anÁlisis numÉrico – métodos eliminación sin normalizar, normalizando, gauss-jordan, matriz...

7/23/2019 ANÁLISIS NUMÉRICO – métodos eliminación sin normalizar, normalizando, gauss-jordan, matriz inversa, factorizaci…

http://slidepdf.com/reader/full/analisis-numerico-metodos-eliminacion-sin-normalizar-normalizando 1/27

ANÁLISIS NUMÉRICOPráctica 3 – Métodos Eliminación sinnormalizar, normalizando, gauss-jordan,matriz inversa, factorización lu y gauss-seidel

E S I M E Z A C T E N C O – I N G . E N C O N T R O L Y A U T O M A T I Z A C I Ó N

A L E J A N D R O R O S A SP R I E T O

3 A V 6



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)

CONTENIDO

) $*jetivo++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Introducción++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+ Eliminación normalizando++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++3

+3 auss-.ordan++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/

+/ Matriz inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0

+0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0

+2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++2

3 esarrollo+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++4

3+) iagramas de 5ujo+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++4

3+)+) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++43+)+ Eliminación ormalizando+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++6

3+)+3 auss-.ordan+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++7

3+)+/ Matriz Inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)8

3+)+0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++))

3+)+2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)

3+ 'ódigo de Programa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)3

3++) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)3

3++ Eliminación ormalizando+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)/

3++3 auss-.ordan+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)0

3++/ Matriz inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)0

3++0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)2

3++2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)4

3+3 Ejem9los de (9licación++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)6

3+/ Ejecutar los 9rogramas++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)7

3+/+) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)7

3+/+ Eliminación ormalizando+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++8

3+/+3 auss-.ordan+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)3+/+/ Matriz inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

3+/+0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++3

3+/+2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/

/ 'onclusión++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0

0 :i*liograf;a+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

Métodos Eliminación sin

normalizar, normalizando,auss-.ordan, matriz inversa,factorización %# y auss-!eidel

1 OBJETIVO

Investigar los diferentes métodos 9ara as; 9oder crear un diagrama con su9rocedimiento de resolución y a9licarlo en diferentes ejem9los de a9licación usando<erramientas 9ara el cálculo de las a9ro=imaciones y as; llegar a una conclusiónso*re la usa*ilidad de dic<o método+

2 INTRODUCCIÓN

2.1 ELIMINACIÓN SIN NORMALIZARPara resolver ecuaciones no lineales usando este método es necesario tener unsistema de ecuaciones, se selecciona como 9ivote a a)) y se 9rocede a <acer 8 a a),a3) y a3+ Para a32 el piv!e "er# a22.

• Para a)

b2=b

2−( b1∗a21a

11)

a23=a

23−( a13

∗a21

a11

)a22=a

22−( a12

∗a21

a11

)a

21=a

21−( a11

∗a21

a11

)=0

• Para a3)



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

3

b3=b

3−( b1

∗a31

a11

)

a33

=a33

−

(a13∗a

31

a11

)a

32=a

32−( a

12∗a

31

a11

)

a31=a

31−( a11∗a31

a11

)=0

• Para a3

b3=b

3−( b2∗a32a

22)

a33=a

33−( a

23∗a

32

a22

)

a32=a

32−( a22∗a32a

22)=0

#na vez >ue o*tuvimos los ceros se 9rocede a calcular x1

, x2

, x3 +

x3=

b3

a33

x2=

b2−(a23

∗ x3 )

a22

x1=

b1−(a13∗ x3 )−( a12∗ x 2)a

11



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

/

2.2 ELIMINACIÓN NORMALIZANDOEste método es similar al método sin normalizar a e=ce9ción de >ue en este métodose normaliza cada ?la 9ara as; a<orrar una división en cada calculo o*tener ) en ladiagonal 9rinci9al y o*tener =3 de forma directa+

Primero se normaliza la 9rimera ?la dividiendo *), a)3, a), a)) entre el 9ivote a))+

#na vez normalizando se 9rocede a <acer 8 a a ) y a3) de la misma forma >ue en elmétodo sin normalizar 9ero sin dividir entre el 9ivote+

es9ués se normaliza la segunda ?la dividiendo *, a3, y a entre a

e igual forma >ue en el método sin normalizar, 9ero sin dividir entre el 9ivote se<ace cero a a3+

1inalmente se normaliza la tercera ?la dividiendo *3 y a33 entre a33+


, x2

, x3 +

x3=b

3

x2=b

2− (a23

∗ x3 )

x1=b

1−( a

13∗ x

3 )− (a12∗ x

2 )

2.3 $AUSS%JORDANEl 9rimer 9aso 9ara tra*ajar con este método es <acer cero a a ), a3) y a3 usando el

método de eliminación sin normalizar sin calcular a x1

, x2

, x3 +

#na vez <ec<o esto se 9rocede a <acer cero a a)3, a3 y a)

• Para a)3

b1=b

1−( a13∗b3

a33

)a

13=a

13−( a

13∗a

33

a33

)=0

• Para a3



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

0

b2=b

2−( a23

∗b3

a33

)

a23

=a23

−

(a23∗a

33

a33

)=0

• Para a)

b1=b

1−( a12∗b2a

22)

a12=a

12−( a12

∗a22

a22

)=0


, x2

, x3 +

x3=

b3

a33

x2=

b2

a22

x1=

b1

a11

2.& MATRIZ INVERSAEste método es sencillo en 9rocedimiento 9ues *asta con <acer lo siguiente@

)+ 'alcular la inversa de la matriz+ Multi9licar la inversa de la matriz 9or la matriz con los resultados A*B



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

2

(l <acer ese 9rocedimiento o*tendremos la matriz C con los resultados+

2.' (ACTORIZACIÓN LUEn este método contaremos con tres matrices A%, # y *B

• %

1 0 0

a21

a11

1 0

a31

a11

a32 '

a22'

1

• #

!e o*tiene <aciendo el método de eliminación sin normalizar

• :

Matriz creada con los resultados

!e 9rocede a calcular la matriz D de la siguiente forma@

[ 1 0 0

a 21

a11

1 0

a31

a11

a32

'

a22

' 1] [

Z 1

Z 2

Z 3]=[

b1

b2

b3]

#na vez calculada la matriz D se calcula la matriz C, >ue será la matriz con losresultados, de la siguiente forma@

[ MatrizU ][ X

1

X 2

X 3]=[

Z 1

Z 2

Z 3]



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

4

2.) $AUSS%SEIDELEste método se *asa en iteraciones 9ara o*tener una a9ro=imación segn elmargen de error solicitado+

!e usan las siguientes formulas en cada iteración <asta o*tener el error solicitado

tomando en cuenta >ue 9ara la 9rimera iteración X 1 (0 )= X 2 (0 )= X 3(0)=0

X 1 (1)=

b1−(a12

∗ X 2 )− (a13

∗ x3 )

a11

X 2 (1)=

b2−(a21

∗ X 1 )−(a23

∗ x3 )

a22

X 3 (1 )=

b3−(a31

∗ X 1 )−(a32

∗ x2 )

a33



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

6

3 DESARROLLO

3.1 DIA$RAMAS DE (LUJO

3.1.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

7

3.1.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)8

3.1.3 $a0""%Jr/a+



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

))

3.1.& Ma!ri I+ver"a



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)

3.1.' (a,!ria,i-+ LU



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)3

3.1.) $a0""%Sei/el



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)/

3.2 CÓDI$O DE PRO$RAMA

3.2.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar

% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de Eliminación sin normalizar% Autor: Alejandro Rosas Prieto

clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de Eliminación sin normalizar#n#n";A& input !"Matriz A: ";'& input !"(ector de terminos independientes ': ";)n* +,&size!A;

-istema./ngresado&)A ',or i&0:n10; or 2&i30:n ; m&A!2*i4A!i*i; or j&i30:n; A!2*j& A!2*j1m5A!i*j; end A!2*i&6; '!2&'!21m5'!i; endendA&)A ',

or i&n:10:0; 7&6; or j&i30:n 7&73A!i*j58!j; end 8!i&!'!i174A!i*i;end8



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)0

3.2.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/

% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de Eliminacion normalizando% Autor: Alejandro Rosas Prieto

clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de Eliminación normalizando#n#n";A& input !"Matriz A: ";)r*c,&size!A;Matriz.A&A%Eliminación 9acia adelante

or 2&0:c or i&230:r or j&c:10:2 A!2*j&A!2*j4A!2*2; A!i*j&A!i*j1!A!i*25A!2*j; end endendcopia&A!r*r;or 2&r:0:c A!r*2&A!r*24copia;endA

%sustitución 9acia atrás8!r&A!r*c;or i&r10:10:0 7&6; or j&i30:r 7&73A!i*j58!j; end 8!i&!A!i*c174A!i*i;end8



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)2

3.2.3 $a0""%Jr/a+% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de auss ordan% Autor: Alejandro Rosas Prietoclc

clear allprint!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método deauss1ordan#n#n";A& input !"Matriz A: ";)r*c,&size!A;Matriz.A&A%pi<oteor 2&0:r%renglones or i&230:r%columnas or j&c:10:2 A!2*j&A!2*j4A!2*2; A!i*j&A!i*j1!A!i*25A!2*j; end endendor 2&c:10:rA!r*2&A!r*24A!r*r;endor 2&0:c or i&230:r or j&c:10:2 A!2*j&!A!2*j1!A!2*i5A!i*j; end endend

Aor 7&0:r =!7*0&A!7*c;end=

3.2.& Ma!ri i+ver"aclcclear allprint!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método deMatriz /n<ersa#n#n";A& input !"Matriz A: ";)r*c,&size!A;

Matriz.A&Aor 7&0:r or +&0:c10 !7*+&A!7*+; endend/n<&>10or 7&0:r =!7*0&A!7*c;end



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)4

Ans&/n<5=

3.2.' (a,!ria,i-+ LU

% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de ?actorización L@% Autor: Alejandro Rosas Prieto

clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de ?actorizacion L@#n#n";A& input !"Matriz A: ";'& input !"(ector de terminos independientes ': ";)r* c,&size!A;Matriz./ngresada&)A ',L&)0 6 6; 6 0 6; 6 6 0,;L!*0&A!*04A!0*0;L!B*0&A!B*04A!0*0;or i&0:r10; or 2&i30:r ; m&A!2*i4A!i*i; or j&i30:r; A!2*j& A!2*j1m5A!i*j; i 2&&B i j&&

L!B*&A!B*4A!*; end end end A!2*i&6; '!2&'!21m5'!i; endendC!B*0& '!B*04A!B*B;C!*0& !'!*01!A!*B5C!B*04A!*;C!0*0& !'!0*01!A!0*B5C!B*01!A!0*5C!*04A!0*0;L

@&AAns&C



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)6

3.2.) $a0""%Sei/el

% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de auss1-eidel% Autor: Alejandro Rosas Prieto

clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de auss1-eidel#n#n";A& input !"Matriz A: ";E& input !"Error: ";)r* c,&size!A;or 7&0:r

D!7*0&A!7*c;endC0&6;C&6;CB&6;Ea0&6;Ea&6;EaB&6;c&6;+9ile Ea0&EFFEa&EFFEaB&E C0ant&C0; C0&!D!0*01!A!0*5C1!A!0*B5CB4A!0*0; Cant&C;

C&!D!*01!A!*05C01!A!*B5CB4A!*; CBant&CB; CB&!D!B*01!A!B*05C01!A!B*5C4A!B*B; Ea0&!!C01C0ant4C05066; Ea&!!C1Cant4C5066; EaB&!!CB1CBant4CB5066; c&c30;end/teraciones&cC0CCB



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)7

3.3 E JEMPLOS DE APLICACIÓN



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

8

3.& E JECUTAR LOS PRO$RAMAS

3.&.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

)

3.&.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

3.&.3 $a0""%Jr/a+

3.&.& Ma!ri i+ver"a



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

3



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

/

3.&.' (a,!ria,i-+ LU



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

0

3.&.) $a0""%Sei/el



I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz

& CONCLUSIÓN

En conclusión, cada uno de los métodos tiene su lado 9ositivo y negativo 9orejem9lo el método de auss-!eidel el cual 9odemos tra*ajar con valores iniciales9ero el tra*ajo es más 9ues las iteraciones suelen ser muc<as y el resultado no es

e=acto+

En el caso de los métodos de eliminación sin normalizar y normalizando lasdiferencias son m;nimas, 9ero en este caso el método normalizando nos a<orra unadivisión a la <ora de estar calculando las a9ro=imaciones y 9or esto convendr;adic<o método+

En lo >ue res9ecta a auss-.ordan, el método 9uede 9arecer uno de los másfáciles, 9ero no es as;, 9ues en este método se llega al resultado de la eliminacióngaussiana 9ero, a 9esar de >ue se 9uede o*tener el resultado con eso, tam*ién sede*e de a9licar el método de .ordan lo >ue <ace a este método de com9lejidadinnecesaria+

El método de la matriz inversa es muy sencillo si se 9uede calcular la inversa de lamatriz con algn 9rograma o calculadora de otro modo es muy com9leja 9ara lo>ue >ueremos o*tener+

%a 1actorización %# no es de gran com9lejidad, 9ero si te e>uivocas en algn calculoal 9rinci9io del método 9erderás tiem9o calculando una a9ro=imación >ue no serácorrecta+

En mi o9inión, el método de eliminación normalizando es el más rá9ido, con?a*le ymenos com9licado de a9licar a la <ora de *uscar ra;ces de ecuaciones no linealessimultaneas+

' BIBLIO$RA(A

Steaven C, Chapra. Métodos numéricos para ingenieros. Quinta edición. Lugar: McGraw Hill, 2007.

anÁlisis numÉrico – métodos eliminación sin normalizar, normalizando, gauss-jordan, matriz...

Documents