REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

CABUDARE – EDO. LARA

ANALISIS NUMERICO

Alumno :Elias Hidalgo Briceo

CI: 25.526218

A.N

Sistemas de Ecuaciones

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también

conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un

conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde

cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

3x1 +2x2-x3 =0

-X1 +X2- 4X3 =2

-5X1+2X2+4x3=2

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las

variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la

matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de

señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente

en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales

de análisis numérico.

Representación gráfica

La intersección de dos planos que no son paralelos coincidentes es una recta.

Un sistema con  incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano

bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por

una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas

representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al

mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no

tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,

siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un

único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario,

la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá

infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o

superficie.

Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que

dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Método de Eliminación Gaussiana

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones

lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones

de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse

de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de

ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la

relación de al menos una ecuación por cada variable.

Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las

operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación:

1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante diferente

de cero.

2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación

3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.

Ejemplo

Metodo de Descomposicion LU

El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede

factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular

superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los

coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de

manera eficiente.

Dada la ecuación matricial

Ax=Lux=b

Queremos la solución para un determinando A y b. Los pasos son los siguientes:

1. Primero, resolvemos  para y

2. Segundo, resolvemos  para x

Nótese que ya tenemos las matrices L y U. La ventaja de este método es que es

computacionalmente eficiente, porque podemos elegir el vector b que nos parezca

y no tenemos que volver a hacer la eliminación de Gauss cada vez.

Factorización L-U con pivotación: Al utilizar la técnica de triangulación de Gauss

para obtener la descomposición L-U de una matriz A podemos encontrarnos con el

mismo problema de encontrar un coeficiente en la diagonal que sea 0 o un mal

condicionamiento. Podemos entonces utilizar la misma técnica de pivotación :

buscar el siguiente elemento en la columna que sea distinto de 0 o, mejor aún, el

de mayor valor absoluto.

Pero una vez obtenida la descomposición L-U, si queremos aplicarla a resolver un

sistema de ecuaciones, tendremos que tener en cuenta la “historia” o registro de

las pivotaciones efectuadas para aplicar al vector de términos independientes.

Esto se realiza mediante la matriz de permutación P, que consiste en efectuar

sobre la matriz identidad, las mismas permutaciones de filas que se vayan

efectuando sobre la matriz que se está triangulando por Gauss.

Al mismo tiempo se efectúan las mismas permutaciones sobre los elementos

subdiagonal de la matriz L.

Así, si tenemos, por ejemplo, el sistema:

AX=B

y L y U son las matrices obtenidas de la matriz A como descomposición L-U por

triangulación de Gauss con pivotaciones recogidas en la matriz de permutación P,

es fácil comprobar que :

LU=PA (LU)X=P(AX)=PB=NUEVOB

Por tanto los procesos de sustitución descendente y ascendente los aplicamos

a : LD=NUEVOB UX=D

Factorización De Cholesky

El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es

simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada

como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular

inferior, es decir los factores triangulares resultantes son la traspuesta de cada uno.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cholesky

A = [ 6 15 5515 55 22555 225 979 ]

y C= [100150100 ]

Solución:

En el método de Cholesky el primer paso es encontrar la matriz L usando las fórmulas

lki=aki−∑

j=1

i−1

lij lkj

lii y lkk=√akk−∑

j=1

k−1

lkj2

La primera ecuación se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para elementos en la diagonal principal.

Entonces.

l11=√a11=√6 = 2.4495l21=

a21l11

=152 .4495 = 6.1237

l21=a31l11

=552 .4495 = 22.454 Ya sabemos que l12 = 0

l22=√a22−l212 =√55−6 .12372= 4.1833

l32=a32−l21l31l22

=55−(6 .1237 )(22 .454 )

4 . 1833 = 20.916

De igual forma l13 = l23 = 0 y

l33=√a33−( l312 +l32

2 )=√979−(22.4542+20 .9162)= 6.1106

La matriz L es igual a

L=[2. 4495 0 06 .1237 4 .1833 022.454 20 .916 6 .1106 ]

En el método de Cholesky U = LT

U=[2. 4495 6 .1237 22 . 4540 4 .1833 20 . 9160 0 6. 1106 ]

El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el método de descomposición de LU

d i=ci−∑

j=1

i−1

lijd j

lii

d1=c1l11

=1002 .4495 =40.8246

d2=c2−l21d1l22

=150−(6 .1237 )( 40.8246 )

4 .1833 =-23.9045

d3=c3−( l31d1+ l32 d2 )

l33=100−((22.454 )( 40 .8246 )+(20 .916 )(−23 .9045 )

6 .1106 =-51.826

Finalmente se calcula el vector de incógnitas comenzando por la última x.

x i=d i− ∑

j=i+1

n

uij x j

uii

x3=d3u33 =-8.481

x2=d2−u23 x3u22 = [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 =

36.690

x1=d1−(u12 x2+u13 x3 )

u11 = [40.8246 – ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685

El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a C.

Método De Gauss Seidel

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para

resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los

matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar

al método de Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que

produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el

sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los

elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si

la matriz es diagonalmente dominanteo si es simétrica y, a la vez, definida positiva

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se

repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño

como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en

notación matricial

Metodo deJacoby

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver

sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b. El algoritmo toma su nombre del

matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar

fórmulas como iteración de punto fijo.

El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar

de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal Desafortunadamente,

el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada

elemento no cero