analisis perancangan percobaan 2 (stk323) · komponen utama dalam menyusun analisis ragam ......
TRANSCRIPT
ANALISIS PERANCANGAN
PERCOBAAN 2
MATERI 3:
KONSEP NILAI HARAPAN
KUADRAT TENGAH
Pengantar
Salah satu komponen penting dalam perancangan
percobaan adalah analisis ragam (anova)
Komponen utama dalam menyusun analisis ragam
meliputi:
Jumlah kuadrat untuk setiap komponen dalam model
Derajat bebas untuk setiap komponen dalam model
Uji statistik, yang diturunkan berdasarkan Nilai harapan
kuadrat tengah
Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat
Aturan 1 Komponen error dalam model, ijk…m, dituliskan (ijk…)m,
dimana m merupakan indeks ulangan. Misal dalam rancangan dua faktor, komponen error dituliskan (ij)k.
Aturan 2 Disamping komponen rataan umum (µ) dan error ((ijk…)m),
model juga memuat semua pengaruh utama dan semua interaksi yang diasumsikan ada oleh peneliti. Jika semua interaksi yang mungkin diantara k faktor ada maka ada sebanyak C5
2 interaksi dua faktor, sebanyak C53 interaksi tiga
faktor, …., 1 interaksi k faktor. Jika ada komponen dalam tanda kurung maka tidak ada interaksi antara faktor tersebut dengan faktor yang lain dalam konteks tersebut.
Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat
(Lanjutan)
Aturan 3
Untuk setiap komponen dalam model dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu:
Indeks Hidup, yaitu indeks yang ada dalam suatu komponen dan ditulis bukan dalam tanda kurung
Indeks Mati, yaitu indeks yang ada dalam suatu komponen dan ditulis dalam tanda kurung
Absen, yaitu indeks yang tidak ada dalam suatu komponen
Contoh ()ij, i dan j termasuk indeks hidup dan k absen; (ij)k, k adalah indeks hidup sedangkan i dan j indeks mati
Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat
(Lanjutan)
Aturan 4
Derajat bebas untuk setiap komponen dalam model
adalah hasil kali dari jumlah taraf setiap indeks mati
dan jumlah taraf minus satu setiap indeks hidup.
Contoh derajat bebas dari komponen()ij adalah (a-
1)(b-1); derajat bebas dari (ij)k adalah ab(r-1)
Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat
(Lanjutan)
Aturan 5
Untuk memperoleh jumlah kuadrat untuk setiap pengaruh,
pertama jabarkan derajat bebasnya. Misal untuk pengaruh j
derajat bebasnya b-1. Setiap komponen dalam besaran
tersebut merupakan bentuk simbolik dari jumlah kuadrat
tidak terkoreksi.
Selanjutnya lakukan prosedur berikut:
Simbol 1 merepresentasikan faktor koreksi, yaitu:
rab
ya
i
b
j
r
m
mijk
...
)...(
11 1 1
2
...)(
Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat
(Lanjutan) Susun notasi penjumlahan sehingga huruf
yang diinginkan (misal dalam konteks ini
adalah b) ditulis paling pertama,
selanjutnya diikuti oleh komponen yang
lain dalam tanda kurung. Sehingga untuk
b diperoleh:
Jumlah dalam tanda kurung tulis dalam
notasi “indeks titik (dot subscript)”,
dimana titik menggantikan jumlah dari
indeks yang digantikan. Sehingga
b
j
a
i
r
k
kijy1 1 1
)(
b
j
jy1
..
Aturan Penurunan Jumlah Kuadrat
(Lanjutan)
Selanjutnya kuadratkan komponen dalam
tanda kurung dan dibagi dengan hasil kali
dari jumlah taraf dari indeks “titik”. Misal
simbol b menjadi
Dengan demikian jumlah kuadrat untuk
pengaruh j yaitu gantikan simbol b-1
dengan bentuk jumlah kuadratnya,
sebagai berikut:
b
j
j
ar
y
1
2
..
abr
y
ar
yJKB
b
j
j2
...
1
2
..
Carilah jumlah kuadrat interaksi ()ij, derajat bebas,
(a-1)(b-1)=ab-a-b+1
abr
y
ar
y
br
y
r
y
JKAB
r
y
r
y
ab
ar
y
ar
y
b
br
y
br
y
a
abr
y
abr
y
b
j
j
a
i
i
a
i
b
j
ij
a
i
b
j
ij
a
i
b
j
r
k
ijk
b
j
j
b
j
a
i
r
k
ijk
a
i
i
a
i
b
j
r
k
ijk
a
i
b
j
r
k
ijk
2
...1
2
..
1
2
..1 1
2
.
1 1
2
.
1 1
2
1
1
2
..
1
2
1 1
1
2
..1
2
1 1
2
...
2
1 1 11
Simbol 1,
Simbol a
Simbol b
Simbol ab
Jumlah kuadrat interaksi A
dan B (JKAB)
Latihan
Perhatikan percobaan Faktorial RAL yang
melibatkan 3 faktor dan r ulangan.
Tuliskan model liniernya
Uraikan derajat bebas untuk setiap pengaruh yang
ada dalam model
Uraikan jumlah kuadrat untuk setiap pengaruh yang
ada dalam model
Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah
Nilai harapan kuadrat tengah memainkan peranan penting dalam analisis ragam
Nilai harapan kuadrat tengah menentukan statistik uji untuk menguji hipotesis setiap parameter dalam model
Uji statistik merupakan rasio nilai harapan kuadrat tengah pembilang (numerator) dengan nilai harapan kuadrat tengah penyebut (denominator)
Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah
(Lanjutan)
Aturan 1
Hubungkan setiap pengaruh dengan suatu komponen ragam (pengaruh acak) atau suatu faktor tetap (pengaruh tetap). Jika interaksi mengandung minimal satu pengaruh acak maka interaksi dianggap acak. Misal untuk model campuran dengan A tetap dan B acak, maka komponen ragam dari B adalah
2, komponen ragam dari interaksi AB adalah 2,
sedangkan untuk faktor tetap A direpresentasikan sebagai jumlah kuadrat pengaruh dibagi dengan derajat bebas i
2/(a-1).
Aturan Nilai Harapan Kuadrat Tengah
(Lanjutan)
Aturan 2
Buat tabel dua arah, barisnya
adalah komponen-komponen
dalam model sedangkan
kolomnya adalah sifat masing-
masing faktor (F faktor tetap
dan R faktor acak), jumlah taraf
setiap faktor dan indeksnya.
Ulangan selalu dianggap acak.
Perhatikan model campuran
sebelumnya A tetap dan B
Acak
F R R
a b r
i j k
i
j
()ij
(ij)k
Nilai harapan kuadrat tengah dapat dicari sebagai berikut:
Pada setiap baris, tulis angka 1 untuk setiap indeks mati pada setiap kolom yang indeksnya berpadanan.
Pada setiap baris, jika indeks pada komponen baris berpadanan dengan indeks kolom, tulis 0 jika kolomnya merupakan faktor tetap dan tulis 1 jika kolomnya merupakan faktor acak
Pada setiap baris yang kosong, tulis jumlah taraf sesuai dengan judul kolom yang bersesuaian.
Nilai harapan kuadrat tengah untuk setiap komponen dalam model, langkah pertama perhatikan semua kolom yang berindeks hidup. Selanjutnya, untuk setiap baris yang berisi paling sedikit satu indeks yang bersesuaian, ambil hasil kali unsur sel yang visible dengan faktor acak atau tetap menurut aturan 1. Jumlah besaran ini merupakan nilai harapan kuadrat tengah dari komponen model.
Kita kembali lihat ilustrasi sebelumnya, A tetap dan B acak
F R R
a b r
i j k
i 0 b r
j a 1 r
()ij 0 1 r
(ij)k 1 1 1
Ilustrasi carilah:
E(KTA) perhatikan
indeks i ada pada baris i,
()ij dan (ij)k.
Sedangkan hasil kali
bilangan visible –nya
adalah br, r dan 1.
Dengan demikian nilai
harapannya adalah:
1)( 1
2
22
abrrKTAE
a
i
i
Nilai Harapan Kuadrat Tengah –
A Tetap dan B Acak—Tabel 1
F R R Nilai Harapan
Kuadrat Tengah
a b r
i j k
i 0 b r
j a 1 r
()ij 0 1 r
(ij)k 1 1 1 2
22
ar
22
r
1
2
22
a
brr
i
Pendekatan Lain: Aturan NHKT
Aturan 1
Perhatikan Model linearnya.
Komponen galat selalu diasumsikan komponen acak.
k-keulangan dan j-ke yang B i,-ke yangA faktor kombinasidengan petak digalat atau acak parameter
j-ke yang Bfaktor dengan i-ke yangA faktor interaksiparameter
jke yang Bfaktor parameter
i-ke yangA faktor parameter
tengahnilaiparameter
k-keulangan dan j-ke yang B i,-ke yangA faktor kombinasidengan petak pada pengamatan
..2,1,...2,1,...2,1,
ij(k)
)(
ij
j
ijk
kijijjiijk
Y
nkbjaiY
Aturan NHKT (Lanjutan)
Aturan 2
Interaksi antara dua faktor/pengaruh atau lebih: jika
interaksi mengandung minimal satu pengaruh/faktor
acak maka interaksi dianggap acak.
Misal untuk model campuran dengan A tetap dan B
acak, maka
faktor B, acak, 2,
interaksi AB, acak, salah satunya acak, 2
sedangkan untuk faktor tetap A direpresentasikan sebagai
jumlah kuadrat pengaruh dibagi dengan derajat bebas
i2/(a-1).
Aturan NHKT (Lanjutan)
Aturan 3
NHKT dari setiap komponen mengandung unsur:
1. Ragam galat
2. Ragam „diri‟ bila faktornya acak atau jumlah kuadrat „diri‟ bila
faktornya tetap
3. Ragam interaksi „diri‟ dengan faktor-faktor lain yang acak
Dari model pada Aturan 1, misalkan faktor A tetap, faktor
B acak, maka
NHKT untuk komponen A akan mengandung:
1. Ragam Galat
2. Jumlah kuadrat A, karena faktor A tetap
3. Ragam interaksi AB, karena faktor B acak
NHKT untuk komponen B akan mengandung:
1. Ragam Galat
2. Ragam B
Aturan NHKT (Lanjutan)
Aturan 4
Koefisien Unsur NHKT dari setiap komponen 1. Koefisien Unsur ragam galat selalu 1.
2. Koefisien Unsur lainnya didapatkan dari hasil perkalian setiap taraf dari indek absen
Untuk contoh di aturan 3, maka koefisennya sbb: 1. Unsur Ragam Galat, 1
2. Unsur Jumlah Kuadrat A, , indeks absen jk, jadi bn
3. Unsur Ragam interaksi AB, , indeks absen k, jadi n
Jadi NHKT komponen A atau NHKT(A) atau E(KTA) adalah
i
1
2
22
a
bnn
i
ij
Latihan
Susunlah E(KT) untuk :
Dua Faktor : A dan B merupakan faktor tetap
Dua Faktor : A dan B merupakan faktor acak
Dua Faktor : A faktor acak dan B faktor tetap
Nilai Harapan Kuadrat Tengah –
A dan B Faktor Tetap—Tabel 2
F F R Nilai Harapan
Kuadrat Tengah
a b r
i j k
i 0 b r
j a 0 r
()ij 0 0 r
(ij)k 1 1 1 2
1
2
2
a
br i
1
2
2
b
ar i
)1)(1(
)( 2
2
ba
r ij
Nilai Harapan Kuadrat Tengah –
A dan B Faktor Acak—Tabel 3
F R R Nilai Harapan
Kuadrat Tengah
a b r
i j k
i 1 b r
j a 1 r
()ij 1 1 r
(ij)k 1 1 1 2
222
brr
222
arr
22
r
F Tests
Dalam menentukan statistika uji F menyesuaikan
dengan struktur nilai harapan kuadrat tengahnya.
Sebagai contoh : percobaan dua faktor dengan A
adalah faktor tetap dan B adalah faktor acak.
Maka untuk menguji pengaruh faktor A, Fhit
merupakan rasio antara KTA/KTAB
Sedangkan untuk menguji keragaman dari faktor
B, Fhit merupakan rasio antara KTB/KTG
ANOVA Percobaan 2 faktor
A Tetap dan B Acak – Tabel 4 Sumber
keragaman
db JK KT E(KT) Fhit
i a-1 JKA KTA KTA/KTAB
j b-1 JKB KTB KTB/KTG
ij (a-1)(b-1) JKAB KTAB KTAB/KTG
(ij)k ab(r-1) JKG KTG 2
y(ij)k abr-1 JKT
1
2
22
a
brr
i
22
ar
22
r
Pendugaan Parameter
Pendugaan bagi :
2 diduga dengan KTG
E(KTB) = 2 + ar 2
= (KTB – KTG) / ar
Pendugaan bagi
E(KTAB) = 2 + r 2
= (KTAB – KTG)/r
2ˆ
2ˆ
2ˆ
2ˆ
Percobaan Tiga Faktor
Dalam percobaan
mixed model atau
random model untuk
tiga faktor
memerlukan
penguraian komponen
interaksi yang lebih
kompleks
Misalkan percobaan
acak tiga faktor
Faktor E(KT)
i 2 + cn2 + bn2
+ n2 + bcn2
j 2 + cn2 + an2
+ n2 + acn2
k 2 + bn2 + an2
+ n2 + abn2
ij 2 + n2 + cn2
ik 2 + n2 + bn2
jk 2 + n2 + an2
ijk 2 + n2
ijkl 2
Approximate F test
ssrr
sr
dbKTdbKT
KTKTp
/.../
)...( 2
vvuu
vu
dbKTdbKT
KTKTq
/.../
)...( 2
Menggunakan Metode Satterthwaite
merupakan kombinasi linear dari kuadrat tengah
Misal : KT‟ = KTr + … + KTs
KT‟‟ = KTu + … + KTv
Fhit = KT‟ / KT‟‟ dengan db (p,q)
Misal dilakukan pengujian terhadap :
H0 : 2 = 0
KT „ = KTA + KTABC
KT‟‟ = KTAB + KTAC
Fhit = (KTA + KTABC)/(KTAB + KTAC)
dengan db1 = p dan db2 = q
Latihan
Carilah pendekatan ujinya untuk menguji hipotesis
berikut:
H0 : 2 = 0
H0 : 2 = 0
H0 : 2 = 0
H0 : 2 = 0
Carilah E(KT) dan pendekatan ujinya dari percobaan
berikut:
Tiga faktor: A dan B acak serta C tetap
Tiga faktor: A dan B tetap serta C acak