analisi dei segnali

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Analisi dei SegnaliAlbertoTibaldi19luglio2008Indice1 IntroduzioneallAnalisideiSegnali 41.1 ClassicazionedeiSegnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 ATempocontinuo/discreto . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Deterministici/Stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Stazionari/Non-stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 CaratterizzazionedeisegnalimedianteEnergiaePotenza . . . 71.2.1 MotivazioneElettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Motivazionegeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Esempioteorico/pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 PotenzadiSegnaliPeriodici . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Noteconclusiveallintroduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 AnalisiinFrequenzadiSegnali 132.1 IntroduzioneStorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 SpaziodeiSegnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1 ProdottoScalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 SeriediFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Osservazioniqualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 EsempioPratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 TrasformatadiFourier 263.1 DallaSerieallaTrasformatadiFourier . . . . . . . . . . . . . 263.2 AlcuneDomandeeRelativeRisposte . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1 Qualisegnalisonotrasformabili? . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Qual `eilsignicatosicodellefrequenzenegative? . . 323.2.3 Abbiamopi` uarmonichenellaserieonellatrasformata? 333.3 Introduzioneaisegnaligeneralizzati: laDeltadiDirac . . . . . 333.3.1 Propriet`adellaDeltadiDirac . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 EsempioPratico1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.3 EsempioPratico2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.3.4 EsempioPratico3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Propriet`adellaTrasformatadiFourier . . . . . . . . . . . . . 383.4.1 Propriet`adiLinearit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.2 Propriet`adiParit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.3 Propriet`adiAnticipo/Ritardo . . . . . . . . . . . . . . 403.4.4 Propriet`adiModulazione . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.5 Propriet`adelloScalamento. . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.6 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.7 Propriet`adiDerivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.8 Principio di Indeterminazione della trasformata di Fouri-er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.9 Propriet`adelSupporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.10 Propriet`adellaVariabilit` anelTempo . . . . . . . . . . 523.4.11 Propriet`adiDualit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 TeoriadeiSistemi 564.1 ClassicazionideiSistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.1 Sistemilineari/nonlineari . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.2 Sistemitempo-varianti/tempo-invarianti . . . . . . . 584.1.3 Sistemiconmemoria/senzamemoria . . . . . . . . . 584.2 SistemiLineariTempo-Invarianti(LTI) . . . . . . . . . . . . . 594.3 Prodottodiconvoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Filtriideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Condizioniperlaprogettazionediunsistema . . . . . . . . . 644.6 RispostainFrequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7 Interconnessionedisistemitraloro . . . . . . . . . . . . . . . 694.8 Fenomenididistorsioneneisistemi . . . . . . . . . . . . . . . 735 SegnaliPeriodici 766 FunzionediAutocorrelazione 806.1 Interpretazionesicadellafunzionediautocorrelazione . . . . 846.1.1 Funzionedimutuacorrelazione . . . . . . . . . . . . . 866.2 Spettrodipotenzaefunzionediautocorrelazione . . . . . . . 877 Segnaliatempodiscreto 897.1 TeoremadelCampionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2 TrasformatadiFourierDiscreta: DFT . . . . . . . . . . . . . 967.2.1 Criteriperlasceltadeiparametriliberi. . . . . . . . . 10228 ProcessiStocastici 1058.1 Analisisemplicatadeiprocessistocastici . . . . . . . . . . . 1068.1.1 ValoreAttesooMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.1.2 VarianzadalValoreAtteso. . . . . . . . . . . . . . . . 1088.1.3 Funzionediautocorrelazione. . . . . . . . . . . . . . . 1098.2 Analisiinfrequenzadiprocessistocastici . . . . . . . . . . . . 1118.3 EsempioTeorico: IlRumoreBianco. . . . . . . . . . . . . . . 1128.3.1 RumoreBiancoGaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . 1133Capitolo1IntroduzioneallAnalisideiSegnaliLo studio dellelaborazione dei segnali si pu`o dividere in due grandi branche:Processamentodel segnale: disciplinachestudiacomemodicarelepropriet`a del segnale tramite un sistema (elettronico, ad esempio) anch`eilsegnalepossapresentarecaratteristichecheverichinouninsiemedipropriet`a. Per esempio, un DSP (Digital Signal Processor) `e un disposi-tivo in grado di processare segnali: un circuito in grado di modicare unsegnale digitale (come per esempio una canzone), in modo da stabilirnedeterminatecaratteristiche(comeadesempio, nel casodellacanzone,farlasembrarsuonatainunclubjazzpiuttostocheinunostadio);Analisidelsegnale: `elapartechepi` uciinteresser`a: datounsegnale,estrarnedelleinformazioni,nonostanteessopossapresentarecaratter-istiche anoi ostili (come per esempiorumori di variogenere). Unesempiononelettronicodi analisi del segnale, `elostudiodi unelet-trocardiogramma: leggendoanormalit`ainesso,`epossibilededurrein-direttamentemalattieoanomalieal cuoreoadaltri organi del corpoumano.Abbiamonoraparlatodi segnali, manonli abbiamoancoradeniti.Ineetti denireunsegnalenon`ecompitocos` facile, comepu`osembrare;possiamo dire che i seguenti oggetti facciano parte della categoria dei segnali:Funzioniunidimensionali(1D,ossiafunzioni R R),bidimensionali(ossiafunzioni 2D, quali immagini adesempio: limageprocessing`eunimportantissima branca dellanalisi dei segnalo), n-dimensionali (adesempiocomeivideo,chesipossonpropriopensarecomevettorinD);4Distribuzioni, ossiafunzioni generalizzate: unestensionedel concettodi funzione; la pi` u celebre delle funzioni generalizzate `e la Delta di Dirac((t)), ossia una modellizzazione ideale di un segnale di tipo impulsivo;innaturalidealit`anonesisteovviamente, tuttaviaunbuonmodello,conilqualeapprossimaredeterminatesituazioni.Siparlainquestoambitodisegnaligeneralizzati(generalizedsignals),ossiadiunaclassecontenentesialedistribuzionichelefunzioni.Processicasuali: segnalideiqualiconosciamoilpassato,manonilfu-turo, o almeno non deterministicamente. Un esempio classico di proces-so casuale `e landamento dei titoli di borsa: ne conosciamo landamentopassato, nonquellofuturo, epossiamosolofareassunzioni basandocisutecnichestatisticheesullaconoscenzadelloropassato.Quandoparliamodi studiodei segnali, consideriamosempredueassun-zioni:1. Quelli che studiamo e chiamiamo segnali x(t) sono funzioni x al variaredel tempo t. Si tratta dunque semplicemente di grandezze variabili neltempo. Unsegnaleinrealt`apu`odipenderenonsolodaltempo,madaqualsiasi grandezza, anchedaaltri segnali; per comodit`astudieremosolosegnalifunzionedeltempo,masisappiachenon `edettochesiangliunicitipidisegnaliesistentiinnatura.2. Comesegnali consideriamoquantit` acomplesse, ossiax(t)si pu`open-sarecome:x(t) = [x(t)[ ej=

1, i = j0, i = jLacosaveramenteinteressantediquestarappresentazione `elaseguente:dataunabaseortonormalecompleta, `epossibileconsiderareil segnale(t)semplicementecongli aj, ossiaconi coecienti scalari per i quali molti-plichiamoi vari elementi dellabasesommati traloro, al nedi ottenerelacombinazionelineareingradodirappresentareilsegnaleinquestione:(t) (a1; a2; ...; an)Possiamoquindinonconsiderareladipendenzadaltempo,poich`eessa `eintrinsecaallabaseortonormale,escludendodunqueicoecienti: inquestamaniera, possiamoricondurrei nostri problemi adunsemplicecalcolovet-toriale, escludendolapartecontinuadi tutto. Vedremocheci`osar`amoltoutile,parlandodiseriediFourier.Questo spazio `e molto interessante, dal momento che qui si possono facil-mente riportare i concetti di base gi`a visti in ambito geometrico, ed in ambitodianalisideisegnali.2.2.1 ProdottoScalareSappiamodallageometriaedallanalisi complessacheil prodottoscalaresipu`odenirecome:15< (t)[(t) >=

+(t)(t)dt Nj=1(aj bj)Doveajebjsonoicoecientideivettoridiscalarirappresentantiiduesegnali.Loperazione di prodotto scalare, come vedremo, `e fondamentale ai ni dideterminare una base, come vedremo in seguito, accennando al procedimentodiGram-Schmidt.2.2.2 EnergiaSappiamoche,datounsegnale(t),lasuaenergia,,vale:=

+[(t)[2dtPoich`e nello spazio dei segnali consideriamo Ncomponenti, gli aj, dato jinteroappartenentea[1; N],possiamodireche:=Nj=1[aj[2Proviamoadareaci`ouninterpretazionegeometrica: lospaziodei seg-nali che stiamo introducendo `e di fatto uno spazio vettoriale a Ndimensioni;questo calcolo dellenergia rappresenta una sorta di generalizzazione in Ndi-mensioni, come gi`a visto, del teorema di Pitagora, e dunque rappresenta difatto la distanza al quadrato rispetto allorigine del vettore degli aj(avevamogi`a proposto in precedenza una stessa interpretazione senza ancora proporreneldettaglioilformalismodellospaziodeisegnali). Questoconcettosipu`oriprendereegeneralizzareinunadistanzatraduesegnali, (t) e(t): ladistanzaalquadratotraduevettoridunquesipu`odenirecome:d2[(t); (t)]

+[(t) (t)[2dtSe entrambe le funzioni sono per`o rappresentabili mediante la stessa baseortonormale, ossiaessa`ecompletarispettoaentrambelefunzioni, allora`epossibilediscretizzarelintegrale,come:d2[(t); (t)] =Nj=1[ajbj[216Lospaziodei segnali `e unospaziometrico, poich`e`e possibile, al suointerno, a partire dalle considerazioni appena eettuate, denire una metrica,ossia un concetto di distanza (come quello appena introdotto). Le condizionitalipercuideveesisterequestametrica,d(x; y),sonoleseguenti:Ladistanza `esempreecomunqueunnumerononnegativo:d(x; y) 0x, yLadistanzadiunpuntodasestesso `enulla:d(x; x) = 0La distanza gode di una propriet`a

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