apoiadas a pontos de pouca superfcie. Segundo AJDUKIEWICZ e STAROSOLSKI (1990) a anlise estrutural de lajes nervuradas pode ser feita pela analogia grelhas e pela analogia a lajes macias istropas com rigidez equivalente. No entanto, a utilizao do modelo de laje orttropa leva a melhores resultados, podendo ser empregados modelos elsticos e rgidos-plsticos aproximados ou exatos. Desse modo possvel escrever a equao de Lagrange na forma:

38

4w 4w 4w Dx 4 + D y 4 + 2 H 1 2 2 = p x y x y onde

(37)

Ex = E y = E

(38)

x = y =

(39)

Gxy = G

(40)

Dx = D y = D

(41)

3 Eh3 h + 2G = H1 = E 2 2 1 v 12 12 1 v

(

)

(42)

Pode-se adaptar a soluo de lajes orttropas para lajes nervuradas considerando-se os seguintes fatores na expresso (37):Bx By

Dx =

(43)

Dy =

By Bx

(44)

D1 = Dx Dy 0

(45)

39

Cy 1C Dxy = x + 2 B y Bx onde

(46)

Bx a rigidez flexo das nervuras