analiza doprinosa lopatica

Uvod Koeficijenti Vucna M & P Gubitci Hibridna Raspodela Prostrujavanje Idealno Numericko lopatica

Analiza doprinosa lopaticeHelikopteri

Zlatko Petrovic

March 27, 2013


Uvod 1/9

Lopaticna teorija

Omogucuje uvid u raspored brzina po azimutu i radijusu.

Omogucuje uvid u raspodelu sila i momenata.

Omogucuje konstruisanje lopatice (vitoperenje, raspodelutetive lopatice, postavni ugao).

Omogucuje procenu ukupnih performansi rotora.


Uvod 2/9


Uvod 3/9

Komponenta relativne brzine oko lopatice van ravni diska rotora:

UP = Vc + vi

i u ravni diska rotora:UT = y

Rezultantna brzina:

U =U2P + U

2T

Ugao relativnog strujanja u odnosu na ravan diska:

= arctanUPUT UP

UT

Neka oznacava postavni ugao lopatice u odnosu na ravan diska.


Uvod 4/9

Napadni ugao aeroprofila na rastojanju y od ose obrtanja lopatice:

= = UPUT

Elementarna sila uzgona i otpora odsecka lopatice:

dL =1

2%U2cC` dy

dD =1

2%U2cCd dy

C` i Cd oznacavaju koeficijente uzgona i otpora aeroprofila, c jelokalna tetiva lopatice, Nb oznacava broj lopatica u rotoru.


Uvod 5/9

Elementarna vucna sila i elementarna kociona sila lopatice:

dFz = dL cos dD sindFx = dL sin+ dD cos

Elementarna vucna sila, moment obrtanja i snaga obrtanja:

dT = NbdFz

dQ = NbdFxy

dP = NbdFxy

Sila, moment i snaga ne zavise od ugla azimuta lopatice. Kada sedFz i dFx zamene preko sila aeroprofila dobijaju se izrazi nasledecem slajdu.


Uvod 6/9

dT = Nb(dL cos dD sin)dQ = Nb(dL sin+ dD cos)y

dP = Nb(dL sin+ dD cos)y

Prethodni sistem jednacina se moze uprostiti pod sledecimpretpostavkama:

UP


Uvod 7/9

Bezdimenzioni oblik se dobija deljenjem duzina sa R, a brzina saR:

r =y

R,

U

R=

y

R=

y

R= r

tako da su bezdimenzioni koeficijenti:

dCT =dT

%A(R)2, dCQ =

dQ

%A(R)2R, dCP =

dP

%A(R)3

Relativna brzina prostrujavanja kroz ravan diska rotora:

=Vc + vi

R=

Vc + viy

(y

R

)=

UPU

y

R= r

kako je dT = NbdL i dL =12%U

2T cC` dy to se za dCT dobija izraz

na sledecem slajdu


Uvod 8/9

dCT =dT

%A(R)2=

NbdL

%A(R)2

=Nb(

12%U

2T cC` dy)

%piR2(R)2

=1

2

(Nbc

piR

)C`

( yR

)2d(yr

)=

1

2

(Nbc

piR

)C` r

2dr

ranije smo uveli definiciju fakotra ispune :

=Nbc

piR=

Povrsina lopatica

Povrsina diska rotora


Uvod 9/9

dCT =1

2C`r

2dr

Slicno vazi i za koeficijente CQ = CP :

dCQ = dCP =dQ

%A(R)2R=

Nb(dL + dD)y

%(piR2)(R)2R

=1

2

Nbc

piR(C` + Cd)r

3 dr

=1

2(C` + Cd)r

3 dr

dCP =1

2(C` + Cd)r

3 dr


Aerodinamicki koeficijenti rotora 1/1Integracijom izraza sa prethodnog slajda:

CT =1

2

10

C`r2 dr

CP =1

2

10

(C` + Cd)r3 dr =

1

2

10

(C`r2 + cd r

3)dr

Za izracunavanje ovih integrala neophodno je znati (r), C`(r) iCd(r), pri cemu su:

C` = C`(,M,Re)

Cd = Cd(,M,Re)

takode je = (Vc , , vi ) i vi = vi (r)!Uz dodatne pretpostavke moguce je analiticki naci ove integrale!


Aproksimacija vucne sile 1/7

Uzgon aeroprofila na preseku y :

C` = C`( o) = C`( o )

Za idealno strujanje i tanke aeroprofile C` 2pi



Gradijent C` zavisi od Mahovog i Rejnoldsovog broja. Usvojicemosrednju vrednost za ovaj gradijent da je konstantan duz razmaha.Ugao nultog uzgona o se moze dodati uz , tako da je:

CT =1

2

10

C`r2 dr =

1

2C`

10

( )r2 dr

Ako se umesto napise /r :

CT =1

2 C`

10

(r2 r) dr



Nevitoperena lopatica

U ovom slucaju je (r) = o = const., pa je:

CT =1

2 C`

10

(or2 r) dr

=1

2 C`

[or

3

3 r

2

2

]10

=1

2 C`

(o3

2

)=

1

2 C`

(o3 1

2

CT2

)



Iz poslednjeg izraza se moze naci koliki ugao zakretanja lopatice jeneophodan da se ostvari koeficijent vucne sile CT :

o =6CTC`

+3

2

CT2

Prvi clan odgovara potrebnom uglu za ostvarivanje koeficijenta CTdok je drugi clan korekcija usled indukovane brzine u ravni rotora.Sledeci slajd uporeduje eksperiment sa rezulatima proracuna prekoovih formula.



Linearno vitoperenje

Ako je lopatica vitoperena po zakonu:

(r) = o + rtw

tada je koeficijent vucne sile:

CT =1

2 C`

10

[(o + rtw )r2 r ] dr

=1

2 C`

[or

3

3+tw r

4

4 r

2

2

]10

=1

2 C`

(o3

+tw4

2

)



Ako se referentni ugao zakretanja umesto u korenu lopatice uzmena mestu 3R/4 (75) tada je:

CT =1

2C`

10

{[75 + (r 0.75)tw ]r2 r

}dr

=1

2C`

10

(75r2 + tw r

3 0.75tw r2 r) dr

=1

2C`

(753

+tw4 tw

4

2

)=

1

2C`

(753

2

)Poslednji izraz ima isti oblik kao i izraz za nevitorperenu lopaticu!


Koeficijenti momenta i snage 1/2

dCP = dCQ =1

2(C` + Cd)r

3 dr , = r

dCP =1

2C`r

3 dr +1

2Cd r

3 dr

=1

2C`r

2 dr +1

2Cd r

3 dr

= dCPi + dCPo

= dCT + dCPo

Ako se za Cd usvoji srednja vrednost Cdo tada je:

CP =

r=1r=0

dCT +

10

1

2Cdo r

3 dr


Koeficijenti momenta i snage 2/2

Nakon integracije:

CP = CT +1

8Cdo

Na osnovu Frudove teorije =CT/2 tako da je:

CP =C

3/2T

2+

1

8Cdo


Gubitci na vrhu lopatice 1/5

Prandtl uveo pojam efektivnog radijusa Re < R:

Re = B R, B = 0.95 0.98

U integralima iz prethodnih odeljaka gornju granicu 1 trebazameniti sa B!

CT =1

2

B0

C`r2 dr =

1

2

B0

C`(r2 r) dr

za = o = const. i =CT/2:

CT =1

2C`B

2

(oB

3

2

)


Gubitci na vrhu lopatice 2/5


Gubitci na vrhu lopatice 3/5Za rotor sa vitoperenjem u obliku = tip/r :

CT =1

2C`

B0

(tip )r dr = 12C`

[(tip ) r

2

2

]B0

odnosno:

CT =C`

4B2(tip )

Gubitak nosivosti rotora je 6%do10%. Ovaj gubitak povecavapotrebnu indukovanu brzinu za ostvarivanje nosivosti:

vh =

T

2%Ae=

T

2%AB2=

1

B

T

2%A

Za nevitoperenu lopaticu:

CT =1

2C`

(o3

2B

)


Gubitci na vrhu lopatice 4/5za idealno vitoperenje:

CT =C`

4

(tip

B

)


Gubitci na vrhu lopatice 5/5Indukovana snaga

CPi =

r=1r=0

dCT =1

2

10

C`r2 dr

Kombinovani koeficijent snage:

CP =1

2C`

(o3

2B

)+

1

8Cdo

korektivni faktor 1.25:

=1

B+ + o

obuhvata gubitke na kraju lopatice, gubitke usled neravnomernostistrujanja i ostale gubitke. Za B = 0.97, = 1.25 i Cdo = 0.011prikazano prethodnim slajdom.


Hibridna teorija segmenta lopatice 1/4

Osnov teorije:

Teorija segmenta lopatice

Frudova teorija kvazi 1D strujanja

Promenljiva indukovana brzina po razmahu lopatice

Primenjuje se na elementarni prsten diska rotora.

dA = 2piy dy

dm = %dA(Vc + vi ) = 2pi%(Vc + vi )y dy

dT = 2%(Vc + vi )vi dA = 4pi%(Vc + vi )viy dy



dCT =dT

%(piR2)(R)2=

2%(Vc + vi )vi dA

%piR2(r)2

=2%(Vc + vi )vi (2piy dy)

%piR2(r)2

= 4Vc + vi

R

( viR

)( viR

)( yR

)d( yR

)ili

dCT = 4i r dr = 4( c)r drindukovana snaga:

dCPi = dCT = 42i r dr = 4

2( c)r dr



Lebdenje odgovara uslovu c = 0:

dCT = 42r dr , dCPi = 4

3r dr

Koeficijenti se dobijaju integracijom:

CT =

10

dCT = 4

10

2r dr

CPi = 4

10

3r dr


Radijalna raspodela indukovane brzine 1/2Pretpostavka:

(r) = tiprn, n 0

Koeficijent vucne sile:

CT = 4

10

2r dr = 42tip

10

r2n+1dr =42tip

2n + 2=

22tipn + 1

Odavde se dobija:

tip =n + 1 =

CT2

Koeficijent indukovane snage:

CPi = 4

10

3r dr = 43tip

10

r3n+1 dr =43tip

3n + 2


Radijalna raspodela indukovane brzine 2/2Kada se tip zameni preko CT :

CPi =2(n + 1)3/2C

3/2T

(3n + 2)

2, = 2(n + 1)

3/2

3n + 2


Brzina prostrujavanja 1/3

Sada cemo odrediti raspodelu brzine prostrujavanja direktno

Koristeci lopaticnu teoriju i Frudovu teoriju

Lopaticna teorija daje sledecu zavisnost za koeficijent vucnesile:

dCT =1

2C`r

2 dr =C`

2(r2 r) dr

Frudova teorija daje:

dCT = 4( c)r dr

Izjednacujuci ova dva izraza:

C`2

(r2 r) = 4( c)r



dobijamo:C`

8r C`

8 = 2 c

ili

2 +

(C`

8 c

) C`

8r = 0

Ova jednacina ima dva resenja, a samo ovo dole ima smisla:

(r , c) =

(C`

16 c

2

)2+C`

8r

(C`

16 c

2

)U slucaju lebdenja (c = 0):

(r) = i (r) =C`

16

(1 +

32

C`r 1

)


Idealno vitoperenje 1/3Ako se usvoji:

r = tip = const.

dobija se uniformna indukovana brzina po disku rotora(i (r) = const.).


Idealno vitoperenje 2/3

Koeficijent vucne sile za idealno vitoperenje je:

CT =C`

2

10

(tip )r dr = C`2

(tip2

2

)

Indukovana brzina = const. za idealno vitoperenje tako da je = r = tip = const. pa se prethodna jednacina moze napisati uobliku:

C`4

(tip tip) = C`4

tip

iz jednacine za raspodelu indukovane brzine:

(r) =C`

16

(1 +

32tipC`

1)

= const. =

CT2


Idealno vitoperenje 3/3Potrebni ugao lopatice na kraju za idealno vitoperenje da bi seostvario vucni koeficijent CT :

tip =4CTC`

+ =4CTC`

+

CT2

Uniformna indukovana brzina generise linearnu raspodelu vucne sileduz razmaha lopatice:

dCT =C`

2(tip )r dr

prehodni izraz zavisi samo od r . Drugi nacin za pisanje istejednacine je:

dCT =C`

2tipr dr =

2C`(R)r dr

Ukupna vucna sila rotora je onda:

CT =

4C`(R) =

4C`(R)


Numericko resavanje 1/2U opstem slucaju indukovana brzina se odreduje numericki.Lopatica se izdeli na male segmente duzine r , pa se indukovanabrzina odreduje iz:

(rn) =C`

16

(1 +

32

C`(rn)rn 1

), n = 1, 2, . . . ,N

gde su rn i (rn) radijus i postavni ugao u centru elementa n.Doprinos vucnoj sili elementa:

CTn =C`

2[(rn)r

2n (rn)rn]rn

Ukupni koeficijent vucne sile:

CT =n=Nn=1

CTn


Numericko resavanje 2/2Koeficijent snage:

CP CQ =Nn=1

nCTn

Postavni ugao se odreduje iterativno:

(j+1)o =

(j)o +

6(CTreq C (j)T )C`

+3

2

4

(CTreq

C

(j)T

)startnu vrednost (0) odredujemo iz zavisnosti za linearnu rasodeluvitoperenja:

CT =1

2C`

(o3

+tw4 1

2

CT2

)odakle je:

(0)o =

6CTreq

C` 3

4tw +

3

2

CTreq

2


Raspodela opterecenja po lopatici 1/6

Raspodela opterecenja lopatice po razmahu i raspodela indukovanebrzine se mogu odrediti primenom ove teorije. Tipicne raspodele suprikazane na sledeca dva dijagrama.



Vitoperenje ujednacuje indukovanu brzinu

Preveliko vitoperenje mnogo rasterecuje vrh tako da raspodela postaje ponovo neravnomerna

Granicna vrednost vitoperenja je 20.Odgovaraju lokalni koeficijent uzgona aeroprofila:

C`(rn) = C`

(o(rn) (rn)

rn

)Za lopaticu sa c = const. i idealnim vitoperenjem = tip/rkoeficijent uzgona aeroprofila se moze odrediti analiticki.Koeficijent vuce segmenta:

dCT =C`

2

(

2

)r2 dr =

C`2

(tipr

r

)r2 dr


Raspodela opterecenja po lopatici 4/6Za idealno vitoperenje = const. tako da je lokalni napadni ugao:

(r) =tip

r=tipr

Ovime se potvrduje da je opterecenje lopatice trougaono:

dCTdr

=C`

2tipr

Opterecenje diska za idealno vitoperenje i c = const.:

CT =C`

4tip =

C`4

(tip )

Kako elementarna teorija daje =CT/2 to je:

tip =4CTC`

+

CT2


Raspodela opterecenja po lopatici 5/6Lokalni napadni ugao lopatice je:

(r) =tipr

=4CTC`

1r

a odgovarajuci lokalni koeficijent uzgona je:

C`(r) = C` =4CT 1r



Slika: Lokalni napadni ugao treba da odgovara najboljem odnosu C`/Cd .

UvodAerodinamicki koeficijenti rotoraAproksimacija vucne sileKoeficijenti momenta i snageGubitci na vrhu lopaticeHibridna teorija segmenta lopaticeRadijalna raspodela indukovane brzineBrzina prostrujavanjaIdealno vitoperenjeNumericko reavanjeRaspodela opterecenja po lopatici

analiza doprinosa lopatica

Documents