analisis gerak fluida
DESCRIPTION
TugasTRANSCRIPT
1. Soal
a. π₯2π¦β²β² + 2π₯π¦β² β 1 = 0 , π₯ > 0
Dimisalkan :
π£ = π¦β²
π£β² = π¦β²β²
Maka, π₯2π¦β²β² + 2π₯π¦β² β 1 = 0 akan menjadi
π₯2π£β² + 2π₯π£ β 1 = 0
π₯2π£β² + 2π₯π£ = 1 ......(1)
Persamaan pertama masing-masing ruas dikalikan dengan (1
π₯2)
Maka, persamaan pertama akan berubah
π£β² +2
π₯π£ =
1
π₯2 .......(2)
Bentuk umum dari persamaan diferensial ordo pertama adalah
π¦β² + π(π₯)π¦ = π(π₯)
Dimana :
π(π₯) = πβ«π(π₯)ππ₯ dan π¦ =1
π(π₯) [β« π(π₯) π(π₯)ππ₯ + π]
Dari persamaan (2) diketahui :
π(π₯) =2
π₯ dan π(π₯) =
1
π₯2
Sehingga
π(π₯) = πβ«π(π₯)ππ₯
= πβ«π(2π₯)
= π2 lnπ₯2
π(π₯) = π₯2
π£ =1
π(π₯)[β« π(π₯) π(π₯) ππ₯ + π]
=1
π₯2 [β« π₯2
1
π₯2 ππ₯ + π]
=1
π₯2[β«ππ₯ + π]
=1
π₯2[β« π₯ + π]
π£ =1
π₯+π
π₯2
b. Subtitusikan nilai π£ =1
π₯+
π
π₯2 ke pemisahan awal, yaitu :
π£ = π¦β²
π¦ = β«π£
= β« (1
π₯+π
π₯2) ππ₯
= ln π₯ β π₯β1π
Maka didapatkan persamaan umumsebagai berikut
π¦ = ln π₯ βπ
π₯
c. π¦β²β² + (π¦β²)2 = 0
π2π¦
ππ₯2+ π₯ (
ππ¦
ππ₯)2
= 0
Misalkan : π£ =ππ¦
ππ₯ , maka :
π2π¦
ππ₯2=π
ππ₯[ππ¦
ππ₯] =
ππ£
ππ₯
=ππ¦
ππ₯
ππ£
ππ¦
π2π¦
ππ₯2= π£
ππ£
ππ¦
Sehingga persmaan pertama akan menjadi
π£ππ£
ππ¦+ π₯ π£2 = 0
Kalikan masing-masing ruas dengan (1
π₯) , maka :
π£
π₯
ππ£
ππ¦+ π£2 = 0
atau
π£2 +1
π₯ π£ππ£
ππ¦= 0
π£ [π£ +1
π₯
ππ£
ππ¦] = 0 ..........(2)
Persamaan kedua merupakan bentuk umum dari persmaan linear yang penyelesaiannya adalah
π£ = 0
dan
π£ +1
π₯
ππ£
ππ¦= 0 dikalikan dengan (π₯)
π₯π£ +ππ£
ππ¦= 0
ππ£
ππ¦= βπ₯π£
ππ£
π£= βπ₯ ππ¦
β«1
π£ ππ£ = β β«π₯(π¦) ππ¦
ln π£ = β1
2π₯(π¦)2 + π
πln π£ = πβ12π₯(π¦)2+π
π£ = πβ12π₯(π¦)2+π
dengan pemisalan awal π£ =ππ¦
ππ₯ , maka :
π£ = 0 ππ¦
ππ₯= 0 β«ππ¦ = β« 0 ππ₯
π¦ = π
π£ = πβ1
2π₯(π¦)2+π
ππ¦
ππ₯= πβ
12π₯(π¦)2+π1
ππ¦ = πβ12π₯(π¦)2+π1
π¦ = β«πβ12π₯(π¦)2 ππ1ππ₯
π¦ = ππ1 (β2 π12π₯(π¦)2)
π¦ = β2 π1
2π₯(π¦)2+π1
2. Soal
π¦β²β² β π¦ = 0 ; π¦1(π₯) = ππ₯ dan π¦2 (π₯) = π
βπ₯
π¦1(π₯) = sinh π₯
=1
2 (ππ₯ β πβπ₯)
dan π¦2(π₯) = cosh π₯
=1
2 (π2 + πβπ₯)
Pembuktiannya
Untuk ; π¦1(π₯) = ππ₯
π¦ = ππ₯
π¦β² = ππ₯
π¦β²β² = ππ₯}
π¦β²β² β π¦ = 0
ππ₯ β ππ₯ = 0 (terbukti)
Untuk ; π¦2 (π₯) = πβπ₯
π¦ = πβπ₯
π¦β² = βπβπ₯
π¦β²β² = πβπ₯}
π¦β²β² β π¦ = 0
πβπ₯ β πβπ₯ = 0 (terbukti)
Sehingga terbukti bahwa π¦1(π₯) = ππ₯ dan π¦2(π₯) = π
βπ₯ merupakan jawaban dari π¦β²β² β π¦ = 0
Untuk : π¦1(π₯) = sinh π₯ =1
2 (ππ₯ β πβπ₯)
π¦ =1
2 (ππ₯ β πβπ₯)
π¦β² =1
2 (ππ₯ + πβπ₯)
π¦β²β² =1
2 (ππ₯ β πβπ₯)}
π¦β²β² β π¦ = 0
(ππ₯ β πβπ₯) β1
2 (ππ₯ β πβπ₯) = 0 (terbukti)
Untuk ; π¦2(π₯) = cosh π₯ =1
2 (ππ₯ + πβπ₯)
π¦ =1
2 (ππ₯ + πβπ₯)
π¦β² =1
2 (ππ₯ β πβπ₯)
π¦β²β² =1
2 (ππ₯ + πβπ₯)}
π¦β²β² β π¦ = 0
(ππ₯ + πβπ₯) β (ππ₯ + πβπ₯) = 0 (terbukti)
Seingga terbukti bahwa π¦1(π₯) = sinh π₯ =1
2 (ππ₯ β πβπ₯) dan π¦2(π₯) = cosh π₯ =
1
2 (ππ₯ + πβπ₯)
merupakan jawabn dari π¦β²β² β π¦ = 0.
3. Carilah wronskian dari pasangan fungsi-fungsi berikut
d. ππ₯ sin π₯ , ππ₯ cos π₯
Penyelesaian :
π¦1 = ππ₯ sin π₯
π¦1β² = ππ₯ sin π₯ + ππ₯ cos π₯
= ππ₯(sin π₯ + cos π₯)
π¦2 = ππ₯ cos π₯
π¦2β² = ππ₯ cos π₯ β ππ₯ sin π₯
= ππ₯(cos π₯ β sin π₯)
π(π¦1, π¦2) = |π¦1 π¦2π¦1β² π¦2
β² | = π¦1 π¦2β² β π¦2 π¦1
β²
π(ππ₯ sin π₯ , ππ₯ cos π₯) = |ππ₯ sin π₯ ππ₯ cos π₯
ππ₯(sin π₯ + cos π₯) ππ₯(cos π₯ β sin π₯)|
= ππ₯ sin π₯ ππ₯(cos π₯ β sin π₯) β ππ₯ cos π₯ ππ₯(sin π₯ + cos π₯)
= βπ2π₯ sin π₯ cos π₯ β π2π₯ sin2 π₯ β π2π₯ sin π₯ cos π₯ β π2π₯ cos2 π₯
= βπβ2π₯ sin2 π₯ β π2π₯ cos2 π₯
= πβ2π₯(sin2 π₯ + cos2 π₯)
= πβ2π₯
c. π₯ , π₯ππ₯
π¦1 = π₯ π¦1β² = 1
π¦2 = π₯ππ₯
π¦2β² = ππ₯ + π₯ππ₯
π(π¦1 , π¦2) = |π¦1 π¦2π¦1β² π¦2
β² | = π¦1 π¦2β² β π¦2 π¦1
β²
= π₯(ππ₯ + π₯ππ₯) β π₯ππ₯(1)
= π₯π2 + π₯2ππ₯ β π₯ππ₯
= π₯2ππ₯
5. π₯2π¦β²β²+ 3π₯π¦β² + π¦ = 0 , π₯ > 0 , π¦1(π₯) = π₯
β1
Penyelesaian :
π¦1 = π₯β1
π¦1β² = βπ₯β2
π¦2β² = 2π₯β3
Jadi :
π₯2π¦β²β² + 3π₯π¦β² + π¦ = 0
π₯2(2π₯β3) + 3π₯ (βπ₯β2) + π₯β1 = 0
2π₯β1 β 3π₯β1 + π₯β2 = 0
Untuk mencari jawaban kedua maka, akan dimisalkan
π¦2(π₯) = π¦1(π₯) π£(π₯) = π₯β1 π£(π₯)
π¦ = π’π£
π¦β² = π’β²π£ + π£β²π’
Jadi;
π¦2β² = π₯β1 π£β² β π₯β2 π£
π¦2β²β² = π₯β1 π£β²β²π₯β2π£β² β π₯β2π£β² + 2π₯β3 π£
= π₯β1π£β²β² β 2π₯β2 π£β² + 2π₯β3 π£
Maka ;
π₯2π¦β²β² + 3π₯π¦β² + π¦ = 0
π₯2(π₯β1π£β²β² β 2π₯β2π£β² + 2π₯β3) + 3π₯ (π₯β1 π£β² β π₯β2 π£) + π₯β1π£ = 0
π₯π£β²β² β 2π£β² + 2π₯β1π£ + 3π£β² β 3π₯β1 + π₯β1π£ = 0
π₯π£β²β² + π£β² = 0
Jika dikalikan masing masing ruas dengan (1
π₯) maka hasilnya menjadi
π£β²β² +1
π₯π£β² = 0
.......(2)
Misalkan : π’ = π£β²
π’β² = π£β²β²
Sehingga persamaan kedua menjadi;
π’β² +1
π₯π’ = 0
Dimana : π(π₯) =1
π₯ dan π(π₯) = 0
π(π₯) = πβ«π(π₯)ππ₯
= πβ«1π₯ππ₯
= πln π₯
= π₯
π’ =1
π(π₯)[β«π(π₯) π(π₯)ππ₯ + π]
=1
π₯ [β«
1
π₯ (0)ππ₯ + π]
=1
π₯ [π + π]
=2π
π₯
Dengan pemisahan awal bahwa ;
π’ = π£β²
Jadi,
π£ = β«π’ ππ₯
= β«2π
π₯ ππ₯
π£ = 2π1 ln π₯ + π2
Dimana,
π¦2(π₯) = π¦1(π₯) π£(π₯)
sehingga
π¦2(π₯) = π₯β1(2π1 ln π₯ + π2)
=2π1π₯ln π₯ +
π2π₯
6. π¦β²β² + 4π¦β² + 5π¦ = 0 , π¦(0) = 1 , π¦β²(0) = 0
Penyelesaian :
Telah diketahui bahwa π2 β 4ππ < 0 , maka akar-akanr dari π1 dan π2 , merupakan bilangan
kompleks, dimana :
π¦β²β² + 4π¦β² + 5π¦ = 0
π2 + 4π + 5 = 0
π = 1 , π = 4 , π = 5
π1,2 = βπ Β± βπ2 β 4ππ
2π= β4 Β± β16 β 4(1)5
2(1)
= β4 Β± β16 β 20
2
= β4 Β± ββ4
2
= β4 Β± 2π
2
π1 = β2 + π
π1 = β2 β π
Sehingga solusi umumnya adalah
π¦ = πππ₯ (π1 cos ππ₯ + π2 sin π(π₯))
= πβ2π₯(βπ1 cos π₯ + π2 sin π₯)
Untuk memenuhi kondisi awal, dimana π₯ = 0 π¦(0) = 1 dan π¦β²(0) = 0 , maka solusi tersebut
akan menjadi :
π¦(0) = 1 = πβ2(0) (π1 cos 0 + π2 sin 0)
1 = π0 (π1 + 0)
1 = π1
π¦β²(0) = 0 = πβ2(0)(βπ1 sin 0 + π2 cos 0) β 2π2(0)(π1 cos 0 + π2 sin 0)
0 = π0 (0 + π2) β 2π0(π1 + 0)
0 = π2 β 2π1
π2 = 2π1
π2 = 2(1)
π2 = 2
Jadi solusi khususnya adalah
π¦ = πβ2π₯(cos π₯ + 2 sin π₯)