analisis regresi 1 - · pdf filerataan y (nilai harapan y) jika x berubah satu satuan....
TRANSCRIPT
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Macam-macam Model Regresi
Model Regresi
Sederhana Berganda
Linier Non Linier Linier Non Linier
1 peubah penjelas > 1 peubah penjelas
Reciprocal LogMultiplikatifPolinom Eksponensial
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
SederhanaLinier
Hubungannya linier
Non LinierPolinom
Multiplikatif
Eksponensial
Reciprocal
Contoh : Macam-macam Model Regresi
εxββY 10 ++=
εxββY 210 ++=
ε.eβY xβ0
1= εe βY xβ
0
1
=
ε xβY β0
1 +=
εxββ1
10 ++
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Model Regresi Linier Sederhana(yang hubungannya linier ordo x=1 )
Linier dalam parameterSederhana = banyaknya peubah bebas/penjelas hanya satuHubungan antara X dan Y dinyatakan dalam fungsi linier/ordo 1Perubahan Y diasumsikan karena adanya perubahan XModel populasi regresi linier sederhana yang hubungannya linier (selanjutnya cukup sebut “regresi linier sederhana”) :
Dengan : β0 dan β1 adalah parameter regresiε adalah sisaan/galat/eror (peubah acak)Y adalah peubah tak bebas (peubah acak)X adalah peubah bebas yang nilainya diketahui
dan presisinya sangat tinggi (bukan peubah acak)
εxββY 10 ++=
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Asumsi Model Regresi Linier
Bentuk hubungannya linear (Y merupakan fungsi linierdari X, plus sisaan yang acak)Sisaan εi adalah peubah acak yang bebas thdp nilai xSisaan merupakan peubah acak yang menyebar Normaldengan rataan 0 dan memiliki ragam konstan, σ2
(sifat ragam yang konstan/homogen ini disebut homoscedasticity)
Sisaan εi, tidak berkorelasi satu dengan yang lainnya, sehingga atau
n), 1,(iuntuk σ]E[εdan0]E[ε 22ii K===
ji , 0]εE[ε ji ≠= ji , 0]ε,cov[ε ji ≠=
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
εXββY 10 ++=Komponen linier (fix)
Interpretasi Parameter Model Regresi Linier Sederhana
Xββ 10 + 2σ
Model Regresi Linier Sederhana (populasi) :Intersep Ypopulasi
Koefisien kemiringan populasi
Sisaan/ galat
Peubah tak bebas/ Peubah respon
Peubah bebas/ Peubah penjelas
Komponen acak
Y : peubah tak bebas/respon merupakan peubah acak dengan pusat/nilai harapan di dan ragam
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
(lanjutan)
Sisaan/galat untuk xi
Y
X
Nilai pengamatan Y
untuk Xi
Nilai harapan/rataan
Y untuk xi
εXββY 10 ++=
xi
Slope = β1
Intersep = β0
εi
Interpretasi Parameter Model Regresi Linier Sederhana
iiiy εxββ 10 ++=
ix10i ββ]x|E[Y += iii xYEy ε+= ]|[
yi
]|[ ixYE
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
i10i xbby +=
Dugaan persamaan garis regresi linier sederhana
Dugaan Persamaan Garis Regresi Linier Sederhana
Dugaan bagi intersep β0
Dugaan bagi kemiringan garis regresi β1
Nilai dugaan y pada pengamatan ke - i
Nilai x pada pengamatan ke - i
Galat individu ei mempunyai rataan sebesar nol
))ˆ( i10iiii xb(b-yy-ye +==
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
b0 adalah nilai dugaan rataan y ketika x bernilai nol (jika x = 0 dalam selang pengamatan)
b1 adalah nilai dugaan perubahan rataan y (nilai harapan Y) jika x berubah satu satuan
Interpretasi koefisien kemiringan dan intersep
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Menduga Persamaan Regresi
Menduga persamaan regresi linier sederhana = menduga parameter-parameter regresi β0dan β1 :
Penduga parameter yang dihasilkan harus merupakan penduga yang baik
Software statistik, seperti Minitab, SAS, SPSS, dll. banyak digunakan
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Metode Kuadrat Terkecilb0 dan b1 adalah dugaan bagi parameter regresi β0dan β1 yang didapat salah satunya dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat (JKG). Galat/sisaan = selisih antara y dan Metode Kuadrat Terkecil (MKT) :
2i10i
2ii
2i
)]xb(b[ymin
)y(ymin
emin JKGmin
+−=
−=
=
∑∑∑
y
Teknik kalkulus digunakan untuk mendapatkan nilai bo dan b1sedemikian hingga meminimumkan JKG
Menduga Persamaan Regresi(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Penduga bagi koefisien kemiringan garis β1 ialah:
Penduga bagi intersep β0 ialah:
Garis regresi selalu melalui titik x, y
X
Yxyn
1i
2i
n
1iii
1 ssr
)x(x
)y)(yx(xb ==
−
−−=
∑
∑
=
=
XX
XY
SS
xbyb 10 −=
(lanjutan)
SXY
SXX
Koefisien Korelasi Pearson
Metode Kuadrat Terkecil
Menduga Persamaan Regresi
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Asumsi Metode Kuadrat Terkecil (MKT)
Agar penduga bagi parameter regresi yang didapatkan dengan menggunakan MKT merupakan penduga yang baik maka sisaan/galat harus memenuhi kondisi Gauss-Markov berikut ini :
bebas saling dan ji ,0][ 3.)ticity homoscedas (
xnilai setiapuntuk homogen sisaan ragam ]E[ 2.
nol sisaan taan harapan/ra-nilai 0][ .1
ji
22i
εεεε
σε
ε
≠=
=
==
ji
i
E
E
Kondisi Gauss - Markov
(lanjutan)Menduga Persamaan Regresi
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
ContohRegresi Linier Sederhana
Sebuah agen real-estate ingin mengetahui hubungan antara harga jual sebuah rumah dengan luas lantainya (diukur dalam m2)
10 buah rumah diambil secara acak sebagai contohPeubah tak bebas (Y) = harga rumah (juta rupiah)Peubah bebas (X) = luas lantai (m2)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Data contoh Harga Rumah
Harga Rumah (Rp.juta) (Y) Luas Lantai (m2) (X)
245 1400312 1600279 1700308 1875199 1100219 1550405 2350324 2450319 1425255 1700
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Luas Lantai
Har
ga R
umah
260024002200200018001600140012001000
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Scatterplot of Harga Rumah vs Luas Lantai
Tebaran Harga Rumah vs Luas Lantai
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
Model Regresi-nya
εββ ++= xY 10
Persamaan Garis Regresi-nya
xY 10 ββ +=
Diduga dengan :
xbbY 10ˆ +=
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
FILM :MEMBUAT TEBARAN
“HARGA RUMAH” vs ”LUAS LANTAI”MENGGUNAKAN MINITAB
Klik di sini
Data contoh Harga Rumah
Harga Rumah (Rp.juta) (Y)
Luas Lantai (m2) (X)
245 1400312 1600279 1700308 1875199 1100219 1550405 2350324 2450319 1425255 1700
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Regression Analysis: Harga Rumah versus Luas Lantai
The regression equation isHarga Rumah = 98,2 + 0,110 Luas Lantai
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
S = 41,3303 R-Sq = 58,1% R-Sq(adj) = 52,8%
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
MENDUGA PARAMETER REGRESI : OUTPUT MINITAB
Dugaan Persamaan Garis Regresi-nyab
0
b1
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Klik di sini
Data contoh Harga Rumah
Harga Rumah (Rp.juta) (Y)
Luas Lantai (m2) (X)
245 1400312 1600279 1700308 1875199 1100219 1550405 2350324 2450319 1425255 1700
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
FILM :MENDUGA GARIS REGRESIMENGGUNAKAN MINITAB
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
050
100150200250300350400450
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Luas Lantai (m2)
Har
ga J
ual R
umah
(Rp.
juta
)
Tampilan Grafik
Model Harga Rumah: scatter plot dan garis regresi
lantai) (luas 0.10977 98.24833rumah harga +=
Kemiringan= 0.10977
Intersep = 98.248
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Klik di sini
Data contoh Harga RumahHarga Rumah
(Rp.juta) (Y)
Luas Lantai (m2) (X)
245 1400312 1600279 1700308 1875199 1100219 1550405 2350324 2450319 1425255 1700
FILM :MEMBUAT TEBARAN ANTARA
“HARGA RUMAH” dengan
“LUAS LANTAI”& GARIS REGRESI-nya
MENGGUNAKAN MINITAB
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Interpretasi Intersep b0
b0 adalah nilai dugaan bagi nilai rataan Y ketika X bernilai nol (jika X = 0 di dalam selang pengamatan)
Dalam hal ini tidak ada rumah yang memiliki luas lantai=0, jadi b0 = 98.24833 hanya mengindikasikan bahwa : untuk luas lantai yang berada dalam selang pengamatan, Rp 98.248.330,- adalah bagian harga rumah yang tidak diterangkan oleh luas lantai
lantai) (luas 0.10977 98.24833rumah harga +=
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Interpretasi koefisien kemiringan, b1
b1 mengukur dugaan perubahan rataan nilai Y jika X berubah satu satuan
Dalam hal ini b1 = .10977 menggambarkan bahwa setiap penambahan satu m2 luas lantai rataan harga rumah akan naik sebesar 0,10977 juta rupiah
lantai) (luas 0.10977 98.24833rumah harga +=
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Apakah b0 dan b1 yang didapat merupakan penduga yang baik ?
Pertanyaan di atas = pertanyaan bahwa: “apakah sisaan yang dihasilkan oleh dugaan persamaan garis regresi nya menghasilkan sisaan yang memenuhi kondisi Gauss-Markov?”
Untuk sementara ini kita yakini saja dulu bahwa sisaan yang dihasilkan memenuhi kondisi tersebut
Penjelasan bagaimana cara memeriksanya akan dijelaskan pada pokok bahasan “Diagnosa model melalui pemeriksaan sisaan”
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Sumber Keragaman RegresiNilai pengamatan yi yang dihasilkan beragam. Keragaman ini disebabkan oleh ?
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
xi
y
X
yi
JKT = ∑(yi - y)2
JKG = ∑(yi - yi )2∧
JKR = ∑(yi – y )2∧_
_
_y∧
Y
y_yi∧
Sumber Keragaman RegresiNilai pengamatan yi yang dihasilkan beragam. Keragaman ini disebabkan oleh ?
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Sumber Keragaman Regresi
Untuk suatu nilai xi keragaman nilai pengamatan yidisebabkan oleh :
Menyimpangnya nilai amatan yi terhadap dugaan nilai harapannya
beragam menghasilkan dugaan garis regresi yang beragam memiliki rataan
Menyimpangnya suatu dugaan garis regresi terhadap rataannya menyebabkan beragamnya data.
iiy xbb]x|[Y E ]x|[Y E 10ii +==→ )))
(lanjutan)
Y
/sisaaneror/galat karena →=− iii eyy )
10 bdan b
regresi model karena ˆˆˆ 10 →=−+=− iiii y y ,yxbbyy
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Mengukur Keragaman
Total Keragaman disebabkan oleh dua bagian ini :
JKG JKR JKT +=Jumlah
Kuadrat TotalJumlah Kuadrat
RegresiJumlah Kuadrat
Galat/Sisaan
∑ −= 2i )y(yJKT ∑ −= 2
ii )y(yJKG∑ −= 2i )yy(JKR
dengan:= nilai rata-rata peubah tak bebas Y
yi = nilai pengamatan ke-i peubah tak bebas Y i = nilai dugaan y untuk suatu nilai xiy
y
= +
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
JKT = Jumlah Kuadrat Total
Mengukur keragaman nilai yi di sekitar nilai rataannya y
JKR = Jumlah Kuadrat Regresi
Menjelaskan keragaman karena adanya hubungan linier antara x dan y
JKS = jumlah Kuadrat Sisa
Menjelaskan keragaman yang disebabkan oleh faktor-faktor selain faktor hubungan linier x dan y
(lanjutan)
Ukuran Keragaman
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Derajat Bebas Jumlah Kuadrat
Ukuran keragaman adalah ragam
Derajat bebas bagi
Derajat bebas bagi
(db) bebasderajat (JK)Kuadrat Jumlah Ragam=
2 -n JKSisaan =
1 JK0b| Regresi =
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Tabel Sidik RagamSumber
KeragamanDerajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat
(JK)
Kuadrat Tengah
(KT)
Regresi 1
Sisaan n-2
Total (terkoreksi) n-1
( )∑=
−n
ii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
iii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
ii yy
1
2
1JK Regresi
( )2nJK sisaan
−
Pada analisis regresi ini tentunya diharapkan JK regresi lebih besar dari JK sisaan sehingga dapat dikatakan bahwa keragaman nilai y disebabkan oleh perubahan nilai x.
S2, jika modelnya pas
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Regression Analysis: Harga Rumah versus Luas Lantai
The regression equation isHarga Rumah = 98,2 + 0,110 Luas Lantai
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
S = 41,3303 R-Sq = 58,1% R-Sq(adj) = 52,8%
Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 18935 18935 11,08 0,010Residual Error 8 13666 1708Total 9 32600
Tabel Sidik RagamOUTPUT MINITAB
db JK KTTABEL SIDIK RAGAM
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Penduga bagi Ragam Sisaan/galat
Penduga bagi ragam eror/sisaan dari model populasi adalah :
Dibagi dengan n – 2 bukan dengan n – 1 karena model regresi linier sederhana menggunakan 2 penduga parameter yaitu, b0 dan b1, bukan satu.
adalah penduga simpangan baku
2n
e
2nJKSsσ
n
1i
2i
2e
2
−=
−===
∑=
sisaanKTDengan asumsi bahwa modelnya pas/cocok
2ee ss =
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Regression Analysis: Harga Rumah versus Luas Lantai
The regression equation isHarga Rumah = 98,2 + 0,110 Luas Lantai
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
S = 41,3303 R-Sq = 58,1% R-Sq(adj) = 52,8%
Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 18935 18935 11,08 0,010Residual Error 8 13666 1708Total 9 32600
es
Penduga bagi Ragam Sisaan/galat
OUTPUT MINITAB
Dugaan Ragam Sisaan = s2
(JIKA MODELNYA PAS)
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Perbandingan Simpangan Baku
YY
X Xkecils e besars e
se mengukur keragaman penyimpangan nilai pengamatan yi terhadap garis regresi
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Pengujian HipotesisTerhadap
Slope dan Intersep
0β10ββ
Diperlukan asumsi bahwa εi menyebar Normal
εi ~ N ( 0,σ2 )
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Ragam Koefisien Kemiringan Garis Regresi (b1)
Ragam dari koefisien kemiringan garis regresi (b1) diduga sbb :
2x
2e
2i
2e2
1)s(ns
)x(xss
1b −=
−=∑
dengan:
= dugaan simpangan baku kemiringan garis regresi
= dugaan ragam x
= akar KTG = akar Kuadrat Tengah Galat = dugaansimpangan baku sisaan
1bs
2nJKs sisa
e −=
2xs
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Membandingkan Simpangan Baku Koefisien Kemiringan Garis Regresi (b1)
Y
X
Y
Xkecil
1bS besar1bS
mengukur keragaman koefisien kemiringan garis regresi dari berbagai contoh (set data) yang mungkin.
1bS
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Regression Analysis: Harga Rumah versus Luas Lantai
The regression equation isHarga Rumah = 98,2 + 0,110 Luas Lantai
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
S = 41,3303 R-Sq = 58,1% R-Sq(adj) = 52,8%
Contoh Regresi Linier Sederhana(lanjutan)
SIMPANGAN BAKU b1 : OUTPUT MINITAB
Simpangan Baku b1 = sb1
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Inferensia Koefisien Kemiringan Garis Regresi (b1): Uji t
Pada model regresi linier sederhana :Uji t untuk koefisien kemiringan garis regresi populasi (β1)
Apakah ada hubungan linier antara X dan Y?Hipotesis Nol dan hipotesis tandingan
H0: β1 = 0 (tidak ada hubungan linier antara X dan Y)H1: β1 ≠ 0 (ada hubungan linier antara X dan Y)
Uji Statistik1b
11
sβbt −
=
2nd.b. −=
dengan:
b1 = koefisien kemiringan regresi
β1 = kemiringan yg dihipotesiskan
sb1 = simpangan baku kemiringan
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Harga Rumah (Rp.juta)
(y)
Luas Lantai (m2) (x)
245 1400
312 1600
279 1700
308 1875
199 1100
219 1550
405 2350
324 2450
319 1425
255 1700
lantai) (luas 0.1098 98.25rumah harga +=
Dugaan persamaan garis regresi:
Koefisien kemiringan garis pada model ini adalah 0.1098
Meskipun demikian, “apakah luas lantai mempengaruhi harga jual?”
Contoh Inferensia Koefisien Kemiringan Garis (b1): Uji t
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Contoh Inferensia Koefisien Kemiringan Garis (b1): uji t
H0: β1 = 0H1: β1 ≠ 0 1bsb1
3.329380.03297
00.10977sβbt
1b
11 =−
=−
=
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
OUTPUT MINITAB
Apakah luas lantai mempe-ngaruhi harga jual (secara linier)?
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Contoh Inferensia Koefisien Kemiringan Garis (b1): uji t
H0: β1 = 0H1: β1 ≠ 0
Statistik Uji-nya : t = 3.329
Cukup bukti untuk mengatakan bahwa luas lantai mempengaruhi harga jual
output MINITAB : 1bs tb1
Keputusan : Tolak H0
Kesimpulan :
Tolak H0Tolak H0
α/2=.025
-tn-2,α/2
Terima H0
0
α/2=.025
-2.3060 2.3060 3.329
d.b. = 10-2 = 8
t8,.025 = 2.3060
(lanjutan)
tn-2,α/2
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Contoh Inferensia Koefisien Kemiringan Garis (b1): uji t
H0: β1 = 0H1: β1 ≠ 0
Nilai peluang P = 0.01039
Cukup bukti untuk mengatakan bahwa luas lantai mempengaruhi harga rumah
P-value < α jadiTolak H0
Keputusan:
Kesimpulan:
(lanjutan)
Ini adalah uji dua arah, jadi p-valuenya adalah
output MINITAB :
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
P(t > 3.329)+P(t < -3.329) = 0.01039(db. 8)
thit = 3.329
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Ragam Intersep Garis Regresi (b0)
Ragam dari intersep garis regresi (b0) diduga sbb :
∑∑
−= 2
i
2i
2e2
)x(xxs
s0 nb
Keterangan:
= dugaan simpangan baku intersep garis regresi
= akar KTG = akar Kuadrat Tengah Galat = dugaansimpangan baku sisaan
0bs
2nSSEse −
=
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Inferensia Intersep Garis Regresi (b0): uji t
Pada model regresi linier sederhana :Uji t untuk intersep garis regresi populasi (β0)
Apakah ada nilai Y yang tidak dapat dijelaskan oleh x?Hipotesis Nol dan hipotesis tandingan
H0: β0 = 0 (semua nilai Y dapat dijelaskan oleh x)H1: β0 ≠ 0 (ada nilai Y yg tidak dapat dijelaskan oleh x)
Statistik uji0b
00
sβbt −
=
1d.b. =
dengan:
b0 = intersep garis regresi
β0 = intersep yg dihipotesiskan
sb0 = dugaan simp. baku intersep
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Harga Rumah (Rp. Juta)
(y)
Luas Lantai (m2) (x)
245 1400
312 1600
279 1700
308 1875
199 1100
219 1550
405 2350
324 2450
319 1425
255 1700
lantai) (luas 0.1098 98.25rumah harga +=
Dugaan persamaan garis regresi:
Intersep garis pada model ini adalah 98.25
Apakah ada bagian harga rumah yang tidak dapat dijelaskan oleh luas lantai?
Apakah ada bagian harga rumah yang tidak dipengaruhi oleh luas lantai?
Contoh Inferensia Intersep Garis Regresi (b0): uji t
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Contoh Inferensia Intersep Garis Regresi (b0): uji-t
H0: β0 = 0H1: β0 ≠ 0
0bsb0
1.6929658.03348
098.24833sβbt
0b
00 =−
=−
=
output MINITAB :
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
(lanjutan)
Apakah ada har-ga rumah yg tdk dpt dijelaskan (tdk dipengaruhi) oleh luas lantai
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Contoh Inferensia Intersep Garis Regresi (b0): uji-t
H0: β0 = 0H1: β0 ≠ 0
Statistik uji: thit = 1.69296
Tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa : ada harga rumah yang tidak dapat dijelaskan oleh luas lantai
0bs tb0
Keputusan:
Kesimpulan :
Tolak H0Tolak H0
α/2=.025
-t1,α/2
Terima H0
0
α/2=.025
-12.706 12.706 1.69296
d.b. = 1
t1, .025 = 12,706
(lanjutan)
t1,α/2
output MINITAB :
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
Terima H0
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Uji F bagi parameter regresi :Tabel Sidik Ragam
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat
(JK)
Kuadrat Tengah
(KT)Regresi(b1| b0)
1
Sisaan n-2
Total (terkoreksi) n-1
( )∑=
−n
ii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
iii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
ii yy
1
2
1JK Regresi
( )2nJK sisaan
−
Statistik uji F tersebut memiliki derajat bebas db1=1 dan db2=n-2Jika Fhit <1 KTRegresi < KTSisaan Ragam Regresi < Ragam Sisaan pengaruh regresi tdk nyata pengaruh x tdk nyata b1 = 0 (tdk perlu tabel)
S2, jika mo-delnya pas
Statistik uji-nya :
Sisaan
gresRehit KT
KTF i=
Sisaan
Reg
RagamRagam
=
0:H0:H
11
10
≠=
ββ
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Regression Analysis: Harga Rumah versus Luas Lantai
The regression equation isHarga Rumah = 98,2 + 0,110 Luas Lantai
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
S = 41,3303 R-Sq = 58,1% R-Sq(adj) = 52,8%
Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 18935 18935 11,08 0,010Residual Error 8 13666 1708Total 9 32600
OUTPUT MINITAB
Contoh Uji F bagi parameter regresi : Tabel Sidik Ragam
(lanjutan)
db: 1,8
P-value untuk uji F
170818935 =
=sisaan
reghit KT
KTF
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Statistik Uji:
Keputusan:
Kesimpulan:
Tolak H0 dg α = 0.05
Cukup bukti bahwa luas lantai mempengaruhi harga rumah0
α = .05
F.05 = 5.32Tolak H0terima
H0
11.08F ==sisaan
regresi
KTKT
Nilai kritis: Fα = 5.32
(lanjutan)
F
H0: β1 = 0H1: β1 ≠ 0
εββ ++= xY 10
α = .05db1= 1 db2 = 8
Contoh Uji F bagi parameter regresi : Tabel Sidik Ragam
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Uji F bagi parameter regresi : Tabel Sidik Ragam
Jika model yang kita pilih di awal ternyata tidak pas1. Bolehkah kita menggunakan KT sisaan sebagai
penduga bagi ragam sisaan ?
2. Masih relevankah kita melakukan uji F ?
Agar uji F pada tabel Sidik Ragam dapat digunakan, maka model yang dipilih harus pas. uji lack of fit atau periksa pola sisaannya akan dibahas pada sub pokok bahasan “ Kualitas Fitted Model “ Untuk sementara anggaplah model yang kita pilih pas.
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Perbandingan Tabel Sidik Ragam Terkoreksi dan Tidak TerkoreksiSumber
KeragamanDerajat
Bebas (db)Jumlah
Kuadrat (JK)Kuadrat
Tengah (KT)
Regresi(b1| b0)
1
Sisaan n - 2
Total (terkoreksi) n - 1
( )∑=
−n
ii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
iii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
ii yy
1
2
1JK Regresi
( )2nJK sisaan
−
Regresi (b0,b1) 2
Sisaan n - 2
Total n
0:H0:H
11
10
≠=
ββ
0,1j,0 satu adamin :H
0:H
1
100
=≠
==
jβ
ββ
Tidak bisa mem-berikan jawaban apkh x berpe-ngaruh/tidak
∑ 2iy
∑∑ + i0ii1 ybyxb
( )∑=
−n
iii yy
1
2ˆ 2s
Sudah diku-rangi dg faktor koreksi yn
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Kualitas Fitted Model
• Apakah model regresi sudah cukup pas mewakili data?
• Apakah model regresi cukup baik untuk model peramalan?
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Tebaran titik amatan / scatter plot
Mana di antara gambar–gam-bar ini yang mo-delnya cukup pas/sesuai ?
a. b.
c. d.
x
xx
x
y
yy
y
Perlu diuji apakah model-nya sudah pas atau belum uji lack of fitatau secara eksploratif plot sisaan
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Tebaran titik amatan / scatter plot
Mana di antara gambar–gam-bar ini yang mo-delnya cukup baik untuk peramalan?
a. b.
c. d.
y
yy
y
x x
x x
Perlu suatu be-saran yang dapat mengukur jauh /dekatnya titik pengamatan thdp garis regresi
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Koefisien Determinasi, R2
Koefisien determinasi mengukur proporsi keragaman atau variasi total di sekitar nilai tengah (Y) yang dapat dijelaskan oleh garis regresi
secara grafis mengukur jauh/dekatnya titik pengamatanthdp garis regresi
Koefisien determinasi juga disebut R-kuadrat dan dinotasikan sebagai R2
atau
1R0 2 ≤≤CATATAN:
∑∑
−−
== 2
2
Tot
Reg2
)()ˆ(
JKJK
Ryyyy
i
i
Total
Sisa
JKJKR −= 12
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Koefisien Determinasi, R2(lanjutan)
Regression Analysis: Harga Rumah versus Luas Lantai
The regression equation isHarga Rumah = 98,2 + 0,110 Luas Lantai
Predictor Coef SE Coef T PConstant 98,25 58,03 1,69 0,129Luas Lantai 0,10977 0,03297 3,33 0,010
S = 41,3303 R-Sq = 58,1% R-Sq(adj) = 52,8%
Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 18935 18935 11,08 0,010Residual Error 8 13666 1708Total 9 32600
5808,032600189352 ==R
OUTPUT MINITAB
58.08% keragaman harga rumah dijelaskan oleh keragaman luas lantai
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Analisis Korelasi
Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan (hubungan linier) antara dua peubah
Korelasi hanya khusus untuk kekuatan hubungan
Mengukur arah hubungan
Tidak berdampak pada sebab akibat
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Analisis Korelasi
Koefisien korelasi populasi dinotasikan dengan ρ(huruf Greek rho)
Koefisien korelasi contoh adalah :
yx
xyXY ss
srˆ ==ρ
1n)y)(yx(x
s iixy −
−−= ∑
Koefisien korelasi Pearson
Pada Model Regresi Linier Sederhana yg hub.nya linier : R2 = r2 rXY = (tanda b1)
2R
(lanjutan)
Pada sembarang regresi linier berlaku:Rr YY =
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Untuk melakukan tes bahwa tidak ada hubungan linier, Hipotesis nol nya :
Statistik ujinya mengikuti sebaran t Student dengan derajad bebas (n – 2 )
Uji Hipotesis untuk Korelasi
0ρ:H0 =
)r(12)(nrt2−
−=
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
H0: ρ ≥ 0H1: ρ < 0
H0: ρ ≤ 0H1: ρ > 0
H0: ρ = 0H1: ρ ≠ 0
Kaidah Keputusan
α α/2 α/2α
-tα -tα/2tα tα/2
tolak H0 jika t < -tn-2, α Tolak H0 jika t > tn-2, α Tolak H0 jika t < -tn-2, α/2atau t > tn-2, α/2
dengan 2-n d.b ,)r(1
2)(nrt
2=
−
−=
Uji Hipotesis untuk Korelasi(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Correlations: Harga Rumah; Luas Lantai
Pearson correlation of Harga Rumah and Luas Lantai = 0,762
P-Value = 0,010
OUTPUT MINITAB
Uji Hipotesis untuk Korelasi
P-value < 0,025 Tolak H0 ρ ≠ 0
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
FILM :MENDUGA
KOEFISIEN KORELASI PEARSONdengan
MENGGUNAKAN MINITAB
Klik di sini
Data contoh Harga RumahHarga Rumah
(Rp.juta) (Y)
Luas Lantai (m2) (X)
245 1400312 1600279 1700308 1875199 1100219 1550405 2350324 2450319 1425255 1700
Correlations: Harga Rumah; Luas Lantai Pearson correlation of Harga Rumah and Luas Lantai = 0,762
P-Value = 0,010 rXY
APLIKASI DENGAN MINITABDUGAAN BAGI KOEFISIEN KORELASI
OUTPUT MINITAB
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
r2 = 1
Interpretasi beberapa nilai r2
Y
X
Y
X
r2 = 1
r2 = 1 dapat diinterpretasikan sbb. :
Adanya hubungan linier yang tepat antara X dan Y:
100% keragaman Y dijelaskan oleh keragaman X
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Interpretasi beberapa nilai r2
Y
X
Y
X
0 < r2 < 1 dapat diinterpretasi-kan sbb. :
Adanya hubungan linier yang lemah antara X dan Y:
Sebagian (tidak semuanya) keragaman Y dijelaskan oleh keragaman X
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Interpretasi beberapa nilai r2
Tidak ada hubungan linier antara X dan Y:
Nilai Y tidak bergantung pada nilai X. (Tidak ada keragaman Y yang dapat diterangkan oleh keragaman X)
Y
Xr2 = 0
r2 = 0 dapat diinterpretasikan sbb. :
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Korelasi dan Koefisien Determinasi R2
Koefisien determinasi, R2, untuk regresi linier sederhana yang hubungannya linier (ordo X = 1) sama dengan koefisien korelasi kuadrat
Korelasi antara amatan Yi dengan nilai dugaannya untuk sembarang regresi linier dengan berapapun banyaknya peubah bebas
2/121xy )R)(b (tanda Rr ==2
xy2 rR =
^
iY
Rr ^YY=
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Berbagai Kondisi yg Menggambarkan Perbedaan antara R2 dan rXY
C1
Y2
1050-5-10
100
80
60
40
20
0
Scatterplot of Y2 vs C1
C1
Y1
1086420
35
30
25
20
15
10
5
Scatterplot of Y1 vs C1
Correlations: X1; Y1 Pearson correlation of X1 and Y1 = 1,000 P-Value = *
Correlations: X2; Y2 Pearson correlation of X2 and Y2 = 0,000 P-Value = 1,000
The regression equation isY1 = 2,00 + 3,00 X1
S = 0 R-Sq = 100,0% R-Sq(adj) = 100,0%
The regression equation isY2 = 4,000 + 0,00 X2 + 1,000 X2**2
S = 0 R-Sq = 100,0% R-Sq(adj) = 100,0%
rXY
R2
R2 = 1r = 1
X2
Y2
1050-5-10
100
80
60
40
20
0
Fitted Line Plot
R2 = 1r = 0
b1 = 3 b1 = 0
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Berbagai Kondisi yg Menggambarkan Perbedaan antara R2 dan rXY
X1
Y3
1086420
35
30
25
20
15
10
5
0
Scatterplot of Y3 vs X1
The regression equation isY3 = 1,27 + 3,10 X1S = 1,53396 R-Sq = 97,7% R-Sq(adj) = 97,4%
Correlations: Y3; X1 Pearson correlation of Y3 and X1 = 0,988
R2 = 97,7%r = 0,988
The regression equation isY4 = 2,07 + 3,01 X1
S = 3,44414 R-Sq = 88,7% R-Sq(adj) = 87,3%
X1
Y4
1086420
35
30
25
20
15
10
5
0
Scatterplot of Y4 vs X1
R2 = 88,7%r = 0,942
Correlations: Y4; X1 Pearson correlation of Y4 and X1 = 0,942
(lanjutan)
b1 = 3,1 b1 = 3,01
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Berbagai Kondisi yg Menggambarkan Perbedaan antara b1 dan rXY
X1
C7
1086420
40
30
20
10
0
Scatterplot of C7 vs X1
The regression equation isC7 = 37,7 - 3,38 X1
S = 6,09048 R-Sq = 76,0% R-Sq(adj) = 73,0%
Correlations: C7; X1 Pearson correlation of C7 and X1 = -0,872
The regression equation isY6 = 3,50 + 0,116 X1
S = 0,275434 R-Sq = 64,8% R-Sq(adj) = 60,4%
X1
Y6
1086420
10
8
6
4
2
0
Scatterplot of Y6 vs X1
Correlations: Y6; X1 Pearson correlation of Y6 and X1 = 0,805
R2 = 76,0%r = -0,872
b1 = -3,38
R2 = 64,8%r = 0,805
b1 = 0,116
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Berbagai Kondisi yg Menggambarkan Perbedaan antara b1 dan rXY (lanjutan)
X
Y
543210
17,5
15,0
12,5
10,0
7,5
5,0
Scatterplot of Y vs X
The regression equation is Y = 1,06 + 4,67 XS = 2,06491 R-Sq = 53,3% R-Sq(adj) = 52,1%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 184,94 184,94 43,37 0,000Residual Error 38 162,03 4,26Total 39 346,97
X1
Y1
1086420
10
8
6
4
2
0
Scatterplot of Y1 vs X1
The regression equation is Y1 = 3,99 + 0,00914 X1S = 0,0077338 R-Sq = 93,5% R-Sq(adj) = 92,7%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 0,0068911 0,00689 115,21 0,000Resd Error 8 0,0004785 0,00005Total 9 0,0073696
Pearson correlation of X1 and Y1 = 0,967
R2 = 93,5%r = 0,967
b1 = 0,00914
R2 = 53,3%r = 0,730
b1 = 4,67
Pearson correlation of X and Y = 0,730
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Uji Ketidakpasan Model
Harus ada ulangan pengamatan yi pada nilai xi
yang sama. Mis. :x y
x1 y11y12
x2 y21y22y23y24
x3 y31y32y33
x4 y41y42
Untuk data contoh di samping dapat dinotasikan :
m = 4, n1=2, n2=4, n3=3, n4=2
1123421
=+++== ∑=
m
jjnn
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Uji ketidakpasan model :Tabel Sidik Ragam
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat
(JK)
Kuadrat Tengah
(KT)Regresi(b1| b0)
1
Sisaan n-2
Total (terkoreksi)
( )∑=
−n
ii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
iii yy
1
2ˆ
( )∑=
−n
ii yy
1
2
1JK Regresi
( )2nJK sisaan
−Statistik uji-nya :
GM
KMhit KT
KTF =Ketidakpasan model (KM)
Galat murni (GM)
n - 1
mnm
jj −∑
=1
2
1 1)( j
m
j
n
uju yy
j
−∑∑= =
dbsisa-dbGM JKsisa – JKGMKM
KMKM db
JKKT =
GM
GMGM db
JKKT =
H0: model pasH1: model tdk pas
F tabel : db1=dbKMdb2=dbGM
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
X Y X Y
1 5,135 6 67,586
1 30,846 6 47,441
1 32,977 6 32,919
2 14,142 7 78,804
2 20,785 7 78,202
2 -1,499 7 73,846
3 13,463 8 154,158
3 30,391 8 114,145
3 -21,254 8 110,077
4 31,095 9 139,573
4 6,542 9 154,735
4 35,466 9 151,428
5 -5,419 10 163,649
5 59,32 10 189,114
5 73,178 10 214,504
Contoh : Uji ketidakpasan model Tabel Sidik Ragam
Untuk data contoh di samping dapat dinotasikan :
m = 10, n1 = n2 =…..= n10 = 3
n = 30
db sisaan = n – 2 = 28
db galat murni =
= 30 – 10 = 20
db ketidakpasan model = 28 – 20= 8
mnm
jj −∑
=1
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
The regression equation is y = - 37,3 + 19,5 x
Predictor Coef SE Coef T PConstant -37,31 11,70 -3,19 0,003x 19,483 1,885 10,33 0,000
S = 29,6616 R-Sq = 79,2% R-Sq(adj) = 78,5%
Analysis of VarianceSource DF SS MS F P
Regression 1 93945 93945 106,78 0,000
Residual Error 28 24635 880
Lack of Fit 8 15272 1909 4,08 0,005Pure Error 20 9363 468
Total 29 118580
Phit < 0,05
KEPUTUSAN :Tolak H0
KESIMPULAN:Model tidak pas
H0: model pasH1: model tdk pas
Contoh : Uji ketidakpasan model Tabel Sidik Ragam
(lanjutan)OUTPUT MINITAB
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Pada contoh tersebut meskipun P-value untuk pengaruh linier x dan regresi sangat kecil (0,000…) namun kita tidak memperhatikan hal ini terlebih dahulu. Kita perhatikan uji ketidakpasan modelnya dulu,
disimpulkan bahwa model tidak pas.Selanjutnya kita periksa pola tebaran datanya.
x
y
1086420
200
150
100
50
0
Scatterplot of y vs x
Pada tebaran data-nya ter-lihat adanya pola kuadratik
model yang digunakan diubah menjadi :
εxβxββY 21110 +++=
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
x
y
1086420
200
150
100
50
0
Scatterplot of y vs x
The regression equation isy = 28,32 - 13,33 x + 2,983 x**2
S = 19,7555 R-Sq = 91,1% R-Sq(adj) = 90,5%
Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 2 108043 54021,3 138,42 0,00Error 27 10538 390,3Total 29 118580
Sequential Analysis of VarianceSource DF SS F PLinear 1 93945,5 106,78 0,000Quadratic 1 14097,2 36,12 0,000
x
y
1086420
200
150
100
50
0
Fitted Line Plot
Contoh : Uji ketidakpasan model Tabel Sidik Ragam(lanjutan)
• Dengan mengubah model regresi dari linier ke kuadratik, R2
meningkat dari 79,2% menjadi 91,1%
• Dari tabel Sidik Ragam didapat bhw pengaruh X kuadrat nyata dg = 0,05
OUTPUT MINITAB
α
MODEL YG DIGUNAKAN :
Y duga = 28,32 - 13,33 x + 2,983 x**2
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
FILM :MENGUJI
KETIDAKPASAN MODEL dengan
MENGGUNAKAN MINITAB
Klik di sini
X Y X Y
1 5,135 6 67,586
1 30,846 6 47,441
1 32,977 6 32,919
2 14,142 7 78,804
2 20,785 7 78,202
2 -1,499 7 73,846
3 13,463 8 154,158
3 30,391 8 114,145
3 -21,254 8 110,077
4 31,095 9 139,573
4 6,542 9 154,735
4 35,466 9 151,428
5 -5,419 10 163,649
5 59,32 10 189,114
5 73,178 10 214,504
Contoh : Uji ketidakpasan model Tabel Sidik Ragam
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Langkah-langkah Pemilihan Model yang Pas
1.Tentukan model, dapatkan dugaan persamaan garis regresinya, susun tabel Sidik Ragam, jangan dulu melakukan uji F untuk regresi keseluruhan
2.Lakukan uji ketidakpasan model. Jika tidak ada ulangan, cek secara eksploratif : plot sisaan-nya (akan dijelaskan pada pokok bahasan: Diagnosa Model). Jika nyata : lanjut ke langkah 3Jika tidak nyata : gunakan KT sisaan s2 sebagai dugaan bagi Rag(Y) = σ2 , lakukan uji F secara keseluruhan, hitung R2, perik-sa asumsi untuk MKT melalui plot sisaan (Diagnosa Model)
3.Hentikan analisis, perbaiki modelnya (lihat pola plot sisaannya).
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Selang Kepercayaan bagi koefisien kemiringan b1
Selang kepercayaan bagi koefisien kemiringan adalah :
Output Excel untuk contoh kasus harga rumah:
Pada tingkat kepercayaan 95%, selang kepercayaan bagi koefisien kemiringan garis adalah (0.0337, 0.1858)
11 bα/22,n11bα/22,n1 stbβstb −− +<<−
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Luas Lantai 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
d.b. = n - 2
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Selama satuan peubah tak bebas (harga rumah) dalam juta rupiah, kita percaya 95% bahwa rata-rata pengaruh penambahan harga rumah berada antara Rp. 0,03374 juta sampai dengan Rp.0,18580 juta setiap penambahan satu m2 luas lantai
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Luas Lantai 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
Selang kepercayaan 95% ini tidak memuat angka 0.
Kesimpulan : Ada hubungan linier yang nyata antara harga rumah dengan luas lantai dengan tingkat nyata sebesar 95%
Selang Kepercayaan bagi koefisien kemiringan b1
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Peramalan
Dugaan persamaan garis regresi dapat digunakan untuk memprediksi/meramal nilai Y jika x diketahui (hati-hati hanya untuk x yang berada dalam selang pengamatan)
Untuk suatu nilai, xn+1 , nilai prediksi bagi Y adalah
1n101n xbby ++ +=ˆ
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
317.850)0.1098(200 98.25lantai) (luas 0.1098 98.25rumah harga
=+=+=
Berapa kira-kira harga rumah yang luas lantainya 2000 m2 ! (2000 bukan titik pengamatan, namun masih dalam selang pengamatan). interpolasi
Prediksi harga rumah dengan luas lantai 2000 m2 adalah Rp 317,85 juta
Memprediksi dengan menggunakan persamaan garis regresi
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
050
100150200250300350400450
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Luas Lantai (m2)
Har
ga R
umah
(jut
a R
p)
Selang data yang relevan
Ketika menggunakan garis regresi sebagai alat untuk memprediksi, x yang boleh digunakan adalah x yang nilainya dalam selang pengamatan
Selang yang relevan
Sangat riskan untuk melakukan ekstrapolasi X di
luar selang pengamatan
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Selang kepercayaan rataan respon dan dugaan individu
Y
Xxi
yi = b0 + b1 xi
Selang kepercayaan bagi rataan Y, untuk xi
Selang kepercaya-an bagi nilai peng-amatan y, untuk xi
y∧
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Selang Kepercayaan bagi nilai harapan Y, untuk suatu X
Selang kepercayaan bagidugaan nilai harapan/rataan y jika diketahui xn+1
Perhatikan bahwa rumus tersebut mengandung
Jadi beragamnya lebar selang bergantung pada jarak antara xn+1 terhadap nilai rataan, x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
+±∑
+−+
++
2i
21n
eα/22,n1n
1n1n
)x(x)x(x
n1sty
:)X|E(Y bagin kepercayaa Selang
21n )x(x −+
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Selang Kepercayaan bagi individu Y, untuk suatu nilai x
Selang kepercayaan individu y untuk suatu nilai xn+1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
++±∑
+−+
+
2i
21n
eα/22,n1n
1n
)x(x)x(x
n11sty
:y bagin kepercayaa Selang
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Dugaan bagi Nilai Tengah/Rataan: Contoh harga rumah
Dapatkan selang kepercayaan 95% bagi rataan harga rumah dengan luas lantai 2.000 m2
harga rumah yi = 317,85 (Rp. juta)∧
Selang kepercayaan bagi E(Yn+1|Xn+1)
37.12317.85)x(x)x(x
n1sty 2
i
21n
eα/22,-n1n ±=−−
+±∑
++
Selang kepercayaan 95% bagi rataan harga rumah adalah dari Rp 280.660.000,- sampai Rp. 354.900.000,-
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Predicted Values for New Observations
NewObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI1 317,8 16,1 (280,7; 354,9) (215,5; 420,1)
Values of Predictors for New Observations
New LuasObs Lantai1 2000
OUTPUT MINITAB
Dugaan bagi Nilai Tengah/Rataan: Contoh harga rumah
Selang Kepercayaan 95% bagi dugaan nilai tengah/Rataan untuk suatu nilai x tertentu yg tidak ada pada pengamatan, namun masih dalam selang pengamatan x = 2000
Dugaan Nilai Tengah untuk x = 2000
(lanjutan)
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
Dugaan bagi individu/respon: contoh harga rumah
Dapatkan selang kepercayaan 95% bagi respon individu harga rumah untuk rumah dengan luas lantai 2.000 m2
yi = 317,85 (Rp. juta)∧
Selang kepercayaan bagi individu yn+1
102.28317.85)X(X)X(X
n11sty 2
i
21n
eα/21,-n1n ±=−−
++±∑
++
Selang kepercayaan 95% bagi harga rumah dengan luas lantai 2000m2 ialah dari Rp 215.500.000,- sampai Rp 420.070.000,-.
∧
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
OUTPUT MINITAB
Predicted Values for New Observations
NewObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI1 317,8 16,1 (280,7; 354,9) (215,5; 420,1)
Values of Predictors for New Observations
New LuasObs Lantai1 2000
Dugaan bagi individu/respon: contoh harga rumah
(lanjutan)
Selang Kepercayaan 95% bagi dugaan individu/respon untuk suatu nilai x tertentu yg tidak ada pada pengamatan, namun masih dalam selang pengamatan x = 2000
Itasia & Y Angraini, Dep Statistika FMIPA - IPB
FILM :MENGHITUNG
SELANG KEPERCAYAAN BAGI RAMALAN NILAI TENGAH
&RAMALAN NILAI INDIVIDU
denganMENGGUNAKAN MINITAB
Klik di sini
Data contoh Harga RumahHarga Rumah
(Rp.juta) (Y)
Luas Lantai (m2) (X)
245 1400312 1600279 1700308 1875199 1100219 1550405 2350324 2450319 1425255 1700