ANALISIS COMBINATORIO Combinaciones, Variaciones y Permutaciones.ParaaplicarlaRegladeLaplace,elclculodelossucesosfavorablesydelossucesos posiblesavecesnoplanteaningnproblema,yaquesonunnmeroreducidoysepueden calcular con facilidad: a)Combinaciones: determina el nmero de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con losn elementosde una nuestra.Cada subgrupo se diferenciadel restoenloselementosquelocomponen,sinqueinfluyaelorden.Paracalcularel nmero de combinaciones se aplica )! n m ( ! n! mCn , m -= El termino n! se denomina factorial de n y es la multiplicacin de todos los nmeros que van desde n hasta 1. Ejemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24 La expresin Cm,n representa las combinaciones de m elementos, formando subgrupos de nelementos.Ejemplo,C10,4sonlascombinacionesde10elementosagrupndolosen subgrupos de 4 elementos, 210)! 4 10 ( ! 4! 10C4 , 10= -= Esdecir,podramosformar210subgruposdiferentesde4elementos,apartirdelos10 elementos. b) Variaciones:calculaelnmerodesubgruposde1,2,3,etc.elementosquesepueden establecer con los n elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones). Para calcular el nmero de variaciones se aplica,

)! n m (! mVn , m= LaexpresinVm,n representalasvariacionesdemelementos,formandosubgruposden elementos.Enestecaso,comovimosenlaanterior,unsubgruposediferenciardel resto,bienporloselementosqueloforman,obienporelordendedichoselementos. EjemploV10,4sonlasvariacionesde10elementosagrupndolosensubgruposde4 elementos, 040 . 5)! 4 10 (! 10Vn , m== Es decir, podramos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos. c) Permutaciones: calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementosdeungrupo,porlotanto,loquediferenciaacadasubgrupodelrestoesel orden de los elementos. Para calcular el nmero de permutaciones se aplica, ! n Pm= LaexpresinPmrepresentalaspermutacionesdemelementos,tomandotodoslos elementos.Lossubgrupossediferenciarannicamenteporelordendeloselementos. Ejemplo, P10 son las permutaciones de 10 elementos, 800 . 628 . 3 ! 10 Pm= = Es decir, tendramos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos. Vamosaanalizarahoraqueocurriraconelclculodelascombinaciones,delas variacionesodelaspermutacionesenelsupuestodequealformarlossubgruposlos elementospudieranrepetirse.Porejemplo,tenemosbolasde6coloresdiferentesy queremosformarsubgruposenlosquepudieradarseelcasodeque2,3,4otodaslas bolasdelsubgrupotuvieranelmismocolor.Enestecasonopodramosutilizarlas frmulas que vimos en laanterior. a) Combinacionesconrepeticin.Paracalcularelnmerodecombinacionescon repeticin se aplica, )! 1 m ( ! n)! 1 n m (Cn , m - += ' Ejemplo,C'10,4sonlascombinacionesde10elementosconrepeticin,agrupndolosen subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podran estar repetidos,

715! 9 ! 4! 13` C4 , 10=-= ' Es decir, podramos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos. b) Variacionesconrepeticin.Paracalcularelnmerodevariacionesconrepeticinse aplica, nn , mm V = ' Ejemplo,V'10,4sonlasvariacionesde10elementosconrepeticin,agrupndolosen subgrupos de 4 elementos, 000 . 10 10 V44 , 10= = ' Es decir, podramos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos. c) Permutaciones con repeticin. Para calcular el nmero de permutaciones con repeticin se aplica, ! x ! x! mPk 1x , , x , mk 1- -= ' Son permutaciones de m elementos, en los que uno de ellos se repitex1veces, otrox2

vecesyassucesivamentehastaunoqueserepitexkveces.Ejemplo,Calcularlas permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones, 400 . 302! 3 ! 2! 10P3 , 2 , 10=-= ' Es decir, tendramos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos. COMBINACIONES, VARIACIONES Y PERMUTACIONES. Sellamanvariacionesdenelementostomadosdemenmalosgruposdem elementosescogidosdelosnelementosdeunconjunto,teniendoencuentaquedos grupossondistintossidifierenenalgnelementooenelordendecolocacinde ellos. Si los elementos se pueden repetir se llaman variaciones con repeticin. Sim = nse llaman permutaciones de n elementos. Si el orden no importa se llaman combinaciones. Variaciones: ) 1 m n ( ) 1 n ( n Vmn+ - - - = sonlos distintosgruposdemelementosdistintos quesepuedenformarconnelementos, teniendo en cuenta el orden. Variaciones con repeticin: m mnn VR = sonlosdistintosgruposdem elementos,repetidosono,quesepueden formarconnelementos,teniendoen cuenta el orden. Combinaciones:)! m n ( ! m! nmnCmn -=||.|

\|= sonlosdistintossubconjuntosdem elementosdistintosquesepuedenformar con n elementos. Combinaciones con repeticin: m1 m nmnC CR +=sonlosdistintossubconjuntosdem elementos,repetidosono,quesepueden formar con n elementos. Permutaciones: ! n V Pnn n= = son todas las distintas ordenaciones que se puedenformarconnelementos,todos distintos. Permutaciones con repeticin: ! x ! x! nPk 1x , , xnk 1- -= Sonlasdistintasordenacionesquese puedenformarconnelementos,teniendo encuentaqueunelementoserepitex1 veces,otrox2veces,....,etc.,siendo x1+x2+......+xk=n. SiNon 2gruposde maneratalqueparaj=1,2,k,elj-simogrupotieneexactamentonjelementos, donde n1 + n2 ++ nk = n. Deseamos determinar el nmero de formas en que los n elementos pueden dividirse en loskgrupos.Paralograrestohacemosusodelprincipiobsicodeconteo.Losnj elementos del primer grupo pueden seleccionarse de los n disponibles en ||.|

\|1nn formas. Luegodeestoquedann-n1elementosdisponibles.Destosseseleccionanlosn2 miembrosdelsegundogrupo,locualsepuedehacer ||.|

\| 21nn nformasdistintas, quedandoentoncesn-n1-n2elementosdisponibles.Continuamosseleccionandoel tercergrupodeestamismamanerayassucesivamente.Finalmente,elnmerode maneras de seleccionar los k grupos es: ||.|

\|= =||.|

\| ||.|

\| ||.|

\| ||.|

\|k 2 1 k 2 1 k1 k 132 1211n , , n , nn! n ! n ! n! nnn n nnn n nnn nnn k 3 2 1n n n n - - - - Esta ltima expresin se conoce como un coeficiente multinomial, ya que aparece en el teoremamultinomialParacualquiernmerosrealesx1,x2,xkyunnmeroentero positivo n, tenemos k 2 1nkn2n1k 2 1nk 2 1x x xn , , n , nn) x x x ( ||.|

\|= + + + , donde la sumatoria se extiende sobre todas los enteros no negativos n1, n2, nk tal que n1 + n2 ++ nk = n. Variacionessinrepeticin.Enunacarreradecarrosparticipan20corredores. Teniendoencuentaquenoesposiblellegarlamismotiempo,decuntasmaneras podrn llegar a la meta los tres primeros? Losveintecorredoressonm1,m2,...,m20.Paralaprimeraposicin(campen)hay20 posibilidades;paralasegundaposicin(subcampen)hay19posibilidades,yparael tercerpuestohay18posibilidades.Observamoseldiagramaderboldelmargen,por tanto, hay 20*19*18=6840 formas distintas de quedar los tres primeros clasificados. A estosdistintosgruposordenadosdetrescorredores,elegidosdeentrelos20que tenemos, lo llamaremos variaciones de 20 elementos tomando de a tres cada vez Variacionesordinariasovariacionessinrepeticin.denelementostomadosmcada vez (mn) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con los n elementos, de manera que en cada grupo entren m elementos distintos, y dos grupos son distintos si se diferencianenalgnelementooenelordendecolocacindestos.Elnmerode variaciones ordinarias de n elementos tomando m cada vez se representa por Vn,m Nmerodevariacionesordinarias.Hemosobtenidoelnmerodeformasde clasificarse 20 corredores para obtener los tres primeros puestos: 20*19*18. En general, sihallamoselnmerodevariacionessinrepeticinquesepuedenformarconn elementos tomados m a m, obtendremos, Vn,m = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1) Ejemplo,V3,2=3*2=6quepodraserungrupodetressocios,porejemploAbe(A), Diego(D)yVer(V)entreloscualessevanadesignardoscargosimportantes: Representante Legaly tesorero. Si la primera posicin es para el Representante legaly la segunda para el tesorero tenemos las siguientes posibilidades: (A,D), (A,V)(D,A), (D,V)(V,A),(V,D) Para este caso siempre quedara uno de ellos sin un cargo, porque son 3 elementos (n=3) tomados2cadavez(m=2).Sitodosquierenquedarconuncargo,digamosahoraque entrelos3socios(n=3)sevanaelegircomoPresidentedelaMesadirectivaylos cargosdeRepresentanteLegalytesorero.EnestecasotenemosV3,3as,V3,3= 3 2 1=6 tambin 6 posibilidades, pero ahora tenemos: (A,D,V), (A,V,D)(D,A,V), (D,V,A)(V,A,D), (V,D,A) y as cada uno de los socios tiene un cargo y estarn felices. Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con los dgitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sinqueserepitaningunacifra?.Comoelnmero123esdiferentedelnmero321, luego influye el orden y adems no se puede repetir ninguna cifra. Por lo tanto debemos calcularelnmerodevariacionesdenueveelementos(n=9)tomandotrescadavez (m=3), V9,3 = 9 8 7 = 504 nmeros distintos. Variacionesconrepeticin.Lanzamoscuatrovecesconsecutivasunamoneda obteniendoencadacasounaCara(C)oSello(S).Cuntosresultadosdistintos podremos obtener? Lasdistintasordenacionesqueacabamosdeobtenersellamanvariacionescon repeticin de dos elementos tomados de a cuatro cada vez. Observamos que ahora sigue influyendoelorden,comoenelcasoanterior,peroademsloselementossepueden repetir Variaciones con repeticin de n elementos tomados m cada vez (mn) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con los n elementos, de manera que en cada grupo entren m elementos, repetidos o no, y dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden de colocacin de stos. UNO DOS TRES CUATROC CCCCS CCCSC CCSCS CCSSC CSCCS CSCSC CSSCS CSSSC SCCCS SCCSC SCSCS SCSSC SSCCS SSCSC SSSCS SSSSSCSCSCSCSCSRESULTADOLANZAMIENTOCSC Elnmerodevariacionesconrepeticindenelementostomandomcadavezse representa por VRn,m. NmerodeVariacionesconRepeticin.Hemoshalladoelnmeroderesultados distintos que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda: 2 2 2 2 = 24 = 16. De lamismaforma,podemoshallarelnmeroderesultadosdistintosqueseobtienenal lanzar: - Una vez una moneda2 - Dos veces una moneda 2 2 = 22 = 4- Tres veces una moneda2 2 2 = 23 = 8 - Cinco veces una moneda 2 2 2 2 = 25.= 32 - En n veces una moneda2 2 2... 2 = 2n. Engeneralsiqueremoshallarelnmerodevariacionesconrepeticinquesepueden formar con n elementos tomados de a m cada vez, obtendremos VRn,m = n n n ... n = nm m factores Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y9sisepuedenrepetirlascifras?.Tenemosquehallarelnmerodevariacionescon repeticin de 10 elementos tomados de a tres, es decir, VR10,3 = 103 = 1000 Ahorabien,deestos1000nmeroshabrmuchosqueinicienconcerocomopor ejemplo035,099,001porlocualnosepuedenconsiderardetrescifras.Poresto debemos descontar estos nmeros, y tendremos: VR10,3 - VR10,2 = 103 - 102 = 1000 - 100 = 900 Ejemplo,Selanzantresdadosdedistintoscoloresunavez.Cuntosresultados distintos se pueden obtener?. Son VR6,3 = 63 = 216 resultados diferentes. Algunasvecesqueremossabercuntosarreglospodemosobtenerconungrupode elementos,paraellopodemosutilizarlatcnicaconocidacomopermutacinque veremos a continuacin en el siguiente tema. Permutacin. Hasta aqu hemos contado listas de elementos de diversas longitudes, en lasquepermitimosoprohibimoslarepeticindeloselementos.Uncasoespecialde este problema es contar las listas de longitud n formadas por un conjunto de n objetos, en las que se prohbe la repeticin. En otras palabras, se desea tener n objetos en listas, usandocadaobjetoexactamenteunavezencadalista.Segnelprincipiodela multiplicacin, la cantidad de listas posibles es de:(n)n = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 Arreglosquesepuedandistinguir,Sisequierenarreglarobjetos,dondetodoslos objetosseandiferentesentres,lapermutacin(elnmerodearreglosquesepueden obtener) es n! Ejemplo,Cincoamigosqueestnenunapiscina,despusdehaberselanzadoporel deslizadero gigante, observan que cada vez que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamientohacencolaendistintoorden.Decuntasformaspodrnhacercolapara arrojarse de nuevo? Observequeparalaprimeraposicinhaycincopersonas,cuatroparalasegunda,etc. De esta forma tenemos que el nmero de formas distintas de hacer cola es, V5,5 = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 Como observamos, en este caso intervienena la vez todoslos elementos ynicamente vara el orden de colocacin. Ejemplo, Queremos permutar (arreglar) las letras abc. Cules arreglos se obtienen? abc, acb,bac,bca,cabycba.Son6permutacionesdiferentes.Tambinhubiramospodido decir son 3 letras diferentes a, b y c por lo tanto son 3! permutaciones, o sea 3*2*1=6 Vemosquehayefectivamente3opcionesparalaprimeraposicin(cualquieradelas letras a, b o c, luego quedan slo dos opciones para la segunda posicin (por ejemplo si seescogiaparalaprimeraposicin,quedaranbocparalasegundaposicin),y quedara una sola letra para la tercera posicin. Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que:- En cada grupo (o lista) estn los n elementos. - Ungruposediferenciadeotronicamenteenelordendecolocacindelos elementos. El nmero de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por Pn y es igual a n! Ejemplo, En un campeonato suramericano de Ftbol llegan a un cuadrangular final los cuatroseleccionadosdeBrasil,Argentina,ColombiayUruguay.Formarlasdiferentes clasificaciones para los cuatro primeros puestos del torneo. Cuntas hay? Representamosporsusinicialesacadaseleccionadoymedianteundiagramaderbol se obtiene: De aqu vemos que hay P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 clasificaciones distintas. Las variaciones sin repeticin tambin se pueden representar con factoriales, segn: Si se quieren arreglar n objetos diferentes, pero se van a tomar r objetos de ellos los cuales son distinguibles entre s, entonces:

m mnn VR = Ejemplo, De cuntas formas puede cespro.com colocar a 3 programadores de sistemas en3diferentesciudades.Silosprogramadoresestndisponiblesparacualquierade5 ciudades. Entoncessetienen3programadoresdisponiblesperohay5posiblesciudadesadonde ellos pueden ir. De cuntas formas podramos ubicarlos?. Tenemos 60 formas posibles deubicarlosenlas5ciudades.Parecequedetodosmodosvatocarpensarbiendnde ubicarlos... Ejemplo, Cuntas palabras se pueden formar con ocho letras de forma que dos de ellas estn siempre juntas y guardando el mismo orden? Comolasdosletrassiemprevanaestarjuntasyenelmismoorden,laspodemos considerar como si fuera una sola letra. Por esta razn es una permutacin realmente de slo siete elementos: P7 = 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 palabras diferentes Ejemplo: De cuntas formas se pueden sentar nuevepersonas en una mesa circular? Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una posicin idntica a la anterior. Por ello dejamos fija una persona y permutamos todas las dems: P8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320 formas distintas Aestaspermutacionesselasdenominapermutacionescircularesdenelementosyse representan por PCn. Permutacionesconrepeticin.Sisequierepermutar(arreglar)objetos,dentrodelos cualeshayvariosrepetidos,entoncessepuedencontarlasposibilidadesdearreglos diferentes,! x ! x! nPk 1x , , xnk 1- -= Ejemplo,Supongamosquequeremoshacerunarreglodeluces,con4bombillas amarillas,3bombillasazulesy3rojas.Entotalsetienen10bombillas.Pero,qu arreglos de colores puedo tener?.

Ejemplo, Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100 centavos, de las cuales dos estn enposicindecaraytresenposicindeSello.Cuntasordenacionesdiferentes podremos formar en las que siempre estn dos en posicin de cara y tres en posicin de Sello? Lasordenacionesposiblesson:(CCSSS,CSCSS,CSSCS,CSSSC,SCCSS,SCSCS, SCSSC, SSCCS, SSCSC, SSSCC) EJERCICIOS DESARROLLADOS MODULO 03 *. Cuntas palabras diferentes se pueden formar con las letras n, l, o, e; as no tengan sentido? nloe, nleo, nelo, neol, nole noel, lnoe, lneo, leno, leon, lone, loen, elon, elno, enlo, enol, eoln, eonl, olne, olen, oeln, oenl, onle, onel.

*. Cuntos nmeros de tres cifras se pueden construir con los dgitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 si ninguno se puede repetir *. De cuntas maneras se puede escoger un comit de 4 hombres de un grupo de 8? *. Cuntas palabras diferentes, aun sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra amorosos? *. Cuntos nmeros de cuatro cifras existen? *. De cuntas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano, de modo que no estn en el mismo dedo? *. Al lanzar cinco dados de distintos colores cuntos resultados podemos obtener? *. Con los nmeros 1, 2, 3, 4, 5 y 6:a Cuntos nmeros distintos de siete cifras podramos formar? b Podremos numerar a los 3224564 habitantes de una ciudad con esos nmeros? *. Se lanzan al aire uno tras otro cinco dados equilibrados de seis caras. Cul es el nmero de casos posibles? *. Cuntos nmeros de seis cifras existen que estn formados por cuatro nmeros dos y por dos nmeros tres? *. Lola tiene 25 bolitas (10 rojas, 8 azules y 7 blancas) para hacerse un collar. En- garzando las 25 bolitas en un hilo, cuntos collares distintos podr realizar? *. Cuntas palabras distintas, con o sin sentido, podremos formar con las letras de la palabra educacin? y con la palabra vacaciones? *. Un grupo de amigos formado por Ral, Sonia, Ricardo y Carmen organizan una fiesta, acuerdan que dos de ellos se encargarn de comprar la comida y las bebidas De cuntas formas posibles puede estar compuesta la pareja encargada de dicha misin? *. Una fbrica de helados dispone de cinco sabores distintos (vainilla, chocolate, nata, fresa y cola) y quiere hacer helados de dos sabores Cuntos tipos de helado podrn fabricar? *. Un grupo de amigos y amigas se encuentran y se dan un beso para saludarse. Si se han dado en total 21 besos, cuntas personas haba? *. En una carrera de 500 metros participan doce corredores De cuntas maneras pueden adjudicarse las medallas de oro, plata, bronce? *. De cuntas formas pueden cubrirse los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de un club deportivo sabiendo que hay 14 candidatos? *.4! = 4*3*2*1 = 24 *.C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de 4 elementos, 210)! 4 10 ( ! 4! 10C4 , 10= -= Es decir, podramos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos. *. V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de 4 elementos, 040 . 5)! 4 10 (! 10Vn , m==Es decir, podramos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos. *.P10 son las permutaciones de 10 elementos, 800 . 628 . 3 ! 10 Pm= =Es decir, tendramos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos. *.C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repeticin, agrupndolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podran estar repetidos, 715! 9 ! 4! 13` C4 , 10=-= ' Es decir, podramos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos. *.V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con repeticin, agrupndolos en subgrupos de 4 elementos, 000 . 10 10 V44 , 10= = 'Es decir, podramos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos. *. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones, 400 . 302! 3 ! 2! 10P3 , 2 , 10=-= ' Es decir, tendramos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos. Tcnicas de Conteo *.En el primer grupo de la clase A del campeonato de ftbol participan 17 equipos. Los premios son medallas de oro, de plata y de bronce. De cuntas formas stas pueden ser distribuidas? La medalla de oro puede ser obtenida por cualquiera de los 17 equipos. En otras palabras, aqu tenemos 17 posibilidades. Pero si ya fue otorgada la medalla de oro a algn equipo, quedan slo 16 pretendientes a la medalla de plata. Aqu no puede haber repeticiones: un mismo equipo no puede obtener las medallas de oro y plata. Esto significa que despus de que un equipo obtenga las medallas de oro, quedaran 16 posibilidades de obtener la de plata. Anlogamente, si ya fueron otorgadas las medallas de oro y las de plata, las de bronce pueden ser obtenidas slo por uno de los 15 equipos restantes. Esto significa que las medallas pueden ser distribuidas de 17 x 16 x 15 = 4080 formas. *. Se desea hacer una lista de dos elementos, en los lugares de la lista pueden estar cualquiera de los dgitos 2, 4, 6 o 8. Cuntas listas con estas caractersticas son posibles?. La forma ms directa de responder es escribiendo todas las posibilidades: (2,2)(2,4)(2,6)(2,8) (4,2)(4,4)(4,6)(4,8) (6,2)(6,4)(6,6)(6,8) (8,2)(8,4)(8,6)(8,8) Hay 16 elementos posibles. *.Como puede seleccionar el pantaln en una de n=3 formas y por cada pantaln seleccionado puede escoger una de m=4 camisas este puede resultar vestido en una de nm = 4*3 = 12 formas diferentes. *.Las iniciales de una persona (suponiendo que slo nos interesa el primer nombre as tenga segundo nombre) son las listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido (primer apellido).-De cuntas formas se pueden escribir las iniciales de las personas? -De cuntas formas se pueden escribir las iniciales en las que las dos letras que no se repitan? (Por CC de Carmen Cardona no se permitira). *. El alfabeto es de 26 letras tendremos estos 26 elementos para la primera posicin de cada lista y as mismo 26 opciones para la segunda posicin, luego hay 262 = 676 listas posibles. b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (m=25). Por consiguiente hay 26 * 25 listas. *.De cuntas formas se pueden colocar en el tablero de ajedrez 8 torres de modo que no se puedan comer una a la otra? Esta claro que en tal distribucin en cada lnea horizontal y en cada vertical habr solamente una torre. Tomemos una de estas distribuciones y denotemos mediantea 1 el nmero de la casilla ocupada en la primera fila horizontal, mediantea 2, en la segunda,..., mediantea 8, en la octava. Entonces a1,,a8 ser cierta permutacin de los nmeros 1,2,...,8 (est claro que entre los nmeros a1,,a8 no hay dos iguales, puesto que de ser as dos torres quedaran en la misma vertical). Recprocamente, si a1,,a8 es alguna permutacin de los nmeros 1,2,...,8 a sta le corresponder cierta distribucin de las torres, en la cual no se podrn comer una a la otra. De esta manera, el nmero de distribuciones buscadas de las torres es igual al nmero de permutaciones de los nmeros 1,3,..., 8, es decir, a P8, que equivale a 40320. *.Supongamos que en las manos de unos lingistas cay un texto escrito mediante 26 signos desconocidos. Estos smbolos son letras que representan uno de los 26 sonidos del idioma. De cuntas maneras se pueden hacer corresponder los sonidos a los signos del idioma? Dispongamos los signos de la escritura en cierto orden. Entonces, cada modo de correspondencia nos dar cierta permutacin de los sonidos. Pero de 26 sonidos se pueden formar permutaciones. Este nmero es aproximadamente igual a . Se sobreentiende que comprobar todas estas posibilidades es un trabajo no slo superior a las fuerzas del hombre, sino a las de una computadora electrnica. Por esto, se trata de disminuir el nmero de posibilidades. Con frecuencia se logra separar los smbolos que denotan vocales de los que denotan consonantes. Supongamos que se pudo hallar 7 signos para las vocales y 19 para las consonantes. Calculemos en cuntas veces disminuyo el nmero de posibilidades. Los 7 signos para las vocales se pueden permutar entre s de 7! formas, y los 19 para las consonantes, 19! maneras. El nmero total de combinaciones es igual a . Esto significa que el trabajo disminuyo en veces. Esta claro que ahora es ms fcil, pero tambin es un nmero gigantesco. Si as reducimos ms el nmero a 4 vocales y 13 consonantes tenemos que las posibilidades que quedan aun son . Este nmero ya puede ser verificado. *.Siete muchachas forman una ronde. De cuntas maneras distintas se pueden colocar en crculo? Si estuviesen paradas sin moverse, se obtendran 7!=5040 permutaciones. *.Cuntas permutaciones se pueden hacer de las letras de la palabra Missisipi? Tenemos aqu una letra m, cuatro i, tres s y una p, habiendo un total de 9 letras. Por lo tanto el nmero de permutaciones es P(4,3,1,1,)=9!/(4!3!1!1!)=2520 . *.Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien ms como vicepresidente. De cuntas formas pueden llenarse esos cargos?. Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: Cuntas listas de dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no est repetida)?. Hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posicin, n=15) y para cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo elemento de la lista (el vicepresidente). Segn el principio de la multiplicacin, hay 15 X 14 (nm) posibilidades. *.Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una mesa directiva formada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. De cuntas maneras se puede hacer la eleccin, suponiendo que un socio puede ocupar slo un cargo?. Trazamos el siguiente diagrama: 15141312 Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente. Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay 15*14 formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos quedarn 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En consecuencia hay 15*14*13*12 formas de seleccionar la mesa directiva.