an´alisis determinista de observaciones...

Aspectos estad́ısticos y matemáticos de los problemas inversos 76/403

Análisis determinista de observaciones experimentales

Modelo de concentraciones de CO2 y temperatura global

(Problema prototipo sin ley f́ısica de donde derivar un modelo matemático)

Planteamiento del problema.

• El calentamiento global está llegando a ser un serio problema. Un incremento en latemperatura global puede causar el derretimiento de galciares, el achicamiento del Ártico yque se eleve el nivel del mar a escala mundial. Cambios en la cantidad y en los patronesde precipitación pluvial, pueden resultar en inundaciones y seqúıas. Puede haber cambiosen la frecuencia e intensidad de eventos de clima extremos. Por lo anterior, es claramenterelevante entender el calentamiento global de forma cuantitativa. En particular, necesitamosde modelos matemáticos que expliquen el impacto de los humanos en el calentamientoglobal; por ejemplo, como consecuencia de las emisiones de gas invernadero.

J. Héctor Morales Bárcenas c� 2015



Modelo de concentraciones de CO2 y temperatura global

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6Temperatura anomala global

tiempo

Gra

dos

Cel

sius

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020310

320

330

340

350

360

370

380

390

400Concentraciones de CO2 ppm

tiempoCO

2 pp

m

Figura 15: Ilustración del calentamiento global. (a) Datos de temperatura global anómala (consisten dediferencias anuales de 1951 a 2011) están dadas en grados Celsius (Rayner, et al 2003; Brohan, et al 2006); (b)

Datos de Mauna Loa (Tans, 2008) de concentraciones atmosféricas de CO2 dadas en ppmv (partes por millón por

volumen).




Modelo de concentración de CO2

• A partir de la gráfica de los datos se puede sugerir que la tendencia de incremento del CO2se desv́ıa poco de una relación lineal.

• Proponemos el siguiente modelo básico para cuantificar, con la función S, por cuánto nosdeviamos

CO2 = CO2(t0) + S(t)(t � t0),

donde valores iniciales son t0 = 1959 y CO2(t0) = 316 ppmv.

• La función “pendiente”, S(t), la podemos despejar de la fórmula:

S(t) =CO2(t) � CO2(t0)

t � t0,

lo que nos permite calcularla a partir de los datos.





1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5Concentraciones de CO2 ppmv modificadas

tiempo

CO2

ppm

v m

odific

adas

Figura 16: Datos de concentración de CO2 transformados; es decir, la función pendiente S.





• Por lo anterior, la función S(t) se puede escribir mediante la relación lineal

S(t) = 0.7

✓1 +

t � t0

47

◆.

• Por lo que, combinando ambas relaciones, se obtiene un modelo cuadrático de la tasa decambio de las concentraciones de CO2:

CO2(t) = 316 + 0.7

✓1 +

t � 1959

47

◆(t � 1959).





1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020310

320

330

340

350

360

370

380

390

400Concentraciones de CO2 ppm

tiempo

CO2

ppm

Figura 17: Datos y modelo de concentración de CO2 en función del tiempo.





1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 20200

0.5

1

1.5

2

2.5

3Diferencia entre datos y modelo

tiempo

Figura 18: Error de ajuste entre el modelo y los datos en valores absolutos.




Modelo de incremento de temperatura global

• De la gráfica de los datos de incremento de la temperatura global, se puede notar laaleatoriedad significativa de los datos.

• Lo anterior nos podŕıa hacer pensar que se trata de datos dispersos alrededor de un valormedio, cuyas tendencia es crecer conforme transcurre el tiempo.

• Consideremos promedios de estas mediciones, a fin de empezar a tratar con su aleatoriedad.

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4


tiempo

Gra

dos

Cel

sius

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 19: Datos originales y un muestreo de 5 años.





1850 1900 1950 2000−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

1850 1900 1950 2000−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Figura 20: Muestreos de 10 y 20 años.

• Por ejemplo, el promedio de 5 años al tiempo t = 1852, se obtiene sumando las temperaturasde 1850 a 1854 y dividiendo por 5.

• El promedio de 20 años muestra la “reducción” de la aleatoriedad mediante este procedi-miento.





1850 1900 1950 2000−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Figura 21: Muestreo de 20 años.

• Para obtener el modelo de temperaturas anómalas globales, usaremos los datos promediados,y por lo tanto reducidos, de 20 años.

• Observemos que, con estos datos, las variaciones de temperatura son, aproximadamente,constantes hasta el año 1920.





• Supongamos que es suficiente suponer que tal valor constante es �T = -0.35.

• Para tiempos posteriores los valores de temperatura se incrementan. Supongamos que lohacen en proporción a una potencia del tiempo:

�T (t) = �0.35 +

✓t � 1840

a

◆b,

en donde debemos determinar 2 parámetros, a y b.

• Recordemos que usamos la notación �T en vez de T , porque se trata de una diferencia detemperaturas respecto a una de referencia. Ver http://www.cru.uea.ac.uk/data

• La referencia 1840 corresponde con la suposición de que la temperatura no baja de �T =-0.35, para tiempos anteriores a 1840.





• El siguiente paso es determinar los valores de los parámetros a y b.

• Para lo cual realizamos la transformación simple sobre la expresión

ln(�T + 0.35) = b ln

✓t � 1840

a

◆.

• Lo mismo graficamos los datos transformados: ln(�T + 0.35) versus ln(t � 1840).

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4


tiempo

Gra

dos

Cel

sius

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5





• La simplificación que hemos hecho, “reduciendo” la información promediando valores, qui-siéramos que nos funcionara bien, en particular, para años posteriores a 1920. Por lo quesólo tomamos esos útlimos 4 datos en la regresión.

• Del ajuste por ḿınimos cuadrados obtenemos los siguiente valore de parámetros:

ln(�T + 0.35) = 4 ln

✓t � 1840

178

◆,

lo que nos da un buen ajuste sobre los datos, como se observa en la siguiente gráfica:





Según el modelo �T (t) = �0.35 +�t�1840178

�4, considerando datos promediados.

1800 1850 1900 1950 2000 2050−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo

temperatura

1850 1900 1950 2000 2050−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

tiempo

norm

aliz

ed re

sidu

al

Figura 22: Ajuste y residuos: ptrue = (-0.35, 178, 4)





Según el modelo �T (t) = �0.3572 +�

t�1840190.3874

�3.0010, considerando todos los datos.

1800 1850 1900 1950 2000 2050−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo

temperatura

1850 1900 1950 2000 2050−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

tiempo

norm

aliz

ed re

sidu

al

Figura 23: Ajuste y residuos: pbest = (-0.3572, 190.3874, 3.0010)




• El cómputo anterior de el valor de los parámetros, se llevó a cabo mediante el siguientecódigo en MATLAB:

1 %% Sc r i p t que i l u s t r a l e c t u r a de dato s y su d e s p l i e g u e g r a f i c o .2 % ht tp : //www. c ru . uea . ac . uk3 c l e a r a l l4 c l o s e a l l5 c l c67 % Se importan l o s da tos ’ h ad c r u t 3 vg l . t x t ’8 l oad . . . / h ad c r u t 3 vg l . t x t9 % Se a s i gnan v a r i a b l e s a l a s columnas de l o s da to s :

10 g l o b a l X ;11 g l o b a l Y ;12 g l o b a l SIGMA ;13 tempo = hadc r u t 3 vg l ( : , 1 ) ;14 aT = hadc r u t 3 v g l ( : , 1 4 ) ;1516 %% Se d e s p l i e g a n en un g r a f i c o ambas v a r i a b l e s :17 s e t (0 , ’ De fau l tF i gu r eWindowSty l e ’ , ’ docked ’ )18 X = tempo ;19 % y t r u e = aT ;20 p t r u e = [ �0.35; 1 7 8 . 0 ; 4 . 0 ] ;21 y t r u e = rawfunc (X, p t r u e ) ;22 SIGMA = 0.01⇤ ones ( s i z e ( y t r u e ) ) ;23 Y = aT ; % y t r u e + 0.0; %1⇤ randn ( s i z e ( y t r u e ) ) ;2425 %% Ahora , procedemos a r e s o l v e r e l prob lema de m in im i z a c i on26 % usando N puntos i n i c i a l e s a l e a t o r i o s .



27 %28 N = 12 ;29 dimP = l e ng t h ( p t r u e ) ; % Numero de paramet ros30 models = z e r o s ( dimP ,N) ;31 c h i s q v a l s = z e r o s (N, 1 ) ;32 normg = z e r o s (N, 1 ) ;33 i t e r c n t s = z e r o s (N, 1 ) ;34 f o r i = 1 :N35 p0 = [�1.0⇤(1� rand ) ; 200⇤(1� rand ) ; 10.0⇤(1� rand ) ] ;36 [ pest , i t e r c n t s ( i ) ] = lm ( ’ fun ’ , ’ j a c ’ , p0 , 1 . 0 e�14 ,500) ;37 models ( : , i ) = pe s t ;38 c h i s q v a l s ( i ) = ch i 2 ( pest , X , Y, SIGMA) ;39 normg ( i ) = norm ( j a c ( p e s t ) ’⇤ fun ( p e s t ) ) ;40 end4142 %% Hal lamos l o s me jo r e s parametros , ba jo e l43 % c r i t e r i o de minimos cuadrados , segun l a44 % fun c i o n ’ lm ’ , y l a ma t r i z de c o v a r i a n z a .45 %46 pbes t = models ( : , 2 ) ;47 Jbe s t = j a c ( pbe s t ) ;48 covbe s t = i n v ( Jbes t ’⇤ Jbe s t ) ;49 c o r b e s t = z e r o s ( dimP , dimP) ;50 f o r i =1:dimP51 f o r j =1:dimP52 c o r b e s t ( i , j ) = covbe s t ( i , j ) /( s q r t ( covbe s t ( i , i )⇤ covbe s t ( j , j ) ) ) ;53 end54 end55 % f p r i n t f ( ’ The c o r r e l a t i o n mat r i x i s \n ’ ) ;56 c o r b e s t ;57 %5859 %% Gr a f i c a d e l modelo de a j u s t e y l o s da tos .60 %



61 y f i t = rawfunc (X, pbe s t ) ;62 % y f i t = rawfunc (X, p t r u e ) ;63 f i g u r e (2 ) ;64 c l f ;65 book fon t s ;66 p l o t (X, y f i t , ’�� ’ , ’ L ineWidth ’ , 2 ) ;67 ho ld on ;6869 %% Bar ra s de e r r o r s igma .70 %71 e r r o r b a r (X,Y, SIGMA , ’ ko ’ ) ;72 x l a b e l ( ’ t iempo ’ ) ;73 y l a b e l ( ’ t empe ra tu ra ’ ) ;74 %p r i n t �dpdf n l r e g f i t . pd f75 f i g u r e (3 ) ;76 c l f ;77 book fon t s78 % p l o t (X, fun ( p t r u e ) , ’ ko ’ ) ;79 p l o t (X, fun ( pbe s t ) , ’ ko ’ ) ;80 % a x i s ( [ 0 7 �2 2 ] ) ;81 x l a b e l ( ’ t iempo ’ ) ;82 y l a b e l ( ’ no rma l i z ed r e s i d u a l ’ ) ;83 %p r i n t �dpdf r e s i d u a l s . pdf




• Se emplearon las siguientes funciones en MATLAB:

1 %2 % f=fun ( p )3 %4 f u n c t i o n f = fun ( p )5 g l o b a l X ;6 g l o b a l Y ;7 g l o b a l SIGMA ;8 f = z e r o s ( l e n g t h (Y) ,1 ) ;9 f = ( rawfunc (X, p ) � Y) . /SIGMA ;

1 %2 % computes y = p (1) + power ( ( x � 1840) /p (2 ) , p (3 ) ) ;3 %4 % y=rawfunc ( x , p )5 %6 f u n c t i o n y = rawfunc ( x , p )7 y = p (1) + power ( ( x � 1840) /p (2 ) , p (3 ) ) ;

1 %2 % J=j a c ( p )3 %4 f u n c t i o n J=j a c ( p )5 g l o b a l X ;6 g l o b a l Y ;



7 g l o b a l SIGMA ;8 m=l eng t h ( p ) ;9 n=l e n g t h (X) ;

10 J=z e r o s (m, n ) ;11 f o r j =1:n12 J ( : , j ) =([ 1 . 0 ; �(p (3 ) . / p (2 ) ) .⇤ ( (X( j )�1840) . / p (2 ) ) . ˆ p (3 ) ; . . .13 ( (X( j )�1840)/p (2 ) ) . ˆ p (3 ) .⇤ l o g ( p (3 ) ) ] ) /SIGMA( j ) ;14 end15 J=J ’ ;

1 [ x s t a r , i t e r ]=lm ( func , j ac , x0 , t o l , max i t e r )23 Use the Levenberg�Marquardt a l g o r i t hm to min imize45 f ( x )=sum( F i ( x ) ˆ2)67 func name o f the f u n c t i o n F( x )8 j a c name o f the Jacob i an f u n c t i o n J ( x )9 x0 i n i t i a l gue s s

10 t o l s t opp i n g t o l e r a n c e11 max i t e r maximum number o f i t e r a t i o n s a l l owed1213 Retu rns14 x s t a r b e s t s o l u t i o n found .15 i t e r I t e r a t i o n count .




• Empleando los modelos obtenidos

CO2(t) = 316 + 0.7

✓1 +

t � 1959

47

◆(t � 1959),

�T (t) = �0.35 +

✓t � 1840

178

◆4,

podemos hacer predicciones.

• De acuerdo con la fórmula de concentración del CO2, al final del siglo XXI (t = 2100), laconcentración será de 710.8 ppmv.

• ¡Este valor es 154 % arriba del que se teńıa en la era preindustrial, de 280 ppmv!

• Esta fórmula también muestra que las emisiones por año de CO2 se incrementarán. En elaño 2000, la tasa de incremento de la concentración de CO2 (la diferencia de emisiones deCO2 de 2000 a 2001) fue de 2ppmv por año.

• En 2010, la tasa de incremento será de 2.3 ppmv por año.




• De acuerdo con la fórmula de incremento anómalo de la temperatura, habremos de esperarun incremento global de 4.2 grados cent́ıgrados al final de este siglo, lo que significa unincremento de 4.55 grados, comparado con las temperaturas de 1840.

• Obviamente, tales incrementos tendŕıan consecuencias dramáticas. Estas predicciones sonútiles para comprender la dimensión del problema, pero no explican de manera expĺıcitala relación entre las observaciones del incremento anómalo de la temperatura global y losincrementos de las concentraciones de CO2, lo que ayudaŕıa a enfocar el problema de mejormanera.




Relación �T � CO2

• Para observar con claridad los efectos del incremento de las concentraciones de CO2 sobrelos incrementos en la temperatura global, vamos a combinar ambos modelos.

• Para ello, observemos que el el tiempo t (años) se puede expresar en términos de latemperatura �T de la siguiente forma:

t = 1840 + 178(�T + 0.35)1/4,

y substituimos en la fórmula de concentraciones del CO2:

CO2 = 316 + 0.7

1 +

178(�T + 0.35)1/4

47

!⇣178(�T + 0.35)1/4 � 119

⌘,

de donde podemos despejar a �T .





La fórmula �T (CO2) se lee:

�T = �0.35 +

"119

178+

47

329

r1 +

40

329(CO2 � 316) � 1

!#4.

320 330 340 350 360 370 380 390 400

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Temperatura en funcion de CO2

CO2

∆ T





320 330 340 350 360 370 380 390 400

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

CO2

∆ T

Temperatura en funcion de CO2

Relacion ∆ T vs CO2Regresion lineal

Figura 24: Regresión lineal sobre el modelo �T vs CO2: �Tlineal = 0.0084CO2 � 2.8023.


an´alisis determinista de observaciones...

Documents