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Análisis Numérico para Ingeniería

Clase Nro. 8

Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 2

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Temas a tratar:

Cálculo de Raíces de Polinomios.

Análisis de Sensibilidad.

Generalización para Sistemas de Ecuaciones.

Método de Punto Fijo Sistemático

Método de Newton

Método de Newton Modificado (Quasi-Newton)


Cálculo de Ráices de Polinomios

Existen métodos especialmente diseñados para hallar raices de polinomios.

Uno de ellos es el método de QD (Quotient Difference) (No lo veremos en este curso, pero si alguien está interesado, puede verlo en http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/temas/polinomios/qd.htm)

Este método calcula las raíces reales y los factores cuadráticos. Combinado con el método de Bairstow permite calcular también las raíces complejas.

Deflación

Otra forma consiste en calcular alguna raíz por cualquiera de los métodos vistos y dividir el polinomio con el método de Ruffini, para calcular las raíces restantes.

http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/temas/polinomios/qd.htm

http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/temas/polinomios/bairstow.htm


En general, los problemas de Ingeniería se suelen expresar explícita o implícitamente, en forma parámetrica, de forma tal que la solución propuesta mantenga su validez, aún ante una variación de dichos parámetros.

Es decir, no se expresa la solución para un ”único valor” sino para un rango de valores.

Aplicaciones en Ingeniería


Sensibilidad de Polinomios

Los coeficientes que conforman los polinomios son en general valores inexactos, debido a que:

Provienen de datos empíricos.

Son el resultado de extensos y complicados cálculos que pueden haber introducido errores, ya sean de representación, de redondeo ó propios del algoritmo utilizado.

Por lo tanto, nos interesa saber:

Cómo se ven afectados los valores de las raíces debido a la imprecisión de los coeficientes.


Análisis de Sensibilidad

pnx =an xnan−1 xn−1⋯a1 xa0

Supongamos que tenemos un polinomio cuyos coeficientes son ”exactos”

Al cuál dividimos por an, es decir, lo hacemos mónico.

Ahora consideremos un polinomio perturbado

Al cuál dividimos por a*

n,

pnx =xnn−1 xn−1

⋯1 x0

pn*x =an

* xnan−1

* xn−1⋯a1

* xa0*

pn*x =xn

n−1* xn−1

⋯1* x0

*



Δ ai=ai−ai*⇒ai=ai

*+ Δ ai

Sea

Por lo tanto:

Y sea Z el cero verdadero y Z* el cero del polinomio perturbado, entonces el error en Z será:

Δ αi=αi−αi*

⇒ αi=αi*+ Δ αi para i=0, 1, 2,..., n-1

Δ Z=Z−Z*=ε ⇒ Z=Z*

+ ε


pn*(z*

)=z* n+αn−1

* z* n-1+⋯+α1

* z*+α0

*=0

p(z)=(z*+ ε)

n+ [(αn−1

*+ Δ αn−1)(z*

+ ε)n−1

]+

+[(αn−2*

+ Δ αn−2)(z*+ ε)

n−1]+⋯+

+[(α1*+ Δ α1)(z*

+ ε)]+

+(α0*+ Δ α0)=0

De esta forma, podemos expresar el polinomio perturbado evaluado en una de sus raíces como:

Por lo tanto, podemos expresar el polinomio exacto como:



(a+b)n=an

+(n1)an−1 b+(n2)an−2 b2

+(n3)an−3 b3

+⋯+( nn−1)abn−1

+bn

Binomio de Newton

Donde cada coeficiente binomial se calcula de la forma:

(nk )=n!

k !⋅(n−k )!

Ahora bien, el Binomio de Newton responde a la siguiente expresión:



p(z)=(z*+ ε)

n+ [(αn−1

*+ Δ αn−1)(z*

+ ε)n−1

]+

+[(αn−2*

+ Δ αn−2)(z*+ ε)

n−1]+⋯+

+[(α1*+ Δ α1)(z*

+ ε)]+

+(α0*+ Δ α0)=0

Por lo tanto, podemos expandir la expresión anterior, por medio del binomio de Newton.


(a+b)n=an+(n1)an−1 b+(n2)an−2 b2+(n

3)an−3 b3+⋯+( nn−1)a bn−1+bn

Binomio de Newton


p(z)−p*( z*

)=[ z* n+n z* n-1

ε+(n2) z* n-2

ε2+⋯+ε

n]+

+[ z* n-1αn−1

*+(n−1) z* n-2

εαn−1*

+⋯+εn−1

αn−1*

]+

+[ z* n-1Δαn−1+(n−1) z* n-2

εΔαn−1+⋯+εn−1

Δαn−1]+

+[ z* n-2αn−2

*+(n−2) z* n-3

εαn−2*

+⋯+εn−2

αn−2*

]+

+[ z* n-2Δαn−2+(n−2) z* n-3

εΔαn−2*

+⋯+εn−2

Δαn−2]++ ⋯⋯⋯⋯⋯ ++[ z*

α1*+εα1

*+ z*

Δα1+εΔα1]+

+[α0*+Δα0]-

−[ z* n+αn−1* z* n-1+⋯+α1

* z*+α0*]≈

≈[n⋅z* n-1+(n−1)⋅z* n-2

αn−1*

+⋯+α1*]⋅ε+

+Δαn−1 z* n-1+Δαn−2 z* n-2+⋯+Δα1 z*+Δα0≈0


Y despreciandolos términos de Ɛ2 y superiores


p '*(z*

)⋅ε ≈ −∑k=0

n−1

Δαk z* k

p( z)−p*(z*

) ≈ p '*(z*

)⋅ε + ∑k=0

n−1

Δαk z* k≈0

Por lo tanto podemos escribir que:

Y reordenando, obtenemos:



∣Δ z∣ = ∣ε∣ ≈∣∑k=0

n−1

Δαk z* k∣∣p '*

(z*)∣

Δ z = ε ≈

−∑k=0

n−1

Δαk z* k

p '*(z*)

Por lo que tomando valor absoluto, obtenemos:



∣Δαk∣≤Δ

∣Δ z∣máx=∣ε∣≈1+∣z*∣+∣z*∣

2+⋯+∣z*∣

n−1

∣p '*(z*

)∣⋅Δ

Y si resulta válida la aproximación lineal, tenemos:

Si acotamos a cada coeficiente, como:



∣Δ z∣máx=∣ε∣≈1+∣z*∣+∣z*∣

2+⋯+∣z*∣

n−1

∣p '*(z*

)∣⋅Δ≈

∣z*∣n−1

(∣z*∣−1)⋅∣p '*(z*)∣⋅Δ

Y si resulta válida la aproximación lineal, tenemos:

La sumatoria de la serie de potencias es :


1+∣z*∣+∣z*∣2+⋯+∣z*∣

n−1= ∑

k=0

n−1

∣z* k∣ =∣z*∣

n−1

∣z*∣−1


Ejemplo de raíces de polinomios

s6−7.121 s5

+20.360142 s4−29.66350899 s3

+22.9241445 s2−8.720335761 s+1.227726208

Se desea calcular las raíces del siguiente polinomio exacto.

Graficando el intervalo de interés


Valores de las Raíces

Raíz

1 1.84300015693992 2.45220369184118x10-10

2 1.58299919931362 5.49853478720719x10-12

3 1.30346879703518 4.14609359409950x10-9

4 1.30251184663557 5.67852189857672x10-9

5 7.65000053167659x10-1 2.16840434497101x10-19

6 3.23999998139993x10-1 0

x abs(f(x)

Vemos que todas las raíces obtenidas son reales


Ejemplo de Raíces de Polinomios

1.001s6−7.121 s5+20.360142 s4−29.66350899 s3+22.9241445 s2−8.720335761 s+1.227726208

Perturbación

Repetimos el procedimiento, pero perturbando uno de sus coeficientes.


Raíces Complejas


0.999s6−7.121 s5+20.360142 s4−29.66350899 s3+22.9241445 s2−8.720335761 s+1.227726208

Perturbación

Repetimos el procedimiento, pero perturbando uno de sus coeficientes.

Perturbación

Raíces Complejas


Ejemplo de Raíces de Polinomios


Encontrar la solución de un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas.

f 1 x1, x2, x3,, xn−1 , xn=0f 2x1, x2, x3,, xn−1 , xn=0f 3x1, x2, x3,, xn−1 , xn=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f nx1, x2, x3,, xn−1 , xn=0

Esto significa hallar el vector:

X=x1, x2, x3,, xn−1 , xn tal que F X =0

Sistema de Ecuaciones No Lineales


Ejemplo de un Sistema de 2 ecuaciones

Raíz

Raíz


Método de Punto Fijo

En el caso multidimensional, utilizaremos la versión sistemática del método de Punto Fijo, por lo tanto construiremos un esquema iterativo similar al visto en el caso de una sola variable.

F X =0

Partimos del sistema:

X=X−⋅F X =0

Y lo reescribimos como:

Siendo Λ una matriz no singular.



De esta forma, podemos denominar:

Φ ' (X )=I−Λ⋅F ' (X )

Si la función vectorial F(X) tiene derivada contínua en todo el dominio Ω:

Es posible definir el siguiente proceso iterativo:

Φ(X )=X−Λ⋅F (X )

X k+1=Φ(X k) para (k=1, 2, 3, ... )



Este esquema iterativo converge rápidamente si Φ'(X) resulta pequeña en norma, para todo punto del dominio, por lo tanto, elegiremos la matriz Ʌ de forma tal que, dado un conjunto de valores iniciales X

0:

X k+1=Φ(X k) para (k=1, 2, 3, ... )

Φ ' (X0)=I−Λ⋅F ' (X0)=0

De esta forma, si la matriz Jacobiana F '(X) es no singular, tenemos:

=[F ' X 0]−1



Si en el proceso de cálculo de Ʌ resultara que F'(X0) es singular, deberá

elegirse un nuevo valor para X0, de forma tal que se verifique que el

determinante de Ʌ es distinto de cero.

=[F ' X 0]−1

X k1=X k−⋅F X k=X k−[F ' X0]−1⋅F X k para (k=1, 2, 3, ... )


Teorema de Punto Fijo

F está definida y es contínua en todo Ω.

Para cada punto X que pertenece a Ω, el punto F(X) también cae dentro de Ω.

Existe una constante L<1 tal que dados dos puntos X, Y que pertenezcan a Ω, se verifica la siguiente desigualdad.

∥F X −F Y ∥ ≤ L⋅∥X−Y∥

Sea Ω un dominio cerrado en Rn y dada una función F que satisfaga las siguientes condiciones.



La ecuación vectorial X = Φ(X) posee exactamente una solución S en Ω.

Para cualquier elección del punto inicial X0

que

pertenece a Ω, la sucesión definida por el algoritmo de aproximaciones sucesivas converge hacia la solución S.

Para k=1,2,... se cumple la siguiente desigualdad.

∥X k−S∥ ≤L

1−L⋅∥X k−X k−1∥

Entonces se verifican las siguientes proposiciones:



∥X k−S∥ ≤Lk

1−L⋅∥X1−X0∥

En consecuencia, tenemos que:

L ≈∥X k1

−X k ∥

∥X k −X k−1∥

Donde L puede ser aproximada por:


Sistema deEcuaciones

{f 1 x , y =x2 y2

−4

f 2x , y =ex y−1

Ejemplo de un Sistema de 2 ecuaciones


Función con n variables

FUNCTION v_func(v, cant_ec )! Calcula el vector de funciones evaluado en V! V es un vector de cant_ec variablesINTEGER cant_ecREAL(8) v(cant_ec), v_func(cant_ec)

v_func(1) = 4 - v(1)*v(1) - v(2)*v(2) v_func(2) = 1 - exp(v(1)) - v(2)

END FUNCTION


Matriz JacobianaLa matriz jacobiana F'(X), ó J(X), es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función F.

F X =[f 1x1, x2, x3,, xn−1 , xn

f 2 x1, x2, x3,, xn−1 , xn

f 3 x1, x2, x3,, xn−1 , xn

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f n x1, x2, x3, , xn−1 , xn

]

J x1, x2, , xn=[∂ f 1

∂ x1

∂ f 1

∂ x2

⋯∂ f 1

∂ xn

∂ f 2

∂ x1

∂ f 2

∂ x2

⋯∂ f 2

∂ xn

⋯ ⋯ ⋱ ⋮∂ f n

∂ x1

∂ f n

∂ x2

⋯∂ f n

∂ xn

]MatrizJacobiana


Matriz Jacobiana

FUNCTION m_jacob(V, cant_ec )! Calcula la matriz jacobiana evaluada en V! V es un vector de n variablesINTEGER cant_ec,i,jREAL(8) V(cant_ec), m_jacob(cant_ec, cant_ec)

m_jacob(1,1) = -2*V(1) m_jacob(1,2) = -2*V(2) m_jacob(2,1) = -exp(V(1)) m_jacob(2,2) = -1

END FUNCTION


Método de Punto Fijo (Sistemas)

SUBROUTINE p_fijo_sist(V_inic, cant_ec, tol, max_iter, formato)INTEGER iter, max_iter, pivote(cant_ec), info, cant_ec,i,kREAL(8) V_inic(cant_ec), V(cant_ec), DV(cant_ec), J(cant_ec, cant_ec), tol, errorCHARACTER*15 formato

iter=0error=2*tolV=V_inic

WRITE (*, formato) iter, V

! Calcula la matriz Jacobiana J = m_jacob(V, cant_ec)

! Transforma la matriz Jacobiana en una matriz LU CALL DGETRF( cant_ec, cant_ec, J, cant_ec, pivote, info )

! Calcula la inversa de la matriz Jacobiana CALL DGETRI( cant_ec, J, cant_ec, pivote, DV, cant_ec, info )

Sique en la próxima página


Método de Punto Fijo (Sistemas)

DO WHILE ((error > tol) .AND. (iter < max_iter))

! Evalúa las funciones en el punto actual DV = v_func(V, cant_ec)

! Calcula los nuevos valores V = V - MATMUL(J, DV) ! Calcula el error error = normaM_v(DV)

iter = iter + 1

! Imprime los valores calculados WRITE (*, formato) iter, V ENDDO END SUBROUTINE


Utilización de Librerías


Librería LAPACK ( DGETRF )

file dgetrf.f dgetrf.f plus dependenciesprec doublefor Computes an LU factorization of a general matrix, using partial,pivoting with row interchanges.gams (General Algebraic Modeling System)

file dgetri.f dgetri.f plus dependenciesprec doublefor Computes the inverse of a general matrix, using the LU factorization, computed by DGETRF.gams (General Algebraic Modeling System)

file dgetrs.f dgetrs.f plus dependenciesprec doublefor Solves a general system of linear equations AX=B, A**T X=B,or A**H X=B, using the LU factorization computed by DGETRF.gams (General Algebraic Modeling System)


Librería LAPACK ( DGETRF )


Librería LAPACK ( DGESV )

SUBROUTINE DGESV( N, NRHS, A, LDA, IPIV, B, LDB, INFO )** -- LAPACK driver routine (version 3.2) --* -- LAPACK is a software package provided by Univ. Of * Tennessee, --* -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado * Denver and NAG Ltd..--* November 2006** .. Scalar Arguments .. INTEGER INFO, LDA, LDB, N, NRHS* ..* .. Array Arguments .. INTEGER IPIV( * ) DOUBLE PRECISION A( LDA, * ), B( LDB, * )* ..


Librería LAPACK ( DGESV )

* =======* Purpose* =======** DGESV computes the solution to a real system of linear equations* A * X = B,* where A is an N-by-N matrix and X and B are N-by-NRHS matrices.** The LU decomposition with partial pivoting and row interchanges* is used to factor A as * A = P * L * U,* where P is a permutation matrix, L is unit lower triangular, and* U is upper triangular. The factored form of A is then used to* solve the system of equations A * X = B.


Librería LAPACK ( DGESV )* =========* Arguments* =========** N (input) INTEGER* The number of linear equations, i.e., the order of the matrix A. N >= 0.** NRHS (input) INTEGER* The number of right hand sides, i.e., the number of columns of the matrix B. NRHS >= 0.** A (input/output) DOUBLE PRECISION array, dimension (LDA,N)* On entry, the N-by-N coefficient matrix A.* On exit, the factors L and U from the factorization* A = P*L*U; the unit diagonal elements of L are not stored.** LDA (input) INTEGER* The leading dimension of the array A. LDA >= max(1,N).** IPIV (output) INTEGER array, dimension (N)* The pivot indices that define the permutation matrix P;* row i of the matrix was interchanged with row IPIV(i).** B (input/output) DOUBLE PRECISION array, dimension (LDB,NRHS)* On entry, the N-by-NRHS matrix of right hand side matrix B.* On exit, if INFO = 0, the N-by-NRHS solution matrix X.** LDB (input) INTEGER* The leading dimension of the array B. LDB >= max(1,N).** INFO (output) INTEGER* = 0: successful exit* < 0: if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value* > 0: if INFO = i, U(i,i) is exactly zero. The factorization has been* completed, but the factor U is exactly singular, so the solution could not be computed.


Método de Newton

Si tomamos un sistema de ecuaciones no lineales y desarrollamos las funciones en Serie de Taylor, y nos quedamos con el primer término, obtenemos:

0=f 1+∂ f 1

∂ x(s−x0)+

∂ f 1

∂ y(t− y0)+

∂ f 1

∂ z(r−z0)+⋯

0=f 2+∂ f 2

∂ x(s−x0)+

∂ f 2

∂ y(t− y0)+

∂ f 2

∂ z(r−z0)+⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

0=f n+∂ f n

∂ x(s−x0)+

∂ f n

∂ y(t− y0)+

∂ f n

∂ z(r−z0)+⋯


Método de Newton

Como se puede apreciar, cada función es evaluada en la raíz aproximada (x

0, y

0, z

0, …), por lo tanto, hemos transformado un

sistema de n ecuaciones no lineales, en un sistema de ecuaciones lineales.

Xk1=X k

−[J X k ]

−1⋅F Xk

[J X ]⋅X 0−S≈F X

Lo cual nos conduce al siguiente esquema iterativo:


Ventajas del Método de Newton

Se trata de un método robusto.

Posee convergencia cuadrática.

Necesita de un valor inicial cercano a la solución.

Realiza una elevada cantidad de evaluaciones de funciones.

Si la cantidad de variables es elevada, se dificulta la obtención de un valor inicial.


Método de Newton (Sistemas)

SUBROUTINE newton_sist(V_inic, cant_ec, tol, max_iter, formato)INTEGER iter, max_iter, pivote(cant_ec), info, cant_ecREAL(8) V_inic(cant_ec), V(cant_ec), DV(cant_ec), J(cant_ec, cant_ec)REAL(8) tol, errorCHARACTER*15 formato

iter=0

error=2*tol

V=V_inic




Método de Newton (Sistemas)


J = m_jacob(V, cant_ec) ! Calcula la matriz Jacobiana

DV = v_func(V, cant_ec) ! Evalúa las funciones en el punto actual

! Calcula el nuevo incremento DV CALL DGESV(cant_ec, 1, J, cant_ec, pivote, DV, cant_ec, info)

V = V - DV ! Calcula los nuevos valores error = normaM_v(DV) ! Calcula el error iter = iter+1 WRITE (*, formato) iter, VENDDO END SUBROUTINE


Método de Newton Modificado

Si el sistema a resolver es muy grande, se suelen hacer ciertas aproximaciones. Así surgen variantes conocidas como métodos de Newton Modificado ó Cuasi-Newton.

(s−x0)=f 1(X0)

∂ f 1(X 0)

∂ x

(t− y0)=f 2(X0)

∂ f 2(X 0)

∂ y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

(r−z0)=f n(X0)

∂ f n(X 0)

∂ z



SUBROUTINE newton_mod_sist(V_inic, cant_ec, tol, max_iter, formato)INTEGER iter, max_iter, cant_ecREAL(8) V_inic(cant_ec), V(cant_ec), DV(cant_ec), tol, errorCHARACTER*15 formato

iter=0

error=2*tol

V=V_inic






! Calcula los incrementos DV = v_func(V, cant_ec)/v_deriv(V, cant_ec) ! Calcula los nuevos valores V = V - DV

! Calcula el error error = normaM_v(DV)

iter = iter+1 WRITE (*, formato) iter, V ENDDO

END SUBROUTINE



Realiza menor cantidad de operaciones.

No necesita resolver un sistema de ecuaciones lineales en cada iteración.

Obtiene los incrementos de las variables por medio de simples cocientes.

Converge más lentamente que Newton.

Necesita de un punto de partida muy cercano a la solución.


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