analisi di segnali biomedici -...

Se x(t) è un segnale (deterministico) limitato su [0, N0-1], nullo fuori da tale intervallo,

l’autocorrelazione (AC) Rxx(m) è definita come:

Rxx(m) rappresenta il grado di similitudine medio fra x(k) e x(k+m) e dà una misura della

memoria del sistema.

Proprietà dell’autocorrelazione:

Rxx(-m) = Rxx(m) | Rxx(m)| | Rxx(0)|

m= ritardo (“lag”)

Quanto detto è relativo al caso di segnali TD. Analogamente per segnali TC.

Rxx(m)

ANALISI DI SEGNALI BIOMEDICI:

STIMA DELLE PERIODICITA’

L’autocorrelazione (AC) Rxx [m] indica le relazione lineare fra due punti del segnale x distanti m. Problema: I segnali reali sono quasi-periodici (di durata finita), perciò i picchi della Rxx [m] non sono molto pronunciati, con difficoltà nella loro individuazione. Es: Segnale vocale: Segnali periodici (vocalici) hanno valori elevati dell’autocorrelazione, mentre i suoni non vocalici (consonanti) o vocalici ma fortemente disfonici sono caratterizzati da bassi valori di Rxx [m].

AUTOCORRELAZIONE - TD

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 10-3

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

/a/ post-surgical

Time [s]

No

rma

lis

ed

am

pli

tud

e [

arb

.un

its

]

ESEMPIO: SEGNALE VOCALICO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 10-3

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

/a/ post-surgical

Time [s]

No

rma

lis

ed

am

pli

tud

e [

arb

.un

its

]

2 4 6 8 10

x 10-3

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6/a/ pre-surgical

Time [s]

No

rma

lis

ed

am

pli

tud

e [

arb

. u

nit

s]

PERIODO T PERIODO T ?

PATOLOGICO PRE-INTERVENTO POST-INTERVENTO

T = 1/F0 - F0 = frequenza fondamentale

ESEMPIO vo

cali

co

no

n v

ocali

co

Valore elevato di autocorrelazione Valore basso di autocorrelazione

L’autocorrelazione (AC) può essere usata come primo test di verifica sulla periodicità del segnale

vocale: suoni non vocalici (consonanti) o disfonici (dovuti a patologie o malfunzionamento) hanno

valori bassi di AC. Negli esempi Fs=44.1kHz. A seconda del tipo di segnale si analizzano frame di

dimensione 5mst 20ms 220 N 880 100 lag 400 2.5mst 10ms

Neonato sano Tenore Paralisi cordale

ESEMPI

lag lag

AUTOCORRELAZIONE - AC

Alcune proprietà dell’AC:

(*=trasposto coniugato)

Matrice di AC costruita

con M+1 valori dell’AC:

E’ una matrice che viene utilizzata spesso nell’analisi dei sistemi dinamici. E’

una matrice hermitiana (rxx(k)=rxx(-k)) e Toeplitz (tutti gli elementi lungo ogni

diagonale sono uguali).

AUTOCOVARIANZA AC - TD

2x xx x x (m)C (m)R

Se il segnale è a media non nulla, l’ autocorrelazione può essere mascherata da

tale valore.

L’autocovarianza Cxx(m) è la misura della memoria del sistema, relativamente

ai suoi scostamenti rispetto al valore medio :

AC e autocorrelazione sono legate dalla relazione:

Quanto detto è relativo al caso di segnali discreti (TD). Analogamente per segnali

continui (TC).

ESEMPIO x(n) = n per 1n3

x(0)=0; x(n)=0 per n>3

N0=4

Valore medio:

Autocorrelazione:

ESEMPIO (CONT.)

2

xx x (m)C (m)R AC:

Cx(0)=3.5-(1.5)2=1.25 Cx(1)=2- (1.5)2=0.25 CX(2)=0.75-(1.5)2=-0.5 Cx(m)=-2.25 , m3

ES3 MATLAB confrcorr.m

3 segnali random (scorrelati) a media nulla di 64, 512, 4096 punti risp. La AC dovrebbe

essere uguale a zero. I segnali con pochi dati (blu e rosso) non consentono di ottenere

una media nulla.

v. funzioni Matlab: showcorr.m, showdtcorr.m, showcorr_sine, covstat.m

2x xx x x (m)R (m)C

ESEMPIO La funzione di AC ha grande importanza nell’analisi dei segnali biomedici.

ES.: Valutare l’indipendenza di un atto respiratorio dagli altri. Da punto di vista clinico, è

utile per stabilire le connessioni neuronali nel midollo allungato che generano il ritmo

respiratorio.

L’approccio comunemente utilizzato è quello di costruire un modello matematico di rete

neuronale che simuli il funzionamento dei neuroni reali.

Il modello deve produrre un’oscillazione simile al ritmo respiratorio, ed avere altre

caratteristiche fisiologiche.

Attualmente, i modelli hanno la proprietà che ogni atto respiratorio è indipendente dagli

altri. Ma il segnale reale verifica questa condizione?

Per rispondere a questa domanda, si definisce:

v(n) = volume d’aria inspirato all’n-mo atto respiratorio;

N = numero di atti respiratori (N=120 in questo esempio);

Si calcola la AC e si osserva il risultato ottenuto:

ATTI RESPIRATORI

Max per lag=0

Questo contraddice l’ipotesi di indipendenza i modelli attuali non tengono conto di elementi fisiologici importanti

AC >0 fino a lag=25 AC <0 per lag>25

ES2 MATLAB ranproc2.mat

Flusso respiratorio di 8

ratti.

Ogni registrazione

comprende circa 30-40

atti respiratori.

Fs= 75Hz.

I segnali sono simili, ma

non uguali.

Ci sono differenze

anche all’interno della

singola registrazione

(realizzazione).

0 5 10 15 20 25

0

flusso respiratorio di 2 ratti a riposo (n.1 e n.2) - Fs=75 Hz

tempo [s]

am

pie

zza

0 500 1000 1500 2000-1

0

1

Caso n

.1

0 500 1000 1500 2000-1

0

1

Caso n

.2

0 500 1000 1500 2000-1

0

1

Caso n

.3

0 500 1000 1500 2000-1

0

1

Caso n

.4

0 500 1000 1500 2000-1

0

1

Caso n

.5

0 500 1000 1500 2000-1

0

1

Caso n

.60 500 1000 1500 2000

-1

0

1

Caso n

.7

0 500 1000 1500 2000-1

0

1

Caso n

.8

Grafici ottenuti con

MATLAB

Example2.m

ES2/6 MATLAB - ranproc2.mat

Flusso respiratorio

PS

D (

pe

rio

do

gra

mm

a)

1° registrazione

Picco nella PSD (Power Spectral Density): frequenza respiratoria media del

soggetto. Un confronto fra questi valori su tutti i casi può dare un’indicazione sulla

ipotesi di processo stocastico per questo esempio.

Freq.respiratoria

ES.6 MATLAB – PLOTRP2.M

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Grafico della derivata del segnale vs. il segnale: grafici sovrapposti

plotrp2.m - ranproc2.mat

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20PSD del 4° segnale: scala lineare

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

105

PSD del 4° segnale: scala logaritmica

Freq. (Hz)

MATLAB ES6 - ranproc3.mat Segnale EMG, Fs= 500Hz: contrazione del muscolo della lingua estrinseco

genio-glosso. Registrazioni di 8 contrazioni diverse (realizzazioni) dello stesso

soggetto, ciascuna contenente 256 dati.

Non ci sono picchi evidenti nella PSD, ma tutti gli spettri sono simili, indicando la

provenienza dallo stesso processo stocastico.

PSD della 5° registrazione

ES.6 MATLAB - PLOTRP3.M

-3 -2 -1 0 1 2 3

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

4Grafico della derivata del segnale vs. il segnale: grafici sovrapposti

ranproc3.mat

0 50 100 150 200 2500

2

4

6x 10

7 PSD del 4° segnale: scala lineare

0 50 100 150 200 25010

4

106

108

PSD del 4° segnale: scala logaritmica

Freq. (Hz)

ES4 MATLAB hrv1.mat

Frequenza

cardiaca

istantanea in

battiti al

minuto (cioè:

60/durata

battito) in

soggetto a

riposo.

“memoria”

del sistema

ES.4 – HRV1COV.M

0 50 100 150 200 250 30070

80

90

100Freq. cardiaca istantanea

time

Heart

rate

0 50 100 150 200 250 300-0.5

0

0.5

1AC normalizzata

lag

ES.4 MATLAB hrv.mat

A sinistra: 10 registrazioni di frequenza cardiaca dallo stesso individuo. A

destra: AC delle 10 registrazioni.

HRVCOV.M - HRV.MAT

0 50 100 150 200 250 300-20

0

20

40AC per le prime due registrazioni

lag

0 50 100 150 200 250 300-20

0

20

40AC per le 10 registrazioni

lag

SEGNALE: ENERGIA E POTENZA Per un segnale deterministico x(t), la potenza

istantanea all’istante t è (*=trasposto coniugato):

La potenza istantanea all’istante t data

dall’interazione di due segnali x(t) e y(t) è:

La potenza media su un intervallo [t0, t0+T]

è:

L’ energia di un segnale x(t) è

l’integrale della potenza nel tempo :

L’energia data dall’interazione di due

segnali x(t) e y(t) è exy():

Due segnali si dicono scorrelati se

exy() =0

DENSITA’ SPETTRALE

La densità spettrale di energia (Energy Spectral

Density, ESD), o spettro di energia, del segnale x(t) è:

La cross-densità spettrale di energia (Energy

Spectral Density, ESD), o spettro di energia, fra due

segnali x(t) e y(t) è:

Il teorema di Parseval afferma che l’energia totale del segnale è indipendente dalla scelta

della sua rappresentazione nel tempo o in frequenza (conservazione dell’energia):

Poiché il prodotto di due trasformate di Fourier è la trasformata di Fourier della convoluzione

delle due funzioni nel tempo, il cross-spettro di energia è (teorema di Wiener-Khintchine):

PROCESSO STOCASTICO I valori futuri di un segnale aleatorio (stocastico) non possono essere predetti esattamente. I segnali aleatori sono tali per loro natura (meccanismo interno) o rappresentano meccanismi che non conosciamo esattamente.

Esiste variabilità fra i risultati di esperimenti diversi ed internamente al singolo risultato.

Es.: un gruppo di individui a cui viene misurata la pressione costituisce l’insieme degli “esperimenti” e il singolo individuo è una “realizzazione”.

Il valore di una singola realizzazione ad uno specifico istante di tempo è una variabile aleatoria, cioè una variabile il cui valore dipende da un evento casuale. Ogni realizzazione è diversa dalle altre.

Scopo: ottenere rappresentazioni (modelli) di realizzazioni di processi stocastici da cui ricavare le proprietà ed i parametri del processo stocastico.

Quasi tutti i segnali biomedici possono essere visti come realizzazioni di processi stocastici, e spesso utilizzare valori medi invece della singola realizzazione non è il principale obbiettivo dell’analisi.

PROCESSO STOCASTICO

Insieme di successioni (TC o TD) ciascuna derivante da un diverso esperimento:

x(n;i)

i = i-ma successione (esperimento, o “realizzazione”)

n = indice temporale

Fissato i, si utilizza la notazione semplificata x(n).

Un processo stocastico è stazionario se il suo valore medio è costante e l’AC dipende solo dalla differenza temporale m=n2-n1.

Due processi stocastici stazionari x(n) e y(n) sono caratterizzati da cross-correlazione rxy(m) e cross-covarianza cxy(m):

ε = valor medio; * = complesso coniugato

ESEMPIO

L’uscita del processo stocastico è influenzata da componenti di rumore

aleatorie in ogni realizzazione, pertanto i vari segnali in uscita pi(t) non

descrivono esattamente il processo reale.

SEGNALI STOCASTICI

Per segnali stocastici, al posto della media si considera il valore atteso o valore medio o momento del 1° ordine, cioè il valore a cui converge la media di un’insieme di osservazioni (realizzazioni). (p=densità di probabilità)

Il valore atteso di x2 è il momento del 2° ordine.

La varianza è la deviazione quadratica della variabile aleatoria dal suo valore medio.

Bias = differenza fra il valore vero dei parametri e il valore atteso della loro stima. Uno stimatore è consistente se bias e varianza tendono a zero all’aumentare del numero delle osservazioni.

POWER SPECTRAL DENSITY

Power Spectral Density (PSD) = estensione statistica della ESD a segnali stocastici.

Il teorema (equazione) di Parseval afferma che l’energia di un segnale x(t) è distribuita fra le sue componenti in frequenza in modo tale che l’energia ad ogni frequenza f è proporzionale al quadrato dell’ampiezza di X(f), |X(f)|2 .

Il teorema di Parseval costituisce uno strumento efficiente per analizzare la distribuzione dell’energia in un segnale.

La Densità Spettrale di Potenza (PSD, Power Spectral Density) di un segnale (di lunghezza N) è rappresentata con il grafico di |X(f)|2 in funzione di f, diviso per il n. N di campioni di segnale:

N

)f(X)f(P

2

xx

PSD

La Power Spectral Density (PSD) è definita come la trasformata di Fourier (discreta) della sequenza di autocorrelazione rxx(m):

rxx(m)=Ex(n+m)x*(n) (T = periodo di campionamento):

Questa equazione mette in relazione le proprietà di “memoria”

(autocorrelazione) con la funzione di densità spettrale di potenza di un

sistema, e afferma che la potenza ad ogni frequenza riflette l’ampiezza

della componente sinusoidale a quella frequenza nella funzione di

autocorrelazione.

PSD PER RUMORE BIANCO

Rumore bianco w(n): processo a media nulla scorrelato per tutti i valori di m,

tranne che per m=0, che corrisponde alla varianza w. L’AC è:

PSD costante f

(m)=successione delta discreta.

w(n) ha componenti a tutte le frequenze: da qui il nome di “rumore bianco”.

EEG: il problema degli artefatti /1

artefatti muscolari

Dipartimento di Elettronica Informatica e Sistemistica - UNIVERSITA’ di BOLOGNA

Realizzazioni dello stesso processo stocastico

EEG di superficie /1


La corteccia cerebrale contiene diversi tipi di cellule nervose che possono venire raggruppate in due classi principali: Neuroni piramidali Interneuroni

L’EEG registra variazioni del campo elettrico generato da gruppi di neuroni piramidali, mentre la MEG registra variazioni del campo magnetico indotto dal variare del campo elettrico generato dagli stessi neuroni.


sistemi per l’acquisizione del segnale segnale registrato attraverso elettrodi di superficie. numero elettrodi: 19, 32, 64, 128,... modi per registrarlo: tanti tipi di elettrodo, tra cui le cuffie EEG

Frequenza di campionamento: 200 : 1000 samples/sec

Digitalizzazione a 12 bit

impedenza di contatto elettrodo-cute da mantenere sotto i 5 Kohm

basi fisiologiche della generazione del segnale: Il segnale EEG è il risultato dell’attività elettrica assonale e denditica dei neuroni piramidali corticali – serve un’attività sincrona di un numero elevato di neuroni (105) per generare un segnale apprezzabile sulla superficie dello scalpo Ampiezza segnale: dell’ordine delle decine di μV Bande di frequenza di interesse: δ, θ, α, β, γ (range: 0.5-oltre 30Hz)


EEG sistema 10/20



gli elettrodi vengono posizionati secondo il sistema di riferimento internazionale 10-20. Ciascun elettrodo e’ definito rispetto: - all’ area cerebrale sottostante (F= frontale, P= parietale, C=‘centrale’ per il vertice, T= temporale, O= occipitale); - alla linea mediana (numero pari per gli elett. destri, dispari per gli elett. sinistri, e z per gli elett. mediani). Ad es, F3 indica un elettrodo frontale sinistro, Cz un elettrodo centrale mediano.


EEG: ritmi di base /1

Passando dallo stato di veglia a quello di sonno e coma, le onde EEG diventano progressivamente piu’ ampie e dalle componenti frequenziali più basse (regola generale, con le dovute eccezioni..)



delta 0,5-3 Condizioni patologiche (coma)

teta 3-7 Sonno profondo, memoria episodica

(corteccia del cingolo anteriore ippocampo)

alfa 8-13

Rilassamento mentale / oscillazione “idling”

(occipitale / occhi chiusi, somatosensoriale

(ritmo μ))

beta 14-30 Attenzione, concentrazione, aree corticali

attivate, attivazione aree motorie

gamma >30

Attenzione, concentrazione, aree corticali

attivate, processi di integrazione della

percezione

banda Hz Funzione localizzazione




Onde delta Onde theta

Onde alpha Onde beta

ESEMPIO: EEG Attività elettrica fra le membrane dei neuroni corticali del cervello. Si distinguono 3

principali tipi di attività, che possono variare circa 15 volte durante il sonno notturno

regolare:

Ritmo = stato di veglia: 8-12 Hz, bassa ampiezza

Ritmo = sonno leggero: 4-8 Hz

Ritmo = sonno profondo: <4 Hz, ampiezza elevata (fase del sogno: simile al ritmo

, ma con rapidi movimenti oculari (REM=Rapid Eye Movements))

Problema:

distinguere i

3 ritmi

Si registra l’EEG durante la notte.

Si assegna un “indice” di sonno

all’EEG ogni 30 sec., sulla base

del ritmo dominante in quei 30

sec.

Caso patologico: la transizione

da un ritmo ad un altro avviene in

meno di 30 sec.

ES5 MATLAB – eegsim1.m

v. eegsim1.m, tfar.m, montage.mat

Segnale EEG simulato, campionato a 50

Hz per circa 4 min. Simula i 3 ritmi.

Ogni ritmo dura almeno 15s.

E’ un segnale semplificato: le transizioni

sono più rapide del caso reale, non si

considera lo stato REM, le variazioni in

ampiezza sono minori del caso reale.

Ipotesi di ergodicità: si dispone di

un’unica realizzazione del processo

stocastico.

20s. di segnale simulato– transizione

rapida da ad (dopo 10s. circa)

Spettrogramma: grafico tempo-

frequenza dell’intensità del segnale.

Ritmo (0-50s), seguito da ritmo

(50-80s) e poi (80-120s).

120s-150s: si torna al ritmo , poi si

procede con ritmi a freq. più bassa

analisi di segnali biomedici -...

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