analisi di equazioni differenziali · esercizio - parte ii risposte di sistemi analisi della...

Debora Botturi Laboratorio di Sistemi e Segnali

Analisi di Equazioni Differenziali

Debora BotturiALTAIR

http://metropolis.sci.univr.it



Introduzione

● Argomenti

● Osservazioni

● Osservazioni

● Riassumendo

Soluzioni di Equazioni

Risposte di Sistemi

Analisi della Risposta

Sistemi non lineari


Introduzione


Introduzione

● Argomenti

● Osservazioni

● Osservazioni

● Riassumendo


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Argomenti

Equazioni differenziali omogenee del primo e secondoordine

Equazioni differenziali non omogenee

Risposte del primo e secondo ordine

Cenni ad elementi non lineari

Obiettivo: sviluppare equazioni esplicite che descrivono larisposta di un sistema


Introduzione

● Argomenti

● Osservazioni

● Osservazioni

● Riassumendo


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Osservazioni

Le equazioni di moto possono essere utilizzate peranalizzare il comportamento del sistema

I metodo piú comune é quello di forzare una funzione ininput e delle condizioni iniziali e quindi risolvere l’equazionedifferenziale.


Introduzione

● Argomenti

● Osservazioni

● Osservazioni

● Riassumendo


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Osservazioni

Ci sono vari tipi di input usati per testare un sistema:step - un veloce cambiamento di input

rampa - un input continuamente crescente

sinusoidale - input ciclico che varia continuamente

paraboloide - un input che cresce esponenzialmente


Introduzione

● Argomenti

● Osservazioni

● Osservazioni

● Riassumendo


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Riassumendo

Le fasi per analizzare un sistema sono:Costruzione del modello matematico

Scelta dei tipi di input

Scelta condizioni iniziali

Determinare il comportamento del sistema risolvendo leequazioni differenziali


Introduzione


● Osservazioni

● Soluzione omogenea del

primo ordine● Esempio

● Esercizio


secondo ordine● Esempio

● Esempio di soluzione

complessa● Esempio di soluzione

complessa-nota● Esercizio

● Soluzione non-omogenea del


● Esempio - parte I

● Esempio - parte II

● Soluzioni Particolari

● Esercizio

● Esercizio - parte I

● Esercizio - parte II

Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari




Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Osservazioni

Le equazioni differenziali danno una risposta generica delsistema come funzione del tempo

Corrispondono a sistemi senza input (risposta libera)

Le equazioni differenziali si possono distinguere neiseguenti tipi:

Ax + Bx = 0 omogenea del primo ordineAx + Bx = Cf(t) non-omogenea del primo ordineAx + Bx + Cx = 0 omogenea del secondo ordineAx + Bx + Cx = Df(t) non-omogenea del secondoordine

Sono lineari e x é la variabile di integrazione.


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Soluzione omogenea del primo ordine

La forma generale della soluzione viene indovinata (Xe−Y t)

Si procede alla sostituzione fino alla determinazione delcoefficiente Y

Le condizioni iniziali sono usate per trovare il valore delcoefficiente X

L’equazione finale inizia ad una determinata distanza etende a zero per il tempo tendente all’infinito


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

Esempio


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Esercizio

Risolvere la seguente equazione differenziale date lecondizioni iniziali

x + 2x = 0 x(0) = 3

soluzione:

x(t) = 3e−2t


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Soluzione omogenea del secondo ordine

Indovinare la soluzione dell’omogenea e della equazionequadratica

I casi di soluzione della forma quadratica sono:due differenti soluzioni realidue soluzioni identiche realidue radici complesse (oscillazioni sinusoidali)

Dopo aver trovato la soluzione alla equazione omogenea lecondizioni iniziali vengono utilizzate per trovare i valori deirimanenti coefficienti.


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

Esempio


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

Esempio di soluzione complessa


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Esempio di soluzione complessa-notaOccasionalmente la soluzione di un problema presentaentrambi i termini (seno e coseno) con la stessa frequenza.Questo é generalmente cobinato in un singolo termine con unoshift di fase


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Esercizio


x + 2x + x = 0 x(0) = 1 x(0) = 2

soluzione:

x(t) = e−t + 3te−t


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Soluzione non-omogenea del secondo ordine

Trovare la soluzione dell’equazione omogenea associata

Indovinare la forma finale della soluzione

Si sostituisce all’interno dell’equazione e si trovano i valoridei coefficientiSi sommano la soluzione omogenea e quella particolare(assumendo la linearitá utilizziamo il principio disovrapposizione degli effetti)

La risposta libera é condizionata dai valori iniziali

La soluzione particolare é detta risposta forzata ed écondizionata dall’input del sistema.


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Esempio


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Esempio - parte I


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Esempio - parte II


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Soluzioni Particolari

Le formein tabella possono servire nella risoluzione dellasoluzione particolare


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari


Esercizio


x + 2x + x = 1 x(0) = 0 x(0) = 0

soluzione:

x(t) = −e−t− te−t + 1


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

Esercizio - parte I


Introduzione


● Osservazioni



● Esercizio











● Esercizio



Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

Esercizio - parte II


Introduzione


Risposte di Sistemi

● Sistemi del primo ordine

● Esempio

● Sistemi del secondo ordine


● Sistemi del secondo ordine -

misure● Relazione tra smorzamento e

frequenza naturale● Esercizio

● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari


Risposte di Sistemi


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari


Sistemi del primo ordine

Descritti da un’equazionedifferenziale del primo ordine

La risposta per questi sistemié il naturale decadimentooppure la crescita

La costante di tempo delsistema per andare a regime(la misura del tempo direazione del sistema aicambiamenti) puó esseretrovata direttamentedall’equazione differenziale

Tendono ad essere passivi

Non sono oscillanti a menoche l’input non sia oscillante.


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Esempio


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari


Sistemi del secondo ordine

Tipicamente contengono due rispostedel primo ordine o una risposta delprimo ordine ed una componentesinusoidale

I coefficienti dell’equazionedifferenziale includono frequenzanaturale e smorzamento

Questi ultimi possono essere usatiper progettare un sistema con unarisposta finale desiderata

Lo smorzamento é minore dellafrequenza naturale quando ilcoefficiente di smorzamento é tra 0

ed 1

Se il coefficiente di smorzamento émaggiore di 1 il sistema non oscilla(smorzato).


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Sistemi del secondo ordine

Quando solo il coefficiente dismorzamento aumenta, lafrequenza di oscillazioneassieme alla risposta totalerallenta

Quando il coefficiente dismorzamento é 0 il sistemaoscillerá infinitamente

Lo smorzamento critico si haquando il coefficiente havalore 1

Se il coefficiente é maggioreo uguale ad 1 il sistema nonoscilla.


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Sistemi del secondo ordine - misureMisurazioni dirette della risposta di un sistema del secondoordine ci possono spiegare il comportamento del sistema


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Relazione tra smorzamento e frequenza naturaleCalcoliamo questa relazione usando la forma complessa dell’equazione omogeneaassociata e la forma generica di equazione del secondo ordine


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Esercizio

Scrivere una funzione nel dominio del tempo per il grafico(Trovare la frequenza naturale ed il coefficiente dismorzamento per l’equazione differenziale)


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari


Altre risposte

La risposta di sistemi di ordine elevato ha molti terminiesponenziali e/o sinusoidali

Per questo tipo di risposte si usano le stesse tecniche dirisoluzione usate per equazioni di primo e secndo ordine

Nella figura é rappresentata una possibile risposta di un sistema diordine elevato. Si nota un profilo di base corrispondente ad unsistema del primo ordine a cui vengono superimposti tre rispostesinusoidali ad alte frequenze.


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Esempio


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Esempio - parte I


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Esempio






● Altre risposte

● Esempio




Sistemi non lineari

Esempio - parte II


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Osservazioni

● Osservazioni

Sistemi non lineari




Introduzione


Risposte di Sistemi


● Osservazioni

● Osservazioni

Sistemi non lineari


Osservazioni

Calcolata la risposta si procede nell’analisi

La propietá piú importante che viene richiesta ad unsistema e da analizzare é la stabilitáSemplici metodi per determinare la stabilitá sono:

Se lo scalino come input porta il sistema all’infinito, ilsistema sará instabileSe la rampa come input porta il sistema all’infinito, ilsistema potrebbe non rispondere bene ai cambiamenticostantiSe la risposta ad un input sinusoidale cresce per ogniciclo, il sistema diventerá instabile.

Oltre alla stabilitá dobbiamo decidere per un sistema leprestazioni (tempo, frequenza, smorzamento)


Introduzione


Risposte di Sistemi


● Osservazioni

● Osservazioni

Sistemi non lineari

Osservazioni

Si puó distinguere nel comportamento di un sistema:tansiente: soggetto agli effetti inizialisteady-state: a lungo termine

L’effetto transitorio é strettamente connesso con lasoluzione omogenea ed alle condizioni iniziali, include unveloce tempo di salita e sovraelongazione

L’effetto a regime si predice con la soluzione particolare, sivede dopo un pó di tempo di funzionamento e si stabilizzaad una onda sinusoidale empre piú smorzata.


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio



● Esempio - parte III

● Esempio - parte IV

● Linearizzazione


● Esempio -parte II

● Sistemi che cambiano





● Esempio - parte V

● Esempio - parte VI

● Caso studio - parte I

● Caso studio - parte II

● Caso studio - parte III

● Caso studio - parte IV

● Caso studio - parte V


Sistemi non lineari


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















OsservazioniI sistemi non lineari nonpossono essere descrittida equazioni differenzialilineari (come quelle finoad ora incontrate)

Le condizioni piú comuniche portano alla nonlinearitá sono: forze chesono la radice quadratadella distanza, condizioniaerodinamicheNella figura a fiancoesempio di equazionedifferenziale non lineare(con le fonti di non lineritácerchiate)


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Esempio

Si consideri l’equazione differenziale per una persona di 100kg lanciata da un aereo (leforze di trascinamento rendono l’equazione non lineare)


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Esempio - parte I

Una risoluzione alternativa é quella di usare l’integrazione esplicita


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Esempio - parte II


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Esempio - parte IIIL’integrale puó essere risolto usando una forma equivalente


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione















Esempio - parte IV


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Linearizzazione

La risoluzioni di equazioni differenziali non lineari nonutilizza metodi di routine

Tipicamente vengono usati metodi numerici (che vedremonelle prossime lezioni)

Un sistema non lineare puó essere approssimato con unaequazione lineare nei seguenti modi:

Scegliendo un punto di operazione od un range per lecomponentiTrovare una costante che relaziona i cambiamentidell’input con quelli dell’outputSviluppare un’equazione lineareUsare comunque una equazione lineare per l’analisi

Una equazione differenziale linearizzata puó essere risoltausando tecniche note a condizione che il sistema non simuova troppo lontano dal punto di linearizzazione


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione















Esempio - parte IAssumiamo di avere una equazione non lineare. Puó essere risolta linearizzandolanell’intorno del punto di operazione (la derivata non si discosti troppo da 100)


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione















Esempio -parte IISe la velocitá cambia significativamente allora l’equazionedifferenziale deve cambiare. Ricalcoliamo l’equazione dopo 0.1s.


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Sistemi che cambiano

Nei sistemi reali le forze continuano a cambiare

Esempi sono:Forze di attrito statico all’inizio del moto che sitrasformano in piú piccole forze di attrito cineticoLa forza su un cavo in tensione agisce come una molla,quando é compresso la forza va a zero


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione















Esempio - parte IMassa solidale ad un cavo


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Esempio - parte II

Foze di attrito per la massa


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Esempio - parte III

Analisi dell’oggetto prima dell’inizio del moto. Si assume che ilsistema parta da fermo e non deflesso. Il blocco quindi staráfermo fino a che le forze del cavo in tensione non supererannoquelle di attrito statico (il sistema é statico da 0 a 2.943s)


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Esempio - parte IV

Analisi dell’oggetto dopo l’inizio del moto


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione















Esempio - parte VAnalisi dell’oggetto dopo l’inizio del moto


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione















Esempio - parte VILe equazioni di moto cambiano dopo che il cavo non oppone piú nessuna forza al moto(punto finale del cavo e blocco hanno lo stesso spostamento)


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Caso studio - parte I

La massa é 10000kg. Il sistema opera in modo che una forza di1000N con una frequenza di 2Hz sia applicata alla massa.Progettare un sistema isolante per le vibrazioni (I criteri sono:gli isolanti, molla smorzatore devono essere lunghi 30cmquando non caricati ed 25cm quando caricati, le oscillazioninon possono essere piú di 2cm )


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Caso studio - parte II

Scomposizione a termini di froza


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Caso studio - parte III

Calcolo del coefficiente della molla


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione















Caso studio - parte IVSoluzione particolare dell’equazione differenzile


Introduzione


Risposte di Sistemi


Sistemi non lineari

● Osservazioni

● Esempio





● Linearizzazione
















Caso studio - parte V

Determinazione coefficiente di smorzamento

Kd = 3411Ns

m


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