analiz iii 1 1.1.seri kavramı ve 1.2.seriler ile ilgili temel teoremler1.3.yakınsaklık kriterleri

ANALİZ III

Prof.Dr.Hüseyin Çakallı

COPYRIGHT:Bu notların hiçbir kısmı hiçbir şekilde Hüseyin Çakallı’nın yazılı izni

olmadan hiçbir şekilde fotokopi ve benzeri yollarla çoğaltılamaz, internette

yayınlanamaz. Bu notların içinden kullanılacaklar ancak kaynak gösterilerek

kullanılabilinir.

BİRİNCİ BÖLÜM

Ön Bilgiler

REEL TERİMLİ SERİLER

1.1.Seri Kavramı.

Bu bölümde sonsuz serileri inceleyeceğiz. Önce seri kavramını açıklıyoruz. k, n, mN ve mn olmak

üzere

an+an+1+...+am-1+am

toplamını sembolü ile göstereceğiz. Eğer her nIN için sn= yazarsak her bir (an) dizisine

karşılık bir (sn) dizisini belirlemiş oluruz. ((an),(sn)) ikilisine reel terimli sonsuz seri veya kısaca seri diyoruz. an

terimine serinin genel terimi, sn terimine de serinin n inci kısmi toplamı denir. ((an),(sn)) serisini sembolüyle

ya da karışıklık olmadığında sembolüyle göstereceğiz. Bazen k=o dan başlayan şeklindeki serileri

de inceleyeceğiz. , : ; sembollerinin hepsi de a1+a2+...+an+... toplamını ifade eder. Diğer bir

deyimle seride indis olarak ne alırsak alalım toplam aynı toplamdır.

1.1.1.Tanım (Serilerde Yakınsaklık) bir seri olsun. Her nIN için olmak üzere

(sn) dizisi yakınsaksa serisine yakınsaktır denir. oluyorsa yazılır ve serini

toplamı s dir denir. Eğer (sn) dizisi yakınsak değilse serisine ıraksaktır denir.

1.1.Seri Kavramı(Alıştırmalar)

1) serisi yakınsak mıdır?

2) serisi yakınsak mıdır?

2

1.2. Seriler ile ilgili Temel Teoremler

Bu kesimde serilerle ilgili temel teoremleri veriyoruz. İlk olarak bütün terimleri pozitif olan serilerle ilgili bir

teorem ispat ediyoruz:

1.2.1.Teorem (Pozitif terimli Serilerde Yakınsaklık) Terimleri non-negatif bir serinin yakınsak olması

için gerek ve yeter koşul kısmi toplamlar dizisinin üstten sınırlı olmasıdır.

İspat. Bir serinin non-negatif terimli olması için gerek ve yeter koşul kısmi toplamlar dizisinin üstten sınırlı

olmasıdır. İspatın kalan kısmı derste yapıldı.

1.2.2.Teorem. Eğer yakınsaksa dır.

İspat: olduğu dikkate alınırsa ispat hemen elde edilir.

Bu teoremin karşıtı her zaman doğru olmayabilir. Örneğin serisi için olup,

dır. Ancak serisi yakınsak değildir.

Bu teoremden şu sonucu elde ederiz.

1.2.3.Sonuç. (ak) dizisi 0 a yakınsamıyorsa serisi ıraksaktır.

Örnek. serisi ıraksaktır. Çünkü ve ’dır.

1.2.4.Teorem ve yakınsaksa serisi de yakınsaktır ve

dır.

İspat. İspat Analiz II ders notlarında bulunabilir.

1.2.5.Teorem. c herhangi bir sabit sayı olmak üzere serisi yakınsaksa serisi de

yakınsaktır ve dir.


Şimdi de serilerin yakınsaklığına eşdeğer olan Cauchy şartını veriyoruz:

1.2.6. Tanım(Seriler için Cauchy Şartı). Her için olduğunda olacak

şekilde bir sayısı bulunabiliyorsa serisine Cauchy şartını sağlar denir.

3

1.2.7.Teorem. Bir serinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul Cauchy şartını sağlamasıdır.


1.2.8. Teorem (Geometrik Seri). serisi eşitsizliğini sağlayan her bir sayısı için

yakınsaktır ve dır eğer ise serisi ıraksaktır ve dır.


Örnek 1. serisi yakınsaktır ve toplamı 2 dir. Gerçekten; dir.

Örnek 2. serisi yakınsaktır ve toplamı 1 dir. Gerçekten;

dir.

1.2.Seriler ile İlgili Temel Teoremler (Alıştırmalar)

1) serisi yakınsak mıdır? Yakınsak ise toplamını bulunuz.

2) serisi yakınsak mıdır? Yakınsak ise toplamını bulunuz.

3) serisi yakınsak mıdır? Neden?

1.3.Yakınsaklık Kriterleri

Bu kesimde serilerin yakınsaklık durumlarını belirlemeye yarayan bazı kriterleri vereceğiz:

1.3.1.Teorem(Karşılaştırma Kriteri). Eğer olduğunda olacak şekilde bir

sabit doğal sayısı bulunabiliyorsa ve serisi yakınsaksa bu takdirde serisi de yakınsaktır.


4

Örnek 1.. serisi yakınsaktır. Çünkü; Her için eşitsizliği

sağlandığından ve serisi yakınsak olduğundan dolayı, karşılaştırma kriterinden, serisi de

yakınsaktır.

1.3.2. Sonuç. Eğer için olacak şekilde bir doğal sayısı bulunabiliyorsa

ve serisi ıraksak ise serisi de ıraksaktır.


Örnek. serisi ıraksaktır. Çünkü; Her n doğal sayısı için eşitsizliği

sağlandığından ve serisi ıraksak olduğundan dolayı, yukarıdak sonuçdan, serisi de ıraksak

olur.

1.3.3.Teorem( -Kriteri). Her k pozitif tamsayısı için olsun.Bu takdirde

serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul

serisinin yakınsak olmasıdır.


1.3.4.Teorem serisi için yakınsaktır ve için ıraksaktır.


1.3.5.Teorem (Kök Testi). serisi verilsin ve yazalım. Butakdirde

a) ise serisi yakınsaktır,

b) ise serisi ıraksaktır,

c) ise bu test sonuç vermez.


1.3.6.Teorem (Bölüm Testi). serisi verilsin ve yazalım. Butakdirde

a) ise serisi yakınsaktır,

b) ise serisi ıraksaktır,

c) ise bu test sonuç vermez.


1.3.Yakınsaklık Kriterleri (Alıştırmalar)

1) serisinin karekterini inceleyiniz. (Yol Gösterme: 2p testini uygulayınız.)

5

2) serisinin karekterini inceleyiniz. (Yol Gösterme: 2p testini uygulayınız.)

6

analiz iii 1 1.1.seri kavramı ve 1.2.seriler ile ilgili temel teoremler1.3.yakınsaklık kriterleri

Documents