analisis de estructuras-mecanica analitica

FIC UANL Mecánica Analítica

I.- Estática Estructuras en equilibrio Hibbeler 12 ed cap 6 Análisis estructural.................................................4

6.1 Armaduras simples 263...............................................................................................................................4

6.2 Método de nodos 266.................................................................................................................................7

6.3 Elementos de fuerza cero 272...................................................................................................................13

6.4 Método de secciones 280......................................................................................................................... 13

II.- Estática Estructuras en equilibrio Bedford Fawler cap 6 Análisis estructural...............................................15

6.2 Método de las Juntas o nudos: Juntas especiales.....................................................................................15

6.3 Método de las secciones...........................................................................................................................17

III.- Estática Estructuras en equilibrio Beer Jhonston cap 6 Análisis de estructuras...........................................18

6.2 Definición de una armadura.....................................................................................................................19

6.3 Armaduras simples....................................................................................................................................20

6.4 Análisis de armaduras mediante el método de los nodos.........................................................................20

6.5 Nodos bajo condiciones especiales de carga............................................................................................24

6.7 Análisis de armaduras por el método de secciones..................................................................................24

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I.- Estática Estructuras en equilibrio Hibbeler 12 ed cap 6 Análisis estructural: Objetivo: Mostrar cómo se determinan las fuerzas en los elementos de una armadura, por medio del método de nodos y del método de secciones.

6.1 Armaduras simples 263

Una armadura es una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Estos elementos usualmente son barras de madera o metálicas.En particular, las armaduras planas se sitúan en un solo plano y con frecuencia se usan para soportar techos y puentes. Cuando las armaduras de puente o de techo

se extienden sobre grandes distancias, comúnmente se usa un soporte o rodillo para soportar un extremo, por ejemplo, el nodo A Este tipo de soporte permite la expansión o la contracción

de los elementos debidas a los cambios de temperatura o a la aplicación de cargas.Supuestos para el diseño. Para diseñar los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada

elemento cuando la armadura está sometida a una carga dada. Para esto, haremos dos supuestos importantes:1°.- Todas las cargas se aplican en los nodos. En la mayoría de las situaciones, como en armaduras de puentes y de techos, este

supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el peso de los elementos, ya que la fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho más grande que su peso, pero, si debe ser incluido en el análisis, por lo general se aplica como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada a cada extremo del elemento.

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2°.- Los elementos están unidos entre sí mediante pasadores lisos. Por lo general, las conexiones de los nodos se forman con pernos ó soldando los extremos de

los elementos a una placa de unión, o simplemente pasando un perno o pasador largo a través de cada uno de los elementos, Podemos suponer que estas conexiones actúan como pasadores siempre que las líneas centrales de los elementos

unidos sean concurrentes.

Cuando las armaduras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, comúnmente se usa un soporte o rodillo para soportar un extremo, por ejemplo, el nodo A. Este tipo de soporte permite la expansión o la contracción de los elementos debidas a los cambios de temperatura o a la aplicación de cargas.

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Debido a estos dos supuestos, cada elemento de la armadura actuará como un elemento de dos fuerzas, y por lo tanto, la fuerza que actúe en cada extremo del elemento debe estar dirigida a lo largo del eje del elemento. Si la fuerza tiende a alargar el elemento, es una fuerza de tensión (T); mientras que si tiende a acortar el elemento, es una fuerza de compresión (C). En el diseño real de una armadura es importante establecer si la naturaleza de la fuerza es de tensión o de compresión. A menudo, los elementos a compresión deben ser más gruesos que los elementos a tensión debido al efecto de pandeo o de columna que ocurre cuando un elemento está en compresión.

Armadura simple. Si tres elementos se conectan entre sí mediante pasadores en sus extremos, forman una armadura triangular que será rígida. Al unir dos

elementos más y conectar estos elementos a una nueva junta D, se forma una armadura más grande. Este

procedimiento puede repetirse todas las veces que se desee para formar una Página 4 de 27


armadura aún más grande. Si una armadura se puede construir expandiendo de este modo la armadura triangular básica, se denomina una armadura simple.

6.2 Método de nodos 266

Para analizar o diseñar una armadura, es necesario determinar la fuerza en cada uno de sus elementos. Una forma de hacer esto consiste en emplear el método de nodos. Este método se basa en el hecho de que toda la armadura está en equilibrio, entonces cada uno de sus nodos también está en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre de cada nodo, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener las fuerzas de los elementos que actúan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son elementos rectos de dos fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo está sometido a un sistema de fuerzas que es coplanar y concurrente.En consecuencia, sólo es necesario satisfacer Fx = 0 y Fy = 0 para garantizar el equilibrio.Por ejemplo, considere el pasador situado en el nodo B de la armadura que aparece en la figura. Sobre el pasador actúan tres fuerzas, a saber, la fuerza de 500 N y las fuerzas ejercidas por los elementos BA y BC. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura de la derecha.Aquí, FBA está “jalando” el pasador, lo que significa que el elemento BA está en tensión; mientras que FBC está “empujando” el pasador, y en consecuencia, el miembro BC está en compresión. Estos efectos se demuestran claramente al aislar el nodo con pequeños segmentos del elemento conectado al pasador.

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El jalón o el empujón sobre esos pequeños segmentos indican el efecto del elemento que está en compresión o en tensión.Cuando se usa el método de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. De esta manera, la aplicación de Fx = 0 y Fy = 0 resulta en dos ecuaciones algebraicas de las cuales se pueden despejar las dos incógnitas. Al aplicar esas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede determinarse con uno de dos posibles métodos.1° “por inspección”. Por ejemplo, FBC en la figura b) debe empujar sobre el pasador (compresión) ya que su componente horizontal, FBC sen45°, debe equilibrar la fuerza de 500 N (Fx = 0). De la misma manera, FBA es una fuerza de tensión ya que equilibra a la componente vertical, FBC cos45° (Fy = 0). En casos más complicados, el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse; luego, después de aplicar las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse a partir de los resultados numéricos. Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre se debe invertir.2° Suponga siempre que las fuerzas desconocidas en los elementos que actúan en

el diagrama de cuerpo libre del nodo están en tensión; es decir, las fuerzas “jalan” el pasador. Si se hace así, entonces la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio darán escalares positivos para elementos en tensión y escalares negativos para elementos en compresión. Una vez que se encuentre la fuerza desconocida de un elemento, aplique su magnitud y su sentido correctos (T o C) en los subsecuentes diagramas de cuerpo libre de los nodos.

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6.3 Elementos de fuerza cero 272El análisis de armaduras por el método de nodos se simplifica de manera considerable si podemos identificar primero aquellos elementos que no soportan carga. Esos elementos de fuerza cero se usan para incrementar la estabilidad de la armadura durante la construcción y proporcionar soporte adicional si se modifica la carga aplicada. Los elementos de fuerza cero de una armadura se pueden encontrar por inspección de cada uno de sus nodos.

Por ejemplo, considere la armadura mostrada en la figura:

Si se traza un diagrama de cuerpo libre del pasador situado en el nodo A, figura 6-11b, se advierte que los elementos AB y AF son elementos de fuerza cero. (No podríamos haber llegado a esta conclusión si hubiésemos considerado los diagramas de cuerpo libre de los nodos F o B simplemente porque hay cinco incógnitas en cada uno de esos nodos).

Del mismo modo, considere el diagrama de cuerpo libre del nodo D, figura 6-11c. Aquí se ve de nuevo que DC y DE son elementos de fuerza cero. A partir de estas observaciones, podemos concluir que si sólo dos elementos forman una armadura y no se aplica ninguna carga externa o reacción de soporte al nodo, los dos elementos deben ser elementos de fuerza cero. Por lo tanto, la carga sobre la armadura que aparece en la figura, está soportada sólo por cinco elementos.

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Ahora considere la armadura mostrada en la figura 6-12a. El diagrama de cuerpo libre del pasador en el nodo D se muestra en la figura 6-12b. Al orientar el eje y a lo largo de los elementos DC y DE y el eje x a lo largo del elemento DA, se observa que DA es un elemento de fuerza cero. Observe que éste es también el caso del elemento CA, figura 6-12c.

Por lo general, si tres elementos forman un nodo de armadura en el cual dos de los elementos son colineales, el tercer miembro es un elemento de fuerza cero siempre que no se aplique ninguna fuerza exterior o reacción de soporte al nodo. Por lo tanto, la armadura mostrada en la figura 6-12d es adecuada para soportar la carga P.

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6.4 Método de secciones 280

Cuando necesitamos encontrar la fuerza en sólo unos cuantos elementos de una armadura, ésta puede analizarse mediante el método de secciones. Este método se basa en el principio de que si la armadura está en equilibrio, entonces cualquier segmento de la armadura está también en equilibrio.Por ejemplo, considere la armadura que se muestra en la figura 6-15a. Si se deben determinar las fuerzas en los elementos BC, GC y GF, la sección a-a podría ser apropiada. Los diagramas de cuerpo libre de las dos partes se muestran en las figuras 6-15b y 6-15c. Observe que la línea de acción de cada fuerza del elemento se especifica a partir de la geometría de la armadura, ya que la fuerza en un elemento pasa a lo largo de su eje. Además, las fuerzas del elemento que actúan sobre una parte de la armadura son iguales pero opuestas a las que actúan sobre la otra parte—tercera ley de Newton—. Se supone que los elementos BC y GC están en tensión puesto que se encuentran sometidos a un “jalón”, mientras queGF está en compresión porque se encuentra sometido a un “empujón”.

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II.- Estática Estructuras en equilibrio Bedford Fawler cap 6 Análisis estructural 6.2 Método de las Juntas o nudos: Juntas especiales

Al determinar las fuerzas axiales en las barras de una armadura, el trabajo se simplifica si se está familiarizado con tres tipos de juntas.1.- Juntas de armaduras con dos barras colineales y sin carga (. La suma de las fuerzas debe ser cero, T1 = T2. Las fuerzas axiales son iguales.2.- Juntas de armaduras con dos barras no colineales y sin carga. Como la suma de las fuerzas en x debe ser cero, T2 = 0. Por tanto, T1

también debe ser cero. Las fuerzas axiales son cero.

3.- Juntas de armaduras con tres barras, dos de ellas colineales, y sin carga. Como la suma de las fuerzas en la dirección x debe ser cero, T3 = 0. La suma en la dirección y debe ser cero, por lo que T1 = T2. Las fuerzas axiales en las barras

colineales son iguales y la fuerza axial en la tercera barra es cero.

Método de las juntas para determinar las fuerzas axiales en las barras de una armadura. 1. Determinar las reacciones en los soportes. Por lo general se requiere dibujar el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determinar las reacciones en sus soportes.2. Identificar juntas especiales. Examine la armadura para ver si tiene alguno de los tipos de juntas analizadas en la lista anterior. Aunque no es esencial, este paso puede simplificar la solución.3. Analizar las juntas. Dibuje diagramas de cuerpo libre de las juntas y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Escoja juntas que contengan no más de dos fuerzas desconocidas.

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6.3 Método de las secciones

Cuando solo se requiere conocer las fuerzas axiales en ciertas barras de una armadura, es más rápido determinarlas con el método de las secciones que con el de las juntas. Consideremos de nuevo la armadura Warren que usamos para presentar el método de las juntas. La armadura está cargada en B y D, cada barra tiene 2 m de longitud, y queremos determinar la fuerza axial en la barra BC.Como en el método de las juntas, empezamos por dibujar el diagrama de cuerpo libre de la armadura entera y determinamos las reacciones en los soportes. Los resultados de este paso se muestran en la figura b)

El siguiente paso es cortar las barras AC, BC y BD para obtener un diagrama de cuerpo libre de una parte, o sección, de la armadura (Fig. 6.21). Sumando momentos respecto al punto B, las ecuaciones de equilibrio para la parte izquierda sonFx = TAC + TBD + TBC cos60° = 0,Fy = 500 - 400 - TBC sen60° = 0,M (punto B) = TAC (2 sen60°) - (500)(2 cos60°) = 0.Al resolverlas obtenemos TAC = 289 N, TBC = 115 N y TBD = -346 N.Se puede ver cuán similar es este método al método de las juntas. Ambos implican cortar barras para obtener diagramas de cuerpo libre de las partes de una armadura. En el método de las juntas se avanza de junta en junta, dibujando diagramas de cuerpo libre y determinando las fuerzas axiales en las barras. En el método de las

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secciones se trata de obtener un solo diagrama de cuerpo libre que nos permita determinar las fuerzas axiales en ciertas barras específicas. En nuestro ejemplo obtuvimos un diagrama de cuerpo libre cortando tres barras, incluida aquella(barra BC) cuya fuerza axial queremos determinar.En contraste con los diagramas de cuerpo libre de juntas, las fuerzas sobre los diagramas de cuerpo libre usados en el método de las secciones no suelen ser concurrentes y (como en nuestro ejemplo) se pueden obtener tres ecuaciones de equilibrio independientes. Aunque hay excepciones, por lo general se deben escoger secciones que corten no más de tres barras, porque de lo contrario se tendrán más fuerzas axiales desconocidas que ecuaciones de equilibrio.

III.- Estática Estructuras en equilibrio Beer Jhonston cap 6 Análisis de estructuras Los problemas considerados en los capítulos anteriores estuvieron relacionados con el equilibrio de un solo cuerpo rígido y todas las fuerzas involucradas eran externas a este último. A continuación se estudian problemas que tratan sobre el equilibrio de estructuras formadas por varias partes que están conectadas entre sí. Estos problemas, además de determinar las fuerzas externas que actúan sobre la estructura, implican calcular las fuerzas que mantienen unidas a las diversas partes que la constituyen. Desde el punto de vista de la estructura como un todo, estas fuerzas son fuerzas internas.

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6.2 Definición de una armadura

Una armadura consta de elementos rectos que se conectan en nodos. Los elementos de la armadura sólo están conectados en sus extremos; por tanto, ningún elemento continúa más allá de un nodo. Por ejemplo, en la figura 6.2a no existe un elemento AB, en su lugar existen dos elementos distintos AD y DB. La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas entre sí para formar una armadura espacial. Cada armadura está diseñada para soportar aquellas cargas que actúan en su plano y, por tanto, pueden ser tratadas como estructuras bidimensionales.

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6.3 Armaduras simples

S i tres elementos se conectan entre sí median te pasadores en sus extremos, forman una armadura triangular que será rígida, figura 6-5. Al unir dos elementos más y conectar estos elementos a una nueva junta D se forma una armadura más grande, figura 6-6. Este procedimiento puede repetirse todas las veces que se desee para formar una armadura aún más grande. Si una armadura se puede construir expandiendo de este modo la armadura triangular básica, se denomina una armadura simple.

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6.4 Análisis de armaduras mediante el método de los nodosLa armadura, cuyo diagrama de cuerpo libre se muestra, se puede desarmar y dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada perno y para cada elemento. Cada elemento está sometido a la acción de dos fuerzas, una en cada uno de sus extremos; estas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos

Como las líneas de acción de todas las fuerzas internas en una armadura son conocidas, el análisis de una armadura se reduce a calcular las fuerzas en los elementos que la constituyen y a determinar si cada uno de dichos elementos está en tensión o en compresión.

Los otros polígonos de fuerzas en la figura 6.8 se dibujaron de la misma forma, por ello se pueden reunir en un solo diagrama, como se ilustra en la figura 6.10.

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6.5 Nodos bajo condiciones especiales de carga Observe la figura 6.11a, en la cual el nodo conecta a cuatro elementos que están ubicados sobre dos líneas rectas que se intersecan. El diagrama de cuerpo libre de la figura 6.11b muestra que el perno A está sujeto a dos par es de fuerzas directamente opuestas. Por tanto, el polígono de fuer zas de be ser un paralelo gramo (figura 6.11c) y las fuerzas en elementos opuestos deben ser iguales.

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6.7 Análisis de armaduras por el método de seccionesEl método de los nodos es el más eficiente cuando se deben determinar las fuerzas en todos los elementos de una a madura. pero, si sólo se desea encontrar la fuerza en un elemento o en un número muy reducido de elementos, el método de secciones es el más eficiente.

Su ponga que se desea de terminar la fuerza en el elemento BD de la arma dura que se muestra en la figura Para llevar a cabo esta tarea, se debe determinar la fuerza con la cual el

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elemento BD actúa sobre el nodo B o sobre el nodo D. Si se utilizara el método de los nodos, se seleccionaría al nodo B o al nodo D como el cuerpo libre.

En el método de las secciones, la porción de la arma dura que debe utilizarse se obtiene pasando una sección a través de tres elementos, de los cuales uno debe ser el elemento deseado, esto es, dicha porción se obtiene dibujando una línea que divida a la armadura en dos partes completamente separadas pero que no interseque a más de tres elementos. Cualquiera de las dos porciones de la armadura que se obtenga después de que los elementos intersecados han sido removidos puede utilizarse como el cuerpo libre.

En la figura se ha pasado la sección n-n a través de los elementos BD, BE y CE y se ha seleccionado la porción ABC de la armadura como el cuerpo libre. Las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre son las cargas P1 y P2 que están aplicadas en los pun tos A y B y las tres fuerzas desconocidas FBD, FBE y FCE.Como no se sabe si los elementos removidos estaban en tensión o compresión, de manera arbitraria se dibujaron las tres fuerzas alejándose del cuerpo libre como si los elementos estuvieran en tensión.El hecho de que el cuerpo rígido ABC está en equilibrio se puede expresar con tres ecuaciones, las cuales pueden resolverse para encontrar tres fuerzas desconocidas. Si sólo se desea determinar la fuerza FBD, sólo se necesita escribir una ecuación, siempre y cuando dicha ecuación no contenga a las otras incógnitas. Por tanto, la ecuación ME = 0 proporciona el valor de la magnitud FBD de la fuerza FBD

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