As pues, g tiene derivadas continuas hasta de orden n + I sobre [O, I J y el teorema de Taylor aplicado a g sobre [O, 1] nos da

g(l) = I k o

donde R" '---~ para cierto Oe

11.6 Ejemplo. Desarrllese la fI mula de Taylor en Xo = (O, O) Y con n = 3 para la funcin f definida por f(x, y) = eX cos y.

SOLunN. Las derivada" parciales de f hasta el orden cuatro son:

DI/(x,y) = eXcosy, D 2 !(x,Y) = ~eXseny Dl.1f(x, y) = eXcosy,D1.2f(x,y) ~eXseny,D2,d(x,y)

D I,1.lf(x, = eXcos)', DI.1. 2 /(x, y) = ~eXseny,

D I,2,2f(x,y) ~eXcosy, D2,2.2/(x,y) eX sen y,

DI1,I.II(x.y)

D 1 ,l,2,2I{x,y) =

eXcosy, D I . 1. 1,2/(X,y)

eX cos y, D1.2,2.2/(X, y)

D2,2.2.2f(x,Y) = eXcosy.

eX sen JI,

eX sen y,

As pues, c~ en R2 y. por tanto, para cualquier punto (x, Y)E R2 ,

= feO, O) xDI/(O, O) )'D 2 /(0, O)

+1[x 2 D" 1/(0, 0J+2xyDI.2f(0, O) y2 Dz,zf(O, O)J

+HX 3 DI." 1/(0,0)+3 yD" "deO, 0)+3 xy2 D'.2,d(0, O)

+ Dz, 2, 2/(0, O)] + RJ

= 1 +x+Hx2 ~ y2)+ !eX 3 3x/)+R3

para un cierto (el' O, O), (x,y.

Problemas

I. Escrbase la frmula de Taylor en los siguientes casos, especifieando para qu puntos (x, y) tiene validez.

a) f(x, y) = 3xy+4y2. Xo (O, O), n 2 b) f(x,y) = x2~3xy+4y2, X o (2, ~3), n 2

e) ,y) 2x4~5y3 2 . Xo = (0.0). ti = 2 d) I(x . .1')= 2 5r3 -+ 2 . x[) (0, 0).11 4 e) (x. yl = In x. x" = (l. O). 11 4 n (x. y) = cos x ens y. xi) = (O. O). n = 6 (J) /(x. y) = eos .\Y. ";1 (O. O). 11 6 /) (x.)') e"seny.xo (0.0)./1 3 ) f(x.y) \ ,3.1'. X(j = (1 3).11 = 3.

2. Prubes..: 1 .2 por induccin matemtica.

3. Determnen.,;e 10

Llamamos tambin "superficies de nivel", al discutir la representacin de una funcin F de R3 en R, a conjuntos de la forma

12.2 {(x, y, z) I F(x, y, z) = c}. Los conjuntos de la forma 12.1 o 12.2 que encontramos tienen una

propiedad comn que podemos describir diciendo que un punto puede moverse en el conjunto con dos grados de libertad. Dejamos por el momento la nocin de superficie en este vago estado. Aunque seremos un poco ms precisos sobre este punto en el prximo captulo, una descripcin completa del concepto es bastante complicada y se encontrara aqu fuera de lugar.

Es claro que cualquier conjunto de la forma 12.1 puede escribirse en la forma 12.2; simplemente, haciendo F(x, y, z) = f(x, y) - z. Bajo ciertas circunstancias (que discutiremos en la prxima seccin) un conjunto de la forma 12.2 puede escribirse en la forma 12.1

Sea F una funcin de R3 en R que e~ diferenciable sobre un conjunto abierto tff y sea Y la superficie

y = {(x,y,z)Eol F(x,y,z) = c}.

Sea Xo = (xo, Yo, zo) un punto sobre Y y sea

x = g(t), tE(a,b)

la ecuacin de una curva Cfl sobre Y que pasa por Xo (figura 16). Como Xo est sobre Cfl, Xo = g(to) para un cierto to E (a, b). Y como Cfl se encuentra sobre Y,

F(g(t = c para todo tE (a, b).

Si suponemos que g es diferenciable sobre

O. en otra notacn.

('1" (\ _. s(J)

(-1" (- =o)-=--- O

e::

donde las derivadas V F(x() = O. eI1tU!lCc.S

::;un eval!ada~ en el punto C'o. no tiene piano tangente en xo .

Si

12.5 Ejemplo. Determnese una ecuac

Sea!/ una superficie dada en la forma:

!/ = {(x, y, z) i z f(x. y), (x, y)E0'1 donde f es diferencable sobre el conjunto abierto rff de R2 Haciendo F(x, y, z) f(x, y) - z, podemos escribir ,'1' en la forma:

!/ {(x, y, z) I F(x, y, z) O} donde Fes diferenciable sobre el conjunto abierto {(x, y, z) I \x, y)E.%, ZE R}. As pues, si V F(xo) *- O, una ecuacin del plano tangente a !/ en Xo (xo, Yo, zo) es

Escribiendo esto en trminos de f, obtenemos

12.6 (x-xo)Dd(xo,yo)+(y-yo)D2f(xo, Yo) (z zO) = O

como una ecuacin del plano tangente a !/ en (xo, Yo, zo). La ecuacin 12.6 puede tambin escribirse en la forma

. . oz. az (x x o)- + (y- Yo) (z zo) = O ox ay

donde las derivadas parciales estn evaluadas en el punto (xo, Yo)' Como VF(x(),yo,zo) = (Dd(xo, Yo), D2 f(xo, Yo), -1), el gradiente de F no puede ser cero y, por tanto, existe un plano tangente en todo punto de !/.

12.7 Ejemplo. Determnese el plano tangente en el punto (!, 2, 6) a la superficie !/ de ecuacin z = 2 X2 + y2 .

Z

.,.,....,'-----y

FIGURA /8 x SOLUCiN. La superficie .'1' se llama paraboloide elptico (figura 18). Haciendo f(x, y) , tenemos

DI f(x, y) D 2 f(x, y) 2y y

Dd(I,2) 4. D 2 f(l, 2) = 4.

Por tanto, una ecuacin del plano tangente es

4(x 1 )+4(y 2)-(2 6) = O

o bien

De la ecuacin 12,6 puede deducirse una interpretacin geomtrica de la diferencial. Sean (xo , Jo) x Y (x, y) = x. Entonces 20 = f(xoJ y la ecuacn 12.6 puede escribirse en la forma

f(xo)j- Vj(xol' (x xo) = f( X(j l -'- d((xo: x - xo).

As pues, cuando nos aproximamos al incremento I1f(xo; x - xo) por la diferencial df(xo; x- xo) para un Ix xol pequeo, nos estamos aproxi-mando a la superficie por su plano tangente en la vecindad de Xo (figura 19).

I Y

I I

~ X o o I X

X

FIGURA 19

Problemas

1. Dibjese la superficie dada y encuntrese el plano tangente a la superficie en elpunto dado:

a) esfera: X2 + + = 16, (2, 3,

b) hiperboloide de dos hojas: X2 + 4

-1,( 2, 3, Jl1)

e) cilindro elptico recto: 4X2 +9 y2 = 36, (, 2

0, (1, 2, y'5).

, ,,/3) d) cono circular recto: X2

2. Dibjese el cono elptico recto de ecuacin 4x2 - y2 + Z2 = O. Tiene este cono un plano tangente en su vrtice (O, 0, O)?

3. Dibjese la superficie dada y encuntrese el plano tangente a la superficie en el punto dado.

a) plano: z = x+ y, (1, 1,2)

b) hemisferio: z = -JSI-X2- /, (2,1, -2)

2 2

e) paraboloide hiperblico: z = ~ - L, (2,3, O) 4 9

13. EL TEOREMA DE LA FUNCIN IMPLCITA

En la seccin precedente considerbamos superficie de la forma

13.1

Y

13.2

{(x, y, z) I z = (x, y)}

{(x,y,z) I F(x,y,z) = O}. Mientras que es claro que una superficie que se da en la forma 13.1 puede tambin representarse en la forma 13.2, la recproca no es generalmente cierta. Es decir, no toda superficie de la forma 13.2 es la grfica de una funcin de R2 en R. Una superficie no puede ser la grfica de una funcin de R2 en R si tiene ms de una interseccin con una recta perpendicular al plano XY. Z

--f-----j--+-----,I--y

FIGURA 20

Por ejemplo, la esfera

[1' = {(x, y, z) I X2+y2+Z2_4 = O} no es la grfica de una funcin de R2 en R, ya que para cualquier punto (x, y)

en el disco Y' (O, O); 2), la recta que pasa por (x, y) perpendicular al plano XY intersecta a la esfera en dos puntos (figura 20).

Si resolvemos la ecuacin X2 + y2 + Z2 - 4 = O para z, obtenemos z = -! 4 - Xl - y2. Si fl y f2 son las funciones definidas por las reglas

fl(X, y) = J4-X2_/

j~(x,y) = _J4-x2_y2,

vemos que la esfera es la unin de las grficas de estas dos funciones, es decir,

Y' = {(x, y, z) I z = j~ (x, y)} u {(x, y, z) I z = f2(X, y)}. La grfica de fl es el hemisferio superior y la grfica de f2 es el hemisferio inferior. En este caso decimos que las funciones fl y f2 estn definidas implcitamente por la ecuacin X2 + y2 + Z2 - 4 = O.

En general, decimos que una funcin f est definida implcitamente por la ecuacin

F(x, y, z) = O

si, para todo (x, y)EfiI, F(x, y, f(x, y = O.

Podemos escribir esto en trminos de conjuntos como sigue: f est definido implcitamente por la ecuacin F(x, y, z) = O si

{(x, y, z) I z = f(x, y), (x, Y)E.@,} e {(x, y, z) I F(x, y, z) = O}. Volviendo a una consideracin de la esfera

Y' = {(x, y, z) I X2+y2+Z2_4 = O}, tomemos un punto (xo,yo,zo) sobre el hemisferio superior (zo> O). Entonces, para una vecindad suficientemente pequea JI! de (xo, Yu) en el plano XY, la ecuacin de la esfera define implcitamente una funcin continua nica de dominio JI! y que contiene (xo, Yo, zo) en su grfica (figura 21). Esta es la [uncinf con dominio JI! y regla de correspondencia

f(x, y) = J4-X2_/.

Si (xo , Yo, zo) es un punto del hemisferio inferior (zo < O), entonces el mismo resultado se obtiene con f dado por la regla de correspondencia

f(x, y) = -J4-x 2 - y2.

Sin embargo, si tomamos un punto (xo , Yo, zo) sobre la esfera con Zo = O, digamos el (O, 2, O), entonces no es posible encontrar una vecindad de (O, 2) en el plano XY para la que haya una funcin implcita nica, continua, que tenga esta vecindad como dominio y que contenga (0,2, O) en su

z

(0,2,0) --+---------~~1~~+~--_4~~~y

x

FIGURA 21

grfica. Los puntos (xo, Yo, O) difieren de los otros puntos de la esfera en que en estos puntos el plano tangente a la esfera es paralelo al eje Z.

En el anterior ejemplo fue fcil resolver la ecuacin para z en trminos de x y y y determinar as explcitamente las funciones definidas implci-tamente por la ecuacin. Sin embargo, en general esto no es factible. El siguiente teorema afirma la existencia de funciones implicitas bajo ciertas circunstancias y da frmulas para las derivadas parciales de estas funciones.

13.3 Teorema. (Teorema de la funcin implicita.) Sea F una funcin de R3 en R que pertenece a la clase el en un conjunto abierto ti. Si F(xo) = O Y D3 F(xo) i= O, donde Xo = (xo, Yo, zo)etl, entonces existe una vecindad .A'~ de (xo, Yo), una vecindad de zo, y una funcin nica fE el sobre % tal que

f(xo, Yo) = Zo y, para todo (x, Y)EA/',

f(x,y)e

y

Dzf(x, .v) = D2F(x, y,f(X, y

D 3 F(x, y, f(x, y

PRLEBA. Supongamos D3 F(xo) > O. (La prueba es anloga si D3 F(xo) < O.) Como D3 F es continua en D3 F(x) > O p2ra todo x en cierta vecindad 9'(xo; o) de xo. Tomemos O < e < jo Para x y y fijos, D3 F(x,y, z) > O implica que F(x, y, z) aumenta cuando z aumenta. Por tanto, como F(xo) O, tenemos F(xo,yo,zo e) O (figura 22}.

Sea "ir = c'l'xo, Yo); r). Tomemos (x, Y)EA y sea g(z) F(x, y, z), Entonces 9 es continua y creciente en [zo e, ;'0 e]. Adems, g(zo e) < O Y g(zo+e) > O. Luego hay un y slo un punto ZE(Zo-C, zo+e) tal

;..-..----+----y I

I

x c:: L :;(C",y.);, FIGURA 22

que g(z) = O. As pues, para cada punto (x, y) E A/' existe un z y slo uno en la vecindad e, zo+e). tal que F(.x, y, z) = O. Si por definicin hacemos f(x, y) igual a este z, entonces la funcin f est definida sobre A/' y F(x, y, f(x, y)) = O para todo (x, ,.y-. Adems. f(xo , Yo) Zo.

Obsrvese que para cualquier (x, Y)E ,;ji". i f(x, y) - f(xo Yo)1 < e. Probamos a continuacin quefes continua en o/V. Tomemos (x, y) en A''',

sea z = f(x,y), y tomemos f, tal que O < e < mn {zo+e z,z-zo+c}.

Consideremos la regin cilndrica que se extiende de z-s a z+s y que tiene JV como seccin, es decir, como proyeccin sobre el plano XY. De acuerdo con el argumento usado para demostrar la existencia y unicidad de f podemos comprobar la existencia de una vecindad vY(x, y) de (x, y) tal que para todo punto (x', Y')EJV(X, y)

If(x',y')-f(x,y)1 < s.

Por tanto, f es continua en .k-. Probaremos ahora que fEC! en JV. Tomemos (x, Y)EY y (h, k) tales

que (x+h, y+k)EJV. Sea l(h, k) = f(x+h, y+k)- f(x, y). Usando entonces el teorema del valor medio (teorema 6.10, pg. 194), tenemos

0= F(x+h, y f(x+h, y+k-F(x, y,j(x, y

= F(x+h, y+k,j(x, y) +/(h, k))- F(x, y,f(x, y = (h, k, 1(h, k' DF(x+ Oh, y+ Ok, f(x, y)+ O/(h, k donde (JE

Supongamos que F pertenece a la clase C l en un conjunto abierto de RJ

y sea w = F(x, y, iJw

Si w = y i= O en (xo , Yo, zo), la ecuacin az

F(x, y, z) = O tiene una solucin continua nica para z en trminos de x y y en cierta vecindad de (xo, Yo) Y

aw aw oz ax az ay ax aw ay aw

az az

Nota. El teorema 13.3 fue enunciado en trminos de resolucin respecto a la tercera variable, pero es claro que un enunciado anlogo tambin se verifica para el caso en que resolvamos respecto a cualquiera de las otras variables.

13.4 Ejemplo. Demustrese que en una vecindad de (0, 2, - 3) la ecuacin

+yz+6 = puede resolverse para z en trminos de x y y y encuntrense az y Jz en

Jx ay este punto.

SOLUCiN. Sea ID = F(x, y, z) xz 3 + yz+ 6. Entonces

ow 8x

DI F(x, y, z)

8w - = D 2 F(x, y, z) = z ay aw oz

D 3 F(x, y, z) = 3 +y.

Tenemos pues que FEC1 sobre R3 y D 3 F(0, 2, -3) 2 i= O. Por tanto, la ecuacin puede resolverse para z en trminos de x y y en alguna vecindad de (O, 2, 3) Y en esta vecindad

az ax

az

, ~ az 27 az 3 ASl pues, en (0, 2, - -,j, - = y

ax 2 ay 2

z 2

3xz + y

El teorema de la funcin implcita bidimensional es anlogo al teorema 13.3

13.5 Teorema. Sea F una funcin de R2 en R que pertenece a la clase el en un conjunto abierto C. Si F(xo) = O Y Dl F(xo) '# 0, donde Xo = (xo, Yo)EC, entonces existe una vecindad ,,11 de xc, una vecindad de Yo, y una funcin nica fE el sobre v1l tal que

f(xo) = Yo

y, para todo xEv1I, f(x) E

En este clculo no se necesita introducir explcitamente la funcin f. Supongamos que la ecuacin X2 + y2 - 4 = O define y como una funcin diferenciable de x sobre algn intervalo abierto y derivemos a continuacin. El clculo toma entonces la forma:

dy 2x+2y- = O

dx

dy x

dx y

A esto le llamamos diferenciacin implcita. Segn el teorema de la funcon implcita podemos ver que esta frmula para la derivada se verifica en cualquier punto (x, y) sobre la circunferencia de ecuacin X2 + y2 = 4, excepto en los puntos (2, O) Y (- 2, O) donde D2 F es O.

ProbJemas

1. Dado el elipsoide definido por la ecuacin

4x2+3y2+z2-I2 = O.

a) Dibjese la grfica. b) Determnese el plano tangente al elipsoide en cualquier punto

(xo, Yo, zo) de la superficie. e) Resulvase la ecuacin para z en trminos de x y y, y encuntrense

cz az -y-o ox ay

d) En qu puntos de la superficie es le plano tangente paralelo al eje Z? e) Usando el teorema 13.3, determnense los puntos sobre la superficie en

una vecindad de los cuales la ecuacin puede resolverse en forma nica

, . d ,oz oz para z en termmos e x y y y encuentrense - y - .

ax ay f) En qu puntos de la superficie es el plano tangente paralelo al eje X? g) Determnense los puntos sobre la superficie en una vecindad de los

cuales la ecuacin puede resolverse en forma nica para x en trminos , ax ox

de v y z, y encuentrense - y - . - ay OZ

2. Puede resolverse la ecuacin X2 Y + sen yz = O en forma nica para z en trminos de x y yen una vecindad de (4, O, 3)? Demustrese que

puede resolverse para y en trminos de x y z en una vecindad de ese punto , ly

Y encuentrense - y ox OZ 3. Demustrese que la ecuacin +z+3xy 0, puede resolverse en

forma nica para z en trminos de x y y en una vecindad de (O, O, O). As pues, en una vecindad de (O, O, O), la superficie puede representarse por una ecuacin de la forma z = f(x, y) donde el. Determnese la regla de correspondencia para f.

4. Demustrese que en una vecindad del punto que se seala las siguientes ecuaciones pueden resolverse en forma nica para z en trminos de x y y,

, oz oz y encuentrense - y . ox ay

a) x senyz 6 = O; (0,5, ) b) exyz +3z O; (4,0, e) J~2+y2+Z2_2x2Z5 = O; (2, J59, 1) d) zY- +9y= O; (-3,2,3).

5. Por diferenciacin implcita, encuntrese : si

a) xy3+3xy e) xe>'+3y

1 = O

b) x sen xy + y = d) cos y2 + xy = O

f) aretan r - l x

6. Consideremos la ecuacin F(x, y) y3 -x = O. a) Dibjese la grfica de esta curva. b) Resulvase la ecuacin para yen trminos de x. e) Demustrese que D2 F(O, O) O. d) Hay algunas discrepancias entre las partes b y e?

7. Prubese el teorema 13.5.

o

14. MXIMOS Y MNIMOS

En esta secclOn consideramos el problema de determinar los valores mximo y mnimo relativos de una funcin realf definida sobre un conjunto abierto t!! de Rn Encontramos primero una condicin necesaria: si f tiene un valor mximo o mnimo relativo en X o entonces todas las derivadas parciales de orden uno o son nulas o no existen en X o ; podemos tambin demostrar que en Xo todas las derivadas direccionales o son iguales a cero o no existen. En cualquier caso la condicin no es suficiente para asegurar

la existencia de un valor mximo o mnimo relativo de la funcin en xo. Para funciones de R2 en R obtenemos una condicin suficiente para la existencia de un mximo o mnimo relativo que puede extenderse, aunque con dificultad, a funciones definidas sobre espacios de mayor dimensin.

14.1 Definicin. La funcin f tiene un mximo relativo en el punto Xo si existe una t'ecindad Jy de Xo tal que, para todo xEA" n , f(x) ,,;; f(xo).

Un mnimo relativo de una funcin se define de modo anlogo.

14.2 Definicin. Los valores extremos de una funcin son los mximos y mnimos relativos de la funcin.

Ahora probaremos que los valores extremos de una funcin definida sobre un conjunto abierto de Rn pueden ocurrir solamente en puntos donde todas las derivadas parciales de primer orden son cero o no existen.

14.3 Teorema. Si la funcin f definida sobre un conjunto abierto 8' de Rn tiene un valor extremo en xoEI%' y Dkf(xo) existe, entonces Dkj(xO) = O.

PRUEBA. Supongamos que f tiene un mximo relativo en xo . Entonces

lm f(xo + huk) - f(xo) ,,;; O h~O+ h

y

Como Dkf(xo} existe, los dos anteriores lmites deben ser iguales a Dkf(xo). Luego Dd(xo) = O.

Si f tiene un mnimo relativo en xo, entonces tiene un mximo relativo en xo. Aplicando la parte del teorema ya probada a -.f obtenemos Dd(xo) = o.

Los puntos donde todas las derivadas parciales de f son cero o no existen se llaman puntos crticos de f. As pues, el teorema 14.3 nos dice que los valores extremos de una funcin definida sobre un conjUntO abierto pueden ocunir solamente en los puntos crticos de la funcin. Sin embargo, la funcin no necesariamente tiene un valor extremo en cada uno de sus puntos crticos; demostraremos esto en el ejemplo 14.5.

14.4 Ejemplo. Determnense los valores extremos de la funcin f definida por f(x,y) = 2x2 +4xy+5y2+2x-y.

SOLUCIN. Como Dj(x, y) = 4x+4y+2 Dzf(x,y) 4x+lOy-l,

D1 f y Dzf existen en todos los puntos de RZ y, por tanto, el nico punto

critico es (-1, t) donde D1 f y Dzf son cero. Por tanto, s f tiene algn valor extremo, tal valor extremo debe ocurrir en el punto (-1, t) y ser f( 1, t) -l. Podemos demostrar que es el valor mnimo de f. Por una rotacin de los ejes, podemos escribir!

(' rS)2

_ 1 V 6

caso es fcil demostrar que f no tiene un valor extremo en (0, O). Considerando los valores de f en los pUntos sobre el eje X, tenemos

/(x, O) = -}x2 .

As pues, 1 no puede tener un mximo relativo en (O, O). Pero considerando los valores de 1 en los puntos del eje Y, tenemos

1(0, y) = -ly2. Luego f tampoco puede tener un mnimo relativo en (0, O). Por tanto, f no tiene un valor extremo en (O. O). Las curvas de nivel y grficas de f estn dibujadas en las figuras 24a y 24 b. El punto (O, O) se llama punto de ensilladura de f. La grfica de f tiene un plano tangente horizontal en ese punto. pero la funcin no alcanza en l un valor extremo.

z

-/---x

(a)

FIGURA 24

El teorema 14.3 nos indica dnde debemos buscar los valores extremos --en los puntos crticos- pero no nos dice cmo saber cundo nos hemos encontrado con uno. En los ejemplos 14.4 y 14.5 tuvimos que hacer una investigacin completa de la funcin, antes de poder decidir s la tuncin tena o no un valor extremo en el punto crtico. Sin embargo, hay un teorema, anlogo al criterio de la segunda derivada para funciones de R en R, que nos proporciona un mtodo sencillo para conocer cundo, en un punto crtico, una funcin de R2 en R alcanza un valor extremo.

Supongamos que 1 es una funcin de R2 en R que pertenece a la clase e 2 en una vecindad 9' (xo; r) de Xo = (xo, Yo) Y que Df(xo) = O. Entonces, para toda direccin u, Duf(xo) y, por tanto, la curva formada por la interseccin de la superficie z = f(x. y) y el plano vertical que pasa por (xo, Yo, O) Y es paralelo al vect.or (u l' uz , O), tiene una tangente horizontal

en el punto (xo, Yo, /(xo , Yo)) (figura 25). Si / tiene un mximo (mnimo) en xo, entonces (xo, Yo,/(xo, Yo)) es un punto mximo (mnimo) de esta curva de interseccin. Si D .. ,u/(xo)

y b::f.O, entonces ac-b2 O Y D,lf(xo) < 0, entonces existe una vecindad !/(xo;eS) e !/(xo; r) tal que para todo XE!/(Xo; eS)

g(xO y D,f(x) O Y DJ,tf(xo+Oh) = A < O,

Por tanto, para todo Xo+hE!/'(Xo; eS),

f(xo+h)-f(xo) = HAh/+2Bhlh2+Ch/J

= ~ [(Ah +Bhz )2+{AC-B2)h/J 2A

< O.

Esto prueba queftiene un mximo relativo en X o si g(xo) > y D, J(xo} < O. La prueba queftiene un mnimo relativo en X o si g(xoO y D.J(xo es anloga a la anterior.

2. Si g(xo) < O, demostraremos que hay dos rectas !i' y !i' 2 que pasan por Xo tales que f(xo) es un mnimo relativo de los valores de la funcin sobre una de las rectas y es un mximo relativo de los valores de la funcin sobre la otra recta.

Si b = Ibl u = Ibl (u , uz), entonces

f(xo+h)-f(xo) = 11hl 2 [AU2+2Buu2+Cu/).

Sea a = Dl.1f(xo), b = D,2f(xo), c = D2 ,2f(xo). Como fEC2 sobre

9'(xo;r), para toda Ihl suficientemente pequea Au/+2Buuz+Cu/, y por tanto f(xo + h) - f(xo) , tiene el mismo signo que au2 + 2bu U2 + cu/, con tal que este ltimo sea realmente distinto de cero. Ahora demostraremos que siempre hay dos elecciones de u = (u, uz) tales que au2+2bu Uz + cu/ tiene signos opuestos para estas dos elecciones. Es decir, tales que f(xo) es un mnimo relativo para una de estas dos elecciones y un mximo relativo para la otra.

Consideraremos tres casos.

Caso 1. a f= O.

Si (u, u2) = (1, O), entonces au2 +2bu U2 +cu/ = a.

Si (u l , U2) = 1 (b, -a), entonces I a2 + b2 'V Z 2 a

au +2bu u2 +CU Z = -2-- g(xo) a +bZ

As pues g(xo) < 0, para Ihl suficientemente pequeo, pero no cero, el signo de f(xo+h)- f(xo) ser diferente cuando xo+hdf l = {xo+t(I, O)} que cuando Xo+hE!i'z = {xo+t(b, -a)}. As pues f(xo) es un valor mnimo relativo sobre una de las rectas y un valor mximo relativo sobre la otra.

Caso 2. C f= O. Este caso es anlogo al caso l. Aqu f(xo) es un valor mnimo relativo

respecto a una de la rectas,!i'l = {xo+t(O, l)} y 2z = {xo+t(c,-b)}, y es un mximo relativo sobre la otra recta.

Caso 3. a = c = O. Como g(xo) = ac-bz < 0, debemos tener b f= O.

Si (u, uz) = ~(1, 1), entonces auz+2bu U2+CU/ = b. J2

S ( 1 ( 2 Z I U, uz ) = --= 1, -1), entonces au +2buu z +cu z = -b. J2

As pues, para Ihl suficientemente pequeo, pero no cero, el signo de j(xo+h)-/(xo) ser diferente cuando Xo+hE.st {xo+t(I,I)} que cuando Xo + hE.st 2 {xo + t( 1, - I)}. y de nuevo /(xo) es un valor mnimo relativo sobre una de las rectas y un valor mximo relativo sobre la otra.

y esto completa la prueba. Aplicamos ahora el teorema 14.6 a las funciones consideradas en los

ejemplos 14.4 y 14.5.

14.7 Ejemplo. Tiene la funcin / definida por

/(x, y) = 2x2 +4xy+5y2+2x-y

un valor extremo en su punto crtico ( - 1, t)?

SOLUCiN. Las derivadas parciales primeras y segundas de / son

DJ(x,y) 4x+4y+2 D1/(x,y)

D,J(x,y) 4 D,2/(X,y) 4

4x+ lOy-1

D1 ,2j(X,y) = 10.

Como DJ( 1, t) O, Dd( -1, t) = O, Y D.J( 1, 1)D2,2f( -1, JJ-(D!.2f( l,t2 = 24 > O,

f tiene un valor extremo en ( - 1, t). Para ser precisos, f tiene un mnimo relativo en (-1, 1), ya que DI,! /( - 1, t) > O.

14.8 Ejemplo. Tiene la funcin / definida por

.. X2 3 y2 Jtx, y) = - --

3 16

un valor extremo en su punto crtico (O, O)?

SOLUCiN. Las derivadas parciales primeras y segundas de / son:

D f(x, y) =!x D2 /(x, y) iy

Dl,lf(x, y) f D1.2f(x,y) = O D2 2 /(X,y) = -,.

Como Dj(O, O) 0, D2 j(0. O) = O. Y D. j(0, O) Du/(O. O) -(Dl,2/(O, 02 -t < O.

f no tiene un valor extremo en (O, O); / tiene en (0, O) un punto de ensilladura. En muchos problemas buscamos los valores extremos de una funcin

sujeta a ciertas restricciones. Por ejemplo. podemos necesitar encontrar los valores extremos de una funcin F de R3 en R para puntos sobre una superficie G(x. y, z) O. La ecuacin G(x, y, z) O se llama restriccin o ecuacin de enlace. Un posible mtodo para manejar tales problemas es el

de resolver la ecuacin de enkce para una de las variables en trminos de las otras, por ejemplo z = g(x, y), y luego hacer f(x, y) = F(x, y, g(x, y, para encontrar finalmente los valores extremos de f.

14.9 Ejemplo. Una caja rectangular sin tapa ha de tener una superficie de rea S. Encuntrense las dimensiones de la caja de mximo volumen.

SOLUCIN. Supongamos que la caja tiene las dimensiones x, y y z, donde z es la altura. Entonces el volumen es xyz y el rea de la superficie es 2xz+2yz+xy = S. Deseamos, pues, encontrar el valor mximo de la funcin F(x, y, z) = xyz sujeta a la restriccin 2xz+2yz+xy-S = O. Resolviendo la ecuacin de enlace para z, obtenemos

S-xy z=---.

2x+2y

S-xy Sea f(x, y) = xy . Entonces

2x+2y

y

-2xy-2 y2 -2S +2xy S-xy D f(x, y) = xy + y-----'-

I (2x+2y)2 2x+2y

2y 2 ---"---:::2 (-2xy+S-x2) (2x+2y)

-2x -2xy-2S+2xy S-xy D 2 f(x, y) = xy + x --

(2x+2yf 2x+2y

2x2 2 = ----(-2xy+S-y ).

(2x+2y)2

Como en este problema x y y deben ser positivas, DI f y D 2 f existen en todos los puntos y son cero si y slo si

x2+2xy-S = O y2+2xy-S = O.

Restando la segunda ecuacin de la primera, obtenemos X2 - y2 = O y, por tanto, x = y. Sustituyendo entonces en la primera ecuacin, tenemos 3X2-S = O y, por tanto,

x=y=J~ .

As pues, para x y y positivos, la funcin f tiene un valor extremo solamente

( 15 15) . en I ~' I~.' DebIdo a la naturaleza del problema este debe ser le \V j \ 3

valor mximo deseado. Por tanto, la caja tiene volumen mximo cuando

S x = /

\j 3 y

1 !5 z = - 1-.

2 \ 3

En el prximo captulo discutiremos otro mtodo para el manejo de problemas extremos con restricciones en el que no resolvemos explcitamente la ecuacin de enlace para una variable en trminos de las otras. Este nuevo mtodo se llama el de los multiplicadores de Lagrange.

Problemas

1. Encuntrensc los valores extremos de las siguientes funciones. primero sin usar el clculo y despus usndolo. Dibjese en cada caso un diagrama de curvas de nivel y la grfica.

a) j(x, y) b) f(x, y) = V X2 + y2 e) f{x, y) +2x-3y+4 d) f(x, y) = sen xy.

2. Encuntrense los puntos crticos de las siguientes funciones e identifiqueseles como mximos relativos, mnimos relativos o puntos de ensilladura.

a) f(x, y) b) f(x, y) e) f(x, y) ti) f(x, y) e) f(x, y) f) f(x, g) f(x, y) h) f(x, y)

eXY

x4 3 + 12 sen x sen y

+3xy+2y2_ X +3 + 4y2+5x-3

y4 2X2 +5.

3. Encuntrese la distancia ms corta entre las rectas definidas por

P (I,3,5)+s(2,0,-I) y P = (2,8,1l)+t(-4,3, 1);

Encuntrense los puntos sobre las rectas que estn entre s a tal distancia y demustrese que la recta que pasa por estos puntos es ortogonal a las dos rectas dadas.

4. Encuntrese la distancia ms corta del punto (2, - 3, 1) al plano de ecuacin z 2x+5y 3.

5. Si f(x,y) (y x2)(y-2x2) demustrese que sobre cada recta que pasa por el origen f tiene un mnimo relativo en el origen. Dibjense

las parbolas y = X2 y y 2X2 e indquese en qu regiones del plano f tiene valores positivos y en cules negativos. Dedzcase de esto que f no tiene un valor extremo en (O, O).

6. Encuntrense los valores extremos de las siguientes funciones sujetas a las restricciones que se sealan.

a) f(x, y, z) = + y2 z,2x 3y+z-6 = O b) f(x,y,z) = ze- xY,x2+y2_ z = O

e) f(x,y,z) = X2+y2+Z2_2x+l, JX2+y2-z = O.

7. Determnese el paraleleppedo rectangular de mximo volumen y rea total igual a 48.

8. Determnese el paraleleppedo rectangular de maxlmo volumen y lados paralelos a los planos coordenados que puede inscribirse en el elipsoide

z2 -+ + L 2 5 4

15. RESUMEN

En este captulo hemos presentado el clculo diferencial de funciones reales de un vector (tambin llamadas funciones reales de ms de una variable). La teora para funciones de una variable vectorial, aunque ms complicada en detalle, es una extensin natural de la teora de funciones de una variable real. La definicin de lmite de una funcin de un vector es formalmente la misma que la de lmite para una funcin de variable real. La extensin de la derivada se efecta definiendo la nocin de diferen-ciabilidad para definir la derivada en trminos de esta nocin.

Las derivadas direccionales y las derivadas parciales tambin fueron otros conceptos definidos y se estudiaron las relaciones entre estos distintos tipos de derivadas. ,Las derivadas parciales son derivadas direccionales en direcciones particulares. Si f es diferenciable en un punto x entonces todas las derivadas direccionales de f existen en ese punto y el valor de la derivada es un vector cuya direccin es aquella en que la derivada direccional tiene su valor mximo, y cuya longitud es el valor de esta derivada direccional mxima. Adems, la derivada de f en x es el gradiente de f en x: un vector cuyos componentes son las derivadas parciales de f en x.

El clculo de las derivadas parciales de una funcin puede hacerse calculando la derivada de una funcin real de una variable real. Por tanto, como los valores de la derivada y de las derivadas direccionales de una funcin diferenciable pueden obtenerse partiendo de los valores de las derivadas parciales, no son necesarias, realmente, ningunas nuevas tcnicas

de clculo. Adems, la consideracin de las derivadas parciales nos proporciona una condicin suficientemente sencilla de diferenciabilidad: si una funcin tiene derivadas parciales continuas, es diferenciable.

Problemas de repaso

l. Verifquese, usando la definicin de lnite, que

lm (x 2 + y) = 3 \x,y)-(J ,2)

2. Sea f(x, y) xy+ y

a) Demustrese que

donde m i= 0, b) Demustrese que

e) Existe lm f? (O,O)

3. Existe lm \X,y)-{1,2)

lm

Im \x.y)~{O,O)

f(x, y) Osi(x,y)e{(x,Y)IY mx},

f(x, y) = l si (x, y)e {(x, y) I y = x 3 }.

+2 ? 4y+5

4. Sea f(x, y) ~,Determnese lm lm f(x, y) y Um lm f(x, y) y + x x-o y-O y-O X"'O

Qu puede decirse de lm j(x, y)?

5. Si f(x, y, z) = X2 sen (yz), determnense las derivadas parciales de f.

Determnese, ademas, Duf donde u = 1 ( 1,2,1).

para (x, y) i= (O, O) Y feO, O) 0, determnense

D/(O, O) Y Dzf(O, O).

7. Encuntrese la direccin y magnitud de la mxima razn de cambio de la funcin f definida por f(x, y, z) 3x4 Y , en el punto (O, 3, 1).

8. Si las derivadas parciales de las funciones f(i = 1, ... , m) con respecto a la coordenada k-sima existen sobre un conjunto abierto lff, demustrese que

m m

a) '[,Dk Ji = L DkJ; i= 1 i= 1

9. Si la funcin f de R2 en R est definida sobre una vecindad 9"a, b); r) y si Dzf(x, y) = O para todo (x, Y)E9"a, b); r), demustrese que podemos considerar f como una funcin de una sola variable; es decir, demustrese que podemos definir una funcin g de R en R por la regla g(x) f(x, y) sobre 9"a, b); r).

10. Desarrllese la frmula de Taylor con (O, O) como punto inicial para la funcin f definida por f(x, y) eX sen y, incluyendo todos los trminos de tercer grado.

n. Determnese la ecuacin del plano tangente al cilindro circular recto de ecuacin X2 + y2 9 en el punto (O, 3, 2).

12. Determinese la ecuacin del plano tangente al cono elptico recto de ecuacin z .JX2 + 2 y2 en el punto (2, 0, 2).

13. Encuntrense los valores extremos de la funcin f definida por f(x,y) x 2 -3xy+3y2_4x+5.

14. Un punto Xo se llama punto aislado de si XoE&' y hay una vecindad reducida de Xo contenida en 'ti lf. Demustrese que todo punto aislado de es un punto frontera de .

15. Proporcinense ~'i' b, l, y el conjunto de puntos aislados de $ cuando

a) $ {(x,y)IO < X2+y2 < 16} b) = {(x, y) I X4_ y4_4x2_4y2 O} e) $= {(x,y,z)IZ>X2 +y2}

d) ~ = {(X,Y)iY = sen~}.

FlJrJ[1iIJrJflS lJfI[1IIJrir.lflS [JfI lJrJ lJfI[JIIJr

1. INTRODUCCIN

Una funcin vectorial f de un vector es una correspondencia desde un conjunto si de vectores a un conjunto PJ de vectores tal que para cada vector aE.w' hay un y slo un vector correspondiente f(a)EPJ; es decir, es una transformacin del conjunto si en el conjunto PJ. Si si es un conjunto en R" y PJ es un conjunto en Rm, entonces decimos que f es una funcin de R" en Rm Las funciones de R en R" y de R" en R que consideramos en los dos captulos anteriores son casos especiales de este tipo de funciones.

En geometra analtica se consideran transformaciones del plano; estas son funciones vectoriales de un vector con dominio y rango en R 2 Por ejemplo, la funcin f definida por

f(x, y) = (x,y)+(2, 3) = (x+2,y+3)

es una traslacin del plano; cada punto (x, y) en R 2 se transforma en el punto (x+2, y+3) en R 2

El gradiente de una funcin de Rn en R es una funcin de Rn en Rn Por ejemplo, si

f(x, y, z) = X2 y+ yz

entonces

Vf(x,y,z) = (2xy,x 2 +z,y);

es decir, si

entonces

Las funciones 21 J2' 1/ + 13 , e 12 son funciones de R 3 en R y se llaman funciones componentes de Vf.

En general, si f es una funcin de R" en R m , entonces escribimos f = (fl' ... ,fm) donde la funcin componente j,,(k = 1, ... , m) es la funcin de R n en R con dominio :?J y regla de correspondencia: fk(X) es el k-simo componente del vector f(x). Veremos que, como en el caso de funciones de R en R" (captulo 3), el clculo de funciones de Rn en R m puede expresarse en trminos de las funciones componentes que en este caso son funciones de R n en R.

En los problemas fsicos, donde usualmente ti es 2, 3 o 4 y m es 2 o 3, las funciones de Rn en Rm se llaman a menudo campos vectoriales. Un ejemplo de una funcin de R 3 en R 3 es el campo de velocidades de una corriente estacionaria (es decir, con velocidad independiente del tiempo) de un fluido. A cada punto x del fluido corresponde un vector v(x): la velocidad de una partcula en el punto x. Una representacin geomtrica de la funcin v puede obtenerse dibujando en el punto x una flecha que represente el vector v(x). Si la corriente del fluido no es fija, es decir, si depende del tiempo, entonces la velocidad es una funcin de R 4 en R3 : v(x, y, z, t) es la velocidad de una partcula en el punto (x, y, z) en el instante t.

Problema

Proporcinese una imagen geomtrica de la funcin f dibujando una flecha que represente f(x) en el punto x cuando

a) f(x, y) = - (x, y) V'X2+ /

b) f(x,y) = (-y,x).

2. LMITE Y CONTINUIDAD

Como es de esperar, dadas nuestras experiencias previas con lmites, lm f = b quiere decir que f(x) est prximo a b cuando x est prximo a,

la

pero es distinto de, a. Tambin como de costumbre, suponemos que a es un punto de acumulacin del dominio de f. Definimos entonces el lmite como sigue.

2.1 Definicin. Se dice que el vector b es el lmite de la funcin f en a, y escribimos Um f b o Um f(x) = b, si para cada nmero B > 0, hay un

a X-a

nmero b > O, tal que siempre que x est en el dominio de f y O < Ix - al < (j entonces

If(x) bl < B.

As pues, decimos que lm f b si para cada vecindad g(b; B) de b a

hay una vecindad reducida .9" (a; 6) de a tal que f(X)Eg(b; B) siempre que XE.@f n g'(a; &) (figura 1).

FIGURA 1

La relacin entre el lmite de una funcin vectorial de un vector y los lmites de sus funciones componentes est dada en el siguiente teorema.

2.2 Teorema. Sea b (b, ... ,bm)ERm, f=(fl, ... ,fm) una funcin de R" en Rm, y a un punto de acumulacin de !2Jf Entonces lm f b si y slo si lm h. hk para cada k = 1, . _ ., m. a

a

Omitimos la prueba de este teorema ya que es la misma que la prueba del teorema correspondiente para funciones de R en R" (pg. 00).

Como un resultado del teorema 2.2, los problemas respecto al lmite de una funcin de R" en Rtn pueden reducirse a problemas sobre los lmites de funciones de R" en R.

Para funciones de R" en Rm definimos en la forma usual las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin por un escalar, producto escalar y producto vectorial (solamente si m = 3) (vase pg. \04); por ejemplo, f + g es la funcin con dominio E0 n:?fig y regla de correspondencia

[f+g] (x) = f(x)+g(x). Partiendo de la definicin de estas operaciones es fcil demostrar que s f (f , ... , fm) y g = (g , ... , gm) entonces

f-g = UI gj, ... , /;n-gm)

ipf (ipI , .... ipj;,,)

Usando el teorema 2.2 y el teorema del lmite para operaciones sobre funciones de Rn en R (teorema 4.5, pg. 176), obtenemos el siguiente teorema.

2.3 Teorema. Si f Y g son funciones de Rn en R"' tales que lm f y lm g a a

existen y si a es un punto de acumulacin de EJ: n , entonces

lm (f+g) lm f + Im g a a a

lim (f-g) lm f - lm g a a a

Im (f, g) (lm f) . (lm g) .. a a

lm(fxg) (lm f) X (lm g) [m 3] . a a

Adems, si ip es una funcin de Rn en R y a es un punto de acumulacin de fije (\ fiJ

Los siguientes teoremas se siguen fcilmente de los teoremas 2.2 y 2.3.

2.5 Teorema. La funcin f es continua en a si y slo si cada una de sus funciones componentes es continua en a.

2.6 Teorema. Si las funciones f, g y q; son continuas en a, entonces f + g, f - g, f g, f x g y q;f son continuas en a.

Decimos que f es continua si es continua en cada punto de su dominio y decimos que f es continua sobre un conjunto Y e q si la funcin restringida f g es continua. Recordemos que f9' es la funcin con dominio ~f n y tal que fy(x) f(x) si xe~f n Y.

El siguiente teorema es una generalizacin del teorema del valor intermedio (teorema 5.7, pg. 187). Probamos primero un lema.

2.7 Lema. Sea f una funcin continua de Rn en Rm con dominio~. Si si es un abierto relativo a ~ f(!i), entonces f*(sI) = {x I f(x)esl} es abierto respecto a ~.

PRUEBA. Tomemos xoEf*(sI) y sea Yo = f(xo). Como si es abierto relativo a ~ y yoesl, existe una vecindad Y(Yo; c) tal que Y(Yo; c) n ~ e si. Por otra parte, como f es continua en xo, correspondindose con el e hay una r5 > O tal que xeY(xo; r5) n ~ implica f(x)eY(yo; c) n ~ e si. As pues Y(xo; b) n ~ est contenida en P(sI), de donde f*(sI) es abierto relativo a ~.

2.8 Teorema. Sea f una funcin continua de R n en Rm Si ff es cualquier subconjunto conexo del dominio de f, entonces f{ff) es conexo.

PRUEBA. Podemos suponer que S es el dominio de f. Supongamos ahora que feS} no es conexo. Entonces existen dos conjuntos no vacos ajenos si y 9B ambos abiertos relativamente a f(ff) tales que f(ff) = si u 9B. De acuerdo con el lema 2.7 los conjuntos f*(sI) y f*{~) son abiertos relativos a ff. Adems, estos dos conjuntos son ajenos y no vacos y

S f*(sI u ~) = f*(sI) u f*(9B).

Esto significa que ff no es conexo. Esta contradiccin implica que f(tt) es conexo.

Problemas

1. Prubese el teorema 2.2

2. Determnense los siguientes lmites:

a) lm (x 2 y,x+y,2x) (x.y)~(l, 2)

b) Im (Il J 2 J 3 , JI - J 3) (- 1 .5.2 )

e) lm (sen xy, tan 2:'). Ix.y)~(3.2) X

3. Prubese el teorema 2.3.

4. Si lm f(x) = b, prubese que

lm If(x)1 Ib

y

lm f(x) = ~ si b fe- O. x~a If(x)1 Ibl

5. Si f tiene la propiedad de que I f(x) - f(y)1 ::::; Ix - yl para todo x, YEft'. demustrese que f es una funcin continua.

6. Sea f una funcin de Rn en Rm con dominio g y sea f!It = f(g). Si para todo conjunto d abierto relativamente a .:y, f* (d) es abierto relati-vamente a g, demustrese que f es continua.

7. Usando el hecho de que un intervalo en R es conexo, demustrese que un segmento rectilneo en R" es conexo.

8. Prubese que un conjunto convexo (problema 8, pg. 195) en Rn es conexo.

9. Demustrese que una curva punteada, pg. 110, en R" es conexa.

10. Si ' es un conjunto en Rn con la propiedad de que cualesquier dos puntos de $ pueden unirse por una curva punteada contenida en $, demustrese que $ es conexo.

3. MATRICES

Antes de proceder a una discusin de la derivada de una funcin de R" en Rm , introduciremos brevemente la nocin de matriz de nmeros reales. Una matriz m x n de nmeros reales, A, es una funcin con dominio el conjunto de pares de enteros (C, j) I I ::::; i ::::; m, I ::::; j ::::; n} y con rango en R.

Un valor de la funcin A(i,j) se llama entrada de la matriz; la entrada A (i,j) suele tambin denotarse por aij' Usualmente una matriz se

describe desplegando las entradas en una disposicin rectangular; por ejemplo

C a12 a,. )

A a21 a22 ... a2n

ami am2 amn

Ntese que el arreglo con que describimos la matriz m x nA tiene m renglones y n columnas; a ij es la entrada en el i-smo rengln y j-sima columna.

Como dos funciones son iguales si y slo si tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia, vemos que dos matrices A y B son iguales si y slo si tienen el mismo nmero de renglones, el mismo nmero de columnas y, adems, las entradas correspondientes son iguales, es decir, A(i,j) = B(i,j).

Pasamos ahora a definir las operaciones de adicin de matrices y multiplicacin de una matriz por un nmero reaL

3.1 Definicin. Si A Y B son matrices m x n, entonces la suma de A y B es la matriz mxn A+B tal que (A+B)(i,j) A(i,j)+B(i,j) para I ::s i ::s m y I ::s} ::s n.

La suma A + B est definida solamente si A y B tienen el mismo nm ero de renglones y el mismo nmero de columnas; cada entrada de la suma se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B. Expresando las matrices por sus arreglos rectangulares, tenemos

e al2

: :::) + (:::

b l2

bh

) A+B= a21 a22 b22 b2n

ami am2 amn bmt bm2 bmn

C'+b" a 12 +b 12 a'.+b h )

a21 + b21 a22 + b22 a2.~ b2n

amI +bml am2 +bm2 amn + bmn

3.2 Definicin. Si A es una matriz m x n y r es un nmero real, entonces r A es la matriz m x n tal que [r Al (j,}) = r A (i,j) para 1 ::s i::S m y 1 ~j ~ n

As pues

e" ra l 2 ... ,a,.)

rA ra 21 ra 22 ... raln .

raml ram2 ramn

Es fcil ver que, para m y n fijos, el conjunto de todas las matrices m x n de nmeros reales con estas operaciones de adicin y multiplicacin por un real forman un espacio vectorial sobre el campo real (problema 2). La matriz m x n, 0, es la matriz todas cuyas entradas son iguales a cero y - A, la inversa aditiva de A, es la matriz con entradas [ - A] (i,j) = - A (i,j).

Ahora demostraremos que el espacio vectorial constituido por todas las matrices l x n de nmeros reales es isomorfo a Rn ; es decir, que existe una correspondencia biyectiva (uno a uno y sobre) entre las matrices l x n y los vectores de Rn tal que las operaciones de adicin y multiplicacin por un nmero real se preservan bajo esta correspondencia. Sea a = (a I ' ... , an ) el vector correspondiente a A = (a ll ... a ln ) si y slo si aj = a li para 1 ";;j";; n. Entonces, si a y b se corresponden con A y B respectivamente

a+ b = (al +b l , ... , an+bn) se corresponde con

A + B = (a 1 l + b 1 I , .. , al n + b I n)

y

ra = (ra l' ... , ra.) se corresponde con r A = (ra I I ... ra In)'

Como las matrices l x n tiene las caractersticas de los vectores en R n identificaremos una matriz l x n con el vector correspondiente; las matrices l x n se llaman vectores rengln. De un modo anlogo podemos establecer un isomorfismo entre el espacio de las matrices n x l y Rn Por tanto, una matriz n x l puede identificarse con el vector correspondiente en R"; a las matrices n x 1 se les llama ['ectores columna. En general, el espacio vectorial consistente en todas las matrices m x n de nmeros reales es isomorfo a R mn

(problema 6). Las definiciones dadas para la adicin de matrices y la multiplicacin

de una matriz por un nmero real son conformes al modo habitual de sumar y multiplicar por un nmero real las funciones reales de un vector. Sin embargo, la definicin de multiplicacin de matrices que ahora daremos difiere esencialmente de la dada para la multiplicacin de funciones reales de un vector.

3.3 Definicin. Si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p, el n

producto de A y B es la matriz m xp e tal que cij = L akbkj, para k~ I

l";;i";;myl";;j";;p.

El producto AB est definido solamente si el nmero de columnas de A es igual al nmero de renglones de B. Si convenimos en denotar por a el i-simo rengln de A y por bi la j-sima columna de B, entonces pode-mos considerar a y bj como vectores de Rn y cij = a . bi . As pues, podemos escribir

I al b 1 al' b2 a, . b') 3.4

AH ~ ( a,; b' a z ' b2 a 2 ' bP an' b2 .,. am ' bP , \ a m ' b

l

Por ejemplo,

( -: :) ( 3 1) I 14 12) I 3 ~1 . 4 2, \ -- S 5; \ 3 11 \

Si A es una matriz 1 x I podemos establecer la siguiente correspondencia biunvoca: A se corresponde con su nica entrada a ll . Es fcil ver que las operaciones de adicin y multiplicacin se preservan en esta correspondencia entre matrices ! x J y nmeros reales. Podemos, pues. identificar una matriz Ixl con el nmero real que es su nica entrada.

Observemos ahora que si A es una matriz 1 x n y B una matriz n)( 1 Y a Y b son los vectores correspondientes en R", entonces el producto escalar a' b se corresponde con AB. Por ejemplo.

(2, - 1, S) . ( - 3, O, 7) = 29

se corresponde con

(2 -1 5) ( ~) (29). \ 7,

\ '

Como un tratamiento completo de la multiplicacin de matrices nos llevara mucho tiempo, limitaremos nuestra discusin a las propiedades que vamos a necesitar en nuestro estudio de las derivadas.

3.5 Teorema. Si A es una matriz m x 11, B una marriz 11 x p, y e es l/na matrizpxq,entoncesA(BC) (AB)C.

PRUEBA. Tanto A (BC) como (AB) C son matrices m x q. Adems, para I ~ i ~ m y 1 ~ q,

[A(BC)] (i,j) A(i, k) [Be] (k,j)

p

p

G ik I bkCIj 1: 1

L aikbktclj I I UikbklC/j k=! 1=1 k=1

l'

y' ABJ( I)Ci('; : I

f t 13 l( )

(.4 C. Como un rt:~utadl\ de t:~ta aSClciatl\:a de la mulupltC( 11 l' B Y e SOl! lIIatrices 11 ). !'n/once.\ 4(B,C =. AB+-Ae.

PRLIBA. A(B C y ,lB /le son matricc:, IIIXp, Para lodo U.j) tal que I ,;, i,;, 11/ Y 1 p. tenemos

[A(B+Cl] (.j)

48 ACJii.il.

El teorema 3.6 es una distributiva para las matrices, Como ci producto de matrces no es conmutatvo. deheramos tambien probar la siguiente diqribul\a: si A y B son matrcc, II! x 11 y e es una matriz!l {'. ent(lncc~ (4+B)C = AC+Be. Sin embargo. no de~arrollamo~ la prueba por ser completamente an a la del teorema 3,6, Usando estas leyes distributiva~ obtenemo~: si A y B son matrices m x n y C y D son matrices 11 x p, entonces (ll+B)(C+D) AC BC+4D+BD.

Introducimos a contnu

n-dimemional con las lllatrict~ 17 x 1 (o l'on las matrices 1 x n), entonces la distancia euclidiana es una norma matricial:

Ixi O ,i x + O. v iO = O Irxi = Irllxl Ix + yl ~ xi ~IYI (desigualdad del tringulo) X' yl ~ !x, yl (desigualdad de Schwarz).

Corno otro ejemplo podemos observar que para vectores en el espacio real n-dimensiona! podemos definir una norma vectorial (matricial) por la

ix = xd + i + ,.. + Que sta satisface !a~ propi~dades (1)-(4) de la definicin 3,7. puede verifil:arse fcilmente. Por ejemplo

+Yli +Fd+lx2+Y21+ ... + ~ 1+1.1'11+

+YIlI + + Ix,,1 +Iiyl!

3.8 Teorema. La /mcin real definida sobre el conjunto ,,:1' de todas las matrices de entradas reales por la regla

[

'" 11 ,2JL2 !;A = L L C/i

i -;;; 1 j 1

donde A es l/na matriz fII x n, es una norma matricial, La l/amaremos norma matricial euclidiana

PRLEBA. Si identificamos A E.#. matriz ni x n, con un vector en R mn (problema 6), entonces A 1I es exactamente la longitud euclidiana de este vector, } las propiedades (1). (21 Y (3) son las propiedades fundamentales de la longitud de un vector (teorema 26). Para probar la propiedad (4), observamos que si e = A B. elllo I1ces

y

de modo que

iiAi 2 BI!2 HB;

p

L L (ii i 1!- 1

= L 1== 1 J

J L I = j;,.--;; I

p

L L I (liJj/(/ikb;;1 .1 1 k 1 [

De donde 411 1 BI,2?- Am 2

lo que implica la propiedad (4), En lo que falta de este libro sIempre que aparezca la norma de una

matriz ha de entenderse que esta es la norma matricial euclidiana del teorema 3.8.

Finalmente, introducimos. la nocin de lmite para funciones matricialc, (es decir, con un conjunto de matrices como rango) de un vector. Sea F la funcin matricial definida por

(

''/11 (y) , .. /1" (y) \, F(y) = .............. .

\!ml(YJ ... Imn(Y)

donde cada funcin fu es una funcin real de un vector. Como cs usual, en la definicin de lm F que sigue suponemos que x es un punto de

" acumulacin del dominio de F. 1

3.9 Definicin. Se dice que la matm A es e/lmite de lafuncin matricial F en x, lo que se escribe, Im F A o lm F(y) = A, si para cada nmero 0,

x y-..x

hay un nmero b> O, fal que siempre qtle yE!?JJ F Y 0< y xl < o ellfonces F(y) A

N tese que si F es una funcin cuyos valores son matrices m x n, entonces A es una matriz m x n,

3.10 Teorema. Sea A una matriz m ti, F una funcin cuyos m/m'es son matrices ni x n y dominio un conjunro de :eclores, y x un punto de acumulacin de !?JJ F , Emonces lm F A si r slo si lm = aij para todo i = L" .. m yj=l, ... ,n. x

La prueba se omite ya que e~ la misma que la prueba del teorema correspondiente para funciones de R en R" (pg, 103).

Problemas

1. Si O :),

i .,

-:). I~ 5\

( I ,)

A 3 5 B ( 3 5 e ~ (~ 7 -" 4) .2 2; 2 .2 ~ I \ \ .J,

1 En esto y en lo que sigue siempre supondremos que todos los vectore, que constituyen el dominio de una funcin son del mismo espacio vectorial. [~, del T.]

determnense

al B+C d) (ABlC

b) AB

el AB+AC e) BA f) A(B+C).

2. Demustrese que el conjunto M de todas las matrices m x n de nmeros reales es un espacio vectorial sobre el campo real, pg. 37; es decir, demustrese que

A 2' A + B B + A para toda A y B en M. A3' (A +B}+C A +(B+Cl para toda A, B Y e en M. A4' Existe una matriz O en M tal que, para toda A en M, A O A. As. Para cada A en M existe una matriz- A en M tal que A + ( - A) O. S2.IA A para toda A en M. S3' r(sA) (rs)A para toda A en M y l' Y s en R. S4' (r+s}A rA +sA para toda A en M y r y s en R. Ss.r(A+B) rA+rBparatodaAyBenMyrenR.

3 Si A es una matriz m x n e I es la matriz n x n con entradas J(i,j) = 6 jj , donde (llamada delta de Kronecker) es l si i = j y es cero si i of=. j, demustrese que Al A. I se llama la matriz identidad n x n.

4. Si

A y

determnese Ab.

5. SI r es un nmero real, A es una matriz m x 11, y B es una matriz n x p, demustrese que

r(AB) (rA)B = A(rB).

6. Demustrese que la correspondencia uno-uno

a 11 a 111 \ ! \

A = ( a.'.2.I, ',' ... C./ 2.". ,') +-+ a ( a 1 1 , " a 1 n' a 2 1 ' ... , a 211' ... , a mi' ... , a mil )

\ a a / m; .. , mn

establece un isomorfismo entre el espacio vectorial M de todas las matrices 111 x I! de nmeros reales y el espacio vectorial R"'''; es decir, demustrese que si A ........ a y B ........ b, entonces A + B a + b Y rA ra para todo nmero reai r.

7. Demustrese que Ax Bx para toda x implica A = B.

S. 1':\[,[ \"'cl[)I',, c':1 R" \,1,[

pul' !. rcgl...t

.11

-< X

x

'1 SI

.h ,~

I . (\) 1 1. -\ .. \ \ . ,: .\ ---+ I ~ \ \ I

4. L\ DlFFRL"\CL\L .. 1 A DERIVADA

4.1 Ikfinicin. 1.

I",(X)

(','Xl: a,h' ",'Xhl.". f",(x)- a", h+",(x,h) J

''\s pues, la ecuacin .:1.2 es e4uI\ alente a

.londe

Sr lm

demostrado que si fes diferenciable en x entonces la derivada de f en x es d valor de la matril de f en x.

Supongamos que F es una funcIn matricial deflnida sobre un conjunto abierto .

4.6 Teorema. Sm f UI10 CO!ll naa sobre 1111 es decir. para cada x X-i-hE.'-f"(x: r)

4.7

'ldems, para /In 6> O tal que ;i

pagIna 478). De donde para O existe una (jij> O tal que ~" X+hEffy Ihl < (ji} implican

IDjfi(x+lJjhju j + ... +h"u,,)-D./;txll = Iq>j(x;hli

PI ._.\

donde cada trmino es una matriz I x l. ldcntillcando cada matriz Ixl con su nica entrada, obtenemos

/(x+h) = !(x)+ah+(p(x; h)17.

A !(x+h)~/(x) f( P I d f' .. , 'I dems, a ~ lm .-------"----- =. [) x). or tanto, a e IfiICIOn -+. es ir .() h

compatihle con la, detilllclones previamente dadas de diferenciahilidad, diferencial) deri\ ada de funciones reales de variable real.

Si f es una funcin de R en R", er.tonces la ecuacin 4.2 es

f(x+h) = f(x)+A(h)-+CD(x: h)(h).

Identificando la matriz Ixl (h) con el nflIero real 17, vemos que la

denvada lm I

f(x)]. Esto la A se corresponder con - If(x + 11) muest ra },-o h

compatibilidad de nuestra discusin de funciones de R" en R"' con la de funcione, de R en R".

Finalmente, ~i f es una funcin de R" en R, entonces la ecuacin .+.2 se ,:0 nvierte en

(/(x-+h)) = (/{x))+AhHD(x: h)h.

ldentilicandll las matrices Ixl (j(x -+ h)) Y (j(x)) con j{x + h) Y j(x) Y las matrices IXll A Y (D(x; h) con lo, \ec(ore, correspondientes a y (j>(x: h) de R", obtenemos

!(x-+ h)= t(x) 'a' h -rcp(x: h)' h

lo q lIe cst de acuerdo con .3, rg. 189.

Problemas

1. !)elllus(re,e que f es dlferellclahk en todos lo~ puntos ('(,.1. z) dl~ ~/t \' deterll1lll\Clbe nf(.\. \'. z) \ df((x. l .. ~): (dx. di, d~)) cuando

el) f( x, t', ::) - I \ .~, " l - )

h) f{ x. z) IXL ,

:: ) \'. .- \

\ ') \ e) 1'1\ . \'. :: ) - \ \ : I \ .: - I

\

ti) 1'(.\. \. z) ~ ( I,:l' '\ .:)

3. Si f l', la fLlllcl,\n de R" en R" L'l>l1 regla de Ce)ITc,].wndellcla f(x) 'C ax, dCnlll,lrc,>c quc j)flx) al donde 1 e'i la llIalri/ idcntidad 11 x 11 (l(i,j) =: () ,: i i= j e fU i) = I ,i I ij.

4. Si f Y g son funciones de R" en R m que son diferenciables en x y u es una funcin de R" en R quc es diferenciable en x. demustrese que

al f g es diferenciable en x y

ci[f' gJ (x: h) = f(xl' dg(x: h)+g(x)' df(x; hl.

b) Si /11 = 3, f)( g e~ cJiferenciabie en x y

d[fx g](x: h) = f(x)xdg(x: h)+df(x. h)x g(xl.

e) uf es diferenciable en x )

d[uf] (x, h) = li(X) df(x; h)7dl/(X; h) f(x)

5. REGLA DE LA CADENA

Ahora consideraremos la composicin de funclollc~ \cctoriales de un vector.

5.1 Definicin. Si g es una /ill1cin de R" en R m .J' f es l/na jncin de Rm

en {P, entonces la composicin de f con g. qlle escribimos: f g. es la funcin de R" en RP CO/1 regla de correspondencia (f g) (xl = f(g(x)\ r dominio

g = lx XE.ct g g~X)E

Sif=(f,, ... /nJ.entoncesf g=U: g. .i n g).

Antes t.k considerar la regla de la cadena para diferenCiar una comj)t)-sic'jn de funcioncs. damos algunos teoremas relativos a los lmites 'r a la continuidad de funcionc~ c;()mpuestas.

5.2 Teorema. Si g e.1 una meln de R" en Rm al que lm g b. f

un conjunto abierto que contiene g(gO). Entonces f g es diferenciable sobre ,g y para toda xEm' se verifican las siguientes frmulas:

5.5

Y

D[f g] (x) = Df(g(x)) Dg(x}

d[f g)(x; h) Df(g(x dg(x; h) = df(g(x); dg(x; h)).

PRUEBA. Sea XEm. Como f es diferenciable en g(x), existe una p x In matriz A tal que para todos los puntos g(x) + k en cierta vecindad reducida 9"(g(x); s) de g(x),

5.6 f(g(x)+k) f(g(x))+[A+

f)c,arrollarelll()\ ailor, un ~,hO parlinilar de la regl:l de la cadena ,\"

l'i la 110LlC!I'JlI de \dli,h!c\, Supongallws que g e\ una fUl1ciol1 de R 2 en R' que I c\ 1I1l~ funcin dc R' en I{, SC~1 F / g. (L 1, .::) g(ii, L )

11'- F(Ii, ! ) f(', L ::!, f'lltonCC\, w,ando 1" regl~1 de la cadel1cl tcnel110,

(' / I ,\

111 1.\ (l!

() hen

i( Ir

1 ('l/ (:: (Ii

(,\ (.\

11

111 ( e

( - e:: -- e' (' ( 11

?f (,\ , (~/ ( \' -.- +

jI::

( \' ( (- 1'('

( le (U I '( (1{' l' (11' (~- ('ir (\ I IC ( ('U' e:: -+ ---

(l! ( 1 (11 { __ (U

5.9 Ejemplo. Sea! ul1a funCin ITal que e, dil'crenciahk \ohre R2 Si de,crihill1o\ 10\ punto,,> de R2 por nKdio de coordcnada, polares, entoncesl \e tran,fl)rma cn la funcin f = f g donde g(r, O) = (r eos a. r sen a): e\ del' r.

ni'. (i) ,e f(r cos 11. r sen lij,

Encuntren,e ex.pre'illllC\ para la, derivadas parciales de F en trminos de Lh derlvada\ paruale, de r

Sou CI\')'\ 1, LSlndo la regla de la cadena, kl1e1l1o.,

[H(r.ll '-, DI Ir C1b 0, I sen (1) [)g(r.iI

de modo q L1e

C, (1 ni tU l'(l~ (), r ,en O) + sen I! D 2 /(r cos U. r sen O)

y

cos O. r ;,en ()) .

Si hacenll)~ (x . .1') g(r. O). entonce:-, 1(r. O .1'), ;. la :,oluein puede e~eribirse corno

de modo que

DF = cos ()

01' Dx

(,J

(.

sen (j iy

y

I~.'

Ir

i'r

i'r

(~F

ao

X

('U IN =1

\('X

('o

r sen (/

(~/) (cO~(/ .- r sen 0l i\', senO I'cosO/

" .

r cos o~. ay

SOLUCiN 2. Podemos obtener estos resultados usando diferenci

dz = dx 2",\"

(CO~ 11

= \ cos O

sen Od01 "- : sen () d r ex

\ / senO ldl' + f rsen

y/ \

()

"(\

-+- cos {) ~ )dO. ey}

Por tanto.

DF = cos V 4- S';11 (}

(r 'X

l' sen )

Podemo~ por completo de los smbolos de funcin escribir,

l::: = i'zdr T dO r i3f)

y , -

d: = (::: dx ,,"" ('- ( - , (eos !) d r - sen // (sen U dI' -i- l' COS O ex y

I 2:, 2'C \ cos 8 - + sen ti. dI' -+- I - r sen O o;:: + r cos ti -- dO,

{ 1.'

El resultado se escribira entonces:

sen () r :x

e: =_ i' sen tJ ':05 (1 e:: , NI \'

Ilustramos ahora el uso de la de la cadena para la determinacin de las derivadas de orden ma:;OL

5.10 Ejemplo. Si F f g donde g (l'. O) (1' ,:OS O. r sen el. proporcinese una expresin para De, F en trminos de las derivadas parciales de I Se supone que las deri\adas parciales de segllndo orden de f son continuas,

SOLlC1N. Como derivada~ de orden de f son c~lnti-nuas, las derivadas de pnmer orden de!' la propia f son diferen-ciables, solucin del ejemplo 5.9 demostramos que

, O)

O) cos O D

O[D!),

O

cos O~ r OH-sen (! cas O. r sen 0),

U. r "el1 Ol '-' sen (1 reos 0, r :.;en (il

+ ~en f(1' C,)5 O. r sen 11). ( r sen u. f' ces a)]

f' sen /) lOS (! DI, '':05 O. r 'Sen 11)-+1' eos Ii. r sen (})

sellOD! cosf}.rsenO) sen 2 0D, cos O, r sen O)

f / ~,;n (l cos O. r sen (I) + cos IJ cos (J. l' sen O),

Comu f derl''i ada~ de orden continuas.

COS O, r sen O) = fC/' cos O, /. sen O)

de donde,

D2.I F(r. O) r sen O cos OjD2 2/(1' cm, IJ. r Sen /JI D" I i(r cos I. l' sen O)]

+r(cos2 U sen 2 0)D 2 1 ((rcos (J. r sen (I) sen UD, cos /J. r sen!J)

+ cos O D 2 f(r cos U. r sen O).

Desarrollando la soluci n en la notacin de varIables, tenemos

CF = cos () + ~en O

el' ex cy

v

F (~r (~ sen ti -;-' + sen () -:;-

(IX d)

= cos O

sen 11 + co, ti

! "} -1' sen (1 cos ()~' + r cos~ () sen /J r sen 2 ()

6X2 erax Cx CxCy

, ! \~',lfjro~,U

," I .' I

d , C().' U

\

f l ('.\ t' I

1'""11,,,,, ,\hn e' (II" tll'" ,k problenia" Deseamos demostrar que. h~~j\j CICn c(lndiCi{r;h";,. ::1'- l"\"'U~l\.::l}nc\

su plil\.ku re,()I\er~< par,) J(), de la, variahles el1 trminos de las utras dos. dp.dlh),"o 1'-\. ) \, { tf\.\

la, drJ\c,(\" p:.rciaics de' .1 \ I i, Ubtendremos lalllhill expre~iunes pata

l'1l trminos de la, derivada, parciales

'Unpl\g:li, ,iJe \ (; IUl1cuncs de R4 en R que pertenecen a la da-e e' ,'! {I) (1 ,n unt" ah, I (, q lit: pala algn punto P" ~c (xo ' .1u. /I(!. 1'0)

i D, F(Po) I /) ,e; (p(,)

, \ I L I pnr , ( Olrlf,) el tll) es d,linto de cno en Po. podemos supom:

O.J !-(l\ \ ',('11 distinta:. dt: cero [t:I procednllent() sena It: /),/(1'(11\ f).(,(P"lfllcr:llld,tinlasdecer(l] U',andoelanlogll

1:; , 2:h) (l:lll'c1rem:i ,le: 1

y con las variables omitidas por brevedad,

5.13 DH = i = 1,2,3.

Como lE e sobre 11, Hfxo, Yo. l/o} = 0, y [)} H(xo,)'o, u() =1 0, el teorema de la funcin implcita, pg. 229, implica la existencia de una vecindad. j' de (xo, Yo), una vecindad e, Uo + e> de uo , y una funcin /EC l sobre A' tal que la cilndrica

[(x, y, u) I (x,ylt:: .. f. IIE

\, ::;C '.1,; ~

! ,i.....

( )'

i'( Li

Resllllado~ anlogo;, ,un tlidos para otro" .:aso," en general, baiL' Clllldiciune,; :propiada,," lIi ecuacione~ "n ; , riahles (11 > ni pueden resolverse rara IJI de [,h variables en trmino~ ce las otra~ ",'jables, S; suponemos la c:xls[cllcia de utla solucin tal, podemos c:alcular l,b deri\adas parciale, de ti moJo i"cr'11aL Ilustraremos "sil.' en el ,iguieme ejemplo,

s.n Ejemplo. que la, ecuaClOne, +nl+2z-- = U

f--'U ?,. Determne!ht: ---

IX (,X

C;, >1 ; (,():\, Suponiendo cjuel y i :ion unciones de x, r, \" _, tomamos la" lk:, " ada,; parciale" de Ji" ecuaciones con re,;pecto a x:

( u _1- \

~ "' _1 ce o ('X

el' (!t .\ + ,'..6Z!I U,

LX

E"" 1 1

Resolviendo e>;tas ecuaciones para ~ ('X

ni

,2

Problemas

L Si Ce

frmuJa,

,obtcnemm,

con la ,.J; la caJen;!'

),

r.

7. Supullganll)-; quc 1 ticllc deri,ada:, parllalc, L'OlltIlU:l, dc ,egulldu (U (

urdcn, SI I! ~ /(X,I'), Cl1lCJIIC::, , ~ I ,-' 2 () ama eCllClcilHl de Laplace I,C I l

cn dlh dllllcn,iulles, DClllut:,lrese que ,i can: 11,111)(1) a c

encuntrense Z" ClI (1/ el' Dv av -(cX D: t'x Dz

6. SIJPERFIClES

En el estudio de las superficies nos enfrentamos con un problema anlogo a uno con que nos encontramos al discutir la~ curvas: una superficie, qu va a ser?, un conjunto de puntos o una funcin? En conformidad con nuestro tratamiento de las curvas elegimos delnir una superficie como una funcin o, lo que es equivalente, un conjunto de puntos descrito de una forma panicular.

6.1 Definicin. Una superficie en W es una jill1cin continua de un sub-conjunto conexo de R 2 en R".

Nosostros aqu vamos a considerar tan solo superfides en R 3 y, por tanto, el trmino "superficie" significar una funcin continua de R1 en R3 .

Asodado a una superficie f siempre tenemos un conjunto de puntos en R 3: el rango de f. Podemos considerar la superficie como este conjunto de puntos descrito en la forma particular determinada por f. Denotamos por ello a una superficie por Y. por ejemplo, y decimos que ,j' es la superficie descrita por f. Si Y est descrita por f, entonces la ecuacin x = f(lI, v) se llama ecuacin paramtrica de Y.

Por ejemplo, si f tiene como dominio

g = {(u, v) I l/ErO, 2n], VE < - 00, ro>}

y regla de correspondencia

f(tI, r) (a cos ti, a sen u, u), donde a> O,

entonces la superficie descrita por la transformacin f de g es el cilindro con ecuaciones para mtricas

x = acosu,y = asenu,z = v; uE[O,2n], l'E

-,;; '-'.,

.. :'1

,~,

que pa,;a por . )'0' '-.:on normal Haciendo f = (; .12 , q) lemO:i ql!C

D. ( !. O.

As tangente en el punto

y. ...

g(x". J';J)) - j).

e~ una nor!THd .1t

por

--~"-'--'---'--'--'---------[J

j)!r g) (1)y 1) ,D,(!.2 "

As pues

(

iJ, f Di; I

1) 1 1,

\J> 11/)!!1

f..U, 1100 2 \)

i D 2 !2[)1!2

"/)2 13 DY2!

Esto demuestra que el vector !J(f g) (11)) que es tangente el la curva(;' en .1.'0 es una combinacin lineal dc ID, \cctores DI f(l/Il' ['o) ) D2f(lIo , {'o) que determinan el plano tangente a la \uperficie 'l' en Xu y, por tanto, que la recta tangente a ce' en Xli se encuentra en el plano tangente a .'}) en xI)'

6.2 Ejemplo. Encuntrese d plano tangente al cilindro circular de radio

con eje el eje Z en el punto (-- \2 - \22

,10 J'

SOLUCIN. El cilindro c-;[(\ descrito por la transformacin

f(u, r) = (eos 11, sen l/, J.

El punto x = ( - ~3. , ..... /. 10) se corresponde con LI = ~f y u = 10. Como DI f\ll, 1') = (- sen L/, cos ti, O) Y [)2 f(!I, l') = (0,0, 1),

. ij \ As pues, el plano tangente al cilindro en ( - ~, - v - , 10) es el plano

. _ 2

'2 que pasa por ( - \2 ' \2:~' 10) con normal (1. 1, O). U na ecuacin

implcita de este plano es

(!,l,O)-[

ti

de una ,~ , /, 224)

X a cosh r cos

y b cosh l' Sen It

~enh L E 2 .' (

61

X ---- senil CO~

,. h senil r s~n ,

( cosh 11 E [O. 2 E(

------;;,

,-, ",_"1

/('C ro

,< l

UII

n . .J I, 10

e J :r.

:-, (J 1)< h::nt;'ilIo~ un CO!lO circular reclO.

z

FiGURA

J (l/O (

(i' a r) ,en l'

2nj, lElO, 2J. dOllde a

a) Determnen,c las curvas ~'-coordenadas '6 ti/; Y las curva~ U-t:oor-denadas '1; 1'0 '

b) Dgase cmo se forma el cono por la transformacin f de 6. e) Encuntrese el plano tangente del cono en el punto (O, 1, 1), d) Tiene el cono un plano tangente en (O. O. Ol?

2. Determne~e el plano tangente a la superficie en el punto Xo cuando

a) y es el cilindro circular de radio 10 alrededor del eje Z: X o = (5\/2, 5\/2,0).

bJ o'/' es la esfera de radio / I /3 \

alrededor del origen; X o = (~, ", ' 1). ~ L. .:... ,

e) y; es el paraboloide hiperblico de ecuaciones

x r cos u i' sen l

;:: 2cos2u, uE[O,2nj, 00)

y X o = (y2, O).

d) f/ es el elipsoide de ecuaciones

x 2 co~ v cos u

y COS t' sen !I

sen (J, lIE[O,2n], VEr ; ~J y Xo (O. 1, O).

3. Demustrese que una esfera e~ la ,uperflcie de revolucin generada por la rotacin de un crculo alrededor de un dimetro del crculo.

4. Demustrese que un toro e~ la superficie de revolucin generada por la rotacin de una circunferencia alrededor de tina recta que no intersecta a la circunferencia,

5. Determnense ecuaciones para mtricas para las superficies generadas por la rotacin de'

a) una elipse alrededor de su eje mayor. h) una parbola alrededor de su eje, e) una parbola alrededor de la recta qUt~ pa~a por su vrtice v es

paralela a su directriz, ti) una parbola alrededor de 'u directri/.

6. Determnese la curva que e~ la interseccin de las superficies dadas por las ecuaciones:

,,3 --.1'+3 O y

x J - z-2 0,

';\

'.1"

. r,

\

S 1 , . :[;.l , .. i 1'1 !

7 1 D '(, ! I(

"r "U. Si DFixu; e:; 'JI,: I:Oll,OJiI,l,:{q' "cal de D(;,!" Jiganh)~

un""

1) 1I { 1)::\,,1'1'\)=0

en n Y, sera lierO en .X i ,

j! ' ..

A.s pue'i, desde un pU'llU le' ... ista gCl'llltricc, c~peral1los que un \aiUr extremo de F sujeto a las rCqriCliune, G,(x) = () s61() puede ocurrir en un puntl' XI) t,[ que

7.2

Si definimos una funcin H de R"H en R por

k

H(x l , .. , X"' le l , .... ,{k) = F(x l , ... , xo) + I AG{X I , ... , X,,) I

donde (XI' ... , x,,)E8 y )"ER, entonces

DH = (DIF + i APIG;, "., Dn F +i ).P~Gi' G I , ... , Gk ) i= t I 1

y, por tanto, las relaciones 7.2 se verifican si y slo si DH(xo) O. As pues, parece que un valor extremo de F sujeto a las restricciones G(x) = O puede ocurrir solamente en un punto x = (x l' ... , x,,) solamente si (XI' "', x"' }'I' ... , )'k) es un punto crtico de H para algunos valores i.{i 1, . ", k). Los parmetros i se llaman multiplicadores de Lagrange.

Demostraremos que este mtodo es vlido para el caso especial en que n = 3 Y k = 1.

7.3 Teorema. Supongamos que Fy G sonfllciones de R 3 en R que pertenecen a la clase el en un conjunto abierto Ir y OC es distinra de cero en lt. Si Xo = (xo, Yo, zo) es un punto en !J en el que F tiene un calor extremo sujeto a la restriccin G(x) = 0, entonces, para algn mlor de i., (xu, Yo, zo, ) es un punto crtico de

H(x, y, z, ),) F(x, Ji. zl+IeG(x, y, ).

PRUEBA. Supongamos que F restringido a la superficie //' descrita por G(x) O tiene un valor extremo en el punto xo. Como DG(xu) =1= 0, una de las derivadas parciales de G es distinta de cero en x(), digamos D3 G(xo) =1= O. De acuerdo con el teorema de la funcin implcita, pg. 229, existe una vecindad .. V' de (x(), Yo) Y una funcin gEC 1 sobre .V tal que g(xo,)'o) z" y. para todo (X,Y)E.j,

G(x. y, g(x. y)) O y

Dly(x.

D 3G(x,y,g(X,v)

Si f(x, y) F(x, y, g(x, y)), entonces i tiene un valor extremo en (xo ' )'0) Y

Luego. si } . tenemos

=0

o G = o.

As pues. (xo, Yo, zo. }.) es un punto crtico de H. Lo que completa la prueba.

7.4 Ejemplo. (Vase pg. 243.) Una caja rectangular sin tapa ha de tener una superficie de rea S. Encuntrense las dimensiones de la caja que le darn el volumen mximo.

SOLUCl'-J. Supongamos que la caja tiene dimensiones x, y y z donde z es la altura. Desearnos encontrar el valor mximo de xyz cuando esta funcin es! sujeta a la restriccin 2 xz + 2 yz + xy S = O. Sea

fI(x,y. z. ;.) = xFz+J.(2xz+2yz+xy-S).

Para encontrar los puntos crticos de H debernos resolver las ecuaciones

DI H(x.J. i.) yz+2h+l.y = O

7.5 D 2 fI(x. y. _,;) = xz+2i,z+ .. O Do fI(x, y. z. X) xy Vx+2/y O

D4 f1(x.y. z, l.) = 2xz+ +xy-S O.

De la primera ecuacin obtenemos

7.6 2h y=

Sustituyendo esto en la segunda ecuacin tenemos

xz - yz - i.}' + ;.x O (+z) (.:r-y) = O.

As pues,;. - z o x r. Si =.- z, entonces la ecuacin 7.6 implica que z = O. As pues, ;. - z no da lugar al valor extremo deseado. Tomando y = x. la tercera ecuacin de 7.5 implica que }. = Entonces. de la prih1era ecuacin de 7.5 obtenernos z = Jx. As pues, la ltima ecuacin

fS 1~3' z -- 21 J~3 . de 7.5 toma la forma 3X2 = S y, por tanto, x = ) 3' Y \j Estas son las dimensiones de la caja de volumen mximo.

7.7 Ejemplo. Determnese el valor mnimo de z para puntos sobre la curva que es la interseccin de la :;uperficie descrita por z = + +4 y el plano de ecuacin x + 3 Y - z O (figura 8).

FIGURA 8

SOLUCIN. Deseamos encontrar el valor positivo mnimo de la funcin F definida por F(x, y, z) z sujeta a las restricciones 3x2 +8y2 +4 = O Y x+3y-z O. Sea

H(x, y, z, Al' ,1.2) = z+ ), (3x2+8y2_z2 +4)+ (x+3y-z).

Para determinar los valores crticos de H debemos resolver las siguientes ecuaciones:

7.8

D]H(x,y,Z,A]')'2) = 6 t + = O D2 H(x,y,Z,A')'2) = 16y t +3 D3 H(x,y,z,AI,Az) = 1-2zA D4 H(x,y,z,A, 2 ) 3x

2 +8y2 z2+4 = O Ds H(x, y, Z, Al' A2) x+ 3y-z = O.

Multiplicando la tres primeras ecuaciones por x, y y z, respectivamente, y sumando. obtenemos

2A! (3x2 +8y 2_ Z 2)+'2(X+3y-z)+z = O.

Usando las ltimas dos eCLllciones de 7.8, tenemos z esto en la tercera ecuacin de 7.8, obtenemos Icc segn las dos primeras ecuaciol1e, de 7.8. \emos que

6., 2 -- 1 x::::::: -----'~-

6/'1 y

48i. 2 - 3 y=

8;'1' Sustituyendo = 1-16;1 2 .

Su~tituyendo estos valores de x. r y :: en la ltima ecuacin de 7.8.

obtenemos ,1 4 14 \ Como sobmeme estamos interesados en

yalores positivos de z, tomamo:. z /1,'385. Basndose en consideraciones geomtricas es fcil ver que ste es el valor mnimo deseado.

Problemas

1. Encuntrense los valores extremos de las siguientes funciones a las restricciones que se indican:

a) F(x, \,,)

b) F(x,y,z) + 02 2 ,x V 2 + --: - + '-- + z 4 9

e) F(x, y, z) x y+:,

2. sense los multiplicadores de Lagrange para demstrar que la distancia ms corta desde el punto (,'0' l'o, zo) al plan ax+hy+cz+d O es la distancia perpendicular.

3. Determnese el paraleleppedo rectangular de volumen mximo eon superficie de rea igual a 48.

4. Determnese el paraleleppedo rectangular de volumen mximo que

puede inscribirse en el elipsoide - + 2 h

5. Demustrese que si x, y, z son no negativos. entonces F(x, y, z) con la restriccin x+ y.+ z 3a tiene un valor mximo cuando x y z a. Demustrese que la media geomtrica de tres nmeros n negativos es igualo menor que su media aritmtica. es decir, que

3 + y+:::).

6. Demustrese que SI todos los Xi (i = 1, ... ,11) son n negativos, entonces

[,{J XiJI!n "'" - 2.: n i= 1 Xi'

7. Encuntrense los puntos ms cercanos al origen de la interseccin del hiperboloide de una hoja _Z2 = 1 Y el plano 2x+ y+z = O.

8. INTEGRALES CURVILNEAS

En esta seccin discutiremos un tipo de integral que se usa en muchas aplicaciones fsicas. Es sta una integral de una funcin vectorial de un vector a lo largo de cierta curva en el dominio de la funcin. Para simplificar la discusin de tales integrales, nos re~tingiremos a la consideracin de funciones y curvas que son del tipo que con ms frecuencia ocurren en las aplicaciones fsicas.

Sea Ir, la curva descrita por la transformacin x de [a, b] una curva lisa en R": es decir, supongamos que x' es continua y distinta de cero sobre fa, h]. Sea f una funcin de Rn en Rn que es continua sobre un conjunto abierto que contiene a

8.1 Definicin. La integral curvilnea de f a lo largo de la curra lisa '?;'

de.HTlu por el m peo x de [a, b J se denota por " f dx y se dejil1e por '

J fdx J'b f(x(l))x'(t)dl. (/ Como supusimos que x' es continua sobre [a, b) y que f es continua

sobre '(;. la integral que aparece en el segundo miembro existe.

8.2 Ejemplo. Evalese ia integral curvilinca J (x 2 , 2x.v) dx donde 'ff es la ~emicircunferencia descrita por x = COS 1, y sen 1, tErO, nJ.

SOLUCIN.

re (x, 2\)')' dx ~ " li" (eos2 1,2 cos 1 sen t).( sen 1, cos tldt ~ o

J' COS2 t sen [dt o

8.3 Ejemplo. Evalese la integral curvIlnea t (y,x)'dx donde 'ff es el arco de la parbola y desde (O. O) hasta (2,4).

y

(00' ---X . , )

FIGURA 9

SOLUCK La curva (6 (figura 9) tiene una representacin paramtrica x = r, y ,2, IE[O, 2]. As pues,

Jj (y,x)'dx

EL

La integral curvilnea de una funcin f = (tI . j~) a lo largo de una

curva C(,' se escribe frecuentemente 1'> /1 dx +/2 dy. Si hacemos dx = (dx. ely). , '6

entonces es natural escribir

Ji.' f'dx tUI' )'(dX,dy)=J f l dx+/2 dy. Adems. si la curva fe est descrita por las ecuaciones x = x(l), y y(f), IE[a. b], entonces la integral curvilnea de / a lo largo de ((5" est definida por la integral de Riemann

f f(x(t)'x'(t)dt = f Ul(X(t),y(t))x'(r) (x(t), y(l)) y' (1)] dt. As pues, en r JI dx +l~ ely podemos considerar dx y tiy como dll"erenciales .

.: (6

y esta notacin nos gua en una evaluacin correcta de la integral curvilnea.

I Obsrvese que no se ha probado la independencia de la representacin paramtrica. [N. del T.j

As, en el ejemplo 8.3 deseamos evaluar la integral curvilnea J' y dx + xd y 'C

donde 'tfi' est descrita por x = t, Y (2, IE[O, 2].

Jj ydx+xdy J: (t2+2t 2 )dt J: 31 2 dr !L De la definicin de integral curvilnea y de las propiedades de la integral

de Riemann es fcil deducir que

f'C cf'dx = e J\S, f'dx

L (f+g)'dx ti f'dx + J'6 gdx. Si ce' es la curva lisa descrita por la ecuacin x gel), tE[a, b], entonces

denotamos por 'tfi' la curva "recorrida" en direccin opuesta a la de la 'tfi'; es decir, -Cf,f est descrita por x = g( - t), tE[ -b, . Entonces,

f f dx = - J~;' f(g( t))'g'( -l)dl. Haciendo u = - t obtenemos

r fdx = ra f(g(ul)'g'(u)du ., -~ "b

lb f(g(u'g'(u)du ~ n

Lf'dX.1

Adems. si la curva Cf,f est compuesta de las curvas Cf,f 1 Y 'tfi' 2 (es decir, 51 'tfi' se traza pnmero y despus 'tfi' 2)' entonces

flf fdx L" f'dx + L, fdx. I Quiz convenga precisar un poco ms. Si '6' es la curva dada por g: [a, bJ-+ R",

entonces '6 es la curva dada por b: [-b, al R" tal que h(r) g(-r). De acuerdo con las definiciones dadas y el cambio de variable r: [- b, - aJ-;.. [a, bJ tal que r(1) r, se tiene:

J-'ii fdx = J~ha f(h(r)'h'(r)dr = - f~b f(g(-r'g'( r)dr -f f{g(t))'g'(t) (- dI) J: f(g(t'g'(t)dt

/lb "'b la f(g(t'g'(l)dt = - J'C fdx.[N. del T.]

Supongamos que ((, e,t descrito por la trall,,l'ormdCn x de la. hJ y (, I \ '(,2 estn descrito~ por la lr~llbforma('in x de [a. el \ [(. lo]. fe:,pcctivamcnte donde CE h >. LIllUlll'C:'

~ h

f tlx. l' ",' u

" I

= I f:x.(f))'xu),lr

- I h/l, ,J (,

'/, I I f(X(I))'x(Il/1 .'

Lxtendemo, al1l)f, I~I dd!IJII,':m de Ilt:gral cunilllca a un

(e, tiene como ecuacin y = ix donde x va de O a 3. Podemos usar x como un parmetro para esta curva: x x, y = ~ x, XE[O, 3]. Entonces

" " tly = 1, (1 +jx2 )dx 18 .

.,.' o

La curva -'(,2 tiene la representacin paramtrica: x = x, y 5-Hx--l), XE[!, 3]. Entonces

1, 2xydx+ dy J '62 I 2xydxTx2dy .. -'{,.~

1', {2x[5-1(.x 1)J+x2 (-D}dx

I

,

J (l3x--J dx= -13. '(,' 3 tiene como ecuacin J 5x donde x va de a O. Por tanto

) clx = - 5.

Luego

j 'l. el ... + dy O. Probaremos ahora un teorema para integrales curvilneas que es anlogo

al segundo teorema fundamental del clculo,

S.5 Teorema. ,'>'L/pongamos que f es continua sobre un conjunto abierto {f y sean x I y x2 dos plinlOs cualesquiera de ti. Enronces. si f = Dy sobre ; y s (6 es l/na ('UI'I'" lisa en trozos en de x I a x2 '

PRL'EBA. Supongamos que est descrita por la transformacin x de [a, b] y sea h(t) = y(x(t)). Entonces /'(t) = Dg(x(t) x'(t) e

j f !Ix JI Dff . dx J';, Oy (x(I)' x' (t) Lit a

Nora. En la prueba de este teorema hemos aplicado el segundo teorema fundamental del clculo a la funcin /' que es continua a trozos ~obre b]. Decimos Liue una funcin e" continua a trozos sobre [a. b] SI la funcin es continua en lodos. saho en un nmero finito de puntos de b] en "ada punto de d'icontinuid~ld existen los lmites a la derecha y a la d(' la funcin. \lInque el segundo teorema fundamental se enuncia generalmemc para funciones con derivada continua, la extensin ~ll caSll en que la derivada e, continua a trozos no presenta dificultad ,dguna.

El teorema 8.5 enuncia que la integral curvilnea de una funcin que es la derivada de alguna funcin .iJ depende solamente de los va lores de ,q en los extremos X, y Xl de la curva. As pues. la integral curvilnea de una funcin tal es independiente de L1 el! rva lisa a trozos en que una X 1 Y Xl: decimos pOf ello que la II1tegral cllfvilnea es independiente de la !rayeetoria en S.

Nota. Detinimos una curva cerrada corno una cuyos extremos coinciden. Es claro que una integral curvilnea es independiente de la trayectoria en si y slo SI la imegral curvilnea a lo largo de cualquier curva cerrada lisa a trozos en 1; es cero.

8.6 Ejemplo. Evalese J, y dx (X 1) donde ((; es el arco de la elipse 9 X2 + 4.1'2 36 desde (2. O) hasta (O. 3 j.

SOLlIC!l\:. Usaremos el teorema S.S para evaluar esta integral. Si (.1', xf- 1) es la derivada de una funcin 9. entonces debernos tener D,g(x, y) = y y D2 9(X. r) =x+ 1. Considerando D I 9(X, y) = y como una ecuacin diferencial en la que y es una constante. vemos que

8.7 g(x. v) xy+

8.9 Corolario. Supongamos que f es continua sobre un conjunto abierto ff y f = Dg sobre 8. Entonces, si C(j es una curva cerrada lisa a trozos en

J. f'dx O. PRUEBA. En el teorema 8.5 no exigimos que los puntos extremos Xl y x2 fueran distintos. Si r es una curva cerrada, entonces los puntos extremos coinciden y tenemos

Podemos usar este corolario para demostrar que J'6 2xydx+ dy = O donde C(j es la frontera del tringulo con vrtices (O, O), (3,2) Y (1, 5) (ejemplo 8.4). Si (2xy, .x 2 ) es la derivada de una funcin g, entonces D,g(x, y) = 2x,Ji y D2 g(x, y) = X2. La ecuacin Dg(x, y) 2xy implca que

g(x, y) = X2 y+!p(y)

y Dzg(x,y) X2 implica que

g(x, y) X2 y+l/t(x).

Si tomamos !plv) = O 1/1 (x), entoncesg(x, y) = X2 y. Se verifica fcilmente que la derivada de 9 es (2xy, X2). Por tanto

1'. 2xydx+X2dy = o .

'{!

No toda funcin continua de R" en Rn es la derivada de una funcin de R" en R. Consideremos, por ejemplo, la funcin f definida por f(x, y) t2xy, x 3 ). Si f fuera la derivada de una funcin g, entonces D,g(x,y) 2xy y D1g(x, x 3 La ecuacin D1g(x,y) = 2xy implica que

8.10 g(x, y) X2 Y+qJ(Y)

y D 2 g(x, y) = x 3 implica que

8.11

Claramente no hay funcin alguna que pueda satisfacer simultneamente a 8.10 Y 8.! 1, por tanto, f no es la derivada de funcin alguna.

La expresin f dx se llama diferencial exacta sobre un conjunto abierto $ de R" si hay una funcin 9 de R" en R tal que f = Dg sobre y, por tanto,

f(x)' dx Dg(x)' dx dg(x; dx).

El teorema 8.5 muestra que ,i f elx e~ una diferencial exacta sobre ,5, ,

entonces la integral cun illea i f dx e~ indepell(jenle de ll trayecturia ,; 1,

en /;. Si fE C I sobre (i y eXhle una funcin g tal que f = Dp :,obre /" entuncc,

gf::cC 2 sobre (\' y, por tanto. de acuerdo con el teorema 10,3. pg, 21...[.

D"jY cc nj , ,g sobre (; (i.j = 1 .... ,11) o. lo quc es equivalente.

8.12 Di j, sobre (; (i. / l. "'. 11),

[SlO IHh da una condiCin necesariCl par~i que f el" ,ca Ulla llfercllCl:i1 exacta sobre

g(x) no depende de la eleccin de la curva C(;', Consideremos ahora un punto particula x en ({ y sea 'ti' una curva lisa a trozos de X o a x que pasa por Ir, Como ; es abierto, hay una vecindad Ar (x: b) de x contenida en If. Entonces, para Ihl < el segmento rectilneo

/62 {x+thuklfE[O,J]},

donde uk denota el vector unitario en la direccin del eje X k , se encuentra en {{, Sea la trayectoria compuesta de '(;' y , Tenemos entonces

g(x+huk ) g(x) = j" f'dx - J' fdx = 1". f'dx "" f6 J '6! "" 'ti 2

Ir. f(x (/lUd - hUk dI v o

h L f~(x+thuk)dt = hf;'(x+Ohuk) para algn OE(, 1).

donde el ltimo paso se obtuvo al aplicar el primer teorema del valor medio para integrales. As pues, como f es continua sobre

1, 9 (x + hu.) - g(x) HU .

h-O h lm fk(X+Ohu k ) fk(X); 1,-0

es decir, Dkg(X) f~(x). Esto demuestra que Dg f sobre l y, por tanto, f dx es una diferencial exacta sobre 0'.

Problemas

1. Evalense las siguientes integrales curvilneas:

a) J (xy2. x)-dx donde (fj es el arco de la elipse: x cos t, y 3 sen r, t [O, n]

b) t (y.x)dx donde '(j es el arco de la hiprbola: x = cosh 1, y = senh l, tE [ 1, 2J

e) J" (x,y)dx donde (f, es el arco de la parbola: '(1

x 2, Y = t, tE [ - 2, 2]

d) Je (xy, , y) -dx donde ((/ es el arco de la hlice cilndrica: x=cost, y=sent, Z=t,IE[O,2n]

e) J', (X 2 + y, y:, x + 3 J) lix donde (6 e~ el arco de la cbica alabeada: '1,

\ t,y /._ .l,IE[0.2]

fl I 3 ~' {,

tlx (x 31') donde ce es el segmento rectilneo:

X 3/ 2, Y 1, lE[ - 1.3]

gJ L (x 3 .;

) elx donde (6 es la curva:

x=t 2 , y t3~lE[O~2J

11) l6 xydx+ d)' x:d: donde Cf; e~, la curva: x=Ly t, (2,tE[-J,31

2. Evalense las siguientes integrales curvilneas: ,

a) .1,6 dx+ dy donde ({; es el segmento de la recta y 2x 3

de ( 1,1) a (2,7)

b) \ xdx+ .vdy donde ({j es el arco de la curva y = x 3 de (2,8) a (0,0) ., '6

(') r (x + y) elx + d Y donde ({j es el arco de la curva y = ~en x de (O, O) j't

a )

d) 3xydx+ + J') dy donde '?,( es el arco de la curva x-~

desde (1, 1) a (O, O).

3. Evalense las integrales curvilneasJ', (y+3)dx+(x-2)dy e w

' xy dx + dy cuando '" '6

o

a) vi es la frontera del rectngulo con vrtices (O, O), (2, O), (2, 1) Y (O, 1) recorrida en direccin levgira.

b) ({j es la circunferencia x = cos t. JI sen 1, t E [O. 2n J.

4. Determnese si s o no f dx es una diferencial exacta:

a) f(x,y) (x+3,y-2) b) f(x, y) (y 2,2x) e) f(x. y, z) (x+ y. 2z. yz) d) f(x,y,z) (2xz+2y,2x.x2 +3).

5. Evalese la integral J' (2 xy3+2x)dx+(3 +I)dy, cuando C(f es '. el arco de la cicloide: x t sen t, y = j-cos 1, tE[O,2n].

,

6. E val ese J '(, x dx + -2 --dy cuando x +y2

a) 'f;' es la circunferencia unitaria: x = cos t. y sen r, terO, 2n], b) (f) es la circunferencia unitaria recorrida dos veces: x = cos r,

y = sen r. te[O,4nJ, e) ({; es la circunferencia: x = 3 + cos r, y 2 + sen l, tErO, 2n].

9. APLiCACIONES A LA MECNICA

Supongamos que F es un campo de fuerzas tridimensional; es decir, F es una funcin que asigna a cada punto x de alguna regin f de R 3 la fuerza F(x) que actuara sobre una partcula en este punto. Deseamos definir el trabajo hecho por el campo de fuerzas al mover una partkula a lo largo de una curva ({; en 8. El concepto bsico de trabajo hecho por una fuerza al mover una partcula de una posicin a otra es el componente de la fuerza en la direccin del movimiento por la distancia recorrida. Sea

suq

Esta es la ley de la conservacin de la energa: si el campo de filerza es conservativo, la suma de la energa cintica y de la energa potencial es una constante.

Si U es una funcin potencial para F, entonces F = - D U. Esto implica que en un punto x la fuerza es ortogonal a la superficie que pasa por x sobre la que U es constante. Tal superficie se llama equipotencial.

9.2 Ejemplo. En un punto x la fuerza que acta sobre una partcula de masa rn debida al campo gravitacional terrestre, es F(x) = -meO, 0, g). Demustrese que este campo de fuerzas es conservativo.

SOLUCiN. Deseamos demostrar que hay una funcin potencial U tal que -DU = F. Es este el caso si y slo si

D[U 0, D2 U=0, D 3 U mg.

Una solucin de estas ecuaciones es U(x, y, z) mgz. As pues, este campo de fuerza es conservativo. Las superficies equipotenciales son planos horizontales.

9.3 Ejemplo. Supongamos que una partcula de masa m con velocidad inicial (a, 0, b) Y posicin inicial (O, O, O) se mueve bajo la influencia del campo gravitacional lte fuerzas F(x, y. z) meO, O, g). Verifquese en este caso la ley de conservacin de la energa.

SOLUCIN. La particula se mueve de acuerdo a la ley de Newton F ma. As pues, si x(t) denota la posicin de la partcula en el tiempo 1,

XC!) = (0,0, -g)

x(t) = (a, O, -gt+b) x(t) = (at, 0, -.!gt 2 +bt).

En cualquier tiempo t, como U(x, y, z) = mgz, 1m Iv(t)i 2 + U(x(t)!m(a 2 + g2 [2 - 2bgt+ b2 ) + mg( -1gt 2 +bt)

~m(a2 +b2 ).

En un campo de fuerzas conservativo una partcula est en equilibrio estable en los puntos donde la energa potencial tiene un mnimo relativo.

9.4 Ejemplo. En el campo gravitacional de fuerzas F(x, y, z) = determnense los puntos sobre la superficie +4y2_yz+4 una partcula de masa m estara en equilibrio estable.

m(O, 0, g) O donde

SOLUCiN. Como la funcin potencial es U(x, y, z) mgz donde m y 9 son positivos, determinaremos dnde z tiene un mnimo relativo. Resolviendo

la ecuacin de la superfice para z, vemos que lo que hemos de encontrar son los puntos en que

f'. 1

. (x,yl = 4.1' + +4) Y

tiene un mnimo relativo. Igualando a cero la dervada de tenemos

y, por tanto,

18x y)= =0

y

f(x, J')

._-----y

FIGURA 11

Oyy L Como

18, DI, /Ix, y

18x

la expresin ,1 fDz'2f-(D 1 ,1 es positiva en los puntos (0,1) Y (0, -]). Adems, D ll feO, ]) > y DI, 1 feo, 1) < O. Por tanto, f tiene un mnimo relativo ei1 (O, 1) Y un mximo relati