1

MODEL TRANSMISI

PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE

Nita Jayanti, Nurul Ulfah, dan Tyan Retsa Putri

Matematika, FMIPA Universitas Negeri Jakarta

ABSTRAK

Demam Berdarah Dengue merupakan penyakit infeksi yang disebabkan oleh virus

dengue.Demam Berdarah Dengue termasuk dalam kelompok arthropod borne

diseases dengan Nyamuk Aedes aegypti betina sebagai vector. Transmisi

penyakit Demam Berdarah Dengue dimodelkan secara matematika, selanjutnya

akan ditentukan nilai bilangan reproduksi dasar sebagai parameter untuk

mengetahui tingkat penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue.

Kata Kunci: model DBD, analisis kestabilan, bilangan reproduksi dasar

I. PENDAHULUAN

Penyakit Demam Berdarah Dengue masih menjadi salah satu jenis

penyakit yang belum dapat diatasi di Indonesia. Menurut perkiraan badan

kesehatan dunia (WHO) setiap 20 menit sekali, seorang meninggal akibat

penyakit ini. Demam berdarah dengue tidak menular melalui kontak manusia

dengan manusia, melainkan ditularkan melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti dan

Aedes albopictus. Kedua jenis nyamuk ini terdapat hampir di seluruh daerah di

Indonesia, kecuali di tempat-tempat dengan ketinggian lebih dari 1000 meter di

atas permukaan laut (Wahono et al., 2004).

Penyakit Demam Berdarah Dengue atau Dengue Haemorrhagic Fever

(DHF) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus Dengue. Virus ini memiliki

empat serotype yang dikenal dengan DEN-1, DEN-2, DEN-3, dan DEN-4.

Keempat serotype ini menimbulkan gejala berbeda-beda jika menyerang manusia.

Serotype yang menyebabkan infeksi paling berat di Indonesia yaitu DEN-3.

2

Infeksi oleh salah satu jenis serotype ini akan memberikan kekebalan seumur

hidup tetapi tidak menimbulkan kekebalan terhadap serotype lain. Sehingga

seseorang yang hidup di daerah endemis DBD dapat mengalami infeksi sebanyak

4 kali seumur hidupnya.

Transmisi penyakit Demam Berdarah Dengue dapat dimodelkan secara

matematika yang selanjutnya akan ditentukan nilai bilangan reproduksi dasar

sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran penyakit Demam

Berdarah Dengue.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Kompartemen

Sistem kompartemen merupakan sebuah susunan kerja atau proses yang

menunjukkan aliran individu dari satu kompartemen ke kompartemen lainnya

seperti saat individu tersebut sehat, tertular penyakit atau sembuh dari penyakit.

Berikut ini adalah contoh sederhana bentuk sistem kompartemen:

Gambar 1. Kompartemen

2.2 Bilangan Reproduksi Dasar

Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu

parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah Bilangan Reproduksi

Dasar (Basic Reproduction Number).

Bilangan Reproduksi Dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya

rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang

berlangsung didalam populasi susceptible. Namun adapula yang mengartikan

rasio atau perbandingan yang menunjukkan jumlah individu susceptible yang

menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected.

𝑌 𝑋 𝑘

𝑞 𝑟

𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑌𝑋

3

Jika model hanya mempunyai dua titik kesetimbangan yaitu titik

kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik, maka tidak

terjadi endemik jika dan terjadi endemik jika .

2.3 Matriks Pembangkit

Matriks pembangkit dilambangkan dengan . Matriks ini digunakan untuk

menentukan nilai-nilai . Nilai-nilai dicari dengan menentukan nilai

modulus terbesar dari , yaitu . Matriks merupakan matriks

tak negative, sehingga nilai-nilai eigennya juga tak negative.

Lambang merupakan matriks dari koefisien rata-rata peningkatan

infeksi sekunder pada kompartemen ke-i dan merupakan rata-rata peningkatan

penyakit, penurunan tingkat kematian dan kesembuhan pada kompartemen ke-i,

dituliskan sebagai berikut:

Persamaan diatas dievaluasi pada titik bebas penyakit, sehingga diperoleh matriks

pembangkitnya adalah .

2.4 Kestabilan Titik Tetap

Pandang persamaan differensial

(1)

Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (1) jika

memenuhi dan . Karena turunan suatu konstanta

sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan.

dan

Adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (1) untuk semua .

2.5 Stabil Asimtotis Lokal

Kestabilan asimtotis lokal m merupakan kestabilan dari sistem linier atau

kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik

4

kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik

sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan.

Definisi:

Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan vektor

karakteristik dari J jika memenuhi :

(2)

Untuk suatu skalar disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor

karakteristik yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n×n, maka

dapat dituliskan kembali persamaan (2) sebagai atau ekuivalen dengan

, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | | .

Jika matriks [

] dan [

] maka persamaan (2) dapat

ditulis:

|

| atau

Akar-akar karakteristik adalah

√

Teorema Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai

karakteristik matriks [

] mempunyai tanda negatif pada bagian realnya

dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda

positif pada bagian realnya.

III. METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu metode kajian pustaka

dengan melakukan studi literature dan pengumpulan referensi mengenai teori-

teori yang mendukung penyelesaian penelitian ini, antara lain :

a. penyakit Demam Berdarah Dengue,

5

b. model matematika dari pertumbuhan logistik,

c. model matematika dari penyebaran penyakit demam berdarah dengue,

d. penyelesaian dari model matematika penyebaran penyakit demam berdarah.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Matematia Transmisi Penyakit Demam Berdarah Dengue

Model matematika yang digunakan untuk mengetahui bentuk transmisi

penyakit Demam Berdarah Dengue adalah dengan model SIR (Susceptible-

Infected-Recovered). Asumsi-asumsi yang digunakan antara lain:

a. Nyamuk yang dapat menyebarkan virus Dengue hanya nyamuk betina jenis

Aedes aegypti,

b. Total populasi nyamuk dan total populasi manusia adalah konstan (jumlah

nyamuk yang lahir sama dengan jumlah nyamuk yang mati, serta jumlah

manusia yang lahir sama dengan jumlah manusia yang mati),

c. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup (tidak ada

nyamuk ataupun manusia yang migrasi),

d. Manusia rentan adalah manusia yang bukan imun dan belum tertular virus

dengue,

e. Manusia terinfeksi adalah manusia yang telah tertular virus dan dapat

menularkan virus ke nyamuk,

f. Manusia yang telah sembuh tidak dapat menjadi manusia rentan atupun

terinveksi kembali,

g. Nyamuk rentan adalah nyamuk yang belum tertular virus,

h. Nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang telah tertular virus dan dapat

menularkan virus tersebut,

i. Nyamuk tidak akan penah sembuh setelah terinveksi,

j. Rata-rata gigitan nyamuk perhari adalah konstan (dinotasikan dengan b).

Dari asumsi di atas, misalkan adalah total populasi nyamuk dan

adalah total populasi manusia. Populasi nyamuk dibagi menjadi dua subpopulasi,

6

yaitu nyamuk rentan (susceptible) dan nyamuk terinfeksi (infected) . Populasi

manusia dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible) ,

manusia terinfeksi (infected) , dan manusia sembuh (recovered) , sehingga

jumlah manusia dalam suatu populasi adalah .

Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dapat digambarkan dalam

diagram kompartemen berikut:

Gambar 2. Kompartemen Penyebaran Penyakit DBD Model SIR

Arti diagram kompartemen di atas adalah:

1. Laju pertumbuhan nyamuk rentan mempertimbangkan faktor kelahiran,

kematian, dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terinveksi,

ditulis:

dimana . Proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk

terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk rentan dengan

manusia terinfeksi. Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang

7

transmisi virus dari manusia terinfeksi ke nyamuk rentan dengan rata-rata

gigitan nyamuk rentan perhari (b).

2. Laju pertumbuhan nyamuk terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian

dan proporsi perpindahan nyamuk rentan menjadi nyamuk terinfeksi,

ditulis:

3. Laju pertumbuhan manusia rentan mempertimbangkan faktor kelahiran,

kematian, dan proporsi perpindahan manusia rentan menjadi manusia

terinfeksi, ditulis:

dimana . Proporsi perpindahan manusia rentan menjadi manusia

terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi

dengan manusia rentan. Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang

transmisi virus dari nyamuk terinveksi ke manusia rentan dengan rata-rata

gigitan nyamuk terinveksi perhari.

4. Laju pertumbuhan manusia terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian,

proporsi perpindahan manusia rentan menjadi manusia terinveksi, dan

proporsi perpindahan nyamuk rentan menjadi nyamuk terinveksi karena

mengigit manusia terinveksi, ditulis:

5. Laju pertumbuhan manusia sembuh mempertimbangkan faktor kematian

dan proporsi perpindahan manusia terinveksi menjadi manusia sembuh,

ditulis:

8

Berdasarkan uraian di atas, model SIR dinyatakan dalam model (1) sebagai

berikut:

dengan kondisi : dan

serta,

: laju kelahiran nyamuk per hari

: laju kematian nyamuk per hari

: peluang transmisi virus DBD dari manusia ke nyamuk

: laju kelahiran manusia per hari

: laju kematian manusia per hari

b : rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari

: peluang transmisi virus DBD dari nyamuk ke manusia

r : laju kesembuhan manusia terinfeksi per hari

Selanjutnya, model (1) dapat disederhanakan dengan pemisalan

,

,

,

,

, , sehingga sistem tersebut

dapat ditulis pada model (2) sebagai berikut:

9

dengan

, serta kondisi , yang dibuktikan pada Lampiran 1,

dan dibuktikan pada Lampiran 2.

4.2 Penentuan Titik Tetap

Titik tetap ini diperoleh dengan menyelesaikan sistem pada persamaan

model (2). Solusinya merupakan suatu solusi yang diperoleh pada saat

sehingga sistem tersebut dapat ditulis :

Sistem di atas memiliki dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit

(Disease-Free Equilibrium/DFE) dan titik tetap endemik.

4.2.1 Titik Tetap Tanpa Penyakit

Titik tetap tanpa penyakit merupakan titik yang memuat nilai dan

Dari persamaan di atas, diperoleh:

atau

Sehingga, bila didapat

10

Jadi titik bebas penyakit (non endemic) adalah:

atau (

)

4.2.2 Titik Tetap Endemik

Titik tetap endemik merupakan titik yang memuat nilai atau .

Dengan menggunakan software Maple diperoleh titik tetap endemik:

dengan

atau

(

)

(

)

(

)

Penentuan titik tetap endemik di atas dapat dilihat pada Lampiran 3.

4.3 Asimtotis Lokal

Diberikan matriks pada populasi manusia dan nyamuk.

[

]

Nilai eigen diperoleh dari

11

Dari persamaan karakteristik

diperoleh:

Karena bilangan real dari akar-akar karakteristiknya bernilai maka model

dikatakan stabil.

4.4 Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar

Dengan menentukan the next generation matriks untuk persamaan

model (2) pada titik tetap tanpa penyakit,

[

]

diperoleh bilangan reproduksi dasar :

Penentuan dapat dilihat pada Lampiran 4.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa titik tetap tanpa penyakit

terjadi bila , sedangkan titik tetap endemik terjadi bila .

V. KESIMPULAN

Dari analisis model penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue,

didapat titik kesetimbangan bebas penyakit dengan tidak semua variabelnya

bernilai nol (

), artinya selalu terdapat populasi yang bebas

penyakit pada kompartemen ini.

12

Berdasarkan analisis kestabilan titik-titik tetap diperoleh nilai eigen dengan

bilangan real bernilai negatif yang berarti model stabil. Bilangan reproduksi dasar

menggambarkan bahwa untuk artinya tidak terjadi endemik pada

populasi, sedangkan artinya terjadi endemik pada populasi.

13

Daftar Pustaka

Brown, Harold W. dan Wita Pribadi. 1983. Dasar Parasitologi Klinis. Jakarta:

Gramedia.

Haberman, Richard. 1998. Mathematical Models An Introduction to Applied

Mathematics. Philadelphia: Society for Industrial and Applied

Mathematics..

Mangebu,James U.L. 2011. Model Matematik Demam Berdarah Dengue Dengan

Nyamuk Aedes albopictus Sebagai Vektor.Thesis Jurusan Matematika IPB:

Bogor.

Satari,HIndra. dan Mila M. 2008. Demam Berdarah. Jakarta: Niaga Swadaya

Shirazian, Mohammad dkk. 2010. Optimal Control Strategy for a Fully

Determinate HIV Model.Jurnal Department of Applied Mathematics

Ferdowsy University of Mashhad, Iran.

14