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ANÁLISIS

MATEMÁTICO III

Ing. Alejandro Ochoa Aliaga

HUANCAYO - PERÚ

INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

Dirección de Educación a Distancia

Huancayo.

Impresión Digital a cargo de

Impresos S.R.L. - Huancayo

Telf. 200198

Indicadores de logroIndicadores de logroIndicadores de logro

ActividadActividadActividad

ObservaciónObservaciónObservación

Bibliografía recomendadaBibliografía recomendadaBibliografía recomendada

NexoNexoNexo

ResumenResumenResumen

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa

PR

ES

EN

TA

CIÓ

N

PRESENTACIÓN

Las matemáticas constituyen una herramienta esencial para el desarrollo de

casi todas las áreas del conocimiento: son fundamentales como soporte

estructural para el modelado de diversos fenómenos en ramas que van desde la

física, ingeniería, medicina, biología, estadística, ciencias sociales, economía y

ciencias afines. Esto se ve reflejado en el aporte que prestan en la solución de

diferentes problemas prácticos de ingeniería que de otra forma resultaría

imposible resolver. Enfrentarse y buscar la solución a estos problemas, implica el

conocimiento de los elementos necesarios para lograr tal objetivo. En este curso

de Análisis Matemático III se busca familiarizar al estudiante en la utilización de

las funciones de más de una variable para la solución de problemas.

En el presente texto se exponen un conjunto de instrumentos del análisis

matemático con varias variables cuya finalidad es ayudar a manejar, de una forma

cómoda y útil, la cada vez mayor cantidad de información de tipo cuantitativo con

varias variables.

Inicialmente se introduce una definición de las funciones con más de una variable

como soporte necesario para la interpretación y su aplicación. Una correcta

interpretación de las funciones con varias variables permite al estudiante

encontrar instrumentos en la solución de los diferentes problemas de aplicación.

Luego se presentan los limites y continuidad de funciones de mas de una

variable, las derivadas parciales, diferenciabilidad y diferencial total, regla de

cadena para funciones de mas de una variable, extremos de funciones de mas de

una variable y integración múltiple.

Cada fascículo del presente curso comienza por establecer las definiciones,

principios de los temas a tratar en el. Los ejemplos ilustrativos y los problemas

resueltos que figuran a continuación se han seleccionado no solo con el objeto de

ampliar la teoría, sino también con el que el estudiante adquiera práctica en la

formulación y resolución de problemas; para que este pueda aplicar

repetidamente los principios fundamentales y que la enseñanza sea eficaz.

LOS AUTORES

Excelencia Académica Análisis Matemático III

Universidad Peruana Los Andes 3



TABLA DE CONTENIDO

.pág

UNIDAD ACAD MICA IÉFUNCIONES CON VARIAS VARIABLES 091.1. Definición del espacio numérico n-dimensional 091.2. Definición de función de n variables 091.3. Definición de función compuesta de dos variables 111.4. Definición de función compuesta de n variables 111.5. Definición de la gráfica de una función de dos variables 121.6. Definición de la gráfica de una función de n variables 12Problemas resueltosAutoevaluación formativa

UNIDAD ACAD MICAÉ IILÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNAVARIABLE 252.1. Definición de la distancia entre dos puntos de r 252.2. Definición de bola abierta en r 262.3. Definición de bola cerrada en r 262.4. Definición del límite de una función de n variables 272.5. Definición del límite de una función de dos variable 282.6. Teorema 302.7. Definición de punto de acumulación 302.8. Definición del límite de una función de dos variables através de un conjunto específico 312.9. Teorema 322.10. Teorema 322.11. Definición de continuidad de una función de n variables 372.12. Definición de continuidad de una función de dos variables 372.13. Teorema 392.14. Teorema 392.15. Teorema 392.16. Definición de continuidad en una bola abierta 402.17. Teorema 40Problemas resueltos 41Autoevaluación formativa 46

UNIDAD ACAD MICAÉ IIIDERIVADAS PARCIALES 513.1 efinición de derivada parcial de una función de dos variablesD 513.2 Definición de derivada parcial de una función de n variables 583.3. Teorema 62Problemas resueltos 62Autoevaluación formativa 66

Universidad Peruana Los Andes

Excelencia AcadémicaAnálisis Matemático III

6

UNIDAD ACAD MICA IÉ VDIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL 694.1. Definición de incremento de una función de dos variables 704.2. Definición de función diferenciable de dos variables 704.3. Teorema 714.4. Teorema 734.5. Definición de la diferencial total de una funciónde dos variables 734.6. Definición de incremento de una función de n variables 754.7. Definición de función diferenciable de n variables 754.8. Definición de la diferencial total de una función de nvariables 76Problemas resueltos 79Autoevaluación formativa 86

UNIDAD ACAD MICAÉ VREGLADE LACADENA PARAFUNCIONES DE MÁS DE UNAVARIABLE 915.1. Teorema la regla de la cadena 915.2. Teorema la regla de la cadena general 935.3. Teorema 955.4. Teorema 965.5. Derivadas direccionales y gradientes 97Problemas resueltos 97Autoevaluación formativa 104

UNIDAD ACAD MICAÉ VIEXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 1076.1. Definición de extremos absolutos de funcionesde dos variables 1076.2. Definición de extremos relativos de funcionesde dos variables 1076.3. Teorema 1086.4. Definición de punto crítico 1096.5. Teorema criterio de la segunda derivada 1116.6. Teorema del valor extremo para funciones de dos variables 114Problemas resueltos 119Autoevaluación formativa 126



UNIDAD ACAD MICAÉ VIIINTEGRALES DOBLES 1317.1. Definición del límite de una suma de Riemann de una función 1317.2. Definición de la integral doble 1317.3. Teorema 1317.4. Teorema 133Poblemas resueltos 140Autoevaluación formativa 146

UNIDAD ACAD MICAÉ VIIIINTEGRALES TRIPLES 1498.1. Coordenadas cilíndricas y esféricas 1498.2. Integrales triples 1538.3. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 157Problemas resueltos 164Autoevaluación formativa 176

FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES

INDICADORES DE LOGRO

Hasta ahora ha aprendido funciones con una o dos variables y algunas de susaplicaciones, el siguiente paso consistirá en aprender a trabajar con funciones devarias variables, has de tener en cuenta que ahora se vana graficar superficies.

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:- Define funciones de n variables.- Define una función compuesta de n variables- Grafica superficies de nivel para construir la gráfica de una función de varias

variables.

FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES1. FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

Estas funciones se presentan con frecuencia en situaciones prácticas. Por ejemplo,el área de la superficie del cuerpo de una persona depende del peso y de la estaturade la persona. El volumen de un cilindro circular recto depende de su radio y de sualtura. De acuerdo con la ley de los gases ideales, el volumen ocupado por un gases directamente proporcional a su temperatura e inversamente proporcional a supresión. El precio de venta de un artículo particular puede depender de su costo deproducción, del costo de materiales y de los gastos generales.Con el fin de extender el concepto de función a funciones de cualquier número devariables, primero se considerará el espacio numérico n-dimensional. Del mismomodo en que se denotó un punto de R mediante un número real x, un punto de R2

por medio de un par ordenado de números reales (x,y), y un punto de R 3 medianteuna terna ordenada de números reales (x,y,z), un punto del espacio n-dimensionalRn se representa por medio de una n-nada (léase “eneada”) o n-upla ordenada denúmeros reales denotada por P = (x1,x2………xn). En particular, si n = 1, P = x; sin = 2, P = (x,y); si n =3, P = (x,y,z); si n =6, P = (x1,x2,x3,x4,x5,x6).

1.1. DEFINICIÓN DEL ESPACIO NUMÉRICO N-DIMENSIONALEl conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales se denomina espacionumérico n-dimensional y se denota por Rn. Cada n-ada ordenada (x1,x2………xn) sellama punto del espacio numérico n-dimensional.

1.2. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE N VARIABLESUna función de n variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P,w) enel que dos pares ordenados distintos cualesquiera no tiene el mismo primerelemento. P es un punto del espacio numérico n-dimensional y w es un número real.El conjunto de todos los puntos P admisibles recibe el nombre de dominio de lafunción, y el conjunto de todos los valores resultantes de w se denomina contradominio de la función.De esta definición, el dominio de una función de n variables es un conjunto depuntos de Rn y su contra dominio es un conjunto de números de R. cuando n = 1, setiene una función de una variable; de modo que el dominio es un conjunto de puntosde R o, equivalente, un conjunto de números reales. En consecuencia, la definición



EJEMPLO ILUSTRATIVO 1: Sea la función ƒ, de las dos variables x e y, el conjuntode todos los pares ordenados de la forma (P,z) tales que:

FIGURA 1

El dominio de ƒ es el conjunto (x,y) | x 2 + y2 25. Este es el conjunto de puntosde plano xy sobre la circunferencia x 2 + y2 = 25 y la región interior limitada por esacircunferencia. La figura 1 muestra el dominio de ƒ como una región sombreada deR2.Debido a que )(25 22 yxz , entonces 0 z 5; por tanto el contra dominio de ƒ

es el conjunto de números reales del intervalo cerrado [0,5].

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2: La función g de las variables x y y es el conjunto detodos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que:

25

122

yx

z

1.1 es un caso especial de la definición 1.2. Si n = 2, se tiene una función de dosvariables, y el dominio es un conjunto de puntos de R2 o, equivalentemente, unconjunto de pares ordenados de números reales (x,y).

El dominio de g es el conjunto (x,y) | x2 + y2 > 25. Éste es el conjunto de puntos dela región exterior de la circunferencia x 2 + y 2 > 25. La figura 2 muestra el dominiocomo una región sombreada de R2.Si ƒ es una función de n variables, entonces de acuerdo con la definición 1.2, ƒ esun conjunto de pares ordenados de la forma (P,w), donde P = (x 1,x2………xn) es unpunto Rn y w es un número real. El valor particular de w que corresponde a un puntoP se denota mediante el símbolo ƒ(P) o ƒ(x1,x2………xn) . En particular, si n = 2 y P= (x,y), se puede representar el valor de función como ƒ(P) o como ƒ(x,y). Demanera semejante, si n = 3 y P = (x,y,z), el valor de función se representa comoƒ(P) o como ƒ(x,y,z). Observe que si n = 1, P = x; en consecuencia, si ƒ es unafunción de una variable, ƒ(P) = ƒ(x). Por tanto, esta notación es consistente con lanotación para valores de función de una variable.

50

5

-5

-5

X

Y

FIGURA 2



10

Una función ƒ de n variables puede definirse por la ecuación.w = ƒ(x1,x2………xn)Las variables x 1,x2………xn se denomina y w se llamavariables independientesvariable dependiente.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3: Sea ƒ la función del ejemplo ilustrado 1; es decir,22

25y)ƒ(x, yx

Entonces:

0

16925

)4(325ƒ(3,-4) 22

52

1425

1)2(25ƒ(-2,1) 22

22

22

925

)3(25ƒ(u,3v)

vu

vu

EJEMPLO 1: Sea g la función definida por23 4),,( yzxzyxg

Obtenga: (a) g (1,3, -2); (b) g (2a,-4b,3c); (c) g (x2,y2,z2); (d) g (y,z,-x)

Solución:(a) g (1.3. -2) = 13 – 4 (3)(-2)2

= 1 – 48= -47

(b) g (2a,-4b,3c) = (2a)3 – 4(-4b)(3c)2

= 8a3 + 144bc2

(c) g (x2,y2,z2) = (x2)3 – 4y2 (z2)2

= x6 +4y2z4

(d) g (y,z,-x) = y3 – 4z( -x)2

= y3 – 4x2z

1.3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA DE DOS VARIABLES

Si ƒ es una función de una variable y g es una función de dos variables, entonces lafunción compuesta ƒ o g es la función de dos variables definida por.(ƒ o g )(x,y) = (ƒ ( g (x,y)y el dominio de ƒ o g es el conjunto de todos los puntos (x,y) del dominio de g talesque g (x,y) pertenece al dominio de ƒ.

EJEMPLO 2: Dados ƒ(t) = ln t y g (x,y) = x 2 + y, calcule h(x ,y) si h = ƒ o g , ydetermine el dominio de h.Solución:h(x,y) = (ƒ o g )(x,y)

= ƒ ( g (x,y)= ƒ (x2 + y)

= In (x2 + y)El dominio de g es el conjunto de todos los puntos de R 2, y el dominio de ƒ es elintervalo (0, + ). Por tanto, el dominio de h es el conjunto (x,y) | x2 + y > 0.La definición 1.3 puede extenderse a una función compuesta de n variables como semuestra a continuación.

1.4. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA DE N VARIABLESSi ƒ es una función de una variable y g es una función de n variables, entonces lafunción compuesta ƒ o g es la función de n variables definida por

(ƒ o g ) (x1,x2………xn) = (ƒ ( g (x1,x2………xn))y el dominio de ƒ o g es el conjunto de los puntos (x 1,x2………xn) del dominio de g

tales que g (x1,x2………xn) pertenece al domino de ƒ.



EJEMPLO 3: Dadas

F (x) = sen -1 y G (x,y,z) = 4222 zyx

Obtenga la función F o G y su dominio.Solución:(F o G) (x,y,z) = F(G(x,y,z))

= F( 4222 zyx ) = sen -14222 zyx

El dominio de G es el con junto (x,y,z) | 4222 zyx 0, y el dominio de F es elintervalo [ -1. 1]. Por tanto, el dominio de F o G es el conjunto de todos los puntos(x,y,z) de R3 tales que 0 4222 zyx 1, o equivalentemente,

4 222 zyx 5.Una función polinomial de las variables x e y es una función ƒ tal que ƒ(x,y) es lasuma de términos de la forma cxn ym, donde c es un número real y n y m sonnúmeros enteros no negativos. El grado de una función polinomial está determinadopor la mayor suma de los exponentes de x y y que se tiene en los términos de lafunción.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4(a) La función ƒ definida porƒ(x,y) = 3223 2 yyxx Es una función polinomial de grado 4 debido a que el término de mayor grado es

222 yx

(b) Si42756),( 22323 yxyxxyyxyxg

Entonces g es una función polinomial de grado 5.La gráfica de una función ƒ de una variable consiste del conjunto de puntos (x,y) deR2 para los cuales y = ƒ(x). De manera similar, la gráfica de una función de dosvariables es un conjunto de puntos de R3.

1.5. DEFINICIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLESSi ƒ es una función de dos variables entonces la gráfica de ƒ es el conjunto de todoslos puntos (x,y,z) de R3 para los cuales (x,y) es un punto del dominio de ƒ y z =ƒ(x,y).

En consecuencia, la gráfica de una función ƒ de dos variables es una superficie queconsta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadascartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x,y,z).Como el dominio de ƒ es un conjunto de puntos del plano xy y puesto que cada parordenado (x,y) del dominio de ƒ corresponde a sólo un valor de z, ninguna rectaperpendicular al plano xy puede intersectar a la gráfica de ƒ en más de un punto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5La función ƒ del ejemplo ilustrativo 1 es el conjuntode todos los pares ordenados de la forma (P, z :)tales que

2225 yxz

Por tanto, la gráfica de/es la semiesfera en elplano y por arriba de éste cuyo centro es elxyorigen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestraen la figura 3.

FIGURA 3



12

EJEMPLO 4Dibuje la gráfica de la función definida por

f(x,y) = x2 + y2

Solución: La gráfica de f es la superficie que tiene la ecuación z = x2 + y2. La trazade la superficie en el plano se obtiene al utilizar la ecuaciónxy z = 0simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 + y2 = 0, lacual representa al origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtienen al emplear lasecuaciones y = 0 y x = 0, respectivamente, junto con la ecuación z = x2 + y2. Estastrazas son las parábolas z = x2 y z = y2. La sección transversal en el plano z = k,

paralelo al plano xy, es una circunferencia con su centro en el eje z y radio k . Conesta información se obtiene la gráfica requerida, la cual se muestra en la figura 4 yque es un paraboloide circular.Otro método útil para representar geométricamente una función de dos variables essemejante al de representación de un relieve tridimensional por medio de un mapatopográfico bidimensional. Suponga que la superficie z = f(x, y) se intersecta con elplano z = k, y que la curva de intersección se proyecta sobre el plano xy. Esta curvaproyectada tiene a f(x, y) = k como una ecuación, y la curva se denomina curva de

FIGURA 4

nivel (o de contorno) de la función/en k. Cada punto de la curva de nivelcorresponde a sólo un punto de la superficie que se encuentra a k unidades sobreella si k es positivo, o a k unidades debajo de ella si k es negativo. Al considerardiferentes valores para la constante k se obtiene un conjunto de curvas de nivelllamado mapa de contornos. El conjunto de todos los valores posibles de k es elcontra dominio de la función f, y cada curva de nivel, f(x,y) = k , del mapa decontornos consiste de los puntos (x, y) del dominio del que tienen un valor defunción igual a k.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6La figura 5 muestra la gráfica de la función del ejemplo 4 definida porf(x,y) = X

2 + y2

Junto con las curvas de intersección de estasuperficie con los planos z = k donde k es igual a 1,2, 3, 4, 5 y 6. Estas curvas son circunferencias concentros en el eje z y radio k . La figura 6 presentalas curvas proyectadas sobre el plano xy. Lascircunferencias proyectadas, las cuales son curvasde nivel de la función f, representan una vista delas circunferencias de la figura 5 que se obtiene almirar la superficie hacia abajo desde un punto deleje z.

FIGURA 5



Un mapa de contornos de z = f(x, y) muestrala variación de z con respecto a x e y en elplano xy al considerar las curvas de nivel.Los valores de z cambian más rápidamentecuando las curvas de nivel se encuentranmás cercanas entre sí que cuando estánmás apartadas; esto es, cuando las curvasde nivel se hallan muy próximas entre sí lasuperficie es escarpada, y cuando las curvasde nivel están separadas la elevación de lasuperf icie, relat iva al plano xy, cambiagradualmente. Observe esta situación en laf igura 6 para las curvas de nivel de lasuperficie de la figura 5.

En un mapa topográfico bidimensional de un relieve, se obtiene una noción generalde su inclinación al considerar el espacio entre sus curvas de nivel. También en unode estos mapas, si se sigue la trayectoria de una curva de nivel, la elevación o alturapermanece constante.

EJEMPLO 5 Sea f la función definida porf(x,y) = 8 - x2 - 2y

FIGURA 6

Dibuje la gráfica de f y un mapa de contornos de f que muestre las curvas enintervalos constantes de 2 unidades a partir de 8 y descendiendo hasta -8.

Solución La gráfica de f, mostrada en la figura 7, es la superficie

z = 8 - x2 - 2y

Al considerar z = 0 se obtiene la traza en el plano xy, la cual es la parábolax2 = -2(y - 4). Si se considera y = 0 y x = 0, se obtienen las trazas en los planos xz yyz, las cuales son, respectivamente, la parábola x2 = -(z - 8) y la recta 2y + z = 8. Lasección transversal de la superficie obtenida en el plano z = k es una parábola quetiene su vértice en la recta 2y + z = 8 del plano yz y abre a la izquierda. Lassecciones transversales para z igual a 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 y - 8 se muestran en lafigura.

Las curvas de nivel de f son las parábolas x2 = -2(y - 4 + 1/2k). El mapa de contornosde f junto con las curvas de nivel requeridas se presentan en la figura 8.

FIGURA 7



14

A fin de ilustrar la aplicación de las curvas de nivel, suponga que la temperatura encualquier punto de una placa metálica plana está dada por la función f; es decir, si Tgrados es la temperatura, entonces en el punto (x, y), T = f(x,y). Por tanto, las curvasde nivel que tienen ecuaciones de la forma f(x,y) = k. donde k es una constante, soncurvas sobre las que la temperatura es constante. Estas curvas de nivel sedenominan isotermas. Además, si volts proporcionan el potencial eléctrico enVcualquier punto (x, y) del plano xy, y V=f(x,y), entonces las curvas de nivel reciben elnombre de curvas equipotenciales debido a que el potencial eléctrico en cada puntode una de estas curvas es el mismo.Como aplicación de las curvas de nivel en economía, considere la productividad (osalida) que depende de varios insumos (o entradas) en una empresa. Entre losinsumos pueden considerarse el número de máquinas empleadas en la producción,el número de horas-persona disponibles, el monto de capital de trabajo, la cantidad

de material empleado así como el área de te-rreno disponible. Suponga que las cantidadesde las entradas están dadas por y y, y que laxcantidad de salida está representada por z,donde z =f(x,y). Esta función se denominafunción de producción, y las curvas de nivel dela forma y) = donde k es una constante,f(x, k.se llaman curvas de producción constante.

EJEMPLO 6

Sea f la función de producción para la cual

f(x, y) = 2x1/2y1/2

Dibuje un mapa de contornos de f que muestre las curvas de producciónconstante en8, 6, 4 y 2.

Solución El mapa de contornos consiste de las curvas de intersección de lasuperficie

z = 2x1/2y1/2 (1)con los planos z = k. donde k es igual a 8, 6, 4 y 2. Al sustituir z = 8 en (1) se obtiene4 = x1/2y1/2 o, equivalentemente,xy =16 x > 0 y y > 0 (2)

FIGURA 9



FIGURA 12 FIGURA 13 FIGURA 14

Ejemplo 8 La función está definida por

(x,y,z) = x2 + y2 – z2

Describa las superficies de nivel de para (a) k = (b) k = -4, y (c) k = 0Solución:(a) La superficie de nivel para k = 4 tiene la ecuación

x2 + y2 – z2 = 4Esta superficie, un hiperboloide de una hoja cuyo eje es el eje z, semuestra en la figura 12.

(b) La superficie de nivel para k = -4 tiene la ecuaciónx2 + y2 – z2 = -4 -x2 - y2 + z2 =4Esta superficie es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje z, y sepresenta en la figura 13.

(c) La superficie de nivel para k = 0 tiene la ecuaciónx2 + y2 – z2 = 0Esta superficie, un cono cuyo eje es el eje z, se muestra en la figura 14.

y

z

-2 -2

2 2

4 _6 _ -2

_6

_

_2

x

Curvas de nivel de zyzzyxf 42),,( FIGURA 11

PROBLEMAS RESUELTOS1. Expresar el volumen V del cono en función de su generatriz x y la altura y.

Solución C

X

Y

rA

B



16

B

x y

h

A z

Por Pitágoras del triangulo ABC se tiene )1.(..........222 ryx de donde 22

2 yxr además alturayh

El volumen del cono es:3

.2hr

V

),()(3

)(33

. 32222

yxfyyxyyxhr

V

)(3

),( 32 yyxyxV

.

2. Expresar el área S del triángulo en función de sus tres lados zyx ,, .Solución

El perímetro del triángulo ABC es:

),,(2

2 zyxfzyx

pzyxp

Luego el área S en función del perímetro es:

))()(( zpypxppS reemplazando se tiene:

2 2 2 2

x y z x y z x y z x y zS x y z

1

16S x y z x y z x z y y z x

1

4S (x,y,z) x y z x y z x z y y z x

3. Formar la tabla de valores de la función dando a las variablesz = (2x - 3y + 1)

independientes los valores desde 0 hasta 5 con intervalos de una unidad.

C

Solución

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 , y = 0, 1, 2, 3, 4, 5

y x 0 1 2 3 5 60 1 3 5 7 9 111 -2 0 2 4 6 82 -5 -3 -1 1 3 53 -8 -6 -4 -2 0 24 -11 -9 -7 -5 -3 -15 -14 -12 -10 -8 -6 -4

4. Hallar los valores de la función.

a)2

arc.tg(x+y)z

para1+

,2

x 2

y

b) sen(x+y)z e para 2x

c)2 21 1x yz y x para 2,x y

a)

22

. ( ) 1 3 1 3 . (1)( , ) ,

( ) 2 2 3

arc tg x y arc tgz f x y f

arc.tg arc.tg

z = (2x - 3y + 1)

3 1 - 3

arc.tg(x-y)

y

2

x - y

Solución



2

2

1 3 1 3 16 9,

2 2 9 16f

b) ( ) 0( , ) ( 2, 2) 1sen x y senz f x y e f e e

5. La función z = f ( x , y ) , que satisface idénticamente la relación

),(),( yxfmmymxf k para cualquier m, es llamada función homogénea de k–esimoorden. Mostrar que la función de k-esimo orden siempre puede serz = f ( x , y )

representada en forma )/( xyFxz k

SoluciónComo satisface a la relación siguientez = f ( x , y ), ),(),( yxfmmymxf k paracualquier m entonces consideramos 1m

x que reemplazada en la ecuación

),(),( yxfmmymxf k se tiene

),(1

),1( yxfx

xyfk

)1.........().........,1(),( xyfxyxf k

Luego considerando )2........(....................).........(),1( xyFxyf

Reemplazando (2) en (1) se tiene :( , ) (1, ) ( )K Kz f x y x f y x x F y x

Por lo tanto: ( , ) ( )Kz f x y x F y x Por lo tanto la función siempre se puede representar en la forma:z = f ( x , y )

K

6. El carácter homogéneo de una función de cualquier número de variablesindependientes puedes ser determinada de manera análoga a la función de dosvariables, por ejemplo, es una función homogénea de k - ésimo orden sif (x,y ),z

),,(),,( zyxfmmzmymxf k para cualquier m, también tiene lugar a propiedad

),(),,( xzxyFxzyxf k , Demostrarla.SoluciónComo satisface la relaciónf (x,y ),z ),,(),,( zyxfmmzmymxf k haciendo

xm 1 ),,(1

),,1( zyxfx

zxxyfk

de donde f (x,y ),z = ),(),,1( xzxyFxxzxyfx kk Por lo tanto si la función es homogénea de grado k en x, y, z tiene laf (x,y ),z

propiedad

),(),,( xzxyFxzyxf k

7. El dominio está limitado por el paralelogramo de los lados0y , 2y , 2xy , 12 xy

La frontera del mismo se limita, dar este dominio por desigualdades.

02

120: x

yyDdominio

02

120: x

yyD12 xy

2xy

2y

0

D

y

x

z = ( x y )x F /

Solución



18

8. El dominio representa la figura limitada por las parábolas 2xy y 2yx (incluyendo las fronteras). Dar este dominio por desigualdades.Solución

/),(2

xyyxyxD

/),( 22 xyxyxD

9. Escribir en forma de desigualdad, un dominio abierto que represente untriángulo equilátero, de lados iguales a “a”, cuyo vértice se halle situado en el origende coordenadas, uno de los lados tiene la misma dirección que el semieje positivo ox(el triángulo está situado en el primer cuadrante).Solución

Calculando1L se tiene:

3:1 xyL

Calculando2L se tiene:

3)(:2 xayL

3)(300/),( 2 xayxyaxyxD

10. El dominio está limitado por un cilindro circular infinito de radio R (eliminadaslas fronteras) cuyo eje paralelo al eje oz pasa por el punto (a, b, c ). Dar este dominiomediante las desigualdades.

0X

Y

2yx 2xy

1

)23,( aa1

L

2L

aa

2a 2a

Y

0 a X

Y

22 2 3

4 2

a ay a y

Solución

2223/,, RbyaxzRzyxD

X

Z

Y

22byax

(a,b)

(a,b,c)O



11. Escribir en forma de desigualdades, el domino limitado por la esfera de radioR cuyo centro se halla se halla en el punto (a, b, c) (incluidas las fronteras)

SoluciónLa ecuación de la esfera es:

Luego el dominio esta dado por:

12. Los vértices de un triangulo rectángulo se hallan situados dentro del circulo deradio R. El área S del triangulo en función de los catetos de los catetos x e y:

),( yxS ¿Cual es el dominio de definición de la función )( yxS ?

X

Z

Y

R

(a, b,c)

2222Rczbyax

22223/,, Rczbyaxzyx

Solución

Ecuación del círculo es: 22

0

2

0 Ryyxx

El área del triangulo ABC es:

2

,xy

yxA

Su dominio de la parte inferior del triangulo.Es decir:

222 4 Ryx

1. La esfera de radio R lleva inscrita en una pirámide de base rectangular cuyovértice se proyecta ortogonalmente en el punto de intersección de las diagonales dela base. El volumen V de la pirámide es función de los lados x e y de su base. ¿Seráesta función unívoca?. Presentar su forma analítica. Hallar el dominio de definiciónde la función.SoluciónLa función no es unívoca puesto que de la ecuación:

2222 Ryxz le corresponde dos valores:222

yxRz

El volumen de una pirámide es3

abh donde la pirámide es inscrita en la esfera22

3

2

2

2

1Rxxx donde los lados de la pirámide son

2,

211

yyx

x

por lo tanto: 222

3 42

1YXRx

Luego el volumen es : )42

1(

3

222 YXRRxy

V

CA

B

Y

XR

RR



20

donde 2224 YXRR es la altura de la de la pirámide los lados x e y.

)42(6

222 YXRRxy

En los ejercicios del 14 al 22 hallar los dominios de función de las funcionesque se dan a continuación

2.2

2

2

2

1b

y

a

xZ

Solución),( yxfZ esta bien definida si : 01

2

2

2

2

b

y

a

x

De donde

!"

1/),(2

2

2

22

b

y

a

xyxDf #

3. 842 xyLnZ

Solución),( yxfZ esta bien definida si : 0842 $ xy

De donde 84/),(22 $ xyyxDf #

222

1

yxRZ

Solución),( yxfz esta bien definida si : 0222 % yxR

De donde 2222 /),( RxyyxDf % #

Es decir el dominio de f es todo2 menos los puntos de la circunferencia

222 Ryx yxyxz

Solución),( yxfZ esta bien definida si : 00 yxyx

De donde 00/),(2 yxyxRyxDf #

yxyxz

11

Solución),( yxfZ esta bien definida si : 00 $$ yxyx

De donde 00/),( 2 $$ yxyxRyxDf #

x

ysenarcZ

1.

Solución

senzx

y

x

ysenarcZ

11.

Para1

1111

x

ysenz

De donde01

101

1

x

y

x

y

11 yxyx Luego: 11/),(

2 yxyxRyxDf #

2222

sec.2

. yxarcyx

senarcz



SoluciónSea

2222

2222

2222

secsec.

2012

111

22.

yxuyxarcuSea

yxyx

senwcomopero

yxsenw

yxsenarcw

&

&

22

2222

1

11

sec11sec

yx

yxyx

uucomopero

Sea ),( yxfZ entonces

22222 120/),( yxyxRyxDf # 21/),( 222 yxRyxDf #

21. 22

2

1

4

yxLn

yxz

Solución),( yxfZ esta bien definida si se cumple :

104

0104

0014

1111004

222

22222

22222

22222

&

$&

$&

yxyx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Luego 104/),( 2222 yxxyRyxDf #

22. yxctgz SoluciónLa función yxctgZ no esta definida en : nyxnyx

Luego ZnnyxRyxDf ## ,/),(2 %

1

1 2

2

X

Y

En este fascículo se realiza la definición de funciones de n variables, así como su funcióncompuesta, para luego poder graficar las superficies de nivel que ayudaran a graficar unafunción de varias variables.

Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica del Perú,Tercera Edición. Lima, Perú 1995

Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ Lima Perú2002

Leithold, Louis. El Cálculo, Ed. Mexicana . 7ma edición México, 1999

RESUMEN

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA



22

AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA

1. Sea g la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenadosde la forma (P, w) tales que

w = 2224 zyx

g(x,y,z) = 2224 zyx

Obtenga (a) g(1,-1, -1); (b) g(-1,2

3,

2

1); (c)g( zyx

2

1

2

1,

2

1);

(d) ' ( ' (22z)2,y2,g(x-z)y,g(x,

2. Sea la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenadosde la forma (P,w) tales que

W =9

4222 zyx

(x,y,z) =9

4222 zyx

Calcule (a) (1,2,3); (b) (2,-2

1,

2

3); (c)

xxx

1,

2,

2; (d) (x + 2, 1 , x -2)

En los ejercicios 5 a 20, determine el dominio de y dibújelo como una regiónfde R 2. Utilice curvas punteados para indicar cualquier parte de la frontera queno pertenezca al domino y curcas continuas para indicar las partes de lafrontera que pertenezcan al dominio.

3. (x,y) =1

122 yx

4. (X,Y) =22

4

4

yx

5. (x,y) = 221 yx

6. (x,y) = 22416 yx

7. (x,y) = 22 1 yx

8. (x,y) = 16422 yx

9. (x,y) = 122 yx

10. (x,y) = 16422 yx

11. (x,y) =22

1

1

yx

12. (x,y) =22 416

1

yx

13. (x,y) =22

44

yx

yx



14. (x,y) =yx

yx

15. (x,y) = cos-1(x –y)16. (x,y) = In(x2 + y)17. (x,y) = In(xy-1)18. (x,y) = sen-1(x + y)

En los ejercicios 19 a 26 determine el domino de y represéntelo como unaf

región de R3

19. (x,y,z) =zyx

zyx

20. (x,y,z) =yx

z

2

21. (x,y,z) = 222 416 zyx

22. (x,y,z) = 2229 zyx

23. (x,y,z) = sen-1 x + sen-1 y + sen-1 z24. (x,y,z) = In x + In y + In z25. (x,y,z) = In(4 - x2 – y2) + z

26. (x,y,z) = xz cos-1(y2 – 1)En los ejercicios 27 a 34 determine el dominio de y dibuje su gráficaf

27. (x,y) = 2216 yx

28. (x,y) = 6 – 2x + 2y29. (x,y) = 16 –x2 – y2

30. (x,y) = 22425100 yx

31. (x,y) = x2 –y2

32. (x,y) = 144 – 9x2 – 16y2

33. (x,y) = 4x2 + 9y2

34. (x,y) = yx

En los ejercicios 35 a 46 dibuje un mapa de contornos de que muestre las curvasfde nivel para los números indicados.

35. (x,y) = )(2

1 22yx para 8, 6, 4, 2 y 0

36. (x,y) = (x-3)/(y+2) para 4, 2, 1,4

1,

2

1,0 ,

.2

1,

4

1 , -1 , -2 y -4

37. (x,y) = exy para 1, 2, e, 4,4

1,

2

1 4 ye

38. (x,y) = Inxy para 0,1,2,4, -1, -2 y -439. Sean (x,y) = x – y , g(t) = .t , h (s) = s 2. Calcule (a) 1,5fg

(b) ))9(),3(( ghf (c) ))(),(( yhxgf (d) yxfhg , (e) yxfhg ,

40. Sean (x,y) = x/y2 . g(x) =x2 , xxh )( . Calcule (a) 1,2fh (b)))4(),2(( hgf

(c) ))(),(( 2xhxgf (d) )),)((( yxfgh (e) )),()(( yxfgh



24

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

DE MAS DE UNA VARIABLE

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:

- Define el concepto de límite de funciones de más de una variable.- Define el concepto de continuidad de funciones de más de una variable.- Interpreta los teoremas para la resolución de ejercicios de aplicación.

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLELa definición del límite de una variable involucra la distancia entre dos puntos de larecta numérica real. El limite de una función de más de una variable también implicala distancia entre dos puntos; por lo que se inicia el estudio de estos límites con ladefinición de distancia entre dos puntos de R .n

En R la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de dos

números reales. Esto es, ax es la distancia entre los puntos x y a de la recta

numérica real. En R 2 de la distancia entre los puntos P(x,y) y P0 (X0,Y0) está dada por

la expresión 20

20 yyxx . En R3 la distancia entre los puntos zyxP ,, y

0000 ,, zyxP está determinada por 20

20

20 zzyyxx .En R n la

distancia entre dos puntos se define de manera análoga.

2.1. DEFINICIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE R n

Si nxxxP ....., 21 y naaaA ....., 21 son dos puntos de R n entonces la distancia

entre P y A, denotada por AP , esta determinada por

AP = 22

22

2

11 ... nn axaxax

El símbolo AP representa un número no negativo y se lee como “la distancia

entre P y A”.

En R, R2 y R3 , la fórmula de la definición 2.1 se transforma, respectivamente, enaxax

00 ,, yxyx 20

20 yyxx




FIGURA 1

2.2. DEFINICIÓN DE BOLA ABIERTA EN R n

Si A es un punto de R n y r es un número positivo, entonces la bola abierta B(A;r) es

el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que AP < r.

2.3 DEFINICIÓN DE BOLA CERRADA EN Rn

Si A es un punto de R n y r es un número positivo, entonces la bola cerrada B(A;r) es

el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que. rAP .

Con el fin de ilustrar estas definiciones, se mues tra lo que ellas significan en R, R 2 yR3. En primer lugar, si a es un punto de R, entonces la bola abierta B(a; r) es el

conjunto de todos los puntos x de R tales que rax

FIGURA 3

00 , yx

Bola abierta ryxB ;, 00 en R2

El conjunto de puntos que satisface esta ecuación es el conjunto de todos lospuntos del intervalo abierto (a - r, a + r); de modo que la bola abierta B(a; r) en R(refiérase a la figura 1) es simplemente el intervalo abierto cuyo punto medio es acuyos extremos son a - r y a + r. La bola cerrada ' (raB ; en R (Figura 2) es el

intervalo cerrado ' (rara , .

Si 00 , yx es un punto de R 2, entonces la bola abierta ryxB ;, 00 es el conjunto de

todos los puntos (x,y) de R2 tales que 202

0 yyxx <r.

a – r a a + r

a – r a a + r

bola abierta B ' (ra,

r

000 ,,,, zyxzyx 20

20

20 zzyyxx

en R

FIGURA 2

bola cerrada B ' (ra, en R

FIGURA 4

Bola cerrada2

00 ;, RenryxB

r

(x0, y0)



26

Si en la definición anterior f es una función de una

variable. aA pertenece a xPIR y , entonces

la definición establece lo siguiente: si f está

definida en algún intervalo abierto centrado en a,

excepto posiblemente en a, entonces.

Lxfax

)

)(lim

Por lo que la bola abierta ryxB ;, 00 en R 2 (figura 3) consta de todos los puntos

de la región interior limitada por la circunferencia que tiene su centro en 00 , yx y

radio r. En ocasiones se llama disco abierto a una bola abierta R 2. La bola cerrada, o

disco cerrado, ' (ryxB ;, 00 de R2 (figura 4) es el conjunto de todos los puntos de la

bola abierta ' (ryxB ;, 00 y la circunferencia con centro en 00 , yx y radio r.

Si 000 ,, zyx es un punto de R 3 , entonces la bola abierta rzyxB ;, 00,0 es el

conjunto de todos los puntos (x, y, z) de R3 tales que

20

20

20 zzyyxx < r

Por tanto, la bola abierta rzyxB ;,, 000 en R 3 (figura 5) consiste de todos los

puntos de la región interior limitada por la esfera que tiene centro en 000 ,, zyx y

radio r. Similarmente, la bola cerrada ' (rzyxB ;,, 000 de R 3 (figura 6) consiste de

todos los puntos de la bola abierta rzyxB ;,, 000 así como de los puntos de la

esfera que tiene centro en 000 ,, zyx y radio r.

r

(x0, y0,z0)

FIGURA 4

y ;,, 000Bola abierta rzxB 3Ren

2.4 DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE n VARIABLES

r

(x,y z)00,0

Sea f una función de n variables definida en

alguna bola abierta );( rAB , excepto posiblemente

en el punto A. Entonces, el límite de )(Pf

conforme P tiende a A es L, lo cual se denota por:

LPf )(limAP)

Si para cualquier 0$ , sin importar que unapequeña sea, existe una 0δ $ tal que:

Si δ0 AP entonces LPf )(



Si para cualquier 0$ , sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ $ talque:

Si δ0 ax entonces Lxf )(

Por lo que la definición de límite de una función de una variable es un caso especialde la definición 2.4.La definición de límite de una función de dos variables es el caso especial de ladefinición 2.4 en donde A es el punto ),( 00 yx y P es punto ),( yx

2.5. DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLESea f la función de dos variables definida en algún disco abierto ));,(( 00 ryxB ,

excepto posiblemente en ),( 00 yx . Entonces el límite de ),( yxf conforme ),( yx

tiende a ),( 00 yx es L , lo que se denota por:

Lyxfyxyx

)

),(lim),(),( 00

si para cualquier 0$ , sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ $ tal que:

Si δ)()x-(x0 20

20 yy entonces f(x,y)-L

En palabras, esta definición establece que los valores de función f(x,y) seaproxima la limite L conforme el punto ),( yx tiende al punto ),( 00 yx si el valor

absoluto de la diferencia entre ),( yxf y L puede hacerse arbitrariamente pequeña

al considerar el p unto ),( yx suficientemente cercano a ),( 00 yx pero sin llegara a

ser ),( 00 yx . En la definición nada se dice acerca del valor de la función en el punto

),( 00 yx , es decir, no es necesario que la función esté definida en ),( 00 yx , es

decir, no es necesario que la función esté definida en ),( 00 yx para que:

),(lim),(),( 00

yxfyxyx )

exista.

En la figura 7 se presenta una interpretación geométrica de la definición 2 .5. En estafigura se muestra la porción de la superficie que tiene ecuación ),( yxfz y que se

encuentra por arriba del disco δ));,(( 00 yxB . Se observa que ),( yxf en le eje z ,

estará entre LL y siempre que le punto ),( yx del plano xy esté en el

disco abierto δ));,(( 00 yxB . Otra forma de establecer esto consiste en que ),( yxf

en el eje z puede forzarse a que este entre LL y al restringir el punto

),( yx del plano xy al disco abierto δ));,(( 00 yxB .

yx

0

L+

L-

L

(x y f(x,y))0 + 0 , 0 0z



28

Ejemplo 1:Utilice la definición 2.5 para demostrar que: 11)32(lim

)3,1(),(

)yx

yxSolución: El primer requisito de la definición es que yx 32 debe estar definido en

algún disco que tenga su centro en el punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3).Como yx 32 , está definida en cada punto ),( yx , entonces cualquier disco abierto

centrado en (1,3) satisfará este requisito, Ahora, debe demostrase que paracualquier 0$ existe una 0δ $ tal que:

Si δ)3()1-(x0 22 y entonces )1......(11)32( x

De la desigualdad del triangulo.93221132 yxyx

3312 yxDebido a que

22)3()1(1 yxx

22 )3()1(3 yxy

Se deduce que

Si δ)3()1-(x0 22 y entonces 3δ2δ3312 yx

Esta posición muestra que una elección adecuada para cualquier δ es 5δ , esto

es, 5

1δ . Con esta δ se tiene el argumento siguiente:

δ)3()1-(x0 22 y

δ3-yyδ1 x

δ53-y312 x

5

15)3(3)1(2 yx

1132 yx

De donde se ha probado que para cualquier 0$ se elige 5

1δ a fin de que la

proposición (1) sea verdadera. Esto demuestra que11)32(lim

)3,1(),(

)yx

yx.

Los teoremas de límites estudiados en el curso de Análisis I y sus demostraciones,con pequeñas modificaciones, se aplican a funciones de más de una variable. Porejemplo, en correspondencia con el teorema de límites ya estudiados para unavariable se tiene:

dnbmadnymxbayx

)

)(lim),(),(

Y la demostración es una generalización de la demostración del ejemplo 1. A partirde aquí se utilizarán los teoremas de límites sin volver a establecerlos nidemostrarlos.

Ejemplo ilustrativo 1Al aplicarse los teoremas de límites acerca de suma y productos se tiene.

12)1()1()2(2)2()22(lim223223

)1,2(),(

)yyxx

yx

Ejemplo 2Calcule

),(lim)0,0(),(

yxfyx )

si:22

44

),(yy

xyyxf



Solución:

22

2222

)0,0(),(22

44

)0,0(),(

))((limlim

xy

xyxy

xy

xy

yxyx

))

22

)0,0(),(lim xy

yx

)

0La gráfica de f , mostrada en la figura 8, es el paraboloide hiperbólico 22 xyz sin considerar el origen. La gráfica apoya la respuesta.El teorema siguiente trata acerca del límite de una función compuesta de dosvariables, el cual es análogo al teorema para funciones de una variable y sudemostración es semejante.

2.6. TEOREMASi g es una función de dos variables y byxg

yxyx

)),(lim

),(),( 00

, y además f es

una función de una variable que es continua en b , entonces.

)(),)((lim),(),( 00

bfyxgfyxyx

)

))yxgyxgf

yxyxyxyx,lim,lim

),(),(),(),( 0000

Ejemplo 3Utilice el teorema 2.6 a fin de calcular 1lnlim

)1,2(),(

)xy

yx

SOLUCIÓN: Sea g la función tal que g(x, y)=xy -1 y sea f la función para la cualf(t)=In t.

11lim)1,2(),(

)

xyyx

y como f es continua en 1, del teorema 2.6

))1lim1lnlim

)1,2(),()1,2(),(xyxy

yxyx

1ln0

A continuación se presentará el concepto de punto de acumulación el cual senecesita para continuar el estudio de límites de funciones de dos variables.

2.7. DEFINICIÓN DE PUNTO DE ACUMULACIÓNUn punto P 0 es un punto de acumulación de un conjunto S de puntos de Rn si todabola abierta B (P0; r) contiene un número infinito de puntos de S.



30

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2Si S es el conjunto de todos los puntos de R 2 del lado positivo del eje X, entonces elorigen es un punto de acumulación de S debido a que, sin importar que tan pequeñose tome el valor de r, cada disco abierto que tenga su centro en el origen y radio rcontendrá un número infinito de puntos de S. Este es un ejemplo de un conjunto quetiene un punto de acumulación para la cual el punto de acumulación no es un puntodel conjunto. Cualquier punto de este conjunto S también es un punto deacumulación de S.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3Si S es el conjunto de todos los puntos de R 2 para los que sus coordenadascartesianas son números enteros positivos, entonces este conjunto no tiene puntosde acumulación. Esto se ve al considerar el punto (m, n) , donde m y n son númerosenteros positivos. De este modo, un disco abierto que tenga su centro en (m, n) yradio menor que 1 no contendrá ningún punto de S diferente de (m, n); por tanto, nose satisface la definición 2.7 (consulte la figura 9).

Ahora se considerará el límite de una función de dos variables conforme un punto(x, y)tiende a un punto (x 0, y0) donde (x, y)se restringe a un conjunto específico depuntos.

2.8. DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES ATRAVÉS DE UN CONJUNTO ESPECÍFICO

Sea f una función definida en un conjunto de puntos S en R 2, y sea (x 0, y0)un puntode acumulación de S. Entonces el limite de f(x, y) conforme (x, y)tiende a (x 0, y0) enS es L, lo que se denota por:

enSyx

Lyxfyxyx

,

,lim00 ,,

)

Si para cualquier 0$ , sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ $ tal que

Si Ly*fy* ,entoncesδy*+0 00

Donde (x, y) pertenece a S.En algunos casos el límite de la definición anterior se transforma en el límite de unafunción de una sola variable. Por ejemplo. Considere

y*f

yx,lim

0,,, ). Entonces si

S1 es el conjunto de todos los puntos del lado positivo del eje x.

enSyx

xfyxfxyxyx

,

0,lim,lim0,, 00))

Si S2 es el conjunto de todos los puntos del lado negativo del eje y,

00,0,,0lim,lim yfyxf

yyx ))



2, enSyx

Si S3 es el conjunto de todos los puntos del eje x.

2

00,0,

,

0,lim,lim

enSyx

xfyxfxyx ))

si S4 es el conjunto de todos los puntos de la parábola y = x2.

4,

,lim,lim 2

00,0,

enSyx

xxfyxfxyx ))

2.9 TEOREMASuponga que la función f está definida para todo los puntos de un disco abiertocentrado en (x0, y0), excepto posiblemente en (x0, y0),y que

Lyxf

yxyx

),lim

00 ,,

Entonces, si S es cualquier conjunto de puntos de R 2 que tiene a (x 0, y0 ) como unpunto de acumulación.

enSyx

yxfyxyx

,

,lim00 ,, )

Existe y siempre tiene el valor L.

Demostración: Como

Lyxfyxyx

)

,lim00 ,,

, entonces, por la definición 2.5, para

cualquier 0$ existe una 0δ $ tal que si

Lyxfyx ,entoncesδyx,0 00

La proposición anterior será verdadera si además se restringe (x, y) debido alrequisito de que (x, y) pertenezca a un conjunto S, donde S es cualquier conjunto depuntos que tenga a (x 0 , y 0) como un punto de acumulación. Por tanto, por ladefinición 2.8

enSyx

Lyxfyxyx

,

,lim00 ,,

)

y L no depende del conjunto S a travé s del cual (x, y) se aproxima a (x 0,y0 ). Estodemuestra el teorema.El teorema siguiente se obtiene como consecuencia inmediata del teorema 2.9.

2.10 TEOREMASi la función f tiene limites diferentes conforme (x, y) se aproxima a (x0,y0) a través dedos conjuntos diferentes de puntos que tienen a (x0 , y0) como un punto deacumulación, entonces

yxf

yxyx,lim

00 ,, )no existe.

DemostraciónSuponga que S 1 y S 2 son dos conjuntos de puntos de R diferentes que tienen a2

(x0, y0) como punto de acumulación, y sean.

1

1,,

,

,lim00

enSyx

Lyxfyxyx

) y

2

2,,

,

,lim00

enSyx

Lyxfyxyx

)



32

Ahora suponga que

yxfyxyx

,lim00 ,, )

existe. Entonces, por el teorema 2.9 L1

debe ser igual a L 2 ; pero por hipótesis 21L L% , de modo que se tiene una

contradicción. Por tanto

yxfyxyx

,lim00 ,, )

no existe.

EJEMPLO 4 Sea

22

22

,yx

yxyxf

Utilice el teorema 2.10 para demostrar que

yxfyx

,lim0,0, )

no existe

Solución: La función f esta definida en todos los puntos de R 2 excepto en (0,0).Sean S1 el conjunto de todos los puntos del eje x y S 2 el conjunto de todos los puntosdel eje y. Entonces.

1

0,,

,

0,lim,lim00

enSyx

xfyxfxyxyx ))

2

0y0,0,

,

y)limf(0,),(lim

enSyx

yxfyx ))

=2

2

0lim

x

x

x

)=

2

2

0lim

y

y

x

)

= 1lim0

)x= 1lim

0

)x

= 1 = -1como

21

0,0,0,0,

,,

,lim,lim

SenyxenSyx

yxfyxfyxyx ))

%

Se concluye, por el teorema 2.10, que

yxfyx

,lim0,0, )

no existe.

La figura 10 muestra la gráfica de f. Observe en la figura que conforme (x, y) seaproxima a (0,0) a lo largo del eje x, parece que f(x, y) tiende a 1 y conforme (x, y)se aproxima a (0,0) alo largo del eje y parece, que f(x, y) tiende a - 1. Estasobservaciones apoyan la respuesta.



EJEMPLO 5Demuestre que no existe el límite siguiente:

220,0,lim

yx

x

yx

)

Solución La expresión 22/ yxx está definida para todos los puntos de R2 excepto(0,0). Sea S el conjunto de puntos del eje x positivo. Entonces

S,

limlim20220,0,

enyx

x

x

yx

x

xyx ))

=xx

1lim

0

)=

Por tanto, el límite no existeLa figura 11 muestra la gráfica de la función cuyos valores son 22/ yxx .Observeque conforme (x, y) se aproxima al origin a lo largo del eje x positivo, parece que losvalores de función crecen sin limite, lo cual apoya la respuesta.

Ejemplo 6 Dada

22

,yx

xyyxf

Calcule

yxfyx

,lim0,0, )

si existe

Solución La función esta definida para todos los puntos de R2 excepto (0,0). SeanS1 el conjunto de todos los puntos del eje x, y S2 el conjunto de todos los puntos dela recta y = x. Entonces.

,

0,lim,lim

1

00,0,

enSyx

xfyxfxyx ))

,

,lim,lim

2

0x0,0,

enSyx

xxfyxfyx ))

=0

0lim

20 ) xx= lim

22

2

0 xx

x

x )

= 0lim0)x

=2

1lim

0)x

= 0 =2

1



34

Ejemplo 7 Dada

44

22,

yx

yxyxf

Calcule

,lim0,0,

yxfyx )

si existe

Solución La función está definida pata todos los puntos de R 2 excepto (0,0).Sea S1

el conjunto de todos los puntos de cualquier recta que pase por el origen; esto es,para cualquier punto (x, y) de S1, y= mx. Sea S2 el conjunto de todos los puntos de laparábola Y = x2 . Entonces.

,

,lim,lim

1

00,0,

enSyx

mxxfyxfxyx ))

,

,lim,lim

2

2

0x0,0,

enSyx

xxfyxfyx ))

=2

lim224

3

0 xmx

mx

x )=

2lim

44

4

0 xx

x

x )

=220

2lim

mx

mx

x )= 1lim

0)x

= 0 = 1Debido a que

Como

yx,,

,lim,lim

21

0,0,0,0,

SenenSyx

yxfyxfyxyx ))

%

Entonces, por el teorema 2.10

,lim0,0,

yxfyx )

no existe.

La figura 12 muestra la gráfica de f, la cual apoya el hecho de que

,lim

0,0,yxf

yx )no existe.

Entonces

,lim0,0,

yxfyx )

no existe

La figura 13, la cual muestra la gráfica de f, apoya el hecho de que

,lim

0,0,yxf

yx ) no existe.

,,

,lim,lim

21

0,0,0,0,

Senyxen Syx

yxfyxfyxyx ))

%



Ejemplo 8 Sea

22

4224 22,

yx

yyxxyxf

Calcule

yxfyx

,lim0,0, )

si existe

Solución La función está definida en todos los puntos de R 2 excepto en (0,0). SeaS1 el conjunto de todos los puntos de cualquier recta que pase por el origen; demodo que si f(x, y) es un punto de S 1, entonces y = mx. Sea S 2 el conjunto de todoslos puntos de la parábola y = x2 . Entonces.

,

22xlim,lim

1

222

442224

00,0,

enSyx

xmx

xmxmxyxf

xyx

))

1

121xlim

22

2244

0mx

mxm

x

)

1

121xlim

2

242

0 m

mm

x

)

,

22xlim,lim

2

42

8424

00,0,

enSyx

xx

xxxyxf

xyx

))

23xlim

42

248

0 xx

xx

x

)

1

23xlim

2

26

0 x

x

x

)= 2

Aunque se obtiene el mismo límite 2 si (x, y) se aproxima a (0,0) a lo largo decualquier recta que pase por el origen así como por la parábola y= x2, no se puedeconcluir que el limite exista y sea igual a 2, no obstante se puede esperar que estesea el caso. Cualquier disco abierto centrado en el origen satisface el primerrequisito de la definición 12.2.5. Si puede probarse que para cualquier 0$ existeuna 0$ tal que

δ0 22 yxsi entonces2

2222

4224

yx

yyxx

δ0 22 yxsi entonces 22

44

yx

yx

Entonces se habrá demostrado que 2,lim

0,0,

)yxf

yx

Como 222222 yxyyyxx ,

2 22

22

222222

22

44

yxyx

yxyx

yx

yx

De modo que se tiene una elección adecuada para δ al despejarla de

2 δ 2= así; δ = /2 . Con esta δ se tiene el argumento siguiente:

δ0 22 yx 222 δ22 yx



36

22

44

yx

yx

Así, si δ = /2 , entonces la proposición (2) se cumple y de este modo se hademostrado que.

2,lim

0,0,

)yxf

yx

La figura 14 muestra la gráfica de f y apoya el hecho de que el límite es 2.

A continuación se definirá la continuidad de una función de n variables en un puntode Rn. Observe que la definición de la continuidad de una función de una variable enun número a es un caso especial de la siguiente definición.

2.11. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE n VARIABLESSuponga que f es una función de n variables y que A es un punto de Rn . Se diceque f es continua en el punto A si y sólo si se satisfacen las tres condicionessiguientes.(i) f (A) existe;(ii)

AP)lim f (P) existe;

(iii)AP)

lim f (P) = f (A)

δ2

2 2

22

222

yx

yx

2

2

2

22

222

22

yx

yxyx

Si una o más de estas condiciones no se cumplen para el punto A, entonces se diceque f es discontinua en A.Si f es una función de dos variables, A es el punto (x0, y 0 ) y P es el punto ( x, y),entonces la definición 2.11 se transforma en la definición siguiente.

2.12. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Se dice que la función f de dos variables x y y es en el punto (xcontinua 0, y0) sisolo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

(i) f (x0,y0) existe;(ii)

yxf

yxyx,lim

00 ,, )existe;

(iii) 00

,,,,lim

00

yxfyxfyxyx

)



Ejemplo 9 Determinar si la función g es continua en (0,0) si

Solución Se verificaran las tres condiciones de la definición 2.12 para el punto (0,0).(i) 20,0 g por tanto, se cumple la condición (1).

(ii)

yxgyx

,lim0,0, )

=

222

lim22

4224

,, 00

) yx

yyxx

yxyx

Este hecho se demostró en el ejemplo 8

(iii)

0,0,lim0,0,

gyxgyx

)

Por tanto, g es continua en (0,0).

Ejemplo 10 Determine si la función h es continua en (0,0) si

0,0,si0

0,0,si),(

22

-

-!

"

%

yx

yxyx

xy

yxh

Solución Al verificar las condiciones de la definición 2.12 se tiene :(i) oh 0,0 por tanto, se cumple la condición (i)

(ii)cuando (x,y) 22/,,0,0 yxxyyxh % . En el ejemplo 6 se mostro que

22

0,0,/lim yxxy

yx

)no existe; en consecuencia, que

yxh

yx,lim

0,0, )no

existe ;por tanto no se cumple la condición (ii).Así, h es discontinua en (0,0).

0,0,si2

0,0,si22

),( 22

4224

-

-!

"

%

yx

yxyx

yyxx

yxg

Si una función f es de dos variables es discontinua en un punto 00 , yx pero

yxf

yx,lim

0,0, )existe, entonces se dice que f tiene una discontinuidad

removible (o eliminable) en ( 00 , yx ) debido a que si se redefine f en ( 00 , yx ) de

modo que),( 00 yxf

yxfyxyx

,lim00 ,, )

Entonces la nueva función es continua en ( 00 , yx ). Si una discontinuidad no es

removible, entonces se denomina discontinuidad esencial.

Ejemplo ilustrativo 4

(a) Si 224224 /22, yxyyxxyxf , entonces f es discontinua en (0,0)

ya que f(0,0) no esta definido. Sin embargo en el ejemplo 8, se probó que

2,lim

0,0,

)yxf

yxpor tanto la discontinuidad es removible al redefinir f (0,0)

como 2. Refiérase al ejemplo 9.

(b) Considere 22/, yxxyyxf . Entonces f es discontinua en (0,0) debido a

que 0,0f no está definido. En el ejemplo 6, se mostró que

yxfyx

,lim0,0, )

no

existe. Por tanto, la discontinuidad es esencial.

Los teoremas que tratan acerca de la continuidad para funciones de una variablepueden extenderse a funciones de dos variables.



38

2.13 TEOREMASi f y g son dos funciones continuas en el punto 00 yx , entonces

(i) f + g es continua en ( 00 , yx );

(ii) f - g es continua en ( 00 , yx );

(iii) fg es continua en ( 00 , yx );

(iv) f / g es continua en ( 00 , yx ), es considerando que g ( 00 , yx ) 0%

2.14 TEOREMAUna función polinomial de dos variables es continua en cada punto de R2 .Demostración Toda función polinomial es la suma de productos de funcionesdefinidas por ,,, yyxgxyxf y c, yxh , donde c es un número real.

Puesto que f , g y h son continuas en cada punto de R2, el teorema se deduce

mediante aplicaciones repetidas de los incisos (i) y (iii) del teorema 2.13.

2.15 TEOREMAUna función racional de dos variables es continua en cada punto de sus dominios.Demostración Una función racional es el cociente de dos funciones polinomialesf y g que son continuas en cada punto de R2, según el teorema 2.14. Si

00 yx es cualquier punto del dominio de f / g entonces 0, 00 %yxg ; de

modo que por el inciso (iv) del teorema 2.13, f / g es continua en ese punto.

Ejemplo 11 Determine todos los puntos en lo que f es continua si

1si0

1si),(

22

2222

-

-!"

$

yx

yxyxyxf

Solución La función f esta definida en todos los puntos de R2. Por tanto, se cumplela condición (i) de la definición 2.12 para cada punto 00 , yx .

Considere los puntos 00 , yx si 120

20 % yx

si 120

20 yx , entonces

yxf

yxyx,lim

00 ,, )=

22

,, 00

lim yxyxyx

)

= 20

20 yx

= 00 , yxf

Si 120

20 $ yx , entonces

)yxf

yxyx,lim

00 ,, 0lim

00,, yxyx )= 0= 00 , yxf

Así f es continua en todos los puntos 00 , yx para los que 120

20 % yx

Con el fin de determinar la continuidad de f en los puntos 00 , yx para los cuales

120

20 yx , se considera

yxf

yxyx,lim

00 ,, )para estos puntos.



Sean S1 el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que 122 yx y S2 el conjunto

de todos los puntos (x, y) tales que 122 $ yx . Entonces

1

,,

en,

,lim00

Syx

yxfyxyx

)

1

22

,,

,

lim00

Senyx

yxyxyx

)

= 20

20 yx

= 1

2

,,

en,

,lim00

Syx

yxfyxyx

)

2

,,

,

0lim00

Senyx

yxyx )

= 0Como

1

,,

en,

,lim00

Syx

yxfyxyx

%)

2

,,

en,

,lim00

Syx

yxfyxyx )

Se concluye que

yxfyxyx

,lim00 ,, )

no existe. En consecuencia, f es discontinua

en todos los puntos 00 , yx para los cuales 120

20 yx .

De esta manera se ha demostrado que f es continua para todos los puntos de R2

excepto para aquellos de la circunferencia 122 yx

2.16 DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UNA BOLA ABIERTALa función f de n variables es continua en una bola abierta si es continua en cadapunto de bola abierta.

Ejemplo ilustrativo 5A partir de los resultados del ejemplo 11, la función de ese ejemplo es continua encada disco abierto que no contenga ningún punto de la circunferencia 122 yx .

El teorema siguiente, afirma que una función continua de una función continua escontinua.

2.17 TEOREMASuponga que f es una función de una variable y que g es una función de dosvariables tal que g es continua en 00 , yx y f es continua en 00 , yxg . Entonces lafunción compuesta gf es continua en 00 , yx .

Ejemplo ilustrativo 6

Sea h la función del ejemplo 3 1ln, xyyxh

Si 1, xyyxg , g es continua en todos los puntos de R2. La función logarítmicaes continua en su dominio completo, el cual es el conjunto de todos los númerosreales positivos. De modo que si f es la función definida por ttf ln)( , entonces f escontinua para todo t>0. Por tanto, la función h es la función compuesta gf y por elteorema 2.17 es continua en todos los puntos (x, y) de R2 para los cuales 01 $xy .

EJEMPLO 12Determine todos los puntos en los que f es continua si:



40

SOLUCIÓN:El domino f es el conjunto de todos los puntos (x, y) de R para los cuales2

2 2250x y $ , Estos son los puntos de la región exterior limitada por la

circunferencia2 2 25x y como se muestra en la figura 15. La función f es el

cociente de las funciones g y h para las que2 2( , ) 1 ( , ) 25g x y h x y x y

Como g es una función constante, es continua en cada punto de R 2. D el teorema2.17, h es cont inua en cada punto de R 2 que satisfacen la desigualdad

2 225x y $ . Por tanto, por el teorema 2.13 (iv), es continua en todos losf

puntos de su dominio.

PROBLEMAS RESUELTOSEn los ejercicios 1 - 5 calcular los límites de las funciones que se dan acontinuación, estimando que las variables independientes tienden, de maneraarbitraria, a sus valores límites.

1.11

lim22

22

)0,0(),(

) yx

yx

yx

SOLUCIÓN:2 2

2 2lim

1

x y

x y(x,y) (0,0))

=

2 2 2 2

2 2

( )( 1 1lim

( 1) 1

x y x y

x y

2 2 2 2

2 2

( )( 1 1lim

x y x y

x y

=

2 2lim 1 1x y

0 0 1 1 1 1 2

2.2 2

1 1lim

x y

x y

2 2lim

x y=

2

2 2 2 2

1 1lim

( )( 1 1)

x y

x y x y

2 2

1

25f(x,y)

x y

SOLUCIÓN:

(x,y) (0,0))

(x,y) (0,0)) (x,y) (0,0))

(x,y) (0,0))

(x,y) (0,0)) (x,y) (0,0))

2 2

22 1 1x y 2

2

2 2 2 2lim

( )( 1 1)

x y

x y x y

Sea: 2^(x,y) IR /S y kx

2 2 2 2lim

( ) 1 1x y x y =

11()1(lim

4422

44

)0,0()( ) xkxk

xk

x

0111

lim442

24

)0,0()(

) xkk

xk

x

(x,y) (0,0))

2

2x y 2

(x,y) (0,0))

) )( (

)



Ahora demostraremos por la definición que:

2 2lim 0

x y

Dado .$ ,0#

2 2δ 0 / 0 ( ) (0,0) δ δx,y

x y$

pero

0 (x,y) (0,0) δ x δ y δ

Además2 2 2 2 2 2

0( )( 1 1x y x y x y

2δxy x y

Luego es suficiente tomar δ

3.

3 3

2 2

( )lim

sen x y

x y

SOLUCIÓN:Calcularemos por caminos en donde (0,0) es punto se acumulación.

Sea 2( , ) / 0S x y IR y 3 3

2 2

( )lim

sen x y

x y

=

3

20limx

senx

x)=

3

30limx

senxx

x)

0(1) 0(1)

Sea T = ^ (x,y) / IR y x 3 3

2 2

( )lim

sen x y

x y

=

3

20

2lim

2x

sen x

x)=

3

20

2lim

2x

xsen x

x)

2 1 1x y 2

(x,y) (0,0))2 1 1x y 2

2 1 1x y 2 2x y 2

(x,y) (0,0))

(x,y) (0,0))

(x,y) (0,0))

0(1) 0(1)

Ahora demostraremos mediante la definición que3 3

2 2

( )lim 0

sen x y

x y

Sea 0$ , debemos encontrar un

3 3

2 2

(δ 0/0

sen x y

x y

$

Tal que 0 δ, 0 δ; ( , ) (0,0)x y x y %

3 33 3 3 3

2 2 2 2 2 2

( )....(1)

x ysen x y x y

x x y x y

Como2 2 2 2, .....(2)x x y y x y

Reemplazando (2) en (1) se tiene:3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 33 3

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) 2 )( ) x y x y x y x ysen x y

x y x y x y x y

(x,y) (0,0))

)



42

2 2 2 22 2 δ δ 2 2δ =x y

δ=2 2

4.

2 2

2 2 2 2

1 cos( )lim

( )

x y

x y x y

SOLUCIÓN:

Sea T: ( ) , ( 1)t t Ln t/ ,( , ) (0,0) 0x y t) )2 2

2 2 2 2

1 cos( )lim

( )

x y

x y x y

=0

1 cos( ( 1))lim

( ( 1)) ( 1)t

t Ln t

t Ln t tLn t)

=

2

0

12 ( ( 1))

2lim( ( 1)) ( 1)t

sen t Ln t

t Ln t tLn t)

2

20

1( ( 1))

1 ( 1)2lim . 1( ' )( ( 1))2 ( 1)

2

t

sen t Ln tL Hospital

tLn t)

(x,y) (0,0))

)

(x,y) (0,0))

t Ln t

t Ln t

Sea : ( ) ( , ) ( , ) (0,0) 0S t t t x y t/ ) )2 2

2 2 2 2

1 cos( )lim

( )( )

x y

x y x y

=30

1 cos2lim

2t

t

t)

=

2

30limt

sen t

t/

)

Como T S% entonces

2 2

2 2 2 2

1 cos( )lim

( )

x y

x y x y

5.222 2 1/ 1/

( , ) (0,0) 0

1lim (1 ) lim(1 )

e

x y z

x y zx y z

) )

SOLUCIÓN:

Sea2 2 , ( , ) (0,0) 0x y z x y z ) )

222 2 1/ 1/

0

1lim (1 ) lim(1 )

e

x y z

zx y z

( , ) (0,0)x y ) )

6. Mostrar que la función ux y

x y

para x 0, y 0) puede tender a cualquier

límite (dependiendo de cómo tienden a cero x e y)Dar ejemplos que muestren tales variaciones a x e y porque

a) lim u = 1

b) lim u = 2

u , ( , ) (0,0)x y

)

( , ) (0,0)x y )

( , ) (0,0)x y )

)

x y

x y



SOLUCIÓNa) Haciendo y = kx

(1 )u

x y k x k

x y k x k

u 1 cuando k = 0

b)1

u 2 2 1 2 2 1/ 31

kk k k

k

)

Luegou 2 1 / 3cuando k)

7. Hallar los puntos de discontinuidad de la función2 2

2z

x y

¿Qué variaciones

sufre la función en el entorno de punto de discontinuidad?

1

(1 ) 1

SOLUCIÓN:Sea

2 2

2(x,y)z f

x y

, la función está bien definida cuando

2 2x 0y % x e y puede tomar cualquier valor real menos el cero (0), es decir

, es discontinua en el punto (0,0).

Ahora la función en torno del punto (0,0), puede tomar valores positivos tan grandescomo quieran.

8. Hallar los puntos de discontinuidad de la función

2 2

1z

sen x sen y

SOLUCIÓN:La función es discontinua en los puntos donde

0 , esta ecuación se anula en todos los números x, y enteros

por lo tanto los puntos de discontinuidad es el conjunto, de los números enteros.

9. En qué parte es discontinua la función1

zx y

SOLUCIÓN:

La función es discontinua en todos los puntos que a la

ecuación x - y 0Por lo tanto la función es discontinua en todos los puntos de la rectax y

3. ¿En qué parte es discontinua la función1 1

z ?

SOLUCIÓN:

La función es discontinua en los puntos donde

0senx000 ; 0seny000 esto ocurre solamente cuando x , e y son números

enteros.

(x,y)f

(x,y)f

1z

2 2sen x sen y (x,y)f

2 2sen x sen y

z (x,y)f 1x y

z (x,y)f

sen x sen y

z (x,y)f1 1

sen x sen y



44

Por lo tanto la función es discontinua en el conjunto de los números

enteros.

11. En qué parte es discontinua la función

2

2

2

2

y xz

y x

?

SOLUCIÓN:

La función

2

2

2

2

y x

y x

es discontinua en, todos los puntos que anulan

a la ecuación 022 xy

Por lo tanto la función es discontinua en todos los puntos de la

parábola2

2y x .

En este fascículo se realiza la definición de límite de funciones de varias variables,además se hace mención a la continuidad estas funciones; se mencionan los teoremasesenciales que desarrollan en este tema para el cálculo inmediato de problemas deaplicación.

Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica delPerú, Tercera Edición. Lima, Perú 1995

Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ LimaPerú 2002


RESUMEN


z (x,y)f

z (x,y)f

z (x,y)f



En los ejercicios 7 a 10, establezca el límite determinando una δ 0$ paracualquier 0$ tal que se cumpla la definición 2.57. lim (3 4 ) 1x y

8. lim (5 4 ) 6x y

9. lim (3 2 ) 9x y

10. lim (5 3 ) 2x y

En los ejercicios 11 a 16 demuestre que ),(lim)0,0(),(

yxfyx )

no existe:

11.

2 2

2 2

x yf(x,y)

x y

12.

2

2 2

x

x y

13.

44

2 4 3( )

xy

x y

14.

4 2 2 3

2 2 2

3 2

( )

x x y xy

x y

(x,y) (3,2))

(x,y) (-2,1))

(x,y) (-1,3))

(x,y) (2,4))

f(x,y)

f(x,y)

f(x,y)

15.

9

6 2 2( )

x y

x y

16.

2

4 4

x y

x y

f(x,y)

f(x,y)2

5.2 2

limx

6.

4/3 4/ 3

2/ 3 2 /3

( 1) ( 1)lim

x y

x y

(x,y) (0,1))

(x,y) (1,1))

(y 1)

( 1) ( 1)

(y 1)4 4x (x,y) (-2,4))

4. lim 2y x y33

y4x (x,y) (2,-1))3. lim

3x x3

(x,y) (-1,4))2. lim (5 2 )x xy y 2 2

(x,y) (2,3))1. lim (3 2 )x xy y 2 2

En los ejercicios 1 a 6, evalúe el límite mediante teoremas de límites.


En los ejercicios 17 a 20 demuestre que ),(lim)0,0(),(

yxfyx )

existe:

17.

2 2

2 2

x y xy

x y

f(x,y)



46

23.

2

2 2lim

x y

x y

24.3 3

limx y

En los ejercicios del 25 al 28, muestre la aplicación del teorema 2.6 para calcular el límite

25.1lim tan

y

x

26. lim x - ye

27.1

lim3 4x y

28. lim 5 5x +123

(x,y) (0,0))

(x,y) (0,0))

x y2 2

(x,y) (2,2))

(x,y) (ln 3,ln 2))

(x,y) (4,2))

(x,y) (-2,3))

1

2y

2 123

En los ejercicios 29 a 52, determine todos los puntos en los que función es continua.

29.2

1x

y

30.1

x y

31.y

sen x

32.2Lnxy

33.

2 24 3

2

x y y

xy

f(x,y)

f(x,y)

h(x,y)

f(x,y)

f(x,y)

21.2 2

limx y

22.4 4

limx y

(x,y) (0,0))

x y2 2

(x,y) (0,0))

x y2 4

18.

3 3

2 2

x y

x y

19.2 2

xy

x y

20.

2

2 2

2x xy

x y

En los ejercicios 21 a 24, determine si el límite existe

f(x,y)

f(x,y)

f(x,y)

36. cos ( )x y f(x,y) 1

35. ( , ) (25 )g x y Ln x y 2 2

16 4x y 2 234. g(x,y)

5 2xy y2



39.2 2

x y

x y

f(x,y)

si (x,y) % (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)

xy

x y

0

40.-

-!

"

%

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

33

yxsi

yxsiyx

yx

yxf

41. G(x), y

42.

43.2 216

xy

x y

44.2 2 4

y

x y

45.3694 22

yx

x

2 2

3 3

x y

x yf (x), y

% )0,0(),( yxsi

)0,0(),( yxsi

% )0,0(),( yxsi

)0,0(),( yxsi0

f (x), y

f (x), y

f (x), y

Sugerencia: consulte el ejercicio 19

38.

Sugerencia: refiérase al ejercicio 7

2

4 2

2x y

x yf(x,y)

si (x,y) % (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)f(x,y) x y2 2

37. si (x,y) % (0,0)xy

2 2x y46. f (x), y

2 29 x y sec (x,y)

-1

47. f (x,y) 2 2 2 2

48. ( ) ( 9) (1 )f x y Ln x y Ln x y , 1

( , ) ( ) ln( , )f x y sen x y x y 49.1

( , ) ( , )f x y sen x y50.

)( yxsen % 0yxsi51. f (x), y yx 01 yxsi

2 2x y52. si y%f (x), y x y



48

Demuestre que f es continua en todos los puntos (x, y) de R2 excepto en

aquellos de la elipse x + 4y = 522



50

DERIVADAS PARCIALES

La diferenciación de funciones de valor real de n variables se reduce al caso de una dimensiónal considerar una función de una variable como una función de una variable mientras que lasdemás se mantienen fijas. Esto conduce al concepto de derivada parcial Primero se.consideraran las derivadas parciales de una función de dos variables.

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:- Define derivadas parciales de una función de dos variables- Define derivadas parciales de una función de n variables.- Interpreta los teoremas para la resolución de ejercicios de aplicación.

3.1 DEFINICIÓN DE DERIVADAPARCIAL DE UNAFUNCIÓN DE DOS VARIABLES


Sea una función de las variables La derivadax y y. parcial de con respecto a x es lafunción, denotada por D1 , tal que su valor en cualquier punto (x, y) del dominio de está dado por

x

yxyxxflímyxfD

ox 4

4

)4

),(),(),(1

si este límite existe. De manera semejante, la derivada parcial de con respecto ay es la función, denotada por D 2 , tal que su valor en cualquier punto (x, y) deldominio de está dado por

y

yxyyxflímyxfD

oy 4

4

)4

),(),(),(2

si existe este límite.

El proceso para calcular una derivada parcial se denomina diferenciación parcial.D1 que s e lee "D sub 1 de denota la función que es la derivada parcial de conrespecto a la primera variable. D1 (x,,y), que se lee "D sub 1 de de x y y", denota el valorde la función D 1 en el punto (x, y),



Otras notaciones para D1 son 1 , x , yx

f

5

5Además, se tienen las notaciones 1(x. y),

x (x, y) yx

yxf

5

5 ),(y para D1f(x.y). De manera semejante, las notaciones para D2 son 2,

y , yy

f

5

5y para D2 (x,. v) son2 (x, y) ,y(x. y) y

y

yxf

5

5 ),(. Si z= (x. y),

entonces se puede expresar D1 f (x,y) comox

z

5

5. Una derivada parcial no puede considerarse

como la razón de

separado.

5 z y 5 x puesto que ninguno de estos símbolos tiene significado por

51

Anteriormente se dijo que la notacióndx

dypuede considerarse como el cociente de dos

diferenciales cuando y es una función de la variable x, pero no existe una interpretación

similar parax

z

5

5

EJEMPLO 1 . Aplique la definición de derivada parcial para calcular

yxDyyxfD ,, 21 si 2223, yxyxyxf

Solución

yx

yxx

x

xyxxx

x

yxyxyxyxyxxxx

x

yxyxyyxxxx

x

yxfyxxfyxfD

x

26

236lim

236lim

2322363lim

2323lim

,,lim,

2

22222

2222

01

4

4

444

4444

444

4

4

)4

x 0)4



x 0)4

x 0)4

x 0)4

y

yxyxyyyyxx

y

yxfyyxfyxfD

4

44

4

4

2222

y)4 0

y)4 0

y)4 0

y)4 0

2

2323lim

,,lim,

yx

yyx

y

yyyyx

y

xyxyyyyyxxyx

y

22

22lim

22lim

232223lim

0

2

2222

4

4444

4

444

)4

y2

52

Si (x 0,y0) es un punto particular del dominio de f, entonces

x

yxfyxxfyxfD

x 44

)4

00000

001

,,lim,

Si este límite existe, y

y

yxfyyxfyxfD

y 4

4

)4

0000

0002

,,lim,

Si existe este límite:

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1. Se aplicará la fórmula (1) a fin de calcular D1 f(3, -2)para la función f del ejemplo 1.

22

4318lim

43441231827lim

41227223233lim

2,32,3lim2,3

0

2

0

22

0

01

4

4444

444

44

)4

)4

)4

)4

x

x

xxx

x

xx

x

fxffD

x

x

x

x

Las siguientes son fórmulas alternativas de (1) y (2) para 002001,, yxDyyxfD :

0

000

001

,,lim,

0

xx

yxfyxfyxfD

xx

)

Si este límite existe, y

0

000

002

,,lim,

0yy

yxfyxfyxfD

yy

)

Si existe este límite.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2. Se aplicará la fórmula (3) con el objeto de calcular 2,31 fD para la función f del ejemplo 1.

133lim

3

3133lim

3

3943lim

3

43443lim

3

2,32,lim2,3

3

2

3

2

3

31

)

)

)

)

x

x

xx

x

xx

x

xx

x

fxffD

x

x

x

x

22

3

)x



EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 En el ejemplo 1 se probó que:

D1 .(x,y) = 6x -2y

Por tanto.D1 (3, -2) =18+4

= 22

Este resultado concuerda con los resultados de los ejemplos ilustrativos 1 y 2. Alcomparar la definición de derivada parcial (3.1) con la definición de derivada común,se observa que D1 (x, y) es la derivada ordinaria de f si se supone que f es una funciónsólo de la variable x ( esto es, y se toma como una constante) ( X y ) es la, y D 2 derivada ordinaria de f si f se piensa como una función sólo de la variable y(mientras que x se considera constante). De modo que los resultados del ejemplo 1pueden obtenerse más fácilmente al aplicar los teoremas de diferenciación ordinaria si

y se toma como constante cuando se calcula D1 (X y), y si x se considera constante,

cuando se obtiene D .(x, y). El ejemplo siguiente ilustra esto.2

EJEMPLO 2 Calcule x (x, y) y y(x, y)si (X, y) = 3x3 - 4x 2y + 3xy2 + sen xy 2

Solución Si se considera como una función de x y se loma como constantea y, entonces se obtiene

x (x, y) = 9x 2 - 8xy + 3y 2 + y2 cosxy 2

Al considerar como una función sólo de y y se tiene a x como constante resulta

y(x, y) = -4x2 + 6x y + 2xy cos x y2

Las interpretaciones geométricas de las derivadas parciales de una función de dosvariables son semejantes a la de una función de una variable.La gráfica de una función de dos variables es una superficie que tieneecuación z = (x, y). Si y se considera como constante (digamos, y = y0 ).entonces z = (x, y 0) es una ecuación de la traza de esta superficie en elplano y = y0 . La curva puede representarse mediante las dos ecuaciones

y = yo y z = (X, y) (5)

Debido a que la curva es la intersección de estas dos superficies.Entonces. D1 (x 0 ,y0) es la pendiente de la recta tangente a la curva representada porlas ecuaciones (5) en el punto P0 ( x o , y ), ( x o , y o) del plano y = y 0

De manera análoga. D2 (x0 , y 0 ) representa la pendiente de la recta tangentea la curva que tiene ecuaciones

x = X0 y z = (x, y)

en el punto P0 del plano x = x 0. Las figuras 1 y 2 muestran una porción de la curva yde la recta tangente.

o



P0(x0-y0 (x0-y0)

FIGURA 1

54

FIGURA 2

EJEMPLO 3 Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersecciónde la superficie

22224

2

1yxz

con el plano y = 2 en el punto (2, 2, 3).

Solución La figura 3 muestra la curva de intersección de la superficie y del plano, así como

la recta tangente. La pendiente requerida es el valor dex

z

5

5en el punto (2, 2, 3).Así

222242 yx

x

x

z

5

5

De modo que en (2, 2, 3),

32

1

122

2

5

5

x

z

Cuando se calcula una derivada parcial en un punto particular, en ocasiones es necesarioaplicar las fórmulas (1) a (4) como se muestra en el ejemplo siguiente.



EJEMPLO 4 . Sea

-

-!

"

%

0,0,0

0,0,, 22

22

yxsi

yxsiyx

yxxy

yxf

Demuestre que 00,000,0 211 fqueyf

SoluciónSe calculará f1 (0,0) a partir de (3) con y0 =0, y f2(0,0) a partir de (4) con x 0 = 0.

00

0lim0lim

00lim00lim

0

0,0,0lim0,0

0

0,00,lim0,0

00

00

02

01

))

))

))

yx

yx

yx

yx

y

fyff

x

fxff

La figura 4, que muestra la superficie definida por la función del ejemplo 4, apoya el hechode que f1 (0,0) y f2 (0,0) son iguales a cero. La intersección del plano y = 0 y la superficie esel eje x, y f1(0,0) es la pendiente del eje x en el plano xz, la cual, por supuesto, es cero. Demanera similar, f 2 (0,0) es la pendiente del eje y en el plano yz, la cual también es cero.



La figura 4, que muestra la superficie definida por la función del ejemplo 4, apoya elhecho de que 1 (0, 0) y 2 (0,0) son iguales a cero. La intersección del plano y=0 y lasuperficie es el eje x, y 1(0,0) es la pendiente del eje x en el plano xz la cual, porsupuesto, es cero. De manera similar, 2 (0, 0) es la pendiente del eje y en el planoyz la cual también es cero.

56

EJEMPLO 5 Para la función del ejemplo 4, demuestre que:(a) 1 (0, y) = -y para toda y; (b) f2(x, 0) = x para toda x.

Solución(a) Si y % 0.de (3). (b) Si x % 0. de (4).

-

-!

"

%

)0,0(),(0

)0,0(),()(

),( 22

22

yxsi

yxsiyx

yxxy

yxf

x

yx

yxxy

x

yfyxfyf

xx

xx

0)(

lim

0

),0(),(lim),0(

22

22

1

$

$

y

yx

yxxy

y

xfyxfxf

oy

oy

0)(

lim

0

0,(),(lim)0,(

22

22

2

)

)

y

y

y

Yy

yxy

oy

)

2

3

22

22 ),(lim

x

x

x

yx

yxx

oy

)

2

3

22

22)(

lim

(a) Como 1(0, y) = -y si y %0 y, del ejemplo 4, 1(0,0) = 0, se concluye que 1 (0, y) =-y para toda y.(b) Puesto que 2 (x, 0) = x si x% 0 y. del ejemplo 4,2 (0,0) = 0, se infiere que 2 (x, 0) = x para toda x.

Debido a que toda derivada es una medida de una tasa de variación, una derivada parcialse puede interpretar de la misma manera. Si es una función de las dos variables x y y, laderivada parcial de f con respecto a x en el punto P0 (x0,y ) proporciona la tasa de0

variación instantánea, en P0 de (x,y) por unidad de variación de x (x varia y y se mantiene

fija en y0).De manera semejante, la derivada parcial de con respecto a y en P0 proporciona la tasa devariación instantánea, en P0, de (x,y) por unidad de variación de v.

EJEMPLO 6 De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas confinado, si atmósferas esPla presión. V litros es el volumen y T grados es la temperatura absoluta en la escalaKelvin, se tiene la fórmula

PV = kT (6)

Donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga que el volumen de un gas de cienorecipiente es de 12 litros y que la temperatura es de 290°K. con k = 0.6. (a) Calcule la tasa devariación instantánea de por unidad de variación de T si V permanece fijo en 12. (b) UtilicePel resultado del inciso (a) para aproximar la variación de la presión si la temperatura seincrementa a 295°K. © Calcule la tasa de variación instantánea de V por unidad de variación deP si T permanece fija en 290°K. (d) Suponga que la temperatura se mantiene constante. Utiliceel resultado del inciso (c) para calcular la variación aproximada del volumen necesario paraproducir la misma variación en la presión que se obtuvo en el inciso (b).

Solución Al sustituir V por 12. T por 290 y k por 0.6. se obtien e P = 14.5.

(a) Si se resuelve (6) para P cuando k = 0.6 resulta

V

TP

6.0



La tasa de variación instantánea de P por unidad de variación de T, si V se mantiene

constante, esT

P

5

5. esto es

VT

P 6.0

5

5

Cuando T = 290 y V = 12.T

P

5

5= 0.05. lo cual es la respuesta requerida.

(b) Del resultado del inciso (a), cuando se incrementa en 5 unidades (de 290 a 295) y VTpermanece fijo un incremento aproximado de P es 5(0.05) = 0.25.



Conclusión: Si la temperatura se incrementa de 290°K a 295°K. entonces elincremento de la presión es aproximadamente 0.25 atm.

(c) Al resolver (6) para V cuando k = 0.6, se obtiene

P

0.6VV

La tasa de variación instantánea de V por unidad de variación de P. si T

permanece fijo, esP

V

55

de modo que

2

6.0

P

T

P

V

55

Cuando T = 290 y P = 14.5,

2)5.14(

)290(6.0

55

P

V

= -0.83

la cual es la lasa de variación instantánea de V por unidad de variaciónde P cuando T = 290 y P = 14.5 si T permanece fija en 290.

(d) Si P se incrementa en 0.25 y T permanece fija, entonces del resultadodel inciso (c) la variación de V debe ser aproximadamente.

(0.25)(-0.83) = -0.21

Conclusión: El volumen debe disminuirse aproximadamente en 0.21 litros para quela presión aumente de 14.5 atm a 14.75 atm.

A continuación se extenderá el concepto de derivada parcial a funcionesde n variables.

3.2 DEFINICIÓN DE DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCIÓN DE n VARIABLES

Sea P(x1. x2,... xn) un punto de Rn, y sea f una función de las n variables x 1, x2,..., xn

Entonces la derivada parcial de f con respecto a x k es la función, denotada por Dk f,

tal que su valor de función en cualquier punto P del dominio de está dado porDk(x1,x2……xn)

k

nnkk

oy x

xxxfxxxxxf

44

)

).......,()................(lim 21...................21

si este límite existe.

En particular, si es una función de las tres variables x, y y z entonceslas derivadas parciales de están determinadas por

58

z

zyxfzzyxfzyxfD

y

zyxfzyyxfzyxfD

x

zyxfzyxxfzyxfD

oz

oy

ox

44

44

44

)4

)4

)4

),,(),,(lim),,(

),,(),,(lim),,(

),,(),,(lim),,(

3

2

1

si estos limites existen.

EJEMPLO 7 Dada(x, y, z) = x2y + yz2 + z3, verifique quex1 (x, y, z) - y2(x, y, z) + z 3(x, y, z) = 3 (x,y,z)

Solución Si se mantienen y y z constantes resulta 1 (x.y.z) = 2xyAl considerar x y z constantes se obtiene 2 (x.y.z) = x2 + z2

Cuando x e y se consideran constantes se tiene3(x.y.z) = 2yz + 3z2

Por tanto,x1(x,y,z) + y2(x,y,z) + z3(x,y,z) = x(2xy) + y(x2+z2)+z(2yz+3z2)

= 2x2y + x2y + yz2+yz2+2yz2+3z3

3(x2y+yz2+z3)= 3(x,y,z)

Si es una func ión de dos var iab les, entonces, en genera l , D1 yD2 f también son funciones de dos variables, y si tas derivadas parcialesde estas funciones existen, se denominan segundas derivadas parciales de . Encontraste. D1 y D 2 r e c i b e n e l n o m b r e d e p r i m e r a s d e r i v a d a sparciales de . Existen cuatro segundas derivadas parciales de una funciónde dos variables. Si f es una función de las dos variables x e y, las notaciones

xy

fffDfDD xyf 55

5 2

121212 )(

Expresan la segunda derivada parcial de f que se obtiene al derivar parcialmente con respecto a x y después derivar parcialmente el resultado con respecto a y. Estasegunda derivada parcial está definida por

y

yxfyyxfyxf

oy 44

)4

),(),(lim),( 11

12

Si este límite existe. Las notaciones

2

2

111111 )(x

ffffDfDD xx 5

5

Representa la segunda derivada parcial d e que se obtiene al derivar parcialmentedos veces con respecto a x, y se define como

x

yxfyxxfyxf

ox 44

)4

),(),(lim),( 11

11 (8)

=



Si existe este límite. Las otras segundas derivadas parciales están definidasde manera análoga.

y

yxfyyxfyxf

x

yxfyxxfyxf

oy

ox

4

4

4

4

)4

)4

),(),(lim),(

),(),(lim),(

2222

2221

Si estos límites existen.Las definiciones de las derivadas parciales de orden superior son similares. Existendiferentes notaciones para una derivada parcial específica,Por ejemplo.

2

33

112112xy

f

xxx

ffDfD xxy 55

5555

5

Representan la tercera derivada parcial de que se obtiene al derivar parcialmentedos veces con respecto a x y después una vez con respecto a y. En la notación desubíndice, el orden de la derivación parcial es de izquierda a derecha; en cambio, en

la notaciónxxy

f

55553

, el orden se considera de derecha a izquierda.

EJEMPLO 8

Sea (x,y) = ex sen y + In xy

Calcule: (a) D11 (.x,y: (b) D12(X,Y); (c)2

3

yx

f

555

Solución

yeyxfDb

xsenyeyxfDa

xsenye

yxy

senyeyxfD

x

x

cos),()(

1),()(

1

)(1

),(

12

211

2

2

1

(c) A fin de calcular2

3

yx

f

555

, se deriva parcialmente dos veces con respecto

a y , después una vez con respecto a x. Así se tiene

senyeyx

f

ysenye

yyye

y

f xxf

x 55

5

55

55

2

3

22

2 11cos



Las derivadas parciales de orden superior de una función de n variables se definen demanera análoga a las definiciones de las derivadas parciales de orden superior para unafunción de dos variables. Si es una función de n variables, entonces pueden tenerse n0segundas derivadas parciales de en un punto particular. Esto es, para una función de tres0variables, si todas las segundas derivadas parciales existen, entonces se tienen nueve deestas derivadas:

2

11, 12,13,21,22,23,31,32, y 33.

60

EJEMPLO 9 . Calcule D 132 f(x,y,z) siF(x,y,z) = sen(xy+2z)

Solución

zxyxyzxysenzyxfD

zxyysenzyxfD

zxyyzyxfD

2cos222,,

2(2,,

2cos,,

132

13

1

EJEMPLO 10 Sea (x,y) = x 3y – y cosh xyCalcule: (a) xy(x. y); (b) yx(x. y).

Solución(a) x (x. y) = 3x 2y - y

2 senh xyxy(x, y) = 3x2 - 2ysenhxy - xy2 cosh xy(b) y (x,.y) = x3 - coshxy - xysenhxyyx(x.y) = 3x2 - y senh xy - ysenh.xy – xy2cosh.xy

= 3x 2 - 2y senhxy - xy2 cosh xy

Observe en el ejemplo 10 que las derivadas parciales "mixtas" xy (x,y) (x, y) son iguales.y yx

De modo que para esta función particular, cuando se calcula la segunda derivada parcialcon respecto a x y después con respecto a y, el orden de derivación no importa. Esta condición

nose cumple para muchas otras funciones. Sin embargo, el ejemplo siguiente muestra que estosiempre es verdad.

EJEMPLO 1 1 Calcule 12¡(0,0)y 21(0,0)si

-

-!

"

%

)0,0(),(0

)0,0(),()(

),(),( 22

22

yxsi

yxsiyx

yxyx

yxf

Solución En el ejemplo 5. se demostró que para esta función1(0,y) = -y para toda y (11) y2(x,0) = x para toda x

De (7)

y

yf

y 4

4

)4

)0,0()0,0(lim)0,0( 11

012

y de (11) , 1(0,4y) = -4y 1(0.0) = 0; de modo que

)9(

1)1(lim0

lim)0,0(00

12

De

y

yf

yy

44

)4)4

x

xf

x 44

)4

)0,0()0,0(lim)0,0( 21

021

Sin embargo, de (12), 2(4x, 0) = 4x y 2((0,0) = 0.

Por tanto.

11lim0

lim)0,0(00

21

44

)4)4 xx x

xf



Para la función del ejemplo 11 las der ivadas parcia les mixtas12(x,y) y 21 (x,y) no son iguales en (0,0). Un conjunto de condiciones para que12;(.x0.y0) y 21(x0,y0) sean iguales se da en el teorema 3.3, el cual se presenta acontinuación. La función del ejemplo 11 no satisface las hipótesis de este teoremaya que f 12 y f 21 son discontinuas en (0,0). Se deja como ejercicio demostrar esto(refiérase al ejercicio 64).

3.3 TEOREMASuponga que es una función de las variables x e y , que está definidaen e l d i sco ab ie r t o B (x 0,y0 ); r) y que x. y. xy y yx está definidasen B. Además, suponga que xy y yx son continuas en B. Entonces

xy (x0,y0) = yx(x0,y0)

Como un resultado del teorema 3.3 se tiene que si la función / dedos variables tiene derivadas parciales continuas en algún disco abierto, entonces elorden de derivación parcial puede cambiarse sin afectar el resultado; esto es.D112= D121= D211D1122= D12l2= D1221 = D2121 = D2211 etc.

En particular, suponiendo que todas las derivadas parciales son continuas enalgún disco abierto, se puede demostrar que D211 = D112 al aplicar el teorema 3.3de manera repetida. Al hacer esto se obtiene

D211= D1 (D21)= D1 (D12)=D1[D2(D1)]=D2[D1(D1)]= D2(D11)= D112



PROBLEMAS RESUELTOS1. El volumen del gas v es función de su temperatura y presión v = f(P,T). Elcoeficiente medio de la expansión del gas, a la presión constante y el cambio, de latemperatura T1 hasta T2 se traduce por la expresión

)( 121

12

TTV

VV

¿Qué es lo que podríamos denominar el coeficiente de expansión, a la presiónconstante y a la temperatura dada To ?.

Solución

Como V = f(P,T), PV = nRT == >V =p

nRT… (1)

Como V, T son variables se tiene :

P1

2

V

Vdv = nR

1

2

T

TdT P(V2 - V1) = nR(T2 - T1 )

P

nR=

12

12

TT

VV

… (2)

De (1) se tiene:t

v

55

=P

nR… (3)

De la condición:1

1

V

P

nR=

)( 121

12

TTV

VV

= coeficiente; de expansión de (3), para

volumen = V y una temperatura = To se tiene1

V t

v

55

= coeficiente de expansión.1

62

dado del tiempo a lo largo de la barra.

3. El área S del rectángulo se expresa por la fórmula S = bh, donde b es la base

y h la altura. Hallarh

s

55

,b

s

55

y dar interpretación geométrica de los resultados

obtenidos.Solución

Como S = bh entonces:

2. La temperatura en punto A dado de la barra OX es función de la abscisa x delpunto A y el tiempo T : ?= f(x,t) ¿Cuál sería la interpretación física de las derivadas

parcialest5

56y

x556

y.

Solución

dx

d6= F

1,

dt

dxviene a ser la velocidad del cambio de temperatura en el punto

dado.d6 dt

= F 1 viene a ser la velocidad del cambio de la temperatura en el momentodx dx

,

h

s

55

= b = es la velocidad de variación del área en función de la altura del rectángulo.

b

s

55

= h = es la velocidad de variación del área en función de la base del rectángulo.

4. Sean dadas dos funciones u = 22 xa (a es constante), y

z = 22 xy . Hallardx

duy

x

z

55

, comparar los resultados.

Solución

U = 22 xa = = >dx

du=

22xa

x

Z = 22 xy = = >x

z

55

=

55

22

22

2

)(

xy

xyx =

222

20

xy

x

= = >x

z

55

=22

xa

x

Hallar las derivadas parciales de las funciones que se dan a continuaciónrespecto a cada una de las variables independientes (x, y, z, u, v, t ó y џ sonvariables).

5. z = x – y Solución

z = x – y = = >x

z

55

= 1 ^y

z

55

= -1

6. z = x3 y - y3 x

Solución

z= x3 y – y3x ==>x

z

55

= 3x2 - y3

y

z

55

= x3 – 3y2x



7. = axe –t + bt, (a,b constantes)Solución

= axe –t + bt ==>x5

56= ae-t

= axe –t + btt5

56= -axe-t +b

8. z =v

u+

u

v



Solución

u

z

55

=2

1

u

v

v ,

v

z

55

= -uv

u 12

9. z =22

33

yx

yx

Solución

z =22

33

yx

yx

= = >x

z

55

= 222

3224 234

yx

xyyxx

z =22

33

yx

yx

= = >y

z

55

= 222

3224 23

yx

yyyxy

10. z = (5x2y – y3 + 7) 3

Solución

z = (5x2y – y3 + 7) 3 = = >x

z

55

= 3(5x2y – y3 + 7) 2 (10xy)

y

z

55

= 3(5x2y – y3 + 7) 2 (5x2-3y2)

11. z =x

y

yx3

Solución

z =x

yyx

3 = = >

x

z

55

=3

4

3x

yy

y

z

55

=xy

x3

1

2

12. z = Ln (x + 22 yx )Solución

z = Ln (x + 22yx ) = = >

x

z

55

=22

221

yxx

yx

x

=22

1

yx

z

55

=22

22yx

y

= y

y yxx 2222 ( yxxyx

64



x13. z = arc.tg

ySolución

z = arc.tgy

x= = >

x

z

55

=2222 /1

/1

yx

y

yx

y

y

z

55

=2222

2

/1

/

yx

x

yx

yx

14. z =

x

ytgarc.

1

Solución

z =

x

ytgarc.

1==>

x

z

55

=)/(.

/1

/

)/(.

))/(.(

2

22

2

2 xytgarc

xy

xy

xytgarc

xytgarcx

55

=)/(.)( 222 xytgarcyx

y

y

z

55

=)/(.

/1

/1

)/(.

)/.(

2

22

2xytgarc

xy

x

xytgarc

xytgarcy

55

=)/(.)( 222 xytgarcyx

x

15. ¿Qué ángulo forma la tangente a la línea z=4

22 yx y=4 en el punto (2,4,5)

con la dirección del eje de abscisas?Solución

Como tiene la dirección de eje x entonces:

tg =x

z

55

1)5,4,2(2

)5,4,2( X

tg = 1 = = >4

6

16. ¿Qué ángulo forma la tangente o la línea Z= 221 yx x=1 en el punto

(1,1, 3 ) con la dirección positiva del eje de ordenadas?Solución

Como tiene la dirección de eje y entonces:

tg =y

z

55

)3,1,1(1

)3,1,1(22 yx

y

6

6

6

tg =3

3

3

1

111

1

como tg =3

3= = > 30º

17. ¿Qué ángulo forma al cortarse las líneas planas engendradas por la

intersección de las superficies:6

22 y

xz y3

22 yxz

por el plano y = 2?

6

6 6

65

Solución

Para y=2, z = x2 +3

2, z =

3

42 x

Z = x2 +3

2= = > x2 +

3

2=

3

42 x= = > x2 =1 = = > x=1

Z =3

42 x

xx

z2

55

= = > 155

xx

z= 2

3

2x

x

z

55

15

5x

x

z=

3

2

7

4

)3/2(21

3/22

1.1

13

1

21

21

5

5

5

5

5

55

x

x

z

x

z

xx

zx

x

z

tg6

7

46tg = = > ? = arc.tg

7

4

En este fascículo se realiza la definición de derivadas parciales de una función de n variables,además se mencionan los teoremas esenciales que desarrollan en este tema para el cálculoinmediato de problemas de aplicación.

Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica del Perú,Tercera Edición. Lima, Perú 1995Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ Lima Perú2002Leithold, Louis. El Cálculo, Ed. Mexicana . 7ma edición México, 1999

RESUMEN





En los ejercicios 1 a 6 explique la definición 3.1 a fin de calcular la derivada parcial.

1. ),( yxf = 6x + 3y - 7; D1 ),( yxf

2. ),( yxf = 4x2 - 3xy ; D1 ),( yxf

3. ),( yxf = 3xy + 6x - y2; D2 ),( yxf

4. ),( yxf = xy2 – 5y + 6: D2 ),( yxf

5. ),( yxf = ),(;22 yxfyx x

6. ),( yxf = ),(:2

2yxf

yx

yxy

66

En los ejercicios 7 a 10, apliqué la definición 3.2 para determinar la determinar la derivada parcial7. ),,( zyxf = -x2y – 3xy2 + 2yz ; D2 ),,( zyxf

8. ),,( zyxf = -x2 + 4y2 + 9z2 ; D1 ),,( zyxf

9. ),,,,( trzyxf = xyr + yzt + yrt +zrt ; r(x,y,z,r,t)

10. (r,s,t,u,v,w) = 3r2st + st2y- 2tuv2 - tvw +3uw2 ; v(r,s,t,u,v,w)11. Sea (x,y) = x 2 – 9y2. Calcule D 1 (2, 1) al aplicar (a) la fórmula (1); (b) laFórmula (3); (c) la definición 3.1 y después sustituir x y y por 2 y 1. respectivamente.12. Para la función del ejercicio 11. Calcule D2 (2, 1) mediante la aplicación de (a)la fórmula (2): (b) la fórmula (4); ( c) la definición 3.1 y después remplazando x e ypor 2 y 1, respectivamente.

En los ejercicios 13 a 24, calcule la derivada parcial considerando todas lasvariables, excepto una, como constantes y aplicando los teoremas para laderivación ordinaria.

13. ),(;4),( 1

223 yxfDyxyyxf

14. ),(;;

),( 222yxfD

xy

yxyxf

15.(6,7)= sen36 cos27; 0(6,7)16. (r,6) = r2cos6 - 2 r tan 6;0(r,6)

17. z= ey/x Iny

z

y

x

55

,2

18. r = e-6 cos (6 + 7) ;655r

,

19. u = (x2+y2+z2)-1/2

z

u

55

,

20 u = tan -1 (xyzw);w

u

55

21. (x,y,z) = 4xyz + In (2xyz); 3(x,y,z)22. (x,y,z)= exy senh 2z – e xy cosh 2z ; z(x,y,z)23. (x,y,z) = exyz + tan-1 ; y(x,y,z)24. (r, 6,7)= 4r2 sen6 + 5er cos 6 sen 7 - 2 cos 7 2(r, 6,7)

25. (r, 6) Si = r tan 6 - r2 sen 6. (a)calcule 1( ;4

1,2 ) (b) (3,).

26. Si (x,y,z)=2xye + ln(y +z). calcule (a) 1 (3, 0, 17); (b) 2 (1,0,2);(c) 3(0,0,1).

En los ejercicios 27 y 28, calcule f x(x, y) y y(.(x y).

27. (x,y,) = 8y

xInsentdt

28. dteyxfy

x

t8 cos),(

En los ejercicios 29 a 38 haga lo siguiente: (a) calculeD11 (x,y,z) ; (b) obtenga D 22f(x, y); (c ) pruebe que D 12 (x,y) y D21f(x, y) soniguales.



29. (x,y,z) = 2

2

xy

yx

30. (x,y,) = 2x3 – 3x2y + xy2

32. (x,y,)= e-x/y + In xy

31. (x,y,) = e2xsen y

67

35. (x,y,) = 4x senhy + 3ycosh.x36. (x,y,) == xcos y – y ex

37. (x,y,) =ex cos y + tan-Ix ln y38. (x,y,) = 3x cosh y – sen-1 ex

En los ejercicios 39 a 46 calcule las derivadas parciales indicadas.

39. (x,y) = 2x3y + 5x2y2 + 3xy2 (a) 121 (x,y) (b) 211(x,y)40. G(x,y) = 3x3y2 + 5x2y3 + 2x; (a) Gxyx(x.y): (b) Gyxy (xy)41. (x,y,z) = yex + zey +ez ,(a) xz (x,y,z); (b) yz(x,y,z)42.g(x,y,z) = sen (x,y,z);(a)g 23(x,y,z); (b) g12(x,y,z)43. (x,,z) = w2 cos ez;(a) 121 (w,z): (b) 212(w,z)44. (u,v) =In cos(u-v); (a) uuv (u,v): (b) uuv(u,v)45. g(r,s,t) =In(r2 +4s2-5t2);(a)g 132 (r,s,t) (b) g122(r,s,t)46. (x,y,z) =tan-1(3xyz);(a) 113 (x,y,z) (b) 123(x,y,z)

47.Sea ( u=sen tr + In r

t . Verifique que r dtdu +r dr

du = 0.

48.Sea w = x2 y+ y2z +z2 x. Verifique quedxdw +

dydw +

dzdw =(x+y+z) 2

En los ejercicios 49 a 52 demuestre que u(x,y) satisface la ecuación



2

2

axua + 2

2

ayua = 0, lo cual se conoce como ecuación de Laplace en R 2.

49. u(x,y) = In(x2 +y2)

50. u(x,y) = tan-122

2yx

xy

33. (x,y,) = (x2 + y2)tan-1 xy

34. (x,y,) = sen-12

3xy

51. u(x,y) = tan-122 yx

xx

y

52. u(x,y) = ex seny + ey cos x

53. La ecuación de Laplace en R3es2

2

x

u

55

+2

2

y

u

55

+2

2

z

u

55

= 0

Pruebe que la función U(x, y, z) = (x2 +y2+ z2) -1/2 satisface esta ecuación.54. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de lasuperficie

36x2 - 9 y2 + 4z2 +36 = 0 con el plano x=1 en el punto )3,12,1( . Interprete estapendiente como una derivada parcial.

68

DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:

- Define la diferencial total de funciones de mas de una variable

- Aproxima el valor de una función de mas de una variable

DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTALSe definirá la diferenciabilidad de funciones de más de una variable por medio de una ecuaciónque involucra el incremento de una función. A fin de motivar esta definición, primero se obtieneuna representación del incremento de una función de una variable que es semejante alpresentado en la definición (4.2) de diferenciabilidad.

Recuerde que si f es una función diferenciable de x y y = f(x), entonces:

0lim x

yf(x)

x4 )4 4

Donde x4 y y4 son los incrementos de x e y, y

( ) ( )y f x x f x4 4 Cuando x4 es pequeño y 0,/x y x4 % 4 4 difiere de )(' xf por un número

pequeño que depende de x4 , el cual se denota por . Asíyx

4 4si 0x4 %

Donde es una función de x4 . De esta ecuación se obtienexxxfy 444 )('

Donde es una función de x y 0 conforme 0xDe lo anterior se deduce que si la función f es diferenciable en

0x , entonces el

incremento de f en 0x , denotado por 0f(x)4 , está determinado por:

xxxfxf 444 )(')( 00 dondelim 0

0r

4 )


f ’(x)



En el caso de las funciones de dos más variables, se utiliza una ecuación semejante a la anteriora fin de definir la diferenciabilidad de una función, y de la definición se establecen criterios con elpropósito de determinar la diferenciabilidad de una función en un punto. A continuación sepresentan los detalles para una función de dos variables y se inicia con la definición deincremento de una función de este tipo.

69

4.1. DEFINICIÓN DE INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si f es una función de las variables x e y, entonces el incremento de f en el punto

denotado por 4 , está dado por:

0 0 0 0 0 0, , ,f x y f x x y y f x y4 4 4

La figura 1 ilustra esta definición para una continua en un disco abierto que contiene

los puntos y 0 0,x x y y 4 4 . También la figura muestra una porción

de la superficie z= 4 . Se observa que f QR4 , donde Q es el

punto 0 0 0 0, , ,x x y y f x y 4 4 y R es el punto que tiene coordenadas

0 0 0 0, , ,x x y y f x x y y 4 4 4 4 .

4.2. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE DE DOS VARIABLESSi f es una función de las variables x y y, y el incremento de f en (x 0,y0 ) puedeescribirse como.

0 0 1 0 0 2 0 0, ( , ) ( , )f x y D f x y x D f x y y4 4 4 Donde

1 y

2 son funciones de x4 y y4 , tales que

conforme , entonces f es diferenciable en .

Ejemplo ilustrativo 2Se utilizará la definición 4.2 para demostrar que la función del ejemplo ilustrativo 1es diferenciable en todos los puntos de R 2, Se debe probar que para todo punto

de R2 se puede determinar 1 y 2 , tales que:

0 0 1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , ) ( , )f x y D f x y x D x y y x y4 4 4 4 4

0f x , y0 0

x , y0

0x , y

0

0x , y

0 f x, y

yx 44 21

1 20 y ) ) 0

( x, y) (0,0)4 4 ) 0(x , y )0

0(x , y )0



Y1 2

0 y 0) ) conforme

Como2( , ) 3 ,f x y x xy entonces

1D f 2 0 0D x y

Con estos valores y el valor de

0 0 1 0 0 2 0 0 0 0

El miembro derecho de la ecuación anterior puede expresarse en las siguientesformas:

a)2

0 02 ( ) ( )y y y x x y y1 9 4 4 4 4 43 :b) 0 0( 2 ) ( )y y x x y x y y 4 4 4 4 4 4

0 0( 2 )x y x x y y4 4 4 4

d) ' (0 00 2x y x x y x y y4 4 4 4 4 4g

( x, y) (0,0)4 4 )

0(x , y )0f

0(x , y )03 - y

0

2

c) ' (2)( y4

70

Observe que sólo es necesario de determinar un par de valores de1 2

y El teorema siguiente afirma que para determinar una función de dos variables, ladiferenciabilidad implica la continuidad, de igual manera que para una función deuna variable.

4.3 TEOREMA

Si una función f de dos variables es diferenciable en un punto, entonces es

continua en ese punto.

Demostración.- Si f es diferenciable en el punto , entonces, de la

definición 4.2. se tiene:

0 0 0 0( , ) ( . )f x x y y f x y 4 4

1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , )D f x y x D f x y y x y 4 4 4 4

0(x , y )0

Por lo que existen al menos cuatro posibles de valores de2

1 0 2 02 ( ) yy y y x y 4 4 4

1 0 2 02 yy y x y x y 4 4 4 4

2

1 2 0 0( ) y 2y y x x y 4 4 40 y 2y x x y x y 4 4 4 4 1 2 0 0

Para cada par:

lim 0 y lim 0 1 2( . ) (0,0) ( . ) (0,0)x y x y4 4 ) 4 4 )



Donde:1 2

0 y 0) ) conforme . Por tanto,

0 0( )f x xy y 4 4

0 0 1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , ) ( , )f x y D f x y x D f x y y x y 4 4 4 4

Al tomar el límite de la ecuación en terror conforme se obtiene.

0 0lim ( , ) ...................(1)f x x y y f 0 0( , )x y 4 4

Si se considera0 0

yx x x y y y4 4 , entonces “ ”

equivalente a que . Así, de (1)

lim ( , )f x y f

Lo cual demuestra que f es continua en

( x, y) (0,0)4 4 )

( x, y) (0,0)4 4 )

( x, y) (0,0)4 4 )

( x, y) (0,0)4 4 )

“ (x, y) ) (x , y ) ”0 0

(x, y) ) (x , y )0 0

0 0( , )x y

0 0( , )x y

Se dijo que para una función f de una variable, la existencia de la derivada de fen un número implica la diferenciabilidad y, por tanto, continuidad en ese número.Sin embargo, como lo muestran los ejemplos siguientes, para una función de dosvariables la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica ladiferenciabilidad n ese punto.

71

Ejemplo 1

Dada:

Demuestre que1 2

(0,0) y (0,0)D f D f existen y que, sin embargo, f no es

diferenciable en (0,0).

Solución:

1 20 0

( ,0) (0,0) (0, ) (0,0)(0,0) lim (0,0) lim

0 0x x

f x f f y fD f D f

x y) )

0 0

0 0 0 0lim limx xx y) )

0 0lim0 lim0

x x) )

0 0

Por tanto 1 2(0,0) y (0,0)D f D f existen.

2 2si (x,y) (0,0)

xy

x y%

0 si (x,y) = (0,0)

( , )f x y

En el ejemplo 6 del fascículo 2 se demostró que para esta función

lim no existe; en consecuencia, f no es continua en (0,0) ,

entonces, por el teorema 4.3 f no es diferenciable en (0,0) .En la figura 2 se muestra una porción de la gráfica de esa función. Las derivadasparciales en el origen existen aunque la función no es continua en el origen, esto sedebe a que , dependen sólo del comportamiento de

a lo largo de los ejes x y y, mientras que la continuidad de f en (0,0)

depende de comportamiento de f en un disco abierto que tenga su centro en el

origen.

Aunque la existencia de las derivadas parciales de una función de dos variables enun punto no garantiza la diferenciabilidad en ese punto, existen condicionesadicionales que se le piden a la función que proporcionan tal garantía. Estascondiciones se enuncian en el teorema siguiente, cuya demostración se presenta enel suplemento de esta sección.

(x, y) ) (0, 0)

1 2(0,0) y (0,0)D f D f

( , )f x y

( , )f x y



72

4.4. TEOREMA

Sea f una función de x y y tal que1 2

yD f D f existen en un disco abierto

0B(P ,r) donde

0P es el punto ),( 00 yx . Si

1 2yD f D f son continuas en

0P

entonces f es diferenciable en 0P .

Este teorema es mucho más fácil de aplicar que la definición 4.2 para demostrar ladiferenciabilidad de una función de dos variables. Por ejemplo, debido a que lasderivadas parciales de cualquier función polinomial son también funcionespolinomiales y como estas funciones son contínuas en cualquier punto de sudominio, el teorema 4.4. establece que las funciones polinomiales son diferenciablesen cualquier punto de su dominio.

Ejemplo 2: Utilice el teorema 4.4 para demostrar que la función definida por:( , ) lnyf x y xe y x

Es diferenciable en su dominio.Solución: El dominio de f es el conjunto de todos los puntos de

2IR para los

cuales 0x . Al calcular las derivadas parciales se obtiene.

1 ( , ) y yD f x y e x 1 ( , ) lnyD f x y xe x

Como 1 2yD f D f son continuas en todos los puntos de2

IR para los cuales

0x $ , entonces, 4.4 f es diferenciable en todos los puntos de su dominio.En el ejemplo 5 al final de este fascículo, se muestra cómo el teorema 4.4. puedeaplicarse para probar que una función particular definida a trozos es diferenciable.Si una función satisface las hipótesis del teorema 4.4 en un punto entonces sedefine que es continuamente diferenciable en el punto. Aunque la difenciabilidadcontinua en un punto es una condición suficiente para demostrar que una funciónsea diferenciable en un punto, no es una condición necesaria. Esto es, es posibleque una función sea diferenciable en un punto aunque sus derivadas parciales nosean continuas en ese punto. En los ejemplos 42 a 24 se presentan ejemplos deeste tipo de funciones.

La ecuación de la definición 4.4 es

0 0 1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , ) ( , ) ..(2)f x y D f x y x D f x y y y y4 4 4 4 4La expresión formada por los dos primeros términos del miembro derecho de esta

ecuación se denomina parte principal de f4 o diferencial total deenf

0(x , y )0

0(x , y )0

4.5. DEFINICIÓN DE LA DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN DE DOSVARIABLES

Si f es una función de las variables x y y, si f es diferenciable en (x,y), entoncesla diferencial total de f es la función de d f que tienen valores de función

determinados por:

1 2( , , , ) ( , ) ( , )df x y x y D f x y x D f x y y4 4 4 4Obsérvese que df es una función de las cuatro variables , si

(x)z f , en ocasiones se emplea dz en lugar de df( ), y se escribe

1 2( , ) ( , ) .........(3)dz D f x y x D f x y y 4 4

x, y4 4x, y,

x, y4 4x, y,



Si en (3), x , entonces1

z x, D f (x,y)= 1 y ; de

modo que (3) proporciona dz x4 . Puesto que z = x , para esta función

dx x4 . De manera semejante, s i se considera y , entonces

; por lo que de (3) se obtiene dz y4como , entonces para esta función dy y4 . En consecuencia se define lasdiferenciales de las variables independientes como dx x4 y dx y4 , Entonces

(3) se puede expresar como:

................(4)

Y en le punto

0

En (2) sea z f dx x4 4 4 y dy y4 . Entonces

1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , )z D f x y dx D f x y dy dx dy4 Al comparar esta ecuación y (5), se observa que cuando dx (es decir x4 ) y

dy (esto es y4 ) están cercanos a cero, y como 1 y 2 también estarían cerca de

cero, entonces dz es una aproximación para z4

La ecuación (4) con la notaciónz

x

55

yz

y

55

y se transforma en:

.....(6)z z

z dx dyx y

5 55

5 5Ejemplo 3Un envase metálico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto 6 pulg. de alturainterior, de 2 pulg de radio interior y de 0.1 pulg de grosor. Si el costo del metal es de40 centavos por pulgada cúbica, aproxime mediante diferenciales el costo total delmetal empleado en la elaboración del envase.

( , )f x y2

z x, D f (x,y)= 0

( , )f x y

1z x, D f (x,y)= 0 y

2z x, D f (x,y)= 1

z = x

1dz = D f (x,y)dy

0(x , y )0

1dz = D f (x ,y )dx + D f (x ,y )dy

0 2 0 0

0(x , y )0



Solución:La figura 3 muestra el envase. Si V pulgadas cúbicas es el volumen de un cilindrocircular recto que tiene un radio de r pulgadas y una altura de h pulgadas, entonces.

2V r h

74

22 rhdr r dh Con r = 2, h = 6, dr = 0.1, y dh = 0.2

22 (2)(69(0.1) (2) (0.2)dV

3.2De este modo, 3.2V 4 , por lo que el metal empleado en el envase es

aproximadamente3

3.2 pulg . Puesto que el costo del metal es de 40 centavos

por pulgada cúbica, entonces el número aproximado de centavos del costoaproximado es 128 402 .Conclusión: El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02.Ahora se extenderán los conceptos de diferenciabilidad y de diferencial total parafunciones de n variables.

4.6. DEFINICIÓN DE INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN DE N VARIABLES

Si f es una función de las variables , y P es el punto

, entonces el incremento de f en P está determinado por:

1 1 2 2( ) ( , ,......., ) ( )n nf P f x x x x x x f P4 4 4 4

4.7. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE DE n VARIABLES

Si f es una función de n variables y el incremento de f en el

punto P puede escribirse como:

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) .... ( )

.......

n n

n n

f P D f P x D f P x D f P x

x x

4 4 4 4

4 4 4Donde:

, conforme

1x , x , x ,........ x2 3 n

1( x , x ,........ x )2 n

1x , x , x ,........ x2 3 n

1 20, ) ) 0 ....... 2 ) 0

El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre losvolúmenes de dos cilindros circulares rectos para los cuales r = 2.1, h=6.2 y r = 2 y h= 6, respectivamente. El incremento V proporciona e volumen exacto del metal,

pero como únicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV . De (6)

V vdV dr

r h

5 5

5 5h5



Entonces se dice que f es diferenciable en P .De igual manera que con el teorema 4.4 se puede demostrar que las condiciones

suficientes para que una función de n variables sea diferenciable en un punto P son

que las derivadas parciales existan en una bola abierta

B ( P, r ) y que sean continuas en P . Como en el caso de las funciones de dos

variables, para las funciones de n variables la diferenciabil idad implica lacont inu idad. S in embargo, la ex is tenc ia de las der ivadas parc ia les

en un punto no implica la diferenciabilidad de la función en

ese punto.

( x , x , x ,..... , x ) (0,0,0, ......,0)4 )1 4 2 34 4 n

1D f. D f........D f

2 n

1D f. D f........D f

2 n

75

4.8. DEFINICIÓN DE LA DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN DE nVARIABLES

Si f es una función de las n variables y f es diferenciable en P,

entonces la diferencial total de f es la función df que tiene valores de funcióndeterminados por

1 1 2 2( ) ( ) ...... ( )n nD f P x D f P x D f P x 4 4 4Si se considera se definen 1 2 2. ...... ndx x dx x dx 4 4 y

además se usa la notacióni

xx55 en lugar de se puede expresar la

ecuación de la definición 4.8 como

1 2

1 2

........ ..........(7)n

n

w w wdw dx dx dx

x x x

5 5 5 5 5 5

Ejemplo 4Las dimensiones de una caja son 10 cm. 12 cm. y 15 cm. Con un posible error de0.02 en cada medición (a) Aproxime mediante diferenciales el máximo error si elvolumen de la caja se calcula a partir de estas medidas. (b) Aproxime también elerror relativo.

1x , x ,........ x2 n

df (P, x , x , x ,..... , x )4 1 4 2 34 4 n

w f( ) 1x , x ,........ x2 n

D f(P)1



Solución:La figura 4 muestra la caja.(a) Si V centímetros cúbicos es el volumen de la caja cuyas dimensiones son x,y y zcentímetros, entonces su volumen es:

V xyzEl valor exacto del error se de V4 , sin embargo, se empleará V4 como unaaproximación de V . De (7), para tres variables independientes

V V VdV dx dy dz

x y z

5 5 5 5 5 5

yzdx xzdy xydz

De la información dada 0.02, 0.02 y z 0.02x y4 4 4 Para determinar el máximo error del volumen se considera los errores máximos delas tres mediciones. Por lo que tomando

0.02, 0.02, 0.02, 10, 12 y 15dx dy dz x y z , se obtiene:

(12)(15)(0.02) (10)(15)(0.02) 9dV Así, 9V

76

2

2 2si (x,y) (0,0)

x y

x y%

Conclusión:El mayor error posible al calcular el volumen de la caja a partir de las medidas dadases aproximadamente 9 cm3.(b) El error relativo se obtiene al dividir el error entre el valor real. Por tanto, el errorrelat ivo al calcular el volumen de la caja a part ir de las mediciones

dadas V dVV V4 , como 9

1800V

V4 , entonces

0,005VV4

Conclusión:El error aproximado en porcentaje es de 0.5%

EJEMPLO 5Dada

Utilice el teorema 4.4 para demostrar que es diferenciable enf(0,0) .

f(x,y)

2

0 si (x,y) = (0,0)



Solución:

Para calcular 1D f , se considerarán dos casos:

Si , entonces:

1 0

f f(x,0) - (0,0)(0,0)

0xD f

x)

0

0 - 0=limx x)

= 0

( , ) = (0,0) yx y ( , ) = (0,0)x y( , ) = (0,0)x y

lim

Si (x,y) (0,0)% , entonces . A fin de calcular se utiliza el

teorema para la derivada ordinaria de un cociente y se considera y como constante.2 2 2 2 2

2 2 2

2 ( ) 2 ( )

( )

xy x y x x y

x y

4

2 2 2

2

( )

xy

x y

2

2 2( )

x y

x y

( , )f x y

2

( , )x yD f1

Por lo tanto, la función está definida por

4

2 2

2

( )

xy

x y

D f1

( , )x yD f1

si (x,y) (0,0)%

0 si (x,y) = (0,0)

De la misma forma se obtiene la función , definida por

4

2 2 3

2

( )

xy

x y

D f2

( , )x yD f2

si (x,y) (0,0)%

0 si (x,y) = (0,0)

77

Por tanto como existen en todo disco abierto que tenga su centro en elorigen. Queda por demostrar que y son continuas en (0,0) . Como

, entonces será continua en (0,0) si:

lim

Por tanto, debe probarse que para cualquier 0$ existe una 0 $ tal que

2 20si x y entonces

4

22 2

2xy

x y

(8)

D f1

D f2

D f1

D f2

1(0,0) = 0D f D f

1

1(0,0) = 0D f

(x, y) ) (0, 0)



4

22 2

2xy y

x y

4

22 2

2 xy

x y2 22 x y

De modo que una elección adecuada para δ es 2δ =, esto es1

δ=2 con esta

δ se tiene el argumento siguiente:

2 2 10 δ y δ =

2x y 2 2 1

2 x 22

y

78

Por lo tanto, se ha demostrado que se cumple (8). N consecuencia. escontinua en (0,0). En la misma forma se puede probarse de que es continua

D f1

D f2

2 2 2 2 2

22 2

2 x ( )y x y

x y

2

22 2

2 x y

x y

222

4

)(

2

yx

xy

en (0 ,0 ). Por lo que se concluye, por el teorema 4.4. que es diferenciable enf(0,0).Las figuras 5, 6 y 7 muestran gráficas generadas en computadora de f

, las cuales apoyan los resultados de este ejemplo.

PROBLEMAS RESUELTOSEn los ejercicios 1 - 3. Hallar las diferenciales de las funciones que se dan acontinuación, respecto a cada una de las variables independientes.

1. 4223 23 yyxxyz SOLUCION

dxxyyzdyyxxyz x234223 623

dyyyxxyzd y322 863

D f1

D f2

y

2. 22 yxz

SOLUCION

22

22

yx

dxxzdyxz x



SOLUCION

222

22

22

2.

yx

dxxxyyyxzd

yx

xyz x

dx

yx

yxydx

yx

yxyyx222

23

222

232 2

dyxdy2.

222

23

222

22

yx

xy

yx

yxyxyxzd y

En los ejercicios del 4 al 8 hallar la diferencial total de las funciones que sedan a continuación

22 yxz

22 yx

dyyzd y

3.xy



4. 243342 yxyxyxz

SOLUCION

dyδ

δz

δx

δz dxdz es la diferencial total

dyyxyxyyxyxydz 243342243342 xδy

δdxx

δx

δ

dz= dy234xy432x 32223324 xyxxydxyxyxy

5. z = 22

2

1yxLn

SOLUCION

dyδ

δz

δx

δz dxdz es la diferencial total

dyyxLndxyxLndz

2222

2

1

δy

δz

2

1

δx

δz

ydyxdxyx

dyy

dxyx

x

222222

1

x

y

80

6.y-x

yx z

SOLUCION

22

δx

δz

yx

y

22

δx

δz

yx

x

dz

dydx22

y-x

2x

y-x

2ydy

δx

δzdx

δx

δz

xdyydx

yxdz

2

2

7. yxsenz .

y-x

yx

z



SOLUCION

dyδy

δzdx

δx

δzdz es la diferencia total.

xdyydxcosxydyxcosxydxcosxyydz

8.

xy

yxtgarcz

1.

SOLUCION

2222

2

1

21

δx

δz

yxyx

yxy

xy

yxtgarcz

1. 2222

2

1

1

δx

δz

yxyx

x

' (dyxdxyxyyxyx

dyy

zdx

x

zdz )1()21(

1

1 22

2222

55

55

9.22

22

yx

yxz

222

24

δx

δz

yx

xy

22

34

δx

δz

yx

y

22

22

yx

yxz

2

81

APLICACIONES A LOS CALCULOS

10. Hallar el valor de la diferencial total de la función

22z yxyx para x=3, y = 4

0,2y,1,0 44x

SOLUCION

dyyx

ydx

yx

x

222211dz la diferencial total

Reemplazando los valores x = 3, y = 4, 0,2y,1,0 44x



2,0169

411,0

169

31dz

2.05

411.0

5

31dz

50

4

50

2

50

22,0

5

11,0

5

2

08.0252dz

11. Hallar el valor de la diferencial total de la funciónxy

ez para x= 1, y=1,0.1y,15.0 44x

SOLUCIONdyxedx xy

dz xyye reemplazando

eee 25.01.015.0dz

12. Hallar el valor de la diferencial total de la función

22 yx

yxz

para x = 2 , y =1 , 0,03y,01,0 44x

SOLUCION

dyδx

δzdx

δx

δzdz es la diferencia total

dx

yx

xyxdx

yx

yyx222

23

222

32

dz

03.09

1001.0

9

5dz

36

1dz

13. Calcular aproximadamente la variación de la función

xy

yx

3

3z

al variar x desde x1= 2 hasta x2= 2,5 e y desde y1 =4 hasta y2= 3.5

SOLUCION ff δδ yxyx 1111f 4444

,,f yxyxyyx ; ,,x 1111

δyδx

82

5,012 4 xxx , 5,012 4 yyy

5,0δy

4,2δ5,0

δx

4,24,20,50,5,42f

fff

5;

5,7;14. Calcular aproximadamente Ln 198.003.1 43

SOLUCIONSea 1y,1,1yx,f 43 xyxLn

-0.02y,03,0 44x

y

fx

ff 44;

δy

1,1δ

δx

1,1δ1,10,02-0,03,11f

005,0;

15. Calcular aproximadamente (1.04)2.02

SOLUCION

Sea yxyx,f donde x=1 , y= 2, -0.02y,04,0 44x

; 2,102,02,04,01 ff

yf

xf

44δy

2,1δ

δx

2,1δ

08,1;

16. Hallar la longitud del segmento de la recta x = 2, y = 3 comprendido entre lasuperficie z = X 2+Y 2 y su plano tangente en el punto (1,1,2).

SOLUCIONHallando la recta L= Rtt /1,0,00,3,2

(intersección de dos planos paralelos al eje z)

Sea la función f(x,y,z)= zyx 22

1,2,22,1,11,2,2,, << fyxzyxf

P: 2-z,1-y,12,1,1 < xf = 0

02-z,1-y,11,2,2 x

P: 222 zyx

calculando L^ P PLp ^

tpPPLp ,3,2^ como 8264 ttPp

luego 8,3,2PAhora calculando las intersección de:

13032^ 22 ttFLLuego A (2,3,13)



5,58133322, 21222

21 ppdppd

17. El cuerpo ha sido pesado en el aire fg.1.01.4 % y en el agua fg.2.08.1 %hallar el peso especifico del cuerpo e indicar el error del cálculo.

SOLUCION

Sabemos queVol.

PesoEP

Llamamos el peso en el aire 1P

Llamamos el peso n el agua 2P

83

El peso del cuerpo es 1P y el volumen es 2P - 1P (ya que la diferencia de pesos es

2.3 gf y esto se explica por el empuje del agua = Vol.x peso del líquido desplazadoentonces V= 2P - 1P , porque el EP del agua es f 1gf/cm3 entonces:

31 3.2V,1.4P cmgf

12

121 P,

PP

PPPf E

8.17826.13.2

1.41.8,1.4 ;f

calculando el error:

1.8,1.4df 22

11 δp

δ

δp

δdp

fdp

f

donde dp1= 0.1, dp2= 0.2

1.8,1.4 df 22

11 δp

δ

δp

δdp

fdp

f

12.08.112.078.1 ;

18. El radio de la base del cono mide cm1.02.10 , la generatriz mide cm1.06.44 hallar el volumen del cono e indicar el error del cálculo.

SOLUCION

cmr 1.02.10 1.0drcmg 1.06.44 1.0dg

r

gh



hrVc2

3

1

Por Pitágoras se tiene 22 rgh entonces:

Vcono222

3

1rgr luego se tiene: 222

3

1, rgrgrV volumen

drdggrdVδr

δV

δr

δV, (error)

2222.106.442,10

36.44,2.10

V

340.730,4 cm

==

:

9

22

3

1

dg

rg

grdr

rg

rrggrdV

22

2

22

32 32

3,

' (687.10128.863

6.44,2.10

dV

384.10131007304 cm; ,

84

19. Para calcular el área S del triangulo por su lado a y los ángulos B,C se usa lafórmula:

CBsen

CsensenB

2

2

aS hallar el error relativo s para calcular S si los

errores relativos al calcular los elementos mencionados son a , B , Crespectivamente.

SOLUCION

Como S =2

a2

CBsen

senCsenB

.

s =a

s

a +B

s

B +C

s

C

CBsensenC.

.

CBsensenB.2

senBsenC

5

555

CB CBas

20. Un lado del triangulo mide 2.4m y aumenta con la velocidad de 10 cm/seg elsegundo lado mide 1.5m y disminuye con la velocidad de 5cm/seg el ángulo formadopor estos dos lados mide 60 º y aumenta con la velocidad de 2º al segundo ¿Cómovaría el área del triangulo y con que velocidad?.

SOLUCION10cm/segdx -5cm/segdy

º2d 6si A= área del triangulo

Luego el área crece con la velocidad igual a: 444cm2/seg.

60º

B

C

zy

En este fascículo se considera la diferenciabilidad de funciones de más de una variable pormedio de una ecuación que involucra el incremento de una función, para ello primero se obtuvouan representación del incremento de una función de una variable para luego trabajar con dosvariables.

Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica del Perú,Tercera Edición. Lima, Perú 1995

Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ Lima Perú 2002


RESUMEN







86

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.



88

34.

36.

35.

37.

38.

39.

40.



41.

42.

43.

44.

45.

46.



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analisis matematico iii.pdf

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