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ANÁLISE PARAMÉTRICA DE SUPERESTRUTURA
DE PONTE EM VIGA CONTÍNUA
Silvano Cunha da Silva
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientadores:
Ricardo Valeriano Alves
Flávia Moll de Souza Judice
Rio de Janeiro
Setembro de 2016
ANÁLISE PARAMÉTRICA DE SUPERESTRUTURA DE PONTE EM VIGA CONTÍNUA
Silvano Cunha da Silva
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
______________________________________________
Prof. Ricardo Valeriano Alves
D. Sc., EP/UFRJ (Orientador)
______________________________________________
Prof.ª Flávia Moll de Souza Judice
D. Sc., EP/UFRJ (Orientadora)
______________________________________________
Prof.ª Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
D. Sc., UFF
______________________________________________
Prof. Mauro Henrique Alves de Lima Júnior
D.Sc., EP/UFRJ
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO de 2016
ii
Silva, Silvano Cunha da
Análise Paramétrica de Superestrutura de Ponte em Viga Contínua/ Silvano Cunha da Silva – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.
XIV, 300p.: il.; 29,7
Orientador(es): Ricardo Valeriano Alves , Flávia Moll de Souza Judice
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola politécnica/ Engenharia Civil, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 148
1. Análise Estrutural 2. Superestrutura de Pontes 3. Análise Preliminar 4. Pré-dimensionamento. I. Alves, Ricardo Valeriano, “et al” II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Engenharia Civil. III. Análise Paramétrica de Superestrutura de Ponte em Viga Contínua.
iii
Agradecimentos
Agradeço, em primeiro lugar, a Deus, “Porque d’Ele e por Ele, e para Ele, são
todas as coisas; glória, pois, a Ele Eternamente” (Romanos 11.36). Diante da
dificuldade e das mais diversas experiências, com “mão forte, e braço estendido; o seu
amor dura para sempre” (Salmos 136.12), me ajudando, direcionando, dando força e
alegria, mostrando sua presença, amizade e fidelidade em todos os momentos.
Aos meus pais, pelo apoio, participação e incentivo desde o despertar do
desejo pela graduação até a sua concretização. Sonhando, sorrindo, chorando e
triunfando sobre tantas dificuldades e tropeços.
À minha avó materna Esther, “in memoriam”, por ser vital na formação do meu
caráter, sendo modelo de generosidade, sabedoria, amor e companheirismo nesta
jornada.
Aos professores orientadores Ricardo Valeriano Alves e Flávia Moll de Souza
Judice por sua dedicação, sabedoria, paciência e conhecimento compartilhado nas
salas de aula e em todo o processo de desenvolvimento deste trabalho.
Aos professores e colegas de curso que, isolados ou em conjunto, fizeram
parte da minha formação acadêmica.
À professora Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro e ao professor Mauro
Henrique Alves de Lima Júnior pelo carinho e por acolher o convite de participar da
banca examinadora.
À minha noiva, Shalomí da Costa Lacerda, pela compreensão, carinho e ajuda
nos momentos de dificuldade, e por celebrar a cada nova conquista.
Aos amigos Gisele, Tássia, Natália, Marcela e Diogo, por serem pessoas
fundamentais durante o difícil caminhar até este momento.
A todos, meus sinceros agradecimentos.
iv
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica / UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Análise Paramétrica de Superestruturas de Ponte em Viga Contínua
Silvano Cunha da Silva
Setembro/2016
Orientadores: Ricardo Valeriano Alves, Flávia Moll de Souza Judice
Curso: Engenharia Civil
Este trabalho apresenta uma análise paramétrica da superestrutura de ponte em viga
contínua com seção celular. Descreve as características e propriedades gerais de
pontes, sistemas estruturais e principais carregamentos considerados neste tipo de
estrutura, entre eles: peso próprio, sobrecarga permanente, carga móvel e variação de
temperatura. Desenvolve ferramentas para a obtenção das principais solicitações,
apresentando o procedimento utilizado, os resultados obtidos e sua forma de
aplicação. Ganham destaque as principais seções transversais de análise, que são:
S4, S5, S10 e S15. São confeccionados ábacos para determinação das solicitações
nas principais seções transversais da superestrutura e, por fim, apresenta-se um
exemplo numérico, baseado no estudo desenvolvido, seguido de verificação e
comparação com um modelo computacional, atestando a confiabilidade do estudo
desenvolvido.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fuifilment of the
requirement for the degree of Civil Engineer.
Parametric Analyses of Bridge Superstructures on Continuous Beam
Silvano Cunha da Silva
September/2016
Advisors: Ricardo Valeriano Alves, Flávia Moll de Souza Judice
Course: Civil Engineering
This paper presents a parametric analysis of the bridge superstructure in continuous
beam with cell section. It describes the general characteristics and properties of
bridges, structural systems and main loadings considered in this type of structure,
including: own weight, permanent overhead, moving load and temperature variation.
Develops tools for obtaining the main requests, with the procedure used, the results
and their application form. Are highlighted the main cross-section analysis, which are:
S4, S5, S10 and S15. Abacuses are made to determine the requests of the main
transverse sections of the superstructure and, finally, shows a numerical example,
based on the study carried out, followed by scanning and comparison with a computer
model, confirming the reliability of the study developed.
vi
Sumário
1 Introdução ....................................................................................................... 1
1.1 Motivação ...................................................................................................................... 1
1.2 Objetivo ......................................................................................................................... 1
1.3 Organização do Texto ................................................................................................... 2
2 Concepção ...................................................................................................... 3
2.1 Elementos Constituintes de uma Ponte ........................................................................ 6
2.2 Critérios de Classificação das Pontes ........................................................................... 7
2.2.1 Finalidade .............................................................................................................. 7
2.2.2 Material .................................................................................................................. 7
2.2.3 Sistema Estrutural ................................................................................................. 8
3 Carregamentos ............................................................................................. 15
3.1 Ações Permanentes .................................................................................................... 15
3.1.1 Peso Próprio Estrutural ....................................................................................... 15
3.1.2 Sobrecarga Permanente ..................................................................................... 16
3.2 Ações Variáveis ........................................................................................................... 17
3.2.1 Carga Móvel ........................................................................................................ 17
3.3 Temperatura ................................................................................................................ 20
4 Modelo Simplificado Via Método das Forças ................................................. 21
4.1 Modelo de Análise ....................................................................................................... 21
4.2 Aplicação do Método das Forças ................................................................................ 24
4.2.1 Método da Carga Unitária ................................................................................... 24
4.2.2 Solicitações Externas no Sistema Principal ........................................................ 27
5 Estudo Paramétrico ....................................................................................... 36
5.1 Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente .......................................... 39
5.1.1 Determinação do Peso Próprio Estrutural ........................................................... 40
5.1.2 Determinação da Sobrecarga Permanente ......................................................... 40
5.2 Análise da Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente ........................ 42
5.2.1 Relação Entre Solicitações de Momento Fletor nas Seções de Estudo ............. 47
5.2.2 Solicitações de Momento Fletor .......................................................................... 49
5.2.3 Solicitações de Cortante...................................................................................... 56
5.2.4 Reações de Apoio ............................................................................................... 59
5.3 Ação Devida a Carga Móvel ........................................................................................ 61
5.3.1 Coeficiente de Impacto ........................................................................................ 61
5.3.2 Trem Tipo de Flexão ........................................................................................... 63
5.3.3 Linha de Influência .............................................................................................. 65
5.3.4 Solicitações de Momento Fletor .......................................................................... 91
5.3.5 Solicitações de Cortante.................................................................................... 111
5.3.6 Reações de Apoio ............................................................................................. 121
5.4 Ação Devido à Temperatura ..................................................................................... 126
5.4.1 Solicitações de Momento Fletor ........................................................................ 129
5.4.2 Solicitações de Cortante.................................................................................... 131
5.4.3 Reação de Apoio ............................................................................................... 132
6 Exemplo Numérico ...................................................................................... 135
6.1 Solicitações de Peso Próprio e Sobrecarga Permanente ......................................... 135
6.2 Solicitações de Carga Móvel ..................................................................................... 140
6.3 Solicitações de Temperatura ..................................................................................... 147
6.4 Avaliação do Exemplo Numérico .............................................................................. 149
7 Considerações Finais .................................................................................. 152
Referências Bibliográficas:........................................................................................ 155
vii
Apêndice A – Diagramas de momento fletor e cortante em função de λ e λb:........... 156
Apêndice B – Ordenada e seção de inflexão, momento no primeiro vão: ................. 164
Apêndice C – Curvas/Linhas de tendência de momento fletor na seção S4: ............ 174
Apêndice D – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S5: ................. 181
Apêndice E – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S10: ................ 188
Apêndice F – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S15: ................ 195
Apêndice G – Curvas/Linhas de tendência cortante a esquerda na seção S10: ....... 202
Apêndice H – Curvas/Linhas de tendência reação de apoio em B: ........................... 209
Apêndice I – Ordenadas da linha de influência para o cortante na seção S10 a direita e a esquerda: ............................................................................................................... 216
Apêndice J – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S4, carga móvel: ............................................................................................................. 222
Apêndice K – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S5, carga móvel: ............................................................................................................. 229
Apêndice L – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor na seção S10, carga móvel: 236
Apêndice M – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor positivo na seção S15, carga móvel: ............................................................................................................. 250
Apêndice N – Curvas/Linhas de tendência do cortante à direita e à esquerda da seção S10, ação da carga móvel: ....................................................................................... 257
Apêndice O – Curvas/Linhas de tendência da reação de apoio em B, ação da carga móvel 285
Apêndice P – Gradiente de Temperatura: ................................................................. 299
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Sistema estrutural em viga celular em concreto ........................................................ 3
Figura 2.2 - Sistema estrutural em viga celular em aço ................................................................ 4
Figura 2.3 – Sistema estrutural em treliça metálica ...................................................................... 4
Figura 2.4 – Sistema estrutural em arco de concreto ................................................................... 4
Figura 2.5 – Sistema estrutural em arco metálico......................................................................... 4
Figura 2.6 – Sistema estrutural em arco metálico com superfície de rolamento intermediária .... 5
Figura 2.7 – Sistema estrutural em sistema pênsil ....................................................................... 5
Figura 2.8 – Sistema estrutural em pórtico ................................................................................... 5
Figura 2.9 – Sistema estrutural estaiado ...................................................................................... 5
Figura 2.10 – Elementos constituintes de uma ponte ................................................................... 6
Figura 2.11 – Sistema estrutural em laje ...................................................................................... 8
Figura 2.12 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada.................................................................... 8
Figura 2.13 – Sistema estrutural em sequência de vigas bi-apoiadas ......................................... 9
Figura 2.14 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada com balanços ............................................ 9
Figura 2.15 – Sistema estrutural em viga hiperestática com balanços ......................................... 9
Figura 2.16 – Sistema estrutural em viga hiperestática sem balanços ......................................... 9
Figura 2.17 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção aberta ................. 10
Figura 2.18 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção fechada .............. 10
Figura 2.19 – Sistema estrutural em pórtico ............................................................................... 11
Figura 2.20 – Sistema estrutural em arco: a) superfície de rolamento superior; b) superfície de
rolamento inferior; c) superfície de rolamento intermediária ............................................... 12
Figura 2.21 – Sistema estrutural pênsil ....................................................................................... 13
Figura 2.22 – Sistema estrutural estaiado, disposição de cabos: a) tipo leque; b) tipo harpa; c)
tipo semi-harpa (híbrido) ..................................................................................................... 14
Figura 2.23 – Sistema estrutural estaiado, configurações típicas das torres (ou pilones) ......... 14
Figura 3.1 – Barreira “New Jersey” ............................................................................................. 16
Figura 3.2 – Disposição de cargas TB-450 ................................................................................. 17
Figura 3.3 – Diagrama de distribuição de temperatura ao longo da altura da peça ................... 20
Figura 4.1 – Modelo de análise ................................................................................................... 21
Figura 4.2 – Comprimento equivalente para o balanço .............................................................. 22
Figura 4.3 – Gráfico ������������� .................................................................................... 23
Figura 4.4 – Modelo de análise simétrico ................................................................................... 23
Figura 4.5 – Sistema principal para o método das forças ........................................................... 24
Figura 4.6 – Modelo simplificado via método das forças ............................................................ 24
Figura 4.7 – Efeitos de um momento unitário e de um carregamento qualquer ......................... 24
Figura 4.8 – Diagrama de momentos da carga unitária e do carregamento qualquer ............... 25
Figura 4.9 – Diagrama momento-rotação e tensão-deformação ................................................ 25
Figura 4.10 – Diagrama de ação da carga unitária ..................................................................... 26
ix
Figura 4.11 – Associação das soluções para integrais do método das forças ........................... 27
Figura 4.12 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga
distribuída uniforme ............................................................................................................. 28
Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme,
hiperestático X1 ................................................................................................................... 28
Figura 4.14 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme,
hiperestático X2 ................................................................................................................... 29
Figura 4.15 – Diagrama final de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme ......... 30
Figura 4.16 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga
concentrada no meio dos vãos ........................................................................................... 31
Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão,
hiperestático X1 ................................................................................................................... 31
Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão,
hiperestático X2 ................................................................................................................... 32
Figura 4.19 – Deformada e rotações relativas para ação de momentos nos extremos ............. 32
Figura 4.20 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos,
hiperestático X1 ................................................................................................................... 33
Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos,
hiperestático X2 ................................................................................................................... 33
Figura 4.22 – Diagrama de momentos fletores, efeito de gradiente de temperatura,
hiperestático X1 ................................................................................................................... 34
Figura 5.1 - Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �� = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9 ..... 36
Figura 5.2 – Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �� = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9 37
Figura 5.3 – Diagrama de cortante em � para �� = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9........................... 37
Figura 5.4 – Diagrama de cortante em � para �� = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9 ...................... 38
Figura 5.5 – Seções de décimos de vão ..................................................................................... 39
Figura 5.6 – Seção transversal ................................................................................................... 39
Figura 5.7 – Seção transversal aproximada típica (dimensões em m) ....................................... 40
Figura 5.8 – Espessura de pavimentação ................................................................................... 41
Figura 5.9 – Ordenada ����. 1º�ã�(+) versus � para �2 = 15,0� ......................................... 43
Figura 5.10 – Seção ����. 1º�ã�(+) versus � para �2 = 15,0� ............................................ 44
Figura 5.11 – Relação �#4����. 1º�ã�(+) versus �, para �2 = 15,0� ................................. 45
Figura 5.12 – Relação �#5����. 1º�ã�(+) versus �, para �2 = 15,0� ................................. 45
Figura 5.13 – Diagrama de momentos fletores para �2 = 15,0� e � = 0,7e relação:
a) �� = 0; b) �� = 0,10; c) �� = 0,20; d) �� = 0,30 (valores em � ∙ �). ............................ 46
Figura 5.14 – Relação �#10�#0 versus �, para �2 = 15,0� ................................................... 48
Figura 5.15 – Relação �#15�#4 versus �, para �2 = 15,0� ................................................... 49
Figura 5.16 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �� = 0,15 ...................................... 52
Figura 5.17 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S5, �� = 0,15 ......................... 53
Figura 5.18 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �� = 0,15...................... 54
x
Figura 5.19 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �� = 0,15 ....................... 55
Figura 5.20 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �� = 0,15 ............................ 57
Figura 5.21 – Solicitações de cortante seção S10 à direita ........................................................ 58
Figura 5.22 – Reações de apoio do modelo de análise .............................................................. 59
Figura 5.23 – Reação de apoio &', �� = 0,15 .......................................................................... 60
Figura 5.24 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão, em planta .................... 63
Figura 5.25 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão e apenas com carga de
multidão, corte transversal .................................................................................................. 64
Figura 5.26 – Trem-tipo de flexão ............................................................................................... 64
Figura 5.27 – Linhas de influência de momento fletor: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15
............................................................................................................................................. 65
Figura 5.28 – Linhas de influência de cortante: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15 ....... 66
Figura 5.29 – Ordenadas na seção S4 da linha de influência da seção S4 ............................... 72
Figura 5.30 – Ordenadas na seção S5 da linha de influência da Seção S4 .............................. 73
Figura 5.31 – Ordenadas na seção S15 da linha de influência da seção S4 ............................. 74
Figura 5.32 – Ordenadas no balanço da linha de influência da seção S4, �� = 0,15 ................ 75
Figura 5.33 – Ordenadas na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4 . 77
Figura 5.34 – Orientação para as funções das ordenadas ......................................................... 77
Figura 5.35 – Linha de influência de momentos da seção S4 .................................................... 92
Figura 5.36 – Gráfico ����. #4 versus �2 .................................................................................. 95
Figura 5.37 – Gráfico ��(). #4 versus �2 para �� = 0,15 .......................................................... 96
Figura 5.38 – Linha de Influência de momento fletor da seção S5............................................. 98
Figura 5.39 – Gráfico ����. #5 versus �2 ................................................................................ 100
Figura 5.40 – Gráfico ��(). #5 versus �2, para �� = 0,15 ....................................................... 101
Figura 5.41 – Linha de Influência da seção S10 ....................................................................... 103
Figura 5.42 – Gráfico ��(). #10 versus �2, para �� = 0,15 ..................................................... 105
Figura 5.43 – Gráfico ����. #10 versus �2, para �� = 0,15 .................................................... 106
Figura 5.44 – Linha de influência da seção S15 ....................................................................... 107
Figura 5.45 – Gráfico ����. #15 versus �2, para �� = 0,15 .................................................... 110
Figura 5.46 – Gráfico ��(). #15 versus �2 .............................................................................. 111
Figura 5.47 - Gráfico *#10.���. +(� versus �2, �� = 0,15 ....................................................... 117
Figura 5.48 - Gráfico *#10.�(). +(� versus �2, �� = 0,15 ........................................................ 118
Figura 5.49 - Gráfico *#10.���. �� versus �2, �� = 0,15 ....................................................... 119
Figura 5.50 - Gráfico *#10.�(). �� versus �2, �� = 0,15 ........................................................ 120
Figura 5.51 - Gráfico &'.��� versus �2, �� = 0,15 ................................................................. 123
Figura 5.52 - Gráfico &'.�() versus �2, �� = 0,15 .................................................................. 125
Figura 5.53 – Linearização da ação de temperatura ................................................................ 126
Figura 5.54 – Trapézios para avaliação das variáveis b(y) e T(y) ............................................ 127
Figura 5.55 – Distribuição simplificada genérica de temperatura ............................................. 128
Figura 5.56 – Distribuição linearizada equivalente da temperatura .......................................... 128
xi
Figura 5.57 – Decomposição em trapézios ............................................................................... 129
Figura 5.58 – Curva de momento fletor versus � por ação de temperatura ............................. 131
Figura 5.59 – Diagrama de cortante e momento por ação de temperatura .............................. 131
Figura 5.60 – Cortante à esquerda, por ação de temperatura .................................................. 132
Figura 5.61 – Reação de apoio em B versus �2 ....................................................................... 134
Figura 6.1 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �) ............................................................................................................................... 151
Figura 6.2 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �) ............................................................................................................................... 151
xii
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Ordenadas do diagrama de distribuição da temperatura ...................................... 20
Tabela 5.1 – Solicitações de momento fletor nas seções S4, S5, S10 e S15 ............................ 51
Tabela 5.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �� = 0,15 ...... 52
Tabela 5.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �� = 0,15 ...... 53
Tabela 5.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �� = 0,15 .. 54
Tabela 5.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �� = 0,15 .... 55
Tabela 5.6 – Solicitações de cortante na seção S10 .................................................................. 56
Tabela 5.7 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda, para �� = 0,15 ........ 57
Tabela 5.8 – Reações de Apoio &, e &' ................................................................................... 59
Tabela 5.9 – Linhas de tendência de reação de apoio &' para �� = 0,15 ................................. 60
Tabela 5.10 – Coeficiente de impacto, � = 0,7 ........................................................................... 62
Tabela 5.11 – Linhas de influência da seção S4: a) �2 = 10,0�; b) �2 = 13,0� ; c) �2 = 15,0�;
d) �2 = 18,0� ; e) �2 = 20,0� ............................................................................................ 67
Tabela 5.12 – Linhas de influência da seção S10: a) �2 = 10,0�; b) �2 = 13,0� ; c) �2 =15,0�; d) �2 = 18,0� ; e) �2 = 20,0� ............................................................................... 68
Tabela 5.13 – Linhas de Influência da seção S15: a) �2 = 10,0�; b) �2 = 13,0� ; c) �2 =15,0�; d) �2 = 18,0� ; e) �2 = 20,0� ............................................................................... 69
Tabela 5.14 – Ordenadas linha de influência, momento fletor da seção S4 .............................. 72
Tabela 5.15 – Constantes C, na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4
............................................................................................................................................. 76
Tabela 5.16 – Ordenadas na seção S4 para linha de influência de momentos fletores em S4 . 76
Tabela 5.17 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de
influência de momento fletor em S4 .................................................................................... 78
Tabela 5.18 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para
linha de influência de momento fletor em S4 ...................................................................... 79
Tabela 5.19 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de
influência de momento fletor em S5 .................................................................................... 80
Tabela 5.20 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para
linha de influência de momento fletor em S5 ...................................................................... 81
Tabela 5.21 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de
influência de momento fletor em S10 .................................................................................. 82
Tabela 5.22 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para
linha de influência de momento fletor em S10 .................................................................... 83
Tabela 5.23 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de
influência de momento fletor em S15 .................................................................................. 84
Tabela 5.24 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para
linha de influência de momento fletor em S15 .................................................................... 85
xiii
Tabela 5.25 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para o cortante a direita ............... 86
Tabela 5.26 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço
esquerdo .............................................................................................................................. 87
Tabela 5.27 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, pontos de
estudo .................................................................................................................................. 87
Tabela 5.28 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço
direito ................................................................................................................................... 87
Tabela 5.29 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, balanço
esquerdo .............................................................................................................................. 88
Tabela 5.30 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, pontos de
estudo .................................................................................................................................. 88
Tabela 5.31 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço
direito ................................................................................................................................... 88
Tabela 5.32 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à direita . 89
Tabela 5.33 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à esquerda
............................................................................................................................................. 90
Tabela 5.34 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor na seção S4 ..................... 92
Tabela 5.35 – Envoltória de momentos fletores na seção S4 (� = 0,7 e �� = 0,15) .................. 94
Tabela 5.36 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para ação da carga
móvel ................................................................................................................................... 95
Tabela 5.37 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �� = 0,15 . 96
Tabela 5.38 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor na seção S5 ..................... 97
Tabela 5.39 – Envoltória de momentos fletores na seção S5 (� = 0,7 e �� = 0,15) .................. 99
Tabela 5.40 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 .......................... 100
Tabela 5.41 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �� = 0,15 101
Tabela 5.42 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor da seção S10 ................. 102
Tabela 5.43 – Envoltória de momentos fletores na seção S10 (� = 0,7 e �� = 0,15) .............. 104
Tabela 5.44 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �� = 0,15 ........................................................................................................................................... 105
Tabela 5.45 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �� = 0,15106
Tabela 5.46 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor da seção S15 ................. 107
Tabela 5.47 – Envoltória de momentos fletores na seção S15 (� = 0,7 e �� = 0,15) .............. 109
Tabela 5.48 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �� = 0,15110
Tabela 5.49 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S15 ....................... 111
Tabela 5.50 - Ordenadas de cortante à direita da seção S10 .................................................. 112
Tabela 5.51 - Ordenadas de cortante à esquerda da seção S10 ............................................. 112
Tabela 5.52 - Solicitações de cortante à direita da seção S10 ................................................. 114
Tabela 5.53 - Solicitações de cortante à esquerda da seção S10 ............................................ 116
Tabela 5.54 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �� = 0,15 ........................................................................................................................................... 117
xiv
Tabela 5.55 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10 para �� = 0,15 ........................................................................................................................................... 118
Tabela 5.56 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda na seção S10, para �� = 0,15 ........................................................................................................................... 119
Tabela 5.57 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda na seção S10, para �� =0,15 .................................................................................................................................... 120
Tabela 5.58 – Reações máximas e mínimas do Apoio em B, para a ação da carga móvel
(�� = 0,15) ......................................................................................................................... 121
Tabela 5.59 - Linhas de tendência de reação máxima de apoio em B, para �� = 0,15 ........... 123
Tabela 5.60 - Linhas de tendência de reação mínima de apoio em B, para �� = 0,15 ............ 125
Tabela 5.61 – Desenvolvimento da integração da temperatura para seção transversal.......... 128
Tabela 5.62 – Solicitação de momento fletor por ação da temperatura ................................... 130
Tabela 5.63 – Solicitação de cortante à esquerda .................................................................... 132
Tabela 5.64 – Reações de apoio em B, � = 0,7 ....................................................................... 133
Tabela 5.65 – Linhas de tendência de reação de apoio em B, por ação de temperatura ....... 134
Tabela 6.1 – Opções para transposição ................................................................................... 135
Tabela 6.2 – Resumo das solicitações de peso próprio e sobrecarga permanente ................. 139
Tabela 6.3 – Resumo Solicitações carga móvel, momento fletor ............................................. 146
Tabela 6.4 – Resumo solicitações temperatura, momento fletor .............................................. 148
Tabela 6.5 – Comparativo entre o estudo desenvolvido e o modelo computacional ............... 149
1
1 Introdução
A concepção de um projeto de ponte inicia-se com a necessidade de se
transpor algo, seja um rio, um vale, uma via, ou algum obstáculo que impeça a
passagem. Ao se deparar com este determinado obstáculo em que a solução seja
executar uma ponte para a sua transposição, inicia-se o processo de estudo de
viabilidade, com a escolha do sistema estrutural ideal para a situação, ou seja, a
solução estrutural mais viável.
Os projetistas que possuem “know-how” para a execução destas estruturas,
em sua maioria, baseiam-se em projetos já realizados ou pontes já construídas. São
considerados métodos construtivos e soluções estruturais adotadas há décadas,
tecnologias consagradas ou novas etc. Observa-se que o projeto considerado ideal à
realidade moderna pode não se apresentar como a solução indicada para um
determinado obstáculo se o mesmo projeto fosse concebido no passado, ou até
mesmo no futuro. Mesmo assim, ainda se utilizam métodos e projetos antigos como
subsídio para novas concepções.
1.1 Motivação
Diante da situação apresentada, percebe-se que a inexperiência do jovem
engenheiro torna-se um enorme empecilho no ingresso ao cálculo estrutural de
pontes. Essa constatação motivou o desenvolvimento do trabalho aqui apresentado,
que busca fornecer subsídios confiáveis para o pré-dimensionamento de
superestruturas de pontes.
1.2 Objetivo
O objetivo deste trabalho é analisar a superestrutura de uma ponte típica em
viga contínua com seção celular e desenvolver ferramentas que forneçam uma análise
preliminar rápida, apresentando as principais solicitações dimensionantes para as
ações usuais. Desta forma, tornando mais ágil o processo de pré-dimensionamento de
uma superestrutura típica de ponte com três vãos e balanços extremos em concreto
armado.
2
1.3 Organização do Texto
O trabalho é subdividido basicamente em três etapas. A primeira consiste na
apresentação da metodologia usada, carregamentos considerados, premissas
adotadas e descrição dos processos de cálculo a serem utilizados. A segunda etapa é
a análise do modelo proposto para o trabalho, apresentando os resultados obtidos e
as verificações necessárias. Por fim, na terceira etapa é realizado um exemplo com a
utilização deste método para o pré-dimensionamento do modelo proposto, seguido da
verificação em modelo computacional.
Os capítulos descritos a seguir abordam os assuntos tratados ao longo deste
estudo. São eles:
− Capítulo 2: Este capítulo descreve os pontos relevantes para a concepção de
pontes, apresentando os elementos constituintes, critérios de classificação e
principais sistemas estruturais de pontes;
− Capítulo 3: Apresenta e descreve os carregamentos atuantes nas pontes, suas
definições, critérios de análise e procedimentos;
− Capítulo 4: Descreve o modelo simplificado via método das forças de forma
sucinta;
− Capítulo 5: Propõe um estudo paramétrico Ilustrado a partir do desenvolvimento
do método das forças, fornecendo os meios de análise do modelo proposto para
este trabalho. Determina as ferramentas de análise da superestrutura da ponte
em viga contínua;
− Capítulo 6: Apresenta um exemplo numérico com a aplicação das ferramentas
elaboradas para a análise do modelo;
− Capítulo 7: Apresenta a conclusão do trabalho e sugere novas propostas para
prosseguimento do estudo.
3
2 Concepção
Conforme descrito por PFEIL (1979) [1], uma ponte pode ser definida como:
“obra destinada à transposição de obstáculos à continuidade do leito normal de uma
via, tais como rios, braços de mar, vales profundos, outras vias, etc. Quando a ponte
tem por objetivo a transposição de vales, outras vias ou obstáculos em geral não
constituídos por água é, comumente, denominada viaduto”.
Como descrito por Bridge Engineering Handbook (2000) [2], “planejamento e
concepção de pontes é parte arte e parte compromisso, por se tratar de um
significante aspecto da engenharia estrutural. É a manifestação da capacidade de
criação, aliada com a imaginação, inovação e exploração de ideias”.
Ainda segundo [2], “a importância do conceito de análise na etapa de
planejamento de uma ponte não pode ser descrita de forma fácil.” Deparando-se com
um obstáculo (rio, vale ou outras vias), idealiza-se a sua transposição por uma ponte.
Neste ponto, visualizar e imaginar a ponte para que ela tenha uma funcionalidade e
um desempenho ótimo é de extrema importância. Determinar os fatores que tornem a
solução econômica e segura, durante sua execução e funcionamento, é um caminho
árduo. Trata-se de um complexo problema de engenharia, onde muitas considerações
e aspectos são levados em conta, tais como: sistema estrutural, dimensões, materiais,
fundações, aspecto visual, ambiente e muitos outros fatores. Em suma, o processo de
elaboração de uma solução estrutural consiste na investigação e desenvolvimento
destes pontos para se determinar a melhor solução.
Um exemplo da necessidade de análise preliminar das possibilidades
estruturais é apresentado nas ilustrações das Figuras 2.1 a 2.9 [3], onde um mesmo
obstáculo pode ser transposto por inúmeros sistemas estruturais.
Figura 2.1 - Sistema estrutural em viga celular em concreto
4
Figura 2.2 - Sistema estrutural em viga celular em aço
Figura 2.3 – Sistema estrutural em treliça metálica
Figura 2.4 – Sistema estrutural em arco de concreto
Figura 2.5 – Sistema estrutural em arco metálico
5
Figura 2.6 – Sistema estrutural em arco metálico com superfície de rolamento intermediária
Figura 2.7 – Sistema estrutural em sistema pênsil
Figura 2.8 – Sistema estrutural em pórtico
Figura 2.9 – Sistema estrutural estaiado
6
Através das Figuras 2.1 à 2.9 pode-se observar a importância do processo de
concepção de uma ponte, para um mesmo obstáculo é possível a utilização dos mais
variados sistemas estruturais. As considerações a serem feitas e os estudos a serem
realizados para que a solução adotada seja condizente com as condições do terreno,
disponibilidade de materiais e máquinas, qualidade de mão de obra disponível nos
arredores da construção e outros fatores, podem determinar o sucesso ou a falha total
da concepção da ponte.
Este capítulo irá descrever sucintamente os principais sistemas estruturais de
pontes, os materiais empregados, seus campos de aplicação, etc.
2.1 Elementos Constituintes de uma Ponte
As pontes podem se dividir em três partes principais: infraestrutura,
mesoestrutura e superestrutura.
A Figura 2.10 apresenta um esquema dos elementos estruturais constituintes
de uma ponte.
Figura 2.10 – Elementos constituintes de uma ponte
7
A superestrutura é a parte da estrutura composta por lajes, vigas principais e
secundárias (também chamadas transversinas). É o elemento que recebe diretamente
as ações provenientes de cargas móveis e sobrecargas atuantes na superfície da
ponte.
A mesoestrutura é a parte da ponte que tem como finalidade transmitir as
ações recebidas da superestrutura para a infraestrutura, juntamente com as ações da
pressão do vento e de cursos d’água em movimento. Constituem a mesoestrutura da
ponte: pilares, aparelhos de apoio e vigas de coroamento, quando existirem.
Infraestrutura é a parte da ponte que tem como finalidade receber as ações da
mesoestrutura e transmiti-las para o solo em que a obra está implementada. A
infraestrutura é constituída dos blocos, sapatas, estacas, tubulões, blocos de
coroamento de estacas, etc.
2.2 Critérios de Classificação das Pontes
As estruturas de pontes podem ser classificadas quanto a:
• Finalidade
• Material de construção
• Sistema Estrutural
2.2.1 Finalidade
Segundo a finalidade, as pontes podem ser rodoviárias, ferroviárias, ou para
pedestres, geralmente chamadas de passarelas. Ainda existem as estruturas típicas
de pontes destinadas ao suporte de tubulações para água, esgoto, gás, óleo, pistas de
aeroportos e até para vias navegáveis (ponte canal).
2.2.2 Material
Quanto ao material, as pontes podem ser de madeira, de pedra, de concreto
armado, concreto protendido ou metálicas. As pontes podem ainda ser do tipo mista,
quando utilizam mais de um material predominante para a sua construção.
8
2.2.3 Sistema Estrutural
Quanto ao sistema estrutural, as pontes podem ser em laje, em vigas de alma
cheia, em treliça, em quadros rígidos, em arcos, estaiadas ou pênseis.
Os sistemas estruturais fundamentais são os de:
• Vigas: onde os elementos portantes estão sob flexão;
• Arcos: onde os elementos portantes (arcos) estão sob compressão;
• Sistema de cabos: onde os elementos portantes estão tracionados.
2.2.3.1 Sistema Estrutural em Laje
São superestruturas constituídas simplesmente por lajes apoiadas ou
contínuas. Geralmente são utilizadas para pequenos vãos e possuem uma relação
espessura/vão variando de 1/15 a 1/20, para as soluções em concreto armado, e até
1/30, para soluções em concreto protendido.
A Figura 2.11 mostra esquematicamente uma ponte em laje com um único vão.
Figura 2.11 – Sistema estrutural em laje
2.2.3.2 Sistema Estrutural em Viga
No sistema de vigas sob flexão, tem-se usualmente estruturas isostáticas ou
hiperestáticas. Nos sistemas isostáticos, as vigas são bi-apoiadas, conforme
apresentado na Figura 2.12 [4]. Este é o sistema utilizado normalmente no caso de
vigas pré-moldadas. O mesmo sistema bi-apoiado pode ser adotado em
superestruturas com sequência de vãos, como ilustrado na Figura 2.13 [4].
Figura 2.12 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada
9
Figura 2.13 – Sistema estrutural em sequência de vigas bi-apoiadas
Outra alternativa, bastante utilizada, é a viga bi apoiada com balanços
extremos. Esse sistema permite empregar vão central maior devido à redução do
momentos fletores positivos. Além disso, os apoios são mais econômicos do que
encontros. A Figura 2.14 [4] apresenta um caso típico deste sistema.
Figura 2.14 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada com balanços
Tem-se ainda o sistema estrutural hiperestático com vigas executadas “in loco”
e que difere das vigas bi-apoiadas por possuir vínculo com os vãos anteriores e
posteriores. Algumas vantagens de sua utilização são: no deslocamento do diagrama
de momentos fletores auxiliando na redução das solicitações; segurança adicional
gerada a partir da redundância de vínculos. Excepcionalmente, quando da ausência
de espaço hábil para a concretagem no local, dificuldade de escoramento e/ou
cronograma apertado, opta-se por vigas pré-moldadas que após o seu
posicionamento, são unidas entre si, tornando-as uma viga hiperestática. Este sistema
estrutural é ilustrado nas Figuras 2.15 [4] e 2.16 [4].
Figura 2.15 – Sistema estrutural em viga hiperestática com balanços
Figura 2.16 – Sistema estrutural em viga hiperestática sem balanços
10
Os exemplos apresentados de sistema estrutural em viga podem se apresentar
com seções transversais abertas e fechadas.
As vigas de seção aberta podem ser compostas por vigas moldadas “in loco”
(duas ou múltiplas vigas), vigas pré-moldadas com posterior execução da superfície de
rolamento e vigas mistas aço/concreto. Exemplos destas seções transversais são
ilustradas na Figura 2.17 [4].
Figura 2.17 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção aberta
As vigas de seção fechada apresentam seção celular, que representa o objeto
de estudo deste trabalho. Estas possuem características que se destacam para
situações particulares, como por exemplo as pontes curvas, que garantem o aumento
da rigidez à torção em comparação às vigas de seção aberta. Além disso, apresentam
boa estética, permitem melhor distribuição transversal das cargas e maior resistência
as solicitações de compressão nos apoios.
Exemplos destas vigas de seção fechada são apresentados na Figura 2.18 [4],
com possibilidades em concreto e aço/concreto.
Figura 2.18 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção fechada
11
2.2.3.3 Sistema Estrutural em Pórtico
Nesse sistema a superestrutura é consolidada a mesoestrutura em uma
ligação monolítica, não havendo a utilização de aparelhos de apoio. Sua utilização
torna-se conveniente em situações onde os pilares são esbeltos. A ligação monolítica
entre superestrutura e mesoestrutura reduz o comprimento de flambagem do pilar (bi-
engastado) e gera rigidez superior ao sistema pilar e viga. Tem como ponto positivo
para situações de difícil acesso a característica de manutenção mínima por não
possuir apoio entre viga e pilar. A Figura 2.19 [4] ilustra este sistema estrutural.
Figura 2.19 – Sistema estrutural em pórtico
2.2.3.4 Sistema Estrutural em Arco
É o sistema estrutural mais antigo que se tem conhecimento, seu
funcionamento baseia-se em arcos que trabalham sob compressão, garantindo maior
aproveitamento da alta resistência à compressão do concreto. Isto ocorre por seu
projeto ser baseado nas linhas de pressão de compressão provenientes da carga
permanente. Podem ser projetadas com superfície de rolamento superior,
intermediária ou inferior, como ilustrado na Figura 2.20.
12
a)
b)
c)
Figura 2.20 – Sistema estrutural em arco: a) superfície de rolamento superior; b) superfície de rolamento inferior; c) superfície de rolamento intermediária
2.2.3.5 Sistema Estrutural Pênsil
Neste sistema o tabuleiro é sustentado por cabos metálicos verticais
atirantados, ligados a dois cabos catenários que se unem às torres de sustentação e
aos blocos de ancoragem. A transferência de ações ocorre pelo efeito de tração nos
cabos que comprimem as torres de sustentação e transferem os esforços para o solo.
Uma particularidade deste sistema estrutural é, que quando sujeito a grandes
cargas de vento, o tabuleiro pode apresentar movimentos que geram desconforto e
falta de segurança para o tráfego. Devido a isto, a superestrutura deve apresentar
grande rigidez à torção, a fim de diminuir estes efeitos. A Figura 2.21 ilustra os
elementos que constituem este sistema estrutural.
13
Figura 2.21 – Sistema estrutural pênsil
2.2.3.6 Sistema Estrutural Estaiado
O sistema estrutural estaiado é semelhante ao pênsil. A principal diferença
deve-se à forma de conexão dos cabos às torres, ou Pilones. No sistema pênsil, os
cabos passam livremente através das torres e no sistema estaiado estes são
ancorados.
Este sistema estrutural é formado por um vigamento de grande rigidez à torção
apoiado nos encontros e nas torres de ancoragem. Possui cabos distribuídos
longitudinalmente, denominados estais, fixados ao vigamento e às torres de
ancoragem.
As torres podem ser projetadas com uma esbeltez considerável. Pela
distribuição e disposição dos cabos e sua geometria, as solicitações transferidas para
as torres são de compressão, que devido à boa resistência à compressão do concreto,
permite transferir maiores solicitações com seções menores. As principais formas de
disposição de cabos são ilustradas na Figura 2.22 [4] e as configurações típicas para
as torres são apresentadas na Figura 2.23 [4].
14
a)
b)
c)
Figura 2.22 – Sistema estrutural estaiado, disposição de cabos: a) tipo leque; b) tipo harpa; c) tipo semi-harpa (híbrido)
Figura 2.23 – Sistema estrutural estaiado, configurações típicas das torres (ou pilones)
15
3 Carregamentos
De acordo com a NBR 7187(2003) [5], as ações que provocam o surgimento
de esforços nas estruturas classificam-se como permanentes e variáveis.
Carga permanente é aquela cuja intensidade pode ser considerada com
atuação constante ao longo da vida útil da construção e carga variável aquela que
possui um caráter transitório, ou seja, é um carregamento que pode ou não ocorrer.
3.1 Ações Permanentes
Estas ações compreendem, entre outras:
• Cargas provenientes do peso próprio dos elementos estruturais;
• Cargas provenientes do peso da pavimentação, dos trilhos, dos
dormentes, dos lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos guarda-
rodas, dos guarda-corpos e de dispositivos de sinalização;
• Empuxos de terra e de líquidos;
• Forças de protensão;
• Deformações impostas, isto é, provocadas por fluência e retração do
concreto, por variações de temperatura e por deslocamentos de apoios.
3.1.1 Peso Próprio Estrutural
O carregamento de peso próprio estrutural corresponde ao peso dos elementos
estruturais que compõem a superestrutura. Sua ação no modelo de análise consiste
em uma carga uniforme distribuída longitudinalmente na ponte.
O carregamento de peso próprio é definido como o produto da área da seção
transversal (m2) pelo peso específico do concreto armado. A NBR 7187(2003) [5], em
seu item 7.1.1, especifica que, para a avaliação das cargas devidas ao peso próprio
dos elementos estruturais, o peso específico deve ser tomado igual a 25 kN/m3 para
concreto armado ou protendido.
Usualmente, utilizam-se mísulas nas vigas em regiões próximas aos apoios.
Estas mísulas são comumente representadas como um carregamento linearmente
distribuído. Para os fins deste trabalho, serão desconsideradas as mísulas, adotando-
se seção constante em toda a extensão da ponte.
16
3.1.2 Sobrecarga Permanente
Dentre as ações permanentes são consideradas como sobrecargas
permanentes as ações provenientes da pavimentação, recapeamento, barreiras
laterais e guarda-corpos. Estas ações são consideradas como sobrecargas por não
serem componentes das pontes com função estrutural.
3.1.2.1 Pavimentação
A carga de pavimentação é determinada a partir da espessura da
pavimentação, de valor igual a 5 cm. Devendo-se adotar inclinação do pavimento em
2%, para fins de escoamento da água na superfície de rolamento. A NBR 7187(2003)
especifica ainda, que o material utilizado deve possuir peso específico mínimo de 24
kN/m3, sendo prevista uma carga adicional de 2,0 kN/m2 para um possível
recapeamento.
3.1.2.2 Guarda-Rodas
A carga proveniente do guarda-rodas corresponde a uma carga distribuída
constante ao longo ponte, em ambos os lados da seção. Este carregamento é definido
a partir da seção transversal típica de uma barreira lateral New-Jersey. A seção
transversal é ilustrada na Figura 3.1 [6].
Figura 3.1 – Barreira “New Jersey”
O produto da área transversal pelo peso específico do concreto armado,
considerando as dimensões da Figura 4.06, fornecem:
, = 0,230�. (1)
/01 = 0,230�. × 5 � �3⁄ ≅ 5,80 � �⁄ (2)
Desta forma, a carga total devida à barreira lateral é de:
/01 = 2 × 5,80 = 11,60 � �⁄ (3)
17
3.2 Ações Variáveis
Estas ações compreendem, entre outras:
• As cargas móveis;
• As cargas de construção;
• As cargas de vento;
• O empuxo de terra provocado por cargas móveis;
• A pressão da água em movimento;
• O efeito dinâmico do movimento das águas;
• As variações de temperatura.
3.2.1 Carga Móvel
De acordo com a NBR 7188(2013) [7], “a carga móvel rodoviária padrão TB-
450 é definida por um veículo tipo de 450 kN, com seis rodas, P = 75 kN, três eixos de
cargas afastados entre si de 1,5m, com área de ocupação de 18,0 m², circuncidada
por uma carga uniformemente distribuída constante de p = 5,0 kN/m²”.
A Figura 3.2 [7] ilustra a carga padrão TB-450.
Figura 3.2 – Disposição de cargas TB-450
18
3.2.1.1 Coeficiente de Impacto
O coeficiente de impacto da carga móvel, definido pela NBR 7188(2013) [7] no
seu item 5.1.2, é dado por:
7 = 89* ∙ 8 : ∙ 89, (4)
onde: CIV é o coeficiente de impacto vertical;
CNF é o coeficiente de numero de faixas;
CIA é o coeficiente de impacto adicional.
3.2.1.2 Coeficiente de Impacto Vertical
As cargas móveis verticais características devem ser majoradas para o
dimensionamento de todos os elementos estruturais pelo coeficiente de impacto
vertical CIV, obtendo-se os valores Q e q para dimensionamento dos elementos
estruturais.
O coeficiente de impacto vertical assumirá os valores de:
89* = 1,35, para estruturas com vão menor do que 10,0m 89* = 1 + 1,06 ∗ < .=>?@AB=C, para estruturas com vão entre 10,0 m e 200,0 m
onde: �(� é o vão, em metros, para o cálculo de CIV, conforme o tipo de estrutura,
sendo: �(� é usado para estruturas de vão isostático, para vãos contínuos é usada a
média aritmética dos vãos. �(� é o comprimento do próprio balanço para estruturas em balanço;
Para estruturas com vãos acima de 200,0 m deve ser realizado estudo
específico para a consideração da amplificação dinâmica e definição do coeficiente de
impacto vertical.
19
3.2.1.3 Coeficiente do Número De Faixas
As cargas móveis características devem ser ajustadas pelo coeficiente do
número de faixas do tabuleiro CNF, conforme descrito a seguir:
8 : = 1 − 0,05 ∗ () − 2) > 0,9 (5)
onde:
n é o número de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre um
tabuleiro transversamente contínuo. Acostamentos e faixas de segurança
não são faixas de tráfego da rodovia.
Este coeficiente não se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais
transversais ao sentido do tráfego (lajes, transversinas, etc.).
3.2.1.4 Coeficiente de Impacto Adicional
Os esforços das cargas móveis devem ser majoradas nas regiões de juntas
estruturais e extremidades da obra. Todas as seções dos elementos estruturais a uma
distância horizontal, normal à junta, inferior a 5,0 m para cada lado da junta ou
descontinuidade estrutural, devem ser dimensionadas com os esforços das cargas
móveis majoradas pelo coeficiente de impacto adicional, definido como:
89, = 1,25 , para obras em concreto ou mistas;
89, = 1,15 , para obras em aço.
20
3.3 Temperatura
O carregamento representado pelo efeito da temperatura em uma edificação é
especificado pela NBR 6118(2014) [8], em seus itens 11.4.2.1 e 11.4.2.2, para
variações uniformes ou não uniformes de temperatura. Em “elementos estruturais em
que a temperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme,
devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais
precisos, pode ser considerada uma variação linear entre os valores de temperatura
adotados, desde de que esta variação entre uma face e outra não seja inferior a 5ºC”.
O efeito da temperatura nas pontes se dá de forma não uniforme e sua análise
é trabalhosa e requer dados precisos do comportamento estrutural diante desta ação.
A NBR 6118(2014) [8], por sua vez, não fornece subsídios para avaliação da
variação não-uniforme de temperatura. Por esse motivo, adotar-se-ão os
procedimentos para avaliação da distribuição não-uniforme de temperatura prescritos
na antiga norma NBR 7187(1987) [9].
De acordo com NBR 7187(1987) [9], em seu item 7.1.9, deve ser considerada
ao longo da altura de cada seção transversal, a distribuição de temperatura definida na
Figura 3.3 [9], conforme os valores fornecidos na Tabela 3.1.
Figura 3.3 – Diagrama de distribuição de temperatura ao longo da altura da peça
Tabela 3.1 – Ordenadas do diagrama de distribuição da temperatura
21
4 Modelo Simplificado Via Método das Forças
A análise será realizada através da utilização do Método das Forças. Este
método considera os três grupos de condições básicas da análise estrutural, sendo
eles: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade (continuidade interna e
compatibilidade com os vínculos externos) e condições impostas pelas leis
constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. Formalmente, o método das
forças resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas
pelo modelo estrutural na seguinte ordem:
• Condições de Equilíbrio;
• Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas);
• Condições de compatibilidade.
Na prática a metodologia utilizada, segundo MARTHA (2010) [10], é: "Somar
uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não
satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para na
superposição restabelecer as condições de compatibilidade".
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma
estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de
vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os
momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são
denominados hiperestáticos.
4.1 Modelo de Análise
O modelo de análise consistirá em uma ponte de seção celular com três vãos e
balanços em suas extremidades, onde são apoiadas as placas de transição. A Figura
4.1 ilustra o modelo.
Figura 4.1 – Modelo de análise
onde:
�F é o comprimento da placa de transição; �G é o comprimento do balanço; �H��3 é o comprimento dos vãos laterais; �. é o comprimento do vão central.
22
Adotando-se as cargas atuantes sobre a placa de transição iguais às dos
balanços, pode-se considerar um comprimento equivalente para o balanço, �IJ@, que
resulte no mesmo momento negativo sobre o apoio da extremidade, conforme
ilustrado na Figura 4.2 [4]:
Figura 4.2 – Comprimento equivalente para o balanço
Os momentos ilustrados na Figura 4.2 podem ser obtidos por meio de:
�G = −�2 ∙ �G ∙ K�G + �FL (6)
�IJ@ = −�2 ∙ K�IJ@L. (7)
Igualando as Eq. (6) e (7), têm-se:
−�2 ∙ �G ∙ K�G + �FL = −�2 ∙ K�IJ@L.
�IJ@ = M�G ∙ K�G + �FNL (8)
Adotando-se a respectiva expansão em Série de Taylor truncada no primeiro
grau:
�IJ@ ≅ �G + �FN2 (9)
Pode-se observar uma boa aproximação da expressão anterior a partir do
gráfico apresentado na Figura 4.3 [4]:
23
Figura 4.3 – Gráfico �IJ@ �FO ��� �G �FO
A partir da consideração de um modelo simétrico, onde os vãos laterais e os
balanços extremos possuam valores proporcionais ao vão central, pode-se adotar o
modelo ilustrado na Figura 4.4.
Figura 4.4 – Modelo de análise simétrico
A relação entre os vãos é dada por:
�G = �IJ@�H = �IJ@� ∙ �. (10)
� = �H� = �3� (11)
24
4.2 Aplicação do Método das Forças
Aplicando o método das forças ao modelo de análise e adotando hiperestáticos
para o momento nos apoios centrais, tem-se o sistema principal descrito na Figura 4.5:
Figura 4.5 – Sistema principal para o método das forças
Os extremos em balanço constituem uma estrutura isostática. Sua influência no
modelo de análise pode ser substituída pela atuação do momento correspondente a
atuação da carga na estrutura.
Para uma carga distribuída uniforme o momento será dado por:
�GPN = � ∙ �[email protected] (12)
Desta forma, o modelo se resume a (Figura 4.6):
Figura 4.6 – Modelo simplificado via método das forças
4.2.1 Método da Carga Unitária
O método da carga unitária consiste na aplicação de uma força, ou momento,
ou carregamento qualquer, a uma estrutura isostática para determinar a deformação, a
rotação relativa e o momento fletor correspondentes.
Exemplificando através da ação e dos efeitos (deformada e rotação relativa) de
um momento unitário e um carregamento qualquer tem-se (Figura 4.7 [4]):
Figura 4.7 – Efeitos de um momento unitário e de um carregamento qualquer
25
O diagrama de momentos fletores para a carga unitária e para o carregamento
qualquer é (Figura 4.8 [4]):
Figura 4.8 – Diagrama de momentos da carga unitária e do carregamento qualquer
O diagrama momento-rotação e tensão-deformação, superpondo-se os efeitos
do carregamento qualquer aos da carga unitária, é ilustrado na Figura 4.9 [4].
Figura 4.9 – Diagrama momento-rotação e tensão-deformação
A partir da equivalência entre o trabalho realizado pela carga unitária para a
rotação decorrente do carregamento qualquer e a correspondente energia de
deformação, tem-se:
�Q ∙ R = S TU ∙ V ∙ +��W@XN (13)
Sendo:
�Q = 1 (14)
TU = �Q9 Y (15)
26
Z = T[ = �[ ∙ 9 Y (16)
Logo:
R = \ ]�Q ∙ �[ ∙ 9. ∙ (Y. ∙ +,)+�^_`>
_`= (17)
Como:
]Y. ∙ +,^ = 9 (18)
Tem-se assim a expressão para determinação de uma rotação decorrente de
um carregamento qualquer:
R = \ �Q ∙ �[ ∙ 9 +�_`>_`= (19)
onde:
� é o momento proveniente de solicitações externas;
�Q é o momento proveniente da carga unitária; [ é o módulo de elasticidade; 9 é a inércia.
Traçando os diagramas de ação da carga unitária nas posições dos
hiperestáticos (Figura 4.10 [4]) definidos no item 4.2 e sendo:
�H = aH ∙ �QH (20)
�. = a. ∙ �Q. (21)
Figura 4.10 – Diagrama de ação da carga unitária
As rotações são expressas por:
RH= = \�QH ∙ �=[ ∙ 9 +� (22)
27
R.= = \�Q. ∙ �=[ ∙ 9 +� (23)
RHH = \�QH ∙ �QH[ ∙ 9 +� (24)
R.H = \�Q. ∙ �QH[ ∙ 9 +� (25)
RH. = \�QH ∙ �Q.[ ∙ 9 +� (26)
R.. = \�Q. ∙ �Q.[ ∙ 9 +� (27)
Sendo as cargas consideradas para o projeto de pontes, basicamente, cargas
distribuídas uniformes ou cargas pontuais, os momentos fletores gerados limitam-se a
funções lineares e parabólicas. As soluções para as integrais tornam-se a associação
de gráficos lineares ou parabólicos, que são resumidamente (Figura 4.11 [4]):
Figura 4.11 – Associação das soluções para integrais do método das forças
4.2.2 Solicitações Externas no Sistema Principal
Solicitações externas são os carregamentos atuantes na estrutura. Para este
trabalho, as solicitações externas consideradas são os carregamentos provenientes
das ações de: peso próprio e sobrecarga permanente (carga distribuída uniforme),
variação não uniforme de temperatura e carga móvel (carga pontual e carga
distribuída uniforme concomitantes).
A atuação destas solicitações externas pode ocorrer de forma isolada ou
associada a outro carregamento. Será apresentada a metodologia de análise para
cada tipo de ação de forma isolada. Para se obter o efeito final do carregamento, caso
de ações concomitantes, basta somar os valores encontrados em cada caso isolado.
Ou seja, para a ação de peso próprio, que consiste numa carga distribuída uniforme
no sentido longitudinal da ponte, o efeito final será determinado pela associação
28
(soma) dos efeitos isolados para os balanços extremos e para a carga distribuída
uniforme atuando em todos os vãos da ponte.
4.2.2.1 Ação de Carga Distribuída Uniforme
Considerando-se atuantes, nos três vãos da ponte, cargas distribuídas
uniformes, como ilustrado na Figura 4.12 [4], as equações de compatibilidade
fornecem:
Figura 4.12 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga distribuída uniforme
A Figura 4.13 [4] mostra a associação da carga distribuída uniforme e do
hiperestático X1.
[ ∙ 9(RH= + RHH + RH.) = 0 (28)
Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme, hiperestático X1
29
Solucionando-se as integrais, obtém-se:
13b�H ∙ �H.8 ∙ �H + �. ∙ �..8 ∙ �.c + aH3 (�H + �.) + a.6 �. = 0 (29)
A associação da carga distribuída uniforme e do hiperestático X2 está ilustrada
na Figura 4.14 [4].
[ ∙ 9(R.= + R.H + R..) = 0 (30)
Figura 4.14 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme, hiperestático X2
Solucionando-se as integrais, obtém-se:
13b�. ∙ �..8 ∙ �. + �3 ∙ �3.8 ∙ �3c + aH6 �. + a.3 (�. + �3) = 0 (31)
Resolvendo o sistema de equações formado pela Eq. (29) e pela Eq. (31),
obtêm-se os hiperestáticos de X1 e X2.
d2(�H + �.) �.�. 2(�. + �3)e ∙ faHa.g = −14 h�H ∙ �H3 + �. ∙ �.3�. ∙ �.3 + �3 ∙ �33i
faHa.g = −116(�H + �.)(�. + �3) − 4�.. d2(�. + �3) −�.−�. 2(�H + �.)e h�H ∙ �H3 + �. ∙ �.3�. ∙ �.3 + �3 ∙ �33i
faHa.g =jklkm−2�H ∙ �H3(�. + �3) + �. ∙ �.3(�. + 2�3) − �3 ∙ �. ∙ �3316(�H + �.)(�. + �3) − 4�..−2�3 ∙ �33(�H + �.) + �. ∙ �.3(�. + 2�H) − �H ∙ �. ∙ �H316(�H + �.)(�. + �3) − �.. nko
kp (32)
30
O diagrama final de momentos fletores pode então ser representado por
(Figura 4.15 [4]):
Figura 4.15 – Diagrama final de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme
Sendo a proposta neste trabalho ter os vãos laterais com comprimentos
relacionados ao vão central, tem-se:
�H = �3 = �� (33)
�. = � (34)
Com as cargas:
�H = �. = �3 = � (35)
Logo, a expressão para os hiperestáticos toma a forma:
aH = a. = − (1 + �3)4(3 + 2�) � ∙ �. (36)
31
4.2.2.2 Ação de Carga Concentrada no Meio dos Vãos
Para a ação de cargas concentradas no meio dos vãos, as equações de
compatibilidade fornecem (Figura 4.16 [4]):
Figura 4.16 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga concentrada no meio dos vãos
A Figura 4.17 [4] ilustra a associação da carga distribuída uniforme e do
hiperestático X1, Eq. (28).
[ ∙ 9(RH= + RHH + RH.) = 0
Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão, hiperestático X1
Solucionando-se as integrais, obtém-se:
qH ∙ �H.16 + q. ∙ �..16 + aH3 (�H + �.) + a.6 �. = 0 (37)
A Figura 4.18 [4] mostra a associação da carga distribuída uniforme e do
hiperestático X2, Eq. (30).
[ ∙ 9(R.= + R.H + R..) = 0
32
Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão, hiperestático X2
Solucionando-se as integrais, obtém-se:
q. ∙ �..16 + q3 ∙ �3.16 + aH6 �. + a.3 (�. + �3) = 0 (38)
Resolvendo o sistema de equações formado pelas Eq. (37) e (38) e
considerando as expressões (33) e (34), obtêm-se os hiperestáticos de X1 e X2.
aH = −3�(2qH ∙ �.(1 + �) + q.(1 + 2�) − q3 ∙ �.)8(4�. + 8� + 3) (39)
a. = −3�(2q3 ∙ �.(1 + �) + q.(1 + 2�) − qH ∙ �.)8(4�. + 8� + 3) (40)
4.2.2.3 Ação de Momentos nos Extremos
Para o caso de extremos em balanço os efeitos das cargas sobre estes trechos
podem ser estudados a partir da análise de momentos aplicados nos apoios extremos,
conforme esquema a seguir (Figura 4.19 [4]):
Figura 4.19 – Deformada e rotações relativas para ação de momentos nos extremos
A Figura 4.20 [4] ilustra a associação da carga distribuída uniforme e do
hiperestático X1, Eq. (30).
[ ∙ 9(RH= + RHH + RH.) = 0
33
Figura 4.20 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos, hiperestático X1
Solucionando-se as integrais, obtém-se:
�^ ∙ �H6 + aH3 (�H + �.) + a.6 �. = 0 (41)
A associação da carga distribuída uniforme e do hiperestático X2 está ilustrado
na Figura 4.21 [4], Eq. (32).
[ ∙ 9(R.= + R.H + R..) = 0
Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos, hiperestático X2
Solucionando-se as integrais, obtém-se:
�r ∙ �36 + aH6 �. + a.3 (�. + �3) = 0 (42)
Resolvendo o sistema de equações e considerando as Eq. (33) e (34):
aH = −2�^ ∙ �(1 + �) − �r ∙ �(4�. + 8� + 3) (43)
a. = −2�r ∙ �(1 + �) − �^ ∙ �(4�. + 8� + 3) (44)
34
4.2.2.4 Efeitos de Gradiente de Temperatura
Para atuação de gradiente de temperatura, as rotações no sistema principal
são definidas a partir da análise de deformações de um trecho elementar de viga bi
apoiada, como ilustrado a seguir (Figura 4.22 [4]):
Figura 4.22 – Diagrama de momentos fletores, efeito de gradiente de temperatura,
hiperestático X1
As rotações devidas ao efeito do gradiente de temperatura (rotações negativas)
são:
RH= = − ∆t2uv ∙ �(1 + �H) (45)
R.= = − ∆t2uv ∙ �(1 + �3) (46)
Pelas equações de compatibilidade, tem-se:
RH= + RHH + RH. = 0 (47)
RH= + aH \�QH ∙ �QH[9 +� + a. \�QH ∙ �Q.[9 +� = 0 (48)
− ∆t2uv ∙ �(1 + �H) + aH3 (�H� + �)[9 + a.6 �[9 = 0 R.= + R.H + R.. = 0 (49)
R.= + aH \�Q. ∙ �QH[9 +� + a. \�Q. ∙ �Q.[9 +� = 0 (50)
− ∆t2uv ∙ �(1 + �3) + aH6 �[9 + a.3 (�3� + �)[9 = 0
35
A partir da consideração:
�H = �3 = � (51)
E resolvendo o sistema de equações, tem-se:
aH = a. = 3[ ∙ 9 ∙ v ∙ ∆tu (1 + �)(3 + 2�) (52)
4.2.2.5 Ação de Carga Móvel Rodoviária
Para a análise dos efeitos devidos a carga móvel rodoviária, faz-se o uso das
linhas de influência correspondentes as seções de análise.
Através da linha de influência das seções de análise, posiciona-se a carga
móvel nos trechos que possuem as maiores ordenadas conforme a solicitação que se
deseja obter.
36
5 Estudo Paramétrico
Este capítulo apresenta a proposição de uma forma ágil para a estimativa das
solicitações relativas a cada carregamento com base no vão central e nas relações
adotadas para os vãos laterais e balanços extremos de uma ponte hiperestática de
três vãos.
Para fins de pré-dimensionamento, o procedimento comumente adotado na
maioria das situações, consiste em obter as solicitações de momento máximo positivo
(vão central), e de momento máximo negativo (apoios intermediários), cortante
máximo e reação máxima de apoio. Porém, ao se analisar o comportamento para
diferentes relações de � (variação de 0,2 a 1,0) pode-se observar que, para
determinados valores, a solicitação máxima de momento positivo não ocorre no vão
central, e sim, no vão lateral.
A partir de um modelo simples e aplicando apenas a carga de peso próprio
estrutural e sobrecarga permanente, torna-se possível visualizar esta particularidade
ao variar a relação �.
Para fins de exemplificação, pode-se visualizar esta particularidade adotando o
comprimento vão central igual a 15,0m, os valores de 0,7 e 0,9 para a relação �, os
valores de 0 e 0,10 para a relação �G e a atuação de um carregamento constante
uniforme em toda a extensão da superestrutura. A Figura 5.1 ilustra os diagramas de
momento fletor para estes dois valores de relação �, ambos com a relação �G = 0.
a)
b)
Figura 5.1 - Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �G = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9
37
A Figura 5.2 ilustra os diagramas de momento fletor para dois valores de
relação �, ambos com a relação �G = 0,10.
a)
b)
Figura 5.2 – Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �G = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9
Quanto à análise do cortante, pode-se encontrar a mesma particularidade.
Para determinados valores de relação �, o valor de cortante máximo é encontrado no
vão lateral. As Figuras 5.3 e 5.4 apresentam os resultados obtidos para o cortante.
Tomou-se como referência as mesmas características (vãos e carregamentos) do
exemplo anterior.
a)
b)
Figura 5.3 – Diagrama de cortante em � para �G = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9
38
a)
b)
Figura 5.4 – Diagrama de cortante em � para �G = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9
No apêndice A são apresentados os diagramas de momentos fletores e de
cortantes para outros valores de relações adotadas para os vãos laterais e balanços
extremos, tornando possível observar que, para diferentes combinações de � e �G, a
ocorrência desta particularidade é visível para valores diferentes de � ao se aumentar
o valor de �G.
Com base nas tabelas A.1 a A.8, pode-se observar a ocorrência do valor
máximo de momento fletor nos vãos laterais a partir da relação � = 0,8 para a situação
de �G = 0, e para a relação � = 1,0 isto ocorre para a situação de �G = 0,20. Para o
valor de �G = 0,30, o valor de momento máximo fletor ocorre no vão central, não
apresentando a particularidade descrita anteriormente, porém, as solicitações de
momento fletor negativo no apoio intermediário e extremo apresentam-se com valores
muito elevados. Este comportamento mostra a importância de se buscar uma melhor
relação � que torne a distribuição das solicitações ao longo da ponte mais consistente.
Isto levará a uma relação “ótima” para o pré-dimensionamento e evitará que, na
elaboração do projeto definitivo, não sejam necessários muitos ajustes.
Diante deste fato, torna-se mais clara a necessidade de avaliação do vão
lateral juntamente com o vão central. Isto irá trazer maior confiabilidade quanto à
ordem de grandeza da solicitação de momento fletor máximo e cortante máximo para
a superestrutura.
A Figura 5.5 ilustra as relações definidas no item 4.1 deste trabalho e a divisão
do modelo de análise em décimos de vão.
39
Figura 5.5 – Seções de décimos de vão
A análise do modelo consistirá na avaliação das seções usuais de pré-
dimensionamento, S10 e S15. Adicionalmente, far-se-á um estudo sobre os vãos
laterais a fim de se buscar a seção de ocorrência do máximo momento fletor. Por fim,
buscar-se-á determinar em que situação existe a ocorrência de momento fletor (no vão
lateral) superior ao momento da seção S15.
5.1 Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente
Conforme ilustrado na Figura 5.6, é considerada a forma básica usual de seção
transversal com duas faixas de rolamento e duas faixas de acostamento.
Figura 5.6 – Seção transversal
Para fins de pré-dimensionamento, são adotadas aproximações com intuito de
generalizar os procedimentos de cálculo. Assim, as lajes superior e inferior serão
consideradas com espessuras constantes (sem mísulas). A seção aproximada típica e
suas dimensões encontram-se ilustradas na Figura 5.7.
40
Figura 5.7 – Seção transversal aproximada típica (dimensões em m)
5.1.1 Determinação do Peso Próprio Estrutural
A determinação do carregamento de peso próprio é dada pela área da seção
transversal multiplicada pelo peso específico do concreto. Desta forma, chega-se á:
/ww = xK�yz ∙ �N{,|L + K2 × �}(ℎ@?�P − �N{,| − �N{,?L + K�� ∙ �N{,?L� × ��X��zI�X (53)
A partir da Eq. (53), pode-se determinar o carregamento de peso próprio ao
longo do comprimento da ponte, tal como mostrado a seguir:
�yz = 12,00�; �N{,| = 0,25�; �} = 0,35�; ℎ@?�P = 1,50�; �� = 6,50�; �N{,? = 0,15�; ��X��zI�X = 25,0� �3⁄
/ww = �(12,00 × 0,25) + (2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15)) + (6,50 × 0,15)� × 25,0
/ww = 118,6 � �⁄
5.1.2 Determinação da Sobrecarga Permanente
As cargas consideradas neste estudo como sobrecarga permanente são:
• Pavimentação
• Barreira lateral.
O valor a ser considerado para a barreira lateral já foi determinado no item
3.1.2.2, sendo um valor usual para qualquer natureza de projeto de superestrutura.
41
5.1.2.1 Determinação da Pavimentação
A carga proveniente do pavimento é determinada pelo produto da espessura
média do pavimento pelo seu peso específico. A Figura 5.8 ilustra o valor de
espessura considerado para a análise.
Figura 5.8 – Espessura de pavimentação
A carga de pavimentação é determinada por:
/FP@ = �FP@ ∙ K�F?|�P.H + �F?|�P..L2 ∙ �FP@ (54)
De acordo com a Figura 5.8 e fazendo-se o uso de (56), chega-se a:
�F?|�P.H = 0,05�;�F?|�P.. = 0,16�;�FP@ = 11,20�
�FP@ = 24,00� �3⁄ ;/zIFP@ = 2,00� �.⁄ /FP@ = �FP@ ∙ K�F?|�P.H + �F?|�P..L2 ∙ �FP@ = 11,20 × (0,05 + 0,16)2 × 24,00 = 28,2� /�
/zIFP@ = �FP@ ∙ /zIFP@ = 11,20 × 2,00 = 22,4� /�sendo:
�FP@ é a largura da seção transversal com pavimento asfáltico;
�F?|�P.H é a espessura da pavimentação na borda da via;
�F?|�P.. é a espessura da pavimentação no ponto central da via;
�FP@ é o peso específico da pavimentação;
/zIFP@ é a carga de repavimentação.
42
5.2 Análise da Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente
A avaliação do momento máximo no primeiro vão possui dois pontos principais:
o valor da solicitação de momento em relação ao momento da seção S15, e a posição
(seção) de sua ocorrência.
O processo para se determinar o valor de momento máximo no primeiro vão
consiste na utilização das definições e expressões determinadas no capítulo 4.
O estudo realizado consistiu na avaliação das solicitações da superestrutura da
ponte para valores de �. entre 10,0 e 20,0m (incremento de 1,0m), � entre 0,2 e 1,0
(incremento de 0,02), e �G entre 0 e 0,3 (incremento de 0,05). Através destas relações,
busca-se encontrar o valor ideal para a relação entre vão central, vãos laterais e
balanços extremos.
Como citado anteriormente, o primeiro passo é a avaliação deste momento no
primeiro vão e a posição de sua ocorrência.
O procedimento adotado para a determinação da posição de momento máximo
inicia-se com a definição da função correspondente ao cortante para o primeiro vão,
referido ao cortante à direita do apoio A. A Eq. (57) apresenta a expressão:
*(�)Hº@ãX = *̂ ,�?z − /wwA�XGw ∙ � (55)
sendo:
*(�)Hº@ãX é o cortante no 1º vão;
*̂ ,�?z é o cortante à direita no apoio A;
/wwA�XGw é a carga de peso próprio e sobrecarga permanente;
� é a ordenada no sentido longitudinal do 1º vão.
A partir da integração da Eq. (55) e do valor correspondente ao momento na
seção S0 (momento devido ao balanço extremo), tem-se a função correspondente ao
momento ao longo do 1º vão.
\*(�)Hº@ãX+� = \K*̂ ,�?z − /wwA�XGw ∙ �L+� = *̂ ,�?z ∙ � − /wwA�XGw ∙ � ∙ �2 + 8 (56)
A constante 8 é determinada pela ordenada � = 0, o que corresponde ao valor
do momento do balanço extremo. Logo:
8 = �G,IJ@ (57)
43
Sendo assim, a expressão para o momento passa a ser:
�(�)Hº@ãX = *̂ ,�?z ∙ � − /wwA�XGw ∙ �.2 + �G,IJ@ (58)
A posição de ocorrência do momento máximo é a mesma em que o cortante se
torna nulo. Desta forma, a partir da expressão do cortante para o 1º vão e igualando-o
a zero, determina-se esta posição. A expressão para � toma a forma:
� = *̂ ,�?z/wwA�XGw (59)
Este estudo limita-se a valores de �. variando entre 10,0 e 20,0 m. Com o
intuito de exemplificar o procedimento de análise, será considerado o valor de �. = 15,0�, além das propriedades e carregamentos da seção transversal de estudo.
Os cálculos e valores encontrados para os demais valores de comprimento de vão
central, �., são apresentados no apêndice B.
Realizando o cálculo da ordenada de ocorrência do momento fletor máximo em
função de � e para as diferentes relações de �G adotadas para o estudo, tem-se o
gráfico ilustrado na Figura 5.9.
Figura 5.9 – Ordenada ��P_.Hº@ãX(A) versus � para �. = 15,0�
44
Como visto no gráfico da Figura 5.9, a posição de ocorrência deste momento
máximo no primeiro vão possui diferentes ordenadas ao longo da superestrutura.
Logo, tratar deste fenômeno a partir da sua posição se tornará um processo
trabalhoso e extenso, pois para cada combinação de relação � e �G será obtida uma
posição diferente.
Desta forma, realizando-se a transformação da ordenada de posição do
momento máximo no primeiro vão para a seção de análise correspondente, pode-se
encontrar uma expressão que traga agilidade e uma análise rápida para qualquer
relação adotada.
O gráfico ilustrado na Figura 5.10 traz a seção correspondente à ordenada de
momento máximo no primeiro vão para as diferentes relações de � e �G.
Figura 5.10 – Seção ��P_.Hº@ãX(A) versus � para �. = 15,0�
Pode-se concluir, através do gráfico apresentado, que o ponto correspondente
ao momento máximo possui uma tendência a ocorrer entre as seções S4 e S5; para
valores de λ maiores que 0,7.
Visando investigar a proximidade da magnitude dos momentos fletores das
seções S4 e S5 com o momento máximo no 1º vão, foram plotados os gráficos
45
��� ��P_.Hº@ãX(A)O versus λ e ��B ��P_.Hº@ãX(A)O versus λ, ilustrados nas Figuras 5.11 e
5.12, respectivamente
Figura 5.11 – Relação ��� ��P_.Hº@ãX(A)O versus �, para �. = 15,0�
Figura 5.12 – Relação ��B ��P_.Hº@ãX(A)O versus �, para �. = 15,0�
46
Os gráficos apresentados nas Figuras 5.11 e 5.12 apresentam uma alternância
do posicionamento das curvas. Para o gráfico da relação de momento fletor na seção
S4 sobre o momento máximo no 1º vão, as curvas que apresentam esta relação mais
próxima da unidade são as de �G entre 0 e 0,2. Para o gráfico da relação de momento
fletor na seção S5 sobre o momento máximo no 1º vão, as curvas que se apresentam
mais próximas da unidade são as de �G entre 0,2 e 0,3. Isto ocorre pelo deslocamento
do ponto de momento máximo com o aumento da relação �G.
A Figura 5.13 ilustra, através de modelos computacionais, o deslocamento do
ponto de momento fletor máximo para �. = 15,0� e relação λ = 0,7 com incrementos
de 0,10 para a relação �G.
a)
b)
c)
d)
Figura 5.13 – Diagrama de momentos fletores para �. = 15,0� e � = 0,7e relação: a) �G = 0; b) �G = 0,10; c) �G = 0,20; d) �G = 0,30 (valores em � ∙ �).
47
Através dos diagramas ilustrados na Figura 5.13 é observado que para λb = 0,
o ponto de ocorrência de momento máximo encontra-se antes da seção S4. Para a
relação λb = 0,10 o ponto de momento máximo é praticamente na seção S4. Quanto a
relação λb = 0,30, mesmo que não ocorra momento positivo, pode-se observar que o
ponto de inflexão da curva encontra-se sobre a seção S5.
Logo, a partir da Figura 5.11 pode-se concluir que a seção S4 representa
razoavelmente bem a seção de máximo momento fletor no 1º vão, apresentando
relação ��� ��P_.Hº@ãX(A)O próxima da unidade para valores de λ maiores do que 0,65 e
�G inferiores a 0,2, admitindo-se um erro de 5%.
De acordo com a Figura 5.12, admitindo-se um erro de 5%, nota-se que a
relação ��B ��P_.Hº@ãX(A)O aproxima-se da unidade para valores de λ maiores do que
0,75 e �G com valores entre 0,2 e 0,3.
5.2.1 Relação Entre Solicitações de Momento Fletor nas Seções de Estudo
Um dimensionamento eficiente é aquele onde não ocorrem exageros, escassez
ou ambos em diferentes instantes de execução de uma tarefa. Correlacionando esta
visão com as estruturas de pontes, um dimensionamento eficiente seria empregar
peças com características e propriedades que atendam às possíveis condições de
solicitação da estrutura. Isto conduz ao pensamento de que, determinando-se a
solicitação devida a um dado carregamento, aplicando-se os fatores de ponderação
desta solicitação, determinando-se a armadura necessária (para o caso de concreto
armado) e verificando-se quanto a fadiga da peça estrutural, seja a forma eficiente de
se dimensionar a peça. Afinal, passa-se por todos os principais pontos da concepção
da estrutura.
No entanto, através de análises mais amplas, encontram-se outros fatores que
podem e são de extrema importância para este dimensionamento eficiente. Um destes
fatores é a relação entre o vão central e o lateral, que pode gerar uma distribuição das
solicitações de forma mais eficiente, gerando peças mais enxutas com necessidade de
uma menor quantidade de material.
As seções de análise deste trabalho são: S4, S5, S10 e S15. A seção S0 tem
sua importância por representar o efeito do balanço extremo na superestrutura, as
seções S4 e S5 foram descritas no item anterior, a seção S10 é referente a solicitação
48
de momento fletor negativo e a seção S15 é referente a solicitação de momento fletor
positivo.
Desta forma, ao se determinar a relação entre as seções S0 e S10, solicitações
de momentos fletores negativos, e para as seções S4, S5 e S15, solicitações de
momentos fletores positivos, pode-se encontrar uma relação que seja a mais eficiente
quanto à distribuição das solicitações ao longo da superestrutura.
Tomando-se, novamente, como exemplo o valor de �. = 15,0�, a relação
entre momentos fletores característicos nas seções S0 e S10 é mostrada na Figura
5.14.
Figura 5.14 – Relação ��H= ��=� versus �, para �. = 15,0�
A partir do gráfico da Figura 5.14, pode-se observar a influência das relações
entre o vão central e o lateral, e principalmente, a relevância do balanço extremo. Para
a curva que representa �G = 0,15, observa-se que o momento negativo na seção S10
é de, aproximadamente, 3,2 vezes superior ao da seção S0, para � = 0,5,
apresentando uma queda ao se aproximar de valores superiores de �, chegando a
cerca de 2,2 para � = 1,0.
49
Para um mesmo valor de �, por exemplo � = 0,7, ainda é possível observar a
grande influência do balanço extremo nesta relação. Para �G = 0,05, o momento na
seção S10 torna-se 5,2 vezes superior ao momento na seção S0, enquanto para �G = 0,3, esta relação reduz para aproximadamente 1,2.
A Figura 5.15 ilustra a relação entre momentos fletores positivos nas seções
S4 e S15.
Figura 5.15 – Relação ��HB ���� versus �, para �. = 15,0�
Novamente, pode-se observar, a influência do balanço extremo na relação
entre as solicitações de momentos fletores positivos nos 1º e 2º vãos.
5.2.2 Solicitações de Momento Fletor
As solicitações de momento fletor são obtidas a partir dos procedimentos
descritos no item 4.2.2. O carregamento de peso próprio estrutural consiste em uma
carga constante distribuída ao longo da superestrutura. Tomando-se por base os
valores de �. = 15,0�, � = 0,7, �G = 0,15 e o carregamento de peso próprio estrutural
e sobrecarga permanente, apresenta-se, a seguir, o processo de cálculo das
solicitações de momento fletor em função do vão central, �..
50
A partir da Eq. (9) e do comprimento usual da placa de aproximação
recomendado pelo DNIT [11], obtém-se para o comprimento do balanço extremo:
�FN = 4,0� (60)
�IJ@ = �G + �FN2 (61)
�IJ@ = �G ∙ �H + �FN2 = �G ∙ � ∙ �. + �FN2 = 0,15 × 0,7 × 15,0 + 4,02 (62)
�IJ@ = 3,58� (63)
A carga correspondente ao peso próprio estrutural e sobrecarga permanente é:
/FFA|XG = 180,9 � �� Determinado o comprimento do balanço extremo e a partir da Eq. (12), o
momento devido ao balanço extremo será:
�GPN = /FFA|XG ∙ �[email protected] = 180,85 × 3,575.2 = 1156� ∙ � (64)
Sendo o modelo de análise simétrico, com �H = �3, para se determinar os
hiperestáticos devidos à carga constante distribuída, faz-se o uso da Eq. (36). Desta
forma, obtém-se:
aH.� = a..� = − (1 + �3)4(3 + 2�)/FFA|XG ∙ �..
aH.� = a..� = − (1 + 0,73)4(3 + 2 × 0,7) × 180,85 × 15,0.
aH.� = a..� = −3105� ∙ � (65)
Ainda devido à simetria, os momentos fletores nos extremos do modelo de
análise, referentes ao balanço, possuem o mesmo valor. Desta forma, o hiperestático
devido ao balanço extremo é obtido a partir das Eq. (43) e (44). Logo:
aH.� = a..� = −2�GPN ∙ �(1 + �) − �GPN ∙ �(4�. + 8� + 3)
aH.� = a..� = −2 × 1155,68 × 0,7 × (1 + 0,7) − 1155,68 × 0,7(4 × 0,7. + 8 × 0,7 + 3)
aH.� = a..� = −183,9� ∙ � (66)
51
O hiperestático final é a soma dos efeitos isolados, logo:
aH = a. = aH.� + aH.� = −3105 − 183,9� �
aH = a. = −3289� ∙ � (67)
A partir dos hiperestáticos, determinam-se as solicitações referentes às seções
estudadas. A Tabela 5.1 apresenta os valores obtidos para 10,0� < �. < 20,0�.
Tabela 5.1 – Solicitações de momento fletor nas seções S4, S5, S10 e S15
Ampliando os resultados, obtêm-se as curvas de momento fletor versus vão
central correspondentes a cada valor da relação � em função de �G. A Figura 5.16
exemplifica a curva de solicitação de momento fletor na seção S4 e a Tabela 5.2
apresenta as respectivas linhas de tendência para a solicitação de momento fletor
nesta seção, para �G = 0,15.
No Apêndice C são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S4 versus
vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras C.1 a C.7) e apresentadas as
respectivas linhas de tendência (Tabelas C.1 a C.7).
É possível notar que, para valores de � reduzidos, os momentos fletores na
seção S4 se aproximam de zero ou até mesmo, invertem o sinal. Nesses casos, não
havendo momento fletor positivo, a linha de tendência de momentos fletores positivos
será indicada constante e igual a zero.
52
Figura 5.16 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,15
Tabela 5.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,15
� Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���(A) = 0 0,6 ���(A) = 5,0909 × �.. − 120,48 × �. + 702,58 0,7 ���(A) = 4,5792 × �.. − 20,37 × �. − 194 0,8 ���(A) = 7,2541 × �.. − 23,023 × �. − 191,86 0,9 ���(A) = 10,199 × �.. − 25,635 × �. − 189,89 1,0 ���(A) = 13,41 × �.. − 28,212 × �. − 188,08
A Figura 5.17 ilustra as curvas de momento fletor na seção S5 versus vão
central para os diversos valores de λ, com λG = 0,15, e a Tabela 5.3 traz as
respectivas linhas de tendência.
53
No Apêndice D são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S5 versus
vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras D.1 a D.7) e apresentadas as
respectivas linhas de tendência (Tabelas D.1 a D.7).
Figura 5.17 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S5, �G = 0,15
Tabela 5.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 1,6402 × �.. − 43,928 × �. + 285,1 0,7 ��B(A) = 3,7578 × �.. − 15,968 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,4996 × �.. − 17,928 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 9,4986 × �.. − 19,837 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 12,75 × �.. − 21,702 × �. − 144,68
54
Similarmente, foram traçadas as curvas momento fletor na seção S10 versus
vão central para distintos valores de λ, fixando-se o valor de λG.
A Figura 5.18 mostra a curva momento fletor na seção S10 versus vão central,
para λG = 0,15 e a Tabela 5.4 traz as respectivas linhas de tendência.
No Apêndice E são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S10
versus vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras E.1 a E.7) e
apresentadas as respectivas linhas de tendência (Tabelas E.1 a E.7).
Figura 5.18 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,15
Tabela 5.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,652 × �.. + 3,3909 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −12,985 × �.. + 4,6504 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,641 × �.. + 6,042 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,635 × �.. + 7,5485 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −15,977 × �.. + 9,1555 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −17,678 × �.. + 10,851 × �. + 72,34
55
A Figura 5.19 apresenta as curvas correspondentes às linhas de tendência de
momento fletor na seção S15, com λb = 0,15 e a Tabela 5.5 traz as respectivas linhas
de tendência.
No Apêndice F são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S15
versus vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras F.1 a F.7) e
apresentadas as respectivas linhas de tendência (Tabelas F.1 a F.7).
Figura 5.19 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,15
Tabela 5.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 9,9538 × �.. + 3,3909 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,6207 × �.. + 4,6504 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 8,9647 × �.. + 6,042 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 7,9715 × �.. + 7,5485 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,6293 × �.. + 9,1555 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 4,9281 × �.. + 10,851 × �. + 72,34
56
5.2.3 Solicitações de Cortante
As solicitações de cortante são obtidas a partir dos procedimentos descritos no
item 4.2.2 e a partir dos hiperestáticos obtidos no item 5.2.2 e de procedimentos de
análise estrutural são obtidos os valores referentes ao cortante nas seções de estudo.
Tomando-se, novamente, como base os valores de �. = 15,0�, � = 0,7, �G = 0,15 e o carregamento de peso próprio estrutural e sobrecarga permanente, são
obtidas as solicitações de cortante para a superestrutura.
A Tabela 5.6 apresenta os valores de cortante obtidos para 10,0� ≤ �. ≤20,0�; na seção S10.
Tabela 5.6 – Solicitações de cortante na seção S10
De forma semelhante às solicitações de momento fletor, obtêm-se os valores
de cortante para as diferentes relações � e �G.
As curvas referentes ao cortante na seção S10 à esquerda, para �G = 0,15, são
ilustradas na Figura 5.20, e as respectivas linhas de tendência são apresentadas na
Tabela 5.7.
Para valores de �G entre 0 e 0,30, são ilustradas as curvas *�H=.I|J versus �. e
as respectivas linhas de tendência no Apêndice G deste trabalho.
57
Figura 5.20 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,15
Tabela 5.7 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda, para �G = 0,15 � Cortante a esquerda seção S10, ����.��� 0,5 *�H=.I|J = −73,432 × �. + 176,90,6 *�H=.I|J = −78,006 × �. + 160,090,7 *�H=.I|J = −84,255 × �. + 148,160,8 *�H=.I|J = −91,57 × �. + 139,260,9 *�H=.I|J = −99,609 × �. + 132,371,0 *�H=.I|J = −108,17 × �. + 126,9
58
Para o cortante à direita na seção S10, o valor da solicitação independe da
relação �G e da relação �, este valor está relacionado apenas ao valor do vão central.
Desta forma, a curva correspondente ao cortante na seção S10 a direita será única,
para qualquer relação adotada entre os vãos e o balanço extremo.
A Figura 5.21 ilustra a curva de cortante a direita para a seção S10.
Figura 5.21 – Solicitações de cortante seção S10 à direita
A linha de tendência correspondente à curva de cortante na seção S10 a direita
será:
*�H=.�?z.� = 90,425 × �. (68)
59
5.2.4 Reações de Apoio
As reações de apoio são obtidas a partir dos procedimentos descritos nos itens
4.2.2 e 5.2.2. A Figura 5.22 ilustra as reações de apoio do modelo de análise proposto.
Figura 5.22 – Reações de apoio do modelo de análise
Tomando-se como base os valores λ = 0,7, λ = 0,15 e o carregamento de
peso próprio estrutural e sobrecarga permanente, obtêm-se as reações de apoio &^ e &¡ apresentadas na Tabela 5.8.
Tabela 5.8 – Reações de Apoio &^ e &¡
Nota-se, da Tabela 5.8, que as reações de apoio de maior magnitude ocorrem
no apoio central. Para fins de análise, apresenta-se, na Figura 5.23, a curva referente
a reação &¡, para λ = 0,15. As respectivas linhas de tendência são mostradas na
Tabela 5.9.
As curvas e as linhas de tendência referentes à reação de apoio em B para
valores de �G entre 0 e 0,30, são apresentadas no Apêndice H.
60
Figura 5.23 – Reação de apoio &¡ , �G = 0,15
Tabela 5.9 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,15 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 159,28 × �. − 176,90,6 &¡ = 164,55 × �. − 160,090,7 &¡ = 171,31 × �. − 148,160,8 &¡ = 179,01 × �. − 139,260,9 &¡ = 187,35 × �. − 132,371,0 &¡ = 196,15 × �. − 126,9
61
5.3 Ação Devida a Carga Móvel
A ação da carga móvel é transitória, podendo atuar sobre a superestrutura ou
não. Desta forma, a sua atuação combinada à do peso próprio e sobrecarga
permanente pode ampliar ou aliviar a solicitação na superestrutura.
Como visto para a ação das cargas de origem permanente, as seções que
possuem maior importância são: S4, S5, S10 e S15. Com base nesta informação, o
estudo da ação da carga móvel será aplicado apenas para estas seções.
O procedimento para avaliação do comportamento estrutural da superestrutura
da ponte baseia-se na linha de influência para as solicitações de momento fletor e
cortante. Por se tratar de um pré-dimensionamento, trata-se a ação da carga móvel
por aproximação a partir das ordenadas da LI e a partir das definições e relações pré-
fixadas (λ, λ eL.).
Por se tratar de um modelo de análise unifilar, torna-se necessário transformar
o carregamento correspondente ao veículo tipo em um trem tipo com cargas
concentradas e distribuídas.
A antiga NB-6 (1982) [12] permite homogeneizar a carga distribuída do trem-
tipo. Isto consiste em considerar a carga de multidão, de 5,0 kN/m2, também sob a
área do veículo, descontando-se a resultante do produto da carga de multidão pela
área de ocupação do veículo do peso total do veículo-tipo. Desta forma, a carga
concentrada, por roda, do veículo-tipo homogeneizado passa a ser:
q¦ = 450,00� − �5,0 � �.⁄ × (3 × 8)�.�6��+� = 60 � ��+�⁄ (69)
A atuação da carga em meia pista também desperta solicitação de torção.
Desta forma, devem-se considerar dois trens tipo: de flexão, cargas verticais
concentradas e distribuídas, e de torção, torques concentrados e distribuídos. Neste
trabalho será abordado para a análise apenas a atuação do trem tipo de flexão.
5.3.1 Coeficiente de Impacto
Tomando-se, valores de L. = 15,0m, λ = 0,7, λ = 0,15 e S15, demonstra-se a
seguir o procedimento de cálculo para a determinação do coeficiente de impacto.
O coeficiente de impacto vertical é dado por:
62
�?@ = �H + �. + �33 (70)
�?@ = λ ∙ �. + �. + λ ∙ �.3 = 0,7 × 15,0 + 15,0 + 0,7 × 15,03 = 12,0�
89* = 1 + 1,06 × ¨ 20�?@ + 50© (71)
89* = 1 + 1,06 × ¨ 2012,0 + 50© = 1,34
O coeficiente do número de faixas é:
8 : = 1 − 0,05 × ( : − 2) (72) 8 : = 1 − 0,05 × (2 − 2) = 1,00
Como a distância da seção S15 à descontinuidade estrutural é superior a 5,0
m, este coeficiente não se aplica, logo o seu valor será de:
89, = 1,0 (73)
A Tabela 5.10 apresenta os coeficientes de impacto para outros valores de �.,
para λ = 0,7:
Tabela 5.10 – Coeficiente de impacto, � = 0,7
63
5.3.2 Trem Tipo de Flexão
A partir da carga móvel já homogeneizada, ao carregar-se um trecho genérico
da superestrutura (sem consideração do coeficiente de impacto), têm-se duas
situações a serem consideradas: veículo-tipo associado à carga de multidão e carga
de multidão apenas.
A Figura 5.24 ilustra, em planta, os cortes correspondentes às situações de
seção carregada com e sem o veículo-tipo. A Figura 5.25 ilustra as situações
transversalmente.
Figura 5.24 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão, em planta
64
Figura 5.25 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão e apenas com carga de
multidão, corte transversal
Define-se o trem-tipo longitudinal para análise de flexão da seção integral (duas
almas):
qyy = 60,00 � ��+�⁄ × 2 ��+� �(��⁄ = 120,0 � �(��⁄ �yy = 5,00 � �.⁄ × K2�F?|�P + 2�P�X|�L
�yy = 5,00 × (2 × 3,60 + 2 × 2,00) = 56,0� /�
O trem-tipo de flexão para análise é mostrado na Figura 5.26.
Figura 5.26 – Trem-tipo de flexão
65
5.3.3 Linha de Influência
Segundo Süssekind (1981) [13], linha de influência é a representação gráfica
ou analítica do valor deste efeito, na seção S de análise, produzida por uma carga
concentrada unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura.
Para a ação de carga móvel, torna-se necessário obter as linhas de influência
das seções S4, S5, S10 e S15, para os efeitos de momento fletor e cortante. Com a
variação do comprimento de �., para uma mesma seção, a linha de influência possui
diferentes valores para as ordenadas. Desta forma, o procedimento necessário é obter
todas as LI para todas as combinações possíveis de �, �G��., para a determinação
dos efeitos da carga móvel.
Considerando-se o intervalo aceitável de � para este estudo paramétrico
conforme definido no item anterior, item 5.2.1, as linhas de influência a serem
esboçadas e que serão válidas estão compreendidas dentro deste intervalo.
Para exemplificação, toma-se o valor de �. = 15,0�. Para os valores de � = 0,7 e �G = 0,15, são ilustrados nas Figuras 5.27 e 5.28 as linhas de influência de
momento fletor e cortante para as seções S4, S10 e S15, respectivamente.
a)
b)
c)
Figura 5.27 – Linhas de influência de momento fletor: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15
66
a)
b)
c)
Figura 5.28 – Linhas de influência de cortante: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15
Com o uso de programas computacionais, a obtenção ou o traçado da linha de
influência de uma seção qualquer de uma estrutura hiperestática torna-se um
processo simples. A visualização do ponto de aplicação da carga móvel para se
encontrar os valores de momentos fletores e cortantes máximos torna-se visual,
identificando-se facilmente as maiores ordenadas.
As Tabelas 5.11 a 5.13, respectivamente, apresentam as linhas de influência
para as seções S4, S10 e S15, referente aos valores de �.: 10,0; 13,0; 15,0; 18,0; e
20,0 m. A relação entre os vãos laterais foi fixada em � = 0,7 e a relação do balanço
extremo em �G = 0,15.
67
Tabela 5.11 – Linhas de influência da seção S4: a) �. = 10,0�; b) �. = 13,0� ; c) �. = 15,0�; d) �. = 18,0� ; e) �. = 20,0�
a)
b)
c)
d)
e)
68
Tabela 5.12 – Linhas de influência da seção S10: a) �. = 10,0�; b) �. = 13,0� ; c) �. = 15,0�; d) �. = 18,0� ; e) �. = 20,0�
a)
b)
c)
d)
e)
69
Tabela 5.13 – Linhas de Influência da seção S15: a) �. = 10,0�; b) �. = 13,0� ; c) �. = 15,0�; d) �. = 18,0� ; e) �. = 20,0�
a)
b)
c)
d)
e)
70
A consideração dos vãos laterais e dos balanços extremos com comprimentos
relacionados ao vão central, e consequente geração de modelo simétrico, garante uma
singularidade que torna fácil a obtenção das ordenadas máximas e mínimas para
qualquer valor de �., desde que seja mantida fixa a relação �.
Admitindo-se o modelo dividido em décimos de vão, obtêm-se as relações
seguintes para as seções S4 e S5:
ª�+>«��0,4 × �H = 8>«�� (74)
ª�+>«�B0,5 × �H = 8>«�B (75)
onde C é uma constante para qualquer valor de �., mantendo-se � constante.
Substituindo �H por � ∙ �., chega-se a:
ª�+>«��0,4 × � × �. = 8>«��� ª�+>«�B0,5 × � × �. = 8>«�B (76)
Devido à proporcionalidade inserida pela relação �, as ordenadas, para
diferentes valores de vão central, �., podem ser obtidas graficamente. Em sequência,
por regressão linear, são obtidas as funções correspondentes às ordenadas para o
intervalo de estudo definido.
A proporcionalidade existente é demonstrada a seguir para as seções S4, S10
e S15.
Com base na Eq. (74) e fixando � = 0,7, tem-se que o ponto de ordenada
máxima, para o momento fletor na seção S4, é igual a:
�. = 10,0� → 1,46800,4 × 0,7 × 10,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®
�. = 13,0� → 1,90840,4 × 0,7 × 13,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®
�. = 15,0� → 2,20190,4 × 0,7 × 15,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®
�. = 18,0� → 2,64230,4 × 0,7 × 18,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®
�. = 20,0� → 2,93590,4 × 0,7 × 20,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®
71
Similarmente, para o momento fletor na seção S10:
�. = 10,0� → −0,91820,4 × 0,7 × 10,0 = 0,3279 = 8�|�.`=,®
�. = 13,0� → −1,19360,4 × 0,7 × 13,0 = −0,3279 = 8�|H=.`=,®
�. = 15,0� → −1,37730,4 × 0,7 × 15,0 = −0,3279 = 8�|�.`=,®
�. = 18,0� → −1,65270,4 × 0,7 × 18,0 = −0,3279 = 8�|�.`=,®
�. = 20,0� → −1,83640,4 × 0,7 × 20,0 = −0,3279 = 8�|H=.`=,®
E para o momento fletor na seção S15:
�. = 10,0� → 1,64770,4 × 0,7 × 10,0 = 0,5884 = 8�|HB.`=,®
�. = 13,0� → 2,13600,4 × 0,7 × 13,0 = 0,5884 = 8�|H=.`=,®
�. = 15,0� → 2,47160,4 × 0,7 × 15,0 = 0,5884 = 8�|HB.`=,®
�. = 18,0� → 2,96590,4 × 0,7 × 18,0 = 0,5884 = 8�|�.`=,®
�. = 20,0� → 3,29550,4 × 0,7 × 20,0 = 0,5884 = 8�|H=.`=,®
Desta forma, ao se traçar a linha de influência para diferentes valores de � para
um valor fixo de �., torna-se possível obter a curva “��+�)�+�����” e sua função
correspondente.
Para fins de exemplificação, apresenta-se a linha de influência de momento
fletor para a seção S4 admitindo-se �. constante e igual a 15,0 m. Os valores obtidos
das ordenadas nas seções S4, S5, S14 e S15 são apresentados na Tabela 5.14.
72
Tabela 5.14 – Ordenadas linha de influência, momento fletor da seção S4
A Figura 5.29 apresenta, graficamente, as ordenadas na seção S4 da linha de
influência de momentos fletores nesta mesma seção para valores de � entre 0,50 e
1,00, com �. = 15,0�.
Figura 5.29 – Ordenadas na seção S4 da linha de influência da seção S4
A partir da linearização dos valores, encontra-se a equação que satisfaz os
demais valores de �.
Y¯z���_>«.�� = 2,9016� + 0,1661 (77)
A confiabilidade da expressão pode ser verificada pelo valor de &. = 0,9999,
obtido através de planilha (Excel).
73
De forma semelhante, a ordenada na seção S5 da linha de influência de
momentos fletores na seção S4 é apresentada na Figura 5.30, para valores de � entre
0,50 e 1,00, com �. = 15,0�.
Figura 5.30 – Ordenadas na seção S5 da linha de influência da Seção S4
A partir da linearização dos valores, encontra-se a equação que satisfaz os
demais valores de �.
Y¯z��B_>«.�� = 2,2205� + 0,1855 (78)
A confiabilidade da expressão pode ser verificada pelo valor de &. = 0,9998,
obtido através de planilha (Excel).
Similarmente, a Figura 5.31 apresenta as ordenadas na seção S15 da linha de
influência de momentos fletores na seção S4, para � entre 0,50 e 1,00, �. = 15,0�.
74
Figura 5.31 – Ordenadas na seção S15 da linha de influência da seção S4
Pode-se assim, através da linearização dos valores, encontrar a equação que
satisfaça os demais valores de �.
Y¯z��HB_>«.�� = 0,2245� + 0,6713 (79)
A confiabilidade da expressão pode ser verificada pelo valor de &. = 0,9958,
obtido através de planilha (Excel).
Em relação ao balanço extremo, devido ao estudo se basear na relação λ que
é variável, o cálculo da constante, além de levar em conta a variabilidade do
comprimento do balanço, deve considerar o valor correspondente à metade da placa
de aproximação. Desta forma, a constante C para o balanço extremo é dada por:
ª�+>«��_¡PN�FN2 + 0,4 × � × �G × �. = 8>«��_¡PN (80)
Para a relação �G = 0, a placa de aproximação se apoia no encontro e não é
incluída na análise da superestrutura. Logo, a Eq. (80) é válida para valores de �G
diferentes de zero.
Desta forma, para a seção do balanço extremo, as ordenadas da linha de
influência da seção S4, para �G = 0,15, são ilustradas na Figura 5.32.
75
Figura 5.32 – Ordenadas no balanço da linha de influência da seção S4, �G = 0,15
Logo, a partir da linearização dos valores, a equação que satisfaz os demais
valores de � é:
Y¯z�¡PN_>«.�� = −0,9098� − 1,1874 (81)
A confiabilidade da expressão pode ser verificada pelo valor de &. = 0,9999.
Das Figuras 5.29 a 5.32, nota-se que o coef. angular da reta é uma constante,
para cada seção de análise, dada pela relação entre a ordenada da linha de influência
e �. Assim, pode-se reescrever a expressão (74) da forma que se segue:
8>« = ±/v0,4 × �H = ª�+>«0,4 × � × �. (82)
Exemplificando o procedimento através das ordenadas para o momento fletor
positivo na seção S4, fixando �. = 15,0� e calculando para os valores de �
pertencentes ao intervalo definido anteriormente, têm-se os respectivos valores de
constante 8 apresentados na Tabela 5.15.
76
Tabela 5.15 – Constantes C, na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4
Reorganizando a expressão (76) e de posse das constantes determinadas,
pode-se ampliar o cálculo para os diferentes valores de �.. A Tabela 5.16 apresenta
os valores para cada combinação possível de �. e �.
Tabela 5.16 – Ordenadas na seção S4 para linha de influência de momentos fletores em S4
A partir da determinação da constante C referente a diferentes valores de � e
de �., torna-se possível traçar a curva ª�+�)�+�����. para diversos valores de �.
Graficamente, isto representa a ordenada na seção S4 da linha de influência de
momentos nesta mesma seção.
77
A Figura 5.33 ilustra as curvas ª�+�)�+� versus �..
Figura 5.33 – Ordenadas na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4
Aplicando o mesmo procedimento de regressão linear utilizado para as curvas
da Figura 5.33, obtêm-se as respectivas linhas de tendência para determinação da
ordenada na seção S4, para a linha de influência de momento fletor em S4.
� = 0,5 → Y¯z���_>«.�� = 0,1074 × �.; &. = 1,0 (83)
� = 0,6 → Y¯z���_>«.�� = 0,1272 × �.; &. = 1,0 (84)
� = 0,7 → Y¯z���_>«.�� = 0,1468 × �.; &. = 1,0 (85)
� = 0,8 → Y¯z���_>«.�� = 0,1661 × �.; &. = 1,0 (86)
� = 0,9 → Y¯z���_>«.�� = 0,1852 × �.; &. = 1,0 (87)
� = 1,0 → Y¯z���_>«.�� = 0,2042 × �.; &. = 1,0 (88)
O procedimento para as demais linhas de influência e seções consiste nas
mesmas etapas de cálculo.
As linhas de tendência referentes as ordenadas da linha de influência dos
momentos fletores seguem a orientação ilustrada na Figura 5.34.
Figura 5.34 – Orientação para as funções das ordenadas
78
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nos balanços extremos
para linha de influência de momento fletor em S4 são apresentadas na Tabela 5.17.
Tabela 5.17 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de influência de momento fletor em S4
� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹����� ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´���
0,5
0,05 ª�+ = −0,0131 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0006 × �. − 0,05
0,10 ª�+ = −0,0263 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0013 × �. − 0,05
0,15 ª�+ = −0,0394 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,05 0,20 ª�+ = −0,0526 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0025 × �. − 0,05
0,25 ª�+ = −0,0657 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,05 0,3 ª�+ = −0,0789 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0038 × �. − 0,05
0,6
0,05 ª�+ = −0,0155 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0008 × �. − 0,0519
0,10 ª�+ = −0,031 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0016 × �. − 0,0519 0,15 ª�+ = −0,0465 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,0519
0,20 ª�+ = −0,062 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,0519 0,25 ª�+ = −0,0775 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,0519
0,3 ª�+ = −0,093 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0047 × �. − 0,0519
0,7
0,05 ª�+ = −0,0179 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0009 × �. − 0,0531
0,10 ª�+ = −0,0357 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,0531
0,15 ª�+ = −0,0536 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0028 × �. − 0,0531 0,20 ª�+ = −0,0715 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0037 × �. − 0,0531
0,25 ª�+ = −0,0894 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0046 × �. − 0,0531
0,3 ª�+ = −0,1072 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0056 × �. − 0,0531
0,8
0,05 ª�+ = −0,0201 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0011 × �. − 0,0535
0,10 ª�+ = −0,0403 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0021 × �. − 0,0535
0,15 ª�+ = −0,0604 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0032 × �. − 0,0535 0,20 ª�+ = −0,0806 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0043 × �. − 0,0535
0,25 ª�+ = −0,1007 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0054 × �. − 0,0535 0,3 ª�+ = −0,1209 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0064 × �. − 0,0535
0,9
0,05 ª�+ = −0,0224 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0012 × �. − 0,0536
0,10 ª�+ = −0,0449 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0024 × �. − 0,0536 0,15 ª�+ = −0,0673 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0036 × �. − 0,0536
0,20 ª�+ = −0,0898 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0048 × �. − 0,0536 0,25 ª�+ = −0,1122 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,006 × �. − 0,0536
0,3 ª�+ = −0,1347 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0072 × �. − 0,0536
1,0
0,05 ª�+ = −0,0247 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0013 × �. − 0,0533
0,10 ª�+ = −0,0493 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0027 × �. − 0,0533 0,15 ª�+ = −0,074 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,004 × �. − 0,0533
0,20 ª�+ = −0,0987 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0053 × �. − 0,0533 0,25 ª�+ = −0,1233 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,0533
0,3 ª�+ = −0,148 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,008 × �. − 0,0533
79
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nas seções S4, S5, S14,
S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S4 são apresentadas na
Tabela 5.18.
Tabela 5.18 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S4
� � ³´µ�¶·µ·
S4
0,50 ª�+ = 0,1074 × �.
0,60 ª�+ = 0,1272 × �.
0,70 ª�+ = 0,1468 × �.
0,80 ª�+ = 0,1661 × �.
0,90 ª�+ = 0,1852 × �.
1,00 ª�+ = 0,2042 × �.
S5
0,50 ª�+ = 0,0859 × �.
0,60 ª�+ = 0,1013 × �.
0,70 ª�+ = 0,1163 × �.
0,80 ª�+ = 0,1311 × �.
0,90 ª�+ = 0,1456 × �.
1,00 ª�+ = 0,16 × �.
S14
0,50 ª�+ = −0,0408 × �.
0,60 ª�+ = −0,0386 × �.
0,70 ª�+ = −0,0367 × �.
0,80 ª�+ = −0,035 × �.
0,90 ª�+ = −0,0334 × �.
1,00 ª�+ = −0,032 × �.
S15
0,50 ª�+ = −0,0375 × �.
0,60 ª�+ = −0,0357 × �.
0,70 ª�+ = −0,0341 × �.
0,80 ª�+ = −0,0326 × �.
0,90 ª�+ = −0,0312 × �.
1,00 ª�+ = −0,03 × �.
S25
0,50 ª�+ = 0,0046 × �.
0,60 ª�+ = 0,0064 × �.
0,70 ª�+ = 0,0084 × �.
0,80 ª�+ = 0,0104 × �.
0,90 ª�+ = 0,0124 × �.
1,00 ª�+ = 0,0145 × �.
80
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nos balanços extremos
para linha de influência de momento fletor em S5 são apresentadas na Tabela 5.19.
Tabela 5.19 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de influência de momento fletor em S5
� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹����� ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´���
0,5
0,05 ª�+ = −0,0102 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0008 × �. − 0,0626
0,10 ª�+ = −0,0203 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0016 × �. − 0,0626
0,15 ª�+ = −0,0305 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,0626 0,20 ª�+ = −0,0407 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,0626
0,25 ª�+ = −0,0509 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,0626 0,3 ª�+ = −0,061 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0047 × �. − 0,0626
0,6
0,05 ª�+ = −0,0119 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,001 × �. − 0,065
0,10 ª�+ = −0,0238 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,065 0,15 ª�+ = −0,0356 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0029 × �. − 0,065
0,20 ª�+ = −0,0475 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,065 0,25 ª�+ = −0,0594 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0049 × �. − 0,065
0,3 ª�+ = −0,0713 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0058 × �. − 0,065
0,7
0,05 ª�+ = −0,0136 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0012 × �. − 0,0664
0,10 ª�+ = −0,0272 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,0664
0,15 ª�+ = −0,0407 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0035 × �. − 0,0664 0,20 ª�+ = −0,0543 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0046 × �. − 0,0664
0,25 ª�+ = −0,0679 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0058 × �. − 0,0664
0,3 ª�+ = −0,0815 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,007 × �. − 0,0664
0,8
0,05 ª�+ = −0,0152 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0013 × �. − 0,0669
0,10 ª�+ = −0,0304 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0027 × �. − 0,0669
0,15 ª�+ = −0,0456 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,004 × �. − 0,0669 0,20 ª�+ = −0,0607 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0054 × �. − 0,0669
0,25 ª�+ = −0,0759 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,0669 0,3 ª�+ = −0,0911 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,008 × �. − 0,0669
0,9
0,05 ª�+ = −0,0168 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,0015 × �. − 0,067
0,10 ª�+ = −0,0336 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,003 × �. − 0,067 0,15 ª�+ = −0,0504 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,0045 × �. − 0,067
0,20 ª�+ = −0,0672 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,006 × �. − 0,067 0,25 ª�+ = −0,084 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,0075 × �. − 0,067
0,3 ª�+ = −0,1008 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,009 × �. − 0,067
1,0
0,05 ª�+ = −0,0183 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0017 × �. − 0,0667
0,10 ª�+ = −0,0367 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0033 × �. − 0,0667 0,15 ª�+ = −0,055 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,005 × �. − 0,0667
0,20 ª�+ = −0,0733 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,0667 0,25 ª�+ = −0,0917 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0083 × �. − 0,0667
0,3 ª�+ = −0,11 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,01 × �. − 0,0667
81
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nas seções S4, S5, S14,
S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S5 são apresentadas na
Tabela 5.20.
Tabela 5.20 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S5
� � ³´µ�¶·µ·
S4
0,50 ª�+ = 0,0842 × �.
0,60 ª�+ = 0,0991 × �.
0,70 ª�+ = 0,1135 × �.
0,80 ª�+ = 0,1276 × �.
0,90 ª�+ = 0,1415 × �.
1,00 ª�+ = 0,1552 × �.
S5
0,50 ª�+ = 0,1074 × �.
0,60 ª�+ = 0,1266 × �.
0,70 ª�+ = 0,1454 × �.
0,80 ª�+ = 0,1639 × �.
0,90 ª�+ = 0,1821 × �.
1,00 ª�+ = 0,2 × �.
S14
0,50 ª�+ = −0,051 × �.
0,60 ª�+ = −0,0483 × �.
0,70 ª�+ = −0,0459 × �.
0,80 ª�+ = −0,0437 × �.
0,90 ª�+ = −0,0418 × �.
1,00 ª�+ = −0,04 × �.
S15
0,50 ª�+ = −0,0469 × �.
0,60 ª�+ = −0,0446 × �.
0,70 ª�+ = −0,0426 × �.
0,80 ª�+ = −0,0408 × �.
0,90 ª�+ = −0,0391 × �.
1,00 ª�+ = −0,0375 × �.
S25
0,50 ª�+ = 0,0058 × �.
0,60 ª�+ = 0,008 × �.
0,70 ª�+ = 0,0105 × �.
0,80 ª�+ = 0,013 × �.
0,90 ª�+ = 0,0155 × �.
1,00 ª�+ = 0,0181 × �.
82
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nos balanços extremos
para linha de influência de momento fletor em S10 são apresentadas na Tabela 5.21.
Tabela 5.21 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de influência de momento fletor em S10
� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹������ ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´����
0,5
0,05 ª�+ = 0,0047 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0016 × �. − 0,1252
0,10 ª�+ = 0,0094 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,1252
0,15 ª�+ = 0,0141 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0047 × �. − 0,1252 0,20 ª�+ = 0,0188 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0063 × �. − 0,1252
0,25 ª�+ = 0,0235 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0078 × �. − 0,1252 0,3 ª�+ = 0,0282 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0094 × �. − 0,1252
0,6
0,05 ª�+ = 0,0062 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,1299
0,10 ª�+ = 0,0125 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,1299 0,15 ª�+ = 0,0187 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0058 × �. − 0,1299
0,20 ª�+ = 0,0249 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0078 × �. − 0,1299 0,25 ª�+ = 0,0312 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0097 × �. − 0,1299
0,3 ª�+ = 0,0374 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0117 × �. − 0,1299
0,7
0,05 ª�+ = 0,0079 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,1328
0,10 ª�+ = 0,0158 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0046 × �. − 0,1328
0,15 ª�+ = 0,0237 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,007 × �. − 0,1328 0,20 ª�+ = 0,0316 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0093 × �. − 0,1328
0,25 ª�+ = 0,0395 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0116 × �. − 0,1328
0,3 ª�+ = 0,0474 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0139 × �. − 0,1328
0,8
0,05 ª�+ = 0,0096 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0027 × �. − 0,1338
0,10 ª�+ = 0,0193 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0054 × �. − 0,1338
0,15 ª�+ = 0,0289 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,008 × �. − 0,1338 0,20 ª�+ = 0,0385 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0107 × �. − 0,1338
0,25 ª�+ = 0,0482 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0134 × �. − 0,1338 0,3 ª�+ = 0,0578 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0161 × �. − 0,1338
0,9
0,05 ª�+ = 0,0115 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,003 × �. − 0,1341
0,10 ª�+ = 0,0229 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,006 × �. − 0,1341 0,15 ª�+ = 0,0344 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0091 × �. − 0,1341
0,20 ª�+ = 0,0459 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0121 × �. − 0,1341 0,25 ª�+ = 0,0573 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0151 × �. − 0,1341
0,3 ª�+ = 0,0688 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0181 × �. − 0,1341
1,0
0,05 ª�+ = 0,0133 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0033 × �. − 0,1333
0,10 ª�+ = 0,0267 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,1333 0,15 ª�+ = 0,04 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,01 × �. − 0,1333
0,20 ª�+ = 0,0533 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0133 × �. − 0,1333 0,25 ª�+ = 0,0667 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0167 × �. − 0,1333
0,3 ª�+ = 0,08 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,02 × �. − 0,1333
83
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nas seções S4, S5, S14,
S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S10 são apresentadas na
Tabela 5.22.
Tabela 5.22 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S10
� � ³´µ�¶·µ·
S4
0,50 ª�+ = −0,0315 × �.
0,60 ª�+ = −0,0419 × �.
0,70 ª�+ = −0,053 × �.
0,80 ª�+ = −0,064 × �.
0,90 ª�+ = −0,077 × �.
1,00 ª�+ = −0,0896 × �.
S5
0,50 ª�+ = −0,0352 × �.
0,60 ª�+ = −0,0468 × �.
0,70 ª�+ = −0,0592 × �.
0,80 ª�+ = −0,0722 × �.
0,90 ª�+ = −0,0859 × �.
1,00 ª�+ = −0,1 × �.
S14
0,50 ª�+ = −0,102 × �.
0,60 ª�+ = −0,0966 × �.
0,70 ª�+ = −0,0918 × �.
0,80 ª�+ = −0,0875 × �.
0,90 ª�+ = −0,0836 × �.
1,00 ª�+ = −0,8 × �.
S15
0,50 ª�+ = −0,0937 × �.
0,60 ª�+ = −0,0893 × �.
0,70 ª�+ = −0,0852 × �.
0,80 ª�+ = −0,0815 × �.
0,90 ª�+ = −0,0781 × �.
1,00 ª�+ = −0,075 × �.
S25
0,50 ª�+ = 0,0115 × �.
0,60 ª�+ = 0,0157 × �.
0,70 ª�+ = 0,0204 × �.
0,80 ª�+ = 0,0253 × �.
0,90 ª�+ = 0,0303 × �.
1,00 ª�+ = 0,0353 × �.
84
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nos balanços extremos
para linha de influência de momento fletor em S15 são apresentadas na Tabela 5.23.
Tabela 5.23 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de influência de momento fletor em S15
� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹������ ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´����
0,5
0,05 ª�+ = 0,0016 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0016 × �. + 0,1252
0,10 ª�+ = 0,0031 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0031 × �. + 0,1252
0,15 ª�+ = 0,0047 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0047 × �. + 0,1252 0,20 ª�+ = 0,0063 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0063 × �. + 0,1252
0,25 ª�+ = 0,0078 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0078 × �. + 0,1252 0,3 ª�+ = 0,0094 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0094 × �. + 0,1252
0,6
0,05 ª�+ = 0,0021 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0021 × �. + 0,1429
0,10 ª�+ = 0,0043 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0043 × �. + 0,1429 0,15 ª�+ = 0,0064 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0064 × �. + 0,1429
0,20 ª�+ = 0,0086 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0086 × �. + 0,1429 0,25 ª�+ = 0,0107 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0107 × �. + 0,1429
0,3 ª�+ = 0,0129 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0129 × �. + 0,1429
0,7
0,05 ª�+ = 0,0028 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0028 × �. + 0,1593
0,10 ª�+ = 0,0056 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0056 × �. + 0,1593
0,15 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1593 0,20 ª�+ = 0,0112 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0112 × �. + 0,1593
0,25 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1593
0,3 ª�+ = 0,0167 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0167 × �. + 0,1593
0,8
0,05 ª�+ = 0,0035 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0035 × �. + 0,1739
0,10 ª�+ = 0,007 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,007 × �. + 0,1739
0,15 ª�+ = 0,0104 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0104 × �. + 0,1739 0,20 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1739
0,25 ª�+ = 0,0174 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0174 × �. + 0,1739 0,3 ª�+ = 0,0209 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0209 × �. + 0,1739
0,9
0,05 ª�+ = 0,0042 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0042 × �. + 0,1877
0,10 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1877 0,15 ª�+ = 0,0127 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0127 × �. + 0,1877
0,20 ª�+ = 0,0169 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0169 × �. + 0,1877 0,25 ª�+ = 0,0211 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0211 × �. + 0,1877
0,3 ª�+ = 0,0253 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0253 × �. + 0,1877
1,0
0,05 ª�+ = 0,005 × �. + 0,2 ª�+ = 0,005 × �. + 0,2
0,10 ª�+ = 0,01 × �. + 0,2 ª�+ = 0,01 × �. + 0,2 0,15 ª�+ = 0,015 × �. + 0,2 ª�+ = 0,015 × �. + 0,2
0,20 ª�+ = 0,02 × �. + 0,2 ª�+ = 0,02 × �. + 0,2 0,25 ª�+ = 0,025 × �. + 0,2 ª�+ = 0,025 × �. + 0,2
0,3 ª�+ = 0,03 × �. + 0,2 ª�+ = 0,03 × �. + 0,2
85
As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nas seções S4, S5, S14,
S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S15 são apresentadas na
Tabela 5.24.
Tabela 5.24 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S15
� � ³´µ�¶·µ·
S4
0,50 ª�+ = −0,0105 × �.
0,60 ª�+ = −0,0144 × �.
0,70 ª�+ = −0,0187 × �.
0,80 ª�+ = −0,0234 × �.
0,90 ª�+ = −0,0283 × �.
1,00 ª�+ = −0,0336 × �.
S5
0,50 ª�+ = −0,0117 × �.
0,60 ª�+ = −0,0161 × �.
0,70 ª�+ = −0,0209 × �.
0,80 ª�+ = −0,0261 × �.
0,90 ª�+ = −0,0316 × �.
1,00 ª�+ = −0,375 × �.
S14
0,50 ª�+ = 0,11 × �.
0,60 ª�+ = 0,1143 × �.
0,70 ª�+ = 0,1182 × �.
0,80 ª�+ = 0,1217 × �.
0,90 ª�+ = 0,1247 × �.
1,00 ª�+ = 0,128 × �.
S15
0,50 ª�+ = 0,1562 × �.
0,60 ª�+ = 0,1607 × �.
0,70 ª�+ = 0,1648 × �.
0,80 ª�+ = 0,1685 × �.
0,90 ª�+ = 0,1719 × �.
1,00 ª�+ = 0,175 × �.
S25
0,50 ª�+ = −0,0115 × �.
0,60 ª�+ = −0,0173 × �.
0,70 ª�+ = −0,0245 × �.
0,80 ª�+ = −0,033 × �.
0,90 ª�+ = −0,0424 × �.
1,00 ª�+ = −0,0529 × �.
86
A análise em função do cortante consiste no mesmo procedimento utilizado
para o momento fletor.
Para compreender o comportamento da linha de influência de cortante ao
longo da superestrutura, traça-se, com relação � e �G fixas, a linha de influência para
diferentes valores de vão central. Os valores utilizados para este procedimento foram:
10,0; 13,0; 15,0; 18,0; e 20,0 metros. Fixadas as relações � = 0,7 e �G = 0,15, os
resultados obtidos são apresentados na Tabela 5.25.
Tabela 5.25 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para o cortante a direita
Observando-se os resultados obtidos, torna-se notório que, independente do
valor adotado para o vão central, que ao se fixar a relação � as ordenadas dos pontos
de estudo são iguais, com exceção do balanço. Desta forma, ao se definir as
ordenadas para cada valor de relação �, determina-se a ordenada para qualquer valor
adotado de vão central.
Quanto ao balanço extremo, por se tratar de um estudo que toma como base
aproximações que facilitem o cálculo para obter valores aproximados aos reais, serão
determinadas as ordenadas referentes a todas as relações �G deste estudo para os
mesmos valores de vão central utilizados na Tabela 5.25. A partir das ordenadas
obtidas, serão determinadas as linhas de tendência referentes aos demais valores de
vão central.
As Tabelas 5.26 a 5.28 apresentam os valores encontrados de ordenada para
o cortante a direita da seção S10 para a relação � = 0,7, respectivamente ao balanço
esquerdo, aos pontos de estudo e ao balanço direito do modelo de análise. O
apêndice I apresenta os valores encontrados para as ordenadas em função de todas
as relações � em relação ao cortante à direita e a esquerda.
87
Tabela 5.26 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço esquerdo
Tabela 5.27 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, pontos de estudo
Tabela 5.28 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço direito
As Tabelas 5.29 a 5.31 apresentam os valores encontrados de ordenada para
o cortante a esquerda da seção S10 para a relação � = 0,7, respectivamente ao
balanço esquerdo, aos pontos de estudo e ao balanço direito do modelo de análise.
88
Tabela 5.29 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, balanço esquerdo
Tabela 5.30 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, pontos de estudo
Tabela 5.31 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço direito
Sendo apenas as ordenadas dos balanços extremos variáveis em função do
comprimento do vão central e das relações � e �G, serão determinadas apenas as
linhas de tendência referentes aos balanços. Através de regressão linear obtêm-se as
respectivas funções.
As Tabelas 5.32 e 5.33 apresentam as linhas de tendência das ordenadas em
função do comprimento do vão central para o cortante a direita e a esquerda,
respectivamente.
89
Tabela 5.32 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à direita
� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹���.���.µ»´.¼ ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´�.���.µ»´.¼
0,5
0,05 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0784 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0784
0,10 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0846 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0846 0,15 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0908 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0908
0,20 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0971 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0971 0,25 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,1034 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,1034
0,3 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,1096 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,1096
0,6
0,05 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,0867 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,0867
0,10 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,095 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,095
0,15 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1032 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1032 0,20 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1114 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1114
0,25 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1196 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1196 0,3 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1276 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1276
0,7
0,05 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,096 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,096
0,10 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1064 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1064
0,15 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1166 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1166 0,20 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1268 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1268
0,25 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,137 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,137 0,3 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1472 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1472
0,8
0,05 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1009 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1009
0,10 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1134 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1134 0,15 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1257 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1257
0,20 ª�+ = 0,003 × �. − 0,138 ª�+ = −0,003 × �. + 0,138 0,25 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1503 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1503
0,3 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1626 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1626
0,9
0,05 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1072 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1072
0,10 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1216 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1216 0,15 ª�+ = 0,0032 × �. − 0,1363 ª�+ = −0,0032 × �. + 0,1363
0,20 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1504 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1504 0,25 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1651 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1651
0,3 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1795 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1795
1,0
0,05 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1127 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1127
0,10 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1294 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1294
0,15 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1462 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1462 0,20 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1627 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1627
0,25 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1794 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1794 0,3 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1962 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1962
90
Tabela 5.33 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à esquerda
� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹���.���.���.¼ ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´�.���.���.¼
0,5
0,05 ª�+ = −0,0233 × �. + 0,7449 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0392
0,10 ª�+ = −0,0232 × �. + 0,8033 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0424 0,15 ª�+ = −0,0233 × �. + 0,8636 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0454
0,20 ª�+ = −0,0232 × �. + 0,9222 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0485 0,25 ª�+ = −0,0233 × �. + 0,9824 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0517
0,3 ª�+ = −0,0232 × �. + 1,0408 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0549
0,6
0,05 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,6407 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0344
0,10 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,7011 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0376 0,15 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,7615 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0409
0,20 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,8219 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0441 0,25 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,8822 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0474
0,3 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,9426 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0506
0,7
0,05 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,5656 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0306
0,10 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,6271 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,034
0,15 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,688 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0373 0,20 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,7498 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0406
0,25 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,8107 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0439 0,3 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,8722 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0471
0,8
0,05 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,5091 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0274
0,10 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,5712 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0307 0,15 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,6332 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0342
0,20 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,6953 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0375
0,25 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,7573 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0408 0,3 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,8193 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0442
0,9
0,05 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,4648 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0247
0,10 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,5273 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0282 0,15 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,5896 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0315
0,20 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,6527 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0349 0,25 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,716 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0382
0,3 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,7782 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0416
1,0
0,05 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,4285 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0226
0,10 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,4918 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0259
0,15 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,5551 ª�+ = 0,0006 × �. − 0,0292 0,20 ª�+ = −0,0126 × �. + 0,6214 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0325
0,25 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,6818 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0359 0,3 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,7451 ª�+ = 0,0006 × �. − 0,0392
91
5.3.4 Solicitações de Momento Fletor
5.3.4.1 Solicitações de Momento Fletor Seção S4
A partir das ordenadas das linhas de influência, obter as máximas solicitações
de carga móvel consistirá no posicionamento da carga pontual no ponto de maior
ordenada, de acordo com a solicitação desejada, e em conjunto com a carga de
multidão. As seções consideradas para análise são: S4, S5, S10 e S15.
O procedimento de cálculo, para a parcela concentrada da carga móvel,
consiste basicamente na multiplicação da ordenada obtida para a seção de análise
pelo valor da carga pontual do trem tipo longitudinal de flexão. Para fins de pré-
dimensionamento a carga concentrada que compõe o trem tipo longitudinal será
multiplicada por 2,5 e aplicada em um único ponto, este procedimento busca corrigir a
diferença entre a aplicação das 3 cargas concentradas distantes em 1,5 m e a
aplicação das três cargas concentradas em um único ponto. Este procedimento visa
facilitar os cálculos e verificar se, para o pré-dimensionamento, este fator encontra-se
satisfatório e fornecendo valores próximos a aplicação das três cargas concentradas
que compõem o trem tipo.
Quanto à carga de multidão, será considerada a ordenada da seção de análise
como a altura de um triângulo de base �, sendo � o valor do vão relativo à ordenada
considerada. Em seguida, faz-se a multiplicação da área do triângulo formado pelo
valor da carga de multidão e pelo fator 0,95 que busca compensar a aproximação feita
ao considerar a linha de influência como um triângulo.
Utilizando-se das funções apresentadas no item 5.3.3, o primeiro passo é
determinar as ordenadas da linha de influência referentes ao ponto de análise.
Tomando-se como base a seção S4 e as expressões (85) a (90) para determinar a
solicitação de momento fletor na seção S4 (���), o cálculo da ordenada referente ao
ponto da seção S4 é descrito a seguir. Para as demais ordenadas dos pontos
necessários para o cálculo do momento fletor, os valores serão apresentados na
Figura 5.86 (para a relação � = 0,7 e �G = 0,15).
A partir da Eq. (85):
Y¯z���_>«.�� = 0,1468 × �. = 0,1468 × 15,0 = 2,202
As demais ordenadas são apresentadas na Tabela 5.34.
92
Tabela 5.34 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor na seção S4
O modelo unifilar da Figura 5.35, com as mesmas relações entre vãos pode
atestar a confiabilidade dos cálculos anteriores.
Figura 5.35 – Linha de influência de momentos da seção S4
A parcela de momento fletor referente à carga concentrada é dada por:
���_w(A) = ª�+>«��_�� ∙ 2,5qyy = 2,2020 × 2,5 × 120 = 661� ∙ � (89)
93
Em relação à carga de multidão, tem-se:
���_J(A) = ¨ª�+>«��_�� ∙ �H2 + ª�+>«��_�.B ∙ �32 © ∙ �yy × 0,95= ¨2,2020 × 10,52 + 0,1260 × 10,52 © × 56,0 × 0,95 = 650� ∙ �
(90)
A solicitação de momento fletor positivo na seção S4 devido à ação da carga
móvel é:
���(A) = ���_w(A) + ���_J(A) = 661 + 650 = 1311� ∙ � (91)
Para se determinar o momento fletor negativo da envoltória para a seção S4,
utilizam-se as ordenadas do balanço extremo e da seção S14, regiões que possuem
ordenadas negativas para a linha de influência. Para o balanço, a ordenada
considerada é a do ponto extremo, maior valor negativo, e a ordenada da seção S14 é
considerada por se tratar da seção mais próxima do ponto de ordenada máxima no
vão central. Em sequência, é realizado o mesmo procedimento descrito para o
momento fletor positivo, onde os triângulos formados possuem como base os
comprimentos do balanço extremo e do vão �..
Assim:
���_w(�) = ª�+>«��_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = −1,8251 × 2,5 × 120 = −548� ∙ � (92)
���_J(�) = bª�+>«��_¡PN ∙ �G.IJ2 + ª�+>«��_�H� ∙ �.2 c ∙ �yy × 0,95 (93)
���_J(�) =¾¿¿Àª�+>«��_¡PN ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â
2 + ª�+>«��_�H� ∙ �.2 ÃÄÄÅ ∙ �yy × 0,95
���_J(�) = b−1,8251 ∙ (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + −0,5505 ∙ 15,02 c × 56,0 × 0,95
���_J(�) = −393� �
A solicitação de momento fletor negativo na seção S4 devido à ação da carga
móvel é:
���(�) = ���_w(�) + ���_J(�) = −548 − 393 = −941� ∙ � (94)
94
Finalmente, para a seção S4, com relação entre vão lateral e vão central igual
a 0,7 (� = 0,7) e relação entre balanço extremo e vão lateral igual a 0,15 (�G = 0,15), a
envoltória de solicitação de momento fletor é dada por:
���(A) = 7 × 1311 = 1,34 × 1311 = 1757� ∙ �
���(�) = 7 × (−941) = 1,34 × (−941) = −1261� ∙ �
Estendendo-se este cálculo para os demais valores de �. adotados neste
estudo, chega-se a envoltória de momentos fletores indicada na Tabela 5.35.
Tabela 5.35 – Envoltória de momentos fletores na seção S4 (� = 0,7 e �G = 0,15)
A partir dos valores obtidos, torna-se possível traçar graficamente as curvas da
Figura 5.36 que corresponde às solicitações na seção S4 provenientes da ação da
carga móvel em função do vão central �., para diversos valores de � entre 0,5 e 1,0.
A Tabela 5.36 apresenta as linhas de tendência para cálculo da solicitação de
momento fletor positivo na seção S4 para diversos valores de �.
95
Figura 5.36 – Gráfico ��P_.�� versus �.
Tabela 5.36 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para ação da carga móvel � Momento Fletor Positivo Seção S4, ����.�� 0,5 ����.�� = 2,011 × �.. + 43,497 × �. 0,6 ����.�� = 2,1772 × �.. + 69,136 × �. − 108,29 0,7 ����.�� = 3,0875 × �.. + 77,88 × �. − 102,98 0,8 ����.�� = 4,1568 × �.. + 85,671 × �. − 91,33 0,9 ����.�� = 5,3353 × �.. + 93,887 × �. − 81,763 1,0 ����.�� = 6,6393 × �.. + 102,26 × �. − 73,033
O momento fletor negativo da envoltória é diretamente ligado ao valor adotado
para a relação �G. Logo, para cada valor desta relação existirá uma curva
correspondente.
A Figura 5.37 ilustra as curvas de momento fletor negativo na seção S4 versus L., para �G = 0,15. A Tabela 5.37 apresenta as respectivas linhas de tendência.
96
Figura 5.37 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,15
Tabela 5.37 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S4, �Æ»¶.�� 0,5 ��?�.�� = −1,4579 × �.. − 21,89 × �. − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9321 × �.. − 38,528 × �. − 419,12 0,7 ��?�.�� = −0,9803 × �.. − 39,792 × �. − 436,96 0,8 ��?�.�� = −1,0556 × �.. − 40,524 × �. − 455,28 0,9 ��?�.�� = −1,1205 × �.. − 41,98 × �. − 470,25 1,0 ��?�.�� = −1,1887 × �.. − 43,687 × �. − 481,05
O Apêndice J ilustra as curvas e as linhas de tendência de momento fletor
negativo na seção S4 para valores de �G entre 0 e 0,30.
Um fato interessante que se torna visível através dos gráficos do Apêndice J, é
a influência do balanço extremo ao se aumentar a relação �. Visualmente é perceptível
uma mudança no comportamento das curvas, ou uma mudança quanto a magnitude
das solicitações ao se aumentar a relação �G.
Para a relação �G = 0 a curva correspondente ao menor valor de � (0,5)
apresenta os maiores valores de solicitação para todos os valores possíveis de �..
Para a relação �G = 0,05, as curvas para os diferentes valores de � são praticamente
97
coincidentes, ou seja, para uma relação do balanço extremo da ordem de 5% do
comprimento do vão lateral, a grandeza das solicitações tem, aproximadamente,
mesmo valor. Para a relação �G = 0,10, observa-se que, ao contrário do ocorrido para
o valor de �G = 0, a relação � = 1,0 apresenta os maiores valores de solicitação para
um mesmo comprimento de vão central.
Desta forma, pode-se comprovar e destacar a importância e influência do
comprimento adotado para o balanço extremo da superestrutura.
5.3.4.2 Solicitações de Momento Fletor na Seção S5
Para a determinação das curvas de solicitação de momentos fletores para a
seção S5, será utilizado o mesmo procedimento abordado para a seção S4,
apresentado no item anterior.
As ordenadas correspondentes à linha de influência da seção S5, para � = 0,7
e �G = 0,15, são apresentadas na Tabela 5.38.
Tabela 5.38 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor na seção S5
O modelo da Figura 5.38 ratifica os valores da Tabela 5.38.
98
Figura 5.38 – Linha de Influência de momento fletor da seção S5
A parcela referente à carga concentrada, do momento fletor positivo ��B(A), é:
��B_w(A) = ª�+>«�B_�B ∙ 2,5qyy = 2,1810 × 2,5 × 120 = 654� � (95)
Em relação à carga de multidão, tem-se:
��B_J(A) = ¨ª�+>«�B_�B ∙ �H2 + ª�+>«�B_�.B ∙ �32 © ∙ �yy × 0,95= ¨2,1810 × 10,52 + 0,1575 × 10,52 © × 56,0 × 0,95 = 653� �
(96)
A solicitação de momento fletor positivo na seção S5 devido à ação da carga
móvel é dada por:
��B(A) = ��B_w(A) + ��B_J(A) = 654 + 653 = 1307� ∙ � (97)
Para o momento fletor negativo da envoltória para a seção S5:
��B_w(�) = ª�+>«�B_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = −1,3862 × 2,5 × 120 = −416� ∙ � (98)
��B_J(�) = bª�+>«�B_¡PN ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�B_�H� ∙ �.2 c ∙ �yy × 0,95 (99)
��B_J(�) =¾¿¿Àª�+>«�B_¡PN ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â
2 + ª�+>«�B_�H� ∙ �.2 ÃÄÄÅ ∙ �yy × 0,95
��B_J(�) = b−1,3862 ∙ (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + −0,6885 ∙ 15,02 c × 56,0 × 0,95
��B_J(�) = −407� ∙ �
99
A solicitação de momento fletor negativo na seção S5 devido à ação da carga
móvel é dada por:
��B(�) = ��B_w(�) + ��B_J(�) = −416 − 407 = −823� ∙ � (100)
Assim, para a seção S5 com � = 0,7 e �G = 0,15, a envoltória de solicitação de
momento fletor fornece:
��B(A) = 7 × 1307 = 1,34 × 1307 = 1751� ∙ �
��B(�) = 7 × (−823) = 1,34 × (−823) = −1103� ∙ �
Estendendo-se este cálculo para os demais valores de �. adotados neste
estudo, tem-se (Tabela 5.39):
Tabela 5.39 – Envoltória de momentos fletores na seção S5 (� = 0,7 e �G = 0,15)
A Figura 5.39 ilustra a curva de momento fletor positivo para a seção S5 em
relação ao valor do vão central �., para diferentes valores de relação �. A Tabela 5.40
apresenta as linhas de tendência correspondentes a cada valor da relação � para se
obter a solicitação de momento fletor positivo na seção S5.
100
Figura 5.39 – Gráfico ��P_.�B versus �.
Tabela 5.40 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÉÊ.ËB 0,5 ��P_.�B = 2,0325 × �22 + 43,497 × �2 0,6 ��P_.�B = 2,1975 × �22 + 68,924 × �2 − 108,48 0,7 ��P_.�B = 3,106 × �22 + 77,295 × �2 − 102,9 0,8 ��P_.�B = 4,1709 × �22 + 84,737 × �2 − 91,179 0,9 ��P_.�B = 5,3401 × �22 + 92,567 × �2 − 81,62 1,0 ��P_.�B = 6,626 × �22 + 100,47 × �2 − 72,929
O valor referente ao momento fletor negativo da envoltória é diretamente ligado
ao valor adotado para a relação �G. Logo, para cada valor desta relação existirá uma
curva correspondente.
A Figura 5.40 ilustra as curvas de momento fletor negativo na seção S5 versus L., para �G = 0,15. A Tabela 5.41 apresenta as respectivas linhas de tendência.
101
Figura 5.40 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,15
Tabela 5.41 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,77,25 × �22 − 17,069 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,255 × �22 − 31,742 × �2 − 310,21 0,7 ��?�.�B = −1,2727 × �22 − 32,191 × �2 − 323,7 0,8 ��?�.�B = −1,3134 × �22 − 32,335 × �2 − 337 0,9 ��?�.�B = −1,3434 × �22 − 33,052 × �2 − 347,21 1,0 ��?�.�B = −1,3727 × �22 − 33,986 × �2 − 353,99
O Apêndice K ilustra as curvas e as linhas de tendência de momento fletor
negativo na seção S5, para valores de �G entre 0 e 0,30.
De forma semelhante ao momento fletor na seção S4, um fato interessante que
se torna visível através dos gráficos do Apêndice K, é a influência do balanço extremo
ao se aumentar a relação �.
Para a relação �G = 0 a curva correspondente ao menor valor de � (0,5)
apresenta os maiores valores de solicitação para todos os valores possíveis de �..
Entre as curvas para as relações �G = 0,05 e �G = 0,05 ocorre a alternância da posição
das curvas, ou seja, para uma relação do balanço extremo entre 5% e 10%, a
grandeza das solicitações tem, aproximadamente, mesmo valor. Para a relação
102
�G = 0,15, observa-se que, ao contrário do ocorrido para o valor de �G = 0, a relação � = 1,0 apresenta os maiores valores de solicitação para um mesmo comprimento de
vão central.
Desta forma, pode-se comprovar e destacar a importância e influência do
comprimento adotado para o balanço extremo da superestrutura.
5.3.4.3 Solicitações de Momento Fletor na Seção S10
A determinação da solicitação de momento fletor na seção S10 também
consiste no procedimento já descrito para as seções S4 e S5. A análise desta seção
fornece o momento fletor negativo máximo para a superestrutura. A única diferença no
procedimento se resume no posicionamento da carga concentrada do trem tipo
longitudinal, que de acordo com a linha de influência, deve ser posicionada no ponto
da seção S14, ponto de ordenada máxima.
As ordenadas correspondentes à linha de influência da seção S10, para � = 0,7 e �G = 0,15, são apresentadas na Tabela 5.42.
Tabela 5.42 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor da seção S10
A Figura 5.41 ilustra a linha de influência da seção S10.
103
Figura 5.41 – Linha de Influência da seção S10
A parcela referente à carga concentrada, do momento fletor negativo ��H=(�), é
dada por:
��H=_w(�) = ª�+>«�H=_�H� ∙ 2,5qyy = −1,3770 × 2,5 × 120 = −413� ∙ � (101)
Em relação à carga de multidão, tem-se:
��H=_J(�) = bª�+>«�H=ÎÏ ∙ �H2 + ª�+>«�H=ÎÐÑ ∙ �.2 + ª�+>«�H=ÒÓÔÕÖ× ∙ �G.IJ2 c ∙ �yy × 0,95 (102)
��H=_J(�) = b−0,8880 × 10,52 + −1,3770 × 15,02 + −0,2378 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 c× 56,0 × 0,95 = −820� ∙ �
A solicitação de momento fletor negativo na seção S10 devido à ação da carga
móvel é obtida por:
��H=(�) = ��H=_w(�) + ��H=_J(�) = −413 − 820 = −1233� ∙ � (103)
O momento fletor positivo na seção S10 é:
��H=_w(A) = ª�+>«�H=_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = 0,8069 × 2,5 × 120 = 242� ∙ � (104)
��H=_J(A) = bª�+>«�H=_¡PN ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�H=_�.B ∙ �32 c ∙ �yy × 0,95 (105)
��H=_J(A) =¾¿¿Àª�+>«�H=_¡PN ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â
2 + ª�+>«�H=_�.B ∙ �32 ÃÄÄÅ ∙ �yy × 0,95
��H=_J(A) = b0,8069 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + 0,3060 × 10,52 c × 56,0 × 0,95
��H=(A) = 162� ∙ �
104
A solicitação de momento fletor positivo na seção S10 devido à ação da carga
móvel é obtida por:
��H=(A) = ��H=_w(A) + ��H=_J(A) = 242 + 162 = 404� ∙ � (106)
Finalmente, para a seção S10, onde � = 0,7 e �G = 0,15, a envoltória de
solicitação de momento fletor é dada por:
��H=(�) = 7 × 1233 = 1,34 × (−1233) = −1652� ∙ �
��H=(A) = 7 × 404 = 1,34 × 404 = 541� ∙ �
Estendendo-se este cálculo para os demais valores adotados de �. neste
estudo chega-se aos momentos solicitantes apresentados na Tabela 5.43.
Tabela 5.43 – Envoltória de momentos fletores na seção S10 (� = 0,7 e �G = 0,15)
A partir dos dados obtidos, torna-se possível traçar graficamente a curva que
corresponde às solicitações de momento fletor negativo provenientes da ação da
carga móvel para a seção S10. Os valores dos momentos fletores negativos e
positivos são diretamente ligados ao valor adotado para a relação �G.
As Figuras 5.42 e 5.43 ilustram, para λ = 0,15, a curva de momento fletor
negativo e positivo, respectivamente, para a seção S10 em relação ao valor do vão
central �., para diferentes valores de relação �. As Tabelas 5.44 e 5.45 apresentam,
para λ = 0,15, as linhas de tendência correspondentes a cada valor da relação � para
se obter a solicitação de momento fletor negativo e positivo na seção S10.
105
O Apêndice L ilustra as curvas e as linhas de tendência de momentos fletores
negativos e positivos na seção S10, para valores de �G entre 0 e 0,30.
Figura 5.42 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,15
Tabela 5.44 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S10, MÈÌÍ.ËH= 0,5 ��?�.�H= = −4,3075 × �.. − 41,985 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6565 × �.. − 61,085 × �. + 120,7 0,7 ��?�.�H= = −3,9993 × �.. − 56,703 × �. + 94,786 0,8 ��?�.�H= = −4,4536 × �.. − 52,961 × �. + 73,558 0,9 ��?�.�H= = −4,99883 × �.. − 51,616 × �. + 60,992 1,0 ��?�.�H= = −5,5985 × �.. − 57,391 × �. + 52,402
106
Figura 5.43 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,15
Tabela 5.45 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2445 × �.. + 7,7347 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2192 × �.. + 14,738 × �. + 170,82 0,7 ��P_.�H= = 0,4057 × �.. + 17,292 × �. + 192,18 0,8 ��P_.�H= = 0,6472 × �.. + 19,556 × �. + 213,72 0,9 ��P_.�H= = 0,9241 × �.. + 22,115 × �. + 233,64 1,0 ��P_.�H= = 1,2365 × �.. + 24,785 × �. + 251,10
O gráfico ilustrado na Figura L.1, referente ao momento fletor mínimo para a
relação �G = 0, apresenta a curva para a relação � = 1,0 fora do padrão demonstrado
para os outros valores de �, isto ocorre devido à ordenada de maior valor, para esta
relação, estar no vão lateral. Este novo posicionamento gera um valor maior, em
módulo, para a parcela referente a carga concentrada, como apresentado na Figura
L.1.
107
5.3.4.4 Solicitações de Momento Fletor na Seção S15
A determinação da solicitação de momento fletor na seção S15 segue a
mesma sequência de cálculo demonstrada para a seção S4. A análise desta seção
fornece o momento fletor positivo para a superestrutura, que pode, ou não, ser o
máximo para a superestrutura. A diferença está no posicionamento da carga
concentrada do trem tipo longitudinal, que é aplicada na seção S15, pois apresenta
maior ordenada positiva.
As ordenadas correspondentes à linha de influência da seção S15, para � = 0,7 e �G = 0,15, são apresentadas na Tabela 5.46.
Tabela 5.46 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor da seção S15
A Figura 5.44 ilustra a linha de influência da seção S15 obtido do modelo
computacional.
Figura 5.44 – Linha de influência da seção S15
108
A parcela referente à carga concentrada do momento fletor positivo ��HB(A), será:
��HB_w(A) = ª�+>«�HB_�HB ∙ 2,5qyy = 2,4720 × 2,5 × 120 = 742� ∙ � (107)
Em relação à carga de multidão, tem-se:
��HB_J(A) = bª�+>«�HB_¡PN½|J ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�HBÎÐÏ ∙ �.2 + ª�+>«�HB_¡PNr?z ∙ �G.IJ2 c ∙ �yy × 0,95 (108)
��HB_J(A) =¾¿¿Àª�+>«�HB_¡PN½|J ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â
2 + ª�+>«�HB_�HB ∙ �.2
+ ª�+>«�HB_¡PNr?z ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â2 Ø× �yy × 0,95
��HB_J(A) = b0,2853 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + 2,4720 × 15,02+ 0,2853 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 © × 56 × 0,95 = 1041� ∙ �
A solicitação de momento fletor positivo na seção S15 devido à ação da carga
móvel é dada por:
��HB(A) = ��HB_w(A) + ��HB_J(A) = 742 + 1041 = 1783� � (109)
O momento fletor negativo da envoltória na seção S15 fornece:
��HB_w(�) = ª�+>«�HB_�B ∙ 2,5qyy = −0,3135 × 2,5 × 120 = −94,1� ∙ � (110)
��HB_J(�) = ¨ª�+>«�HB_�B ∙ �H2 + ª�+>«�HB_�.B ∙ �32 © ∙ �yy × 0,95 (111)
��HB(�) = ¨−0,3135 × 10,52 + −0,3765 × 10,52 © × 56,0 × 0,95 = −193� �
A solicitação de momento fletor negativo na seção S15 devido à ação da carga
móvel é dada por:
109
��HB(�) = ��HB_w(�) + ��HB_J(�) = −94,1 − 193 = −287� � (112)
Logo, para a seção S15, onde � = 0,7 e �G = 0,15, a envoltória de solicitação
de momento fletor é:
��HB(A) = 7 × 1783 = 1,34 × 1783 = 2389� ∙ �
��H=(A) = 7 × (−287) = 1,34 × (−287) = −385� ∙ �
A Tabela 5.47 apresenta os momentos fletores na seção S15 para vãos
centrais entre 10,0 e 20,0 m.
Tabela 5.47 – Envoltória de momentos fletores na seção S15 (� = 0,7 e �G = 0,15)
A partir dos dados obtidos, torna-se possível traçar graficamente a curva que
corresponde às solicitações de momento fletor positivo provenientes da ação da carga
móvel para a seção S15. Sendo a solicitação diretamente relacionada ao valor do
balanço extremo, faz-se necessário traçar a curva correspondente para cada relação �G. A Figura 5.45 ilustra a curva de momento fletor positivo na seção S15 versus �. e a
Tabela 5.48 apresenta as linhas de tendência para diferentes valores de �, para �G = 0,15.
110
Figura 5.45 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,15
Tabela 5.48 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,15 � Momento fletor positivo seção S15, MÈÉÊ.ËHB 0,5 ��P_.�HB = 5,6345 × �22 + 64,61 × �2 + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6266 × �22 + 96,74 × �2 − 162,87 0,7 ��P_.�HB = 4,8498 × �22 + 94,847 × �2 − 121,18 0,8 ��P_.�HB = 5,0772 × �22 + 92,712 × �2 − 82 0,9 ��P_.�HB = 5,2612 × �22 + 91,795 × �2 − 52,91 1,0 ��P_.�HB = 5,4255 × �22 + 91,325 × �2 − 29,584
As curvas e linhas de tendência correspondentes ao momento fletor positivo na
seção S15, para valores de �G entre 0 e 0,30, são apresentadas no Apêndice M.
A Figura 5.44 apresenta a curva correspondente ao momento fletor negativo da
envoltória e a Tabela 5.49 as linhas de tendência para cada caso de análise deste
estudo.
111
Figura 5.46 – Gráfico ��?�.�HB versus �.
Tabela 5.49 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S15 � Momento fletor negativo seção S15, MÈÌÍ.ËHB 0,5 ��?�.�HB = −0,4166 × �22 − 4,7385 × �2 0,6 ��?�.�HB = −0,5883 × �22 − 10,69 × �2 + 21,671 0,7 ��?�.�HB = −1,0378 × �22 − 12,279 × �2 + 8,7717 0,8 ��?�.�HB = −1,4499 × �22 − 19,138 × �2 + 27,801 0,9 ��?�.�HB = −2,0697 × �22 − 24,229 × �2 + 29,832 1,0 ��?�.�HB = −2,8259 × �22 − 29,8 × �2 + 31,456
5.3.5 Solicitações de Cortante
O procedimento para determinar a máxima solicitação de cortante consiste no
mesmo princípio demonstrado para a solicitação de momento fletor. A partir da linha
de influência de cortante da seção de análise, determinada no item 5.3.3, posiciona-se
o trem-tipo de flexão sobre a ordenada de maior valor referente à solicitação desejada.
As ordenadas positivas são utilizadas para calcular a solicitação máxima e ordenadas
negativas para a solicitação mínima.
112
Tomando-se como base o valor de vão central �. = 15,0� e as relações � = 0,7 e �G = 0,15, a partir das linhas de tendência definidas nas Tabelas 5.32 e 5.33,
as ordenadas da linha de influência da seção S10 para o cortante à direita e à
esquerda são apresentadas nas Tabelas 5.50 e 5.51, respectivamente.
Tabela 5.50 - Ordenadas de cortante à direita da seção S10
Tabela 5.51 - Ordenadas de cortante à esquerda da seção S10
A parcela referente à carga concentrada para o cortante máximo à direita
(*�H=.�P_.�?z), é dado por:
*�H=.�P_.�?z_w = ª�+>«�H=_�H=.�?z ∙ 2,5qyy = 1,0 × 2,5 × 120 = 300� (113)
Em relação à carga de multidão, tem-se:
*�H=.�P_.�?z_J = ¨ª�+>«�H=_�B ∙ �H2 + ª�+>«�H=_�H= ∙ �.2 + ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ �G.IJ2 © ∙ �yy × 0,95 (114)
113
*�H=.�P_.�?z_J =¾¿¿Àª�+>«�H=_�B ∙ (� ∙ �.)2 + ª�+>«�H=_�H= ∙ �.2
+ ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â2 Ø× �yy × 0,95
*�H=.�P_.�?z_J = b0,0766 × (0,7 × 15,0)2 + 1,00 × 15,02+ 0,0712 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 © × 56 × 0,95 = 427�
A solicitação de cortante a direita máxima na seção S10 devida à ação da
carga móvel é:
*�H=.�P_.�?z = *�H=.�P_.�?z_w + *�H=.�P_.�?z_J = 300 + 427 = 727� (115)
Para a solicitação mínima de cortante à direita da seção S10, tem-se para a
carga concentrada:
*�H=.�?�.�?z_w = ª�+>«�H=_�.B ∙ 2,5qyy = −0,0784 × 2,5 × 120 = −23,5� (116)
Em relação à carga de multidão, tem-se:
*�H=.�?�.�?z = bª�+>«�H=_¡PN½|J ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�H=_�.B ∙ �32 c ∙ �yy × 0,95 (117)
*�H=.�?�.�?z = b−0,0731 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + −0,0784 × (0,7 × 15,0)2 c × 56,0× 0,95 = −28,8�
A solicitação de cortante à direita mínima na seção S10, devida à ação da
carga móvel, é:
*�H=.�?�.�?z = *�H=.�?�.�?z_w + *�H=.�?�.�?z_J = −23,5 − 28,8 = −52,3� (118)
114
Sendo assim, para a seção S10, com a relação entre o vão lateral e o vão
central igual a 0,7 (� = 0,7) e relação entre o balanço extremo e o vão lateral igual a
0,15 (�G = 0,15), a envoltória de solicitação de cortante à direita é dada por:
*�H=.�P_.�?z = 7 × 727 = 1,34 × 727 = 974�
*�H=.�?�.�?z = 7 × (−52,3) = 1,34 × (−52,3) = −70,1�
Estendendo-se este cálculo para valores de vão central �. entre 10,0 e 20,0 m,
chega-se aos esforços apresentados na Tabela 5.52.
Tabela 5.52 - Solicitações de cortante à direita da seção S10
Quanto ao cortante máximo à esquerda (*�H=.�P_.I|J), a parcela referente à
carga concentrada é:
*�H=.�P_.I|J_w = ª�+>«�H=_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = 0,4315 × 2,5 × 120 = 129� (119)
Em relação à carga de multidão, tem-se:
*�H=.�P_.I|J_J = bª�+>«�H=ÒÓÔÙÚÛ ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�H=ÎÜÑ ∙ �32 c ∙ �yy × 0,95 (120)
*�H=.�P_.I|J_J =¾¿¿¿Àª�+�9#10_'�W[� ∙ Ý�� 2� + � ∙ �� ∙ �2Þ
2 + ª�+�9#10_#24 ∙ (� ∙ �2)2ÃÄÄÄÅ × �tt × 0,95
115
*�H=.�P_.I|J_J = b0,4315 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + 0,0249 × (0,7 × 15,0)2 c × 56 × 0,95= 48,0�
A solicitação de cortante a esquerda máxima na seção S10 devido à ação da
carga móvel será:
*�H=.�P_.I|J = *�H=.�P_.I|J_w + *�H=.�P_.I|J_J = 129 + 48,0 = 177� (121)
Para a solicitação mínima de cortante à esquerda para a seção S10, tem-se,
para a carga concentrada:
*�H=.�?�.I|J_w = ª�+>«�H=_�H= ∙ 2,5qyy = −1,0 × 2,5 × 120 = −300� (122)
Em relação à carga de multidão, tem-se:
*�H=.�?�.I|J = ¨ª�+>«�H=_�H= ∙ �H2 + ª�+>«�H=_�HB ∙ �.2 + ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ �G.IJ2 © ∙ �yy × 0,95 (123)
*�H=.�?�.I|J =¾¿¿Àª�+>«�H=_�H= ∙ (� ∙ �.)2 + ª�+>«�H=_�HB ∙ �.2
+ ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â2 Ø ∙ �yy × 0,95
*�H=.�?�.I|J = b−1,0 × (0,7 × 15,0)2 + −0,1218 × 15,02+ −0,0238 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 © × 56,0 × 0,95 = −330�
A solicitação de cortante a esquerda mínima na seção S10, devida à ação da
carga móvel, é dada por:
*�H=.�?�.I|J = *�H=.�?�.I|J_w + *�H=.�?�.I|J_J = −300 − 330 = −630� � (124)
Sendo assim, para a seção S10 com relação entre vão lateral e vão central
igual a 0,7 (� = 0,7) e relação entre balanço extremo e vão lateral igual a 0,15 (�G =0,15), a envoltória de solicitação de cortante à esquerda é:
*�H=.�P_.I|J = 7 × 177 = 1,34 × 177 = 237�
*�H=.�?�.I|J = 7 × (−630) = 1,34 × (−630) = −844�
116
Estendendo-se este cálculo para valores de �., chega-se aos esforços
solicitantes apresentados na Tabela 5.53.
Tabela 5.53 - Solicitações de cortante à esquerda da seção S10
A partir dos resultados obtidos, são traçadas as curvas correspondentes ao
cortante à direita e à esquerda da seção S10, e bem como suas respectivas linhas de
tendência.
As Figuras 5.47 e 5.48 apresentam as curvas referentes ao cortante à direita
máximo e mínimo, respectivamente, para a seção S10 com a relação �G = 0,15. As
Tabelas 5.54 e 5.55 apresentam as linhas de tendência para o cortante à direita
máximo e mínimo, respectivamente, para cada relação � adotada.
117
Figura 5.47 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,15
Tabela 5.54 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,15 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,542 × �. + 412,91 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,225 × �. + 437,65 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,057 × �. + 447,44 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,189 × �. + 454,66 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,509 × �. + 461,02 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,008 × �. + 466,22
118
Figura 5.48 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,15
Tabela 5.55 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10 para �G = 0,15 � Cortante mínimo a direita seção S10, �Æ»¶.���.µ»´ 0,5 *�?�.�H=.�?z = −0,0905 × �. − 42,874 0,6 *�?�.�H=.�?z = −0,592 × �. − 45,522 0,7 *�?�.�H=.�?z = −1,3863 × �. − 49,933 0,8 *�?�.�H=.�?z = −2,3418 × �. − 53,751 0,9 *�?�.�H=.�?z = −3,1378 × �. − 62,721 1,0 *�?�.�H=.�?z = −4,0448 × �. − 72,185
As Figuras 5.49 e 5.50 apresentam as curvas referentes ao cortante à
esquerda, máximo e mínimo, respectivamente, para a seção S10 com a relação �G = 0,15. As Tabelas 5.56 e 5.57 apresentam as linhas de tendência respectivas para
119
o cortante à esquerda, máximo e mínimo, respectivamente, da seção S10 para �G = 0,15.
Figura 5.49 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,15
Tabela 5.56 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda na seção S10, para �G = 0,15 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�P_.�H=.I|J = −10,246 × �. + 425,27 0,6 *�P_.�H=.I|J = −8,6817 × �. + 381,29 0,7 *�P_.�H=.I|J = −7,3683 × �. + 347,79 0,8 *�P_.�H=.I|J = −6,3534 × �. + 322,56 0,9 *�P_.�H=.I|J = −5,4596 × �. + 302,34 1,0 *�P_.�H=.I|J = −4,7489 × �. + 286,21
120
Figura 5.50 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,15
Tabela 5.57 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda na seção S10, para �G =0,15
� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.���0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,627 × �. − 408,96 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,289 × �. − 427,86 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,197 × �. − 435,64 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,424 × �. − 441,89 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,828 × �. − 447,82 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,383 × �. − 452,87
121
Os gráficos e linhas de tendência obtidos para os demais valores de relação λ
são apresentados no Apêndice N.
5.3.6 Reações de Apoio
As reações de apoio podem ser determinadas a partir dos valores encontrados
para o cortante à direita e à esquerda. São, a seguir, apresentadas apenas as reações
do apoio B, visto que este é o apoio com reação de maior módulo.
O procedimento consiste em determinar a diferença entre os cortantes à direita
e à esquerda. Adotando, para exemplificação, o mesmo valor de vão central e
relações � e �G utilizados para a determinação do cortante, tem-se, para a reação
máxima:
&¡.�P_ = *�H=.�P_.�?z − *�H=.�?�.I|J (125) &¡.�P_ = 976 − (−869) = 1845�
Quanto à reação mínima:
&¡.�?� = *�H=.�?�.�?z − *�H=.�P_.I|J (126) &¡.�?�.� = −70,3 − (238) = −308�
Ampliando para os demais valores de �., chega-se a Tabela 5.58.
Tabela 5.58 – Reações máximas e mínimas do Apoio em B, para a ação da carga móvel (�G = 0,15)
122
A partir dos resultados obtidos, são traçadas as curvas correspondentes à
reação de apoio em B e obtêm-se suas respectivas linhas de tendência.
A Figura 5.51 mostra a curva referente à reação máxima do apoio B e a Tabela
5.59 apresenta as respectivas linhas de tendência, para �G = 0,15.
123
Figura 5.51 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,15
Tabela 5.59 - Linhas de tendência de reação máxima de apoio em B, para �G = 0,15 � Reação de apoio em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,17 × �. + 821,87 0,6 &¡.�P_ = 60,514 × �. + 865,51 0,7 &¡.�P_ = 62,254 × �. + 883,08 0,8 &¡.�P_ = 64,613 × �. + 896,55 0,9 &¡.�P_ = 67,337 × �. + 908,83 1,0 &¡.�P_ = 70,391 × �. + 919,09
Quanto a reação mínima do apoio B para a ação da carga móvel, observa-se
que devido a esta reação ser em função dos cortantes mínimo a direita e máximo a
esquerda, torna-se muito mais expressiva a influência do balanço extremo nas
solicitações da superestrutura.
124
A solicitação de cortante é determinada pelo posicionamento da carga
concentrada no ponto da linha de influência que possui maior ordenada, para a
solicitação de *�H=.�?�.�?z com relação λ = 0,20 e �. = 10,0�, a ordenada obtida no
balanço é igual a -0,0992 (vide Tabela 5.26) e em comparação com a ordenada da
seção S25 para a mesma linha de influência (conforme Tabela 5.27, ��+ = −0,0784),
a carga concentrada do trem tipo deve ser posicionada no balanço.
Partindo de outras relações, como exemplo λ = 0,10 e �. = 18,0� para *�H=.�?�.�?z, a carga concentrada deverá ser posicionada na seção S25, visto que esta
seção possuirá ordenada superior a obtida para o balanço. A Tabela 5.26 apresenta a
ordenada do balanço igual a −0,0528 e para a seção S25, Tabela 5.27, a ordenada é
igual a −0,0784. Devido a este fato, o cortante apresenta um comportamento atípico
ao se aumentar o valor do vão central, este comportamento reflete sobre a
determinação das reações de apoio em B.
Para fins de entendimento do comportamento descrito do cortante, vide Figuras
N.8 à N.21 do Apêndice N.
A Figura 5.52 ilustra a curva referente à reação de apoio mínima em B e a
Tabela 5.60 apresenta as respectivas linhas de tendência, para λ = 0,15.
125
Figura 5.52 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,15
Tabela 5.60 - Linhas de tendência de reação mínima de apoio em B, para �G = 0,15 � Reação de apoio em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 10,337 × �. − 468,15 0,6 &¡.�?� = 8,0897 × �. − 426,81 0,7 &¡.�?� = 5,982 × �. − 397,72 0,8 &¡.�?� = 4,0116 × �. − 376,31 0,9 &¡.�?� = 2,3218 × �. − 365,06 1,0 &¡.�?� = 0,7041 × �. − 358,39
Os gráficos e linhas de tendência obtidos para a reação de apoio em B
referentes aos demais valores de relação λ e λG são apresentados no Apêndice O.
126
5.4 Ação Devido à Temperatura
Aplicando-se os procedimentos já descritos no item 3.2.2 referentes à
avaliação da distribuição não-uniforme de temperatura, prescritos pela antiga norma
NBR 7187(1987), a linearização da variação não-uniforme de temperatura é
estabelecida conforme a ilustração da Figura 5.53.
Figura 5.53 – Linearização da ação de temperatura
Segundo ALVES (2016) [4], analisando-se uma fibra na profundidade y, têm-se
as seguintes expressões para deformação, tensão e momento fletor resultante por
variação não-uniforme de temperatura:
Z = v ∙ t(Y) (127)
T = [ ∙ v ∙ t(Y) (128)
� = \ T ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ = \ [ ∙ v ∙ t(Y) ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚ
àÖ (129)
Admitindo-se uma variação linear de temperatura, com gradiente G, têm-se as
seguintes expressões para deformação, tensão e momento resultante:
Z̅ = v ∙ â ∙ Y (130)
TU = [ ∙ v ∙ â ∙ Y (131)
�Q = \ TU ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ = \ [ ∙ v ∙ â ∙ Y. ∙ +,^ = [ ∙ v ∙ â ∙ 9 (132)
Por equivalência de efeitos de flexão, determina-se o gradiente de temperatura:
127
� = �Q (133)
\ [ ∙ v ∙ t(Y) ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ = [ ∙ v ∙ â ∙ 9 (134)
â = ã t(Y) ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ 9 (135)
As expressões referentes a �(Y) e t(Y) podem ser escritas a partir da seção
em trapézio com bases iguais a B1 e B2 e distâncias em relação à mesma origem de
y1 e y2 (Figura 5.54). Para fins de descrição do cálculo, pode-se descrever da
seguinte forma:
�(Y) = 'H ∙ (Y − Y.) + '. ∙ (YH − Y)(YH − Y.) (136)
t(Y) = tH ∙ (Y − Y.) + t. ∙ (YH − Y)(YH − Y.) (137)
Figura 5.54 – Trapézios para avaliação das variáveis b(y) e T(y)
Realizando a integração da Eq. (135) com base nas Eq. (136) e (137), obtém-
se:
\ t(Y)�(Y)Y+YàÚàÖ = (YH − Y.)12 �((YH + Y.)((tH'. − t.'H) + tH'H(3YH + Y.) + t.'.(YH + 3Y. (138)
Admitindo-se uma distribuição simplificada genérica (Figura 5.55) para uma
seção celular e utilizando a Eq. (138), da integração chega-se ao valor de ∆T
apresentado na Tabela 5.61.
128
Figura 5.55 – Distribuição simplificada genérica de temperatura
Tabela 5.61 – Desenvolvimento da integração da temperatura para seção transversal
A Figura 5.56 ilustra a distribuição linearizada equivalente da temperatura na
seção transversal, determinando-se as temperaturas superior, t|, e inferior, t?.
Figura 5.56 – Distribuição linearizada equivalente da temperatura
A determinação da temperatura nas fibras superior e inferior é obtida a partir
das Eq. (139) e (140).
129
t| = Y|9 \� ∙ t ∙ Y ∙ +Y ≅ Y|9 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (139)
t? = Y?9 \� ∙ t ∙ Y ∙ +Y ≅ −Y?9 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (140)
Logo, a variação de temperatura e o gradiente de temperatura são expressos
por:
∆t = t| − t? = u9 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (141)
â = ∆tu = 19 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (142)
Nas expressões (141) e (142), as dimensões estão em metros.
Utilizando a decomposição da seção transversal em trapézios, tal como Ilustra
a Figura 5.57, pode-se obter o cálculo das propriedades geométricas da seção
transversal.
Figura 5.57 – Decomposição em trapézios
O Apêndice P apresenta o desenvolvimento dos cálculos para determinação de
∆T para a seção transversal de estudo.
Conforme apresentado no Apêndice P, pode-se tomar æt = 6,93°8.
5.4.1 Solicitações de Momento Fletor
A partir da determinação da variação de temperatura e do gradiente de
temperatura, obtém-se os hiperestáticos referentes à ação da carga de temperatura.
A análise deste efeito na superestrutura encontra-se dependente das
propriedades do material e da seção transversal. Utilizando-se è�� = 30,0�q�, e a
expressão para determinação do módulo de elasticidade expressa pela NBR
6118(2014), tem-se:
130
[ = v½ ∙ 5600éè�� (143) v½ = 1,0 → /��)(±��/)�(�
[ = 1,0 × 5600 × é30,0 = 30672,46�q�
Desta forma, a Eq. (52) fornece:
aH = a. = 3[ ∙ 9 ∙ v ∙ ∆tu (1 + �)(3 + 2�) aH = a. = 3 × 30672 × 103 × 1,420 × 10�B × 6,931,50 (1 + 0,7)(3 + 2 × 0,7)
aH = a. = 2332� ∙ � (144)
Uma vez que os balanços extremos não promovem qualquer impedimento aos
deslocamentos da superestrutura, também não interferem na determinação dos
hiperestáticos. Desta forma, a análise referente à ação da temperatura é função,
unicamente, da relação �. Portanto, basta determinar a solicitação referente aos
valores de � dentro do intervalo de estudo que para qualquer valor de �., a solicitação
terá o mesmo valor.
A Tabela 5.62 apresenta os valores obtidos para os momentos fletores
solicitantes decorrentes da variação não-uniforme de temperatura e a Figura 5.58
ilustra a curva correspondente às solicitações na seção transversal.
Tabela 5.62 – Solicitação de momento fletor por ação da temperatura
131
Figura 5.58 – Curva de momento fletor versus � por ação de temperatura
O momento fletor devido a ação da temperatura é obtido também pela
equação:
��I�F = 301,02 × � + 2117,2 (145)
5.4.2 Solicitações de Cortante
As solicitações de cortante, de forma semelhante às solicitações de momento
fletor, são obtidas a partir dos hiperestáticos determinados para a ação da
temperatura.
O cortante à direita da seção S10 é sempre nulo. Desta forma tem-se para a
seção S10 apenas o cortante à esquerda.
A Figura 5.59 ilustra o cortante e o momento por ação de temperatura.
Figura 5.59 – Diagrama de cortante e momento por ação de temperatura
132
A Tabela 5.63 apresenta o cortante à esquerda da seção e a Figura 5.60 ilustra
a curva VËH=.ëìí versus λ, para L. = 15,0m.
Tabela 5.63 – Solicitação de cortante à esquerda
Figura 5.60 – Cortante à esquerda, por ação de temperatura
A função referente à solicitação de temperatura (cortante) na seção S10 à
esquerda é:
*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 (146)
5.4.3 Reação de Apoio
As reações de apoio, de forma semelhante às solicitações de momento fletor,
são obtidas a partir dos hiperestáticos determinados para a ação da temperatura.
Após procedimentos de análise estrutural, determina-se a expressão para a
reação de apoio em B [3].
133
&¡.�I�F = −3[ ∙ 9 ∙ v ∙ ætu ∙ � (1 + �)�(3 + 2�) (147)
Tomando como base �. = 15,0, � = 0,7 e as propriedades definidas no item
5.4, tem-se:
&¡.�I�F = −3 × 30672,46 × 103 × 1,420 × 10�B × 6,931,50 × 15,0 (1 + 0,7)0,7 × (3 + 2 × 0,7) &¡.�I�F = −222�
Ampliando para os demais valores de vão central, obtém-se as reações de
apoio em B, apresentadas na Tabela 5.64.
Tabela 5.64 – Reações de apoio em B, � = 0,7
A partir dos resultados, traçam-se as curvas correspondentes aos diferentes
valores de relação �. A Figura 5.61 ilustra a curva reação de apoio em B versus
comprimento do vão central.
134
Figura 5.61 – Reação de apoio em B versus �.
A Tabela 5.65 apresenta as linhas de tendência para a determinação da reação
de apoio em B, para as relações entre vão central e vão lateral (�).
Tabela 5.65 – Linhas de tendência de reação de apoio em B, por ação de temperatura � Reação de apoio em B, ¢£.î�Æï 0,5 &¡.�I�F = 1,5079 × �.. − 67,109 × �. + 968,6 0,6 &¡.�I�F = 1,2765 × �.. − 56,812 × �. + 819,97 0,7 &¡.�I�F = 1,1097 × �.. − 49,388 × �. + 712,82 0,8 &¡.�I�F = 0,9834 × �.. − 43,767 × �. + 631,69 0,9 &¡.�I�F = 0,8843 × �.. − 39,354 × �. + 568 1,0 &¡.�I�F = 0,8042 × �.. − 35,791 × �. + 516,58
135
6 Exemplo Numérico
A aplicação numérica, apresentada a seguir, supõe um obstáculo cuja
transposição se faz por meio de uma ponte. Admitindo-se que o vale possui 50,0 m de
comprimento, são apresentadas na Tabela 6.1 três possibilidades para transposição
do vão.
Tabela 6.1 – Opções para transposição
Opção 1 Opção 2 Opção 3 �.(�) 15,0 17,0 20,0 � 1,0 0,8 0,7 �G 0,15 0,25 0,1
Comprimento
Total 49,50 m 51,00 m 50,80 m
Como apresentado neste estudo, as seções a serem analisadas são: S4, S5,
S10 e S15. As seções S4 e S5 apresentam, em alguns casos, os mesmos valores de
solicitação, porém, como apresentado no item 5.2 deste trabalho, de acordo com a
relação adotada para o balanço extremo, o valor de solicitação com maior módulo
pode ocorrer em uma ou outra seção. Desta forma, é determinado o valor
correspondente às duas seções.
A ponte em estudo deverá apresentar duas faixas de rolamento e duas faixas
de acostamento, tal como o caso deste trabalho.
6.1 Solicitações de Peso Próprio e Sobrecarga Permanente
As solicitações referentes ao peso próprio e sobrecarga permanente são
obtidas a partir das linhas de tendência determinadas para cada relação.
Para a primeira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15
Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela C.4
(Apêndice C), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada
fornece:
���(A) = 13,41 × �.. − 28,212 × �. − 188,08 = 13,41 × 15,0. − 28,212 × 15,0 − 188,08
���(A) = 2406� ∙ �
136
Para a solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela D.4
(Apêndice D), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada
fornece:
��B(A) = 12,75 × �.. − 21,702 × �. − 144,68 = 12,75 × 15,0. − 21,702 × 15,0 − 144,68
��B(A) = 2399� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela E.4
(Apêndice E), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada
fornece:
��H=(�) = −17,678 × �.. + 10,851 × �. + 72,34 = −17,678 × 15,0. + 10,851 × 15,0 + 72,34
��H=(�) = −3742� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela F.4
(Apêndice F), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada
fornece:
��HB(A) = 4,9281 × �.. + 10,851 × �. + 72,34 = 4,9281 × 15,0. + 10,851 × 15,0 + 72,34
��HB(A) = 1344� ∙ �
Para a segunda opção de vão central e relações tem-se:
�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25
Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela C.6
(Apêndice C), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada
fornece:
���(A) = 6,0262 × �.. − 38,371 × �. − 191,86 = 6,0262 × 17,0. − 38,371 × 17,0 − 191,86
���(A) = 897� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela D.6
(Apêndice D), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada
fornece:
��B(A) = 5,5434 × �.. − 29,879 × �. − 149,4 = 5,5434 × 17,0. − 29,879 × 17,0 − 149,4
��B(A) = 945� ∙ �
137
Para a solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela E.6
(Apêndice E), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada
fornece:
��H=(�) = −14,232 × �.. + 12,581 × �. + 62,904 = −14,232 × 17,0. + 12,581 × 17,0 + 62,904
��H=(�) = −3836� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela F.6
(Apêndice F), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada
fornece:
��HB(A) = 8,3741 × �.. + 12,581 × �. + 62,904 = 8,3741 × 17,0. + 12,581 × 17,0 + 62,904
��HB(A) = 2697� ∙ �
Para a terceira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10
Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela C.3
(Apêndice C), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada
fornece:
���(A) = 4,8763 × �.. − 13,58 × �. − 194,0 = 4,8763 × 20,0. − 13,58 × 20,0 − 194,0
���(A) = 1485� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela D.3
(Apêndice D), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada
fornece:
��B(A) = 3,9907 × �.. − 10,645 × �. − 152,08 = 3,9907 × 20,0. − 10,645 × 20,0 − 152,08
��B(A) = 1231� �
Para a solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela E.3
(Apêndice E), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada
fornece:
��H=(�) = −13,73 × �.. + 4,028 × �. + 57,543 = −13,73 × 20,0. + 4,028 × 20,0 + 57,543
��H=(�) = −5354� ∙ �
138
Para a solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela F.3
(Apêndice F), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada
fornece:
��HB(A) = 8,8766 × �.. + 4,028 × �. + 57,543 = 8,8766 × 20,0. + 4,028 × 20,0 + 57,543
��HB(A) = 3689� �
Seguindo o mesmo procedimento utilizado para as solicitações de momento
fletor, obtêm-se as solicitações de cortante e reações de apoio em B.
Para a primeira opção de vão central e relações, tem-se:
�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15
Para a solicitação de cortante na seção S10 à esquerda, utiliza-se a Tabela
G.4 (Apêndice G), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada
fornece:
*�H=.I|J = −108,17 × �. + 126,9 = −108,17 × 15,0 + 126,9 = −1496�
Para a solicitação de cortante na seção S10 à direita, utiliza-se a Eq. (70), que
fornece:
*�H=.�?z = 90,425 × �. = 90,425 × 15,0 = 1356�
A reação de apoio em B é obtida a partir da Tabela H.4 (Apêndice H).
&¡ = 196,15 × �. − 126,9 = 196,15 × 15,0 − 126,9 = 2815�
Para a segunda opção de vão central e relações tem-se:
�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25
Para a solicitação de cortante na seção S10 à esquerda, utiliza-se a Tabela
G.6 (Apêndice G), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada
fornece:
*�H=.I|J = −88,173 × �. + 181,72 = −88,173 × 17,0 + 181,72 = −1317�
Para a solicitação de cortante na seção S10 à direita, utiliza-se a expressão
(70), que fornece:
*�H=.�?z.� = 90,425 × �. = 90,425 × 17,0 = 1537�
139
A reação de apoio em B é obtida a partir da Tabela H.6 (Apêndice H).
&¡ = 170,3 × �. − 181,72 = 170,3 × 17,0 − 181,72 = 2713�
Para a terceira opção de vão central e relações, tem-se:
�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10
Para a solicitação de cortante na seção S10 à esquerda, utiliza-se a Tabela
G.3 (Apêndice G), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada
fornece:
*�H=.I|J = −85,172 × �. + 127,19 = −85,172 × 20,0 + 127,19 = −1576�
Para a solicitação de cortante na seção S10 à direita, utiliza-se a expressão
(70), que fornece:
*�H=.�?z = 90,425 × �. = 90,425 × 20,0 = 1808�
A reação de apoio em B é obtida a partir da Tabela H.3 (Apêndice H).
&¡ = 174,1 × �. − 127,19 = 174,1 × 20,0 − 127,19 = 3355�
Em resumo, as solicitações devidas à ação do peso próprio e sobrecarga
permanente para as três opções são apresentadas na Tabela 6.2.
Tabela 6.2 – Resumo das solicitações de peso próprio e sobrecarga permanente Opção1 Opção2 Opção3���(A)� ∙ � 2406 897 1485��B(A)� ∙ � 2399 945 1231��H=(�)� ∙ � -3742 -3836 -5354��HB(A)� ∙ � 1344 2697 3689*�H=.I|J� -1496 -1317 -1576*�H=.�?z� 1356 1537 1808&¡� 2815 2713 3355
140
6.2 Solicitações de Carga Móvel
De forma semelhante utilizam-se as expressões e linhas de tendência
determinadas no item 5.3 para encontrar as solicitações referentes a ação da carga
móvel.
Para a primeira opção de vão central e relações, tem-se:
�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15
Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela 5.36. A
função apresentada fornece:
���(A) = 6,6393 × �.. + 102,26 × �. − 73,033 = 6,6393 × 15,0. + 102,26 × 15,0 − 73,033
���(A) = 2955� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a
Tabela J.4 (Apêndice J), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função
apresentada fornece:
���(�) = −1,1887 × �.. − 43,687 × �. − 481,05 = −1,1887 × 15,0. − 43,687 × 15,0 − 481,05
���(�) = −1404� �
Para a solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela 5.41. A
função apresentada fornece:
��B(A) = 6,626 × �.. + 100,47 × �. − 72,929 = 6,626 × 15,0. + 100,47 × 15,0 − 72,929
��B(A) = 2925� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a
Tabela K.4 (Apêndice K), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função
apresentada fornece:
��B(�) = −1,3727 × �.. − 33,986 × �. − 353,99 = −1,3727 × 15,0. − 33,986 × 15,0 − 353,99
��B(�) = −1173� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela L.4
(Apêndice L) que se refere a �G = 0,15. A função apresentada fornece:
��H=(�) = −5,5985 × �.. − 57,391 × �. + 52,402 = −5,5985 × 15,0. − 57,391 × 15,0 + 52,402
��H=(�) = −2068� ∙ �
141
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a
Tabela L.11 (Apêndice L), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função
apresentada fornece:
��H=(A) = 1,2365 × �.. + 24,785 × �. + 251,10 = 1,2365 × 15,0. + 24,785 × 15,0 + 251,10
��H=(A) = 901� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela M.4
(Apêndice M), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada
fornece:
��HB(A) = 5,4255 × �.. + 91,325 × �. − 29,584 = 5,4255 × 15,0. + 91,325 × 15,0 − 29,584
��HB(A) = 2561� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a
Tabela 5.49. A função apresentada fornece:
��HB(�) = −2,8259 × �.. − 29,8 × �. + 31,456 = −2,8259 × 15,0. − 29,8 × 15,0 + 31,456
��HB(�) = −1051� ∙ �
Para a segunda opção de vão central e relações tem-se:
�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25
Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela 5.36. A
função apresentada fornece:
���(A) = 4,1568 × �.. + 85,671 × �. − 91,33 = 4,1568 × 17,0. + 85,671 × 17,0 − 91,33
���(A) = 2566� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a
Tabela J.6 (Apêndice J), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função
apresentada fornece:
���(�) = −1,3832 × �.. − 66,015 × �. − 441,01 = −1,3832 × 17,0. − 66,015 × 17,0 − 441,01
���(�) = −1963� ∙ �
Para a solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela 5.40. A
função apresentada fornece:
��B(A) = 4,1709 × �.. + 84,737 × �. − 91,179 = 4,1709 × 17,0. + 84,737 × 17,0 − 91,179
��B(A) = 2555� ∙ �
142
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a
Tabela K.6 (Apêndice K), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função
apresentada fornece:
��B(�) = −1,5701 × �.. − 51,702 × �. − 326,04 = −1,5701 × 17,0. − 51,702 × 17,0 − 326,04
��B(�) = −1659� ∙ �
Para a solicitação mínima de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela
L.6 (Apêndice L). A função apresentada fornece:
��H=(�) = −4,5044 × �.. − 53,953 × �. + 74,654 = −4,5044 × 17,0. − 53,953 × 17,0 + 74,654
��H=(�) = −2144� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a
Tabela L.13, que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada
fornece:
��H=(A) = 0,7942 × �.. + 31,568 × �. + 207,1 = 0,7942 × 17,0. + 31,568 × 17,0 + 207,1
��H=(A) = 973� ∙ �
Para a solicitação de máximo momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela
M.6 (Apêndice M), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada
fornece:
��HB(A) = 5,2091 × �.. + 95,288 × �. − 84,846 = 5,2091 × 17,0. + 95,288 × 17,0 − 84,846
��HB(A) = 3040� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a
Tabela 5.49. A função apresentada fornece:
��HB(�) = −1,4499 × �.. − 19,138 × �. + 27,801 = −1,4499 × 17,0. − 19,138 × 17,0 + 27,801
��HB(�) = −717� ∙ �
Para a terceira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10
Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela 5.36. A
função apresentada fornece:
���(A) = 3,0875 × �.. + 77,88 × �. − 102,98 = 3,0875 × 20,0. + 77,88 × 20,0 − 102,98
���(A) = 2690� ∙ �
143
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a
Tabela J.3 (Apêndice J), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função
apresentada fornece:
���(�) = −0,9318 × �.. − 28,3 × �. − 445,39 = −0,9318 × 20,0. − 28,3 × 20,0 − 445,39
���(�) = −1384� ∙ �
Para a solicitação máxima de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela
5.40. A função apresentada fornece:
��B(A) = 3,106 × �.. + 77,295 × �. − 102,9 = 3,106 × 20,0. + 77,295 × 20,0 − 102,9
��B(A) = 2685� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a
Tabela K.3 (Apêndice K), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função
apresentada fornece:
��B(�) = −1,2335 × �.. − 23,426 × �. − 330,16 = −1,2335 × 20,0. − 23,426 × 20,0 − 330,16
��B(�) = −1292� ∙ �
Para a solicitação mínima de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela
L.3 (Apêndice L). A função apresentada fornece:
��H=(�) = −3,9882 × �.. − 56,28 × �. + 94,32 = −3,9882 × 20,0. − 56,28 × 20,0 + 94,32
��H=(�) = −2627� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a
Tabela L.10 (Apêndice L), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função
apresentada fornece:
��H=(A) = 0,3892 × �.. + 12,291 × �. + 195,82 = 0,3892 × 20,0. + 12,291 × 20,0 + 195,82
��H=(A) = 597� ∙ �
Para a solicitação máxima de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela
M.3 (Apêndice M), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada
fornece:
��HB(A) = 4,8235 × �.. + 93,846 × �. − 120,08 = 4,8235 × 20,0. + 93,846 × 20,0 − 120,08
��HB(A) = 3686� ∙ �
Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a
Tabela 5.49. A função apresentada fornece:
144
��HB(�) = −1,0378 × �.. − 12,279 × �. + 8,7717 = −1,0378 × 20,0. − 12,279 × 20,0 + 8,7717
��HB(�) = −652� ∙ �
A partir das linhas de tendência encontradas no item 5.3.8, determina-se as
solicitações de cortante à direita e à esquerda.
Para a primeira opção de vão central e relações, tem-se:
�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15
Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à direita na seção S10,
utilizam-se as Tabela N.4 e N.11 (Apêndice N), respectivamente, que se refere ao
valor da relação �G = 0,15. A função apresentada fornece:
*�H=.�P_.�?z = 36,008 × �. + 466,22 = 36,008 × 15,0 + 466,22 = 1006�
*�H=.�?�.�?z = −4,0448 × �. − 72,185 = −4,0448 × 15,0 − 72,185 = −133�
Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à esquerda na seção S10,
utilizam-se as Tabelas N.18 e N.25 (Apêndice N), respectivamente, que se refere ao
valor da relação �G = 0,15. A função apresentada fornece:
*�H=.�P_.I|J = −4,7489 × �. + 286,21 = −4,7489 × 15,0 + 286,21 = 215�
*�H=.�?�.I|J = −34,383 × �. − 452,87 = −34,383 × 15,0 − 452,87 = −969�
Para a segunda opção de vão central e relações tem-se:
�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25
Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à direita na seção S10,
utilizam-se as Tabelas N.6 e N.13 (Apêndice N), respectivamente, que se refere ao
valor da relação �G = 0,25. A função apresentada fornece:
*�H=.�P_.�?z = 35,443 × �. + 458,57 = 35,443 × 17,0 + 458,57 = 1061�
*�H=.�?�.�?z = −1,4969 × �. − 78,652 = −1,4969 × 17,0 − 78,652 = −104�
Para a solicitação de cortante máximo e mínimo à esquerda na seção S10,
utilizam-se as Tabelas N.20 e N.27 (Apêndice N), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada fornece:
*�H=.�P_.I|J.� = −5,2261 × �. + 394,21 = −5,2261 × 17,0 + 394,21 = 305�
*�H=.�?�.I|J.� = −29,494 × �. − 442,94 = −29,494 × 17,0 − 442,94 = −944�
145
Para a terceira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10
Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à direita na seção S10,
utilizam-se as Tabelas N.3 e N.10 (Apêndice N), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada fornece:
*�H=.�P_.�?z = 35,003 × �. + 445,86 = 35,003 × 20,0 + 445,86 = 1146�
*�H=.�?�.�?z = −1,6332 × �. − 43,077 = −1,6332 × 20,0 − 43,077 = −75�
Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à esquerda na seção S10,
utilizam-se as Tabelas N.17 e N.24 (Apêndice N), respectivamente, que se referem ao
valor da relação �G = 0,10. A função apresentada fornece:
*�H=.�P_.I|J = −7,6453 × �. + 312,99 = −7,6453 × 20,0 + 312,99 = 160�
*�H=.�?�.I|J = −27,178 × �. − 435,14 = −27,178 × 20,0 − 435,14 = −979�
A partir das linhas de tendência encontradas no item 5.3.9, determina-se as
reações de apoio em B.
Para a primeira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15
Para as reações de apoio máximas e mínimas em B, utilizam-se as Tabelas
O.4 e O.11 (Apêndice O), respectivamente, que se referem ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada fornece:
&¡.�P_ = 70,391 × �. + 919,09 = 70,391 × 15,0 + 919,09 = 1975�
&¡.�?� = 0,7041 × �. − 358,39 = 0,7041 × 15,0 − 358,39 = −348�
Para a segunda opção de vão central e relações tem-se:
�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25
Para as reações de apoio máximas e mínimas em B, utilizam-se as Tabelas
O.6 e O.13 (Apêndice O), respectivamente, que se referem ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada fornece:
146
&¡.�P_ = 64,937 × �. + 901,51 = 64,937 × 17,0 + 901,51 = 2005�
&¡.�?� = 3,7292 × �. − 472,86 = 3,7292 × 17,0 − 472,86 = −410�
Para a terceira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10
Para as reações de apoio máximas e mínimas em B, utilizam-se as Tabelas
O.3 e O.10 (Apêndice O), respectivamente, que se referem ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada fornece:
&¡.�P_ = 62,181 × �. + 881 = 62,181 × 20,0 + 881 = 2125�
&¡.�?� = 6,0121 × �. − 356,07 = 6,0121 × 20,0 − 356,07 = −236�
Em resumo, as solicitações devidas à ação da carga móvel são apresentadas
na Tabela 6.3:
Tabela 6.3 – Resumo Solicitações carga móvel, momento fletor Opção1 Opção2 Opção3���(A)� ∙ � 2955 2566 2690���(�)� ∙ � -1404 -1963 -1384��B(A)� ∙ � 2925 2555 2685��B(�)� ∙ � -1173 -1659 -1292��H=(�)� ∙ � -2068 -2144 -2627��H=(A)� ∙ � 901 973 597��HB(A)� ∙ � 2561 3040 3686��HB(�)� ∙ � -1051 -6717 -652*�H=.�P_.�?z� 1006 1061 1146*�H=.�?�.�?z� -133 -104 -75*�H=.�P_.I|J� 215 305 160*�H=.�?�.I|J� -969 -944 -979&¡.�P_� 1975 2005 2125&¡.�?�� -348 -410 -236
147
6.3 Solicitações de Temperatura
As solicitações devidas à ação de temperatura são obtidas pelas linhas de
tendência determinadas no item 5.4.1, para momento fletor, e no item 5.4.2, para o
cortante. Os resultados obtidos são apresentados a seguir.
Para a primeira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15
A partir da Eq. (145), a solicitação de momento fletor é dada por:
��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 301,02 × � + 2117,2 = 301,02 × 1,0 + 2117,2
��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 2418� �
O cortante, a partir da Eq. (146), é dado por:
*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 = 367,08 × 1,0. − 826,27 × 1,0 + 621,5
*�H=.I|J = 162�
A reação de apoio em B, a partir da Tabela 5.65, é dada por:
&¡.�I�F = 0,8042 × �.. − 35,791 × �. + 516,58
&¡.�I�F = 0,8042 × 15,0. − 35,791 × 15,0 + 516,58 = 161�
Para a segunda opção de vão central e relações tem-se:
�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25
A partir da Eq. (145), a solicitação de momento fletor é dada por:
��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 301,02 × � + 2117,2 = 301,02 × 0,8 + 2117,2
��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 2358� ∙ �
O cortante, a partir da Eq. (146), é dado por:
*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 = 367,08 × 0,8. − 826,27 × 0,8 + 621,5
*�H=.I|J = 195�
A reação de apoio em B, a partir da Tabela 5.65, é dada por:
&¡.�I�F = 0,9834 × �.. − 43,767 × �. + 631,69
&¡.�I�F = 0,9834 × 17,0. − 43,767 × 17,0 + 631,69 = 172�
148
Para a terceira opção de vão central e relações tem-se:
�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10
A partir da Eq. (145), a solicitação de momento fletor é dada por:
��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 301,02 × � + 2117,2 = 301,02 × 0,7 + 2117,2
��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 2328� ∙ �
O cortante, a partir da Eq. (146), é dado por:
*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 = 367,08 × 0,7. − 826,27 × 0,7 + 621,5
*�H=.I|J = 223�
A reação de apoio em B, a partir da Tabela 5.65, é dada por:
&¡.�I�F = 1,1097 × �.. − 49,388 × �. + 712,82
&¡.�I�F = 1,1097 × 20,0. − 49,388 × 20,0 + 712,82 = 167�
Em resumo, as solicitações devidas a ação da temperatura para as opções são
apresentadas na Tabela 6.4:
Tabela 6.4 – Resumo solicitações temperatura, momento fletor Opção1 Opção2 Opção3��H=.�I�F = ��HB.�I�F(� ∙ �) 2418 2358 2328*�H=.I|J(� ) 162 195 223&¡.�I�F(� ) 161 172 167
149
6.4 Avaliação do Exemplo Numérico
A partir das expressões determinadas no capítulo 5, obter as solicitações para
a superestrutura de pontes hiperestáticas de três vãos tornou-se um processo simples.
Pela definição de poucas variáveis, pode-se chegar à ordem de grandeza das
solicitações baseadas nestes parâmetros.
Para fins de avaliação do estudo desenvolvido, a Tabela 6.5 apresenta a
variação entre as solicitações obtidas a partir das ferramentas criadas neste estudo
em relação ao modelo computacional.
Tabela 6.5 – Comparativo entre o estudo desenvolvido e o modelo computacional
Com base no item anterior e avaliando-se as solicitações obtidas para as três
opções de transposição do vale proposto, são observados alguns pontos que possuem
relevância para o estudo.
A primeira opção proposta demonstra a situação em que o momento fletor
máximo, devido a ação do peso próprio e sobrecarga permanente, ocorre numa seção
150
diferente da S15 (meio do vão central). O momento fletor na seção S4 se apresenta
1,8 vezes superior ao encontrado para a seção S15.
A segunda opção, ainda se tratando da ação de peso próprio e sobrecarga
permanente, é a que apresenta uma melhor distribuição dos momentos comparada às
demais. Esta opção apresenta o menor valor de momento fletor na seção S10 e ainda
uma melhor disposição das solicitações de momento fletor para a superestrutura, além
de ser a que possui o menor módulo.
A terceira opção, para peso próprio e sobrecarga permanente, apresenta o
maior valor em módulo para a solicitação de momento fletor mínimo na seção S10.
Comparado às demais opções, apresenta um valor 1,4 vezes maior,
aproximadamente. Esta opção, ainda apresenta o momento fletor na seção S15
superior ao da seção S4 em 2,5 vezes
Quanto à ação da carga móvel, as solicitações obtidas para as três opções
apresentadas não possuem uma variação expressiva. Quanto a este carregamento, há
de se destacar que para a solicitação de momento fletor mínimo na seção S10, os
valores encontrados para as três opções possuem uma variação em torno de 20% do
valor encontrado no modelo computacional. Isto sugere que os fatores multiplicadores
adotados podem ser alterados para esta solicitação de forma que forneça um valor
mais próximo do valor real.
A ação da temperatura, muitas vezes esquecida para a análise preliminar e
para o pré-dimensionamento, apresenta solicitações expressivas. Combinada às
demais ações pode resultar, como no caso da seção S15, em um aumento expressivo
da solicitação para esta seção.
Tratando-se ainda da ação de temperatura, ocorre uma variação do valor
encontrado no FTool ao obtido pelo estudo desenvolvido em torno de 13%. A análise
quanto a ação de temperatura é diretamente ligada as propriedades da seção
(inércia). Para a realização do estudo foi desconsiderada a utilização de mísulas na
seção transversal, esta aproximação adotada gera uma inércia diferente da real e que
resultou nesta variação encontrada nos resultados.
Para fins de ilustração, a Figura 6.1 apresenta um modelo computacional com
a consideração das mísulas no modelo e a Figura 6.2 apresenta a um modelo
computacional sem a consideração das mísulas.
151
Figura 6.1 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �)
Figura 6.2 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �)
A partir das Figuras 6.1 e 6.2 é observado que, ao comparar o resultado obtido
no estudo com um modelo computacional de mesmas propriedades, os valores
encontram-se praticamente iguais. Desta forma, conclui-se que a variação encontrada
nos resultados do estudo em relação ao valor real é unicamente devida a retirada das
mísulas.
No geral, as solicitações obtidas para a ação da temperatura, com objetivo de
análise preliminar, apresentaram-se satisfatórias quanto a ordem de grandeza das
solicitações.
152
7 Considerações Finais
A concepção da estrutura de uma ponte consiste, basicamente, em definir: o
sistema estrutural (viga, arco, treliça, estaiada, pênsil etc.), o método construtivo
(moldado in loco, pré-moldado, balanço sucessivo etc.), a forma de ligação entre a
superestrutura e a mesoestrutura (apoiado, aporticado etc.), a forma da seção
transversal (aberta, celular, viga mista) e os materiais empregados (concreto armado,
concreto protendido ou aço). Estas definições dependem, obviamente, de fatores
variados, tais como considerações econômicas, ambientais, de ocupação urbana,
entre outros.
Dentre as diversas possibilidades de solução, destaca-se o caso, bastante
representativo, das pontes em viga contínua com três vãos, com ou sem balanços nos
extremos. Visando este tipo de sistema estrutural desenvolveu-se, neste trabalho, uma
metodologia para a análise simplificada, com boa precisão, baseada em expressões
algébricas para as principais solicitações dimensionantes, considerando-se os
carregamentos usuais. Embora o desenvolvimento algébrico seja relativamente
extenso, os resultados puderam ser resumidos na forma gráfica de ábacos, em função
de proporções entre os vãos, a partir dos quais tem-se indicações das principais
solicitações.
O desenvolvimento das expressões algébricas para cálculo das principais
solicitações utilizou-se do método das forças, considerando-se a situação simplificada
de viga contínua com “inércia” constante. Na prática, as vigas costumam apresentar
alargamento de espessura, ou mesmo altura maior junto dos apoios, e o modelo mais
apropriado deve considerar este fato. No entanto, conforme demonstrado por meio de
alguns exemplos, a consideração de “inércia” constante, mesmo que não represente
exatamente a realidade, resulta em avaliações que podem ser consideradas como
uma boa aproximação para efeito de pré-dimensionamento. Além disso, a
possibilidade de “visualização” rápida da magnitude das principais solicitações em
função da proporção entre vãos proporciona uma “ferramenta” de grande interesse
prático.
Como exemplo de aplicação da metodologia, foram determinadas as
solicitações de pontes com comprimento total variando entre 20,0 m (�. = 10,0�; � =0,5; ��G = 0) e 72,0 m (�. = 20,0�; � = 1,0; ��G = 0,30), expressas em função de
poucas variáveis. Foram consideradas as ações de peso próprio estrutural, sobrecarga
permanente, carga móvel e o efeito de variação não-uniforme de temperatura. Os
153
resultados foram comparados com a análise estrutural em modelo de viga contínua via
FTOOL, demonstrando a eficiência da metodologia.
Com base nestes exemplos, pode-se detectar de forma clara a faixa de
proporções que resultam em momento fletor positivo no vão lateral superior ao obtido
no vão central, considerando-se a ação de diversos carregamentos. Esta indicação é
de grande interesse prático e deve ser um balizador importante na concepção de uma
estrutura em viga contínua.
Foi possível, ainda, avaliar a influência do balanço extremo na distribuição das
solicitações ao longo da superestrutura. Por exemplo, a relação entre o momento fletor
negativo na seção S10 e na seção S0, para peso próprio e sobrecarga permanente,
pode apresentar uma diferença expressiva em função dos comprimentos dos
balanços. Para � = 0,6, a relação entre o momento fletor na seção S10 e o momento
fletor na seção S0 varia de 1,4 (para �G = 0,3) a 5,3 (para �G = 0,05). Tratando-se da
relação entre o momento fletor nas seções S15 e S4, como apresentado na Figura
5.15, para � = 0,8 esta relação varia de 0,8 (para �G = 0) a 7,6 (para �G = 0,3). Isto
indica que a adoção de um pequeno balanço no extremo da ponte pode interferir de
forma significativa na distribuição das solicitações na superestrutura.
As solicitações de peso próprio e sobrecarga obtidas a partir dos ábacos
propostos mostraram-se satisfatórias, com valores praticamente idênticos àqueles
obtidos da análise estrutural.
Para a ação da carga móvel, os resultados obtidos também foram consistentes.
O estudo das ordenadas da linha de influência apontou indicadores, como a proporção
entre ordenadas, que possibilitou o uso de fatores multiplicadores que aproximaram as
respostas da análise preliminar com as obtidas do modelo estrutural.
A consideração de variação não-uniforme de temperatura consiste em uma
ação nem sempre considerada com a devida atenção, tanto na literatura técnica,
quanto na prática do projeto. Neste trabalho, demonstra-se como esta ação pode ser
linearizada e analisada de forma simplificada, porém com boa precisão. Os resultados
obtidos revelam que a variação não-uniforme de temperatura apresentam valores de
solicitações significativos e que não devem ser desconsiderados.
Para fins elucidativos, apresentou-se o exemplo de uma ponte hiperestática
com 50,0 m de comprimento. A partir das relações entre os vãos central, lateral e
balanços, foram propostas três soluções alternativas. O pré-dimensionamento aqui
desenvolvido tornou possível avaliar de forma expressa a magnitude das solicitações
principais, conduzindo à definição da solução mais adequada para o projeto.
154
Como sugestões para trabalhos futuros, recomendam-se:
• Consideração de vigas com “inércia” variável; • Consideração de estruturas construídas em balanços sucessivos; • Estudo de superestruturas com dois vãos simétricos, típicos de
travessias em passagem superior rodoviária; • Automatização da metodologia em linguagem de programação.
155
Referências Bibliográficas:
[1] PFEIL, W., 1979, Pontes em Concreto armado. 2ª ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora.
[2] CHEN, W., DUAN, L., 2000, Bridge Engineering Handbook. 1ª ed. New York, Washington, D.C. CRC Press.
[3] MICHELL, E., An empirical rough order of magnitude cost function for bridges
structures. Disponível em: http://hotrails.net/2014/09/an-empirical-rough-order-of-magnitude-cost-function-for-bridge-structures/. Acesso em: 7 set. 2016, 23:45:00.
[4] ALVES, R. V., 2016, Pontes I. Notas de aula do curso de Pontes I, Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro.
[5] ABNT, 2003, NBR 7187 - Projeto de Pontes de Concreto Armado e de Concreto
Protendido - Procedimento, 2ª ed., Rio de Janeiro.
[6] DNIT, 2009, Norma DNIT 109 – Obras Complementares – Segurança no
Tráfego Rodoviário – Projeto de Barreiras de Concreto – Procedimento, Rio de Janeiro.
[7] ABNT, 2013, NBR 7188 - Carga Móvel Rodoviária e de Pedestres em Pontes,
Viadutos, Passarelas e outras Estruturas, 2ª ed., Rio de Janeiro.
[8] ABNT, 2014, NBR 6118 - Projeto de Estruturas de Concreto Armado, 3ª ed., Rio de Janeiro.
[9] ABNT, 1987, NBR 7187 - Projeto de Pontes de Concreto Armado e de Concreto
Protendido - Procedimento, 1ª ed., Rio de Janeiro.
[10] MARTHA, L. F., 2010, Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos, 1ª ed. Rio de Janeiro, RJ. Editora Campus/Elsevier.
[11] DNER, 1996, DNER-698 - Manual de Projeto de Obras-de-arte Especiais, Rio de Janeiro.
[12] ABNT, 1982, NB-6 – Carga Móvel em Ponte Rodoviária e Passarela de
Pedestre, Rio de Janeiro.
[13] SÜSSEKIND, J. C., 1981, Curso de Análise Estrutural – Volume I, 6ª ed. Rio de Janeiro. Editora Globo.
156
Apêndice A – Diagramas de momento fletor e cortante em função de λ e λ :
Tabela A.1– Diagrama de Momento Fletor, �G = 0 � = DMF
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
157
Tabela A.2 – Diagrama de cortante, �G = 0
� = DEC
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
158
Tabela A.3 – Diagrama de momento fletor, �G = 0,10
� = DMF
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
159
Tabela A.4 – Diagrama de cortante, �G = 0,10
� = DEC
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
160
Tabela A.5 – Diagrama de momento fletor, �G = 0,20
� = DMF
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
161
Tabela A.6 – Diagrama de cortante, �G = 0,20
� = DEC
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
162
Tabela A.7 – Diagrama de momento fletor, �G = 0,30
� = DMF
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
163
Tabela A.8 – Diagrama de cortante, �G = 0,30
� = DEC
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
164
Apêndice B – Ordenada e seção de inflexão, momento no primeiro vão:
Figura B.1 – Gráfico posição Mmax
(+) no 1º vão versus � e seção Mmax
(+) no 1º vão versus �, �. = 10,0�
165
Figura B.2 – Gráfico posição Mmax
(+) no 1º vão versus � e seção Mmax
(+) no 1º vão versus �, �. = 11,0�
166
Figura B.3 – Gráfico posição Mmax
(+) no 1º vão versus � e seção Mmax
(+) no 1º vão versus �, �. = 12,0�
167
Figura B.4 – Gráfico posição Mmax(+)
no 1º vão versus � e seção Mmax(+)
no 1º vão versus �, �. = 13,0�
168
Figura B.5 – Gráfico posição Mmax(+)
no 1º vão versus � e seção Mmax(+)
no 1º vão versus �, �. = 14,0�
169
Figura B.6 – Gráfico posição Mmax(+)
no 1º vão versus � e seção Mmax(+)
no 1º vão versus �, �. = 16,0�
170
Figura B.7 – Gráfico posição Mmax(+)
no 1º vão versus � e seção Mmax(+)
no 1º vão versus �, �. = 17,0�
171
Figura B.8 – Gráfico posição Mmax(+)
no 1º vão versus � e seção Mmax(+)
no 1º vão versus �, �. = 18,0�
172
Figura B.9 – Gráfico posição Mmax(+)
no 1º vão versus � e seção Mmax(+)
no 1º vão versus �, �. = 19,0�
173
Figura B.10 – Gráfico posição Mmax(+)
no 1º vão versus � e seção Mmax(+)
no 1º vão versus �, �. = 20,0�
174
Apêndice C – Curvas/Linhas de tendência de momento fletor na seção S4:
Figura C.1 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0
Tabela C.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���(A) = 0,3391 × �.. 0,6 ���(A) = 2,5767 × �.. 0,7 ���(A) = 5,1139 × �.. 0,8 ���(A) = 7,9448 × �.. 0,9 ���(A) = 11,064 × �.. 1,0 ���(A) = 14,468 × �..
175
Figura C.2 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,05
Tabela C.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���(A) = 0 0,6 ���(A) = 2,5676 × �.. − 7,0341 × �. − 187,26 0,7 ���(A) = 5,0545 × �.. − 6,7901 × �. − 194 0,8 ���(A) = 7,868 × �.. − 7,6743 × �. − 191,86 0,9 ���(A) = 10,968 × �.. − 8,5451 × �. − 189,89 1,0 ���(A) = 14,35 × �.. − 9,4041 × �. − 188,08
176
Figura C.3 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,10
Tabela C.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���(A) = 0 0,6 ���(A) = 3,9451 × �.. − 62,8 × �. + 215,79 0,7 ���(A) = 4,8763 × �.. − 13,58 × �. − 194 0,8 ���(A) = 7,6378 × �.. − 15,349 × �. − 191,86 0,9 ���(A) = 10,68 × �.. − 17,09 × �. − 189,89 1,0 ���(A) = 13,998 × �.. − 18,808 × �. − 188,08
177
Figura C.4 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,15
Tabela C.4 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���(A) = 0 0,6 ���(A) = 5,0909 × �.. − 120,48 × �. + 702,58 0,7 ���(A) = 4,5792 × �.. − 20,37 × �. − 194 0,8 ���(A) = 7,2541 × �.. − 23,023 × �. − 191,86 0,9 ���(A) = 10,199 × �.. − 25,635 × �. − 189,89 1,0 ���(A) = 13,41 × �.. − 28,212 × �. − 188,08
178
Figura C.5 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,20
Tabela C.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���.�(A) = 0 0,6 ���(A) = 1,621 × �.. − 43,852 × �. + 286,96 0,7 ���(A) = 5,0247 × �.. − 55,242 × �. + 29,278 0,8 ���(A) = 6,7169 × �.. − 30,697 × �. − 191,86 0,9 ���(A) = 9,5261 × �.. − 34,18 × �. − 189,89 1,0 ���(A) = 12,587 × �.. − 37,617 × �. − 188,08
179
Figura C.6 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,25
Tabela C.6 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,25 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���(A) = 0 0,6 ���(A) = 0 0,7 ���(A) = 7,2631 × �.. − 157,97 × �. + 848,48 0,8 ���(A) = 6,0262 × �.. − 38,371 × �. − 191,86 0,9 ���(A) = 8,6609 × �.. − 42,726 × �. − 189,89 1,0 ���(A) = 11,529 × �.. − 47,021 × �. − 188,08
180
Figura C.7 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,30
Tabela C.7 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,30 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ���(A) 0,5 ���(A) = 0 0,6 ���(A) = 0 0,7 ���(A) = 3,8661 × �.. − 102,9 × �. + 664,34 0,8 ���(A) = 8,0255 × �.. − 140,04 × �. − 568,51 0,9 ���(A) = 7,6034 × �.. − 51,271 × �. − 189,89 1,0 ���(A) = 10,236 × �.. − 56,425 × �. − 188,08
181
Apêndice D – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S5:
Figura D.1 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S5, �G = 0
Tabela D.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 1,5932 × �.. 0,7 ��B(A) = 4,177 × �.. 0,8 ��B(A) = 7,0374 × �.. 0,9 ��B(A) = 10,168 × �.. 1,0 ��B(A) = 13,564 × �..
182
Figura D.2 – Solicitações de momento fletor positivo seção S5, �G = 0,05
Tabela D.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B.�(A) = 0 0,6 ��B(A) = 2,4802 × �.. − 35,023 × �. + 89,697 0,7 ��B(A) = 4,1304 × �.. − 5,3227 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,9776 × �.. − 5,9759 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 10,094 × �.. − 6,6123 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 13,473 × �.. − 7,234 × �. − 144,68
183
Figura D.3 – Solicitações de momento fletor positivo seção S5, �G = 0,10
Tabela D.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 3,5362 × �.. − 81,52 × �. + 463,59 0,7 ��B(A) = 3,9907 × �.. − 10,645 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,7983 × �.. − 11,952 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 9,8705 × �.. − 13,225 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 13,202 × �.. − 14,468 × �. − 144,68
184
Figura D.4 – Solicitações de momento fletor positivo seção S5, �G = 0,15
Tabela D.4 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 1,6402 × �.. − 43,928 × �. + 285,1 0,7 ��B(A) = 3,7578 × �.. − 15,968 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,4996 × �.. − 17,928 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 9,4986 × �.. − 19,837 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 12,75 × �.. − 21,702 × �. − 144,68
185
Figura D.5 – Solicitações de momento fletor positivo seção S5, �G = 0,20
Tabela D.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 0 0,7 ��B(A) = 3,813 × �.. − 33,718 × �. − 53,271 0,8 ��B(A) = 6,0812 × �.. − 23,904 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 8,9778 × �.. − 26,449 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 12,117 × �.. − 28,936 × �. − 144,68
186
Figura D.6 – Solicitações de momento fletor positivo seção S5, �G = 0,25
Tabela D.6 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,25 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 0 0,7 ��B(A) = 5,5749 × �.. − 112,74 × �. + 559,07 0,8 ��B(A) = 5,5434 × �.. − 29,879 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 8,3083 × �.. − 36,061 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 11,303 × �.. − 36,17 × �. − 144,68
187
Figura D.7 – Solicitações de momento fletor positivo seção S5, �G = 0,30
Tabela D.7 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,30 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ���(A) 0,5 ��B�(A) = 0 0,6 ��B(A) = 0 0,7 ��B(A) = 4,375 × �.. − 113,74 × �. + 720,09 0,8 ��B(A) = 5,2242 × �.. − 46,879 × �. − 61,745 0,9 ��B(A) = 7,4901 × �.. − 39,674 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 10,308 × �.. − 43,404 × �. − 144,68
188
Apêndice E – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S10:
Figura E.1 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0
Tabela E.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,716 × �.. 0,6 ��H=(�) = −13,09 × �.. 0,7 ��H=(�) = −13,8 × �.. 0,8 ��H=(�) = −14,861 × �.. 0,9 ��H=(�) = −16,286 × �.. 1,0 ��H=(�) = −18,085 × �..
189
Figura E.2 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,05
Tabela E.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,709 × �.. + 1,1303 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −13,078 × �.. + 1,5501 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,782 × �.. + 2,014 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,836 × �.. + 2,5162 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −16,251 × �.. + 3,0518 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −18,04 × �.. + 3,617 × �. + 72,34
190
Figura E.3 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,10
Tabela E.3 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,10 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,688 × �.. + 2,2606 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −13,044 × �.. + 3,1003 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,73 × �.. + 4,028 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,76 × �.. + 5,0323 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −16,148 × �.. + 6,1037 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −17,904 × �.. + 7,234 × �. + 72,34
191
Figura E.4 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,15
Tabela E.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,652 × �.. + 3,3909 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −12,985 × �.. + 4,6504 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,641 × �.. + 6,042 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,635 × �.. + 7,5485 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −15,977 × �.. + 9,1555 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −17,678 × �.. + 10,851 × �. + 72,34
192
Figura E.5 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,20
Tabela E.5 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,20 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,603 × �.. + 4,5212 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −12,904 × �.. + 6,2005 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,518 × �.. + 8,056 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,458 × �.. + 10,065 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −15,737 × �.. + 12,207 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −17,362 × �.. + 14,468 × �. + 72,34
193
Figura E.6 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,25
Tabela E.6 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,25 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,539 × �.. + 5,6515 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −12,799 × �.. + 7,7507 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,359 × �.. + 10,07 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,232 × �.. + 12,581 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −15,428 × �.. + 15,259 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −16,955 × �.. + 18,085 × �. + 72,34
194
Figura E.7 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,30
Tabela E.7 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,30 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ����(�) 0,5 ��H=(�) = −12,462 × �.. + 6,7818 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −12,671 × �.. + 9,3008 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,166 × �.. + 12,084 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −13,955 × �.. + 15,097 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −15,05 × �.. + 18,311 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −16,457 × �.. + 21,702 × �. + 72,34
195
Apêndice F – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S15:
Figura F.1 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0
Tabela F.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 9,8902 × �.. 0,6 ��HB(A) = 9,5161 × �.. 0,7 ��HB(A) = 8,8061 × �.. 0,8 ��HB(A) = 7,7451 × �.. 0,9 ��HB(A) = 6,3203 × �.. 1,0 ��HB(A) = 4,5212 × �..
196
Figura F.2 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,05
Tabela F.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 9,8972 × �.. + 1,1303 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,5277 × �.. + 1,5501 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 8,8237 × �.. + 2,014 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 7,7702 × �.. + 2,5162 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,3546 × �.. + 3,0518 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 4,5664 × �.. + 3,617 × �. + 72,34
197
Figura F.3 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,10
Tabela F.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 9,9184 × �.. + 2,2606 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,5626 × �.. + 3,1003 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 8,8766 × �.. + 4,028 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 7,8457 × �.. + 5,0323 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,4576 × �.. + 6,1037 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 4,7021 × �.. + 7,234 × �. + 72,34
198
Figura F.4 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,15
Tabela F.4 – Linhas de tendência de Momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 9,9538 × �.. + 3,3909 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,6207 × �.. + 4,6504 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 8,9647 × �.. + 6,042 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 7,9715 × �.. + 7,5485 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,6293 × �.. + 9,1555 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 4,9281 × �.. + 10,851 × �. + 72,34
199
Figura F.5 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,20
Tabela F.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 10,003 × �.. + 4,5212 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,7021 × �.. + 6,2005 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 9,0881 × �.. + 8,056 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 8,1476 × �.. + 10,065 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,8696 × �.. + 12,207 × �. + 67,818 1,0 ��HB.A) = 5,2446 × �.. + 14,468 × �. + 72,34
200
Figura F.6 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,25
Tabela F.6 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,25 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 10,067 × �.. + 5,6515 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,8068 × �.. + 7,7507 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 9,2467 × �.. + 10,07 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 8,3741 × �.. + 12,581 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 7,1786 × �.. + 15,259 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 5,6515 × �.. + 18,085 × �. + 72,34
201
Figura F.7 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,30
Tabela F.7 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,30 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ����(A) 0,5 ��HB(A) = 10,144 × �.. + 6,7818 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,9346 × �.. + 9,3008 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 9,4405 × �.. + 12,084 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 8,6509 × �.. + 15,097 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 7,5563 × �.. + 18,311 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 6,1489 × �.. + 21,702 × �. + 72,34
202
Apêndice G – Curvas/Linhas de tendência cortante a esquerda na seção S10:
Figura G.1 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0
Tabela G.1 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0 � Cortante a esquerda seção S10, ����.���.¼ 0,5 *�H=.I|J.� = −70,644 × �.0,6 *�H=.I|J.� = −76,071 × �.0,7 *�H=.I|J.� = −83,011 × �.0,8 *�H=.I|J.� = −90,916 × �.0,9 *�H=.I|J.� = −99,477 × �.1,0 *�H=.I|J.� = −108,51 × �.
203
Figura G.2 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,05
Tabela G.2 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0,05 � Cortante a esquerda seção S10, ����.��� 0,5 *�H=.I|J = −74,45 × �. + 136,210,6 *�H=.I|J = −79,246 × �. + 118,760,7 *�H=.I|J = −85,722 × �. + 106,230,8 *�H=.I|J = −93,268 × �. + 96,7960,9 *�H=.I|J = −101,54 × �. + 89,4231,0 *�H=.I|J = −110,34 × �. + 83,498
204
Figura G.3 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,10
Tabela G.3 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0,10 � Cortante a esquerda seção S10, ����.��� 0,5 *�H=.I|J = −74,068 × �. + 156,560,6 *�H=.I|J = −78,781 × �. + 139,430,7 *�H=.I|J = −85,172 × �. + 127,190,8 *�H=.I|J = −92,632 × �. + 118,030,9 *�H=.I|J = −100,82 × �. + 110,91,0 *�H=.I|J = −109,52 × �. + 105,2
205
Figura G.4 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,15
Tabela G.4 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0,15 � Cortante a esquerda seção S10, ����.��� 0,5 *�H=.I|J = −73,432 × �. + 176,90,6 *�H=.I|J = −78,006 × �. + 160,090,7 *�H=.I|J = −84,255 × �. + 148,160,8 *�H=.I|J = −91,57 × �. + 139,260,9 *�H=.I|J = −99,609 × �. + 132,371,0 *�H=.I|J = −108,17 × �. + 126,9
206
Figura G.5 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,20
Tabela G.5 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0,20 � Cortante a esquerda seção S10, ����.��� 0,5 *�H=.I|J = −72,542 × �. + 197,250,6 *�H=.I|J = −76,921 × �. + 180,760,7 *�H=.I|J = −82,971 × �. + 169,120,8 *�H=.I|J = −90,084 × �. + 160,490,9 *�H=.I|J = −97,918 × �. + 153,851,0 *�H=.I|J = −106,27 × �. + 148,6
207
Figura G.6 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,25
Tabela G.6 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0,25 � Cortante a esquerda seção S10, ����.��� 0,5 *�H=.I|J = −71,398 × �. + 217,60,6 *�H=.I|J = −75,525 × �. + 201,430,7 *�H=.I|J = −81,32 × �. + 190,080,8 *�H=.I|J = −88,173 × �. + 181,720,9 *�H=.I|J = −95,744 × �. + 175,331,0 *�H=.I|J = −103,83 × �. + 170,31
208
Figura G.7 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,30
Tabela G.7 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0,30 � Cortante a esquerda seção S10, ����.��� 0,5 *�H=.I|J = −69,999 × �. + 237,940,6 *�H=.I|J = −73,82 × �. + 222,10,7 *�H=.I|J = −79,303 × �. + 211,040,8 *�H=.I|J = −85,838 × �. + 202,950,9 *�H=.I|J = −93,086 × �. + 196,81,0 *�H=.I|J = −100,84 × �. + 192,01
209
Apêndice H – Curvas/Linhas de tendência reação de apoio em B:
Figura H.1 – Reação de apoio &¡, �G = 0
Tabela H.1 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0 � Reação de Apoio ¢£.¼ 0,5 &¡ = 161,07 × �.0,6 &¡ = 166,5 × �.0,7 &¡ = 173,44 × �.0,8 &¡ = 181,34 × �.0,9 &¡ = 189,9 × �.1,0 &¡ = 198,93 × �.
210
Figura H.2 – Reação de apoio &¡, �G = 0,05
Tabela H.2 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,05 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 164,37 × �. − 136,210,6 &¡ = 169,24 × �. − 118,760,7 &¡ = 175,77 × �. − 106,230,8 &¡ = 183,36 × �. − 96,7960,9 &¡ = 191,67 × �. − 89,4231,0 &¡ = 200,49 × �. − 83,498
211
Figura H.3 – Reação de apoio &¡, �G = 0,10
Tabela H.3 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,10 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 162,46 × �. − 156,560,6 &¡ = 167,48 × �. − 139,430,7 &¡ = 174,1 × �. − 127,190,8 &¡ = 181,73 × �. − 118,030,9 &¡ = 190,05 × �. − 110,91,0 &¡ = 198,86 × �. − 105,2
212
Figura H.4 – Reação de apoio &¡, �G = 0,15
Tabela H.4 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,15 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 159,28 × �. − 176,90,6 &¡ = 164,55 × �. − 160,090,7 &¡ = 171,31 × �. − 148,160,8 &¡ = 179,01 × �. − 139,260,9 &¡ = 187,35 × �. − 132,371,0 &¡ = 196,15 × �. − 126,9
213
Figura H.5 – Reação de apoio &¡, �G = 0,20
Tabela H.5 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,20 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 154,83 × �. − 197,250,6 &¡ = 160,46 × �. − 180,760,7 &¡ = 167,41 × �. − 169,120,8 &¡ = 175,2 × �. − 160,490,9 &¡ = 183,57 × �. − 153,851,0 &¡ = 192,35 × �. − 148,6
214
Figura H.6 – Reação de apoio &¡, �G = 0,25
Tabela H.6 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,25 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 149,11 × �. − 217,60,6 &¡ = 155,19 × �. − 201,430,7 &¡ = 162,39 × �. − 190,080,8 &¡ = 170,3 × �. − 181,720,9 &¡ = 178,71 × �. − 175,331,0 &¡ = 187,47 × �. − 170,31
215
Figura H.7 – Reação de apoio &¡, �G = 0,30
Tabela H.7 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,30 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 142,11 × �. − 237,940,6 &¡ = 148,74 × �. − 222,10,7 &¡ = 156,25 × �. − 211,040,8 &¡ = 164,32 × �. − 202,950,9 &¡ = 172,77 × �. − 196,81,0 &¡ = 181,5 × �. − 192,01
216
Apêndice I – Ordenadas da linha de influência para o cortante na seção S10 a direita e
a esquerda:
Tabela I.1 – Ordenadas da linha de influência do cortante a direita na seção S10, balanço
esquerdo
217
Tabela I.2 – Ordenadas da linha de influência do cortante a direita na seção S10, pontos de
estudo
218
Tabela I.3 – Ordenadas da linha de influência do cortante a direita na seção S10, balanço
direito
219
Tabela I.4 – Ordenadas da linha de influência do cortante a esquerda na seção S10, balanço
esquerdo
220
Tabela I.5 – Ordenadas da linha de influência do cortante a esquerda na seção S10, pontos de
estudo
221
Tabela I.6 – Ordenadas da linha de influência do cortante a esquerda na seção S10, balanço
direito
222
Apêndice J – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S4,
carga móvel:
Figura J.1 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0
Tabela J.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,3466 × �22 − 16,524 × �2 0,6 ��?�.�� = −1,0164 × �22 − 22,313 × �2 + 41,091 0,7 ��?�.�� = −0,9901 × �22 − 20,188 × �2 + 29,851 0,8 ��?�.�� = −0,9659 × �22 − 18,313 × �2 + 20,62 0,9 ��?�.�� = −0,9346 × �22 − 16,859 × �2 + 14,386 1,0 ��?�.�� = −0,9054 × �22 − 15,688 × �2 + 9,9123
223
Figura J.2 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,05
Tabela J.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,3589 × �22 − 7,2785 × �2 − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9201 × �22 − 18,092 × �2 − 438,76 0,7 ��?�.�� = −0,9245 × �22 − 16,989 × �2 − 453,01 0,8 ��?�.�� = −0,9431 × �22 − 15,664 × �2 − 466,26 0,9 ��?�.�� = −0,9477 × �22 − 14,988 × �2 − 476,61 1,0 ��?�.�� = −0,9507 × �22 − 14,669 × �2 − 482,99
224
Figura J.3 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,10
Tabela J.3 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,10 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,3692 × �22 − 14,612 × �2 − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9109 × �22 − 28,257 × �2 − 429,29 0,7 ��?�.�� = −0,9318 × �22 − 28,3 × �2 − 445,39 0,8 ��?�.�� = −0,9724 × �22 − 28,038 × �2 − 461,17 0,9 ��?�.�� = −1,0005 × �22 − 28,42 × �2 − 473,86 1,0 ��?�.�� = −1,0287 × �22 − 29,054 × �2 − 482,49
225
Figura J.4 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,15
Tabela J.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S4, �Æ»¶.�� 0,5 ��?�.�� = −1,4579 × �.. − 21,89 × �. − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9321 × �.. − 38,528 × �. − 419,12 0,7 ��?�.�� = −0,9803 × �.. − 39,792 × �. − 436,96 0,8 ��?�.�� = −1,0556 × �.. − 40,524 × �. − 455,28 0,9 ��?�.�� = −1,1205 × �.. − 41,98 × �. − 470,25 1,0 ��?�.�� = −1,1887 × �.. − 43,687 × �. − 481,05
226
Figura J.5 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,20
Tabela J.5 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,20 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,5445 × �22 − 29,216 × �2 − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9839 × �22 − 48,922 × �2 − 408,23 0,7 ��?�.�� = −1,0702 × �22 − 51,421 × �2 − 427,76 0,8 ��?�.�� = −1,1927 × �22 − 53,218 × �2 − 448,54 0,9 ��?�.�� = −1,308 × �22 − 55,771 × �2 − 465,76 1,0 ��?�.�� = −1,4309 × �22 − 58,524 × �2 − 478,69
227
Figura J.6 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,25
Tabela J.6 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,25 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,6555 × �22 − 36,495 × �2 − 505,06 0,6 ��?�.�� = −1,0664 × �22 − 59,432 × �2 − 396,64 0,7 ��?�.�� = −1,2015 × �22 − 63,186 × �2 − 417,77 0,8 ��?�.�� = −1,3832 × �22 − 66,015 × �2 − 441,01 0,9 ��?�.�� = −1,5625 × �22 − 69,69 × �2 − 460,39 1,0 ��?�.�� = −1,7554 × �22 − 73,525 × �2 − 475,39
228
Figura J.7 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,30
Tabela J.7 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,30 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,7921 × �22 − 43,828 × �2 − 505,06 0,6 ��?�.�� = −1,1794 × �22 − 70,055 × �2 − 383,34 0,7 ��?�.�� = −1,3743 × �22 − 75,042 × �2 − 407,04 0,8 ��?�.�� = −1,6271 × �22 − 79,01 × �2 − 432,64 0,9 ��?�.�� = −1,8849 × �22 − 83,84 × �2 − 454,14 1,0 ��?�.�� = −2,162 × �22 − 88,774 × �2 − 471,16
229
Apêndice K – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S5,
carga móvel:
Figura K.1 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0
Tabela K.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,6842 × �22 − 20,655 × �2 0,6 ��?�.�B = −1,2695 × �22 − 27,912 × �2 + 51,365 0,7 ��?�.�B = −1,2367 × �22 − 25,244 × �2 + 37,306 0,8 ��?�.�B = −1,209 × �22 − 22,874 × �2 + 25,792 0,9 ��?�.�B = −1,1713 × �22 − 21,103 × �2 + 18,026 1,0 ��?�.�B = −1,1318 × �22 − 19,61 × �2 + 12,39
230
Figura K.2 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,05
Tabela K.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,6941 × �22 − 5,7078 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,2437 × �22 − 15,976 × �2 − 325,4 0,7 ��?�.�B = −1,227 × �22 − 14,723 × �2 − 336,04 0,8 ��?�.�B = −1,2237 × �22 − 13,399 × �2 − 345,42 0,9 ��?�.�B = −1,2078 × �22 − 12,653 × �2 − 352,08 1,0 ��?�.�B = −1,188 × �22 − 12,173 × �2 − 355,51
231
Figura K.3 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,10
Tabela K.3 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,10 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,7235 × �22 − 11,368 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,2372 × �22 − 23,837 × �2 − 318,06 0,7 ��?�.�B = −1,2335 × �22 − 23,426 × �2 − 330,16 0,8 ��?�.�B = −1,2477 × �22 − 22,811 × �2 − 341,52 0,9 ��?�.�B = −1,2495 × �22 − 22,783 × �2 − 349,98 1,0 ��?�.�B = −1,2487 × �22 − 23,021 × �2 − 355,11
232
Figura K.4 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,15
Tabela K.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,7725 × �22 − 17,069 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,255 × �22 − 31,742 × �2 − 310,21 0,7 ��?�.�B = −1,2727 × �22 − 32,191 × �2 − 323,7 0,8 ��?�.�B = −1,3134 × �22 − 32,335 × �2 − 337 0,9 ��?�.�B = −1,3434 × �22 − 33,052 × �2 − 347,21 1,0 ��?�.�B = −1,3727 × �22 − 33,986 × �2 − 353,99
233
Figura K.5 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,20
Tabela K.5 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,20 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,8415 × �22 − 22,776 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,2969 × �22 − 39,793 × �2 − 301,74 0,7 ��?�.�B = −1,3439 × �22 − 41,107 × �2 − 316,6 0,8 ��?�.�B = −1,421 × �22 − 41,936 × �2 − 331,84 0,9 ��?�.�B = −1,4893 × �22 − 43,46 × �2 − 343,76 1,0 ��?�.�B = −1,56 × �22 − 45,108 × �2 − 352,15
234
Figura K.6 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,25
Tabela K.6 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,25 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,9302 × �22 − 28,484 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,363 × �22 − 47,934 × �2 − 292,71 0,7 ��?�.�B = −1,448 × �22 − 50,14 × �2 − 308,88 0,8 ��?�.�B = −1,5701 × �22 − 51,702 × �2 − 326,04 0,9 ��?�.�B = −1,6873 × �22 − 54,007 × �2 − 339,64 1,0 ��?�.�B = −1,8103 × �22 − 56,429 × �2 − 349,6
235
Figura K.7 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,30
Tabela K.7 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,30 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −2,0381 × �22 − 34,144 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,4528 × �22 − 56,157 × �2 − 283,15 0,7 ��?�.�B = −1,5847 × �22 − 59,279 × �2 − 300,55 0,8 ��?�.�B = −1,7609 × �22 − 61,589 × �2 − 319,6 0,9 ��?�.�B = −1,9374 × �22 − 64,693 × �2 − 334,83 1,0 ��?�.�B = −2,124 × �22 − 67,867 × �2 − 346,33
236
Apêndice L – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor na seção S10, carga
móvel:
Momentos Fletores mínimos:
Figura L.1 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0
Tabela L.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −3,6628 × �.. − 41,31 × �. 0,6 ��?�.�H= = −2,7705 × �.. − 56,691 × �. + 108,08 0,7 ��?�.�H= = −2,681 × �.. − 51,171 × �. + 78,515 0,8 ��?�.�H= = −2,6043 × �.. − 46,331 × �. + 54,448 0,9 ��?�.�H= = −2,5098 × �.. − 43,641 × �. + 38,382 1,0 ��?�.�H= = −2,3948 × �.. − 47,94 × �. + 26,044
237
Figura L.2 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,05
Tabela L.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −4,2963 × �.. − 41,537 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6456 × �.. − 60,382 × �. + 119,82 0,7 ��?�.�H= = −3,9824 × �.. − 55,883 × �. + 93,961 0,8 ��?�.�H= = −4,4301 × �.. − 52,055 × �. + 72,883 0,9 ��?�.�H= = −4,9571 × �.. − 50,607 × �. + 60,442 1,0 ��?�.�H= = −5,5594 × �.. − 56,299 × �. + 51,986
238
Figura L.3 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,10
Tabela L.3 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,10 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −4,3004 × �.. − 41,757 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6493 × �.. − 60,731 × �. + 120,23 0,7 ��?�.�H= = −3,9882 × �.. − 56,28 × �. + 94,32 0,8 ��?�.�H= = −4,4386 × �.. − 52,503 × �. + 73,172 0,9 ��?�.�H= = −4,9682 × �.. − 51,096 × �. + 60,658 1,0 ��?�.�H= = −5,5738 × �.. − 56,836 × �. + 52,135
239
Figura L.4 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,15
Tabela L.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S10, MÈÌÍ.ËH= 0,5 ��?�.�H= = −4,3075 × �.. − 41,985 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6565 × �.. − 61,085 × �. + 120,7 0,7 ��?�.�H= = −3,99993 × �.. − 56,703 × �. + 94,786 0,8 ��?�.�H= = −4,4536 × �.. − 52,961 × �. + 73,558 0,9 ��?�.�H= = −4,9883 × �.. − 51,616 × �. + 60,992 1,0 ��?�.�H= = −5,5985 × �.. − 57,391 × �. + 52,402
240
Figura L.5 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,20
Tabela L.5 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,20 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −4,3175 × �.. − 42,212 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6677 × �.. − 61,463 × �. + 121,28 0,7 ��?�.�H= = −4,0153 × �.. − 57,134 × �. + 95,337 0,8 ��?�.�H= = −4,4756 × �.. − 53,447 × �. + 74,054 0,9 ��?�.�H= = −5,0166 × �.. − 52,15 × �. + 61,432 1,0 ��?�.�H= = −5,6336 × �.. − 57,972 × �. + 52,787
241
Figura L.6 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,25
Tabela L.6 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,25 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −4,3298 × �.. − 42,432 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6821 × �.. − 61,844 × �. + 121,93 0,7 ��?�.�H= = −4,0363 × �.. − 57,581 × �. + 95,984 0,8 ��?�.�H= = −4,5044 × �.. − 53,953 × �. + 74,654 0,9 ��?�.�H= = −5,0535 × �.. − 52,708 × �. + 61,983 1,0 ��?�.�H= = −5,6798 × �.. − 58,589 × �. + 53,299
242
Figura L.7 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,30
Tabela L.7 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,30 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −4,3455 × �.. − 42,659 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,7007 × �.. − 62,249 × �. + 122,67 0,7 ��?�.�H= = −4,0625 × �.. − 58,045 × �. + 96,726 0,8 ��?�.�H= = −4,5401 × �.. − 54,479 × �. + 75,359 0,9 ��?�.�H= = −5,099 × �.. − 53,288 × �. + 62,646 1,0 ��?�.�H= = −5,736 × �.. − 59,222 × �. + 53,922
243
Momentos fletores máximos:
Figura L.8 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0
Tabela L.8 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2065 × �.. + 4,6575 × �. 0,6 ��P_.�H= = 0,2539 × �.. + 8,4777 × �. − 13,023 0,7 ��P_.�H= = 0,4034 × �.. + 10,738 × �. − 13,828 0,8 ��P_.�H= = 0,5931 × �.. + 12,933 × �. − 13,299 0,9 ��P_.�H= = 0,8151 × �.. + 15,207 × �. − 12,625 1,0 ��P_.�H= = 1,0685 × �.. + 17,48 × �. − 11,726
244
Figura L.9 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,05
Tabela L.9 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2107 × �.. + 2,5782 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2162 × �.. + 6,612 × �. + 178,59 0,7 ��P_.�H= = 0,384 × �.. + 7,3468 × �. + 199,13 0,8 ��P_.�H= = 0,5979 × �.. + 7,8252 × �. + 218,85 0,9 ��P_.�H= = 0,8421 × �.. + 8,5488 × �. + 236,78 1,0 ��P_.�H= = 1,1163 × �.. + 9,3112 × �. + 252,06
245
Figura L.10 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,10
Tabela L.10 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2234 × �.. + 5,1565 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2118 × �.. + 10,681 × �. + 174,82 0,7 ��P_.�H= = 0,3862 × �.. + 12,291 × �. + 195,82 0,8 ��P_.�H= = 0,6104 × �.. + 13,681 × �. + 216,46 0,9 ��P_.�H= = 0,8667 × �.. + 15,263 × �. + 235,43 1,0 ��P_.�H= = 1,1554 × �.. + 17,02 × �. + 251,82
246
Figura L.11 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,15
Tabela L.11 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2445 × �.. + 7,7347 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2192 × �.. + 14,738 × �. + 170,82 0,7 ��P_.�H= = 0,4057 × �.. + 17,292 × �. + 192,18 0,8 ��P_.�H= = 0,6472 × �.. + 19,556 × �. + 213,72 0,9 ��P_.�H= = 0,9241 × �.. + 22,115 × �. + 233,64 1,0 ��P_.�H= = 1,2365 × �.. + 24,785 × �. + 251,10
247
Figura L.12 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,20
Tabela L.12 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,274 × �.. + 8,4095 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2543 × �.. + 15,926 × �. + 169 0,7 ��P_.�H= = 0,4603 × �.. + 18,764 × �. + 190,3 0,8 ��P_.�H= = 0,726 × �.. + 21,296 × �. + 211,94 0,9 ��P_.�H= = 1,0322 × �.. + 24,154 × �. + 231,97 1,0 ��P_.�H= = 1,3775 × �.. + 27,118 × �. + 249,56
248
Figura L.13 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,25
Tabela L.13 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,25 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,312 × �.. + 12,891 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2691 × �.. + 23,039 × �. + 161,96 0,7 ��P_.�H= = 0,4969 × �.. + 27,465 × �. + 183,92 0,8 ��P_.�H= = 0,7942 × �.. + 31,568 × �. + 207,1 0,9 ��P_.�H= = 1,1365 × �.. + 36,028 × �. + 228,81 1,0 ��P_.�H= = 1,5255 × �.. + 40,68 × �. + 248,23
249
Figura L.14 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,30
Tabela L.14 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,30 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,3584 × �.. + 15,469 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,3115 × �.. + 27,227 × �. + 157,15 0,7 ��P_.�H= = 0,5686 × �.. + 32,638 × �. + 179,3 0,8 ��P_.�H= = 0,904 × �.. + 37,654 × �. + 203,24 0,9 ��P_.�H= = 1,2919 × �.. + 43,141 × �. + 225,75 1,0 ��P_.�H= = 1,7329 × �.. + 48,76 × �. + 246,08
250
Apêndice M – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor positivo na seção S15,
carga móvel:
Figura M.1 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0
Tabela M.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6091 × �.. + 63,261 × �. 0,6 ��P_.�HB = 4,6089 × �.. + 94,309 × �. − 179,81 0,7 ��P_.�HB = 4,813 × �.. + 91,862 × �. − 140,95 0,8 ��P_.�HB = 5,0151 × �.. + 89,221 × �. − 104,85 0,9 ��P_.�HB = 5,1682 × �.. + 87,721 × �. − 78,703 1,0 ��P_.�HB = 5,2971 × �.. + 86,658 × �. − 58,131
251
Figura M.2 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,05
Tabela M.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,612 × �.. + 63,716 × �. + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6024 × �.. + 95,19 × �. − 160,93 0,7 ��P_.�HB = 4,8094 × �.. + 92,886 × �. − 119,2 0,8 ��P_.�HB = 5,0162 × �.. + 90,357 × �. − 80,246 0,9 ��P_.�HB = 5,1741 × �.. + 88,978 × �. − 51,376 1,0 ��P_.�HB = 5,3086 × �.. + 88,057 × �. − 28,337
252
Figura M.3 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,10
Tabela M.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6203 × �.. + 64,156 × �. − 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6107 × �.. + 95,959 × �. − 161,82 0,7 ��P_.�HB = 4,8235 × �.. + 93,846 × �. − 120,08 0,8 ��P_.�HB = 5,0382 × �.. + 91,517 × �. − 80,996 0,9 ��P_.�HB = 5,2053 × �.. + 90,346 × �. − 51,981 1,0 ��P_.�HB = 5,3513 × �.. + 89,652 × �. − 28,781
253
Figura M.4 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,15
Tabela M.4 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6345 × �.. + 64,61 × �. + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6266 × �.. + 96,74 × �. − 162,87 0,7 ��P_.�HB = 4,8498 × �.. + 94,847 × �. − 121,18 0,8 ��P_.�HB = 5,0772 × �.. + 92,712 × �. − 82 0,9 ��P_.�HB = 5,2612 × �.. + 91,795 × �. − 52,91 1,0 ��P_.�HB = 5,4255 × �.. + 91,325 × �. − 29,584
254
Figura M.5 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,20
Tabela M.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6544 × �.. + 65,065 × �. + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6512 × �.. + 97,571 × �. − 164,14 0,7 ��P_.�HB = 4,8885 × �.. + 95,889 × �. − 122,51 0,8 ��P_.�HB = 5,1343 × �.. + 93,974 × �. − 83,288 0,9 ��P_.�HB = 5,3405 × �.. + 93,292 × �. − 54,14 1,0 ��P_.�HB = 5,5314 × �.. + 93,078 × �. − 30,745
255
Figura M.6 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,25
Tabela M.6 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,25 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6792 × �.. + 65,505 × �. + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6831 × �.. + 98,412 × �. − 165,57 0,7 ��P_.�HB = 4,9386 × �.. + 96,951 × �. − 124,05 0,8 ��P_.�HB = 5,2091 × �.. + 95,288 × �. − 84,846 0,9 ��P_.�HB = 5,4369 × �.. + 94,759 × �. − 55,583 1,0 ��P_.�HB = 5,6689 × �.. + 94,909 × �. − 32,266
256
Figura M.7 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,30
Tabela M.7 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,30 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,7104 × �.. + 65,96 × �. + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,724 × �.. + 99,303 × �. − 167,21 0,7 ��P_.�HB = 5,0017 × �.. + 98,073 × �. − 125,84 0,8 ��P_.�HB = 5,3017 × �.. + 96,653 × �. − 86,674 0,9 ��P_.�HB = 5,5708 × �.. + 96,476 × �. − 57,536 1,0 ��P_.�HB = 5,838 × �.. + 96,82 × �. − 34,144
257
Apêndice N – Curvas/Linhas de tendência do cortante à direita e à esquerda da seção
S10, ação da carga móvel:
Figura N.1 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0
Tabela N.1 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,664 × �. + 405 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,359 × �. + 428,22 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,181 × �. + 436,61 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,281 × �. + 442,51 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,564 × �. + 447,57 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,044 × �. + 451,36
258
Figura N.2 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,05
Tabela N.2 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10, para �G = 0,05 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,497 × �. + 411,09 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,166 × �. + 435,14 0,7 *�H=.�P_.�?z = 34,983 × �. + 444,24 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,069 × �. + 450,82 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,348 × �. + 456,51 1,0 *�H=.�P_.�?z = 35,813 × �. + 460,91
259
Figura N.3 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,10
Tabela N.3 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,10 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,514 × �. + 412 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,187 × �. + 436,4 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,003 × �. + 445,86 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,113 × �. + 452,73 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,406 × �. + 458,74 1,0 *�H=.�P_.�?z = 35,882 × �. + 463,53
260
Figura N.4 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,15
Tabela N.4 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,15 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,542 × �. + 412,91 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,225 × �. + 437,65 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,057 × �. + 447,44 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,189 × �. + 454,66 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,509 × �. + 461,02 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,008 × �. + 466,22
261
Figura N.5 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,20
Tabela N.5 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,20 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,582 × �. + 413,83 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,28 × �. + 438,91 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,136 × �. + 449,05 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,3 × �. + 456,6 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,654 × �. + 463,31 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,188 × �. + 468,92
262
Figura N.6 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,25
Tabela N.6 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,25 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,633 × �. + 414,74 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,353 × �. + 440,18 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,239 × �. + 450,66 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,443 × �. + 458,57 0,9 *�H=.�P_.�?z = 36,845 × �. + 465,67 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,425 × �. + 471,69
263
Figura N.7 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,30
Tabela N.7 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,30 � Cortante máximo a direita seção S10, ����.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,694 × �. + 415,65 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,441 × �. + 441,44 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,366 × �. + 452,29 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,62 × �. + 460,56 0,9 *�H=.�P_.�?z = 36,078 × �. + 468,04 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,718 × �. + 474,51
264
Figura N.8 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0
Tabela N.8 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = −0,8618 × �. − 19,44 0,6 *�H=.�?�.�?z = −1,267 × �. − 26,5 0,7 *�H=.�?�.�?z = −1,8072 × �. − 33,697 0,8 *�H=.�?�.�?z = −2,4558 × �. − 41,229 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,213 × �. − 49,161 1,0 *�H=.�?�.�?z = −4,0801 × �. − 57,328
265
Figura N.9 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,05
Tabela N.9 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0,05 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = −0,5064 × �. − 29,337 0,6 *�H=.�?�.�?z = −1,0814 × �. − 34,032 0,7 *�H=.�?�.�?z = −1,6117 × �. − 42,259 0,8 *�H=.�?�.�?z = −2,258 × �. − 50,477 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,0156 × �. − 59,191 1,0 *�H=.�?�.�?z = −3,8726 × �. − 68,142
266
Figura N.10 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,10
Tabela N.10 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0,10 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = −0,193 × �. − 35,687 0,6 *�H=.�?�.�?z = −0,9625 × �. − 36,947 0,7 *�H=.�?�.�?z = −1,6332 × �. − 43,077 0,8 *�H=.�?�.�?z = −2,2872 × �. − 51,453 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,0554 × �. − 60,338 1,0 *�H=.�?�.�?z = −3,9189 × �. − 69,503
267
Figura N.11 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,15
Tabela N.11 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0,15 � Cortante mínimo a direita seção S10, �Æ»¶.���.µ»´ 0,5 *�?�.�H=.�?z = −0,0905 × �. − 42,874 0,6 *�?�.�H=.�?z = −0,592 × �. − 45,522 0,7 *�?�.�H=.�?z = −1,3863 × �. − 49,933 0,8 *�?�.�H=.�?z = −2,3418 × �. − 53,751 0,9 *�?�.�H=.�?z = −3,1378 × �. − 62,721 1,0 *�?�.�H=.�?z = −4,0448 × �. − 72,185
268
Figura N.12 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,20
Tabela N.12 - Linhas de tendência de cortante mínimo à direita na seção S10, para �G = 0,20 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = 0,1924 × �. − 48,152 0,6 *�H=.�?�.�?z = −0,2341 × �. − 55,089 0,7 *�H=.�?�.�?z = −0,9201 × �. − 61,788 0,8 *�H=.�?�.�?z = −1,9495 × �. − 64,567 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,05 × �. − 69,268 1,0 *�H=.�?�.�?z = −4,1934 × �. − 75,423
269
Figura N.13 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,25
Tabela N.13 - Linhas de tendência de cortante mínimo à direita na seção S10, para �G = 0,25 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = 0,1416 × �. − 51,619 0,6 *�H=.�?�.�?z = −0,164 × �. − 61,51 0,7 *�H=.�?�.�?z = −0,6981 × �. − 71,66 0,8 *�H=.�?�.�?z = −1,4969 × �. − 78,652 0,9 *�H=.�?�.�?z = −2,4785 × �. − 86,053 1,0 *�H=.�?�.�?z = −3,6902 × �. − 91,456
270
Figura N.14 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,30
Tabela N.14 - Linhas de tendência de cortante mínimo à direita na seção S10, para �G = 0,30 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = 0,08 × �. − 55,039 0,6 *�H=.�?�.�?z = −0,2469 × �. − 66,078 0,7 *�H=.�?�.�?z = −0,8183 × �. − 77,54 0,8 *�H=.�?�.�?z = −1,567 × �. − 86,979 0,9 *�H=.�?�.�?z = −2,4598 × �. − 97,419 1,0 *�H=.�?�.�?z = −3,4137 × �. − 108,09
271
Figura N.15 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0
Tabela N.15 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�H=.�P_.I|J = 0,4201 × �. + 9,477 0,6 *�H=.�P_.I|J = 0,4923 × �. + 10,296 0,7 *�H=.�P_.I|J = 0,574 × �. + 10,702 0,8 *�H=.�P_.I|J = 0,6523 × �. + 10,951 0,9 *�H=.�P_.I|J = 0,7259 × �. + 11,106 1,0 *�H=.�P_.I|J = 0,7969 × �. + 11,197
272
Figura N.16 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,05
Tabela N.16 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,05
� Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −10,649 × �. + 359,68 0,6 *�H=.�P_.I|J = −9,0518 × �. + 312,99 0,7 *�H=.�P_.I|J = −7,7761 × �. + 277,98 0,8 *�H=.�P_.I|J = −6,8069 × �. + 251,36 0,9 *�H=.�P_.I|J = −5,9714 × �. + 230,39 1,0 *�H=.�P_.I|J = −5,3184 × �. + 213,01
273
Figura N.17 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,10
Tabela N.17 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,10 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −10,449 × �. + 391,99 0,6 *�H=.�P_.I|J = −8,9297 × �. + 347,11 0,7 *�H=.�P_.I|J = −7,6453 × �. + 312,99 0,8 *�H=.�P_.I|J = −6,6643 × �. + 286,92 0,9 *�H=.�P_.I|J = −5,8097 × �. + 266,34 1,0 *�H=.�P_.I|J = −5,1392 × �. + 249,52
274
Figura N.18 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,15
Tabela N.18 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,15 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −10,246 × �. + 425,27 0,6 *�H=.�P_.I|J = −8,6817 × �. + 381,29 0,7 *�H=.�P_.I|J = −7,3683 × �. + 347,79 0,8 *�H=.�P_.I|J = −6,3534 × �. + 322,56 0,9 *�H=.�P_.I|J = −5,4596 × �. + 302,34 1,0 *�H=.�P_.I|J = −4,7489 × �. + 286,21
275
Figura N.19 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,20
Tabela N.19 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,20 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −9,8298 × �. + 457,64 0,6 *�H=.�P_.I|J = −8,3078 × �. + 415,52 0,7 *�H=.�P_.I|J = −6,9418 × �. + 383,11 0,8 *�H=.�P_.I|J = −5,8738 × �. + 358,35 0,9 *�H=.�P_.I|J = −4,9173 × �. + 338,88 1,0 *�H=.�P_.I|J = −4,2623 × �. + 324,78
276
Figura N.20 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,25
Tabela N.20 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,25 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −9,4176 × �. + 490,91 0,6 *�H=.�P_.I|J = −7,8083 × �. + 449,75 0,7 *�H=.�P_.I|J = −6,3713 × �. + 418,07 0,8 *�H=.�P_.I|J = −5,2261 × �. + 394,21 0,9 *�H=.�P_.I|J = −4,183 × �. + 375,67 1,0 *�H=.�P_.I|J = −3,3344 × �. + 360,16
277
Figura N.21 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,30
Tabela N.21 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,30 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ����.Æ·ß.��� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −8,7848 × �. + 523,14 0,6 *�H=.�P_.I|J = −7,183 × �. + 484,03 0,7 *�H=.�P_.I|J = −5,6509 × �. + 453,41 0,8 *�H=.�P_.I|J = −4,41 × �. + 430,18 0,9 *�H=.�P_.I|J = −3,2653 × �. + 412,05 1,0 *�H=.�P_.I|J = −2,3108 × �. + 397,38
278
Figura N.22 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0
Tabela N.22 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G = 0
� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.��� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,688 × �. − 405 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,347 × �. − 424,11 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,229 × �. − 432,15 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,446 × �. − 438,6 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,838 × �. − 444,72 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,377 × �. − 449,96
279
Figura N.23 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,05
Tabela N.23 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,05 � Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.��� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,605 × �. − 408,05 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,267 × �. − 426,86 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,166 × �. − 434,63 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,39 × �. − 440,85 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,789 × �. − 446,78 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,326 × �. − 451,89
280
Figura N.24 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,10
Tabela N.24 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,10
� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.��� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,613 × �. − 408,51 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,275 × �. − 427,35 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,178 × �. − 435,14 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,402 × �. − 441,36 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,804 × �. − 447,3 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,338 × �. − 452,43
281
Figura N.25 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,15
Tabela N.25 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,15 � Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.��� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,627 × �. − 408,96 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,289 × �. − 427,86 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,197 × �. − 435,64 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,424 × �. − 441,89 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,828 × �. − 447,82 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,383 × �. − 452,87
282
Figura N.26 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,20
Tabela N.26 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,20
� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.��� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,647 × �. − 409,41 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,31 × �. − 428,37 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,224 × �. − 436,15 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,454 × �. − 442,41 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,863 × �. − 448,35 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,395 × �. − 453,54
283
Figura N.27 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,25
Tabela N.27 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,25
� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.��� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,672 × �. − 409,87 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,338 × �. − 428,88 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,259 × �. − 436,66 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,494 × �. − 442,94 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,908 × �. − 448,88 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,44 × �. − 454,1
284
Figura N.28 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,30
Tabela N.28 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,30 � Cortante mínimo a esquerda seção S10, ����.Æ»¶.��� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,704 × �. − 410,33 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,372 × �. − 429,39 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,301 × �. − 437,17 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,543 × �. − 443,48 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,963 × �. − 449,43 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,534 × �. − 454,47
285
Apêndice O – Curvas/Linhas de tendência da reação de apoio em B, ação da carga
móvel
Figura O.1 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0
Tabela O.1 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,352 × �. + 810 0,6 &¡.�P_ = 60,706 × �. + 852,33 0,7 &¡.�P_ = 62,41 × �. + 868,77 0,8 &¡.�P_ = 64,727 × �. + 881,11 0,9 &¡.�P_ = 67,402 × �. + 892,28 1,0 &¡.�P_ = 70,42 × �. + 901,32
286
Figura O.2 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,05
Tabela O.2 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,05 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,102 × �. + 819,13 0,6 &¡.�P_ = 60,433 × �. + 862 0,7 &¡.�P_ = 62,15 × �. + 878,87 0,8 &¡.�P_ = 64,459 × �. + 891,67 0,9 &¡.�P_ = 67,138 × �. + 903,28 1,0 &¡.�P_ = 70,138 × �. + 912,8
287
Figura O.3 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,10
Tabela O.3 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,10 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,128 × �. + 820,51 0,6 &¡.�P_ = 60,462 × �. + 863,75 0,7 &¡.�P_ = 62,181 × �. + 881 0,8 &¡.�P_ = 64,515 × �. + 894,1 0,9 &¡.�P_ = 67,21 × �. + 906,04 1,0 &¡.�P_ = 70,22 × �. + 915,96
288
Figura O.4 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,15
Tabela O.4 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,15 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,17 × �. + 821,87 0,6 &¡.�P_ = 60,514 × �. + 865,51 0,7 &¡.�P_ = 62,254 × �. + 883,08 0,8 &¡.�P_ = 64,613 × �. + 896,55 0,9 &¡.�P_ = 67,337 × �. + 908,83 1,0 &¡.�P_ = 70,391 × �. + 919,09
289
Figura O.5 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,20
Tabela O.5 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,20 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,229 × �. + 823,24 0,6 &¡.�P_ = 60,59 × �. + 867,28 0,7 &¡.�P_ = 62,36 × �. + 885,2 0,8 &¡.�P_ = 64,754 × �. + 899,01 0,9 &¡.�P_ = 67,517 × �. + 911,66 1,0 &¡.�P_ = 70,583 × �. + 922,46
290
Figura O.6 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,25
Tabela O.6 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,25 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,305 × �. + 824,61 0,6 &¡.�P_ = 60,691 × �. + 869,06 0,7 &¡.�P_ = 62,498 × �. + 887,33 0,8 &¡.�P_ = 64,937 × �. + 901,51 0,9 &¡.�P_ = 67,752 × �. + 914,55 1,0 &¡.�P_ = 70,865 × �. + 925,79
291
Figura O.7 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,30
Tabela O.7 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,30 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,398 × �. + 825,98 0,6 &¡.�P_ = 60,813 × �. + 870,83 0,7 &¡.�P_ = 62,668 × �. + 889,47 0,8 &¡.�P_ = 65,163 × �. + 904,04 0,9 &¡.�P_ = 68,041 × �. + 917,46 1,0 &¡.�P_ = 71,252 × �. + 928,98
292
Figura O.8 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0
Tabela O.8 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = −1,282 × �. − 28,917 0,6 &¡.�?� = −1,7593 × �. − 36,797 0,7 &¡.�?� = −2,3812 × �. − 44,399 0,8 &¡.�?� = −3,1081 × �. − 52,18 0,9 &¡.�?� = −3,9388 × �. − 60,267 1,0 &¡.�?� = −4,877 × �. − 68,525
293
Figura O.9 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,05
Tabela O.9 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,05 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 10,142 × �. − 389,02 0,6 &¡.�?� = 7,9704 × �. − 347,02 0,7 &¡.�?� = 6,1644 × �. − 320,24 0,8 &¡.�?� = 4,5489 × �. − 301,83 0,9 &¡.�?� = 2,9558 × �. − 289,58 1,0 &¡.�?� = 1,4458 × �. − 281,16
294
Figura O.10 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,10
Tabela O.10 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,10 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 10,256 × �. − 427,67 0,6 &¡.�?� = 7,9673 × �. − 384,06 0,7 &¡.�?� = 6,0121 × �. − 356,07 0,8 &¡.�?� = 4,3772 × �. − 338,38 0,9 &¡.�?� = 2,7543 × �. − 326,68 1,0 &¡.�?� = 1,2203 × �. − 319,03
295
Figura O.11 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,15
Tabela O.11 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,15 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 10,337 × �. − 468,15 0,6 &¡.�?� = 8,0897 × �. − 426,81 0,7 &¡.�?� = 5,982 × �. − 397,72 0,8 &¡.�?� = 4,0116 × �. − 376,31 0,9 &¡.�?� = 2,3218 × �. − 365,06 1,0 &¡.�?� = 0,7041 × �. − 358,39
296
Figura O.12 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,20
Tabela O.12 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,20 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 10,022 × �. − 505,79 0,6 &¡.�?� = 8,0736 × �. − 470,61 0,7 &¡.�?� = 6,0217 × �. − 444,9 0,8 &¡.�?� = 3,9243 × �. − 422,92 0,9 &¡.�?� = 1,8673 × �. − 408,15 1,0 &¡.�?� = 0,0689 × �. − 400,21
297
Figura O.13 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,25
Tabela O.13 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,25 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 9,5592 × �. − 542,53 0,6 &¡.�?� = 7,6443 × �. − 511,26 0,7 &¡.�?� = 5,67,32 × �. − 489,73 0,8 &¡.�?� = 3,7292 × �. − 472,86 0,9 &¡.�?� = 1,7044 × �. − 461,72 1,0 &¡.�?� = −0,3558 × �. − 451,62
298
Figura O.14 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,30
Tabela O.14 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,30 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 8,8648 × �. − 578,18 0,6 &¡.�?� = 6,9361 × �. − 550,11 0,7 &¡.�?� = 4,8326 × �. − 530,95 0,8 &¡.�?� = 2,8431 × �. − 517,16 0,9 &¡.�?� = 0,8055 × �. − 509,47 1,0 &¡.�?� = −1,1029 × �. − 505,46
299
Apêndice P – Gradiente de Temperatura:
Determinação do Gradiente de temperatura:
• Caso 1:
��z = 12,00�;�� = 6,50�;�N{,| = 0,25�;�N{,? = 0,15�;�} = 0,35�;ℎ@ = 1,50�; uH = 0; #H = 0; 9�,H = 0
Áreas dos trapézios: ,H = ��z ∙ �N{,| = 12,00 × 0,25 = 3,00�.,. = 2�}Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L = 2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15) = 0,77�. ,3 = �� ∙ �N{,? = 6,50 × 0,15 = 0,975�.Centro geométrico dos trapézios:
YH = ��z ∙ �N{,|��z + ��z = 12,00 × 0,2512,00 + 12,00 = 0,125�
Y. = 2�}Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L2�} + 2�} = 2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15)2 × 0,35 + 2 × 0,35 = 0,55�
Y3 = �� ∙ �N{,?�� + �� = 12,00 × 0,1512,00 + 12,00 = 0,075�
Inércia dos trapézios:
9G,H = 4 ∙ ��z ∙ �N{,|312 − ,H ∙ YH. = 4 × 12,00 × 0,25312 − 3,00 × 0,125. = 0,0156��
9G,. = 4(2�}) ∙ Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L312 − ,. ∙ Y..
9G,. = 4 × 2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15)312 − 0,77 × 0,55. = 0,0776��
9G,3 = 4 ∙ �� ∙ �N{,?312 − ,3 ∙ Y3. = 4 × 6,50 × 0,15312 − 0,975 × 0,075. = 0,0018��
Altura acumulada: u. = uH + �N{,| = 0 + 0,25 = 0,25�u3 = u. + Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L = 0,25 + (1,50 − 0,25 − 0,15) = 1,35�u� = u3 + �N{,? = 1,35 + 0,15 = 1,50�Momentos de 1ª ordem: #. = #H + ,H(uH + YH) = 0 + 3,00 × (0 + 0,125) = 0,3750�3#3 = #. + ,.(u. + Y.) = 0,3750 + 0,77 × (0,25 + 0,55) = 0,9910�3#� = #3 + ,3(u3 + Y3) = 0,9910 + 0,975 × (1,35 + 0,075) = 2,38�3Momentos de 2ª ordem:
300
9�,. = 9�,H + 9G,H + ,H(uH + YH). = 0 + 0,0156 + 3,00 × (0 + 0,125). = 0,0625��9�,3 = 9�,. + 9G,. + ,.(u. + Y.). = 0,0625 + 0,0776 + 0,77 × (0,25 + 0,55). = 0,6329��9� = 9�,3 + 9G,3 + ,3(u3 + Y3). = 0,6329 + 0,0018 + 0,975 × (1,35 + 0,075). = 2,6146��A partir disto: , = ,H + ,. + ,3 = 4,75�.
Y| = #, = 2,384,75 = 0,502�; Y? = u − Y| = 1,50 − 0,502 = 0,998�9 = 9� − , ∙ Y|. = 1,418��
A partir das Eqs. (143) e (144) determina-se a variação de Temperatura e o
gradiente de temperatura:
∆t = 1,501,418 ä6,50 × (10 × 0,502 − 15 × 0,998 − 2) + 10 × 12,0 × (12 × 0,502 − 1)80 å∆t = 6,95º8
â = 11,418 ä6,50 × (10 × 0,502 − 15 × 0,998 − 2) + 10 × 12,0 × (12 × 0,502 − 1)80 å â = 4,63 º8 ��
Tabela P.1 – Propriedades geométricas da seção transversal
Na tabela P.1 têm-se as seguintes notações:
,? → Á���ö������)+�)±���±���éø(�( YG,? → ù(±â)ö(�+����+�±���éø(�(������ö±(��ö�)±��/���é±�(ö� 9? → 9)é�ö(�+�±���éø(�(ö����W�çã������ u�,? → ,W±���ö�W�+�+�±���éø(��)±��(����( #�,? → ����)±�+�1ª��+����W�+� 9�,? → ����)±�+�2ª��+����W�+� , → Á���+�#�çã�t��)����W; Y|, Y? → ù(±â)ö(�#���(���9)è��(����8�)±��â���é±�(ö�+�#�çã� 9 → 9)é�ö(�+�#�çã�t��)����W