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ANÁLISIS MATEMÁTICO(40008)

RESUMEN DE TEORÍAY

ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS

GRADO DE MATEMÁTICAS (394)

Luis A. Tristán VegaDPTO. DE ÁLGEBRA, ANÁLISIS MATEMÁTICO, GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

VERSIÓN REVISADA Y CORREGIDA

VALLADOLID, JUNIO DE 2012LATV

Contenido

Prólogo III

1. Espacios euclídeos 11.1. Topología de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Límites iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Comentarios sobre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Cálculo diferencial 232.1. Derivabilidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Aplicaciones diferenciables 413.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas . . . . . 433.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 44

3.3. Funciones implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Sucesiones y series funcionales 534.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Aproximación de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Weierstrass . . . . . . 60Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Fundamentos de la integral 695.1. Intervalos en Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1. Conjuntos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1. La locución “casi siempre” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Funciones escalonadas y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Integral de Lebesgue 796.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2. Sucesiones de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Levi . . . . . . . . . . . 826.3. Integración en intervalos de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

I

7. Medibilidad. Integración iterada 917.1. Funciones medibles y conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2. Integración en conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.2. Conceptos físicos definidos por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3. Integración iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3.1. Ejemplos notables de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8. Integración por cambio de variables 1098.1. Nociones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1.1. Cambios de variable en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.2. Representación y descomposición de isomorfismos lineales . . . . . . . . . 110

8.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.1. Notas sobre la demostración del teorema del cambio de variables . . . . . . 111

8.3. Cambios de variables usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9. Integrales paramétricas 1239.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3. Convolución de funciones. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.3.1. Producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularización de funciones . . . . . . . . 130

9.4. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.1. Transformación de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.2. Transformación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Bibliografía 141

Índice de notación 143

Índice alfabético 145

Prólogo

Este manual no tiene otra pretensión que la de proporcionar un guión, ajustado al temariode la asignatura, que ayude tanto al desarrollo cotidiano de las lecciones magistrales, comoal estudio particular del alumno.

Con esto en mente, la estructura es sencilla: en cada uno de los temas en que se dividela materia se relatan los conceptos, propiedades y teoremas correspondientes, de forma con-cisa, pero sin renunciar a la presentación de ejemplos, observaciones aclaratorias, e inclusoreferencias a temas avanzados, continuación natural de los que conforman el currículo dela asignatura. Finalmente se proporciona una nutrida colección de enunciados de ejercicios,de dificultad variada, desde simples aplicaciones de fórmulas hasta problemas que requierenun planteamiento más concienzudo o una aportación intelectual que implique una visióngeneral de la materia expuesta en la parte teórica.

Los ejercicios se han elegido de manera que, salvo los prerrequisitos obvios del Cálculo enuna variable y el Álgebra Lineal, no precisen de otra materia que la contemplada en la asig-natura, e intentando que abarquen todas las facetas que ésta presenta. No obstante, al igualque en la parte teórica, son inevitables algunas referencias a disciplinas afines (Topología,Ecuaciones Diferenciales, etc.). Algunos ejercicios o problemas serán tratados en las clasesprácticas, que girarán en torno a ellos.

En general, para el uso de estas notas de la manera más provechosa, recomendamos queel alumno se anticipe a la presentación de la teoría en las lecciones magistrales, dedicandounos pocos minutos a la lectura somera de la materia que corresponda de forma inminente;esto servirá, al menos, para adquirir un primer contacto con la terminología y notación, yen muchos casos, en los que se generalizan nociones ya presentadas en un primer curso deCálculo Infinitesimal, preparará al lector para una mejor comprensión de las explicacionesdel profesor.

Es necesario en este punto hacer énfasis en que el documento que presentamos distamucho de ser un libro de texto, y que la correcta asimilación de los conceptos teóricos yla adquisición de la destreza en los métodos de Cálculo requiere del trabajo personal delalumno: primero, mediante la documentación entre la bibliografía citada, afianzando o pu-liendo aquellos aspectos teóricos que pudieran no haber quedado claros, y después, perono menos importante, mediante la resolución de ejercicios y problemas. Los momentáneosintentos infructuosos no son necesariamente indicios de fracaso global, al contrario, sir-ven para enfocar de una forma más eficiente futuros problemas similares. Un ejemplo muysignificativo: nadie puede aprender a montar en bicicleta viendo en televisión las grandescompeticiones, solamente cuando se ha experimentado lo suficiente (seguramente sufrien-do varias caídas) se puede alcanzar la destreza; lo mismo que en el desarrollo de cualquieractividad física o intelectual.

En relación con lo expuesto arriba, se incluye una abundante lista de referencias biblio-gráficas, incluyendo tanto de libros de texto como manuales prácticos. Además, aunque nosea imprescindible, se citan algunas obras de carácter divulgativo o histórico, así como lasdirecciones URL de algunas páginas Web interesantes. Destacaremos luego una pequeña co-lección de textos que pensamos son los más adecuados al currículo de la asignatura. Entreestas obras, algunas que se pueden considerar ya clásicas y otras de factura más moderna,se encuentra información más que suficiente para abordar con éxito el estudio de esta asig-natura, y únicamente el autor de estas notas aporta sus gustos o preferencias personales encuanto a la organización secuencial del temario y el nivel de profundización.

A tenor de lo dicho cabe preguntarse ¿qué sentido tiene elaborar este material didácticosi ya está todo escrito? En primer lugar, no hay un texto que se ajuste exactamente al con-tenido de la asignatura, de manera que tener un guión establecido ayudará al alumno en

III

IV Prólogo

la programación de su estudio y en la tarea de documentación. También, el tener a manolos enunciados fundamentales, permitirá al alumno acudir a las lecciones con una actitudalejada de la del mero amanuense que transcribe la verborrea del profesor, y a éste a lo que, ami modo de entender, debe ser su primordial función: transmitir el entusiasmo por lo que seenseña, fomentar la capacidad de que el alumno adquiera herramientas y hábitos de trabajoy aprendizaje individual, y sembrar el espíritu crítico que debe acompañar a toda actividadintelectual; a esta convicción he llegado con los años, independientemente de las sucesivasreformas de la enseñanza universitaria, o la vana grandilocuencia con que en nuestro paísse han interpretado los acuerdos de Bolonia.

Además, he de confesar, la obligación que me impongo de elaborar por adelantado estematerial me sirve de ayuda en mi labor docente en la primera andadura de la asignatura,entre otras cosas, para decidir de una manera más eficiente (y por tanto beneficiosa parasus destinatarios, supongo) qué incluir, cómo y en qué orden, optimizando el tiempo que sededicará a cada tema y sin tener que sacrificar nada importante.

Volviendo a las referencias bibliográficas, de forma más explícita:

⊲ El texto de Apostol [1] es una excelente referencia general para la asignatura, a excepciónde una pequeña parte: lo que atañe a la construcción de la integral de Lebesgue, quepresenta mediante el método de las funciones superiores, un ligera variante del métodoque se expone en estas notas.

⊲ El libro de Marsden y Hoffman [25] es otra buena referencia para la primera mitad de laasignatura y responde casi fielmente a la exposición que hacemos del tema 3 (funcionesinversas e implícitas).

⊲ La colección de Fernández Viña, [11], [12] y [13], es otra excelente referencia general. Enparticular, en [13] se desarrolla la construcción de la integral de Lebesgue mediante elmétodo de sucesiones fundamentales, que será el que seguiremos.

⊲ Los textos de Bombal, Rodríguez y Vera [4] cubren casi por completo todos los aspectosprácticos de la asignatura.

⊲ También los suplementos de “Ejercicios y complementos” de Fernández Viña y SánchezMañes, [14], [15] y [16], que acompañan los textos teóricos de Fernández Viña, son unabuena referencia general en lo tocante a la práctica.

⊲ El texto de Galindo, Sanz y Tristán [19], aunque concebido de forma generalista hacia lasenseñanzas técnicas, por lo que adolece de escasez de problemas de índole más teóri-ca, contiene una abundante colección de ejercicios de cálculo. Las sucesiones y seriesfuncionales están contempladas en el tomo dedicado a funciones de una variable [18].

La edición de este documento pretende ser lo más cuidada posible, utilizando el compila-dor de LATEX 2e, con formato “libro” (documentclass[book]), y preparado para imprimir a doblecara (de ahí la posible aparición de páginas en blanco). En particular, para facilitar su usose incluyen: la tabla de contenidos, las referencias bibliográficas, el índice de notación y elíndice alfabético. En éste último se recogen también los nombres de los personajes que hancontribuido de alguna forma al desarrollo del Análisis Matemático, y que se citan en el texto,bien sea indirectamente, o por haber prestado su nombre a algún teorema.

No puedo dejar de mencionar (es de bien nacidos ser agradecidos) que el contenido de estasnotas y su posible valía no son sólo fruto de mi trabajo personal; las enseñanzas primero,y los consejos y colaboración luego, por parte de mis maestros y compañeros del Área deAnálisis Matemático de la Universidad de Valladolid son mucho más trascendentes que elsimple trabajo de teclear. Si algún defecto se encuentra se deberá sin duda a mis limitacioneso despistes.

Finalmente quiero señalar que, aunque este material está dirigido a mis alumnos, cual-quier persona que desee usarlo para fines no comerciales tiene mi expreso permiso de re-producción. En este sentido son bienvenidas toda critica o sugerencia, tanto en el aspectoliterario como en el matemático, que ayuden a mejorar este modesto fruto de mi esfuerzo(contactar en e-mail: [email protected]).

Valladolid, Junio de 2012 Luis A. Tristán Vega

Tema 1

Espacios euclídeos

Hablando en rigor, un espacio euclídeo, generalizando los conceptos de la Geometría clá-sica contemplada en los Elementos de Euclides, es un espacio vectorial real de dimensiónfinita dotado de un producto interno, en el que se tienen, por tanto, aparte de las nocioneslineales generales, las relativas a ángulos (ortogonalidad, paralelismo). Ahora bien, eligiendouna base ortonormal de uno de tales espacios (el método de Gram-Schmidt permite cons-truirla partiendo de una base cualquiera) esa fácil establecer un isomorfismo entre él y Rn,siendo n la dimensión del espacio. Por esta razón nos limitamos al estudio de estos espacios.

El objetivo del presente capítulo es introducir aquellas propiedades topológicas de losespacios euclídeos que serán necesarias para abordar posteriormente el Cálculo Diferencialen varias variables.

El punto de partida en el desarrollo de esta materia es el concepto de norma, que generalizael de valor absoluto de los números reales y permite establecer un argumento para medir laproximidad de los puntos de un espacio vectorial. De hecho, la recta real es el caso mássimple de los espacios normados que nos ocupan.

El lector observará que los resultados que se exponen aquí son generalizaciones, o con-venientes adaptaciones, de los que se presentan, con el mismo objetivo, en el estudio de lacontinuidad de funciones de una variable real.

1.1. Topología de Rn

Definición 1.1. Para cada número natural n, sea Rn el conjunto de todas las n-uplas orde-nadas de números reales x = (x1, x2, . . . , xn). A xk se le denomina coordenada k-ésima de x.Se definen la suma de elementos de Rn y el producto de un escalar por un elemento de Rn

como sigue:Para x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su suma x+ y por

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Para x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn y α ∈ R, se define su producto αx por

αx = (αx1, α x2, . . . , α xn).

Proposición 1.2. El conjunto Rn con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuer-po de los números reales.

Observaciones 1.3.

I) Usamos, por comodidad, la notación de vectores fila. En Álgebra Lineal, atendiendo ala representación matricial de aplicaciones y ecuaciones lineales, es usual considerarvectores columna. Cuando se requiera denotaremos por xt al vector traspuesto de x:

xt = (x1, x2, . . . , xn)t=

x1...xn

.

II) Es habitual confundir la estructura vectorial así obtenida con la estructura geométricaque se obtiene al considerar un espacio afín con espacio vectorial asociado Rn y, abusan-do de la notación, referirse a “puntos” de Rn en lugar de vectores, y a x1, x2, . . . , xn comolas coordenadas (cartesianas, en honor a R. Descartes) del punto x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.Este será el criterio que seguiremos en adelante.

1

2 Tema 1. Espacios euclídeos

Definición 1.4. Si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su producto escalar ointerno, que se representa por x · y o 〈x,y〉 , como

x · y = x1 y1 + x2 y2 + . . .+ xn yn.

Para cada x = (x1, x2, . . . , xn) de Rn se define su norma euclídea ‖x‖ por

‖x‖ =√x · x =

( n∑

i=1

|xi|2)1/2

.

El espacio vectorial Rn dotado del producto interno arriba definido se conoce como elespacio euclídeo n-dimensional.

Proposición 1.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si x,y ∈ Rn, entonces

|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .Además, la igualdad se alcanza si, y sólo si, x e y son linealmente dependientes.

Proposición 1.6. La aplicación x ∈ Rn 7→ ‖x‖ ∈ R verifica las siguientes propiedades:

I) ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ Rn.

II) ‖x‖ = 0 si, y sólo si, x = 0.

III) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ para todos x ∈ Rn, α ∈ R.

IV) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn. (Desigualdad triangular)

Corolario 1.7. Si x,y ∈ Rn entonces

‖x− y‖ ≥∣∣ ‖x‖ − ‖y‖

∣∣ . (Segunda desigualdad triangular)

Corolario 1.8. La aplicación d:Rn × Rn → R, definida por d(x,y) = ‖x− y‖ , verifica lassiguientes propiedades:

I) d(x,y) ≥ 0 para todos x,y ∈ Rn.

II) d(x,y) = 0 si, y sólo si, x = y.

III) d(x,y) = d(y,x) para todos x,y ∈ Rn.

IV) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y, z) para todos x,y, z ∈ Rn.

Observación 1.9. Cualquier aplicación definida sobre un espacio vectorial V con valoresen R que verifique las propiedades I) a IV) de la proposición 1.6 se denomina norma sobre V .

Otras normas notables en Rn se definen para x = (x1, x2, . . . , xn) por

‖x‖1 =n∑

i=1

|xi| o ‖x‖∞ = sup|xi| : i = 1, 2, . . . , n

.

Cuando n = 1 las tres normas definidas coinciden con el valor absoluto.Asimismo, si X es un conjunto no vacío, cualquier aplicación d definida en el producto

cartesiano X × X con valores en R que verifique las propiedades I) a IV) del corolario 1.8 sedice que es una distancia o métrica sobre X, y se dice que el par (X, d) es un espacio métrico.

Definición 1.10. Sean x ∈ Rn y r > 0. Se definen la bola abierta de centro x y radio r como elconjunto

B(x, r) = y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ < r ;la bola cerrada de centro x y radio r como el conjunto

B(x, r) = y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ ≤ r ;la esfera de centro x y radio r como el conjunto

S(x, r) = B(x, r) \B(x, r) = y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ = r ,donde “\” denota la diferencia conjuntista.

LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología

1.1. Topología de Rn 3

Lema 1.11. Sean x,y ∈ Rn .

I) Si dado r > 0 se tiene que y ∈ B(x, r) , existe s > 0 tal que B(y, s) ⊂ B(x, r) .

II) Si y 6= x existen r, s > 0 tales que B(x, r) ∩B(y, s) = Ø .

III) Si la sucesión de números reales positivos rn∞n=1 converge hacia 0 (o lo hace alguna

subsucesión suya), entonces∞∩n=1

B(x, rn) = x .

Definición 1.12. Si A es un subconjunto no vacío de Rn se denomina diámetro de A ,denotado “δ(A)” o “diam(A)” a

δ(A) = supd(x,y) : x,y ∈ A

(nótese que el diámetro de A puede ser un número real no negativo o ∞ , dependiendo deque el conjunto d(x,y) : x,y ∈ A ⊂ R esté acotado o no).

Se dice que un subconjunto de Rn es acotado si es vacío o si tiene diámetro finito.

Proposición 1.13.

I) Si Ø 6= B ⊂ A ⊂ Rn entonces δ(B) ≤ δ(A) .

II) Toda bola en Rn es acotada, de hecho,

δ(B(x, r)

)= δ

(B(x, r)

)= 2 r .

III) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en alguna bola.

IV) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en una bola centrada en 0, olo que es lo mismo, si existe una constante M > 0 tal que

‖x‖ ≤M para todo x ∈ E.

Definición 1.14. Sean A , B subconjuntos no vacíos de Rn. Se define la distancia entre Ay B como el número real

d(A,B) = ınfd(x,y) : x ∈ A , y ∈ B

.

Si A = a es un conjunto unipuntual la distancia entre A y B se denota también d(a, B) yse denomina distancia de a a B .

Proposición 1.15. Sean A,B subconjuntos de Rn.

I) Si A y B son acotados entonces A ∪ B es acotado. Más aún, si además A y B son novacíos, entonces δ(A ∪B) ≤ δ(A) + δ(B) + d(A,B) .

II) Si A 6= Ø y x,y ∈ Rn entonces∣∣d(x, A)− d(y, A)

∣∣ ≤ d(x,y) .

Definición 1.16. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es interior a E,o que E es un entorno de x, si existe una bola abierta de centro x contenida en E.

El conjunto de todos los puntos interiores de E se denomina interior de E y se representa

por

E ó int(E) (es inmediato comprobar que

E⊂ E).

Se dice que el conjunto E es abierto si es entorno de todos sus puntos, es decir, si todos

sus puntos son interiores, lo que equivale a que E =

E.

Propiedades 1.17. Sean A,B y Aii∈I subconjuntos de Rn.

I) Si A ⊂ B entonces

A⊂

B .

II) int(int(A)) = int(A) .

III)

A es el mayor conjunto abierto contenido en A .

IV) ∪i∈I

Ai⊆(∪i∈I

Ai)

.

V)(∩i∈I

Ai) ⊆ ∩

i∈I

Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad.

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID


Ejemplos 1.18.

I) Toda bola abierta es un conjunto abierto.

II) Las bolas cerradas no son conjuntos abiertos.

III) Los intervalos abiertos de Rn, esto es, productos cartesianos de la forma

(a1, b1)× (a2, b2)× . . .× (an, bn) ,

son conjuntos abiertos.

Proposición 1.19. Se verifican las siguientes propiedades:

I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son abiertos.

II) Si Gii∈I es una familia de conjuntos abiertos, entonces la unión ∪i∈I

Gi es un conjunto

abierto.

III) Si G1, G2, . . . , Gk son conjuntos abiertos, entonces la intersección G1 ∩G2 ∩ . . . ∩Gk es unconjunto abierto.

Observaciones 1.20.

I) El lector que posea nociones de Topología puede reconocer en la proposición anteriorla afirmación siguiente: si denotamos por τ a la familia de todos los conjuntos abiertosde Rn, el par (Rn, τ) es un espacio topológico.

II) La intersección de una familia arbitraria de abiertos puede no ser un conjunto abierto,como queda patente con el siguiente ejemplo: si Gn = B(0, 1/n), n ∈ N, se tiene que∞∩n=1

Gn = 0.

Definición 1.21. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto

adherente a E si cada bola abierta centrada en x tiene intersección no vacía con E.

El conjunto de todos los puntos adherentes a E se denomina adherencia o clausura de Ey se representa por E , cl(E) ó adh(E) (es muy sencillo comprobar que E ⊂ E).

Se dice que un conjunto E de Rn es cerrado si todos sus puntos adherentes están en E,es decir, si E = E.

Ejemplos 1.22.

I) Toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Es más B(x, r) = B(x, r) .

II) Las bolas abiertas no son conjuntos cerrados.

III) Los intervalos cerrados de Rn, de la forma [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn], son conjuntoscerrados.

Proposición 1.23. Sea A un subconjunto de Rn. Se tiene que

Rn\

A= Rn \A y Rn \A = (Rn \A).

Corolario 1.24. Un subconjunto E de Rn es abierto (resp. cerrado) si, y sólo si, su comple-mentario Rn \ E es cerrado (resp. abierto).

Observaciones 1.25.

I) En la Topología General suele utilizarse la propiedad anterior para definir la familia decerrados, y luego caracterizar equivalentemente estos conjuntos en términos de la ad-herencia. En este contexto (en general, en los espacios métricos) el adjetivo adherente

cobra un significado más intuitivo gracias a la noción de distancia: x ∈ A si, y sólo si,d(x,A) = 0.

II) Pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados (basta pensar en el intervalo[0, 1) de R con la métrica usual). Aunque la terminología usada pretende ser lo másdescriptiva posible, no nos debemos dejar influir por el significado etimológico de laspalabras.


1.1. Topología de Rn 5

Propiedades 1.26. Sean A,B y Aii∈I subconjuntos de Rn.

I) Si A ⊂ B entonces A ⊂ B .

II) A = A .

III) A es el cerrado más pequeño que contiene a A.

IV) ∪i∈I

Ai ⊆ ∪i∈I

Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad.

V) ∩i∈I

Ai ⊆ ∩i∈I

Ai .

Proposición 1.27. Se verifican las siguientes propiedades:

I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son cerrados.

II) Si Fii∈I es una familia de conjuntos cerrados, entonces la intersección ∩i∈I

Fi es un

conjunto cerrado.

III) Si F1, F2, . . . , Fk son conjuntos cerrados, entonces la unión F1∪F2∪ . . .∪Fk es un conjuntocerrado.

Definición 1.28. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto de

acumulación de E si para cada bola abierta B(x, r) centrada en x, la intersección B(x, r) ∩ Econtiene al menos un punto de E distinto de x, es decir, si para cada r > 0 se tiene que

B(x, r) ∩ (A \ x) 6= Ø .

El conjunto de todos los puntos de acumulación se denomina conjunto derivado de E y serepresenta por E′.

Se dice que un punto x ∈ E es un punto aislado de E si no es un punto de acumulaciónde E. Se dice que un conjunto E es discreto si todos sus puntos son aislados en él.

Proposición 1.29. Sea E un subconjunto de Rn. Entonces:

I) E = E ∪ E′.

II) E es cerrado si, y sólo si, E′ ⊂ E.

III) Si x es un punto de acumulación de E, entonces cualquier bola abierta B(x, r) de centrox contiene infinitos puntos de E.

IV) Si x ∈ E es un punto aislado de E, entonces existe una bola abierta B(x, r) de centro xtal que B(x, r) ∩ E = x.

Definición 1.30. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es exterior aA si es un punto interior al complementario de A , es decir, si existe una bola abierta B(x, r)de centro x tal que

B(x, r) ∩A = Ø .

El conjunto de puntos exteriores a A se denomina exterior de A .

Se dice que x ∈ Rn es un punto frontera de A si es adherente a A y a Rn \A simultánea-mente. El conjunto de tales puntos se denomina frontera de A y se denota Fr(A) :

Fr(A) = A ∩ Rn \A .

Observaciones 1.31. Sea A un subconjunto de Rn.

I) Es obvio que Fr(A) es un conjunto cerrado, y que si A es cerrado, entonces Fr(A) ⊆ A.Igualmente evidente es que Fr(A) = Fr(Rn \A).

II) El espacio Rn se expresa, respecto al conjunto A, como unión de tres conjuntos disjuntos(alguno posiblemente vacío): la frontera de A, un cerrado; y dos abiertos, a saber, elinterior y el exterior de A.

Definición 1.32. Sean E y D ⊆ E subconjuntos de Rn. Se dice que D es denso en E siE ⊆ D .



1.2. Límites

Definición 1.33. Se dice que una sucesión xk∞k=1 de elementos de Rn es convergente siexiste un punto x ∈ Rn tal que para cada número real ε > 0 existe un número natural k0 (quedepende de ε) de manera que

‖xk − x‖ < ε para cada número natural k ≥ k0.

En este caso, diremos que xk∞k=1 converge hacia x o que x es el límite de la sucesión xk∞k=1,y escribiremos

lımk→∞

xk = x o xk −→k→∞

x.

El límite de una sucesión, si existe, es único.

Observación 1.34. Es sencillo comprobar a partir de la definición que una sucesión xk∞k=1

converge hacia x si, y sólo si, lımk→∞

‖xk − x‖ = 0.

Definición 1.35. El conjunto xk : k ∈ N se denomina rango o conjunto de términos de lasucesión xk∞k=1. El rango de una sucesión puede ser finito o infinito. Se dice que la sucesiónestá acotada si lo está su rango.

Proposición 1.36. Toda sucesión convergente está acotada.

Si x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn es inmediato comprobar que se verifica

|xi| ≤ ‖x‖ , i = 1, 2, . . . , n ,

desigualdad también válida para las otras dos normas que hemos destacado: ‖ ‖1 y ‖ ‖∞.A partir de las propiedades de sucesiones de números reales se obtienen fácilmente los si-guientes resultados.

Proposición 1.37. Sea xk∞k=1 una sucesión de elementos de Rn. Escribamos

xk = (x1,k, x2,k, . . . , xn,k), k ∈ N.

La sucesión xk∞k=1 converge hacia x = (x1, x2, . . . , xn) si, y sólo si, las sucesiones de númerosreales xj,k∞k=1 convergen hacia xj, para j = 1, 2, . . . , n.

Corolario 1.38. Toda sucesión acotada de Rn tiene una subsucesión convergente.

Corolario 1.39. Sean xk∞k=1, yk∞k=1 dos sucesiones de elementos de Rn y αk∞k=1 una su-cesión de números reales. Supongamos que xk∞k=1 converge hacia x ∈ Rn, yk∞k=1 convergehacia y ∈ Rn y αk∞k=1 converge hacia α ∈ R. Entonces:

I) lımk→∞

(xk + yk) = x+ y.

II) lımk→∞

αkxk = αx.

III) lımk→∞

(xk · yk) = x · y.

IV) lımk→∞

‖xk‖ = ‖x‖.

Proposición 1.40 (Caracterización secuencial de la topología). Sean E un conjunto de Rn

y x un punto de Rn.

I) x es interior a E si, y sólo si, toda sucesión xk∞k=1 de elementos de Rn que convergehacia x tiene todos sus términos en E, a partir de uno en adelante.

II) x es un punto adherente a E si, y sólo si, existe una sucesión xk∞k=1 de elementos de Eque converge hacia x.

III) x es un punto de acumulación de E si, y sólo si, existe una sucesión xk∞k=1 de elementosde E, distintos todos ellos de x, que converge hacia x.


1.2. Límites 7

Como sucede para sucesiones de números reales, el carácter convergente de una sucesiónen Rn puede ser determinado sin conocer previamente el valor de su límite.

Definición 1.41. Se dice que una sucesión xk∞k=1 de elementos de Rn es de Cauchy si paracada número real ε > 0 existe un número natural k0 tal que

‖xk − xj‖ < ε,

para cada par de números naturales j, k ≥ k0.

Teorema 1.42 (Completitud de Rn). Una sucesión de puntos de Rn es convergente si, y sólosi, es de Cauchy.

Definición 1.43. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E y f unaaplicación de E en Rm. Se dice que l ∈ Rm es el límite de la función f en a si para cadanúmero real ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(x)− l‖ < ε

para cada x ∈ E con 0 < ‖x− a‖ < δ.

Observación 1.44. En la definición anterior intervienen dos normas, una definida en Rn yotra en Rm. La distinción entre ambas viene dada por el contexto.

Proposición 1.45. Si la aplicación f tiene límite en el punto a, éste es único.

Notación: Si la aplicación f tiene límite l en el punto a se escribe

lımx→a

f(x) = l o f(x) → l, cuando x→ a o f(x) −→x→a

l.

La noción de límite restringida a subconjuntos de uno dado tiene exactamente la mismaaplicación en este caso que en el de funciones de una variable.

Definición 1.46. Sean A un subconjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f unaaplicación de A en Rm. Si B ⊂ A y a es también punto de acumulación de B, el límitelımx→a

f |B (x) , si existe, se denomina límite de la aplicación f en el punto a siguiendo (o a través

de) el subespacio B y se denota porlımx→ax∈B

f(x) .

Teorema 1.47. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una aplica-ción de A en Rm. Son equivalentes:

a) f tiene límite l en el punto a.

b) Para cada subconjunto B ⊂ A tal que a ∈ B′, f tiene límite en a a través de B, y éste esprecisamente l.

Proposición 1.48 (Criterio secuencial del límite). Sean A un conjunto de Rn, a un puntode acumulación de A y f una aplicación de A en Rm. Son equivalentes:

a) f tiene límite en a.

b) Para cada sucesión xk∞k=1 de puntos de A con xk 6= a, k = 1, 2, . . ., y lımk→∞

xk = a, la

sucesión f(xk)∞k=1 es convergente.

Además, si lımx→a

f(x) = l, se tiene que lımk→∞

f(xk) = l para toda sucesión xk∞k=1 de puntos de

A, distintos de a, y convergente hacia a.

Proposición 1.49. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E. Seanf1, f2, . . . , fm funciones reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm definida por

f(x) =(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

), x ∈ E.

Entonceslımx→a

f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm

si, y sólo si,lımx→a

fi(x) = li ∈ R, i = 1, 2, . . . ,m.



Observación 1.50. Este último resultado permite simplificar el estudio de límites y los con-ceptos que de éste se derivan, considerando únicamente funciones reales, es decir, aplicacio-nes de la forma f :E → R, donde E es un subconjunto de Rn.

Definición 1.51. Sean A un conjunto de Rn y f una aplicación de A en Rm. Dado B ⊆ A, sedice que f es acotada en B si lo es el conjunto imagen f(B), es decir, si existe una constanteM ≥ 0 tal que

‖f(x)‖ ≤M para todo x ∈ B .

Cuando f es una función real (es decir, cuando m = 1) y acotada, los valores reales

m = ınff(x) : x ∈ A y M = supf(x) : x ∈ Ase denominan, respectivamente, el extremo inferior absoluto y el extremo superior absoluto def en A. Si dichos valores se alcanzan, es decir, si existe x1 ∈ A (resp. x2 ∈ A) tal que

m = f(x1) ≤ f(x) para todo x ∈ A (resp. f(x) ≤ f(x2) =M para todo x ∈ A),

se dice que f tiene mínimo absoluto en A igual a m, y que éste se alcanza en x1 (resp. f tienemáximo absoluto en A igual a M , y éste se alcanza en x2).

Proposición 1.52. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f unaaplicación de A en Rm. Si f tiene límite en a, existe un número real δ > 0 tal que f estáacotada en A ∩B(a, δ).

Proposición 1.53. Sean A un subconjunto de Rn y a un punto de acumulación de A. Sif :A→ R y g:A→ Rm son aplicaciones tales que lım

x→af(x) = 0 y g está acotada en A ∩B(a, δ)

para algún número real δ > 0, entonces

lımx→a

f(x) g(x) = 0 .

Proposición 1.54. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de acumulación de E. Suponga-mos que f , g son dos aplicaciones de E en Rm y λ es una función de E en R tales que

lımx→a

f(x) = α, lımx→a

g(x) = β y lımx→a

λ(x) = ℓ.

Entonces:

I) lımx→a

(f + g)(x) = α+ β.

II) lımx→a

(λf)(x) = ℓα.

III) lımx→a

(f · g)(x) = α · β.

IV) lımx→a

1

λ(x)=

1

ℓ, si ℓ 6= 0 y λ(x) 6= 0 para todo x.

Aparte de las propiedades aritméticas, las funciones reales verifican, respecto al orden,propiedades similares a las de las funciones de una variable. Suponemos al lector familia-rizado con éstas y para no abundar en detalles enunciaremos una de ellas, dejándole queadapte el resto (como el criterio del Sándwich) al caso de funciones de varias variables.

Proposición 1.55. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f unafunción de A en R. Si existe lım

x→af(x) = ℓ 6= 0, se tiene que:

I) Si ℓ > 0, dados números reales α y β con 0 < α < ℓ < β, existe un número real δ > 0 talque para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β.

II) Si ℓ < 0, dados números reales α y β con α < ℓ < β < 0, existe un número real δ > 0 talque para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β.

Es decir, f toma valores con el mismo signo que el del límite en los puntos de un entornoadecuado de a distintos de él.


1.3. Continuidad 9

1.2.1. Límites iterados

A la hora de abordar el estudio de la existencia de límites para funciones definidas enconjuntos de Rn, con n ≥ 2, puede parecer tentador proceder reduciendo el problema alestudio de límites en una sola variable, concretamente: fijando n − 1 coordenadas en unprimer paso, se pasa al límite en la restante, obteniendo valores que dependen de n − 1variables; se fijan ahora n − 2 de ellas, y se reitera el proceso, obteniendo los denominadoslímites iterados. Lamentablemente, la existencia de dichos límites no garantiza la existenciadel límite; ahora bien, en caso de que existan todos los límites, deben coincidir. Para fijarideas y atendiendo a una mayor simplicidad, enunciaremos el resultado para el caso de unafunción real definida en un subconjunto de R2.

Teorema 1.56. Sean f una función real definida en un conjunto A de R2 y (α, β) ∈ A′. Sesupone que existe

lım(x,y)→(α,β)

f(x, y) = ℓ ,

y que, para cada x fijo, existe lımy→β

f(x, y) = ϕ(x) .

Si existe el límite iteradolımx→α

ϕ(x) = lımx→α

(lımy→β

f(x, y)),

su valor coincide con ℓ.En consecuencia, si existen los dos límites iterados, pero

lımx→α

(lımy→β

f(x, y))6= lımy→β

(lımx→α

f(x, y)),

la función f no puede tener límite en el punto (α, β).

Observaciones 1.57.

I) La existencia del límite de una función en un punto no garantiza que existan los límitesiterados, como pone de manifiesto el ejercicio 1.19.V.

II) Puede ocurrir que alguno de los límites iterados sea infinito, en este caso no es difícilprobar que el límite de la función no existe.

1.3. Continuidad

Definición 1.58. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de E en Rm.Se dice que f es continua en a si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(x)− f(a)‖ < ε

para cada x ∈ E con ‖x− a‖ < δ.Si f es continua en todos los puntos de E, se dice que f es continua en E.

Proposición 1.59. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de Een Rm.

I) Si a es un punto aislado de E, entonces f es continua en a.

II) Si a es un punto de acumulación de E, entonces f es continua en a si, y sólo si, existelımx→a

f(x) y es igual a f(a).

Corolario 1.60 (Criterio secuencial de la continuidad). Sean E un conjunto de Rn, a unpunto de E y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes:

a) f es continua en a.

b) Para cada sucesión xk∞k=1 de puntos de E que converge hacia a, la sucesión f(xk)∞k=1

converge hacia f(a) .



Teorema 1.61. Sean E un subconjunto de Rn y a un punto de E. Sean f1, f2, . . . , fm, funcio-nes reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm dada por

f(x) =(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

), x ∈ E.

Entonces f es continua en a si, y sólo si, cada una de las funciones f1, f2, . . . , fm, es continuaen a.

Proposición 1.62. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de E. Sean f , g aplicaciones deE en Rm y λ una función de E en R. Supongamos que f , g y λ son continuas en a. Entonceslas funciones

f + g; λf ; f · g; 1

λ, si λ(x) 6= 0 para todo x ∈ E;

son continuas en a.

Teorema 1.63. Sean E y F subconjuntos de Rn y Rm, respectivamente. Sean f :E → Fcontinua en a ∈ E y g:F → Rp continua en f(a) ∈ F , respectivamente. Entonces la funcióncompuesta g f es continua en a ∈ E.

Definición 1.64 (Topología de subespacio). Sea E un conjunto de Rn. Se dice que un sub-conjunto A de E es abierto (resp. cerrado) en E si existe un conjunto U abierto (resp. cerrado)en Rn tal que

A = E ∩ U.

Observación 1.65. Cuando E es abierto los abiertos en E son abiertos de Rn, y cuando E escerrado los cerrados en E son cerrados en Rn.

Proposición 1.66 (Caracterización topológica de la continuidad). Sean E un conjunto deRn y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

a) La aplicación f es continua en E.

b) Para cualquier abierto A de Rm, el conjunto f−1(A) es abierto en E.

c) Para cualquier cerrado C de Rm, el conjunto f−1(C) es cerrado en E.

Ejemplos 1.67.

I) La norma euclídea es una función continua en Rn.

II) La proyección i-ésima πi:Rn → R, definida por

πi(x1, x2, . . . , xn) = xi,

es una función continua en Rn.

III) En general, cualquier aplicación lineal L:Rn → Rm es continua (sobre este punto sevolverá más adelante).

IV) El conjunto (x, y) ∈ R2 : x sen(y) > 0 es abierto en R2, pues es la imagen inversa delintervalo (0,∞), abierto de R, por la función f :R2 → R dada por f(x, y) = x sen(y), que escontinua.

V) El conjunto (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 0 es cerrado en R3.

Definición 1.68. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación de E en Rm. Se dice que f esuniformemente continua en E si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(x)− f(y)‖ < ε

para todos x, y ∈ E con ‖x− y‖ < δ.

Observación 1.69. Es claro que cualquier aplicación uniformemente continua en un con-junto E es continua en E, pero no recíprocamente.

Proposición 1.70. Sean E un subconjunto de Rn y f :E → Rm uniformemente continua.Entonces, para cada sucesión xk∞k=1 de Cauchy en E , la sucesión f(xk)∞k=1 es de Cauchyen Rm.


1.3. Continuidad 11

1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales

En el Cálculo Diferencial juegan un papel fundamental el tipo de aplicaciones de cuyacontinuidad nos ocupamos ahora; las primeras, en la propia definición de diferenciabilidad,y las segundas, a la hora de estudiar los problemas de extremos relativos.

Definición 1.71. Se dice que una aplicación L:Rn → Rm es lineal si

L(λx+ µy) = λL(x) + µL(y) para todos x,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R .

Observaciones 1.72.

I) Las proyecciones πj, j = 1, 2, . . . , n, son aplicaciones lineales en Rn.

II) Fijadas las bases estándar en Rn y Rm, respectivamente, toda aplicación lineal L:Rn → Rm

se representa respecto a dichas bases, de forma única, mediante una matriz A ∈ Mm,n(R),donde Mm,n(R) representa el espacio de las matrices de números reales formadas por mfilas y n columnas. Concretamente,

L(x) = Axt =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

x1x2...xn

.

Teorema 1.73. Sea L:Rn → Rm una aplicación lineal. Existe una constante M ≥ 0 tal que

‖L(x)‖ ≤M ‖x‖ para todo x ∈ Rn .

En particular, L es uniformemente continua en todo Rn.

Definición 1.74. Se dice que una aplicación B:Rn × Rn → Rm es bilineal si es lineal en cadacomponente, es decir, si

B(λx1 + µx2,y) = λB(x1,y) + µB(x2,y) para todos x1,x2,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R ,

B(x, λy1 + µy2) = λB(x,y1) + µB(x,y2) para todos x,y1,y2 ∈ Rn y λ, µ ∈ R .

Una aplicación bilineal B se dice simétrica si

B(x,y) = B(y,x) para todos x,y ∈ Rn .

Observaciones 1.75.

I) El producto interno en Rn, B(x,y) = 〈x,y〉, es una aplicación bilineal simétrica.

II) Fijada la base estándar de Rn, toda aplicación bilineal B:Rn × Rn → R se representa deforma única mediante una matriz A ∈ Mn,n(R), concretamente

B(x,y) = xAyt .

Teorema 1.76. Sea B:Rn × Rn → Rm una aplicación bilineal. Existe una constante M ≥ 0tal que

‖B(x,y)‖ ≤M ‖x‖ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn .

En particular, B es continua en todo Rn × Rn.

Observación 1.77. Una forma cuadrática en Rn, que es una función definida por un polino-mio homogéneo de grado 2, es decir, de la forma

Q(x1, x2, . . . , xn) =∑

1≤i≤j≤n

cij xi xj , cij ∈ R ,

se puede interpretar como la actuación de una aplicación bilineal simétrica B sobre el punto(x,x) ∈ Rn×Rn: Q(x) = B(x,x) = xAxt. Los coeficientes de la matriz A =

(aij

)1≤i,j≤n

vienendados por aii = cii y aij = aji = cij/2 si i < j .



1.4. Compacidad

Definición 1.78. Una familia Aii∈I de subconjuntos de Rn se denomina recubrimiento deun conjunto E de Rn si

E ⊂ ∪i∈I

Ai .

Si todos los conjuntos Ai , i ∈ I , son abiertos se dice que Aii∈I es un recubrimiento abierto

de E .

Se dice que un conjunto K de Rn es compacto si todo recubrimiento abierto de K admiteun subrecubrimiento finito, es decir, si para cada recubrimiento abierto Gii∈I de K existeuna subfamilia finita Gi1 , Gi2 , . . . , Gim tal que

K ⊂ Gi1 ∪Gi2 ∪ . . . ∪Gim .

Ejemplos 1.79.

I) Los conjuntos finitos son conjuntos compactos.

II) Si xk∞k=1 converge hacia x , el conjunto xk : k ∈ N ∪ x es compacto.

Proposición 1.80. Sean F,K dos conjuntos de Rn. Supongamos que F es cerrado, K escompacto y F ⊂ K. Entonces F es compacto. En otras palabras, los subconjuntos cerradosde conjuntos compactos son compactos.

Proposición 1.81. Todo intervalo cerrado y acotado de Rn es compacto.

Teorema 1.82. Sea K un subconjunto de Rn. Son equivalentes las siguientes propiedades:

a) K es cerrado y acotado.

b) K es compacto.

c) Todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K .

d) Cada sucesión xk∞k=1 de elementos de K admite una subsucesión xkj∞j=1 que con-verge hacia un punto de K .

Observación 1.83. La equivalencia de los asertos a) y b) en el teorema anterior se conocecon el nombre de teorema de Heine-Borel. La implicación a)⇒c) se conoce como teorema de

Bolzano-Weierstrass.

Teorema 1.84 (de Weierstrass, versión general). Sean E un conjunto de Rn y f una apli-cación continua de E en Rm. Si K es un subconjunto compacto de E, entonces f(K) escompacto.

Teorema 1.85 (de Weierstrass para funciones escalares). Sea f una función real definiday continua en un conjunto compacto K de Rn. Entonces f es acotada y alcanza sus extremosabsolutos, es decir, existen dos puntos x e y de K tales que

f(x) ≤ f(z) ≤ f(y) para todo z ∈ K.

Proposición 1.86. Sea K un conjunto compacto de Rn. Supongamos que f es una aplicacióninyectiva y continua de K en Rm. Entonces la aplicación inversa f−1 definida en f(K) escontinua.

Observación 1.87. Dados A ⊂ Rn y B ⊂ Rm, si f :A→ B es biyectiva y continua, y tambiénf−1:B → A es continua, se dice que f es un homeomorfismo. Esta es una noción topológica,es decir, se puede establecer únicamente en términos de conjuntos abiertos: una biyecciónf :A → B es un homeomorfismo si, y sólo si, para cada abierto V de A la imagen f(V ) esabierta en B.


1.4. Compacidad 13

Teorema 1.88 (de Heine-Cantor). Sean K un conjunto compacto de Rn y f una aplicacióncontinua de K en Rm. Entonces f es uniformemente continua en K.

Proposición 1.89 (Propiedades de separación). Sea A,B subconjuntos no vacíos de Rn.

I) x ∈ A si, y sólo si, d(x, A) = 0 .

II) La función g(x) = d(x, A) es uniformemente continua en Rn.

III) Si A,B son ambos cerrados y disjuntos entre sí, entonces la función f :Rn → R dada por

f(x) =d(x, A)

d(x, A) + d(x, B)es continua en Rn, f(x) = 0 si x ∈ A , y f(x) = 1 si x ∈ B.

IV) Si A,B son cerrados y disjuntos entre sí, entonces existen dos abiertos disjuntos U, Vde Rn tales que A ⊂ U y B ⊂ V .

V) Más general, si A∩B = A∩B = Ø , existen entonces dos abiertos U y V tales que A ⊆ U ,B ⊆ V y U ∩ V = Ø .

VI) Si A,B son disjuntos, A cerrado y B compacto, entonces d(A,B) > 0. De hecho, existeun punto b ∈ B tal que d(B,A) = d(b, A) .

Observaciones 1.90.

I) La propiedad enunciada en 1.89.III, de separación de cerrados por funciones continuas,se conoce como Lema de Urysohn en el contexto de la Topología General.

II) En Topología se denomina espacio normal al que verifica la propiedad de separación decerrados 1.89.IV. En consecuencia, los espacios euclídeos (y, en general, los espaciosmétricos) son normales.

1.4.1. Comentarios sobre espacios normados

Los siguientes resultados se presentan como una llamada de atención, para prevenir allector de la tentación de generalizar a espacios métricos cualesquiera las propiedades to-pológicas de Rn. Esta materia es propia de un curso de Análisis Funcional, por lo que noslimitamos a señalar unos pocos puntos significativos. Como se puede ver, las diferencias sonmotivadas por la dimensión algebraica (infinita) del espacio vectorial.

Definición 1.91. Se dice que dos normas 1, 2 definidas sobre el mismo espacio vectorial Vson equivalentes si existen constantes N,M > 0 tales que

N1(x) ≤ 2(x) ≤M1(x) para todo x ∈ V.

Teorema 1.92. En Rn (en general, en cualquier espacio vectorial de dimensión finita) todaslas normas son equivalentes.

Teorema 1.93 (de Riesz). Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si, y sólo si,todo bola cerrada es compacta.

Observaciones 1.94.

I) El teorema 1.92 implica en particular que las topologías asociadas a las distintas nor-mas coinciden, y permite utilizar a todos los efectos, en el estudio de las propiedadestopológicas (abiertos, cerrados, etc.) y métricas (acotación, sucesiones de Cauchy, etc.),cualquier norma; es decir, en todos los resultados enunciados anteriormente la normaeuclídea puede ser sustituida por otra cualquiera (ver ejercicio 1.9).

II) De hecho esta propiedad caracteriza los espacios de dimensión finita; es decir, en un es-pacio normado de dimensión infinita es posible definir una nueva norma no equivalentea la original.

III) Es inmediato que si toda bola cerrada es compacta también lo es todo cerrado y acotado.El teorema de Riesz establece que en un espacio normado de dimensión infinita existenconjuntos cerrados y acotados, pero no compactos.

IV) El teorema 1.73 no es válido en espacios normados X de dimensión infinita; esto es,existen aplicaciones lineales Λ:X → R no continuas.



1.5. Conexión

El concepto que tratamos ahora generaliza la noción de intervalo en el sentido de conjunto“sin componentes aisladas”. Para ilustrar su importancia haremos notar que el hecho de queuna función real de variable real tenga derivada nula en todo punto de un abierto no implicaque la función sea constante, a menos que su dominio de definición sea un intervalo.

En el caso de la recta este concepto tiene una fácil interpretación geométrica a partir de larelación de orden allí definida, pero si n > 1, la imposibilidad de definir una relación de ordenen Rn que goce de las mismas propiedades hace necesario un tratamiento más minucioso.En todo caso, en las aplicaciones usuales, es suficiente considerar conjuntos convexos oestrellados, que definimos más adelante.

Definición 1.95. Se dice que un conjunto A de Rn es no conexo si existen dos conjuntosabiertos U y V que verifican las siguientes propiedades:

I) A ⊂ U ∪ V .

II) A ∩ U 6= Ø, A ∩ V 6= Ø.

III) A ∩ U ∩ V = Ø.

En caso contrario, se dice que A es conexo.

Proposición 1.96. Un conjunto A de Rn es no conexo si, y sólo si, existen dos conjuntoscerrados E y F que verifican las siguientes propiedades:

I) A ⊂ E ∪ F .

II) A ∩ E 6= Ø, A ∩ F 6= Ø.

III) A ∩ E ∩ F = Ø.

Ejemplo 1.97. Los intervalos (incluyendo en este concepto al conjunto vacío y a los conjuntosunipuntuales) son los únicos conjuntos conexos de R.

Proposición 1.98. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación continua de E en Rm. Si Aes un subconjunto conexo de E, entonces f(A) es conexo.

Observación 1.99. Cuando el resultado anterior se aplica a funciones reales de variable reallo que se obtiene no es otra cosa que la propiedad de Darboux.

Proposición 1.100. Sea Aii∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tales que Ai∩Aj 6= Øpara cada par de índices i, j ∈ I . Entonces la unión ∪

i∈IAi es un conjunto conexo.

Corolario 1.101. Sea Aii∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tal que la intersección∩i∈I

Ai es no vacía. Entonces la unión ∪i∈I

Ai es un conjunto conexo.

Corolario 1.102. Sean A ⊂ Rn y a ∈ A . Si para cada x ∈ A existe un conexo Cx tal quea,x ⊂ Cx ⊂ A , entonces A es conexo.

Corolario 1.103. Sea Ak∞k=1 una sucesión de conjuntos conexos de Rn tales que

Ak ∩Ak+1 6= Ø para todo k ∈ N .

Entonces la unión∞∪k=1

Ak es un conjunto conexo.

Proposición 1.104. Sea A un conjunto conexo de Rn. Si B es un conjunto de Rn tal que

A ⊂ B ⊂ A,

entonces B es conexo. Por tanto, A es conexo si lo es A.


1.5. Conexión 15

Definición 1.105. Sean E un conjunto de Rn y x un punto de E. Llamaremos componente

conexa de E que contiene a x a la unión de todos los subconjuntos conexos de E que contienena x. En otras palabras, la componente conexa de E que contiene a x es el mayor conjuntoconexo contenido en E y que contiene a x.

Si A es una componente conexa de E que contiene a algún punto de E, diremos que A esuna componente conexa de E.

Proposición 1.106. Todo conjunto E ⊂ Rn es unión disjunta de sus componentes conexas.

Proposición 1.107. Si A es un subconjunto abierto de Rn las componentes conexas de Ason conjuntos abiertos.

Observación 1.108. Los dos resultados anteriores tienen una lectura muy sencilla en R:cada abierto de la recta real es unión disjunta de intervalos abiertos.

Definición 1.109. Se dice que un subconjunto A de Rn es arco-conexo o conexo por caminos

si para cada par de puntos x, y de A, existe una aplicación continua de un intervalo compactode R en A, γ: [a, b] → A, tal que

γ(a) = x y γ(b) = y.

En las condiciones anteriores, la aplicación γ recibe el nombre de arco o camino, lospuntos γ(a) y γ(b) se denominan extremos del arco, y se dice que γ une los puntos x e y.

Ejemplos 1.110.

I) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es estrellado respecto de un punto a ∈ A si para cadax de A el segmento de extremos a y x está totalmente contenido en A , es decir, si setiene que

ta+ (1− t)x ∈ A para todo t ∈ [0, 1] .

Los conjuntos estrellados son arco-conexos.

II) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es convexo si para cada par de puntos x,y de A elsegmento de extremos x e y está totalmente contenido en A , es decir, si se tiene que

tx+ (1− t)y ∈ A para todo t ∈ [0, 1] .

Los conjuntos convexos son estrellados respecto de cada uno de sus puntos y, por tanto,arco-conexos. En particular, los siguientes conjuntos son arco-conexos: Rn, los subespa-cios afines de Rn (como rectas y planos), las bolas abiertas y las bolas cerradas (relativasa cualquier norma).

Proposición 1.111. Todo subconjunto arco-conexo de Rn es conexo.

Observación 1.112. El recíproco de la proposición anterior no es cierto. Por ejemplo, el grafode la función f :R → R dada por

f(x) =

sen

(1/x

), x > 0,

0 , x ≤ 0,

es un conjunto conexo de R2 que no es arco-conexo.

No obstante, cuando se consideran conjuntos abiertos, se verifica la equivalencia de am-bos conceptos, lo que proporciona una herramienta deductiva muy útil:

Proposición 1.113. Si A es un conjunto abierto y conexo de Rn, entonces A es arco-conexo.



Ejercicios

1.1 Determinar los subconjuntos de R2 tales que las relaciones:

I) z = log( y

x2 + y2 − 1

)

II) z = log(1− x y)

III) z =√x cos(y)

IV) z =√sen

(x2 + y2

)

V) z = log(x+ y2

)

VI) z =√1− (x2 + y2)

definen funciones (x, y) 7→ z de dichos conjuntos en R (es decir, determinar los dominios másgenerales de las funciones definidas por estas expresiones).

1.2 Demostrar que el conjunto A = (x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9, x2 + y2 ≤ 25 es acotado. ¿Loes el conjunto B = (x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9?

1.3 Probar que:

I) El conjunto A = (x, y) ∈ R2 : x y > 1 es un abierto de R2.

II) El conjunto B = (x, y) ∈ R2 : x y ≤ 1 es un cerrado de R2.

III) El conjunto C = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ≤ 4 es un cerrado y acotado de R3.

1.4 Sea M un subespacio lineal de Rn. Probar que:

I) Si M 6= 0, entonces M es un conjunto no acotado.

II) Si M tiene interior no vacío, entonces M = Rn.

1.5 Determinar el interior, la adherencia, el derivado y la frontera de los siguientes subcon-juntos de R3:

I) A = (x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0.II) B = (x, y, z) ∈ R3 : z > 0 , x2 + y2 < 1 , x2 + y2 + z2 ≤ 5.

1.6 Sea A un subconjunto numerable de Rn.

I) Probar que el interior de A es vacío.

II) ¿Es cierto que la adherencia de A es numerable?

1.7 Sean n un número natural y α un número real estrictamente positivo. Para cada k ∈ N

se considera el conjunto

Ak =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn :

n∑

j=1

(xj −

1

k

)2

≤ α2

k2

.

I) Probar que, si√n ≤ α, entonces para cada k = 1, 2, . . . se tiene que Ak ⊂ A1.

II) Determinar los valores de α para los cuales el conjunto∞∪k=1

Ak no es un cerrado de Rn.

1.8 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm . Probar que la frontera de A×B en Rn × Rm es

Fr(A×B) =(Fr(A)×B

)∪(A× Fr(B)

).

1.9 Determinar las mínimas constantes A, B, C y D para las que se verifican las siguientesdesigualdades para todo x ∈ Rn:

‖x‖ ≤ A ‖x‖1 , ‖x‖1 ≤ B ‖x‖ , ‖x‖ ≤ C ‖x‖∞ , ‖x‖∞ ≤ D ‖x‖ .


Ejercicios 17

1.10 Sea BQ la familia de todas las bolas abiertas de Rn centradas en puntos de coordenadasracionales y de radio racional.

I) Probar que para todo abierto A de Rn, existe una subfamilia Bi : i ∈ IA de elementos deBQ tal que A = ∪

i∈IaBi.

II) Deducir que todo conjunto E ⊂ Rn posee un subconjunto D numerable y denso en E.

III) Deducir que todo subconjunto discreto de Rn es numerable.

IV) Sea Uλ : λ ∈ L una familia de abiertos no vacíos de Rn tales que Uλ∩Uµ = Ø si λ 6= µ .Probar que L es numerable.

1.11 Sea F un subconjunto cerrado de Rn. Demostrar que existe un conjunto K tal queFr(K) = F .

Sugerencia: Considerar un subconjunto numerable y denso en F .

1.12 Sean E ⊂ Rn y f :E → R . Demostrar que el conjunto de puntos donde f alcanza unmáximo relativo estricto es numerable.

Nota: Se dice que f tiene en x0 ∈ E un máximo relativo estricto si existe un entorno V de x0 talque f(x) < f(x0) para cada x ∈ V ∩ E con x 6= x0 .

1.13 Sea A un subconjunto no numerable de Rn. Mediante un razonamiento secuencial,probar que A tiene al menos un punto de acumulación.

Sugerencia: Para algún n ∈ N ha de ser infinita la intersección A ∩B(0, n).

1.14 Sea f una función real definida en una bola B(x0, r) ⊂ R2. Probar que f tiene límite ℓen el punto x0 = (x0, y0) si, y sólo si, existe un número real R, 0 < R < r, tal que para todoρ ∈ (0, R) se tiene que

g(ρ) = sup∣∣f

(x0 + ρ cos(θ), y0 + ρ sen(θ)

)− ℓ

∣∣ : θ ∈ [0, 2π]<∞ ,

y la función g: (0, R) → [0,∞) así definida verifica que lımρ→0

g(ρ) = 0 .

1.15 Determinar, si existen, los límites de las siguientes aplicaciones en los puntos que seindican:

I) f(x, y) =(x− 1) + y

(x− 1)2 + (y − 1)2, (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1).

II) f(x, y) =(1 + x2 + y2) sen(y)

y, y 6= 0, en el punto (0, 0).

III) f(x, y) =|y|x2

e−|y|/x2 , x 6= 0, en el punto (0, 0).

IV) f(x, y) =1− cos

(√x y

)

y, x, y > 0, en el punto (0, 0).

V) f(x, y) =1− cos

(√x2 + y2

)

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

VI) f(x, y) =e−|x+y| − 1

|x+ y| , x+ y 6= 0, en el punto (0, 0).

VII) f(x, y) =(x2 + y2

)x2y2

, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

VIII) f(x, y) =x y

|x|+ |y| , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

IX) f(x, y) =( x2y

x2 + y2, cos(x+ y)

), (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

X) f(x, y) =

(y − 1

1 + (x− 1)2 + (y − 1)2,

(x− 1)(y − 1)

(x− 1)2 + (y − 1)2

), (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1).

XI) f(x, y) =

(exy − 1

x, log

(1 + xy

x

)), x, y > 0, en el punto (0, 0).



1.16 Estudiar la existencia del límite en 0 ∈ Rn de las siguientes funciones:

I) f(x) =sen(‖x‖)2

‖x‖2, x 6= 0.

II) f(x) =log(1− ‖x‖)

‖x‖2, 0 < ‖x‖ < 1.

III) f(x) =log(1 + x1x2 · · ·xn)

x1x2 · · ·xn, xi > 0, i = 1, 2, . . . , n.

1.17 Para cada uno de los siguientes subconjuntos S ⊆ R2:

a) S =(x, y) : y = ax

, b) S =

(x, y) : y = ax2

, c) S = (x, y) : y2 = ax, d) S = R2,

hállense los siguientes límites a través del subespacio S:

lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈S

xy

x2 + y2, lım

(x,y)→(0,0)(x,y)∈S

x2 − y2

x2 + y2.

1.18 Si una función de Rn en R tiene el mismo límite en un punto a lo largo de cada rectaque pasa por él, ¿tiene la función límite en dicho punto?

1.19 Para las siguientes funciones f :R2 \ (0, 0) → R:

I) f(x, y) =x2 + y2

x2 + y2 + (x− y)2

II) f(x, y) =x2y2

x2 + y2 + (x− y)2

III) f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x− y)2

IV) f(x, y) =

sen(xy)

xsi x 6= 0,

y si x = 0

V) f(x, y) =

(x+ y) sen(1/x) sen(1/y) si x 6= 0 e y 6= 0,

0 si x = 0 o y = 0

VI) f(x, y) =

sen(x)− sen(y)

tg(x)− tg(y)si tg(x) 6= tg(y),

0 si tg(x) = tg(y)

VII) f(x, y) =x2 + y2

x2 + y4,

VIII) f(x, y) =

sen(x)− sen(y)

tg(x)− tg(y)si tg(x) 6= tg(y),

0 si tg(x) = tg(y)

determinar si existen los siguientes límites, y calcular su valor cuando proceda:

lımx→0

(lımy→0

f(x, y)), lım

y→0

(lımx→0

f(x, y)), lım

(x,y)→(0,0)f(x, y).

1.20 Estudiar la continuidad en (0, 0) de la función f :R2 → R definida por

f(x, y) =

x4 + y4

xsi x 6= 0,

0 si x = 0.

1.21 Determinar para qué valores de p es continua en (0, 0) la función f :R2 → R definida por

f(x, y) =

x2y2

(x2 + y2)psi (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).


Ejercicios 19

1.22 Estudiar la continuidad en R3 de la función definida por

f(x, y, z) =

x2 y2 zx6 + y6 + z4

si (x, y, z) 6= (0, 0, 0);

0 si (x, y, z) = (0, 0, 0).

1.23 Una función f :Rn → R se dice que es separadamente continua si para cada i = 1, 2, . . . , n,al fijar (a1, a2, . . . , an−1) ∈ Rn−1, la función

t 7−→ f(a1, . . . , ai−1,i)

t , ai, . . . , an−1)

es continua en R.Pruébese que la función f :R2 → R, dada por

f(x, y) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),

es separadamente continua pero no es continua.

1.24 Estudiar la continuidad en Rn de las siguientes funciones:

I) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

x1n+1 x2 · . . . · xn

‖x‖2n si x 6= 0;

0 si x = 0.

II) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

x1 x2 · · ·xn‖x‖n−1 si x 6= 0;

0 si x = 0.

III) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

(x1 + x2 + · · ·+ xn)n

‖x‖n−1 si x 6= 0;

0 si x = 0.

1.25 Sean b ∈ R y f :R2 → R la función dada por

f(x, y) =

x3 − y2

x2 − ysi x2 6= y;

b si x2 = y.

I) ¿En qué puntos es discontinua f?

II) Determinar el valor que debe atribuirse a b para que la restricción de f a la recta deecuación x+ y = 2 tenga el menor número de discontinuidades.

III) Si g denota la restricción de f al segmento que une los puntos (0, 2) y (2, 0), para el valorde b hallado en ii), ¿es g una función acotada?

1.26 Demostrar que, si f = (f1, f2, . . . , fm) es una aplicación continua de un conjunto A ⊂ Rn

en Rm, entonces la función g:A→ R definida por

g(x) = mınf1(x), f2(x), . . . , fm(x)

es continua en A.

1.27 Sean E un subconjunto de Rn, x0 ∈ Rn y B1, B2, . . . , Bm subespacios de E tales quem∪i=1

Bi = E y el punto x0 es de acumulación de todos los Bi, 1 ≤ i ≤ m. Sea también f :E → R.

Se supone que existe y0 ∈ R tal que

lımx→x0x∈Bi

f(x) = y0 para cada i = 1, 2, . . . ,m .

Demostrar que lımx→x0

f(x) = y0.

Comprobar con un contraejemplo que la conclusión del apartado anterior es falsa si seaplica a una familia infinita de subespacios Bi : i ∈ I que recubra E.



1.28 Sea K un compacto de Rn contenido en la bola abierta B(0, 1). Probar que existe unnúmero real r, con 0 < r < 1, tal que K ⊆ B(0, r).

1.29 Sea K un compacto de Rn. Se supone que existe un número real r > 0 tal que paracada par de elementos distintos, x e y, de K se tiene que

‖x− y‖ ≥ r.

Demostrar que K es un conjunto finito.

1.30 Demostrar que, si B es un subconjunto no compacto de Rn, existe una función continuay no acotada f :B → R.

1.31 Sean A compacto, r > 0 yB = ∪

x∈AB(x, r).

Demostrar que B es compacto.

1.32 Sea A un subconjunto abierto de Rn, A 6= Rn. Fijada cualquier norma ‖ ‖ en Rn, y lamétrica d asociada, se considera, para cada m ∈ N, el conjunto

Km =x ∈ A : ‖x‖ ≤ m, d(x,Rn \A) ≥ 1/m

.

Probar que Km∞m=1 es una sucesión expansiva de compactos para A, es decir, que verificalas siguientes propiedades:

I) Km es compacto.

II) Km ⊂

Km+1 para todo m ∈ N.

III)∞∪m=1

Km = A.

1.33 ¿Es la intersección de dos conexos de Rn un conjunto conexo?

1.34 Sean A un subconjunto no vacío de Rn con A 6= Rn, a un elemento de A y b un elementode Rn \ A. Si γ es una aplicación continua de [0, 1] en Rn con γ(0) = a y γ(1) = b, probar queexiste un elemento t ∈ [0, 1] tal que

γ(t) ∈ Fr(A).

1.35 Sea f :R2 → R una función continua tal que f(−1, 0) > 0 y f(1, 0) < 0. Demostrar queexisten infinitos puntos de R2 donde la función se anula.

1.36 Sea f una función continua de [0, 1] en Rn tal que ‖f(0)‖ = 1 y ‖f(1)‖ = 3. Probar queexiste un punto ξ ∈ (0, 1) tal que ‖f(ξ)‖ = 2.

1.37 Sea γ : [0, 1] → R2, γ = (γ1, γ2), continua y tal que

γ(0) ∈ B((−5, 0), 1

)y γ(1) ∈ B

((5, 0), 1

).

Probar que existe un punto t0 ∈ [0, 1] tal que γ1(t0) = γ2(t0).

1.38 Demostrar que el conjunto de componentes conexas de un abierto de Rn es numerable.

1.39 Sea n ≥ 2.

I) Probar que un hiperplano de Rn es cerrado y conexo, pero no compacto.

II) Demostrar que los subespacios vectoriales de Rn son cerrados y conexos.

Sugerencia: Escribir el subespacio como intersección finita de hiperplanos.

1.40 Sea f : Rn → Rm una aplicación continua. Demostrar que su grafo

G(f) =(x,f(x)

)∈ Rn+m : x ∈ Rn

es un subconjunto cerrado y conexo de Rn+m.


Ejercicios 21

1.41 Sea L una aplicación lineal de Rn en R no idénticamente nula.

I) Probar que no es conexo el conjunto Rn \Ker(L).

II) ¿Cuántas componentes conexas tiene este conjunto?

1.42 Sean A un conjunto conexo de Rn y a, b dos elementos distintos de A. Si r = ‖a− b‖,demostrar que para cada número real δ, con 0 < δ < r, el conjunto

A ∩ x ∈ Rn : ‖x− a‖ = δes no vacío. Deducir que los subconjuntos conexos de Rn que constan de más de un puntoson no numerables.

1.43 Searxx∈R

una familia de números reales estrictamente positivos. Demostrar que elconjunto

A = ∪x∈R

B((x, 0), rx

)

es conexo en R2. ¿Es compacto?

Estúdiese la misma cuestión para el conjunto

B = ∪n∈Z

B((n, 0), rn

).

1.44 Sea f un homeomorfismo de [0, 1] en sí mismo. Probar que f , o bien deja fijos losextremos, o bien los intercambia.

1.45 Sean A ( Rn, B ( Rm . Probar que el complementario de A×B en Rn × Rm es conexo.

1.46 Sea A un subconjunto denso de la recta real. Probar que el conjunto

B = (x, y) ∈ R2 : x ∈ A ó y ∈ Aes un subconjunto denso y conexo de R2.

1.47 Demostrar que no son homeomorfos entre sí dos cualesquiera de los siguientes con-juntos (en todos que se considera la topología usual):

1) R 2) [0, 1] 3) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 14) R2 5) [0, 1]× [0, 1] .

Sugerencia: Comparar las propiedades de compacidad y conexión de estos conjuntos o de alguno desus subconjuntos.

1.48 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos. Probar que es condición necesaria y sufi-ciente para que A×B sea, respectivamente:

I) abierto,

II) cerrado,

III) acotado,

IV) compacto,

V) conexo,

en Rn × Rm ≃ Rm+n, que así lo sean cada uno de los factores A y B.

1.49 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A → R, g:B → R . El producto tensorial

de las funciones f y g es la función, denotada por f ⊗ g, y definida en A×B por

f ⊗ g(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym

)= f(x1, x2, . . . , xn) g(y1, y2, . . . , ym) ,

Si f es continua en a ∈ A y g es continua en b ∈ B, probar que f ⊗ g es continua en el puntoc =

(a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm) ∈ A×B.



Nota: Análogamente se define el producto tensorial de una cantidad finita funciones. Así, por

ejemplo, si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene definida fi:Ai → R, donde Ai es un subconjunto

de R, el producto tensorial de las funciones fi es la función g = f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn, definida en

A1 ×A2 × · · · ×An por g(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) f2(x2) · · · fn(xn), i.e.,

(f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn)(x) =

n∏

i=1

(fi πi)(x)

(en esta situación también se dice que la función g es de variables separadas). Aplicando re-

currentemente el resultado anterior se deduce que si fi es continua en ci ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n,

entonces g es continua en el punto c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ A.

1.50 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A→ R, g:B → R .

I) Si f y g son uniformemente continuas en sus respectivos dominios ¿se puede asegurarque f ⊗ g es uniformemente continua en A×B?

II) Pongamos que f y g alcanzan un extremo local en x0 ∈ A, y0 ∈ B, respectivamente. ¿sepuede asegurar que f ⊗ g alcanza un extremo local en (x0,y0)?

III) Supongamos que A y B son compactos y f y g continuas. ¿existe alguna relación entrelos extremos absolutos de f ⊗ g y los de f y g?

Tema 2

Cálculo diferencial

La idea fundamental de todo el Cálculo Diferencial es sencilla: tratar de obtener propieda-des sobre objetos (en la práctica, funciones) que, sin ser lineales, admiten una cierta “apro-ximación lineal”. Esta idea queda diluida en el caso de funciones de una variable real por elhecho de que la existencia de tal aproximación equivale a que los cocientes incrementales dela función tengan límite, esto es, que se pueda hablar de “velocidad”, “tasa de crecimiento”,etc., según el contexto o la disciplina científica en que se use.

La presentación actual de esta materia difiere bastante de su desarrollo histórico, paraleloal de la Física Matemática, y cuyo germen se puede situar en el uso de derivadas parcialespor Euler, D’Alembert, etc. en el siglo XVIII, en el que la continuidad era concebida comouna propiedad mucho más fuerte que como se entiende hoy en día, implicando entonces laderivabilidad. Este fundamento casi filosófico, y que prevaleció durante largo tiempo, estárecogido en la frase de Leibniz “Natura non facit saltus” (la Naturaleza no da saltos).

A pesar de que el tratamiento es el mismo para cualquier dimensión n del espacio euclídeo,para la correcta asimilación y mejor aprovechamiento de la materia que se contempla en estetema, será necesario haber adquirido un sólido conocimiento de los conceptos básicos sobrefunciones de una variable real y cierta destreza en su cálculo. Por supuesto, todo lo quese afirme en general (para dimensión arbitraria n) tiene su correspondiente versión en unavariable, con la que ya debe estar familiarizado el lector. Pero no recíprocamente; por ejemplo,cuando n > 1 hemos de distinguir entre las nociones de “derivabilidad” y “diferenciabilidad”,coincidentes en el caso n = 1.

2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad

Cuando se consideran aplicaciones definidas en abiertos de Rn, n > 1, carece de sentidoconsiderar cocientes incrementales de tales aplicaciones y, por tanto, es imposible generalizarel concepto de derivabilidad en esos términos. Lo que sí es posible es generalizar el conceptode derivada a subespacios de dimensión uno. Aparece así el concepto de derivada direccionaly, como caso particular, el de derivada parcial.

Definición 2.1. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicación de A en Rm.Dado un elemento v de Rn \ 0, se dice que f admite derivada direccional en el punto x0

según la dirección de v si existe y es finito el límite

lımh→0

1

h

(f(x0 + hv)− f(x0)

);

dicha derivada direccional, que es el límite anterior, se denota por

dvf(x0) o Dvf(x0).

Cuando se considera el vector ei = (0, . . . ,i)

1, . . . , 0) de la base estándar de Rn, la corres-pondiente derivada direccional recibe el nombre de derivada parcial de f respecto de xi oderivada parcial i-ésima de f en el punto x0, y se denota por

Dif(x0) o∂f

∂xi(x0).

Si la aplicación f admite derivadas parciales respecto de todas las variables en el puntox0 se dice que es derivable en dicho punto.

Cuando f es derivable en todos los puntos de A se dice que es derivable en A.

23

24 Tema 2. Cálculo diferencial

Observaciones 2.2.

I) A la hora de definir las derivadas direccionales algunos autores consideran exclusiva-mente vectores unitarios (de norma euclídea 1). Esto no aporta ventajas ni desventajas ala definición y optar por una u otra forma es cuestión de gusto personal.

II) La segunda notación para las derivadas parciales ∂f/∂xi , introducida por Leibniz, es sinduda la de uso más extendido. Al igual que sucede para las funciones de una variable,tal expresión no denota el cociente de dos números; es simplemente, como se ha dicho,una notación.

A pesar de su uso corriente en todas las ramas de la Ciencia y su utilidad a la hora deestablecer modelos matemáticos (como en ∂f/∂t para significar una derivación respectode la variable tiempo) debemos tener precaución en su uso; por ejemplo, para una función

de dos variables, en los puntos de la diagonal, ¿cómo debemos entender∂f

∂x(x, x)? A lo

largo de estas notas, con el ánimo de que el lector se familiarice con ambas, usaremos lanotación de Leibniz y la de los operadores Di, debida a Cauchy.

III) Las derivadas direccionales, como derivadas de funciones de una variable que son, gozande las propiedades aritméticas de éstas; por ejemplo, si dos aplicaciones definidas en unmismo abierto de Rn admiten derivada parcial respecto de xj en un punto del abierto,entonces la aplicación suma admite derivada parcial respecto de xj en dicho punto yresulta ser la suma de las derivadas parciales de las dos aplicaciones en ese punto:

∂(f + g)

∂xi(x0) =

∂f

∂xi(x0) +

∂g

∂xi(x0) ,

o para funciones reales f y g

Di(f g)(x0) = Dif(x0) g(x0) + f(x0)Dig(x0) , . . .

Dejamos que el lector deduzca el resto de las propiedades que procedan.

IV) En la práctica y como se comprobará a lo largo de los ejercicios, la anterior observaciónpermite resolver el cálculo de las derivadas parciales mediante la aplicación de las reglasde derivación en una variable a la función que se obtiene al fijar todas las variablesmenos aquélla respecto de la cual se pretende derivar. Por ejemplo, si f es la función realdefinida en R2 por f(x, y) = x cos(x− y), entonces

D1f(x, y) =∂f

∂x(x, y) = cos(x− y)− x sen(x− y) ,

D2f(x, y) =∂f

∂y(x, y) = x

(− sen(x− y)

)(−1) = x sen(x− y) .

Ejemplos sencillos, como el que se puede ver en el ejercicio 2.2.III, muestran que el hechode que una aplicación f sea derivable en un punto no implica la continuidad de f en esepunto; ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales implica la continuidad. Sepresenta así la primera diferencia relevante con las funciones de una variable. No obstante, elconcepto de diferenciabilidad, que en el caso unidimensional es equivalente a la derivabilidad,se generaliza en términos análogos al caso de aplicaciones de varias variables.

Definición 2.3. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicación de A en Rm.Se dice que f es diferenciable en el punto x0 si existen una aplicación lineal L de Rn en Rm yuna función ε de A en Rm con

lımx→x0

‖ε(x)‖ = 0,

de manera que

f(x)− f(x0) = L(x− x0) + ε(x) ‖x− x0‖ para cada x ∈ A.

La aplicación lineal L, si existe, es única y recibe el nombre de diferencial de f en el punto x0.Esta aplicación se denota por

(df)x0 , Df(x0), df(x0) o f ′(x0).

Si f es diferenciable en todo punto de A se dice que es diferenciable en A.


2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad 25

Observaciones 2.4.

I) Las notaciones indicadas arriba para la diferencial de una función en un punto son lasmás frecuentes. En estas notas utilizaremos habitualmente la última, f ′, introducida porLagrange.

II) En las ciencias aplicadas, como la Física, y sobre todo en los razonamientos heurísticosque conducen al modelado de ciertos fenómenos (generalmente mediante ecuaciones dife-renciales) es habitual usar el término “diferencial” para referirse a un incremento “peque-ño” de las magnitudes, esto es a cantidades cuyos cocientes incrementales se aproximana la derivada, que es un límite. Hacemos énfasis en que, en Matemáticas, una diferenciales una aplicación lineal, perfectamente definida y sin la subjetividad de lo pequeño (unmetro puede considerarse pequeño en Astronomía, pero no en Arquitectura).

III) Una forma equivalente de definir la diferenciabilidad, que puede encontrarse en nume-rosos textos, es la siguiente: la función f es diferenciable en x0 si, y sólo si, existe unaaplicación lineal L de Rn en Rm tal que

lımx→x0

f(x)− f(x0)− L(x− x0)

‖x− x0‖= 0 ∈ Rm,

o, lo que es lo mismo,

lımx→x0

‖f(x)− f(x0)− L(x− x0)‖‖x− x0‖

= 0 ∈ R.

De nuevo, al igual que sucede respecto a la continuidad, estos conceptos admiten unalectura en términos de aplicaciones a valores reales:

Teorema 2.5. Es condición necesaria y suficiente para que una aplicación f de un abiertoA de Rn en Rm admita derivada direccional en un punto x0 ∈ A según el vector v (resp. seadiferenciable en el punto x0) que así se verifique para cada una de sus funciones componentesfi, i = 1, 2, . . . ,m.

Teorema 2.6. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicación de A en Rm. Sif es diferenciable en x0 entonces es continua en dicho punto.

Teorema 2.7. Sean A un abierto de Rn, x0 ∈ A y f una aplicación de A en Rm. Si f es dife-renciable en x0 entonces existen las derivadas direccionales en dicho punto según cualquierdirección, en particular, f es derivable en x0. Además, para cada v ∈ Rn \ 0 se tiene que

Dvf(x0) = (df)x0(v) = f ′(x0)(v).

Observaciones 2.8.

I) Si A es un abierto de Rn y f :A → Rm es una aplicación derivable en el punto x0 ∈ A, lamatriz cuyas m filas son las n derivadas parciales de cada una de las m componentes fide f , esto es,

(Djfi(x0)

)1≤i≤m1≤j≤n

, que denotaremos por∂(f1, f2, . . . , fm)

∂(x1, x2, . . . , xn),

se denomina matriz jacobiana 1 de f en el punto x0. Si, además, f es diferenciable en x0,entonces la aplicación lineal f ′(x0) viene dada de forma matricial respecto de las basesestándar de Rn y Rm por dicha matriz jacobiana, es decir,

[f ′(x0)(h1, h2, . . . , hn)

]t=

D1f1(x0) D2f1(x0) · · · Dnf1(x0)

D1f2(x0) D2f2(x0) · · · Dnf2(x0)...

.... . .

...D1fm(x0) D2fm(x0) · · · Dnfm(x0)

h1

h2...hn

. (2.1)

1En honor a C. G. Jacobi.



Nótese que las columnas de la matriz jacobiana son las imágenes por f ′(x0) de los ele-mentos ei, i = 1, 2, . . . , n, de la base estándar de Rn, es decir, de acuerdo con el teorema

2.7, la i-ésima columna es( ∂f∂xi

(x0))t

=(Dif(x0)

)t.

Si f es una función real definida en un abierto A de Rn, derivable en el punto x0, la matrizjacobiana de f en x0 se denomina también gradiente de f en el punto x0 y se denota por∇f(x0), esto es,

∇f(x0) =(D1f(x0), D2f(x0), . . . , Dnf(x0)

).

Si f es diferenciable en dicho punto, la fórmula (2.1) se representa también en este casomediante el producto escalar

f ′(x0)(h) = ∇f(x0) · h .

II) Los teoremas 2.6 y 2.7 proporcionan también una pauta de trabajo para establecer ladiferenciabilidad de una función en un punto. En efecto, avanzando en orden de com-plejidad de los conceptos: en primer lugar, si la función no es continua en el punto encuestión no puede ser diferenciable; después, si es continua pero no derivable tampo-co puede ser diferenciable, si por el contrario es derivable, la única aplicación lineal Lcandidata a ser la diferencial es la que viene dada en las bases estándar por la matrizjacobiana, con lo que sólo resta aplicar la definición 2.3 o, equivalentemente, estudiarlos límites expuestos en la observación 2.4.III.

III) Es obvio que toda aplicación lineal L:Rn → Rm es diferenciable en cada punto x0 ∈ Rn, yque la diferencial de L en x0 coincide con L, es decir,

L′(x0)(v) = L(v) para cada v ∈ Rn.

En particular, las proyecciones πj :Rn → R son diferenciables en Rn.

Por otra parte, es sobradamente conocido que si L:Rn → R es una aplicación lineal,entonces existen números reales a1, a2, . . . , an únicos tales que

L(x1, x2, . . . , xn) =n∑j=1

ajxj , es decir, L =n∑j=1

ajπj .

Por tanto, si A es un abierto de Rn y f :A → R es una función diferenciable en el puntox0 ∈ A se escribirá

f ′(x0) =

n∑

j=1

∂f

∂xj(x0)πj =

∂f

∂x1(x0)π1 +

∂f

∂x2(x0)π2 + . . .+

∂f

∂xn(x0)πn.

A la aplicación lineal dπj = πj′(= πj) se le denota usualmente (abusando de la notación)

por dxj. De esta forma es habitual encontrar la siguiente notación:

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + . . .+

∂f

∂xndxn.

Haremos énfasis en que dxj es una aplicación lineal de Rn en R, no un incremento deninguna magnitud.

IV) La diferencial de una aplicación en un punto tiene la misma interpretación geométricaque en el caso de funciones reales de variable real. Ilustraremos esto con un ejemplo defácil visualización:Consideremos una función real f definida en un abierto A de R2 que es diferenciable enel punto a = (a1, a2) ∈ A. La función

g(x, y) = f(a) +∂f

∂x(a)(x− a1) +

∂f

∂y(a)(y − a2)

proporciona la “mejor aproximación” afín de f . La gráfica de esta función es un planoafín (en R3), que contiene al punto

(a1, a2, f(a1, a2)

), y se denomina plano tangente a la

superficie z = f(x, y) en dicho punto. Los vectores(1, 0,

∂f

∂x(a)

)y

(0, 1,

∂f

∂y(a)

),

derivadas en el punto t0 = 0 de las aplicaciones

t 7→(a1 + t, a2, f(a1 + t, a2)

)y t 7→

(a1, a2 + t, f(a1, a2 + t)

),


2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad 27

respectivamente, resultan ser dos vectores generadores de dicho plano (ver figura 2.1).

z = g(x, y)

z = f(x, y)

x = a1y = a2

Figura 2.1: Plano tangente z = g(x, y) a una superficie z = f(x, y) en un punto.

Una condición necesaria para la diferenciabilidad de una función en un punto es la exis-tencia de todas sus derivadas direccionales; sin embargo, tal condición no es suficiente, amenos que se añada la hipótesis de continuidad de dichas derivadas. Concretamente:

Teorema 2.9. Sean A un abierto de Rn y f :A → Rm una aplicación derivable en A. Si todaslas derivadas parciales de f , excepto quizá una de ellas, son continuas en un punto x0 ∈ A,entonces f es diferenciable en dicho punto.

Observación 2.10. Nótese que para n = 1, dado que sólo se puede contemplar una derivadaparcial (la derivada ordinaria), el teorema anterior incluye un resultado bien conocido: unafunción real f definida en un intervalo abierto de la recta es diferenciable en un punto delintervalo si, y sólo si, es derivable en dicho punto.

Proposición 2.11. Sean A un abierto de Rn, f , g aplicaciones de A en Rm y h una funciónde A en R, todas ellas diferenciables en un punto x0 de A. Entonces:

I) f + g es diferenciable en x0 y

(f + g)′(x0) = f′(x0) + g

′(x0).

II) hf es diferenciable en x0 y

(hf)′(x0) = h(x0)f′(x0) + h′(x0)f(x0) ,

es decir,(hf)′(x0)(v) = h(x0)f

′(x0)(v) + h′(x0)(v)f(x0) para cada v ∈ Rn.

III) p = 〈f , g〉 = f · g es diferenciable en x0 y

p′(x0) = 〈f(x0), g′(x0)〉+ 〈f ′(x0), g(x0)〉 ,

es decir,

p′(x0)(v) = 〈f(x0), g′(x0)(v)〉+ 〈f ′(x0)(v), g(x0)〉 para cada v ∈ Rn.

IV) Si h(x) 6= 0 para todo x ∈ A, se tiene que 1/h es diferenciable en x0 y( 1

h

)′

(x0) =−1

h(x0)2h′(x0).

Teorema 2.12 (Regla de la cadena). Sean A un abierto de Rn, B un abierto de Rm, f unaaplicación de A en Rm con f(A) ⊂ B y g una aplicación de B en Rp. Si f es diferenciableen el punto x0 ∈ A y g es diferenciable en el punto y0 = f(x0) ∈ B, entonces la aplicacióncompuesta h = g f es diferenciable en el punto x0; además,

h′(x0) = g′(y0) f ′(x0) = g

′(f(x0)

) f ′(x0).



Observación 2.13. La regla de la cadena, junto con la representación matricial de la dife-rencial descrita en (2.1), permite expresar las derivadas parciales de la función compuestaen términos de las parciales de las funciones componentes. Explícitamente: con las hipótesisy notación del teorema 2.12,

∂hi∂xj

(x0) =m∑

k=1

∂gi∂yk

(f(x0)

)∂fk∂xj

(x0)

para todos i = 1, 2, . . . , p y j = 1, 2, . . . , n.

A partir de la regla de la cadena se obtiene, para funciones de abiertos de Rn en R, elsiguiente resultado:

Teorema 2.14 (del valor medio). Sean A un abierto convexo de Rn y f :A → R una funcióndiferenciable en A. Dados a, b ∈ A, existe un punto c, situado en el segmento que une a y b,tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) = ∂f

∂x1(c)(b1 − a1) + . . .+

∂f

∂xn(c)(bn − an).

Observación 2.15. Cuando se consideran aplicaciones a valores vectoriales la fórmula ante-rior deja de ser válida; como ejemplo, considérese la aplicación f : [0, 2π] → R2 definida por

f(t) =(cos(t), sen(t)

).

El teorema del valor medio adopta en el caso de aplicaciones a valores vectoriales la formade una desigualdad:

Teorema 2.16. Sean A un abierto convexo de Rn y f :A → Rm una aplicación diferenciableen A. Existe una constante K, independiente de f , tal que para todos a, b ∈ A se tiene que

‖f(b)− f(a)‖ ≤ K sup

∣∣∣ ∂fi∂xj

(ta+ (1− t)b

)∣∣∣ : t ∈ [0, 1], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

‖b− a‖ .

Corolario 2.17. Sean A un abierto conexo de Rn (no necesariamente convexo) y f :A → Rm

una aplicación diferenciable en A. Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ A, entonces f es constante.

2.2. Derivadas de orden superior

A la vista del resultado 2.5, será suficiente considerar, en lo que ahora nos ocupa, única-mente funciones reales definidas en conjuntos abiertos de Rn.

Definición 2.18. Sea f una función real definida en un abierto A de Rn, que admite derivadasparciales en todos los puntos de A. Dichas parciales definen, a su vez, funciones de A en R,

Djf :A −→ R

x 7−→ Djf(x) =∂f

∂xj(x),

denominadas derivadas parciales primeras de f ; para éstas pueden existir también derivadasparciales en los puntos de A,

Di(Djf)(x) =∂

∂xi

(∂f

∂xj

)(x),

definiéndose así funciones en A que reciben el nombre de derivadas parciales segundas dela función f , y que se denotan por

Dijf(x) o∂2f

∂xi∂xj(x).

Se definen de forma análoga las derivadas parciales de f de orden m superior al segundo:Di1i2...imf(x).

Cuando la función f admite derivadas parciales hasta el orden k ≥ 1 en cada punto de Ay éstas son continuas en A, se dice que la función es de clase C k en A, y se representa porf ∈ C k(A).


2.2. Derivadas de orden superior 29

Si f es de clase C k en A para cada k ∈ N se dice que es de clase C∞ en A y se representapor f ∈ C∞(A).

Cuando se diga que f es de clase C 0 en A, denotado por f ∈ C 0(A), se querrá significarque f es continua en A.

Definición 2.19. Sea A un abierto de Rn. Se dice que una aplicación f :A→ Rm es de clase C k

en A si así lo es cada una de sus funciones componentes.

Observación 2.20. Si f :A → Rm es una aplicación de clase C k, k ≥ 1, en el abierto A de Rn,entonces f es diferenciable en A (véase el teorema 2.9).

Proposición 2.21. Sean A un abierto de Rn, B un abierto de Rm, f :A → B y g:B → Rp,ambas aplicaciones de clase C k en A y B, respectivamente. Entonces la aplicación compuestah = g f es de clase C k en A.

Al trabajar con funciones sencillas, por ejemplo polinomios en varias variables, se observaque derivadas parciales de orden superior respecto de las mismas variables, pero en distintoorden, son iguales. Los resultados más importantes que justifican esta igualdad de las “par-ciales cruzadas” son los de Young y de Schwarz (el de Clairaut es una versión anterior, peromás débil de este último, en tanto que exige como hipótesis la existencia y continuidad detodas las derivadas hasta el segundo orden).

Teorema 2.22 (de Schwarz). Sean f una función definida en un abierto A de Rn y x0 unpunto de A. Si las derivadas parciales

∂f

∂xi,

∂f

∂xjy

∂2f

∂xi ∂xj

existen en un entorno del punto x0, siendo además la última continua en dicho punto, en-

tonces también existe la derivada parcial∂2f

∂xj ∂xi(x0) y se tiene que

∂2f

∂xj ∂xi(x0) =

∂2f

∂xi ∂xj(x0).

Teorema 2.23 (de Young). Sean f una función definida en un abierto A de Rn y x0 un puntode A. Si las derivadas parciales ∂f/∂xi y ∂f/∂xj existen en todo punto de A y ambas sondiferenciables en x0, entonces se tiene que

∂2f

∂xj ∂xi(x0) =

∂2f

∂xi ∂xj(x0) .

Observaciones 2.24.

I) En la mayoría de los modelos matemáticos que se utilizan en la investigación científica,las magnitudes involucradas se suponen tan regulares (derivables con continuidad) comosea necesario, y es por tanto usual que en estas situaciones la igualdad de las derivadascruzadas se asuma, a tenor de los resultados precedentes, sin mayor dificultad.

La función cuyo estudio se propone en el ejercicio 2.19 proporciona un sencillo ejemploen sentido opuesto al de estos teoremas.

II) A la hora de representar las derivadas parciales de orden superior (o sucesivas), en la no-tación de Leibniz, se sigue el siguiente criterio de simplificación: al derivar sucesivamenterespecto de la misma variable esto se indica mediante un exponente que representa lamultiplicidad de esa derivada, esto es, el número de veces que se deriva sobre esa varia-ble; así, la expresión

∂m1+m2+...+mnf

∂xm11 ∂xm2

2 . . . ∂xmnn

(x)

representa la derivada de orden m1 + . . .+mn de f derivando mi veces respecto de cadavariable xi. Los números mi son enteros no negativos; si mi = 0 se entiende que no sederiva respecto de xi, en cuyo caso se omite el correspondiente término ∂x 0

i .

Para funciones suficientemente regulares, en virtud de los teoremas anteriores, el ordende derivación es irrelevante.



2.3. Fórmula de Taylor

La fórmula de Taylor para funciones de varias variables tiene el mismo significado con-ceptual que en el caso de una variable: aproximar localmente una función definida en unabierto A de Rn por un polinomio.

Este resultado se deduce fácilmente de la regla de la cadena 2.12 y la fórmula homónimacon resto de Lagrange para el caso unidimensional.

Teorema 2.25 (Fórmula de Taylor). Sean A un abierto de Rn, f :A→ R una función de claseC k+1 en A y x0 ∈ A. Si B(x0, r) ⊂ A (r > 0), para cada x ∈ B(x0, r) se tiene que

f(x) = f(x0) +1

1!

n∑

j1=1

∂f

∂xj1(x0)hj1 +

1

2!

n∑

j1,j2=1

∂2f

∂xj1∂xj2(x0)hj1hj2 + . . .

+1

k!

n∑

j1,...,jk=1

∂kf

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk(x0)hj1hj2 · · ·hjk

+1

(k + 1)!

n∑

j1,...,jk+1=1

∂k+1f

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk+1

(x0 + θh)hj1hj2 · · ·hjk+1,

siendo h = x− x0 = (h1, h2, . . . , hn) y θ ∈ (0, 1) un número que depende de x.

Observaciones 2.26.

I) Si x ∈ B(x0, r), el segmento de extremos x0 y x está totalmente contenido en B(x0, r), enparticular, el punto x0 + θh pertenece a dicha bola.

II) Haciendo uso del teorema de Schwarz 2.22, la fórmula de Taylor se expresa como

f(x) = f(x0) +

k∑

m=1

∑

j1+...+jn=m

1

j1!j2! · · · jn!∂mf

∂xj11 ∂xj22 . . . ∂xjnn

(x0)hj11 h

j22 · · ·hjnn

+∑

j1+...+jn=k+1

1

j1!j2! · · · jn!∂k+1f

∂xj11 ∂xj22 . . . ∂xjnn

(x0+ θh)hj11 hj22 · · ·hjnn ,

donde ji ∈ N ∪ 0 para todo i (se entiende, por convenio, que la derivación respecto de xi

no se efectúa si ji = 0). Para ello se ha tenido en cuenta que la derivada∂mf

∂xj11 ∂xj22 . . . ∂xjnn

aparecem!

j1!j2! · · · jn!veces al reordenar las variables de todas las formas posibles.

III) Con la notación del teorema 2.25), la diferencia

f(x0 + h)−1

(k + 1)!

n∑

j1,...,jk+1=1

∂k+1f

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk+1

(x0 + θh)hj1hj2 · · ·hjk+1

es un polinomio de grado menor o igual que k en las n variables h1, h2, . . . , hn, denomi-nado polinomio de Taylor de orden k de la función f en el punto x0, y que se denotahabitualmente por Tk(f,x0)(h).

IV) Puesto que f ∈ C k+1(A), si B es una bola cerrada y acotada (es decir, compacta) centradaen el punto x0 y contenida en A, todas sus derivadas parciales de orden k + 1 estánacotadas en dicha bola. Por tanto, si x0 + h ∈ B, el último sumando

1

(k + 1)!

n∑

j1,...,jk+1=1

∂k+1f

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk+1

(x0 + θh)hj1hj2 · · ·hjk+1,

denominado resto de Taylor de orden k, y que denotaremos por Rk(f,x0)(h), queda aco-tado como sigue: ∣∣Rk(f,x0)(h)

∣∣ ≤M ‖h‖k+1,

siendo M una constante real positiva.


2.3. Fórmula de Taylor 31

Esa última propiedad caracteriza el polinomio de Taylor de orden k de una función f declase C k+1. Explícitamente:

Lema 2.27. Sean A un abierto de Rn, f :A → R una función de clase C k+1 en A y x0 ∈ A. Elpolinomio de Taylor de orden k de f en el punto x0 es el único de entre todos los polinomios Pde grado menor o igual que k que verifica que

lımh→0

f(x0 + h)− P (h)

‖h‖k= 0.

Observaciones 2.28.

I) Si A es un abierto de Rn y Di, 1 ≤ i ≤ n, denota la aplicación

f ∈ C k+1(A) 7−→ Dif =∂f

∂xi∈ C k(A) ,

resulta que Di es lineal. Definamos para h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn el operador diferencial

Dh =

n∑

i=1

hiDi

y, para cada m ≤ k + 1, la composición

Dhm = Dh m. . . Dh : C k+1(A) → C k+1−m(A).

Dada una función de clase C k en un abierto A ⊂ Rn, si x0 ∈ A y m ≤ k, la aplicaciónde Rn en R dada por

h 7−→ Dhmf(x0)

recibe el nombre de diferencial de orden m de f en el punto x0 y se denota por

f (m)(x0) o dmf(x0).

La diferencial de orden m de una función en un punto es una aplicación dada por unpolinomio homogéneo de grado m; cuando m = 1 esta aplicación no es otra que la di-ferencial ordinaria de la función (una aplicación dada por un polinomio homogéneo degrado 1 es lineal).Con esta notación la fórmula de Taylor adquiere una expresión más familiar, acorde conel caso unidimensional:

f(x0 + h) = f(x0) +

k∑

m=1

1

m!f (m)(x0)(h) +

1

(k + 1)!f (k+1)(x0 + θh)(h).

II) Es posible mejorar el lema 2.27 en términos del polinomio de Taylor de grado k + 1.Explícitamente, con las mismas hipótesis de aquel resultado y la notación del apartadoanterior, se tiene que

f(x0 + h) = f(x0) +f ′(x0)(h)

1!+ . . .+

f (k)(x0)(h)

k!+f (k+1)(x0)(h)

(k + 1)!+ ε(h) ‖h‖k+1

, (2.2)

siendo ε una función tal quelımh→0

ε(h) = 0.

En los siguientes ejemplos se presentan versiones particulares de la fórmula de Taylor,correspondientes a dos casos muy comunes.

Ejemplos 2.29.

I) Sea f una función de clase C 4 en el disco abierto B(a, r) ⊂ R2. Para cada h ∈ R2 con‖h‖ < r existe un número θ ∈ (0, 1) tal que

f(a+ h) = f(a) +(∂f∂x

(a)h1 +∂f

∂y(a)h2

)+

(12

∂2f

∂x2(a)h1

2 +∂2f

∂x∂y(a)h1h2 +

1

2

∂2f

∂y2(a)h2

2)

+(16

∂3f

∂x3(a)h1

3 +1

2

∂3f

∂x2∂y(a)h1

2h2 +1

2

∂3f

∂x∂y2(a)h1h2

2 +1

6

∂3f

∂y3(a)h2

3)

+1

4!f (4)(x0 + θh)(h).



II) Sea f una función de clase C 4 en la bola abierta B(a, r) ⊂ R3. Para cada h ∈ R3 con‖h‖ < r existe un número θ ∈ (0, 1) tal que

f(a+ h) = f(a) +(∂f∂x

(a)h1 +∂f

∂y(a)h2 +

∂f

∂z(a)h3

)

+(12

∂2f

∂x2(a)h1

2 +1

2

∂2f

∂y2(a)h2

2 +1

2

∂2f

∂z2(a)h3

2

+∂2f

∂x∂y(a)h1h2 +

∂2f

∂x∂z(a)h1h3 +

∂2f

∂y∂z(a)h2h3

)

+(16

∂3f

∂x3(a)h1

3 +1

6

∂3f

∂y3(a)h2

3 +1

6

∂3f

∂z3(a)h3

3 +1

2

∂3f

∂x2∂y(a)h1

2h2

+1

2

∂3f

∂x2∂z(a)h1

2h3 +1

2

∂3f

∂x∂y2(a)h1h2

2 +1

2

∂3f

∂x∂z2(a)h1h3

2

+1

2

∂3f

∂y2∂z(a)h2

2h3 +1

2

∂3f

∂y∂z2(a)h2h3

2 +∂3f

∂x∂y∂z(a)h1h2h3

)

+1

4!f (4)(x0 + θh)(h).

Si en ambos casos se supone únicamente que la función f es de clase C 3, el últimosumando se ha de escribir como ε(h) ‖h‖3, igual que en la fórmula (2.2).

Notación: El término ε(h) ‖h‖k se denota también por o(‖h‖k

)en h0 = 0.

En general, si A ⊂ Rn, a ∈ A′ y f, g son dos funciones reales definidas en A, se dice quef es una o de g en a (léase “f es una o pequeña de g en a”), y se escribe ‘f = o(g) en a’,si existe una función ε definida en A ∩ B(a, δ) para algún δ > 0, con lım

x→aε(x) = 0 y tal que

f(x) = ε(x) g(x) para cada x ∈ A ∩B(a, δ) . Esta notación fue introducida por Landau.

2.4. Extremos relativos

Una de las aplicaciones más notables de la fórmula de Taylor, como ocurre en el caso defunciones reales de una variable real, consiste en el estudio de extremos relativos.

Definición 2.30. Sean f una función real definida en un abierto A de Rn y a un punto de A.Se dice que f presenta un máximo (resp. mínimo) local o relativo en ese punto si existe unentorno V de a, contenido en A (una bola centrada en a, si se prefiere), tal que

f(x) ≤ f(a)(resp. f(x) ≥ f(a)

)para todo x ∈ V.

En cualquiera de los dos casos se dice que f presenta un extremo local o relativo en el puntoa. Si las desigualdades anteriores son estrictas para cada x 6= a, se dice que el extremo(máximo o mínimo) es estricto.

Teorema 2.31 (Condición necesaria de extremo relativo). Sean A un abierto de Rn, a unpunto de A y f una función de A en R que es diferenciable en a. Es condición necesaria paraque f presente un extremo relativo en a que su diferencial en dicho punto sea nula, f ′(a) = 0,o dicho de otra forma, que

∇f(a) = 0, es decir,∂f

∂xj(a) = 0 para cada j = 1, 2, . . . , n.

Observación 2.32. Con la notación del teorema anterior, si ∇f(a) = 0 se dice que a es unpunto crítico de f . Así pues, los posibles extremos relativos de una función diferenciablese localizan entre los puntos críticos de la función. Un punto crítico donde la función nopresenta un extremo relativo se llama punto de silla.

Antes de dar condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos, haremos unabreve revisión de algunos conceptos algebraicos que serán fundamentales para este estudio.


2.4. Extremos relativos 33

2.4.1. Formas cuadráticas

Definición 2.33. Una forma cuadrática en Rn es una aplicación Q:Rn → R dada por unpolinomio homogéneo de grado 2, es decir, de la forma

Q(x) = Q(x1, x2, . . . , xn) =∑

1≤i≤j≤n

cij xi xj , con cij ∈ R. (2.3)

Se dice que la forma cuadrática Q es definida positiva (resp. negativa) si Q(x) > 0 (resp.Q(x) < 0) para cada x ∈ Rn, x 6= 0.

Se dice que la forma cuadrática Q es semidefinida positiva (resp. negativa) si Q(x) ≥ 0(resp. Q(x) ≤ 0) para cada x ∈ Rn.

Se dice que la forma cuadrática Q en Rn es indefinida si no es semidefinida, es decir, sitoma valores estrictamente positivos y negativos en distintos puntos de Rn.

En la observación 1.77 ya indicamos que a toda forma cuadrática se le asocia una matrizsimétrica A mediante la expresión

Q(x1, x2, . . . , xn) = Q(x) = xAxt. (2.4)

Los siguientes resultados proporcionan criterios para determinar el carácter de la formacuadrática Q a partir de la matriz A.

Teorema 2.34. Si A es una matriz cuadrada y simétrica con coeficientes reales, todos susautovalores son reales.

Proposición 2.35. Sea Q una forma cuadrática en Rn representada por la matriz simétrica Asegún (2.4).

I) Q es semidefinida positiva si, y sólo si, todos los autovalores de A son mayores o igualesque 0. Es definida positiva si, y sólo si, todos los autovalores de A son positivos.

II) Q es semidefinida negativa si, y sólo si, todos los autovalores de A son menores o igualesque 0. Es definida negativa si, y sólo si, todos los autovalores de A son negativos.

III) Q es indefinida si, y sólo si, A tiene al menos un autovalor positivo y al menos otronegativo.

Proposición 2.36 (Criterio de Sylvester). Sea Q una forma cuadrática en Rn representadapor la matriz simétrica A =

(aij

)1≤i,j≤n

. Para cada k = 1, 2, . . . , n se denota

∆k = det(aij

)1≤i,j≤k

.

Entonces:

I) Q es definida positiva si, y sólo si, ∆k > 0 para cada k = 1, 2, . . . , n.

II) Q es definida negativa si, y sólo si, (−1)k∆k > 0 para cada k = 1, 2, . . . , n.

Volviendo al problema que nos ocupaba:

Definición 2.37. Sean A un abierto de Rn, a ∈ A y f una función de clase C 2 en A. La matriz(simétrica en virtud del teorema de Schwarz 2.22)

Hf(a) =

(∂2f

∂xi∂xj(a)

)

1≤i,j≤n

se denomina matriz hessiana 2 de f en el punto a.

Observación 2.38. Si f es una función de clase C 2 en un entorno del punto a ∈ Rn, entoncespara valores de h suficientemente pequeños se tiene que

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)(h) +1

2hHf(a)ht + o

(‖h‖2

).

2El nombre, en honor a L. O. Hesse, fue introducido por J. J. Sylvester.



A partir de esta representación local se deducen los siguientes resultados:

Teorema 2.39 (Condiciones necesarias de extremo relativo). Sean A un abierto de Rn, aun punto de A y f :A → R una función de clase C 2 en A con f ′(a) = 0. Si f presenta unmínimo (resp. máximo) relativo en a, la forma cuadrática h 7→ hHf(a)ht es semidefinidapositiva (resp. negativa).

En consecuencia, si esta forma cuadrática es indefinida, f no puede presentar extremosen el punto a.

Teorema 2.40 (Condiciones suficientes de extremo relativo). Sean A un abierto de Rn, aun punto de A y f :A→ R una función de clase C 2 en A y tal que f ′(a) = 0. Entonces:

I) Si la forma cuadrática h 7→ hHf(a)ht es definida positiva (resp. negativa), entonces fpresenta un mínimo (resp. máximo) relativo estricto en a.

II) Si las formas cuadráticas h 7→ hHf(x)ht son semidefinidas positivas (resp. negativas)para todos los puntos x de un entorno de a, entonces f presenta un mínimo (resp.máximo) relativo en a.

Por último, mencionaremos que es posible generalizar estos criterios de existencia deextremos relativos, al igual que sucede en el caso de abiertos de la recta, en términos delas diferenciales de orden superior. Obsérvese que, si f ′(a) = f ′′(a) = . . . = f (2k−1)(a) = 0, paravalores pequeños de h se tiene que

f(a+ h)− f(a) =1

(2k)!f (2k)(a+ θh)(h).

Un argumento de continuidad (con más precisión, ver la fórmula (2.2)) muestra que el términode la derecha tiene el mismo signo que f (2k)(a)(h) en un entorno de h0 = 0, de donde sededuce el siguiente resultado.

Teorema 2.41. Sea f una función de clase C 2k en un abierto A de Rn tal que todas susderivadas parciales de orden m < 2k se anulan en un punto a ∈ A.

I) Si f (2k)(a)(h) > 0 para cada h ∈ Rn \0, entonces f presenta un mínimo relativo estrictoen el punto a.

II) Si f (2k)(a)(h) < 0 para cada h ∈ Rn\0, entonces f presenta un máximo relativo estrictoen el punto a.

En realidad, las condiciones de los apartados del teorema anterior se pueden debilitar,pues basta pedir que la aplicación h 7→ f (2k)(x)(h) sea semidefinida positiva (resp. negativa)para todos los x en un entorno del punto a (como se hizo en 2.40.II); en cualquier caso, elestudio de estas situaciones se complica enormemente para k > 1.

Ejercicios

2.1 Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y segúnlas direcciones que se indican:

I) f(x, y, z) = x3 + 2y3 + 3z, en (1, 1, 0) según la dirección (1,−1, 2).

II) f(x, y, z) =(xy

)α, para x > 0, y > 0, siendo α > 0, en el punto (1, 1, 1), según el vector

(2, 1,−1).

III) f(x, y, z) = sen(xyz), en (π, 1, 1) según la dirección (2, 0, 1).

2.2 Estudiar la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en (0, 0)de las siguientes funciones de R2 en R:

I) f(x, y) =√

|xy|.

II) f(x, y) =

xy log(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

III) f(x, y) =

xy4

x4 + y8si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).


Ejercicios 35

2.3 Estudiar la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en(0, 0, 0) de las siguientes aplicaciones de R3 en R:

I) f(x, y, z) =

xy2

x2 + y4 + z2si (x, y, z) 6= (0, 0, 0),

0 si (x, y, z) = (0, 0, 0).

II) f(x, y, z) =∫ |xyz|

0

et2

dt.

2.4 Estudiar la diferenciabilidad en R2 de las siguientes funciones:

I) f(x, y) =

xy√x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

II) f(x, y) =

xy − y√x2 + y2 − 2x+ 1

si (x, y) 6= (1, 0),

0 si (x, y) = (1, 0).

III) f(x, y) =

x3

x2 − y2si x2 − y2 6= 0,

0 si x2 − y2 = 0.

2.5 Probar que la función real f , definida por

f(x, y) =

(x2 + y2) sen

(1√

x2 + y2

)si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),

es diferenciable en todo R2 y, sin embargo, las derivadas parciales de f no son continuas enel punto (0, 0).

2.6 Sea g una función real definida en un entorno V de 0 ∈ Rn, y tal que existen K ≥ 0 yr > 1 de manera que ∣∣g(x)

∣∣ ≤ K ‖x‖r para todo x ∈ V.

Probar que g es diferenciable en 0.

2.7 Dado r > 0 se considera la función definida en R2 por

f(x, y) = max|x|r, |y|r

=

(max

|x|, |y|

)r.

Estudiar la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad de f en R2

según los valores de r.

2.8 Sean f y g dos funciones reales definidas en un abierto A de Rn y a un punto de A.Demostrar que si f es continua en a, g es diferenciable en a y g(a) = 0, entonces fg esdiferenciable en a, y su diferencial es

(fg)′(a) = f(a)g′(a).

2.9 Sea fp la función de R2 en R definida por:

fp(x, y) =

|x y|px2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).

Discútanse, según los valores de p > 0, la continuidad, existencia de derivadas direccionalesy diferenciabilidad de fp en (0, 0).

2.10 Estudiar la diferenciabilidad de la aplicación f : R2 → R3 dada por

f(x, y) =

(cos(x+ y), log(1 + x2 + y2),

ey − 1

y

)si y 6= 0,

(cos(x), log(1 + x2), 1

)si y = 0.



2.11 Estudiar la diferenciabilidad de la aplicación f : R2 → R3 dada por

f(x, y) =

(ex+y, sen(x− y), x2 sen

(1/x

))si x 6= 0,

(ey, sen(−y), 0

)si x = 0.

2.12 Suponiendo que todas las funciones involucradas son diferenciables, calcular:

I) u′(t), siendo u(t) = f(x(t), y(t), z(t)

).

II)∂u

∂ry∂u

∂s, siendo u(r, s) = f

(x(r, s), y(r, s), z(r, s)

).

III)∂u

∂r,∂u

∂sy∂u

∂t, siendo u(r, s, t) = f

(x(r, s, t), y(r, s, t), z(r, s, t)

).

IV)∂u

∂r,∂u

∂sy∂u

∂t, siendo u(r, s, t) = f

(x(r, s, t)

).

2.13 Sean f y g dos funciones reales definidas en (0,∞), ambas derivables en t0 = 1. Sedefine la función u : (0,∞)× (0,∞) → R por

u(x, y) = f(xy) + g(y/x

).

Calcular, si existen,∂u

∂x(1, 1) y

∂u

∂y(1, 1).

2.14 Demostrar que, si f es una función real derivable en R, la función u definida en R2 poru(x, y) = f(x2y) verifica la ecuación

x∂u

∂x(x, y)− 2 y

∂u

∂y(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ R2.

2.15 Sean g1, g2 las funciones definidas en R3 por

g1(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g2(x, y, z) = x+ y + z,

y g:R3 → R2 la aplicación dada por g = (g1, g2). Si f es una función real diferenciable en R2 yh es la función compuesta h = f g, probar que

‖∇h‖2 = 4(D1f g)2g1 + 4(D1f g)(D2f g)g2 + 3(D2f g)2.

2.16 Sea fp la función de R2 en R definida por:

fp(x, y) =

|x|px2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).

I) Discútanse, según los valores de p > 0, la continuidad, existencia de derivadas direccio-nales y diferenciabilidad de fp en (0, 0).

II) Sea F :R2 → R2 la aplicación definida por

F (x, y) =(x+ cos(y), f4(x, y)

).

Justifíquese la diferenciabilidad de G = F F + F en (0, 0) y calcúlese G′(0, 0).

2.17 Sean a = (1,−1), u = (−3, 2), v = (2, 1). Se sabe que la función f :R2 → R es diferenciableen a y que

f(a) = 1, Duf(a) = 1, y Dvf(a) = 4.

I) Calcúlese ∇f(a).II) Pruébese que la función g, definida en R por g(t) = f

(t, cos(πt)

), es derivable en el punto

t = 1 y calcúlese g′(1).

III) Calcúlese la derivada direccional de g f en a según la dirección de (3, 4).


Ejercicios 37

2.18 En cada uno de los siguientes casos comprobar que las dos derivadas parciales cruza-das de segundo orden de f son iguales:

I) f(x, y) = x4 + y4 − 4 sen(xy).

II) f(x, y) =1

xcos(y2), x 6= 0.

III) f(x, y) = arctg(yx

), x 6= 0.

IV) f(x, y) = arctg( xy

1 + x2 + y2

)

V) f(x, y) = log(1 + xy), x > 0, y > 0.

2.19 Comprobar que si f es la función definida en R2 por

f(x, y) =

x y (x2 − y2)

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),

existen las dos derivadas parciales cruzadas de segundo orden de f en el origen, pero no soniguales. ¿Contradice esto el teorema de Schwarz?

2.20 Sea f :R2 → R una función cuyas derivadas parciales de primer orden existen y sondiferenciables. Sea F :R2 → R definida por:

F (r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)

).

Calcular, en función de las derivadas parciales de f , las derivadas siguientes:

∂F

∂r,

∂F

∂θ,

∂2F

∂r2,

∂2F

∂θ2,

∂2F

∂r∂θ,

∂2F

∂θ∂r.

2.21 Sea f :R → R una función con derivada segunda continua en todo punto, tal quef ′′(t) 6= 0 para cada t ∈ R. Sea g una función de clase C 2 en R2 que satisface en todo punto(x, y) ∈ R2 la ecuación funcional de Laplace,

∂2g

∂x2(x, y) +

∂2g

∂y2(x, y) = 0 . (2.5)

Demostrar que la función F = f g también satisface (2.5) si, y sólo si, g es constante.

2.22 Comprobar que la función g definida en V = R2 \ (a, b) por

g(x, y) = log(√

(x− a)2 + (y − b)2)

satisface la ecuación de Laplace (2.5) en el abierto V .

2.23 Sea a > 0. Comprobar que la función real u definida en (0,∞)× R por

u(x, t) =1

2a√πte−

(x−b)2

4a2t

verifica la ecuación del calor∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2.

2.24 Sea f una función real de clase C 2 en R2. Si la función u, definida por

u(x, y) = f(x, y) eax+by,

es tal que∂2u

∂x∂y= 0, encontrar los valores de a y b para los que se puede asegurar que

∂2f

∂x∂y− ∂f

∂x− ∂f

∂y+ f = 0 .



2.25 Sea g:R → R una función de clase C∞. Se define f :R2 → R por

f(x, y) = g(ax+ by + c), a, b, c ∈ R.

Calcular todas las derivadas sucesivas de f en función de las de g.

2.26 Sea f una función de clase C 2 en R2 \ (0, 0). Comprobar que

1

x2 + y2

(∂2f

∂x2(x, y) +

∂2f

∂y2(x, y)

)= 4

(∂2g

∂u2(u, v) +

∂2g

∂v2(u, v)

),

donde f(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)

), siendo u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = 2x y .

2.27 Sea f una función de clase C 2 en (0,∞)× (0,∞). Comprobar que

1

4xy

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2g

∂u2(u, v)− ∂2g

∂v2(u, v),

donde f(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)

), siendo u(x, y) = x2 + y2, v(x, y) = x2 − y2.

2.28 Utilícese la fórmula de Taylor para expresar las siguientes funciones polinómicas enpotencias de (x− 1) e (y − 2):

I) g(x, y) = x2 + x y + y2 + 2x .

II) f(x, y) = x3 + y3 + x y2 + x− y .

2.29 Determinar los desarrollos de Taylor de orden 3 de las siguientes funciones en lospuntos que se indican:

I) f(x, y) = sen(x+ 2y), en el punto (0, 0).

II) f(x, y) = e(x−1)2 cos(y), en el punto (1, 0).

III) f(x, y) = cos(x− y), en el punto (1, 1).

IV) f(x, y) = log(1 + xy)ex+y, en el punto (0, 0).

2.30 Sea f :R2 → R de clase C 2 en Rn, positiva y tal que existe M > 0 verificando que∣∣Dijf(x)

∣∣ ≤M, i, j = 1, 2, . . . , n.

Demostrar que para cada x ∈ Rn se tiene que ‖∇f(x)‖2 ≤ 2M nf(x), concretamente:∣∣Dif(x)

∣∣2 ≤ 2M f(x), i = 1, 2, . . . , n.

2.31 Sea f una función real, no negativa y de clase C 2 en un entorno V de 0 en Rn. Sesupone que ∇f(0) = 0, y que el conjunto B = x ∈ Rn : |xi| ≤ 2 c , 1 ≤ i ≤ n está contenidoen V y en él se verifica la acotación

∣∣Dijf(x)∣∣ ≤M, i, j = 1, 2, . . . , n, M > 0.

Demostrar que para x ∈ Rn, con |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ≤ c, se tiene que∣∣Dif(x)

∣∣2 ≤ 2M f(x), i = 1, 2, . . . , n.

2.32 Calcular, si existen, los siguientes límites:

I) lım(x,y)→(0,0)

sen(x) sen(y)− xy

x2 + y2.

II) lım(x,y)→(0,0)

x(ex2+y2 − 1

)2tg(xy)− sen(xy)

1− cos(x) cos(y).

III) lım(x,y)→(0,0)

arctg(xy)− xy

log(1 + x+ y)− x− y.

IV) lım(x,y)→(0,0)

cos(xy) + sen(x2 + y)− 1− y − x2

x2 + y2.


Ejercicios 39

2.33 Calcular los extremos relativos de las siguientes funciones definidas en R2:

I) f(x, y) = x2 + y3.

II) f(x, y) = x6 + y4.

III) f(x, y) = 2x2 − 4x y + y4 − 1.

IV) f(x, y) = x2 − 2x y + y2 + x4 + y4.

V) f(x, y) =∫ y

x

sen(t)dt.

VI) f(x, y) = x3 − 3x2 + 2 y3 + 3 y2.

VII) f(x, y) = x2e−x2−y2 .

2.34 Sea C = [0, π]× [0, π]. Se define f :C → R por

f(x, y) =

x(π − y) si x ≤ y,

y(π − x) si x > y.

Estudiar la continuidad de f y encontrar el máximo absoluto de f en C.

2.35 Determinar los extremos relativos de la función

f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy.

2.36 Discutir, según los valores del parámetro a, las cuestiones que se proponen:

I) La existencia de extremos relativos de la función

f(x, y) = x3 − 3ax2 − 4ay2 + 1.

II) La presencia en el punto (0, 0) de un extremo relativo de la función

g(x, y) = a(2xy + y2 + yx2 + cos(x+ y)

)+ x2(a2 − y).

2.37 Demostrar la desigualdad

x2 + xy + y2 +a3

x+a3

y≥ 3

3√3 a2 si x > 0, y > 0,

siendo a una constante positiva.Sugerencia: Localizar primero los extremos locales de una función adecuada y concluir que uno de

ellos es de hecho un extremo absoluto.

2.38 Sean A y B dos conjuntos abiertos de Rn y Rm, respectivamente, f :A → R, g:B → A,b ∈ B y a = g(b).

I) Si g es una biyección, demostrar que f alcanza un extremo absoluto en a si, y sólo si,f g alcanza un extremo absoluto en b.

II) Suponiendo que g es un homeomorfismo de un entorno de b sobre un entorno de a,demuéstrese que f presenta un extremo relativo en el punto a si, y sólo si, f g presentaun extremo relativo en b.

III) Aplicar lo anterior para:

1. Determinar los extremos relativos de la función

f(x, y) = cos(xy)− cos(x/y

)

en el conjunto A = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0.Sugerencia: Considérese la aplicación definida por g−1(x, y) =

(

x y , x/y

)

.

2. Determinar los extremos locales de la función

f(x, y) =(arctg

(y/x

)− 1

)2

+ (x2 + y2)1/2(x2 + y2 − 3),

en el conjunto A = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0.Sugerencia: Considérese g: (0,∞)× (0, π/2) → A definida por g(r, θ) =

(

r cos(θ), r sen(θ))

.



2.39 Encuéntrense los extremos relativos de la función f : (0,∞)n → R dada por

f(x1, x2, . . . , xn) = x1x2 · · ·xn + an+1( 1

x1+

1

x2+ . . .+

1

xn

), a > 0.

2.40 Sea a = (a1, a2, . . . , an) un punto de Rn. Se define la función real f en Rn por

f(x) = exp(− ‖x‖2 − 〈a,x〉

),

donde ‖x‖2 = x12 + x2

2 + · · ·+ xn2 y 〈a,x〉 = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn.

I) Demuéstrese que f se anula en el infinito, es decir, que para cualquier ε > 0 existe unaconstante M > 0 tal que

|f(x)| ≤ ε si ‖x‖ ≥M.

II) Estúdiese si f alcanza máximo o mínimo absolutos en Rn y, caso de existir, calcúlense.

2.41 Sean A un abierto convexo de Rn y f :A → R una función de clase C 2 tal que Hf(x) essemidefinida positiva para cada x ∈ A. Probar que el conjunto

V =(x1, x2, . . . , xn, z) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ A , f(x1, x2, . . . , xn) < z

es un abierto convexo de Rn+1.

2.42 Dado n ∈ N, para cada i = 1, 2, . . . , n sean (ai, bi) un intervalo de R y fi: (ai, bi) → R.Se considera producto tensorial g = f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn definido en el producto cartesianoA = (a1, b1)× (a2, b2)× · · · × (an, bn) (ver ejercicio 1.49)

I) Si fi es derivable en ci ∈ (ai, bi), probar que g es diferenciable en c = (c1, c2, . . . , cn).

II) Más aún, supuesto que fi es de clase C∞ en (ai, bi) , i = 1, 2, . . . , n, probar que g es declase C∞ en A y calcular

∂m1+m2+...+mng

∂xm11 ∂xm2

2 . . . ∂xmnn

.

III) Fijado k ∈ N, supongamos que son conocidos los desarrollos de Taylor de orden k de cadafunción fi en un punto ci ∈ (ai, bi), i = 1, 2, . . . , n. Proponer y describir un procedimientogeneral para calcular el desarrollo de Taylor de orden k de g en el punto c sin necesidadde recurrir a derivaciones.

IV) Ilustrar los puntos anteriores con la función g definida en un entorno de 0 ∈ R3 por

g(x, y, z) = cos(x) ln(1 + y) (1 + z2) ;

en particular, aplíquese el método de III) en el punto (0, 0, 0) y para k = 2.

Tema 3

Aplicaciones diferenciables

Partiendo de la idea de aproximación lineal que representa la diferenciabilidad de unafunción, no es de extrañar que ciertos conceptos de Álgebra Lineal elemental, tales como elde rango, aplicación inversa, etc., tengan su análogo en el Cálculo Diferencial.

Los resultados centrales de este tema son el teorema de las funciones inversas y el teorema

de las funciones implícitas, cuya versión lineal son los teoremas clásicos de Cramer y Rouchédel Álgebra Lineal; de hecho, si nos remontamos un poco en el tiempo, es curioso observarque estos y otros resultados que se presentan en esta teoría aparecen enunciados de formapuramente algebraica (en términos de series de potencias de variable compleja) antes de laque podríamos denominar formulación moderna. Pensar en el caso lineal puede servir degran ayuda a la hora de comprender el significado y alcance de estos teoremas.

Se pueden encontrar en la literatura existente diversos métodos de demostración de estosteoremas. En cualquier caso, el punto más delicado radica en demostrar la existencia de talesfunciones, siendo luego el estudio de la regularidad una cuestión prácticamente rutinaria. Eneste sentido, la exposición que realizamos requiere de un resultado sobre puntos fijos quemotiva la primera sección.

3.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo

Los conceptos y resultados que se presentan en esta sección se enmarcan en el contextode los espacios euclídeos, lo que es suficiente para nuestros propósitos. No obstante, admitenuna generalización en el marco de los espacios métricos que proporciona una herramientateórica muy fructífera en la Teoría de Funciones, como el método de Picard, destinado a laprueba de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales. También son elgermen de numerosos métodos numéricos iterativos (basados en técnicas de aproximaciones

sucesivas). En todos los casos el punto de partida es formular los problemas en términos depuntos fijos, es decir, expresados como una ecuación del tipo f(x) = x .

Definición 3.1. Supongamos que X es un conjunto no vacío de Rn y que f :X → Rn es unaaplicación. Si un punto x0 ∈ X es tal que f(x0) = x0 se dice que x0 es un punto fijo de f .

Definición 3.2. Sean A ⊂ Rn y f una aplicación de A en Rm.

Se dice que f es lipschitziana 1 si existe una constante K tal que

‖f(x)− f(y)‖Rm ≤ K ‖x− y‖Rn para todos x,y ∈ A .

En particular, si K < 1 se dice que f es contractiva.

Si para todos x,y ∈ A se tiene que ‖f(x) − f(y)‖Rm = ‖x − y‖Rn se dice que f es unaisometría (entre A y f(A)).

Teorema 3.3 (del punto fijo, de Banach). Sea X un subconjunto cerrado de Rn. Si f :X→Xes una aplicación contractiva, entonces f tiene un único punto fijo.

Corolario 3.4. Sea X un subconjunto cerrado de Rn. Si f :X → X es una aplicación tal quepara algún p ∈ N se tiene que f [p] = f f p. . . f es contractiva, entonces f tiene un únicopunto fijo.

1en honor a R. Lipschitz

41

42 Tema 3. Aplicaciones diferenciables

Observaciones 3.5.

I) Precisando un poco más, el teorema anterior se demuestra probando que partiendo decualquier punto a ∈ X la sucesión xk∞k=1 definida recurrentemente por

x1 = f(a) , x2 = f(x1) = f(f(a)) , . . . , xk = f(xk−1) = f[k](a) ,

converge hacia el punto fijo de f ; es decir, los términos de la sucesión xk∞k=1 propor-cionan aproximaciones a la solución exacta de la ecuación f(x) = x , este procedimientose conoce con el nombre de método de aproximaciones sucesivas.

II) La convergencia de la sucesión anterior equivale a su carácter de Cauchy. El teoremase enuncia de igual forma en los denominados espacios métricos completos que son,precisamente, aquellos en los que toda sucesión de Cauchy es convergente; es evidenteque todo subconjunto cerrado de Rn es completo en virtud de la proposición 1.40 y elteorema 1.42.

3.2. Funciones inversas

El objetivo de esta sección es estudiar condiciones suficientes para que una función, defi-nida en un abierto A de Rn y con llegada en Rn, sea localmente invertible en el entorno de unpunto a ∈ A, así como obtener propiedades de regularidad sobre la función inversa a partirde la regularidad de la función.

Definición 3.6. Sean A un abierto de Rn, a un punto de A y f una aplicación de A en Rn quees diferenciable en a. Se denota por Jf(a) al determinante de la matriz jacobiana de f en a:

Jf(a) = det∂(f1, f2, . . . , fn)

∂(x1, x2, . . . , xn)= det

(Djfi(a)

)1≤i,j≤n

y se denomina determinante jacobiano, o simplemente jacobiano, de f en a.

Teorema 3.7 (de las funciones inversas). Sean A un abierto de Rn y f :A → Rn una apli-cación de clase C k (k ≥ 1) en A. Si a ∈ A es tal que la aplicación lineal f ′(a) es regular, oequivalentemente, tal que Jf(a) 6= 0, entonces existen un abierto V que contiene al puntoa, y un abierto W que contiene al punto f(a), tales que f aplica biyectivamente V en W y laaplicación inversa f−1:W → V es también de clase C k en W y se tiene que

(f−1

)′(f(x)

)=

(f ′(x)

)−1, x ∈ V,

o lo que es lo mismo, (f−1

)′(y) =

(f ′(f−1(y))

)−1, y ∈W.

Observaciones 3.8.

I) La última fórmula es una igualdad de aplicaciones lineales que implica, en particular,que la matriz jacobiana de f−1 en el punto f(x) es la inversa de la matriz jacobiana de fen x, y en consecuencia

Jf−1(f(x)

)=

1

Jf(x), x ∈ V.

II) A diferencia del caso lineal, en el que la inversibilidad es global, este teorema tiene carác-ter local, es decir, la regularidad de la matriz jacobiana de f en el punto a sólo garantiza,en general, la inyectividad de f en un entorno del punto a; considérese, por ejemplo, laaplicación

f : R2 → R2

(x, y) 7→(ex cos(y), ex sen(y)

),

a la que se puede aplicar el teorema anterior en cada punto, pero que no es inyectivaen R2, y no admite por lo tanto inversa global.

III) Del teorema de la función inversa se deduce que toda aplicación de un abierto de Rn enRn de clase C 1 y cuyo jacobiano es distinto de cero en todos los puntos de su dominio esuna aplicación abierta, es decir, transforma conjuntos abiertos en conjuntos abiertos.


3.2. Funciones inversas 43

3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas

De forma escueta relataremos una serie de pasos y reducciones del problema que ayudana tener una visión más clara del proceso deductivo. La notación y las condiciones serán comoen el enunciado del teorema 3.7.

Paso 1 Reducción del problema a otro más sencillo

Lema 3.9. Fijado un punto c ∈ Rn la traslación τc:Rn → Rn definida por τc(x) = x− c es una

isometría (por tanto homeomorfismo) de clase C∞, cuyo jacobiano es igual a 1 en todo punto.

Notemos que la aplicación f1(x) = f(x+ a)− f(a), verifica f1(0) = 0 y f ′1(0) = f

′(a).

Lema 3.10. Sea λ:Rn → Rn un isomorfismo lineal. La aplicación f es inyectiva en un entornode a con inversa diferenciable, si y sólo si, lo es la aplicación f2 = λ f .

Si λ =(f ′(a)

)−1, entonces f ′

2(a) = IdRn ; además f−12 = f−1 λ−1, o bien f−1 = f−1

2 λ .

En definitiva, se puede suponer sin pérdida de generalidad que

a = 0 , f(a) = 0 y f ′(0) = IdRn .

Paso 2 Aplicación del teorema de Banach: existencia de la inversa

Lema 3.11. Sea g(x) = x− f(x). Existe un r > 0 tal que para cada x ∈ B(0, r) se tiene que

‖g(x)‖ ≤ 1

2‖x‖ ≤ r

2.

Corolario 3.12. Fijado y ∈ B(0, r/2) la aplicación hy definida en B(0, r) por hy(x) = y+x−f(x)tiene su imagen contenida en B(0, r) y es contractiva:

‖hy(x1)− hy(x2)‖ ≤ 1

2‖x1 − x2‖ , x1,x2 ∈ B(0, r) .

El teorema del punto fijo asegura entonces que para y ∈ B(0, r/2) existe un único puntofijo de hy, esto es, un único x ∈ B(0, r) con x = h(x) = y + x − f(x), o lo que es lo mismo,y = f(x) o x = f−1(y) .

Paso 3 Continuidad y diferenciabilidad de la inversa local

Dados x1,x2 ∈ B(0, r) se tiene que

‖x1 − x2‖ ≤ ‖f(x1)− f(x2)‖+ ‖g(x1)− g(x2)‖ ≤ ‖f(x1)− f(x2)‖+1

2‖x1 − x2‖ .

De lo anterior se sigue que ‖x1 − x2‖ ≤ 2 ‖f(x1)− f(x2)‖ para x1,x2 ∈ B(0, r), en particular,si y1,y2 ∈ B(0, r/2), poniendo x1 = f−1(y1) y x2 = f−1(y2), se deduce que

‖f−1(y1)− f−1(y2)‖ ≤ 2 ‖y1 − y2‖ .

Lema 3.13. Existe 0 < ρ ≤ r/2 tal que para cada y ∈ B(0, ρ) la aplicación lineal f ′(x) esinvertible, siendo x = f−1(y). Además, por la compacidad de B(0, ρ) existe M ≥ 0 con

‖(f ′(x)

)−1(z)‖ ≤M ‖z‖ para todo y ∈ B(0, ρ) y z ∈ Rn.

Ahora es fácil probar que, si y1,y2 ∈ B(0, ρ), x1 = f−1(y1) y x2 = f−1(y2), entonces

‖f−1(y2)− f−1(y1)−(f ′(x1)

)−1(y2 − y1)‖

‖y1 − y2‖≤ 2M

∥∥f ′(x1)(x2 − x1)−(f(x2)− f(x1)

)∥∥‖x1 − x2‖

−→y2→y1

0 ,

lo que implica que f−1 es diferenciable en y1 y que(f−1

)′(y1) =

(f ′(x1)

)−1.

Paso 4 Regularidad de la inversa local

Las derivadas parciales de f−1 son los coeficientes de la matriz que, en la base estándar,representa a

(f−1

)′(y) =

(f ′(f−1(y))

)−1. La bien conocida fórmula para la inversa de una

matriz (regla de Cramer) permite escribir estas derivadas parciales como sumas de productosde composiciones de f−1 con derivadas parciales de las componentes f1, f2, . . . , fn de f , queson de clase C k.



3.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales

Definición 3.14. Sean A y B dos abiertos de Rn. Se dice que una aplicación ϕ:A → B esun difeomorfismo o cambio de variables de clase C k si es biyectiva, de clase C k en A, y laaplicación inversa ϕ−1:B → A es también de clase C k en B.

Observación 3.15. Con esta definición en mente, el teorema de la función inversa afirmaque si una función de clase C 1 tiene jacobiano no nulo en un punto, entonces dicha funcióndefine localmente, es decir, en un entorno de dicho punto, un cambio de variables.

También del teorema de la función inversa se sigue que para probar que una aplicaciónde clase C 1 de un abierto de Rn en Rn es un difeomorfismo de ese abierto sobre su imagen,basta probar que es inyectiva y que su jacobiano no se anula en ningún punto.

La importancia de los cambios de variables se pondrá de manifiesto posteriormente, enel estudio de integrales múltiples o, por ejemplo, al tratar con operadores diferenciales, a losque dedicamos las siguientes líneas.

Definición 3.16. Sea A un abierto de Rn. Por operador diferencial lineal de orden m en A seentiende toda aplicación definida en el espacio de funciones Cm(A) a valores en C 0(A) por

D = a0D0 +

n∑

j1=1

aj1Dj1 +

n∑

j1,j2=1

aj1j2Dj1j2 + . . .+

n∑

j1,...,jm=1

aj1...jmDj1...jm ,

donde los coeficientes a0, aj1...jk , 1 ≤ k ≤ m, son funciones continuas en A. (D0 denota eloperador identidad).

Si D es un operador diferencial de orden m en el abierto A de Rn y h ∈ Cm(A), g ∈ C 0(A)son funciones tales que

D(h)(x) = g(x) para cada x ∈ A

se dice que h es solución de la ecuación diferencial (lineal) D(f) = g.La ecuación diferencial se denomina ordinaria si n = 1 y en derivadas parciales cuando

n > 1. Se suele abreviar, respectivamente, E.D.O. y E.D.P. (O.D.E y P.D.E. en inglés).

Ejemplo 3.17. El operador D = aD0 + bD1 + D11 − (c + d)D12 + cdD22, a, b, c, d ∈ R, asigna acada función f de clase C 2 en un abierto A de R2 la función continua

af + b∂f

∂x+∂2f

∂x2− (c+ d)

∂2f

∂x∂y+ cd

∂2f

∂y2,

definida en el mismo abierto. La función h(x, y) = xy es solución de

D(f) = g, siendo g(x, y) = axy + by − (c+ d).

Observación 3.18. Dados dos abiertos A y B de Rn y ϕ:A→ B un difeomorfismo de clase Cm,si D es un operador diferencial de orden m en A, para cada f ∈ Cm(B) se puede considerarla función compuesta f ϕ ∈ Cm(A) y su imagen por D

D(f ϕ).En virtud de la Regla de la Cadena 2.12, la expresión anterior define un operador diferencialen B del mismo orden que denotaremos por ϕ∗(D).

Puede suceder que este nuevo operador admita una expresión más sencilla que el original,lo que permitirá resolver más fácilmente las ecuaciones diferenciales asociadas correspon-dientes. Explícitamente, se tiene el siguiente resultado.

Teorema 3.19. En las condiciones anteriores, si g ∈ C 0(B), una función h ∈ Cm(B) es so-lución de la ecuación ϕ∗(D)(f) = g si, y sólo si, la función h ϕ es solución de la ecuaciónD(f) = g ϕ .

Observación 3.20. En las condiciones del teorema anterior, puesto que ϕ es una biyección,h queda unívocamente determinada por h ϕ, y viceversa.

Como ejemplo de aplicación ver los ejercicios 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 y 3.17.


3.3. Funciones implícitas 45

3.3. Funciones implícitas

A modo de introducción pensemos que en un entorno de un punto de R2, donde estádefinida la función f se pueden encontrar puntos

(x, y(x)

)que satisfacen

f(x, y(x)

)= 0 . (3.1)

Si se dan las condiciones pertinentes de derivabilidad, la regla de la cadena establece que

∂f

∂x

(x, y(x)

)+∂f

∂y

(x, y(x)

)y′(x) = 0 , simbólicamente y′ = −∂f

∂x/∂f∂y .

(3.2)

En los trabajos de Leibniz ya está presente esta derivación implícita, aunque se atribuyea Cauchy la primera aproximación rigurosa a este resultado. Durante tiempo las contribu-ciones a esta teoría, como la del propio Cauchy o el teorema de inversión de Lagrange seconcentraron en el caso de funciones analíticas (series de potencias complejas). La prime-ra versión relativa a funciones de varias variables se debe a Dini y desde entonces se hanproporcionado numerosas generalizaciones y métodos de demostración (ver [48]).

Hablando ya en general, el objeto del teorema de las funciones implícitas es precisarcondiciones tales que, dada una ecuación

f((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , ym)

)= 0 ∈ Rm, (3.3)

se pueda asociar a cada punto x = (x1, x2, . . . , xn) de un cierto conjunto X ⊂ Rn, un únicopunto y = (y1, y2, . . . , ym) de otro conjunto Y ⊂ Rm, de manera que el par (x,y) verifique laecuación. De esta forma, queda definida una aplicación

y = ϕ(x),

con los pares de valores que son solución de la ecuación anterior. En estas condiciones laaplicación ϕ se dice que está definida implícitamente por la ecuación (3.3).

Si la ecuación (3.3) es lineal, la respuesta viene dada por el teorema de Rouché, pero enel caso general la resolución de tal ecuación, aun cuando ésta tenga solución única, puederesultar imposible. Parece entonces conveniente conocer las propiedades de la función ϕ,aunque no se pueda obtener de forma explícita.

Teorema 3.21 (de las funciones implícitas). Sean A un abierto de Rn+m, f :A → Rm unaaplicación de clase C k (k ≥ 1) en A, y (a, b) un punto de A tal que f(a, b) = 0. Se supone,además, que

det

(∂fi∂xn+j

(a, b)

)

1≤i,j≤m

6= 0. (3.4)

Entonces existen un abierto U de Rn, con a ∈ U , y otro abierto V de Rm, con b ∈ V , tales quepara cada x ∈ U existe un único ϕ(x) ∈ V con f(x,ϕ(x)) = 0; además, la función ϕ:U → Vasí definida es una función de clase C k en U .

Observaciones 3.22.

I) De nuevo, a diferencia del caso lineal, el resultado tiene carácter local; considérese porejemplo la función

f : R2 → R

(x, y) 7→ x2 + y2 − 1.

II) El teorema anterior admite una formulación más general en el sentido siguiente:

“Si la matriz jacobiana de la aplicación f en el punto c ∈ Rn+m tiene rango máximo (iguala m), esto es, existen 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jm ≤ m + n tales que el menor correspondientea las derivadas parciales respecto de las variables xj1 , xj2 , . . . , xjm tiene determinante nonulo, entonces estas m variables quedan determinadas implícitamente en función de lasn restantes en un entorno de dicho punto”.

Esto se reduce al caso contemplado en el teorema 3.21 sin más que considerar unapermutación en el orden de las variables.



III) El teorema de las funciones implícitas y el teorema de las funciones inversas son proposi-ciones equivalentes, esto es, uno se deduce del otro. Algunos autores optan por demostrarprimero el teorema de las funciones implícitas y deducir de él el de las inversas. Esta op-ción no aporta ni ventajas ni desventajas, simplemente depende del gusto personal (verejercicio 3.10).

IV) La unicidad enunciada en el teorema de la función implícita, junto con la condiciónf(a, b) = 0, implica, en particular, que ϕ(a) = b.

V) Aun sin conocer explícitamente la aplicación ϕ, es posible calcular sus derivadas parcia-les sucesivas en el punto a, lo cual se reduce a resolver una serie de sistemas linealescuya compatibilidad viene garantizada por el hecho de que el determinante jacobianorespecto de las últimas variables no sea nulo.En efecto, en las mismas condiciones y con la misma notación que en el teorema 3.21,denotemos por F = (F1, F2, . . . , Fm) a la aplicación definida en U por

F (x) = f(x,ϕ(x)).

Puesto que esta aplicación es la idénticamente nula, todas sus derivadas parciales hande ser nulas en U . Así, fijado 1 ≤ k ≤ n, para cada i = 1, 2, . . . ,m se tiene que

0 =∂Fi∂xk

(x,ϕ(x)) =∂fi∂xk

(x,ϕ(x)) +

m∑

j=1

∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))∂ϕj∂xk

(x).

En virtud de (3.4) y por la continuidad de las derivadas parciales, para todos los puntos xen un entorno de a también se verifica que

det

(∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))

)

1≤i,j≤m

6= 0,

de manera que el sistema lineal dado por las m ecuacionesm∑

j=1

∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))∂ϕj∂xk

(x) = − ∂fi∂xk

(x,ϕ(x)), i = 1, 2, . . . ,m,

en las m incógnitas∂ϕj∂xk

(x), j = 1, 2, . . . ,m, es compatible determinado, lo que permite

obtener las derivadas parciales de las funciones implícitas ϕj.El sistema anterior se puede resolver mediante el método de Cramer; esta fórmula, queexpresa las soluciones en función de los coeficientes del sistema, sirve para mostrar quelas funciones implícitas son de la misma clase, C k, que la aplicación f .Si f es además de clase C 2, dados 1 ≤ l, k ≤ n se tiene que

0 =∂2Fi∂xl∂xk

(x,ϕ(x))

=∂2fi∂xl∂xk

(x,ϕ(x)) +

m∑

j=1

∂2fi∂xn+j∂xk

(x,ϕ(x))∂ϕj∂xl

(x)

+

m∑

j=1

(∂2fi

∂xl∂xn+j(x,ϕ(x))

∂ϕj∂xk

(x) +

m∑

h=1

∂2fi∂xn+h∂xn+j

(x,ϕ(x))∂ϕh∂xl

(x)∂ϕj∂xk

(x)

)

+m∑

j=1

∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))∂2ϕj∂xl∂xk

(x),

para cada i = 1, 2, . . . ,m, lo que da lugar a un sistema lineal en las m incógnitas

∂2ϕj∂xl∂xk

(x), j = 1, 2, . . . ,m,

cuya matriz de coeficientes es la misma que antes. Nótese además que el término in-dependiente viene dado por las derivadas de f y las parciales primeras de ϕ, que en elpunto a ya han sido determinadas previamente.Repitiendo este argumento se obtienen recursivamente las derivadas sucesivas de lasfunciones implícitas en el punto a como soluciones de sistemas lineales, todos ellos conla misma matriz de coeficientes.


Ejercicios 47

3.3.1. Teoremas de rango

Los teoremas de rango van encaminados en el mismo sentido que el de las funcionesimplícitas. Su análogo algebraico es el de la triangulación de matrices no cuadradas y, aligual que los anteriores, tienen carácter local.

Definición 3.23. Sean A un abierto de Rn, a un punto de A y f una aplicación de A en Rm

de clase C 1.Se dice que f es una inmersión en a si f ′(a) es una aplicación inyectiva de Rn en Rm

(nótese que debe ser n ≤ m).Se dice que f es una submersión en el punto a si f ′(a) es suprayectiva (en este caso debe

ser n ≥ m).

Teorema 3.24 (de inmersión). Sean A un abierto de Rn y f una aplicación de A en Rm

de clase C k, tal que f es una inmersión en un punto x0 ∈ A. Entonces existen un entornoabierto V de f(x0) en Rm, un entorno abierto U de x0 en Rn, con f(U) ⊂ V , y un difeomorfismoϕ de clase C k de V en ϕ(V ), tales que la restricción de ϕ f a U es la inyección canónica deRn en Rn × 0m−n. Es decir,

(ϕ f)(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn, 0, . . . , 0).

Teorema 3.25 (de submersión). Sea A un abierto de Rn y f una aplicación de A en Rm declase C k, que es una submersión en un punto x0 ∈ A. Existen entonces un entorno abierto Ude x0 en Rn, y un difeomorfismo ϕ de clase C k de U en ϕ(U) (conjunto abierto de Rn), talesque, si π denota la proyección canónica de Rn sobre Rm, la restricción de f a U es π ϕ. Esdecir,

f ϕ−1(x1, x2, . . . , xm, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xm).

Observación 3.26. Los dos resultados anteriores se deducen fácilmente del teorema de lasfunciones implícitas. Hablando en un tono intuitivo, la conclusión de estos teoremas es que,salvo difeomorfismos, las variedades diferenciables (curvas, superficies, etc.) se pueden iden-tificar localmente con subespacios lineales.

Ambos teoremas son casos particulares de un resultado más general, que enunciamos acontinuación, y cuya prueba resulta mucho más laboriosa y queda fuera de los objetivos deesta asignatura.

Teorema 3.27 (del rango constante). Sean A un abierto de Rn y f :A → Rm una aplicaciónde clase C k y tal que el rango de f ′(x) es r en cada punto x en un entorno de x0 ∈ A. Existenentonces un entorno abierto U de x0, un entorno abierto V de f(x0) y difeomorfismos declase C k,

ϕ:U → ϕ(U) ⊂ Rn, ψ:V → ψ(V ) ⊂ Rm,

tales que para cada x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ ϕ(U) se tiene que

ψ f ϕ−1(x1, x2, . . . , xr, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xr, 0, . . . , 0).

Ejercicios

3.1 Se considera la aplicación f :R2 → R2 definida por

f(x, y) =(e2 x − ey, ey

).

I) Determinar el conjunto imagen f(R2).

II) Probar que f es inyectiva y obtener explícitamente la aplicación inversa f−1.

III) Comprobar que las matrices jacobianas de f y f−1 en puntos correspondientes son in-versas una de la otra.



3.2 Se consideran las aplicaciones f , g:R3 → R3 definidas por

f(x, y, z) = (x y z, x y + x z + y z, x),

g(x, y, z) =(x cos(y) cos(z), x cos(y) sen(z), x sen(y)

).

Determinar los puntos de R3 donde f g admite inversa diferenciable.

3.3 Se consideran el abierto A = (x, y) ∈ R2 : x > 0 ⊂ R2 y la aplicación f :A→ R2 dada por

f(x, y) =(x4 + y4

x, sen(x) + cos(x)

).

I) ¿Es f inyectiva en A?

II) Determinar los puntos a de A para los que existe un entorno suyo donde f admite inversade clase C 1 y calcular la matriz jacobiana de f−1 en f(a).

3.4 Sean g1 y g2 dos funciones de R2 en R, de clase C 1 y tales que:

g1(0, y) 6= 0, para cada y ∈ R, y g2(x, 0) 6= 0, para cada x ∈ R.

Se define f : R2 → R2 por

f(x, y) =(x g1

(x, g2(x, y)

), y g2

(g1(x, y), y

)).

Probar que f es diferenciable y calcular f ′. Deducir que f es inyectiva en un entorno de (0, 0).

3.5 Sea ϕ la función de R3 en R3 definida por

ϕ(x, y, z) = (x2 + y2, x2 − y2, z2).

I) Determinar los puntos de R3 para los cuáles existe un entorno suyo en el que la aplicaciónϕ es inyectiva.

II) Sean U = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z < 0 y V = (u, v, w) ∈ R3 : u > |v|, w > 0. Probarque ϕ es un difeomorfismo de U sobre V .

3.6 Sean U un abierto conexo de R2 y h = (h1, h2):U → R2 una función cuyo jacobiano nose anula en ningún punto de U . Sean f, g:R → R funciones diferenciables, y φ:R2 → R unafunción diferenciable cuyas derivadas parciales no se anulan en ningún punto. Supongamosademás que

φ(f(u), g(v)) = 0 para todo (u, v) ∈ h(U) .

Probar que f es constante en h1(U) y g es constante en h2(U).

Considerar h1(x, y) = cos(xy) , h2(x, y) = sen(xy) , f(u) = u2, g(v) = v2, φ(α, β) = α + β − 1 .¿Qué ocurre en este ejemplo en relación con lo anterior?

3.7 Sean U un abierto de Rn y f una función real de clase C 2 en U . Se dice que un puntocrítico x de f es no degenerado si el determinante hessiano de f en x, detHf(x), es distintode cero. Demostrar que si x es un punto crítico no degenerado de f , existe un entorno V dex tal que V no contiene más puntos críticos de f que x.

3.8 Sea f :Rn → Rn una aplicación de clase C 1 y contractiva. Se define la función g de Rn enRn por g(x) = x+ f(x).

I) Probar que g es inyectiva y que el determinante jacobiano de g es no nulo en todo punto.

II) Probar que la imagen de g es un conjunto abierto y cerrado. Concluir que g es un difeo-morfismo de Rn en Rn.

3.9 Se consideran V = R2 \ (0, 0), (1, 0), (−1, 0) y la aplicación f de V en R2 dada por

f(x, y) =

(x(1 +

1

x2 + y2

), y(1− 1

x2 + y2

)).

Demostrar que f admite inversa en un entorno de cada punto de su dominio de definición.¿Admite inversa globalmente?


Ejercicios 49

3.10 A partir del teorema de las funciones implícitas deducir como corolario el teorema de lasfunciones inversas; en otras palabras, comprobar que ambos enunciados son equivalentes.

Sugerencia: La relación y = f(x), x ∈ A ⊂ Rn, y ∈ Rn se escribe también F (x,y) = f(x)− y, siendoF una aplicación definida de A× Rn a valores en Rn.

3.11 Comprobar que la función definida en R por

f(0) = 0 ; f(x) = x+ 2x2 sen(1/x

), x 6= 0 ,

es derivable en todo punto y que en cualquier entorno del origen posee infinitos extremosrelativos. Conclúyase que en el teorema de las funciones inversas no se puede relajar lahipótesis de continuidad de las derivadas en un entorno del punto.

3.12 Comprobar que las siguientes aplicaciones son de clase C∞, calcular el determinantejacobiano en cada punto y determinar abiertos en los que definan difeomorfismos:

I) Coordenadas polares en R2: (r, θ) ∈ R2 7→ ϕ(r, θ) =(r cos(θ), r sen(θ)

)

II) Coordenadas cilíndricas en R3: (r, θ, z) ∈ R3 7→ ϕ(r, θ, z) =(r cos(θ), r sen(θ), z

)

III) Coordenadas esféricas en R3:

(r, θ, φ) ∈ R3 7→ ϕ(r, θ, φ) =(r cos(θ) cos(φ), r sen(θ) cos(φ), r sen(φ)

).

3.13 Sean U = (0,∞)× (0,∞) y ϕ:U → U la aplicación definida por

(u, v) = ϕ(x, y) =(x, y/x

).

I) Probar ϕ es un difeomorfismo de U sobre U .

II) Si f es una función derivable en U que satisface la ecuación diferencial

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= f, (3.5)

probar que para la función g = f ϕ−1 se tiene que

u∂g

∂u= g.

III) Encontrar todas las funciones derivables en U que verifican (3.5).

3.14 Realizando un cambio a coordenadas polares, encontrar una función real f , no nula, yde clase C 1 en un abierto A de R2 tal que

x∂f

∂y(x, y)− y

∂f

∂x(x, y) = f(x, y) para todo (x, y) ∈ A.

3.15 Sea V = (a, b) × (c, d) un abierto de R2 (acotado o no). Probar que si f es una funciónreal de clase C 2 en V y verifica que

∂2f

∂x∂y(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ V,

entonces existen dos funciones F : (a, b) → R y G: (c, d) → R de clase C 2 tales que

f(x, y) = F (x) +G(y) para todo (x, y) ∈ V.

3.16 Sea f una función de clase C 2 en R2 que satisface la ecuación de ondas:

∂2f

∂t2(x, t) = a2

∂2f

∂x2(x, t), a 6= 0.

Si Φ es la aplicación lineal de R2 en R2 dada por (x, t) = Φ(ξ, η) =(ξ + η

2,ξ − η

2a

)y se define

g = f Φ, probar que g verifica∂2g

∂ξ∂η(ξ, η) = 0.

Concluir que f(x, t) = F (x+ at) +G(x− at) para ciertas funciones F,G ∈ C 2(R).



3.17 Sean a y b números reales, con a 6= b. Resolver la ecuación

∂2f

∂u2− (a+ b)

∂2f

∂u∂v+ ab

∂2f

∂v2= 0

transformándola en la ecuación∂2f

∂x∂y= 0

mediante el uso de las variables x, y determinadas por las relaciones x = v + au, y = v + bu.

3.18 Demostrar que la relaciónx3 + y3 − 3xy − 1 = 0

define, en un entorno de 0 ∈ R, una función implícita y = ϕ(x) con ϕ(0) = 1.

Determinar el desarrollo de Taylor de orden 3 en el punto 0 de la función ϕ.

3.19 Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, 1) de la función z definidaimplícitamente en un entorno de dicho punto por la ecuación

z15 + y2z2 − xy7 − x8 = 0,

con z(1, 1) = 1.

3.20 Sea f :R → R de clase C 1 y tal que f(0) = 0 f ′(0) = −2 . Demostrar que la relación

y − z x = f(z)

define en un entorno del punto (1, 0) una función implícita z = z(x, y) con z(1, 0) = 0.

Probar que existe un entorno W de dicho punto donde se verifica que

∂z

∂x(x, y) + z(x, y)

∂z

∂y(x, y) = 0, (x, y) ∈W.

3.21 Sea α y β números reales. Comprobar que la ecuación

sen(αx+ β y + z) ez = 0

define una función implícita zαβ = zαβ(x, y) en un entorno del punto (0, 0) con zαβ(0, 0) = 0.

Determinar los valores de α y β para los que se verifica que

∂zαβ∂x

(0, 0) = 3 y∂zαβ∂y

(0, 0) = −3.

3.22 Sea ϕ una función de clase C∞ en R con ϕ(1) 6= 0. Se define

F (x, y, z) =

∫ ez

xy

ϕ(t)dt, (x, y, z) ∈ R3.

Demostrar que, en un entorno del punto (1, 1, 0), la ecuación F (x, y, z) = 0 define una funciónimplícita z = z(x, y) de clase C∞.

Determinar el polinomio de Taylor de orden 2 de la función z en el punto (1, 1).

3.23 Probar que la ecuación

(y − 1)2 + x2 + eyz = (z − 1)2

define una función implícita z = z(x, y) en un entorno del punto (0, 1) con z(0, 1) = 0.

Demostrar que la función z presenta un máximo relativo en dicho punto.

3.24 En el abierto R2 × (0,∞) se considera la ecuación

ezx2

+ log(x2 + y2 + z) = 1.

Comprobar que dicha relación define una función implícita z = z(x, y) de clase C∞ en unabola abierta centrada en (0, 0) y tal que z(0, 0) = 1.

¿Presenta z(x, y) algún extremo local en (0, 0)?


Ejercicios 51

3.25 Comprobar que la ecuación

x+ y + z + cos(xyz) = 1

define a z como función implícita z = ϕ(x, y), de clase C∞, en un entorno del punto (0, 0), conϕ(0, 0) = 0, y demostrar que

lım(x,y)→(0,0)

z(x, y) + x+ y

x2 + y2= 0.

3.26 Demostrar que el sistema de ecuaciones

x z3 + y u+ 2x = 1

2x y3 + u2z + 2 y = 2

define funciones implícitas x = x(z, u) , y = y(z, u) en un entorno del punto (0, 1) , conx(0, 1) = 0 , y(0, 1) = 1 .

Demostrar que la aplicación ϕ(z, u) =(x(z, u), y(z, u)

)admite inversa diferenciable en un

entorno de (0, 1) .

3.27 Comprobar que el sistema de ecuaciones

x y2 + x z u+ y v2 = 3

u3y z + z x v − u2v2 = 1

define, en un entorno del punto (1, 1, 1), funciones implícitas u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), con

u(1, 1, 1) = 1, v(1, 1, 1) = 1. Calcular∂v

∂y(1, 1, 1).

3.28 Demostrar que el sistema

sen(z) +(1 + x2

)y+ z + u− 2 y + 1 = 0

2x3 + u y − z = 0

define funciones implícitas de clase C∞, z = z(x, y), u = u(x, y) en un entorno del punto (0, 1),con z(0, 1) = 0, u(0, 1) = 0.

Calcular los polinomios de Taylor de orden 2 de las funciones z y u en el punto (0, 1).

3.29 Determinar los valores de a para los cuáles el sistema de ecuacionescos(axz)− y w = 0

x2 + eayz − w = 1

define funciones implícitas z = ϕ1(x, y) , w = ϕ2(x, y) , de clase C∞ en un abierto U quecontiene al punto x0 = (1, 1), tales que ϕ1(1, 1) = 0 y ϕ2(1, 1) = 1 .

Para esos valores de a estudiar si la aplicación ϕ = (ϕ1, ϕ2):U → R2 admite inversadiferenciable en un entorno de x0.

3.30 Comprobar que el sistema de ecuaciones

3x+ 2 y + z2 + u+ v2 = 0

4x+ 3 y + z + u2 + v + w + 2 = 0

x+ z + u2 + w + 2 = 0

define a (u, v, w) como funciones implícitas de (x, y, z), de clase C∞ en un entorno del punto(x0, y0, z0) = (0, 0, 0), y con u(0, 0, 0) = 0, v(0, 0, 0) = 0, w(0, 0, 0) = −2 .

Calcular∂u

∂x(0, 0, 0),

∂v

∂y(0, 0, 0) y

∂w

∂z(0, 0, 0).

3.31 Se considera el sistema de ecuacionesy2z + exz + cos(xy) = 3,

yz2 + exy + sen(xz) = 2.



I) Probar que dicho sistema define funciones implícitas y = ϕ1(x), z = ϕ2(x) de clase C∞

en un entorno de 0 ∈ R, con ϕ1(0) = 1, ϕ2(0) = 1.

II) Estudiar si la función h, definida en un entorno de 0 por

h(x) = x+ ϕ1(x) + ϕ2(x),

presenta un extremo relativo en 0. En caso afirmativo, indicar si es máximo o mínimo.

3.32 Sean f y g dos funciones de clase C 2 en R. Se supone que g′(0) = 0 y g′′(0) 6= 0.

I) Comprobar que la relaciónx+ yf ′(z) + g′(z) = 0

define una función implícita z = z(x, y) de clase C 1 en una bola U centrada en (0, 0) y talque z(0, 0) = 0.

II) Se considera la función F definida en U por

F (x, y) = x z(x, y) + y f(z(x, y)

)+ g

(z(x, y)

).

Demostrar que F es de clase C 2 en U y determinar el polinomio de Taylor de orden 2 de Fen (0, 0).

III) Comprobar que en U se verifica la siguiente igualdad:

∂2F

∂x2∂2F

∂y2=

(∂2F

∂x∂y

)2

.

3.33 Sean f1 y f2 las funciones definidas en (x, y, z, w) ∈ R4 : z < 0 por

f1(x, y, z, w) = 3x2 z + 6w y2 + 3 ; f2(x, y, z, w) = xw − 4y

z− 8 .

I) Probar que el sistema de ecuaciones(f1(x, y, z, w), f2(x, y, z, w)

)= (0, 0) define funciones

implícitas x(z, w) e y(z, w) , de clase C∞ en un entorno U del punto (z0, w0) = (−1, 0) , ycon x(−1, 0) = 1, y(−1, 0) = 2 .

II) Sea g:U → R2 la aplicación definida por g(z, w) =(x(z, w), y(z, w)

). Estudiar si g admite

inversa diferenciable en un entorno de (z0, w0) = (−1, 0) . En caso afirmativo calcularJg−1(1, 2).

III) Calcular∂2x

∂z2(−1, 0) .

3.34 Consideremos la familia de polinomios Ptt∈R , en la variable x, y cuyos coeficientesson funciones de t ∈ R, definidos por:

Pt(x) = x4 − (1 + t)x3 − cos(t)x2 + (1 + t) .

I) Comprobar que para t próximo a t0 = 0 el polinomio Pt tiene una raíz próxima a x0 = 1, ala que denotaremos x(t).

II) Para precisar la idea de proximidad del apartado anterior, estimar |x(t) − 1| (el error quese comete al sustituir la raíz x(t) por x0 = 1) cuando t tiende hacia 0.

Tema 4

Sucesiones y series funcionales

El lector ya ha tratado el problema de dar sentido preciso al concepto de suma infinitaal tratar las series numéricas. El problema que aquí abordamos es similar y generaliza loanterior: los objetos a sumar son ahora funciones en lugar de números. Las propiedadesenunciadas para funciones (continuidad, derivabilidad, etc.) suscitan de forma natural nue-vos problemas; por ejemplo, la suma finita de funciones continuas es una función continua,pero ¿qué se puede decir acerca de la suma de una serie de funciones continuas?

El objetivo principal de este tema consiste, por tanto, en el estudio de las propiedades decontinuidad, derivabilidad e integrabilidad en los procesos de paso al límite. Los resultadosque se exponen, además del interés que tienen por sí mismos, aportan la herramienta necesa-ria para el estudio de las series de potencias o el de las series trigonométricas, protagonistasdel Análisis de Fourier.

4.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia

Definición 4.1. Sea X un conjunto no vacío. Se denota por F (X,R) el espacio vectorial delas funciones de X en R .

Una sucesión de funciones reales en X es una sucesión de elementos de F (X,R) .

La notación y terminología general de sucesiones se aplica igualmente en este caso, asíque la forma usual de denotar una sucesión de funciones es fn∞n=1 .

Dar una sucesión de funciones en el conjunto X es dar, para cada x ∈ X, una sucesiónnumérica; los conceptos relativos a estas últimas dan lugar a los que a continuación sepresentan.

Definición 4.2. Se dice que una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en X es puntualmente

acotada si la sucesión numérica fn(x)∞n=1 es acotada para cada x ∈ X.

Análogamente se definen las sucesiones de funciones reales puntualmente acotadas su-perior o inferiormente.

Una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en X es uniformemente acotada o totalmente

acotada si existe una constante M ≥ 0 tal que∣∣fn(x)

∣∣ ≤M para todos x ∈ X y n ∈ N .

Observación 4.3. El adjetivo “uniforme” se usa de nuevo en el sentido de generalidad, con-cretamente: la acotación es independiente del punto x ∈ X.

Resulta evidente de la definición que toda sucesión uniformemente acotada es puntual-mente acotada, pero el recíproco no es cierto, es decir, una sucesión puede ser puntualmenteacotada sin ser uniformemente acotada. Basta considerar la sucesión de funciones realesdefinidas en R por fn(x) = x/n , n ∈ N .

Definición 4.4. Se dice que una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en X es monótona

creciente (resp. decreciente) si fn(x) ≤ fn+1(x) (resp. fn(x) ≥ fn+1(x)) para todo x ∈ X y todon ∈ N .

53

54 Tema 4. Sucesiones y series funcionales

Definición 4.5. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en el conjunto X. Se dice quela sucesión es puntualmente convergente si para cada x ∈ X la sucesión numérica fn(x)∞n=1

es convergente. En este caso la función f definida en X por

f(x) = lımn→∞

fn(x) , x ∈ X,

se denomina límite puntual de la sucesión fn∞n=1.

Definición 4.6. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en el conjunto X. Se diceque la sucesión es uniformemente convergente si existe una función f en X verificando lasiguiente propiedad:

“Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε ) tal quepara todo número natural n ≥ n0 se tiene que

∣∣fn(x)− f(x)∣∣ < ε para cada x ∈ X”.

Observación 4.7. No es difícil comprobar que, si la sucesión fn∞n=1 es uniformemente con-vergente, entonces es puntualmente convergente y la función f de la definición anterior esprecisamente el límite puntual de la sucesión.

Proposición 4.8. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en un conjunto X.

I) Si fn∞n=1 es puntualmente convergente entonces está puntualmente acotada.

II) Si la sucesión fn∞n=1 es de funciones acotadas en X y es uniformemente convergente,entonces el límite puntual f es una función acotada y la sucesión está uniformementeacotada.

Proposición 4.9. Sean fn∞n=1 y gn∞n=1 dos sucesiones de funciones en un mismo con-junto X, que convergen uniformemente en X hacia las funciones f y g, respectivamente.

I) La sucesión fn + gn∞n=1 converge uniformemente hacia f + g en X.

II) Si, además, ambas sucesiones están uniformemente acotadas en X, entonces fn gn∞n=1

converge uniformemente en X hacia f g .

Observaciones 4.10.

I) Si se suprime la hipótesis de acotación uniforme sólo se puede garantizar, a priori, laconvergencia puntual de fn gn∞n=1; considérense, como contraejemplo, las sucesionesde funciones reales definidas en (0, 1) por fn(x) = x+ 1/n ; gn(x) = 1/x .

II) Es fácil comprobar que fn∞n=1 converge uniformemente hacia f si, y sólo si, fn− f∞n=1

converge uniformemente hacia 0. Esto proporciona el siguiente criterio de convergenciauniforme de uso habitual en la práctica.

Proposición 4.11. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales que converge puntualmen-te en un conjunto X hacia la función f . Para cada n ∈ N se define

mn = sup|fn(x)− f(x)| : x ∈ X

,

con el convenio de que mn = ∞ si el conjunto|fn(x) − f(x)| : x ∈ X

no es acotado. Son

equivalentes los siguientes asertos:

a) La sucesión fn∞n=1 converge uniformemente en X hacia f .

b) Existe un n0 ∈ N tal que mn ∈ R para cada n ≥ n0 y la sucesión de números realesmn∞n=n0

converge hacia 0 .

Corolario 4.12. Con la notación de la proposición anterior, si existe una sucesión µn∞n=1

de números reales convergente hacia 0 y tal que, para cada n ∈ N , se tiene que

|fn(x)− f(x)| ≤ µn para todo x ∈ X,

entonces la sucesión fn∞n=1 converge uniformemente en X hacia f .


4.2. Series de funciones 55

La condición de convergencia uniforme se puede dar, como sucede para sucesiones numé-ricas, evitando la mención de la función límite. Independientemente de cual sea el conjuntoX, la clave está en la completitud del espacio de llegada.

Definición 4.13. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en el conjunto X. Se diceque la sucesión es uniformemente de Cauchy en X si verifica la siguiente propiedad:

“Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε) tal que paracada par de números naturales n,m ≥ n0 se tiene que

∣∣fn(x)− fm(x)∣∣ < ε para cada x ∈ X”.

Proposición 4.14 (Criterio de convergencia uniforme de Cauchy). Una sucesión de fun-ciones reales en el conjunto X es uniformemente convergente en X si, y sólo si, es unifor-memente de Cauchy en X.

Observación 4.15. Estamos tratando sólo el caso de funciones reales, pero no hay ningunadificultad en extender la mayor parte de las definiciones y propiedades al caso de aplicacionesa valores en Rk, en general en un espacio normado, o para funciones complejas. Únicamentecarecen de sentido aquellos conceptos enunciados en términos de la relación de orden en R,como la monotonía.

Ahora bien, en el caso de aplicaciones f = (f1, f2, . . . , fk) definidas en subconjuntos de Rm

con llegada en Rk, es suficiente el contexto en el que estamos trabajando pues, a tenor delo expuesto en los dos primeros temas, las nociones y propiedades de límites, continuidad yderivabilidad para f se reducen a los correspondientes sobre las funciones componentes fi.

La mera convergencia puntual de una sucesión de funciones continuas no garantiza nadaacerca del límite. Sin embargo, bajo la condición de convergencia uniforme la función límitehereda el carácter continuo de la sucesión. Aunque admite una formulación más general enespacios métricos, el teorema siguiente concreta esta aseveración en el caso de funcionesreales definidas en subconjuntos de Rm, lo que es suficiente para nuestros propósitos.

Teorema 4.16 (Continuidad del límite puntual uniforme). Sean X un subconjunto de Rm

y fn∞n=1 una sucesión de funciones que converge uniformemente en X hacia la función f .Si x0 ∈ X es tal que fn es continua en x0 para cada n ∈ N, entonces f es continua en x0.

En consecuencia, si fn es continua en X para cada n ∈ N, la función límite f es continuaen X.

A modo de recíproco, el teorema de Dini, que también es válido en el ámbito de los espaciosmétricos, establece la convergencia uniforme bajo condiciones de monotonía.

Teorema 4.17 (de Dini). Sean X un subconjunto compacto de Rm y fn∞n=1 una sucesiónmonótona de funciones reales y continuas en X, que converge puntualmente en X hacia unafunción continua f . Entonces fn∞n=1 converge uniformemente en X hacia f .

4.2. Series de funciones

Comencemos recordando que una serie numérica no es otra cosa que una sucesión, lade sumas parciales, construida a partir de otra sucesión, la de sus términos de la serie.En consecuencia todo lo que se ha expuesto en la sección anterior tiene su correspondientetraducción al caso de sumas parciales de sucesiones de funciones. Pero, como sucede en elcaso de series numéricas, existen ciertas peculiaridades que motivan este estudio aparte.

Definición 4.18. Dada una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en un conjunto no vacíoX, se denomina serie de término general fn a la sucesión Sn∞n=1 definida por

Sn = f1 + f2 + . . .+ fn =

n∑

j=1

fj , n = 1, 2, . . .

Sn recibe el nombre de suma parcial n-ésima y fn se denomina término n-ésimo de la serie.

Es usual representar una serie de término general fn de forma abreviada por∞∑n=1

fn .



Las nociones de acotación y convergencia, tanto puntual como uniforme, para una seriede funciones son obvias: las que se refieren a la sucesión funcional de las sumas parciales.En particular:

Definición 4.19. Una serie de funciones∞∑n=1

fn en un conjunto X es puntualmente conver-

gente si la sucesión Sn∞n=1 de sumas parciales de la misma es puntualmente convergenteen X. En este caso la función f definida en X por

f(x) = lımn→∞

Sn(x)

se denomina función suma de la serie y se suele denotar también, en un abuso de notación,

por f =∞∑n=1

fn, esto es,

f(x) =

∞∑

n=1

fn(x) , x ∈ X.

Observaciones 4.20.

I) De la teoría general de series numéricas convergentes se deduce que, si una serie defunciones es puntualmente convergente, entonces el término general ha de convergerpuntualmente hacia 0. Pero esta condición no es suficiente para la convergencia puntualde la serie.

II) Además de lo dicho en general para sucesiones funcionales, aparecen ahora nuevas no-ciones de convergencia, relacionadas con la convergencia absoluta de series numéricas.

Definición 4.21. Dada una serie de funciones∞∑n=1

fn en un conjunto X, si la serie∞∑n=1

|fn| es

puntualmente convergente en X se dice que la serie original es absolutamente convergente

(de forma puntual) en X.

Obviamente, toda serie absolutamente convergente es puntualmente convergente.En cuanto a la convergencia uniforme, el criterio de Cauchy se traduce de forma obvia

para series de funciones:

Proposición 4.22 (Criterio de convergencia uniforme de Cauchy). Sea∞∑n=1

fn una serie

de funciones en un conjunto X. Es condición necesaria y suficiente para que la serie seauniformemente convergente en X que se verifique la siguiente propiedad:

“Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε) tal que paracada par de números naturales p y q con p > q ≥ n0 se tiene que

∣∣Sp(x)− Sq(x)∣∣ =

∣∣fq+1(x) + . . .+ fp(x)∣∣ < ε para todo x ∈ X”.

Definición 4.23. Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones en un conjunto X. Se dice que la serie

converge normalmente en X si existe una serie convergente de números reales no negativos∞∑n=1

mn tal que para todo n ∈ N se tiene que

∣∣fn(x)∣∣ ≤ mn para cada x ∈ X.

Observación 4.24. La convergencia normal o en norma se denomina así por la siguienterazón: si en el espacio vectorial B(X,R) de las funciones definidas en X a valores reales yacotadas se considera

‖f‖∞ = sup|f(x)| : x ∈ X

,

entonces ‖ · ‖∞ es realmente una norma en B(X,R) .

El modo de convergencia normal es más fuerte que los otros mencionados, explícitamente:


4.2. Series de funciones 57

Proposición 4.25 (Criterio de Weierstrass). Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones reales en

el conjunto X. Si la serie converge normalmente en X, entonces converge absolutamente yuniformemente en X.

Como corolario inmediato del teorema 4.16 tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.26 (Continuidad de la suma uniforme). Sean X un subconjunto de Rm y∞∑n=1

fn

una serie de funciones que converge uniformemente en X hacia la función f . Si x0 ∈ X estal que fn es continua en x0 para cada n ∈ N, entonces f es continua en x0.

En consecuencia, si fn es continua en X para cada n ∈ N, la función suma∞∑n=1

fn es

continua en X.

Observación 4.27. Existen series funcionales uniformemente convergentes que no son nor-malmente convergentes. Al igual que sucede para series numéricas, el tratamiento de lasseries funcionales cuyos términos toman valores de signo arbitrario y no son normalmenteconvergentes requiere un estudio particular en cada caso.

Los resultados siguientes, que se deducen a partir de la fórmula de Abel, dan condicionessuficientes para la convergencia uniforme de una serie de funciones.

Lema 4.28 (Fórmula de sumación por partes de Abel). Sean an∞n=1 y bn∞n=1 dos suce-siones de números reales. Pongamos

S0 = 0 ; Sn = a1 + a2 + . . .+ an =

n∑

k=1

ak , n ∈ N .

Entonces, para cada par de números naturales p y q , con p > q ≥ 1 , se verifica la identidadp∑

k=q

ak bk = Sp bp+1 − Sq−1 bq +

p∑

k=q

Sk (bk − bk+1) .

Proposición 4.29 (Criterio de Abel). Sean fn∞n=1, gn∞n=1 sucesiones de funciones en unconjunto X. Se supone que:

I) La serie∞∑n=1

fn converge uniformemente en X.

II) La sucesión gn∞n=1 es monótona y uniformemente acotada en X.

Entonces la serie∞∑n=1

fn gn converge uniformemente en X.

Proposición 4.30 (Criterio de Dirichlet). Sean fn∞n=1, gn∞n=1 sucesiones de funciones enun conjunto X. Se supone que:

I) La sucesión de sumas parciales de la serie∞∑n=1

fn está uniformemente acotada en X.

II) La sucesión gn∞n=1 es monótona decreciente y converge uniformemente hacia 0 en X.


fn gn converge uniformemente en X.

Corolario 4.31 (Criterio de Leibniz para series alternadas). Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones reales en el conjunto X. Si fn∞n=1 es monótona decreciente y converge uniforme-

mente hacia 0 en X, entonces la serie∞∑n=1

(−1)nfn converge uniformemente en X.



4.3. Sucesiones y series de funciones de variable real

Prestamos ahora atención a las propiedades de derivación e integración en el sentido deRiemann para funciones definidas en intervalos de la recta. El objetivo es precisar condicio-nes bajo las cuales la función límite herede estas propiedades de los términos de la sucesión.

Teorema 4.32 (Derivabilidad del límite puntual). Sean I un intervalo abierto de R yfn∞n=1 una sucesión de funciones derivables en I. Se supone que:

I) La sucesión de derivadas fn′∞n=1 converge uniformemente en los subintervalos com-pactos de I hacia una función g .

II) Existe un x0 ∈ I tal que la sucesión numérica fn(x0)∞n=1 es convergente.

Entonces la sucesión fn∞n=1 converge uniformemente en los compactos de I hacia unafunción f que es derivable en I . Además,

f ′(x) = g(x) para cada x ∈ I .

Corolario 4.33 (Derivabilidad de la función suma). Sean I un intervalo abierto de R y∞∑n=1

fn una serie de funciones derivables en I . Se supone que:

I) La serie de las derivadas∞∑n=1

fn′ converge uniformemente en los compactos de I.

II) Existe un x0 ∈ I tal que la serie numérica∞∑n=1

fn(x0) es convergente.


fn converge uniformemente en los compactos de I. Además,

( ∞∑

n=1

fn

)′

(x) =

∞∑

n=1

fn′(x) para cada x ∈ I .

Observaciones 4.34.

I) La última igualdad establece que, en las condiciones señaladas, la derivada de la sumaes la suma de las derivadas, igual que en el caso finito.

II) La segunda hipótesis del teorema 4.32 (resp. de 4.33) es esencial para poder garantizar

la convergencia puntual de fn∞n=1 (resp. de∞∑n=1

fn). Como contraejemplo, considérese la

sucesión de funciones definidas en R por

fn(x) = (−1)n .

Resulta que fn′ ≡ 0 para todo n ∈ N, pero fn∞n=1 no converge en ningún punto.

Teorema 4.35 (Integrabilidad del límite puntual). Sea fn∞n=1 una sucesión de funcionesintegrables (en el sentido de Riemann) en el intervalo [a, b], que converge uniformemente en[a, b] hacia una función f . Entonces:

I) f es integrable en [a, b].

II) Si se consideran las funciones definidas en [a, b] por

F (x) =

∫ x

a

f ; Fn(x) =

∫ x

a

fn , n ∈ N ,

la sucesión de funciones Fn∞n=1 converge uniformemente en [a, b] hacia F . En particular,∫ b

a

f = lımn→∞

∫ b

a

fn .

Observación 4.36. Algunos autores definen función integrable en el sentido de Riemanncomo aquélla que es límite uniforme de funciones escalonadas en el correspondiente intervalocompacto [a, b]. El teorema anterior establece la equivalencia entre esta construcción de laintegral y la original de Riemann.


4.4. Aproximación de funciones continuas 59

Corolario 4.37 (Integrabilidad de la función suma). Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones inte-

grables en el intervalo [a, b], que converge uniformemente en [a, b]. Entonces:

I) La función suma es integrable en [a, b].

II) Si se consideran las funciones definidas en [a, b] por

F (x) =

∫ x

a

( ∞∑

n=1

fn

); Fn(x) =

∫ x

a

fn ,

la serie de funciones∞∑n=1

Fn converge uniformemente en [a, b] hacia F . En particular,

∫ b

a

( ∞∑

n=1

fn

)=

∞∑

n=1

∫ b

a

fn .

Corolario 4.38. Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones integrables en el intervalo [a, b], que con-

verge normalmente en [a, b]. Entonces la función suma es integrable en [a, b]; además∣∣∣∣∫ b

a

( ∞∑

n=1

fn

)∣∣∣∣ ≤∞∑

n=1

∫ b

a

|fn| .

Observación 4.39. El teorema 4.35 y el corolario 4.37 admiten una generalización al casode funciones de varias variables reales. Ahora bien, la teoría de Lebesgue, que abordamosen posteriores temas, proporciona una herramienta mucho más potente que la teoría deRiemann y, en particular, este tipo de teoremas de paso al límite bajo el signo integral seenuncian bajo condiciones menos restrictivas que la de la convergencia uniforme.

4.4. Aproximación de funciones continuas

A tenor de los resultados precedentes, es posible obtener información sobre las propieda-des de una función f a partir de las de los términos de una sucesión fn∞n=1 que convergehacia ella. Ahora, a modo de recíproco, nos planteamos si es posible elegir las funciones fnde manera que gocen de buenas propiedades y sean “sencillas”, esto proporciona una herra-mienta de razonamiento muy útil. Hablando desde un punto de vista algebraico las funcionesmás sencillas son si duda los polinomios.

Se podría pensar que la fórmula de Taylor da respuesta al planteamiento anterior pero,en primer lugar, requiere de la regularidad de la función, y además la aproximación queproporciona es local (en un entorno del punto). Puede suceder incluso que para una funciónf de clase C∞ en un entorno de x0 los polinomios de Taylor de de f en x0 no converjan haciaf (ver ejercicio 4.29).

Cuando se consideran funciones continuas en conjuntos compactos se obtienen intere-santes propiedades de aproximación. Los siguientes resultados precisan esta afirmación enel caso de funciones definidas en intervalos de la recta.

Definición 4.40. Sea f una función real definida y continua en el intervalo [0, 1]. Para cadan ∈ N se define

Bn(f)(x) =

n∑

k=0

f(k/n

) (nk

)xk (1− x)n−k ,

que se denomina polinomio de Bernstein de orden n asociado a f .

Teorema 4.41 (de Bernstein). Si f : [0, 1] → R es continua, la sucesión de polinomios deBernstein Bn(f)∞n=1 converge uniformemente hacia f en [0, 1].



Teorema 4.42 (de aproximación polinomial, de Weierstrass). Sean I = [a, b] un intervalocompacto de R y f una función continua en I. Existe una sucesión de polinomios Pn∞n=1

que converge uniformemente en I hacia f .En particular, dado ε > 0 existe un polinomio P tal que

∣∣f(x)− P (x)∣∣ < ε para cada x ∈ I.

Definición 4.43. Se denomina polinomio trigonométrico a toda función de la forma

P (t) =

m∑

k=0

(ak cos(k t) + bk sen(k t)

)= a0 +

m∑

k=1

(ak cos(k t) + bk sen(k t)

).

El número natural m es el orden del polinomio P (supuesto que am 6= 0 o bm 6= 0).

Corolario 4.44. Sea f : [−π, π] → R una función continua y par (f(x) = f(−x) , x ∈ [−π, π]).Existe una sucesión de polinomios trigonométricos pares

Pn(t) =

mn∑

k=0

an,k cos(k t) ,

que converge uniformemente en [−π, π] hacia f .

Corolario 4.45. Sea f : [−π, π] → R una función continua, impar (f(x) = −f(−x) , x ∈ [−π, π]) ytal que f(−π) = 0 = f(π). Existe una sucesión de polinomios trigonométricos impares

Qn(t) =

mn∑

k=1

bn,k sen(k t) ,

que converge uniformemente en [−π, π] hacia f .

Teorema 4.46 (de aproximación trigonométrica, de Weierstrass). Sea f :R → R una fun-ción continua y periódica de periodo 2π. Existe una sucesión de polinomios trigonométricosque converge uniformemente hacia f en R.

4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Weierstrass

Aquí hemos presentado el teorema clásico de Weierstrass 4.42 como consecuencia del deBernstein 4.41, pero este segundo data de los comienzos del siglo XX, mientras que el otro fueprobado por Weierstrass en 1885. Numerosos autores han contribuido con distintas pruebasdel teorema de Weierstrass: Picard (1890), Volterra (1897), Lebesgue (1898), Mittag-Leffler(1900), Landau (1908), Bernstein (1912), Montel (1918), ...

En 1937, Stone presenta una generalización del teorema clásico Weierstrass, basada enél, pero que contempla como dominio de definición de las funciones espacios compactos engeneral, y clases de funciones (álgebras) abstractas.

En realidad la clave del razonamiento de Stone radica en probar que si se pueden apro-ximar dos funciones f y g también pueden aproximarse maxf, g y mınf, g y para ello serequiere sólo de la aproximación uniforme por polinomios de la función t ∈ [−1, 1] 7→

√t2 = |t|.

Por no salir del ámbito de estas notas, enunciamos este resultado en el caso de compactosde Rn, aunque esta restricción no aporte ninguna simplificación en su demostración.

Notación: Dados dos espacios métricos E y F (por ejemplo, subconjuntos de Rn y Rm,respectivamente) se denota por C (E,F ) al espacio vectorial de las funciones continuas de Een F . Si F = R se pone simplemente C (E,R) = C (E).

Si E es compacto, los elementos de C (E) y C (E,C) son funciones acotadas y es posibledotar a este espacio de la norma

‖f‖∞ = max|f(x)| : x ∈ E

,

cuya topología asociada, en virtud de la proposición 4.11, es la de la convergencia uniforme:‖fn − f‖∞ −→

n→∞0, si, y sólo si, fn∞n=1 converge uniformemente hacia f .


Ejercicios 61

Teorema 4.47 (de Stone-Weierstrass). Sea K un subconjunto compacto de Rn. Supongamosque A es una familia de elementos de C (K) que verifica

I) A contiene a las funciones constantes.

II) Si f, g ∈ A y α ∈ R, entonces f, g ∈ A , f g ∈ A y α f ∈ A (A es un álgebra).

III) Si x,y ∈ K, x 6= y, existe g ∈ A tal que g(x) 6= g(y) (A separa puntos).

Entonces, para cada f ∈ C (K) existe una sucesión gn∞n=1 de elementos de A que convergeuniformemente en K hacia f .

Teorema 4.48 (de Stone-Weierstrass, versión compleja). Sea K un subconjunto compactode Rn. Supongamos que A es una familia de elementos de C (K,C) que verifica

I) A contiene a las funciones constantes.

II) Si f, g ∈ A y α ∈ R, entonces f, g ∈ A , f g ∈ A y α f ∈ A .

III) Si x,y ∈ K, x 6= y, existe g ∈ A tal que g(x) 6= g(y).

IV) Si f ∈ A entonces f ∈ A (A es autoadjunta).

Entonces, para cada f ∈ C (K,C) existe una sucesión gn∞n=1 de elementos de A que con-verge uniformemente en K hacia f .

Observación 4.49. En la terminología del Análisis Funcional el teorema de Stone-Weierstrassreza así: “Si A es una subálgebra autoadjunta de C (K,C) que contiene a las constantes ysepara puntos, entonces A es densa en

(C (K,C), ‖ · ‖∞

)”.

Corolario 4.50. Sea K un subconjunto compacto de Rn. Toda función continua en K eslímite uniforme en K de polinomios.

Observación 4.51. Cuando se considera la circunferencia unidad

T = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 ,que es un compacto de R2, las funciones f ∈ C (T) se identifican con funciones g continuasen R y de periodo 2π mediante la relación

g(t) = f(cos(t), sen(t)

).

La versión trigonométrica del teorema de Weierstrass, el teorema 4.46, es un corolario prác-ticamente inmediato del resultado anterior, pues si P (x, y) es un polinomio en dos variables,entonces Q(t) = P

(cos(t), sen(t)

)es un polinomio trigonométrico.

Ejercicios

4.1 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones fn∞n=1

siguientes en los conjuntos que se indican:

I) fn(x) = xn , 1. x ∈ [0, 1]; 2. x ∈ [0, 1/2]

II) fn(x) = xn(1− x) , x ∈ [0, 1]

III) fn(x) = nx(1− x2

)n, x ∈ [0, 1]

IV) fn(x) =x

n, 1. x ∈ [a, b]; 2. x ∈ R

V) fn(x) =xn

1 + xn, x ∈ [0, 1]

VI) fn(x) =xn

n+ xn, x ∈ [0, 1]

VII) fn(x) =1

1 + nx2, x ∈ R

VIII) fn(x) =x√n

1 + nx2, x ∈ R



IX) fn(x) = senn(x) , 1. x ∈[− π

4,π4

]; 2. x ∈ R

X) fn(x) =x

1 + nx, x ∈ (0,∞)

XI) fn(x) =x2 + nx

n, x ∈ R

XII) fn(x) =nx

1 + n2x2, x ∈ R

XIII) fn(x) =sen(nx)

1 + n2x2, x ∈ R

XIV) fn(x) =

xn

si 0 ≤ x ≤ n,

1 si x > n.

x ∈ [0,∞)

XV) fn(x) =

nx si 0 ≤ x ≤ 1n

,

1nx

si x >1n

.x ∈ [0,∞)

XVI) fn(x) =n√x , x ∈ [0, 1]

XVII) fn(x) = x e−nx , x ∈ [0,∞)

XVIII) fn(x) = nx e−nx , x ∈ [0,∞)

XIX) fn(x) = n2 x e−nx , x ∈ [0,∞)

XX) fn(x) =ex

xn, x ∈ (1,∞).

4.2 Sea f :R → R una función uniformemente continua. Para cada n ∈ N se define

fn(x) = f(x+

1

n

), x ∈ R.

Estudiar la convergencia de la sucesión fn∞n=1 .

4.3 Sea f : [a, b] → R derivable. Demostrar que existe una sucesión gn∞n=1 de funcionescontinuas en [a, b] tal que, para cada x ∈ [a, b],

f ′(x) = lımn→∞

gn(x) .

4.4 Sea g una función continua en [0, 1] tal que g(1) = 0. Probar que la sucesión fn∞n=1,definida por

fn(x) = xng(x) , x ∈ [0, 1] ,

es uniformemente convergente en [0, 1].

4.5 Se considera la sucesión fn∞n=1 definida por

fn(x) =2n2 x

(1 + n2x2) log(n+ 1), x ∈ R .

I) Probar que fn∞n=1 converge puntualmente, pero no uniformemente, en R .

II) Probar que si a > 0, entonces fn∞n=1 converge uniformemente en el intervalo [a,∞).

4.6 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesión fn∞n=1 de funciones defini-das en el intervalo [0, 1] por

fn(x) =

n2 x si 0 ≤ x ≤ 1/2n ,

n2(1/n− x

)si 1/2n < x < 1/n ,

0 si 1/n ≤ x ≤ 1 .


Ejercicios 63

4.7 Dada f :R → R, probar que lımx→∞

f(x) = a si, y sólo si, la sucesión fn∞n=1 definida por

fn(x) = f(x+ n), x ∈ R ,

converge uniformemente en [0,∞) hacia la función con valor constante a.

4.8 Deducir, mediante el estudio de la sucesión de derivadas, que la sucesión de funcionesfn∞n=1, definida por

fn(x) =log(1 + n3x2)

n2,

converge uniformemente en [0, 1].

4.9 Estudiar la convergencia puntual y uniforme en [0, 1] de la sucesión de funciones fn∞n=1

definida por

fn(x) =nx− 1(

1 + x log(n))(1 + nx2 log(n)

) .

4.10

I) Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones que converge uniformemente hacia f en un con-junto A. Probar que, para toda sucesión xn∞n=1 de puntos de A, se tiene que

lımn→∞

|fn(xn)− f(xn)| = 0 .

II) Fijado a > 0 se considera la sucesión de funciones reales fn∞n=1 definida en R por

fn(x) =

(1− a+ a cos

( x√n

))n.

Probar que esta sucesión converge puntualmente, pero no uniformemente, en R.

4.11 Estudiar la convergencia, para x ≥ 0, de la sucesión de funciones fn∞n=1 definida por

fn(x) =n ex + x e−x

n+ x.

Calcular el valor de

lımn→∞

∫ 1

0

(x2 + 1

)fn(x) dx .

4.12 Probar que convergen uniformemente en R las series de funciones siguientes:

I)∞∑

n=1

senn(x)

n5/2

II)∞∑

n=1

1

3ne−n

2x2

III)∞∑

n=0

cos(nx2)

(n+ 1)!.

4.13 Estudiar la convergencia puntual y uniforme en el intervalo [0, 2] de la serie funcional∞∑

n=0

x (1− x)n .

4.14 Probar que la serie funcional∞∑

n=0

enx − 1

2n enx

converge uniformemente en [0,∞) .



4.15 Estudiar la convergencia de la serie de funciones∞∑

n=0

x2

(1 + x2)n

y hallar, donde proceda, el valor de su suma.

4.16 Se considera la serie funcional dada por∞∑

n=1

xn

n (1 + nx2).

Estudiar los dominios de convergencia puntual y uniforme.

4.17 Se consideran las funciones fn : [0,∞) → R definidas por

fn(x) = x(n2 e−nx − (n− 1)2 e−(n−1)x

), n = 1, 2, . . .

I) Probar que la serie∞∑n=1

fn(x) converge en [0,∞) y hallar su suma.

II) Demostrar que dicha serie no converge uniformemente en [0,∞).

III) Demostrar que, si a > 0, la convergencia de∞∑n=1

fn(x) es uniforme en [a,∞).

4.18 Demostrar que la serie∞∑

n=1

xn (1− x)

log(n+ 1)

converge uniformemente en [0, 1], pero no converge normalmente: es decir, si

mn = supxn (1− x)

log(n+ 1): x ∈ [0, 1]

, n ∈ N,

la serie∞∑n=1

mn es divergente.

4.19 Demostrar que la serie funcional∞∑

n=1

(−1)nx2 + n

n2

converge uniformemente en cualquier intervalo acotado, pero no converge absolutamente enningún punto de R .

4.20 Estudiar la convergencia puntual en (0,∞) de la serie funcional∞∑

n=1

log(1 + nx)

nxn

(nótese que log(1 + α) ≤ α, para todo α > 0). Probar que la convergencia es uniforme en todointervalo de la forma [ω,∞), con ω > 1.

4.21 Estudiar la convergencia puntual y uniforme en R de la serie de funciones∞∑

n=1

1

(x2 + n)(x2 + n+ 1).

4.22 Probar que converge uniformemente en R la serie funcional∞∑

n=1

sen(n2 x)

n2.

¿Qué puede decirse acerca de la convergencia de la serie derivada?


Ejercicios 65

4.23 Sea∞∑n=1

fn(x) una serie de funciones tal que fn es positiva y continua en [a, b] para todo

n ∈ N. Si la serie converge en [a, b), diverge en x = b y f(x) designa la suma de la serie paracada x ∈ [a, b), probar que lım

x→b−f(x) = +∞.

4.24 Dado α > 0, para cada n ∈ N se define un: [0,∞) → R por

un(x) =xα

1 + n2 x2.

I) Probar que la serie∞∑n=1

un(x) converge puntualmente en [0,∞), cualquiera que sea α.

II) Demostrar que, para α > 1, la serie converge uniformemente en [0, 1].Sugerencia: Analícense por separado los casos α ≥ 2 y 1 < α < 2.

III) Probar que, para α ≤ 2, la serie converge uniformemente en [1,∞).

4.25 Sea f una función de clase C∞ en un entorno del punto x0 ∈ R. Se supone que existenconstantes M,R > 0 y δ > 0 tales que para cada n ∈ N y cada x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] se verifica que

∣∣f (n)(x)∣∣ ≤M Rn .

Probar que la serie de Taylor de f en x0,∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n, converge uniformemente hacia

f en [x0 − δ, x0 + δ].

4.26 Probar las siguientes igualdades y que la suma es uniforme en los compactos

I) ex =∞∑

n=0

xn

n!, x ∈ R.

II) sen(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!, x ∈ R.

III) cos(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!, x ∈ R.

4.27 Se considera la función f : [0, 1] → R dada por

f(x) =−x log(x) si x 6= 0;

0 si x = 0.

I) Demostrar que f es continua en [0, 1] y que 0 ≤ f(x) ≤ 1e

para todo x ∈ [0, 1].

II) Probar que la serie funcional∞∑

n=0

(−x log(x)

)n

n!converge uniformemente en [0, 1].

(Para n = 0 se entiende que f(x)0 ≡ 1.)

III) Demostrar que∫ 1

0

(−x)m log(x)n dx =(−1)n+m n!

(m+ 1)n+1para todos m,n ∈ N.

IV) Hallar la suma de la serie dada en II) y concluir que∫ 1

0

x−x dx =∞∑

n=0

1

(n+ 1)n+1.

4.28 Mediante el estudio de las derivadas de las correspondientes funciones, deduzcánselas siguientes igualdades, probando asimismo que la suma es uniforme en los subconjuntoscompactos del correspondiente abierto de definición.

I) log(1 + x) =

∞∑

n=1

(−1)n+1 xn

n, x ∈ (−1, 1).

II) arctg(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1, x ∈ R.



4.29 Se considera la función definida en R por

f(x) =0 si x ≤ 0,e−1/x si x > 0.

I) Demostrar, razonando por inducción sobre el natural n, que para x > 0

f (n)(x) = Pn(1/x) e−1/x, n ∈ N ,

donde Pn es un polinomio de grado 2n.

II) Deducir que f es de clase C∞ en R, pero la serie de Taylor de f en x0 = 0 no representaa f en ningún intervalo del tipo [−δ, δ].

4.30 Demostrar que si x 6= 2 kπ, k ∈ Z, (es decir, sen(x/2

)6= 0) se verifica que

n∑

k=1

sen(k x) =sen

(nx/2

)sen

((n+ 1)x/2

)

sen(x/2

) ,

n∑

k=1

cos(k x) =sen

(nx/2

)cos

((n+ 1)x/2

)

sen(x/2

) .

Deducir que, si 0 < δ < π, las series de funciones∞∑

n=1

sen(nx)

n+ x2y

∞∑

n=1

cos(nx)

n+ x2

son uniformemente convergentes en el intervalo [δ, 2π − δ].

Introducción a las series de Fourier

4.31 Sean a0 ∈ R y an∞n=1, bn∞n=1 sucesiones de números reales tales que las series

numéricas∞∑n=1

an y∞∑n=1

bn son absolutamente convergentes.

I) Probar que la suma de la serie

a02

+∞∑

n=1

(an cos(nx) + bn sen(nx)

)(4.1)

define una función continua f en R .

II) Comprobar que se verifica que

a0 =1

π

∫ π

−π

f(x) dx ; an =1

π

∫ π

−π

f(x) cos(nx) dx , bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sen(nx) dx , n ∈ N . (4.2)

III) Si, además, las series∞∑n=1

nan y∞∑n=1

n bn son absolutamente convergentes, demostrar que

f es de clase C 1 en R .

Nota: Una serie del tipo (4.1) se denomina serie trigonométrica. Obviamente sus sumas par-

ciales son polinomios trigonométricos.

Dada una función f de periodo 2π en R e integrable en los intervalos compactos (no necesaria-

mente continua), se denomina serie de Fourier de f a la serie trigonométrica cuyos coeficientes

están dados por las integrales (4.2).

Uno de los problemas más interesantes del Análisis de Fourier es determinar condiciones sufi-

cientes para que la serie de Fourier de una función converja hacia dicha función.

4.32 Sea f una función continua en R y de periodo 2π. Supongamos que Pn∞n=1 es unasucesión de polinomios trigonométricos que converge hacia f uniformemente, y pongamos

Pn(x) =an,02

+

mn∑

k=1

(an,k cos(k x) + bn,k sen(k x)

).

Se conviene que an,k = bn,k = 0 si k > mn. Comprobar que para todo k se tiene que

lımn→∞

an,k = ak =1

π

∫ π

−π

f(x) cos(k x) dx , lımn→∞

bn,k = bk =1

π

∫ π

−π

f(x) sen(k x) dx .


Ejercicios 67

4.33 Sean x0 ∈ (−π, π) y δ > 0 tales que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ (−π, π). Se define el polinomiotrigonométrico

Q(x) = 1− cos(δ) + cos(x− x0) ,

y para cada n ∈ N el polinomio Pn(x) =(Q(x)

)n=

(1− cos(δ) + cos(x− x0)

)n.

I) Comprobar que

∗ Q(x) ≥ 1 para todo x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] ;

∗ Q(x) ≥ Q(x0 + δ/2 ) > 1 si x ∈ [x0 − δ/2 , x0 + δ/2 ] ;

∗∣∣Q(x)

∣∣ ≤ 1 para cada x ∈ [−π, x0 − δ] ∪ [x0 + δ, π] .

II) Supongamos que h: [−π, π] → R es acotada, integrable en el sentido de Riemann, continuaen el punto x0 ∈ (−π, π) y con h(x0) > 0. Elíjase además δ > 0 suficientemente pequeñode manera que h(x) > 0 siempre que |x − x0| < δ . Demostrar que si Q y Pn se defienencomo antes, en términos de estos valores de x0 y δ, entonces

lımn→∞

∫ π

−π

h(x)Pn(x) dx = ∞ .

4.34 (Teorema de unicidad) Sea f una función real, definida y continua en R, de periodo2π, y tal que son nulos todos sus coeficientes de Fourier. Probar que entonces debe ser f = 0.

Dicho de otra forma, dos funciones continuas y 2π-periódicas en R con la misma serie deFourier han de ser iguales.

4.35 Sea f una función continua en R y de periodo 2π. Demostrar que si la serie de Fourierde f converge uniformemente en R, entonces su suma coincide con f .

4.36 Sea f :R → R periódica de periodo 2π, dos veces derivable en todo R y tal que suderivada segunda es integrable en [−π, π].

I) Integrando por partes probar que existe M > 0 tal que los coeficientes de Fourier de f seacotan como sigue:

|an| ≤M

n2y |bn| ≤

M

n2, n ∈ N .

II) Deducir que la serie de Fourier de f converge uniformemente hacia f en R.

4.37 Sea f la función definida en [−π, π] por f(x) = | sen(x)|, y extendida a toda la recta porperiodicidad.

I) Demostrar que la serie de Fourier de f es

2

π− 4

π

∞∑

n=1

1

4n2 − 1cos(2nx) .

II) Probar que esta serie converge uniformemente.

III) Calcular las sumas de las siguientes series numéricas∞∑

n=1

1

4n2 − 1,

∞∑

n=1

(−1)n

4n2 − 1.

4.38 Sea f la función dada por f(x) = |x| para x ∈ [−π, π] , y extendida periódicamente a R.

I) Demostrar que la serie de Fourier de f converge hacia f uniformemente en R.

II) A partir del valor de f(0) obtener la suma de la serie∞∑

k=0

1

(2 k + 1)2.



4.39 Se considera la función f que es impar y está definida en [0, π] por f(x) = x (π − x).

I) Demostrar que, para cada x ∈ [−π, π], se tiene que

f(x) =8

π

∞∑

k=0

sen((2k + 1)x

)

(2 k + 1)3.

II) Deducir a partir de f(π/2

)la igualdad

∞∑

k=0

(−1)k

(2 k + 1)3=π3

32.

4.40 Mediante el estudio de la función f definida en [−π, π] por f(x) = (π2 − x2), deducir que∞∑

n=1

1

n2=π2

6.

Tema 5

Fundamentos de la integral

La materia que se presenta ahora es común a todo método de integración en los espacioseuclídeos. El punto de partida es la noción familiar y cotidiana de longitud de un segmento ylas que de ella derivan: área de un rectángulo, volumen de un paralelepípedo, etc., presentesen la historia de la humanidad, como tarde, en las culturas babilónica, egipcia..., de lo quetenemos constancia documental.

También debe resultar familiar, y no sólo al científico, la necesidad de extender esos con-ceptos a objetos geométricos más complicados (a nadie le sorprende que se hable del áreade un círculo), es decir, de tener un criterio para medir el tamaño de los conjuntos. Una vezque se tiene una medida se dispone de un mecanismo de integración de funciones, pero tam-bién recíprocamente, una integral (un operador lineal y monótono que actúe sobre funcionescontinuas) permite definir una medida sobre cierta clase de conjuntos.

En cualquier caso, tanto si se pretende construir una medida como si se persigue definirla integral, es necesario el estudio de las nociones que se presentan en este tema.

La consideración de espacios de dimensión arbitraria Rd no supone otra dificultad que lade la notación, pero si el lector lo prefiere, y sobre todo cuando se trate de interpretacionesgeométricas, puede limitarse a pensar en los casos d = 2 y d = 3.

5.1. Intervalos en Rd

De nuevo, al hablar de intervalos de la recta, nos referiremos a los conexos (I es unintervalo de R si las condiciones x, z ∈ I y x ≤ y ≤ z implican que y ∈ I).

Para un intervalo no vacío y acotado de la recta, digamos que de extremos a y b con a ≤ b,su longitud coincide con su diámetro y a esta cantidad la denominaremos también medida

(unidimensional) de I y la denotaremos por m1(I); así, un conjunto unipuntual tiene medida0 y si a, b ∈ R con a < b, entonces

m1

([a, b]

)= m1

((a, b]

)= m1

([a, b)

)= m1

((a, b)

)= b− a .

Al conjunto vacío le asignamos, obviamente, también la medida 0.Aunque no habría grandes dificultades en asignar el valor ∞ como medida de un intervalo

no acotado y de interior no vacío, en lo sucesivo, y aunque no se mencione explícitamente,todos los intervalos considerados serán acotados.

Definición 5.1. Un intervalo (acotado) de Rd es un producto cartesiano I1 × I2 × · · · × Id deintervalos acotados I1, I2, . . . , Id de R.

Si I = I1 × I2 × · · · × Id es un intervalo de Rd se define su medida (d-dimensional) como

md(I) = md(I1 × I2 × · · · × Id) = m1(I1)m1(I2) · · ·m1(Id) .

También se usan los términos clásicos longitud, área y volumen en los casos d = 1, 2, 3 res-pectivamente.

Observaciones 5.2.

I) Son también usuales los términos celda o multiintervalo para referirse a un intervalo enRd. Puesto que el contexto establece la dimensión del espacio en que se trabaja, aquíutilizaremos la nomenclatura propia de la recta real (d = 1), a sabiendas de que estalicencia no se corresponde con la idea de conjunto ordenado de ese caso particular.

69

70 Tema 5. Fundamentos de la integral

II) Del mismo modo, generalizando el concepto relativo al espacio tridimensional, llamare-mos cubo en Rd a todo intervalo C = I1×I2×· · ·×Id cuyos factores tengan igual longitud:

m1(I1) = m1(I2) = . . . = m1(Id) , md(C) = m1(I1)d .

III) Nótese que si I = I1 × I2 × · · · × Id es un intervalo de Rd, su medida es la misma que la decualquier otro que se encuentre comprendido entre su interior

I=

I1 ×

I2 × · · · ×

Id

y su adherenciaI = I1 × I2 × · · · × Id.

IV) Cuando no haya lugar a confusión, y con el ánimo de aliviar la notación, escribiremossimplemente m(I) en lugar de md(I), omitiendo la referencia a la dimensión.

V) Es evidente que un intervalo de diámetro pequeño tiene medida pequeña pero, salvo enel caso d = 1, el recíproco es falso; nótese que el diámetro de un intervalo viene dado por

δ(I1 × I2 × · · · × Id) =√m1(I1)2 +m1(I2)2 + . . .+m1(Id)2 .

VI) De la definición anterior se sigue inmediatamente que si I es un intervalo de Rp y J esun intervalo de Rq, entonces I × J es un intervalo de Rp+q y

mp+q(I × J) = mp(I)mq(J) .

VII) Al tratar con intervalos y su medida, algunos prefieren considerar una clase más pe-queña de conjuntos, los denominados semiintervalos que son productos cartesianos deintervalos semiabiertos (ai, bi]. Esto no supone más ventajas que cierta elegancia estética.

Propiedades 5.3. Sean I, J e Ik : k ∈ N intervalos de Rd.

I) I ∩ J es otro intervalo.

II) Si I ⊆ J , entonces m(I) ≤ m(J).

III) Dado ε > 0, existen un intervalo abierto A y un intervalo cerrado C con C ⊂ I ⊂ A y

m(A)− ε ≤ m(I) ≤ m(C) + ε .

IV) Si I =n∪k=1

Ik, con Ik ∩ Il = Ø si k 6= l, entonces m(I) =n∑k=1

m(Ik).

V) Sin∪k=1

Ik ⊂ I, con Ik ∩ Il = Ø si k 6= l, entonces m(I) ≥n∑k=1

m(Ik).

VI) Si I ⊂n∪k=1

Ik entonces m(I) ≤n∑k=1

m(Ik).

VII) Si I =∞∪k=1

Ik, con Ik ∩ Il = Ø si k 6= l, entonces m(I) =∞∑k=1

m(Ik).

5.1.1. Conjuntos elementales

Lo siguiente va dirigido a formalizar algo totalmente evidente desde la intuición de locotidiano: la aditividad de la medida para conjuntos sencillos.

Definición 5.4. Se denomina conjunto elemental en Rd a toda unión finita de intervalos

E =n∪k=1

Ik , Ik intervalo de Rd, k = 1, 2, . . . , n .

Proposición 5.5. Sean E y F conjuntos elementales de Rd.

I) E ∪ F y E ∩ F son conjuntos elementales. En consecuencia, las uniones e interseccionesfinitas de conjuntos elementales son conjuntos elementales.

II) E \ F es un conjunto elemental.


5.2. Conjuntos de medida nula 71

Lema 5.6. Sea E =n∪k=1

Ik un conjunto elemental. Existe una familia Jl : l = 1, 2, . . . , q de

intervalos disjuntos dos a dos y tales que:

I) E =q∪l=1

Jl; esto es, Jl : l = 1, 2, . . . , q es una partición de E.

II) Cada intervalo Ik es unión de una subfamilia finita de intervalos Jl : es decir, existeΛk ⊂ 1, 2, . . . , q tal que Ik = ∪

l∈Λk

Jl.

Lema 5.7. Supongamos que Ik : k = 1, 2, . . . , n y Jl : l = 1, 2, . . . , q son particiones de unmismo conjunto elemental E de Rd. Se tiene que

n∑

k=1

m(Ik) =

q∑

l=1

m(Jl) .

El resultado anterior avala la coherencia de la siguiente definición.

Definición 5.8. Si E es un conjunto elemental de Rd, que se escribe como unión disjunta delos intervalos I1, I2, . . . , In, se define la medida de E por

m(E) =

n∑

k=1

m(Ik) .

Lema 5.9. Sean E y F conjuntos elementales de Rd. Existe una familia Ik : k = 1, 2, . . . , nde intervalos disjuntos dos a dos tal que:

I) Ik : k = 1, 2, . . . , n es partición de E ∪ F , en particular,

E ∪ F =n∪k=1

Ik.

II) E y F se escriben como uniones de intervalos Ik; precisando más, existe KE y KF , sub-conjuntos de 1, 2, . . . , n tales que

E = ∪k∈KE

Ik, F = ∪k∈KF

Ik.

5.2. Conjuntos de medida nula

Hemos asignado la misma medida a un intervalo compacto de Rd que a su interior, locual es natural si se observa que estos dos intervalos difieren en subconjuntos de espaciosafines de dimensión menor estrictamente que d y se piensa que, en R2 un segmento debetener área 0, un paralelogramo contenido en un plano de R3 tiene volumen 0 etc. Antes depoder hablar de la medida de conjuntos en general necesitamos describir aquellos que tienen“medida nula”, sean o no intervalos.

Definición 5.10. Se dice que un conjunto E ⊂ Rd es de medida nula si para cada ε > 0 existeuna familia numerable de intervalos Ik : k ∈ N tales que:

i) E ⊂∞∪k=1

Ik. ii)∞∑k=1

m(Ik) < ε.

Observaciones 5.11.

I) Los conjuntos de medida nula, también denominados despreciables, juegan un papelclave en la integración, como iremos viendo en adelante.

II) En la definición anterior, las sumas que aparecen en ii) se entienden como series con-vergentes de términos positivos, y pueden ser finitas si se admite la posibilidad de queexista k0 ∈ N tal que Ik = Ø para k ≥ k0. Esto ocurre, por ejemplo, si el conjunto E escompacto. Explícitamente:



Lema 5.12. Un subconjunto compacto C de Rd es de medida nula si, y sólo si, para cadaε > 0 existe una familia finita de intervalos Ik : k = 1, 2, . . . , n tales que:

i) C ⊂n∪k=1

Ik. ii)n∑k=1

m(Ik) < ε.

En otras palabras, C es de medida nula si, y sólo si, para cada ε > 0 existe un conjuntoelemental E con C ⊂ E y m(E) < ε .

Observación 5.13. En la teoría de Riemann, mucho más restrictiva que la de Lebesgue encuanto a los conjuntos y funciones a a tratar, el papel de los conjuntos de medida nulalo juegan los denominados conjuntos con contenido de Jordan nulo, que se caracterizande forma similar a la descrita en la definición 5.10, exigiendo en este caso que puedan serrecubiertos por una cantidad finita de intervalos cuya suma de medidas sea arbitrariamentepequeña. Nótese que, para empezar, esta condición obliga a que el conjunto sea acotado.

La figura 5.1 ilustra también, en el caso de variedades de dimensión 1 contenidas en R2

(i.e., curvas planas), la propiedad cuya demostración se propone en el ejercicio 5.23.

Una curva regular y compacta tiene conteni-do de Jordan nulo. Aumentando el númerode intervalos, siempre una cantidad finita,y ajustándolos a la curva, se puede hacerla suma de sus áreas tan pequeña como sequiera.

Figura 5.1: Contenido de Jordan nulo

El lema anterior establece que los conjuntos de medida nula y compactos tienen conte-nido de Jordan nulo, pero existen conjuntos de medida nula que no tienen contenido deJordan nulo, p.e., los conjuntos numerables y no acotados. Esta afirmación se sustenta enlas propiedades que se enuncian a continuación.

Propiedades 5.14.

I) Si E ⊂ Rd es de medida nula y A ⊂ E, entonces A es de medida nula.

II) La unión numerable de conjuntos de medida nula es un conjunto de medida nula.

III) Si E ⊂∞∪k=1

Ak ⊂ Rd, entonces E es de medida nula si, y sólo si, E ∩ Ak es de medida nula

para todo k ∈ N.

5.2.1. La locución “casi siempre”

Supongamos que sobre los puntos de un subconjunto A de Rd se tiene enunciada unapropiedad P, precisando más, una proposición lógica, que por tanto toma dos valores lógicos:“verdadero” o “falso”. Si el conjunto N de los puntos x ∈ A para los que P es falsa tiene medidanula, decimos que P se verifica casi siempre en A, o casi por doquier en A, o en casi todo punto

de A, o mediante cualquier otra locución gramatical con el mismo significado (dependiendodel gusto de cada cual).

Ejemplos 5.15.

I) Casi todo punto de R es irracional.

II) La función f(x, y) =1

x2 + y2 − 1está definida casi siempre en R2 (ver ejercicio 5.14).

III) La función parte entera ⌊x⌋ es continua en casi todo punto de R.

IV) lımn→∞

xn = 0 en casi todo punto de [−1, 1].


5.3. Funciones escalonadas y su integral 73

Al referirnos por escrito a propiedades que se verifican en casi todo punto abreviaremoscon las siglas “c.s.”, como, por ejemplo, al decir “la función valor absoluto es derivable c.s. enR” e incluso en expresiones como “ lım

n→∞

cos(x)1+nx2 =

c.s.0 ”.

En los textos en inglés se encontrará habitualmente la abreviatura “a.e.” (por almost

everywhere), y en la literatura francesa se suele escribir “p.p.” (de presque partout).

5.3. Funciones escalonadas y su integral

Notación: Sean U un conjunto y A ⊂ U . La función real definida en U por

χA(x) =

1 si x ∈ A,0 si x /∈ A,

se denomina función característica de A (referida al conjunto universal U ).

Las siguientes propiedades son inmediatas:

1. χU = 1 , χØ = 0 , χU\A = 1− χA.

2. χ(A1∩A2∩···∩An) = χA1χA2

· · ·χAn

3. χ(A1∪A2∪···∪An) = maxχA1, χA2

, . . . , χAn

≤ χ

A1+ χ

A2+ . . .+ χ

An, y se da la igualdad si,

y sólo si, los conjuntos son disjuntos dos a dos.

Definición 5.16. Se dice que una función α:Rd → R es escalonada si existen intervalosI1, I2, . . . , In de Rd y números reales a1, a2, . . . , an tales que

α(x) =

n∑

k=1

ak χIk(x) , x ∈ Rd .

En el lado izquierdo, los trozos de planoshorizontales constituyen parte de la gráficade una función escalonada en R2. Al aña-dir los trozos de planos verticales obtene-mos lo que asemejan ser peldaños de unaescalinata.

Figura 5.2: Funciones escalonadas

Nótese que una función escalonada se anula fuera de un conjunto elemental y toma unnúmero finito de valores. A modo de recíproco:

Proposición 5.17. Un subconjunto E ⊂ Rd es elemental si, y sólo si, su función característicaes escalonada.

Los lemas 5.6 y 5.9 nos permite dar representaciones más adecuadas para el tratamientode estas funciones.

Lema 5.18. Sea α una función escalonada en Rd. Existen intervalos J1, J2, . . . , Jq disjuntosdos a dos, y números reales c1, c2, . . . , cq tales que

α(x) =

q∑

l=1

cl χJl(x) , x ∈ Rd .

Lema 5.19. Sean α, β funciones escalonadas en Rd. Existen intervalos J1, J2, . . . , Jq disjuntosdos a dos, y números reales a1, a2, . . . , aq y b1, b2, . . . , bq, tales que

α(x) =

q∑

l=1

al χJl(x) y β(x) =

q∑

l=1

bl χJl(x) , x ∈ Rd .



Propiedades 5.20. Sean α, β funciones escalonadas en Rd.

I) Si a, b ∈ R, entonces aα+ b β es escalonada.

II) αβ es escalonada.

III) |α| es escalonada.

IV) maxα, β y mınα, β son escalonadas.

Definición 5.21. Sea α =n∑k=1

ak χIk una función escalonada en Rd. El número

n∑

k=1

akm(Ik)

se denomina integral de α (en Rd) y se denota por∫

Rd

α(x) dm(x) ,

∫

Rd

α(x) dx ,

∫

Rd

α , o simplemente∫α .

Observaciones 5.22.

I) La definición anterior se ha dado en términos de una representación de α. Pero, porsupuesto, si

n∑

k=1

ak χIk(x) =

q∑

l=1

cl χJl(x) , x ∈ Rd,

entonces se tiene quen∑

k=1

akm(Ik) =

q∑

l=1

clm(Jl),

es decir, la definición es coherente.

II) Resulta evidente que para un conjunto elemental E se tiene que∫χE = m(E) .

Uno de los problemas que abordamos más adelante es generalizar la igualdad anterior auna clase de conjuntos más amplia.

III) Al igual que en el caso de funciones de una variable cuando se habla de áreas, la inte-gral de funciones escalonadas proporciona una primera aproximación a la idea de volu-men, etc. Véase la ilustración 5.2: la integral de la función escalonada representada ala izquierda es la suma de los volúmenes de los paralelepípedos (intervalos de R3) de laderecha.

Propiedades 5.23. Sean α, β funciones escalonadas en Rd.

I) Si a, b ∈ R, entonces∫ (aα+ b β

)= a

∫α+ b

∫β (linealidad).

II) Si α(x) ≥ 0 para cada x ∈ Rd, entonces∫α ≥ 0.

III) Si α(x) ≤ β(x) para cada x ∈ Rd, entonces∫α ≤

∫β (monotonía).

IV)∣∣ ∫ α

∣∣ ≤∫|α|.

Nos interesa “medir” la diferencia entre dos funciones escalonadas α y β, no sólo en tér-minos de los valores que toman, sino también respecto al tamaño de los intervalos dóndedifieren. Esta diferencia o distancia vendrá dada por

∫|α− β| .

En el lenguaje del Análisis Funcional, lo anterior define una seminorma. Nótese que funcionesescalonadas e iguales casi siempre distan entre sí 0, de ahí el prefijo “semi”. Hablando demanera relajada, funciones escalonadas (luego será también con funciones cualesquiera) quecoincidan salvo en conjuntos de medida nula son, a todos los efectos de integración, iguales.


Ejercicios 75

Definición 5.24. Se dice que la sucesión αn∞n=1 de funciones escalonadas en Rd es funda-

mental si satisface la condición (de tipo Cauchy) siguiente: “Para cada ε > 0 existe n0 ∈ N talque si p, q ≥ n0 entonces

∫|αp − αq| < ε”.

Podría parecer que la condición de Cauchy anterior implica la convergencia puntual dela sucesión de funciones escalonadas, pero no es así (ver ejercicio 5.27). No obstante, lossiguientes teoremas contienen resultados de paso al límite esenciales para la construcciónde la integral que presentaremos en el tema siguiente.

Teorema 5.25. Sea αn∞n=1 una sucesión fundamental de funciones escalonadas en Rd.Existe una subsucesión αnk

∞k=1 y una sucesión Uj∞j=1 de subconjuntos de Rd tales que

I) Uj ⊃ Uj+1 para cada j ∈ N.

II) Cada Uj es unión numerable de intervalos Uj =∞∪l=1

Ij,l cuya suma de medidas es finita y

siendo además

lımj→∞

∞∑

l=1

m(Ij,l) = 0 .

III) Para cada j ∈ N la sucesión αnk(x)∞k=1 converge uniformemente en Rd \ Uj.

IV) αnk∞k=1 converge casi siempre en Rd.

Teorema 5.26. Sea αn∞n=1 una sucesión fundamental de funciones escalonadas en Rd y talque lım

n→∞αn(x) = 0 para casi todo x ∈ Rd. Entonces

lımn→∞

∫αn = 0 .

Ejercicios

5.1 Sean I un intervalo de Rd y ε > 0. Probar que existe una colección finita de cubosCk : k = 1, 2, . . . , n tal que:

i) I ⊂n∪k=1

Ck, ii) m(I) ≤n∑k=1

m(Ck) ≤ m(I) + ε.

Además, si los cubos se toman semiabiertos, se pueden elegir disjuntos dos a dos.

5.2 Probar que la caracterización de conjuntos de medida nula se puede establecer de for-ma equivalente exigiendo que los intervalos Ik que recubren E sean todos abiertos, o todoscompactos, o todos cubos, etc.

5.3 Probar que un conjunto E es de medida nula si, y sólo si, puede ser recubierto por unafamilia numerable de conjuntos Ek tales que Ek ⊂ Ik, siendo los Ik intervalos cerrados cuyasuma de medidas puede tomarse arbitrariamente pequeña.

En particular, el subconjunto E de Rd es de medida nula si, y sólo si, para cada ε > 0existe una familia numerable de bolas B(ak, rk) : k ∈ N tales que

∞∑

k=1

(rk)d < ε .

5.4 Probar que un intervalo abierto no vacío de Rd no es de medida nula, y deducir quetampoco lo es Rd.

5.5 Si E ⊂ Rd es de medida nula, ¿qué se puede decir de su interior, de su adherencia y desu derivado?

5.6 Comprobar que un conjunto de interior vacío no tiene por qué ser necesariamente demedida nula.

5.7 Sea A un subconjunto de Rd tal que su derivado es finito. Demostrar que A es de medidanula.



5.8 Sea A = (0, 1) ∩Q y sean I1, I2, . . . , In intervalos abiertos que recubren a A. Probar quen∑

k=1

m(Ik) ≥ 1 .

Analice lo anterior en relación con los conceptos de medida nula y contenido de Jordan nulo.

5.9 Probar que si A ⊂ R es de medida nula, existe x ∈ R tal que

(x+A) ∩Q = Ø .

5.10 Sean A y B subconjuntos de Rp y Rq, respectivamente, con mp(A) = 0. Probar que A×Bes de medida nula en Rp+q.

Como aplicación, demostrar que el conjunto

(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ Q ó y ∈ Q ó z ∈ Qes de medida nula en R3.

Lo mismo sucede con los hiperplanos

Hi = x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : xi = 0 , n ≥ 2 , 1 ≤ i ≤ n .

5.11 Sean G un abierto no vacío de Rd y A un subconjunto de G de medida nula. Probar queG \A es denso en G.

5.12 (El conjunto ternario de Cantor) Se denota por Q0 al intervalo compacto [0, 1] ⊂ R. Sedivide Q0 en tres segmentos de igual longitud y se consideran los 2 intervalos cerrados I1,j,j = 1, 2, de la partición generada en Q0 adyacentes a sus extremos. Cada uno de ellos tiene

longitud 1/3, por tanto el conjunto Q1 =2∪j=1

I1,j tiene medida 2/3. A continuación se procede

igual con cada uno de los intervalos I1,j, obteniéndose así 22 intervalos I2,j, j = 1, 2, 3, 4, de

longitud 1/32 cuya unión Q2 =22

∪j=1

I2,j tiene medida 22/32.

Recurrentemente se construye una sucesión de compactos Qn∞n=1 que verifica:

1. Qn+1 ⊂ Qn para cada n ≥ 1.

2. Qn =2n

∪j=1

In,j, siendo los In,j intervalos cerrados de longitud 1/3n, y disjuntos dos a dos.

Por tanto, m(Qn) = 2n/3n.

3. Si m > n, en cada In,j hay exactamente 2m−n intervalos del tipo Im,l.

Se define el conjunto ternario de Cantor C como

C =∞∩n=1

Qn .

I) Probar que C es de medida nula.

II) Probar que C es no numerable.

III) Además, se tiene que C es compacto y [0, 1] \ C es denso en [0, 1] (ver ejercicio 5.11).

5.13 Probar que todos los puntos del intervalo [0, 1] cuya expresión decimal no contiene másque ceros o nueves forman un conjunto de medida nula y no numerable.

5.14 Demostrar que el grafo de una función continua f :R → R es un conjunto de medidanula en R2.

Generalizar el resultado para f :Rn → R.

5.15 Sea A un abierto acotado y convexo de Rd. Probar que Fr(A), la frontera de A, es demedida nula.

Dedúzcase lo mismo en el caso de que A sea cerrado y convexo.

Nota: Este ejercicio está propuesto, junto con un esbozo de su resolución, en el volumen 2 de

la obra de Garnir [20].


Ejercicios 77

5.16 Sea E un subconjunto acotado de Rd tal que su frontera tiene medida nula. Probarque, dado ε > 0, existen conjuntos elementales C y A tales que

1. C es cerrado y C ⊂ E.

2. A es abierto y E ⊂ A.

3. m(A \ C) < ε.

5.17 Dada una función f :E ⊂ Rd → R se dice que c ∈ R es una cota superior casi siempre def en E si el conjunto x ∈ E : f(x) > c tiene medida nula. Si f tiene una cota superior c.s.diremos que f está acotada superiormente c.s., y en este caso se define el supremo esencial def como el inferior de sus cotas superiores c.s. De forma análoga se definen las cotas inferiores

c.s. y el ínfimo esencial.

Demostrar que el supremo esencial de una función es una cota superior casi siempre dela función.

5.18 Sean f y g funciones definidas y continuas en un abierto A de Rd e iguales casi siempre.Probar que f = g en todo punto de A.

5.19 Construir:

I) Una función casi siempre continua en R que no sea igual casi siempre a una funcióncontinua.

II) Una función casi siempre igual en R a una función continua y que no sea casi siemprecontinua.

5.20 Probar que si f :R → R verifica que f(x) = f(x+ 1) para casi todo x ∈ R, entonces existeg:R → R tal que f(x) = g(x) casi siempre y g(x) = g(x+ 1) para cada x ∈ R.

5.21 Se dice que A ⊂ Rd es casi abierto si casi todos sus puntos son interiores. Sea V abiertode Rd y f :V → R. Probar que son equivalentes:

a) f es continua en casi todo punto de V .

b) Para todo t ∈ R los conjuntos x ∈ V : f(x) > t y x ∈ V : f(x) < t son casi abiertos.

5.22 (Invarianza de la medida nula por transformaciones C 1)

Sean V un abierto de Rd y f :V → Rd una función de clase C 1.

I) Demostrar que para cada subconjunto compacto K ⊂ V existe una constante C (quedepende sólo de K y f ) tal que si I es un cubo contenido en K, entonces f(I) estácontenido en un cubo J con m(J) ≤ C m(I).

II) Si E ⊂ V es de medida nula, entonces f(E) es de medida nula.

Sugerencia: Recuérdese que todo abierto de Rn es unión numerable de compactos (ver ejercicio1.32).

5.23 (Primer teorema de Sard)

Sean U un abierto de Rd y f :U → Rn de clase C 1. Si d < n entonces f(U) es de medidanula en Rn.

Nota: En las condiciones anteriores, si además U es conexo, f es inyectiva y la aplicación

lineal f ′ tiene rango máximo (es decir, d ) en todo punto, se dice que f(V ) es una variedad dife-renciable (elemental) de dimensión d en Rn. En particular, una curva diferenciable (variedad

de dimensión 1) en R2 tiene área 0, una superficie diferenciable (variedad de dimensión 2) en

R3 tiene volumen 0, etc. (véase también el teorema 3.24).

La hipótesis de diferenciabilidad de f es esencial. Esto es, si sólo se exige que f sea continua

puede suceder que f(V ) tenga medida mayor que 0. Un ejemplo clásico es la denominada curvade Peano, una aplicación continua del intervalo [0, 1] ⊂ R con valores en R2, cuya imagen es el

cuadrado [0, 1]× [0, 1].

En el libro de Bentabol et al. [3] se encuentran detallados los denominados teoremas de

Sard. Asimismo, [3] presenta un estudio pormenorizado de la curva de Peano, que puede ser

consultado también en [19].



5.24 Sea f una función Riemann-integrable en el intervalo compacto [a, b] de R. Probar quef es límite c.s. en [a, b] de una sucesión fundamental de funciones escalonadas. Más aún, lasucesión se puede tomar monótona creciente.

5.25 Sea αn∞n=1 una sucesión de funciones escalonadas en Rd, que es monótona crecienteen casi todo punto. Probar que la sucesión es fundamental si, y sólo si, existe C > 0 tal que

∫

Rd

αn ≤ C para cada n ∈ N .

5.26 Sea f una función real definida y continua en un intervalo compacto I de Rd. Probarque f es límite uniforme en I de una sucesión fundamental de funciones escalonadas.

5.27 Dividamos el intervalo [0, 1) en los 10 subintervalos

Ik =[k − 1

10,k

10

), k = 1, 2, . . . , 10,

luego en los 100 subintervalos

Ik =[k − 11

100,k − 10

100

), k = 11, 12, . . . , 110,

y así, sucesivamente, numeramos todos los intervalos de extremos decimales y semiabiertospor la derecha contenidos en [0, 1). Pongamos αn = χIn .

I) Demostrar que la sucesión αn∞n=1 es fundamental.

II) Probar que αn(x)∞n=1 no converge para ningún punto x ∈ [0, 1).

III) Encontrar una subsucesión de αn∞n=1 que converja c.s.

5.28 En las condiciones y con la notación del teorema 5.25. Comprobar con un ejemplo queel hecho de que la sucesión αnk

∞k=1 converja uniformemente en el complementario de cadaconjunto Uj, j ∈ N, no implica que esta sucesión converja uniformemente en la unión de

todos ellos, es decir, en Rd \( ∞∩j=1

Uj).

Tema 6

Integral de Lebesgue

Hoy en día se pueden encontrar en la literatura diversas presentaciones de la construcciónde la integral de Lebesgue, pero salvo ligeras variaciones podemos agruparlas en dos grandeslineas o métodos: por un parte, una vez que se tiene una medida se dispone de un mecanismode integración de funciones, pero también recíprocamente, una integral (un operador linealy monótono que actúe sobre funciones continuas) permite definir una medida sobre ciertaclase de conjuntos. En otras palabras, los conceptos de medida e integral van parejos.

La idea original de Lebesgue, presentada en su tesis doctoral de 1902, y que se recogeen el artículo [49], consiste en extender la medida a conjuntos más generales que los ele-mentales (los medibles o pertenecientes a la σ-álgebra de Lebesgue) y definir luego la integralpor aproximación de la de funciones simples, esto es, de la forma s =

∑ci χAi

, como lasescalonadas, pero donde los Ai son conjuntos medibles. La mayor dificultad de este procedi-miento consiste en determinar qué conjuntos se pueden medir, lo que habitualmente se hacemediante el método de la medida exterior o de Carathéodory.

Los trabajos de diversos autores probaron luego que es posible realizar una construcciónequivalente sin recurrir a la Teoría de la Medida. En particular, el que se conoce hoy en díacomo esquema de Daniell o de las funciones superiores (ver [1]), define la integral mediantesucesiones crecientes de funciones escalonadas. Posteriormente, además de la aportación deRiesz1 o de Young, las variaciones introducidas por Stone, sustituyendo las sucesiones monó-tonas de funciones escalonadas por sucesiones fundamentales, conducen al que podríamosdenominar método de Daniell-Stone, y que es extensible a funciones a valores complejos ovectoriales, al requerir de la norma y no de la relación de orden.

Este último será el método que seguiremos. El motivo principal es que esto nos permiteproporcionar cuanto antes ejemplos prácticos y recursos de cálculo, sin necesidad de pasarpor los detalles abstractos de la Teoría de la Medida; además, el marco general de las me-didas (σ-álgebras, clases monótonas, etc.) es estudiado en el Cálculo de Probabilidades (unaprobabilidad es una medida positiva de variación total 1) y también en una parte del AnálisisFuncional, lo que se viene denominando últimamente Análisis Real.

6.1. Definiciones y primeras propiedades

En lo que sigue nos referiremos, vagamente, a funciones definidas en Rd. En mente ten-dremos que se trata de funciones reales, pero tal como apuntamos más arriba, nada impidegeneralizarlo todo, salvo lo que se enuncie en términos de la relación de orden, al caso defunciones complejas.

La consistencia de la siguiente definición viene garantizada por el teorema 5.26.

Definición 6.1. Sea f una función definida c.s. en Rd. Se dice que f es integrable (en el sen-

tido de Lebesgue ) si es límite en casi todo punto de una sucesión fundamental de funcionesescalonadas αn∞n=1. En este caso, existe el límite

lımn→∞

∫

Rd

αn(x) dx

y es el mismo para todas las sucesiones fundamentales que convergen c.s. hacia f .

1La particularización a espacios euclídeos de la integración abstracta propuesta por Daniell alrededor de 1919, sesuele denominar también método de Riesz, pues ya en 1912 éste había abogado por el uso de funciones escalonadas.

79

80 Tema 6. Integral de Lebesgue

La integral (de Lebesgue ) de f es el límite anterior y se denota por∫

Rd

f(x) dm(x) ,

∫

Rd

f(x) dx ,

∫

Rd

f , o simplemente∫f .

Definición 6.2. Se dice que un subconjunto E de Rd es integrable si lo es su función carac-terística. En este caso, la medida (de Lebesgue ) de E es el número real no negativo

m(E) =

∫

Rd

χE(x) dx .

Observaciones 6.3.

I) Nótese que la notación usada para la integral de una función es la misma que en elcaso de funciones escalonadas. Por supuesto, una función escalonada es integrable enel sentido de Lebesgue y su integral coincide con la dada en la definición 5.21.

II) También, para hacer énfasis en la dimensión del espacio en que se integra son habitualeslas notaciones∫

Rp

f(x1, x2, . . . , xp) dx1 . . . dxp,

∫f(x1, x2, . . . , xp) dx1 . . . dxp , etc.

y en los casos habituales de dimensión 2 o 3, repitiendo el símbolo de la integral∫∫

f(x, y) dx dy ,

∫∫∫f(x, y, z) dx dy dz , etc.

III) Por definición, funciones que sean iguales casi siempre son simultáneamente integrableso no, y si lo son tienen la misma integral. De forma más coloquial: al integrar, es irrele-vante lo que ocurra en conjuntos de medida nula, en este sentido son “despreciables”.

IV) Como cabe esperar, los conjuntos integrables con medida 0, en los términos de la defini-ción anterior, son los conjuntos de medida nula según la acepción introducida en el temaanterior. Esta afirmación será probada un poco más tarde, cuando hayamos desarrolladotoda la maquinaria de la integral. De momento, lo que es evidente es que los conjuntosdespreciables son integrables y tienen medida 0.

V) La clase de los conjuntos integrables, contiene, obviamente a los conjuntos elementales yla medida ahora definida coincide con la que se introdujo en el tema anterior. Esta claseestá contenida a su vez en una más amplia, la de los conjuntos medibles. De momentonos conformamos con señalar que los conjuntos integrables son los conjuntos mediblesque tienen medida finita.

VI) El conjunto de funciones integrables en Rd se denota por L 1(Rd), o simplemente porL (Rd). La L en honor a Lebesgue, claro está. En cuanto al exponente 1, adquiere másrelevancia en otro contexto más general, cuando se consideran los espacios L p funcionestales que |f |p es integrable (|f |1 = |f | es integrable si lo es f , ver 6.4.II).

Propiedades 6.4. Sean f, g ∈ L 1(Rd). Se verifica que:

I) Linealidad: Si a, b ∈ R entonces a f + b g ∈ L 1(Rd) y∫

Rd

(a f + b g

)= a

∫

Rd

f + b

∫

Rd

g .

Es decir L 1(Rd) es un espacio vectorial y la aplicación f ∈ L 1(Rd) 7−→∫Rd f es lineal; en

particular, cualquier función igual c.s. a 0 tiene integral nula.

II) |f | ∈ L 1(Rd) y además ∣∣∣∫

Rd

f∣∣∣ ≤

∫

Rd

|f | .

III) maxf, g ∈ L 1(Rd) y mınf, g ∈ L 1(Rd).

IV) Monotonía: Si f(x) ≥ 0 c.s. en Rd entonces∫Rd f ≥ 0. Equivalentemente, si f(x) ≥ g(x)

c.s., entonces ∫

Rd

f ≥∫

Rd

g .


6.2. Sucesiones de funciones integrables 81

Observación 6.5. Dada una función real f :X → R se definen su parte positiva y su parte

negativa por

f+(x) = maxf(x), 0 y f−(x) = max−f(x), 0 ,respectivamente. Es obvio que f+ ≥ 0, f− ≥ 0 y que

f = f+ − f−, |f | = f+ + f− .

Tanto en la teoría de la Medida e Integración Abstracta como en el esquema de Daniell, o delas funciones superiores, la integrabilidad se define primero para funciones positivas y luegopara funciones reales: f será integrable si, y sólo si, lo son f+ y f−, en cuyo caso

∫f =

∫f+ −

∫f− y

∫|f | =

∫f+ +

∫f−.

Nótese que en nuestra exposición la integrabilidad de f+ y f−, así como las igualdades ante-riores, son consecuencia directa de las propiedades anteriores.

Cuando las propiedades 6.4, concretamente la de monotonía, se particularizan a las fun-ciones características de conjuntos se deduce lo siguiente:

Propiedades 6.6. Sean E,E1, E2, . . . , Ep subconjuntos integrables de Rd.

I) m(E) ≥ 0.

II) Si E ⊂ E1 entonces m(E) ≤ m(E1).

III)p∪k=1

Ek es integrable y

m( p

∪k=1

Ek

)≤

p∑

k=1

m(Ek) ,

y se da la igualdad si Ej ∩ Ek es despreciable para j 6= k.

6.2. Sucesiones de funciones integrables

Antes que nada, y aunque no es necesario para el desarrollo de la materia, señalemosque los primeros resultados en lo que exponemos a continuación se pueden presentar en uncontexto más general de espacios métricos. Concretamente si la “distancia” entre funcionesintegrables f y g la cuantificamos por ∫

|f − g|

nos encontramos que funciones distintas, pero iguales c.s., distan 0 entre si. La respues-ta a este contratiempo es identificar funciones iguales c.s., esto es, considerar la relaciónde equivalencia dada por “fRg si f =

c.s.g” y el espacio cociente L 1(Rd)/R, que se denota por

L1(Rd). Resulta que L1(Rd) es un espacio normado cuando se considera ‖Cf‖ =∫|f |, siendo

f cualquier representante de la clase Cf . Como en todo espacio normado, las nociones topo-lógicas se pueden dar en términos secuenciales, de ahí el nombre que reciben los primerosresultados. No volveremos a mencionar este asunto.

Teorema 6.7 (Densidad de las funciones escalonadas en L1). Sea f una función integrableen Rd y sea αn∞n=1 una sucesión fundamental de funciones escalonadas que converge c.s.hacia f . Entonces

lımn→∞

∫

Rd

∣∣f(x)− αn(x)∣∣ dx = 0 .

Teorema 6.8 (Completitud de L1). Sea fn∞n=1 una sucesión de elementos de L 1(Rd) queverifica la condición (de Cauchy): “para cada ε > 0 existe n0 ∈ N con

∫|fp − fq| < ε si p, q ≥ n0”.

Existe entonces f ∈ L 1(Rd) tal que

lımn→∞

∫

Rd

∣∣f(x)− fn(x)∣∣ dx = 0 .

Además, f es límite c.s. de una subsucesión fnk∞k=1.



Observación 6.9. La mera convergencia puntual de una sucesión de funciones integrablesno supone nada, en cuanto a la integrabilidad del límite puntual, en ausencia de otras con-diciones adicionales, como la de “de Cauchy” citada en el teorema 6.8. De hecho, podemosencontrar:

1. Una función límite c.s. de funciones integrables, pero no integrable.

2. Más aún, una función f límite uniforme de funciones integrables, pero no integrable.

3. Una función f integrable y límite c.s. de funciones integrables fn∞n=1 pero tal que suintegral no es el límite de las integrales de las fn.

Estas cuestiones se proponen como ejercicio (ver ejercicio 6.5).

Teorema 6.10 (de la convergencia monótona, de Levi). Sea fn∞n=1 una sucesión de fun-ciones integrables en Rd tal que para cada n ∈ N se verifica

fn(x) ≤ fn+1(x) para casi todo x ∈ Rd.

Se supone además que existe una constante C con∫

Rd

fn ≤ C para todo n ∈ N .

Entonces, existe una función f integrable en Rd tal que:

I) fn∞n=1 converge hacia f c.s.

II) lımn→∞

∫

Rd

∣∣fn − f∣∣ = 0 ; en particular, lım

n→∞

∫

Rd

fn =

∫

Rd

f .

Teorema 6.11 (de la convergencia dominada, de Lebesgue). Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones integrables en Rd que converge en casi todo punto hacia una función f . Suponga-mos que además existe una función g integrable en Rd tal que

∣∣fn(x)∣∣ ≤c.s.

g(x) para todo n ∈ N .

Entonces:

I) f es integrable.

II) lımn→∞

∫

Rd

∣∣fn − f∣∣ = 0 ; en particular, lım

n→∞

∫

Rd

fn =

∫

Rd

f .

Corolario 6.12 (Teoremas de anulación).

I) Sea f ∈ L 1(Rd) tal que∫Rd |f | = 0. Entonces f = 0 c.s.

II) Un conjunto E ⊂ Rd es de medida nula si, y sólo si, es integrable y md(E) =∫RdχE = 0.

6.2.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Levi

En la teoría abstracta de la Medida, si f es límite c.s. de una sucesión creciente sn∞n=1 defunciones simples (dígase escalonadas en Rd) y no negativas (por tanto f ≥ 0 c.s.) se asigna

∫f = lım

n→∞

∫sn,

límite que puede ser finito o infinito. Obviamente, la función f será integrable si el límitees finito. También se admite que una función pueda tomar el valor ∞, de manera que todasucesión creciente de números no negativos tiene límite en la semirrecta ampliada [0,∞]. Eneste contexto, el teorema de la convergencia monótona adquiere un aspecto más sencillo:

Teorema 6.13 (de la convergencia monótona, de Lebesgue). Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones “medibles” y no negativas en Rd tal que para cada n ∈ N se verifica

fn(x) ≤ fn+1(x) para casi todo x ∈ Rd.

Entonces la función definida c.s. por f = lımn→∞

fn es “medible” y lımn→∞

∫Rd fn =

∫Rd f .


6.3. Integración en intervalos de la recta 83

Más adelante daremos sentido al término medible, de momento baste indicar que hayfunciones que podemos medir, pero que no son integrables. En la misma línea citamos otroafamado resultado (ver también el ejercicio 6.10):

Teorema 6.14 (Lema de Fatou). Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones “medibles” y nonegativas. Entonces ∫

lım infn→∞

fn ≤ lım infn→∞

∫fn .

Notación: Para una sucesión de números reales an∞n=1 se definen

lım infn→∞

an := lımn→∞

(ınfak : k ≥ n

)= sup

ınfak : k ≥ n : n ∈ N

,

lım supn→∞

an := lımn→∞

(supak : k ≥ n

)= ınf

supak : k ≥ n : n ∈ N

,

límites que existen siempre en la recta ampliada [−∞,∞]. Resulta que lım infn→∞

an ≤ lım supn→∞

an,

y si coinciden la sucesión tiene límite, que es ese valor común.

6.3. Integración en intervalos de la recta

La materia que exponemos ahora, además de mostrar que la teoría de Lebesgue contieney generaliza a la de Riemann, nos proporciona los primeros recursos de cálculo en lo relativoal problema de estudiar la integrabilidad de una función y determinar su integral, si esprocedente, en el caso de funciones de una variable real.

Para funciones de varias variables sucede exactamente lo mismo, aunque no se exponeaquí pues el lector probablemente desconozca la teoría de Riemann en dimensión mayorque 1. No obstante, es fácil entender que una vez definidos los intervalos y su medida, elprocedimiento es el mismo (particiones de diámetro pequeño, sumas de Darboux, etc.).

Hasta ahora estamos considerando las funciones definidas en el espacio Rd. Con el objetivode establecer una formulación uniforme que nos permita la comparación entre las dos teoríascitadas entenderemos todas las funciones así, definidas en Rd. Eso es posible extendiendopor el valor 0 las funciones fuera de su dominio de definición original; lo que no alterará, niel carácter integrable ni los valores de las integrales.

Definición 6.15. Sean I un intervalo de la recta (de cualquier naturaleza, acotado o no) yf : I → R una función.

I) La extensión de f a R es la función f∗ definida por:

f∗(x) =f(x) si x ∈ I,0 si x /∈ I.

II) Diremos que f es integrable (en el sentido de Lebesgue) en I, y escribiremos f ∈ L 1(I), sif∗ es integrable en el sentido de Lebesgue en R, y en este caso la integral de f en I es

∫

I

f(x) dm(x) =

∫

R

f∗(x) dm(x) .

Notación: En general, cuando una función no esté definida en todo Rd, sino en un subcon-junto suyo E, a la extensión f∗, construida como en la definición precedente, la denotaremospor f χE. Por ejemplo, lnχ(0,∞) o ln(x)χ(0,∞)(x) representa la función que toma los mismosvalores que el logaritmo natural en (0,∞) y se anula en el resto de los puntos de R.

Teorema 6.16. Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b] → R una función acotada. Si fes integrable en [a, b] en el sentido de Riemann también lo es en el de Lebesgue, además setiene que ∫ b

a

f(x) dx =

∫

[a,b]

f(x) dm(x) .

Teorema 6.17 (Criterio de Riemann-integrabilidad, de Lebesgue). Sea [a, b] un intervalocompacto de R y f : [a, b] → R una función acotada. f es integrable en el sentido de Riemannen [a, b] si, y sólo si, f es continua en casi todo punto de [a, b].



Observación 6.18. Los dos teoremas anteriores muestran que la teoría de Lebesgue genera-liza a la de Riemann y nos dan la pista para comprobar que esta generalización es estricta,es decir, que existen funciones integrables en el sentido de Lebesgue que no lo son en el deRiemann: basta considerar el ejemplo propuesto por Dirichlet, la función característica de losracionales de [0, 1]:

f(x) = χQ(x)χ[0,1](x) .

Esta función no es continua en ningún punto de [0, 1], luego no puede ser Riemann-integrableen este intervalo. Por otra parte, dado que Q ∩ [0, 1] es de medida nula, f =

c.s.0, por lo que f es

Lebesgue-integrable, y con integral 0.

Por supuesto, en los modelos habituales de la Ciencia y la Técnica las funciones son más“dóciles” que la del ejemplo anterior, y los problemas de integrabilidad suelen venir dados porel carácter no acotado del integrando o del dominio de integración. En este sentido, lo queveremos a continuación se puede resumir en el siguiente aserto: Para funciones localmente

acotadas y continuas c.s., la integrabilidad en el sentido de Lebesgue equivale a la convergen-

cia absoluta de la integral en el sentido impropio de Riemann.

Teorema 6.19. Sean (a, b) un intervalo de R (acotado o no) y f : (a, b) → R continua.

I) Criterio de comparación: Si existe g integrable en R tal que

|f(x)| ≤ g(x) c.s. en (a, b) ,

entonces f es integrable en (a, b).

II) Regla de Barrow: Si f es integrable en (a, b) y F es una primitiva de f (que existe envirtud del teorema Fundamental del Cálculo), entonces existen y son finitos los límites

F (a+) = lımx→a+

F (x) y F (b−) = lımx→b−

F (x) .

Además, ∫

(a,b)

f(x) dm(x) =

∫ →b

→a

f(x) dx = F (b−)− F (a+) .

Teorema 6.20. Sean (a, b) un intervalo de R (acotado o no) y f : (a, b) → R integrable enel sentido de Riemann en cada subintervalo compacto de (a, b). Si la integral en el sentidoimpropio de Riemann de f en (a, b) es absolutamente convergente, entonces f es integrableen el sentido de Lebesgue en (a, b) y

∫

(a,b)

f(x) dm(x) =

∫ →b

→a

f(x) dx .

Observaciones 6.21.

I) En el teorema precedente, la condición de convergencia absoluta de la integral no sepuede sustituir por la mera convergencia. El clásico contraejemplo de la función

f(x) =sen(x)

xχ(0,∞)(x)

nos sirve para mostrar que una función puede tener integral impropia convergente y noser integrable en el sentido de Lebesgue.

II) A tenor de lo expuesto anteriormente, en el estudio de integrales de Lebesgue son apli-cables las mismas técnicas usadas en la integral de Riemann que emanan del criterio decomparación. Por citar algún ejemplo:

1. Si f es continua (o continua a trozos) en el intervalo (0, b] y existe

lımx→0+

xαf(x) = ℓ ∈ (0,∞)

entonces f es integrable en (0, b] si, y sólo si, lo es la función 1/xα, es decir, si y sólosi, α < 1.


Ejercicios 85

2. Sea f una función definida en el intervalo [a, b), acotado o no, y tal que existe unasucesión cn∞n=1 de puntos de (a, b) y estrictamente creciente, con lım

n→∞cn = b de

manera que f es Lebesgue-integrable en [a, c1) y en cada intervalo [cn, cn+1), n ∈ N.Entonces f es integrable en [a, b) si, y sólo si, la serie de términos positivos

∞∑

n=1

∫

[cn,cn+1)

∣∣f(x)∣∣ dm(x)

es convergente. En este caso,∫

[a,b)

f(x) dm(x) =

∫

[a,c1)

f(x) dm(x) +

∞∑

n=1

∫

[cn,cn+1)

f(x) dm(x) .

El lector sabrá realizar el conveniente ejercicio de traducción para reinterpretar los crite-rios de convergencia absoluta restantes en el contexto de la integral de Lebesgue.

III) Podría parecer, a la vista de situaciones como la del segundo ejemplo del punto anterior,que conviene hablar de una integral “flechada” o “impropia” de Lebesgue, pero notemosque en la construcción de la integral no se ha impuesto ninguna restricción en cuanto ala acotación de las funciones o de sus dominios de definición.

Volviendo sobre ese ejemplo, la sucesión de intervalos In = [a, cn) es creciente, por lo quela sucesión de funciones gn∞n=1 definida por

gn = |f |χIn = |f |n∑

k=1

χ[cn−1,cn) (c0 = a),

es de funciones positivas, integrables, y monótona creciente hacia |f |. La conclusiónanunciada antes se sigue del teorema de la convergencia monótona para gn ↑

n→∞|f |, y

luego del teorema de la convergencia dominada para hn = fχIn −→n→∞

f .

Más general: en virtud del criterio secuencial del límite se tiene que

lımβ→b−

∫

[a,β)

|f(x)| dm(x) = lımn→∞

∫

[a,cn)

|f(x)| dm(x)

para cualquier sucesión cn∞n=1 de puntos de (a, b) creciente hacia b.

IV) En lo sucesivo, para designar la integral en el sentido de Lebesgue de una función f enun intervalo de la recta de extremos a < b, utilizaremos también la notación de Riemann:

∫ b

a

f(x) dx o simplemente∫ b

a

f .

Ante una expresión de ese tipo, el contexto particular nos indicará en cada caso si con-viene abordarla como integral de Riemann, integral impropia de Riemann absolutamenteconvergente, o integral de Lebesgue.

Ejercicios

6.1 En los siguientes casos compruébese la veracidad de lo afirmado construyendo una su-cesión fundamental de funciones escalonadas que converja hacia la correspondiente función.

I) f(x) =1√xχ(0,1](x) es integrable en R.

II) f(x, y) =1√

x2 + y2χ(0,1]×(0,1](x, y) es integrable en R2.

6.2 Se consideran los intervalos I = [−1, 1] × [−1, 1] y J = [0, 1] × [0, 1] de R2. Utilizandoconvenientes sucesiones de funciones escalonadas demostrar que:

I)∫

R2

(x+ y)χI(x, y) dx dy = 0 .

II)∫

R2

x2 cos(y)χI(x, y) dx dy = 4

∫

R2

x2 cos(y)χJ (x, y) dx dy .



6.3 Sean f :R → R y g:R → R funciones integrables. En R2 se define la función h por

h(x, y) = f(x) g(y).

(h se denomina producto tensorial de f y g y se denota por h = f ⊗ g).

I) Probar que h es integrable en R2 y que∫∫

R2

h(x, y) dx dy =

∫

R

f(x) dx

∫

R

g(y) dy.

Sugerencia: Probarlo primero para el caso de que f y g sean escalonadas.

II) Sean I = [0, 1]× [0, 1] y f la función definida en R2 por

f(x, y) = x y χI(x, y) .

Comprobar que f es integrable y calcular su integral.

6.4 Calcular, justificando su existencia, el valor de la integral∫

R2

e−|x|

1 + y2dx dy .

6.5 En las siguientes situaciones examínese la convergencia c.s. y la convergencia unifor-me de la correspondiente sucesión de funciones fn∞n=1, así como la integrabilidad de lasfunciones y de su límite, y la relación entre la integral del límite y el límite de las integrales.

I) fn(x) = χ[−n,n](x) , x ∈ R .

II) fn(x) = χ[n,∞)(x) , x ∈ R .

III) fn(x) =1

nχ[−n,n](x) , x ∈ R .

IV) fn(x) = χ[n,n+1](x) , x ∈ R .

V) fn(x) =1

nχ[n,n+1)(x) , x ∈ R .

6.6 Sean In∞n=1 una sucesión de intervalos de Rd disjuntos dos a dos y an∞n=1 una sucesiónde números reales (o complejos).

I) Comprobar que está bien definida en todo punto de Rd la función f dada por la expresión

f(x) =

∞∑

n=1

an χIn(x) .

Las funciones definidas de esta forma se denominan numerablemente escalonadas.

II) Probar que una función numerablemente escalonada f , escrita en la forma anterior, esintegrable si, y sólo si, la serie numérica

∞∑

n=1

|an|m(In)

es absolutamente convergente.

6.7 En los siguientes casos examinar la integrabilidad de la correspondiente función y suspropiedades de acotación, anulación en el infinito (i.e., lım

‖x‖→∞f(x) = 0 ), etc.

I) f(x, y) =∞∑

n=1

1

nχIn(x, y) , siendo In = [n, n+ 1)× [n, n+ 1) ⊂ R2.

II) f(x, y, z) =∞∑

n=1

nχIn(x, y, z) , siendo In =[n, n+ 1/n)×

[n, n+ 1/n)×

[n, n+ 1/n) ⊂ R3.

III) f(x1, x2, . . . , xd) =∞∑

n=1

nχIn(x1, x2, . . . , xd) , siendo

In =( 1

n+ 1,1

n

]×( 1

n+ 1,1

n

]× d veces· · · ×

( 1

n+ 1,1

n

]⊂ Rd.


Ejercicios 87

6.8 (Teorema de la convergencia monótona, 2a. versión) Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones integrables en Rd tales que

1. Para cada n ∈ N se tiene que fn ≥ fn+1 c.s.

2. Existe una constante C con C ≤∫Rd fn para todo n ∈ N .

Probar que la sucesión fn∞n=1 converge c.s. hacia una función integrable f y que

lımn→∞

∫

Rd

∣∣fn − f∣∣ = 0 .

En consecuencia,∫f = lım

n→∞

∫fn.

6.9 Considérese la sucesión de funciones definida en el ejercicio 6.5.V. Demostrar que dichasucesión converge en casi todo punto y satisface la condición de tipo Cauchy del teorema 6.8.Sin embargo, no puede existir ninguna función g ∈ L 1(R) tal que

∣∣fn(x)∣∣ ≤c.s.

g(x) para cada n ∈ N .

Nota: La prueba del teorema de la convergencia dominada 6.11 consiste, grosso modo, en

probar que la condición de acotación de las fn implica el carácter “de Cauchy” de la sucesión.

Lo que muestra este ejemplo es que el recíproco no es cierto, esto es, la condición de tipo Cauchy

para una sucesión fn∞n=1 de funciones integrables no implica una acotación uniforme de todos

los términos fn por una misma función integrable g.

6.10 (Lema de Fatou) Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones integrables en Rd que convergec.s. hacia una función f . Se supone además que existen una función g ∈ L 1(Rd) y unaconstante C tales que para todo n ∈ N se verifica:

g(x) ≤c.s.

fn(x) y∫

Rd

fn ≤ C .

Demostrar que f es integrable y que∫

Rd

f = lımn→∞

∫

Rd

ınffk : k ≥ n ≤ lım infn→∞

∫

Rd

fn.

6.11 Para cada n ∈ N sea fn una función integrable en Rd. Se supone que∞∑

n=1

∫

Rd

|fn| <∞.

Probar que:

I)∞∑n=1

fn converge absolutamente c.s. hacia una función integrable.

II) Se tiene que∫

Rd

∞∑n=1

fn =∞∑n=1

∫

Rd

fn.

6.12 Vuelva a examinar el ejercicio 4.27, abordando ahora la igualdad∫ 1

0

x−x dx =

∞∑

n=0

1

(n+ 1)n+1,

en el contexto de la integral de Lebesgue.

¿Supone alguna ventaja? ¿Se simplifican los cálculos? ¿Y su justificación?

6.13 Si fn ∈ L 1(Rd), n ∈ N, y

lımn→∞

∫

Rd

|fn| = 0,

entonces fn∞n=1 no converge necesariamente c.s. hacia la función nula, pero contiene unasubsucesión que sí lo hace.



6.14 Sea f :Rd → R una función no negativa e integrable. Si α ≥ 1, asumiendo que lasintegrales tienen sentido, calcular

lımn→∞

∫

Rd

n log(1 +

(f(x)n

)α )dx .

Sugerencia: Para t ≥ 0 se tiene que log(1 + tα) ≤ α t .

6.15 Sea f una función real definida y continua en un intervalo compacto I de Rd. Probarque g = f χI es integrable en Rd y se verifica que

mınf(x) : x ∈ Im(I) ≤∫

Rd

g(x) dx ≤ maxf(x) : x ∈ Im(I) .

Sugerencia: Ver ejercicio 5.26.

6.16 Sea I un intervalo de Rd (recuérdese que, por convenio, I es acotado) y fn∞n=1 unasucesión de funciones integrables, acotadas, nulas fuera de I y uniformemente convergentesen Rd hacia una función f . Probar que f es integrable y que

lımn→∞

∫

Rd

fn =

∫

Rd

f .

¿Sigue siendo cierto el resultado si se suprime la condición de anulación fuera de un intervalode todas las funciones?

6.17 Para n ≥ 1 y x ∈ R, seafn(x) = e−nx − 2e−2nx.

I) Demostrar que∞∑n=1

fn(x) converge para todo x > 0 y calcular su suma f(x).

II) Probar que fn ∈ L 1((0,∞)

)para cada n ∈ N, y que f ∈ L 1

((0,∞)

). Comparar

∫∞

0f con

∞∑n=1

∫∞

0fn.

6.18 Calcular los siguientes límites:

I) lımn→∞

∫ 1

0

nx

1 + n2x2dx

II) lımn→∞

∫ 1

0

nx log(x)

1 + n2x2dx

6.19 Calcular los siguientes límites:

I) lımn→∞

∫ n

0

(1− x

n

)nex/2 dx

II) lımn→∞

∫ n

0

(1 +

x

n

)ne−2x dx.

6.20 Probar que si a > 0, entonces

lımn→∞

∫ ∞

a

n2x e−n2x2

1 + x2dx = 0 .

¿Se puede asegurar lo mismo para las integrales en (0,∞)?

6.21 Demostrar que si |x| ≤ 1 y t > 0 para cada n ∈ N se tiene que∣∣∣∣n∑

k=0

xk e−(k+1)t

∣∣∣∣ ≤2

et − x,

y deducir que si |x| ≤ 1 entonces∫ ∞

0

sen(t)

et − xdt =

∞∑

n=1

xn−1

1 + n2.


Ejercicios 89

6.22 Probar que∫ 1

0

3√x

x− 1log(x) dx =

∞∑

n=0

9

(3n+ 4)2.

6.23 Calcular el valor de las siguientes integrales en forma de serie numérica.

I)∫ 1

0

(log(x)

1− x

)2

dx

II)∫ 1

0

sen(x) log(x) dx

III)∫ ∞

0

log(x)

x2 − 1dx .

6.24 Sean p y q números reales positivos. Se consideran las siguientes funciones definidasen el intervalo (0, 1):

f(x) =xp−1

1 + xq; fn(x) = xp−1

n∑

k=0

(−1)kxk q , n = 0, 1, 2, . . .

I) Comprobar que f y fn, n ≥ 0, son integrables en (0, 1).

II) Probar que, si x ∈ (0, 1), para cada n = 0, 1, 2, . . . se tiene

0 ≤ fn(x) ≤ 2 f(x) =2xp−1

1 + xq.

III) Concluir del teorema de la convergencia dominada que∫ 1

0

xp−1

1 + xqdx =

∞∑

n=0

(−1)n

p+ n q.

IV) Deducir las igualdades

log(2) =

∞∑

n=1

(−1)n+1

n;

π

4=

∞∑

n=1

(−1)n+1

2n− 1.

6.25 Para cada α ∈ R se considera la sucesión fn∞n=1 definida por:

fn(x) = nαx e−nxχ(0,∞)(x), x ∈ R.

Probar que son equivalentes:

a) lımn→∞

∫

R

fn(x) dx = 0 .

b) α < 2 .

c) Existe f ≥ 0, f ∈ L 1((0,∞)

)tal que fn ≤ f , para cada n ∈ N.

6.26 Para n ∈ N se considera la función

fn(x) = n2xa(1− x)nχ(0,1)(x), x ∈ R .

I) Estudiar bajo qué condiciones existe g ∈ L 1((0, 1)

)de manera que fn ≤ g para cada n ∈ N.

II) Deducir para qué valores de a se verifica

lımn→∞

n!

(n+ a− 1)(n+ a− 2) · · · (a+ 1)= 0.

6.27 Calcular

lımn→∞

∫ ∞

0

log(x+ n) e−x cos(x)

ndx .



6.28 Sea fn∞n=1 la sucesión de funciones dada por

fn(x) =

(n+ x

n+ 2x

)n, x > 0.

Demostrar que fn(x) > fn+1(x) para cada n ∈ N, y encontrar el límite de las integrales y laintegral del límite para las sucesiones de funciones

gn(x) = fn(x) ex/2 y hn(x) = fn(x) e

−x/2.

6.29 Sean f, g ∈ L 1(Rd).

I) Mostrar con un contraejemplo que f g no tiene por qué ser integrable.

II) Supongamos que, además, una de las dos funciones f o g es acotada c.s. Probar queentonces también es integrable f g .

III) Más aun, digamos que f es integrable y que g es acotada c.s. (no necesariamente integra-ble) y es límite c.s. de una sucesión de funciones escalonadas. Demostrar que tambiénen este caso f g es integrable.

6.30 (Densidad de Cc(Rd) en L1(Rd))

I) Sea I un intervalo compacto de Rd. Probar que para cada ε > 0 existe una funcióncontinua g:Rd → [0, 1], que vale 1 en cada punto de I y se anula fuera de un intervaloabierto A que contiene a I, esto es, 0 ≤ χI ≤ g ≤ χA ≤ 1 ; y además

m(I) ≤∫

Rd

g ≤ m(I) + ε .

Nota: El resultado es válido para una clase más amplia de conjuntos (ver el lema de

Urysohn 1.89.III), ahora bien, en el caso de intervalos la función g se puede construir explí-

citamente de forma sencilla.

El conjunto sop(g) = cl(x ∈ Rd : g(x) 6= 0

)(un cerrado) se denomina soporte de g. El

espacio de las funciones continuas en Rd y de soporte compacto se denota por Cc(Rd).Según el resultado del ejercicio 6.15 toda función de Cc(Rd) es integrable.

II) Sea α una función escalonada en Rd. Demostrar que para todo ε > 0 existe una funcióng ∈ Cc(Rd) tal que ∫

Rd

∣∣α(x)− g(x)∣∣ dx < ε.

Deducir lo mismo para una función integrable en Rd.

Un poco más sobre series de Fourier

Las fórmulas (4.2) son aplicables a cualquier función f de L 1([−π, π)) (si se prefiere, fdefinida en R, de periodo 2π e integrable en los intervalos acotados). Por tanto, podemoshablar de la serie de Fourier de f también en esta situación, aunque f no esté acotada c.s.

Se aborda ahora uno de los resultados importantes en la teoría de series de Fourier.

6.31 Sea I un intervalo acotado de R. Comprobar que se verifica:

lımn→∞

∫

I

cos(nx) dx = 0 = lımn→∞

∫

I

sen(nx) dx .

Deducir que si α es una función escalonada, entonces

lımn→∞

∫ π

−π

α(x) cos(nx) dx = 0 = lımn→∞

∫ π

−π

α(x) sen(nx) dx .

6.32 (Lema de Riemann-Lebesgue) Sea f ∈ L 1([−π, π)). Los coeficientes de Fourier de ftienden hacia 0 cuando n crece hacia ∞:

lımn→∞

∫ π

−π

f(x) cos(nx) dx = 0 = lımn→∞

∫ π

−π

f(x) sen(nx) dx .

Tema 7

Medibilidad. Integración iterada

En el tema anterior, y sobre todo a la vista de algunos ejercicios, ya se puede intuir queel concepto de integral se puede establecer para funciones no necesariamente definidas entodo el espacio. Los dominios de definición de estas funciones no pueden ser arbitrarios, senecesita que puedan ser medidos (que tengan área, volumen, etc.). Ya hemos contempladoantes una gama de estos conjuntos, los integrables, pero esto excluye a todos los que tienen“medida infinita” (una semirrecta en R, un sector angular en R2, etc.).

Asimismo, conviene considerar funciones con “buen comportamiento” aunque no seanintegrables: las funciones constantes y no nulas y otras muchas funciones continuas resultanno integrables en Rd. Estos problemas son el objetivo de las dos primeras secciones.

Una vez establecida esta generalización de la integral se trata la primera de las dos grandestécnicas prácticas: la integración iterada, que reduce el cálculo al de integrales en intervalosde la recta, presentado en el tema precedente. La otra técnica destacable, el método de cambio

de variables, que generaliza el homónimo resultado para funciones de una variable, es el focode atención del tema siguiente.

7.1. Funciones medibles y conjuntos medibles

Definición 7.1. Una función f definida en Rd se dice medible (en el sentido de Lebesgue) sies límite c.s. de una sucesión de funciones escalonadas.

Se dice que un subconjunto E de Rd es medible si su función característica es medible.

Ejemplos 7.2.

I) Toda función integrable es medible.

II) Toda función numerablemente escalonada es medible.

III) Si g es medible y f =c.s.

g, entonces f es medible.

IV) Los conjuntos elementales y, en general, los conjuntos integrables son medibles.

V) Rd, Ø y los conjuntos de medida nula son medibles.

Las siguientes propiedades son prácticamente inmediatas a partir de las propiedades delas funciones escalonadas.

Propiedades 7.3. Sean f , f1, f2, . . . , fn funciones medibles en Rd y E, E1, E2, . . . , En subcon-juntos medibles de Rd. Se tiene que:

I) |f | es medible, pero el recíproco no es cierto (puede ser |g| medible y no serlo g).

II) Si λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, la función λ1f1 + λ2f2 + . . .+ λnfn =n∑k=1

λkfk es medible.

III) f1 · f2 · · · fn =n∏k=1

fk es medible.

IV) maxf1, f2, . . . , fn y mınf1, f2, . . . , fn son medibles.

V) Si f(x) 6= 0 c.s. entonces la función definida c.s. 1/f es medible (si se prefiere, 1/f definidade forma arbitraria en los puntos en que se anule f ).

VI) Rd \ E es medible.

VII) Si a ∈ Rb, el trasladado a+ E = a+ x : x ∈ E es medible.

91

92 Tema 7. Medibilidad. Integración iterada

VIII) Si λ ∈ R, el λE = λx : x ∈ E es medible.

IX)n∪k=1

Ek yn∩k=1

Ek son medibles.

Los dos resultados siguientes nos proporciona nuevos ejemplos de funciones y conjuntosmedibles.

Proposición 7.4. Toda función continua en Rd es medible. En consecuencia, si f es igualc.s. a una función continua, entonces f es medible.

Proposición 7.5. Si E es abierto o E es cerrado de Rd, entonces E es medible. Por tanto, siE es abierto o cerrado y N es de medida nula, entonces E ∪N y E \N son medibles.

Observación 7.6. En particular, el resultado anterior se aplica al caso de que N sea lafrontera de E. Es decir, los conjuntos con frontera nula, que denominaremos cuadrables, sonmedibles. Pero, atención! No todo conjunto medible es cuadrable: pensemos en Q ⊂ R, demedida nula y cuya frontera es R.

Los conjuntos acotados y cuadrables son los denominados conjuntos con contenido de

Jordan o medibles en el sentido de Jordan, que juegan en la teoría de Riemann un papelsimilar al de los medibles en la de Lebesgue.

Teorema 7.7 (Criterio de comparación). Sea f una función medible en Rd. Se supone queexiste g ∈ L 1(Rd) con |f | ≤

c.s.g, entonces también f es integrable.

Corolario 7.8. Una función medible f es integrable si, y sólo si, |f | es integrable.

Corolario 7.9. Si f es medible en Rd y g, h ∈ L 1(Rd) son tales que g ≤c.s.

f ≤c.s.

h, entonces f es

integrable.

Corolario 7.10. Si f es medible y acotada en Rd y g ∈ L 1(Rd), entonces también f g ∈ L 1(Rd).

Corolario 7.11. Si E es un subconjunto medible y acotado en Rd, entonces E es integrable.

Proposición 7.12. Si E ⊂ Rd es integrable, para cada a ∈ Rd el conjunto a+ E es integrabley m(a+ E) = m(E) .

Teorema 7.13. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones medibles en Rd que converge c.s.hacia la función f . Entonces f es medible.

Corolario 7.14. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones medibles en Rd.

I) Si f =∞∑n=1

fn c.s., entonces f es medible.

II) En el caso de que estén definidos c.s., supfn : n ∈ N e ınffn : n ∈ N son funcionesmedibles.

Corolario 7.15. Sea En∞n=1 una sucesión de subconjuntos medibles de Rd. Entonces∞∪n=1

En

y∞∩n=1

En son medibles.

Proposición 7.16. Sea f :Rd → R medible. Para cada a ∈ R los siguientes conjuntos sonmedibles:

x ∈ Rd : f(x) ≤ a

,

x ∈ Rd : f(x) ≥ a

,

x ∈ Rd : f(x) = a

,

x ∈ Rd : f(x) > a

,

x ∈ Rd : f(x) < a

,

x ∈ Rd : f(x) 6= a

.


7.1. Funciones medibles y conjuntos medibles 93

Corolario 7.17. Si f1, f2, . . . , fn y g1, g2, . . . , gn son funciones medibles en Rd y para cadaj = 1, 2, . . . , n se considera ∼j, cualquiera de las relaciones ≤,≥, <,>,= o 6=, entonces elconjunto

x ∈ Rd : f1(x) ∼1 g1(x) , f2(x) ∼2 g2(x) , . . . , fn(x) ∼n gn(x) ,

es medible.

Proposición 7.18. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones medibles en Rd.

I) El conjuntox ∈ Rd : fn(x)∞n=1 converge

es medible.

II) Si α ∈ R, el conjuntox ∈ Rd : fn(x)∞n=1 converge hacia α

es medible

Proposición 7.19. Una función f :Rd → R es medible si, y sólo si, para cada a ∈ R el conjuntox ∈ Rd : f(x) < a

es medible.

Observaciones 7.20.

I) El resultado anterior completa la proposición 7.16 pues incluye su recíproco. En la teo-ría abstracta de la medida las funciones medibles f se definen, una vez que se tiene elespacio de medida (la familia de los subconjuntos medibles) como aquellas tales que los

conjuntos f < a, f ≤ a, etc., son medibles; las funciones del tipon∑k=1

akχEk, deno-

minadas simples son medibles según esta definición, y cualquiera que sea límite c.s. deuna sucesión de funciones simples también será medible. Conocida la medida de los con-juntos medibles, el proceso de integración es similar al que hemos presentado, jugandolas funciones simples el mismo papel que en nuestro esquema han jugado las funcionesescalonadas.

II) Estamos ahora en condiciones de examinar comparativamente las teorías de la integralde Riemann y de Lebesgue:

1. En la teoría de Riemann (propia) se consideran funciones f acotadas en interva-los acotados I. La integrabilidad de f en I se establece en términos de particiones

I =n∪k=1

Ik en subintervalos de diámetro cada vez más pequeño, confiando en que la

función “oscile poco” y que las sumas de Darbouxn∑

k=1

ınff(x) : x ∈ Ikm(Ik) yn∑

k=1

supf(x) : x ∈ Ikm(Ik)

disten poco entre sí (cada vez menos haciendo el diámetro de la partición más pe-queño). La integral de Riemann es el límite común de las sumas de Darboux (límitecreciente para las sumas inferiores y decreciente para las superiores).

2. En la teoría de Lebesgue es irrelevante que f sea acotada o que se anule fuera deun conjunto acotado. Pongamos que f ≥ 0 (esta suposición no supone ningunalimitación en el razonamiento pues |f | será integrable si lo es f , y permite visualizarmejor lo expuesto). La idea es considerar particiones de la imagen, p.e., si n ∈ N,entonces [0,∞) = ∪

k∈N[(k − 1)/n, k/n) y los conjuntos An,k = (k − 1)/n ≤ f < k/n son

medibles. Las funciones

sn =

n2∑

k=1

k − 1

nχAn,k

son funciones medibles y simples, además, sn ↑n→∞

f . Lo que importa, no es que los

conjuntos An,k tengan medida grande o pequeña (lo que, por otra parte, no tienenada que ver con su carácter de acotados o no), sino que las sumas

∫sn =

n2∑

k=1

k − 1

nm(An,k)

permanezcan acotadas: el superior, que es también el límite, de las integrales∫sn

es, por definición, la integral de f .



III) Según 7.15 los conjuntos abiertos, los cerrados, los de medida nula, y los que obtenga-mos de ellos mediante uniones o intersecciones numerables son medibles. En realidad,es difícil imaginar conjuntos no medibles, al menos entre los que uno se encuentra enlos modelos de la Ciencia y la Técnica. Vitali proporciona en 1905 el primer ejemplo (verejercicio 7.9), ahora bien, su construcción requiere del Axioma de Elección, un postuladoequivalente al Lema de Zorn o al Principio de Buena Ordenación, que suele ser admitidopor la mayoría de la comunidad matemática.

La duda de si la existencia de conjuntos no medibles puede ser establecida independien-temente de ese axioma no fue resuelta hasta 1971, cuando Solovay muestra que en laaxiomática tradicional (la de Zermelo y Fraenkel) la existencia de conjuntos no medi-bles Lebesgue en R es un indecidible, es decir, una proposición tal que ella misma o sunegación se pueden añadir al sistema axiomático resultando otro sistema consistente.

En otras palabras: si admitimos el Axioma de Elección, entonces en R hay subconjuntosno medibles en el sentido de Lebesgue; si no lo admitimos, podemos afirmar que existenconjuntos no medibles o que no existen, lo que nos apetezca.

IV) Según la proposición 7.19 la existencia de funciones no medibles va ligada a la existenciade conjuntos no medibles. Aún suponiendo su existencia es difícil toparse, en la prác-tica, con una de ellas. Nótese la gran ventaja respecto a la integral de Riemann: en eseotro caso no cabe siquiera preguntarse por la integrabilidad de una función que no seacontinua c.s. (ver teorema 6.17).

7.2. Integración en conjuntos medibles

Definición 7.21. Sean E un subconjunto medible de Rd y f :E → R.

I) Se dice que f es medible en E si fχE es medible en Rd.

II) Se dice que f es integrable en E si fχE es integrable en Rd. En este caso se define laintegral de f en E como la integral de fχE en Rd y se representa f ∈ L 1(E).

Notación: La integral de una función f en un conjunto E se denota por∫

E

f(x) dx ,

∫

E

f , etc.

y también siguiendo las pautas indicadas en las observaciones 6.3.II y 6.21.IV.

Observación 7.22. La integral en un subconjunto medible es, por definición la integral deuna función en Rd, así que las propiedades generales de linealidad, monotonía, etc. relatadasen 6.4 son igualmente válidas para la integración en subconjuntos. En añadidura, se tienenlas siguientes propiedades.

Propiedades 7.23. Sean E y E1, E2, . . . , En subconjuntos medibles de Rd.

I) Si f ∈ L 1(Rd) entonces f|E ∈ L 1(E).

II) Si f ∈ L 1(Ek) para cada k = 1, 2, . . . , n entonces f es integrable enn∪k=1

Ek. Si además los

conjuntos Ek son disjuntos dos a dos, o simplemente, si se tiene que Ek∩El es de medidanula para k 6= l, entonces se verifica que

∫n∪

k=1Ek

f =

n∑

k=1

∫

Ek

f .

III) Si E integrable y f es medible en E y acotada c.s. en E, entonces f es integrable en E.

IV) En particular si m(E) = 0 o si f =c.s.

0 en E, se tiene que

∫

E

f = 0 .

Recíprocamente, si f es medible en E y la integral de |f | en E es 0, ha de suceder nece-sariamente una de las dos cosas: m(E) = 0 o f =

c.s.0 en E.


7.2. Integración en conjuntos medibles 95

Los siguientes resultados son consecuencia de los teoremas de paso al límite en la integral.En unos casos se trata simplemente de la convergencia c.s. en el conjunto medible E deuna sucesión genérica de funciones medibles. En otros casos, estas funciones están dadasen términos de las funciones características de conjuntos (como en la observación 6.21.III).

Nótese que si An ⊂ An+1 para todo n ∈ N, entonces χAn↑

n→∞

χA, siendo A =∞∪n=1

An.

Proposición 7.24. Sean E un subconjunto medible de Rd y ϕn∞n=1 una sucesión de funcio-nes medibles que converge uniformemente en E hacia la función ϕ.

I) Si f ∈ L 1(E) y f ϕn ∈ L 1(E) para todo n ∈ N, entonces f ϕ ∈ L 1(E) y∫

E

f ϕ = lımn→∞

∫

E

f ϕn.

II) En particular (tomando f = 1), si E es integrable y para cada n ∈ N se tiene que ϕn esintegrable en E, entonces ϕ es integrable en E y

∫

E

ϕ = lımn→∞

∫

E

ϕn.

Teorema 7.25. Sean En, n ∈ N, subconjuntos medibles de Rd, disjuntos dos a dos. Pongamos

E =∞∪n=1

En. Si f es integrable en E entonces

I) f es integrable en En para todo n.

II) La serie numérica∞∑n=1

∫Enf es absolutamente convergente.

III)∫Ef =

∞∑n=1

∫Enf .

A modo de recíproco:

Teorema 7.26. Sean En, n ∈ N, subconjuntos medibles de Rd, disjuntos dos a dos, y sea

E =∞∪n=1

En. Se supone que f es una función medible en E, integrable en cada En, y tal que la

serie numérica∞∑n=1

∫En

|f | es convergente. Entonces f ∈ L 1(E) y

∫

E

f =

∞∑

n=1

∫

En

f.

Corolario 7.27. Sean En, n ∈ N, subconjuntos integrables de Rd, disjuntos dos a dos. Si la

serie numérica∞∑n=1

m(En) es convergente, entonces E =∞∪n=1

En es integrable y

m(E) =

∞∑

n=1

m(En).

7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida

La igualdad en el último corolario sigue vigente si convenimos en que un conjunto medibleno integrable tiene medida ∞ y que la suma de una serie de términos positivos divergentees ∞ (incluyendo la posibilidad de que alguno de sus términos sea infinito); igual que parafunciones medibles y no negativas, pero no integrables, se puede asignar no obstante el valor∞ a su integral permaneciendo válidos los teoremas fundamentales de paso al límite bajo elsigno integral (ver comentarios 6.2.1). De esta forma tenemos una medida, finita o infinita,asignada a cada conjunto medible. Esta situación, hablando de los espacios euclídeos, no esmás que un caso particular de una teoría más general. Lo que se expone a continuación nopretende establecer un marco de trabajo, que sería propio de un curso de Análisis Real, sinoque va dirigido a familiarizar al lector con una terminología y notación de uso corriente enposteriores estudios y a facilitarle una visión global en el ámbito de todas las matemáticas.



Definición 7.28. Sea X un conjunto. Se dice que una subfamilia M de P(X) es una σ-álgebra

en X si verifica:

I) X ∈ M.

II) Si A ∈ M, entonces X \A ∈ M.

III) Si An ∈ M, n ∈ N entonces∞∪n=1

An ∈ M.

En este caso se dice que el par (X,M) es un espacio medible y los elementos de la familia Mse denominan conjuntos medibles.

El prefijo σ se usa habitualmente para denotar procesos numerables (por ejemplo: unespacio σ-compacto es unión numerable de compactos, aunque él mismo no los sea, comolos abiertos de Rn). Si la última condición se limita a uniones finitas, entonces se habla deun álgebra de conjuntos.

De los 3 axiomas de la definición se deduce que si M es σ-álgebra en X, entonces el con-junto vacío y las intersecciones numerables de conjuntos medibles son conjuntos medibles.

Definición 7.29. Sea (X,M) un espacio medible. Una medida (positiva) en M es una apli-cación µ:M → [0,∞] tal que

µ(∞∪n=1

An) =

∞∑

n=1

µ(An)

para cada familia numerable de conjuntos medibles An : n ∈ N con An ∩Ak = Ø para n 6= k.

Un espacio de medida es una terna (X,M, µ) donde X es un conjunto, M es una σ-álgebraen X, y µ es una medida en M.

Ejemplos 7.30.

I) Si en Rd se considera la familia M de los subconjuntos medibles y se define m(E) =∫E1

(dando el valor ∞ si E no es integrable), entonces (Rd,M,m) es un espacio de medida.

II) Si X es un conjunto y x0 ∈ X la aplicación definida en P(X) por

δ(A) =

1 si x0 ∈ A,0 si x0 /∈ A,

es una medida, denominada delta de Dirac soportada en x0.

III) La aplicación definida en P(N) por

p(A) =∑

n∈A

1

2n

es un probabilidad, es decir, una medida positiva y finita cuya variación total, p(N), esigual a 1.

IV) Si ρ es una función medible, no negativa e integrable en los compactos de Rd, entoncesla aplicación definida en los conjuntos medibles Lebesgue por

µ(E) =

∫

E

ρ(x) dm(x)

es una nueva medida; se dice que µ es absolutamente continua respecto de m y que ρ esla función de densidad de µ (o derivada de Radon-Nicodym) de µ respecto de m.

V) Como en el apartado anterior, si además∫Rd ρ = 1, entonces µ es una probabilidad.

Un caso notable, por su frecuente aparición, es el de la distribución de probabilidadnormal o gaussiana en R:

p(E) =

∫

E

1√πe−x

2

dx .

En general, dados M ∈ R y σ > 0, la función de la forma

p(E) =

∫

E

1

σ√2π

e−(x−M)2/2σ 2

dx ,

es una probabilidad; cualquier variable aleatoria con esta distribución de probabilidadtiene esperanza igual a M y varianza igual a σ2.


7.2. Integración en conjuntos medibles 97

7.2.2. Conceptos físicos definidos por integrales

No pretendemos aquí más que mostrar como la noción de integral interviene en los mode-los de las ciencias experimentales más allá de la simple idea de área, volumen, etc.

En numerosos modelos de la Física Matemática una magnitud µ definida en un subcon-junto de Rp está subordinada a la medida mp en el sentido de que si mp(E) = 0 entoncesµ(E) = 0. Por ejemplo, si µ(E) representa la masa presente en el subconjunto E de R3, eslógico establecer, si se idealiza la materia como un medio continuo, que µ(E) = 0 si E tienevolumen 0. Esa subordinación o continuidad absoluta de µ respecto de m viene dada (la prue-ba queda fuera de los objetivos de este curso) por una densidad, concepto que se define acontinuación, generalizando lo ya comentado en el ejemplo 7.30.IV.

Definición 7.31. Sean A un subconjunto medible de Rp y µ una función de conjunto, queasigna a cada compacto K ⊆ A el número real µ(K) ≥ 0. Se dice que ρ:A → R es una función

de densidad (o simplemente densidad) para µ si es medible, no negativa, e integrable en loscompactos de A, y se verifica que:

µ(K) =

∫

K

ρ(x) dx para todo compacto K ⊆ A.

En estas condiciones, obviamente µ(K) = 0 si mp(K) = 0.

Las siguientes definiciones se establecen en R3 por ser ésta la situación más común,pero no hay problemas en generalizarlas a dimensión arbitraria. En lo que sigue A seráun subconjunto de R3 y µ una medida dada en A por la densidad ρ en los términos de ladefinición precedente.

Definición 7.32. Dado un conjunto compacto (o simplemente un conjunto medible y acota-do) K ⊆ A con µ(K) > 0, el centro de K relativo a µ es el punto cK ∈ R3 dado por

1

µ(K)

(∫∫∫

K

x ρ(x, y, z) dx dy dz ,

∫∫∫

K

y ρ(x, y, z) dx dy dz ,

∫∫∫

K

z ρ(x, y, z) dx dy dz

).

Observaciones 7.33.

I) Si ρ es una densidad de masa, cK se denomina también centro de masa de K; si µrepresenta la carga eléctrica, cK se llama centro de carga de K, etc.

II) Para sólidos homogéneos (con densidad constante) el centro de masa viene dado por

cK =1

m(K)

(∫∫∫

K

x dx dy dz ,

∫∫∫

K

y dx dy dz ,

∫∫∫

K

z dx dy dz

).

III) En la definición anterior, las integrales normalizadas dividiendo por la medida del con-junto son el análogo continuo a las sumas ponderadas en los modelos discretos: six1,x2, . . . ,xn son puntos del espacio donde se concentran masas µ1, µ2, . . . , µn, entonces

c =1

µ1 + µ2 + . . .+ µn

(µ1x1 + µ2x2 + . . .+ µnxn

)

es el centro de masas de dicho sistema; esto es, a efectos mecánicos, en estado de reposo,podemos considerar toda la masa µ = µ1 + µ2 + . . .+ µn concentrada en el punto c.

Definición 7.34. Sea K ⊆ A un conjunto compacto (o simplemente un conjunto medible yacotado). Fijada una recta L de R3 (un eje de rotación) se define el momento de inercia de Krespecto del eje L como la integral

∫∫∫

K

R 2L(x) ρ(x) dx ,

siendo RL la función distancia a L: RL(x) = mın‖x− p ‖ : p ∈ L

.

Observación 7.35. El momento de inercia de un cuerpo cuantifica su resistencia a adquiriruna aceleración angular. Cuanto más concentrada esté la masa del sólido cerca del eje derotación, más pequeña será la función integrando (por eso los patinadores estiran sus brazospara disminuir la velocidad de giro o se encogen para aumentarla).

En el caso discreto descrito en 7.33.III el momento de inercia viene dado porn∑k=1

µk R2L(xk) .



7.3. Integración iterada

En el tema anterior ya hemos proporcionado recursos de cálculo para funciones de unavariable. Lo que se expone ahora, reducir una integral múltiple a varias integrales en interva-los de la recta, viene a completar aquello, permitiendo en muchos casos, no sólo determinarel carácter integrable o no integrable de una función, sino también calcular el valor de suintegral.

Notación: Si x = (x1, x2, . . . , xp) ∈ Rp, y = (y1, y2, . . . , yq) ∈ Rq, representaremos por (x,y) alelemento de Rp+q dado por

(x,y) = (x1, . . . , xp, y1, . . . , yq).

Esto está justificado por los isomorfismos lineales Rp+q ≃ Rp × Rq ≃ Rp ⊕ Rq.

Definición 7.36. Sean E un subconjunto de Rp+q y f :Rp+q → R.

I) Se define la proyección de E en Rp como el subconjunto de Rp dado por

Π1(E) = x ∈ Rp : (x,y) ∈ E para algún y ∈ Rq,y se define la proyección de E en Rq como el subconjunto de Rq dado por

Π2(E) = y ∈ Rq : (x,y) ∈ E para algún x ∈ Rp.

II) Fijado x ∈ Rp se define la sección de E por x como el subconjunto de Rq dado por

Ex = y ∈ Rq : (x,y) ∈ E .Análogamente, para y ∈ Rq la sección de E por y es el subconjunto de Rp dado por

Ey = x ∈ Rp : (x,y) ∈ E,

III) Para cada x ∈ Rp la sección de f por x es la función fx:Rq → R definida por

fx(y) = f(x,y).

Análogamente, si y ∈ Rq, la sección de f por y es la función x ∈ Rp 7→ fy(x) = f(x,y).

Observaciones 7.37.

I) Si I es un intervalo de Rp+q es obvio que sus proyecciones son intervalos J1 = Π1(I) ⊂ Rp

y J2 = Π2(I) ⊂ Rq. Además I = J1 × J2.

II) Las secciones de un conjunto E heredan algunas propiedades de él, pero en generalhay que ser cauteloso. Por ejemplo, las secciones de un abierto son abiertas, las de uncompacto son compactas, pero las de un conexo no necesariamente son conexas, ni todaslas secciones de un conjunto medible en Rp+q tienen porqué ser medibles en Rp o Rq.

III) Aunque las definición anterior se han dado en términos de un agrupamiento ordenado delas variables, no hay ningún inconveniente en generalizar estos conceptos fijando índices1 ≤ i1 < i2 < . . . ip ≤ d = p+ q y pensando en Rd como la suma directa de dos subespaciosde dimensiones p y q (los asociados a las variables agrupadas en x = (xi1 , xi2 , . . . , xip) ey = (xip+1

, xip+2, . . . , xip+q

).

Las secciones de funciones o de conjuntos se comportan bien respecto a las operacioneshabituales. Precisando más, se verifican las siguientes propiedades:

Propiedades 7.38. Sean E , Ei : i ∈ I subconjuntos de Rp+q y f, g, fn∞n=1 funcionesdefinidas en Rp+q.

I) |fx| = |f |x ; (f+)x = (fx)+ ; (f−)x = (fx)

− .

II) Si fn∞n=1 converge hacia f en Rp+q, entonces (fn)x∞n=1 converge hacia fx en Rq.

III) (f + g)x = fx + gx ; (f g)x = fxgx ; (λ f)x = λ fx , λ ∈ R .

IV) (χE)x = χEx;(

∪i∈I

Ei

)x= ∪i∈I

(Ei)x .


7.3. Integración iterada 99

Teorema 7.39 (de Fubini para funciones escalonadas). Sea α una función escalonada enRd = Rp+q. Para cada x ∈ Rp la sección αx:R

q → R es escalonada; la función definida por

x ∈ Rq 7−→ ϕ(x) =

∫

Rq

αx(y) dy =

∫

Rq

α(x,y) dy

es escalonada en Rp y además∫

Rp+q

α =

∫

Rp

ϕ(x) dx =

∫

Rp

(∫

Rq

α(x,y) dy

)dx .

Análogamente, intercambiando los papeles de x e y:∫

Rp+q

α =

∫

Rq

(∫

Rp

α(x,y) dx

)dy .

Teorema 7.40 (de Fubini para conjuntos de medida nula). Sea E un subconjunto deRd = Rp+q de medida nula. Para casi todo x ∈ Rp la sección Ex es de medida nula en Rq.Análogamente, Ey es de medida nula en Rp para casi todo y ∈ Rq.

Teorema 7.41 (de Fubini). Sea f una función integrable en Rd = Rp+q. Para casi todo x ∈ Rp

la función fx es integrable en Rq. La función definida c.s. en Rp por

ϕ(x) =

∫

Rq

fx(y) dy =

∫

Rq

f(x,y) dy

es integrable en Rp y además∫

Rp+q

f =

∫

Rp

ϕ(x) dx =

∫

Rp

(∫

Rq

f(x,y) dy

)dx .

Análogamente, intercambiando los papeles de x e y:∫

Rp+q

f =

∫

Rq

(∫

Rp

f(x,y) dx

)dy .

Corolario 7.42. Sea E un subconjunto medible de Rp+q. Para casi todo x ∈ Rp la sección Ex

es un conjunto medible en Rq.

Aplicando reiteradamente el teorema de Fubini se obtiene el siguiente resultado que nospermite reducir el cálculo de una integral en Rp al de p integrales en R.

Corolario 7.43. Sea f una función integrable en Rp, entonces∫

Rp

f(x) dx =

∫

R

(· · ·

(∫

R

(∫

R

f(x1, x2, . . . , xp) dx1

)dx2

)· · ·

)dxp

estando cada una de las funciones integrando definida c.s. en R. Lo mismo para cualquierpermutación del orden de las variables.

En particular, si E = I1 × I2 × · · · × Ip es un intervalo (no necesariamente acotado) de Rp, yaj < bj son los extremos de cada intervalo Ij ⊂ R y f es integrable en E. Entonces

∫

E

f(x) dx =

∫ bp

ap

(· · ·

(∫ b2

a2

(∫ b1

a1

f(x1, x2, . . . , xp) dx1

)dx2

)· · ·

)dxp.

Observación 7.44. Las integrales que aparecen en los teoremas anteriores, operando paula-tinamente sobre grupos de variables

∫

Rp

(∫

Rq

f(x,y) dy

)dx ,

∫

R

(· · ·

(∫

R

(∫

R

f(x1, x2, . . . , xp) dx1

)dx2

)· · ·

)dxp, etc.

reciben el nombre común de integrales iteradas. El teorema de Fubini proporciona entoncesun procedimiento iterativo de cálculo, pero bajo la premisa de la integrabilidad de la función.

Pero el recíproco del teorema de Fubini no es cierto, precisando más: el hecho de queexistan las integrales iteradas de una función no implica la integrabilidad de la misma. Esto



no debe extrañarnos si pensamos en las nociones de serie condicionalmente convergente yde función numerablemente escalonada (ver ejercicios 7.13 y 7.14).

Como en el caso mencionado de las series, el carácter de sumabilidad1 incondicional vaasociado a la sumabilidad del valor absoluto o módulo. Esta consideración es la que estableceel siguiente teorema que proporciona un criterio de integrabilidad.

Teorema 7.45 (Criterio de Tonelli). Sea f una función medible en Rp+q. Supongamos quela integral iterada ∫

Rp

(∫

Rq

∣∣f(x,y)∣∣ dy

)dx

existe y es finita, esto es, que para casi todo x ∈ Rp la sección |f |x es integrable en Rq y quela función ψ definida c.s. en Rp por

ψ(x) =

∫

Rq

∣∣f(x,y)∣∣ dy

es integrable en Rp. Entonces f es integrable en Rp+q.

Observaciones 7.46.

I) Por supuesto, análogo resultado se obtiene intercambiando los papeles de x e y en elteorema de Tonelli.

II) La aplicación iterada, al estilo de 7.43, muestra que si f es medible en Rp y∫

Rp

∣∣f(x)∣∣ dx =

∫

R

(· · ·

(∫

R

(∫

R

∣∣f(x1, x2, . . . , xp)∣∣ dx1

)dx2

)· · ·

)dxp

es finita, entonces f es integrable.

III) En el teorema de Tonelli la hipótesis de medibilidad de f es esencial. Alrededor de 1920,Sierpinski probó, asumiendo el Axioma de Elección, la existencia de un conjunto A ⊂ R2

no medible en el sentido de Lebesgue y tal que toda recta del plano lo corta a lo sumo endos puntos; en particular, todas las secciones de A son de medida nula y

∫

R

(∫

R

χA(x, y) dy

)dx =

∫

R

m1(Ax) dx =

∫

R

0 dx = 0 ,

aunque 0 no es el área de A, de hecho, ni siquiera tiene sentido considerar m2(A).

7.3.1. Ejemplos notables de aplicación

Sean E un subconjunto medible de Rd = Rp+q y f :E → R integrable. En teoría, la integralde f en E se puede calcular de forma iterada, pues si f∗ = fχE es la extensión de f por 0 alresto del espacio Rd, se tiene que

∫

E

f(x,y) dx dy =

∫

Rp+q

f∗(x,y) dx dy =

∫

Rp

(∫

Rq

f∗(x,y) dy

)dx .

Ahora bien, pensando en la eficiencia del cálculo, si x /∈ Π1(E) entonces Ex = Ø y f∗(x,y) = 0;también, aunque Ex 6= Ø, si y /∈ Ex de nuevo es f∗(x,y) = 0. Esto sugiere simplificar así:

∫

E

f(x,y) dx dy =

∫

Π1(E)

(∫

Ex

f(x,y) dy

)dx .

El problema es que, aunque para casi todo x ∈ Rp el conjunto Ex es medible en Rq (vercorolario 7.42), nada garantiza que sea medible en Rp la proyección Π1(E), así que estacondición ha de darse como hipótesis para poder proceder en la manera indicada.

En la práctica, al tratar los problemas que suscitan las ciencias experimentales, los con-juntos que aparecen (p.e. como dominio de definición de las magnitudes físicas consideradas)suelen ser sencillos, tales que su frontera es una unión de variedades (curvas en R2, superfi-cies en R3, etc.). En estas situaciones el problema de la integración iterada, antes que nada,pasa por determinar extremos de intervalos (las secciones de los conjuntos), hablando colo-quialmente por “poner los límites de integración”. En los siguientes ejemplos se describen lassituaciones más comunes en dimensiones 2 y 3.

1El término función sumable es sinónimo de función integrable, aunque con el tiempo va cayendo en desuso.


7.3. Integración iterada 101

Ejemplos 7.47.

I) Sean (a, b) un intervalo de R (acotado o no) y ϕ1, ϕ2 funciones medibles en (a, b) tales queϕ1(x) ≤ ϕ2(x) para cada x ∈ (a, b). El conjunto A de R2 definido por

A = (x, y) ∈ R2 : x ∈ (a, b) , ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)es medible (ver figura 7.1). Si f es una función integrable en A se tiene que

∫∫

A

f(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dy

)dx .

Un resultado análogo se obtiene intercambiando los papeles de las variables x e y.

a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) a ≤ y ≤ b, ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)

Figura 7.1: Integración iterada en dos variables.

II) Sean A ⊂ R2 medible y ψ1, ψ2 funciones medibles en A tales que ψ1(x, y) ≤ ψ2(x, y) paracada (x, y) ∈ A . El conjunto E de R3 definido por

E = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A , ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)es medible (ver figura 7.2). Si f es una función integrable en E se tiene que

∫∫∫

E

f(x, y, z) dx dy dz =

∫∫

A

(∫ ψ2(x,y)

ψ1(x,y)

f(x, y, z) dz

)dx dy . (7.1)

yAx

E

z

Figura 7.2: E = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A , ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y).

III) Si el conjunto A considerado en el caso anterior es a su vez del tipo considerado en elejemplo 7.47.I, es decir,

E = (x, y, z) ∈ R3 : x ∈ (a, b) , ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) , ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y) ,con ϕ1, ϕ2 medibles en (a, b), ψ1, ψ2 medibles en A, la integral doble que aparece en laigualdad (7.1) se calcula de nuevo iteradamente, resultando

∫∫∫

E

f(x, y, z) dx dy dz =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

(∫ ψ2(x,y)

ψ1(x,y)

f(x, y, z) dz

)dy

)dx .

IV) Si E es un subconjunto medible de R3, entonces al agrupar las coordenadas en la forma((x, y), z

), para una función f ∈ L 1(E) se tiene que

∫∫∫

E

f =

∫ ∞

−∞

(∫∫

Ez

f(x, y, z) dx dy

)dz ,

fórmula que se conoce con el nombre de integración por secciones planas.



Este método resulta recomendable cuando las secciones Ez son sencillas de describir y/ola función f no depende de (x, y): si f(x, y, z) = g(z) la integral anterior se escribe

∫∫∫

E

f =

∫ ∞

−∞

(∫∫

Ez

g(z) dx dy

)dz =

∫ ∞

−∞

g(z)m2(Ez) dz .

Supongamos que, además, E es acotado (integrable, por lo tanto) y, concretamente, queestá contenido en el intervalo I = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3]. Entonces, para cada casi todoz ∈ [a3, b3] el conjunto

Ez =(x, y) ∈ R2 : (x, y, z) ∈ E

⊂ [a1, b1]× [a2, b2]

es medible, luego es integrable. Al aplicar lo anterior a la función constante igual a 1 seobtiene la fórmula conocida como principio de Cavalieri (ver figura 7.3), nombre dado enhonor a este científico italiano que en el siglo XVII intuyó esta propiedad anticipándoseal desarrollo del Cálculo Integral.

E = ∪a3≤z≤b3

Ez×z

m3(E) =

∫ b3

a3

m2(Ez) dz

Figura 7.3: Principio de Cavalieri.

Nota: En Física el término “Principio” se usa con una acepción similar a la de “Axioma”;

hoy en día, aunque se le siga denominando Principio, el de Cavalieri no es más que un

corolario del teorema de Fubini.

Ejercicios

7.1 Sea f :Rn → R tal que para cada r ∈ Q, el conjuntox ∈ Rn : f(x) ≥ r

es medible.

Demostrar que f es medible.

7.2 Sean E un subconjunto de Rd y En : n ∈ N una partición de E en conjuntos medibles.Probar que una función f definida en E es medible si, y sólo si, sus restricciones f|En

sonmedibles para todo n ∈ N.

7.3 (Desigualdad de Chebyshev) Sean E un conjunto medible de Rd y f una función inte-grable en E. Dado un número real c > 0 se considera el conjunto

Ac =x ∈ E : |f(x)| ≥ c

.

Probar que

m(Ac) ≤1

c

∫

Ac

|f | ≤ 1

c

∫

E

|f | .

7.4 Demostrar que, si f ∈ L 1(Rd), el conjuntox ∈ Rd : f(x) 6= 0

es unión numerable de

conjuntos de medida finita.

7.5 Sean E ⊂ Rd medible y f ∈ L 1(E) con f(x) > 0 para casi todo x de E. Probar que

lımn→∞

∫

E

f1/n = m(E) (se conviene que m(E) = ∞ si E no es integrable).

7.6 Sea En∞n=1 una sucesión de conjuntos integrables de Rd tal que∞∑n=1

m(En) < ∞ . De-

mostrar que el conjunto E = x ∈ Rd : x ∈ En para infinitos n es despreciable.


Ejercicios 103

7.7 Sea f :Rd → R medible. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define

En =x ∈ Rd : n < |f(x)| ≤ n+ 1

.

I) Probar que, si f es integrable, entonces∞∑

n=0

nm(En) <∞ .

II) Si el conjuntox ∈ Rd : |f(x)| > 0

=

∞∪n=0

En es integrable (de medida finita), entonces la

convergencia de la serie anterior implica que f es integrable.

7.8 Para cada n = 0, 1, 2, . . . sea

En =(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , n2 ≤ x2 + y2 < (n+ 1)2

.

Probar que, para cada (x, y) ∈ En

e−(x2 + y2)5/2y3 ≤ e−n

5

(n+ 1)3 ,

y deducir que la función

f(x, y) = e−(x2 + y2)5/2y3

es integrable en el conjunto

E =(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0

=

∞∪n=0

En .

7.9 (El conjunto de Vitali) En el intervalo [0, 1] se define la relación binaria:

xRy si, y sólo si, x− y ∈ Q .

El intervalo [0, 1] se escribe como unión disjunta de las clases de equivalencia que determinala relación R. Se elige un punto de cada clase de equivalencia y se considera el conjunto Ade los puntos elegidos. El conjunto A no es medible. La prueba se realiza por reducción alabsurdo siguiendo el esquema que se relata continuación:

I) R es, efectivamente, una relación de equivalencia.

II) Si se supone que A es medible entonces también lo es cualquier trasladado, y con igualmedida: m(x+A) = m(A).

III) Si r, s ∈ Q con r 6= s se tiene que (r +A) ∩ (s+A) = Ø.

Ahora, dada cualquier numeración r1, r2, . . . , rn, . . . de Q∩ [−1, 1] se considera An = rn+A

y B =∞∪n=1

An; se tiene que [0, 1] ⊂ B ⊂ [−1, 2] . Si A fuese medible se tendría que

m([0, 1]) = 1 ≤ m(B) =

∞∑

n=1

m(An) ≤ 3 = m([−1, 2]) .

7.10 Haciendo uso del conjunto de Vitali demostrar la existencia de:

I) Una función f no medible (resp. no integrable) en R, pero tal que |f | es medible (resp.integrable).

II) Un conjunto medible E de R2 tal que su proyección π1(E) = ∪y∈R

x : (x, y) ∈ E no es

medible en R (ver ejercicio 5.10).

III) Un conjunto medible E de R2 tal que la sección Ex = y : (x, y) ∈ E es no medible parauna infinidad de abscisas x ∈ R.

7.11 Sea f :R → [0,∞) una función medible, y sea

Ω =(x, y) ∈ R2 : x ∈ R, 0 ≤ y ≤ f(x)

.

Probar que Ω es medible y que

m2(Ω) =

∫

R

f(x) dx .



7.12 Sea f :R → R una función medible. Probar que su grafo

Γ(f) =(x, f(x)

): x ∈ R

es un conjunto de medida nula en R2.

7.13 Sea f la función numerablemente escalonada en R2 definida por

f =∑

n∈Z

(χ(n,n+1]×(n,n+1] − χ

(n,n+1]×(n−1,n]

).

Calcular, si existen, las integrales iteradas de f . ¿Es integrable en R2 esta función?

7.14 Se considera la función definida c.s. en R2 por

f(x, y) =x y

(x2 + y2)2.

Demostrar que las integrales iteradas de f existen y son iguales. ¿Es f integrable en R2?

7.15 En los siguientes casos comprobar que la función f es integrable en el intervalo I ycalcular su integral:

I) I = [0, 2]× [0, 2] , f(x, y) = x⌊y+1⌋ y⌊x+1⌋ .

II) I = [0, 1]× [0, 1] , f(x, y) =

x si x > y,

y2 si x ≤ y.

III) I = [0, π]× [0, 1] , f(x, y) = |y − sen(x)| .IV) I = [0, 1]× [0, 1] , f(x, y) = |y − e−x| .V) I = [2, 3]× [0, 1] , f(x, y) = (x− y)⌊2 y⌋ .

VI) I = [2, 3]× [0, 1] , f(x, y) =y3 − 2x y2 + x2 y + x− 1

(x− y)2(x− 1).

VII) I = [0, 2]× [0, 2] , f(x, y) = |y − 2x| .VIII) I = [0, 2]× [0, 2] , f(x, y) =

√|2x− y2| .

IX) I = [−1, 1]× [−1, 1] , f(x, y) = maxx, y .

X) I = [1, 2]× [1, 2] , f(x, y) =

(x+ y)−1 si x ≥ y ;

0 si x < y .

7.16 Sean a, b números reales con 0 < a < b e I = [0, 1] × [a, b]. Considerando la integral enI de la función f(x, y) = xy, deducir que

∫ 1

0

xb − xa

log(x)dx = log

( b+ 1

a+ 1

).

7.17 Mediante el estudio de la integral de la función

f(x, y) =1

(1 + y) (1 + x2 y)

en el intervalo [0, 1]× [0, 1] deducir que∫ 1

0

1

x2 − 1log

(x2 + 1

2

)dx =

π2

16.

7.18 Recordemos que, si s, t ∈ R, se define la exponencial del número complejo s + i t pores+it = es

(cos(t) + i sen(t)

).

I) Calcular el valor de la integral de la función compleja f definida por

f(x, y) = ei2πxei2πy

en un rectángulo compacto [a, b]× [c, d] de R2.

II) Deducir que si Ik : 1 ≤ k ≤ m es una partición del intervalo I de R2 tal que cadasubintervalo Ik tiene al menos un lado de longitud entera, entonces I tiene al menos unlado de longitud entera.


Ejercicios 105

7.19 Sea f :R → R una función continua y par (f(t) = f(−t) para cada t ∈ R). Si a > 0 yA = [0, a]× [0, a], pruébese la igualdad

∫∫

A

f(x− y) dx dy = 2

∫ a

0

(a− t) f(t) dt .

Deducir el valor de la integral de la función |x− y| cos(x− y) en el intervalo [0, π/2]× [0, π/2] .

7.20 Calcular:

I)∫∫

(0,1)×(0,1)

√y√xdx dy .

II)∫∫

(0,1)×(0,1)

dx dy√x+ y

.

III)∫∫

R2

dx dy

(1 + x2) (1 + y2).

IV)∫∫

(1,∞)×(1,∞)

x e−xy dx dy .

7.21 En cada uno de los siguientes supuestos estudiar la integrabilidad de la función f enel abierto I:

I) I = (0, 1)× (0, 1) , f(x, y) = (x y)−α , α > 0 .

II) I = (0, 1)× (1,∞) , f(x, y) =1

xαyβ, α, β > 0 .

III) I = (1,∞)× (1,∞) , f(x, y) = senp( 1

x y

), p > 0 .

IV) I = (0, 1)× (0, 1) , f(x, y) =1√

1− x2 y2.

V) I = (1,∞)× (1,∞) , f(x, y) =x2 + y2 + x2 y3

x3 + y3 + x7 y5 + 1.

VI) I = (1,∞)× (1,∞) , f(x, y) =x2

1 + y2 x4.

7.22 Sean f, g: [0,∞) → R funciones continuas, estrictamente crecientes, con f(0) = g(0) = 0y tales que f g = g f = Id[0,∞), es decir, una es la inversa de la otra.

I) Probar que si a, b > 0 los conjuntos

K1 =(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ f(x)

y K2 =

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ x ≤ g(y)

son medibles y [0, a]× [0, b] ⊂ K1 ∪K2.

II) Deducir que a b ≤∫ a

0

f(x) dx+

∫ b

0

g(y) dy .

III) Considerando adecuadas funciones potenciales demostrar que si p, q son números realesmayores que 1 y tales que 1/p+ 1/q = 1, entonces se verifica la desigualdad de Hölder:

a b ≤ ap

p+bq

q.

7.23 Calcular∫∫Kf en los siguientes casos:

I) K = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ √y , f(x, y) = x e

−x2/y .

II) K = (x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ 1 , f(x, y) = x2 + y2 .

III) K = (x, y) ∈ R2 : x+ y ≥ 2 , x2 + (y − 1)2 ≤ 1 , f(x, y) = x .

IV) K = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 , x ≥ y2 , f(x, y) = x2 + 4 y2 .

V) K = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2− x , f(x, y) = ⌊x+ y⌋ .VI) K = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , x2 + (y − 1)2 ≤ 1 , f(x, y) = |x+ y − 2| .



VII) K = (x, y) ∈ R2 : x ≤ y2 , y ≤ x , 0 ≤ y ≤ 2 , f(x, y) = sen(π xy

).

VIII) K = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2 , f(x, y) =√a2 − x2 , siendo a > 0.

IX) K = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , y3 ≤ x ≤ y2 , f(x, y) = ex/y .

X) K = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ x2 , 0 ≤ x ≤ 2 , f(x, y) = x2 + y2 .

XI) K =(x, y) ∈ R2 : y ≤ 2 , x/2 ≤ y ≤ x

, f(x, y) = y .

XII) K =(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2x

, f(x, y) = |y − x| .

7.24 Si D es el círculo limitado por la circunferencia de ecuación x2 + y2 −Ry = 0, calcularlas siguientes integrales:

I)∫∫

D

√R− y dx dy .

II)∫∫

D

y dx dy .

7.25 En las siguientes situaciones comprobar que la función f es integrable en el conjuntoE y calcular la integral

I) f(x, y) =(1− y)c

(x− y)c, siendo 0 < c < 1; E = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1 , 0 < y < x .

II) f(x, y) = x y , E =(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4

.

III) f(x, y) =1

x, E = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1 , 0 < y < x .

IV) f(x, y) =1√

4− x− y, E = (x, y) ∈ R2 : 0 < x , 0 < y , x+ y < 4 .

7.26 Estudiar la integrabilidad de la función f(x, y) = x , en los siguientes conjuntos:

I) A =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , 0 < y <

1

1 + x4

.

II) B =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , arctg(x) < y < π/2

.

7.27 Estudiar la integrabilidad de f en V en los siguientes casos:

I) f(x, y) =

√x

y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 0 , x < y < x+

1

x

.

II) f(x, y) =1

x4 + y2, V =

(x, y) ∈ R2 : y > x2 + 1

.

III) f(x, y) =sen(exy)

x3y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 1 , 1 < exy < e

x/2

.

IV) f(x, y) =ey/x

1 + y2sen(x)

x, V =

(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1

.

V) f(x, y) =e−(x/y)

2

ey

y, V =

(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1 , x > y

.

VI) f(x, y) =sen(x y)

x y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 0 , arctg(x) < y < π/2

.

VII) f(x, y) =1√y

, V =(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < y + e−y

.

VIII) f(x, y) = xα y cos(x y) , V =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , |y| < 1

x+ 1

.

IX) f(x, y) =x− cos(y)

y2 + x4, V =

(x, y) ∈ R2 : 1 < x , 0 < y < x

.

X) f(x, y) =1

xα y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 1 ,

√x2 − 1 < y < x

.


Ejercicios 107

7.28 En R3 se considera el cubo unidad C = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] . Calcular la integral en C delas siguientes funciones:

I) f(x, y, z) =z (y z − x2 − x4)

1 + x2.

II) f(x, y, z) = |x+ y + z − 1| .

III) f(x, y, z) = maxx, y, z .

IV) f(x, y, z) = x2y cos(x y z) .

V) f(x, y, z) = |x2 + y2 + z2 − 1| .

VI) f(x, y, z) = x |y − z| .

7.29 Sean r, h > 0.

I) Demostrar la fórmula del área de un círculo de radio r: m2

(B(x0, r)

)= π r2.

II) Deducir la fórmula para el volumen de una bola de R3: m3

(B(x0, r)

)=

4

3π r3.

III) Deducir la fórmula del volumen para sólidos de revolución E, obtenidos al girar alrededordel eje OX la gráfica, Γ(f) = (x, y) : y = f(x), de la función positiva f : (a, b) → (0,∞):

m3(E) = π

∫ b

a

f(x)2dx .

En particular:

1. El volumen de un cilindro de altura h y radio de la base r es π r2h .

2. El volumen de un cono de altura h y radio de la base r es1

3π r2h .

Nota: Supóngase, de momento, que estos conjuntos son simétricos respecto a uno de los

ejes coordenados. En el tema siguiente constataremos lo que dicta la intuición: la medida

de Lebesgue, al igual que la métrica en Rn, es invariante por traslaciones, giros y simetrías.

7.30 Calcular la integral de f en K en los siguientes casos:

I) K = (x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x ≤ 3 , 1 ≤ y ≤ 3 , 0 ≤ z ≤ √x y , f(x, y, z) = z − x y .

II) K = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤√x− x2 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2 , f(x, y, z) = z y

√x2 + y2 .

III) K = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ y2 ≤ 4 , f(x, y, z) = z ⌊x⌋ .

IV) K = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ y , y2 ≤ x2 + z2 ≤ 4 , f(x, y, z) =1

y + 2.

V) K = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ R2 , x2 + y2 + (z −R)2 ≤ R2 , f(x, y, z) = z2.

7.31 Probar que la función

f(x, y, z) =e−y(z+1) sen(y)

1 + z x2

es integrable en el conjunto V =(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 , 0 < y , 0 < z < 1/x

.

7.32 Sea P el sólido limitado por el tetraedro cuyas caras yacen en los tres planos coorde-nados y el plano de ecuación x+ 2 y + 3 z = 6 .

I) Determinar el volumen de P .

II) Calcular el centro de masa de P .

III) Calcular la integral en P de la función f(x, y, z) = x y z .

IV) Calcular la integral en P de la función g(x, y, z) = |x+ y − 3| .



7.33 Un sólido acotado K está limitado por la superficie de ecuación z = x2− y2 y los planosde ecuaciones z = 0 , x = 1 , x = 3 .

I) Calcular el volumen de K.

II) Calcular el centro de masa de K.

III) Demostrar que la función f(x, y, z) = ⌊x⌋ es integrable en K y calcular su integral.

7.34 Sea K el compacto contenido en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) y limitado por losplanos de ecuaciones x+ y = 2 , x+ 2 y = 6 , y el cilindro de ecuación y2 + z2 = 4 . Calcular

∫∫∫

K

z dx dy dz .

7.35 Si K es el compacto contenido en el primer octante y limitado por las dos superficiesde ecuaciones y2 = x− x2 y z2 = 4x , calcular

∫∫∫

K

x2 y z3 dx dy dz .

7.36 Sea E el sólido de R3 limitado por el paraboloide de revolución de ecuación x2+y2+z = 4 ,y el plano de ecuación z = 0 . Calcular el centro de masa de E en los dos supuestos siguientes:

I) La densidad de masa de E es constante (E es homogéneo).

II) La densidad de masa de E, que decrece con la altura, está dada por ρ(x, y, z) =1

1 + z/16.

7.37 Se considera el compacto de R3

K =(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z , x+ y + z ≤ 2

.

I) Expresar la integral de una función f continua en K como integral iterada, al menos dedos formas distintas.

II) Calcular el centro de masa de K.

7.38 Se considera el subconjunto de R3

K =(x, y, z) ∈ R3 : |x|+ |y| ≤ 1 , z ≥ 0 , x2 + y2 + z2 ≤ 1

.

I) Calcular la integral en K de la función f(x, y, z) = z x2.

II) Calcular la integral en K de la función f(x, y, z) = y z2.

7.39 Sean a, b, c números reales positivos.

I) Demostrar que el área del conjunto(x, y) ∈ R2 : x

2/a2 + y2/b2 ≤ 1

es igual a π a b.

II) Mediante el método de secciones planas calcular el volumen del subconjunto de R3 limi-tado por el elipsoide de ecuación

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 .

7.40 Sea r > 0. Se considera el conjunto

K =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ r2 , x2 + y2 ≤ z

.

Calcular el centro de masas de K.

Tema 8

Integración por cambio de variables

Como en muchas otras situaciones, el germen de la teoría que presentamos ahora es elestudio de casos particulares surgidos, sobre todo, de los modelos de la Física Teórica, siendoel aparato matemático concebido, en principio, de forma heurística hasta que la madurez dela teoría que lo sustenta permite establecer un enunciado y prueba globales.

En este sentido, el cambio de variables es casi tan antiguo como la propia noción deintegral. Por mencionar algunos hitos: hacia 1769 Euler, en su desarrollo de la integral doble,ya contempla una fórmula de índole geométrica del cambio de variable; poco después, en1773 Lagrange usa un cambio de variable en una integral triple, obligado por el estudio deelipsoides, objeto de su trabajo en ese momento; en el manejo de integrales de superficieGauss usa en 1813 cambios de variables para integrales dobles; Ostrogradski enuncia en1836 una primera generalización del teorema del cambio de variables a dimensión arbitrariay dos años después publica la primera prueba para el caso de integrales dobles en términosde “diferenciales”; Jacobi y Catalan publican en 1841 sendos artículos independientes conreferencias al teorema general del cambio de variables en dimensión arbitraria. Por cierto,es bastante común el nombre teorema del jacobiano para referirse al teorema del cambio devariables.

El punto final de esta teoría se puede atribuir a E. Cartan, uno de los padres de la geo-metría diferencial, quien en las postrimerías del s. XIX establece con rigor las nociones deelementos de área, formas diferenciales1, etc., lo que zanja definitivamente el teorema generaldel cambio de variables para la integral múltiple de Riemann.

La prueba del teorema del cambio de variables para la integral de Lebesgue se puede vercomo una simple adaptación del referido a la integral de Riemann: salvo en la forma en quese concibe la convergencia de las sucesiones de funciones escalonadas, hasta ese momentotodo es igual.

8.1. Nociones previas

En primer lugar, recordaremos conceptos que son tratados en un primer curso de Cálcu-lo en una variable y de Álgebra Lineal, nociones elementales, pero fundamentales para elposterior desarrollo de la teoría. Asimismo, comenzaremos contemplando algunas nocionestopológicas, ya zanjadas en los primeros temas o inmediatas a partir de aquellas.

Lema 8.1. Sean U y V abiertos de Rd y ϕ:U ↔ V un difeomorfismo. Si U es conexo tambiénlo es V y la función Jϕ tiene signo constante en U .

Lema 8.2. Sean U y V abiertos de Rd y ϕ un difeomorfismo de U sobre V .

I) Un subconjunto K ⊂ U es compacto si, y sólo si, el conjunto ϕ(K) ⊂ V es compacto.

II) Si K ⊂ U es compacto, entonces Fr(ϕ(K)

)es ϕ

(Fr(K)

).

Observación 8.3. La correspondencia entre las fronteras de un conjunto y su transformadosirve en muchos casos para determinar el segundo conjunto; por ejemplo, si el compacto Kde R2 está delimitado por las curvas Γ1,. . . ,Γm, entonces ϕ(K) está delimitado por las curvasϕ(Γ1),. . . ,ϕ(Γm).

1Hoy en día todavía es frecuente encontrar en textos de Física razonamientos heurísticos basados en la considera-ción de “diferenciales” como incrementos pequeños de las magnitudes: p.e., el volumen de un sólido de revolución sepuede obtener tomando rebanadas infinitesimales del conjunto, que son casi cilindros, y sumando sus volúmenes.

109

110 Tema 8. Integración por cambio de variables

8.1.1. Cambios de variable en una dimensión

Consideremos intervalos de la recta I, J de cualquier naturaleza (acotados o no, abiertos ono) y ϕ: I → J una biyección de clase C 1 y tal que ϕ−1: J → I también es derivable (por tanto,también de clase C 1). Puesto que ϕ′(ϕ−1(x)

)(ϕ−1)′(x) = 1 para todo x ∈ J , la función continua

ϕ′ no se anula nunca y debe tener signo constante en el conexo I (i.e., ϕ es estrictamentemonótona).

El teorema fundamental del Cálculo (la regla de Barrow, si se prefiere) establece que sif es una función definida en J , nula fuera de un compacto [a, b] ⊂ J y f es continua o f esescalonada, entonces

∫ b

a

f(x) dx =

∫ ϕ−1(b)

ϕ−1(a)

f(ϕ(x)

)ϕ′(y) dy =

∫ β

α

f(ϕ(x)

) ∣∣ϕ′(y)∣∣ dy (8.1)

siendo [α, β] = ϕ−1([a, b]) ⊂ I.

La fórmula (8.1) es válida también para integrales impropias, si más que pasar al límite,pudiendo ser infinitos cualquiera de los extremos a o b o de sus correspondientes α y β; porejemplo, si ϕ′ > 0, esto es, si ϕ es creciente:

α = ϕ(a+) = lımx→a+

ϕ(x) ; β = ϕ(b−) = lımx→b−

ϕ(x) .

También es válida para funciones integrables en general (aunque la prueba es más laboriosala idea es simple: si es cierto para funciones escalonadas lo es para sus límites). Así, si Ees cualquier intervalo contenido en I (nótese que ϕ(E) es también un intervalo, en virtud delteorema de Bolzano) podemos escribir

∫

ϕ(E)

f(x) dx =

∫

E

f(ϕ(y)

) ∣∣ϕ′(y)∣∣ dy . (8.2)

En cualquier caso, el factor∣∣ϕ′(y)

∣∣ mide la tasa de variación de las medidas (longitudes) delos intervalos ϕ(E) respecto a la de los originales. Explícitamente: si denotamos por Ez alintervalo [y, z] entonces, por definición de derivada, se tiene que

∣∣ϕ′(y)∣∣ = lım

z→y+

∣∣ϕ(z)− ϕ(y)∣∣

z − y= lımz→y+

m1

(ϕ(Ez)

)

m1(Ez)

El objetivo de este tema es generalizar (8.2) al caso de dimensión arbitraria y a conjuntosmedibles E cualesquiera.

8.1.2. Representación y descomposición de isomorfismos lineales

Los resultados y comentarios siguientes tienen su interpretación matricial, concretamenteen lo que se refiere a las operaciones con filas o columnas de una matriz cuadrada, y cómoafectan a su determinante. La motivación de su estudio es la misma que en situacionesmás pragmáticas (tal como el método de eliminación gaussiana en la resolución de sistemaslineales): simplificar la disquisición teórica posterior.

Definición 8.4. Una transformación elemental en Rd es un isomorfismo lineal del espaciovectorial Rd en si mismo de uno de los tres tipos siguientes:

E1.- Ri,λ(x1, . . . , xi, . . . , xd) = (x1, . . . , λ xi, . . . , xd) , λ ∈ R, λ 6= 0, 1 ≤ i ≤ d.

E2.- Si,j(x1, . . . , xi, . . . , xd) = (x1, . . . , xi + xj , . . . , xd) , 1 ≤ i, j ≤ d.

E3.- Ti,j(x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xd) = (x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xd) , 1 ≤ i < j ≤ d.

Observación 8.5. Las transformaciones Ri,λ (homotecias en una dirección) son transforma-ciones con jacobiano igual a λ y con inversa R−1

i,λ = Ri,1/λ.

Las transformaciones Si,j tienen jacobiano igual a 1 y su inversa es

S−1i,j = Rj,−1 Si,j Rj,−1 .

Las transformaciones Ti,j (transposiciones de coordenadas) tienen jacobiano igual a −1 yson sus propias inversas: Ti,j Ti,j = IdRd .

Lema 8.6. Todo isomorfismo lineal ϕ:Rd → Rd es composición de un número finito de trans-formaciones elementales.


8.2. Teorema del cambio de variables 111

8.2. Teorema del cambio de variables

Comenzaremos enunciando el teorema general y alguna de las consecuencias directas.

Teorema 8.7 (del cambio de variables). Sean U, V abiertos de Rd y ϕ un difeomorfismo deU en V . Si E ⊂ V es un conjunto medible y f es una función definida c.s. e integrable en E,entonces ϕ−1(E) es medible, la función (f ϕ) |Jϕ| es integrable en ϕ−1(E) y se tiene que

∫

E

f(x) dx =

∫

ϕ−1(E)

f(ϕ(y)

)|Jϕ(y)| dy . (8.3)

En lo que sigue U , V y ϕ serán como en el enunciado anterior. Recordemos que pordefinición

∫Ef =

∫Vf χE, así que el enunciado anterior es equivalente al siguiente:

Teorema 8.8 (del cambio de variables, 2a. versión). Si f es una función definida c.s. en V .Entonces f ∈ L 1(V ) si, y sólo si, (f ϕ) |Jϕ| ∈ L 1(U), además se tiene que

∫

V

f =

∫

U

(f ϕ) |Jϕ| . (8.4)

Con el convenio habitual de asignar el valor ∞ a la integral de una función medible yno negativa, pero no integrable, lo mismo que a la medida de un conjunto medible pero nointegrable, el resultado anterior se materializa en los siguientes.

Corolario 8.9. Si f es una función medible en V Entonces∫

V

|f | =∫

U

(|f | ϕ) |Jϕ| .

Corolario 8.10. Si E ⊂ V es medible también lo es ϕ−1(E) ⊂ U y

m(E) =

∫

E

1 =

∫

ϕ−1(E)

|Jϕ| . (8.5)

8.2.1. Notas sobre la demostración del teorema del cambio de variables

Los siguientes pasos o etapas proporcionan un esquema organizado, una disección de laprueba del teorema 8.7 avanzando a medida que se complican los objetos tratados, ya seanlos conjuntos donde se integra o la naturaleza de los difeomorfismos.

Paso 1 Conservación de la medibilidad

Lema 8.11. Si N ⊂ U es de medida nula, entonces ϕ(N) ⊂ V es de medida nula.(ver ejercicio 5.22.II)

Así pues, la fórmula (8.5) es válida para los conjuntos despreciables, ya que ϕ−1 es tam-bién cambio de variables de V sobre U .

Corolario 8.12. Si A es un conjunto cuadrable y tal que A = A ∪ Fr(A) ⊂ U , entonces ϕ(A)es cuadrable.

En particular, si A es un subconjunto de U elemental y cerrado, entonces ϕ(A) es cuadra-ble (aunque no necesariamente elemental).

Corolario 8.13. Si f :V → R es medible, entonces f ϕ:U → R es medible. Por tanto, tambiénlo es (f ϕ)|Jϕ|:U → R.

Paso 2 Caso de transformaciones lineales

Lema 8.14. Si el teorema 8.7 se verifica para difeomorfismos ϕ:U → V y ψ:V →W , entoncestambién se verifica para γ = ψ ϕ:U →W .

Lema 8.15. El teorema 8.7 se verifica para transformaciones elementales y funciones esca-lonadas.

Corolario 8.16. El teorema 8.7 es cierto para isomorfismos lineales ϕ:U = Rd → V = Rd.



Paso 3 Estimación de las medidas de los conjuntos transformados

Lema 8.17. Sea I un intervalo compacto contenido en U . Se tiene que

m(ϕ(I)

)=

∫

ϕ(I)

1 ≤∫

I

|Jϕ| .

A partir de este resultado (aunque no sea necesario para completar la prueba), es naturalpostular que la misma desigualdad se verifica para cualquier conjunto medible E ⊂ U :

m(ϕ(E)

)≤

∫

E

|Jϕ| .

Lo que es evidente es que para funciones escalonadas y no negativas definidas en U ,

α =n∑j=1

ajχIj , se tiene que

∫

V

α ϕ−1 ≤∫

U

(α ϕ−1 ϕ) |Jϕ| =∫

U

α |Jϕ| .

Paso 4 Conclusión del caso general

Es suficiente abordar el caso de funciones no negativas pues de las relaciones

f = f+ − f− , |f | = f+ + f− ,

se sigue para funciones reales; y luego de f = Re(f) + i Im(f) para el caso complejo.

Lema 8.18. Sea f :V → [0,∞) una función medible. Si (fϕ) |Jϕ| es integrable en U , entoncesf es integrable en V y se verifica que

∫

V

f(x) dx ≤∫

U

f(ϕ(y)

)|Jϕ(y)| dy .

Finalmente, prestando atención al difeomorfismo ψ = ϕ−1 y a su inverso ψ−1 = ϕ, ahoracon la función medible en U y no negativa g = (f ϕ) |Jϕ|, se tiene que

∫

V

f(x) dx ≤∫

U

f(ϕ(y)

)|Jϕ(y)| dy =

∫

U

g(y) dy ≤∫

V

g(ψ(x)

)|Jψ(x)| dx

=

∫

V

f(ϕ(ϕ−1(x)

)) ∣∣Jϕ(ϕ−1(x))∣∣ ∣∣Jϕ−1(x)

∣∣ dx =

∫

V

f(x) dx .

Si (f ϕ) |Jϕ| no es integrable en U pero f ≥ 0 c.s. la fórmula (8.4) sigue siendo válida: laigualdad formal ∞ = ∞ significa que tampoco puede ser integrable f en V .

8.3. Cambios de variables usuales

Los resultados que se presentan a continuación se utilizan, en la mayoría de los casos,para transformar integrales en determinados conjuntos en integrales en intervalos de Rd, alas que es fácilmente aplicable el teorema de Fubini.

Cambios de referencia afín

Teorema 8.19. Sean b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn, y n vectores vi = (ai1, ai2, . . . , ain), 1 ≤ i ≤ n,linealmente independientes en Rn. La aplicación g:Rn → Rn definida por

y = g(x) = g(x1, x2, . . . , xn) = b+n∑

i=1

xi vi

es un difeomorfismo cuyo jacobiano, igual en todos los puntos, es

Jg(x) = det(aij

)1≤i,j≤n

.

Observaciones 8.20.

I) La imagen del cubo unidad C = [0, 1]× . . .× [0, 1] por la aplicación g (un paralelogramo enR2, un paralelepípedo en R3, etc.) tiene medida

∣∣ det(aij

)1≤i,j≤n

∣∣ . Nótese que no estamossino afirmando las fórmulas que se establecen como definición en Geometría Analítica.


8.3. Cambios de variables usuales 113

II) Cuando g conserva la distancia euclídea, esto es, ‖g(x) − g(y)‖ = ‖x − y‖ para todosx,y ∈ Rn, la matriz

(aij

)1≤i,j≤n

tiene determinante igual a ±1, pues su inversa es sutraspuesta (las transformaciones afines de este tipo reciben el nombre de isometrías omovimientos y son composiciones de traslaciones, giros y simetrías). Entonces en cadapunto x ∈ Rn se tiene que |Jg(x)| = 1, y el teorema del cambio de variables aseguraque m(E) = m

(g(E)

)para cada compacto medible E ⊂ Rn. Así, por ejemplo, las clásicas

fórmulas para las áreas de las superficies poligonales son válidas independientementede la posición en que se encuentren ubicadas (ver ejercicio 8.3.I).

Coordenadas polares

Teorema 8.21. Sea α ∈ R y consideremos los abiertos

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π) , Vα = R2 \(t cos(α), t sen(α)

): t ≥ 0

.

La aplicación g:Uα → Vα definida por

(x, y) = g(r, θ) =(r cos(θ), r sen(θ)

),

es un difeomorfismo; además,|Jg(r, θ)| = r .

Observación 8.22. La coordenada r no es otra cosa que la norma euclídea de (x, y) = g(r, θ),así que este cambio puede resultar útil en el cálculo de integrales en círculos, ya que

g((0, R)× (α, α+ 2π)

)y B(0, R)

difieren en un conjunto de medida nula (un segmento); o de integrales en sectores circulares,que son imagen de conjuntos del tipo (0, R) × (β, γ). Lo mismo se puede decir respecto delcálculo de integrales de funciones que dependan únicamente de la norma euclídea.

Componiendo con traslaciones, esto es, considerando transformaciones del tipo

x = (x, y) = g(r, θ) =(a1 + r cos(θ), a2 + r sen(θ)

),

se parametrizan, excepto subconjuntos de medida nula (segmentos), discos centrados en unpunto a = (a1, a2) ∈ R2; en este caso se verifica que r = ‖x− a‖ (ver figura 8.1).

(0,0) X

aRr

θx

Y

Figura 8.1: x = (x, y) = (a1 + r cos(θ), a2 + r sen(θ)).

Coordenadas cilíndricas

Teorema 8.23. Sean α ∈ R y Uα, Vα los abiertos de R3

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π)× R , Vα = R3 \(t cos(α), t sen(α), z

): z ∈ R , t ≥ 0

.


(x, y, z) = g(r, θ, w) =(r cos(θ), r sen(θ), w

),

es un difeomorfismo; además,|Jg(r, θ, w)| = r .



Observación 8.24. Este tipo de cambios transforma los intervalos (0, R) × (α, α + 2π) × (a, b)en cilindros (sólidos) con eje de simetría el eje OZ, cuya base tiene radio R y comprendidosentre los planos z = a y z = b, salvo una porción de un plano (que es de medida nula en R3).

El teorema presentado es adecuado para aquellos conjuntos que presenten una simetríarespecto al eje OZ (ver figura 8.2) pero, por supuesto, una permutación adecuada de lascoordenadas permite tratar volúmenes de revolución respecto de los otros ejes, y lo mismo sepuede decir, al componer con traslaciones, cuando la base de estos cilindros está desplazadadel origen.

Xθ Y

r

w

xZ

Figura 8.2: x = (x, y, z) = (r cos(θ), r sen(θ), w).

Coordenadas esféricas

Cuando un punto x = (x, y, z) de R3 se determina por su distancia al origen r y dos ángulosθ, φ respecto a determinados subespacios lineales se obtienen las denominadas parametriza-ciones esféricas. Presentamos seguidamente dos versiones.

Teorema 8.25.

I) Sean α ∈ R y Uα, Vα los abiertos de R3

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π)× (0, π) ,

Vα = R3 \(t cos(α), t sen(α), z

): z ∈ R , t ≥ 0

.


(x, y, z) = g(r, θ, φ) =(r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)

),

es un difeomorfismo; además,

|Jg(r, θ, φ)| = r2 sen(φ) .

II) Sean α ∈ R y Uα, Vα los abiertos de R3

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π)×(− π/2, π/2

),

Vα = R3 \(t cos(α), t sen(α), z

): z ∈ R, t ≥ 0

.


(x, y, z) = g(r, θ, φ) =(r cos(θ) cos(φ), r sen(θ) cos(φ), r sen(φ)

),


|Jg(r, θ, φ)| = r2 cos(φ) .

Observación 8.26. Este tipo de cambios transforma intervalos del tipo

(0, R)× (α, α+ 2π)× (β, β + π) , (β = 0,−π/2 resp.)

en bolas de radio R (excepto una porción de plano), y los del tipo

(0, R)× (α, α+ 2π)× (β, γ) , 0 < γ − β < π ,


8.3. Cambios de variables usuales 115

en sectores esféricos (sólidos). De nuevo, al componer con traslaciones, por ejemplo,

(x, y, z) = g(r, θ, φ) =(a1 + r cos(θ) cos(φ), a2 + r sen(θ) cos(φ), a3 + r sen(φ)

),

se obtienen transformaciones que permiten parametrizar en intervalos bolas centradas en unpunto a = (a1, a2, a3) ∈ R3 (en este caso r = ‖(x, y, z)− (a1, a2, a3)‖).

En la figura 8.3 se ilustra la situación relativa al primero de los dos cambios citados. Eneste caso, para r y θ fijos, al variar el ángulo φ desde 0 hasta π se recorre un meridiano,desde el “polo norte” hasta el “polo sur”, de la esfera centrada en 0 y de radio r. Este cambio,que podríamos denominar estándar, es el usado habitualmente en los textos de Física eIngeniería. De hecho los ángulos θ y φ se denominan azimutal y polar, respectivamente,nomenclatura heredada obviamente de la Astronomía.

XYθ

φ r

x

Z

Figura 8.3: x = (x, y, z) = (r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)).

Coordenadas esféricas generalizadas

Si dado un punto x ∈ R4 se describe su proyección en R3 mediante coordenadas esféricas(un radio y dos ángulos), sólo necesitamos un tercer ángulo para determinar el punto x.Luego, los puntos de R5 se pueden representar mediante sus proyecciones en R4 y un cuartoángulo, y así sucesivamente. Esta idea se materializa de forma rigurosa como sigue:

Teorema 8.27. Para n ≥ 2 se define la aplicación ϕn de Rn en Rn dada por (x1, x2, . . . , xn) =ϕn(r, θ1, θ2, . . . , θn−1), siendo

x1 = r sen(θ1) sen(θ2) · · · sen(θn−1),x2 = r cos(θ1) sen(θ2) · · · sen(θn−1),x3 = r cos(θ2) sen(θ3) · · · sen(θn−1),x4 = r cos(θ3) sen(θ4) · · · sen(θn−1),

......

xn−2 = r cos(θn−3) sen(θn−2) sen(θn−1),xn−1 = r cos(θn−2) sen(θn−1),xn = r cos(θn−1).

Entonces ϕn es un difeomorfismo de clase C∞ entre el abierto

(0,∞)× (α, α+ 2π)× (0, π)× · · · × (0, π)

y todo Rn excepto un semihiperplano (de medida nula en Rn). Además∣∣Jϕn(r, θ1, θ2, . . . , θn−1)

∣∣ = rn−1 sen(θ2) sen2(θ3) · · · senn−2(θn−1) .

Observación 8.28. El interés de estos cambios de variable se dirige a los casos en que elconjunto donde se integra y/o la función a integrar son simétricos respecto al origen. Comoen los cambios citados anteriormente, componiendo con traslaciones obtenemos cambios decoordenadas adecuados para problemas que presenten simetría respecto de otro punto. Enparticular, la medida de la bola n-dimensional de radio R es

∫

B(0,R)

1 =

∫ R

0

rn−1dr

∫ 2π

0

dθ1

∫ π

0

sen(θ2) dθ2

∫ π

0

sen2(θ3) dθ3 · · ·∫ π

0

senn−2(θn−1) dθn−1



Transformación de símplices en cubos

Consideremos un punto P0 ∈ Rn y vectores vi = (ai1, ai2, . . . , ain), 1 ≤ i ≤ n, linealmenteindependientes en Rn, o si se prefiere, n + 1 puntos: P0, P1 = P0 + v1, . . . , Pn = P0 + vn, demanera que no estén contenidos en ningún subespacio afín propio (tres puntos no alineadosen R2, cuatro puntos no coplanarios en R3, etc.).

El conjunto convexo más pequeño que contiene a los n + 1 puntos (la envolvente convexa

del conjunto P0, P1, . . . , Pn) se denomina también símplice o simplex de vértices P0, P1, . . . , Pn.Este conjunto viene dado por

S =t0P0 + t1P1 + . . .+ tnPn ∈ Rn :

n∑i=0

ti = 1 , ti ≥ 0 para todo i

=P0 + λ1v1 + . . .+ λnvn ∈ Rn :

n∑i=1

λi ≤ 1 , λi ≥ 0 para todo i

((t0, t1, . . . , tn) son las denominadas coordenadas baricéntricas). Los símplices en R2 son lostriángulos, en R3 los tetraedros, etc.

Es evidente que mediante una transformación afín, descritas en el teorema 8.19, todosímplice se puede obtener a partir del símplice estándar, esto es, el de vértices:

P0 = (0, 0, 0, . . . , 0) , P1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , P2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , Pn = (0, 0, 0, . . . , 1) ,

es decir el conjunto

Tn =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn :

n∑i=1

xi ≤ 1 , xi ≥ 0 para todo i

que es cuadrable (su frontera es unión de n+1 símplices en subespacios de dimensión n− 1),así que a todos los efectos de integración podemos considerar indistintamente Tn o cualquiersubconjunto comprendido entre Tn su interior Θn.

Teorema 8.29. Sean Θn e In los abiertos de R3

Θn =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn :

n∑i=1

xi < 1 , xi > 0 para todo i

(símplice)

In = (0, 1)n =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : 0 < xi < 1 para todo i (cubo) .

La aplicación g: In → Θn dada por (x1, x2, . . . , xn) = g(u1, u2, . . . , un), donde

x1 + x2 + x3 + . . .+ xn = u1 , x1 = u1(1− u2) ,x2 + x3 + . . .+ xn = u1 u2 , x2 = u1u2(1− u3) ,

... es decir,...

xn−1 + xn = u1u2 · · ·un−1 , xn−1 = u1u2 · · ·un−1(1− un) ,xn = u1u2 · · ·un−1un , xn = u1u2 · · ·un−1un


Jg(u1, u2, . . . , un) = un−11 un−2

2 · · ·u 2n−2 un−1 .

Observación 8.30. Aunque no es difícil calcular la medida de los símplices Θn, es bastantelaborioso. El cambio de variables indicado reduce considerablemente los cálculos pues

m(Θn) =

∫

Θn

1 =

∫

In

Jg(u1, u2, . . . , un) du1 . . . dun

=

∫ 1

0

un−11 du1

∫ 1

0

un−22 du2 · · ·

∫ 1

0

un−1 dun−1

∫ 1

0

1 dun =1

n!.

En general, componiendo con cambios de referencia afín, es inmediato concluir que el símpli-ce determinado por n vectores vi = (ai1, ai2, . . . , ain) (independientemente del punto P0, origende la referencia) tiene medida ∣∣ det

(aij

)1≤i,j≤n

∣∣n!

.


Ejercicios 117

Ejercicios

8.1 Sean k, n ∈ N con k ≤ n, y fijados k índices 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n, consideremos elsubespacio “coordenado”

L =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : xij = 0 para todo j = 1, 2, . . . , k

.

Consideremos también un subconjunto E medible en Rn y simétrico respecto a L, es decir, talque x ∈ E si, y sólo si, Λx ∈ E, siendo Λ la aplicación lineal representada en la base estándarpor la matriz diagonal cuyos elementos son λii = −1 si i = ij para algún j y λii = 1 en casocontrario. Probar que si f es una función integrable en E y tal que f(Λx) = −f(x) para cadax ∈ E, entonces la integral de f en E es nula (nótese que si k = n nos estamos refiriendo aconjuntos simétricos respecto del origen y a funciones “impares”, f(−x) = −f(x)).

Como aplicación, calcular:

I) La integral en R de la función f(x) = sen(x) e−x2

.

II) La integral de la función f(x, y) = x y2 en la bola B(0, r).

III) La integral de f(x, y, z) = x3 y3 e−z(x2+y2) en E =

(x, y, z) ∈ R3 : |x|+ |y| < 1 , 0 < z

.

8.2 Estudiar la integrabilidad de la función f en el conjunto E en los casos siguientes:

I) E = (0,∞)× (0,∞) , f(x, y) =e−(x+y)

x+ y.

II) E =(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x

, f(x, y) =

e−(x−y)2

x2 − y2.

III) E = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x+ y ≤ 2 , f(x, y) = e(y−x)/(y+x) .

IV) E = (x, y) ∈ R2 : x > 0 , y > 0 , x+ y < a , a > 0, f(x, y) =3 y√

1 + (x+ y)3.

8.3

I) Mediante traslaciones y giros, deducir que el área de un triángulo es la mitad del productode la longitud de uno de sus lados por la altura trazada desde el vértice opuesto a él,independientemente de la posición que ocupe en el plano R2.

II) Sean T el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1), y ϕ la transformación de R2 en R2 dadapor ϕ(x, y) = (x− 2 y, 2x+ y) . Determinar el área del conjunto ϕ(T ).

8.4 En cada una de las siguientes situaciones estudiar la integrabilidad de la función f enel conjunto D:

I) D = B(0, 1) \ 0 , f(x, y) =sen

(√x2 + y2

)

x2 + y2.

II) D = B(0, 1) \ 0 , f(x, y) =1(

x2 + y2)a , a ∈ R .

III) D = B(0, 1) \ 0 , f(x, y) = log(x2 + y2) log(1− (x2 + y2)

).

IV) D = B(0, 2) , f(x, y) =1√

4− x2 − y2.

V) D = R2 , f(x, y) =1(

p2 + x2 + y2)p (p > 0).

VI) D =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , y > 0 , x2 + y2 < 9

, f(x, y) =

(x2 − y2)x− 2x y2

x2 + y2.

VII) D = (x, y) ∈ R2 : x ≤ y , x+ y ≥ 1 , x2 + y2 ≤ 1 , f(x, y) =1

(x2 + y2)3/2.

VIII) D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , x2 + y2 ≤ 2 y , x2 + y2 ≤ 1 , f(x, y) = log(x2 + y2) .



8.5 Demostrar que la función f(x, y) = e−(x2+y2) es integrable en R2 y calcular su integral.Deducir de lo anterior que ∫ ∞

−∞

e−x2

dx =√π .

8.6 Demostrar que la función f es integrable en el conjunto D y calcular su integral en lossiguientes casos:

I) D =(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 2Rx

, con R > 0 ; f(x, y) =

1√4R2 − x2 − y2

.

II) D es el conjunto de puntos del primer cuadrante interiores a la curva (lemniscata) de

ecuación implícita (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2) , a > 0; f(x, y) =a√

a2 − x2 − y2.

8.7 Sea D =(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , x2 + y2 ≤ 1

. Calcular

∫

D

(x+ y)2√1 + x2 + y2

dx dy .

8.8 Hallar el valor de ∫

D

√2 a x− x2 − y2 dx dy,

donde D es el conjuntoD = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2 a x ≤ 0 .

8.9 Calcular∫D(x2+y2) dx dy , donde D es la porción del recinto interior a la curva (lemniscata)

dada en coordenadas polares por ρ2 = a2 cos(2 θ), contenido en el semiplano x ≥ 0.Nota: Parametrizar una curva plana en coordenadas polares consiste en dar para cada ángulo

θ de un intervalo I un valor ρ = ϕ(θ) ≥ 0 (un módulo o distancia al origen), de manera que los

puntos de la curva son precisamente aquellos de la forma

(x, y) = γ(θ) =(ϕ(θ) cos(θ), ϕ(θ) sen(θ)

), θ ∈ I ;

nótese que ‖γ(θ)‖ = ϕ(θ) (consultar, p.e., el texto [19] para un estudio más pormenorizado).

8.10 Calcular el área del recinto plano limitado por la curva parametrizada en coordenadaspolares por ρ = sen(2 θ).

8.11 Sea S el recinto plano limitado por la curva (cardioide) parametrizada en coordenadaspolares por ρ = 1 + cos(θ).

I) Calcular el área de S.

II) Calcular∫

S

(x+ y) dx dy .

8.12 Sea a > 1. Calcular la integral de f(x, y) = x y en los siguientes conjuntos:

I) K =(x, y) ∈ R2 : x/a ≤ y ≤ x , 1/x ≤ y ≤ a/x

.

II) K =(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ a x2 , y2 ≤ x ≤ a y2

.

8.13 Sea S el recinto plano situado en el primer cuadrante y limitado por las curvas deecuaciones y − x = 0, y2 − x2 = 1, x y = a, x y = b, donde 0 < a < b. Utilizando un cambio devariable que transforme S en un rectángulo, calcular

∫

S

(y2 − x2

)x y(x2 + y2) dx dy .


Ejercicios 119

8.14 Sea k > 0. Se consideran los abiertos U =(u, v) ∈ R2 : v > 0 , u > 0 , 0 < u < k v

,

V = (0,∞) × (0, k), y la aplicación ϕ:U → V dada por ϕ(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

)=

(u v, u/v

).

Probar que ϕ es un difeomorfismo, deducir que la función

f(u, v) =u3 cos

(u/v

)

v(u2 v2 + u2/v2

)3/2du dv

es integrable en U calcular su integral.

8.15 Sean a, b > 1. Calcular el área del conjunto

K =(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ a x2 ,

1

x≤ y ≤ b

x

.

8.16 Calcular ∫

D

(x+ y) dx dy

siendo D el conjunto limitado, en el primer cuadrante, por las curvas de ecuaciones

x y = 4 , x y = 2 , y = x− 3 , y = x+ 3 .

8.17 Calcular la integral de la función f en el conjunto K en las situaciones siguientes:

I) K =(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x2 + y2 ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 2−

√x2 + y2

,

f(x, y, z) = |z x− z y| .II) K =

(x, y, z) ∈ R3 :

√x2 + y2 ≤ z ≤ 3

, f(x, y, z) =

√x2 + y2 + z2 .

III) K es el conjunto limitado por el plano z = 0 y las superficies de ecuaciones x2 + y2 = 1,x2 + y2 = 4, z = 6− x2 − y2; f(x, y, z) = ez .

8.18 Dado r > 0, considérense los conjuntos de revolución siguientes:

1. Una bola B de radio r.

2. Un cilindro sólido C con base circular de radio r y de igual volumen que la bola B.

3. Un cono sólido D con base circular de radio r y de igual volumen que B y C.

Calcular el momento de inercia de los tres sólidos respecto de su eje de simetría.

8.19 Hallar el volumen de los subconjuntos de R3 dados por las siguientes relaciones (en lasque a, b, c y d son constantes positivas):

I) x2 + y2 + z2 ≤ a2, x2 + y2 ≥ a2

4.

II) x2 + y2 + z2 ≤ a2, x2 + y2 ≤ a y .

III)x2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1, 0 ≤ z

c≤ x2

a2+y2

b2.

IV) z > 0 ,x2

a2+y2

b2< 1 ,

x2

a2+z

c< 1 .

V)x2

a2+y2

b2< 1 , 0 < z <

x2

c2+y2

d2.

VI)x2

a2+y2

b2+z2

c2< 1 , z > 0 ,

x2

a2+y2

b2<z2

c2.

VII)x2

a2+y2

b2+z

c= 1 , z > 0 .

8.20 Sean a, b, c > 0. Se considera el subconjunto A de los puntos (x, y, z) ∈ R3 que satisfacenlas condiciones

x2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1 ,

x2

a2− y

b+z2

c2≤ 0 .

Calcular la integral en A de la función f(x, y, z) = y .



8.21 Mediante un cambio similar a las coordenadas cilíndricas calcular∫

K

x2 y2 z dx dy dz ,

siendo K el sólido limitado por el cono de ecuación x2 + y2 = x z, y los planos de ecuacionesz = 0, z = c, donde c > 0.

8.22 Sean a, b números reales, con 0 < a < b, y K =(x, y, z) ∈ R3 : a2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ b2

.

Calcular la integral en K de la función

f(x, y, z) =1

(x2 + y2 + z2

)3/2 .

8.23 Se considera el conjunto C =(x, y, z) ∈ R3 : z > 1 , x2 + y2 < 1

. Estudiar, en función

de los parámetros reales α y β, la integrabilidad en C de la función

f(x, y, z) =

(z − x2 − y2

)α

1 + zβ.

8.24 Sea V =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 > 1

.

I) Estudiar, en función del número real α, la integrabilidad en V de la función

f(x, y, z) =1(

x2 + y2 + z2)α .

II) Demuéstrese que es integrable en V la función

g(x, y, z) =cos(x) e−(x2+y2+z2)

√x2 + y2 + z2

.

8.25 Sea V el abierto de R3 contenido en el primer octante (0,∞) × (0,∞) × (0,∞) , interioral cilindro de ecuación x2 + y2 − a x = 0 y al elipsoide de ecuación b2 (x2 + y2) + a2z2 = a2 b2 ,donde a y b son constantes reales positivas. Demostrar que la función

f(x, y, z) =1

a2 − x2 − y2

es integrable en V y calcular su integral.

8.26 Si A es el subconjunto de R3 dado por

A =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z > 0, 1 < x2 + y2 + z2 < 2 z2

,

demostrar que la función

f(x, y, z) =1

1 +(x2 + y2 + z2

)3

es integrable en A y calcular su integral.

8.27 Sea a > 0. Se considera el conjunto T =(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x+ y ≤ a

. Probar que

la función f(x, y) = ey/(x+y) es integrable en T y calcular su integral.

8.28 Sea T =(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , x + y + z ≤ 1

. Calcular la integral en T de

las siguientes funciones:

I) f(x, y, z) = x y z(1− x− y − z) dx dy dz .

II) g(x, y, z) =1

(1 + x+ y + z)3.

8.29 Sea K =(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0 , y ≤ 0 , z ≥ 0 , 4x − 2 y + z ≤ 2

. Calcular la integral en K

de la función f(x, y, z) = x y z (2− 4x+ 2 y − z) .


Ejercicios 121

8.30 Sea a > 0. Calcúlese la integral∫

D

dx dy dz

(x+ y + z)2 + a2,

siendo D el subconjunto de R3

D = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , x+ y + z < a .

8.31 Se considera el subconjunto de R3

M =(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x , 0 < y < 1 , 0 < z , x+ z < 1

.

Calcúlese el volumen de g(M), donde

g(x, y, z) =(e2z + e2y, e2x − e2z, x− y

).

8.32 Consideremos el conjunto V de R3 dado por

V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 ,

1

x2+

1

y2+

1

z2< 4 ,

1

x2+

1

z2> 1

.

Demostrar que la función

f(x, y, z) =1

x2 y2 z2


8.33 Sean a > 0 y V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , 1/x + 1/y + 1/z < a2

. Demostrar

que la función

f(x, y, z) =1√

x3 y3 z3


8.34 Demostrar que la función f(x, y, z) = x3y3z3 es integrable en el abierto

V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2y2 + x2z2 + y2z2 < 1

y calcular su integral.

8.35 Sea K =(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ y2 ≤ 2x , y ≤ z2 ≤ 3 y , z ≤ x2 ≤ 4 z

. Probar que K es

compacto y calcular ∫

K

x y z dx dy dz .

8.36 Dado el conjunto

D = (x, y, z) ∈ R3 : a y2 ≤ z ≤ b y2 , α x ≤ z ≤ β x , z ≤ h , y > 0 ,con 0 < a < b, 0 < α < β y h > 0, calcular

∫

D

x2 dx dy dz .

8.37 Sean V = (0,∞)× (0,∞)× (0,∞) y p, q, r números reales positivos con 1/p+1/q+1/r < 1 .Demostrar que es integrable en V la función

f(x, y, z) =1

1 + xp + yq + zr

(el cálculo de la integral, mediante las funciones eulerianas, se propone en el ejercicio 9.19).

Sugerencia: Realizar primero el cambio de variables entre el abierto V y si mismo definido por

xp = u2, yq = v2, zr = w2.



8.38 Sea V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , 1/x2 + 1/y2 < 1 , 0 < z < 1

. Demostrar que la

funciónf(x, y, z) =

z

x y (x2 + y2).


8.39 Consideremos el subconjunto de R7

V =(x1, x2, . . . , x7) ∈ R7 : xi > 0 para todo i , x 2

1 + x 22 < 4 , x3 + x4 + x5 < 1 , x 2

6 + x 27 < 1

.

Calcular la integral en V de la función

f(x1, x2, . . . , x7) =x1x2(x3 + x4 + x5)

2

√x 26 + x 2

7

.

8.40 Dado n ∈ N se consideran los abiertos de Rn+1

V = (0,∞)n+1 , U = (0,∞)×Θn =(x0, x1, x2, . . . , xn) : xi > 0 para todo i ,

n∑

i=1

xi < 1.

I) Comprobar que la aplicación (x0, x1, x2, . . . , xn) = ϕ(y0, y1, y2, . . . , yn) definida por

x0 = y0 +

n∑

i=1

yi =

n∑

i=0

yi ; xi =yix0

, i = 1, 2, . . . , n

es decir,

y0 = x0 − x0

n∑

i=1

xi ; yi = x0xi , i = 1, 2, . . . , n .

es un difeomorfismo de V sobre U .

II) Sean a0, a1, a2, . . . , an números positivos. Integrando en V la función

f(y0, y1, y2, . . . , yn) = e−(a0y0+a1y1+...+anyn)

deducir que∫

Θn

dx1dx2 . . . dxn(a0 + (a1 − a0)x1 + . . .+ (an − a0)xn

)n+1 =1

n! a0a1a2 · · · an.

Tema 9

Integrales paramétricas

La aparición, históricamente hablando, de la materia que abordamos ahora es casi tanantigua como las mismas nociones de derivación e integración, y se puede datar en la deno-minada regla integral de Leibniz:

d

dx

∫ b

a

F (x, y) dy =

∫ b

a

∂F

∂x(x, y) dy . (9.1)

En la expresión anterior, atendiendo al papel que juegan en la integral, se distinguen clara-mente dos tipos de variables: una respecto de la que se integra, la ‘ y ’, quedando la otra, ‘x ’,como un parámetro libre, teniendo de hecho una ecuación funcional que describe la derivadade la función f(x) =

∫ baF (x, y) dy como una nueva integral.

Esta regla de derivación y generalizaciones más sofisticadas, como la Fórmula de Expan-

sión de Euler o la Ecuación del Transporte de Reynolds, se han venido usando en la FísicaMatemática bajo el supuesto de que las magnitudes físicas son tan regulares como sea ne-cesario. Asimismo, este tipo de parámetros libres aparecen en las transformadas integrales,herramientas muy útiles y de uso frecuente tanto en el aspecto teórico como en el aplicado.

Lo que nos preocupa es establecer condiciones bajo las cuales sea lícito intercambiar elorden de la derivada con la integral, como en la fórmula (9.1). Más general, consideremosuna función definida para los x en un conjunto A ⊂ Rm de la forma

f(x) =

∫

E

F (x,y) dy , (9.2)

donde E es un subconjunto medible de Rp. Las integrales que aparecen en (9.2) se denominangenéricamente integrales dependientes de parámetros o integrales paramétricas. Nos interesaestablecer cuando es lícito escribir el límite de las integrales como la integral del límite. Laclave está en que todo límite se puede escribir en forma secuencial, de manera que si xn∞n=1

converge hacia x0, entonces

lımx→x0

f(x) = lımx→x0

∫

E

F (x,y) dy = lımn→∞

∫

E

F (xn,y) dy = lımn→∞

∫

E

fn(y) dy .

El último límite evoca, sin duda, los teoremas de Levi y Lebesgue.

9.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas

Teorema 9.1 (de continuidad bajo el signo integral). Sean A un subconjunto de Rm, E unsubconjunto medible de Rp, y F (x,y) una función real definida en A × E ⊂ Rm+p. Sea x0 unpunto de A, y supongamos que:

I) Para cada x ∈ A la función Fx, definida por Fx(y) = F (x,y), es integrable en E.

II) Para casi todo y ∈ E la función Fy, definida por Fy(x) = F (x,y), es continua en x0.

III) Existen un entorno V de x0 y una función integrable g : E → R tales que

|F (x,y)| ≤ g(y) para todo x ∈ V ∩A y casi todo y ∈ E .

Entonces la función f , definida de A en R por

f(x) =

∫

E

F (x,y) dy,

es continua en x0.

123

124 Tema 9. Integrales paramétricas

Observación 9.2. Como ya se avanzó en la introducción, en el teorema anterior la claveestá en el teorema de la convergencia dominada y la caracterización secuencial del límite, demanera que este resultado se puede generalizar, palabra por palabra, al caso de que A sea unespacio métrico, pues en todos ellos las nociones de continuidad y “continuidad secuencial”son equivalentes.

Asimismo, el conjunto medible E y la correspondiente integral en él se pueden sustituirpor cualquier integración en la que se satisfaga el teorema de la convergencia dominada;pues bien, resulta que para toda medida positiva (ver definición 7.29) la correspondienteintegración “en el sentido de Lebesgue” verifica tal propiedad.

Corolario 9.3. Sean A un subconjunto de Rm, E un subconjunto de Rp, y F (x,y) una funciónreal definida en A× E ⊂ Rm+p. Supongamos que:


II) Para casi todo y ∈ E la función Fy, definida por Fy(x) = F (x,y), es continua en A.

III) Existe una función integrable g : E → R tal que

|F (x,y)| ≤ g(y) para todo x ∈ A y casi todo y ∈ E.

Entonces la función f , definida de A en R por f(x) =∫EF (x,y) dy, es continua en A.

Teorema 9.4 (de derivación bajo el signo integral). Sean A un abierto de Rm, E un sub-conjunto medible de Rp, y F una función real definida en A× E ⊂ Rm+p. Supongamos que:


II) Para casi todo y ∈ E la función Fy, definida por Fy(x) = F (x,y), admite derivada parcialcontinua respecto de xj en A.

III) Para cada x ∈ A la función y 7→ ∂F

∂xj(x,y) es medible en E y existe una función gj

integrable en E tal que

∣∣DjFy(x)∣∣ =

∣∣∣ ∂F∂xj

(x,y)∣∣∣ ≤ gj(y) para todo x ∈ A y casi todo y ∈ E .

Entonces la función f , definida en A por f(x) =∫EF (x,y) dy, admite derivada parcial conti-

nua respecto de xj en A, y se tiene que

Djf(x) =∂

∂xj

∫

E

F (x,y) dy =

∫

E

∂F

∂xj(x,y) dy, x ∈ A .

Corolario 9.5. Si en el teorema anterior las condiciones ii) y iii) se verifican para cada índicej = 1, 2, . . . ,m, entonces f es de clase C 1 en A y se tiene que

∂f

∂xj(x) =

∫

E

∂F

∂xj(x,y) dy, j = 1, 2, . . . ,m .

Observaciones 9.6.

I) El mismo comentario realizado en la observación 9.2, sobre el espacio E donde se integra,es válido en el caso del teorema de derivación; obviamente, lo que no es posible es cambiarel abierto A por cualquier otro subconjunto de un espacio métrico.

II) El teorema de derivación puede ser aplicado a las derivadas sucesivas cuando la fun-ción F (x,y) es suficientemente regular y así, por ejemplo, si se verifican las condicionespertinentes,

∂k1+k2+...+kmf

∂xk11 ∂xk22 . . . ∂xkmm

(x) =

∫

E

∂k1+k2+...+kmF

∂xk11 ∂xk22 . . . ∂xkmm

(x,y) dy .

III) En la práctica puede suceder que, aún cuando la función f esté definida por la integralparamétrica (9.2) en todos los puntos x del abierto A y se verifiquen las hipótesis I) yII) del teorema 9.4, sea imposible satisfacer la condición III) del mismo. No obstante, la


9.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas 125

derivabilidad es una cuestión local, de manera que el abierto A del enunciado puede sersustituido por un entorno adecuado del punto x0 donde se quiera estudiar tal cuestión.Por ejemplo: si F (x, y) = e−xy, x ∈ A = (0, 1), y ∈ E = (0,∞). Resulta que

∂F

∂x(x, y) = −y e−xy

que es integrable para todo x > 0, pero la mínima función g definida en E que satisface∣∣∣∂F∂x

(x, y)∣∣∣ = y e−xy ≤ g(y) para todos x ∈ A, y ∈ E

es la función g(y) = y, no integrable en E. No obstante, considerando 0 < δ < 1 y el abiertoVδ = (δ, 1) ⊂ A, se tiene que

y e−xy ≤ y e−δy = g(y) para todos x ∈ Vδ, y ∈ E ,

lo que garantiza la derivabilidad de f(x) =∫∞

0e−xydy en el intervalo Vδ, como esto es

válido para cada δ > 0 se concluye la derivabilidad de f en A y que f ′(x) =∫∞

0−y e−xydy .

Cabría preguntarse si, al igual que hemos contemplado la continuidad y derivabilidad deintegrales paramétricas, ¿sería pertinente contemplar la integrabilidad de tales objetos? Larespuesta es obvia, basta con plantear la integral para reconocer algo familiar:

∫

A

f(x) dx =

∫

A

(∫

E

F (x,y) dy)dx .

9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parámetros

En los teoremas 9.1 y 9.4 la clave para poder intercambiar integrales y límites (de lasfunciones o de los cocientes incrementales) es la acotación uniforme por funciones integra-bles con vistas a la aplicación del teorema de la convergencia dominada. En la concepción dela integral de Riemann las sucesiones de funciones escalonadas aproximan a las funcionesuniformemente c.s., de manera que es lógico elucubrar que esta condición más fuerte debaaparecer en las hipótesis de enunciados similares a los citados pero para funciones integra-bles en el sentido de Riemann. También, aún cuando se trate con funciones integrables en elsentido de Lebesgue, por ejemplo, en cada intervalo [a, β] con β < b, puede existir el límite

∫ →b

a

f(y) dy = lımβ→b−

∫ β

a

f(y) dy (9.3)

y no ser f integrable en [a, b), como sucede con∫ →∞

0

sen(y)

ydy = lım

β→∞

∫ β

0

sen(y)

ydy .

Los límites de integrales como el de (9.3) se denominan integrales flechadas e incluyen, porsupuesto, a las integrales impropias de Riemann convergentes, pero no absolutamente con-vergentes. Nos ocupamos ahora los problemas de continuidad y derivabilidad de integralesflechadas paramétricas.

Aunque todos los enunciados se establezcan para intervalos abiertos por la derecha, ob-viamente no hay ninguna dificultad en adaptarlos a intervalos abiertos por la izquierda ointervalos abiertos, acotados o no.

En realidad los resultados sobre continuidad y derivabilidad que vamos a exponer sonvariantes de los teoremas 4.16 y 4.32 expuestos a propósito de sucesiones de funciones uni-formemente convergentes, de ahí que empecemos dando la noción de convergencia uniformepara integrales flechadas.

Definición 9.7. Sean Λ un conjunto, [a, b) ⊂ R y para cada λ ∈ Λ una función Fλ: [a, b) → R

integrable en cada intervalo [a, β], a < β < b. Se dice que la familia de integrales flechadas∫→b

aFλ(x) dx es uniformemente convergente en Λ si para cada λ ∈ Λ la correspondiente integral

flechada converge y cualquiera que sea ε > 0 existe β0 ∈ (a, b) de manera que∣∣∣∫ β

a

Fλ(y) dy −∫ →b

a

Fλ(y) dy∣∣∣ =

∣∣∣ lımγ→b+

∫ γ

β

Fλ(y) dy∣∣∣ < ε para todos β ∈ (β0, b) , λ ∈ Λ .



Teorema 9.8 (de continuidad para integrales flechadas). Sean A un subconjunto de Rm,[a, b) un intervalo de R y para cada x ∈ A una función Fx: [a, b) → R tal que Fx ∈ L 1([a, β])para cada a < β < b. Sea x0 un punto de A, y supongamos que:

I) Para cada β ∈ (a, b) la aplicación x ∈ A 7→∫ βaFx(y) dy es continua en x0.

II) Existe un entorno V de x0 tal que la familia de integrales flechadas∫→b

aFx(y) dy es uni-

formemente convergente en V ∩A.

Entonces la función f , definida de A en R por f(x) =∫→b

aFx(y) dy es continua en x0.

Teorema 9.9 (de derivabilidad para integrales flechadas). Sean A un abierto de Rm, [a, b)un intervalo de R y una función F :A × [a, b) → R tal que para cada x ∈ A se tiene queFx ∈ L 1([a, β]) cualquiera que sea a < β < b. Se supone además que:

I) Para cada β ∈ (a, b) la aplicación x ∈ A 7→∫ βaFx(y) dy admite derivada parcial continua

respecto de xj en A y su derivada es

Dj

∫ β

a

Fx(y) dy =

∫ β

a

∂F

∂xj(x, y) dy .

II) Existe x0 ∈ A tal que la integral flechada∫→b

aF (x0, y) dy converge.

III) La familia de integrales flechadas∫ →b

a

∂F

∂xj(x, y) dy es uniformemente convergente en A.

Entonces, para todo x ∈ A converge la integral flechada de Fx en [a, b). Además la función

definida en A por f(x) =∫→b

afx(y) dy tiene derivada parcial continua respecto de xj en A y

se tiene que∂f

∂xj(x) =

∫ β

a

∂F

∂xj(x, y) dy .

9.2. Integrales eulerianas

Las denominadas, en honor a Euler, funciones eulerianas Gamma (Γ) y Beta (B) estándefinidas por integrales paramétricas, y al igual que las trigonométricas, de Bessel, integraleselípticas, etc., son trascendentes (no algebraicas), pero están perfectamente tabuladas, yresultan de gran utilidad en el estudio de numerosos problemas. Además, una gama bastanteamplia de integrales se pueden expresar en función de ellas.

Definición 9.10 (Función Gamma). Para cada t ∈ (0,∞) se define

Γ(t) =

∫ ∞

0

e−x xt−1 dx.

Propiedades 9.11.

I) Γ(t) está definida y es positiva para todo t > 0.

II) Γ(t) es de clase C∞ en (0,∞) y además, para cada n ∈ N,

Γ(n)(t) =

∫ ∞

0

e−xxt−1(log(x))n dx.

III) Γ(t) = (t− 1) Γ(t− 1) para todo t > 1.

IV) Γ(1) = 1 , Γ(n) = (n− 1)!, n ≥ 2 (ver figura 9.1).

V) Γ(1/2

)=

√π, y Γ

(n+

1

2

)=

(2n)!

22n n!

√π, n ∈ N.

VI) lımt→0+

Γ(t) = +∞ y lımt→+∞

Γ(t) = +∞; más aún,

lımt→+∞

Γ(t+ 1)

e−ttt√2πt

= 1 . (Fórmula de Stirling)

De esta relación, para m, p naturales, se deduce que

lımm→∞

Γ(m+ α)

mαΓ(m)= 1, lım

m→∞

(m+ p)!

m!mp= 1, lım

m→∞

1 · 3 · · · (2m− 1)

2 · 4 · · · 2m√m =

1√π.


9.2. Integrales eulerianas 127

VII) Fórmula de multiplicación de Gauss:

mmt Γ(t) Γ(t+

1

m

)· · ·Γ

(t+

m− 1

m

)= (2π)

(m−1)/2√m Γ(mt) , m ∈ N .

Como caso particular, para m = 2 se obtiene la denominada fórmula de duplicación de

Legendre:

Γ(t) Γ(t+

1

2

)=

√π

22t−1Γ(2t).

24

6

21

54321

Figura 9.1: La función Γ interpola al factorial.

Definición 9.12 (Función Beta). Para cada (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞) se define

B(u, v) =

∫ 1

0

xu−1(1− x)v−1 dx.

Propiedades 9.13.

I) B(u, v) está bien definida para todo (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞).

II) La función B es de clase C∞ en (0,∞)× (0,∞), y para todos n,m ∈ N se tiene que

∂n+mB

∂un∂vm(u, v) =

∫ 1

0

(log(x)

)n(log(1− x)

)mxu−1(1− x)v−1 dx.

III) B(u, v) = B(v, u) para todo (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞).

IV) Para cada (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞) se tiene que

B(u, v) =Γ(u) Γ(v)

Γ(u+ v).

V) Fórmula de los complementos: Para cada θ ∈ (0, 1),

B(θ, 1− θ) =π

sen(θπ), es decir, Γ(θ) Γ(1− θ) =

π

sen(θπ).

VI) Fórmula de duplicación:

B(u, u) =1

22u−1B(u, 1/2) .



Las propiedades de las dos funciones anteriores permiten expresar una amplia gama deintegrales en función de ellas realizando simples cambios de variable. En la tabla 9.1 se rela-cionan una serie de integrales que mediante cambios de variable se expresan en términos delas funciones eulerianas. Se indica la integral, su solución y el cambio de variable realizado,así como los valores de los parámetros para los que la función es integrable.

Integral Cambio de variable

Parámetros admisibles

I∫ ∞

0

e−axp

xq dx =1

p a(q+1)/p

Γ(q + 1

p

)a xp = y

p, a > 0, q > −1

II∫ a

0

xp(ar − xr

)qdx =

ap+qr+1

rB(p+ 1

r, q + 1

)xr = ar y

p, q > −1, a, r > 0

III∫ b

a

(x− a)p (b− x)q dx = (b− a)p+q+1 B(p+ 1, q + 1) x = a+ (b− a) y

p, q > −1

IV∫ b

a

(x− a)p (b− x)q

|x− c|p+q+2dx =

(b− a)p+q+1 B(p+ 1, q + 1)

|a− c|q+1|b− c|p+1x =

a(b− c) + c(a− b)y

(b− c) + (a− b)yp, q > −1, c /∈ [a, b]

V∫ ∞

0

xα(a xp + b

)q dx =b(α+1p −q)

p aα+1p

B(α+ 1

p, q − α+ 1

p

) b

a xp + b= y

a, b, p > 0, α > −1,q > (α+ 1)/p

VI∫ π/2

0

senp(θ) cosq(θ) dθ =1

2B(p+ 1

2,q + 1

2

)sen2(θ) = y

p, q > −1

VII∫ π/2

0

cosp(θ) senq(θ) dθ(a cos2(θ)+b sen2(θ)

)p+q2 +1

=B(p+ 1

2,q + 1

2

)

2 ap+12 b

q+12

sen2(θ) =a y

(a− b) y + b

p, q > −1, a, b > 0

Tabla 9.1: Integrales reducibles a las eulerianas.

9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones

Nos ocupamos ahora de una serie de resultados que, aunque en apariencia sorprendentes,son consecuencia más o menos directa de los teoremas de integración iterada, cambio devariables e integrales paramétricas.

En lo que sigue, juega un papel importante la noción de soporte de una función, a lo queprestamos atención en primer lugar. De forma coloquial, aunque se consideren funcionesdefinidas en todo el espacio (prolongándolas por 0 fuera de su dominio original), convendrá amenudo establecer qué puntos aportan realmente algo a la integral.

Definición 9.14. Si g es una función definida en Rn, se dice que un abierto V de Rn es de

anulación casi siempre de g si el conjunto x ∈ V : g(x) 6= 0 es de medida nula.Si Θg es la unión de todos los abiertos de anulación c.s. de g, se llamará soporte esencial

de g y se denotará por sop(g) , al complementario en Rn de Θg.


9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones 129

Observación 9.15. Si g es continua en todo Rn, el soporte esencial coincide con el soporte“topológico”, es decir, sop(g) = cl

(x ∈ Rn : g(x) 6= 0

), razón por la que hemos denotado igual

a ambos conjuntos.En general, si g es continua en el punto x0 y g(x0) 6= 0, entonces x0 ∈ sop(g); pero si g

no es continua en x0, puede suceder que x0 /∈ sop(g) aunque g(x0) 6= 0. En otras palabras,para funciones no continuas el soporte esencial y el topológico no guardan ninguna relación:piénsese, por ejemplo, en la función χ

Q para la que cl(x ∈ R : χQ(x) 6= 0

)= R, pero χ

Q esigual c.s. a la función idénticamente nula, luego su soporte esencial es el conjunto vacío.

9.3.1. Producto de convolución

Definición 9.16. Sean f, g funciones medibles en Rn. Se define el producto de convolución, osimplemente la convolución, de f y g en un punto x ∈ Rn, denotado por (f ∗ g)(x) , como

(f ∗ g)(x) =∫

Rn

f(y) g(x− y) dy

supuesta la existencia de dicha integral.

Proposición 9.17. Sean f, g, h funciones medibles en Rn.

I) Si existe (f ∗ g)(x), también existe (g ∗ f)(x); además

(f ∗ g)(x) = (g ∗ f)(x) .

II) Si existen (f ∗ g)(x) y (f ∗ h)(x), también existe(f ∗ (g + h)

)(x) ; además

(f ∗ (g + h)

)(x) = (f ∗ g)(x) + (f ∗ h)(x) .

Notación: Si A,B son subconjuntos de Rn, y x0 ∈ Rn se denotan

−A = −x : x ∈ A ; x0 −A = x0 − x : x ∈ A ; A+B = x+ y : x ∈ A ,y ∈ B .

Proposición 9.18. Sean f, g funciones medibles en Rn.

I) Si existe (f ∗ g)(x) y A =(x− sop(f)

)∩ sop(g), entonces

(f ∗ g)(x) =∫

Af(x− y) g(y) dy .

II) Si f ∗ g está definida en todo Rn

sop(f ∗ g) ⊆ sop(f)+sop(g) .

Hasta ahora no hemos dado condiciones suficientes para la existencia de la convoluciónde dos funciones. Lo que sigue va orientado en este sentido.

Teorema 9.19. Si f es integrable en Rn y g es medible y acotada c.s. en Rn, entonces f ∗ gestá definida en todo Rn y es uniformemente continua y acotada; concretamente

|(f ∗ g)(x)| ≤ sup|g(y)| : y ∈ Rn

∫

Rn

|f | , para cada x ∈ Rn .

Notación: Por C0(Rn) se denota al conjunto de funciones f continuas en Rn y que se anu-

lan en el infinito, es decir, tales que lım‖x‖→∞

f(x) = 0 . Estas funciones son uniformemente

continuas y acotadas en todo Rn.

Proposición 9.20. Si f es integrable en Rn y g ∈ C0(Rn), entonces f ∗ g ∈ C0(R

n).

El siguiente teorema es consecuencia de los de Fubini y Tonelli.

Teorema 9.21. Sean f, g funciones integrables en Rn. Entonces:

I) f ∗ g está definida para casi todo x ∈ Rn.

II) f ∗ g (definida como se quiera en los puntos donde eventualmente no exista) es integrableen Rn.



III) Se verifica la igualdad∫

Rn

f ∗ g =

∫

Rn

f

∫

Rn

g .

IV) Se verifica∫

Rn

|f ∗ g| ≤∫

Rn

|f |∫

Rn

|g| .

Corolario 9.22. Si f, g, h son integrables en Rn, entonces

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) casi siempre en Rn.

Definición 9.23. Sea V un abierto de Rn. Diremos que una función f medible en V eslocalmente integrable en V si para cada compacto K ⊂ V se tiene que f ∈ L 1(K), es decir, sif es integrable en los compactos de V . Al conjunto de las funciones localmente integrablesen V lo denotaremos por L 1

loc(V ).

Proposición 9.24. Sean f una función localmente integrable en Rn y g una función continuaen Rn. Se supone que al menos una de ellas tiene soporte compacto. Entonces f ∗ g estádefinida en todo Rn.

9.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularización de funciones

El estudio que abordamos ahora tiene especial interés en el problema de aproximaciónde funciones medibles por funciones regulares, además las técnicas de cálculo que aquí sepresentan juegan un papel fundamental, tanto desde el punto de vista teórico (como en lateoría de distribuciones), como en el aplicado (p.e., en el filtrado de señales).

Definición 9.25. Se llama aproximación de la identidad en Rn a toda sucesión θk∞k=1 defunciones medibles en Rn verificando:

I) θk(x) ≥ 0 para todo x ∈ Rn

II) Para cada k ∈ N el conjunto sop(θk) está contenido en una bola Bk centrada en 0 ∈ Rn ycuyo radio tiende a 0 cuando k tiende a ∞; en particular, lım

k→∞m(sop(θk)

)= 0.

III) Para todo k ∈ N se tiene que∫Rn θk =

∫sop(θk)

θk = 1.

Es fácil construir aproximaciones de la identidad (basta elegir funciones escalonadas cons-truidas adecuadamente); pero lo que es más interesante es la posibilidad de elegir estasfunciones de clase C∞. A ello van dedicados los dos resultados siguientes.

Lema 9.26. Se considera la función ψ definida en R por

ψ(x) =

e1/(x2−1) si |x| < 1,

0 si |x| ≥ 1.

Esta función es no negativa y de clase C∞ y, puesto que se anula fuera de [−1, 1], es integrableen R; sea a =

∫Rψ > 0. Se define ϕ:R → R por ϕ = ψ/a y para n ∈ N se define θ:Rn → R por

θ(x1, x2, . . . , xn) = ϕ(x1)ϕ(x2) · · ·ϕ(xn) .Entonces la función θ es no negativa, de clase C∞ e integrable en Rn con integral igual a 1.

Corolario 9.27. Se considera la función θ definida en el lema anterior. Para cada k ∈ N sedefine

θk(x) = kn θ(k x) , x ∈ Rn.

Entonces la sucesión θk∞k=1 es una aproximación de la identidad en Rn compuesta porfunciones de clase C∞.

Observación 9.28. Con la notación de los dos resultados precedentes. Notemos primero que

θk(0) = kn θ(0) = kn ϕ(0)ϕ(0) · · ·ϕ(0) = kn ϕ(0)n −→k→∞

∞ .

Luego, si x 6= 0 existe un k0 ∈ N tal que θk(x) = 0 si k ≥ k0 y, en consecuencia, lımk→∞

θk(x) = 0

(ver figura 9.2).


9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones 131

Resumiendo:

lımk→∞

θk(x) =

0 si x 6= 0,

∞ si x = 0.(9.4)

Además, del teorema del cambio de variables, se deduce fácilmente que∫

Rn

θk(x) dx = 1 para todo k . (9.5)

0

1

2

3

4

-2 -1 1 2 X Y

Z

θk, 1 ≤ k ≤ 5 θ2

Figura 9.2: Algunas funciones θk en R y R2.

Teorema 9.29. Sea θk∞k=1 una aproximación de la identidad en Rn. Si f es una funciónlocalmente integrable en Rn y continua en 0 entonces

f(0) = lımk→∞

∫

Rn

θk(x) f(−x) dx = lımk→∞

(θk ∗ f

)(0) .

Observación 9.30. La denominada delta de Dirac en 0, que es el operador lineal definido porf 7−→ δ0(f) = f(0) , se define en muchos textos de Física, para representar la idea de impulso

instantáneo y relajando el rigor matemático, a partir de las relaciones (9.4) y (9.5), como la“función” δ0 que tiene integral 1, que vale 0 en todos los puntos menos en 0, donde toma elvalor ∞; esto es absurdo pues, con la misma relajación del rigor, podríamos establecer que

1 =

∫

Rn

δ0(x) dx =

∫

Rn

2 δ0(x) dx = 2

∫

Rn

δ0(x) dx = 2 .

Lo que se ha obtenido muestra que la delta de Dirac, que es una de las llamadas distribucio-

nes o funciones generalizadas, aunque no puede ser asociada a ninguna función, puede ser“aproximada” por funciones en el sentido ordinario.

Teorema 9.31. Sea θk∞k=1 una aproximación de la identidad en Rn tal que todas las funcio-nes θk son de clase C∞.

I) Si f es localmente integrable en Rn, entonces para k ∈ N está bien definida la función

fk(x) = (f ∗ θk)(x) =∫

Rn

f(y) θk(x− y) dy

y es de clase C∞ en Rn.

II) Si además f es continua en Rn la sucesión fk∞k=1 converge hacia f . De hecho, si K esun compacto de Rn, la sucesión fk∞k=1 converge uniformemente hacia f en K.

En el último teorema se ha establecido que toda función continua es límite uniforme enlos compactos de funciones de clase C∞, pero todavía se puede mejorar: también es posibleaproximar la derivadas.



Lema 9.32. Sean f, g funciones de clase C 1 en Rn tales que sop(f) o sop(g) es acotado (i.e.compacto). Entonces f ∗ g es de clase C 1 en Rn y para cada índice i = 1, 2, . . . , n se tiene que

∂(f ∗ g)∂xi

=∂f

∂xi∗ g = f ∗ ∂g

∂xi.

Teorema 9.33. Sean f una función de clase Cm en Rn y θk∞k=1 una aproximación de laidentidad en Rn por funciones de clase C∞. Entonces f ∗θk es de clase C∞ en Rn para todo k ≥1; además, para cada familia de enteros no negativos j1, j2, . . . , jn con j1+j2+ . . .+jn = α ≤ m

la sucesión de funciones ∂α(f ∗ θk)∂xj11 ∂x

j22 · · · ∂xjnn

∞

k=1converge uniformemente en los compactos

de Rn hacia∂αf

∂xj11 ∂xj22 · · · ∂xjnn

.

Observación 9.34. A la vista de los resultados anteriores es fácil comprender porqué sellama también sucesión regularizante a cualquier aproximación de la identidad por funcionesde clase C∞.

9.4. Transformadas integrales

En el estudio de numerosos problemas de las Ciencias y la Técnica, aparecen transfor-maciones del siguiente tipo: a cada función f de un cierto espacio se le asigna una nuevafunción Tf mediante la expresión

Tf(x) =

∫

A

K(x,y) f(y) dy,

donde K es una función, denominada núcleo integral, y las variables x y y recorren ciertossubconjuntos en los espacios euclídeos apropiados. Estas aplicaciones f → Tf reciben elnombre de transformadas integrales, y ejemplos de ellas son las transformaciones de Fourier,Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Abel, etc.

Veremos la definición y propiedades fundamentales de dos de ellas, poniendo de relie-ve el papel que juegan las técnicas de integración (iterada, cambio de variables, integralesparamétricas) expuestas hasta el momento.

9.4.1. Transformación de Fourier

Recordemos que para t ∈ R se define exp(i t) = eit := cos(t) + i sen(t) .

Definición 9.35. Para cada función f ∈ L 1(Rn) se define su transformada de Fourier, deno-tada por f o F(f) , como la función f :Rn → C dada por

f(ω) = f(ω1, ω2, . . . ωn) =

∫

Rn

e−iω·xf(x) dx =

∫

Rn

e−i(ω1x1+ω2x2+...+ωnxn)f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn.

Propiedades 9.36. Sean f y g funciones integrables en Rn. Se verifica:

I) La transformada de Fourier de f es una función acotada; concretamente,

∣∣f(ω)∣∣ ≤

∫

Rn

∣∣f(x)∣∣ dx para cada ω ∈ Rn .

II) f ∈ C0(Rn) . En particular lım

‖ω‖→∞f(ω) = 0 (lema de Riemann-Lebesgue).

III) La transformación de Fourier es lineal, es decir, si a, b ∈ C entonces

F(a f + b g) = aF(f) + bF(g) .

IV) Si λ ∈ R, λ > 0, y g(x) = f(x/λ

)para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = λn f(λω) .

V) Si g(x) = f(−x) para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(−ω) .


9.4. Transformadas integrales 133

VI) Si g(x) = f(x) para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(−ω) .

VII) Si x0 ∈ Rn y g(x) = f(x− x0) para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(ω) e−iω·x0 .

VIII) Si ω0 ∈ Rn y g(x) = f(x) eiω0·x para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(ω − ω0) .

IX) Se supone que f es diferenciable en Rn y que Djf es una función integrable y se anula

en el infinito(

lım‖x‖→∞

Djf(x) = 0). Entonces Djf(ω) = i ωj f(ω), es decir,

∫

Rn

e−iω·x ∂f

∂xj(x) dx = i ωj

∫

Rn

e−iω·x f(x) dx .

Teorema 9.37 (derivación de transformadas de Fourier). Si f ∈ L 1(Rn) y también la fun-ción x ∈ Rn 7→ ‖x‖ f(x) es integrable en Rn, entonces f es diferenciable en Rn y para cadaj = 1, 2, . . . , n se tiene que Dj f(ω) = F(−i xjf(x)), es decir,

∂f

∂ωj(ω) =

∫

Rn

−i xj e−i(ω1x1+ω2x2+...+ωnxn) f(x1, x2, . . . , xn) dx1dx2 . . . dxn.

Teorema 9.38 (transformada de Fourier de convoluciones). Sean f, g dos funciones inte-grables en Rn. Entonces

F(f ∗ g) = F(f)F(g) .

9.4.2. Transformación de Laplace

Los objetos de la de la transformación de Laplace son funciones f definidas [0,∞) e inte-grables en [0, b] para todo b > 0. Diremos que una de tales funciones es localmente integrable

en [0,∞), y el espacio vectorial formado por ellas se denotará por L 1loc(R+). Conviene observar

que esta condición es algo más restrictiva que la de la integrabilidad local de f en el abierto(0,∞), que no supone, por ejemplo, la integrabilidad en el compacto [0, 1] 6⊂ (0,∞) . En térmi-nos algebraicos L 1

loc(R+) es (isomorfo a) un subespacio lineal de L 1loc(R), el de las funciones

localmente integrables en R que se anulan c.s. en (−∞, 0), i.e, con soporte contenido en [0,∞).Esta identificación se traduce en que en la práctica se hable, por ejemplo, de la transformadade la función coseno, entendiendo que en realidad nos referimos a su restricción a [0,∞), ode modo más acorde con la notación que venimos usando, a la función definida en R porf(t) = cos(t)χ[0,∞)(t).

Definición 9.39. Sea f ∈ L 1loc(R+) tal que existe un número real s de manera que la función

f(t) e−st es integrable en [0,∞). En ese caso, el ínfimo del conjunto

Df =s ∈ R : f(t) e−st dt es integrable en [0,∞)

se denotará por σf (se conviene que es σf = −∞ si Df no está acotado inferiormente). Se diceentonces que f admite transformada de Laplace que es la función Lf definida en (σf ,∞) por

Lf(s) =

∫ ∞

0

f(t) e−st dt . (9.6)

Observaciones 9.40.

I) El valor σf se denomina abscisa de convergencia de la transformada de Laplace. El nom-bre se comprende fácilmente si se piensa en que esto se formuló inicialmente en términosde la integral impropia de Riemann.

II) La integral (9.6), dependiente del parámetro real s, se puede plantear para númeroscomplejos z. Casi todo lo que se expone a continuación se traslada, palabra por palabraa este caso más general, cambiando el dominio de definición, el intervalo Df , por unsemiplano: z ∈ C : s = Re(z) > σf (nótese que |e−zt| = e−Re(z)t).

Aunque la potencia de la teoría de funciones de variable compleja proporciona herramien-tas más fructíferas que las que se presentan aquí, obviamente su estudio corresponde aun curso de variable compleja, fuera de las atribuciones de esta asignatura.



Propiedades 9.41. Sean f y g funciones que admiten transformada de Laplace. Se tiene que:

I) Si α, β ∈ C, entonces h = α f + β g admite transformada de Laplace, σh ≤ maxσf , σg y

L(α f + β g)(s) = αLf(s) + β Lg(s) .

II) Si b > 0 y h(t) = f(b t) , entonces h admite transformada de Laplace, σh = b σf y

Lh(s) =1

bLf

(sb

).

III) Si t0 > 0 y se define h(t) =

f(t− t0) si t ≥ t0,

0 si 0 < t < t0,entonces h admite transformada de

Laplace, σh = σf yLh(s) = e−t0s Lf(s) .

IV) Si s0 ∈ R y h(t) = es0tf(t), entonces h admite transformada de Laplace, σh = σf + s0 y

Lh(s) = Lf(s− s0) .

Proposición 9.42 (valor final de la transformada de Laplace). Sea f una función queadmite transformada de Laplace. Entonces:

I) Se verifica que lıms→∞

Lf(s) = 0.

II) Si además existe y es finito f(0+) = lımt→0+

f(t), entonces se verifica que lıms→∞

sLf(s) = f(0+) .

Proposición 9.43 (derivación de transformadas de Laplace). Sea f una función queadmite transformada de Laplace. Entonces, la función Lf es de clase C∞ en el intervaloDf = (σf ,∞). Además, si para cada n natural se define gn(t) = (−t)nf(t), t > 0, entoncesσgn = σf , y para cada s ∈ Df se tiene que

(Lf

)(n)(s) =

∫ ∞

0

(−t)n f(t) e−st dt = L(gn)(s) .

Proposición 9.44 (transformada de Laplace de las derivadas). Supongamos que f es declase C n en [0,∞), y que para todo j ∈ 0, 1, . . . , n la función f (j) admite transformada deLaplace. Pongamos α = max

σf(j) , 0 ≤ j ≤ n

. Entonces, para cada s > α se tiene que

L(f (n)

)(s) = sn Lf(s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) .

De acuerdo con el convenio introducido inicialmente de que las funciones consideradas,si están definidas en todo R, se entenderán como nulas en (−∞, 0), resulta que para dos deestas funciones f y g se tendrán las siguientes igualdades para t ≥ 0:

∫ t

−∞

f(x) dx =

∫ t

0

f(x) dx, (f ∗ g)(t) =∫ ∞

−∞

f(t− x) g(x) dx =

∫ t

0

f(t− x) g(x) dx ;

por otro lado, para t < 0 las integrales anteriores son nulas (ver propiedad 9.18.I).

Proposición 9.45 (transformada de Laplace del integrador). Sea f ∈ L 1loc(R+) y que admite

transformada de Laplace. Entonces, la función g definida para t ≥ 0 por g(t) =∫ t0f(x) dx ,

admite transformada de Laplace, σg ≤ sup0, σf y

Lg(s) =1

sLf(s), para cada s > σg.

(Nótese que g es la única primitiva de f que se anula en −∞; en este ámbito de la transfor-mada de Laplace g se suele denominar integrador de f )

Proposición 9.46 (transformada de Laplace de convoluciones). Sean f y g funciones queadmiten transformada de Laplace. Se supone que al menos una de ellas es localmente acota-da (i.e., acotada en cada intervalo compacto [0, b]). Entonces f ∗ g está definida para todo t ≥ 0y se verifica:

I) La función f ∗ g es continua en [0,∞).

II) La función f ∗ g admite transformada de Laplace y σ(f∗g) ≤ maxσf , σg.III) Para cada s > σ(f∗g) se tiene que

L(f ∗ g)(s) = Lf(s) · Lg(s) .


Ejercicios 135

Ejercicios

9.1 Para cada t ∈ R se considera

f(t) =

∫ ∞

0

e−x2

cos(2 t x) dx .

I) Probar que f está bien definida y es derivable en R, con derivada f ′(t) = −2 t f(t).

II) Demostrar que la función

g(x, y) =x

x2 + y2e−(x2+y2) cos

(2 t

√x2 + y2

)

es integrable en (0,∞)× (0,∞) y calcular su integral.

9.2 Demostrar que la función definida por

f(x) =

∫ ∞

0

e−xysen(y)

ydy , x > 0,

es derivable en (0,∞), calcular su derivada y obtener una expresión explícita de f .

9.3 Demostrar que, aun cuando la función sen(y)/y no es integrable en (0,∞), la función fdefinida, de forma similar al ejercicio anterior, por

f(x) =

∫ →∞

0

e−xysen(y)

ydy , x ∈ [0,∞) ,

es continua en el cerrado [0,∞). Deducir que∫ →∞

0

sen(y)

ydy =

π

2.

9.4 Calcular, para x ∈ R, el valor de

h(x) =

∫ ∞

0

1− cos(x y)

y2e−y dy .

9.5 Probar que está bien definida en [1,∞) la función

f(t) =

∫ 1

0

xt−1 − 1

log(x)dx ,

y que es derivable en (1,∞). Obtener explícitamente el valor de f .

9.6 Demostrar que si a > 0, entonces∫ ∞

0

exp(− (x− a/x)

2)dx =

√π

2.

9.7 Calcular el valor de la integral

f(x) =

∫ ∞

0

arctg(x y)

y (1 + y2)dy.

9.8 Demostrar que para cada α > 0 está bien definida la integral

F (α) =

∫ ∞

0

e−αx − e−α2x

xdx

y calcular su valor.

9.9 Si |λ| < 1 calcular ∫ π

0

log(1 + λ cos(x)

)

cos(x)dx .



9.10 Se consideran n ∈ N y p ∈ R, p > −1. Demostrar que∫ 1

0

xp logn(x) dx =(−1)n n!

(p+ 1)n+1.

9.11 Estudiando la derivabilidad de la función

f(x) =

∫ x

0

log(1 + x t)

1 + t2dt, x ≥ 0,

deducir el valor de ∫ 1

0

log(1 + t)

1 + t2dt.

9.12 Probar que si a, b > 0 se tiene que:

I)∫ ∞

0

e−ax − e−bx

xdx = log

( ba

);

II)∫ ∞

0

(e−ax − e−bx

x

)2

dx = log

((2 a)2a(2 b)2b

(a+ b)2(a+b)

).

9.13 Sea c > 0. A partir de la función

f(y) =

∫ ∞

0

xy

x2 + c2dx

obtener que∫ ∞

0

log(x)

x2 + c2dx =

π log(c)

2 cy

∫ ∞

0

log(x)√x

x2 + c2dx =

π

2√2 c

(2 log(c) + π

).

9.14 Probar que para cada y ∈ (−1, 1) se tiene que∫ ∞

−∞

e−yx

Ch(x)dx =

π

cos(yπ/2

) .

Deducir el valor de la integral ∫ ∞

−∞

x e−x/2

Ch(x)dx .

9.15 Sean f : R → R continua y T =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , x+ y + z < 1

.

I) Probar que si p > 0, q > 0 y r > 0 la función (x, y, z) 7→ xp−1yq−1zr−1f(x+y+z) es integrableen T y

∫

T

xp−1yq−1zr−1f(x+ y + z) dx dy dz =Γ(p) Γ(q) Γ(r)

Γ(p+ q + r)

∫ 1

0

up+q+r−1f(u) du .

II) Para cada t ∈ R se define

g(t) =

∫

T

xp−1yq−1zr−1f(t (x+ y + z)

)dx dy dz .

Probar que si f es de clase C 1 entonces g es derivable y determinar una expresión integralpara g′. Calcular g′(2) en el caso p = q = r = 1/3 y f(u) = eu.

9.16 Probar que la función1

1− cos(x) cos(y) cos(z)

es integrable en (0, π)× (0, π)× (0, π) y calcular su integral.

Sugerencia: Realizar primero, en cada variable, el cambio típico para las fracciones racionales trigo-nométricas t = tg(x/2).


Ejercicios 137

9.17 Utilizar las coordenadas esféricas generalizadas y las integrales eulerianas para obteneruna fórmula cerrada de la medida de las bolas en Rn en función de su radio.

9.18 Sean p, q, r,m números reales positivos, y B la bola abierta de R3 centrada en 0 y deradio 1. Estudiar para qué valores de esos parámetros la siguiente integral es finita y calcularsu valor: ∫

B

|x|p |y|q |z|r(x2 + y2 + z2

)m dx dy dz .

9.19 Sea V = (0,∞)× (0,∞)× (0,∞) . Si p > 0, q > 0, r > 0 y 1/p+ 1/q + 1/r < 1 calcular∫

V

1

1 + xp + yq + zrdx dy dz (ver ejercicio 8.37).

9.20 (Funciones meseta)

I) Construcción mediante convoluciones:

Sean a < b números reales. Mediante la convolución de los elementos de una sucesiónregularizante con la función característica del intervalo [a− δ, b+ δ], δ > 0, comprobar queparo todo r > 0 existe una función f de clase C∞ en R tal que

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ R.

2. f(x) = 1 si x ∈ [a, b].

3. f(x) = 0 si x /∈ [a− r, b+ r].

A tales funciones f se les denomina funciones meseta.

II) Construcción explícita:

La función g(x) = e−1/xχ

(0,∞)(x) es de clase C∞ en R. Sean c < a < b < d números reales(esto es, [a, b] ⊂ (c, d)).

1. La función hr(x) =g(d− x)

g(x− b) + g(d− x)es de clase C∞ en R, toma valores entre 0 y 1,

se anula para x ≥ d y vale 1 para x ≤ b.

2. La función hl(x) =g(x− c)

g(x− c) + g(a− x)es de clase C∞ en R, toma valores entre 0 y 1, se

anula para x ≤ c y vale 1 para x ≥ a.

3. La función f(x) = hl(x)hr(x) es de clase C∞ en R, 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ R, f(x) = 0si x /∈ [c, d] y f(x) = 1 si x ∈ [a, b].

9.21 (Densidad de C∞c (Rd) en L1(Rd))

I) Sea α =n∑j=1

ajχIj una función escalonada en Rd. Probar que para todo ε > 0 existe g de

clase C∞en Rd y de soporte compacto con∫

Rd

∣∣α(x)− g(x)∣∣ dx < ε.

Sugerencia: Aproximar las funciones características χIjpor adecuadas funciones “meseta”, cons-

truidas a partir de las ya obtenidas en dimensión 1.

II) Deducir que para cada función f ∈ L 1(Rd) existe una sucesión gn∞n=1 de funciones de

clase C∞ en Rd y de soporte compacto tal que lımn→∞

∫

Rd

∣∣f(x)− gn(x)∣∣ dx = 0 .

Nota: El subespacio vectorial de Cc(Rd) constituido por las funciones de clase C∞ se denota

por C∞c (Rd).

9.22 Sean I = [a, b] y J = [c, d] dos intervalos compactos de la recta y f = χI , g = χJ susrespectivas funciones características.

I) Calcular f ∗ g.II) Calcular la transformada de Fourier de f ∗ g.



9.23 Considérese la función definida en casi todo punto de R por

f(x) =1√|x|

χ[−1,1](x) .

Comprobar que f es integrable en R pero f ∗ f no está definida en todo punto.

9.24 Sea f una función continua en R y F una primitiva suya. Si g = χI es la funcióncaracterística de un intervalo I = [a, b], calcular f ∗ g en función de F .

9.25 Para cada λ > 0 sea fλ la función definida en R por fλ(x) = e−λx χ[0,∞)(x) .

I) Calcular fλ ∗ fµ.

II) Calcular la transformada de Fourier de fλ.

9.26 (Funciones gaussianas)

I) Sea ϕ(x) = e−x2

/2. Probar que la transformada de Fourier de ϕ satisface la ecuación dife-rencial ϕ ′(ω) + ω ϕ(ω) = 0 . Deducir que

ϕ(ω) =√2π ϕ(ω) =

√2π e

−w2/2 .

II) Probar que la convolución de dos gaussianas es una gaussiana. Concretamente, si

f(x) =1

σ1√2π

e−(x−µ1)

2/2σ 2

1 y g(x) =1

σ2√2π

e−(x−µ2)

2/2σ 2

2

entonces

(f ∗ g)(x) = 1

σ√2π

e−(x−µ)2/2σ2

, donde σ =√σ 21 + σ 2

2 y µ = µ1 + µ2 .

9.27 (Funciones de orden exponencial) Se dice que una función f ∈ L 1loc(R+) es de orden

exponencial si existen constantes M > 0, α ∈ R y b > 0 tales que

|f(t)| ≤Meα t para casi todo t ≥ b. (9.7)

I) Probar que si f ∈ L 1loc(R+) es de orden exponencial, entonces f admite transformada de

Laplace. En concreto, si se verifica (9.7) se tiene que σf ≤ α.

II) Comprobar con un ejemplo (recurrir a funciones numerablemente escalonadas) que pue-de suceder que σf < α y f verifique (9.7) para α pero no para β < α.

III) Proporcionar algún ejemplo que muestre que hay funciones de L 1loc(R+) que admiten

transformada de Laplace pero no son de orden exponencial.

9.28 Si la función f ∈ L 1loc(R+) admite transformada de Laplace, aunque f no sea de orden

exponencial, el integrador g(t) =∫ t0f(x) dx siempre es de orden exponencial.

9.29 Sea H la función de Heaviside o escalón unidad, dada por

H(t) = χ[0,∞)(t) .

Para las siguientes funciones (definidas tácitamente sólo cuando t ≥ 0), se pide determinar siadmiten transformada de Laplace y, si procede, calcularla. En todos los casos a denota unaconstante positiva y b, c números reales.

I) f(t) = H(t) II) f(t) = H(t− a) III) f(t) = c(H(t)−H(t−a)

)

IV) f(t) = ec t V) f(t) = Ch(c t) VI) f(t) = Sh(c t)

VII) f(t) = sen(c t) VIII) f(t) = cos(c t) IX) f(t) = tn, n ∈ N

X) f(t) = tn ec t, n ∈ N XI) f(t) = e−tH(3− t) XII) f(t) = H(t− a) ec t

XIII) f(t) = e−b t cos(c t) XIV) f(t) = e−b t sen(c t) XV) f(t) = e−t sen2(t)

XVI) f(t) =

∫ t

0

x cos(2x) dx XVII) f(t) = etH(t−2) sen(t−2)


Ejercicios 139

9.30 Sea f : (0,∞) → C una función de L 1loc(R+) y periódica de periodo p > 0, es decir, tal que

f(t+ p) = f(t), t ≥ 0 .

Probar que f admite transformada de Laplace, con σf ≤ 0. Demostrar que, si ϕ es la función

ϕ(t) = f(t)χ[0,p](t) = f(t)−H(t− p)f(t− p), t ≥ 0,

entonces Lf se expresa en función de Lϕ mediante la fórmula

Lf(s) =Lϕ(s)

1− e−ps.

Aplíquese, en particular, a la función coseno:

ϕ(t) = cos(t)−H(t− 2π) cos(t− 2π) .

9.31 La función de error ‘erf ’ y la función complementaria de error ‘erfc’ se definen por

erf(t) =2√π

∫ t

0

e−x2

dx, erfc(t) = 1− erf(t) , t ≥ 0 .

Determinar las transformadas de Laplace de las funciones

f(t) = erfc(√t)

y g(t) = etf(t) = et erfc(√t).

Sugerencia: Aplíquese el teorema de Fubini en las integrales iteradas que aparecen.

9.32 Sea g ∈ L 1loc(R+) que admite transformada de Laplace y tal que la función h(t) = g(t)/t

también pertenece a L 1loc(R+).

I) Probar que h admite transformada de Laplace y que σh = σg.

II) Pongamos Lg(s) = G(s). Demostrar que Lh(s) = H(s) siendo H la única primitiva de −G,

H(s) = −∫G(s) ds+ C0, C0 ∈ C ,

para la que lıms→∞

H(s) = 0.

Sugerencia: Aplíquense las proposiciones 9.42 y 9.43.

III) Sean a y b números reales. Se considera la función

f(t) =

∫ t

0

eax − cos(bx)

xdx, t ≥ 0.

Si s > maxa, 0, deducir de lo anterior Lf(s).

9.33 Sea p > 0. Se considera la función fp ∈ L 1loc(R+) definida por fp(t) = tp−1 (se sobreen-

tiende que fp(t) = 0 para t ≤ 0).

I) Demostrar que para s > 0 se tiene que

Lfp(s) =Γ(p)

sp.

II) Dados p , q > 0 , mediante un cambio de variable lineal adecuado, escribir la convolución(fp ∗ fq)(t) como una integral extendida al intervalo (0, 1).

III) Mediante la transformación de Laplace, deducir de los apartados anteriores la siguienterelación entre las funciones eulerianas B y Γ:

B(p, q) =Γ(p) Γ(q)

Γ(p+ q), p, q > 0 .

9.34 Sea n un número natural y sea f una función de clase C 2 en [0,∞) tal que f , f ′ y f ′′

son de orden exponencial, y con f(0) = 1, f ′(0) = −n. Hallar la transformada de Laplace de fsupuesto que

t f ′′(t) + (1− t) f ′(t) + n f(t) = 0, t ≥ 0 .



9.35 Sea f una función de clase C 1 en [0,∞), tal que f y f ′ son de orden exponencial, y conf(0) = 0. Sabiendo que

5

∫ t

0

ex cos(2(t− x)

)f(x) dx = et

(f ′(t) + f(t)

)− 1, t ≥ 0,

determinar la transformada de Laplace de f .

9.36 En los siguientes casos se pide calcular la transformada de Laplace de la funciónf ∈ L 1

loc(R+) que satisface la correspondiente ecuación integro-diferencial:

I) f(t) = sen(t) + 2

∫ t

0

cos(t− x) f(x) dx

II)∫ t

0

ex cos(t− x) f(x) dx = t

III) f ′′(t) +∫ t

0

e2(t−x)f ′(x) dx = e2t, siendo f(0) = 0, f ′(0) = 1

IV)∫ t

0

f(t− x) f(x) dx = 8(sen(t)− t cos(t)

)

9.37 Para cada uno de los problemas de Cauchy que se relacionan a continuación se pidecalcular la transformada de Laplace de la solución x(t):

I)

x′′(t) + x(t) = t

x(0) = 0, x′(0) = 1.

II)

x′′(t)− 4x′(t)− 5x(t) = 3 et

x(0) = 3, x′(0) = 1.

III)

x′′(t) + x(t) = H(t)− 2H(t− 1) +H(t− 2)

x(0) = x′(0) = 0.

IV)

x′′(t) + x′(t) = 3 cos(t)

x(0) = 0, x′(0) = −1.

V)

x(4)(t) + 3x′′(t) + 2x(t) = e−tH(t− 2)

x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0, x′′′(0) = −1.

9.38 Calcular la transformada de Laplace de las soluciones de los sistemas de ecuaciones di-ferenciales lineales de primer orden, con las condiciones iniciales indicadas, en las siguientessituaciones:

I)

7x′(t) + y′(t) + 2x(t) = 0

x′(t) + 3 y′(t) + y(t) = 0

x(0) = 1, y(0) = 0.

II)

5x′(t) + 2 y′(t)− 2x(t) + y(t) = 2e−t

−2x′(t)− y′(t) + x(t) = sen(t)

x(0) = 1, y(0) = −1.

III)

x′(t) + y′(t) = 2 z(t)

y′(t) + z′(t) = 2x(t)

x′(t) + z′(t) = 2 y(t)

x(0) = 1, y(0) = −1, z(0) = 0

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141

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142

Índice de notación

N, Z, Q, R, C Conjuntos de los números naturales, enteros,racionales, reales y complejos.

⌊x⌋, x Parte entera, parte fraccionaria: x = ⌊x⌋+ x.ınf, sup Ínfimo o extremo inferior, supremo o extremo superior.

mın, max Mínimo y máximo.

exp(x) = ex Función exponencial.

log(x) = ln(x) Logaritmo neperiano.

sen, cos, tg Funciones trigonométricas.

arcsen, arccos, arctg Funciones inversas de trigonométricas.

Sh, Ch, Tgh Funciones hiperbólicas.

ArgSh, ArgCh, ArgTgh Funciones inversas de hiperbólicas.

Rn Espacio euclídeo de dimensión n.

x = (x1, x2, . . . , xn) Vector o punto de Rn.

x · y = 〈x,y〉 Producto escalar en Rn.

‖x‖, ‖x‖1, ‖x‖∞ Normas de un vector.

πi:Rn → R Proyección i-ésima en Rn.

d(x,y) Distancia entre dos puntos.

δ(A) ó diam(A) Diámetro del conjunto A.

B(x, r), B(x, r), S(x, r) Bola abierta, bola cerrada y esfera.

A, A = cl(A), A′, Fr(A) Interior, adherencia o clausura, derivado, frontera de A.

xk∞k=1, lımk→∞

xk Sucesión de elementos de Rn, límite de una sucesión.

f = (f1, f2, . . . , fm) Función a valores en Rm, campo vectorial.

lımx→a

f(x), f(x) −→x→a

l,

lımx→ax∈B

f(x) Límite de una función.

lım infn→∞

an, lım supn→∞

an Límites inferior y superior de una sucesión.

an ↑n→∞

a, an ↓n→∞

a Sucesión monótona de números reales que tiene límite a.

dvf = Dvf Derivada direccional.

Dif =∂f

∂xiDerivada parcial de primer orden.

df(x0) = f′(x0) Diferencial.

∂(f1, f2, . . . , fm)

∂(x1, x2, . . . , xn)Matriz jacobiana.

143

∂m1+m2+...+mnf

∂xm11 ∂xm2

2 . . . ∂xmnn

Derivada parcial sucesiva.

Tk(f,x0), Rk(f,x0) Polinomio y resto de Taylor.

Hf Matriz hessiana.

Jf Determinante jacobiano.

χE Función característica de un conjunto.

f χE Extensión de la función f (por 0 fuera de E).

md(E) = m(E) Medida d-dimensional de un conjunto.∫Af =

∫Af(x) dx =

∫Af(x) dm(x)

∫Af(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn Integrales en Rn.

∫∫Af ,

∫∫∫Af Integrales en R2 y R3.

f+, f− Partes positiva y negativa, resp., de la función f .

sop(f) Soporte de la función f .

cK Centro de masa, carga, etc., de un conjunto.

f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn Producto tensorial de funciones. Función devariables separadas.

Γ, B Funciones eulerianas Gamma y Beta.

f ∗ g Producto de convolución de funciones.

f = F(f) Transformada de Fourier de f .

L(f) Transformada de Laplace de f .

σf Abscisa de convergencia de L(f).

144

Índice alfabético

A,Abel, Niels Henrik, 57, 132aplicación

– abierta, 42– bilineal, 11

– simétrica, 11– contractiva, 41– isometría, 41– lineal, 11– lipschitziana, 41

aproximación de la identidad, 130aproximaciones sucesivas, 42arco o camino, 15

B,Banach, Stefan, 41Bernstein, Sergei N., 59, 60bola

– abierta, 2– cerrada, 2

Bolzano, Bernhard, 12Borel, Emile, 12

C,cambio de variables, 111

– cambio de referencia afín, 112– coordenadas cilíndricas, 113– coordenadas esféricas, 114

– generalizadas, 115– coordenadas polares, 113– transformación de símplices en cu-

bos, 116Cantor, Georg F., 13, 76Carathéodory, Constantin, 79cardioide, 118Cartan, Élie Joseph, 109(propiedad cierta) casi siempre, 72Catalan, Eugène C., 109Cauchy, Augustin Louis, 2, 24, 45, 55, 56Cavalieri, Bonaventura F., 102celda o multiintervalo, 69centro de un conjunto

– de masa, 97– relativo a una densidad, 97

Chebyshev, Pafnuty L., 102Clairaut, Alexis C., 29conjunto

– abierto, 3– abierto en otro, 10– acotado, 3– arco-conexo o conexo por arcos, 15– cerrado, 4

– cerrado en otro, 10– compacto, 12– conexo, 14– convexo, 15– de Cantor, 76– de Vitali, 103– de medida nula, o despreciable, 71– denso en otro, 5– discreto, 5– elemental, 70– estrellado, 15– integrable, 80– medible, 91adherencia o clausura de un –, 4componente conexa de un –, 15derivado de un –, 5distancia entre – s, 3exterior de un –, 5frontera de un –, 5interior de un –, 3proyección de un –, 98sección de un –, 98

contenido de Jordan, 72, 92convolución, 129coordenadas

– baricéntricas, 116– cartesianas, 1– cilíndricas, 49, 113– esféricas, 49, 114– esféricas generalizadas, 115– polares, 49, 113

Cramer, Gabriel, 41, 43Criterio

– de Dirichlet, 57– de Leibniz, 57– de Riemann-integrabilidad, de Lebes-

gue, 83– de Sylvester, 33– de Tonelli, 100– de Weierstrass, 57– de comparación (para integrales), 84,

92– de convergencia uniforme de Cauchy,

55, 56– secuencial de la continuidad, 9– secuencial para límites, 7

cubo, 70

D,D’Alembert, Jean, 23Daniell, Percy John, 79Darboux, Jean Gaston , 83

145

delta de Dirac, 96, 131derivada

– direccional, 23– parcial, 23

– de orden superior, 28Descartes, René, 1Desigualdad

– de Cauchy-Schwarz, 2– de Chebyshev, 102– de Hölder, 105– triangular, 2

determinante jacobiano, 42diámetro, 3difeomorfismo o cambio de variables, 44diferencial, 24

– de orden superior, 31Dini, Ulisse, 45, 55Dirac, Paul, 96Dirichlet, Lejeune, 57, 84

E,ecuación

– de Laplace, 37– de ondas, 49– del calor, 37– diferencial, 44

entorno, 3esfera, 2espacio

– de medida, 96– euclídeo, 2– métrico, 2

– completo, 42– medible, 96– normado, 13– topológico, 4

– normal, 13Espacios funcionales

– C k, C 0, C∞, 28– Cc, 90– C∞

c , 137– C0(R

n), 129– L = L 1, L p, 80, 94– L1, 81– L 1

loc(V ), 130– L 1

loc(R+), 133Euclides de Alejandría, 1Euler, Leonhard, 23, 109, 123, 126exponencial compleja, 104, 132extremo

– absoluto, 8– relativo o local, 32

– estricto, 17, 32condiciones necesarias de –, 32, 34condiciones suficientes de –, 34

F,Fatou, Pierre, 83, 87forma cuadrática, 11, 33

– definida, 33– indefinida, 33– semidefinida, 33

Fórmula– de Stirling, 126– de Taylor, 30– de duplicación de B, 127– de duplicación de Legendre, 127– de los complementos, 127– de multiplicación de Gauss, 127– de sumación por partes de Abel, 57

Fourier, Jean Baptiste J., 66, 90, 132Fraenkel, Adolf Abraham, 94Fubini, Guido, 99función

– Beta de Euler, 127– Gamma de Euler, 126– acotada, 8– característica, 73– complementaria de error, 139– continua, 9– de Heaviside o escalón unidad, 138– de clase C k, k ∈ N, 28– de densidad, 97– de error, 139– de orden exponencial, 138– de variables separadas, 22– derivable, 23– derivada parcial, 28– diferenciable, 24– escalonada, 73– gaussiana, 96, 138– implícita, 45– integrable, 79, 83, 94– límite puntual, 54– localmente integrable, 130, 133– medible, 91, 94– meseta, 137– numerablemente escalonada, 86– separadamente continua, 19– suma, 56– uniformemente continua, 10sección de una –, 98

G,Gauss, J. Carl Friedrich, 109, 127, 138gradiente, 26Gram, Jorgen P., 1

H,Hankel, Hermann, 132Heine, Eduard, 12, 13Hesse, Ludwig Otto, 33Hilbert, David, 132Hölder, Otto Ludwig, 105homeomorfismo, 12

I,inmersión, 47integración por secciones planas, 101

146

integral– de Lebesgue, 80, 94– de Riemann, 83, 93– de una función escalonada, 74– flechada, 125– paramétrica, 123

intervalo en Rn, 4, 69isometrías o movimientos, 113

J,Jacobi, Carl Gustav, 25, 109Jordan, Camille, 72, 92

L,Lagrange, Joseph Louis, 25, 45Landau, Edmund Georg, 32, 60Laplace, Pierre Simon, 37, 133Lebesgue, Henri Léon, 60, 79, 82, 93Legendre, Adrien-Marie, 127Leibniz, Gottfried von, 23, 24, 45, 57, 123Lema

– de Fatou, 83, 87– de Riemann-Lebesgue, 90, 132– de Urysohn, 13

Levi, Beppo, 82límite

– de una función, 7– iterado, 9– siguiendo un subespacio, 7

– de una sucesión, 6, 83Lipschitz, Rudolf, 41

M,matriz

– hessiana, 33– jacobiana, 25

máximo– absoluto, 8– relativo o local, 32

medida– δ de Dirac, 96– de Lebesgue, 80– de probabilidad, 96– de un conjunto elemental, 71– de un intervalo, 69– positiva (abstracta), 96

Mellin, Robert Hjalmar, 132métrica o distancia, 2mínimo

– absoluto, 8– relativo o local, 32

Mittag-Leffler, Magnus Gösta, 60momento de inercia, 97Montel, Paul Antoine, 60

N,norma, 2

– euclídea, 2– s equivalentes, 13

núcleo integral, 132

O,operador diferencial, 31, 44Ostrogradski, Mikhail V., 109

P,Peano, Giuseppe, 77Picard, Charles Emile, 41, 60plano tangente, 26polinomio

– de Bernstein, 59– de Taylor, 30– trigonométrico, 60

Principio de Cavalieri, 102probabilidad, 96

distribución de – gaussiana, 96producto

– escalar o interno, 2– tensorial de funciones, 21, 86

proyecciones en Rn, 10punto

– adherente, 4– aislado, 5– crítico, 32

– no degenerado, 48– de acumulación, 5– de silla, 32– exterior, 5– fijo, 41– frontera, 5– interior, 3

R,recubrimiento, 12

– abierto, 12Regla

– de Barrow, 84– de la cadena, 27

resto de Taylor, 30Riemann, G.F. Bernhard, 72, 83, 93Riesz, Frigyes, 13, 79Rouché, Eugène, 41

S,σ-álgebra, 96símplice o simplex, 116Sard, Arthur, 77Schmidt, Erhard, 1Schwarz, Hermann A., 2, 29semiintervalo, 70serie de Fourier, 66, 90serie de Taylor, 65serie funcional, 55

– absolutamente convergente, 56– convergente, 56– normalmente convergente, 56

serie trigonométrica, 66Sierpinski, Waclaw, 100Solovay, Robert M., 94soporte de una función, 90, 128

147

Stirling, James, 126Stone, Marshall, 60, 61, 79subespacio

límite siguiendo un –, 7topología de –, 10

submersión, 47sucesión

– acotada, 6– convergente, 6– de Cauchy, 7rango de una –, 6

sucesión expansiva de compactos, 20sucesión funcional, 53

– de Cauchy uniformemente, 55– monótona, 53– puntualmente convergente, 54– uniformemente acotada, 53– uniformemente convergente, 54

sucesión fundamental (de funciones esca-lonadas), 75

sucesión regularizante, 132supremo e ínfimo esenciales, 77Sylvester, James Joseph, 33

T,Taylor, Brook, 30Teorema

– de Bernstein, 59– de Bolzano-Weierstrass, 12– de Dini, 55– de Fubini, 99– de Heine-Borel, 12– de Heine-Cantor, 13– de Riesz, 13– de Schwarz, 29– de Stone-Weierstrass, 61– de Stone-Weierstrass, versión com-

pleja, 61– de Weierstrass, 12

– para funciones escalares, 12– de Young, 29– de aproximación polinomial, de

Weierstrass, 60– de aproximación trigonométrica, de

Weierstrass, 60– de completitud de L1, 81– de continuidad bajo el signo integral,

123– de continuidad de la suma uniforme,

57– de continuidad del límite uniforme,

55– de continuidad para integrales fle-

chadas, 126– de densidad de las funciones escalo-

nadas, 81– de derivabilidad de la función suma,

58

– de derivabilidad del límite puntual,58

– de derivabilidad para integrales fle-chadas, 126

– de derivación bajo el signo integral,124

– de inmersión, 47– de itegrabilidad de la función suma,

59– de itegrabilidad del límite puntual, 58– de la convergencia dominada, de Le-

besgue, 82– de la convergencia monótona, de Le-

besgue, 82– de la convergencia monótona, de Le-

vi, 82, 87– de las funciones implícitas, 45– de las funciones inversas, 42– de submersión, 47– de unicidad (en series de Fourier), 67– del cambio de variables, 111– del punto fijo, de Banach, 41– del rango constante, 47– del valor medio, 28

Tonelli, Leonida, 100transformación (lineal) elemental, 110transformada

– de Fourier F, 132– de convoluciones, 133derivación de la –, 133

– de Laplace L, 133– de convoluciones, 134– de derivadas, 134– del integrador, 134derivación de –, 134valor final de la –, 134

U,Urysohn, Pavel, 13

V,variedad diferenciable, 77Vitali, Giuseppe, 94, 103Volterra, Vito, 60

W,Weierstrass, Karl, 12, 57, 60, 61

Y,Young, William H., 29, 79

Z,Zermelo, Ernst F.F., 94Zorn, Max August, 94

148

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