analiticka geometrijaˇ...cilindar – definicija cilindar je površ u prostoru sacinjena od pravih...
TRANSCRIPT
Analiticka geometrija
Predavanje 11
Cilindri i kvadratne površi
Novi Sad, 2018.
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 1 / 13
Cilindar – definicijaCilindar je površ u prostoru sacinjena od pravih koje:
su paralelne datoj pravi p u prostoruprolaze kroz datu krivu u ravni (koja je normalna na pravu p)
Primer 11.1 Odrediti jednacinu cilindra generisanog krivom y = x2 u xy−ravnii pravama paralelnim z−osi.
Za proizvoljnu tacku P(x , y , z) sa datogcilindra koordinata z može da bude bilokoja vrednost, dok x i y moraju dazadovoljavaju jednacinu y = x2;
dakle, tacke sa cilindra su oblikaP(x , x2, z), x , z ∈ R;odgovarajuca jednacina cilindra je oblikay = x2, ako ništa dodatno ne pišepretpostavlja se da je x ∈ R; takodepromenljivu z ne pišemo jer za nju nemanikakvih ogranicenja i podrazumevamoz ∈ R.
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 2 / 13
Cilindar – primeriPrimer 11.2 Odrediti jednacinu kružnog cilindra generisanog kružnicomx2 + z2 = 1.
Tacke sa cilindra su oblikaP(x , y ,±
√1− x2), x ∈ [−1,1], y ∈ R;
odgovarajuca jednacina kružnog cilindraje x2 + z2 = 1; i to je cilindar duž y−ose.
Primer 11.3 Odrediti jednacinu cilindra generisanog hiperbolom y2 − z2 = 1.
Tacke sa cilindra su oblikaP(x , y ,±
√y2 − 1), |y | ≥ 1, x ∈ R;
odgovarajuca jednacina cilindra jey2 − z2 = 1; i to je cilindar duž x−ose.
GeoGebra 3D
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 3 / 13
Kvadratne površi u prostoru – definicija
U najopštijem obliku kvadratna površ u prostoru je skup rešenja kvadratnejednacine sa tri nepoznate, date sa
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Jz + K = 0,
gde koeficijenti A,B,C,D,E i F nisu istovremeno jednaki nuli.
Medutim, videli smo da mešoviti clanovi Dxy + Eyz + Fxz nastaju od rotacije,a linearni Gx + Hy + Jz od translacije; te cemo mi, uglavnom, posmatratisamo one kvadratne površi oblika
Ax2 + By2 + Cz2 + K = 0,
gde koeficijenti A,B i C nisu istovremeno jednaki nuli.
Preseci površi sa ravnima paralelnim sa koordinatnim ravnima se nazivajulinije nivoa ili tragovi.
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 4 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeri
Primer 11.4 Nacrtati elipsoidx2
a2 +y2
b2 +z2
c2 = 1, a,b, c > 0.
Linije nivoa dobijamo u preseku saravnima:
z = 0 (tj. presek sa xy−ravni):x2
a2 +y2
b2 = 1 elipsa;
y = 0 (presek sa xz−ravni) jex2
a2 +z2
c2 = 1 elipsa;
x = 0 (presek sa yz−ravni) jey2
b2 +z2
c2 = 1 elipsa;
z = z0, za |z0| < c:x2
a2(1− z20
c2 )+
y2
b2(1− z20
c2 )= 1
elipsa.
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 5 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeri
Primer 11.5 Nacrtati elipticni paraboloidx2
a2 +y2
b2 =zc, a,b, c > 0.
Linije nivoa dobijamo u preseku saravnima:
z = 0 (xy−ravan):x2
a2 +y2
b2 = 0;
odnosno tacka (0,0,0);
y = 0 (xz−ravan):x2
a2 =zc
parabola;
x = 0 (yz−ravan):y2
b2 =zc
parabola;
z = z0, z0 ≥ 0:x2
a2 +y2
b2 =z0
celipsa;
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 6 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeri
Primer 11.6 Nacrtati kružni paraboloidx2
a2 +y2
a2 =zc
(a = b), a, c > 0.
u yz−ravni to je parabolay2
a2 =zc,
koja je rotirana oko z−ose;dakle, linije nivoa paralelne saxy−ravni su kružnice.Primetimo, jednacina kružnogparaboloida se dobija tako što se
u jednacinu paraboley2
a2 =zc,
koja se rotira oko z−ose, zameni
y → ±√
x2 + y2 ; i dobijax2 + y2
a2 =zc
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 7 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.7 Odrediti jednacinu kružnog elipsoida koji u xz−ravni prolazi
kroz elipsux2
a2 +z2
c2 = 1, a, c > 0 i rotiran je oko x−ose.
U jednacinux2
a2 +z2
c2 = 1
zamenimo z → ±√
y2 + z2
i dobijamo jednacinu kružnog
elipsoidax2
a2 +y2
c2 +z2
c2 = 1.
Primetimo, isti postupak smomogli sprovesti i da smo krenuliod elipse u xy−ravni, naimex2
a2 +y2
c2 = 1, i zatim zameniti
y → ±√
y2 + z2.
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 8 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.8 Odrediti jednacinu konusa koji nastaje rotacijom prave z = 2yoko y−ose.
Dakle, zamenimo z → ±√
x2 + z2
i dobijamo odgovarajucujednacinu konusa±√
x2 + z2 = 2y ili x2 + z2 = 4y2
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 9 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeri
Primer 11.9 Nacrtati elipticni konusx2
a2 +y2
b2 =z2
c2 , a,b, c > 0.
Linije nivoa su:
za x = 0 to su prave y = ±bc
z
za y = 0 to su prave x = ±ac
z
za z = 0 to je tacka (x , y) = (0,0)za z = z0 to je elipsax2
a2 +y2
b2 =z2
0
c2
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 10 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.10 Nacrtati jednograni (jednodelni) hiperboloidx2
a2 +y2
b2 −z2
c2 = 1, a,b, c > 0.
Linije nivoa su:za x = 0 je hiperbolay2
b2 −z2
c2 = 1
za y = 0 je hiperbolax2
a2 −z2
c2 = 1
za z = 0 je elipsax2
a2 +z2
b2 = 1
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 11 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeri
Primer 11.11 Nacrtati dvograni (dvodelni) hiperboloidz2
c2 −x2
a2 −y2
b2 = 1, a,b, c > 0.Linije nivoa su:
za x = 0 je hiperbolaz2
c2 −y2
b2 = 1
za y = 0 je hiperbolaz2
c2 −x2
a2 = 1
za z = 0 je prazan skup jerx2
a2 +y2
b2 = −1
za z = z0 > c (z0 < −c) je
elipsax2
a2 +y2
b2 =z2
0
c2 − 1
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 12 / 13
Kvadratne površi u prostoru – primeriPrimer 11.12 Nacrtati hiperbolicni paraboloid (sedlo)y2
b2 −x2
a2 =zc, a,b, c > 0.
Linije nivoa su:
za x = 0 je parabolay2
b2 =zc
za y = 0 je parabola −x2
a2 =zc
za z = 0 su pravexa= ±y
bza z = z0 hiperboley2
b2 −x2
a2 =z0
ci to oko y−ose za
z0 > 0; i oko x−ose za z0 < 0
Milica Žigic (PMF, UNS 2018) Analiticka geometrija predavanje 11 13 / 13