ANALISIS PERAMALAN PENDAFTARAN SISWA BARU

MENGGUNAKAN METODE SEASONAL ARIMA DAN METODE

DEKOMPOSISI

(Studi kasus: Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro)

Nizar Muhammad Al Kharis

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2014 M / 1435 H

i

ANALISIS PERAMALAN PENDAFTARAN SISWA BARU

MENGGUNAKAN METODE SEASONAL ARIMA DAN

METODE DEKOMPOSISI

(Studi kasus: Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro)

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh

Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

Oleh:

Nizar Muhammad Al Kharis

108094000020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2014 M / 1435 H

ii

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-

BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN

SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA

MANAPUN .

Jakarta, September 2014

Nizar Muhammad Al Kharis 108094000020

iv

PERSEMBAHAN

Sebuah hadiah kepada Ibunda tercinta sebagai permintaan

maaf Ananda yang tak sanggup berbakti dengan sebaik-

baiknya bakti

Untuk Adik-adikku tersayang, semoga kalian semangat selalu

dalam menggapai cita-cita kalian

Kepada Ayahanda, saksikanlah Aku mengarungi kehidupan..

v

ABSTRAK

Nizar Muhammad Al Kharis, Analisis Peramalan Jumlah Pendaftaran Siswa

Baru Menggunakan Metode Seasonal ARIMA dan Metode Dekomposisisi (Studi

Kasus Lembaga Bimbingan Belajar Sony Sugema College Cabang Bintaro). Di

bawah bimbingan Bambang Ruswandi, M.Stat dan Suma’inna, M.Si

Data mengenai jumlah pendaftaran siswa baru di lembaga bimbingan belajar SSC

cabang Bintaro dapat digunakan untuk memutuskan perencananaan sumber daya

dengan melakukan peramalan. Karena data bersifat musiman, Metode Box-

Jenkins Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi merupakan metode yang

cocok untuk melakukan analisis runtun waktu. Metode Seasonal ARIMA yang

mencari pengaruh data di masa lalu terhadap data masa kini menghasilkan model

ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 dengan nilai MAPE sebesar 41.853% sedangkan

metode Dekomposisi yang memecah data menjadi beberapa faktor menghasilkan

model dekomposisi aditif dengan nilai MAPE yang lebih baik yakni 18.153%.

Kata Kunci: Metode Box-Jenkins, ARIMA Musiman, Peramalan Dekomposisi,

Indeks Musiman.

vi

ABSTRACT

Nizar Muhammad Al Kharis, New Students Enrollment Forecasting Use

Seasonal ARIMA Method and Decompotition Method (Case of Study: Sony

Sugema College at Bintaro). Advisored by Bambang Ruswandi, M.Stat and

Suma’inna, M.Si

New students enrollment at Sony Sugema College can be used to make decision

about their resource by forecasting. Since the data is seasonal, using Box-Jenkins

Methods Seasonal ARIMA and Decompotition forecasting method is adequate.

Seasonal ARIMA method which is trying to find the correlation between past

enrollment and the new enrollment generate ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 with MAPE

41.853% while Decompotition method which trying to part the data generate

aditif model with MAPE 18.153% is more satisfied.

Key Words: Box-Jenkins Methods, Seasonal ARIMA, Decompotition

Forecasting, Seasonal Indices.

vii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah

memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar sarjana sains

dalam bidang Matematika di UIN Syarif Hidayatullah Jakarta. Shalawat beserta

salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, berikut

keluarga, sahabat, serta pengikutnya yang setia hingga akhir zaman.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan maupun lembaga.

Untuk itu dengan segala kerendahan hati ingin menyampaikan terima kasih

kepada:

1. Dr. Agus Salim, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

2. Ibu Yanne Irene, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

3. Bapak Bambang Ruswandi, M.Stat selaku dosen pembimbing I penulis yang

telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan

sehingga terselesaikannya skripsi ini.

4. Ibu Suma’inna, M.Si selaku dosen pembimbing II penulis yang telah

meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan

sehingga terselesaikannya skripsi ini.

5. Seluruh Dosen UIN Syarif Hidayatullah Jakarta khususnya Dosen Prodi

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi khususnya yang tanpa lelah

memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.

6. Lembaga Bimbingan Belajar SSC Mutiara Ilmu yang telah menjadi lading

bagi penulis untuk belajar dan membagi ilmu.

7. Ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan moril serta do’a kepada

penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.

viii

8. Untuk adik-adikku tercinta yang selalu memberikan semangat dan menghibur

penulis.

9. Teman-teman Matematika 2008, yang selama ini membantu penulis

menghadapi perkuliahan baik di saat suka maupun duka.

10. Agan Shiro Ngampus yang selalu memotivasi para mahasiswa akhir melalui

dunia maya dengan karikatur-karikaturnya.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak

kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang.

Dan akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi dunia

pendidikan khususnya bagi mahasiswa Program Studi Matematika. Amin.

Jakarta, September 2014

Penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………. i

LEMBAR PENGESAHAN UJIAN …………………………………………… ii

LEMBAR PERNYATAAN …………………………………………………… iii

PERSEMBAHAN ……………………………………………………………... iv

ABSTRAK ..…………………………………...……………………...…………v

ABSTRACT ...…………………………..………………………………………vi

KATA PENGANTAR ………………………………………………………… vii

DAFTAR ISI ……………..………………….………………………………… ix

DAFTAR TABEL …………………………..…….…………………………...xii

DAFTAR GAMBAR …………………..……………………………………...xiv

DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………..……………....xv

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...……………………………………………………..…..1

1.2 Perumusan Masalah ….....………………………………………………..4

1.3 Pembatasan Masalah ...….……………………………………………..… 4

1.4 Tujuan Penelitian ..…………………………………………………….....5

1.5 ManfaatPenelitian …...…………………………………………………..5

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Deret Berkala dan Proses Stokastik ..……………………………………. 6

x

2.2 Pola Data Deret Berkala…………………………………...……………... 8

2.3 Stasioneritas …………………………………………………………..... 10

2.4 Fungsi Autokorelasi (ACF) …………...………………………...…….... 14

2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) ………..………………………..… 15

2.6 Metode Box-Jenkins ………………………………………………….... 16

2.6.1 Proses Autoregressif (AR) ……………………………………...16

2.6.2 Proses Moving Average (MA) ……………………………...….. 18

2.6.3 Proses Campuran Autoregressif dan Moving Average ..………...19

2.6.4 Operator Backshift ……………………………………………... 19

2.6.5 Model Autoregressif Integrated Moving Average ………….…..20

2.6.6 Konstanta pada Model ARIMA ………………………………... 21

2.7 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average

(SARIMA) ……………………………………………………………...22

2.8 Asumsi White Noise .……………………………………………………24

2.8.1 Residu Bersifat Acak ..………………………………………......24

2.8.2 Residu Bersifat Normal …………...……………………...……..25

2.9 Metode Dekomposisi ...……………………………………………….... 25

2.10 Evaluasi Model …...…………………………..………………………...28

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber Data ……...……………………...……………………………...30

3.2 Metode Seasonal ARIMA …………...…………………………………. 30

3.3 Metode Dekomposisi ……...……………………………..…………….. 35

3.4 Alur Penelitian …...…………………………………………………......39

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pengolahan Data Menggunakan Metode SARIMA ……………...……...41

4.1.1 Pemeriksaan Kestasioneran Data …...………………………….. 41

4.1.2 Identifikasi Model ………………………………………………45

4.1.3 Penaksiran Parameter dan Diagnosis Model ……...………...…..47

4.2 Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi ………………...61

xi

4.2.1 Menghitung Indeks Musiman …………..…………………........ 61

4.2.2 Pencocokan Trend ………………………………………...……. 66

4.2.3 Evaluasi Model …………………………………………………67

4.3 Perbandingan Hasil Metode SARIMA dan Metode Dekomposisi …….. 67

4.4 Peramalan …………………………………………………………...….. 69

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ……………………………………………………………..70

5.2 Saran …………………………………………………………………….72

REFERENSI ……………………………………………………………...…… 73

LAMPIRAN …………………………………………………………...………. 75

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Transformasi Pangkat ……………………………...………………....13

Tabel 4.1 Deskripsi data ...………………………………...…………………… 40

Tabel 4.2 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller Data Siswa ……………………. 42

Tabel 4.3 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller data hasil transformasi ……..… 44

Tabel 4.4 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 ………………….... 48

Tabel 4.5 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ………..………….. 49

Tabel 4.6 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 …………..……….. 50

Tabel 4.7 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 ……………………51

Tabel 4.8 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 …………………….... 53

Tabel 4.9 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ………………………54

Tabel 4.10 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 ……………………..56

Tabel 4.11 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 ……………………..58

Tabel 4.12 Nilai MSE Model ARIMA ……………………………………...…. 60

Tabel 4.13 Rangkuman Diagnosis Model ARIMA ……………………...…….. 60

Tabel 4.14 Tabel Data Hasil Transformasi …………………………………….. 62

Tabel 4.15 Tabel Hasil Perhitungan Rata – Rata Bergerak ………………...….. 62

Tabel 4.16 Hasil Pengurangan Data Dengan Rata – Rata Bergerak …………...63

xiii

Tabel 4.17 Hasil Pembagian Data Dengan Rata – Rata Bergerak ……………..64

Tabel 4.18 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Aditif ……….……...…65

Tabel 4.19 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Multiplikatif ………….. 65

Tabel 4.20 Perhitungan MAPE Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 ……………..68

Tabel 4.21 Perhitungan MAPE Model Dekomposisi Aditif ………………...… 68

Tabel 4.22 Peramalan Pendaftaran Siswa Baru Tahun Ajaran 2014 – 2015 ...… 69

Tabel5.1 Indeks Musiman Model Aditif ..…………….……………………….71

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Pola Data Horizontal ………………………………………………. 8

Gambar 2.2 Pola Data Trend ……………………………………………………9

Gambar 2.3 Pola Data Musiman …………...………………………………..…. 9

Gambar 2.4 Pola Data Siklus ……………………………..…………………… 10

Gambar 3.3 Alur Penelitian ……...…………………………………...……….. 39

Gambar 4.1 Plot Data Siswa …………………………………………………... 41

Gambar 4.2 Plot ACF Data Siswa …………………………………………….. 42

Gambar 4.3 Plot Box-Cox data siswa …………………...……………………..43

Gambar 4.4 Plot data hasil transformasi ………………………………………. 44

Gambar 4.5 Plot ACF data input model ………………………………………. 45

Gambar 4.6 Plot PACF data input model ………………………...……………46

Gambar 4.7 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 ……………………...52

Gambar 4.8 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 …………...…. 53

Gambar 4.9 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ……………………...54

Gambar 4.10 Plot ProbabilitasResidu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ……......…..... 55

Gambar 4.11 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 …………………….56

Gambar 4.12 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 …………….. 57

Gambar 4.13 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 …………...………..58

Gambar 4.14 Plot Probabilitas Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 ...…………...59

xv

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN 1 Data Jumlah Pendaftaran Siswa Baru LBB SSC Bintaro

(Periode Mei 2007 – April 2014) ……...………………………..75

LAMPIRAN 2 Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman

Aditif ………………………………………………..…………. 76

LAMPIRAN 3 Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman

Multiplikatif ……………………………………………….…... 77

LAMPIRAN 4 Perhitungan Nilai Parameter Trend ……………………………. 78

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring pesatnya kemajuan ilmu pengetahuan, kesadaran mengenai

peristiwa mendatang semakin bertambah dan akibatnya kebutuhan akan berbagai

peramalan semakin meningkat. Misalnya berbagai peramalan di bidang ekonomi,

perdagangan, industri, lingkungan, dan sosial telah menghadirkan berbagai

macam hasil yang dapat digunakan oleh beragam pihak untuk mengambil

keputusan. Contoh yang paling lazim tentunya adalah kecermatan dalam

peramalan cuaca yang dapat kita gunakan untuk mengambil beberapa keputusan

seperti mempersiapkan kebutuhan di musim hujan yang diramalkan akan datang.

Sering kali dijumpai berbagai masalah yang bersifat musiman di sekitar

kehidupan. Permasalahan tersebut bagi sebagian orang lantas hanya menjadi angin

lalu yang tidak diperhatikan. Padahal jika dicermati dan diteliti, pola musiman

yang memiliki pola berulang-ulang tersebut dapat memberikan gambaran akan

kondisi masa depan sehingga dapat dibuat suatu perencanaan dan pengambilan

keputusan yang baik berdasarkan peramalan yang dilakukan.

Dalam kegiatan organisasi, peramalan merupakan bagian integral dari

pengambilan keputusan yang dilakukan oleh pihak manajemen. Organisasi akan

2

menentukan sasaran dan tujuan, kemudian berusaha menduga berdasarkan faktor-

faktor lingkungan yang ada, lalu memilih tindakan yang diharapkan dapat

menghasilkan pencapaian sasaran dan tujuan tersebut. Hal ini menjadikan

kebutuhan akan peramalan meningkat seiring dengan keinginan manajemen untuk

mengurangi ketergantungan terhadap hal-hal yang belum pasti pada beberapa

bagian penting. Beberapa bagian tersebut di antaranya adalah penjadwalan sumber

daya yang tersedia, penyediaan sumber daya tambahan, dan penentuan sumber

daya yang diinginkan. Mungkin terdapat banyak bagian lain yang memerlukan

peramalan, namun ketiga bagian di atas merupakan bentuk khas dari keperluan

peramalan dalam suatu organisasi pada umumnya.

Bentuk-bentuk keperluan peramalan yang khas tersebut tentunya juga

terdapat pada lingkup organisasi lembaga bimbingan belajar. Peramalan jumlah

pendaftaran siswa pada suatu lembaga bimbingan belajar tentunya akan dapat

membantu menentukan penjadwalan kelas dan jam belajar (penjadwalan sumber

daya), menentukan kapan diperlukannya pengajar tambahan dan buku mater i

tambahan bagi siswa baru (penyediaan sumber daya tambahan), serta penentuan

peralatan yang dibutuhkan di masa mendatang (penentuan sumber daya yang

diinginkan). Oleh karena itu, meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru akan

sangat penting. Ini dilakukan agar kegiatan belajar mengajar tetap terjaga stabil

dan kebutuhan siswa dapat terpenuhi.

Untuk meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode yang akan

datang, dapat digunakan analisis deret berkala (time series). Metode peramalan ini

3

didasarkan atas konsep bahwa hasil observasi saat ini dipengaruhi oleh hasil

observasi masa lalu dan hasil observasi yang akan datang dipengaruhi hasil

observasi saat ini. Namun karena jumlah pendaftaran siswa baru pada lembaga

bimbingan belajar bersifat musiman, maka metode yang cocok untuk digunakan

adalah metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi.

Metode Seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus untuk data musiman

dari model ARIMA. Metode Seasonal ARIMA memiliki beberapa asumsi yang

harus terpenuhi sehingga memiliki kekuatan dari pendekatan teori statistik.

Metode ini sendiri dapat diaplikasikan pada berbagai bidang diantaranya

penelitian mengenai peramalan debit air sungai [1], peramalan jumlah penderita

demam berdarah [2], dan peramalan produksi air bersih [3]. Berbeda dengan

metode Dekomposisi yang lebih sederhana, yakni dengan melakukan proses

pemisahan faktor musiman lalu menghitungnya secara terpisah untuk kemudian

digunakan kembali dalam peramalan. Metode ini sering diterapkan pada bidang

marketing karena kemudahan prosesnya, beberapa diantaranyanya yakni pada

peramalan daya beban listrik [4], analisis data runtun waktu Indeks Harga

Konsumen [5], dan analisis peramalan ekspor Indonesia [6].

Meskipun kebutuhan peramalan mengenai jumlah pendaftaran siswa baru

pada suatu lembaga bimbingan belajar termasuk dalam bidang marketing yang

lebih sering menggunakan metode Dekomposisi, namun penerapan metode

Seasonal ARIMA dirasa perlu dipertimbangkan mengingat keunggulannya secara

statistik dibandingkan metode Dekomposisi. Berdasarkan uraian di atas maka

4

penulis membuat skripsi dengan judul “Analisis Peramalan Jumlah

Pendaftaran Siswa Baru Menggunakan Metode Seasonal ARIMA dan

Metode Dekomposisisi (Studi Kasus Lembaga Bimbingan Belajar SSC

Bintaro)”.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dapat dirumuskan

permasalahan sebagai berikut:

1. Bagaimanakah memodelkan data deret waktu jumlah pendaftaran siswa

baru dengan analisis metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi?

2. Bagaimana perbandingan keakuratan hasil peramalan dari metode

Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi?

3. Berapakah nilai peramalan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode

selanjutnya?

1.3 Batasan Masalah

Data yang digunakan pada penelitian ini terbatas pada:

1. Jumlah pendaftaran siswa baru di Lembaga Bimbingan Belajar SSC

Bintaro.

2. Jumlah pendaftaran siswa baru tiap bulan mulai tahun ajaran 2007/2008

hingga tahun ajaran 2013/2014.

5

1.4 Tujuan Penelitian

Selaras dengan latar belakang masalah dan perumusan masalah di atas,

tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Melakukan pemodelan data jumlah pendaftaran siswa baru dengan analisis

deret waktu menggunakan metode Seasonal ARIMA dan metode

Dekomposisi.

2. Menentukan model yang lebih baik untuk digunakan dalam meramalkan

jumlah pendaftaran siswa baru pada periode berikutnya.

3. Meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode berikutnya

menggunkan metode terpilih.

1.5 Manfaat Penelitian

Penulis berharap penelitian ini memberi manfaat sebagai berikut:

1. Menambah pengetahuan dan meningkatkan kemampuan penulis maupun

pembaca dalam melakukan analisis data deret waktu musiman.

2. Sebagai bahan pertimbangan di Lembaga Bimbingan Belajar SSC dalam

menentukan langkah- langkah manajemen selanjutnya.

6

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Deret Berkala dan Proses Stokastik

Deret berkala merupakan kumpulan data yang didapatkan melalui

observasi per satuan waktu yang terbagi merata, misalkan per jam, per hari atau

per bulan [7]. Misalkan data hasil obsevasi ini disebut sebagai 𝑍𝑡 , karena tujuan

dari analisis deret berkala adalah untuk memodelkan ketidakpastian pada hasil

observasi maka diasumsikan bahwa 𝑍𝑡 adalah variabel acak. Sehingga sifat-sifat

dari 𝑍𝑡 akan mengikuti distribusi peluang. Selain itu, asumsi paling penting pada

model deret berkala ialah bahwa hasil masing-masing observasi untuk setiap titik

waktu yang berbeda adalah bergantung satu sama lain. Lebih tepatnya,

kebergantungan inilah yang akan diperiksa dalam analisis runtun waktu.

Kumpulan dari variabel acak inilah yang disebut sebagai proses stokastik.

Beberapa konsep dasar yang perlu diketahui dalam proses stokastik

diantaranya, yakni rata-rata dan kovarians. dimana untuk suatu proses stokastik

𝑍𝑡 ∶= 0, ±1,±2, … fungsi rata - rata didefinisikan oleh:

𝜇𝑡 = 𝐸 𝑍𝑡 untuk 𝑡 = 0, ±1, ±2, … 2.1

Yakni nilai ekspektasi proses stokastik pada selang waktu t, artinya 𝜇 bisa berbeda

untuk setiap selang waktu.

7

Sedangkan fungsi Autokovarians didefinisikan sebagai berikut:

𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 = 𝐸 𝑍𝑡 − 𝜇𝑡 𝑍𝑠 − 𝜇𝑠 = 𝐸 𝑍𝑡𝑍𝑠 − 𝜇𝑡𝜇𝑠 2.2

untuk 𝑡, 𝑠 = 0,±1, ±2, …

Dan selanjutnya, fungsi Autokorelasi yang diberikan oleh:

𝜌𝑡 ,𝑠 = 𝐶𝑜𝑟𝑟 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 =𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 , 𝑍𝑠

𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑠 1 2 =

𝛾𝑡 ,𝑠

𝛾𝑡 ,𝑡 ∙ 𝛾𝑠 ,𝑠 1 2

2.3

untuk 𝑡, 𝑠 = 0,±1, ±2, …

Berdasarkan definisi-definisi di atas maka dihasilkan beberapa sifat umum

sebagai berikut:

1.𝛾𝑡 ,𝑡 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 , 𝜌𝑡 ,𝑡 = 1

2. 𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝛾𝑠 ,𝑡 , 𝜌𝑡,𝑠 = 𝜌𝑠 ,𝑡 2.4

3. 𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝛾𝑡 ,𝑡 ∙ 𝛾𝑠 ,𝑠 , 𝜌𝑡 ,𝑠 ≤ 1

Nilai 𝜌𝑡 ,𝑠 yang mendekati ±1 menunjukkan ketergantungan yang kuat,

sedangkan jika nilainya mendekati 0 menunjukkan ketergantungan yang lemah

atau tidak terdapat ketergantungan linier. Jika 𝜌𝑡 ,𝑠 = 0, maka dapat dikatakan

bahwa 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑠 tidak memiliki korelasi.

8

2.2 Pola Data Deret Berkala

Salah satu langkah penting dalam memilih metode peramalan adalah

mempertimbangkan pola data sehingga metode peramalan yang sesuai dengan

data tersebut dapat bermanfaat. Berikut ini adalah pola-pola deret berkala yang

telah dikenal [8]:

1. Pola Data Horizontal

Pola horizontal terjadi ketika nilai-nilai data berfluktuasi di sekitar

nilai rata-rata yang konstan. Penjualan produk yang tidak naik ataupun

turun secara signifikan dalam suatu rentang waktu tertentu. Pola data

ini dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.1 Pola Data Horizontal

9

2. Pola Data Trend

Pola data trend didefinisikan sebagai kenaikan atau penurunan pada

suatu deret waktu dalam selang periode waktu tertentu. Pola data ini

dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.2 Pola Data Trend

3. Pola Data Musiman

Pola data musiman terjadi ketika data dipengaruhi faktor musiman

yang signifikan sehingga data naik dan turun dengan pola yang

berulang dari satu periode ke periode berikutnya. Data penjualan buah-

buahan dan konsumsi listrik rumah tangga menunjukkan pola data tipe

ini. Pola data musiman dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.3 Pola Data Musiman

10

4. Pola Data Siklus

Pola data siklus didefinisikan sebagai fluktuasi data berbentuk

gelombang sepanjang periode yang tidak menentu. Pola data musiman

dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.4 Pola Data Siklus

2.3 Stasioneritas

Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada

kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata yang konstan dan variansi disekitar rata-

rata tersebut konstan selama waktu tertentu [9]. Pada model stasioner, sifat-sifat

statistik di masa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis

yang telah terjadi di masa lalu. Berdasarkan definisi, suatu proses stokastik 𝑍𝑡

dikatakan stasioner jika distribusi bersama dari 𝑍 𝑡1 ,𝑍 𝑡2 ,… , 𝑍 𝑡𝑛 sama

dengan distribusi bersama dari 𝑍 𝑡1 − 𝑘 , 𝑍 𝑡2 − 𝑘 , … , 𝑍 𝑡𝑛 − 𝑘 untuk setiap

waktu 𝑡 dan 𝑠 dan untuk setiap selang waktu 𝑘.

Hal ini menyebabkan jika 𝑛 = 1, maka 𝐸 𝑍𝑡 = 𝐸 𝑍𝑡−𝑘 , untuk semua 𝑡

dan 𝑘, sehingga fungsi rata-rata 𝜇𝑡 konstan sepanjang waktu. Selain itu,

𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡−𝑘 juga konstan sepanjang waktu. Jika 𝑛 = 2, maka

11

𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡−𝑘 , 𝑍𝑠−𝑘 . Apabila dipilih 𝑡 = 𝑠, kemudian 𝑘 = 𝑡, maka

didapatkan,

𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡−𝑠, 𝑍0

= 𝐶𝑜𝑣 𝑍0,𝑍𝑠−𝑡

= 𝐶𝑜𝑣 𝑍0, 𝑍 𝑡−𝑠

= 𝛾0, 𝑡−𝑠

Hal ini berarti kovarians antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑠 bergantung hanya pada selisih

waktu bukan pada waktu ke 𝑡 dan 𝑠. Oleh karena itu, pada sebuah proses stokastik

yang stasioner, notasi di atas dapat disederhanakan menjadi

𝛾𝑘 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑡−𝑘 dan 𝜌𝑘 = 𝐶𝑜𝑟𝑟 𝑍𝑡 ,𝑍𝑡−𝑘

Dan berdasarkan persamaan [2.3] maka 𝜌𝑘 = 𝛾𝑘 𝛾0 ,

Sehingga sifat umum mengenai kovarians pada persamaan [2.4] akan

menjadi

𝛾0 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 , 𝜌0 = 1

𝛾𝑘 = 𝛾−𝑘 , 𝜌𝑘 = 𝜌−𝑘 2.5

𝛾𝑘 ≤ 𝛾0 , 𝜌𝑘 ≤ 1

12

Jadi jika sebuah proses stokastik benar-benar stasioner dan memiliki

varians berhingga, maka fungsi kovariansnya hanya akan bergantung pada selang

waktu.

Pengujian stasioneritas dari suatu data deret waktu dapat dilakukan dengan

melakukan Uji Augmented Dicky Fuller [10]. Uji ini merupakan salah satu uji

yang paling sering digunakan dalam pengujian stasioneritas dari data, yakni

dengan melihat apakah terdapat akar satuan di dalam model.

Hipotesis: 𝐻0: 𝛿 = 0 (data deret waktu tidak stasioner)

𝐻1: 𝛿 < 0 (data deret waktu stasioner)

Statistik Uji:

𝜏 =𝛿

𝑠𝑒 𝛿

Kriteria Pengujian:

Tolak 𝐻0 jika 𝜏 𝛿 ≥ 𝜏 𝑛 ,∝ Dickey Fuller

dengan: 𝛿 = parameter yang ditaksir

𝑛 = jumlah data

𝑎 = taraf signifikansi (0.05)

𝜏 = konstanta

13

Sering kali data pada suatu penelitian tidak menunjukkan kestasioneran

Ketidakstasioneran ini bisa disebabkan karena data belum stasioner secara rata –

rata, varians atau keduanya.

Pada data yang belum stasioner secara varians maka dapat dilakukan

proses transformasi Box-Cox dengan rumus 𝑦 =𝑥λ−1

λ dimana 𝜆 ≠ 0. Selain itu

juga dapat menggunakan transformasi pangkat [11] dengan kriteria sebagai

berikut:

Tabel 2.1 Transformasi Pangkat

Nilai 𝜆 Transformasi

-1,0 1

𝑍𝑡

-0,5 1

𝑍𝑡

0,0 ln𝑍𝑡

0,5 𝑍𝑡

1,0 Tanpa Transformasi

Dimana 𝜆 adalah parameter transformasi yang dapat ditaksir dari data runtun

waktu dan t= 1, 2, …, n. Pada data yang belum stasioner secara rata-rata maka

dapat dilakukan proses differencing, yakni dengan mengurangi data dengan data

itu sendiri namun dengan lag yang berbeda sesuai dengan kebutuhan. Dan jika

14

data belum stasioner secara rata-rata maupun varians maka dilakukan transformasi

data dan dilanjutkan dengan proses differencing.

2.4 Fungsi Autokorelasi (ACF)

Fungsi autokorelasi berarti hubungan (korelasi) terhadap diri sendiri, yaitu

korelasi antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri namun

dengan time lag yang berbeda misal 𝑍𝑡 dengan 𝑍𝑡+𝑘 . Menurut [12] autokorelasi

pada lag ke-𝑘 untuk suatu observasi deret waktu dapat diduga dengan koefisien

autokorelasi sampel.

𝑟𝑘 = 𝑍𝑡 − 𝑍 𝑍𝑡+𝑘 − 𝑍 𝑛−𝑘

𝑡=1

𝑍𝑡 − 𝑍 2𝑛𝑡=1

, 𝑘 = 0,1,2, … 2.6

Dimana

𝑟𝑘 = koefisien korelasi untuk lag periode ke-𝑘

𝑍𝑡 = nilai observasi pada periode ke-𝑡

𝑍𝑡+𝑘 = nilai observasi pada periode ke- 𝑡 + 𝑘

𝑍 = rata-rata nilai observasi

Menurut [13], karena 𝑟𝑘 merupakan fungsi terhadap lag ke-𝑘 maka

hubungan antara autokorelasi dengan lagnya dapat disebut sebagai fungsi

autokorelasi.

15

Untuk memeriksa apakah suatu 𝑟𝑘 berbeda secara nyata dari nol, dapat

digunakan rumus kesalahan standar dari 𝑟𝑘 yakni 𝑠𝑒𝑟𝑘= 1/ 𝑛. Sehingga seluruh

nilai korelasi dari barisan data yang random (tidak berautokorelasi signifikan)

akan terletak di dalam daerah nilai tengah nol ditambah atau dikurangi nilai z-

𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒 pada taraf signifikansi 95 % yakni 1,96 kali kesalahan standard.

2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Fungsi autokorelasi parsial menyatakan hubungan antara suatu hasil

observasi dengan hasil observasi itu sendiri. Autokorelasi parsial pada lag ke-𝑘

dinyatakan sebagai korelasi antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡−𝑘 setelah dihilangkannya efek dari

variabel-variabel 𝑍𝑡−1, 𝑍𝑡−2, … ,𝑍𝑡−𝑘+1. Levinson (1940) dan Durbin (1960)

memberikan metode yang efisien untuk mendapatkan penyelesaian dari

persamaan Yule-Walker untuk mendapatkan nilai autokorelasi parsial sebagai

berikut.

∅𝑘𝑘 =𝜌𝑘 − ∅𝑘−1,𝑗𝜌𝑘−𝑗

𝑘−1𝑗 =1

1 − ∅𝑘−1,𝑗𝜌𝑗𝑘−1𝑗 =1

2.7

Dimana

∅𝑘𝑘 = koefisien autokorelasi parsial untuk lag periode ke-𝑘.

∅𝑘𝑗 = ∅𝑘−1,𝑗 − ∅𝑘𝑘 ∅𝑘−1,𝑗−1, 𝑗 = 1,2, …𝑘 − 1

16

2.6 Metode Box Jenkins

Metode Box-Jenkins atau sering disebut sebagai ARIMA (Autoregressive

Intergrated Moving Average) merupakan integrasi dari beberapa model runtun

waktu yang terlebih dahulu ada. Model Autoregressif pertama kali diperkenalkan

oleh Yule (1926) dan dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model

Moving Average pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Kemudian dasar-

dasar teoritis untuk kombinasi dari kedua model ini (ARMA) dihasilkan oleh

Wold (1938). Keseluruhan metode ini kemudian dipelajari secara mendalam oleh

George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan nama mereka sering disinonimkan

dengan metode ARIMA itu sendiri.

2.6.1 Proses Autoregressif (AR)

Proses autoregressif memiliki arti regresi pada diri sendiri. Lebih spesifik,

proses autoregresif 𝑍𝑡 orde 𝑝 menyatakan persamaan[7]:

𝑍𝑡 = ∅1𝑍𝑡−1 + ∅2𝑍𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 2.8

Dimana diasumsikan bahwa 𝑍𝑡 stasioner dan 𝐸 𝑍𝑡 = 0

Jadi, nilai barisan 𝑍𝑡 adalah kombinasi linier dari sejumlah 𝑝 nilai 𝑍𝑡

terakhir di masa lampau ditambah sebuah 𝑎𝑡 yang menyatakan sesuatu yang tidak

dapat dijelaskan oleh nilai-nilai 𝑍𝑡 di masa lampau tersebut. Selain itu 𝑎𝑡

merupakan variabel acak yang independent dengan rata-rata nol.

17

Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses AR(𝑝)

secara umum dapat diperoleh sebagai berikut[7]:

𝜌𝑘 = ∅1𝜌𝑘−1 + ∅2𝜌𝑘−2 + ⋯ + ∅𝑝𝜌𝑘−𝑝 , untuk 𝑘 ≥ 1 2.9

dan varians dari proses AR (𝑝) adalah[7]:

𝛾0 =𝜎𝑎

2

1 − ∅1𝜌1 − ∅2𝜌2 − ⋯− ∅𝑝𝜌𝑝

Dengan mengganti 𝑘 = 1,2,… , 𝑝 dan 𝜌0 = 1 serta 𝜌−𝑘 = 𝜌𝑘 pada

persamaan di atas maka diperoleh Persamaan Yule-Walker sebagai berikut:

𝜌1 = ∅1 + ∅2𝜌1 + ⋯ + ∅𝑝𝜌𝑝−1

𝜌2 = ∅1𝜌1 + ∅2 + ⋯ + ∅𝑝𝜌𝑝−2 2.10

𝜌𝑝 = ∅1𝜌𝑝−1 + ∅𝑝−2 + ⋯ + ∅𝑝

Jika diberikan nilai ∅1,∅2 , … , ∅𝑝 , sistem persamaan linier ini dapat

diselesaikan untuk mendapatkan 𝜌1, 𝜌2 , … , 𝜌1 dan untuk 𝜌𝑘 pada orde yang lebih

tinggi.

Untuk keperluan identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik

fungsi autokorelasi yang turun secara eksponensial dan fungsi autokorelasi parsial

terputus pada lag ke-p, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan kedalam

proses AR(𝑝).

18

2.6.2 Proses Moving Average (MA)

Bentuk umum untuk proses MA dengan orde 𝑞, ditulis MA (𝑞) diberikan

oleh

𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1 − 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 2.11

Yakni, nilai barisan 𝑍𝑡 adalah kombinasi linier dari sejumlah 𝑎𝑡 terakhir di

masa lampau.

Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses MA(𝑞)

secara umum dapat diperoleh sebagai berikut [7]:

𝜌𝑘 =−𝜃𝑘 + 𝜃1𝜃𝑘 +1 + 𝜃2𝜃𝑘 +2 + ⋯ + 𝜃𝑞 −𝑘𝜃𝑞

1 + 𝜃12 + 𝜃2

2 + ⋯ + 𝜃𝑞2

,𝑘 = 1,2, … , 𝑞 2.12

= 0 untuk 𝑘 ≥ 𝑞 + 1

Sebagai pelengkap, varians dari proses MA(𝑞) adalah[7]:

𝛾0 = 1 + 𝜃12 + 𝜃2

2 + ⋯ + 𝜃𝑞2 𝜎2

Sekali lagi untuk keperluan identifikasi, jika suatu deret waktu memiliki

grafik fungsi autokorelasi yang terputus pada lag ke-q dan fungsi autokorelasi

parsial turun secara eksponensial, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan

kedalam proses MA(𝑞).

19

2.6.3 Proses Campuran Autoregressif dan Moving Average (ARMA)

Jika diasumsikan bahwa suatu deret berkala memiliki model yang

sebagian merupakan proses Autoregressif dan sebagian yang lain merupakan

proses Moving Average maka deret tersebut akan memiliki model yang secara

umum berbentuk[7]:

𝑍𝑡 = ∅1𝑍𝑡−1 + ∅2𝑍𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1 − 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞

Yakni 𝑍𝑡 merupakan proses campuran Autoregressif Moving Average dengan

orde 𝑝 dan 𝑞 atau biasa disingkat dengan nama ARMA 𝑝, 𝑞 .

2.6.4 Operator Backshift

Operator backshift yang dinyatakan dengan B merupakan sebuah operator

dengan penggunaan sebagai berikut[12]:

𝐵𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1

Dengan kata lain, notasi 𝐵 yang dipasang pada 𝑋𝑡 mempunyai pengaruh

menggeser data satu periode ke belakang.

Operator backshift sering digunakan untuk menggambarkan proses

pembedaan (differencing) untuk membuat data yang rata-ratanya tidak stasioner

menjadi lebih dekat ke bentuk stasioner. Berikut ini gambaran pembedaan

menggunakan operator backshift.

Misalkan 𝑋𝑡′ merupakan pembedaan pertama dari 𝑋𝑡

20

𝑋𝑡′ = 𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1

𝑋𝑡′ = 𝑋𝑡 − 𝐵𝑋𝑡 = 1 − 𝐵 𝑋𝑡

Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan dengan 1 − 𝐵 .

Untuk pembedaan orde kedua perhatikan penggambaran berikut:

𝑋"𝑡 = 𝑋′𝑡 − 𝑋′𝑡−1

= 𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−2

= 𝑋𝑡 − 2𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−2

= 1 − 2𝐵 + 𝐵2 𝑋𝑡

= 1 − 𝐵 2𝑋𝑡

Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua dinyatakan dengan 1 − 𝐵 2,

hal ini penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua tidak sama

dengan pembedaan kedua.

2.6.5 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Suatu deret berkala 𝑍𝑡 dikatakan mengikuti model Autoregressive

Integrated Moving Average (ARIMA) jika pembedaan orde ke-𝑑 dari

𝑍𝑡 merupakan proses ARMA yang stasioner yakni 𝑊𝑡 = 1 − 𝐵 𝑑𝑍𝑡 . Karena 𝑊𝑡

adalah proses ARMA 𝑝,𝑞 , maka 𝑍𝑡 dapat disebut sebagai proses ARIMA

𝑝, 𝑑, 𝑞 . Dalam bentuk operator backshift model ARIMA dapat ditulis sebagai

berikut,

21

∅ 𝐵 1− 𝐵 𝑑𝑍𝑡 = 𝜃 𝐵 𝑎𝑡

dimana

∅ 𝐵 = 1 − ∅1𝐵 − ∅2𝐵2 − ⋯− ∅𝑝𝐵𝑝 adalah operator backshift proses AR

𝜃 𝐵 = 1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 − ⋯− 𝜃𝑝𝐵𝑝 adalah operator backshift proses MA

1 − 𝐵 𝑑 = operator differencing ordo ke-𝑑.

2.6.6 Konstanta pada Model ARIMA

Asumsi dasar yang selalu dipakai oleh semua model, dimulai dari model

AR hingga model ARIMA, adalah bahwa model - model tersebut stasioner dan

memiliki rata – rata nol. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana jika model –

model tersebut memiliki nilai rata – rata konstan bukan nol.

Model stasioner ARMA 𝑊𝑡 yang memiliki rata – rata konstan 𝜇 bukan

nol dapat dibentuk sebagai berikut[7]:

𝑊𝑡 − 𝜇 = ∅1 𝑊𝑡−1 − 𝜇 + ∅2 𝑊𝑡−2 − 𝜇 + ⋯ + ∅𝑝 𝑊𝑡−𝑝 − 𝜇 + 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1

− 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞

Atau

𝑊𝑡 = ∅1𝑊𝑡 −1 + ∅2𝑊𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝𝑊𝑡 −𝑝 + 𝛿 + 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1 − 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯

− 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞

Dimana 𝛿 = 𝜇 − ∅1𝜇 + ∅2𝜇 + ⋯ + ∅𝑝𝜇

22

2.7 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA)

Model seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus dari model ARIMA

jika terdapat unsur musiman yang jelas pada hasil observasi 𝑍𝑡 . Hal ini berarti

data memiliki pola berulang – ulang dalam selang waktu yang tetap. Selain

melalui grafik data, unsur musiman juga dapat dilihat melalui grafik ACF dan

PACF. Untuk menanggulangi ketidakstasioneran data akibat unsur musiman maka

dapat dilakukan proses differencing sebesar periode musimannya.

Differencing musiman dari 𝑍𝑡 ditulis dengan 𝑥𝑡 sehingga

𝑥𝑡 = 1 − 𝐵𝑠 𝑍𝑡

Dengan 𝑠 adalah panjang periode per musim.

Model Seasonal mengalihkan perhatiannya kepada data sebelumnya

dengan jarak (lag) sepanjang musiman yang terjadi. Berdasarkan ide tersebut,

maka model MA 𝑄 yang bersifat seasonal dengan musiman sepanjang 𝑠

dinyatakan oleh[7]:

𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−𝑠 − 𝜃2𝑎𝑡−2𝑠 − ⋯− 𝜃𝑄𝑎𝑡−𝑄𝑠

Atau dalam bentuk operator backshift,

𝑍𝑡 = 1 − 𝜃1𝐵𝑠 − 𝜃2𝐵2𝑠 − ⋯− 𝜃𝑄𝐵𝑄𝑠 𝑎𝑡

𝑍𝑡 = 𝜃𝑠 𝐵 𝑎𝑡

23

Sedangkan untuk model seasonal AR 𝑃 dengan musiman sepanjang 𝑠

dapat dinyatakan oleh[7]:

𝑍𝑡 = ∅1𝑍𝑡−𝑠 + ∅2𝑍𝑡−2𝑠 + ⋯ + ∅𝑃𝑍𝑡−𝑃 + 𝑎𝑡

Atau dalam bentuk operator backshift,

𝑍𝑡−∅1𝑍𝑡−𝑠 − ∅2𝑍𝑡−2𝑠 − ⋯− ∅𝑃𝑍𝑡−𝑃 = 𝑎𝑡

1 − ∅1𝐵𝑠 − ∅2𝐵

2𝑠 − ⋯− ∅𝑄𝐵𝑄𝑠 𝑍𝑡 = 𝑎𝑡

∅𝑠 𝐵 𝑍𝑡 = 𝑎𝑡

Sehingga jika suatu hasil observasi 𝑍𝑡 mengikuti proses yang dibentuk

oleh gabungan antara model ARIMA 𝑝, 𝑑, 𝑞 dan model SARIMA 𝑃, 𝐷, 𝑄 ,

maka modelnya dapat dimanipulasi menggunakan operator backshift sebagai

berikut:

∅ 𝐵 ∅𝑠 𝐵 ∇d∇sD𝑍𝑡 = 𝜃 𝐵 𝜃𝑠 𝐵 𝑎𝑡

dimana

∇d = operator differencing non musiman ordo ke-𝑑

∇sD = operator differencing musiman ordo ke-𝐷

24

2.8 Asumsi White Noise

Suatu model yang baik akan memiliki sifat white noise, yaitu memenuhi

asumsi residual yang bersifat acak dan berdistribusi normal.

2.8.1 Residu Bersifat Acak

Keacakan sekumpulan barisan residu dapat diperiksa dengan

memperhatikan fungsi autokorelasi dari barisan residu tersebut. Barisan residu

dikatakan acak apabila tidak terdapat autokorelasi yang signifikan untuk setiap

lag yang ditentukan. Untuk lebih formal, keacakan residu dari suatu model

dapat diuji menggunakan uji statistik Q Box-Pierce dengan hipotesis sebagai

berikut:

𝐻0: 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑘 = 0 (residu bersifat acak)

𝐻1:∃ 𝑟𝑖 ≠ 𝑟𝑗 = 0 (residu tidak bersifat acak)

Dengan 𝛼 = 0.05 dan statistik uji:

𝑄 = 𝑛 𝑛 + 2 𝑟𝑘

2

𝑛 − 𝑘

𝑚

𝑘=1

Serta kriteria uji:

Terima 𝐻0 jika nilai 𝑄 > 𝑋 𝛼,𝑑𝑏 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼. Artinya secara

keseluruhan, autokorelasi dari barisan residu yang diuji tidak berbeda dari

nol, atau dengan kata lain residu bersifat acak.

25

2.8.2 Residu Bersifat Normal

Untuk memeriksa apakah residu bersifat normal atau tidak, dapat

dilakukan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai

berikut;

𝐻0: residu berdistribusi normal

𝐻1: residu tidak berdistribusi normal

Dengan 𝛼 = 0.05 dan statistik uji:

𝐷 = 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝐹0 𝑋 − 𝑆𝑁 𝑋

Serta kriteria uji:

Tolak 𝐻0 jika jika 𝐷ℎ𝑖𝑡 < 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼. Artinya residu

bersifat normal.

2.9 Metode Dekomposisi

Suatu pendekatan pada analisis data deret berkala meliputi usaha untuk

mengidentifikasi komponen-komponen yang mempengaruhi tiap-tiap nilai pada

sebuah data deret berkala. Prosedur pengidentifikasian ini disebut dekomposisi.

Tiap-tiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi tiap-tiap komponen

ini kemudian digabung untuk menghasilkan ramalan nilai-nilai masa mendatang

dari data deret berkala tersebut.

26

Metode dekomposisi biasanya mencoba memisahkan tiga komponen dari

pola dasar yang cenderung mencirikan pola deret data ekonomi dan bisnis.

Komponen-komponen tersebut adalah trend, siklus dan musiman. Faktor trend

menggambarkan perilaku data dalam jangka panjang dan dapat meningkat,

menurun atau tidak berubah sama sekali. Faktor siklus menggambarkan naik

turunnya ekonomi atau industri tertentu. Faktor musiman berkaitan dengan

fluktuasi periodik dengan panjang konstan. Perbedaan antara musiman dan siklus

adalah bahwa musiman berulang dengan sendirinya pada interval yang tetap,

sedangkan faktor siklus mempunyai jangka waktu yang lebih lama dan

panjangnya berbeda dari siklus yang satu ke siklus yang lain.

Metode dekomposisi berasumsi bahwa data tersusun sebagai berikut[12]:

𝑑𝑎𝑡𝑎 = 𝑝𝑜𝑙𝑎 + 𝑘𝑒𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛

= 𝑓 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑, 𝑠𝑖𝑘𝑙𝑢𝑠, 𝑚𝑢𝑠𝑖𝑚𝑎𝑛 + 𝑘𝑒𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛.

Jadi selain komponen pola, terdapat pula unsur kesalahan yang acak.

Keempat komponen dalam analisis deret berkala adalah sebagai

berikut[12]:

1. Komponen trend, adalah komponen jangka panjang yang mendasari

pertumbuhan atau penurunan dalam suatu data deret berkala.

2. Komponen musiman, menggambarkan pola perubahan yang berulang

secara terartur dari waktu ke waktu

27

3. Komponen siklis, fluktuasi gelombang yang mempengaruhi keadaan

selama lebih dari semusim.

4. Komponen kesalahan, komponen tak beraturan yang tebentuk dari

fluktuasi- fluktuasi yang disebabkan oleh peristiwa tak terduga.

Metode dekomposisi termasuk pendekatan peramalan tertua. Metode ini

digunakan oleh para ahli ekonomi untuk mengenali dan mengendalikan siklus

bisnis. Terdapat beberapa pendekatan alternatif untuk mendekomposisi suatu

deret berkala, yang semuanya bertujuan memisahkan dat deret berkala seteliti

mungkin. Konsep dasar dalam pemisahan tersebut bersifat empiris dan tetap yang

mula-mula adalah memisahkan musiman, lalu trend, dan akhirnya siklus.Residu

yang ada dianggap yang walaupun tidak dapat diprediksi, namun dapat

diidentifikasi.

Menurut [14] Penulisan matematis secara umum dari model dekomposisi

adalah:

𝑋𝑡 = 𝑓 𝐼𝑡 , 𝑇𝑡 , 𝐶𝑡 ,𝐸𝑡

di mana

𝑋𝑡 adalah data aktual pada periode ke-𝑡

𝐼𝑡 adalah indeks musiman pada periode ke-𝑡

𝐶𝑡 adalah unsur siklus pada periode ke-𝑡

𝐸𝑡 adalah unsur kesalahan pada periodeke-𝑡.

28

Bentuk fungsional yang pasti dari persamaan di atas bergantung pada

metode dekomposisi yang digunakan diantaranya yakni metode dekomposisi rata-

rata sederhana yang berasumsi pada model aditif:

𝑋𝑡 = 𝐼𝑡 + 𝑇𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝐸𝑡

Metode dekomposisi rasio-trend yang berasumsi pada model multiplikatif:

𝑋𝑡 = 𝑓 𝐼𝑡 ∗ 𝑇𝑡 ∗ 𝐶𝑡 ∗ 𝐸𝑡

Metode dekomposisi rata-rata sederhana dan rasio pada trend pada masa lampau

telah digunakan terutama karena perhitungannya yang mudah tetapi metode-

metode tersebut kehilangan daya tarik dengan dikenalnya komputer secara

meluas, dimana mengakibatkan aplikasi pendekatan dengan variasi metode rata-

rata bergerak lebih disukai.

2.10 Evaluasi Model

Model yang baik tentunya memiliki tingkat keakuratan yang baik. Untuk

mengukur tingkat keakuratan ini, ada beberapa alat ukur yang dapat digunakan

untuk mengevaluasi hasil peramalan model terhadap data observasi. Beberapa alat

ukur tersebut yakni,

1. Mean Square Error (MSE)

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑛 𝐴𝑡 − 𝐹𝑡

2

𝑛

𝑡 =1

29

2. Mean Absolute Error (MAE)

𝑀𝐴𝐸 =1

𝑛 𝐴𝑡 − 𝐹𝑡

𝑛

𝑡 =1

3. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

𝑀𝐴𝑃𝐸 =100

𝑛

𝐴𝑡 − 𝐹𝑡

𝐴𝑡

𝑛

𝑡 =1

dimana:

𝐴𝑡 = nilai observasi pada periode ke-𝑡

𝐹𝑡 = peramalan untuk periode ke-t

𝑛 = banyaknya data observasi

30

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder berupa

jumlah pendaftaran siswa baru mulai tahun ajaran 2007 – 2008 hingga tahun

ajaran 2013 – 2014. Data tersebut berjumlah sebanyak 84 data runtun waktu yang

diperoleh dari lembaga bimbingan belajar Sony Sugema College cabang Bintaro.

Dalam pengujiannya, data dari tahun ajaran 2007-2008 hingga tahun ajaran 2012-

2013 digunakan untuk menentukan model yang sesuai sedangkan data dari tahun

ajaran 2013-2014 digunakan untuk mengevaluasi model yang tepat untuk

digunakan sebagai peramalan. Data pendaftaran siswa baru tersebut dapat dilihat

pada Lampiran 1.

3.2 Metode Seasonal ARIMA

1. Pemeriksaan Kestasioneran Data

Untuk menguji apakah data yang digunakan memiliki sifat stasioner atau

tidak, dapat dilihat grafik fungsi autokorelasinya. Data yang tidak stasioner akan

memiliki pola yang cenderung lambat menuju nol pada beberapa lag awal. Selain

itu karena data yang digunakan memiliki unsur musiman, maka akan terlihat

beberapa korelasi yang lebih signifikan dan berulang sepanjang musiman data.

31

Secara lebih formal, untuk menguji kestasioneran data maka akan

digunakan uji Augmented Dickey-Fuller dengan hipotesis dan kriteria uji sebagai

berikut:

Hipotesis:

𝐻0: 𝛿 = 0 (data deret waktu tidak stasioner)

𝐻1: 𝛿 < 0 (data deret waktu stasioner)

Kriteria Pengujian:

Tolak 𝐻0 jika 𝜏 𝛿 ≥ 𝜏 𝑛 ,∝ Dickey Fuller

Jika data menunjukkan ketidakstasioneran maka perlu diputuskan apakah

data tidak stasioner secara rata-rata atau varians atau keduanya, selanjutnya dapat

ditanggulangi dengan transformasi atau/dan differencing.

2. Identifikasi model

Setelah data dinyatakan bersifat stasioner baik secara rata-rata maupun

varians maka dapat dilakukan pemilihan model yang tepat berdasarkan kriteria yg

ada. Hal ini penting dilakukan agar hasil peramalan dari model yang dibentuk

tidak sia-sia. Model yang tepat tentu akan menghasilkan peramalan yang

memuaskan.

32

Menurut [15] model SARIMA dapat dipilh dengan kriteria sebagai

berikut:

a. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2; lag musiman tidak

signifikan dan PACF perlahan- lahan menghilang (dies down), maka

diperoleh model non seasonal MA (q=1 atau 2).

b. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L; lag non musiman

tidak signifikan dan PACF perlahan- lahan menghilang (dies down), maka

diperoleh model seasonal MA (Q=1).

c. Jika ACF terpotong setelah lag musiman L; lag non musiman terpotong

(cut off) setelah lag 1 atau 2, maka diperoleh model non seasonal-seasonal

MA (q=1 atau 2; Q=1).

d. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong

(cut off) setelah lag 1 atau 2; lag musiman tidak signifikan, maka diperoleh

model non seasonal AR (p=1 atau 2).

e. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong

(cut off) setelah lag musiman L; lag non musiman tidak signifikan, maka

diperoleh model seasonal AR (P=1).

f. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong

(cut off) setelah lag musiman L; dan non musiman terpotong (cut off)

setelah lag 1atau 2, maka diperoleh model non seasonal dan seasonal AR

(p=1 atau 2 dan P=1).

g. Jika ACF dan PACF perlahan- lahan menghilang (dies down) maka

diperoleh campuran (ARMA) model.

33

3. Estimasi Parameter dari model

Setelah beberapa model telah terpilih, langkah selanjutnya adalah

mengestimasi parameter-parameter dari model itu sendiri. Pada penelitian ini

metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model ialah dengan

metode perbaikan secara iteratif. Taksiran awal dipilih kemudian diperhalus

secara iteratif hingga kesalahan menjadi sekecil mungkin. Proses ini akan

dikerjakan oleh suatu program komputer.

4. Pengujian Model

Setelah model-model terpilih telah diestimasi nilai parameternya, langkah

selanjutnya ialah menguji apakah model tersebut sesuai dengan data. Beberapa

pengujian yang harus dilalui adalah;

a. Keberartian koefisien

Hipotesis dan kriteria uji keberartian koefisien adalah sebagai berikut:

Hipotesis: 𝐻0: koefisisen tidak berarti

𝐻1: koefisien berarti

Dengan 𝛼 = 0.05

Kriteria uji:

Tolak 𝐻0 jika 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼, artinya koefisien telah berarti.

34

b. Memenuhi asumsi White Noise

Yakni suatu asumsi yang menyatakan bahwa residu bersifat acak dan

normal. Hipotesis dan kriteria uji keacakan residu adalah sebagai berikut:

Hipotesis: 𝐻0: 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑘 = 0 (residu bersifat acak)

𝐻1:∃ 𝑟𝑖 ≠ 𝑟𝑗 = 0 (residu tidak bersifat acak)

Kriteria uji:

Terima 𝐻0 jika nilai 𝑄 > 𝑋 𝛼,𝑑𝑏 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼.

Sedangkan hipotesis dan kriteria uji kenormalan residu adalah sebagai

berikut:

Hipotesis:

𝐻0: residu berdistribusi normal

𝐻1: residu tidak berdistribusi normal

Kriteria uji:

Tolak 𝐻0 jika jika 𝐷ℎ𝑖𝑡 > 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼.

c. Pemilihan model terbaik

Dari beberapa model yang memenuhi asumsi keberartian koefisien dan

asumsi white noise akan dipilih satu model terbaik yang ditentukan

melalui nilai MSE dari masing – masing model.

35

5. Peramalan

Setelah model tebaik dari beberapa model dugaan sementara dipilih, maka

dapat dilakukan peramalan untuk periode selanjutnya menggunakan persamaan

dari model terpilih tersebut. Hasil peramalan metode SARIMA bisa digunakan

dalam peramalan jangka waktu menengah yaitu tiga bulan sampai dengan dua

tahun [16].

Hasil peramalan model SARIMA yang diperoleh kemudian akan

dibandingkan dengan hasil peramalan model dekomposisi menggunakan data

input 1 musim terakhir yakni data tahun ajaran 2013 – 2014. Model peramalan

dikatakan baik jika nilai MAPE kurang dari 20%. Model dengan nilai MAPE

yang lebih baik akan digunakan pada peramalan untuk periode tahun ajaran

berikutnya.

3.3 Metode Dekomposisi

Sebelum data masuk ke dalam metode dekomposisi maka terlebih dahulu

dilakukan penormalan terhadap data. Hal ini dilakukan karena sebagian besar

analisis statistik inferensia (parametrik) menggunakan asumsi normal pada data

untuk menghasilkan rumus perhitungannya. Jadi data yang akan digunakan adalah

data hasil transformasi.

Selanjutnya masuk pada proses pendekomposisian data. Berikut ini

tahapan-tahapan dalam menggunakan metode dekomposisi pada suatu barisan

data runtun waktu:

36

1. Menghitung Indeks Musiman

a. Dekomposisi Aditif

Langkah – langkahnya sebagai berikut:

i. Trend-Siklus 𝑇𝑡 dihitung menggunakan rata-rata bergerak

sepanjang 1 musiman (𝑛 data berurutan). Trend-Siklus terkadang

dipisahkan ke dalam komponen trend dan komponen siklus, tapi

pembedaan ini agaknya buatan dan sebagian besar prosedur-

prosedur dekomposisi menjadikan trend dan siklus sebagai

komponen tunggal.

ii. Mengurangi data dengan komponen trend-siklus yang akan

meninggalkan komponen musiman dan acak.

𝑋𝑡 − 𝑇𝑡 = 𝐼𝑡 + 𝐸𝑡

iii. Komponen musiman dan acak ini kemudian disusun sesuai dengan

periodenya masing-masing dan dihitung rata – rata medialnya

(rata-rata dari data yng telah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil)

untuk tiap periode yang bersesuaian.

iv. Rata-rata medial ini kemudian ditambah dengan faktor koreksi agar

jumlah rata-rata medial untuk semua periode menjadi nol. Hasil

penjumlahan akhir ini adalah indeks musimannya.

37

b. Dekomposisi Multiplikatif

Langkah- langkahnya sebagai berikut:

i. Mengitung rata-rata bergerak sepanjang 1 musiman (𝑛 data

berurutan).

ii. Membagi data dengan rata-rata bergerak yang bersesuaian

sehingga tersisa komponen acak dan siklus.

𝑋𝑡

𝑇𝑡

= 𝐼𝑡 ∗ 𝐸𝑡

iii. Komponen musiman dan acak ini kemudian disusun sesuai dengan

periodenya masing-masing dan dihitung rata-rata medialnya (rata-

rata dari data yang telah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil)

untuk tiap periode yang bersesuaian.

iv. Rata-rata medial ini kemudian dikali dengan faktor koreksi agar

jumlah rata-rata medial untuk semua periode menjadi 𝑛 (panjang

musiman). Hasil penjumlahan akhir ini adalah indeks musimannya.

2. Pencocokan trend

Sebelum dilakukan pencocokan trend, komponen musiman harus

dipusahkan terlebih dahulu dengan mengurangi/membagi data awal

dengan komponen musimannya yang bersesuaian.

Pada penelitian ini, trend yang digunakan adalah linier. Yakni,

𝑍𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑡

Dengan meminimumkan MSE didapatkan

38

𝑏 =𝑛 𝑡𝑍𝑡 − 𝑡 𝑍𝑡

𝑛 𝑡2 − 𝑡 2

𝑎 = 𝑍𝑡

𝑛− 𝑏

𝑡

𝑛

Dimana

𝑋𝑡 = data awal

𝑡 = periode

𝑛 = banyak data

3. Pemilihan Model Terbaik

Apabila model telah diperoleh, maka dapat dilakukan pemilihan model

terbaik dengan membandingkan hasil peramalan dengan data pengujian, dan

memperhatikan ukuran keakuratan dari model. Ukuran keakuratan yang

digunakan pada tahap ini adalah MSE.

4. Peramalan

Setelah model tebaik dipilih, maka dapat dilakukan peramalan untuk

periode selanjutnya menggunakan faktor – faktor yang telah diduga sebelumnya

yakni, faktor trend dan musiman.

Hasil peramalan model dekomposisi yang diperoleh kemudian akan

dibandingkan dengan hasil peramalan model SARIMA menggunakan data input 1

musim terakhir yakni data tahun ajaran 2013 – 2014. Model peramalan dikatakan

baik jika nilai MAPE kurang dari 20%. Model dengan nilai MAPE yang lebih

baik akan digunakan pada peramalan untuk periode tahun ajaran berikutnya.

39

3.4 Alur Penelitian

Metode Seasonal ARIMA Metode Dekomposisi

Tidak tidak

ya ya

tidak

ya

Gambar 3.3. Alur Penelitian

Input Data

Data

Normal ?

Transformasi

Pencocokan Trend

Data Stasioner ?

Transformasi Differencing

Identifikasi Model

Estimasi Parameter Model

Penentuan

Indeks

Musiman

Evaluasi model

Perbandingan

Mulai

-- Keberartian Koefisien ?

-- Asumsi White Noise ? -- Paling Akurat ?

Peramalan

Selesai

40

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Peramalan jumlah pendaftaran siswa baru pada lembaga bimbingan belajar

Sony Sugema College cabang Bintaro menggunakan data jumlah pendaftaran

siswa baru dari tahun ajaran 2007 – 2008 sampai tahun ajaran 2013 – 2014, total

berjumlah 84 data yang terdiri dari 7 musiman. Dari 7 musiman tersebut, 6

musiman pertama (tahun ajaran 2007 – 2008 sampai tahun ajaran 2012 – 2013)

digunakan untuk menentukan model Seasonal ARIMA dan model Dekomposisi

dan data 1 musiman terakhir (tahun ajaran 2013 – 2014) digunakan untuk

peramalan.

Berikut ini tabel deskripsi data 6 musiman pertama yang digunakan untuk

menentukan model Seasonal ARIMA dan model Dekomposisi:

Tabel 4.1 deskripsi data

Jumlah

data

Data

minimum

Data

maksimum

Rata-rata Nilai tengah

deviasi kuadrat

Deviasi

standar

72 1 139 18.86 2.808 23.828

Tabel 4.1 memperlihatkan bahwa range data adalah 138 dengan rata – rata

18.86, deviasi standar 23.828 dan nilai tengah deviasi kuadrat bernilai 2.808.

41

4.1 Pengolahan Data Menggunakan Metode SARIMA

Beberapa tahapan yang akan dilakukan pada bagian ini adalah dimulai

dengan pemeriksaan kestasioneran data, kemudian jika data telah stasioner maka

dilanjutkan dengan proses mengidentifikasi model-model yang cocok untuk data

input, dan terakhir, menentukan model terbaik dari beberapa model yang ada

untuk digunakan dalam peramalan.

4.1.1 Pemeriksaan Kestasioneran Data

Pemeriksaan kestasioneran data dapat dilakukan secara visual dengan

melihat plot data input sebagai berikut (menggunakan software):

Gambar 4.1 Plot Data Siswa

Index

sis

wa

70635649423528211471

140

120

100

80

60

40

20

0

Time Series Plot of siswa

42

Gambar 4.2 Plot ACF Data Siswa

Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat plot data telah stasioner pada rata-rata

namun tidak dengan variansnya. Sedangkan gambar 4.2 menunjukkan adanya

bentuk musiman pada data sehingga metode SARIMA memang tepat d igunakan

untuk menganalisis data. Untuk memastikan kestasioneran secara statistik maka

dilakukan uji Augmented Dickey Fuller. Dengan bantuan software, diperoleh

hasil uji Augmented Dickey Fuller sebagai berikut:

Tabel 4.2 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller Data Siswa

t-statistics Prob.*

Augmeted Dickey Fuller Test Statistics −1.767974 0.7337

Test Critical values 1% level −3.544063

5% level −2.910860

10% level −2.593090

Lag

Au

toco

rre

lati

on

7065605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for siswa(with 5% significance limits for the autocorrelations)

43

Tabel 4.2 memperlihatkan bahwa dengan taraf signifikansi sebesar 5%

diperoleh 𝜏𝛿 < 𝜏 𝑛 ,𝛼 atau 1.767974 < 2.910860, maka 𝐻0 tidak ditolak. Jadi

data input model belum stasioner.

Karena data belum stasioner secara varians maka akan dilakukan proses

transformasi. Untuk menentukan transformasi yang cocok dengan data input

model dengan melihat Plot Box-Cox, adapun outputnya adalah sebagai berikut:

Gambar 4.3 Plot Box-Cox data siswa

Berdasarkan Gambar 4.3 diperoleh 𝜆 = 0.0. Maka transformasi yang

digunakan adalah transformasi 𝑊𝑡 = 𝑙𝑛 𝑍𝑡 . Transformasi ini akan menyebabkan

data stasioner secara varians. Plot data hasil transformasi dapat dilihat pada

gambar di bawah ini:

Lambda

StD

ev

3210-1

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

0.00

(using 95.0% confidence)

Estimate 0.02

Lower CL -0.18

Upper CL 0.25

Rounded Value

Box-Cox Plot of C1

44

Gambar 4.4 Plot data hasil transformasi

Berdasarkan Gambar 4.4 terlihat bahwa data telah stasioner baik secara

rata-rata maupun varians karena pola data bergerak secara fluktuatif di sekitar

nilai rata-rata. Untuk memastikan data tersebut sudah stasioner dilakukan kembali

Uji Augmented Dickey Fuller. Dengan menggunakan software, hasil uji

Augmented Dickey Fuller untuk data setelah ditransformasi adalah sebagai

berikut:

Tabel 4.3 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller data hasil transformasi

t-statistics Prob.*

Augmeted Dickey Fuller Test Statistics −6.860109 0.000

Test Critical values 1% level −3.525618

5% level −2.902953

10% level −2.588902

Index

Da

ta I

np

ut

Mo

de

l

70635649423528211471

5

4

3

2

1

0

Time Series Plot of Data Input Model

45

Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa dengan taraf signifikansi sebesar 5%

diperoleh 𝜏𝛿 > 𝜏 𝑛 ,𝛼 atau 6.860109 > 2.902953, maka 𝐻0ditolak. Jadi data input

model sudah stasioner. Untuk selanjutnya data input yang telah ditransformasi ini

akan disebut sebagai data input model.

4.1.2 Identifikasi Model

Setelah diperoleh data stasioner, langkah selanjutnya adalah

mengidentifikasi model berdasarkan plot fungsi autokorelasi dan fungsi

autokorelasi parsial. Berikut ini adalah plot ACF dan plot PACF data input model:

Gambar 4.5 Plot ACF data input model

Lag

Au

toco

rre

lati

on

7065605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for Data Input Model(with 5% significance limits for the autocorrelations)

46

Gambar 4.6 Plot PACF data input model

Secara keseluruhan terlihat bahwa plot ACF berbentuk eksponensial

sedangkan plot PACF menunjukkan cut off pada lag musiman. Hal ini

mengindikasikan secara kuat adanya proses SAR (Seasonal Autoregressive).

Sebagai perbandingan maka terdapat beberapa model yang ikut

dimunculkan. Berdasarkan gambar 4.5 dan gambar 4.6, dapat dilihat bahwa

beberapa kriteria berikut ini terpenuhi, yakni:

a. Plot ACF lag musiman menunjukkan bentuk eksponensial sedangkan

plot PACF lag musiman menunjukkan cut off pada lag musiman

pertama. Hal ini mengindikasikan adanya proses SAR(1).

b. Plot ACF lag non musiman menunjukkan cut off pada lag ke 2

sedangkan plot PACF lag non musiman menunjukkan cut off pada lag

Lag

Pa

rtia

l A

uto

co

rre

lati

on

7065605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Partial Autocorrelation Function for Data Input Model(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

47

ke 2. Hal ini mengindikasikan adanya proses MA(2) atau proses AR(2)

atau gabungan keduanya yakni ARMA(2,2).

Berdasarkan dua kriteria yang dipenuhi di atas maka dapat diperoleh

beberapa model yang dinyatakan dalam notasi model ARIMA (𝑝,𝑑, 𝑞)(𝑃, 𝐷, 𝑄)𝐿

sebagai berikut: ()()12

1. ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

2. ARIMA 2,0,0 1,0,0 12

3. ARIMA 0,0,2 1,0,0 12

4. ARIMA 2,0,2 1,0,0 12

4.1.3 Penaksiran Parameter dan Diagnosis Model

Setelah beberapa model sementara diperoleh, maka langkah selanjutnya

adalah mencari penaksir terbaik untuk parameter model tersebut. Parameter hasil

penaksiran kemudian dilakukan uji diagnosis yang terdiri dari uji asumsi

keberartian koefisien, uji asumsi white noise, dan diakhiri dengan memilih model

dengan nilai MSE terkecil.

Hasil penaksiran parameter beserta nilai p-value untuk menguji

keberartian koefisien model adalah sebagai parameter berikut:

48

1. Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

Tabel 4.4 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

Type Coef. SE Coef. T P

SAR 1 0.9258 0.0832 11.13 0.000

Constant 0.18450 0.08000 2.31 0.024

Berdasarkan Tabel 4.4 diperoleh hasil penaksiran model ARIMA

0,0,0 1,0,0 12 yakni, 𝜑1 = 0.9258 dan 𝛿 = 0.18450. Dengan

menggunakan operator backshift, model umum ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

dapat dinyatakan oleh:

1 −𝜑1𝐵9 𝑊𝑡 = 𝛿 + 휀𝑡

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada

bentuk tersebut maka diperoleh:

1 − 0.9258𝐵12 𝑊𝑡 = 0.18450 + 휀𝑡

Berdasarkan Tabel 4.4 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk

parameter SAR 1 lebih kecil dari 𝛼 sehingga 𝐻0 ditolak, artinya model

ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 telah memenuhi asumsi keberartian koefisien.

49

2. Model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12

Tabel 4.5 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,0 1,0,0 12

Type Coef. SE Coef. T P

AR 1 0.0323 0.1193 0.27 0.788

AR 2 0.1845 0.1196 1.54 0.128

SAR 1 0.9281 0.0848 10.94 0.000

Constant 0.14052 0.07988 1.76 0.083

Berdasarkan Tabel 4.5, diperoleh hasil penaksiran model ARIMA

2,0,0 1,0,0 12 yakni, ∅1 = 0.0323, ∅2 = 0.1845,𝜑1 = 0.9281 dan

𝛿 = 0.14052. Dengan menggunakan operator backshift, model umum

ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 dapat dinyatakan oleh:

1 −∅1𝐵 − ∅2𝐵2 1 − 𝜑1𝐵

12 𝑊𝑡 = 𝛿 + 휀𝑡

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada

bentuk tersebut maka diperoleh:

1 − 0.0323𝐵 − 0.1845𝐵2 1− 0.9281𝐵12 𝑊𝑡 = 0.14052 + 휀𝑡

Berdasarkan Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk

parameter AR 1 dan AR 2 lebih besar dari 𝛼 sehingga 𝐻0 diterima, artinya

model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 tidak memenuhi asumsi keberartian

koefisien.

50

3. ARIMA 0,0,2 1,0,0 12

Tabel 4.6 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,2 1,0,0 12

Type Coef. SE Coef. T P

SAR 1 0.9266 0.0855 10.84 0.000

MA 1 −0.0147 0.1198 −0.12 0.903

MA 2 −0.1541 0.1201 −1.28 0.204

Constant 0.18268 0.09363 1.95 0.055

Berdasarkan Tabel 4.6, diperoleh hasil penaksiran model ARIMA

0,0,2 1,0,0 12 yakni, 𝜑1 =0.9266, 𝜃1 = −0.0147, 𝜃2 = −0.1541, dan

𝛿 = 0.18268. Dengan menggunakan operator backshift, model umum

ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 dapat dinyatakan oleh:

1 − 𝜑1𝐵12 𝑊𝑡 = 𝛿 + 1 −𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵

2 휀𝑡

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada

bentuk tersebut maka diperoleh:

1 − 0.9266𝐵12 𝑊𝑡 = 0.18268 + 1 + 0.0147𝐵 + 0.1541𝐵2 휀𝑡

Berdasarkan Tabel 4.6 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk

parameter MA 1 dan MA 2 lebih besar dari 𝛼 sehingga 𝐻0 diterima, artinya

model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 tidak memenuhi asumsi keberartian

koefisien.

51

4. ARIMA 2,0,2 1,0,0 12

Tabel 4.7 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,2 1,0,0 12

Type Coef. SE Coef. T P

AR 1 1.0293 0.2980 3.45 0.001

AR 2 −0.6972 0.2670 −2.61 0.011

SAR 1 0.9466 0.0731 12.95 0.000

MA 1 1.0284 0.2542 4.05 0.000

MA2 −0.8513 0.2093 −4.07 0.000

Constant 0.08912 0.06595 1.35 0.181

Berdasarkan Tabel 4.7, diperoleh hasil penaksiran model ARIMA

2,0,2 1,0,0 12 yakni, ∅1 = 1.0293, ∅2 = −0.6972, 𝜑1 = 0.9466, 𝜃1 =

1.0284, 𝜃2 = −0.8513, dan 𝛿 = 0.08912. Dengan menggunakan operator

backshift, model umum ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 dapat dinyatakan oleh:

1 − ∅1𝐵 − ∅2𝐵2 1 −𝜑1𝐵

12 𝑊𝑡 = 𝛿 + 1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 휀𝑡

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada

bentuk tersebut maka diperoleh:

1 − 1.0293𝐵 + 0.6972𝐵2 1− 0.9466𝐵12 𝑊𝑡

= 0.08912 + 1 − 1.0284𝐵 + 0.8513𝐵2 휀𝑡

Berdasarkan Tabel 4.7 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk semua

parameter lebih kecil dari 𝛼 sehingga 𝐻0 ditolak, artinya model ARIMA

2,0,2 1,0,0 12 telah memenuhi asumsi keberartian koefisien.

52

Pengujian asumsi 𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 terdiri dari 2 tahap yakni, uji keacakan

residu dan uji kenormalan residu. Berikut ini adalah disajikan plot ACF residu dan

nilai statistik Ljung-Box masing-masing model untuk menguji keacakan residu

serta plot probabilitas residu masing-masing model untuk menguji kenormalan

residu:

1. Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

Gambar 4.7 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

Berdasarkan Gambar 4.7 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang keluar

dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Untuk

memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang terdapat pada

tabel berikut:

Lag

Au

toco

rre

lati

on

7065605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for RESI1(with 5% significance limits for the autocorrelations)

53

Tabel 4.8 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic

Lag 12 24 36 48

Chi-Square 10.4 16.6 28.6 35.1

DF 10 22 34 46

P-Value 0.407 0.787 0.731 0.879

Berdasarkan tabel 4.8 terlihat bahwa nilai p-value untuk setiap lag

yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat dikatakan

bahwa residu model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 bersifat acak.

Gambar 4.8 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

RESI1

Pe

rce

nt

210-1-2

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

>0.150

0.01632

StDev 0.6733

N 72

KS 0.073

P-Value

Probability Plot of RESI1Normal

54

Berdasarkan Gambar 4.8 diketahui nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka

𝐻0diterima artinya residu model ARIMA (2,1,0)(0,1,0)9 berdistribusi

normal.

2. Model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12

Gambar 4.9 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12

Berdasarkan Gambar 4.9 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang keluar

dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Untuk

memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang terdapat pada

tabel berikut:

Lag

Au

toco

rre

lati

on

7065605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for RESI2(with 5% significance limits for the autocorrelations)

55

Tabel 4.9 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,0 1,0,0 12

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic

Lag 12 24 36 48

Chi-Square 6.1 12.8 20.6 26.4

DF 8 20 32 44

P-Value 0.632 0.886 0.939 0.984

Berdasarkan tabel 4.9 terlihat bahwa nilai p-value untuk setiap lag

yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat dikatakan

bahwa residu model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 bersifat acak.

Gambar 4.10 Plot Probabilitas Residu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12

Berdasarkan Gambar 4.10 terlihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka

𝐻0 diterima artinya residu model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 berdistribusi

normal

RESI2

Pe

rce

nt

210-1-2

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

0.057

0.01070

StDev 0.6627

N 72

KS 0.103

P-Value

Probability Plot of RESI2Normal

56

3. Model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12

Gambar 4.11 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12

Berdasarkan Gambar 4.11 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang

keluar dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Untuk

memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang terdapat pada

tabel berikut:

Tabel 4.10Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,2 1,0,0 12

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic

Lag 12 24 36 48

Chi-Square 7.1 13.8 22.2 28.2

DF 8 20 32 44

P-Value 0.526 0.841 0.901 0.969

Lag

Au

toco

rre

lati

on

7065605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for RESI3(with 5% significance limits for the autocorrelations)

57

Berdasarkan tabel 4.10 tersebut terlihat bahwa nilai p-value untuk

setiap lag yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat

dikatakan bahwa residu model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 bersifat acak.

Gambar 4.12 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12

Berdasarkan Gambar 4.12 terlihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka

𝐻0 diterima artinya residu model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 berdistribusi

normal.

RESI3

Pe

rce

nt

210-1-2

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

0.127

0.01264

StDev 0.6646

N 72

KS 0.093

P-Value

Probability Plot of RESI3Normal

58

4. Model ARIMA 2,0,2 1,0,0 12

Gambar 4.13 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12

Berdasarkan Gambar 4.13 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang

keluar dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Namun

untuk memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang

terdapat pada tabel berikut:

Tabel 4.11Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,2 1,0,0 12

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic

Lag 12 24 36 48

Chi-Square 5.1 11.4 22.0 28.1

DF 6 18 30 42

P-Value 0.536 0.874 0.854 0.950

Lag

Au

toco

rre

lati

on

7065605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for RESI4(with 5% significance limits for the autocorrelations)

59

Berdasarkan tabel tersebut terlihat bahwa nilai p-value untuk setiap lag

yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat dikatakan

bahwa residu model ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 bersifat acak.

Gambar 4.14 Plot Probabilitas Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12

Berdasarkan Gambar 4.14 terlihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka

𝐻0 diterima artinya residu model ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 berdistribusi

normal.

Langkah terakhir adalah membandingkan nilai MSE setiap model untuk

menentukan model terbaik untuk digunakan dalam peramalan.

Berikut ini adalah tabel nilai MSE dari setiap model yang teridentifikasi:

RESI4

Pe

rce

nt

210-1-2

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

0.092

0.008519

StDev 0.6542

N 72

KS 0.097

P-Value

Probability Plot of RESI4Normal

60

Tabel 4.12 Nilai MSE Model ARIMA

Model Nilai

DF SSE MSE

ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 70 32.2018 0.4600

ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 68 31.1921 0.4587

ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 68 31.3693 0.4613

ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 66 30.3884 0.4604

Berdasarkan Tabel 4.12, nilai MSE terkecil dimiliki oleh model ARIMA

2,0,0 1,0,0 12 yakni sebesar 0.4587.

Berikut ini adalah rangkuman diagnosis model SARIMA yang terindikasi:

Tabel 4.13 Rangkuman Diagnosis Model ARIMA

Model Keberartian

Koefisien

White Noise MSE

Acak Normal

ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 Ya Ya Ya 0.4600

ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 Tidak Ya Ya 0.4587

ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 Tidak Ya Ya 0.4613

ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 Ya Ya Ya 0.4604

Berdasarkan Tabel 4.13, model yang memenuhi tahapan diagnosis model,

yakni memenuhi asumsi keberartian koefisien, bersifat white noise, serta memiliki

nilai MSE terkecil di antara semua model yang teridentifikasi adalah model

ARIMA 0,0,0 1,0,0 12. Oleh karena itu model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 dipilih

sebagai model yang akan digunakan pada tahapan evaluasi.

61

4.2 Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi

Pada bagian sebelumnya diketahui bahwa data pendaftaran siswa baru

tidak normal sehingga perlu dilakukan transformasi. Artinya tahapan normalisasi

data telah dilakukan sehingga pada bagian ini hanya akan dilakukan pemisahan

(dekomposisi) data dengan menghitung indeks musiman dan menentukan garis

trend yang tepat. Metode yang akan digunakan adalah metode dekomposisi rata-

rata bergerak secara aditif dan multiplikatif sehingga hanya ada dua model yang

akan dihasilkan pada tahap ini. Model terbaik kemudian siap digunakan dalam

peramalan.

4.2.1 Menghitung Indeks Musiman

Sebelum masuk ke proses perhitungan indeks musiman, maka terlebih

dahulu dihitung rata-rata bergerak sepanjang musiman data. Pada penelitian ini,

sebagaimana kita ketahui sebelumnya, data memiliki musiman sepanjang 12

periode. Jadi, rata-rata musiman dihitung dengan merata-ratakan 12 data

berurutan dan hasilnya diletakkan pada periode tengahnya, namun karena panjang

periode musiman adalah genap maka hasil perata-rataan ini dirata-ratakan kembali

menggunakan 2 data berurutan. Berikut ini data hasil transformasi dan hasil

perhitungan rata-rata bergerak:

62

Tabel 4.14 Tabel Data Hasil Transformasi

Bulan Tahun Ajaran

07 – 08 08 - 09 09 - 10 10 – 11 11 - 12 12 - 13

Mei 2.564949 1.94591 2.397895 2.302585 2.995732 3.610918

Juni 2.890372 2.397895 2.833213 3.258097 2.639057 3.401197

Juli 4.189655 3.713572 4.158883 4.934474 4.812184 4.290459

Agustus 2.302585 3.465736 3.465736 2.890372 2.70805 1.791759

September 3.135494 2.564949 2.197225 1.386294 3.178054 3.258097

Oktober 2.302585 2.890372 2.302585 1.94591 2.397895 2.302585

Nopember 2.079442 2.564949 2.302585 1.609438 2.079442 2.197225

Desember 2.833213 2.302585 1.94591 0 1.609438 1.098612

Januari 3.555348 3.332205 2.397895 2.197225 3.044522 2.397895

Februari 0.693147 1.609438 1.791759 1.609438 2.079442 2.397895

Maret 2.484907 1.386294 1.386294 1.791759 0.693147 0.693147

April 0 2.397895 3.135494 2.079442 2.890372 3.044522

Tabel 4.15 Tabel Hasil Perhitungan Rata-Rata Bergerak

Bulan Tahun Ajaran

07 – 08 08 - 09 09 - 10 10 - 11 11 – 12 12 - 13

Mei 2.405605 2.568144 2.444258 2.354439 2.592523

Juni 2.403725 2.542351 2.334297 2.441083 2.576146

Juli 2.372318 2.48856 2.244856 2.543447 2.527919

Agustus 2.401199 2.457228 2.228898 2.598334 2.514246

September 2.393602 2.464824 2.238195 2.572142 2.527515

Oktober 2.447738 2.495557 2.211088 2.560155 2.533938

Nopember 2.393515 2.566484 2.522319 2.195967 2.619577

Desember 2.347202 2.603455 2.536051 2.199054 2.676966

Januari 2.306846 2.640147 2.586071 2.168165 2.686983

Februari 2.335474 2.658702 2.594414 2.155473 2.627066

Maret 2.360166 2.64338 2.536651 2.222533 2.592223

April 2.360884 2.603567 2.488001 2.316023 2.591587

63

Data kemudian dikurangi (model aditif) atau dibagi (model multiplikatif)

dengan rata – rata bergerak yang bersesuaian. Berikut ini hasil pengurangan atau

pembagian tersebut:

Tabel 4.16 Hasil Pengurangan Data Dengan Rata-Rata Bergerak

Bulan Tahun Ajaran

07 – 08 08 - 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13

Mei −0.45969 −0.17024 −0.14167 0.641291 1.018397

Juni −0.00583 0.290859 0.923803 0.197978 0.825054

Juli 1.341252 1.67032 2.689614 2.268733 1.762541

Agustus 1.064541 1.008513 0.661472 0.109716 −0.72249

September 0.171348 −0.2676 −0.85191 0.605908 0.730585

Oktober 0.442632 −0.19297 −0.26518 −0.16226 −0.23135

Nopember −0.31408 −0.00153 −0.21973 −0.58653 −0.54014

Desember 0.486008 −0.30086 −0.59014 −2.19905 −1.06753

Januari 1.248504 0.692053 −0.18817 0.029055 0.357537

Februari −1.64232 −1.04926 −0.80265 −0.54603 −0.54763

Maret 0.124744 −1.25709 −1.15036 −0.43077 −1.89907

April −2.36088 −0.20567 0.647489 −0.23658 0.298783

64

Tabel 4.17 Hasil Pembagian Data Dengan Rata-Rata Bergerak

Bulan Tahun Ajaran

07 – 08 08 - 09 09 – 10 10 – 11 11 - 12 12 - 13

Mei 0.808907 0.933709 0.942041 1.272375 1.392821

Juni 0.997577 1.114406 1.395752 1.081102 1.320267

Juli 1.565376 1.671199 2.198123 1.891992 1.69723

Agustus 1.443337 1.410427 1.296771 1.042225 0.712643

September 1.071586 0.891431 0.619378 1.235565 1.289053

Oktober 1.180833 0.922676 0.880069 0.936623 0.9087

Nopember 0.868781 0.999402 0.912886 0.732907 0.793808

Desember 1.207058 0.884436 0.767299 0 0.601218

Januari 1.541217 1.262127 0.927237 1.013401 1.133062

Februari 0.296792 0.605348 0.690622 0.746676 0.791545

Maret 1.052854 0.524438 0.546504 0.806179 0.267396

April 0 0.921006 1.260245 0.897849 1.11529

Hasil pengurangan dan hasil pembagian tersebut kemudian dihitung rerata

medialnya (rata-rata setelah dikurangi nilai tertinggi dan nilai terendah) untuk

masing-masing periode. Rerata medial yang dihasilkan kemudian ditambah /

dikali dengan faktor koreksi sehingga rata – rata totalnya menjadi 0 (model aditif)

/ menjadi 1 (model multiplikatif). Hasil terakhir ini kita sebut sebagai indeks

musiman. Berikut adalah hasil perhitungan indeks musiman untuk model aditif

dan model multiplikatif:

65

Tabel 4.18 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Aditif

Bulan Rerata Medial Indeks Musiman 𝐼𝑡

Mei 0.109792917 0.062221167

Juni 0.437963472 0.390391167

Juli 1.900531389 1.852959167

Agustus 0.593233611 0.545662167

September 0.169884028 0.122312167

Oktober −0.195523472 −0.243094833

Nopember −0.357980278 −0.405551833

Desember −0.652843889 −0.700415833

Januari 0.359548056 0.311976167

Februari −0.799847222 −0.847418833

Maret −0.946074722 −0.993646833

April −0.047822222 −0.095393833

Rata – rata 0.047571806 0

Tabel 4.19 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Multiplikatif

Bulan Rerata Medial Indeks Musiman 𝐼𝑡

Mei 1.049374994 1.028483753

Juni 1.171924865 1.148593867

Juli 1.753473672 1.718565044

Agustus 1.249807869 1.224926356

September 1.066194068 1.044967988

Oktober 0.922666272 0.904297582

Nopember 0.858491528 0.841400446

Desember 0.750984515 0.736033712

Januari 1.136196557 1.113576848

Februari 0.680882102 0.667326917

Maret 0.625707201 0.613250453

April 0.978048282 0.958577032

Rata – rata 12.24375193 12

66

4.2.2 Pencocokan Trend

Sebelumnya data terlebih dahulu dihilangkan faktor musimannya. Hal ini

dilakukan dengan mengurangi data dengan indeks musiman aditif (model aditif)

atau membagi data dengan indeks musiman multiplikatif (model multiplikatif).

Berikut adalah persamaan trend hasil pencocokan antara data yang telah

dihilangkan faktor musimannya sebagai variable bergantung dan periode sebagai

variable bebas:

a. Trend Model Aditif

𝑇𝑡 = 2.441167628 + 0.000674129𝑡

Dimana :𝑇𝑡 = faktor trend

𝑡 =periode

b. Trend Model Multiplikatif

𝑇𝑡 = 2.488706401− 0.0008764896𝑡

Dimana :𝑇𝑡 = faktor trend

𝑡 =periode

67

4.2.3 Evaluasi Model

Pada tahap ini akan dilakukan pencocokan data dengan model yang

terbentuk dan dilakukan pemeriksaan untuk melihat seberapa baik model tersebut

dengan menggunakan MSE. Hasil perhitungan MSE untuk metode dekomposisi

menggunakan model aditif dan model multiplikatif adalah sebagai berikut:

MSE model aditif = 0.38305

MSE model multiplikatif = 0.38812

Berdasarkan 2 nilai MSE di atas maka dapat disimpulkan bahwa model

aditif lebih baik dari pada model multiplikatif.

4.3 Perbandingan Hasil Metode SARIMA dan Metode Dekomposisi

Pada tahap ini akan dilakukan evaluasi peramalan dengan menggunakan

data musiman terkahir. Model terpilih menggunakan metode SARIMA adalah

model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 sedangkan model terpilih menggunakan metode

dekomposisi adalah model aditif. Berikut adalah perhitungan MAPE untuk 2

model tersebut yang dibandingkan dengan data musiman terakhir:

68

Tabel 4.20 Perhitungan MAPE Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

Bulan 𝐴𝑡 𝐹𝑡 𝐴𝑡 −𝐹𝑡 𝐴𝑡 MAPE

Mei 14 34.04047 1.4314619 41.85355

Juni 35 28.03293 0.1990591

Juli 72 63.85916 0.1130673

Agustus 22 6.317604 0.7128362

September 18 24.55462 0.3641455

Oktober 10 10.13779 0.013779

Nopember 9 9.195645 0.0217383

Desember 7 3.325467 0.5249333

Januari 12 11.073 0.0772497

Februari 7 11.073 0.5818576

Maret 5 2.284689 0.5430622

April 14 20.14931 0.4392364

Jumlah 225 224.0437 5.0224264

Tabel 4.21 Perhitungan MAPE Model Dekomposisi Aditif

Bulan A_t F_t

|A_t-F_t

|⁄A_t MAPE

Mei 14 12.84045 0.0828251 18.15293

Juni 35 17.84002 0.4902851

Juli 72 77.06787 0.0703871

Agustus 22 20.8648 0.0515999

September 18 13.67252 0.2404158

Oktober 10 9.493951 0.0506049

Nopember 9 8.0758 0.1026888

Desember 7 6.017561 0.1403484

Januari 12 16.57256 0.3810466

Februari 7 5.201918 0.2568689

Maret 5 4.497283 0.1005433

April 14 11.04967 0.2107378

Jumlah 225 203.1944 2.1783517

69

Berdasarkan tabel 4.25, nilai MAPE model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12

adalah 41.853%, lebih dari 20% sehingga tidak layak digunakan untuk peramalan

selanjutnya. Nilai tersebut mungkin saja muncul karena pengaruh dari faktor di

luar data runtun waktu untuk periode peramalan lebih dominan dibandingkan

faktor dari data runtun waktu itu sendiri. Sedangkan dari tabel 4.26, diketahui

bahwa nilai MAPE model dekomposisi aditif bernilai 18.153%, kurang dari 20%

sehingga layak digunakan untuk peramalan selanjutnya.

4.4 Peramalan

Tahap terakhir pada penelitian ini adalah melakukan peramalan

menggunakan model terpilih yakni model dekomposisi aditif. Berikut adalah

peramalan jumlah pendaftaran siswa baru untuk tahun ajaran 2014 – 2015:

Tabel 4.22 Peramalan Pendaftaran Siswa Baru Tahun Ajaran 2014 - 2015

Bulan Ramalan Pembulatan

Mei 12.94474 13

Juni 17.98492 18

Juli 77.69384 78

Agustus 21.03427 21

September 13.78357 14

Oktober 9.571064 10

Nopember 8.141395 8

Desember 6.066438 6

Januari 16.70717 17

Februari 5.24417 5

Maret 4.533812 5

April 11.13942 11

70

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pengujian dan pembahasan yang telah dipaparkan pada

bagian sebelumnya, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai jawaban atas

perumusan masalah pada penelitian ini, yakni sebagai berikut:

1) Metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi sanggup memodelkan

data pendaftaran siswa baru dikarenakan data penjumlahan siswa baru

bersifat musiman dengan panjang musiman 12 periode.

2) Model Seasonal ARIMA yang paling sesuai dengan data adalah model

ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 yakni:

1 − 0.9258𝐵12 𝑊𝑡 = 0.18450 + 𝜀𝑡

Dengan nilai MSE sebesar 0.4600.

3) Model Dekomposisi yang paling sesuai ialah model dekomposisi aditif

dengan persamaan trend:

𝑇𝑡 = 2.441167628 + 0.000674129𝑡

Dan indeks musiman sebagai berikut:

71

Tabel 5.1 Indeks Musiman Model Aditif

Bulan Indeks Musiman 𝐼𝑡

Mei 0.062221167

Juni 0.390391167

Juli 1.852959167

Agustus 0.545662167

September 0.122312167

Oktober −0.243094833

Nopember −0.405551833

Desember −0.700415833

Januari 0.311976167

Februari −0.847418833

Maret −0.993646833

April −0.095393833

Dengan nilai MSE sebesar 0.38305

4) Nilai MAPE dari metode Seasonal ARIMA adalah 41.85%, tidak layak

digunakan untuk peramalan selanjutnya, sedangkan nilai MAPE metode

Dekomposisi adalah 18.15%, layak digunakan untuk peramalan

selanjutnya. Jadi pada penelitian ini metode Dekomposisi jauh lebih baik

dibandingkan metode seasonal ARIMA dalam memodelkan data jumlah

pendaftaran siswa baru di lembaga bimbingan belajar Sony Sugema

College cabang Bintaro.

72

5.2 Saran

Beberapa saran oleh penulis pada penelitian ini adalah:

1) Diharapkan kepada pihak-pihak terkait pada penelitian terutama pihak

manajemen lembaga bimbingan belajar untuk mempertimbangkan hasil

penelitian ini dalam memutuskan langkah- langkah manajemen yang

berkaitan dengan kebutuhan siswa.

2) Kepada pembaca yang tertarik melakukan penelitian lanjutan mengenai

pendaftaran siswa baru pada lembaga bimbingan belajar dapat

menggunakan metode-metode runtun waktu lain yang berfokus pada unsur

musiman atau metode lain yang memasukkan faktor-faktor luar yang

mungkin berpengaruh terhadap jumlah pendaftaran siswa baru.

73

REFERENSI

[1] Pranasta Dimas, “Peramalan Debit Air Menggunakan Metode Box Jenkins

Seasonal ARIMA (studi kasus: sungai citarum jawa barat)”.

[2] Milasari Ika, “Peramalan Jumlah Penderita Demam Berdarah

Menggunakan Model ARIMA Musiman (Studi Kasus di RSUD

Kabupaten Sidoarjo)”.

[3] Nurhayati Atik, Darnah A. Nohe, dan Syaripudin, “Peramalan

Menggunakan Model ARIMAMusiman dan Verivikasi Hasil Peramalan

dengan Grafik Pengendali Moving Average (studi kasus: produksi air

bersih di PDAM Tirta Kencana Samarinda)”.

[4] Affandy Anshar, “Prakiraan Daya Beban Listrik yang tersambung pada

Gardu Induk Sengkaling Tahun 2012-2021 Menggunakan Metode Time

Series dengan Model Dekomposisi”.

[5] Isnaeni Tri, “Analisis Data Runtun Waktu Menggunakan Metode

Dekomposisi (Aplikasi: data inflasi indeks harga konsumen di DIY)”.

[6] Barus Jimmy Handoko dan Ramli, “Analisis Peramalan Ekspor Indonesia

Pasca Krisis Keuangan Eropa dan Global Tahun 2008 dengan Metode

Dekomposisi”.

[7] Cryer, Jonathan D, Time Series Analysis, Boston: PWS Publishers. 1986.

[8] Hanke, J.E, & Wichern Dean, Business Forecasting, New Jersey: Pearson

Education,Inc. 2005.

74

[9] Makridakis S, dan Wheelwright S.C, Metode-Metode Peramalan untuk

Manajemen, Jakarta: Erlangga, 1991.

[10] Gujarati D, Basic Econometric, New York: McGraw-Hill. 2003.

[11] Wei W.W.S, Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.

New York: Addison Wesley Publishing Company. 1994.

[12] Makridakis S, Wheelwright, S.C, and Mc Gee, V.E., Forecasting:Methods

and Applications. Canada: John Wiley and Sons, 1983.

[13] Mulyana, Buku Ajar Analisis Deret Waktu, Bandung: FMIPA UNPAD,

2004.

[14] Gaspersz, Ekonometrika Terapan 1, Bandung : Tarsito, 1991.

[15] Gaynor P.E, and Kirkpatrick R. C, Introduction to Time-Series Modeling

and Forecasting in Business and Economics. New York: McGraw-Hill

International Editions. 1994.

[16] Levenbach Hans, and Cleary James, The Beginning Forecaster, The

Forecasting Process Through Data Analysis. California: Lifetime Learn

by Pub, First Edition. 1981.

75

LAMPIRAN 1

Data Jumlah Pendaftaran Siswa Baru LBB SSC (Periode Mei 2007 – April

2014)

Bulan Tahun Ajaran

07 – 08 08 – 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13 13 - 14

Mei 13 7 11 10 20 37 14

Juni 18 11 17 26 14 30 35

Juli 66 41 64 139 123 73 72

Agustus 10 32 32 18 15 6 22

September 23 13 9 4 24 26 18

Oktober 10 18 10 7 11 10 10

Nopember 8 13 10 5 8 9 9

Desember 17 10 7 1 5 3 7

Januari 35 28 11 9 21 11 12

Februari 2 5 6 5 8 11 7

Maret 12 4 4 6 2 2 5

April 1 11 23 8 18 21 14

76

LAMPIRAN 2

Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman Aditif

Bulan Tahun Ajaran

07 – 08 08 – 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13

Mei 2.502728 1.883688 2.335678 2.240368 2.933508 3.548698

Juni 2.499978 2.007508 2.442818 2.867708 2.248668 3.010808

Juli 2.336690 1.860610 2.305920 3.081510 2.959220 2.437500

Agustus 1.756927 2.920077 2.920077 2.344707 2.162387 1.246097

September 3.013177 2.442637 2.074907 1.263977 3.055737 3.135787

Oktober 2.545684 3.133464 2.545684 2.189004 2.640994 2.545684

Nopember 2.484991 2.970501 2.708141 2.014991 2.484991 2.602771

Desember 3.533625 3.003005 2.646325 0.700415 2.309855 1.799025

Januari 3.243373 3.020223 2.085923 1.885243 2.732543 2.085923

Februari 1.540568 2.456858 2.639178 2.456858 2.926858 3.245318

Maret 3.478556 2.379936 2.379936 2.785406 1.686796 1.686796

April 0.095393 2.493293 3.230883 2.174833 2.985763 3.139913

77

LAMPIRAN 3

Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman Multiplikatif

Bulan Tahun Ajaran

07 – 08 08 – 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13

Mei 2.493913 1.892018 2.331490 2.238820 2.912763 3.510915

Juni 2.516442 2.087683 2.466676 2.836598 2.297644 2.961185

Juli 2.437876 2.160855 2.419972 2.871273 2.800115 2.496536

Agustus 1.879778 2.829345 2.829345 2.359627 2.210785 1.462749

September 3.000560 2.454572 2.102667 1.326633 3.041289 3.117894

Oktober 2.546274 3.196259 2.546274 2.151846 2.651671 2.546274

Nopember 2.471403 3.048429 2.736616 1.912810 2.471403 2.611384

Desember 3.849293 3.128375 2.643778 0 2.186638 1.492608

Januari 3.192729 2.992339 2.153331 1.973119 2.734000 2.153331

Februari 1.038696 2.411771 2.684980 2.411771 3.116073 3.593291

Maret 4.052031 2.260560 2.260560 2.921742 1.130288 1.130288

April 0 2.501520 3.270983 2.169298 3.015271 3.176082

78

LAMPIRAN 4

Perhitungan Nilai Parameter Trend

Model Aditif:

𝑏 =𝑛 𝑡𝑍𝑡 − 𝑡 𝑍𝑡

𝑛 𝑡2 − 𝑡 2=72 6501.016 − 2628 177.53568

72 127020 − 2628 2

= 0.000674129

𝑎 = 𝑍𝑡

𝑛− 𝑏

𝑡

𝑛=177.53568

72− 0.000674129

2628

72= 2.441167628

sehingga

𝑇𝑡 = 2.441167628+ 0.000674129𝑡

Model Multiplikatif:

𝑏 =𝑛 𝑡𝑍𝑡 − 𝑡 𝑍𝑡

𝑛 𝑡2 − 𝑡 2=72 6428.9887 − 2628 176.88345

72 127020 − 2628 2

= 0.0008764896

𝑎 = 𝑍𝑡

𝑛− 𝑏

𝑡

𝑛=176.88345

72− 0.0008764896

2628

72= 2.488706401

sehingga

𝑇𝑡 = 2.488706401− 0.0008764896𝑡