analisis matematico
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Universidad Nacional ExperimentalDe Los Llanos Occidentales
Ezequiel Zamora“UNELLEZ”
Programa Santa Bárbara Edo-Barinas
Subproyecto: Análisis matemático
Facilitador:Lcdo. José Vera
Bachilleres:
Felyor Jaimes
Santa Bárbara de Barinas, 2010
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
TEORÍA DE CONJUNTOS
Definición
Determinación de conjuntos
Por extension ó Forma Tabular
Por comprension ó Forma Constructiva
Conjunto finito
Igualdad de conjuntos
Conjunto vacío
Conjunto unitario
Conjunto universal
Conjuntos disjuntos
Diagrama de venn
Unión de conjuntos
Intersección de conjunto
Diferencia de conjuntos
FUNCIONES
Variables dependientes.
Variable independiente.
Variable constante.
Ejemplos de funciones y de ecuaciones :
CUERPO ORDENADO
LOS NÚMEROS NATURALES
Propiedades de la adición de Números Naturales
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Propiedades de la División de Números Naturales
EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
Demostración.
LOS NÚMEROS ENTEROS
Suma de Números Enteros
Multiplicación de Números Enteros
Resta de Números Enteros
LOS NÚMEROS RACIONALES
Equivalencia
Simplificación
Fracción Irreducible
Reducción a común denominador
Suma de Fracciones
Producto de Fracciones
Inversa de una Fracción
Cociente de Fracción
LOS NÚMEROS REALES
CONSTRUCCIÓN POR CORTADURAS DE DEDEKIND
COMPLETITUD, SUPREMO E INFIMO
DESIGUALDAD DEL TRIANGULO
DESIGUALDAD DE BERNOULLI
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
INTRODUCCIÓN
La matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad,
y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó
muchísimo tiempo. La matemática es como un juego, y para entender un
juego hay que conocer las reglas del mismo. Como es muy antigua, por lo
tanto, se ha tenido muchísimo tiempo para armar "las instrucciones de cómo
jugarla". Si existen reglas, es lógico pensar que existen elementos, cosas,
que obedecen esos mandatos. Dichos elementos se conocen con el nombre
de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué son, sino qué
se hace con ellos.
La matemática puede describirse como una construcción edilicia
cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que
aceptamos sin discusión. Por ejemplo, el punto y la recta son conceptos
primitivos, indicando que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos
enunciando un axioma. En base a los axiomas se pueden "construir"
propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez
puede probarse, deducirse lógicamente. De estas propiedades se deducen
otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red. De la
misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos
a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de
las matemáticas. Así que comencemos por lo básico.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Definición
El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en
matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede
encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas
puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los
conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y
precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. Sabemos que
la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se
caracterizan en algo común.
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se
les llama elementos o miembros del conjunto. La noción simple de
una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica
de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero
llamó la atención de los matemáticos a este respecto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en
términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe
aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto es una
colección bien definida de objetos de cualquier clase.
Determinación de conjuntos
Hay dos formas de determinar conjuntos:
Por extension ó Forma Tabular
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o
enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos
del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplos
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, o, n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite
un mismo elemento.
Por comprension ó Forma Constructiva
Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se
da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a
ellos.
Ejemplos
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
Cuadro comparativo de determinación de conjuntos
Por extension Por comprension
A = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, , , j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x/x es una consonante }
Conjunto finito
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos
distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el
proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplos
M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
Igualdad de conjuntos
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los
mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada
elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A
= B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
Ejemplos
A = {1, 2, 3,
4}
C = {1, 2, 3, 3,
4, 1}
E = {vocal de la palabra
mundo}
B = {3, 4, 1,
2}
D = {1, 2, 2, 3,
4, 4,} F = {u, o}
A = B C = D E = F
Conjunto vacío
Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto
nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.
Ejemplos
A = { Los perros que vuelan } A = { } A = Ø
B = { x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø
C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø
D = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø
Conjunto unitario
Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
Ejemplo
A = { 5 }
B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }
C = {la capital del Perú } = { Lima }
D = {x / 2x = 6} = {3}
Conjunto universal
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un
término relativo. Se le denota por la letra U.
Ejemplo
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a
continuación.
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a
continuación.
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y
B son disjuntos.
Ejemplos
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos. C = { x/x es una letra del alfabeto }
P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos
Diagrama de venn
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva
(plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser
específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente)
sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los
conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta
geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos
algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan
caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión
El gráfico es la representación de la intersección
El gráfico es la representación de la diferencia
Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión
de conjuntos se define como: A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen
algunos Cuando todos los elementos de
un
elementos
comunes elementos comunes
conjunto pertenecen a otro
conjunto
Ejemplos
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6,
8}, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de
conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de
conjuntos A y B
Intersección de conjunto
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de
elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A
intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos
de un
elementos
comunes
elementos
comunes
conjunto pertenecen a otro
conjunto
Ejemplos
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2,
4}, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección
de conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de
conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección
de conjuntos A y B
Diferencia de conjuntos
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado
por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se
denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la
diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de
un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro
conjunto
Ejemplos
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g}, efectuar
y construir los diagramas respectivos:
a) A - C b) B - C c) A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de
conjuntos A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de
conjuntos B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de
conjuntos A y B
FUNCIONES
Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo
algunas de las expresiones que mas nos interesa dentro del cálculo son las
funciones. Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas
conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos
conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un
conjunto llamadodominio con uno llamado codominio, también dominio e
imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no
permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del
codominio.
Figura Definición de función que se ampara bajo una regla
de asociación de elementos del dominio con elementos del
codominio, imponiendo la restricción de relacionar un
elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si
los elementos del codominio puedan estar relacionados con
dos o mas del codominio.
Donde se dice que f : A ® B (f es una función de A en B, o f es una
función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado
codominio B). Se dice que el dominio de una función son todos los valores
que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia
en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano,
el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que
nos generan una asociación en el eje de las Y´s.
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto
llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este
conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del
plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje
de las Y´s. También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una
relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta
sujeta a los valores que puede tomar la otra.
Variables dependientes.
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del
valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable
dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
Variable independiente.
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el
ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que
depende de los valores de x.
Variable constante.
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene
el mismo valor ejemplo:
Y=2, la constante gravitacional, entre otras.
Ejemplos de funciones y de ecuaciones :
La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m =
1) que pasa por el origen, la cual es función debido a no existe un elemento
del dominio que relaciones dos elementos del codominio. El dominio es (-
¥, ¥) o lo que equivale a decir que el dominio toma todos los valores sobre la
línea recta. El rango de la función o codominio es también el mismo, ya que
toma todos los valores en el eje de las Y´s (-¥, ¥).
La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la
siguiente:
Y(x)= x (otra forma de expresar este resultado también es la expresión
f(x)=x)
Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del codominio con uno
del dominio, sin embargo la definición de función no impone ninguna
restricción al respecto. Podemos analizar que en este caso el domino es (-
¥, ¥). Sin embargo, sabemos que el hecho de que la función sea
f(x)=x2 conduce a que solo el recorrido de la función mande a valores
positivos, y por tanto el rango de la función es [0, ¥)
La siguiente ecuación no es función y2 = x
Su gráfico es el siguiente:
Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen
asociados dos elementos del codominio y por tanto no es función.
CUERPO ORDENADO
Un cuerpo es una estructura algebraica, es decir, un conjunto con una
serie de operaciones asociadas. Comúnmente lo denotaremos así (K,+,·), ya
que las operaciones serán la suma y el producto. Si además es ordenado,
como es el caso, pues se añade al final el signo (≤).Para entender lo que es
un cuerpo deberiamos conocer qué es un grupo o un anillo, pero esto
compete a la asignatura de álgebra, y por tanto no explicaré, pero sí las
caracteristicas del cuerpo. Todo cuerpo cumple las siguientes propiedades:
Asociativa
Simétrica respecto de la primera operación.
Elemento neutro
Conmutativa
Distributiva del producto respecto de la suma, es decir: a · (b+c) = ab
+ ac
Todo elemento distinto del neutro de la primera operacion tiene
simétrico respecto de la segunda.
Algunos ejemplos de esta estructura son (ℚ,+,·),(ℝ,+,·),(ℂ,+,·) ó
(ℤ/m,+,·)(congruencias módulo m, siempre que m sea primo).
Comprobaré, para el caso de (ℝ,+,·)las propiedades:
Asociativa: a+b+c = a+(b+c)=(a+b)+c; a·b·c=a·(b·c)=(a·b)·c)
Simétrica: a+(-a)=0
Elemento neutro: a+0=a; a·1=a
Conmutativa: a+b=b+a; a·b=b·a
Distributiva del producto respecto de la suma: a·(b+c)=ab+ac
Simétrico respecto de la segunda operación: a · (1/a) = 1, pero 0 ·
(1/0) no tiene sentido, por tanto lo excluimos.
Como hemos dicho que está ordenado, podremos usar el valor
absoluto para definir una nueva distancia. En el caso de ℝ la distancia valor
absoluto sería la distancia euclídea. Denotaremos la distancia valor absoluto
como d||.
LOS NÚMEROS NATURALES
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos
que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los
números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además
de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven
para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas
civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más
elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y
multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números
naturales es también un número natural, por lo que se dice que son
operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues
la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no
lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el
conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de
otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente
de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando
el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los
números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro
(salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los
números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adición de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa,
conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se
pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y
sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera
que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades
asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto
de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el
número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la
operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas
¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas
las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso,
recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que
6 - 2 = 4. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que
tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un
numero de cosas entre un número de personas. Los términos de la división
se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas),
cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que
sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario
inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
El principio de inducción matemática consiste en lo siguiente:
Una proposición es válida para todo número natural n si:
1. Es válida para n = 1
2. De su validez para un número natural cualquiera n = k se desprende
su validez para n = k + 1
El principio de inducción matemática se puede expresar simbólicamente
de la siguiente manera:
p(1) ^ k[p(k) --> p(k + 1)] --> np(n)
En esa misma sección se estudió la demostración por contradicción.
Demostrar una proposición de la forma p --> q, es equivalente a demostrar
esta proposición de la forma [((p ^ ~q) --> (r ^ ~r)]. Es decir, la negación de la
proposición p --> q, vimos que es equivalente a p ^ ~q, que es exactamente
lo que consiste la demostración por contradicción, esta nos lleva a una
expresión de la forma r ^ ~r, que es una falsedad, en virtud de esto, se
concluye que la negación de la proposición p --> q es falsa.
Demostración.
Supongamos lo contrario, es decir, que la proposición no es válida
para cualquier número natural n. Entonces existe un número natural,
digamos m tal que:
1) Para n = m la proposición es falsa y:
2) Para todo n menor a m la proposición es verdadera.
En otras palabras, m es el primer número natural para el cual resulta
falsa la proposición. Es evidente que m > 1 pues para n = 1 la proposición es
verdadera (por la condición 1 primera parte del antecedente del teorema).
Además m - 1 es un número natural, ya que m es natural. Pero entonces la
proposición es válida para el número natural m - 1 y no lo es para el número
natural siguiente m. Esto contradice la condición 2 (segunda parte del
antecedente del teorema). Así se ha llegado a una contradicción r ^ ~r. Dicha
contradicción resultó al afirmar que la proposición es falsa para cualquier
número natural. Por tanto si se cumplen las condiciones iniciales: la
proposición es válida para n = 1 y si es válida para el número n = k entonces
es válida para el siguiente número n = k + 1, entonces, la proposición es
válida para todo número natural n.
Toda demostración que se basa en el principio de inducción
matemática se denomina demostración por inducción (por el método de
inducción matemática). Tal demostración consta de dos partes, es decir,
verificar que se cumplan las dos condiciones:
La proposición es válida para n = 1
La proposición es válida para n = k + 1 si lo es para n = k, donde k es
un número arbitrario.
Si estas condiciones se cumplen, podemos afirmar, en virtud del
principio de inducción matemática, que la proposición es válida para todo
número natural.
Antes de pasar a la demostración de identidades de problemas
aritméticos, lo mejor es ver un ejemplo de como se utiliza el principio de
inducción matemática en algunos ejemplos, así como de hacer varias
observaciones del mismo principio.
Consideremos de nueva cuenta la suma:
Sabemos ya que de la sección anterior que:
Ahora bien, no repetiremos el mismo error cometido en la sección
anterior de "afirmar" de inmediato que para todo número natural n es
Ahora seamos prudentes y digamos que el análisis de las sumas S1,
S2, S3 y S4sugiere la fórmula:
para todo número natural n. Ahora sabemos que antes de afirmar hay que
¡demostrarlo! Sabemos que la hipótesis se cumple para n = 1, 2, 3 y 4. Para
comprobar que se cumple para toda n, recurriremos al método de inducción
matemática. Recordemos que se tienen que verificar las dos condiciones del
principio de inducción.
1) Para n = 1 la fórmula se cumple pues:
2) Supongamos que la fórmula es válida para n = k, es decir:
donde k es un número natural. Demostremos que entonces, la hipótesis es
válida también para n = k + 1, es decir:
En efecto,
Por consiguiente, según la hipótesis de el teorema,
Hemos demostrado las dos partes del principio de inducción. Ahora sí
podemos afirmar, basándonos en este principio que:
para todo número natural.
LOS NÚMEROS ENTEROS
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los
números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se
designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades
(como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto
elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,
los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se
designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es
negativo. Es decir:
• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Las operaciones
suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas
porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos
números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
Suma de Números Enteros
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se
le pone el signo que tenían los sumandos:
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro
negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
Multiplicación de Números Enteros
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores
absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del
mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos
distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del
signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del
siguiente modo:
+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
Resta de Números Enteros
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del
sustraendo:
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
LOS NÚMEROS RACIONALES
Los Números racionales, son el cociente indicado a/b de dos números
enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.
Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son
“quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se
trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres
quintas partes”. Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción
representa a un número entero:
14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32
Equivalencia
Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa
a/b = a'/b'
si a · b′ = b · a′.
Así,
21/28= 9/12
porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
Simplificación
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un
mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción
equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha
reducido:
a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
Por ejemplo:
120/90= 12/9
La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus
términos por 10
Fracción Irreducible
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su
denominador son números primos entre sí. La fracción 3/5 es irreducible. La
fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:
12/= 4/3
Reducción a común denominador
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras
fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo
denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el
denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si
es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha
reducido a mínimo común denominador. Por ejemplo, para reducira común
denominador las fracciones
2/3, 4/9 y 3/5
se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90
Es decir, es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un
común denominador: 90. Pero si en vez de 90 se toma como denominador
común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene
30/45, 20/45, 27/445
que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común
denominador.
Suma de Fracciones
Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador,
se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por
ejemplo:
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
Producto de Fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus
denominadores:
a/b * c/d = a*c/b*d
Inversa de una Fracción
La inversa de una fracción a/b es otra fracción, b/a , que se obtiene
permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por
su inversa es igual a 1:
a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1
Cociente de Fracción
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la
inversa de la segunda:
a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p
LOS NÚMEROS REALES
Los números reales se definen de manera axiomática como el
conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con
los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de
los números reales se le simboliza con la letra . El nombre de número real
se propuso como antónimo de número imaginario. El concepto de número
real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales.
Así, el conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto
de los números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de
números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez
contiene los números naturales, se sugiere que el conjunto de los números
reales contiene también a los números enteros y a los números naturales.
Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números
irracionales. Por tanto, los números reales pueden ser racionales o
irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un número real, en estos términos, como un número
positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y
puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En
este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica establece que
a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números
reales y viceversa. Con números reales pueden realizarse todo tipo de
operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de
números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de
los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
N Naturales Mas el Cero
N 。 Naturales
Enteros Negativos
Z Enteros
Fraccionarios
Q Racionales
Irracionales
R Reales
Imaginarios
C Complejos
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada
o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
CONSTRUCCIÓN POR CORTADURAS DE DEDEKIND
Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal
es el caso de . Sin embargo es claro que se puede aproximar con números
racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los
números racionales en dos subconjuntos A y B de manera que en el conjunto
A se encuentran todos los números racionales y en B todos los
números racionales tales que .
Una cortadura de dedekind es un par ordenado (A,B) que hace
precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay
entre A y B. De esta manera es posible definir a como (A,B) tal que
y .
Es posible demostrar que B queda unívocamente definido por A, de
esta manera la cortadura (A,B) se reduce simplemente a A. También es
demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas
de los números reales, de esta manera es el conjunto de todas las
cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los
números reales bajo la teoría de conjuntos.
COMPLETITUD, SUPREMO E INFIMO
La propiedad de completitud de IR dice que los números reales
``rellenan la recta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir,
a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa
esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el
lenguaje propio de la teoría de números reales, sin hacer alusión a la
interpretación geométrica de éstos como puntos de una recta.
Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y
consideremos el conjunto A formado por todos los números reales
``ubicados'' a la izquierda de ese punto. Consideremos también el
conjunto B formado por todos los números reales ``ubicados'' a la derecha
del mismo punto. Tenemos entonces que para x A yy B se cumple x
y. La completitud dice que hay un número real que corresponde al
punto P, y por lo tanto x y, para todo x A y todo y B.
Interpretación geométrica de la completitud
Esto nos sugiere la siguiente forma de axiomatizar la completitud:
Axioma de completitud (versión 1) Sean A y B subconjuntos no vacíos de IR,
tales que x y para todo x A y todo y B. Entonces existe al menos un
número real tal que x y, para todo x A y todo y B. Para
aclarar mejor este concepto veamos algunos ejemplos:
Ejemplo
Si A = x IQ+ : x2 < 2 y B = x IQ+ : x2 > 2 , entonces =
es el único número real que satisface la condición del axioma de completitud.
Ejemplo
Si A =] - , 0[ y B = [1, 2], entonces cualquier [0, 1] satisface la
condición del axioma.
Ahora consideremos un conjunto A IR no vacío, y definamos
B = {b IR : x A, b x}.
Este conjunto B podría ser vacío, veamos algunos ejemplos:
Ejemplo
Si A = [0, 4[, entonces B = [4, + [. El mismo B se obtiene si A =] -
, 4].
Ejemplo
Si A = [1, [, entonces B = . En efecto, si existiera b B, se tendría
en particular b 1, así que b + 1 sería elemento de A, y
consecuentemente b b + 1, lo cual es imposible. Cuando B decimos
que A es acotado superiormente, y a cada elemento de B se le llama cota
superior de A. Más precisamente:
Un conjunto A R se llama acotado superiormente si existe b
IR tal que x b para todo x A. En tal caso, se dice también que b es una
cota superior de A.
Ejemplo
Retomando los ejemplos anteriores, tenemos que los intervalos [0,
4[ y ] - , 4] son acotados superiormente, mientras que el intervalo [1, +
[ no lo es. En el caso A = [0, 4[, la menor cota superior es b = 4. Lo mismo
ocurre en el caso A =] - , 4].
Cuando A es acotado, el conjunto B, entonces, el conjunto de cotas
superiores de A. En tal caso, el axioma de completitud establece la
existencia de un número real tal que x y, para todo x A y
todo y B. En particular se tiene x para cada x A, así que B.
Como además y, para todo y B, tenemos que es el menor
elemento de B. Es decir, es la menor cota superior de A, y en particular es
único. A este número se le llama el extremo superior de A, o supremo de A, y
se denota = sup A. Esto muestra la versión común del axioma de
completitud, que llamaremos axioma del extremo superior. Primero
definamos en detalle el concepto de extremo superior:
Sea A IR acotado superiormente y no vacío. Un elemento
IR se llama el extremo superior (o supremo) de A si es la menor de sus cotas
superiores. Dicho de otra forma, es el extremo superior de A si satisface:
(1) es cota superior de A.
(2) Si b IR es cota superior de A, entonces b .
Sea A un subconjunto no vacío de IR, el cual es acotado
superiormente. Entonces existe el extremo superior de A. Similarmente
podemos hablar de acotación inferior, y se demuestra, usando el axioma del
extremo superior, que todo conjunto B no vacío y acotado inferiormente,
tiene una cota inferior máxima. Tal cota se llama en extremo inferior (o
ínfimo) del conjunto B, y se denota por inf B.
Ejemplo
Para A = [1, 3] {7} tenemos que = 7 es cota superior. Además,
si b es cota superior de A, como 7 A debemos tener 7 b. Esto
demuestra que sup A = 7.
Ejemplo
Para A = [0, 1[, tenemos que = 1 es cota superior de A. Además,
si b es cota superior de A, debemos tener b 1. En efecto, primero
observemos que b , pues A. Luego, si se tuviera b < 1,
entonces x = (b + 1)/2 sería un elemento de A, y además x > b,
contradiciendo el hecho que b es cota superior de A. Esto demuestra que
sup A = 1.
La siguiente caracterización del supremo suele ser útil: Sea A IR,
acotado superiormente y no vacío, y sea IR. Entonces = sup A si y
solo si satisface:
(a) x , para todo x A.
(b) Para todo > 0, existe x A tal que - < x.
Supongamos primero que = sup A. Entonces es cota superior, lo
que significa que satisface (a). Luego, dado > 0 tenemos - < , así
que - no es cota superior de A, y consecuentemente debe existir x
A tal que x > - . Esto demuestra la propiedad (b). Recíprocamente,
supongamos que las propiedades (a) y (b) se cumplen y probemos que =
sup A. Primero es cota superior por la propiedad (a). Ahora sea b una cota
superior de A. Si b < , entonces tomando = - b > 0 tenemos por
hipótesis que existe x A tal que x > - = b, lo cual contradice el hecho
que b es cota superior de A. Consecuentemente b , demostrando así
que es la menor cota superior.
DESIGUALDAD DEL TRIANGULO
En las matemáticas, la desigualdad del triángulo del es el teorema que
indica que para cualquier triángulo, la medida de un lado dado debe estar
inferior o igual la suma de los otros dos lados pero mayor o igual la diferencia
entre los dos lados. (En el inferior o igual y el mayor o igual las declaraciones
de, la igualdad ocurre solamente en el caso de un triángulo que tenga un
ángulo 180° y dos ángulos 0°, según las indicaciones del ejemplo inferior en
la imagen a la derecha.) La desigualdad se puede ver intuitivo en el R 2 o el
R 3.
La desigualdad del triángulo es un teorema en espacios tales como los
números verdaderos todos los espacios euclidianos, y cualquier espacio del
producto interno. También aparece como axioma en la definición de muchas
estructuras en el análisis matemático y el análisis funcional, tal como
espacios de vector de Normal y espacios métricos.
DESIGUALDAD DE BERNOULLI
Una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades en
las cuales hay un diferente valor. O sea que sería lo contrario a lo que ocurre
en una igualdad. En la desigualdad, los términos se relacionan por un
símbolo de “mayor que” (>) o “menor que” (<). También existen algunos
términos que derivan de los dos anteriores. Si alguno de estos dos símbolos
está acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o
igual que" o "menor o igual que". Un ejemplo de una desigualdad podría ser:
2x + 7 < 19
Esta desigualdad se lee como “2 x más 7 es menor que 19″ y
representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera.
Algunos problemas matemáticos se plantean como desigualdades en lugar
de plantearse como ecuaciones. Dichas desigualdades se resuelven de
manera semejante a una ecuación. Algunas de ellas se usan con tanta
frecuencia que se les ha puesto nombre, como por ejemplo la Desigualdad
de Bernoulli. Se denomina de esta forma en honor a la familia Bernoulli ya
que fue utilizada por primera vez por los miembros de dicha familia, de la
cual eran parte importantes matemáticos y físicos suizos procedentes de la
ciudad de Basilea. Irrumpieron en el mundo científico a finales del siglo XVII.
La desigualdad de Bernoulli es una desigualdad que se aproxima a la
exponenciación de 1 + x. Indica que para cada número entero r ≥ 0 y cada
número verdadero x > −1 si el exponente r es uniforme, entonces la
desigualdad es válida para todos los números reales x. Podemos decir
entonces que para cada número entero r ≥ 2 y cada número verdadero x ≥
−1 con x ≠ 0. Esta desigualdad se utiliza frecuentemente como el paso
crucial en prueba de otras desigualdades y es utilizada en la resolución de
problemas.
CONCLUSIONES
El análisis matemático es una materia de importancia capital en la
comprensión de los procesos reales de los que se ocupa cualquier ciencia
aplicada, como pueden ser la Economía, el marketing y la Empresa. En este
sentido el citado análisis matemático constituye una herramienta sumamente
útil para ayudarnos a controlar los procesos mercantiles en el mundo cada
vez más interrelacionado y globalizado, donde los grandes volúmenes de
cifras complican enormemente el control de operaciones internacionales.
Este trabajo es una recopilación didáctica de los temas de análisis
matemático, es un trabajo secuencial, es decir que conviene no avanzar
excesivamente si no se tienen bien cimentados los conocimientos anteriores.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
es.wikipedia.org/wiki/Análisis_matemático
http://apuntes.rincondelvago.com/analisis-matematico_4.html