analisis struktur statis tak tentu dengan metode slope...

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship

Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection

Pertemuan – 12, 13

Mata Kuliah : Analisis Struktur

Kode : CIV - 209

SKS : 4 SKS


• Kemampuan Akhir yang Diharapkan • Mahasiswa dapat melakukan analisis struktur statis tak tentu dengan metode Slope-

Deflection

• Sub Pokok Bahasan : • Persamaan Slope-Deflection

• Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

• Analisis Portal Tak Bergoyang

• Analisis Portal Bergoyang


Persamaan Slope-Deflection

• Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)

• Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik

• Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik

• Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan

• Tiga metode analisis struktur berbasis displacement adalah : slope-deflection, distribusi momen dan metode matriks



1 DOF

4 DOF

3 DOF



• Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur

• Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar q. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI.

• Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung MAB dan MBA dengan sudut rotasi qA dan qB serta lendutan D yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan B.

• Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif apabila memiliki arah putar searah jarum jam.

• Sedangkan lendutan D dianggap bernilai positif apabila mengakibatkan balok berputar sebesar sudut y searah jarum jam.



• SMA’ = 0

• SMB’ = 0

(1)

(2)

03

2

2

1

32

1

LL

EI

MLL

EI

M BAAB

03

2

2

1

32

1

L

LL

EI

MLL

EI

MA

ABBA q



• SMB’ = 0

(3)

032

1

3

2

2

1D

LL

EI

MLL

EI

M


Persamaan Slope-Deflection • Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara MAB

dan MBA yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang diakibatkan olehnya, yaitu qA, qB dan D.

• Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar yang bekerja pada bentangan balok.

• Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan slope – deflection, maka beban luar tersebut harus ditransformasi menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok.

• Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan reaksi momen yang timbul pada kedua ujung balok yang dianggap memiliki tumpuan jepit.



• Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan Fixed-End Moment (FEM)

• Sesuai dengan perjanjian tanda, maka nilai FEM pada ujung A adalah negatif (berlawanan dengan jarum jam), dan nilai FEM pada ujung B adalah positif (searah jarum jam)



• Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi :

• Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah :

(4)

BAABBA

ABBAAB

LL

IEM

LL

IEM

FEM322

FEM322

D

D

qq

qq

NFNN EkM )FEM(322 qq



• Dengan :

MN adalah momen internal pada ujung dekat

E,k adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I/L

qN, qF adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh, memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam

y adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada tumpuan, y = D/L, besaran ini memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila searah jarum jam

(FEM)N adalah Fixed End Moment pada ujung dekat, bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam



• Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi :

(5) NNN EkM )FEM(3 q


Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.1

Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan

BBBA

BBAB

NFNN

CB

BC

EIIEM

EIIEM

L

IEM

wL

wL

qq

qq

yqq

20)0(302

82

40)0(3)0(2

82

)FEM(322

deflection-slopepersamaan dari

mkN8,1020

)6(6

20FEM

mkN2,730

)6(6

30FEM

22

22



Example 11.1

Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh :

SMB = 0 MBA + MBC = 0

Akhirnya didapatkan qB = 6,17/EI

Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh :

MAB = 1,54 kNm MBA = 3,09 kNm

MBC = 3,09 kNm MCB = 12,86 kNm

8,103

8,10)0(3)0(26

2

2,73

22,7)0(302

62

BBCB

BBBC

EIIEM

EIIEM

qq

qq



Example 11.1

Free body diagram :

Ay = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN ()

ByL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN ()

ByR = (3,09/6) - (12,86/6) + (0,5*6*6*2/6) = 4,37 kN ()

Cy = -(3,09/6) + (12,86/6) + (0.5*6*6*4/6) = 13,63 kN ()



Example 11.1

Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur :



Example 11.2

Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan

120667,0120)0(3026

2

1203333,0120)0(3)0(26

2

)FEM(322

deflection-slopepersamaan dari

mkN5,2216

)2)(60(3

16

3FEM

mkN12012

)6(40

12FEM

mkN12012

)6(40

12FEM

22

22

BBBA

BBAB

NFNN

BC

BA

AB

EII

EM

EII

EM

L

IEM

PL

wL

wL

qq

qq

yqq

5,225,15,2202

3

)FEM(3

deflection-slopepersamaan gunakan ACbalok Untuk

BBBC

NNN

EII

EM

L

IEM

qq

yq



Example 11.2

Dari keseimbangan gaya titik B :

SMB = 0 MBA + MBC = 0

Dan nilai qB = 144/EI.

Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya guna mendapatkan :

MAB = 135 kNm

MBA = 90 kNm

MBC = 90 kNm


Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.3 Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm. E = 200 GPa, I = 5(10)6 mm4

Dari kesetimbangan titik B : SMB = 0 MBA – 8000N(3m) = 0

qB = 0,054 rad

000.30000.000.1

0)02,0(3021025,1)m/N10200(2

000.30000.500

0)02,0(3)0(21025,1)m/N10200(2

m)10(25,14m

mm/m)10(mm)10(5

rad02,04

m08,0

629

629

36441246

B

BBA

B

BAB

AB

BAAB

M

M

L

Ik

q

q

q

q

yy



Example 11.4

Tentukan momen internal pada tumpuan balok apabila titik C mengalami penurunan sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10)6 mm4

36126

36126

36126

22

22

m)10(33,1335,4

1010600

m)10(1006

1010600

m)10(33,832,7

1010600

rad00667,05,4

03,0 rad005,0

6

03,0

mkN4,8612

)2,7(20

12FEM

mkN4,8612

)2,7(20

12FEM

CD

BC

AB

CDBC

BA

AB

k

k

k

wL

wL

yy



Example 11.4

0 0

0 0

7,10663,333.530)]00667,0(320][1033,133][10200[2

7,10667,666.1060)]00667,0(302][1033,133][10200[2

: CD Bentang

600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2

600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2

: BC Bentang

4,867,666.664,86)]0(302][1033,83][10200[2

4,863,333.334,86)]0(3)0(2][1033,83][10200[2

: AB Bentang

66

66

66

66

66

66

S

S

CDCBC

BCBAB

CCDC

CCCD

BCBCCB

CBCBBC

BBBA

BBAB

MMM

MMM

M

M

M

M

M

M

qq

qq

qqqq

qqqq

qq

qq

qB = 0,00444 rad qC = -0,00345 rad


TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.1 s/d 11.12


Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

• Suatu portal dikategorikan sebagai portal tak bergoyang apabila :

1. Disediakan tumpuan yang cukup untuk menahan goyangan

2. Memiliki geometri dan pola pembebanan yang simetris

Contoh-contoh Portal Tak Bergoyang (No Sidesway)



Example 11.5

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, apabila EI konstan

bergoyang)(tak 0

0

mkN8096

)8)(24(5

96

5FEM

mkN8096

)8)(24(5

96

5FEM

A

22

22

CDBCAB

D

CB

BC

wL

wL

yyy

qq



Example 11.5

CCDC

CCCD

BCBCCB

CBCBBC

BBBA

BBAB

NFNN

EII

EM

EII

EM

EIEII

EM

EIEII

EM

EII

EM

EII

EM

EkM

qq

qq

qqqq

qqqq

qq

qq

yqq

1667,00)0(3)0(212

2

333,00)0(30212

2

8025,05,080)0(328

2

8025,05,080)0(328

2

333,00)0(30212

2

1667,00)0(3)0(212

2

FEM322

EIEIEI

EIEI

MM

MM

CBCB

CB

CDCB

BCBA

1,137

80833,025,0

8025,0833,0

0

0

qqqq

qq



Example 11.6

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, gunakan E = 200 GPa

36126

36126

36126

36126

m)10(23,726,3

)10)(10(260

m)10(78,175,4

)10)(10(80

m)10(67,668,4

)10)(10(320

m)10(56,355,4

)10)(10(160

CE

CD

BC

AB

k

k

k

k



Example 11.6

rad)10(113,5

rad)10(758,2

420,059.819,138.20

129,138.203,759.61

0

0

4

5

C

B

CB

CB

CECDCB

BCBA

MMM

MM

q

q

qq

qq

mkN 9,55

mkN 18,6

mkN 7,49

mkN 888,0

mkN 888,0

mkN 444,0

CE

CD

CB

BC

BA

AB

M

M

M

M

M

M

bergoyang)(tak 0

0

mkN818

)6,3(50

8FEM

mkN188

)8,4(30

8FEM

mkN188

)8,4(30

8FEM

A

22

CECDBCAB

CE

CB

BC

wL

PL

PL

yyyy

q


Analisis Portal Bergoyang Metode Slope-Deflection • Suatu struktur portal akan bergoyang

ke samping apabila geometri atau pembebanan yang terjadi tidak simetri

• Pada portal di samping beban P menimbulkan momen MBC dan MCB pada titik kumpul B dan C

• MBC cenderung memindahkan titik B ke kanan, sedangkan MCB cenderung memindahkan titik C ke kiri

• Karena MBC lebih besar daripada MCB sebagai hasilnya portal akan timbul simpangan sebesar D ke arah kanan, pada titik B maupun C



Example 11.7

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan.

• Struktur termasuk portal bergoyang karena baik geometri dan beban tidak simetri

• Beban bekerja pada titik B, sehingga tidak ada FEM

• Titik B dan C mengalami simpangan sama besar yaitu D

• Sehingga yAB = D/4 dan yDC = D/6

• Keduanya positif karena batang AB dan CD berotasi searah jarum jam

• yAB = (6/4)yDC



Example 11.7

DCCDCCDC

DCCDCCCD

BCBCCB

CBCBBC

DCBDCBBA

DCBDCBAB

EII

EM

EII

EM

EII

EM

EII

EM

EII

EM

EII

EM

yqyq

yqyq

qqqq

qqqq

yqyq

yqyq

0,1333,003)0(26

2

0,1667,003026

2

4,08,00)0(324

2

4,08,00)0(325

2

25,20,104

6302

42

25,25,004

63)0(2

42

0

0

CDCB

BCBA

MM

MM



Example 11.7

Sehingga diperoleh 3 buah persamaan :

064

200 0200 0

6 0

4 0

S

S

S

CDDCBAABDAx

CDDCDC

BAABAB

MMMMVVF

MMVM

MMVM

48,208

66,75

78,243

800833,5667,05,1

0467,14,0

025,24,08,1

DC

C

B

DCCB

DCCB

DCCB

EI

EI

EI

EIy

q

q

yqq

yqq

yqq

mkN 183 mkN 158

mkN 158 mkN 225

mkN 225 mkN 347

DCCD

CBBC

BAAB

MM

MM

MM



Example 11.8

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan. A dan D jepit, serta C adalah berupa sendi

• y yAB = yDC = D/4

• qA = qD = 0

yy

qq

yqyq

yqyq

EII

EM

EII

EM

EIEII

EM

EIEII

EM

DC

BBBC

BBBA

BBAB

75,0004

3

003

3

5,103024

2

5,15,003)0(24

2



Example 11.8

Substitusikan nilai MAB, MBA, MBC dan MDC sehingga diperoleh

0 BCBA MM

044

10 010 0

4 0

4 0

S

S

S

DCBAABDAx

DCDC

BAABAB

MMMVVF

MVM

MMVM

mkN 4,11 mkN 4,11

mkN 4,11 mkN 1,17

21EI

320

21

240

DCBC

BAAB

B

MM

MM

EIyq



Example 11.8



Example 11.10

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan.

13121312

33

22

11

22

22

433,0 417,0 866,0 5,0

6

6,3

3

mkN4,3212

)6,3(30

12FEM

mkN4,3212

)6,3(30

12FEM

yyyy

yyy

DDDD

D

D

D

wL

wL

CB

BC



Example 11.10

0)433,0(3)0(26

2

0)433,0(3026

2

4,32)417,0(326,3

2

4,32)417,0(326,3

2

03023

2

03)0(23

2

1

1

1

1

1

1

yq

yq

yqq

yqq

yq

yq

CDC

CCD

BCCB

CBBC

BBA

BAB

IEM

IEM

IEM

IEM

IEM

IEM



Example 11.10

Dari kesetimbangan momen di titik B dan C :

Persamaan ketiga diperoleh dengan mengambil

jumlahan momen terhadap O

0

0

CBCD

BCBA

MM

MM

04,19404,104,24,34,2

0)8,1(108)24,12(6

)2,10(3

0

S

DCCDBAAB

CDDCBAABDCAB

O

MMMM

MMMMMM

M



Example 11.10

Diperoleh 3 buah persamaan :

mkN 23 mkN 34,2 mkN 7,60

mkN 34,2 mkN 7,60 mkN 31,3

:diperoleh sehingga awalpersamaan ke kembali substitusi

47,27

33,33

51,35

32,58880,3512,0840,1

72,90784,0533,0167,0

72,9392,0167,0733,0

11

1

1

DCCBBA

CDBCAB

C

B

CB

CB

CB

MMM

MMM

EI

EI

EI

EI

EI

EI

y

q

q

yqq

yqq

yqq


TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.13 s/d 11.26

analisis struktur statis tak tentu dengan metode slope...

Documents