analisi lineare e non lineare ponti

8/18/2019 Analisi Lineare e Non Lineare Ponti

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VERIFICA SISMICA DI PONTI:

procedure di analisi lineare e non lineare

P

ROGETTO

DI

P

ONTI


2/61

Metodi di analisi

(CAP. 7 D.M. 14-01-2008)


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In generale i metodi di analisi utilizzati per la modellazione del comportamento

sismico dei ponti, utilizzati dalle normative, si possono raggruppare in quattro

grandi categorie (§ 7.3 N.T.C.)

- Analisi statica lineare (LSA)

- Analisi modale con spettro di risposta

..(dinamica lineare -LDA)

- Analisi statica non-lineare (NSA-PUSHOVER)

- Analisi dinamica non-lineare (NDA)

PROCEDURE

LINEARI

PROCEDURE NON-

LINEARI

Metodi di analisi


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Le procedure lineari prevedono un’analisi elastica e conseguente calcolo delle

deformazioni e delle sollecitazioni in ogni elemento. Queste sono poi corrette con

opportuni coefficienti, per tener conto degli effetti di non linearità, e confrontate con

valori limite corrispondenti al tipo di elemento e al livello di prestazione cercato. L’analisi

fornisce risultati che possono essere anche poco attendibili se il comportamento della

struttura è fortemente non lineare (si discosta molto da quello elastico) come avviene per

esempio nel caso di strutture irregolari, per la presenza di richieste concentrate di duttilità;

il comportamento è condizionato dalla forte escursione in campo plastico di alcuni

elementi e dalla ridistribuzione conseguente delle forze dovute alla rottura anticipata di

questi elementi.

Le procedure non lineari invece implicano analisi dinamiche al passo o statiche (push-over).

Le prime prevedono l’integrazione diretta dell’equazione del moto, mentre le secondeapplicano alla struttura delle forze orizzontali monotone crescenti fino al raggiungimento

di uno stato ultimo prefissato. Entrambe richiedono la modellazione elasto-plastica della

struttura. In questo approccio il progettista può fare affidamento su fonti di resistenza e di

dissipazione di energia non considerate nelle procedure basate sull’analisi e progettazione

elastica. L’analisi non lineare permette una valutazione più puntuale della risposta attesa,

spesso essenziale ad esempio nel caso della verifica di ponti esistenti.

Metodi di analisi


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Fattore di struttura


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L’analisi statica lineare può essere utilizzata se vengono rispettati i seguenti

requisiti (7.9.4.1 NTC 08):

Richiami:

analisi statica lineare


7/61

Richiami:



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Richiami:


Eccentricità accidentale:


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S Ae(T)

Te [s]T1

S Ae(T)

Te [s]T2

S Ae(T)

Tn Te [s]

Principio base è la possibilità di disaccoppiare la risposta dinamica di una strutturanella risposta di ciascun singolo modo che contribuisce alla risposta globale.

Eq. del moto sistema n-gradi di libertà

1

2

n

.

.

.

.

x1,w1

x2,w2

xn,wn

S Ae(T)

Te [s]T1

S Ae(T)

Te [s]T2

S Ae(T)

Tn Te [s]

.. . ..

gM + C + K = -MR x x x x

Eq. del moto disaccoppiata :.. . ..

g+ C + K = - M xT T T T M u u u r

Richiami : analisi modale con

spettro


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Ricordando che i modi di vibrare non sono univocamente determinati, è sempre possibile

normalizzarli, ad esempio rispetto alla matrice delle masse:

1 2 2 .... nt t u u u 1 nx Φu ψ ψ ψ

t t MΦu KΦu = 0&&

T T t t Φ MΦu Φ KΦu 0&&

1 2 r NΦ ψ ψ ψ ψ

M M M M

L L

M M M M

Ω

2

N

2

2

2

1

00

00

00

w

w

w

T

T

M Φ MΦ = I

K Φ KΦ = Ω

%

%

effettuando quindi la trasformazione lineare

t t Mx Kx 0&&

che rappresenta un sistema di riferimento in cui le equazioni del moto sono disaccoppiate

sia dalla matrice delle masse che da quelle delle rigidezze, quindi ciascuna equazione delmoto dipende da un unico GDL.

Il sistema di partenza

Diventa:

x(t)= u(t) y

u1

x 1

-x 2

x 31

y

u2

x 11

x 21

x 31

x 11

x 22

y

3

u3

x 32

x 12

x 23

x 33

x 13

x 3

2

1 1 1 0u uw &&........2 0

n n nu uw &&

t t u Ωu 0&& t t Mu Ku 0% %&&

Pre-moltiplicando per Φ


spettro


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x (t) = vettore degli spostamenti (N 1);

x = vettore delle ampiezze (N 1).

Nel caso di oscillazioni libere (per il sistema non smorzato), l’equazione del moto diviene:

t t Mx Kx 0&&

con soluzione del tipo:

ei t t w x x

2 i t( ) e w w K M x 0

Le soluzioni non banali del sistema omogeneo sono fornite dalla condizione:2

det 0w K MI valori kij e mij sono noti. L’equazione del determinante fornisce un’equazione di grado n-simo in

w2. Gli n autovalori ( , ,…., ) del sistema corrispondono alle frequenze circolari naturali delsistema non smorzato. La più piccola frequenza del sistema viene detta frequenza

fondamentale e il periodo corrispondente è il periodo fondamentale del sistema. Sostituendo

nell’eq. del moto, si ricava un set di autovettori detti modi di vibrare. Si dice modo

fondamentale quello corrispondente alla frequenza fondamentale.

w 12

w 22

w N 2

w r 2

Soddisfatta per ogni istante t:2( )w K M x 0

equazione caratteristica del sistema elastico

r y


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Si deve risolvere il problema agli autovalori :a partire dalla soluzione dell’equazione caratteristica:

Si calcola la massa generalizzata per il modo i-esimo, il fattore di partecipazione:

La norma (§7.3.3.1 N.T.C.) impone di considerare i modi:

massa partecipante totale superiore all’85%

non escludere modi con massa partecipante superiore al 5%.

2det 0K M w

i2 1

s , fT

iT Hz

w

* T

i i i M

ψ Mψ *

T

i

i

i M

y

Mr

2

i( ω ) iK M ψ 0

per il modo i-esimo si calcola wi e si ricava

Sostituendo nell’eq. di partenza wi:

2

i( ω ) iK M ψ 0


spettro


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L’analisi spettrale prevede di calcolare tramite l’ utilizzo dello spettro di

risposta di pseudo–accelerazione, i valori massimi di sollecitazioni e

spostamenti associati a ciascun modo proprio di vibrare della struttura

supposta elastica lineare, e successivamente di combinarli in modo

opportunoParametri di input:

Spettro elastico di progetto Risultati dell’ analisi modale

Damping (secondo Rayleigh: C=aM+bK)

Tecnica di sovrapposizione modale

SRSS:CQC : Tj≤0.9Ti perTj


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Risposta trasversale di un

ponte ad impalcato continuo


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Analisi statica lineare

Risultati


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Ubicazione: Padova

VN=100 anni

CU=1,5 VR=150

Classe di duttilità “B”

Spettro elastico e di progetto:

Analisi modale con spettro


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Per le pile la rigidezza va valutatatenendo conto dell’effettivo stato

fessurativo

Masse applicateJeff (direz. trasversale)



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Modi di vibrare


2° modo

Frequenze proprie di vibrazione4° modo

direz. trasversale

T1=1.27s


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Risultati

Sollecitazioni alla base della pile:


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Periodi di vibrazione

Confronti:

analisi statica lineare-

analisi dinamica lineare

STATICA LINEARE DINAMICA LINEARE

Sollecitazioni sulle pile

T1=1.27sT1=1.14s

L’analisi statica lineare è più conservativa:

sollecitazioni massime maggiori del 19%

Spostamenti STATICA LINEARE DINAMICA LINEARE

dmax=0.096mdmax=0.105m


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I metodi di analisi elastici (statici e dinamici) non sono in grado di cogliere il

cambiamento nella risposta della struttura che si verificano man mano che singolielementi si comportano in modo duttile. Inoltre, non si ha nessuna informazione sulla

distribuzione della domanda di anelasticità nella struttura. La fase di verifica, dunque,

dovrebbe sempre essere svolta mediante analisi di tipo non-lineare, modellando in

modo esplicito il comportamento anelastico, anziché tenendolo in considerazione

mediante l’assunzione di un fattore di struttura. Ciò è vero in particolare nel caso di

valutazione delle strutture esistenti, date le grandi deformazioni che possono occorrere

ed il meccanismo di collasso non conosciuto che si può sviluppare. Tra i metodi non-

lineari statici e dinamici, quelli statici (analisi push-over)sono stati oggetto di interesse

negli anni recenti perché permettono di valutare la coerenza tra i fattori di struttura

assunti e la reale capacità di duttilità della struttura, risultando allo stesso tempo meno

onerosi rispetto alle analisi di tipo dinamico non-lineare.

Dalle analisi lineari a quelle

non lineari


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Si applicano incrementalmente, ad un modello della struttura soggetto ai carichi gravitazionali e

con comportamento non lineare del materiale, particolari distribuzioni di forze statiche

orizzontali, le quali hanno il compito di ‘spingere’ in campo non lineare la struttura fino a

portarla al collasso. Risultato finale dell’analisi è la curva taglio alla base (somma di tutte

le forze orizzontali) - spostamento (di un punto ritenuto significativo del comportamento

globale). Tale capacità può venire confrontata con la domanda del sisma, rappresentata

da punti sulla curva di capacità individuati in corrispondenza delle massime domande di

spostamento che la struttura subirebbe quando fosse soggetta ai diversi terremoti di

progetto (valutate con spettri elastici di progetto).

- Curve di capacità di un sistema reale:

comportamento non lineare incrudente, elastico perfettamente plastico e softening

P2

P3

F*

Pushover

Curve

V Pushover

P1

V

Dt

Analisi statica non lineare:

principi


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L’analisi statica non lineare può essere utilizzata al fine di :

• valutare i rapporti di sovraresistenza αu / α1• verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici/ponti progettati

con il fattore di riduzione q; quindi l’individuazione delle zone critiche dove è richiesta

una maggiore duttilità;

• l’individuazione di una realistica richiesta di resistenza per gli elementi fragili e di una

realistica richiesta di deformazione su elementi che devono avere comp. duttile;

• come metodo di progetto per i ponti di nuova costruzione sostitutivo dei metodi dianalisi lineari; come metodo per la valutazione della capacità di ponti esistenti.

α1: moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale il

primo elemento strutturale raggiunge la sua resistenza

flessionale

αu: moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale si

verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tali darendere la struttura labile

( C.7.3.4.1 N.T.C.)


obbiettivi


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k1

1 ak

P2

P3

F*

PushoverCurve

V

Dt

PushoverCurve

D*

MDOF ESDOF

A

Tn

A

D

DemandDiagram

D

A

PP*

P1

V

Dt

si utilizza il fattore di

partecipazione modale

per scalare forze e

spostamenti:

1. Creazione del modello con elementi NL

(modelli a plasticità concentrata, modelli a fibre)2. Applicazione dei carichi verticali

3.Analisi incrementale per curva di pushover

sistema di forze applicate:

spostamento punto di controllo: Dt(per ponti può essere il centro dell’impalcato)

4. Trasformazione del sistema

M-GDL 1-GDL

e ottenimento Curva di Capacità

MΦP p

MΦΦ

MsΦT

T

Dt D

*

V F

*

5.Ottenimento della Curva di Domanda nel piano ADRS(PseudoAcc.-Spostamento):

lo spettro viene scalato tramite il fattore

6.Determinazione del Performance Point:

ottenuto come intersezione fra Curva di Capacità e

Curva di Domanda nel piano ADRS

7.Calcolo dello spostamento per M-GDL8.Verifica degli stati limite di interesse

AT

D n2

2

4

AT

D n2

2

4


procedura

A li i i li


26/61

Normativa prevede l’applicazione di almeno 2 distribuzioni di forze orizzontali:

- una proporzionale alle masse;- una proporzionale al prodotto delle masse per la deformata del primo modo.

Tale scelta nasce dalla considerazione che la distribuzione delle forze laterali dovrebbe

approssimare la distribuzione delle forze d’inerzia presenti durante il sisma. Confronti con i

risultati di analisi dinamiche non-lineari hanno evidenziato che distribuzioni di forze

proporzionali al primo modo colgono meglio la risposta dinamica finchè la struttura rimane in

campo elastico, mentre quando si raggiungono grandi deformazioni la risposta può essere

meglio rappresentata da distribuzioni di forze proporzionali alle masse. Nel caso di strutture

regolari i 2 andamenti scelti definiscono i limiti delle possibili distribuzioni delle forze d’inerzia di

un terremoto.


distribuzioni di forze

(pushover classica)


27/61


procedura

Procedura secondo D.M.14-01-08 e Circolare Applicativa


28/61


procedura



29/61


procedura



30/61


procedura



31/61


procedura



32/61


procedura


33/61


procedura


34/61

Creazione del modello non lineare


modellazione

Modello a plasticità concentrata per una pila singola dell’esempio

cerniera plastica

definita da:

Lp, legge M-f

Elemento

beam lineare

Elemento

beam non lineare


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modellazione

Modello a plasticità diffusa per una pila singola dell’esempio

ACCIAIO


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modellazione

Modello a plasticità diffusa

CLS CONFINATO

Modello di Mander-Priestley-Park


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modellazione

Confronto sulle curve di capacità ottenute con il modello aplasticità concentrata e quello a fibre


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esempio

L’esempio è stato svolto su un modello che utilizza

-impalcato con elementi beam lineari

-pile con elementi beam a plasticità diffusa


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Analisi di spinta in direzione trasversale

Sistema MDOF-

1

P2

P3

F* V

Dt

Pushover

Curve

MDOF ESDOF

A

Tn

A

A

P1

VCurva di capacità per il sistema MDOF


esempio


40/61


esempio


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Spettro in formato ADRS

Bilinearizzazione della curva di capacità EDOF (forze prop. al I modo)

Curva di capacità per il sistema ESDOF

MΦΦ

MsΦT

T

Dt D

*

V F

*

si utilizza il fattore di partecipazione modale

per scalare forze e spostamenti:


esempio


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esempio


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• Modello della struttura tridimensionale (irregolarità), simile o identico a quello usato per

le analisi statiche non-lineari

• Il legame costitutivo fissato per la struttura deve essere adeguato alla sua capacità di

dissipare energia

• Viene applicato alla struttura un accelerogramma (o meglio una coppia di

accelerogrammi in direzione x ed y), dati in genere ad intervalli di 0,02 s.

• Soluzione al passo delle equazioni

del moto (con passo anche diversoda quello del terremoto)

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

Time [s]

a / g

Analisi dinamica non lineare:

procedura


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1. Si devono utilizzare accelerogrammi spettrocompatibili (3.2.3.6 N.T.C.)2. Deve sempre essere accompagnata dall’analisi modale elastica

(la somma dei momenti alla base di pile e spalle, non deve essere minore all’80%

dei rispettivi ottenuti con l’analisi lineare)

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0, 000 1, 000 2 ,0 00 3, 000 4, 000 5, 000 6, 000 7, 000

T [s]

S e

( T ) [ m / s 2 ]

M1 M2 M3

a

b

Consigliabile che

Mi(b)/ Mi(a)>0.8


procedura


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Impiego di accelerogrammi

Gli stati limite, ultimi e di esercizio, possono essere verificati mediante l’uso di

accelerogrammi, o artificiali o simulati o naturali. Ciascun accelerogramma descrive una

componente, orizzontale o verticale, dell’azione sismica; l’insieme delle tre componenti

(due orizzontali, tra loro ortogonali ed una verticale) costituisce un gruppo di

accelerogrammi.

Accelerogrammi artificialiIn assenza di studi specifici la durata della parte pseudo-stazionaria degli accelerogrammi

deve essere almeno pari a 10 s; la parte pseudo-stazionaria deve essere preceduta e

seguita da tratti di ampiezza crescente da zero e decrescente a zero, di modo che la

durata complessiva dell’accelerogramma sia non inferiore a 25 s.

Gli accelerogrammi artificiali devono avere uno spettro di risposta elastico coerente con lo

spettro di risposta adottato nella progettazione. La coerenza con lo spettro elastico è da

verificare in base alla media delle ordinate spettrali ottenute con i diversi accelerogrammi,

per un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente x del 5%. L'ordinata spettrale

media non deve presentare uno scarto in difetto superiore al 10%, rispetto alla

corrispondente componente dello spettro elastico, in alcun punto del maggiore tra gli

intervalli 0,15s ÷ 2,0s e 0,15s ÷ 2T, in cui T è il periodo fondamentale di vibrazione della

struttura in campo elastico, per le verifiche agli stati limite ultimi, e 0,15 s ÷ 1,5 T, per le

verifiche agli stati limite di esercizio.


procedura


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L’uso di accelerogrammi generati mediante simulazione del meccanismo di sorgente e dellapropagazione è ammesso a condizione che siano adeguatamente giustificate le ipotesi

relative alle caratteristiche sismogenetiche della sorgente e del mezzo di propagazione.

Per esempio si utilizzano quando si vuole simulare la variabilità spaziale del moto sismico.

Accelerogrammi naturali registrati

L’uso di accelerogrammi naturali registrati è ammesso, a condizione che la loro scelta siarappresentativa della sismicità del sito e sia adeguatamente giustificata in base alle

caratteristiche sismogenetiche della sorgente, alle condizioni del sito di registrazione, alla

magnitudo, alla distanza dalla sorgente e alla massima accelerazione orizzontale attesa al sito.

Gli accelerogrammi registrati devono essere selezionati e scalati in modo da approssimare gli

spettri di risposta nel campo di periodi di interesse per il problema in esame.

Registrazioni naturali del moto sismico possono essere trovate ad esempio nelle banche dati:

-European Strong Motion Database (ESD) : http://www.isesd.cv.ic.ac.uk/ESD/frameset.htm

-Strong Motion Catalogue : http://peer.berkeley.edu/smcat

E’disponibile in rete il programma REXEL (Iervolino et al. 2008) agevola la selezione delle

registrazioni compatibili con lo spettro da normativa.


procedura

http://www.isesd.cv.ic.ac.uk/ESD/frameset.htmhttp://www.isesd.cv.ic.ac.uk/ESD/frameset.htmhttp://peer.berkeley.edu/smcathttp://peer.berkeley.edu/smcathttp://peer.berkeley.edu/smcathttp://www.isesd.cv.ic.ac.uk/ESD/frameset.htm


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Nel caso di costruzioni con isolamento sismico, il limite superiore dell’intervallo di coerenza

è assunto pari a 1,2 Tis, essendo Tis il periodo equivalente della struttura isolata, valutatoper gli spostamenti del sistema d’isolamento prodotti dallo stato limite in esame.

L’uso di accelerogrammi artificiali non è ammesso nelle analisi dinamiche di opere e

sistemi geotecnici.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4T(s)

S e l ( g )

Medium Spectrum

Design Spectrum

Gli accelerogrammi utilizzati sono 3 sismicompatibili con lo spettroTipo - A (O.P.C. 3274) terreno ad elevatarigidezzail valore di PGA fissato è 0.35g (zona 1)

Esempio di accelerogrammispettrocompatibili generati con il codice

SIMQKE


procedura


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Analisi dinamica non lineare

incrementale (IDA):


49/61


incrementale (IDA):

Questo tipo di analisi è utile per poter operare un confronto con le curve di capacità fornitedall’analisi Pushover.


50/61


incrementale (IDA):


51/61


incrementale (IDA):

Il primo criterio appare come il più adatto;

come per le analisi statiche, lo

spostamento considerato è quello del

nodo in corrispondenza dell’estremità

superiore della pila centrale del ponte.

I punti ottenuti dall’analisi IDA confrontati

con le curve pushover ottenute in

precedenza sono rappresentati nel grafico

sottostante.


52/61

Analisi dinamica non lineare e

pushover : confronti

Si riportano i risultati ottenuti dall’analisi non lineare

dinamica sul punto di controllo, con gli spostamenti

ottenuti dalle analisi pushover.


53/61

( dagli studi di Pinho, Antoniou, Casarotti, Lopèz , 2005) :

• contenuto in frequenza dello spettro

• contributi dei modi superiori

•alterazione delle caratteristiche modali e aggiornamento della rigidezza strutturale

indotte dalla concentrazione del danno

•aggiornamento della distribuzione dei carichi in accordo con le soluzioni dell’auto-

problema a preassegnati livelli di deformazione delle matrici di rigidezza e dellemasse istantanee non lineari

•applicazione estesa alle strutture irregolari

Analisi non lineare statica :

ulteriori approfondimenti


54/61

Valutazione della risposta sismica trasversale

valutazione

1) Sa/d-demand = Sa/d-inel/damp2) Sa-capacity = Vb-pushover / M1*g 3) Sd-capacity = ref. node / 1f1,ref. node

Sa/d-demand = Sa/d-dampSa-capacity = Vb-pushover / Msys*g Sd-capacity = 1/ sys

determinazione della curva di capacità adattiva nel sistema equivalente ad ungrado di libertà (ESDOF )

definizione della domanda sismica attraverso uno spettro elastico di rispostaspecificatamente smorzato e sua applicazione alla curva di capacità adattivaESDOF

determinazione del profilo degli spostamenti inelastici e della distribuzionedei tagli alla base

controllo e verifica dei criteri di accettabilità

Scopo :

Differenze col precedente

metodo CSM

(Freeman, 1975):

Step procedurali:

CSM ACSM




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Determinazione della curva di capacità adattiva nel sistema ESDOF

sys,k = Si mi f2i,k / Si mi fi,k =1/ k

sys,k : spostamento al k-esimo step dicarico nel sistema SDOF

mi: massa relativa all’i-esimo nodofi,k : spostamento al k-esimo step di

carico dell’i-esimo nodo

k: fattore di partecipazione modale

aggiornato ad ogni step dicarico

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Sa

Sd

Adaptive ESDOF Capacity Curve

Sa-cap,k = Vb,k /(Msys,k *g)

Sa-cap,k : accelerazione al k-esimo stepdi analisi ;

Vb,k : taglio totale alla base al k-esimostep di carico;

Msys,k : massa modale aggiornata adogni forma di spostamenti.

sys,k = Si mi fi,k / sys,k




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Definizione della domanda sismica con spettro elastico smorzato nel sistema ESDOF

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Sa

Sd

Adaptive ESDOF Capacity Curve ESDOF Demand Spectrum Bilinear

xsys,1: coeff. di smorzamento di1° tentativo

xsys,1= 10%

xsys,eff : aggiornamento del coeff.di smorzamento (formuladi Takeda,1970)

r : rapporto di post-snervamento(K plast / K elast ), aggiornato adogni bilinearizzazione

msys: duttilità u/ y aggiornataad ogni iterazione

Sd : spostamento nel sistema ESDOF




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• impalcato continuo su 9 appoggi

• pile incastrate alla base, di altezza

rispettivamente (da sx a dx): 7m, 9,7m,

14m, 14m, 14m, 10,7m, 8m

• pile vincolate all’impalcato in direzione

trasversale (risposta sismica trasversale)




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z

xy

x




59/61

PILE IMPALCATO

elementi beam

3D

frame element

elementi beam

3D

frame element caratteristiche

inerziali definite

nella fase di pre-

dimensionamento

modellazione a fibre

PGA: 3,1 m/s2




60/61

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,325

T o t a l B a s e S h e a r [ k N ]

Displacement [m]

IDA

CP _ masse

CP _ 1° modo




A li i li i


61/61

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

T o t a l B a s e

S h e a r [ k N ]

IDA

CP _ masse

CP _ 1° modo

FAP

DAP

FAP spettro-

scalataDAP spettro-

scalata


y=1,25 cm



analisi lineare e non lineare ponti

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