analisis real - eprint.unipma.ac.id
TRANSCRIPT
ANALISIS REAL
ANALISIS REAL
Fatriya Adamura
`
iv
ANALISIS REAL
Penulis:
Fatriya Adamura
Perancang Sampul:
Fatriya Adamura
Penata Letak:
Tim Kreatif Unipma Press
Cetakan Pertama, Desember 2018
ISBN: 978-602-0725-16-1
Hak Cipta dilindungi oleh Undang-Undang All right reserved
DiterbitkanOleh:
UNIPMA PRESS
Universitas PGRI Madiun
JI. Setiabudi No. 85 Madiun Jawa Timur 63118
Telp. (0351) 462986, Fax. (0351) 459400
E-Mail: [email protected]
Website: kwu.unipma.ac.id
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya
sehingga buku yang berjudul βAnalisis Realβ dapat terselesaikan
dengan baik. Buku ini berisi tentang materi pada mata kuliah Analisis
Real. Dalam buku ini akan dibahas materi pengantar dan dasar pada
mata kuliah Analisis Real.
Buku ini dibuat untuk menyelesaikan problematika yang
berkaitan dengan mata kuliah Analisis Real. Buku ini diharapkan
dapat bermanfaat bagi pembaca.
Penyusun menyadari bahwa pembuatan buku ini tidak akan
lepas dari kekurangan. Pembaca dapat memberikan kritik dan saran
yang bersifat membangun untuk penyempurnaan karya selanjutnya.
Salam,
Penyusun
vii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar .................................................................................... v
Daftar Isi .............................................................................................. vii
BAB I Himpunan dan Fungsi
A. Himpunan dan Fungsi ........................................................ 1
B. Induksi Matematika............................................................. 8
C. HimpunanTerbatas dan takTerbatas ................................ 11
BAB II Bilangan Real
A. Sifat Aljabar dan Sifat Urutan pada Himpunan Bilangan
Real β .............................................................................. 15
B. Nilai Mutlak dan Garis Bilangan ........................................ 23
C. Sifat Kelengkapan pada Himpunan Bilangan Real ........... 25
D. Aplikasi Sifat Supremum .................................................. 28
E. Interval ............................................................................. 29
BAB III Barisan dan Limit Barisan
A. Definisi Barisan ................................................................ 33
B. Limit Barisan..................................................................... 33
C. Barisan Monoton .............................................................. 39
D. Sub barisan danTeorema Bolzano - Weierstrass .............. 41
E. Kriteria Cauchy ................................................................. 33
F. Barisan Divergen Sejati .................................................... 44
Daftar Pustaka ................................................................................... 46
BiografiPenulis .................................................................................. 47
1
BAB 1
HIMPUNAN DAN FUNGSI
A. Himpunan dan Fungsi
Jika elemen π₯ ada pada himpunan π΄, maka bisa ditulis π₯ β π΄ atau bisa
dibaca π₯ anggota π΄.
Jika elemen π₯ tidak pada himpunan π΄, maka bisa ditulis π₯ β π΄ atau bisa
dibaca π₯ bukan anggota π΄.
Jika setiap elemen himpunan A termasuk pada himpunan B, maka dapat
dikatakan bahwa A himpunan bagian B atau dapat disimbolkan A β B
atau B β A.
Kita mengatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian sejati
dari himpunan B jika himpunan A merupakan himpunan bagian dari
himpunan B dan paling tidak ada satu elemen π΅ yang tidak terdapat pada
himpunan π΄, kadang-kadang kita menuliskan sebagai π΄ β π΅.
Definisi
Himpunan π΄ dan π΅ dikatakan sama dan dituliskan dengan π΄ = π΅, jika
himpunan π΄ dan π΅ memiliki elemen yang sama.
Untuk membuktikan bahwa himpunan A dan B sama, maka harus
ditunjukkan bahwa A β B dan B β A.
Suatu himpunan didefinisikan dengan mendaftar anggota-anggota
himpunan atau dengan menyebutkan sifat-sifat yang menunjukkan
anggota-anggota himpunan.
Simbol := sering digunakan pada penotasian himpunan. Simbol := berarti
bahwa simbol di ruas kiri didefinisikan oleh simbol di ruas kanan.
2
Himpunan bilangan asli disimbolkan dengan β βΆ= {1, 2, 3, β¦ }.
Himpunan bilangan bulat disimbolkan dengan β€ βΆ=
{0, 1, β1, 2, β2, 3, β3 β¦ }.
Himpunan bilangan rasional disimbolkan dengan β βΆ= {m
n: m, n β
β€ dan n β 0}.
Himpunan bilangan real disimbolkan dengan β.
Contoh:
Himpunan {π₯ β β: π₯2 β 3π₯ + 2 = 0} memuat bilangan asli yang
memenuhi persamaan kuadrat. Karena solusi persamaan kuadrat tersebut
hanya π₯ = 1 dan π₯ = 2, maka kita bisa mendenotasikan himpunan di atas
secara lebih sederhana dengan {1, 2}.
Suatu bilangan asli π merupakan bilangan genap jika berbentuk π = 2π;
π β β. Himpunan bilangan asli genap dapat dituliskan dengan {2π βΆ π β
β} atau {π β β: π = 2π, π β β}. Sedangkan himpunan bilangan asli
ganjil dapat dituliskan dengan {2π β 1 βΆ π β β}.
Operasi Himpunan
Definisi
Gabungan (union) himpunan π΄ dan π΅ adalah himpunan π΄ βͺ π΅ βΆ=
{π₯ βΆ π₯ β π΄ atau π₯ β π΅}.
Irisan himpunan π΄ dan π΅ adalah himpunan π΄ β© π΅ βΆ= {π₯ βΆ π₯ β π΄ dan π₯ β
π΅}.
Komplemen himpunan π΅ relativ ke himpunan π΄ adalah himpunan π΄ β π΅ βΆ
= {π₯ βΆ π₯ β π΄ dan π₯ β π΅}.
3
Teorema
Jika π΄, π΅, πΆ merupakan himpunan, maka
a. π΄ β (π΅ β πΆ) = (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ)
b. π΄ β (π΅ β© πΆ) = (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ)
Bukti:
Akan dibuktikan π΄ β (π΅ β πΆ) = (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ).
Untuk membuktikan π΄ β (π΅ β πΆ) = (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ), maka harus
ditunjukkan bahwa π΄ β (π΅ β πΆ) β (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ) dan (π΄ β π΅) β (π΄ β
πΆ) β π΄ β (π΅ β πΆ).
(β) Akan ditunjukkan π΄ β (π΅ β πΆ) β (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ)
Ambil sebarang π₯ β π΄ β (π΅ β πΆ)
Jika π₯ β π΄ β (π΅ β πΆ), maka π₯ di π΄, tetapi π₯ tidak di π΅ β πΆ atau π₯ di π΄,
tetapi π₯ tidak di π΅ maupun πΆ.
A B
A βͺ B
A B
A β© B
A B
A βB
4
Sehingga, π₯ di π΄, tetapi tidak di π΅ dan π₯ di π΄, tetapi tidak di πΆ atau π₯ β
π΄ β π΅ dan π₯ β π΄ β πΆ. Hal ini menunjukkan bahwa π₯ β (π΄ β π΅) β©
(π΄ β πΆ)
π΄ β (π΅ β πΆ) β (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ)... (*)
(β) Akan ditujukkan (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ) β π΄ β (π΅ β πΆ)
Ambil sebarang π₯ β (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ)
Jika π₯ β (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ), maka π₯ β π΄ β π΅ dan π₯ β π΄ β πΆ.
Sehingga, π₯ β π΄, tetapi π₯ β π΅ dan π₯ β πΆ atau π₯ β π΄ dan π₯ β π΅ β πΆ.
Hal ini menunjukkan bahwa π₯ β π΄ β (π΅ β πΆ)
(π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ) β π΄ β (π΅ β πΆ)... (**)
Berdasarkan (*) dan (**), maka π΄ β (π΅ β πΆ) = (π΄ β π΅) β (π΄ β πΆ).
Hasil Kali Cartesian
Definisi
Jika himpunan π΄ dan π΅ bukan himpunan kosong, maka hasil kali Cartesian
π΄ Γ π΅ dari himpunan π΄ dan π΅ adalah himpunan pasangan terurut (π, π)
dengan π β π΄ dan π β π΅ atau dapat disimbolkan dengan π΄ Γ π΅: =
{(π, π): π β π΄, π β π΅}.
Contoh:
Jika π΄ = {1, 2, 3} dan π΅ = {1, 5}, maka himpunan π΄ Γ π΅ =
{(1, 1), (1, 5), (2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5)}.
Definisi
Fungsi π dari himpunan π΄ ke himpunan π΅ adalah aturan korespondensi yang
memasangkan setiap π₯ anggota himpunan π΄ dengan tepat satu π(π₯) anggota
himpunan π΅.
5
Misalkan A dan B suatu himpunan, maka fungsi dari himpunan A ke
himpunan B adalah himpunan f dari pasangan terurut di A Γ B sedemikian
sehingga untuk setiap a β A ada tepat satu b β B dengan (a, b) β f.
(Dengan kata lain, jika (a, b) β f dan (a, bβ²) β f, maka b = bβ²)
Himpunan π΄ yang merupakan elemen pertama dari fungsi π disebut
sebagai domain π dan dinotasikan dengan π·(π). Himpunan semua
elemen kedua dari fungsi π disebut sebagai range π dan dinotasikan
dengan π (π).
Catatan: Meskipun π·(π) = π΄, tetapi π (π) β π΅.
Notasi π: π΄ β π΅ sering digunakan untuk mengindikasikan bahwa fungsi π
merupakan fungsi dari π΄ ke π΅ atau fungsi π memetakan π΄ ke π΅.
Jika (π, π) adalah anggota π, maka dapat dituliskan bahwa π = π(π) atau
dapat dikatakan bahwa π adalah nilai π di π.
.
Peta dan Invers
Definisi
Misal π: π΄ β π΅ merupakan fungsi dengan domain π·(π) = π΄ dan range
π (π) β π΅.
Jika πΈ adalah himpunan bagian dari himpunan π΄, maka peta πΈ di bawah
fungsi π adalah π(πΈ) β π΅ dengan π(πΈ) β {π(π₯): π₯ β πΈ}.
Jika himpunan π» β π΅, maka invers π» di bawah fungsi π adalah
πβ1(π») β π΄ yang diberikan oleh πβ1(π») β {π₯ β π΄: π(π₯) β π»}.
Jika πΈ β π΄, maka sebuah titik π¦1 β π΅ adalah peta dari π(πΈ) jika dan
hanya jika paling tidak ada satu titik π₯1 β πΈ sedemikian sehingga π¦1 =
π(π₯1).
6
Jika π» β π΅, maka sebuah titik π₯2 β πβ1(π») adalah invers di πβ1(π») jika
dan hanya jika π¦2 = π(π₯2) elemen π».
Contoh:
Misalkan π: β β β didefinisikan dengan π(π₯) = π₯2, maka peta dari
himpunan πΈ β {π₯: 0 β€ π₯ β€ 2} adalah himpunan π(πΈ) β {π¦: 0 β€ π¦ β€ 4}.
Jika πΊ β {π¦: 0 β€ π¦ β€ 4}, maka invers dari himpunan πΊ adalah himpunan
πβ1(πΊ) = {π₯: β 2 β€ π₯ β€ 2}, sehingga πβ1(π(πΈ)) β πΈ.
Dengan kata lain, π(πβ1(πΊ)) = πΊ. Tetapi, jika π» β {π¦: β1 β€ π¦ β€ 1},
maka kita punya π(πβ1(π»)) = {π¦: 0 β€ π¦ β€ 1} β π».
Jenis-jenis Fungsi
Definisi
Misal π: π΄ β π΅ merupakan fungsi dari himpunan π΄ ke himpunan π΅.
Fungsi π dikatakan injektif (fungsi satu-satu) jika π₯1 β π₯2, maka π(π₯1) β
π(π₯2). Jika fungsi π merupakan fungsi injektif, maka fungsi π dikatakan
sebagai suatu injeksi.
Untuk membuktikan bahwa fungsi π merupakan fungsi injektif, maka
harus dibuktikan bahwa untuk setiap π₯1, π₯2 β π΄ berlaku jika π(π₯1) =
π(π₯2), maka π₯1 = π₯2.
Fungsi π dikatakan surjektif (pemetaan π΄ onto π΅) jika π(π΄) = π΅ yaitu
jika π (π) = π΅. Jika fungsi π merupakan fungsi surjektif, maka fungsi π
dikatakan sebagai suatu surjeksi.
7
Untuk membuktikan bahwa fungsi π merupakan fungsi surjektif, maka
harus dibuktikan bahwa untuk setiap π β π΅ maka paling tidak ada π₯ β π΄,
sedemikian sehingga π(π₯) = π.
Jika fungsi π injektif dan surjektif, maka fungsi π dikatakan bijektif. Jika
fungsi π merupakan fungsi bijektif, maka fungsi π dikatakan sebagai
suatu bijeksi.
Fungsi Invers
Definisi
Misal π: π΄ β π΅ merupakan bijeksi dari himpunan π΄ onto π΅, maka π: =
{(π, π) β π΅ Γ π΄ βΆ (π, π) β π} adalah suatu fungsi π΅ into π΄. Fungsi ini
disebut sebagai fungsi invers dari fungsi π dan dinotasikan dengan πβ1.
Fungsi πβ1 disebut sebagai invers dari fungsi π.
Hubungan antara fungsi π dengan πβ1 adalah π·(π) = π (πβ1) dan π (π) =
π·(πβ1).
Komposisi Fungsi
Definisi
Jika π: π΄ β π΅ dan π: π΅ β πΆ dan jika π (π) β π·(π) = π΅, maka fungsi
komposisi π β π adalah fungsi dari π΄ into πΆ yang didefinisikan dengan
(π β π)(π₯) β π(π(π₯)) untuk setiap π₯ β π΄.
Contoh:
Misalkan fungsi π dan π merupakan fungsi yang memiliki nilai di π₯ β β
yang diberikan oleh π(π₯): = 2π₯ dan π(π₯): = 3π₯2 β 1.
8
Karena π·(π) = π dan π (π) β β = π·(π), maka domain π·(π β π) = β. dan
fungsi komposisi π β π diberikan oleh (π β π)(π₯) = 3(2π₯ )2 β 1 = 12π₯2 β
1.
Domain komposisi fungsi π β π juga β dan (π β π)(π₯) = 2(3π₯2 β 1) =
6π₯2 β 2.
Jadi, dalam hal ini didapat kesimpulan bahwa π β π β π β π.
B. Induksi Matematika
1.2.1 Sifat Urutan Baik dari β
Setiap himpunan bagian tak kosong dari β memiliki paling tidak satu elemen
terkecil.
Pernyataan yang lebih detil dari sifat ini adalah jika π himpunan bagian dari
β dan jika π β β , maka paling tidak ada π β π sedemikian sehingga π β€ π
untuk semua π β π.
1.2.2 Prinsip Induksi Matematika
Misalkan himpunan π merupakan himpunan bagian dari β yang memenuhi
dua sifat, yaitu:
1. Bilangan 1 β π
2. Untuk setiap π β β, jika π β π, maka π + 1 β π
maka π = β
Bukti:
Diketahui:
π β β
1 β π
9
Untuk setiap π β β, jika π β π, maka π + 1 β π
Akan dibuktikan: π = β?
Bukti:
Andaikan S β β, maka himpunan β β S bukan himpunan kosong,
sehingga dengan sifat urutan baik diketahui bahwa β β S mempunyai
elemen terkecil m.
Karena 1 β S, maka m > 1.
Tetapi m β 1 β β.
Karena m β 1 < π, dan m merupakan elemen terkecil di β sedemikian
sehingga m β S, maka m β 1 β S.
Karena k β m β 1 β S, maka k + 1 = (m β 1) + 1 = m β S.
Pernyataan m β S kontradiksi dengan yang diketahui bahwa m β S. Hal
ini berarti bahwa pengandaian salah, yang benar π = β.
Prinsip induksi matematika dapat diformulasikan sebagai berikut.
Untuk setiap n β β, misalkan π(n) merupakan pernyataan dalam n, maka
berlaku pernyataan berikut: Jika
1. π(1) benar
2. Untuk setiap k β β, jika π(k) benar, maka π(k + 1) benar.
Maka π(n) juga benar untuk semua n β β.
1.2.3 Prinsip Induksi Matematika (versi kedua)
Misalkan n β β dan π(n) merupakan pernyataan yang berlaku untuk setiap
bilangan asli n β₯ n0. Misalkan bahwa jika:
1. Pernyataan π(n0) benar
2. Untuk setiap k β₯ n0, kebenaran pernyataan π(k) mengimplikasikan
kebenaran pernyataan π(k + 1).
10
Maka π(n) benar untuk semua n β₯ n0.
Contoh:
Buktikan bahwa pernyataan 1 + 2 + β― + π =1
2π(π + 1) berlaku untuk
setiap n β β!
Jawab:
1. Akan dibuktikan pernyataan 1 + 2 + β― + π =1
2π(π + 1) benar untuk
n = 1
1 =1
2. 1. (1 + 1)
1 =1
2. 1. (2)
1 = 1
Pernyataan di atas berlaku untuk n = 1.
2. Diasumsikan pernyataan 1 + 2 + β― + π =1
2π(π + 1) benar untuk n = k,
akan dibuktikan bahwa pernyataan di atas berlaku untuk n = k + 1
Diasumsikan pernyataan 1 + 2 + β― + π =1
2π(π + 1) benar untuk n = k,
maka berlaku
1 + 2 + β― + π =1
2π(π + 1)
Kedua ruas ditambah dengan π + 1
1 + 2 + β― + π + (π + 1) =1
2π(π + 1) + (π + 1)
1 + 2 + β― + π + (π + 1) =1
2π2 +
1
2π + (π + 1)
1 + 2 + β― + π + (π + 1) =1
2π2 +
3
2π + 1
1 + 2 + β― + π + (π + 1) =1
2π2 +
3
2π + 1
1 + 2 + β― + π + (π + 1) =1
2π2 +
3
2π + 1
11
1 + 2 + β― + π + (π + 1) =1
2(π + 1)(π + 2)
Pernyataan 1 + 2 + β― + π =1
2π(π + 1) berlaku untuk π = π + 1
Berdasarkan pernyataan 1 dan 2, maka dapat disimpulkan bahwa
pernyataan 1 + 2 + β― + π =1
2π(π + 1) berlaku untuk semua n β β.
1.2.5 Prinsip Induksi Matematika Kuat
Misalkan himpunan S merupakan himpunan bagian dari himpunan β
sedemikian sehingga jika:
1. 1 β S
2. Untuk setiap k β β, jika {1, 2, β¦ , k} β S, maka π + 1 β S
Maka berlaku S = β.
Contoh :
Buktikan bahwa 13 + 23 + β― + π3 = (1
2π(π + 1))
2
untuk setiap π β β!
C. Himpunan Terbatas dan tak Terbatas
Definisi 1.3.1
a. Himpunan kosong β memiliki 0 elemen.
b. Jika n β β, suatu himpunan S dikatakan memiliki n elemen jika ada
bijeksi dari himpunan βn β {1, 2, β¦ , n} onto S.
c. Suatu himpunan S dikatakan terbatas jika himpunan S merupakan
himpunan kosong atau memiliki n elemen dengan n β β.
d. Suatu himpunan S dikatakan himpunan tak terbatas jika himpunan
tersebut tidak terbatas.