analisis pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah aljabar...
TRANSCRIPT
Analisis Pemahaman Konsep Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar Linear
Elementer Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin
Makassar Angkatan 2016
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Meraih Gelar Sarjana
Pendidikan (S.Pd) Jurusan/Prodi Pendidikan Matematika Pada Fakultas Tarbiyah dan Keguruan
UIN Alauddin Makassar
OLEH:
ADILA MUFIDAH B
20700113114
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR
2017
v
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirabbil’aalamiin, segala puji hanya milik Allah swt atas
limpahan rahmat dan hidayah-Nya yang senantiasa dicurahkan kepada penulis dalam
menyusun skripsi ini hingga selesai. Salam dan shalawat senantiasa penulis haturkan
kepada Baginda Rasulullah Muhammad saw sebagai satu-satunya uswatun hasanah
dalam menjalankan aktivitas keseharian kita.
Melalui tulisan ini pula, penulis menyampaikan ucapan terima kasih
teristimewa kepada kedua orang tua tercinta, ayahanda Bachtiar Wangsa dan ibunda
St. Ni’mat serta saudara-saudaraku tersayang atas segala pengorbanan, pengertian,
kepercayaan, do’a dan dukungannya selalu menyertai sehingga penulis dapat
menyelesaikan studi dengan baik.
Penulis menyadari tanpa adanya bantuan dan partisipasi dari berbagai pihak
skripsi ini tidak mungkin dapat terselesaikan seperti yang diharapkan. Oleh karena itu
penulis patut menyampaikan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. Musafir Pababbari, M.Si. selaku Rektor UIN Alauddin Makassar beserta
wakil rektor I, II, III, dan IV.
2. Dr. H. Muhammad Amri, Lc.,M.Ag. selaku Dekan Fakultas Tarbiyah dan
Keguruan UIN Alauddin Makassar beserta seluruh stafnya atas segala pelayanan
yang diberikan kepada penulis.
3. Dr. Andi Halimah, M.Pd. dan Sri Sulasteri, S.Si., M.Si. selaku Ketua dan
Sekretaris Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar beserta
stafnya atas izin, pelayanan, kesempatan dan fasilitas yang diberikan sehingga
skripsi ini dapat terselesaikan.
vi
4. Sri Sulasteri, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I dan Fitriani Nur, S.Pd.I., M.Pd.
selaku pembimbing II yang telah memberi motivasi, arahan, pengetahuan baru
dalam penyusunan skripsi ini, serta membimbing penulis sampai taraf
penyelesaian.
5. Para dosen, karyawan dan karyawati Fakultas Tarbiyah dan Keguruan yang secara
kongkrit memberikan bantuannya baik langsung maupun tak langsung.
6. Terkhusus kepada Dr. Andi Halimah, M.Pd. terima kasih atas bantuan dan
bimbingannya.
7. Saudara-saudara saya Elyda Munifah, Fadel Muhammad, dan Aulia Mufliha.
Terima kasih atas dukungan dan motivasinya.
8. Andi Nur Sulfayani, Devinovita Sari, Devy Purnama, Fitria, Habiba Ulfahyana,
Multazam Arif, Muh. Hidayatullah, Muh. Ridwan Adnan, Zainal Basri, Ismail.
Sahabat-sahabat saya tercinta terima kasih untuk semuanya.
9. Rekan-rekan Jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2013.
10. Adik-adik jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2016 yang telah bersedia
menjadi subyek penelitian.
Akhirnya hanya kepada Allah jualah penulis serahkan segalanya, semoga
semua pihak yang membantu penyusun mendapat pahala di sisi Allah swt, serta
semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua orang khususnya bagi penyusun sendiri.
Samata-Gowa, November 2017
Penulis,
Adila Mufidah B
NIM. 20700113114
vii
DAFTAR ISI
JUDUL ............................................................................................................. i
PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI .......................................................... ii
PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................................... iii
PENGESAHAN SKRIPSI ............................................................................... iv
KATA PENGANTAR ..................................................................................... v
DAFTAR ISI .................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix
DAFTAR TABEL ............................................................................................ x
ABSTRAK ....................................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1
A. Latar Belakang ................................................................................ 1 B. Fokus Penelitian dan Deskripsi Fokus ............................................ 8 C. Pertanyaan Penelitian ...................................................................... 9 D. Tujuan Penelitian............................................................................. 10 E. Manfaat Penelitian ........................................................................... 10
BAB II TINJAUAN TEORETIK.................................................................. 12
A.Kajian Teori ...................................................................................... 12 B. Kajian Penelitian yang Relevan ....................................................... 28 C. Kerangka Konseptual ...................................................................... 33
BAB III METODE PENELITIAN................................................................. 35
A.Pendekatan dan Jenis Penelitian ....................................................... 35 B. Lokasi Penelitian ............................................................................. 36 C. Subjek Penelitian ............................................................................. 36 D.Teknik Pengumpulan Data ............................................................... 36 E. Instrumen Penelitian ........................................................................ 37 F. Keabsahan Data ................................................................................ 39 G.Teknik Analisis Data ........................................................................ 39
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................................. 42
A. Deskripsi Hasil Penelitian ............................................................... 42 B. Analisis dan Validasi Data .............................................................. 52 C. Pembahasan ..................................................................................... 66
BAB V PENUTUP ........................................................................................... 70
A. Kesimpulan ...................................................................................... 70 B. Implikasi Penelitian ......................................................................... 71 C. Saran ................................................................................................ 73
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 75
viii
LAMPIRAN ..................................................................................................... 77
ix
DAFTAR GAMBAR
No. Gambar Judul Hal.
Gambar 4.1 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 1)
52
Gambar 4.2 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 2)
53
Gambar 4.3 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 4)
53
Gambar 4.4 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 5)
53
Gambar 4.5 Hasil Kerja Mahasiswa S12 (soal nomor 1, 3, dan 5)
57
Gambar 4.6 Hasil Kerja Mahasiswa S12 (soal nomor 2)
57
Gambar 4.7 Hasil Kerja Mahasiswa S20 (soal nomor 1)
60
Gambar 4.8 Hasil Kerja Mahasiswa S20 (soal nomor 3)
61
x
DAFTAR TABEL
No Tabel Judul Hal.
Tabel 4.1 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada
Soal Nomor 1
42
Tabel 4.2 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada
Soal Nomor 2
45
Tabel 4.3 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada
Soal Nomor 3 46
Tabel 4.4 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada
Soal Nomor 4
49
Tabel 4.5 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada
Soal Nomor 5
51
Tabel 4.6 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Keseluruhan
65
xi
ABSTRAK
Nama : Adila Mufidah B
Nim : 20700113114
Fakultas : Tarbiyah Dan Keguruan
Jurusan : Pendidikan Matematika
Judul : Analisis Pemahaman Konsep Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar
Linear Elementer Mahasiswa Pendidikan Matematika UIN
Alauddin Makassar angkatan 2016
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan pemahaman konsep
mahasiswa berdasarkan indikator pemahaman matematis pada mata kuliah aljabar
linear elementer materi ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor EuclideanPenelitian
ini menggunakan pendekatan deskriptif kualitatif. Subjek penelitian meliputi
mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan
Angkatan 2016 UIN Alauddin Makassar yang diduga mengalami kesulitan dalam
memahami konsep pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Instrumen penelitian
yang digunakan adalah tes diagnostik dan wawancara. Teknik analisis data yaitu
reduksi data, penyajian data dan penarikan kesimpulan.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa kemampuan pemahaman mahasiswa
Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 dalam
menyelesaikan soal aljabar linear elementer ditinjau dari indikator kemampuan
pemahaman matematis, mahasiswa tergolong cukup mampu pada indikator: (1)
pemahaman mampu menyatakan ulang sebuah konsep, (2) menyajikan konsep dalam
berbagai bentuk representasi matematika, (3) menggunakan, memanfaatkan dan
memilih prosedur tertentu, dan (4) mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan
masalah. Namun, mahasiswa tergolong tidak mampu pada indikator kemampuan
memberi contoh dan bukan contoh. Hal tersebut berdasarkan hasil analisis data yang
dilakukan secara keseluruhan, sehingga persentase ketercapaian mahasiswa berada
pada kategori cukup mampu.
Faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa Pendidikan
Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 pada mata kuliah Aljabar Linear
Elementer dalam konsep ruang vektor, sub ruang vektor, dan ruang vektor Euclidean,
yaitu: (a) Faktor internal: (1) kurangnya minat belajar, (2) sikap belajar yaitu kurang
fokus dalam belajar, (3) motivasi belajar rendah, (4) konsentrasi belajar yang rendah,
(5) kemampuan mengingat yang rendah, dan (6) kurangnya rasa percaya diri
mahasiswa. (b) Faktor eksternal: (1) kurang memahami maksud soal, (2) lupa konsep
aksioma, (3) mahasiswa tidak tahu konsep aksioma, (4) penggunaan gadget selama
proses pembelajaran, (5) dosen yang kurang memperhatikan mahasiswa selama proses
pembelajaran, (6) tidak adanya buku pegangan mahasiswa.
1
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pendidikan adalah segala pengalaman belajar yang berlangsung dalam segala
lingkungan baik yang khusus diciptakan untuk kepentingan pendidikan maupun yang
ada dengan sendirinya dan berlangsung seumur hidup selama ada pengaruh
lingkungan.Pendidikan berlangsung dalam berbagai bentuk, pola, dan lembaga yang
dapat terjadi kapan dan di mana pun dalam hidup dan lebih berorientasi pada peserta
didik.Pendidikan adalah segala situasi hidup yang memengaruhi pertumbuhan dan
perkembangan hidup.1 Berdasarkan pengertian tersebut dapat disimpulkan bahwa
pendidikan akan terus berlangsung dalam hidup seseorang selama masih ada
pengaruh dari lingkungan untuk membantu dalam pertumbuhan dan perkembangan
hidup.
Menurut Al-Tabany pendidikan merupakan salah satu bentuk perwujudan
kebudayaan manusia yang dinamis dan sarat perkembangan.Oleh karena itu,
perubahan atau perkembangan pendidikan adalah hal yang memang seharusnya
terjadi sejalan dengan perubahan budaya kehidupan.2 Berdasarkan pengertian
tersebut, dapat disimpulkan bahwa pendidikan merupakan suatu proses yang terjadi
secara terus-menerus bagi seseorang untuk mengembangkan potensi diri untuk
menjadi lebih baik.
Undang-undang RI Nomor 12 Tahun 2012 pasal 1 ayat 1 juga menerangkan
bahwa pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk menujudkan suasana
1Abdul Kadir, dkk, Dasar-dasar Pendidikan (Jakarta: Kencana Prenada Media Group,
2012), h. 59. 2 Trianto Ibnu Badar al-Tabany, Mendesain Model Pembelajaran Inovatif, Progresif, dan
Kontekstual (Cet I; Jakarta: PT Kharisma Putra Utama, 2014), h. 1.
2
belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan
potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri,
kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia, serta keterampilan yang diperlukan dirinya,
masyarakat, bangsa dan negara.3Berdasarkan pengertian tersebut dapat diketahui
bahwa pendidikan bertujuan untuk mengembangkan potensi peserta didik agar
menjadi manusia yang beriman dan menjadi warga Negara yang demokratis serta
bertanggung jawab.Selain itu, pendi dikan juga merupakan salah satu gerbang utama
untuk mendapat ilmu pengetahuan. Hal ini pun telah dijelaskan dalam firman Allah
SWT dalam Al-Qur’an surah Al-‘Alaq/96:1-5.
ي خلق } ا سا رب اك الذ ن علق }١اقرأ با نسان ماك األكرم }٢{ خلق اإل ٣{ اقرأ ورب ي علذ ا { الذ
لقلا } نسان مالم يعل }٤ابا اإل {٥{ علذ
Terjemahnya:
“Bacalah dengan (menyebut) nama Tuhanmu yang menciptakan. Dia
telahmenciptakan manusia dari segumpal darah.Bacalah, dan Tuhanmulah
yangMaha Pemurah.Yang mengajar (manusia) dengan perantara kalam. Dia
mengajarkan kepada manusia apa yang tidak diketahuinya”4
Ada dua pesan penting dari ayat tersebut; yakni perintah untuk berikhtiar
untuk memperoleh ilmu dari Allah SWT dan adanya jalur perolehan ilmu yang
disiapkan guna pencapaiannya yakni melalui proses pembelajaran dan melalui proses
belajar sendiri.
Pendidikan merupakan salah satu usaha yang ditempuh dalam rangka
mencerdaskan kehidupan bangsa. Dalam pelaksanaan pendidikan terdapat proses
3 Departemen Agama RI Direktorat Jenderal Pendidikan Islam, Undang-undang RI Nomor
12 Tahun 2012 tentang Pendidikan Tinggi (Jakarta: Departemen Agama, 2015)
4Kementerian Agama RI, Al-Qur’an dan Terjemahnya (Jakarta: Wali, 2012), h. 597.
3
pembelajaran yang setiap jenjangnya, peserta didik dituntut untuk mengikuti mata
pelajaran tertentu, termasuk mata pelajaran matematika.5Matematika timbul karena
pikiran-pikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran.
Matematika pada hakekatnya merupakan aktivitas mental yang tinggi untuk
memahami arti struktur-struktur, hubungan-hubungan, simbol-simbol, keabstrakan,
yang kemudian menerapkannya dalam situasi nyata. Jadi belajar matematika
merupakan suatu proses aktif yang sengaja dilakukan untuk memperoleh
pengetahuan yang dapat mengakibatkan terjadinya perubahan tingkah laku.6Dengan
demikian, untuk mencapai pemahaman tentang suatu materi matematika
membutuhkan fondasi yang kuat, yaitu dengan memahami konsep yang merupakan
prasyarat yang utama.Hal ini melingkupi penalaran, konsep pemahaman simbol, dan
penguasaan konsep keabstrakan dan generalisasi.Walaupun pada kenyataannya,
adanya perbedaan kemampuan dalam memahami materi matematika ini.
Pembelajaran matematika khususnya di dunia pendidikan sering ditemukan
kendala dalam proses belajar mengajar. Fakta telah menunjukkan bahwa matematika
adalah pelajaran yang menakutkan dan menegangkan sehingga sebagian besar siswa
menganggapnya sebagai momok di sekolah. Prestasi belajar matematika cenderung
lebih rendah bila dibandingkan dengan materi pembelajaran yang lain. Hal ini
disebabkan karena sebagian siswa memiliki persepsi bahwa pelajaran matematika itu
sulit dipelajari, kurang menyenangkan, dan sulit untuk menghafal rumus-rumus
matematika.Hal ini dimungkinkan karena kurangnya pemahaman siswa tentang
5Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam
Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun
Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon)” journal. 6Sanuartini, Pengaruh Kreativitas Belajar Matematika Terhadap Prestasi Belajar
Matematika. (Skripsi.FMIPA UNM Makassar, 2000), h. 7.
4
konsep matematika.7Berdasarkan pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa
terdapat beberapa kendala dalam proses pembelajaran matematika sehingga prestasi
belajar matematika cenderung lebih rendah jika dibandingkan dengan materi
pembelajaran yang lain, salah satu kendalanya yaitu kurangnya pemahaman peserta
didik mengenai konsep matematika.
Matematika merupakan pelajaran yang dipelajari mulai dari bangku sekolah
dasar hingga bangku perguruan tinggi.Matematika di jenjang Perguruan Tinggi (PT)
sangatlah berbeda dengan matematika pada jenjang lainnya.Karena menurut
Ruseffendi bahwa matematika di PT mencakup 4 wawasan yang luas yaitu
aritmatika, aljabar, geometri dan analisis.8Maka dari itu, pembelajaran matematika di
perguruan tinggi menuntut peserta didik untuk lebih berpikir rasional dibandingkan
dengan pembelajaran matematika yang diperoleh sebelumnya di sekolah-sekolah.
Pemahaman pada dasarnya berasal dari kata “paham” yang mengandung
makna “benar-benar mengerti”.Pemahaman dalam Taksonomi Bloom merupakan
salah satu aspek dalam ranah kognitif. Bloom membagi aspek pemahaman menjadi
tiga macam pemahaman yaitu: translation, interpretation, dan ekstrapolasi.
Translation (pengubahan), adalah kemampuan memahami ide yang dinyatakan
dengan cara lain dari pernyataan aslinya. Misalnya mampu mengubah (translation)
soal cerita ke dalam kalimat matematis, pemberian arti (interpretation) misalnya
mampu mengartikan suatu kesamaan, dan memperkirakan (extrapolation).9Dengan
7Rohmatuh mahmuda, ‘Upaya meningkatkan prestasi belajar siswa padajenjang sekolah
menengah atas materi peluang menggunakan metode pemecahan masalah’, Jurnal Tadris Matematika
institute agama islam negeri (IAIN)Tulungagung. 8Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam
Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun
Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon)” journal. 9 E. T. Ruseffendi, Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya
dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA (Bandung: Tarsito, 1991), h. 43.
5
demikian dapat dikatakan bahwa pemahaman ditunjukkan oleh kemampuan
menjelaskan atau mendefinisikan informasi secara verbal, di samping mampu
melihat keterkaitan antara satu konsep dengan konsep lainnya.
Selain konsep pemahaman menurut Bloom, Skemp membagi pemahaman
menjadi dua yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional.Pemahaman
instrumental mengarahkan mahasiswa untuk menghasilkan jawaban yang benar
karena jenis pemahaman ini menuntut mahasiswa untuk berpikir secara prosedural
atau algoritmik.10Mahasiswa biasanya dihadapkan hanya pada persolan rutin
sehingga biasanya mahasiswa memiliki kemampuan koneksi yang sangat rendah dan
terbatas. Pada umumnya mereka akan kesulitan mengadaptasi suatu permasalahan
yang tidak rutin dengan skema yang sudah ada dalam struktur mentalnya.
Pemahaman jenis relasional mengarahkan mahasiswa untuk mengaitkan konsep
dalam satu topik maupun mengaitkan konsep antar topik.Mahasiswa yang memiliki
kemampuan relasional dapat membangun koneksi yang lebih luas untuk membuat
conceptual framework sehingga dapat membantu mereka dalam mengaplikasikan
konsep matematis.Oleh karena itu, karena pentingnya kedua jenis kemampuan
pemahaman tersebut, dalam penelitian ini kemampuan pemahaman matematis yang
diteliti dibatasi pada kemampuan instrumental dan relasional.
Salah satu materi yang penting dan mendasar dalam matematika adalah
aljabar. Hal ini dikarenakan aljabar merupakan cabang matematika yang dicirikan
sebagai generalisasi dari bidang aritmetika, dan aritmatika merupakan salah satu
pondasi dasar matematika..
10U. Sumarmo, Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika pada Siswa Menengah
(Cirebon: Unsgawati, 2004), h. 52.
6
Pemahaman konsep aljabar merupakan salah satu kecakapan atau kemahiran
aljabar yang diharapkan dapat tercapai dalam pembelajaran matematika melalui
penunjukkan keterkaitan antarkonsep dan aplikasi konsep atau algoritma secara
luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah.Derajat pemahaman
konsep ditentukan oleh tingkat keterkaitan antara gagasan, prosedur, dan pemecahan
masalah. Sehubungan dengan hal tersebut, maka pemahaman konsep merupakan
kompetensi yang dimiliki mahasiswa dengan beberapa indikator berikut: (1)
menyatakan atau menjelaskan ulang sebuah konsep, (2) mengklasifikasikan
sifat‐sifat tertentu, (3) memberi contoh, (4) merepresentasikan konsep, (5)
menggunakan konsep untuk menyelesaikan masalah.11Dalam Aljabar memiliki
pokok permasalahan untuk dikembangkan lebih lanjut lagi, salah satunya yaitu
Aljabar Linear.
Aljabar Linier Elementer merupakan salah satu mata kuliah dasar yang
diberikan sebelum mengambil mata kuliah matematika tingkat lanjut dan setelah
mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus.Mata kuliah ini menuntut mahasiswa
untuk berpikir cermat dan teliti. Beberapa materi yang dipelajari pada mata kuliah
Aljabar Linear Elementer antara lain adalah matriks, sistem persamaan linear dan
determinan dengan masing-masing mempunyai kesulitan yang berbeda-beda dan
saling berkaitan satu sama lain.12 Kompetensi yang harus dikuasai mahasiswa ketika
belajar materi matriks, sistem persamaan linear dan determinan adalah mahasiswa
dapat menguasai sistem persamaan linier beserta dengan cara memecahkannya serta
sifat-sifatnya, memahami matriks dan operasi yang ada pada matriks dan mahasiswa
11 Bambang Priyo Darmito, ”Upaya Peningkatan Pemahaman Konsep Aljabar dan Sikap
Mahasiswa Calon Guru Matematika terhadap Pembelajaran Berbasis Komputer” journal. 12 Mia Fitria, Made Arnawa dan Lufri, “Pengembangan Modul Aljabar Linear Elementer
Bernuansa Konstruktivisme Berbantuan ICT” journal.
7
mampu untuk mencari invers suatu matriks. Selain itu, mahasiswa juga dapat
menguasai sifat-sifat fungsi determinan dan dapat mencari determinan suatu matriks
bujur sangkar.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa kesalahpahaman konsep pada materi
aljabar akan berdampak terhadap materi lainnya. Kesalahan konsep ini tidak hanya
terjadi pada siswa tetapi juga sering ditemukan pada mahasiswa calon guru.Disadari
bahwa kesalahan konsep terjadi salah satunya disebabkan kekeliruan dalam
pemahaman terhadap konsep. Hal ini tentu akan mengakibatkan kesulitan dalam
belajar yang berujung pada rendahnya hasil belajar.13Berdasarkan desnripsi tersebut
diketahui bahwa sangat penting bagi peserta didik untuk memahami konsep aljabar.
Berdasarkan observasi yang dilakukan pada tanggal 13 maret 2017 melalui
wawancara dengan 5 mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar
angkatan 2016 yang telah mengikuti mata kuliah Aljabar Linear Elementer pada
semester III,14 2 diantaranya berpendapat mata kuliah ini tidak terlalu sulit karena
sebagian materinya membahas SPL, matriks, determinan dan vektor yang telah
dipelajari sebelumnya di bangku sekolah. Sedangkan 3 di antaranya berpendapat
mata kuliah ini sulit karena mereka kurang memahami konsep-konsep dasar yang
digunakan dalam materi kuliah ini sehingga cenderung mengalami kesulitan dalam
menyelesaikan soal mata kuliah aljabar linear elementer.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Cita Dwi Rosita dkk, yang
berjudul “Analisis Kemampuan Pemahaman Matematis Mahasiswa pada Mata
13 Ade Irfan dan Anzora, ”Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon Guru
Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Abulyatama
Aceh”,Jurnal Dedikasi PendidikanVolume 1, No. 1, Januari 2017. 14Mahasiswa Pendidikan Matematika angk 2013, Wawancara, Kampus II UIN Alauddin
Makassar, 13 Maret 2017.
8
Kuliah Aljabar Linear 1”15 menyimpulkan bahwa ketercapaian pada setiap indikator
soal TKPM, hanya 3 indikator mencapai lebih dari atau sama dengan 70%,
sedangkan 4 indikator lainnya kurang dari 70% dengan terendah ketercapaian 50%,
kemampuan pemahaman matematis mahasiswa secara klasikal tidak mencapai
ketuntasan artinya nilai rata-rata semua mahasiswa berada di bawah KKM yang
ditentukan yaitu 65. Ketuntasan kemampuan pemahaman matematis mahasiswa
secara individual disimpulkan bahwa terdapat nilai TKPM mahasiswa yang
mencapai lebih atau sama dengan 65 sebanyak 54,38% dari keseluruhan mahasiswa,
adanya perbedaan ketuntasan pada kelompok mahasiswa berdasarkan tingkat
kemampuan tinggi, sedang dan rendah di mana masing-masing memperoleh rata-rata
84,7714; 65,7500; 47,1395. Mahasiswa dengan tingkat kemampuan tinggi dan
sedang mencapai ketuntasan lebih dari 65, sedangkan untuk yang berkemampuan
rendah belum tuntas.
Berdasarkan pemikiran di atas maka peneliti berkeinginan untuk melakukan
penelitian yang berjudul “Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Pada Mata
Kuliah Aljabar Linear Elementer MahasiswaPendidikan Matematika UIN
Alauddin Makassar Angkatan 2016.”
B. Fokus Penelitian dan Deskripsi Fokus
Fokus permasalahan dalam penelitian ini adalah kemampuanmahasiswa
dalam memahami konsep Aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Hal
ini dapat ditinjau dari segi pemahaman konsep dan algoritma penyelesaian
masalah/soal. Menganalisis kemampuan mahasiswa dalam memahami konsep
Aljabar maka penelitian ini memusatkan perhatian pada Kemampuan Pemahaman
15Cita Dwi Rosita, Laelasari, dan M. Subali Noto, “Analisis Kemampuan Pemahaman
Matematis Mahasiswa pada Mata Kuliah Aljabar Linear 1”, Jurnal Euclid, ISSN 2355-1712, vol.1,
No.2, pp. 60-136.
9
Matematis (KPM) pada konsep ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor
Euclidean. Adapun indikator pemahaman konsep matematika yang digunakan dalam
penelitian ini, mengacu pada indikator yang dinyatakan oleh Kemendikbud sebagai
berikut:
1. Kemampuan menyatakan ulang sebuah konsep.
2. Kemampuan memberi contoh dan bukan contoh.
3. Kemampuan menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi
matematika.
4. Kemampuan menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu.
5. Kemampuan mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan masalah.
Dalam penelitian ini, peneliti juga memusatkan perhatian pada faktor-faktor
yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa dalam materi ruang vektor, sub
ruang vektor, dan vektor Euclidean.
C. Pertanyaan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang dan fokus penelitian di atas, maka yang
menjadi pokok permasalahan dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear
Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar
angkatan 2016 berdasarkan indikator kemampuan pemahaman matematis pada
konsep ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean?
2. Apa saja faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa
dalam materi ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean?
10
D. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk:
1. Menganalisis pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear
Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar
angkatan 2016 berdasarkan indikator kemampuan pemahaman matematis pada
ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean.
2. Untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep
mahasiswa dalam materi ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean.
E. Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai
berikut:
1. Manfaat teoritis
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi
pengembangan konsep di bidang pendidikan khususnya pada mata kuliah Aljabar
Linear Elementer.
2. Manfaat praktis
a. Bagi mahasiswa
1) Dapat meningkatkan motivasi pentingnya memahami setiap konsep
matematika.
2) Meningkatkan pemahaman konsep aljabar khususnya pada mata kuliah
Aljabar Linear Elementer.
b. Bagi dosen
1) Sebagai motivasi untuk meningkatkan kemampuan dalam usaha mengajarkan
suatu konsep kepada peserta didik.
11
2) Memberikan informasi atau gambaran mengenai pentingnya penyampaian
materi konsep aljabar serta memperdalam pemahaman dan penguasaan
konsep aljabar terhadap peserta didik.
3) Sebagai motivasi supaya dalam menyelesaikan soal Aljabar Linear Elementer
dengan tepat dan benar.
c. Bagi kampus
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi
pengembangan konsep di bidang pendidikan, khususnya mata kuliah Aljabar Linear
Elementer.
d. Bagi peneliti
Memberikan gambaran yang jelas tentang pengaruh pemahaman konsep
aljabar terhadap mata kuliah Aljabar Linier Elementer.
12
BAB II
TINJAUAN TEORETIK
A. Kajian Teori
1. Pemahaman Konsep
a. Pemahaman Konsep
Pengertian pemahaman yang dikemukakan oleh para ahli seperti yang
dikemukakan oleh Winkel dan Mukhtar, mengemukakan bahwa: “Pemahaman yaitu
kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami sesuatu setelah sesuatu itu
diketahui atau diingat; mencakup kemampuan untuk menangkap makna dari arti dari
bahan yang dipelajari, yang dinyatakan dengan menguraikan isi pokok dari suatu
bacaan, atau mengubah data yang disajikan dalam bentuk tertentu ke bentuk yang
lain”.
Dalam hal ini, peserta didik dituntut agar dapat memahami atau mengerti apa
yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan, dan dapat
memanfaatkan isinya tanpa keharusan untuk menghubungkan dengan hal-hal yang
lain. Kemampuan ini dapat dijabarkan ke dalam tiga bentuk, yaitu: menerjemahkan
(translation), menginterpretasi (interpretation), dan mengekstrapolasi
(extrapolation).16
Sementara Benjamin S. Bloom mengatakan bahwa: “Pemahaman
(comprehension) adalah kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami
sesuatu setelah sesuatu itu diketahui dan diingat”. Dengan kata lain, memahami
adalah ketika kita mengetahui tentang sesuatu kemudian mengerti dan dapat
melihatnya dari berbagai segi. Seorang peserta didik dikatakan memahami sesuatu
16 Sudaryono, Dasar-dasar Evaluasi Pembelajaran (Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu,
2012), h. 44.
13
apabila ia dapat memberikan penjelasan atau memberi uraian lebih rinci tentang hal
itu dengan menggunakan kata-kata sendiri.17
Menurut Bloom, pemahaman (comprehension)umumnya mendapat
penekanan dalam proses belajar mengajar. Siswa dituntuk untuk memahami atau
mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan dan
dapat memanfaatkan isinya tanpa keharusan menghubungkannya dengan hal-hal lain.
Bentuk soal yang sering digunakan untuk mengukur kemampuan ini adalah pilihan
ganda dan uraian.
Kemampuan pemahaman dapat dijabarkan menjadi tiga, yaitu:
1) Menerjemahkan (translation)
Pengertian menerjemahkan di sini bukan saja pengalihan (translation) arti
dari bahasa yang satu ke dalam bahasa yang lain. Dapat juga dari konsepsi abstrak
menjadi suatu model, yaitu model simbolik untuk mempermudah orang
mempelajarinya.
2) Menginterpretasi (interpretation)
Kemampuan ini lebih luas daripada menerjemahkan, ini adalah kemampuan
untuk mengenal dan memahami.Ide utama suatu komunikasi.
3) Mengekstrapolasi (extrapolation)
Agak lain dari menerjemahkan dan menafsirkan, tetapi lebih tinggi sifatnya.
Ia menuntut kemampuan intelektual yang lebih tinggi.18
Berdasarkan pendapat di atas, dapat disimpulkan pemahaman adalah
kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami sesuatu setelah sesuatu itu
diketahui dan diingat, memahami atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa
17 Anas Sudijono, Statistik Pendidikan (Jakarta: PT. Raja Grafindo Persada, 2009), h. 50. 18 H. M. Daryanto, Evaluasi Pendidikan (Jakarta: PT Rineka Cipta, 2008), h. 106.
14
yang sedang dikomunikasikan dan dapat melihatnya dari berbagai segi. Seorang
peserta didik dikatakan memahami sesuatu apabila ia dapat memberikan penjelasan
atau memberi uraian yang lebih rinci tentang hal itu dengan menggunakan kata-kata
sendiri. Kemampuan pemahaman dapat dijabarkan menjadi tiga, yaitu:
menerjemahkan (translation), menginterpretasi (interpretation), mengekstrapolasi
(extrapolation).
Allah Berfirman dalam Q.S Al-Mujadalah/58:11.
.أوتوا العلم درجات يرفع هللا الذين ءامنوا منكم والذين .......(11)
Terjemahnya :
”Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan.”(Q.S.Al-Mujadalah/58:11)19
Ayat di atas menerangkan bahwa betapa Allah meninggikan derajat orang-
orang yang beriman dan berpendidikan.Allah sangat menganjurkan setiap umatnya
untuk menuntut ilmu setinggi-tingginya. Allah telah menjanjikan derajat yang tinggi
bagi umatnya yang berilmu pengetahuan luas. Semakin luas pengetahuan seseorang,
semakin tinggi derajatnya dimata Allah SWT.
b. Konsep
Pengertian konsep yang dikemukakan oleh S. Hamid Husen mengemukakan
bahwa: “Konsep adalah pengabstraksian dari sejumlah benda yang memiliki
karakteristik yang sama”. Selanjutnya More mengatakan bahwa “Konsep itu adalah
sesuatu yang tersimpan dalam benak atau pikiran manusia berupa sebuah idea tau
gagasan”. Dengan kata lain, konsep dapat dinyatakan dalam sejumlah bentuk konkrit
atau abstrak, luas atau sempit, satu kata frase.20
19Departemen Agama Republik Indonesia, Al-Qur’an dan Terjemahan.Qur’an Surah Al-
Mujadalah ayat 11. 20 Sapriya, Pendidikan IPS (Bandung: PT Remaja Rosda Karya, 2009), h. 43.
15
Menurut Bloom “Pemahaman konsep adalah kemampuan menangkap
pengertian-pengertian seperti mampu mengungkap suatu materi yang disajikan ke
dalam bentuk yang lebih dipahami, mampu memberikan interpretasi dan mampu
mengaplikasikannya”.
Berdasarkan pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa, pemahaman konsep
adalah kemampuan menangkap pengertian-pengertian seperti mampu memahami
atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan,
memberikan penjelasan atau memberi uraian yang lebih rinci dengan menggunakan
kata-kata sendiri, mampu menyatakan ulang suatu konsep, mampu
mengklasifikasikan suatu objek dan mampu mengungkapkan suatu materi yang
disajikan ke dalam bentuk yang lebih dipahami.
2. Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar Linear Elemenenter
Aljabar (dari bahasa arab "al-jabr" yang berarti salah satu bagian dari
bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori
bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu
yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi
simbol-simbol. Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan
persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti kelompok, gelanggang, dan medan.
Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer,
sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar
modern.Aljabar dasar umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika,
ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi seperti obat-obatan dan
ekonomi.Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut,
yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.
16
Dasar aljabar berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti
menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau
diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam huruf tidak
diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan
nilai: Dalam E = mc2, huruf dan adalah variabel, dan huruf adalah konstanta,
kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan
persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang
memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya
dalam kata-kata.
Kata aljabar juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus
dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan,
misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.21
Aljabar biasanya berkaitan dengan penyelesaian sistem persamaan,
menemukan nilai dari suatu yang belum diketahui, menggunakan rumus kuadrat atau
bekerja dengan sistem rumus, persamaan dan simbol huruf.Dalam mempelajari
aljabar dibutuhkan kemampuan memahami simbol-simbol, operasi dan aturan-
aturannya.Kemampuan yang demikian tereksplorasi dalam penalaran aljabar yang
didalamnya memuat keterampilan memahami pola-pola dan membuat
generalisasinya.
Pada bentuk aljabar dapat dilakukan operasi hitung, Operasi hitung pada
bentuk Aljabar merupakan dasar dalam memahami bahasan-bahasan berikutnya.
Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut:
21 “Aljabar”, Wikipedia the Free Encyclopedia. https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar (17
Agustus 2017)
17
a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada
bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut:
1) Suku-suku yang sejenis
2) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, yaitu:
a) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐)
b) 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 − 𝑐
3) Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu:
a) Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
b) Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif
c) Hasil perkalian bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif adalah
bilangan bulat negatif
Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan di atas, maka hasil penjumlahan
maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang
lebih sederhana dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis.22
Contoh:
(1) 16𝑥 + 3 + 3𝑥 + 4 = 16𝑥 + 3𝑥 + 3 + 4 = 19𝑥 + 7
(2) 6𝑚 + 3(𝑚2 − 𝑛2) − 2𝑚2 + 3𝑛2 = 6𝑚 + 3𝑚2 − 3𝑛2 − 2𝑚2 + 3𝑛2
= 6𝑚 + 3𝑚2 − 2𝑚2 − 3𝑛2 + 3𝑛2
= 𝑚2 + 6𝑚
22 M. Cholik Adinawan dan Sugijono, Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester 1
(Jakarta: Erlangga, 2007), h. 5.
18
b. Perkalian bentuk aljabar
Operasi perkalian sangat bermanfaat saat kita mempelajari faktorisasi bentuk
aljabar.Sekarang ingat kembali sifat distributive pada perkalian bilangan bulat.Jika
𝑎, 𝑏, dan 𝑐 bilangan bulat maka berlaku 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 dan 𝑎 ×
(𝑏– 𝑐) = 𝑎𝑏– 𝑎𝑐.Sifat distributif ini digunakan untuk menyelesaikan operasi
perkalian bentuk aljabar.
c. Perkalian antara kosntanta dengan bentuk aljabar
Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan
suku dua dinyatakan sebagai berikut:
𝑘 (𝑎𝑥) = 𝑘𝑎𝑥
𝑘 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑘𝑎𝑥 + 𝑘𝑏
Contoh:
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah:
1) 4(𝑝 + 𝑞)
Penyelesaian:
4(𝑝 + 𝑞) = 4𝑝 + 4𝑞
2) 5(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
Penyelesaian:
5(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) = 5𝑎𝑥 + 5𝑏𝑦
3) 3(𝑥– 2) + 6(7𝑥 + 1)
Penyelesaian:
3(𝑥– 2) + 6(7𝑥 + 1) = 3𝑥– 6 + 42𝑥 + 6
= (3 + 42)𝑥– 6 + 6
= 45𝑥
19
4) −8(2𝑥– 𝑦 + 3𝑧)
Penyelesaian:
−8(2𝑥– 𝑦 + 3𝑧) = −16𝑥 + 8𝑦– 24
d. Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk
menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat
distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat dstributif perkalian terhadap
pengurangan.
Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk
aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut:
Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut:
(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑥 . 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 . 𝑑 + 𝑏 . 𝑐𝑥 + 𝑏 . 𝑑
= 𝑎𝑐2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑
Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar
suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut:
(𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑐𝑥 + 𝑑) =𝑎𝑥 (𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑏 (𝑐𝑥 + 𝑑)
=𝑎𝑥 . 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 . 𝑑 + 𝑏 . 𝑐𝑥 + 𝑏 . 𝑑
= 𝑎𝑐2 + 𝑎𝑑𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑
= 𝑎𝑐2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku
sebagai berikut:
(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑒) = 𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑎𝑥 ∙ 𝑒 + 𝑏 ∙ 𝑐𝑥2 + 𝑏 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑒
= 𝑎𝑐𝑥3 + 𝑎𝑑𝑥2 + 𝑎𝑒𝑥 + 𝑏𝑐𝑥2 + 𝑏𝑑𝑥 + 𝑏𝑒
20
= 𝑎𝑐𝑥3 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥2 + (𝑎𝑒 + 𝑏𝑑)𝑥 + 𝑏𝑒23
1) Pembagian
Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor-faktor yang sama, maka hasil
pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang
sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama.24
Contoh:
21𝑎2 ∶ 3𝑎 =21𝑎2
3𝑎= (
21
3) (
𝑎2
𝑎) = 7𝑎
Adapun konsep dan prinsip Aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear
Elementer sebagai berikut:
e. Konsep Aljabar dalam Aljabar Linear Elementer
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1) Aljabar Elementer, yang dipelajari sifat-sifat operasi pada bilangan rill
direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang
membangun ekspresi dan persamaan matematika yang melibatkan simbol-
simbol.
2) Aljabar abstrak, kadang-kadang sisebut aljabar modern, yang mempelajari
struktur aljabar semacam Grup, Ring, dan Medan (fields) yang
didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.
3) Aljabar linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari ruang vektor
(termasuk matriks).
23 Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya, (Jakarta: Pusat
Pembukuan, 2008) h. 2h.84-85
24M. Cholik Adinawan dan Sugijono, Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester 1,
h.10.
21
4) Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua
struktur aljabar.25
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem
persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear.Matrik dan
operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan mata kuliah aljabar linear.
Secara garis besar, mata kuliah ini akan membicarakan tentang pengertian
matriks, operasi dasar matriks, dan jenis-jenis matriks, determinan, operasi baris
elementer (OBE), matrik ekivalen, matriks invers dan sifat-sifatnya,
sistempersamaan linear, ruang vektor, basis dan dimensi, transformasi linear, eigen
vektor dan eigenvalues.26
Adapun konsep aljabar dalam Aljabar Linear Elementer yaitu sebagai berikut:
1) Sistem Persamaan Linear
a) Persamaan dan Sistem Linear
Persamaan linear adalah dimana sebuah garis yang terletak pada bidang xy
dapat dinyatakan secara aljabar dalam suatu persamaan berbentuk:
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 = 𝑏
di mana 𝑎1, 𝑎2, dan 𝑏 merupakan konstanta real, dan 𝑎1 dan 𝑎2 tidak keduanya nol.
Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dengan variabel x dan y. secara
umum kita mendefinisikan persamaan linear (linear equation) dengan n variabel 𝑥1,
𝑥2, … , 𝑥𝑛 sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
25http://aby-matematika.blogspot.co.id/2011/08/sejarah-aljabar.html (diakses 25 Juli 2017) 26
Zulhendri, “Pengembangan Bahan Ajar Mata Kuliah Aljabar Linear Berbantuan Matlab”,
journal.
22
di mana 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 dan 𝑏merupakan konstanta real. Variabel-variabel dalam
persamaan linear seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak diketahui
(unknown).
Sistem linear, sejumlah tertentu persamaan linear dalam variabel 𝑥1, 𝑥2, …,
𝑥𝑛disebut sistem persamaan linear (system of linear equation) atau sistem linear.
Urutan sejumlah bilangan 𝑠1, 𝑠2, …, 𝑠𝑛merupakan solusi dari setiap persamaan di
dalam sistem tersebut.
Suatu sistem yang persamaan yang tidak memiliki solusi disebut tidak
konsisten (inconsistent), sedangkan jika terdapat paling tidak satu solusi dalam
sistem disebut konsisten (consistent).
2) Sistem Linear Homogen
Suatu sistem linear disebut homogen (homogeneous) jika semua bentuk
konstantanya adalah 0: yaitu, sistem ini memiliki bentuk
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0⋮
𝑎𝑚1𝑥1
⋮+ 𝑎𝑚2𝑥2 +
⋮⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
Setiap sistem persamaan linear homogen adalah konsisten karena semua
sistem semacam ini memiliki solusi 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, …, 𝑥𝑛 = 0. Solusi ini disebut
solusi trivial (trivial solution); jika terdapat solusi lain, maka solusi-solusi tersebut
disebut solusi nontrivial (nontrivial solution).
3) Matriks dan Operasi Matriks
Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-
bilangan.Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.Ukuran
(size) suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan kolom (arah
vertikal) yang dimilikinya.
23
Dua matriks adalah setara (equal) jika keduanya memiliki ukuran yang sama
dan entri-entri yang bersesuaian adalah sama.
Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen),
disusundalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
a) Transpos suatu Matriks
Jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛, maka transpos dari A (transpose of A),
dinyatakan dengan 𝐴𝑇, didefinisikan sebagi matriks 𝑛 × 𝑚 yang didapatkan dengan
mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom dari 𝐴𝑇 adalah
baris pertama dari kolom A, kolom kedua dari 𝐴𝑇adalah baris dari A, dan seterusnya.
Jika A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka trace dari A (trace of A),
yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal
utama A. Trace dari A tidak dapat didefinisikan jika A bukan matriks bujursangkar.
b) Invers; Aturan Aritmatika Matriks
Matriks Nol. Sebuah matriks yang seluruh entrinya adalah bilangan nol,
seperti
[0 00 0
] , [0 0 00 0 00 0 0
] , [00
00
00
00
] , [
0000
] , [0]
disebut matriks nol (zero matrix).
Matriks Identitas. Yang menjadi perhatian khusus adalah matriks
bujursangkar dengan bilangan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pda entri-entri
lainnya seperti
[1 00 1
] , [1 0 00 1 00 0 1
] , [
1000
0100
0010
0001
] , dan seterusnya.
24
Matriks dengan bentuk seperti ini disebut matriks identitas (identity matrix)
dan dinyatakan dengan I.
Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang
ukurannya sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat
dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers(inverse) dari A. Jika matriks B tidak
dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular.
c) Matriks Diagonal dan Matriks Segitiga.
Matriks diagonal.Suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak
terletak pada diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal (diagonal matrix).
Matriks segitiga. Matriks bujursangkar yang semua entri di atas diagonal
utamanya adalah nol disebut matrks segitiga bawah (lower triangular) dan matriks
bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut
matriks segitiga atas (upper triangular). Suatu matriks, baik segitiga bawah atau
segitiga atas disebut matriks segitiga (triangular).
d) Determinan
Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, 3, ….,n} adalah
susunan integer-integer ini menurut suatu aturaan tanpa adanya penghilangan atau
pengulangan. Suatu inversi (inversion) atau pembalikan dikatakan terjadi dalam
suatu permutasi (𝑗1, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛) jika integer yang lebih besar mendahului yang lebih
kecil. Jumlah total inversi yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai
berikut: (1) tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari 𝑗1 dan yang mengikuti
𝑗1 dalam permutasi; (2) tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari 𝑗2 dan yang
mengikuti 𝑗2 dalam permutasi. Lanjutkan prose perhitungan ini untuk 𝑗3, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛−1.
Jumlah dari bilangan-bilangan ini akan merupakan total banyaknya inverse ini dalam
permutasi tersebut.
25
Suatu permutasi dikatakan genap (even) jika total banyaknya inverse adalah
integer genap dan dikatakan ganjil (odd) jika total inverse adalah integer ganjil.
Definisi determinan. Suatu hasilkali elementer (elementary product) dari
suatu matriks A, n × n, adalah hasilkali dari n entri dari A, yang tidak satu pun
berasal dari baris atau kolom yang sama. Hasilkali elementer bertanda dari A(signed
elementary product from A) adalah hasilkali elementer 𝑎1𝑗1, 𝑎2𝑗2
, … . , 𝑎𝑛𝑗𝑛 dikalikan
dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika (𝑗1, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛) adalah permutasi
genap dan tanda – jika (𝑗1, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛) adalah permutasi ganjil.
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar.Fungsi determinan
(determinant function) dinotasikan dengan det dan kita mendefinisikan det(A)
sebagai jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda dari A. Angka det(A) disebut
determinan dari A (determinant of A). Simbol |A| adalah notasi alternatif untuk
det(A).
4) Ruang Vektor
a) Vektor pada Ruang berdimensi n.
Jika n adalah suatu integer positif, maka tupel n berurutan (ordered n-tuple)
adalah suatu urutan dari n bilangan real (𝑎1, 𝑎2, … . , 𝑎𝑛). Himpunan semua tupel n
berurutan disebut ruang berdimensi n (n-space) dan dinyatakan sebagai 𝑅𝑛.
Dua vektor u = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) dan v= (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) pada 𝑅𝑛 disebut sama
(equal) jika
𝑢1 = 𝑣1, 𝑢2 = 𝑣2, … , 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛
Jumlah (sum) u + v didefinisikan sebagai
𝐮 + 𝐯 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, … , 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛)
26
dan jika k adalah suatu skalar sebarang, maka kelipatan skalar (scalar multiple) ku
didefinisikan sebagai
𝑘𝐮 = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, … , 𝑘𝑢𝑛)
b) Ruang berdimensi n Euclidean
Jika 𝐮 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) adalah vektor-vektor
sebarang pada 𝑅𝑛, maka hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) 𝐮 ⋅ 𝐯
didefinisikan sebagai
𝐮 ⋅ 𝐯 = 𝑢1𝑣1, 𝑢2𝑣2, … , 𝑢3𝑣3
c) Aksioma Ruang Vektor
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di
mana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar
(bilangan). Operasi penjumlahan (addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang
mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u + v, yang
disebut jumlah (sum) dari u dan v. Operas perkalian skalar (scalar multiplication),
dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap
objek u pada V dengan suku objek ku, yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple)
dari u oleh k. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada
V dan semua skalar k dan l, maka kita menyebut V sebagai ruang vektor dan kita
menyebut objek-objek pada V sebagai vektor.
(1) Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah objek-objek pada V, maka 𝑢 + 𝑣 berada pada V.
(2) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
(3) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤
(4) Di dalam V terdapat suatu objek 0, yang disebut vektor nol untuk V,
sedemikian rupa sehingga 0 + 𝑢 = 0 + 𝑢 = 𝑢 untuk semua u pada V.
27
(5) Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut negatif
dari u, sedemikian rupa sehingga 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0
(6) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka ku
terdapat pada V.
(7) 𝑘(u + v) = 𝑘u + 𝑘v
(8) (𝑘 + 𝑙)u = 𝑘u + 𝑙u
(9) 𝑘(𝑙u) = (𝑘𝑙)(u)
(10) 1 ⋅ u = u
Suatu subhimpunan W dari suatu ruang vektor V disebut subruang dari V dan
W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian
skalar yang didefinisikan pada V.
3. Faktor-faktor yang Mempengaruhi Kemampuan Pemahaman
Keberhasilan Siswa dalam mempelajari matematika dipengaruhi oleh
beberapa faktor. Ngalim Purwanto mengungkapkan bahwa berhasil atau tidaknya
belajar itu tergantung pada bermacam-macam faktor. Adapun faktor-faktor itu dapat
dibedakan menjadi dua golongan, yaitu:
a. Faktor yang ada pada organisme itu sendiri yang kita sebut faktor individu, yang
termasuk dalam faktor individu antara lain kematangan atau pertumbuhan,
kecerdasan latihan, motivasi dan faktor pribadi.
b. Faktor yang ada di luar individu yang kita sebut faktor sosial, yang termasuk
faktor sosial ini antara lain keluarga atau keadaan rumah tangga, guru dan cara
mengajarnya, alat-alat yang digunakan dalam belajar, lingkungan dan
kesempatan yang tersedia serta motivasi sosial.27
27 Ngalim Purwanto, Psikologi Pendidikan, (Bandung: PT Remaja Rosdakarya, 2007) hal.
102.
28
Selain faktor tersebut, pemahaman konsep dipengaruhi oleh psikologis
peserta didik. Kurangnya pemahaman konsep terhadap materi matematika yang
dipelajari karena tidak adanya usaha yang dilakukan oleh siswa dalam
menyelesaikan soal-soal yang diberikan guru. Siswa lebih kepada mengharapkan
penyelesaian dari guru, hal ini memperlihatkan bahwa pemahaman konsep siswa
masih rendah.
B. Kajian Penelitian yang Relevan
Kajian relevan yang digunakan sebagai bahan pertimbangan baik mengenai
kelebihan atau kekurangan yang ada sebelumnya.Selain itu kajian terdahulu juga
mempunyai banyak pengaruh salah satunya yaitu untuk memperoleh informasi
terkait dengan teori yang berkaitan dengan judul yang dapat digunakan sebagai
landasan teori ilmiah.
Penelitian yang dilakukan oleh Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah
yang berjudul “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam Memahami Mata Kuliah
Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun Akademi
2008/2009 Di STAIN Cirebon)” menyimpulkan bahwa Kesulitan mahasiswa dalam
mempengaruhi prestasi belajar aljabar matriks yang ditinjau dari tujuan pengajaran,
yaitu sebesar 26.8%, dengan kesulitan terbesarnya terletak pada kesadaran untuk
belajar sebesar 27% dan tujuan pengajaran memiliki rata-rata sebesar 73.205,
kesulitan mahasiswa dalam mempengaruhi prestasi belajar aljabar matriks yang
ditinjau dari metode pengajaran yaitu sebesar 32.5% dengan kesulitan terbesarnya
terletak pada model mengajar sebesar 33.8% dan metode pengajaran mempunyai
rata-rata sebesar 67.48, kesulitan mahasiswa dalam mempengaruhi prestasi belajar
aljabar matriks yang ditinjau dari isi materi yaitu sebesar 38.1%. Kesulitan
terbesarnya pada pemahaman masalah yaitu sebesar 52.8%. Kemudian pada
29
pemahaman rumus sebesar 45.6%, penulisan simbol sebesar 39%, proses berhitung
sebesar 37.4%, menentukan himpunan penyelesaian sebesar 33.8%, pemahaman
konsep sebesar 33.6% dan memahami istilah sebesar 27.7%. Isi materi memiliki rata-
rata paling kecil yaitu sebesar 61.938, kesulitan mahasiswa dalam mempengaruhi
prestasi belajar aljabar matriks yang ditinjau dari evaluasi pengajaran yaitu sebesar
35.5% dengan kesulitan terbesarnya ialah kemampuan menumbuhkan peran
mahasiswa sebesar 41%. Evaluasi pengajaran memiliki rata-rata sebesar
65.549.Penelitian tersebut mengkaji tentang kesulitan mahasiswa dalam memahami
mata kuliah Aljabar Matriks ditinjau dari tujuan pengajaran, metode pengajaran dan
isi materi.Pada penelitian ini yang diteliti hanya kemampuan pemahaman
berdasarkan indikator pemahaman konsep dan prinsip aljabar mahasiswa dalam mata
kuliah Aljabar Linear Elementer.
Penelitian oleh Yuni Suryaningsih dengan judul “Korelasi Hasil Belajar Mata
Kuliah Aljabar Linear Elementer Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika
Fkip Universitas Lambung Mangkurat Berdasarkan Mata Kuliah Prasyarat”
menyimpulkan bahwa banyaknya mahasiswa yang nilainya mengalami penurunan
disebabkan salah satunya adalah materi pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer
terlalu banyak dan lebih sulit dibandingkan dengan materi pada mata kuliah Matriks
walaupun materi Aljabar Linear Elementer sebagian sudah dipelajari ketika
perkuliahan Matriks. Materi tentang Matriks pernah mahasiswa pelajari sebelumnya
ketika masih di Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) sederajat
sehingga hal tersebut memudahkan bagi mahasiswa untuk lebih memahami materi
tentang Matriks di bangku perkuliahan sehingga perolehan nilainya bisa lebih baik
dibandingkan dengan perolehan nilai pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer.
Penelitian tersebut mengkaji tentang bagaimana pengaruh mata kuliah Aljabar
30
Matriks sebagai mata kuliah prasyarat sebelum terhadap hasil belajar mahasiswa
pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer.
Penelitian oleh Mia Fitria dkk dengan judul “Pengembangan Modul Aljabar
Linear Elementer Bernuansa Konstruktivisme Berbantuan Ict” menyimpulkan bahwa
berdasarkan pembahasan hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa modul Aljabar
Linear Elementer bernuansa konstruktivisme berbantuan ICT adalah sangat valid,
praktis, dan efektif. Penggunaan modul dalam belajar dapat menarik perhatian
mahasiswa, membuat mahasiswa aktif belajar dan membantu mahasiswa dalam
meningkatkan hasil belajar.Berdasarkan penelitian tersebut, yang dikaji adalah
tentang pengembangan modul Aljabar Linear Elementer sebagai perangkat belajar
mahasiswa.
Berdasarkan penelitian relevan sebelumnya yang dilakukan oleh Ade Irfan
dan Anzora yang berjudul “Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon
Guru Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas
Abulyatama Aceh” menyimpulkan bahwa pemahaman konsep aljabar mahasiswa
calon guru melalui peta konsep pada program studi pendidikan matematika FKIP
Universitas Abulyatama Aceh berada pada tingkatan miskonsepsi sebagian (MSG).
Adapun kesalahan konsep aljabar mahasiswa calon guru di prodi pendidikan
matematika FKIP Universitas Abulyatama Aceh melalui peta konsep terjadi pada
mengidentifikasi ide sekunder, dalam menentukan jenis peta konsep dan alasan
memilihnya, serta dalam menjelaskan hubungan ide pokok dengan ide sekunder.
Respon mahasiswa terhadap proses perkuliahan aljabar adalah positif (3,27).
Penelitian tersebut mengkaji tentang bagaimana deskripsi pemahaman dan
miskonsepsi mahasiswa calon guru dalam memahami konsep aljabar melalui peta
konsep.
31
Penelitian oleh Iin Indrayani dengan judul "Analisis Eliminasi Gauss,
Dekomposisi Crout, dan Metode Matriks Invers dalam Menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier serta Aplikasinya dalam Bidang Ekonomi” menyimpulkan bahwa
metode eliminasi Gauss lebih efektif dan efisien dibandingkan dengan Dekomposisi
Crout dan Metode matriks Invers. Perbandingan ini dapat dilihat dari jumlah operasi
aritmatika, banyaknya langkah, kecepatan, dan ketepatan dalam penyelesaian.Selain
itu ternyata ketiga metode tersebut dapat diaplikasikan dalam bidang ekonomi,
terutama dalam analisis input-output.Penelitian tersebut mengkaji tentang analisis
materi dalam menyelesaikan soal SPL serta bagaimana aplikasinya dalam bidang
ekonomi.
Penelitian oleh Betty Love dkk yang berjudul “Student learning and
perceptions in a flipped linear algebra course” menyimpulkan bahwa Penelitian ini
melibatkan 55 siswa dalam 2 bagian dari kursus aljabar linear terapan, dengan
menggunakan format ceramah tradisional di satu bagian dan model kelas membalik
di lain. Pada akhirnya, siswa diharapkan untuk mempersiapkan kelas dengan cara
tertentu, seperti menonton screencasts yang disiapkan oleh instruktur, atau membaca
buku teks atau catatan instruktur. Pemahaman isi dan persepsi siswa dipelajari.
Pemahaman konten diukur dengan kinerja pada ujian mata kuliah, dan siswa di
lingkungan kelas yang membalik memiliki peningkatan yang lebih signifikan antara
ujian berurutan dibandingkan dengan siswa di bagian ceramah tradisional, saat
melakukan hal yang sama dalam ujian akhir. Persepsi kursus diwakili oleh survei
akhir semester yang menunjukkan bahwa siswa kelas yang membalik sangat positif
tentang pengalaman mereka dalam kursus, dan sangat menghargai kolaborasi siswa
dan komponen video instruksional. Penelitian tersebut membandingkan dua model
dalam pembelajaran Aljabar Linear.
32
Penelitian oleh Sinan Aydin yang berjudul “Some analysis on a first course in
linear algebra” menyimpulkan bahwa penyederhanaan yang berlebihan untuk
berpikir bahwa ada cara yang unik untukmengajar kuliah ini. Meski banyak
matematikawan bisa menduga bahwa aljabar linear pertama seolah-olah sama di
mana-mana, kenyataannya berbeda dari ide ini. Edisi terbaru dari buku teks aljabar
linier biasanya bahan yang bagus untuk apa yang diajarkan di bukutingkat pengantar.
Tampaknya dengan hanya mengungkapkan dan menunjukkan, guru mungkin tidak
bisa secara signifikan meningkatkan pembelajaran mata kuliah abstrak. Dalam
beberapa tahun terakhir, peneliti aljabar linier telah merumuskan beberapa metode
pengajaran yang efisien untuk memudahkanbelajar bermakna. Perangkat lunak
memberikan visualisasi yang membantu dalamruang vektor dua atau tiga dimensi.
Dengan menciptakan lingkungan interaktif dari program komputer, siswadapat
mengeksplorasi matriks, transformasi linier dan representasi numerik. Dan akhirnya,
adahubungan yang jelas antara aljabar linier, kalkulus, persamaan diferensial, dan
statistik.Penelitian tersebut berkaitan dengan analisis materi yang terdapat dalam
mata kuliah aljabar linier berdasarkan isi materi, buku teks, profil pembelajaran
siswa dan metode pengajaran yang digunakan.
Berdasarkan kajian di atas peneliti memperoleh beberapa perbedaan ataupun
persamaan terkait dengan variabel yang diteliti. Dalam penelitian ini hanya akan
meneliti terkait dengan bagaimana kemampuan pemahaman konsep aljabar
mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar pada mata kuliah aljabar
linear elementer.
C. Kerangka Konseptual
33
Matematika adalah salah satu disiplin ilmu yang materinya tersusun secara
hierarki dan sistematis serta penalarannya bersifat deduktif. Artinya suatu materi
matematika tertentu dapat dipahami apabila materi lain yang menjadi prasyarat dari
materi tersebut telah dikuasai atau telah dipahami. Permasalahan yang sering muncul
dalam pembelajaran matematika adalah tentang penguasaan atau pemahaman
konsep.Hal ini tidak hanya terjadi dari jenjang sekolah dasar hingga sekolah
menengah atas tetapi di perguruan tinggi pun juga sering terjadi.Dalam pembelajaran
matematika, semua materi yang ada mengandung aspek pemahaman konsep karena
memang kemampuan mendasar dalam belajar matematika adalah penguasaan
konsep.
Matematika tersusun secara hierarkis dan saling berkaitan unsur-
unsurnya.Konsep lanjutan tidak mungkin dapat dipahami sebelum memahami
dengan baik konsep yang menjadi prasyarat.Ini berarti dalam belajar dan
pembelajaran Matematika diperlukan pemahaman konsep secara baik pada
pendahuluan, yaitu sebelum mempelajari materi baru.
Berdasarkan penjelasan di atas dapat diambil kesimpulan bahwa semakin baik
pemahaman konsep peserta didik tentang materi terdahulu, maka akan semakin
memudahkan dalam pembelajaran materi sebelumnya. Begitu juga sebaliknya, jika
kurang mampu memahami konsep materi terdahulu, maka akan mengalami kesulitan
dalam materi selanjutnya.
Dalam hal yang lebih khusus misalnya seorang mahasiswa dapat memahami
dan menguasai materi mata kuliah aljabar linear elementer dengan baik apabila telah
memahami konsep dasar aljabar.Hal ini terjadi karena salah satu materi prasyarat
sebelum mempelajari mata kuliah aljabar linear elementer adalah peserta didik harus
34
memahami dan menguasai dan memahami konsep dasar aljabar.Dengan demikian
perlu diadakan analisis kemampuan pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah
aljabar linear elementer untuk melihat sejauh mana pemahaman dasar aljabar
mahasiswa sebagai bahan prasyarat dalam memahami mata kuliah aljabar linear
elementer.
35
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Pendekatan dan Jenis Penelitian
1. Pendekatan Penelitian
Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan kualitatif,
karena dalam pendekatan kualitatif langsung dijelaskan dan diterangkan tentang
semua permasalahan yang belum diketahui secara rinci, sehingga akan memberikan
kemudahan bagi orang yang ingin mengetahui tentang semua pembahasan dalam
penelitian tersebut.28Kirk dan Miller mendefinisikan bahwasanya penelitian kualitatif
berhubungan dengan tradisi tertentu dalam ilmu pengetahuan sosial yang secara
fundamental bergantung pada pengamatan terhadap manusia dan dalam kawasannya
sendiri.29
Dalam penelitian kualitatif deskriptif bertujuan untuk menggambarkan,
melukiskan, secara lebih rinci dengan maksud menerangkan, menjelaskan dan
menjawab permasalahan peneliti.Dengan mempelajari semaksimal mungkin seorang
individu, suatu kelompok, atau suatu kejadian, peneliti bertujuan memberikan
pandangan yang lengkap dan mendalam mengenai subyek yang diteliti.30
2. Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian deskriptif kualitatif,
dilakukan untuk menggambarkan keadaan dari suatu fenomena atau peristiwa secara
28Mohammad Nadzir, Metode Penelitian(Jakarta: Ghalia Indonesia, 1998), h. 14. 29Lexy J. Moleong, Metode Penelitian Kualitatif (Bandung: PT. Remaja Rosda Karya, 2006),
h. 4. 30Dedy Mulyana, Metode Penelitian Kualitatif(Bandung: PT. Remaja Rosdakarya, 2001), h.
201.
36
sistematis sesuai dengan apa adanya31, tanpa membuat perbandingan atau hubungan
dari suatu variabel dengan variabel lainnya.
Dengan penelitian ini peneliti mencoba mengungkapkan bagaimana
ketercapaian pemahaman konsep matematika pada peserta didik. Adapun simpulan
dari penelitian ini hanya berlaku bagi peserta didik di kelas yang diteliti dan tidak
digeneralisasikan.
B. Lokasi Penelitian
Penelitian ini dilakukan di lokasi kampus II UIN Alauddin Makassar Jl.
Sultan Alauddin No. 36 Samata Sungguminasa-Gowa, Sulawesi Selatan, Fakultas
Tarbiyah dan Keguruan, sebagai tempat perkuliahaan mahasiswa jurusan Pendidikan
Matematika Angkatan 2016.
C. Subjek Penelitian
Sumber data dalam penelitian merupakan subjek dari mana data dapat
diperoleh.32Subjekdalam penelitian ini adalah mahasiswa Jurusan Pendidikan
Matematika Angkatan 2016 UIN Alauddin Makassar berjumlah 42 orang yang
kemudian diberi tes berupa soal aljabar linear elementer.
D. Teknik Pengumpulan Data
Teknik pengumpulan data yang dilakukan adalah tes tertulis dan wawancara.
1. Tes Diagnostik
Tes terdiri dari 7 soal uraian aljabar linear elementer yang disusun
berdasarkan materi yaitu: ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor
31Nyoman Dantes, Metode Penelitian (Yogyakarta: C.V Andi Offset, 2014), h. 51. 32 Suharsimi Arikunto, Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktik, Edisi Revisi VI (
Jakarta; PT Rineka Cipta, 2006), h.129.
37
Euclidean. Data kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa diperoleh
dengan memeriksa lembar jawaban tes sesuai dengan rubrik penskoran. Kemudian
data tersebut dianalisis secara deskriptif kuantitatif untuk melihat pencapaian
kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa dalam proses perkuliahan.
Rata-rata nilai akhir yang diperoleh digunakan untuk melihat kategori kemampuan
pemahaman konsep matematika mahasiswa.
2. Wawancara
Wawancara dilakukan secara lisan kepada mahasiswa dengan tingkat
kemampuan matematika yang berbeda. Data hasil wawancara dianalisis secara
deskriptif kualitatif dan digunakan sebagai data pendukung hasil tes kemampuan
pemahaman konsep matematika mahasiswa.Wawancara dilakukan untuk
mempelajari/menelusuri alasan subjek mengambil kesimpulan pada tes tertulis,
pemahaman subjek penelitian dipelajari melalui interpretasi atau representative yang
diberikan subjek dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan pewawancara.Selain itu,
wawancara juga bertujuan untuk mengetahui secara terperinci letak kesulitan
mahasiswa dalam memahami konsep aljabar dalam mata kuliah aljabar linear.
E. Instrumen Penelitian
Instrumen penelitian adalah alat ukur yang digunakan dalam penelitian.33
Mengacu pada jenis penelitian kualitatif, maka instrumen utama dalam penelitian ini
adalah peneliti sendiri. Alat bantu yang digunakan untuk menghimpun data dalam
penelitian ini berupa tes diagnostik materi aljabar linear elementer dan pedoman
wawancara.
33Sugiyono, Metode Penelitian Administrasi (Cet. VI; Bandung : CV. Alfabeta, 1999), h. 84.
38
1. Tes Diagnostik
Tes diagnostik adalah tes yang digunakan mengetahui kelemahan-kelemahan
peserta didik sehingga berdasarkan hal tersebutdapat dilakukan penanganan yang
tepat.Tes diagnostik juga diartikan sebagai tes yang dilaksanakan untuk menentukan
secara tepat jenis kesukaranyang dihadapi oleh peserta didik dalam suatu pelajaran
tertentu.
Fungsi tes diagnostik, yaitu: (1) menentukan apakah bahan prasyarat telah
dikuasai atau belum, (2) Menentukan tingkat penguasaan peserta didik terhadap
bahan yang dipelajari, (3) Memisah-misahkan peserta didik berdasarkan kemampuan
dalam menerima pelajaran yang akan dipelajari dan (4) Menentukan kesulitan-
kesulitan belajar yang dialami untuk menentukan cara yang khusus untuk mengatasi
atau memberikan bimbingan.
2. Pedoman wawancara
Pedoman wawancara perlu disusun agar proses wawancara tidak
menyimpang dari fokus penelitian. Pedoman wawancara disusun untuk mendukung
hasil tes diagnostik.Penggalian data melalui wawancara dilakukan dengan
wawancara tak terstruktur berbasis tes diagnostik. Wawancara tak terstruktur artinya
pertanyaan yang diajukan disesuaikan dengan respon subjek. Jika respon subjek
terhadap pertanyaan yang diajukan tidak sesuai dengan indikator penelitian, maka
diajukan pertanyaan dengan kalimat yang berbeda namun tetap inti permasalahan.
Pertanyaan yang diajukan bersifat menggali dan menghindari sifat penuntun
yang bertujuan untuk memperoleh data tentang pemahaman subjek mengenai konsep
aljabar dalam mata kuliah aljabar linear elementer.Berbasis tes diagnostik
maksudnya pertanyaan-pertanyaan dalam wawancara nantinya berkaitan dengan
39
jawaban subjek terhadap tes diagnostik yang peneliti berikan.
F. Keabsahan Data
Dalam penelitian kualitatif, instrumen utamanya adalah manusia, karena itu
yang diperiksa adalah keabsahan datanya.34Untuk menguji kredibilitas data penelitian
peneliti menggunakan teknik Triangulasi.
Teknik triangulasi adalah menjaring data dengan berbagai metode dan cara
dengan menyilangkan informasi yang diperoleh agar data yang didapatkan lebih
lengkap dan sesuai dengan yang diharapkan. Setelah mendapatkan data yang jenuh
yaitu keterangan yang didapatkan dari sumber-sumber data telah sama maka data
yang didapatkan lebih kredibel.
Jadi setelah penulis melakukan penelitian dengan menggunakan metode
wawancara dan tes tertulis kemudian data hasil dari penelitian itu di gabungkan
sehingga saling melengkapi.
G. Teknik Analisis Data
Analisis data penelitian ini menggunakan tahap-tahap reduksi data, penyajian
data, dan simpulan. Proses analisis tersebut sebagai berikut:
1. Reduksi data
Pada tahap ini, kegiatan yang dilakukan meliputi kegiatan dalam memilih,
menyederhanakan, menggolongkan, dan menajamkan data yang diperoleh dari hasil
tes dan wawancara subjek agar diperoleh data yang sesuai kebutuhan. Data berupa
hasil tes akan ditabulasi berdasarkan kategori jawaban benar, salah, dan tidak
34Nusa Putra dan Ninin Dwilestari, “Penelitian Kualitatif ; Pendidikan Anak Usia Dini”,
(Jakarta: Rajagrafindo Persada, 2012), hlm. 87.
40
menjawab. Pada jawaban yang salah akan ditabulasi lagi berdasarkan
indikatorkemampuan pemahaman matematis.
2. Penyajian data
Pada tahap ini, data tes atau hasil wawancara subjek sudah tersusun
berdasarkan kategori jawaban dan jenis kesalahan sehingga memudahkan peneliti
untuk mengambil suatu simpulan.
Untuk menganalisa data yang telah terkumpul digunakan analisa data non-
statistik, karena jenis penelitian yang digunakan adalah deskriptif kualitatif. Data
yang muncul berupa kata-kata yang menggambarkan hasil penelitian yang diperoleh,
bukan dalam bentuk angka.
Data penelitian yang berupa jawaban responden atas soal yang diberikan pada
mahasiswa, dianalisa kesalahan-kesalahannya untuk mengetahui tingkat
penguasaannya.Selanjutnya kriteria yang digunakan untuk menentukan kategori skor
penguasaan yang diadopsi dari kategori penguasaan matematika adalah skala
tiga.Skala tiga adalah suatu pembagian tingkatan yang terbagi atas tiga kategori,
yaitu:
1) %100%68 P dikategorikan mampu (tinggi)
2) %67%34 P dikategorikan cukup mampu (sedang)
3) %33%0 P dikategorikan tidak mampu (rendah)35
Untuk mengetahui persentase penguasaan indikator kemampuan pemahaman
matematis yang telah dilakukan oleh mahasiswa digunakan rumus:
%100x
S
SP
Dimana:
P Persentase tingkat penguasaan mahasiswa
35Arikunto dan Jabar.Evaluasi Program Pendidikan (Jakarta: Bumi Aksara, 2010), h. 97.
41
S Banyaknya skor indikator yang diperoleh mahasiswa
S Total skor maksimal
3. Simpulan
Pada tahap ini, kegiatan yang dilakukan yakni membuat penarikan simpulan
dari data tes dan wawancara yang sudah disajikan agar mendapatkan simpulan
mengenai kemampuan pemahaman konsep mahasiswa dalam menyelesaikan soal
aljabar linear elementer. Untuk memeriksa keabsahan data penelitian, peneliti
menggunakan triangulasi teknik dengan cara memeriksa data kepada subjek yang
sama dengan teknik berbeda yakni tes diagnostik dan wawancara.36
Teknik analisis data untuk hasil wawancara dilakukan secara interaktif dan
berlangsung secara terus menerus sampai tuntas, sehingga datanya sudah jenuh.
Aktivitas dalam analisis data yaitu reduksi data, penyajian data dan penarikan
kesimpulan.37Hasil tes mahasiswa dianalisis untuk mengetahui pemahaman konsep
matematis mahasiswa. Data hasil wawancara dianalisis untuk mendukung hasil
analisis dari hasil tes diagnostik mahasiswa.
36Sugiyono, Metode penelitian pendidikan (pendekatan kuantitatif,kualitatif dan R&D),
(Bandung: Alfabeta, 2013), h. 336. 37Sugiyono, Metode penelitian pendidikan (pendekatan kuantitatif,kualitatif dan R&D),
(Bandung: Alfabeta, 2013), h. 337.
42
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Deskripsi Hasil Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika
UIN Alauddin Makassar Angkatan 2016. Subjek dalam penelitian ini berjumlah 42
orang mahasiswa.
Berdasarkan hasil final mahasiswa dalam mengerjakan soal aljabar linear
elementer materi ruang vektor, sub ruang vektor dan ruang vektor Euclidean,
ditemukan bagaimana kemampuan pemahaman konsep matematis mahasiswa yang
disajikan sebagai berikut:
a. Soal nomor 1
Pada soal nomor 1, kemampuan pemahaman yang ditunjukkan adalah
mampu menyatakan ulang sebuah konsep (P1) dan mampu menyajikan
konsep dalam bentuk representasi matematis (P3). Adapun soal dan
penyelesaiannya:
Tuliskan 2 vektor dalam R3 dengan norma Euclides 1 yang hasil kali dalam Euclides
dengan (1, 4, -2) nya adalah nol!
Penyelesaian :
Misalkan �� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) dan �� = (1, 4, −2)
dimana �� ⋅ �� = 0 …(P1)
⇒ 𝑢1 + 4𝑢2 − 2𝑢3 = 0
⇒ 𝑢12 + 𝑢2
2 + 𝑢32 = 1
Misalkan 𝑢1 = 0, maka 𝑢3 = 2𝑢2
𝑢22 + (2𝑢2)2 = 1
43
5𝑢22 = 1
𝑢22 =
1
5
𝑢2 = ±1
√5 …(P3)
𝑢2 =1
√5, 𝑢3 =
2
√5, 𝑢1 = 0
𝑢2 = −1
√5, 𝑢3 = −
2
√5, 𝑢1 = 0
Tabel 4.1. Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 1
Indikator kemampuan
pemahaman Subjek Jumlah
Klasifikasi
Kemampuan
Menyatakan ulang sebuah
konsep
S2, S3, S5, S8, S11, S13,
S14, S15, S18, S19, S20,
S21, S23, S25, S26, S27,
S28, S29, S31, S34, S36,
S37, S38, S39, S42
25
Tinggi: 12 subjek
Sedang: 13 subjek
Rendah:17 subjek
Menyajikan konsep dalam
bentuk representasi
matematis
S1, S2, S3, S5, S7, S8,
S9, S11, S13, S14, S15,
S18, S19, S20, S23, S25,
S26, S27, S28, S29, S31,
S34, S36, S37, S38, S39,
S40, S42
28
Tinggi : 14 subjek
Sedang : 14 subjek
Rendah : 14 subjek
b. Soal nomor 2
Pada soal nomor 2, kemampuan pemahaman yang ditunjukkan adalah
mampu memberi contoh dan bukan contoh (P2), mampu menyajikan
konsep dalam bentuk representasi matematis (P3), dan mampu
menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P3). Adapun
soal dan penyelesaiannya:
Buktikan bahwa himpunan semua matriks2 × 2 berbentuk [[𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎]] , 𝑎, 𝑏 ∈
𝑅 dengan penjumlahan matriks dan perkalian skalar adalah suatu ruang vektor, dan
berikan contoh subruang vektornya kemudian tunjukkan!
44
Penyelesaian :
Misalkan 𝐴 = {(𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎) |𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
(i) Misalkan 𝑃, 𝑄 ∈ Α di mana ...(P4)
𝑃 = (𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎) dan 𝑄 = (
𝑥 𝑥 + 𝑦𝑥 + 𝑦 𝑥
) , 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
Maka, 𝑃 + 𝑄 = (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦)
(𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥) ∈ Α
(ii) 𝑃 + 𝑄 = (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦)
(𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥)
= ((𝑥 + 𝑎) (𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏)
(𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏) (𝑥 + 𝑎)) = 𝑄 + 𝑃
(iii) Misalkan 𝑅 = (𝑐 𝑐 + 𝑑
𝑐 + 𝑑 𝑐) , 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ
(𝑃 + 𝑄) + 𝑅 = (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)
(𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥) + (
𝑐 𝑐 + 𝑑𝑐 + 𝑑 𝑐
)
= ((𝑎 + 𝑥) + 𝑐 ((𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)) + (𝑐 + 𝑑)
((𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)) + (𝑐 + 𝑑) (𝑎 + 𝑥) + 𝑐)
= (𝑎 + (𝑥 + 𝑐) (𝑎 + 𝑏) + ((𝑥 + 𝑦) + (𝑐 + 𝑑))
(𝑎 + 𝑏) + ((𝑥 + 𝑦) + (𝑐 + 𝑑)) 𝑎 + (𝑥 + 𝑐))
= 𝑃 + (𝑄 + 𝑅)
(iv) Karena 𝑂 = (0 00 0
) ∈ Α, maka di dalam Α terdapat vektor nol sehingga
𝑃 + 0 = 𝑃 = 0 + 𝑃, ∀𝑃 ∈ Α.
(v) Misalkan 𝑃 ∈ Α di mana 𝑃 = (𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎) dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Maka, −𝑃 = (−𝑎 (−𝑎) + (−𝑏)
(−𝑎) + (−𝑏) −𝑎) ∈ Α
sehingga, 𝑃 + (−𝑃) = 0 = (−𝑃) + 𝑃
(vi) Misalkan k adalah skalar dan 𝑃 ∈ Α dengan 𝑃 =
(𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎) dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Maka, 𝑘𝑃 = (𝑘𝑎 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 𝑘𝑎) ∈ Α
45
(vii) 𝑘(𝑃 + 𝑄) = 𝑘 (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)
(𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥)
= (𝑘𝑎 + 𝑘𝑥 𝑘(𝑎 + 𝑏) + 𝑘(𝑥 + 𝑦)
𝑘(𝑎 + 𝑏) + 𝑘(𝑥 + 𝑦) 𝑘𝑎 + 𝑘𝑥)
= 𝑘𝑃 + 𝑘𝑄
(viii) (𝑘 + 𝑙)𝑃 = (𝑘 + 𝑙) (𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎)
= (𝑎𝑘 + 𝑎𝑙 (𝑎 + 𝑏)𝑘 + (𝑎 + 𝑏)𝑙
(𝑎 + 𝑏)𝑘 + (𝑎 + 𝑏)𝑙 𝑎𝑘 + 𝑎𝑙)
= 𝑘𝑃 + 𝑙𝑃
(ix) 𝑘(𝑙𝑃) = 𝑘 (𝑙𝑎 𝑙(𝑎 + 𝑏)
𝑙(𝑎 + 𝑏) 𝑙𝑎) = (
𝑘(𝑙𝑎) 𝑘(𝑙(𝑎 + 𝑏))
𝑘(𝑙(𝑎 + 𝑏)) 𝑘(𝑙𝑎))
= ((𝑘𝑙)𝑎 (𝑘𝑙)(𝑎 + 𝑏)
(𝑘𝑙)(𝑎 + 𝑏) (𝑘𝑙)𝑎)
= (𝑘𝑙)𝑃
(x) 1 ⋅ 𝑃 = (1 ⋅ 𝑎 1 ⋅ (𝑎 + 𝑏)
1 ⋅ (𝑎 + 𝑏) 1 ⋅ 𝑎) = (
𝑎 𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 𝑎
) = 𝑃 ...(P3)
Berdasarkan uraian di atas, maka A suatu ruang vektor.
Contoh subruang vektornya:
Misalkan 𝐵 = {(𝑎 𝑎𝑎 𝑎
) |𝑎 ∈ ℝ} maka 𝐵 ⊆ 𝐴 …(P2)
i) Misalkan 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐵 di mana 𝑃 = (𝑎 𝑎𝑎 𝑎
) dan 𝑄 = (𝑎 𝑎𝑎 𝑎
) , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Maka, 𝑃 + 𝑄 = (𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
) ∈ 𝐵
ii) Misalkan k adalah skalar dan 𝑃 ∈ 𝐵 di mana 𝑃 = (𝑎 𝑎𝑎 𝑎
) , 𝑎 ∈ ℝ
Maka 𝑘𝑃 = (𝑘𝑎 𝑘𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑎
) ∈ 𝐵
Maka, B subruang dari A.
46
Tabel 4.2. Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 2
Indikator kemampuan
pemahaman Subjek Jumlah
Klasifikasi
Kemampuan
Memberi contoh dan
bukan contoh S5, S13, S24, S25, S27,
S34, S37, S38, S41 9
Tinggi: 1 subjek
Sedang: 8 subjek
Rendah: 33 subjek
Menyajikan konsep dalam
bentuk representasi
matematis
S4, S5, S6, S7, S13, S14,
S21, S24, S25, S27, S34,
S37, S41, S42
14
Tinggi : 4 subjek
Sedang : 10 subjek
Rendah : 28 subjek
Menggunakan,
memanfaatkan, dan
memilih prosedur tertentu
S4, S5, S6, S13, S14,
S24, S25, S27, S34, S37,
S41, S42
12
Tinggi : 6 subjek
Sedang : 6 subjek
Rendah : 30 subjek
c. Soal nomor 3
Pada soal nomor 3, kemampuan pemahaman yang ditunjukkan adalah
mampu menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P4)
dan mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma ke pemecahan masalah
(P5). Adapun soal dan penyelesaiannya:
Jika terdapat suatu sistem persamaan linier seperti berikut:
[1 −2 3
−2 4 −6−1 2 −3
] [𝑥𝑦𝑧
] = [000
]
Apakah solusi dari sistem persamaan di atas adalah subruang dari R3? Jika iya,
tuliskan alasannya begitupun jika tidak!
47
Penyelesaian:
(1 −2 3
−2 4 −6−1 2 −3
|000
)𝑏2 + 2𝑏1
𝑏3 + 𝑏1(
1 −2 30 0 00 0 0
|000
)
Maka, 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 = 2𝑦 − 3𝑧
Misalkan 𝑦 = 𝑠 dan 𝑧 = 𝑡 ⇒ 𝑥 = 2𝑠 − 3𝑡
[𝑥𝑦𝑧
] = [2𝑠 − 3𝑡
𝑠𝑡
] solusi dari SPL di atas
i) Misalkan [
𝑥1
𝑦1
𝑧1
] = [2𝑠1 − 3𝑡1
𝑠1
𝑡1
] dan [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = [2𝑠2 − 3𝑡2
𝑠2
𝑡2
] …(P4)
Maka, [
𝑥1
𝑦1
𝑧1
] + [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = [2(𝑠1 + 𝑠2) − 3(𝑡1 + 𝑡2
𝑠1 + 𝑠2
𝑡1 + 𝑡2
] merupakan solusi dari
SPL tersebut.
ii) Misalkan k adalah skalar dan[𝑥𝑦𝑧
] = [2𝑠 − 3𝑡
𝑠𝑡
] solusi dari SPL tersebut
Maka, 𝑘 [𝑥𝑦𝑧
] = [2(𝑘𝑠) − 3(𝑘𝑡)
𝑘𝑠𝑘𝑡
] juga solusi dari SPL tersebut
Maka, {[2𝑠 − 3𝑡
𝑠𝑡
] | 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ} merupakan subruang dari 𝑅3. …(P5)
Tabel 4.3. Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 3
Indikator kemampuan
pemahaman Subjek Jumlah
Klasifikasi
Kemampuan
Menggunakan,
memanfaatkan, dan
memilih prosedur tertentu
S1, S2, S5, S6, S7, S9,
S10, S15, S17, S18, S20,
S23, S25, S26, S27, S28,
S29, S31, S32, S33, S35,
S36, S37, S38, S39, S41
26
Tinggi: 10 subjek
Sedang: 16 subjek
Rendah:16 subjek
48
Mengaplikasikan konsep
atau algoritma ke
pemecahan masalah
S1, S2, S5, S6, S7, S9,
S10, S12, S14, S15, S17,
S20, S23, S25, S26, S27,
S28, S29, S32, S33, S35,
S36, S37, S38, S41
25
Tinggi : 9 subjek
Sedang : 16 subjek
Rendah : 17 subjek
d. Soal nomor 4
Pada soal nomor 4, kemampuan pemahaman yang ditunjukkan adalah
mampu memberi contoh dan bukan contoh (P2), mampu menggunakan,
memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P4), dan mampu
mengaplikasikan konsep atau algoritma ke pemecahan masalah (P4).
Adapun soal dan penyelesaiannya:
Tuliskan:
a. Contoh himpunan yang merupakan ruang vektor, kemudian tunjukkan!
b. Berikan suatu subruang di ruang vektor pada (a), kemudian tunjukkan!
Penyelesaian :
a. Misalkan 𝑅3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} …(P2)
i) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) ∈ 𝑅3 …(P4)
ii) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦, 𝑐 + 𝑧) = 𝑣 + 𝑢
iii) 𝑤 = (𝑑, 𝑒, 𝑓)
(𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦, 𝑧 + 𝑐) + (𝑑, 𝑒, 𝑓)
= ((𝑎 + 𝑥) + 𝑑, (𝑏 + 𝑦) + 𝑒, (𝑐 + 𝑧) + 𝑓
= (𝑎 + (𝑥 + 𝑑), 𝑏 + (𝑦 + 𝑒), 𝑐 + (𝑧 + 𝑓))
= 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)
iv) Misalkan 𝑂 = (0, 0, 0) ∈ 𝑅3
Sehingga 𝑂 + 𝑢 = 𝑢 = 𝑢 + 𝑂, ∀ 𝑢 ∈ 𝑅3
v) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 maka – 𝑢 = (−𝑥, −𝑦, −𝑧) ∈ 𝑅3
49
Sehingga, 𝑢 + (−𝑢) = 0 = (−𝑢) + 𝑢
vi) Misalkan k adalah skalar dan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3
⇒ 𝑘𝑢 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) ∈ 𝑅3
vii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) dan k skalar
𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘(𝑥 + 𝑎), 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐)
= (𝑘𝑥 + 𝑘𝑎, 𝑘𝑦 + 𝑘𝑏, 𝑘𝑧 + 𝑘𝑐)
= 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣
viii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑘 dan 𝑙 skalar
(𝑘 + 𝑙) 𝑢 = ((𝑘 + 𝑙)𝑥, (𝑘 + 𝑙)𝑦, (𝑘 + 𝑙)𝑧)
= (𝑘𝑥 + 𝑙𝑥, 𝑘𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑘𝑧 + 𝑙𝑧)
= 𝑘𝑢 + 𝑙𝑢
ix) 𝑘(𝑙𝑢) = 𝑘(𝑙𝑧, 𝑙𝑦, 𝑙𝑧) = (𝑘(𝑙𝑥), 𝑘(𝑙𝑦), 𝑘(𝑙𝑧) = ((𝑘𝑙)𝑥, (𝑘𝑙)𝑦, (𝑘𝑙)𝑧)
= (𝑘𝑙)𝑢
x) 1 ⋅ 𝑢 = (1 ⋅ 𝑥, 1 ⋅ 𝑦, 1 ⋅ 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢
Jadi, 𝑅3 merupakan suatu ruang vektor.
b. Misalkan 𝐴 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥, 𝑦, 𝑧 bilangan bulat}
i) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) dengan 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Ζ
⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) ∈ Α
ii) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦, 𝑐 + 𝑧) = 𝑣 + 𝑢
iii) 𝑤 = (𝑑, 𝑒, 𝑓)
(𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) + (𝑑, 𝑒, 𝑓)
= ((𝑥 + 𝑎) + 𝑑, (𝑦 + 𝑏) + 𝑒, (𝑧 + 𝑐) + 𝑓)
= (𝑥 + (𝑎 + 𝑑), 𝑦 + (𝑏 + 𝑒), 𝑧 + (𝑒 + 𝑓))
= 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)
iv) Misalkan 𝑂 = (0, 0, 0) ∈ Α
Sehingga 𝑂 + 𝑢 = 𝑢 = 𝑢 + 𝑂, ∀ 𝑢 ∈ Α
v) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Α maka – 𝑢 = (−𝑥, −𝑦, −𝑧) ∈ Α
Sehingga, 𝑢 + (−𝑢) = 0 = (−𝑢) + 𝑢
50
vi) Misalkan k adalah skalar dan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Α
⇒ 𝑘𝑢 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) ∈ Α
vii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) dan k skalar
𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘(𝑥 + 𝑎), 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐)
= (𝑘𝑥 + 𝑘𝑎, 𝑘𝑦 + 𝑘𝑏, 𝑘𝑧 + 𝑘𝑐)
= 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣
viii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑘 dan 𝑙 skalar
(𝑘 + 𝑙) 𝑢 = ((𝑘 + 𝑙)𝑥, (𝑘 + 𝑙)𝑦, (𝑘 + 𝑙)𝑧)
= (𝑘𝑥 + 𝑙𝑥, 𝑘𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑘𝑧 + 𝑙𝑧)
= 𝑘𝑢 + 𝑙𝑢
ix) 𝑘(𝑙𝑢) = 𝑘(𝑙𝑧, 𝑙𝑦, 𝑙𝑧) = (𝑘(𝑙𝑥), 𝑘(𝑙𝑦), 𝑘(𝑙𝑧) = ((𝑘𝑙)𝑥, (𝑘𝑙)𝑦, (𝑘𝑙)𝑧)
= (𝑘𝑙)𝑢
x) 1 ⋅ 𝑢 = (1 ⋅ 𝑥, 1 ⋅ 𝑦, 1 ⋅ 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢
Maka, Α adalah subruang dari 𝑅3. …(P5)
Tabel 4.4. Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 4
Indikator kemampuan
pemahaman Subjek Jumlah
Klasifikasi
Kemampuan
Memberi contoh dan
bukan contoh
S4, S16, S17, S25, S31,
S38, S40 7
Tinggi: 0 subjek
Sedang: 7 subjek
Rendah: 35 subjek
Menyajikan konsep dalam
bentuk representasi
matematis
S4, S16, S17, S20, S25,
S37, S38, S41, S42 9
Tinggi : 6 subjek
Sedang : 3subjek
Rendah : 33 subjek
Mengaplikasikan
konsep atau algoritma
ke pemecahan masalah
S4, S10, S14, S16, S17,
S25, S37, S38, S41, S42 10
Tinggi : 3 subjek
Sedang : 7 subjek
Rendah : 32 subjek
51
e. Soal nomor 5
Pada soal nomor 5, kemampuan pemahaman yang ditunjukkan adalah
mampu menyatakan ulang sebuah konsep (P1) dan mampu menggunakan,
memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P4). Adapun soal dan
penyelesaiannya:
Buktikan untuk sebarang vektor u, v dan w. Vektor-vektor u-v, v-w, w-u membentuk
himpunan yang tak bebas secara linier, kemudian berikan contohnya!
Penyelesaian :
Misalkan 𝑆 = {�� − 𝑣, �� − ��, �� − ��}
Karena �� − �� = (−1)(�� − ��) + (−1) (�� − ��), maka �� − �� merupakan
kombinasi linier dari �� − �� dan �� − ��
sehingga, S tidak bebas linier. …(P4)
Contoh:
�� = (1, 2, 3)
�� = (4, 5, 7)
�� = (8, 9, 10)
�� − �� = (−3, −3, −4)
�� − �� = (−4, −4, −3)
�� − �� = (7, 7, 7)
(−1)(�� − ��) + (−1)(�� − ��) = (−7, −7, −7) + (4, 4, 3)
= (−3, −3, −4) = �� − ��
Karena �� − �� merupakan kombinasi linier dari �� − ��dan �� − ��, maka {�� − 𝑣, �� −
��, �� − ��} tidak bebas linier. …(P1)
52
Tabel 4.5. Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 5
Indikator kemampuan
pemahaman Subjek Jumlah
Klasifikasi
Kemampuan
Menyatakan ulang sebuah
konsep
S1, S4, S5, S6, S9, S10,
S13, S14, S16, S17, S18,
S21, S22, S23, S24, S25,
S27, S28, S33, S35, S36,
S38, S40, S41, S42
25
Tinggi: 13 subjek
Sedang: 12 subjek
Rendah:17 subjek
Tinggi : 17 subjek
B. Analisis dan Validasi Data
Berdasarkan penilaian hasil kerja mahasiswa dan untuk mengetahui lebih jauh
tentang faktor-faktor yang mempengaruhi kemampuan pemahaman tersebut, maka
peneliti memilih beberapa mahasiswa untuk dianalisis jawabannya. Pemilihan
mahasiswa ini dilakukan dengan pertimbangan bahwa beberapa mahasiswa tersebut
memperoleh nilai yang tinggi, sedang dan rendah dalam mengerjakan soal terkait
dengan pemahaman konsep ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor euclidean.
Berikut hasil analisis pengkategorian keseluruhan dan persentase
ketercapaiannya:
Tabel 4.6 : Deskripsi Kemampuan Pemahaman Keseluruhan
NO Indikator Pemahaman
Konsep
Rata-
Rata
Skor
Maksimal (%) Ketercapaian
1 Kemampuan menyatakan
ulang sebuah konsep 11,40 20 57 %
2 Kemampuan memberi
contoh dan bukan contoh 1,70 20 8,5 %
53
3
Kemampuan menyajikan
konsep dalam berbagai
bentuk representasi
matematika
8,5 20 42,5 %
4
Kemampuan
menggunakan,
memanfaatkan dan
memilih prosedur
tertentu
9,95 20 49,75 %
5
Kemampuan
mengaplikasikan
konsep/algoritma ke
pemecahan masalah
6,6 20 33 %
. Selanjutnya kriteria yang digunakan mengapa mahasiswa dikategorikan ke
dalam kategori yaitu berdasarkan pada 3 skala pembagian tingkatan yaitu:
1. %100%68 P dikategorikan mampu (tinggi)
2. %67%34 P dikategorikan cukup mampu (sedang)
3. %33%0 P dikategorikan tidak mampu (rendah)
Setelah melakukan tes diagnostik, rata-rata ketercapaian indikator secara
keseluruhan sebesar 38%. Mahasiswa tergolong cukup mampu pada indikator: (1)
pemahaman mampu menyatakan ulang sebuah konsep, (2) menyajikan konsep dalam
berbagai bentuk representasi matematika, (3) menggunakan, memanfaatkan dan
memilih prosedur tertentu, dan (4) mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan
masalah. Namun, mahasiswa tergolong tidak mampu pada indikator kemampuan
memberi contoh dan bukan contoh. Hal tersebut berdasarkan hasil analisis data yang
dilakukan secara keseluruhan, sehingga persentase ketercapaian mahasiswa berada
pada kategori cukup mampu.
Beberapa mahasiswa kemudian dipilih untuk diwawancarai terkait hasil
pengerjaan soalnya, dipilih 5 mahasiswa di antaranya yaitu S5 yang mewakili
kategori tinggi, S12 dan S18 yang mewakili kategori sedang, S20 dan S24 yang
54
mewakili kategori rendah nilainya terkait dengan pemahaman konsep ruang vektor,
sub ruang vektor dan vektor Euclidean.
Selanjutnya, untuk menelusuri lebih dalam tentang kemampuan mahasiswa
terkait dengan pemahaman konsep dan faktor-faktor yang mempengaruhi
kemampuan pemahaman tersebut, maka dilakukan wawancara mendalam terhadap
kelima mahasiswa yang terpilih. Data hasil wawancara kemudian dibandingkan
dengan data hasil final mahasiswa (triangulasi data), dengan tujuan untuk
mendapatkan data yang valid.
Berikut adalah hasil analisis dan validasi data terhadap mahasiswa dalam
memahami konsep pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer:
Kemampuan mahasiswa dalam memahami konsep ruang vektor, sub ruang
vektor dan vektor Euclidean dapat ditinjau dari hasil final dan wawancara terkait
dengan pemahaman konsep ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor Euclidean.
Adapun uraian kemampuan pemahaman mahasiswa sebagai berikut:
1. Hasil pengerjaan tes diagnostik dan wawancara dengan S5:
Mahasiswa S5 dipilih berdasarkan kemampuan pemahaman yang termasuk
dalam kategori mampu (tinggi).
Gambar 4.1 Hasil Kerja Mahasiswa S5
55
(soal nomor 1)
Gambar 4.2 Hasil Kerja Mahasiswa S5
(soal nomor 2)
Gambar 4.3 Hasil Kerja Mahasiswa S5
(soal nomor 4)
Gambar 4.4 Hasil Kerja Mahasiswa S5
56
(soal nomor 5)
Petikan wawancara dengan mahasiswa S5 terkait dengan hasil pengerjaan di atas:
Peneliti :“Untuk soal nomor 1, apakah anda paham dengan
maksud soal tersebut?”
S5 :”Iye kak, maksudnya kita diminta menuliskan vektor
dimensi tiga dengan norma euclides satu yang
hasilkali dalamnya sama dengan nol” (J1)
Peneliti :“Apakah anda tahu atau paham dengan konsep vektor
R3?”
S5 :“Hm, vektor R3 itu vektor berdimensi 3 yang di
dalamnya terdapat 3 elemen seperti u1, u2, dan u3” (J2)
Peneliti :”Yah benar, kalau norma euclides satu? Apakah anda
paham maksudnya?”
S5 :”Tidak kak” (J3)
Peneliti :”Bagaimana dengan hasilkali dalam Euclides dengan
(1, 4, -2) adalah nol?”
S5 :”Itu kak, kalau dikalikan dengan vektor u hasilnya
sama dengan nol” (J4)
Peneliti :“Pada nomor 2 dan 4, mengapa adek memilih
menggunakan prosedur seperti ini untuk mengerjakan
soal?”
S5 :”Tidak kutahu sebenarnya caranya ini, jadi waktu itu
saya jawab sembarang ji kak” (J5)
Peneliti :”Oke, Saya perhatikan dari hasil kerja soal final ta,
sepertinya adek memang paham dengan konsep dalam
57
mata kuliah ini. Tapi kenapa soal nomor 3 tidak
dijawab?”
S5 :”Karena tidak kutahu cari solusinya ini sistem
persamaan linear kak, jadi tidak bisa ditentukan ini
sub ruangnya.” (J6)
Peneliti :”Seperti itu? Tapi ini soal yang kita kerjakan memang
waktu itu betul-betul kita tau konsepnya atau hanya
menebak-nebak?”
S5 :”Iye, bisa dibilang tahu konsep karena belajarka
sebelum ujian.” (J7)
Peneliti :”Apakah itu anda pelajari sewaktu menjelang ujian
atau anda memang paham konsep itu dari
pembelajaran di kelas?”
S5 :”Sudah dipelajari di kelas, tapi saya pelajari ulang
juga waktu mau ujian.” (J8)
Peneliti :”Apakah pada saat belajar, anda juga mengerjakan
soal-soal latihan?”
S5 :”Tugas yang pernahji dikerja sebelumnya saya kerja
ulang kak” (J9)
Peneliti :”Jadi apakah anda paham dengan maksud dari semua
soal final ini?”
S5 :”Ada beberapa yang tidak kak, seperti untuk
membuktikan, kurang bisaka karna banyak aksioma
yang harus dipelajari dan semuanya harus
58
berhubungan, sama itu kak, bingungka kasih contoh itu
harus pakai variabel atau bisa pake angka.” (J10)
Peneliti :”Oh tapi sebagian besar sudah dipahami?”
S5 :”Iye bisa dibilang begitu kak” (J11)
Berdasarkan hasil pengerjaan dan petikan wawancara dengan mahasiswa S5
di atas, menurut jawaban kedua dari S5 (J2), dapat dikatakan bahwa S5 sudah bisa
menyatakan ulang konsep terkait materi ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor
Euclidean. Berdasarkan (J4), S5 menunjukkan mampu menyajikan konsep dalam
bentuk representasi matematis. Namun berdasarkan (J6) dan (J10), S5 mengaku
masih ada kendala memilih atau menentukan prosedur untuk menyelesaikan
soal/permasalahan seperti halnya dalam memahami konsep seperti aksioma dalam
mengerjakan soal pembuktian dengan alasan prosedurnya yang terlalu panjang dan
masih bingung dalam menggunakan variabel atau konstanta dalam memberi contoh.
Selain itu, masih ada sebagian konsep yang digunakan dalam mengerjakan soal
hanya berdasarkan dugaan, bukan karena benar-benar paham dengan konsep.
Berdasarkan petikan wawancara di atas juga diperoleh faktor-faktor yang
mempengaruhi kemampuan pemahaman S5 yang dapat disimpulkan dari jawaban
subjek pada (J7), (J8), dan (J9), di mana peneliti menyimpulkan bahwa intensitas
belajar merupakan faktor yang mempengaruhi kemampuan pemahaman. Sedangkan
faktor lainnya terdapat pada (J10), di mana S5 tidak memahami konsep aksioma
ruang vektor dikarenakan prosedur yang terlalu panjang.
2. Hasil pengerjaan tes diagnostik dan wawancara dengan S12:
Mahasiswa S12 dipilih berdasarkan kemampuan pemahaman yang termasuk
dalam kategori kurang mampu (sedang).
59
Gambar 4.5 Hasil Kerja Mahasiswa S12
(soal nomor 1, 3 dan 5)
Gambar 4.6 Hasil Kerja Mahasiswa S12
(soal nomor 2)
Petikan wawancara dengan mahasiswa S12 terkait dengan jawaban di atas:
Peneliti :”Apakah anda paham dengan maksud dari soal
nomor 5”?
S12 :”Paham ji kak maksudnya” (J1)
60
Peneliti :”Tapi mengapa anda tidak menunjukkan himpunan
yang tidak bebas linear di jawaban anda?”
S12 :”Bingung ka bagaimana caranya kak” (J2)
Peneliti :”Bagian mana yang bikin ki bingung sehingga tidak
bisa membuktikan bahwa ini himpunan tak bebas linier
sedangkan kita paham konsepnya?
S12 :”Tidak tauka tentukan permisalannya kak, tapi saya
tauji kalau himpunan tak bebas itu yang memiliki lebih
dari satu solusi” (J3)
Peneliti :”Nah, jadi kita cuma tahu konsep tapi tidak bisa
menuangkan ke soal, kira-kira kenapa seperti itu dek?
Dan di sini banyak saya lihat soal yang kita kerjakan
tapi setengah-setengah?”
S12 :”Mungkin karena waktu mau uijian itu, saya baru
belajar malamnya kak, jadi itu yang saya pelajari
setengah-setengahji” (J4)
Peneliti :”Apakah waktu belajar, kita juga latihan-latihan
mengerjakan soal?”
S12 :”Tidak kak, materinya ji saya pelajari” (J5)
Peneliti :”Apakah di kelas anda memperhatikan kalau dosen
menjelaskan?”
61
S12 :”Kadang-kadang kak, karena di kelas biasa ngantuk,
main hp, atau cerita-cerita ji kakk, tapi kalau saya
suka materinya pada saat itu, pasti saya perhatikan”
(J6)
Peneliti :”Oh tergantung materinya yah?”
S12 :”Iye, kalau saya seperti itu kak” (J7)
Peneliti :”Kalau ada materi yang tidak dimengerti, apakah
adek bertanya sama dosen?”
S12 :”Tidak kak, malu-maluka, biasa sama temanku jka
bertanya” (J8)
Peneliti :”Kalau temannya tidak tau bagaimana?”
S12 :”Tidak kenapa-kenapa ji kak, nda bertanya ma” (J9)
Peneliti :“Oh iya, ini soal nomor 4 kenapa dikosongkan?
Apakah anda tidak tahu konsepnya?”
S12 :”Kalau tidak salah ini cara kerjanya pakai aksioma-
aksioma yang banyak itu kak” (J10)
Peneliti :“Iya, tapi kenapa anda kosongkan jawabannya?”
S12 :”Tidak mengertika materinya kak, karena panjang
proses pengerjaannya jadi menurut ku susah” (J11)
Berdasarkan hasil pengerjaan dan petikan wawancara dengan mahasiswa
S12 di atas, dari jawaban (J1), (J2), dan (J3), subjek mengaku mengetahui konsep
namun masih bingung dalam menentukan prosedur untuk menyelesaikan soal. Dapat
dikatakan bahwa mahasiswa masih keliru dalam menentukan cara menjawab soal,
62
belum bisa menggunakan prosedur dengan sistematis, tidak mampu memberi contoh
dari suatu konsep.
Berdasarkan petikan wawancara di atas, adapun faktor-faktor yang
mempengaruhi kemampuan pemahaman S12, antara lain: berdasarkan jawaban (J4)
dan (J5), S12 belajar hanya pada saat menjelang ujian dan hanya mempelajari konsep
tanpa latihan mengerjakan soal yang berkaitan, sehingga S12 memahami hanya
sebagian dari konsep, hal ini menyebabkan S12 tidak bisa menyelesaikan satu
soal/permasalahan meskipun sebenarnya tahu konsepnya. Selain itu, berdasarkan
jawaban subjek pada (J6), S12 jarang memperhatikan saat dosen menjelaskan di
kelas atau dapat dikatakan kurang berkonsentrasi saat pembelajaran berlangsung.
Selain itu, S12 masih malu-malu untuk bertanya pada dosen dan lebih memilih
bertanya pada teman apabila ada materi yang sulit dipahami (J8). Pada (J9) dan (J10),
S12 merasa kesulitan memahami konsep aksioma dengan alas an prosedur yang
terlalu panjang dan rumit.
3. Hasil pengerjaan tes diagnostik dan wawancara dengan S20:
Mahasiswa S20 dipilih berdasarkan kemampuan pemahaman yang termasuk
dalam kategori tidak mampu (rendah).
63
Gambar 4.7 Hasil Kerja Mahasiswa S20
(soal nomor 1)
Gambar 4.8 Hasil Kerja Mahasiswa S20
(soal nomor 3)
Petikan wawancara dengan mahasiswa S20 terkait dengan jawaban di atas:
Peneliti :”Pada soal nomor 1, apakah Anda paham dengan
maksud soalnya”?
S20 :”Paham ji kalo soalnya kak, jawabannya tidak” (J1)
Peneliti :”Apanya yang tidak dipahami?”
S20 :”Cara menjawabnya tidak kutau” (J2)
Peneliti :”Lalu mengapa anda menjawab seperti ini?”
S20 :”Asal jawab ja kayaknya ini kak, karena nda saya
taumi apa mau saya isikan” (J3)
Peneliti :”Artinya anda memang tidak paham dengan materi
ini?”
S20 :”Iye begitu mi mungkin” (J4)
64
Peneliti :”Bagaimana dengan soal nomor 3, apakah kita
pahami soalnya atau sama seperti nomor 1, anda
hanya menebak-nebak jawaban?”
S20 :”Samaji mungkin kak, karena seingatku waktu ujian
ini sama sekali tidak ada kutahu” (J5)
Peneliti :”Kenapa begitu dek?Apakah memang tidak belajar
atau materinya yang terlalu sulit?”
S20 :”Belajar ji kak, tapi lain saya pelajari, lain juga
soalnya yang naik” (J6)
Peneliti :”Loh? Kan kita tau ji materi yang mau diujiankan,
dan sudahki diajari sama dosen sebelumnya”
S20 :”Maksudku kak nda saya pelajari semuanya, pusing
ka juga yang mana mau saya pelajari karena banyak
dan susah semua” (J7)
Peneliti :“Apakah kita nda coba kerja soal latihan sebelum
ujian?”
S20 :“Tidak kak.” (J8)
Peneliti :“Apakah adek perhatikan kalau dosen menjelaskan di
kelas?”
S20 :“Perhatikan ji kak, tapi tetap ja tidak mengerti, jadi
kadang main hp ji kak kalau di kelas.” (J9)
Peneliti :“Jika ada materi yang tidak dipahami, apakah anda
bertanya sama dosen?”
S20 :“Tidak” (J10)
65
Peneliti :“Kalau sama teman, bertanya ki?”
S20 :“Tidak juga kak.” (J11)
Peneliti :“Kenapa tidak bertanya?”
S20 :”Kadang malu ka kak kalau mau bertanya” (J12)
Peneliti :“Buku apa yang kita pelajari atau adakah buku
aljabar linear ta?”
S20 :”Itumi juga masalahnya kak, tidak ada buku aljabar
ku.” (J13)
Berdasarkan hasil pengerjaan dan petikan wawancara dengan mahasiswa
S20 di atas, dari jawaban subjek pada (J1), (J1), (J1), dan (J1) dapat diketahui bahwa
mahasiswa tidak paham dengan materi soal sehingga menyebabkan mahasiswa tidak
menjawab sebagian besar soal yang diberikan dan kalau pun ada soal yang dijawab,
itu hanya berdasarkan perkiraan subjek. Dengan demikian, S20 menunjukkan
kemampuan pemahaman yang rendah (tidak mampu).
Berdasarkan petikan wawancara di atas, faktor-faktor yang mempengaruhi
kemampuan pemahaman subjek tersebut antara lain: S20 kurang mempelajari materi
karena terlanjur menganggap materinya susah (J7), tidak latihan mengerjakan soal
yang berkaitan dengan materi (J8) , kurang memperhatikan dosen ketika proses
pembelajaran dan lebih memilih bermain gadget/tidak konsentrasi (J9), malu
bertanya pada dosen maupun temannya (J12), dan tidak memiliki buku pegangan
sendiri sebagai sumber ajar yang lain (J13). Hal-hal tersebut yang menjadi pemicu
rendahnya kemampuan pemahaman S20.
66
C. Pembahasan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan pada mahasiswa jurusan
pendidikan matematika angkatan 2016. Dalam penelitian ini subjek yang diteliti
sebanyak 42 orang. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana
pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer mahasiswa
pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 berdasarkan
indikator kemampuan pemahaman matematis pada materi ruang vektor, subruang
vektor, dan ruang vektor Euclidean dan untuk mengetahui faktor-faktor yang
mempengaruhi kemampuan pemahaman konsep pada mata kuliah Aljabar Linear
Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar angkatan
2016.
Peneliti ingin mengetahui kemampuan pemahaman matematis mahasiswa
melalui soal tes diagnostik yang terdiri 5 soal uraian aljabar linear elementer yang
disusun berdasarkan materi ruang vektor, subruang vektir dan ruang vektor
Euclidean dan tes wawancara dari beberapa mahasiswa yang nilai tertinggi, sedang
dan rendah. Dari hasil analisis pengerjaan mahasiswa, peneliti mengkategorikan
mahasiswa berdasarkan kategori mampu, cukup mampu, dan tidak mampu. Pertama,
mahasiswa yang termasuk ke dalam kategori mampu yaitu mereka mengetahui
konsep dan mengetahui terbentuknya konsep atau menyatakan ulang sesuai konsep
dalam hal ini mereka mampu menyelesaikan soal-soal yang diberikan dan
mengaplikasikan ke dalam tes/soal ujian yang diberikan. Mereka juga di kategorikan
mampu karena mampu menyelesaikan sendiri ketika di tengah proses penyelesaian
ada hal yang salah. Kedua, mahasiswa yang termasuk ke dalam kategori cukup
mampu yaitu mereka yang mngetahui konsep tetapi tidak menyatakan ulang sesuai
konsepnya atau mereka yang mengetahui seperti apa permasalahan pada soal-soal
67
tetapi tidak dapat menyelesaikan ke dalam tes/soal ujian yang diberikan, hal ini
senada dengan beberapa jawaban mahasiswa yang tidak dapat menyelesaikan soal
yang diberikan tetapi mereka mengetahui seperti apa konsep yang akan digunakan.
Ketiga, mahasiswa yang termasuk ke dalam kategori tidak mampu mereka yang tidak
mengetahui seperti apa konsepnya dan tidak menyatakan ulang konsepnya atau tidak
dapat menjawab tes/soal ujian yang diberikan serta tidak dapat menyelesaikannya,
hal ini karena ada mahasiswa yang memang tidak memahamai seperti apa yang
ditanyakan pada soal dengan alasan tidak pernah didapatkan sebelumnya dan mereka
tidak dapat menyelesaikan dengan alasan sudah lupa seperti apa konsep yang akan
digunakan untuk menyelesaikannya tes/soal ujian tersebut meskipun mereka
memahami materi dalam tes/soal ujian yang diberikan.
Berdasarkan hasil wawancara pada beberapa mahasiswa melalui tes
diagnostik yang mendapat nilai tinggi, sedang dan rendah ternyata pemahaman
kemampuan matematis mahasiswa berada pada kategori kurang mampu yang
menunjukkan bahwa mahasiswa mengetahui konsep tetapi tidak menyatakan ulang
sesuai konsepnya atau mereka yang mengetahui seperti apa permasalahan pada soal-
soal tetapi tidak dapat menyelesaikan ke dalam tes/soal ujian yang diberikan, hal ini
senada dengan beberapa jawaban mahasiswa yang tidak dapat menyelesaikan soal
yang diberikan tetapi mereka mengetahui seperti apa konsep yang akan digunakan.
berada pada tingkatan pemahaman intruksional (intructional understanding) dimana
menurut Skemp dalam Hadiwiyanti seseorang baru berada ditahap tahu atau hafal
tetapi dia belum atau tidak tahu mengapa hal itu bisa dan dapat terjadi.Lebih lanjut,
seseorang pada tahapan ini juga belum atau tidak bisa menerapkan hal tersebut pada
keadaan baru yang berkaitan. Hal ini berarti seseorang dapat mengetahui konsep
yang digunakan namun tidak mengetahui mengapa prosedur itu yang digunakandan
68
terkadang hanya menebak jawaban yang diperoleh.38Hal inilah yang terjadi pada
mahasiswa Jurusan PendidikanMatematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016.
Ada beberapa mahasiswa tidak tahu mengapa konsep itu yang digunakan dalam
menyelesaikan tes/soal ujian dan mahasiswa tersebuthanya menebak-nebak seperti
apa konsep yang akan digunakan untuk menyelesaikan soal yang diberikan. Adapun
gambaran pemahaman dan faktor-faktor yang mempengaruhi serta memperkuat
alasan dari kesimpulan dari setiap subjek wawancara adalah tentang kurangnya
pemahaman konsep mahasiswa tentang materi yang terkait adalah wawancara
langsung yang dilakukan pada lima subjek yang pada hakikat nya dan secara
keseluruhan baik dari hasil wawancara dari nilai tertinggi, sedang maupun rendah
adalah mahasiswa ketika mendapatkan suatu masalah, sebenarnya bisa
menyelesaikannya namun yang menjadi kendala saat proses pembelajaran
berlangsung mahasiswa masih banyak yang kurang percaya diri untuk bertanya
kepada dosennya sehingga saat diberikan suatu masalah yang terkait dengan materi
dalam hal ini pemberian tes/soal ujian mahasiswa sudah bingung menjawab, padahal
notabenenya soal tersebut mudah dipahami. Hal lain yang menjadi permasalahan
kurangnya pemahaman konsep karena bayangan dari luar masih banyak yang
mempengaruhi, seperti penggunaan gadget saat belajar dan sebagian besar saat
belajar mahasiswa banyak yang kurang memperhatikan. Selain itu, kurang nya
pengulangan materi yang terkait dirumah..Selain hal yang mendasar di atas yang
mempengaruhi pemecahan masalah dari kemampuan pemahaman konsep matematis
adalah pengetahuan awal, apresisasi matematika, dan kecerdasan logis matematis
mahasiswa. Pengetahuan awal yang dimaksud adalah kemampuan pengetahuan
38Irma Hadiwiyanti, “Analisis Pemahaman Konsep Fisika Siswa Smp Dan Penerapannya Di
Lingkungan Sekitar,”h. 12.
69
mahasiswa dapat membantu mahasiswa dalam memahami materi pokok yang akan
dipelajari. Hal ini dikarenakan ada bagian-bagian tertentu dari pengetahuan awal
mahasiswa yang muncul dari materi pokok. Apresiasi matematika, yaitu untuk
memiliki kemampuan pemecahan masalah dalam pemahaman konsep ini memang
sangat sulit untuk dilakukan, namun hal ini tidak akan sulit dilakukan jika apresiasi
matematika tumbuh dalam diri mahasiswa. Adapun maksud dari kecerdasan logis
adalah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan pemahaman konsep
terdapat empat langkah atau fase yang harus dilakukan oleh mahasiswa itu sendiri
diantaranya memahami masalah terlebih dahulu, melaksanakan rencana, dan
mengecek kembali hasil penyelesaian yang telah dilakukan mahasiswa tersebut.
Hal ini menunjukkan bahwa pada mahasiswa Jurusan Pendidikan
Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 setelah dilakukan analisis secara
keseluruhan mulai dari tes diagnostik dan tes wawancara maka mahasiswa tergolong
dalam kategori cukup mampu dalam kemampuan pemahaman konsep pada mata
kuliah aljabar linear elementer. Meskipun masih ada beberapa dari mahasiswa yang
berada pada kategori tidak mampu dalam menjawab tes/soal ujian yang diberikan
tentang pemahaman kemampuan matematis dalam menyelesaikan soal aljabar linear
elementer, namun ada sebagian dari mahasiswa yang masih bisa termasuk dalam
kategori cukup mampu bahkan kategori mampu. Hanya saja, seringkali mahasiswa
sudah mulai lupa dengan konsep yang akan diterapkannya, terlebih ketika materinya
sudah lama berlalu.
70
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan sebelumnya, makadiperoleh:
1. Berdasarkan hasil tes diagnosttik, kemampuan pemahaman mahasiswa
Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016
dalam menyelesaikan soal aljabar linear elementer pada konsep ruang vektor,
subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean jika ditinjau dari indikator
kemampuan pemahaman matematis, mahasiswa tergolong cukup mampu
pada indikator: (1) pemahaman mampu menyatakan ulang sebuah konsep, (2)
menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika, (3)
menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu, dan (4)
mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan masalah. Namun,
mahasiswa tergolong tidak mampu pada indikator kemampuan memberi
contoh dan bukan contoh. Hal tersebut berdasarkan hasil analisis data yang
dilakukan secara keseluruhan, sehingga persentase ketercapaian mahasiswa
berada pada kategori cukup mampu. Berdasarkan hasil wawancara dengan
lima subjek yang dipih berdasarkan kategori mampu, cukup mampu dan tidak
mampu, diperoleh pada mahasiswa yang tergolong mampu dapat memenuhi
sebagian besar indikator kemampuan pemahaman, sedangkan pada
mahasiswa yang tergolong cukup mampu masih memiliki kendala dalam
menuangkan atau menggunakan konsep yang diketahui ke dalam
soal/permasalahan. Dan pada mahasiswa yang yang tergolong tidak mampu
71
memiliki kendala dalam memahami konsep-konsep terkait materi ruang
vektor, sub ruang vektor dan vektor Euclidean.
2. Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa
Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 pada mata
kuliah Aljabar Linear Elementer dalam konsep ruang vektor, sub ruang
vektor, dan ruang vektor Euclidean, yaitu:
a. Faktor internal yang mempengaruhi pemahaman konsep matematis mahasiswa
adalah adalah: (1) kurangnya minat belajar, (2) sikap belajar yaitu kurang fokus
dalam belajar, (3) motivasi belajar rendah, (4) konsentrasi belajar yang rendah,
(5) kemampuan mengingat yang rendah, dan (6) kurangnya rasa percaya diri
mahasiswa.
b. Faktor eksternal yang mempengaruhi kemampuan pemahaman konsep
mahasiswa adalah: (1) Mahasiswa kurang memahami maksud soal, (2)
mahasiswa lupa konsep aksioma, (3) mahasiswa tidak tahu konsep aksioma, (4)
penggunaan gadget selama proses pembelajaran, (5) dosen yang kurang
memperhatikan mahasiswa selama proses pembelajaran, (6) tidak adanya buku
pegangan mahasiswa.
B. Implikasi Penelitian
Berdasarkan kesimpulan di atas, maka temuan dari penelitian ini mencakup
dua hal yaitu bagaimana tingkat kemampuan pemahaman konsep yang dimiliki oleh
mahasiswamahasiswa jurusan Pendidikan MatematikaUIN Alauddin
Makassarangkatan 2016 dalam memahami konsep pada mata kuliah Aljabar Linear
Elementer terkait konsep ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean, serta
faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya kesulitan-kesulitan tersebut.
72
Faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep matematis mahasiswa
pada materi ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor Euclideanyang dimiliki oleh
mahasiswa jurusan Pendidikan MatematikaUIN Alauddin Makassar Angkatan 2016
meliputi faktor yang menyebabkan kesulitan dalam mengerjakan soal FinalAljabar
Linear Elementer. Kesulitan karena tidak memahami maksud soal, mahasiswa perlu
memahami kembali bentuk-bentuk pernyataan matematika baik itu pernyataan
tunggal maupun majemuk.Kesulitan karena tidak memahami dan menguasai
penggunaan aksioma dan definisi, mahasiswa perlu lebih memahami kembali
berbagai aksioma dan definisi dalam materi tersebut sehingga mudah
menggunakannya sebagai dasar pembuktian serta memperbanyak latihan dan
mengkaji pembuktian-pembuktian pernyataan matematika. Mahasiswa perlu
membaca dan memahami kembali konsep ruang vektor dengan jalan mengkaji ulang
materi ruang vektor serta meminta penjelasan dari orang lain yang lebih paham
dengan materi ruang vektor.
Faktor internal yang mempengaruhi kesulitan belajar matematika mahasiswa
adalah kurangnya minat belajar, sikap belajar yaitu kurang fokus dalam belajar,
motivasi belajar rendah, konsentrasi belajar yang rendah serta kemampuan
mengingat yang rendah.Sebaiknya dosen menggunakan metode mengajar yang
inovatif dan kreatif untuk mempermudah mahasiswa.
Sedangkan, faktor eksternal yang mempengaruhi kesulitan belajar
matematika mahasiswa adalah dosen dalam memberikan pemahaman kurang jelas,
tidak adanya buku pegangan mahasiswa sebagai sumber ajar yang lain. Sebaiknya
73
mahasiswa memiliki buku sendiri terkait mata kuliah Alajabar Linear Elementer
minimal 1 buku.
C. Saran
Berdasarkan kesimpulan di atas, maka saran dalam penelitian ini sebagai
berikut:
1. Bagi Mahasiswa
a. Mahasiswa hendaknya memiliki semangat dan motivasi belajar yang lebih tinggi
dengan disiplin belajar terutama pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer
materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan Vektor Euclidean.
b. Mahasiswa hendaknya meningkatkan kemampuan belajar dengan lebih rajin
mengulang materi yang diajarkan dosen serta aktif berlatih mengerjakan variasi
soal pada materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan Vektor Euclidean.
2. Bagi Dosen
a. Dosen perlu membangkitkan semangat dan motivasi belajar mahasiswa terutama
dalam pelajaran matematika materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan
Vektor Euclidean.
b. Dosen perlu memberikan penjelasan lebih jelas lagi untuk mempermudah dan
memberi pemahaman konsep matematika materi Aljabar Linear
Elementerkepada mahasiswa.
c. Dosen dapat memberikan tambahan latihan soal materi Ruang Vektor , Sub
Ruang Vektor dan Vektor Euclidean dengan variasi soal lebih banyak supaya
mahasiswa mendapatkan pengalaman belajar lebih.
74
3. Bagi Peneliti Selanjutnya
a. Peneliti perlu melakukan kajian lebih dalam tentang pemahaman konsep
matematika yang dimiliki mahasiswa serta faktor yang mempengaruhi
kemampuan pemahaman konsep, baik ditinjau dari aspek afektif, kognitif dan
psikomotorik.
b. Peneliti perlu melakukan penelitian serupa dengan sumber data yang berbeda
untuk melihat seberapa tinggi kemampuan pemahaman konsep matematika
materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan Vektor Euclidean.
75
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Kadir, Abdul. Dasar-dasar Pendidikan. Jakarta: Kencana Prenada Media Group, 2012.
Ade Irfan dan Anzora, ‘Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon
Guru Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Abulyatama Aceh’, Jurnal Dedikasi Pendidikan Volume 1, No. 1, Januari 2017.
Arikunto, Prof. Dr. Suharsimi. Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktik, Edisi
Revisi VI. Jakarta; PT Rineka Cipta, 2006. Badar Al-Tabany, Trianto Ibnu. Mendesain Model Pembelajaran Inovatif, Progresif,
dan Kontekstual.Cet I; Jakarta: PT Kharisma Putra Utama, 2014. Cita Dwi Rosita, Laelasari, M.Subali. Analisis Kemampuan Pemahaman Matematis
Mahasiswa Pada Matakuliah aljabar Linear 1.Jurnal, Pendidikan Matematika FKIP Unswagati vol 1.No 2.
Dantes, Nyoman. Metode Penelitian. Yogyakarta: C.V Andi Offset.2014. Darmito, Bambang Priyo. Upaya Peningkatan Pemahaman Konsep Aljabar dan
Sikap Mahasiswa Calon Guru Matematika terhadap Pembelajaran Berbasis Komputer.Jurnal Pendidikan Vol. 23, No. 1, 2014.
Daryanto, H. M. Evaluasi Pendidikan. Jakarta: PT Rineka Cipta, 2008. Departemen Agama Republik Indonesia, Al-Qur’an dan Terjemahan. Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya.Jakarta: Pusat
Pembukuan, 2008. Howard Anton dan Chris Rorres.Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi.Edisi ke-8
Jilid 1; Jakarta: Penerbit Erlangga, 2002. http://aby-matematika.blogspot.co.id/2011/08/sejarah-aljabar.html(diakses 25 Juli
2017) Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, ‘Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam
Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon), Jurnal, EduMa Vol. 1, No. 1.Juni 2009.
M. Cholik Adinawan dan Sugijono.Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester
1. Jakarta: Erlangga, 2007. Mahmuda, Rohmatuh, ‘Upaya meningkatkan prestasi belajar siswa padajenjang
sekolah menengah atas materi peluang menggunakan metode pemecahan
76
masalah’, Jurnal Tadris Matematika institute agama islam negeri (IAIN)Tulungagung.
Mia Fitria, Made Arnawa dan Lufri, ‘Pengembangan Modul Aljabar Linear
Elementer Bernuansa Konstruktivisme Berbantuan ICT’, e-Journal UNP Vol. 1, 2014.
Moleong, J. Lexy. Metode Penelitian Kualitatif. Bandung: PT. Remaja Rosda Karya,
2006. Mulyana, Dedy. Metode Penelitian Kualitatif. Bandung: PT. Remaja Rosdakarya,
2001. Nadzir, Mohammad. Metode Penelitian. Jakarta: Ghalia Indonesia, 1998. Nusa Putra dan Ninin Dwilestari, Penelitian Kualitatif; Pendidikan Anak Usia Dini.
Jakarta: Rajagrafindo Persada, 2012.
Purwanto, Ngalim. Psikologi Pendidikan. Bandung: PT Remaja Rosda Karya, 2007
Ruseffendi, E. T. Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA.Bandung: Tarsito, 1991.
Sapriya.Pendidikan IPS. Bandung: PT Remaja Rosda Karya, 2009. Sudaryono.Dasar-dasar Evaluasi Pembelajaran.Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu,
2012. Sudijono, Anas. Pendidikan dan Evaluasi Pendidikan. Jakarta: PT. Raja Grafindo
Persada, 2009. Sugiyono, Metode Penelitian Administrasi. Cet. VI; Bandung : CV. Alfabeta, 1999. Sugiyono.Metode penelitian pendidikan (pendekatan kuantitatif,kualitatif dan R&D.
Bandung: Alfabeta, 2013. Sumarmo, U. Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika pada Siswa
Menengah.Cirebon: Unsgawati, 2004. Zulhendri, ‘Pengembangan Bahan Ajar Mata Kuliah Aljabar Linear Berbantuan
Matlab’, Jurnal Cendekia Vo. 1, No. 1.