analisis fourier hwei p

5/10/2018 Analisis Fourier Hwei p

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SERIES O 'E FOURIER1A P I T U L O

1.1 FU:I\ICIONES PER!ODI,CAS

f(t)

PROBLEMA 1.1 . t tEncentrar eI peFlodt') illela {uncien/(t) = cos - + eos+-.3 4Soluci6n: si la funeion f(t) es periodiea cen un perfodo T, entonces, de (Ll) se tiene

lIt teos - (t + T)+ cos - (t + T)= cos - + cos-.3 4 3 4Figura 1.1 t)na funci6n peri6d'ioa.

Pilest!') qu e cos (8 + 27rm) = cos 8 para c na lq ui er e nte ro m se tiene queiJ ,- T = 2 7 7 m ,3

1- T = 2 T T n ,4oonde'lln y n SOB. enfeF0s. Per eonsiguiente 1 != 6rrom = 87rn; cuando m = 4 ! n = 3, seobtieae elmlNimo vales de T. (ESt0 se puede vet: mediante el procedimiento deensaY0 Y error). D e d@ nd e, T = 24n.

]l)ecir si la fl!lnion f(t) ~ oe s lOt - I i - 0S (10 + - 7r ) t es una funcion1


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AndUsi s de Fourier

8olueian: aqui Wt = 10 y W z = 10 4. -n , Puesto queOJ, il O0:>~ il O - ' I " TT

ne es ~1il: 1i1umero raeicnal, es imposimle eJiQ01}tta~ua alor T (};"liea~is~aga (t.1:);per consigl;1iente f(t)nl es una : l iunciel lper i6diea.

PROBLEMA 1.3 Encontrar el perfodo d e la f un ci6 nf (t) = (10 costi. 1

80luci6n: . si a p 'lic amos la id en tid ad trigonemetrica cos!2e =--(1 -! \ -< l :OS 28) s e tie ne2let) = (10 cos t)2 = 100 cos2t = 100 .! _ (1 + cos 2 t J= 501- 50 GOS Zt .2

~ es1iQ que tina constante es una f ll l'le i0 r. tj i> eri6 d ka d e > ed od o T ' ' fi l liracua1!!1uier 'Valorde ' J i ' , 'iel p eF lQ d0 de CQ8 2t es rr, s ec oRG ! lm y e G J il! lel p e rio d > < d efCt) es rr.

] j )el in@stFar ( ;1ue sifi 4 ,; 'if) =t(t},eateneesfB+TI2 '''' IT I2la-T12 t(~)dt = -1'/2 f(t) dt,

x "

8 ,0 hUf0 m :

Considerar ahoraJ13 [(O dt.e:

J f 3 [13+Tf(t) dt = .. (t) dt,e: atT

(1.6)

(~. 7)

(Ul)

(1.9


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AnaUsis i JeFi (f )ur ie t

IT+t 1 ' 1-r ) a T = ~ l(':r) Iv.T 0

J iW f CQlilsiguiente,


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Series de Fourier . 5

(J:16)


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6 Andlisis de Fourier

PROBLEMA 1.8 Verificar la integral (l.l9c).Solucion: con la identidad trigonometrica

1cos A cos B = = 2[cOS (A+ B) + cos (A - B)l,

y

se obtiene

1 iT/2= = 2 " leas [e m + n) wotl + cos [ e m - n) wot]! dt-T /~

1 1 I T/2= - sen [(m + n)w",t]2 e m + 1 ' 1 ) Wo -T/2+ .! _ 1 sen [(m _ 1 ' 1 ) Wo t 1 1 T/22 (m - n)wo -T/21 1 .

=- ( [sen [e m + 1 ' 1 ) 7 7 ] + sen [( m -+ n)77112 m + n)wo .11+-( ) lsen[(m-n)771+sen[(m-n)77112 m - n Wo

=0 sim*n., " 1

Utilizando la identidad trigonometrica cos2e = - (1 + cos 28) y hacieado m = n * Q _se obtiene I , 2IT/,2 , T/2cos (mwot) cos (nwot) dt =1 cos" (mwot) dt-T/2 ' -T/2 ,

1 iT/2=- [1 + cos 2mw"t] dt2 -T /2IIT/2 1 IT/2=- t + -- sea 2mwot2 4mw" T/2-T/2 -

PROBLEMA 1.9 Verificar la integral (Ll Se].Solucion: con la identidad trigonometrica

1sen A cos B = 2 [sen (A + B) + sen (A - B)],se obtiene


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' " ' I Tt 2GlS C llmwot) , . '-7'12


7/38

8 An d li sis d e F o u ri er


8/38

S er ie s d e F ou m er

EnGOntrar la sene de Fourier para la funci6n l(t) defmida por:

{

_L'f (t) = :

1,

T--

L-I 11 II 1 IlilTI J 1 " 2T 1 IQ" 1~ - I 1 "2 I 'I

: . , 1 . . _ ., . .. . .. , _ ., . , 1I( -1 I 0' i '.,,'I' T /2 )= - - sen nwo I '+ _ -_ ' sen,n6ll;t 'r nWo"-T/2' tl fiU" 0FigHra 1.:2

= 2 {~[sen 0 - sen (-nrr)].,. _1_ [sen (nrr) - seno]},.,T nwo nwo ' "=Oparan=FO (1.30)

que sen @ = sen (n'Tf) = O.

que el valor premedio de I(t) duraete lllflpeffbtlo es cero.D e (1.28)y w~T= (2rr/T'T= 2 rr s e ti~fle .

= _2,_"{[1-COS(-nrr)]- [cos (m) - l , l }n & J " T2=-(1- cos nu).n7t (1:32)

,~


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Figl!Ha1.3. Forma de onda delproblema 1.11.

T": . t: 1'fU..,-;::.J

z . . , 1 ' f


Puesto que cos nn =(- l )" ,n par (1.33n wpm!.

De donde4let) = -TT

00

n=impar, -(1.34

PROBLEMA 1.11 Encontrar la serie de Pourier para la funci6m ctl'y.'aforma de enda ,se muestra en la figura 1.3.Soluci6n: la funci6nf(t) se puede expresar analiticamente asi:

{

I + 4t, _! < t < 0T 2 -f(t) =

4t T1--. 0


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Se ries d e F ou ri'e t .

I/2 1 . 'ITI2 1_lTI2t cos ( l i IW ",~) a t = - t sen (nwot) , sen (nwot) dtnw", ; ,0 ,nw 0 e1 I T 12= --2 cos (nwot)

{nwo) 01--- (cos nTT --1).(n277/T)2

16 1a =- - '" (cos fl77 - I)" 1 '2 (n 27 7 / T )2

n parn impar,

2 I T / 2 2 L O 4 '=- sen (nwot) dt + - -,-.t sen (nwot) dtT, T T-T12 -T12': 2 I , T ' 1 2 4+- --tsen(nwot)dt" F 0 T$ 1 @ ,8 iTI2=- (-T ) sen [nw (- T )] (- d T ) - - t sen '(l?Wot) dtT2 0 ']'2

T 1 2 0 1 3 1 1 ' / 2 8 I T / 2=~' t sen (I'lWot) dt - ""2 t sen (nwot) dtT !'l_ T0,

12ne@ntrarla serie de Fenner para la funcien f(t) defmiclaporT--


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12 A n ti li si s d e F o u rte r

f (I)

Figura 1.4. Forma de onda del problema 1.12.

SOlucion:'puesto que f(t) = 0 cuando - TI2 < 1 : < 0, de (1.27) y (1.28) se tiene2 { T 1 2 2A I T / 2ao = - A Sl ! l (0,0t) dt = -,- (-c@S&;l'ot).oT 0 Two

A= - (1 -. cos rr)17

2A17

Cuande n = 1 ,a1=A i T 12 sen (2woO el t =A ( __ 1_ cos 2 W 0 t ) / T 12To. T 2wo 0

:1

A=-[1-cos ( 2 1 7 ) ~417

A= - ( ! I : -1)4 1 7 .=()).

\Cuan.don=2,3, ... ,,an =A {_ cos [(14' n) wod _ cos [(1- n) wod } I T!2

T (l-tll}W" (1-12)w';'0= A {I - [cos (1+ n ) 1 7 ] '+ 1- cos [(1- n)rr] }

2 1 7 . 1+ n 1- 12

{0, -, . n par

= A ( Q ' 2 ) , 2 1 1 " .2 1 7 1 + n 1 1 - t .:...= - (n _ 1) (n + 1)rr' n lFllparAn310gamente

A l ' T / 2= T [cos [(1- n) w"t] ~ cos [(1+ n)


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S er ie s d e j i'@u r i- er 1 3

(1.47)

; = A : { sen W - 11) UJot] _ sen r e i + n) wot] } IT /2T (1 - n) UJo. (l+ n) UJ0 0

=_ i _ { . . sen [(1 - n) 1 7] - sen 0 _ sen [(1 + n) 1 7 ] - sen O}2 1 7 1:-n 1+ n

(1.48)

1.49)

Desarrollar f{t) = sen" ten serie de Fourier.en vez de proceder como se hizo en el problema (1.12),se hara usa de

ejnfJ = cos n@j sen n e , (;l.50)(]I.5il)

(1.52)

5 5 . 1=- sen t - - sem 3t 4 c - sem St.8 1:6" !6 ~1.S3)caso 1aseFi:ede Fourier tiene tres temllnQs solamente.

1.5 APROXIMACION MEDIANTE UNA SERlEPINITA DE FOURIER


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(1

14 A na lis is d ' F o ar ie r

1

PROBLEMA 1.14 Demostrar que si se ap,roxima una ulilei61il(t) per una serie finitFourier Sk(t), entonces esta aproximacion tiene la pro~ieclad de ser el minimo errorcuadratico media.Soluci6n: si se sustituye (1.54) en (1.57), se tieme

Considerar Ek como una funcion de a o, a n' y bn- Ensonces palla ~\:feel error euadeatiemewo Ek sea un minimo, sus derivadas parciales con respeeto a aG, au' Y en deben siguales a cero, es deeir,

(n=I,2,).

Intereambiarrdo el orden de la difereneiacion y de la integraeierr:

a ' E i1 / 2 [ a k ]-' _k = _ ~ H e ) - _ _ c :_ - \ : " (an (;:QS TilW",t + On sen n " ' 0 ~ . r i l < t ,a a T 2 L. .'o -T12 n=1 (1.e t : 2 [ T 1 2 [ a k ]_ k =_ _ le t) - _!!_ _ "(an cos l i Iwot + bn seJil1'HJi)e 1 .en (nw ot) d t .a . T 2 L.

n -s : n=1 (1.Si'se usaa las propiedades de ortogo1ilaHda'cl_(i.l~~,(1.27), (1.2$) del sene y de}oeselas il'ltegFale,s(L59), (1.60) y 1.61) se reducen a

e t : a 1 I T 12_k = _ _ c : _ _ ~ ' let) dt = 0,dao 2 T -T 12 (1.(1.

se.:' 2 - f ' ;f 12__ k = b ;, , - -r-; f(t) sen (n .... ' t ) [email protected] T = r r z


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1 I T , / 2 2 k 2 iJ . kE lc = - [f(tW dt - a", _ ~ (a: "" b:' -j" ao + _ ~ (a:l. + b 2 )T 2, L.. .,.J 4 2L n A'-'Ii' } 2 ~ n= [ A= 1

,

S er ie s d e F o ur ie r 1 5

por (1 SY) se tiene

(1.66)

n 2 a f T I 2 2 k ( T 12let) S IC t~ < i t t = T ; f(t1 dt "" T L an J _ f(t) COS (nw",t) dt~2 -T/2 n=1 -T12 _

2 k rT /2+ T L bn j_ f(t) sen (nwot) dt,n= 1 -T 12

en cuenta (1.27) y (1.28), se obtiene2 {T'/2 a2 k 2'I' L f(t) Sk(t) dt = 2 ' +L {a~ -1 r bn)

-T12 .,=1la s rela@i@m esde @r~ogQ 1iIJa1idaaU~ ) ,

(1.67)

2 1 k= ao + _ \' (a 2 + b 2 )4 2~ n nr-n=1 ( 1 1 . 6 > 8 )

(1.~,*' y (UiS) en (1 .66}, se ohtieme

1 T'/2 2 1 k= - (j(t))2 dt - ao __ \' (a2+ b2)T . 4 2~ ., nv --T/2 n=1

1 I T I 2Ek =- [f(t) - Sk(t))2 dt;::: O.T - --T12

(1.70)

.2 ' T'/2 2 k- 7 E1 [1(t)F I t ~ a 2 ' " L : ~ a ~~ b ~ ' .

-1i'/2 n=1(1.7])


15/38

(1.75

16 Ana1isis de Fourier

PROB'lEM~ 1,11 Demostrar el teorema de Paeseval.S0luci6n: per (1 .65), se tie m e

E Ic+ 1=E ./ < ~ _ !_ ( a i - " 1 + bk+ 1)' (1. 72 , .Med4am te la s relaeiones (1.70) y (1.73) s e o bs erv a que la sucesion I E k ! ccnttene solameate rm imD s no n eg a tiv os y no es creciente; p or consiguiente la sucesion converge. De (1.56

lim Sk {t) = = {(t) - U rn 'S k (t) = 0;k--loOO k~oo

D e d o{ 'tQ e ,

1 f : r n 2 a ; ; 1 00- [ { C O l a t = = - + - '" < a ~ + b~)T 4 2 ~-1'/2 n=11.6 LAS OONDIGI


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S er ie s d e F o ur ie r 17

1 00 2 iTI2- ao' + " (a~ + b~).s - [t(O]> dt,2 L.' Tn=J -T12que la serie del miembro izquierdo es convergente entonces es necesario que

lim (a~ + b;) = 0,n->OO

lim an = lim bn = O.n-'OO n.....O

los coeficientes de Fourier an y bn existen, puesto que la integral del valori_.lItode J(t) es finita en el intervalo [- T12,T!2). Aplicando (1.78) y la definicion de"coeficientes de Fourier se concluye que (1.79) es correcta, es decir,

lm { a n . 2 {T12 {cos (nwot)= lim - l (t) dt = O .n4(X) ; n400 T -c r 12 se n (nwot)

IT12 {cos (nwot)li m let) dt = O.n->OO _ T 1 2 sen (nw 0 t)1.7 DIFERENCIACION E INTEGRACION DE

LAS SERIES DE FOURIER


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00

l'(t) = ~ o + [(CXn COS nWot + ( 3 n sen nwot),n=!

(1.82

18 A nd li si s d e F o u ri er

puesto que f'(t) es continua por tram es y diferenciable, su serie de Fcurieconverge a ella; per 10tanto su representaeion en serie de Fourier es

donde2 ITI2 ,c xn = T . f (t) cos (l'IWot) dt,

-T I l (1.8321TI2( 3 n = T f '(J) sen (n(')ot) dt.

-T /2(1.84

Integrando (I.83) y (I.84) por partes,

2 ~ xn = - T (cos nwot) f(t) . + nwo-T(2 J T!2 J(t) sen (nw" t) o J t-T/2(L8S

2 r I T l l1 n = T '(sen nwot) let) -T(2 - nwo {T12 ]let) eGS (nwetJ df-T 12= - nwo an (1.86

puesto que [(- T12) =[(TI2).Debe notarse que 0:0 = O . Per consiguiente,

00

{'(t) = - [ nwo ~-an sen nWot + bn ces nwet),n=!

10cual se puede obtener de la serie de Fourier de J e t ) diferenciando termino por termino.(La diferenclaelon de una funcion con dlseontinuidades strbitas seta tratada en lasec. 2.5).


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S er ie s d e F o ur ie r 19

p ue st o C i } l! le(t ) e s u na f un ci6 n c on tin ua : per tramos y p o r e l r es ulta do1.6, la f. lJll i lcioR F ' (t) definida p or

(1.89)

y p e rio die a e on p e rio do T. P ue sto q ue1 : .F'(t) = E(t') - - a2 o r ('t.90)

1 00'F(t) =2 ~o +L {CI;nC(;)S nWot + f3n sen nwot}.n= 1

(1.91)

: 2 I T / 2 : 2 1T/2=-- ret) sen l'lIj)"t - -- F'(t) sen (nwot) dtnUJ"T -T/2 nW"T -T/2

:2 1TI2 1= - - - [f(t} - - aol sen (nw"t) dtnw,,'J! -T/2 2

1=--fiJ,,,,nw.,

2 {T!2P D =- F(t) sen (nwo~) dtT -T/2

2 I T / 2 2 {T/2=- -- F(t) cos nWot + -.- F'(t) cos (nwot) dtnUJ,,1i' -T/2 nWoT -T/2

:2 1T/2 1=-- [t(t) - - ao] cos (nwot) atnUJoT -T/2 21=-anw" (1. 93)

t O O lF(t) =- a + '\' - (- On cos nWot + an sen nwot).:2 0 ~ tlWo,,=1(1. 94)


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.

F(t2) - F(tl) = = 1 1 2 i(T) c,}T- ~a" (t2 - ~I).I, 0.

2 Q Aruilisis de Fourier

De i !l@ 'F I .o ie ,,i l 2 f(tJ dt = F(t2 ) - ifl't,) + f a " C t 2 - t,)'I

+ an (sen nc


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..-.s..-'.Sta:2 TT 2 + 4 [ 0 0 (_1)n,... -- cos ut .3 n2n=1 let)

S er ie s d e F o ur ie r

1.8 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

(b) 1, (c) k, (d) 3 0 1 T , (e) 1flwo... R.lEMA 1.25 Demostrar que la funci6n f(t) = = constante, es una funci6n _Iic:a. de perfodo Tpara cualquier ValOF positive de T.~."R.lEMA1.26 Si f(t) es una funcion peri6dica de t,con perfodo T, demostrar

para a ' * 0 es una funci6n peri6dica de t con perfodo Tta ..,._ILIE:lllJM. 1.27 Si fet) es una funcion peri6dica de t con T e integrable, demostrarI.(t) = _ !_ J t;,a f (T) dT tambien es periodica con perfodo T.2a t-a

__ ............ M. 1.28 Demostrar que si f(t) y get) son continuas por tramos en el intervaloTn.) y periodicas de perfodo T, entonces la funci6n

T /2hCt)=l.f f(t-T)g(T)dTT -T/2

:.... . ll1iI lua y periodica con perfodo T.1I!'-'_~;;1ft,..1.29 Encontrar la serie de Fourier para la funci6nf(t) definida por f(t) = = 1

-11" < t < 0, f(t) = = 0, para 0 < t < 1 T y f(t + 2 1 1 ) = =f(t). (Ver figura 1.6).

... _ ....I~In....1.l0 Encontrar la serie de Fourier de la funci6n f(t) definida por f(t) = = tclintervalo ( - 1 1 , 1 1 ) y f(t + 2 1 1 ) = = f(t). (Ver figura 1.7).

(_1)"'-1---'-_- sen n t .n

Encontrar la serie de Fourier para la funcion j'(r) definida por f(t) = = etintervalo ( - 1 1 , 1 1 ) Y f(t + 2 1 1 ) = =f(t). (Ver figura 1.9).

2 senh 1 1 [1 ' f > (_l)n ( )]_ .. ieua: - + L-- cos tit - n sen tit .T T 2 n= 1 1 + n2

Encontrar la serie de Fourier para la funci6n f(t) = = 1 A sen wot I .

2 1

l(t)

I . d , . ,-2" -77 0 tt 2 T T

t. .

Figura 1.6 La funci6n f I t ) delproblema 1.29.

l(t)

Figura 1.1 Lafuncion f(t! delproblema 1.30.

l(t)

_ 772

Figura 1.8 La funci6n f I t ) delprlema1.31.

let)

/~,"2 i T - T T 0 tr 2 T TFigura 1.9 La fUl1ci.6n/(t) del

problema 1.32.

A

Figura 1.10 LafUr.lcion!(t) delproblema 1.33.


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PROBLEMA 1.39 Encontrar la suma de coL 1


2A 4ARespuestaicz: +-T T T T

PROBLEMA 1.34 Desarrollar f(t) =sen2t cos3t en sene de Fourier.Respuesta:l (2 cos t - cos 3 t - cos 5 t ),16PROBLEMA 1.35 Desarrollar f(t) =eT cos t cos (r sen t) en serie de Fourier.[Sugerencia: usar la serie de potencias para eZ cuando z =rejt.]

ccRespuesta: 1+ L rn cos n t.

n= 1 n !PROBLEMA 1.36 Aproximar la funci6nf(t) = t emel intervale (-n, n)mediante unserie finita de Fourier de 5 terminos que sear! diferentes de cero. Calcular tambienel error cuadratico medio en la aproximacion.

5 [( 1)n-1 ]Respuesta:2 n~1 - n sen nt , Es = 0.363.PROBlEMA 1.37 Utilizando el desarrollo en serie de Fourier del problema 1.10,demostrar que

T T 1 1 1-=1--+---+4 3 5 7}[Sugerencia: hacer t =- T en (1.34).]4PRO,BLEMA 1.38 Demostrar que

oc[ _ ! _ _ = 1+ .. ! +..!. + _ . . ! _ + ... = T T 2 n= 1 n2 4 9 16. 6

[Sugerencia: hacer t =n en el resultado del problema 1.31.]

n=1 (2n -1)2[Sugereneia: hacer t = 0 en (1.40) del problema 1.11.]Respuesta: n2/8PROBLEMA 1.40 Si una funci6n peri6dicaf(t) tiene derivadas continuas hasta elorden J c y derivadas eontinuas por tramos de orden k + 1, demostrar que existe unacota B, dependiente solo de f(t) y k tal que

ydonde an y bn son los coeficientes de Fourier de f(t).PROBLEMA 1.41 Seanf(t) y g(t) funciones continuas por tramos con perfodo T,y sear!an' bn y an' ~n los respectivos coeficientes de Fourier de f(t) y g(t).Demostrar que

fTI2 oc1. . f(t)g(t) dt= ~ aoao + L {an an + bn{3n}.

T -T12 n=1


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S er ie s d e F otm ie r 23

$i f(t) es U R a funcion p erio cliea in te gra ble , c on p erio do T, demostrar qu eT 001 . 1 f(t} ( L , - t ) dt = L , ~ ,T 0 2 n= nwo

$i I(t) en el problema i.45, se ap rox im ,a p er f k (t) =t en rpn (t ),b n=1

queelefllQFCtladniticomedio b~a 1 [f(t) -fk(t)fdt esunminimo.,B

/

bn es un G e:ficieN te d e F ourier d e J(t) y Wo =2n/T._ren,cia: ' desarsellae t T- t ,para 0 < 't< Tem serie de Fourier.]

Integ rar la serie d e F -ourier paraz? en el p rob lem a 1.31 para obtenersenn t 1 t ( t2 -TT)--;r- =12 y

l li 'tH izar e l teerema de Pa r: se v :a l (1.72) para p f@ bar que ~ 1 : = "82f:.i (21'1-1)2. N til iz af l lle su l. ta


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f (I)

o(a)

f (I)

(b)Figura21. (a) Unafuncien par.

(b) Unafuncien impar.

2A P I T U L O ANALISIS DE FORMAS DEONDAS PERIODICAS2.1 SIMETRIA DE LA FORMA DE ONDA

2.1 a Funciones pares e impares

So lucia n: sea f(t) =fl (t) f2 (t). Sih(t) Y[2{t) son funciones pares, entonces (- t) = 1 ( - t) 2 ( - t) = II (t) 2 (t) = I (t),

y sifl (t) y f2U) son funciones impares, entonces1(- t) = 1 (- t) 2 ( - t) = - 1 (t) [- 12(t)] = II (t)f2 (t) = I (t).

Est0 prueba que f(t) es una funci6n par.Analogamente, sifl (t) es par y f2(t) es impar, entonces

1(- t) = II (- t) 12(- t) = II (t) [- 12(0] = - II (r) 12(t) = - Ht).Esto prueba que f(t) es una funci6n impar.

24


24/38

Andl is i s de f ormas de o r zda ;s { !J l' i@d i ca s

l 1 i 1f(t) = " 2 f(t) + 2 " tC - t) + " 2 'f(t) - " 2 f(- t)1 1= "2(f(t) + f(-t)] f, 2"~f(t) - fe-f)]. (2.4)

12 [f(t) + f(-t)] = feW,1-[t(t) - f,(-t)~ = 'i" t } .2

(2.5)

( 2 . 6 g

, 1 1to (- t) = - ([(- t) - f(t)l = - - [f(t) - f(- t)] = - fo (r),2 2

Ht) = fe (t) ~ f ( j ) ( t~,es la 0@ l i ll i f l< ! l I i H i l I D ! t e par y fott) es i:a e e m p o n e n t e impar de la funcion

si se supone que l(t) se puede expresar comof(t) = f e (t) + i. ; (t), (2.7)

Y fo(t) denoran las componentes par e impar de f(t), respectivamente.con la defmici6n de compoaentes par e impar dadas por (2.2) y (23).,

t(- t) = fe C t) - fo (t~. (2.8)yla difereneia cte(2.7) y (2.8) dan como sesuftado, respectivamente

t,(t) =~ [f{t) "'" i(- t)],1i" (0 = 2 " [f(tj - f(- t)].

: e 1 l 1 ! 1 0 I D ! i l i r a r :~ascempomemtes l 1 ! a F e impar de la fU1ileionIilefinida p e r. { e - t t > 0f(t) = j0, t < O .

de acueFclo eon (2.9), se tiene

( 2 . 9 1

t >0 (2.10)t < 0.

(2.5) y (1.6~, se eon~$l!leque

f(t)'K.,(0)... (bl

Figura 2.2 (a) La hmciQra!(t) del problema2.3. (ti) La componente par delafigur.a2.2 (a). (e) Laeompo-nente impar de la figura 2.2 (al.


25/38

Figura2.3 Simelria demedia"mea.

2@

2.11

{

~e-t, ti > @t; (t) - } [{ttl - [(-I)l - 2 I

- - et t < 02 'Las c@mJ j!


26/38

A n dlis is d e fo rm a s d e o nd a s p er io dic as 27

fa f(t) dt = - t' F(t) dt + 1af(t) dt = O.a )0 0f(-O) = -f(O);

f(O) = O .(0)

(h)Figura 2.4 (a) Simetrfa de cuarto de

onda par. (b) Simetria decuarto de onda impar.

Si f( t) tiene simetria de media onda, entonces, de acuerdo con (2.16), setienef (t) = - f ( t + ~ T ) .

que f(t) es peri6dica con perfodo T,f ( t - ~ T ) = f ( t * T - ~ T ) = f ( t + ~ T ) .

2.1c Simetrfa de cuarto de onda

EH la figura 2.5(a), demostrar que si se construye una nueva funcion....... 910 de f(t) el termino constante A12, la nueva funci6n es una funci6n impar.

la sustraccien del termil'loeenstante AI2 de f(t}, solamente desplaza el eje_ _ a t bacia arriba en A12. Como se muestra en la figura 2 .5(b), es obvio que la

funci6n get) ={tt)-AI2 es una funci6n impar.Figura 2.5 (a) Simetria escondida

(b) Simetrfa impar.


27/38

2 1 T I 2bl ' ! =T let) se n (nwot) dt ,-T 12

n= 1, 2, ....


2.2 COEFICIENTES DE FOURIER DEONiDAS SIMETRICAS

So luci6 n: el desarrollo en serie de Fourier de f(t) es1 00

let) = 2 " aD + L (a n COS nWot + bn sen nc')ot)n= 1

Pm 0.27) y (1.28), se tiene2 {T12an = T let) cos (nwot) dt,

-T 12

n= 0, 1, 2, ... ,

Puesto que sen nWot es impar y f(t) es par, el producto f(t) sen nWot es una funeionimpar. Por consiguiente, de acuerdo con (2.14),

bn = O.Asi mismo, puesto que cos nWot es una funci6n par, el producto f(t) cos nW",t es unafunci6n par; par consiguiente, segun (2.13), se tiene4 i T I 2

n =- f(t) cos (nwc;c) dt.T 0


28/38

AndUsis de f@rmas de rmda,s periodicas

4 1 1 ' 1 2 .b = - f(t) se n (nwot ) dt,ft T o

el ceeficiente an en 1.1expansion de Fourier de una funci6n periodica

= ~ [ : / 2 t(t) CQS (mdot) d t + 1 T I 2 fe r ) cos (FlWot) d t J "la v;ar,iablet pGlf (t - -} T) en Ia primera integral, se obtiene

an = ~ { J : T I 2 f ( t - ~ T ) cos [nwo ( t - ~ T ) ] d t+ i T ! 2 f C t ) cos (nwot) d t } . (2.22)

que iF~t) tiene sime~rfa de medta onda, si se tiene en cuenta la propiedad- [(t - + r , de (2.17) y el hecho de que sen n 1 T = 8,2 [ T 1 2an = - ~- f (0 cos (nwot) cos ntr + let) cos (nwoO) dt

T 0

2 1 1 ' 1 2- [1 - (_l)n] f(t) cos nwot) dtT "o{o .

= 4 T 12. T 1 f(t) cos (nwot) dt para n par (2.23)para 1: 1 i~parpara n par (2.:24)para n impar


29/38

hn = @ } p am tame s les ~ arQ f ;e sa2n = 0 de n (mdl.lyelill~Q a,,),

(2.2

30 Amill-sis t!l:eFourier

] !mes1 e que !F(t) Hene s i li li le tE i ade euarto de onda p ar,E(t) = C - t),

i (~!r ..~ 7 [ i : ) . = - let).

= ~ { i T ~4 ({t) cos[(2n - l) @ ! o , t i ll 4l,* " : f '{I 2 H f) cos ((2n - 1 .1 &Jod d t ~ J . .}T I4 . : (2.2

C a tn ~ ia nQ o la v :a ria hle t p or (t +tTJ e li ll as e ,g l !I ! fl da Integral, s e tie ne

(2.2

S i s e u sa la p m p ieaa df (t) = - f(t +tr" ,se tiene

. 4 fTI4 .,=- . . fW C0S W t , n 7" tJ o d dt.T .. , .-T/4

Dado qwej(-t) =f~t) y f(t) co s [~2u-l)&;l"t:] .st1tJ .aflJmcion p aI , s e'~ lilS C i ob:tiiene

8 ( T ' ; 4 f) [( )] til"'2n-1 = T f\t eos 2n -1wot t.,


30/38

An ti li si s de fo rmas (! ]; e o n d a s yer.i6dicas -, 31

Y I ( n - } T ) =-/(t).!!I iI!~ente, de h~sresultados de los problemas 2.9 Y2.10, se tiene

a = O } .para todos iOS.vatoresb2n = Q de n (incluyendo ao),

(2.33)

4 [ T 1 2b2n-1 = - I(t) Sen (2n - 1) wet] dt.T -0esta ililite~al C0m(') en el problema 2.11

(2.34)

8 i T I 42n-1 =- I(t) sen. [(2n - 1) wed dt.T ~o. Eneentrar la sene de Fourier de la onda cuadrada que se muestra

por la figura 2.6, se tiene1(-t) = I(t) Y

1a functon I( t: ) tiene simetrfa de cuarto de.oada par.consiguien~e, seguR el FeSl!llbd(')del pFoblema: 2.] [, se tiene

00277

WO=-1T (2.35)et) =L a2n-l cos (2n - 1) wed,n= 18 i T I 42n-l =- I(t) cos (2tz-l)wet] dtTo. J

- 4 se n ['(2n-- 1 ) ! : .2 J- (2n ., 1) 77 Lpara(2n -1) = 1,5 - .. (2.36)

p3 l1a f2n -1)= 3,7 .-.. (2.31)

--,III

Figura 2.6

Ht)

T2

La onda cuadrada delpr00lema2.13


31/38

A nd li si s fi e F o u rie r

d e d on de ,(2.3

PRQBlEMA 2 ..1 4~ ncontrar la serie d e F ourier d e laonaa cuad rad a que se m uestraen l a f igw: l 'a2.7 .

--I IT I T

Solucion: p @ r ia figura 2.7, se tiene

Figl!Jra2.7 La cnda euadrada delpr:oblema 2.14.

t c - t) =-;f(t),>f(t+~T) =-f(t),

e s d ecir , Ia fUli loi6n fi(t} Hene simetrfa d e cuarto de onda impar.Por c( !)nsigY;ein te,eg U n el resultadodel problema 2.12, se J i ie1 ). e

00 2"Wo =T ' (2.3(t) =L 02n-1 sen [(2n - 1) wod,

n= 1

8 i T I 4~ sen [(2n - 1) w o d dtTq

4 (2.40(2n - 1) 7T 'd e d on~ e

g e t )

(2.42Figura 28 n= 1

(2.4


32/38

A n dlis is d e fo rm a s d e o nd a s p er io dic as 33

4 i T I 2n = - . g (t) sen (nwot) dt.T 0 (2.44)1 1e (t) =2- T t para 0 < t< T

b 4 i T I 2 ( _ 1 _ _ 1 t )n T 2 T sen (nwot) dt.ob = i_ [ - ( ! _ - ~ t )n T 2 T n 7 T1 (2.45)

1f(t) =2+get)1 1 00 1=2+; L ;:;sennwot

n= 1

1 1~ 1 1 )- + - sen wot + - sen 2wot + - sen 3wot + . . . .2 7 T 2 3 (2.46)

(I)Teniendo en cuenta el result ado del problema 2.15, encontrar laFourier de la funci6n f(t) que se muestra en la figura 2.9(a).

por la figura 2.9(b) y el resultado del problema 2.15, se tiene1 1 00 1f1 (t) = 1 - f(t) = 2+; L ;:;en t1Wot.

n= 1(2.47)

T(0 )

o

i(t) = 1- f1 (t) 1 (/)=1-(1)

1 1 00 1= 1 - -- - '"""' - sen nWot. . 2 ' 7 T ~ n

n=l

(2.48)o T

(b )2.3 EXiPANSIONENSERlE DE FOURIER DE UNA

FUNCION EN UN INl'ERVALO FINITO Figura2.9 (a') Lafunci6nI(t) delproblema 2.16. (b) Lafunci6n 1 1 (t) del problema2.16.Una funci6n f(t) no periodica, definida en cierto intervalo


33/38

3 4 An a li sls d e F o u rie r

t

(b) (c)

.. t ,T~2L ," "(d) (e)

Figura 2.10 (a) La funeion f(t~ dada, (b) SimetF(a par: t~~min0s delcoseno, """0 = 1Tlt. (c) Simetrlailililfllar: t~nmiAOSdel SeAG,Wo = 1Tl.(d) Termlnos del seno . del ceseno, Wo = 21Th (T: erbitrasiel.(e:!Silinet~fa de media onda: ter


34/38

Andl isis de fo rmas de ( ') 1 !ulas fi Je ri od icas 35

Dada la funcion (figura 2.11)

{o . para 0 < t < _ ; 1 7

i(t) =1 ,1para - 1 7 < i < 1 7 ,2

t(t)

(2.53)n2

1 7

. ~ 2 ( . 1 it )ie(t)=--- eos t--c0s]t+-cos5t-2 7T . 3 S (2.56)r---i .--,I ". : ::I I -17 ;--;_.,F-;.-';:'" -=;;;+-->"-,..,.., 1--

2-: 2

emuaaserie de Fourier de ' t reFminos del ceseno y trazar la correspendierrteper_i6(1i~~ij:,def(t).

Figura 2.11 La funci6.A f I t ) delprcollllema 2.17.

en la figura 2.12 se muestra la grafiea de la extension periodica parde f(t).que f{l} se extiende a una funcion par, se tiene

n = 1, 2, ..

an'" ~ f 17 lei) cos (nt) dt =~. i 17 cos (nt) dt,TIi J .On12

2=-', sen nt1 1 1 7

: - - - - - - - - - , 1 - . ------i: : I__i._ __.__O":;. ..._~:...-,._"._,__-.J .....

-17 17 0 17 172 n 1 7=--.-sen-;

t l 1 7 22 2(2.54)

Figura 2.12 La extension periedica par def(t) de la ~igura 2.11.

an =

0, npar (n #i ; @~2 n = = 1, 5, , ..-,

1 ' 1 1 7

2 n= 3,' 7, ....,1 1 1 7

2 i ' "= - dt = ].o tt. :rr12 (2.85)

-1Figura 2.13 La extenSiOA periooipa impa

de!(t), de la figu~a 2.11.


35/38

Figl!lra 2.~4 Ib.afU'r:lci0nfit) delproBlema 2.1'9.

Figu~a 2.1 La exteflsi0R pefiiedica irnpardelaJig,,,,,~a 2.14.

36 An a lis is d e F o u ri er

Plieste> que f(t, s e e ~ ti ende a un a funci6n impar,

{ 2 1 7T '" =~ 'sen (fit) dt17 ', : n :/ 2

e sto es , 2 n~=J:,3,5~ . .4 n =2,6,Hi), ..,@ , I ' l = 4,8,12, , ...

2 ( I 1 )to{t) = ; 'sen t + ' 3 seId t " " 5 se n St -f , "" 2 ( 1 . ! I : )- _ sen 2t 4 c _ ' ,:sen (jj,t + _ se n iQt + ...

17 ,J 5 ' (2.58

{

2k'--t ~~ f ,/(1) c .

2 k=- t)11 .para(i)


36/38

A na lis is d e [o r-m as d e ( f ) u e l a s periodicas 3 7 .

1' , 1 ,0 2 +}__ (1/2 cos I T J / ' t ) dt-o ~ til tt , J ~ ~

/,2 1 /2, 1- - --cos ~ T J T T - j ) - - sen -nr..2n tr 2 n 2 r r 2 2 (2.61)

11 ( n r r ) . /- 2 1 /2 1(l - t) sen - t dt = -' - cos - n tr + -- sen - n TT.11 2 ! 2 n TT 2 ,- n 2 rr 2 2 (2.62)(2:63)

) i K k ( tt 1 tt 1 tt )f (t = - sen - t - - sen 3 - t + :- sen 5 - t _ . . . .r r 2 1 32 1 52 / (2.64)

2.4 'LA FUNCION IMPULSO


37/38

38 A,niiNsisde1;our. ier

.(2.7

1:o~t - to hl> (t) d t = f_ ~ 8 ( T ; c ! > ( T + to ) a T = l~o(r)r$.(t ~ to ) at;entqnces;m ed iante (2.61 ), se tieneL~8(t ) (t it- to ) d t = 0 / : > (t + to ) I t=@ = < p (to)'A n;i!t (>lgamerute , @ I o l at = ' 1 : , ~ ='t/a,. dt = ldz" s i a> @, s e e 6 1t ie ne. a

..r 8(t)c!> (!_) d t = ! _ ( _ ! _ ) Ia J - o o a a a t=o1 .

=, r;j (0);

{g(t)(t) = o

p~Faa < t < bpara b < to < a,


38/38

=L~[(0) 0 (t)l ~ (t) dt, 'q,(t) es una funcion de prueba arbitraria .se concluye que [(t) 0 (t) =[(O) 0 (t).

( 2 . 7 8 )

Andlisis de formas de ondas periodicas

aquf de Iiluewola interpretacion de la expresion

si se selecciona la funcion de prueba W{I}tal que

{I paraa

analisis fourier hwei p

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cos t

t tt12

t sen nw t

perfodo t

t nwo nwo

t sen ilwot dt

t sen nwot dtt

o t fi