análisis de sistemas de control no lineal · análisis de sistemas de control no lineal sistemas...

UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores

25/05/2004

Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 1

Tem

a II:

Aná

lisis

y D

iseñ

o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

olControl

Análisis de Sistemas de Control no Lineal

Sistemas no linealesFunción descriptiva: Sólo sirve para sistemas sencillos y con determinada característicaLinealización alrededor del punto de operaciónNo puede utilizarse el modelo de función de transferencia, ni siquiera en los casos más sencillos

Tem

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Aná

lisis

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o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

ol

ControlAnálisis de Sistemas de Control no

Lineal

Linealización alrededor del punto de operaciónDesarrollo en serie de Taylor de y=f(x) alrededor de :

...!2

)()()(2

2

2

+−

+−+===

xxdxfdxx

dxdfxfy

xxxx

x

Si es pequeño:

donde:

xx −

)( xxKyy −+=

xxdxdfK

xfy

=

=

= )(


25/05/2004


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as d

e C

ontr

olControl


Ejemplo 1: Controlador todo-nada

C(s)X(s)+

-

1

12+s

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ol

ControlAnálisis de Sistemas de Control no

Lineal

Ejemplo 2: Controlador todo-nada con histéresis

C(s)X(s)+

-

1

12+s


25/05/2004


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as d

e C

ontr

olControl


Simulación controlador todo-nada con histéresis

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o de

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ol

Control Análisis en el espacio de Estados

Resolución de la ecuación de estados lineal

Resolución de la Ecuación de estados homogéneaResolución ecuación escalar:

Resolución ecuación matricial:

xx A=&

axx =&)0()( xetx at=

uxx BA +=&

)0()( xetx tA=


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olControl Análisis en el espacio de Estados

Propiedades de la matriz exponencial

Aplicación de la transformada de Laplace para la resolución de la ecuación invariante en el tiempo

Caso escalar

Caso matricial

IAA =⋅ − tt ee

[ ] )0()(L)( 11 xstx −− −= AI

stst eee AAA ⋅=+ )(

AA AAA ⋅=⋅= − ttt eeedtd

)0(1L)( 1 xas

tx

−= −

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ol


Resolución de la Ecuación de estados no homogénea

Resolución ecuación escalar:

Resolución ecuación matricial:

uxx Β+= A&

buaxx +=&

∫ −+=t

taat dbuexetx0

)( )()0()( τττ

uxx BA +=&

∫ −+=t

tt duexetx0

)( )()0()( τττ BAA


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olControl Análisis en el espacio de Estados

Ejemplo I: Obtener la respuesta ante un escalón unitario del sistema:

Solución ecuación de estados:

Ecuación de salida:

−

+−=

−−

−−

tt

tt

ee

eexx

2

2

2

121

21

1xy =

uxx

xx

+

−−

=

10

3210

2

1

2

1

&

&

tt eey 2

21

21 −− +−=

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ol


Simulación con simulink y gráfica de la salida:

S te p

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

S ta te -S pa ce S cope


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olControl Diseño en el espacio de Estados

Controlabilidad y Observabilidad:Condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa de estado:

Controlabilidad de la salida

Observabilidad completa

)(]|...|||[ 12 nrnBABAABBM n ×= −

nMrango =)(

rnmDBCABCACABCBS n )1(]||...|||[ 12 +×= −

mSrango =)(

)(])(|...|)(||[ 12 nmnCACACACE TnTTTTTT ×= −

nErango =)(

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ol

Control Diseño en el espacio de Estados

Diseño en el espacio de estados mediante bicación arbitraria de polos:

Control mediante realimentación de estados:

uxyuxxDCBA

+=+=&

x

u(t) y(t)

xu K−=


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Diagrama de bloques completo:

∫ yxB C

A

D

-K

x&u

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ol

Control

Pasos para la ubicación arbitraria de polos:1. Comprobar la controlabilidad completa del sistema

2. Obtener el polinomio característico del sistema

3. A partir de los polos deseados, obtener el polinomio característico deseado del sistema

4. Obtener la matriz de transformación

Diseño en el espacio de Estados

nnnnn asasasass +++++=− −−−

12

21

1 ...AI

nnnnn

n sssssss ααααµµµ +++++=−−− −−−

12

21

121 ...))...()((},...,,{ 21 nµµµ

)(]|...|||[ 12 nrnBABAABBM n ×= −

nMrango =)(

WMT ⋅=


25/05/2004


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lisis

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o de

Sis

tem

as d

e C

ontr


= −

−−−

−−−

00...01...............001...01...1...

3

32

121

n

nn

nnn

aaa

aaa

W

5. Obtener la matriz de realimentación K como:

1112211 ]|....|||[ −

−−−− ⋅−−−−= TK aaaa nnnnnn αααα

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o de

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e C

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ol

Control Diseño en el espacio de Estados

=

−−−=

100

651100010

BA

BuAxx +=&

1042

−=±−=

sjs

Ejemplo:

Polos deseados

1xy =

st

M

s

p

55.1

2.0

=

=


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o de

Sis

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as d

e C

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olControl

S um

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

S ta te -S pa ce S cope

-8

Ga in2

-55

Ga in1

-199

Ga in

du/dt

De riva tive 1

du/dt

De riva tive

Matriz de realimentación de estados:

Modelo simulink:


]855199[=K

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e C

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ol

Control

Simulación, estado inicial

Simulación, estado inicial


001

002


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Tem

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Aná

lisis

y D

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o de

Sis

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as d

e C

ontr


Ejemplo: Péndulo invertido

mlkgmkgM

5.01.0

2

===

Tem

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y D

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o de

Sis

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e C

ontr

ol

Control Diseño en el espacio de EstadosEcuaciones de estado

u

M

Ml

xxxx

gMm

MlmM

xxxx

−

+

⋅

−

+

=

/10

10

0001000

0000010

4

3

2

1

4

3

2

1

&

&

&

&

xxxxxx && ==== 4321 θθ

⋅

=

4

3

2

1

2

1

01000001

xxxx

yy


25/05/2004


Tem

a II:

Aná

lisis

y D

iseñ

o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

olControl

u

xxxx

xxxx

−

+

⋅

−

=

5.001

0

00049.010000006.200010

4

3

2

1

4

3

2

1

&

&

&

&

⋅

=

4

3

2

1

2

1

01000001

xxxx

yy


Valores numéricos

Tem

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o de

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as d

e C

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ol

Control

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12


Respuesta ante una perturbación en ángulo (θi=0.1, xi=0)Ángulo en función del tiempo


25/05/2004


Tem

a II:

Aná

lisis

y D

iseñ

o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

olControl

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1


Respuesta ante una perturbación en ángulo (θi=0.1, xi=0)Posición en función del tiempo

Tem

a II:

Aná

lisis

y D

iseñ

o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

ol

Control

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2


Respuesta ante una perturbación en posición y ángulo (θi=0.2, xi=0.2)

Ángulo en función del tiempo


25/05/2004


Tem

a II:

Aná

lisis

y D

iseñ

o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

olControl

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Respuesta ante una perturbación en posición y ángulo (θi=0.2, xi=0.2)

Posición en función del tiempo

Tem

a II:

Aná

lisis

y D

iseñ

o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

ol

Control

Servosistema de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador

Suponiendo para la planta:

El esquema de realimentación sería:

Diseño de servosistemas

xyuxx

CBA

=+=&

BuAxx +=& Cxy =+- +-

k2

k3

kn

k1

…

r y=x1

x


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olControl

Si r es una entrada escalón, la dinámica del error queda:

La matriz K se calcula como en un sistema regulador, mediante ubicación arbitraria de polosEjemplo:


ee )( BKA −=&

=

−−=

100

320100010

BA

BuAxx +=&

1032

−=±−=

sjs

1xy =

st

M

s

p

6.1

16.0

=

=

Tem

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tem

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e C

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ol

Control

La matriz de realimentación resultante es:

Respuesta a un escalón unitario:


]1154160[=K

Time (s ec.)

Am

plitu

de

S tep Res pons e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


25/05/2004


Tem

a II:

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o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

olControl

Servosistema de tipo 1 cuando la planta no tiene integrador

Suponiendo para la planta:

El esquema de realimentación sería:


xyuxx

CBA

=+=&

+- +-kIr y∫ B ++ ∫

A

K

Cxuξξ

.

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as d

e C

ontr

ol

Control

Nueva variable de estado, ξ -> n+1 variables de estado. Ecuaciones de estado:

Definiendo:

Si el sistema es asintóticamente estable:


ruBx

CAx

+

+

⋅

−

=

10

000

ξξ&&

)()()()()()()()()(

∞−=∞−=∞−=

utututt

xtxtx

e

e

e

ξξξ

)(0)(

)(00

)()(

tuB

ttx

CA

ttx

ee

e

e

e

+

⋅

−

=

ξξ&

&


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olControl

Por otra parte:

Definiendo:

Nos queda la siguiente ecuación para el sistema:

Con realimentación de estados:

Se diseña finalmente con ubicación arbitraria de polos


]|[ˆ0

ˆ00ˆ

Ik−=

=

−

= KKB

BCA

A

)()()( tktxtu eIee ξ+−= K

euee BA ˆˆ +=&

=

)()(

)(ttx

tee

e

ξ

)(ˆ)( tetue K−=

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ol

Control

En este caso la controlabilidad completa se comprueba con la matriz:

Ejemplo: Problema 9 de la relación II


−

=0

ˆC

BAM

1)ˆ( += nrango M


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as d

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ontr

olControl Diseño de servosistemas

Problema 9Diseño simulink

Tem

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lisis

y D

iseñ

o de

Sis

tem

as d

e C

ontr

ol

Control Diseño de servosistemasSimulación

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


25/05/2004


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lisis

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Sis

tem

as d

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olControl

Sistemas de control óptimo cuadrático

Sistemas de Control óptimo cuadráticoDado un sistema de control en el espacio de estados:

Se desea seleccionar el vector de control u(t) de manera que se minimice un índice de desempeñoSi se utiliza un índice J tal que

donde L(x,u) es una función cuadrática de x e uRelación lineal mediante una matriz K

uxx BA +=&

∫∞

=0

),( dtuxLJ

)()( txtu K−=

⋅

=

nrnrr

n

n

r x

xx

kkk

kkkkkk

u

uu

......

..................

...2

1

21

22221

11211

2

1

Tem

a II:

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lisis

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ol

ControlSistemas de control con modelo

de referenciaSistemas de Control con modelo de referencia

Dado un sistema de control no lineal en el espacio de estados:

Se utiliza el siguiente esquema para el sistema de control

Y se utiliza un sistema con modelo de referencia lineal, descrito por:

),,( tuxfx =&

vxx dd BA +=&

Sistema con modelo dereferencia

Controlador Planta

Entradade comando

v xdu x


25/05/2004


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olControl Sistemas de Control Adaptable

Sistemas de control adaptable (o adaptativo)Los parámetros del sistema de control se modifican (se adaptan) de manera automáticaNo es necesario disponer de un modelo de la plantaTratan de imitar el comportamiento humano al enfrentarse al control de una planta (Lógica borrosa, Redes Neuronales, etc)

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