ANALISIS DINAMICO DE UN MONOCICLO

DANIEL EDUARDO SERNA BUITRAGO

Estudiante de ingeniería mecánica

ASESORA:

ANA MARÍA POLANCO, M.Sc., Ing. Mec.

PROYECTO DE GRADO

PARA OPTAR POR EL TITULO DE INGENIERO MECANICO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

FACULTAD DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

BOGOTÁ

ABRIL, 2010

AGRADECIMIENTOS

Primero que todo quiero agradecer a mis padres por brindarme un estudio de alta calidad, y por apoyarme constanteme nte a lo largo de esta carrera tan dura y tan exigente que me ha hech o una mejor persona. Seguido a esto quiero agradecer a la unive rsidad, por todos los conocimientos brindados y por sus metodologías de estudio, las cuales me han hecho una persona analítica, critica, autocritica y autosuficiente. Y finalmente a mi asesora por apoya rme y acompañarme en este proyecto que fue de gran interé s para mí, y el cual logro sacar lo mejor de mí, debido a su comple jidad, y a los pocos estudios que existían sobre el tema.

Tabla de Contenidos

1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 4

2. OBJETIVOS .............................................................................................................................. 5

2.1 Objetivo general ............................................................................................................. 5

2.2 Objetivos específicos ...................................................................................................... 5

3. MOTIVACIÓN .......................................................................................................................... 6

4. MARCO TEÓRICO .................................................................................................................... 7

4.1 Trabajo previo y estado del arte ...................................................................................... 7

5. PROCEDIMIENTO .............................................................................................................. 10

5.1 Modelo ......................................................................................................................... 11

5.2. Ecuaciones de movimiento. .......................................................................................... 12

5.3. Condiciones iníciales ..................................................................................................... 20

5.4. Resolución ecuaciones .................................................................................................. 23

5.5. Resultados .................................................................................................................... 25

6. CONCLUSIONES .................................................................................................................... 33

7. EXTENSION DEL PROYECTO ................................................................................................... 34

8. ANEXOS ................................................................................................................................ 35

9. REFERENCIAS ........................................................................................................................ 59

1. INTRODUCCIÓN

La dinámica se define como el estudio de objetos en movimiento, es una rama muy importante de la ingeniería, ya que nos permite entender el funcionamiento de muchas de las máquinas que hoy en día tenemos. Dada esta rama de la ingeniería, en muchos mecanismos es de gran interés conocer como se mueve esta a través del tiempo, por esta razón se decidió obtener conocimiento sobre cómo se mueve un monociclo, que es básicamente un v ehículo de una sola rueda, el cual tiene una barra que rota con respecto al ej e de la rueda, y en el otro extremo de esta barra, se encuentra la silla en la cual se sienta el que maneja este vehículo, como se muestra en la ilustración 1, este vehículo presenta un movimiento muy particular, el cual resulta interesa nte y llamativo de estudiar, además que existe una motivación particular para es tudiar este tema, ya que he utilizado este vehículo como hobby, es un vehículo que es muy divertido y entretenido de usar y avances en la comprensión del movimiento de este vehículo, nos podría facilitar el uso de este, ya q ue no todas las personas son capaces de manejar este vehículo, y estudiando el m ovimiento de este vehículo se podrían cambiar variables del sistema para que los movimientos del ser humano que maneja este vehículo, cada vez requieran de una menor habilidad y sea más fácil su uso. Además la comprensión del movimiento de este vehículo, podría permitir el desarrollo de vehículos alternativos, q ue basan su movimiento en el de un monociclo.

Ilustración 1 monociclo

2. OBJETIVOS

2.1 Objetivo general

El objetivo general de este proyecto es el de estud io, comprensión y simulación dinámica del movimiento de un monociclo.

2.2 Objetivos específicos

• Calcular los centros de masa del sistema ubicarlos apropiadamente y determinar su efecto dinámico.

• Realizar un modelo del monociclo que se acerque a la realidad.

• Determinar las ecuaciones de movimiento

• Obtener las ecuaciones analíticas que modelan el c omportamiento dinámico del monociclo.

• Medir mediante experimentación el movimiento del m onociclo y compararlo con la solución de las ecuaciones analíticas.

3. MOTIVACIÓN

La motivación personal para realizar este proyecto, es la particularidad del movimiento que se presenta en un monociclo, es bast ante curioso ver como existe la posibilidad que una persona se pueda balancear e n una rueda, y que tenga la posibilidad de desplazarse por diferentes lugares e n ella, además existe el gusto por utilizar este vehículo y verlo como un deporte.

Los estudios en la dinámica de monociclos o modelos parecidos en comportamiento a los monociclos, tienen enfocados s us fuerzas en estudiar el control y la estabilización de péndulos invertidos, o péndulos invertidos dobles, por lo cual los estudios que se han realizado sobre el tema, están básicamente basados en las áreas de la ingeniería electrónica c omo el control y en la robótica, entonces la motivación es básicamente, la de compre nder como se mueve este vehículo, sin enfocarse en la estabilización, ya qu e existen casos específicos en el movimiento en donde el comportamiento de los péndul os no es un comportamiento estable en donde los ángulos son cer canos a cero, sino como se verá más adelante no se puede tener un movimiento e stable, para que sea posible este tipo de movimiento.

4. MARCO TEÓRICO

4.1 Trabajo previo y estado del arte

Los trabajos que se han desarrollado alrededor de l os monociclos, son básicamente en el campo de la robótica o en un camp o en el que generalmente se especializan los ingenieros electrónicos, como lo e s el control. Se puede decir que en la parte en la cual coinciden de cierta forma es en el modelo matemático para poder modelar el movimiento del monociclo. Algunos artículos científicos utilizan la mecánica de newton, específicamente utilizando que la fuerza es igual a la masa por la aceleración, lo otra metodología para resolv er este tipo de problemas es la de Lagrange. La mecánica newtoniana como ya se habí a mencionado utiliza la segunda ley de newton que nos dice, que F=m*a, mien tras que la metodología lagrangiana utiliza las ecuaciones de energía cinét ica y potencial, en algunos casos la metodología newtoniana, puede llegara a se r muy complicada ya que se pueden tener varios sistemas que interactúan entre sí, lo cual dificulta los cálculos, además pueden aparecer muchas variables, en cambio con el método de Lagrange, simplemente se calcula la energía y se ca lculan unas derivada, y esto representa el movimiento del sistema. (1) (2).

En La bibliografía citada anteriormente se encuentr a información que es de gran utilidad para el desarrollo de este proyecto, como por ejemplo, que para el sistema que se desea estudiar, primero se deben definir las coordenadas generalizadas del sistemas a estudiar, que en todos los casos est udiados, básicamente las variables de interés, son los ángulos de los péndul os, y el movimiento de la base del péndulo, que en muchos de los casos, es solo un a base que tiene movimiento traslacional, por otro lado en el caso del monocicl o, se tiene una llanta que al rotar es la que brinda el movimiento traslacional, por lo tanto esta rotación y traslación de la llanta son las restantes coordenadas generali zadas, pero para no tener tantas ecuaciones, se toma en cuenta la ecuación de ligadura o de restricción en la cual se asume que no hay deslizamiento en la lla nta, por lo tanto se puede relacionar la traslación y la rotación de la llanta en una ecuación, lo cual nos eliminara una de las coordenadas generalizadas.

Adicionalmente, en estos trabajos se puede ver que para sistemas que poseen varios cuerpos, se calcula la energía cinética y po tencial para cada uno de los cuerpos, y para la energía total del sistema, simpl emente se pueden sumar. También otro beneficio que tiene el método de Lagra nge son las ecuaciones de

ligadura, las cuales en realidad representan fuerza s que se encuentran aplicadas al sistema, mas sin embargo, no se pueden definir, pero si se puede saber el efecto de estas fuerzas sobre el movimiento del sis tema.

Las bases para hallar las ecuaciones de movimiento empiezan con las definiciones de la energía cinética y la energía po tencial. Primero recordemos la definición del trabajo entre dos puntos:

��� = � ����� [1]

Y recordando que la fuerza es igual a la masa por l a aceleración, que podemos reescribir a ds como v*dt, y suponiendo que en el r ecorrido entre el punto 1 y el punto 2, la masa se mantiene constante, podemos sim plificar la expresión anterior a la siguiente.

��� = � ����� = � ��

� �� ∗ � �� = �

� ���� − ���� [2]

En donde se sabe que la energía cinética es una mag nitud escalar igual a ���� por

lo tanto el trabajo efectuado entre los dos puntos es el cambio en la energía cinética.

� = ���� [3]

��� = �� − �� [4]

El trabajo realizado por una fuerza conservativa no depende del camino, entonces este trabajo se puede decir que es la variación de un escalar que solo depende de la posición en los dos puntos.

� ∗ � = −�� [5]

Donde

� = �ℎ [6]

Cabe aclarar que no se tiene en cuenta la fuerza de fricción entre el piso y la rueda del monociclo, ya que el modelo lagrangiano, no tiene en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre el sistema, sino que en co mpensación de estas fuerzas, se presentan las ecuaciones de ligadura, es decir, no se tiene en cuenta la cuantificación de algunas fuerzas, sino que se tien e en cuenta el efecto que ellas tienen sobre el sistema. Conociendo estas dos carac terísticas de un sistema podemos conocer el lagrangiano, el cual está dado p or la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial del sistema (2):

� = � − � [7]

Este lagrangiano estará en función de las coordenad as generalizadas del sistema, que son las coordenadas independientes que definen la posición y orientación de cada uno de los objetos del sistema. Como el lagran giano depende de las coordenadas generalizadas, las ecuaciones de movimi ento salen de derivadas parciales del lagrangiano con respecto a estas coor denadas generalizadas. Como se muestra a continuación.

��

����� �

− �����

= 0 [8]

En donde el subíndice i de !" varía desde 1 hasta el número de coordenadas generalizadas, es decir !" con i igual a 1 es la ecuación para la primera coordenada generalizada y así sucesivamente hasta o btener todas las ecuaciones, por lo tanto se obtendrán tantas ecuaci ones de movimiento como coordenadas generalizadas, además de las ecuaciones de ligadura.

5. PROCEDIMIENTO

El procedimiento utilizado para cumplir con los obj etivos del proyecto satisfactoriamente y poder comparar el movimiento r eal del monociclo con el movimiento que representan las ecuaciones fue el si guiente:

• Primero se realizó un modelo mecánico del monocicl o.

• Luego mediante las ecuaciones de Lagrange, se proc edió a calcular diferentes características del mecanismo, para pode r calcular las ecuaciones de movimiento.

• Ya teniendo las ecuaciones, se realizó un experime nto de análisis de movimiento para calcular las condiciones iníciales que se iban a ingresar para la solución de las ecuaciones, ya que eran ecu aciones diferenciales, se realizaron dos experimentos que representaban do s casos de movimiento y dos condiciones iníciales, además se m idieron dos de las variables para poder comparar los datos teóricos (a rrojados por las ecuaciones diferenciales) y los experimentales.

• Después se procedió a resolver las ecuaciones medi ante el método de

Runge-Kutta de cuarto orden.

• Finalmente se analizaron y compararon los resultad os.

5.1 Modelo

El modelamiento que se hizo del monociclo, fue como el que se muestra a continuación:

Este modelo consiste básicamente en la rueda del mo nociclo, y un doble péndulo, en donde el péndulo 1 representan la barra del asie nto del monociclo, y el péndulo 2 representa el tronco de la persona que está manej ando el monociclo, este modelo consiste en 4 cuerpos contando el suelo en e l que se mueve y 3 uniones por lo tanto tiene 3 grados de libertad, la variabl e # representa el ángulo que gira la llanta del monociclo, R es el radio de la llanta , M es la masa de la llanta, g la gravedad, l1 la distancia desde el eje de la llanta hasta el centro de masa del péndulo 1, m1 la masa del péndulo 1, θ1 es el ángulo entre la vertical y el péndulo 1 y las mismas variables con subíndice 2 serian el equivalente ya nombrado con subíndice 1, para el péndulo 2. Las coordenadas gen eralizadas de este sistema son $�% $�% # y X. En donde X da la posición del sistema, y cada elem ento del sistema

depende de esta variable, # es la rotación de la llanta que da la orientación de la llanta y a su vez la posición del sistema, ya que e sta variable y X están relacionadas por la ecuación de ligadura, $�% $� representan la orientación del péndulo 1 y péndulo 2 respectivamente. Se puede not ar que los péndulos no necesitan una coordenada que representa la posición , porque la posición de los péndulos depende de X. El sistema de coordenadas está ubicado a la misma a ltura del eje de la llanta y el monociclo esta a una distancia X de este sistema. T ambién cabe aclarar que como

Ilustración 2 Modelo del monociclo real

Ilustración 3 modelo monociclo grafico

se está utilizando el sistema de coordenadas tradic ional (X positivo hacia la derecha, Y positivo hacia arriba) entonces la conve nción para los ángulos también es la tradicional (ángulos positivos en el sentido contrario de las manecillas del reloj y ángulos negativos en la dirección de las ma necillas del reloj) lo cual quiere decir, que si el monociclo está avanzando en la dir ección positiva, una inclinación hacia adelante de cualquiera de los dos ángulos, si gnificaría un ángulo negativo y una inclinación hacia atrás significaría ángulos po sitivos. A continuación se mostrara una imagen que ilustra esta aclaración.

Ilustración 4 nomenclatura ángulos

5.2 Ecuaciones de movimiento.

Como se explico anteriormente se necesita calcular el lagrangiano de este sistema dinámico para así determinar, las ecuaciones que de scriben el movimiento de este sistema. Para calcular el lagrangiano, como se habí a mencionado previamente se debe calcular la energía cinética y la potencial de este sistema. Para lograr calcular la energía cinética se calcularon las posi ciones de los centros de masa de la llanta, el péndulo 1 y el péndulo 2 con respecto al sistema de coordenadas de la

ilustración 3. Seguido a este cálculo, se derivan e stas posiciones con respecto al tiempo, teniendo en cuenta las variables que varían con el tiempo y finalmente se halla el cuadrado de estas derivadas para poder obt ener la velocidad al cuadrado, la cual es la variable necesaria para calcular la e nergía cinética. La posición del centro de masa del péndulo 1 se cal cula a continuación: Se suma la distancia X desde el origen del sistema de coordenadas hasta el eje de la llanta, y como una inclinación hacia adelante es un ángulo negativo, lo cual implica que el centro de masa de este péndulo está más lejos que el eje de la llanta, pero como la función trigonométrica seno ti ene la propiedad que el seno de un ángulo negativo es igual a menos el seno del áng ulo positivo.

Ilustración 5 Posición en X péndulo 1

Entonces se resta el seno del ángulo, para que cuan do este sea negativo, en realidad se sume esta cantidad, y adicionalmente po r trigonometría se multiplica por la distancia del péndulo, la cual equivale a la hipotenusa de este triangulo y así obtener la distancia horizontal.

Ilustración 6 triangulo péndulos

&'( $ = )*+ ��������������� , ������������ -� = ℎ ∗ &'( $ [9]

Por lo tanto, la posición en la dirección X del cen tro de masa del péndulo 1 es: -�./ = - − 0� &'( $� [10]

La posición en la dirección Y, también se calcula p or trigonometría.

1�./ = 0� 23& $� [11]

Luego se procede a derivar con respecto al tiempo, en este sistema se considerará que las únicas variables que varían con respecto al tiempo, son los ángulos de los péndulos, la posición del monociclo y el ángulo de la llanta.

-��./ = -� − 0� 23&$� $�� [12]

1��./ = −0� &'( $� $�� [13]

Y como se había mencionado previamente se elevan al cuadrado, cada una de las componentes para luego sumarlas y obtener la veloci dad al cuadrado.

-��./� = -� � − 4-� 0� 23&$� $�� 5 0�� 23&$�� $��

� [14]

1��./� = 0�� &'($�� $��

� [15]

��� = -��./� 5 1��./

� = −4-� 0� 23&$� $�� 5 0�� 23& $�� $��� 5 0�� &'( $�� $��

� [16]

Sacando factor común 0��$��� nos queda,

V�� = -� � − 4-� 0� 23& $� $�� 5 0��$��

��&'( $�� 5 23&$��� [17]

Aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

�&'( $�� 5 �23& $�� = 1� [18]

Queda la siguiente expresión:

��� = -� � − 4-� 0� 23& $� $�� 5 0��$��� [19]

Se repite el mismo procedimiento para el centro de masa del péndulo 2, teniendo en cuenta que el péndulo 2 depende del péndulo 1, p or lo tanto se debe sumar la posición en X y en Y del péndulo, pero teniendo cui dado en que la distancia l1 es solo hasta la mitad del péndulo, por lo tanto se de be sumar dos veces la posición del centro de masa del péndulo 1. -�./ = - − 40� &'( $� − 0� &'($� [20]

1�./ = 40� 23& $� 5 0� 23&$� [21]

-��./ = -� − 40� 23& $� $�� − 0� 23& $� $�� [22]

1��./ = −40� &'( $� $�� − 0� &'($� $�� [23]

-��./� = -� � − 4-� 0� 23&$� $�� − 4-� 0� 23& $� $�� 5 40�0� 23&$� 23& $�$��$�� 5 4 0�

� 23&$�� 50�� 23&$�� $��

� [24]

1��./� = 40�� &'($�� $��

� 5 40�0� &'( $� &'($� $��$�� 5 0�� &'($�� $��� [25]

��� = -��./� 5 1��./

� [26]

��� = 40�� 23& $�� $��� 5 40�� &'( $�� $��

� 5 0�� 23& $�� $��� 5 0�� &'( $�� $��

� 5 -� � −4-� 0� 23& $� $�� − 4-� 0� 23& $� $�� 5 40�0� 23& $� 23& $� $��$�� 5 40�0� &'( $� &'( $� $��$�� [27]

Para simplificar un poco esta ecuación se saca fact or común 40��$���

, �0��$���

,

40�0�$��$�� y se utilizó la identidad trigonométrica que ya se mostro anteriormente y la siguiente:

&'($� &'( $� 5 23&$� 23& $� = 23&�$� − $��� [28]

Y queda de la siguiente forma:

��� = 40��$��� 5 0��$��

� 5 -� � − 4-� 0� 23&$� $�� − 4-� 0� 23&$� $�� 5 40�0�$��$�� 23&�$� − $�� [29]

La energía cinética viene dada por:

�������9� ������ [30]

Luego por geometría se calcula la energía potencial , que básicamente es proporcional a la masa y a la altura a la cual se e ncuentra ubicada esta masa.

:� = �0� 23&$�� ∗ �� [31]

:� = �40� 23&$� 5 0� 23& $�� ∗ �� [32]

Finalmente cuando se tienen calculados estas energí as se puede proceder a calcular el lagrangiano, que está dado por la difer encia entre la energía cinética y la energía potencial.

� = � − � [33]

Donde, T representa la energía cinética y V la ener gía potencial. Utilizando esta definición y agregando la energía cinética de la ll anta, la cual es proporcional al cambio en el tiempo de la posición de la llanta al cuadrado más la velocidad rotacional de la misma al cuadrado, podemos calcula r el lagrangiano.

� = ������ 5 �

����� 5 �� ;�$�

� 5 �� ;�$�

� 5 ��<-� � 5 �

� ;#�� − �0� 23& $�� ∗ �� − �40� 23& $� 5 0� 23& $�� ∗ �� [34]

Como se había explicado anteriormente, las ecuacion es de movimiento de un sistema dinámico, vienen dadas por la derivada con respecto al tiempo, de la derivada parcial del lagrangiano con respecto a la derivada de cada una de las coordenadas generalizadas, menos la derivada parcia l del lagrangiano con respecto a cada una de la coordenadas generalizadas (2).

Es decir, la ecuación general que describe el movim iento del sistema dinámico es

la siguiente, en donde !" representa cada una de las coordenadas generalizada s.

��

����� �

− �����

= 0 [35]

Las tres ecuaciones para nuestro sistema son las si guientes:

��

���$�1

− ���$1

= 0 [36]

��

���$�4

− ���$4

= 0 [37]

��

���-� −

���) = 0 [38]

Y la ecuación de ligadura o de restricción, la cual nos indica que la llanta avanza sin deslizar es la siguiente:

-� = #�= [39]

Se realizan las operaciones correspondientes para h allar las ecuaciones de movimiento.

���>�*

= ���?−4-� 0� 23&$� 5 40��$��@ 5 �

��?80��$�� − 4-� 0� 23&$� 5 40�0�$�� 23&�$� − $��@ 5 ;�$���

[40]

���>*

= ���?4-� 0� &'( $� $��@ 5 �

��?4-� 0� &'( $� $�� − 40�0�$��$�� &'(�$� − $��@ 5 ��0� &'( $� 5 4��0� &'( $�� [41]

���$�4

= ���?40��$�� − 4-� 0� 23& $� 5 40�0�$�� 23&�$� − $��@ 5 ;�$���� [42]

���$4

= ���?4-� 0� &'( $� $�� 5 40�0�$��$�� &'(�$� − $��@ 5 ��0�&'(��$�� [43]

���B� =

���?4-� − 40� 23& $� $��@ 5 �

��?4-� − 40� 23& $� $�� − 40� 23& $� $��@ 5 <-� 5 CD� -�

[44]

���B = 0 [45]

Luego se procede a calcular las derivadas con respe cto al tiempo como se indica en la ecuación general de movimiento.

��

���>�*

= ���?−4-E 0� 23& $� 5 4-� 0� &'( $�$�� 5 40��$E�@ 5 �

��?80��$E� − 4-E 0� 23& $� 54-� 0� &'( $� $�� 5 40�0�$E� 23&�$� − $�� − 40�0�$�� &'(�$� − $���$�� − $���@ 5 ;�$E� [46]

��

���>��

= ���?40��$E� − 4-E 0� 23& $� 5 4-� 0� &'( $� $�� 5 40�0�$E� 23&�$� − $�� −

40�0�$�� &'(�$� − $��?$�� − $��@@ 5 ;�$E� [47]

��

���)� =

���?4-E − 40� 23& $� $E� 5 40� &'( $� $���@ 5 �

��?4-E − 40� 23& $� $E� 540� &'( $� $��� − 40� 23& $� $E� 5 40� &'( $� $���@ 5 <-E 5 C

D� -E [48]

Y finalmente llegamos a unir las diferentes variabl es calculadas, para obtener las ecuaciones de movimiento.

−�F� 5 G��-E 23&�$�� 5 �H� 5 �� − I� − J��-�$�� &'( $� 5 K�$E� 23&�$� − $�� − L�$�� &'(�$� − $�� ?$�� −$��@ 5 ��$��$�� &'(�$� − $�� − �<� 5 M�� &'($� = 0 [49]

�F� 5 ���$E� − H�-E 23& θ� 5 �C� − G��X� θ�� &'( θ� 5 D�θE� 23&�θ� − θ�� − E�θ�� &'(�θ� −θ�� ?$�� − $��@ − L�$��$�� &'(�θ� − θ�� − I� &'(θ� = 0 [50]

�FU 5 VU 5 ;U 5 IU�-E − �HU 5 GU�$E� 23&$� 5 �WU 5 �U�$��� &'( $� − KU$E� 23&$� 5

LU$��� &'($� 5 ;U-E 5 IU-E = 0 [51]

Donde las variables A1, A2, A3, B1, B2, B3… son fun ciones de las constantes físicas del sistema, como las masas de los péndulos , la masa de la llanta, el radio de la llanta, la inercia de la llanta, las longitud es de los péndulos hasta su respectivo centro de masa, la gravedad y las inerci as.

F1 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [52]

�F4 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^��

��� [53]

F3 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 [54]

�H1 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [55]

�H4 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [56]

H3 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [57]

�W1 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^��

� [58]

�W4 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [59]

W3 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [60]

�V1 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 8 ∗ 0[\�]�^��� [61]

�V4 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� ∗ 0[\�]�^�� [62]

V3 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 [63]

�G1 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [64]

�G4 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� ∗ 0[\�]�^�� [65]

G3 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [66]

��1 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [67]

��4 = ]\`ab]Z� [68]

�3 = X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [69]

�K1 = � X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� ∗ 0[\�]�^�� [70]

�K4 = � X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [71]

K3 = �X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [72]

�L1 = K1 [73]

�L4 = �X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� ∗ 0[\�]�^�� [74]

L3 = �X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [75]

�;1 = ]\`ab]Z� [76]

�;4 = ZZ� ∗ � ∗ 0[\�]�^�� [77] ;3 = <ZZcde�f [78]

�I1 = −X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [79]

I3 = Cgech"fijklm

Df�"nijklm� [80]

�J1 = −X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� [81]

��1 = −X��Y ∗ ZZ� ∗ 4 ∗ 0[\�]�^�� ∗ 0[\�]�^�� [82]

�<1 = ZZ� ∗ � ∗ 0[\�]�^�� [83]

�M1 = 4 ∗ 0[\�]�^�� ∗ ZZ� ∗ � [84] �

5.3 Condiciones iníciales

Para poder resolver numéricamente las ecuaciones de movimiento y compararlas con datos reales, se realizó un análisis de movimie nto, con las cámaras del sistema Optitrack que se encuentran en el colivrí q ue es el colaboratorio de visualización inmersiva, robótica, interacción y au tomatización. Estas cámaras nos permiten obtener el movimiento de un marcador o var ios, en un espacio tridimensional, y tiene una velocidad de captura pr ogramable, que para los experimentos realizados fueron de 60 y 80 cuadros p or segundo. Se ubicaron marcadores en el monociclo para medir dos de las co ordenadas generalizadas y luego resolver para una ecuación diferencial y veri ficar que esta ecuación modela el movimiento del monociclo. Las coordenadas genera lizadas que se midieron fueron la posición X y el ángulo del monociclo $�. Estas condiciones iníciales, las arrojaba el software Recap, aunque solo la condició n sin sus derivadas, por lo cual para hallar sus derivadas y para dejar estas condic iones iníciales en función del tiempo, se aproximaron los datos medidos a un polin omio de cierto grado, en donde el polinomio tuviera el comportamiento y pasa ra por todos los datos posibles. Ya teniendo el polinomio del grado que má s se aproximara a los datos, se podrían calcular sus derivadas derivando la expr esión. Este procedimiento se realizó para dos casos, como ya se había mencionado un caso en el que el monociclo avanzara en la dirección x, y el otro en el cual se balanceará, es decir, que avanza y retrocede en varias ocasiones en la di rección X.

Los marcadores utilizados para el experimento fuero n ubicados en la parte trasera del asiento del monociclo (numeral 1 en la imagen s uperior izquierda), se ubicaron otros dos marcadores en cada lado del tenedor del m onociclo (numeral 2 en la imagen superior izquierda), además se ubicaron dos marcadores en los extremos de los pedales del monociclo (numeral 3 en la image n superior izquierda). Y finalmente se ubicaron dos marcadores adicionales e n el borde exterior de los zapatos.

1

2

3

Ilustración 7 marcadores monociclo Ilustración 8 marcadores software recap

Para el caso 1 los datos de posición arrojados por el experimento son los siguientes:

Ilustración 9 Grafica de posición del monociclo

Se puede ver en la grafica superior, que el monocic lo va avanzando casi linealmente, que es exactamente el caso que queremo s evaluar, por razones de manejo del monociclo es muy difícil tener una veloc idad constante o a una tasa de incremento o decremento constante por lo cual en es te caso se tiene aceleración variable, que como se había mencionado antes se cal cula mediante la aproximación de los datos de posición a un polinomi o y simplemente se deriva para hallar la velocidad y la aceleración. Como ver emos en el reporte de resultados la aceleración será muy importante para comprender y analizar el movimiento de un monociclo.

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Po

sici

ón

(m

)

Tiempo (sg)

Posición vs tiempo

5.4 Resolución ecuaciones

Como podemos ver estas ecuaciones diferenciales ade más de ser de segundo orden, son no lineales (ecuaciones diferenciales de segundo orden, ordinarias no lineales) son ordinarias aunque tengan varias varia bles, porque todas las variables dependen del tiempo, y si se simplificaran algunas expresiones de la ecuación diferencial, aun así no se tendría solución analíti ca, y así tuviera solución analítica, como lo que se hizo fue un modelo, que es una aprox imación a la realidad, mas simplificaciones implicarían una respuesta alejada de la realidad. Entonces el método que se uso para resolver esta ecuación difer encial fue un método numérico, de runge-kutta de cuarto orden, adicional mente se utiliza un reemplazo de variable para volver la ecuación diferencial de segundo orden por una de primer orden, lo cual nos da un sistema de ecuaciones dife renciales de dos ecuaciones. Para empezar a resolver una ecuación diferencial de segundo orden, lo primero es despejar el término que tiene la segunda derivada y dejarlo en función de la variable y la primera derivada de esta variable que a su vez está en función del tiempo, de la siguiente manera:

��o� � = p�q% �% �� [85]

En donde se tienen las siguientes variables,

q����������������������������������� �o� = ���������������������������������� ��� = p�q% �% �� [86]

Y se conocen todas estas variables en el tiempo ini cial, y se quieren hallar cada una de las variables para cada instante de tiempo c on incrementos de tiempo h, entonces se calculan cada una de las siguientes con stantes. (3)

r� = ℎ���������r� = ℎ X� 5 s*�Y��������rU = ℎ X� 5 s�

�Y��������rt = ℎ�� 5 0U� [87]

0� = ℎp�q% �% �� [88]

0� = ℎp Xq 5 u*� % � 5 s*

� % � 5+�Y [89]

0U = ℎp Xq 5 u�� % � 5 s�

� % � 5+�Y [90]

0t = ℎp Xq 5 uv� % � 5 sv

� % � 5 ℎY [91]

Una vez calculadas estas constantes se puede proced er a calcular las variables un instante de tiempo después, exactamente un tiemp o t= t+h,

q�� 5 ℎ� = q��� 5 �w �r� 5 4r� 5 4rU 5 rt� [92]

��� 5 ℎ� = ���� 5 �w �0� 5 40� 5 40U 5 0t� [93]

��o� � = p?q�� 5 ℎ�% ��� 5 ℎ�% �� 5 ℎ�@ [94]

Y con estos nuevas variables calculadas se puede nu evamente calcular las variables un incremento de tiempo adelante, este es un proceso que se puede automatizar mediante un lenguaje de programación, que en este caso se utilizó el software Matlab R2010a The MathWorks.inc para desar rollarlo, los códigos se pueden ver en los anexos, en el siguiente orden: el primer código desarrollado fue para el caso 1, en el cual el monociclo avanza en l a dirección X y se utilizo para hallar la variable Theta2, el siguiente código fue para el caso 1 y fue utilizado para hallar la variable X, el tercer código es para el c aso 1 y para hallar la variable Theta1 y finalmente el cuarto código es para el cas o 2 y para hallar la variable Theta1, realizando unas pequeñas variaciones simila res a las del caso 1 se pueden obtener los códigos para hallar las otras va riables.

5.5 Resultados

Para el caso 1 en el cual el monociclo avanza en el plano en la dirección X positiva, se utilizó el programa para calcular la v ariable Theta2, es decir, el ángulo que debe realizar el tronco del piloto, para lograr este movimiento, por lo tanto esta variable será la variable de salida para el program a y las variables de entrada serán la posición y el ángulo del monociclo. Finalm ente, el comportamiento que se obtuvo de las ecuaciones para el ángulo del tronco es el siguiente:

Ilustración 10 Ángulo péndulo 2

Luego de analizar varios videos de gente montando m onociclo y ver el comportamiento que mostro el ángulo del tronco, se decidió que era importante comparar este ángulo con la aceleración que present aba el monociclo, ya que de aquí se pueden sacar las conclusiones más important es sobre el movimiento, y que casualmente coinciden con la experiencia que se tiene sobre el vehículo. Para poder empezar a analizar los resultados recordemos que un ángulo positivo es una inclinación hacia atrás y un ángulo negativo es hacia adelante.

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

The

ta2

(gr

ado

s)

tiempo

Theta2

Ilustración 11 Aceleración monociclo

Comparando el gráfico de aceleración con el gráfico del ángulo, podemos ver que cuando existe una aceleración en el monociclo el án gulo del tronco es negativo lo cual quiere decir una inclinación hacia adelante, l o cual tiene total sentido, ya que cuando se acelera en un monociclo, la persona que e stá en el tiene a caerse hacia atrás, o un movimiento análogo sería el de empujar un péndulo desde su eje de rotación y ver que este tenderá a irse en la direcc ión contraria al movimiento, por lo cual para mantener un equilibrio en el sistema y permitir que el piloto pueda seguir encima del vehículo, se tiene que contrarres tar esta aceleración inclinándose hacia adelante, para evitar irse hacia atrás (ver video anexo al proyecto). Luego a medida que disminuye la acelerac ión, se puede ver que el ángulo para contrarrestar esta aceleración también va disminuyendo, luego cuando se pasa a tener una desaceleración el ángulo se vuelve positivo lo cual quiere decir una inclinación del tronco hacia atrás , ya que cuando se “frena” o desacelera en el monociclo el piloto se cae hacia a delante, el mismo movimiento análogo del péndulo se puede analizar, como cuando se impulsa la base del eje de rotación del péndulo, y luego se frena, el péndu lo tenderá a irse en la dirección en la que estaba ocurriendo el movimiento. Y de est a manera el comportamiento es concordante a lo largo de los gráficos con lo qu e se ha comentado arriba.

El comportamiento del monociclo se puede interpreta r de dos formas, una en la cual el piloto quiere acelerar el monociclo y para compensar esta aceleración debe inclinarse hacia adelante, o dos que el piloto se e sté cayendo hacia adelante y para corregir esta acción, se pedalea más rápido lo cual se ve traducido en una

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ace

lera

cio

n (

m/s

g^2

)

tiempo(sg)

ACELERACIÓN

aceleración y esto ayudara a volver a un posición a gradable, por lo tanto y aunque se han hallado las otras dos variables, la variable que tiene mayor control sobre la dinámica del monociclo es la posición, que se puede controlar por el pedaleo.

Ya que el comportamiento que nos arrojaron las ecua ciones es correcto, con respecto a lo que implica la lógica, la experiencia y el análisis de videos, ahora queremos saber que tan aproximado es este comportam iento a los datos reales. Entonces lo que se hará es comparar los datos obten idos mediante experimentación con los datos arrojados por el prog rama, es decir los datos teóricos.

A continuación se muestra la grafica de la comparac ión entre los datos experimentales y numéricos para la variable Theta1:

Ilustración 12 Comparación datos de solución numérica y experimentales ángulo péndulo 1

Se puede ver que tanto el comportamiento, como la m agnitud son bastante aproximados para este caso, analizando los datos el error cuadrático medio que se tiene es de x0,105 grados, lo cual es bastante bueno, y el error máximo, dato a

dato es de 0,00056 grados, lo cual es bastante acep table y comparando los valores porcentualmente da un error del 10%, que co mo se sabe los valores que están cercanos a cero, tienen errores porcentuales bastante grandes, lo cual no quiere decir que el modelamiento está mal, o no se acerca a lo deseado.

Ilustración 13 Comparación datos de solución numérica y experimentales de la aceleración del monociclo

También se halló la aceleración con el programa, y el error fue muy pequeño, el error cuadrático medio que se obtuvo fue de 5,8 mm y el error dato a dato máximo fue de 3,1 mm lo cual en términos porcentuales es d e 8,3%, pero como ya lo habíamos dicho los valores que están por debajo de 1 tienen errores porcentuales muy grandes.

Los resultados del caso 2 o balanceo, presentaron e rrores más significativos, sin embargo el comportamiento se aproxima bastante bien , y en este caso especifico se tuvieron muchos inconvenientes en comparar con o tra variable física para que nos diera un comportamiento razonable, hasta que an alizando bien los videos de personas balanceándose en monociclos, se observó qu e este comportamiento es totalmente distinto, ya que el que está encima del monociclo, se debe anticipar a los movimientos que está realizando, por ejemplo si se va a balancear y primero va hacia adelante, tiene que inclinarse hacia atrás , porque sabe que después se

va a devolver, lo cual implica una desaceleración g rande que lo va a tirar hacia adelante, por esto se inclina hacia atrás cuando ac elera, para que cuando se devuelva no se vaya hacia adelante. Otro cambio imp ortante en el movimiento fue que el ángulo que tenía mayor influencia sobre el c ontrol del monociclo era el mismo ángulo del monociclo, y el ángulo del tronco fue casi constante a lo largo del movimiento. Debido a estos cambios y para obser var lo que se ha explicado anteriormente, se hallo con el programa el ángulo d el monociclo y se compararon con la posición del monociclo, para observar lo de la anticipación del movimiento.

Ilustración 14 Posición caso balanceo

Arriba tenemos la grafica de posición del monociclo , la cual como se había dicha representa un balanceo del monociclo, donde se pued e observar perfectamente en la grafica, en donde la posición oscila entre va lores positivos y negativos.

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Po

sici

ón

(m

)

Tiempo (sg)

POSICIÓN

Ilustración 15 Ángulo péndulo 1 caso balanceo

Comparando las dos graficas se puede observar que e l comportamiento de las dos es muy parecida, por lo que se había dicho de l a anticipación del movimiento, cuando se tiene un X positivo, el ángulo también es positivo, es decir, una inclinación hacia atrás, para evitar que cuando se devuelva no se vaya hacia adelante, y cuando el X es negativo, el ángulo dism inuye de manera similar, aunque no pasa a ser negativo, lo cual concuerda co n el análisis de videos.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0,5 1 1,5 2 2,5

The

ta 1

(gr

ado

s)

tiempo (sg)

Theta1 vs tiempo

Adelante se muestra la comparación entre los datos de simulación analítica y experimental.

Ilustración 16 Comparación numérica y experimental del ángulo péndulo 1 en el caso de balanceo

El error es mayor comparado con el del caso 1, el e rror cuadrático medio fue solamente de x1,54 grados y el error máximo dato a dato fue de 4, 099 grados, a pesar de que el error porcentual de este dato sea d e 114% esto se presenta cuando los datos se aproximan a cero, por lo que sa bemos un error porcentual con diferencia de un grado pero lejano a cero es pe queño, pero cuando se tiene la misma diferencia pero en valores cercanos a cero, e l error porcentual es mucho mas grande.

`aa[a�0`y[��`�b`a[ = z{|z ∗ 100 = 11% < `aa[a�b`abZ��`�b`a[ = }~��{���}

~�� ∗ 100 = 400�

El error promedio de todos los datos, comparados da to a dato fue del 21,6%, estos errores que se vieron más significativos, pueden se r ocasionados ya que en este

caso de balanceo, hay aceleraciones de mayor magnit ud, se necesita más control del monociclo y por lo tanto las constantes físicas tienen mayor influencia, sobre el movimiento, entonces este error se podría mejorar, calculando más precisamente las constantes físicas, o inclusive algunas constan tes físicas que en realidad no son constantes convertirlas a variables conocidas, como por ejemplo, la inercia del péndulo 1 ya que se ve influenciado por la variació n en la posición de los pies a medida que va pedaleando. Pero en realidad el compo rtamiento es el esperado y solo se presentan diferencias de pocos grados, lo c ual no presenta un error tan significativo.

6. CONCLUSIONES

• El ángulo que tiene mayor influencia sobre el cont rol del monociclo, en el caso en el que el monociclo avanza en el plano, es el ángulo del péndulo 2 que representa el ángulo que forma el tronco con la vertical. Para el caso en el cual hay balanceo, la variable con mayor infl uencia es el ángulo del monociclo, ya que se debe anticipar a movimientos p osteriores. La variable que mayor influencia tiene sobre el control de la d inámica del monociclo es el pedaleo que está traducido en la posición, veloc idad y aceleración del monociclo, ya que con esta se pueden corregir las o tras dos variables.

• En el caso del balanceo el error que se dio fue ma yor que el caso 1 o lineal, esto puede ser por las mayores aceleraciones que pr esenta el caso de balanceo, o a los cambios de mayor magnitud en el á ngulo del monociclo, también puede ser por la influencia del cambio de p osición, en pies y piernas, en la inercia del péndulo 1, la cual no se tuvo en cuenta, esto puede tener gran influencia en la magnitud de los r esultados.

• Para cada caso de movimiento especifico del monoci clo que se estudió, se realizó una revisión visual de cómo debe ser el com portamiento, para saber con qué variables se debe comparar, que variables s e deben medir, y como es el comportamiento de estas.

• No solo es importante el comportamiento de las var iables, sino también que tanto se aproximan los datos obtenidos numéricament e a los datos experimentales, que para este proyecto se aproximar on bastante bien en general, además hay que tener en cuenta los datos q ue se aproximan a 0 en donde la diferencia pude ser 0,5 grados entre el dato experimental y el teórico pero tener un error porcentual muy grande y tener otros datos que estén lejos de cero donde se tiene la misma diferen cia de 0,5 grados y tener errores porcentuales pequeños.

7. EXTENSION DEL PROYECTO

Para próximas investigaciones se puede incluir una aproximación más exacta del modelo, incluyendo las variaciones de propiedades f ísicas que no se tuvieron en cuenta, además la extensión del proyecto se puede e nfocar en buscar la variación en algunas constantes del monociclo y ver qué efect o tienen estas en la dinámica, como por ejemplo como la longitud de los péndulos a fecta el movimiento, si se vuelve más fácil de conducir o más difícil al incre mentar su longitud, o como se obtiene mejor control aumentando o disminuyendo las inercias de los péndulos. Algunas recomendaciones para futuros proyectos, es tener mucho cuidado con el código, ya que para aplicar el método de runge-kutt a se requiere un código extenso y se requiere mucho cuidado en pequeños det alles, por lo tanto se debe realizar juiciosamente y con mucho cuidado en cada parte pequeña del código. Puntualmente, se debe verificar que el código este escrito de forma correcta, que las ecuaciones llamen las variables que son y no ot ras, cuando se utilicen parámetros ya definidos con anterioridad, estos se llamen de forma correcta, es decir, que estén bien escritos. Adicionalmente se d ebe tener mucho cuidado con las condiciones iníciales de las ecuaciones diferen ciales, ya que una pequeña variación puede terminar en resultados totalmente d iferentes a los esperados.

8. ANEXOS

A1………..Código en MatLab de para resolver ecuaciones diferenciales CASO1 para hallar Theta2.

A2………..Código en MatLab de para resolver ecuaciones diferenciales CASO1 para hallar X.

A3………..Código en MatLab de para resolver ecuaciones diferenciales CASO1 para hallar Theta1.

A4………..Código en MatLab de para resolver ecuaciones diferenciales CASO2 para hallar Theta1.

A1 %Daniel Eduardo Serna B. 200610906 %CODIGO DE MATLAB PARA LA IMPLEMENTACION DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN clear all clc % a continuación se definen las constantes físicas del modelo %masa del péndulo 1 masa1=4; %longitud del péndulo 1 longitud1=0.5; %masa del péndulo 2 masa2=55.6; %longitud del péndulo 2 longitud2=0.5; %Inercia del péndulo 1 inercia1=0.1815; %Inercia del péndulo 2 inercia2=1.20416667; %Gravedad g=9.81; %Constantes que se definen para simplificar las ecu aciones diferenciales A1=(1/2)*masa1*2*longitud1; A2=(1/2)*masa2*2*longitud2^2; B1=(1/2)*masa1*2*longitud1; B2=(1/2)*masa2*2*longitud2; C1=(1/2)*masa1*2*longitud1^2; C2=(1/2)*masa2*2*longitud2; D1=(1/2)*masa2*8*longitud1^2; D2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; E1=(1/2)*masa2*4*longitud1; E2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; F1=(1/2)*masa2*4*longitud1; F2=inercia2; G1=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2;

G2=(1/2)*masa2*2*longitud2; H1=G1; H2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; I1=inercia1; I2=masa2*g*longitud2; J1=-(1/2)*masa1*2*longitud1; K1=-(1/2)*masa2*4*longitud1; L1=-(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; M1=masa1*g*longitud1; N1=2*longitud1*masa2*g; %Definición del "time step" o incremento de tiempo que se va a evaluar, es %decir cada cuanto tiempo se medirán las variables de entrada y cada cuanto %se arrojaran las variables de salida. h=1/60; %Definición de las condiciones iniciales para la va riable de salida y %inicialización de los vectores, para acotarlos y t ener menor costo %computacional. Thetha2sub0=-0.1; Thethapunto2sub0=0.059625; Theta2=zeros(n,1); Thetapunto2=zeros(n,1); Thetadoblepunto2=zeros(n,1); k1=zeros(n,1); l1=zeros(n,1); k2=zeros(n,1); l2=zeros(n,1); k3=zeros(n,1); l3=zeros(n,1); k4=zeros(n,1); l4=zeros(n,1); sumaeles=zeros(n,1); sumakas=zeros(n,1); %Contador que se define en 1 y que irá aumentando d e a 1 para ir asignando %cada vez que se evalúe, a una casilla de un vector . i=1; %La variable tiempo que empieza en 0 y va aumentand o con los incrementos de %tiempo con cada ciclo. t=0; %ciclo para implementar la metodología para resoluc ión de ecuaciones %diferenciales con el método runge-kutta de cuarto orden. %Acotación del tiempo hasta 2.6 sg, para compararlo con las datos

%experimentales. while (t<=2.6) %Variable de entrada Posición, la cual fue obtenida de los datos experimentales y fue aproximada por medio de un pol inomio X(i)=(33.21*t^6-273.37*t^5+849.92*t^4-1243.5*t^3 +846.9*t^2+561.13*t-1.5293)/1000; %Variable de entrada Velocidad, la cual se obtiene derivando el %polinomio de posición. Xpunto(i)=(33.21*6*t^5-273.37*5*t^4+849.92*4*t^3 -1243.5*3*t^2+846.9*2*t+561.13)/1000; %Variable de entrada aceleración, que se obtiene de rivando el polinomio %de velocidad. Xdoblepunto(i)=(33.21*6*5*t^4-273.37*5*4*t^3+849 .92*4*3*t^2-1243.5*3*2*t+846.9*2)/1000; %Variable de entrada ángulo del péndulo 1, que se o btiene aproximando %los datos experimentales a un polinomio. Theta1(i)=-0.0906547565525542*t^11+1.29506415239 935*t^10-7.86846436548484*t^9+26.5182029762251*t^8-54.2624288920482*t^7+69.4467088333043*t^6-55.2886118874559*t^5+26.313402969754*t^4-6.73084999099683*t^3+0.60554369243281*t^2+0.0604996 323498842*t-0.000420988825161531; %Variable de entrada velocidad angular péndulo 1, q ue se obtiene %derivando el polinomio del ángulo del péndulo 1. Thetapunto1(i)=-0.0906547565525542*11*t^10+1.295 06415239935*10*t^9-7.86846436548484*9*t^8+26.5182029762251*8*t^7-54.2624288920482*7*t^6+69.4467088333043*6*t^5-55.2886118874559*5*t^4+26.313402969754*4*t^3-6.73084999099683*3*t^2+0.60554369243281*2*t+0.06049 96323498842; %Variable de entrada aceleración angular, que se ha lla, del polinomio de %velocidad angular. Thetadoblepunto1(i)=-0.0906547565525542*11*10*t^9+1.29506415239935*10*9* t^8-7.86846436548484*9*8*t^7+26.5182029762251*8*7*t^6-54.2624288920482*7*6*t^5+69.4467088333043*6*5*t^4-55.2886118874559*5*4*t^3+26.313402969754*4*3*t^2-6.73084999099683*3*2*t+0.60554369243281*2; %Se calculan nuevamente las variables de entrada pa ra el tiempo actual

%del ciclo que se está evaluando más el incremento de tiempo dividido 2. XL2L3(i)=(33.21*(t+h/2)^6-273.37*(t+h/2)^5+849.9 2*(t+h/2)^4-1243.5*(t+h/2)^3+846.9*(t+h/2)^2+561.13*(t+h/2)-1.5 293)/1000; XpuntoL2L3(i)=(33.21*6*(t+h/2)^5-273.37*5*(t+h/2)^4+849.92*4*(t+h/2)^3-1243.5*3*(t+h/2)^2+846.9*2*(t+h/2)+561.13)/1000; XdoblepuntoL2L3(i)=(33.21*6*5*(t+h/2)^4-273.37*5*4*(t+h/2)^3+849.92*4*3*(t+h/2)^2-1243.5*3*2*(t+h/2)+846.9*2)/1000; Theta1L2L3(i)=-0.0906547565525542*(t+h/2)^11+1.29506415239935*(t+h /2)^10-7.86846436548484*(t+h/2)^9+26.5182029762251*(t+h/2) ^8-54.2624288920482*(t+h/2)^7+69.4467088333043*(t+h/2) ^6-55.2886118874559*(t+h/2)^5+26.313402969754*(t+h/2)^ 4-6.73084999099683*(t+h/2)^3+0.60554369243281*(t+h/2) ^2+0.0604996323498842*(t+h/2)-0.000420988825161531; Thetapunto1L2L3(i)=-0.0906547565525542*11*(t+h/2)^10+1.29506415239935*1 0*(t+h/2)^9-7.86846436548484*9*(t+h/2)^8+26.5182029762251*8*(t+ h/2)^7-54.2624288920482*7*(t+h/2)^6+69.4467088333043*6*(t+ h/2)^5-55.2886118874559*5*(t+h/2)^4+26.313402969754*4*(t+h /2)^3-6.73084999099683*3*(t+h/2)^2+0.60554369243281*2*(t+ h/2)+0.0604996323498842; Thetadoblepunto1L2L3(i)=-0.0906547565525542*11*10*(t+h/2)^9+1.29506415239935 *10*9*(t+h/2)^8-7.86846436548484*9*8*(t+h/2)^7+26.5182029762251*8*7 *(t+h/2)^6-54.2624288920482*7*6*(t+h/2)^5+69.4467088333043*6*5 *(t+h/2)^4-55.2886118874559*5*4*(t+h/2)^3+26.313402969754*4*3* (t+h/2)^2-6.73084999099683*3*2*(t+h/2)+0.60554369243281*2; %Se calculan nuevamente las variables de entrada pa ra el tiempo actual %del ciclo que se está evaluando más el incremento de tiempo. XL4(i)=(33.21*(t+h)^6-273.37*(t+h)^5+849.92*(t+h )^4-1243.5*(t+h)^3+846.9*(t+h)^2+561.13*(t+h)-1.5293)/1 000; XpuntoL4(i)=(33.21*6*(t+h)^5-273.37*5*(t+h)^4+84 9.92*4*(t+h)^3-1243.5*3*(t+h)^2+846.9*2*(t+h)+561.13)/1000; XdoblepuntoL4(i)=(33.21*6*5*(t+h)^4-273.37*5*4*(t+h)^3+849.92*4*3*(t+h)^2-1243.5*3*2*(t +h)+846.9*2)/1000; Theta1L4(i)=-0.0906547565525542*(t+h)^11+1.29506 415239935*(t+h)^10-7.86846436548484*(t+h)^9+26.5182029762251*(t+h)^8-54.2624288920482*(t+h)^7+69.4467088333043*(t+h)^6-55.2886118874559*(t+h)^5+26.313402969754*(t+h)^4-6.73084999099683*(t+h)^3+0.60554369243281*(t+h)^2+0 .0604996323498842*(t+h)-0.000420988825161531; Thetapunto1L4(i)=-0.0906547565525542*11*(t+h)^10+1.29506415239935*10* (t+h)^9-7.86846436548484*9*(t+h)^8+26.5182029762251*8*(t+h) ^7-54.2624288920482*7*(t+h)^6+69.4467088333043*6*(t+h) ^5-55.2886118874559*5*(t+h)^4+26.313402969754*4*(t+h)^ 3-6.73084999099683*3*(t+h)^2+0.60554369243281*2*(t+h) +0.0604996323498842; Thetadoblepunto1L4(i)=-0.0906547565525542*11*10*(t+h)^9+1.29506415239935*1 0*9*(t+h)^8-7.86846436548484*9*8*(t+h)^7+26.5182029762251*8*7*( t+h)^6-

54.2624288920482*7*6*(t+h)^5+69.4467088333043*6*5*( t+h)^4-55.2886118874559*5*4*(t+h)^3+26.313402969754*4*3*(t +h)^2-6.73084999099683*3*2*(t+h)+0.60554369243281*2; %Se definen las condiciones iniciales y se escribe la función que %describe la aceleración angular del péndulo 2. Theta2(1)=Thetha2sub0; Thetapunto2(1)=Thethapunto2sub0; Thetadoblepunto2(i)=(B2*Xdoblepunto(i)*cos(Theta 2(i))+(G2-C2)*Xpunto(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta2(i))-(D2*Thetadoblepunto1(i)*cos(Theta1(i)-Theta2(i)))+E2*Thetapunto1(i)*sin(Theta1(i)-Theta2( i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))+H2*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*si n(Theta1(i)-Theta2(i))+I2*sin(Theta2(i)))/(A2+F2); %Se calculan las constantes del método de runge kut ta de cuarto orden %k1, l1, k2, l2, k3, l3, k4, l4. k1(i)=h*Thetapunto2(i); l1(i)=h*((B2*Xdoblepunto(i)*cos(Theta2(i))+(G2-C2)*Xpunto(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta2(i))-(D2*Thetadoblepunto1(i)*cos(Theta1(i)-Theta2(i)))+E2*Thetapunto1(i)*sin(Theta1(i)-Theta2( i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))+H2*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*si n(Theta1(i)-Theta2(i))+I2*sin(Theta2(i)))/(A2+F2)); k2(i)=h.*(Thetapunto2(i)+(l1(i)./2)); l2(i)=h.*((B2*XdoblepuntoL2L3(i)*cos(Theta2(i)+( k1(i)/2))+(G2-C2)*XpuntoL2L3(i)*(Thetapunto2(i)+(l1(i)/2))*sin(Th eta2(i)+(k1(i)/2))-(D2*Thetadoblepunto1L2L3(i)*cos(Theta1L2L3(i)-Theta2(i)+(k1(i)/2)))+E2*Thetapunto1L2L3(i)*sin(The ta1L2L3(i)-Theta2(i)+(k1(i)/2))*(Thetapunto1L2L3(i)-Thetapunto2(i)+(l1(i)/2))+H2*Thetapunto1L2L3(i)*(Th etapunto2(i)+(l1(i)/2))*sin(Theta1L2L3(i)-Theta2(i)+(k1(i)/2))+I2*sin(Theta2(i)+(k1(i)/2)))/( A2+F2)); k3(i)=h.*(Thetapunto2(i)+(l2(i)./2)); l3(i)=h.*((B2*XdoblepuntoL2L3(i)*cos(Theta2(i)+( k2(i)/2))+(G2-C2)*XpuntoL2L3(i)*(Thetapunto2(i)+(l2(i)/2))*sin(Th eta2(i)+(k2(i)/2))-(D2*Thetadoblepunto1L2L3(i)*cos(Theta1L2L3(i)-Theta2(i)+(k2(i)/2)))+E2*Thetapunto1L2L3(i)*sin(The ta1L2L3(i)-Theta2(i)+(k2(i)/2))*(Thetapunto1L2L3(i)-Thetapunto2(i)+(l2(i)/2))+H2*Thetapunto1L2L3(i)*(Th etapunto2(i)+(l2(i)/2))*sin(Theta1L2L3(i)-Theta2(i)+(k2(i)/2))+I2*sin(Theta2(i)+(k2(i)/2)))/( A2+F2)); k4(i)=h.*(Thetapunto2(i)+l3(i)); l4(i)=h.*((B2.*XdoblepuntoL4(i).*cos(Theta2(i)+( k3(i)./2))+(G2-C2).*XpuntoL4(i).*(Thetapunto2(i)+(l3(i)./2)).*sin( Theta2(i)+(k3(i)./2))-(D2.*Thetadoblepunto1L4(i).*cos(Theta1L4(i)-Theta2(i)+(k3(i)./2)))+E2.*Thetapunto1L4(i).*sin(Th eta1L4(i)-Theta2(i)+(k3(i)./2)).*(Thetapunto1L4(i)-Thetapunto2(i)+(l3(i)./2))+H2.*Thetapunto1L4(i).*(T hetapunto2(i)+(l3(i)./2)).*sin(Theta1L4(i)-Theta2(i)+(k3(i)./2))+I2.*sin(Theta2(i)+(k3(i)./2)) )./(A2+F2));

Theta2(i+1)=Theta2(i)+((1/6).*(k1(i)+2.*k2(i)+2. *k3(i)+k4(i))); Thetapunto2(i+1)=Thetapunto2(i)+((1/6).*(l1(i)+2.*l 2(i)+2.*l3(i)+l4(i))); %finalmente se aumenta el índice i en 1 para que en el próximo ciclo se %guarde en la componente del vector que sigue %Se aumenta el tiempo incrementando el time-step. i=i+1; t=t+h; end

A2

%Daniel Eduardo Serna B. 200610906 %CODIGO DE MATLAB PARA LA IMPLEMENTACION DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN clear all clc % a continuación se definen las constantes físicas del modelo %masa del péndulo 1 masa1=4; %longitud del péndulo 1 longitud1=0.5; %masa del péndulo 2 masa2=55.6; %longitud del péndulo 2 longitud2=0.5; %Inercia del péndulo 1 inercia1=0.1815; %Inercia del péndulo 2 inercia2=1.20416667; %Gravedad g=9.81; %Constantes que se definen para simplificar las ecu aciones diferenciales A1=(1/2)*masa1*2*longitud1; A2=(1/2)*masa2*2*longitud2^2; B1=(1/2)*masa1*2*longitud1; B2=(1/2)*masa2*2*longitud2; C1=(1/2)*masa1*2*longitud1^2; C2=(1/2)*masa2*2*longitud2; D1=(1/2)*masa2*8*longitud1^2; D2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; E1=(1/2)*masa2*4*longitud1; E2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; F1=(1/2)*masa2*4*longitud1; F2=inercia2;

G1= (1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; G2= (1/2)*masa2*2*longitud2; H1=G1; H2= (1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; I1=inercia1; I2=masa2*g*longitud2; J1=-(1/2)*masa1*2*longitud1; K1=-(1/2)*masa2*4*longitud1; L1=-(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; M1=masa1*g*longitud1; N1=2*longitud1*masa2*g; %Definición del "time step" o incremento de tiempo que se va a evaluar, es %decir cada cuanto tiempo se medirán las variables de entrada y cada cuanto %se arrojaran las variables de salida. h=1/60; %Definición de las condiciones iniciales para la va riable de salida y %inicialización de los vectores, para acotarlos y t ener menor costo %computacional. Xsub0=-0.0015293; Xpuntosub0=0.56113; Theta2=zeros(n,1); Thetapunto2=zeros(n,1); Thetadoblepunto2=zeros(n,1); k1=zeros(n,1); l1=zeros(n,1); k2=zeros(n,1); l2=zeros(n,1); k3=zeros(n,1); l3=zeros(n,1); k4=zeros(n,1); l4=zeros(n,1); sumaeles=zeros(n,1); sumakas=zeros(n,1); %Contador que se define en 1 y que irá aumentando d e a 1 para ir asignando %cada vez que se evalúe, a una casilla de un vector . i=1; %La variable tiempo que empieza en 0 y va aumentand o con los incrementos de %tiempo con cada ciclo. t=0; %ciclo para implementar la metodología para resoluc ión de ecuaciones %diferenciales con el método runge-kutta de cuarto orden.

%Acotación del tiempo hasta 2.6 sg, para compararlo con las datos %experimentales. while (t<=2.6) %Variable de entrada ángulo del péndulo 2, que se o btiene aproximando %los datos experimentales a un polinomio. Theta2(i)=0.00224093616726794*t^15-0.0424230355922362*t^14+0.373709337402107*t^13-2.04083629036863*t^12+7.84956393296787*t^11-23.1172433167820*t^10+54.7406061938425*t^9-104.056128172829*t^8+151.583307827487*t^7-158.653608512794*t^6+111.260122789019*t^5-47.6706767444068*t^4+10.2809642355271*t^3-0.463493178941680*t^2+0.0597750530179394*t-0.100000 851297993; %Variable de entrada velocidad angular péndulo 2, q ue se obtiene %derivando el polinomio del ángulo del péndulo 2. Thetapunto2(i)=0.00224093616726794*15*t^14-0.0424230355922362*14*t^13+0.373709337402107*13*t^1 2-2.04083629036863*12*t^11+7.84956393296787*11*t^10-23.1172433167820*10*t^9+54.7406061938425*9*t^8-104.056128172829*8*t^7+151.583307827487*7*t^6-158.653608512794*6*t^5+111.260122789019*5*t^4-47.6706767444068*4*t^3+10.2809642355271*3*t^2-0.463493178941680*2*t+0.0597750530179394; %Variable de entrada aceleración angular, que se ha lla, del polinomio de %velocidad angular. Thetadoblepunto2(i)=0.00224093616726794*15*14*t^ 13-0.0424230355922362*14*13*t^12+0.373709337402107*13* 12*t^11-2.04083629036863*12*11*t^10+7.84956393296787*11*10* t^9-23.1172433167820*10*9*t^8+54.7406061938425*9*8*t^7-104.056128172829*8*7*t^6+151.583307827487*7*6*t^5-158.653608512794*6*5*t^4+111.260122789019*5*4*t^3-47.6706767444068*4*3*t^2+10.2809642355271*3*2*t-0.4 63493178941680*2; %Variable de entrada ángulo del péndulo 1, que se o btiene aproximando %los datos experimentales a un polinomio. Theta1(i)=-0.0906547565525542*t^11+1.29506415239 935*t^10-7.86846436548484*t^9+26.5182029762251*t^8-54.2624288920482*t^7+69.4467088333043*t^6-55.2886118874559*t^5+26.313402969754*t^4-6.73084999099683*t^3+0.60554369243281*t^2+0.0604996 323498842*t-0.000420988825161531; %Variable de entrada velocidad angular péndulo 1, q ue se obtiene %derivando el polinomio del ángulo del péndulo 1. Thetapunto1(i)=-0.0906547565525542*11*t^10+1.295 06415239935*10*t^9-7.86846436548484*9*t^8+26.5182029762251*8*t^7-

54.2624288920482*7*t^6+69.4467088333043*6*t^5-55.2886118874559*5*t^4+26.313402969754*4*t^3-6.73084999099683*3*t^2+0.60554369243281*2*t+0.06049 96323498842; %Variable de entrada aceleración angular, que se ha lla, del polinomio de %velocidad angular. Thetadoblepunto1(i)=-0.0906547565525542*11*10*t^9+1.29506415239935*10*9* t^8-7.86846436548484*9*8*t^7+26.5182029762251*8*7*t^6-54.2624288920482*7*6*t^5+69.4467088333043*6*5*t^4-55.2886118874559*5*4*t^3+26.313402969754*4*3*t^2-6.73084999099683*3*2*t+0.60554369243281*2; %Se calculan nuevamente las variables de entrada pa ra el tiempo actual %del ciclo que se está evaluando más el incremento de tiempo dividido 2. Theta2L2L3(i)=0.00224093616726794*(t+h/2)^15-0.0424230355922362*(t+h/2)^14+0.373709337402107*(t+ h/2)^13-2.04083629036863*(t+h/2)^12+7.84956393296787*(t+h/2 )^11-23.1172433167820*(t+h/2)^10+54.7406061938425*(t+h/2 )^9-104.056128172829*(t+h/2)^8+151.583307827487*(t+h/2) ^7-158.653608512794*(t+h/2)^6+111.260122789019*(t+h/2) ^5-47.6706767444068*(t+h/2)^4+10.2809642355271*(t+h/2) ^3-0.463493178941680*(t+h/2)^2+0.0597750530179394*(t+h /2)-0.100000851297993; Thetapunto2L2L3(i)=0.00224093616726794*15*(t+h/2 )^14-0.0424230355922362*14*(t+h/2)^13+0.373709337402107* 13*(t+h/2)^12-2.04083629036863*12*(t+h/2)^11+7.84956393296787*11* (t+h/2)^10-23.1172433167820*10*(t+h/2)^9+54.7406061938425*9*(t +h/2)^8-104.056128172829*8*(t+h/2)^7+151.583307827487*7*(t+ h/2)^6-158.653608512794*6*(t+h/2)^5+111.260122789019*5*(t+ h/2)^4-47.6706767444068*4*(t+h/2)^3+10.2809642355271*3*(t+ h/2)^2-0.463493178941680*2*(t+h/2)+0.0597750530179394; Thetadoblepunto2L2L3(i)=0.00224093616726794*15*1 4*(t+h/2)^13-0.0424230355922362*14*13*(t+h/2)^12+0.3737093374021 07*13*12*(t+h/2)^11-2.04083629036863*12*11*(t+h/2)^10+7.84956393296787* 11*10*(t+h/2)^9-23.1172433167820*10*9*(t+h/2)^8+54.7406061938425*9* 8*(t+h/2)^7-104.056128172829*8*7*(t+h/2)^6+151.583307827487*7*6 *(t+h/2)^5-158.653608512794*6*5*(t+h/2)^4+111.260122789019*5*4 *(t+h/2)^3-47.6706767444068*4*3*(t+h/2)^2+10.2809642355271*3*2 *(t+h/2)-0.463493178941680*2; Theta1L2L3(i)=-0.0906547565525542*(t+h/2)^11+1.29506415239935*(t+h /2)^10-7.86846436548484*(t+h/2)^9+26.5182029762251*(t+h/2) ^8-54.2624288920482*(t+h/2)^7+69.4467088333043*(t+h/2) ^6-55.2886118874559*(t+h/2)^5+26.313402969754*(t+h/2)^ 4-6.73084999099683*(t+h/2)^3+0.60554369243281*(t+h/2) ^2+0.0604996323498842*(t+h/2)-0.000420988825161531; Thetapunto1L2L3(i)=-0.0906547565525542*11*(t+h/2)^10+1.29506415239935*1 0*(t+h/2)^9-7.86846436548484*9*(t+h/2)^8+26.5182029762251*8*(t+ h/2)^7-54.2624288920482*7*(t+h/2)^6+69.4467088333043*6*(t+ h/2)^5-55.2886118874559*5*(t+h/2)^4+26.313402969754*4*(t+h /2)^3-

6.73084999099683*3*(t+h/2)^2+0.60554369243281*2*(t+ h/2)+0.0604996323498842; Thetadoblepunto1L2L3(i)=-0.0906547565525542*11*10*(t+h/2)^9+1.29506415239935 *10*9*(t+h/2)^8-7.86846436548484*9*8*(t+h/2)^7+26.5182029762251*8*7 *(t+h/2)^6-54.2624288920482*7*6*(t+h/2)^5+69.4467088333043*6*5 *(t+h/2)^4-55.2886118874559*5*4*(t+h/2)^3+26.313402969754*4*3* (t+h/2)^2-6.73084999099683*3*2*(t+h/2)+0.60554369243281*2; %Se calculan nuevamente las variables de entrada pa ra el tiempo actual %del ciclo que se está evaluando más el incremento de tiempo. Theta2L4(i)=0.00224093616726794*(t+h)^15-0.0424230355922362*(t+h)^14+0.373709337402107*(t+h) ^13-2.04083629036863*(t+h)^12+7.84956393296787*(t+h)^11 -23.1172433167820*(t+h)^10+54.7406061938425*(t+h)^9-104.056128172829*(t+h)^8+151.583307827487*(t+h)^7-158.653608512794*(t+h)^6+111.260122789019*(t+h)^5-47.6706767444068*(t+h)^4+10.2809642355271*(t+h)^3-0.463493178941680*(t+h)^2+0.0597750530179394*(t+h)- 0.100000851297993; Thetapunto2L4(i)=0.00224093616726794*15*(t+h)^14 -0.0424230355922362*14*(t+h)^13+0.373709337402107*13 *(t+h)^12-2.04083629036863*12*(t+h)^11+7.84956393296787*11*(t +h)^10-23.1172433167820*10*(t+h)^9+54.7406061938425*9*(t+h )^8-104.056128172829*8*(t+h)^7+151.583307827487*7*(t+h) ^6-158.653608512794*6*(t+h)^5+111.260122789019*5*(t+h) ^4-47.6706767444068*4*(t+h)^3+10.2809642355271*3*(t+h) ^2-0.463493178941680*2*(t+h)+0.0597750530179394; Thetadoblepunto2L4(i)=0.00224093616726794*15*14* (t+h)^13-0.0424230355922362*14*13*(t+h)^12+0.373709337402107 *13*12*(t+h)^11-2.04083629036863*12*11*(t+h)^10+7.84956393296787*11 *10*(t+h)^9-23.1172433167820*10*9*(t+h)^8+54.7406061938425*9*8* (t+h)^7-104.056128172829*8*7*(t+h)^6+151.583307827487*7*6*( t+h)^5-158.653608512794*6*5*(t+h)^4+111.260122789019*5*4*( t+h)^3-47.6706767444068*4*3*(t+h)^2+10.2809642355271*3*2*( t+h)-0.463493178941680*2; Theta1L4(i)=-0.0906547565525542*(t+h)^11+1.29506 415239935*(t+h)^10-7.86846436548484*(t+h)^9+26.5182029762251*(t+h)^8-54.2624288920482*(t+h)^7+69.4467088333043*(t+h)^6-55.2886118874559*(t+h)^5+26.313402969754*(t+h)^4-6.73084999099683*(t+h)^3+0.60554369243281*(t+h)^2+0 .0604996323498842*(t+h)-0.000420988825161531; Thetapunto1L4(i)=-0.0906547565525542*11*(t+h)^10+1.29506415239935*10* (t+h)^9-7.86846436548484*9*(t+h)^8+26.5182029762251*8*(t+h) ^7-54.2624288920482*7*(t+h)^6+69.4467088333043*6*(t+h) ^5-55.2886118874559*5*(t+h)^4+26.313402969754*4*(t+h)^ 3-6.73084999099683*3*(t+h)^2+0.60554369243281*2*(t+h) +0.0604996323498842; Thetadoblepunto1L4(i)=-0.0906547565525542*11*10*(t+h)^9+1.29506415239935*1 0*9*(t+h)^8-7.86846436548484*9*8*(t+h)^7+26.5182029762251*8*7*( t+h)^6-54.2624288920482*7*6*(t+h)^5+69.4467088333043*6*5*( t+h)^4-55.2886118874559*5*4*(t+h)^3+26.313402969754*4*3*(t +h)^2-6.73084999099683*3*2*(t+h)+0.60554369243281*2; %Se definen las condiciones iniciales y se escribe la función que

%describe la aceleración traslacional del monociclo . X(1)=Xsub0; Xpunto(1)=Xpuntosub0; Xdoblepunto(i)=((A2+F2)*Thetadoblepunto2(i)+(C2-G2)*Xpunto(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta2(i))+(D2*The tadoblepunto1(i)*cos(Theta1(i)-Theta2(i)))-E2*Thetapunto1(i)*sin(Theta1(i )-Theta2(i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))-H2*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta1(i)-Thet a2(i))-I2*sin(Theta2(i)))/(B2*cos(Theta2(i))); %Se calculan las constantes del método de runge kut ta de cuarto orden %k1,l1,k2,l2,k3,l3,k4,l4. k1(i)=h*Xpunto(i); l1(i)=h*((A2+F2)*Thetadoblepunto2(i)+(C2-G2)*Xpunto(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta2(i))+(D2*The tadoblepunto1(i)*cos(Theta1(i)-Theta2(i)))-E2*Thetapunto1(i)*sin(Theta1(i )-Theta2(i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))-H2*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta1(i)-Thet a2(i))-I2*sin(Theta2(i)))/(B2*cos(Theta2(i))); k2(i)=h.*(Xpunto(i)+(l1(i)/2)); l2(i)=h.*((A2+F2)*Thetadoblepunto2L2L3(i)+(C2-G2)*(Xpunto(i)+l1(i)/2)*Thetapunto2L2L3(i)*sin(Thet a2L2L3(i))+(D2*Thetadoblepunto1L2L3(i)*cos(Theta1L2L3(i)-Theta2L2L3(i)))-E2*Thetapunto1L2L3(i)*sin(Theta1L2L3(i)-Theta2L2L3(i))*(Thetapunto1L2L3(i)-Thetapunto2L2L3( i))-H2*Thetapunto1L2L3(i)*Thetapunto2L2L3(i)*sin(Theta1 L2L3(i)-Theta2L2L3(i))-I2*sin(Theta2L2L3(i)))/(B2*cos(Theta 2L2L3(i))); k3(i)=h.*(Xpunto(i)+(l2(i)/2)); l3(i)=h.*((A2+F2)*Thetadoblepunto2L2L3(i)+(C2-G2)*(Xpunto(i)+l2(i)/2)*Thetapunto2L2L3(i)*sin(Thet a2L2L3(i))+(D2*Thetadoblepunto1L2L3(i)*cos(Theta1L2L3(i)-Theta2L2L3(i)))-E2*Thetapunto1L2L3(i)*sin(Theta1L2L3(i)-Theta2L2L3(i))*(Thetapunto1L2L3(i)-Thetapunto2L2L3( i))-H2*Thetapunto1L2L3(i)*Thetapunto2L2L3(i)*sin(Theta1 L2L3(i)-Theta2L2L3(i))-I2*sin(Theta2L2L3(i)))/(B2*cos(Theta 2L2L3(i))); k4(i)=h.*(Xpunto(i)+l3(i)); l4(i)=h.*((A2+F2)*Thetadoblepunto2L4(i)+(C2-G2)*(Xpunto(i)+l3(i))*Thetapunto2L4(i)*sin(Theta2L4 (i))+(D2*Thetadoblepunto1L4(i)*cos(Theta1L4(i)-Theta2L4(i)))-E2*Thetapunto1L4(i)*sin(Theta1L4(i)-Theta2L4(i))*(T hetapunto1L4(i)-Thetapunto2L4(i))-H2*Thetapunto1L4(i)*Thetapunto2L4 (i)*sin(Theta1L4(i)-Theta2L4(i))-I2*sin(Theta2L4(i)))/(B2*cos(Theta2L4( i))); X(i+1)=X(i)+((1/6)*(k1(i)+2*k2(i)+2*k3(i)+k4(i)) ); Xpunto(i+1)=Xpunto(i)+((1/6)*(l1(i)+2*l2(i)+2*l3 (i)+l4(i))); sumaeles(i)=l1(i)+2.*l2(i)+2.*l3(i)+l4(i); sumakas(i)=k1(i)+2.*k2(i)+2.*k3(i)+k4(i);

%finalmente se aumenta el índice i en 1 para que en el próximo ciclo se %guarde en la componente del vector que sigue %Se aumenta el tiempo incrementando el tiempo un ti me-step. i=i+1; t=t+h; end

A3 clear all clc masa1=4; longitud1=0.5; masa2=55.6; longitud2=0.5; inercia1=0.1815; inercia2=1.20416667; g=9.81; A1=(1/2)*masa1*2*longitud1; A2=(1/2)*masa2*2*longitud2^2; B1=(1/2)*masa1*2*longitud1; B2=(1/2)*masa2*2*longitud2; C1=(1/2)*masa1*2*longitud1^2; C2=(1/2)*masa2*2*longitud2; D1=(1/2)*masa2*8*longitud1^2; D2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; E1=(1/2)*masa2*4*longitud1; E2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; F1=(1/2)*masa2*4*longitud1; F2=inercia2; G1=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; G2=(1/2)*masa2*2*longitud2; H1=G1; H2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; I1=inercia1; I2=masa2*g*longitud2; J1=-(1/2)*masa1*2*longitud1; K1=-(1/2)*masa2*4*longitud1; L1=-(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; M1=masa1*g*longitud1; N1=2*longitud1*masa2*g; h=1/60; Theta1sub0=-4.209888251615310e-04; Thetapunto1sub0=0.060499632349884; Theta2=zeros(n,1); Thetapunto2=zeros(n,1); Thetadoblepunto2=zeros(n,1); k1=zeros(n,1); l1=zeros(n,1); k2=zeros(n,1); l2=zeros(n,1); k3=zeros(n,1); l3=zeros(n,1); k4=zeros(n,1); l4=zeros(n,1); sumaeles=zeros(n,1);

sumakas=zeros(n,1); i=1; t=0; while (t<=2.6) Theta2(i)=0.00224093616726794*t^15-0.0424230355922362*t^14+0.373709337402107*t^13-2.04083629036863*t^12+7.84956393296787*t^11-23.1172433167820*t^10+54.7406061938425*t^9-104.056128172829*t^8+151.583307827487*t^7-158.653608512794*t^6+111.260122789019*t^5-47.6706767444068*t^4+10.2809642355271*t^3-0.463493178941680*t^2+0.0597750530179394*t-0.100000 851297993; Thetapunto2(i)=0.00224093616726794*15*t^14-0.0424230355922362*14*t^13+0.373709337402107*13*t^1 2-2.04083629036863*12*t^11+7.84956393296787*11*t^10-23.1172433167820*10*t^9+54.7406061938425*9*t^8-104.056128172829*8*t^7+151.583307827487*7*t^6-158.653608512794*6*t^5+111.260122789019*5*t^4-47.6706767444068*4*t^3+10.2809642355271*3*t^2-0.463493178941680*2*t+0.0597750530179394; Thetadoblepunto2(i)=0.00224093616726794*15*14*t^ 13-0.0424230355922362*14*13*t^12+0.373709337402107*13* 12*t^11-2.04083629036863*12*11*t^10+7.84956393296787*11*10* t^9-23.1172433167820*10*9*t^8+54.7406061938425*9*8*t^7-104.056128172829*8*7*t^6+151.583307827487*7*6*t^5-158.653608512794*6*5*t^4+111.260122789019*5*4*t^3-47.6706767444068*4*3*t^2+10.2809642355271*3*2*t-0.4 63493178941680*2; X(i)=(33.21*t^6-273.37*t^5+849.92*t^4-1243.5*t^3 +846.9*t^2+561.13*t-1.5293)/1000; Xpunto(i)=(33.21*6*t^5-273.37*5*t^4+849.92*4*t^3 -1243.5*3*t^2+846.9*2*t+561.13)/1000; Xdoblepunto(i)=(33.21*6*5*t^4-273.37*5*4*t^3+849 .92*4*3*t^2-1243.5*3*2*t+846.9*2)/1000; Theta2L2L3(i)=0.00224093616726794*(t+h/2)^15-0.0424230355922362*(t+h/2)^14+0.373709337402107*(t+ h/2)^13-2.04083629036863*(t+h/2)^12+7.84956393296787*(t+h/2 )^11-23.1172433167820*(t+h/2)^10+54.7406061938425*(t+h/2 )^9-104.056128172829*(t+h/2)^8+151.583307827487*(t+h/2) ^7-158.653608512794*(t+h/2)^6+111.260122789019*(t+h/2) ^5-47.6706767444068*(t+h/2)^4+10.2809642355271*(t+h/2) ^3-0.463493178941680*(t+h/2)^2+0.0597750530179394*(t+h /2)-0.100000851297993; Thetapunto2L2L3(i)=0.00224093616726794*15*(t+h/2 )^14-0.0424230355922362*14*(t+h/2)^13+0.373709337402107* 13*(t+h/2)^12-2.04083629036863*12*(t+h/2)^11+7.84956393296787*11* (t+h/2)^10-23.1172433167820*10*(t+h/2)^9+54.7406061938425*9*(t +h/2)^8-104.056128172829*8*(t+h/2)^7+151.583307827487*7*(t+ h/2)^6-158.653608512794*6*(t+h/2)^5+111.260122789019*5*(t+ h/2)^4-47.6706767444068*4*(t+h/2)^3+10.2809642355271*3*(t+ h/2)^2-0.463493178941680*2*(t+h/2)+0.0597750530179394; Thetadoblepunto2L2L3(i)=0.00224093616726794*15*1 4*(t+h/2)^13-0.0424230355922362*14*13*(t+h/2)^12+0.3737093374021 07*13*12*(t+h/2)^11-

2.04083629036863*12*11*(t+h/2)^10+7.84956393296787* 11*10*(t+h/2)^9-23.1172433167820*10*9*(t+h/2)^8+54.7406061938425*9* 8*(t+h/2)^7-104.056128172829*8*7*(t+h/2)^6+151.583307827487*7*6 *(t+h/2)^5-158.653608512794*6*5*(t+h/2)^4+111.260122789019*5*4 *(t+h/2)^3-47.6706767444068*4*3*(t+h/2)^2+10.2809642355271*3*2 *(t+h/2)-0.463493178941680*2; XL2L3(i)=(33.21*(t+h/2)^6-273.37*(t+h/2)^5+849.9 2*(t+h/2)^4-1243.5*(t+h/2)^3+846.9*(t+h/2)^2+561.13*(t+h/2)-1.5 293)/1000; XpuntoL2L3(i)=(33.21*6*(t+h/2)^5-273.37*5*(t+h/2)^4+849.92*4*(t+h/2)^3-1243.5*3*(t+h/2)^2+846.9*2*(t+h/2)+561.13)/1000; XdoblepuntoL2L3(i)=(33.21*6*5*(t+h/2)^4-273.37*5*4*(t+h/2)^3+849.92*4*3*(t+h/2)^2-1243.5*3*2*(t+h/2)+846.9*2)/1000; Theta2L4(i)=0.00224093616726794*(t+h)^15-0.0424230355922362*(t+h)^14+0.373709337402107*(t+h) ^13-2.04083629036863*(t+h)^12+7.84956393296787*(t+h)^11 -23.1172433167820*(t+h)^10+54.7406061938425*(t+h)^9-104.056128172829*(t+h)^8+151.583307827487*(t+h)^7-158.653608512794*(t+h)^6+111.260122789019*(t+h)^5-47.6706767444068*(t+h)^4+10.2809642355271*(t+h)^3-0.463493178941680*(t+h)^2+0.0597750530179394*(t+h)- 0.100000851297993; Thetapunto2L4(i)=0.00224093616726794*15*(t+h)^14 -0.0424230355922362*14*(t+h)^13+0.373709337402107*13 *(t+h)^12-2.04083629036863*12*(t+h)^11+7.84956393296787*11*(t +h)^10-23.1172433167820*10*(t+h)^9+54.7406061938425*9*(t+h )^8-104.056128172829*8*(t+h)^7+151.583307827487*7*(t+h) ^6-158.653608512794*6*(t+h)^5+111.260122789019*5*(t+h) ^4-47.6706767444068*4*(t+h)^3+10.2809642355271*3*(t+h) ^2-0.463493178941680*2*(t+h)+0.0597750530179394; Thetadoblepunto2L4(i)=0.00224093616726794*15*14* (t+h)^13-0.0424230355922362*14*13*(t+h)^12+0.373709337402107 *13*12*(t+h)^11-2.04083629036863*12*11*(t+h)^10+7.84956393296787*11 *10*(t+h)^9-23.1172433167820*10*9*(t+h)^8+54.7406061938425*9*8* (t+h)^7-104.056128172829*8*7*(t+h)^6+151.583307827487*7*6*( t+h)^5-158.653608512794*6*5*(t+h)^4+111.260122789019*5*4*( t+h)^3-47.6706767444068*4*3*(t+h)^2+10.2809642355271*3*2*( t+h)-0.463493178941680*2; XL4(i)=(33.21*(t+h)^6-273.37*(t+h)^5+849.92*(t+h )^4-1243.5*(t+h)^3+846.9*(t+h)^2+561.13*(t+h)-1.5293)/1 000; XpuntoL4(i)=(33.21*6*(t+h)^5-273.37*5*(t+h)^4+84 9.92*4*(t+h)^3-1243.5*3*(t+h)^2+846.9*2*(t+h)+561.13)/1000; XdoblepuntoL4(i)=(33.21*6*5*(t+h)^4-273.37*5*4*(t+h)^3+849.92*4*3*(t+h)^2-1243.5*3*2*(t +h)+846.9*2)/1000; Theta1(1)=Theta1sub0; Thetapunto1(1)=Thetapunto1sub0; Thetadoblepunto1(i)=(-(A2+F2)*Thetadoblepunto2(i)+B2*Xdoblepunto(i)*cos(T heta2(i))-(C2-G2)*Xpunto(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta2(i))+E2*Thet apunto1(i)*sin(Theta1(i)-Theta2(i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))+H2*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*si n(Theta1(i)-Theta2(i))+I2*sin(Theta2(i)))/(D2*cos(Theta1(i)-The ta2(i))); k1(i)=h*Thetapunto1(i);

l1(i)=h*(-(A2+F2)*Thetadoblepunto2(i)+B2*Xdoblepunto(i)*cos(T heta2(i))-(C2-G2)*Xpunto(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta2(i))+E2*Thet apunto1(i)*sin(Theta1(i)-Theta2(i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))+H2*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*si n(Theta1(i)-Theta2(i))+I2*sin(Theta2(i)))/(D2*cos(Theta1(i)-The ta2(i))); k2(i)=h.*(Thetapunto1(i)+(l1(i)/2)); l2(i)=h.*(-(A2+F2)*Thetadoblepunto2L2L3(i)+B2*XdoblepuntoL2L3( i)*cos(Theta2L2L3(i))-(C2-G2)*XpuntoL2L3(i)*Thetapunto2L2L3(i)*sin(Theta2L2L3 (i))+E2*(Thetapunto1(i)+l1(i)/2)*sin((Theta1(i)+k1(i)/2)-Theta2L2L3(i))*((Thetapunto1(i)+l1(i)/2)-Thetapunto2L2L3(i))+H2*(Thetapunto1(i)+l1(i)/2)*The tapunto2L2L3(i)*sin((Theta1(i)+k1(i)/2)-Theta2L2L3(i))+I2*sin(Theta2L2L3(i)))/(D2*cos((Thet a1(i)+k1(i)/2)-Theta2L2L3(i))); k3(i)=h.*(Thetapunto1(i)+(l2(i)/2)); l3(i)=h.*(-(A2+F2)*Thetadoblepunto2L2L3(i)+B2*XdoblepuntoL2L3( i)*cos(Theta2L2L3(i))-(C2-G2)*XpuntoL2L3(i)*Thetapunto2L2L3(i)*sin(Theta2L2L3 (i))+E2*(Thetapunto1(i)+l2(i)/2)*sin((Theta1(i)+k2(i)/2)-Theta2L2L3(i))*((Thetapunto1(i)+l2(i)/2)-Thetapunto2L2L3(i))+H2*(Thetapunto1(i)+l2(i)/2)*The tapunto2L2L3(i)*sin((Theta1(i)+k2(i)/2)-Theta2L2L3(i))+I2*sin(Theta2L2L3(i)))/(D2*cos((Thet a1(i)+k2(i)/2)-Theta2L2L3(i))); k4(i)=h.*(Thetapunto1(i)+l3(i)); l4(i)=h.*(-(A2+F2)*Thetadoblepunto2L4(i)+B2*XdoblepuntoL4(i)*c os(Theta2L4(i))-(C2-G2)*XpuntoL4(i)*Thetapunto2L4(i)*sin(Theta2L4(i))+E 2*(Thetapunto1(i)+l3(i))*sin((Theta1(i)+k3(i))-Theta2L4(i))*((Thetapunto1 (i)+l3(i))-Thetapunto2L4(i))+H2*(Thetapunto1(i)+l3(i))*Thetapu nto2L4(i)*sin((Theta1(i)+k3(i))-Theta2L4(i))+I2*sin(Theta2L4(i)))/(D2*cos ((Theta1(i)+k3(i))-Theta2L4(i))); Theta1(i+1)=Theta1(i)+((1/6)*(k1(i)+2*k2(i)+2*k3 (i)+k4(i))); Thetapunto1(i+1)=Thetapunto1(i)+((1/6)*(l1(i)+2* l2(i)+2*l3(i)+l4(i))); sumaeles(i)=l1(i)+2.*l2(i)+2.*l3(i)+l4(i); sumakas(i)=k1(i)+2.*k2(i)+2.*k3(i)+k4(i); i=i+1; t=t+h; end

A4 %Daniel Eduardo Serna B. 200610906 %CODIGO DE MATLAB PARA LA IMPLEMENTACION DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN clear all clc % a continuación se definen las constantes físicas del modelo %masa del péndulo 1 masa1=4; %longitud del péndulo 1 longitud1=0.5; %masa del péndulo 2 masa2=55.6; %longitud del péndulo 2 longitud2=0.5; %Inercia del péndulo 1 inercia1=0.1815; %Inercia del péndulo 2 inercia2=1.20416667; %Gravedad g=9.81; %Constantes que se definen para simplificar las ecu aciones diferenciales A1=(1/2)*masa1*2*longitud1; A2=(1/2)*masa2*2*longitud2^2; B1=(1/2)*masa1*2*longitud1; B2=(1/2)*masa2*2*longitud2; C1=(1/2)*masa1*2*longitud1^2; C2=(1/2)*masa2*2*longitud2; D1=(1/2)*masa2*8*longitud1^2; D2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; E1=(1/2)*masa2*4*longitud1; E2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; F1=(1/2)*masa2*4*longitud1; F2=inercia2; G1=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2;

G2=(1/2)*masa2*2*longitud2; H1=G1; H2=(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; I1=inercia1; I2=masa2*g*longitud2; J1=-(1/2)*masa1*2*longitud1; K1=-(1/2)*masa2*4*longitud1; L1=-(1/2)*masa2*4*longitud1*longitud2; M1=masa1*g*longitud1; N1=2*longitud1*masa2*g; %Definición del "time step" o incremento de tiempo que se va a evaluar, es %decir cada cuanto tiempo se medirán las variables de entrada y cada cuanto %se arrojaran las variables de salida. h=1/80; %Definición de las condiciones iniciales para la va riable de salida. Thetha1sub0=0.01; Thethapunto1sub0=0.198; %Contador que se define en 1 y que irá aumentando d e a 1 para ir asignando %cada vez que se evalúe, a una casilla de un vector . i=1; %La variable tiempo que empieza en 0 y va aumentand o con los incrementos de %tiempo con cada ciclo. t=0; %ciclo para implementar la metodología para resoluc ión de ecuaciones %diferenciales con el método runge-kutta de cuarto orden. %Acotación del tiempo hasta 2.6 sg, para compararlo con las datos %experimentales. while (t<=2.3) %Variable de entrada Posición, la cual fue obtenida de los datos experimentales y fue aproximada por medio de un pol inomio X(i)=-1.96382901499746*t^15+37.0021909850662*t^1 4-316.155910358658*t^13+1615.68387147297*t^12-5483.82593872066*t^11+12979.6338909416*t^10-21890.5332103734*t^9+26421.9954687485*t^8-22618.3510883579*t^7+13445.1400825718*t^6-5375.41880883645*t^5+1388.78142374938*t^4-217.794637854936*t^3+15.5068514217755*t^2+0.2959409 36291475*t+0.00359802564813455;

%Variable de entrada Velocidad, la cual se obtiene derivando el %polinomio de posición. Xpunto(i)=-1.96382901499746*15*t^14+37.002190985 0662*14*t^13-316.155910358658*13*t^12+1615.68387147297*12*t^11-5483.82593872066*11*t^10+12979.6338909416*10*t^9-21890.5332103734*9*t^8+26421.9954687485*8*t^7-22618.3510883579*7*t^6+13445.1400825718*6*t^5-5375.41880883645*5*t^4+1388.78142374938*4*t^3-217.794637854936*3*t^2+15.5068514217755*2*t+0.29594 0936291475; %Variable de entrada aceleración, que se obtiene de rivando el polinomio %de velocidad. Xdoblepunto(i)=-1.96382901499746*15*14*t^13+37.0021909850662*14*13* t^12-316.155910358658*13*12*t^11+1615.68387147297*12*11* t^10-5483.82593872066*11*10*t^9+12979.6338909416*10*9*t^ 8-21890.5332103734*9*8*t^7+26421.9954687485*8*7*t^6-22618.3510883579*7*6*t^5+13445.1400825718*6*5*t^4-5375.41880883645*5*4*t^3+1388.78142374938*4*3*t^2-217.794637854936*3*2*t+15.5068514217755*2; %Variable de entrada ángulo del péndulo 2, que se o btiene aproximando %los datos experimentales a un polinomio. Theta2(i)=0.5; %Variable de entrada velocidad angular péndulo 2, q ue se obtiene %derivando el polinomio del ángulo del péndulo 2. Thetapunto2(i)=0; %Variable de entrada aceleración angular, que se ha lla, del polinomio de %velocidad angular. Thetadoblepunto2(i)=0; %Se calculan nuevamente las variables de entrada pa ra el tiempo actual %del ciclo que se está evaluando más el incremento de tiempo dividido 2. XL2L3(i)=-1.96382901499746*(t+h/2)^15+37.0021909 850662*(t+h/2)^14-316.155910358658*(t+h/2)^13+1615.68387147297*(t+h/2 )^12-5483.82593872066*(t+h/2)^11+12979.6338909416*(t+h/2 )^10-21890.5332103734*(t+h/2)^9+26421.9954687485*(t+h/2) ^8-22618.3510883579*(t+h/2)^7+13445.1400825718*(t+h/2) ^6-5375.41880883645*(t+h/2)^5+1388.78142374938*(t+h/2) ^4-217.794637854936*(t+h/2)^3+15.5068514217755*(t+h/2) ^2+0.295940936291475*(t+h/2)+0.00359802564813455; XpuntoL2L3(i)=-1.96382901499746*15*(t+h/2)^14+37.0021909850662*14* (t+h/2)^13-

316.155910358658*13*(t+h/2)^12+1615.68387147297*12* (t+h/2)^11-5483.82593872066*11*(t+h/2)^10+12979.6338909416*10* (t+h/2)^9-21890.5332103734*9*(t+h/2)^8+26421.9954687485*8*(t+ h/2)^7-22618.3510883579*7*(t+h/2)^6+13445.1400825718*6*(t+ h/2)^5-5375.41880883645*5*(t+h/2)^4+1388.78142374938*4*(t+ h/2)^3-217.794637854936*3*(t+h/2)^2+15.5068514217755*2*(t+ h/2)+0.295940936291475; XdoblepuntoL2L3(i)=-1.96382901499746*15*14*(t+h/2)^13+37.0021909850662* 14*13*(t+h/2)^12-316.155910358658*13*12*(t+h/2)^11+1615.68387147297* 12*11*(t+h/2)^10-5483.82593872066*11*10*(t+h/2)^9+12979.6338909416*1 0*9*(t+h/2)^8-21890.5332103734*9*8*(t+h/2)^7+26421.9954687485*8*7 *(t+h/2)^6-22618.3510883579*7*6*(t+h/2)^5+13445.1400825718*6*5 *(t+h/2)^4-5375.41880883645*5*4*(t+h/2)^3+1388.78142374938*4*3 *(t+h/2)^2-217.794637854936*3*2*(t+h/2)+15.5068514217755*2; Theta2L2L3(i)=0.5; Thetapunto2L2L3(i)=0; Thetadoblepunto2L2L3(i)=0; %Se calculan nuevamente las variables de entrada pa ra el tiempo actual %del ciclo que se está evaluando más el incremento de tiempo. XL4(i)=-1.96382901499746*(t+h)^15+37.00219098506 62*(t+h)^14-316.155910358658*(t+h)^13+1615.68387147297*(t+h)^12 -5483.82593872066*(t+h)^11+12979.6338909416*(t+h)^10 -21890.5332103734*(t+h)^9+26421.9954687485*(t+h)^8-22618.3510883579*(t+h)^7+13445.1400825718*(t+h)^6-5375.41880883645*(t+h)^5+1388.78142374938*(t+h)^4-217.794637854936*(t+h)^3+15.5068514217755*(t+h)^2+0 .295940936291475*(t+h)+0.00359802564813455; XpuntoL4(i)=-1.96382901499746*15*(t+h)^14+37.0021909850662*14*(t +h)^13-316.155910358658*13*(t+h)^12+1615.68387147297*12*(t +h)^11-5483.82593872066*11*(t+h)^10+12979.6338909416*10*(t +h)^9-21890.5332103734*9*(t+h)^8+26421.9954687485*8*(t+h) ^7-22618.3510883579*7*(t+h)^6+13445.1400825718*6*(t+h) ^5-5375.41880883645*5*(t+h)^4+1388.78142374938*4*(t+h) ^3-217.794637854936*3*(t+h)^2+15.5068514217755*2*(t+h) +0.295940936291475; XdoblepuntoL4(i)=-1.96382901499746*15*14*(t+h)^13+37.0021909850662*14 *13*(t+h)^12-316.155910358658*13*12*(t+h)^11+1615.68387147297*12 *11*(t+h)^10-5483.82593872066*11*10*(t+h)^9+12979.6338909416*10* 9*(t+h)^8-21890.5332103734*9*8*(t+h)^7+26421.9954687485*8*7*( t+h)^6-22618.3510883579*7*6*(t+h)^5+13445.1400825718*6*5*( t+h)^4-5375.41880883645*5*4*(t+h)^3+1388.78142374938*4*3*( t+h)^2-217.794637854936*3*2*(t+h)+15.5068514217755*2; Theta2L4(i)=0.5; Thetapunto2L4(i)=0; Thetadoblepunto2L4(i)=0; %Se definen las condiciones iniciales y se escribe la función que %describe la aceleración angular del péndulo 1. Theta1(1)=Thetha1sub0; Thetapunto1(1)=Thethapunto1sub0;

Thetadoblepunto1(i)=((A1+E1)*Xdoblepunto(i)*cos( Theta1(i))-Xpunto(i)*Thetapunto1(i)*sin(Theta1(i))*(B1+F1-J1-K 1)-G1*cos(Theta1(i)-Theta2(i))*Thetadoblepunto2(i)+H1*Thetapunto2(i)*si n(Theta1(i)-Theta2(i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))-L1*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta1(i)-Theta2(i))+(M1+N1)*sin(Theta1(i)))/(C1+D1+I1); %Se calculan las constantes del método de runge kut ta de cuarto orden %k1,l1,k2,l2,k3,l3,k4,l4. k1(i)=h*Thetapunto1(i); l1(i)=h*(((A1+E1)*Xdoblepunto(i)*cos(Theta1(i))-Xpunto(i)*Thetapunto1(i)*sin(Theta1(i))*(B1+F1-J1-K 1)-G1*cos(Theta1(i)-Theta2(i))*Thetadoblepunto2(i)+H1*Thetapunto2(i)*si n(Theta1(i)-Theta2(i))*(Thetapunto1(i)-Thetapunto2(i))-L1*Thetapunto1(i)*Thetapunto2(i)*sin(Theta1(i)-Theta2(i))+(M1+N1)*sin(Theta1(i)))/(C1+D1+I1)); k2(i)=h.*(Thetapunto1(i)+(l1(i)./2)); l2(i)=h*(((A1+E1)*XdoblepuntoL2L3(i)*cos((Theta1 (i)+k1(i)/2))-XpuntoL2L3(i)*(Thetapunto1(i)+l1(i)/2)*sin((Theta1( i)+k1(i)/2))*(B1+F1-J1-K1)-G1*cos((Theta1(i)+k1(i)/2)-Theta2(i))*Thetadoblepunto2(i)+H1*Thetapunto2(i)*si n((Theta1(i)+k1(i)/2)-Theta2(i))*((Thetapunto1(i)+l1(i)/2)-Thetapunto2(i) )-L1*(Thetapunto1(i)+l1(i)/2)*Thetapunto2(i)*sin((The ta1(i)+k1(i)/2)-Theta2(i))+(M1+N1)*sin((Theta1(i)+k1(i)/2)))/(C1+D1 +I1)); k3(i)=h.*(Thetapunto1(i)+(l2(i)./2)); l3(i)=h*(((A1+E1)*XdoblepuntoL2L3(i)*cos((Theta1 (i)+k2(i)/2))-XpuntoL2L3(i)*(Thetapunto1(i)+l2(i)/2)*sin((Theta1( i)+k2(i)/2))*(B1+F1-J1-K1)-G1*cos((Theta1(i)+k2(i)/2)-Theta2(i))*Thetadoblepunto2(i)+H1*Thetapunto2(i)*si n((Theta1(i)+k2(i)/2)-Theta2(i))*((Thetapunto1(i)+l2(i)/2)-Thetapunto2(i) )-L1*(Thetapunto1(i)+l2(i)/2)*Thetapunto2(i)*sin((The ta1(i)+k2(i)/2)-Theta2(i))+(M1+N1)*sin((Theta1(i)+k2(i)/2)))/(C1+D1 +I1)); k4(i)=h.*(Thetapunto1(i)+l3(i)); l4(i)=h*(((A1+E1)*XdoblepuntoL4(i)*cos((Theta1(i )+k3(i)))-XpuntoL4(i)*(Thetapunto1(i)+l3(i))*sin((Theta1(i)+k 3(i)))*(B1+F1-J1-K1)-G1*cos((Theta1(i)+k3(i))-Theta2(i))*Thetadoblepunto2(i)+H1*Thetapunto2(i)*si n((Theta1(i)+k3(i))-Theta2(i))*((Thetapunto1(i)+l3(i))-Thetapunto2(i))-L1*(Thetapunto1(i)+l3(i))*Thetapunto2(i)*sin((Theta 1(i)+k3(i))-Theta2(i))+(M1+N1)*sin((Theta1(i)+k3(i))))/(C1+D1+I 1)); %finalmente se aumenta el índice i en 1 para que en el próximo ciclo se %guarde en la componente del vector que sigue %Se aumenta el tiempo incrementando el tiempo un ti me-step. Theta1(i+1)=Theta1(i)+((1/6).*(k1(i)+2.*k2(i)+2. *k3(i)+k4(i))); Thetapunto1(i+1)=Thetapunto1(i)+(1/6)*(l1(i)+2*l 2(i)+2*l3(i)+l4(i)); sumaeles(i)=l1(i)+2.*l2(i)+2.*l3(i)+l4(i); sumakas(i)=k1(i)+2.*k2(i)+2.*k3(i)+k4(i);

i=i+1; t=t+h; end

9. REFERENCIAS

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