analisis numerico c2 2009.1 con pauta
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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Certámen 2 Mat 270 Análisis Numérico
20 Mayo de 2009
"No usar elementos electrónicos que se comuniquen con el exterior"
Problema 1.
Un canal de regadío tiene dos secciones rectas construidas: ACêêêêê
y BDêêêêê
.
Falta construir una sección curva ABí
que pase por E el punto de intersección de
las prolongaciones rectilíneas de ACêêêêê
y BDêêêêê
.
Por razones de circulación la curva debe ser suave y en E tener la
dirección paralela al segmento ABêêêêê
.
Encontrar la secciòn de curva de E hasta B que cumpla las condiciones
citadas.
Datos: Las coordenadas de los puntos son:
C(1,9) ; A(3,5) ; D(7,9) ; B(6,6)
Problema 2.
Suponga que z(t) designa los metros de altura alcanzada en t segundos
por un objeto macizo que se lanza verticalmente en algun planeta. Por ley de
Newton z''(t) = a , a constante. Al integrar dos veces se logra zHtL = at2 + bt + c
Se cuenta con una tabla de datos z para diferentes t.
i) Obtenga la matriz del sistema normal para calcular las constantes a,
b y c utilizando el método de los mínimos cuadrados.
ii) Suponga que c = 1 y obtenga las otras dos constantes utilizando el
sistema normal. Obtenga la altura de z en t = 3 .
Tabla de mediciones ( t , z ) :
{ { 1 , 13 } ,{ 1.5 , 16 } , { 2.2 , 16.8 } , { 3.5 , 7.3 } }
Problema 3.
La longitud de la curva c ( x ) = { 1+2 x , 4 Cos[5 x] } ; 0 b x b 1
medida desde x = 0 está dada por la función : L(x) =
Ÿoxè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4 + 400 sen 2 H5 uL „u . Una cota para la tercera derivada de L(x) es 5000.Una tabla de mediciones { x, L(x) } esta dada mas abajo.
i ) Determine una cota para el error de interpolación de L(x) mediante
una polinomial continua cuadrática por secciones igualmente espaciadas. De
acuerdo con esto determine cual debería ser el paso h para lograr un error
inferior a 10-3.
ii ) Determine con los datos de la tabla la expresiòn del interpolante
cuadrático de la m- ésima sección de la interpolante polinomial continua de
L(x), m= k (mod 5) + 1, en que k es el último dígito de su rol (descontado el
dìgito verificador).
Tabla de mediciones { x , L (x ) } :
{{0,0.},{0.1,0.546199},{0.2,1.91044},{0.3,3.79934},{0.4,5.75713},{0.5,7.3102
3},{0.6,8.09543},{0.7,8.47135},{0.8,9.62095},{0.9,11.4037},{1.,13.3916}}
Problema 4.
La ley de Newton y la ley de Hooke permiten escribir tres ecuaciones
diferenciales ordinarias para tres resortes de masa m1=2, m2=3, m3=4 y que
están unidos entre sì.
Si lo que interesa son los desplazamientos en estado estacionario se
debe resolver el siguiente sistema lineal cuya matriz es:
i
k
jjjjjj3 k −2 k 0
−2 k 3 k −k
0 −k k
y
{
zzzzzz y el segundo miembro 8g.m1, g.m2, g.m3<t .
Supondremos k = 10 y g = 9.8.
Uno de los valores propios de la matriz de iteración del método de
Jacobi es è!!!!7
�������3
. La cota de los valores propios de la matriz de iteración del
método de Gauss-Seidel es 7ÅÅÅÅ9. Para el parámetro w = 1.36 los valores propios
de la matriz del método S.O.R. estan acotados por 0.36.
Realice una iteración a partir de {8,12,16} con el método que converja
más rápido y sin usar inversa.
Sugerencia: Elegir tres preguntas.
Tiempo: 90 minutos.
Valparaiso, Mayo 2009 / JFN / RAF / WB
2 Cert 2 Mat 270 1° 2009.nb
.
RESPUESTAS
1) Comprobados todos los requisitos exigidos,
para 4.6 § x § 6 la curva pedida es el gráfico de:
p(x) = 1.8 + 1/3 (x-4.6) + 1.9 Hx - 4.6L2 - 1.36 Hx - 4.6L2 (x-6)
2) z(3) º 12.58
3) i) h § 0.015
ii) En el caso k = 2 y 7 se tiene que m = 3 y para 0.4 § x § 0.6
p2HxL= 5.76 + ( 15.53 - 38.40 (x- 0.5) ) ( x - 0.4)
4) El método iterativo convergente mas rápidamente es el de menor radio
espectral, esto es, el método S.O.R.con parámetro w = 1.36 .
La primera iteración es:
X H1L = H 8.889 , 12.325 , 16.333 L
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