analiza matematyczna ii. pula jawnych zadaÒna kolokwia.pawelst/am2/analiza... · 2015-12-22 ·...
TRANSCRIPT
Analiza matematyczna II.Pula jawnych zadaÒ na kolokwia.
Wydzia≥ MIiM UW, 2011/12
18 maja 2012ostatnie poprawki (literówka w zadaniu 53): 10 stycznia 2014
Szanowni PaÒstwo,
na koÒcu listy jest trochÍ nowych zadaÒ, obejmujπcych teoriÍ miary i ca≥ki. Nakolokwium co najmniej 3-4 zadania bÍdπ zbliøone treúciπ i poziomem trudnoúci doprzedstawionych na tej liúcie.
Ostatnie tegoroczne zadania mogπ pojawiÊ siÍ jeszcze do 23 maja w≥πcznie.
1 Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni Rn
1. W R2 dana jest norma k · k; kula jednostkowa w tej normie, B = {(x, y) 2 R2:
k(x, y)k 1}, ma kszta≥t szeúciokπta foremnego o boku d≥ugoúci 1 i jednym z wierz-cho≥ków w punkcie (1, 0).
(a) UdowodniÊ, øe norma k · k nie pochodzi od iloczynu skalarnego.
(b) ObliczyÊ normy: k(5, 0)k, k(0, 5)k, k(3,p3)k, k(1,
p3)k.
2. W R2 dany jest pewien iloczyn skalarny h·, ·i. Definiujemy normÍ kxk =
phx , xi.
Wiadomo, øe
sup
x2R2
kxk2kxk = 3 , inf
x2R2
kxk2kxk = 1
oraz k(1, 2)k =
p5
3
i k(�2, 1)k =
p5 .
WyznaczyÊ wzór opisujπcy normÍ k(x, y)k.
1
2 Rachunek róøniczkowy
3. Czy funkcja
f(x, y) =
8<
:
1� cos((x+ y)2)
x2+ y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
jest ciπg≥a w punkcie (0, 0)? ProszÍ uzasadniÊ odpowiedü.
4. ObliczyÊ granicÍlim
(x,y)!(0,0)
ln(x+ ey)� x� ypx2
+ y2.
5. Niech f(x) = x/(1 + x2). Dla danych g, h : R2 ! R definiujemy F : R2 ! R wzorem
F (x, y) = h(x, y)f(g(x, y)) .
ZbadaÊ istnienie granicy lim(x,y)!(0,0) F (x, y) w nastÍpujπcych przypadkach:
(a) g(x, y) =
⇢x · y�2 dla y 6= 0
0 dla y = 0,h(x, y) =
⇢y · |x|�1/2 dla x 6= 0,0 dla x = 0,
tzn. F (x, y) =xp
|x|y3
|x|(y4 + x2)
dla (x, y) 6= (0, 0) i F (0, 0) = 0;
(b) g(x, y) =
⇢x/y dla y 6= 0
0 dla y = 0
oraz h(x, y) = x ,
tzn. F (x, y) =x2y
y2 + x2dla (x, y) 6= (0, 0) i (x, y) = (0, 0)
(c) g(x, y) = x� y oraz h(x, y) =
⇢1/(x� y) dla x 6= y0 dla x = y
,
tzn. F (x, y) =1
1 + (x� y)2dla x 6= y i F (x, x) = 0.
6. PodaÊ przyk≥ad funkcji f : R2 ! R, która ma pochodne czπstkowe w kaødympunkcie p≥aszczyzny, ale lim
t!0 f(t, t2) = 1.
7. PodaÊ przyk≥ad funkcji dwu zmiennych f(x, y) takiej, øe lim(x,y)!(0,0) f(x, y) = 0
oraz0 = lim
x!0lim
y!0f(x, y) 6= lim
y!0lim
x!0f(x, y).
2
8. Czy funkcjaf(x, y) = sin
⇡
1� (x2+ y2)
jest jednostajnie ciπg≥a na kole {(x, y) 2 R2: x2
+ y2 < 1}? ProszÍ uzasadniÊ odpo-wiedü.9. ZnaleüÊ wszystkie punkty ciπg≥oúci funkcji f : R2 ! Rdanej wzorem
f(x, y) =
(xy exp(�y/x2
) , x 6= 0,
0, x = 0.
10. Niech f bÍdzie funkcjπ ciπg≥π okreúlonπ na
A = {x 2 R2: kxk = 1} [ {x 2 R2
: kx � (2, 0)k1 1}
takπ, øe f(�1, 0) = �1 i f(3, 0) = 17. UdowodniÊ, øe istnieje a 2 A takie, øe f(a) = 0.Czy istnieje funkcja spe≥niajπca warunki zadania, dla której jest tylko jeden takipunkt?Uwaga: przyjmujemy kyk1 =
P|y
i
|.11. ObliczyÊ pochodne czπstkowe funkcji f : Rn ! R w otoczeniu punktu 0 i zbadaÊróøniczkowalnoúÊ f w punkcie 0 2 Rn, dla f danej wzorem
(a) f(x) = kxk2 cos(kxk�1) dla x 6= 0 oraz f(0) = 0,
(b) f(x) = (1� cos(kxk�1)) sin(kxk�1
) dla x 6= 0 oraz f(0) = 0.
(c) f(x) = (1� cos(kxk)) sin(kxk�1) dla x 6= 0 oraz f(0) = 0.
12. Niech
f(x, y) = x2sin(y/x) cos(1/x2
) ln(1 + y), (x, y) 2 R2, x 6= 0.
ProszÍ dookreúliÊ wartoúÊ f w (0, 0) tak, aby w tym punkcie istnia≥a pochodna kie-runkowa f wzglÍdem wektora (1, 1). ObliczyÊ tÍ pochodnπ.13. Czy funkcja
f(x, y) =
8<
:
sin(x4+ y4)
x2+ y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
jest róøniczkowalna w (0, 0)? ProszÍ uzasadniÊ odpowiedü.14. Niech f bÍdzie funkcjπ okreúlonπ na R3 wzorem
f(x, y, z) =
(x+ y � z2 gdy z 2 Q,x+ y + z4 gdy z 62 Q.
UdowodniÊ, øe f ma w punkcie a 2 R3 róøniczkÍ Df(a) wtedy i tylko wtedy, gdy fjest ciπg≥a w a .
3
15. WyznaczyÊ zbiór wszystkich punktów (x, y) p≥aszczyzny R2, w których funkcja
f(x, y) = |ex � ey| · (x+ y � 2)
jest róøniczkowalna.
16. Funkcja f : Rn ! R jest róøniczkowalna. ObliczyÊ pochodnπ funkcji jednej zmien-nej
F (t) =�f(t, t2, . . . , tn)
�2, t 2 R.
17. Niech f : R2 ! R bÍdzie dana wzorem
f(x, y) = �3x4 � y2 + 4yx2.
WykazaÊ, øe dla kaødego wektora v = (v1, v2) d≥ugoúci 1 funkcja
hv
(t) = f(tv1, tv2)
ma maksimum lokalne w punkcie t = 0. Czy moøna stπd wnioskowaÊ, øe f ma mak-simum lokalne w (0, 0)? Odpowiedü proszÍ uzasadniÊ.
18. WyznaczyÊ równanie p≥aszczyzny przechodzπcej przez punkt (1, 1, 3) i stycznej dopowierzchni z = 2x2
+ y2 w R3.
19. WykazaÊ, øe funkcja
f(x, y) =
8<
:
x3
x2+ y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
jest ciπg≥a w (0, 0) i ma w tym punkcie pochodne kierunkowe we wszystkich kierun-kach, ale nie jest róøniczkowalna w (0, 0).
20. Funkcja f jest okreúlona na zbiorze A = {(x, y) 2 R2: xy > �1} wzorem
f(x, y) =
8<
:
p1 + xy � 1
ydla y 6= 0,
x/2 dla y = 0.
(a WykazaÊ róøniczkowalnoúÊ f w (0, 0). Czy róøniczka funkcji f jest ciπg≥a w tympunkcie?
(b Czy funkcja f jest róøniczkowalna w punkcie (1, 0)?
Odpowiedzi proszÍ uzasadniÊ.
4
21. Niechf↵
(x, y) =
((x2
+ y2)↵ sin�1/p
x2+ y2
�, (x, y) 6= 0,
0, (x, y) = 0.
(a) WykazaÊ, øe f1/2 jest ciπg≥a w (0, 0), ale nie jest róøniczkowalna w (0, 0).
(b) WykazaÊ, øe f1 jest róøniczkowalna w kaødym otoczeniu (0, 0), ale nie jest klasyC1 w øadnym otoczeniu zera.
(c) WykazaÊ, øe f3/2 jest klasy C1 na ca≥ej p≥aszczyünie R2
22. WyznaczyÊ wszystkie wartoúci p, q > 0, dla których funkcja f : Rn ! R danawzorem
f(x) =
✓nX
i=1
|xi
|p◆1/q
jest róøniczkowalna w 0 2 Rn.
23. ObliczyÊ kres górny funkcji f na zbiorze A:
f(x, y) =x ln(1 + y)
2x2+ y2
, A = {(x, y) : 0 < x y 1}.
24. ObliczyÊ kres górny funkcji f na zbiorze A:
f(x, y) = x(y � x� 1)e�y , A = {(x, y) : 0 x y} .
25. UdowodniÊ, øe funkcja f : Rn ! R, która jest klasy C1, spe≥nia warunek Lip-schitza na kaødym zbiorze zwartym K ⇢ Rn.
26. Zbiór ⌦ ✓ Rn jest otwarty i spójny. Wiadomo, øe dla wszystkich x , y 2 ⌦ istniejezawarta w ⌦ ≥amana d≥ugoúci co najwyøej kx � yk exp(kx � yk), ≥πczπca punkty x , y.
Funkcja f 2 C1(⌦,R) ma wszystkie pochodne czπstkowe ograniczone przez liczbÍ
M > 0. WykazaÊ, øe
|f(x)� f(y)| Mpn · kx � yk exp(kx � yk) , x , y 2 ⌦.
27. Niech A ⇢ Rn bÍdzie zbiorem zwartym, wypuk≥ym i niech f : A ! R bÍdzie funk-cjπ ciπg≥π na A, róøniczkowalnπ w punktach wewnÍtrznych zbioru A. Zak≥adamy po-nadto, øe istniejπ liczby a1, . . . , an, nie wszystkie równe zeru, takie, øe
nX
i=1
ai
· @f@x
i
(x) � 0 dla kaødego x 2 intA.
UdowodniÊ, øe funkcja f osiπga swojπ wartoúÊ maksymalnπ i wartoúÊ minimalnπw pewnych punktach brzegu zbioru A.
5
28. Niech f : R3+ ! R bÍdzie funkcjπ róøniczkowalnπ (R+ = (0,1)), spe≥niajπcπ w kaø-
dym punkcie równania x1�pfx
= y1�pfy
= z1�pfz
(p > 1 jest sta≥π). DowieúÊ, øe ist-nieje funkcja róøniczkowalna ' : R+ ! R taka, øe f(x, y, z) = '(xp
+ yp + zp).
29. Dana jest funkcja f 2 C2(R2
) taka, øe
lim
(x,y)!0
f(x, y)� tg(x) sin(y)
x2+ y2
= 0 .
ObliczyÊ fxy
(0, 0).
30. Niech f(x, y) = (x3 � x� y)(2x� y � 2) dla x, y 2 R.(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f .(b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaÊ, czy f ma w tym punkcie lokalne
ekstremum.
31. Niech f(x, y) = x3y � 3x2y + y2 dla x, y 2 R.(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f .(b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaÊ, czy f ma w tym punkcie lokalne
ekstremum.
32. Niech f(x, y, z) = x4+ y4 � 2x2
(1� y2) + z2 dla x, y, z 2 R.(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f .(b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaÊ, czy f ma w tym punkcie lokalne
ekstremum.
33. Funkcja f : R2 ! R jest dwukrotnie róøniczkowalna i spe≥nia w kaødym punk-cie nierównoúÊ f
xx
+ fyy
� 0. PrzypuúÊmy, øe f ma tylko niezdegenerowane punktykrytyczne (tzn. w kaødym punkcie krytycznym macierz hesjanu f jest nieosobliwa).WykazaÊ, øe f nie moøe mieÊ maksimów lokalnych.
34. Niech ⌦ ⇢ Rn bÍdzie otwarty i wypuk≥y. Niech f : ⌦ ! R bÍdzie funkcjπ wypuk≥πklasy C2. WykazaÊ, øe
(a) f nie ma lokalnych maksimów w≥aúciwych w ⌦;(b) f moøe mieÊ co najwyøej jedno minimum lokalne w≥aúciwe;(c) jeúli f jest úciúle wypuk≥a, to f moøe mieÊ co najwyøej jeden punkt krytyczny.
35. Niech U = R2\((�1, 0]⇥{0}[{(x, y) : x2+y2 1}). Okreúlamy f : U ! R wzorem
f(x, y) =
8>>>><
>>>>:
arc tg
x
y, y > 0,
⇡ + arc tg
x
y, y < 0,
⇡
2
, y = 0.
WykazaÊ, øe d≥ugoúÊ gradientu funkcji f jest ograniczona z góry na ca≥ym zbiorze U ,ale mimo to f nie spe≥nia warunku Lipschitza na U .
6
36. Rozwaøamy odwzorowanie F : R2 ! R2 dane wzorami
F (x, y) = (u, v), u = 4xy � 2x2, v = 2x2+ xy � y2.
Punktem lokalnej odwracalnoúci F bÍdziemy nazywaÊ kaødy punkt (x0, y0) taki, øeodwzorowanie F , zawÍøone do pewnego otoczenia punktu (x0, y0), przekszta≥ca to oto-czenie bijektywnie na pewne otoczenie punktu (u0, v0) = F (x0, y0).
(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty lokalnej odwracalnoúci odwzorowania F .(b) Jednym z takich punktów jest (1, 1); zatem w pewnym otoczeniu punktu
F (1, 1) = (2, 2) jest okreúlone odwzorowanie odwrotne x = x(u, v), y = y(u, v). Ob-liczyÊ @y
@u(2, 2).
37. (a) UzasadniÊ, øe równanie x lnw + w ln y = 0 wyznacza w otoczeniu punktu(x0, y0) = (1, 1) zmiennπ w jako funkcjÍ pozosta≥ych zmiennych: w = g(x, y) i øe jestto funkcja klasy C1.
(b) NapisaÊ wielomian Taylora stopnia 2 funkcji g w otoczeniu punktu (1, 1).
38. (a) UdowodniÊ, øe równanie xez = y(z + x) definiuje z jako funkcje (x, y) w oto-czeniu punktu (x0, y0, z0) = (2, 1, 0).
(b) NapisaÊ wielomian Taylora stopnia 2 funkcji z = z(x, y) w punkcie (2, 1).
39. DaÊ przyk≥ad przekszta≥cenia, bÍdπcego dyfeomorfizmem zbioru U na zbiór V :
U = {(x, y) : x > y > 0}, V = {(u, v) : u2+ 3v2 < 1, 2v > u+ |u|}.
Znalezione odwzorowanie naleøy wyraziÊ albo wprost wzorem, albo jako z≥oøenie (np.F = F3 � F2 � F1) kilku dyfeomorfizmów, z których kaødy jest wyraøony wzorem.
40. Niech ⌦ ⇢ R2 bÍdzie obszarem ograniczonym górnπ ga≥Íziπ hiperboli {xy = 1}, tj.⌦ = R2 \ {(x, y) : x > 0, xy � 1}. ZnaleüÊ jawny (tzn. wyraøony konkretnym wzorem)dyfeomorfizm zbiorów ⌦ i R⇥ R+.
41. W przestrzeni R3 rozwaøamy zbiory
P = {(x, y, z) : |z � x| =p
x+ y2}, M = {(x, y, z) 2 P : 0 < x < z}.
(a) UzasadniÊ, øe M jest rozmaitoúciπ dwuwymiarowπ.(b) NapisaÊ równanie p≥aszczyzny stycznej do M w punkcie (3,�1, 5).(c) WyjaúniÊ, czy zbiór P jest rozmaitoúciπ dwuwymiarowπ.
42. ZnaleüÊ funkcjÍ f 2 C1(R,R2
) takπ, øe
(4) f(R) =�(x, y) 2 R2
: |x|+ |y| = 1
.
UdowodniÊ, øe jeúli funkcja f 2 C1(R,R2
) spe≥nia warunek (4), to musi istnieÊ takiet 2 R, øe Df(t) = 0.
7
43. Dane sπ dwa równania:
x2 � y2 � u3+ v2 + 4 = 0 oraz 2xy + y2 � 2u2
+ 3v4 = 0.
Czy moøna wyznaczyÊ u i v jako funkcje róøniczkowalne zmiennych x i y w otoczeniupunktu (x, y, u, v) = (2, 1, 2, 1)? ProszÍ uzasadniÊ odpowiedü.
44. NaszkicowaÊ poziomice funkcji
f(x, y) = y2 � x2y � 2x4+ "x
dla ma≥ego " > 0.
45. Niech A = {z2 = x2+ y2 + 1, z > 0} . NaszkicowaÊ poziomice funkcji f(x, y, z) =
x+ 2y + 3z ograniczonej do A.
46. Niech
Mt
=
�(x, y, z) 2 R3
: x2+ y2 + z2 = 1, x2 � y2 + tz3 = 0
.
WyjaúniÊ, dla jakich t 2 R zbiór Mt
jest rozmaitoúciπ klasy C1.
47. Niech f : R2 � U ! R bedzie klasy C1 na zbiorze otwartym U . Za≥óømy, øe(x0, y0) 2 U i f
y
(x0, y0) 6= 0. WykazaÊ, øe istnieje dyfeomorfizm, powiedzmy (u, v, w) =�(x, y, z), zdefiniowany w pewnym otoczeniu U 0 ✓ R3 punktu (x0, y0, f(x0, y0)) 2 R3,który przeprowadza powierzchniÍ {z = f(x, y)}\U 0 na powierzchnie {w = v}\�(U 0
).
48. WykazaÊ, øe zbiór M = {(x, y, z) : x2+ 5y2 + z2 = 1, 2x2
+ 3y2 + 7z2 = 1} jestrozmaitoúciπ zanurzonπ klasy C1 w R3. Jaki jest wymiar M?
49. WyznaczyÊ kres górny i dolny funkcji f(x, y, z) = 15x + 6z na zbiorze M z Zada-nia 48.
50. UdowodniÊ, øe zbiór macierzy
SO(3) = {A 2 M3⇥3(R) : AAT
= Id, detA = 1}
jest rozmaitoúciπ g≥adkπ w M3⇥3(R) ⌘ R9. Jaki jest wymiar tej rozmaitoúci?
51. Niech n � 3 oraz
M =
⇢(x1, . . . , xn
) 2 Rn
:
nY
i=1
xi
= 1 ,nX
i=1
xi
= 0
�.
WykazaÊ, øe M jest rozmaitoúciπ zanurzonπ klasy C1. ObliczyÊ wymiar M .
8
52. Niech g : R ! R bÍdzie funkcjπ klasy C1. Zdefiniujmy funkcjÍ z(x, y) wzoremx2
+ y2 + z2 = g(ax+ by + cz),
gdzie a, b, c sπ sta≥ymi i sπ spe≥nione za≥oøenia twierdzenia o funkcjach uwik≥anych.WykazaÊ, øe
(cy � bz)@z
@x+ (az � cx)
@z
@y= bx� ay.
53. Rozwaømy równaniex3
+ y3 + z6 + xyz = 8
w otoczeniu punktu (1, 2,�1) .(a) ObliczyÊ pochodne czπstkowe rzÍdu 2 w (1, 2) funkcji z(x, y) zadanej tym
równaniem.(b) WyznaczyÊ przestrzeÒ stycznπ w (1, 2,�1) do powierzchni M , zadanej tym rów-
naniem.54. ZnaleüÊ kres dolny i górny funkcji f(x, y, z) = 10x+ 6z na zbiorze
A =
�(x, y, z) 2 R3
: x2+ 4y2 + z2 = 1, 3x2
+ 2y2 + 2z2 = 1
.
55. Niech K = {(x, y, z) : x+ y + z 4, xyz � 2; x, y, z > 0}. ObliczyÊ kres dolnyoraz kres górny odleg≥oúci punktu (0, 0, 0) od punktów zbioru K.56. Niech U ⇢ Rn, gdzie n � 2, bÍdzie zbiorem otwartym i spójnym i niech F : U ! Rn
bÍdzie odwzorowaniem klasy C1 takim, øe detDF (x) 6= 0 dla x 2 U. WykazaÊ, øe zbiórF (U) jest otwarty. Czy przekszta≥cenie F musi byÊ wzajemnie jednoznaczne?57. Niech K = {(x, y, z) :
px+
py +
pz = xyz = 4}. WyznaczyÊ zbiór wszystkich
wartoúci, przyjmowanych przez sumÍ x+ y + z na zbiorze K.58. Dana jest liczba naturalna n > 2 oraz dodatnie liczby rzeczywiste a, b takie, øea2 < nb. Niech x1, . . . , xn
bÍdπ liczbami rzeczywistymi, spe≥niajπcymi warunkix1 + · · ·+ x
n
= a, x21 + · · ·+ x2
n
= b.
Dla ustalonych wartoúci n, a, b wyznaczyÊ maksymalnπ moøliwπ wartoúÊ róønicy miÍ-dzy najwiÍkszπ a najmniejszπ z liczb x1, . . . , xn
.Wskazówka: f(x1, . . . , xn
) = x1 � x2; M = {(x1, . . . , xn
) :
Pxi
= a,P
x2i
= b}.59. ZnaleüÊ kres górny funkcji f(x, y, z) = z4(x2�xy+y2)+z2(x4
+y4) na czworoúcianieo wierzcho≥kach (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) i (4, 4, 0).60. Funkcja entropii na (0, 1)n jest zdefiniowana wzorem
E(x1, .., xn
) =
nX
i=1
xi
ln(1/xi
).
WykazaÊ, øe E przed≥uøa siÍ do funkcji ciπg≥ej ˜E na kostce domkniÍtej [0, 1]n. ZnaleüÊkres górny funkcji ˜E na zbiorze
K = {x 2 [0, 1]n : x1 + x2 + · · ·+ xn
= 1} .
9
3 Teoria miary i ca≥ki
Uwaga. Symbol �n
oznacza n-wymiarowπ miarÍ Lebesgue’a na �-ciele L (Rn
) zbio-rów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Wszystkie ca≥ki sπ wzglÍdem miary Lebes-gue’a (tzn. przyjmujemy konwencjÍ dx = d�1(x), dx dy = d�2(x, y) itp.)61. P jest przedzia≥em domkniÍtym w Rn, a zbiór A ⇢ P jest domkniÍty. UdowodniÊ,øe jeúli �
n
(A) = �n
(P ), to A = P .62. Niech A bÍdzie zbiorem tych liczb z przedzia≥u [0, 1], które majπ rozwiniÍcie dwój-kowe postaci 0, c1c2c3 . . . (cyfry c
i
2 {0, 1}), spe≥niajπce warunek: ci�1ci+1 = 0 dla i pa-
rzystych. DowieúÊ, øe A jest zbiorem miary zero.63. Dany jest zbiór A ⇢ Rn, dodatniej miary Lebesgue’a. WykazaÊ, øe w zbiorze Aistnieje punkt, leøπcy w odleg≥oúci niewymiernej od kaødego punktu przestrzeni Rn,majπcego wszystkie wspó≥rzÍdne wymierne.64. Niech A ⇢ Rk, �
k
(A) > 0 WykazaÊ, øe dla kaødego 0 < c < 1 istnieje przedzia≥k-wymiarowy P taki, øe �
k
(P ) > 0 oraz �k
(A \ P ) � c�k
(P ).65. Niech {f
n
}1n=1 bÍdzie ciπgiem funkcji ciπg≥ych na [0, 1]. UdowodniÊ, øe zbiór punk-
tów x 2 [0, 1] takich, øe ciπg liczbowy fn
(x) jest zbieøny, jest zbiorem mierzalnym wsensie Lebesgue’a.66. Niech f bÍdzie funkcjπ mierzalnπ na [1,1) i ograniczonπ na zbiorach ograniczo-nych. Po≥óømy
an
=
Zn+1
n
f(x) d�1(x), n = 1, 2, . . .
(a) Czy jest prawdπ, øe f jest ca≥kowalna na [1,1) wtedy i tylko wtedy, gdy szeregP1n=1 an jest zbieøny?
(b) Czy jest prawdπ, øe f jest ca≥kowalna na [1,1) wtedy i tylko wtedy, gdy szeregP1n=1 an jest bezwzglÍdnie zbieøny?
Odpowiedzi proszÍ uzasadniÊ.67. Dana jest przestrzeÒ z miarπ (X,F , µ) oraz funkcja f : X ! [0,1), ca≥kowalnawzglÍdem miary µ. Niech g(x) =
pf(x). Czy funkcja g musi byÊ ca≥kowalna: (a) przy
za≥oøeniu, øe µ(X) < 1; (b) bez tego za≥oøenia?W zadaniach 68–74 proszÍ dok≥adnie uzasadniÊ wszystkie elementy rozumowa-
nia (wolno powo≥ywaÊ siÍ na twierdzenia z wyk≥adu, sprawdziwszy uprzednio, øespe≥nione sπ ich za≥oøenia).68. ObliczyÊ
lim
n!1
Z
R+
(xn
+ 1) sin(x2e�x
2n+ x�1e�x
�2n)
xn+2+ x�1
dx .
10
69. ObliczyÊlim
n!1
Z 1
0
n sin(x/n)
x(1 + x2)
dx .
70. ObliczyÊlim
n!1
Z 1
0
xn
+ 2
xn
+ 1
e�xdx.
71. ObliczyÊ1X
m=0
1
m!
lim
n!1
Z
{(x,y) : 2x2+y
2<n
2}
✓1� 2x2
+ y2
n2
◆n
2
x2m dx dy .
72. ObliczyÊ
lim
n!1
Z
A
np
|x|(1� |x|)arc tg (ny)1 + x2
+ y2dx dy ,
gdzieA =
�w 2 R2
: |w | sin
�3 · ^(w , e1)
� oraz e1 = (0, 1) 2 R2 .
73. ObliczyÊ granice:a) lim
n!1R 2
0x
n
1+x
n dx
b) limn!1
Rn
0
�1 +
x
n
�n
e�2x dx
74. Rozwaømy funkcje zmiennej t > 0, okreúlone wzorami
f(t) =
Z pt
0
e�x
2dx
!2
oraz g(t) =
Z 1
0
e�t(1+x
2)
1 + x2dx.
(a) WykazaÊ, øe f, g sπ róøniczkowalne i f 0(t) + g0(t) = 0 dla wszystkich t > 0.
(b) WykazaÊ, øe f(t) + g(t) = ⇡/4 dla wszystkich t > 0.
(c) WywnioskowaÊ stπd, øeR10 e�x
2dx =
p⇡
2 .
ProszÍ starannie uzasadniÊ wszystkie obliczenia.
75. UdowodniÊ nastÍpujπcπ wersjÍ lematu Fatou: niech fn
: X ! R bÍdzie ciπgiemfunkcji mierzalnych nieujemnych, f
n
! f punktowo na X,RX
fn
dµ M dla pewnegoM > 0.
WówczasRX
f dµ M .
76. NiechA ⇢ Rd bÍdzie zbiorem wypuk≥ym i takim, øe jeúli a 2 A, to równieø�a 2 A.WykazaÊ, øe jeúli �
d
(A) > 2
d, to istnieje element b 2 A \ {0} taki, øe b 2 Zd.Uwaga: kaødy wypuk≥y podzbiór Rd
jest mierzalny.
11
77. Niech A ⇢ Rd bÍdzie zbiorem wypuk≥ym i takim, øe jeúli a 2 A, to równieø�a 2 A. WykazaÊ, øe jeúli N 2 N jest takπ liczbπ naturalnπ, øe �
d
(A) > N2
d, to#
⇥�A \ Zd
�\ {0}
⇤� 2N .
Uwaga: kaødy wypuk≥y podzbiór Rd
jest mierzalny.
78. Dana jest funkcja f : R ! R mierzalna i taka, øe f(12(x+ y)) 12(f(x) + f(y)) dla
dowolnych x, y 2 R. WykazaÊ, øe f jest wypuk≥a.
79. Niech S bÍdzie obszarem ograniczonym krzywymi
xy = 1, xy = 2, xy3/2 = 3 oraz xy3/2 = 4.
ObliczyÊ ZZ
S
py d�2(x, y).
80. Niech V = {(x, y) 2 R2: x2
+ y2 > 1,�1/2 < x < 1/2, y > 0}. ObliczyÊZZ
V
y�2 d�2(x, y) .
81. Niech A bÍdzie mierzalnym podzbiorem odcinka [0, 1], dodatniej miary Lebes-gue’a. Po≥óømy f(x) = �1(A \ [0, x]). ObliczyÊ
RA
f(x) d�1(x).
82. ObliczyÊ trójwymiarowπ miarÍ Lebesgue’a zbioru
D := {(x, y, z) 2 R3 | x2+ z2 < 2 , x > |z| > y > 0}.
83. ObliczyÊ ZZ
K
(x+ y)2 sin2(x� y) d�2(x, y),
gdzie K oznacza kwadrat o wierzcho≥kach (0, 1), (1, 2), (2, 1) i (1, 0).
84. ObiczyÊ ZZ
D
y2x d�2(x, y),
gdzie D jest obszarem ograniczonym, zawartym miÍdzy parabolami x = 1 � y2 ix = 3(1� y2).
85. ObliczyÊ ZZ
x
2<8y<8x2
,
y
2<x<8y2
✓x
y
◆3
d�2(x, y)
86. ObliczyÊ
lim
n!1
ZZZ
x
2+y
2+z
2<4,
z>0
z
nln
⇣�x2
+ y2�n
+
�x2
+ y2��n
⌘d�3(x, y, z)
12
87. WykazaÊ, øe Z 2
0
✓Z 1
y/2
e�x
2d�1(x)
◆d�1(y) = 1� e�1.
88. WykazaÊ, øe funkcja
f(x, y) = 2xy exp(�x2y) cos�log(2 + sin(arc tg (xy)))
��[0,1]
(y)
jest ca≥kowalna na R2.
89. Zbiór D otrzymujemy poprzez wyciÍcie z kuli jednostkowej (w R3) walca⇣x� 1
2
⌘2+ y2 <
1
4
.
ObliczyÊ �3(D).Wskazówka. OpisaÊ okrπg o úrodku (0, a) i promieniu a we wspó≥rzÍdnych bieguno-wych.
90. MiarÍ µ definiujemy nastÍpujπco: dla zbioru mierzalnego E ⇢ R3 niech
µ(E) =
Z
E\B(0,1)
px2
+ y2 + z2 d�3(x, y, z).
ObliczyÊ Z
B(0,2)
�xy2 + y2z
�dµ(x, y, z).
91. ObliczyÊ ZZZ
E
|xyz|qx
2
4 + y2 + z
2
25
d�3(x, y, z),
gdzie E oznacza obszar ograniczony elipsoidπ o równaniu x
2
4 + y2 + z
2
25 = 1.
92. ObliczyÊ granicÍlim
x!1e�x
Zx
0
Zx
0
eu � ev
u� vdudv.
Wskazówka: spróbowaÊ uøyÊ regu≥y de l’Hospitala.
93. Niech D oznacza zbiór {(x, y) 2 R2: x2
+ y2 < 1, x > 0, y > 0}. Funkcja f : R2 ! Rjest ciπg≥a, f(0, 0) = 1. Dla jakich ↵ 2 R ciπg
n↵
Z
D
(1� x� y)nf(x, y) d�2(x, y)
jest zbieøny? Odpowiedü proszÍ uzasadniÊ.
13
94. Niech A 2 Rn bÍdzie ograniczonym zbiorem otwartym takim, øe 0 2 A. Dla jakichparametrów ↵ funkcja f(x) = kxk↵ jest ca≥kowalna wzglÍdem miary Lebesgue’a �
n
na Rn \ A? Odpowiedü proszÍ uzasadniÊ.
95. Funkcje f, g, h sπ ca≥kowalne wzglÍdem n-wymiarowej miary Lebesgue’a na prze-strzeni Rn. WykazaÊ, øe (f ⇤ g) ⇤ h = f ⇤ (g ⇤ h).
96. Niech fn
: Rk ! R,
fn
(x) :=
�B(0,1)\B(0,1/n)
(x) · n ln
⇣1 + nkxk↵
nkxk↵⌘.
Dla jakich parametrów ↵ 2 R ciπg fn
jest zbieøny w przestrzeni L1(B(0, 1)) (z miarπ
Lebesgue’a)?
97. Niechf�
(x) :=�
2
e��|x|.
WykazaÊ, øe jeúli g 2 L1(R), to
lim
�!1kf
�
⇤ g � gkL1(R) = 0.
98. ObliczyÊ powierzchniÍ elipsoidy E = {(x, y, z) 2 R3: 9x2
+ 9y2 + z2 = 9}.
99. Na elipsoidzie E = {(x, y, z) 2 R3: x2
+ y2 + 4z2 = 4} rozwaøamy zbiór A =
E \ {(x, y, z) : y > x i y > 0}. ObliczyÊ ca≥kÍ wzglÍdem miary powierzchniowej �2 :
ZZ
A
xyp3z2 + 1
d�2 .
4 Formy róøniczkowe i okolice
Uwaga: forma ! 2 ⌦
k
(U) nazywa siÍ zamkniÍta wtedy i tylko wtedy, gdy d! = 0.Forma ! 2 ⌦
k
(U) nazywa siÍ dok≥adna wtedy i tylko wtedy, gdy ! = d⌘ dla pewnego⌘ 2 ⌦
k�1(U).
100. Niech � = {(x, y) : xy = 1, x � 12 , y � 1
2} ⇢ R2. ObliczyÊ ca≥kÍ z formy
(3x+ 4y) dx+ (x+ 2y) dy
(x+ y)3/2
wzd≥uø ≥uku �, zorientowanego w kierunku wzrastania zmiennej x.
101. WykazaÊ, øe zbiór {(x, y) 2 R2 | x > 0, y < 0, x4 � xy2 � y3 = 0} [ {(0, 0)} jestkrzywπ zamkniÍtπ; obliczyÊ pole obszaru ograniczonego przez tÍ krzywπ.Wskazówka: PodstawiÊ y = �tx i spróbowaÊ zastosowaÊ twierdzenie Greena.
14
102. Niech ! 2 ⌦
n�1(Rn \ {0}) bÍdzie dana wzorem
! =
�x21 + · · ·+ x2
n
��n/2 ·⇣x1 dx2 ^ dx3 ^ . . . ^ dx
n
+ (�1)
n�1x2 dx3 ^ dx4 ^ . . . ^ dxn
^ dx1
+ · · ·+ (�1)
(j�1)(n�1)xj
dxj+1 ^ . . . ^ dx
n
^ dx1 ^ . . . ^ dxj�1
+ · · ·+ (�1)
(n�1)2xn
dx1 ^ . . . ^ dxn�1
⌘.
Niech f : Rn \{0} ! R bÍdzie funkcjπ klasy C1. WykazaÊ, øe forma f! jest zamkniÍtawtedy i tylko wtedy, gdy f jest jednorodna stopnia 0 (tzn. f(rx) = f(x) dla wszystkichr > 0 i x 2 Rn \ {0}).
103. Niech ! = (�2y+x2y+x2) dx+(2x�xy2+y2) dy. ZnaleüÊ taki obszar ograniczony
⌦ ⇢ R2 o brzegu kawa≥kami g≥adkim, øeby ca≥kaZ
@⌦
!
by≥a moøliwie najwiÍksza. (Brzeg obszaru ma naturalnπ orientacjÍ).
104. Niech! =
(x� 1) dy � y dx
(x� 1)
2+ y2
� (x+ 1) dy � y dx
(x+ 1)
2+ y2
.
Niech ⌦ bÍdzie dowolnym obszarem ograniczonym z brzegiem klasy C1; za≥óømy, øepunkty (�1, 0) i (1, 0) nie naleøπ do @⌦ WykazaÊ, øe
R@⌦ ! jest (ca≥kowitπ) wielokrot-
noúciπ 2⇡.
105. Niech ! 2 ⌦
1(R3
) we wspó≥rzÍdnych (x, y, z) bÍdzie dana wzorem
! = dz � 2y dx+ 2x dy.
Wprowadümy operatory róøniczkowe X =
@
@x
+ 2y @
@z
oraz Y =
@
@y
� 2x @
@z
, tzn. niech
X' =
@'
@x+ 2y
@'
@z, Y ' =
@'
@y� 2x
@'
@z
dla funkcji ' 2 C1(R3,R).
(a) WykazaÊ, øe f = (f1, f2, f3) : R3 ! R3 spe≥nia warunek f ⇤! = �! wtedy i tylkowtedy, gdy
Xf3 � 2f2 Xf1 + 2f1 Xf2 = 0
Y f3 � 2f2 Y f1 + 2f1 Y f2 = 0
� =
@f3@z
� 2f2@f1@z
+ 2f1@f2@z
.
15
(b) WykazaÊ, øe gdy f ⇤! = �!, to
� = det
✓Xf1 Y f1Xf2 Y f2
◆.
Wskazówka: obliczyÊ d! ^ ! i skorzystaÊ ze wzoru f ⇤d! = df ⇤!.
106. UdowodniÊ, øe forma
! =
x dy � (y � 1) dx
x2+ (y � 1)
2� x dy � (y + 1) dx
x2+ (y + 1)
2.
jest zamkniÍta, nie jest dok≥adna w R2 \ {(0,�1), (0, 1)}, natomiast jest dok≥adna nazbiorze U = R2 \ {(0, t) : t 2 [�1, 1]}.
107. ObliczyÊ ca≥kÍ Z
⌦
x�3/4
4
p1� x1/2
d�2,
gdzie ⌦ jest obszarem ograniczonym krzywπ r = cos
3 �, � 2 [�⇡/2, ⇡/2].Wskazówka: przypomnieÊ sobie wzór na pochodnπ arcusa sinusa.
108. Niech v = (v1, . . . , v4) i w = (w1, . . . , w4) bÍdπ wektorami w R4. Wspó≥rzÍdnepunktu p 2 R4 oznaczamy (x, y, z, u). WykazaÊ, øe przyporzπdkowanie
R4 ⇥ R4 ⇥ R4 3 (p , v , w) 7�! det
0
BB@
v1 v2 v3 v4w1 w2 w3 w4
zu u2 x+ 1 y + x+ x2
zu+ 1 + u z2 + z y � 1 x+ 2
1
CCA 2 R
okreúla pewnπ 2-formÍ róøniczkowπ na R4. ProszÍ obliczyÊ ca≥kÍ z tej formy po zbiorzeM = {(x, y, z, u) : x2
+ y2 = 4x, z2 + u2= 1} (z dowolnie wybranπ orientacjπ).
109. Niech! =
4(x2+ y2 � 1)x dx+ 4(x2
+ y2 � 1)y dy + 2z dz
(x2+ y2 � 1)
2+ z2
.
WykazaÊ, øe forma ! jest zamkniÍta w R3 \ {x2+ y2 = 1, z = 0}. Czy ! jest dok≥adna?
110. Oblicz ca≥kÍ z formy ! = x3 dy ^ dz po po≥ówce torusa, zadanej za pomocπparametryzacji
x = (4 + cos�) cos ✓
y = (4 + cos�) sin ✓
z = sin�,
gdzie ✓ 2 [0, ⇡], zaú � 2 [0, 2⇡].
16
111. Niech � 2 ⌦
2(R3
) we wspó≥rzÍdnych (x, y, z) bÍdzie dana wzorem
� = (x� y2 + z3)(dy ^ dz + dx ^ dz + dx ^ dy).
ObliczyÊ ca≥kÍ z formy � po brzegu kostki Ca
= {(x, y, z) | 0 x, y, z a}.
112. Niech � 2 ⌦
n�1(Rn
),
� =
nX
i=1
�� x
i
�i+1
dx1 ^ . . . ^ dxi�1 ^ dx
i+1 ^ . . . ^ dxn
.
ObliczyÊ ca≥kÍ z formy � po brzegu kostki Ca
= {(x1, . . . , xn
) | 0 xi
a}.
113. W przestrzeni R3 dane sπ punkty A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1),D = (1, 1, 0), E = (1, 1, 1). Rozpatrzmy powierzchniÍ wieloúciennπ M – “rozmaitoúÊz kantami” – utworzonπ przez trójkπty ADE, DBE, BCE i CAE. Dane jest pole wek-torowe
v =
⇣xz,�yz,
xyzpx2
+ y2 + z2
⌘.
ObliczyÊ przep≥yw (strumieÒ) pola wektorowego rot v przez M , ze strony ujemnej –“widocznej” z punktu (
12 ,
12 ,
12) – na dodatniπ.
114. Za≥óømy, øe f : R2 ! R2 jest odwzorowaniem klasy C1 o zwartym noúniku (tzn.f ⌘ 0 poza pewnπ kulπ B(0, R) ⇢ R2). WykazaÊ, øe
Z
R2
detDf d�2 = 0.
Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy liczbÍ 2 zastπpimy wszÍdzie innπ liczbπ natu-ralnπ n?
115. Za≥óømy, øe f : R2 ! R2 jest odwzorowaniem klasy C1 o zwartym noúniku (tzn.f ⌘ 0 poza pewnπ kulπ B(0, R) ⇢ R2). WykazaÊ, øe dla kaødej funkcji ciπg≥ej, ogra-niczonej h : R2 ! R zachodzi nierównoúÊ
Z
R2
h detDf d�2 inf
c2R
⇣sup
x2R2
|h(x)� c|⌘· k detDfk
L
1(R2)
116. Niech ! 2 ⌦
n
(Rn
) bÍdzie n-formπ róøniczkowπ o zwartym noúniku. WykazaÊ,øeRRn ! = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ! = d⌘ dla pewnej (n � 1)-formy ⌘ 2 ⌦
n�1(Rn
),majπcej zwarty noúnik.
17