ELEMENTE DE LOGIC

CALCULUL CU PROPOZIII

Din punct de vedere logic o teorie tiinific este un sistem de propoziii (enunuri, legi,afirmaii) adevrate sau considerate altfel.

Logica nu se ocup cu definirea noiunii de propoziie i nici a adevrului sau falsului,toate acestea fiind considerate noiuni primare (nedefinite).Dac o propoziie p este adevrat vom scrie vp 1, iar dac este fals, vp 0;

numerelor 0 i 1 le vom spune valori de adevr, prima desemnnd falsul, iar cea de a douaadevrul.

Cele mai simple propoziii sunt de forma A este B.De exemplu,Eminescu este autorul poeziei Luceafrul, Balena este mamifer.

Pornind de la asemenea propoziii simple, prin conectri diverse se obin propoziiicompuse.Logica i propune s studieze cum se transmit valorile de adevr la propoziiile

compuse, construite cu ajutorul operatorilor logici.

Principalii operatori logici sunt:

1) negaia, notat cu non sau cu sau cu . (n limbaj uzual NU).

2) disjuncia, notat cu (n limbaj uzual SAU).

3) conjuncia, notat cu (n limbaj uzual I).

4) implicaia, notat cu (n limbaj uzual DAC..., ATUNCI...).

5) echivalena, notat cu (n limbaj uzual DAC I NUMAI DAC).

Dac p i q desemneaz dou propoziii, atunci avem:

vp vq vp q vp q1 1 1 11 0 0 00 1 1 00 0 1 1

i

vp vq vp vp q vp q1 1 0 1 11 0 0 1 00 1 1 1 00 0 1 0 0

Observaie-Exerciiu

1) p q este p q ,2) p q este p q,3) p q este p q q p.

Observaie-Exerciiu

Din tabloul de mai sus rezult urmtoarele:

1) vp q 1 numai dac vp vq.

2) vp q 1 numai dac vp vq.

3) dac vp 0, atunci vp q 1, oricare ar fi propoziia q (se spune c falsulimplic orice).

4) dac vq 1, atunci vp q 1, oricare ar fi propoziia p.

5) pentru a afla valoarea de adevr a implicaiei p q este suficient s examinm doarcazul vp 1.

Definiie. O propoziie compus i adevrat indiferent de ce valori de adevr aupropoziiile care o compun se numete tautologie.

Observaie. Dac propoziia p q este adevrat vom nota p q i vom spune c peste o condiie suficient pentru q sau c q este o condiie necesar pentru p.

Observaie. Dac propoziia p q este adevrat vom nota p q i vom spune cp este o condiie necesar i suficient pentru q (i invers).

Exerciii.

1) S se gseasc valoarea de adevr a urmtoarelor propoziii compuse:

i) Balena este un mamifer i 1 1 2.ii) Balena este un pete i 1 1 2.iii) Numrul i este real sau 1 1 2.iv) Dac temperatura este sub zero grade, atunci apa nghea.

v) Dac apa fierbe la 100 C, atunci dou corpuri ncrcate cu electricitate de semnecontare se atrag.

vi) Dac 1 1 2, atunci balena este un pete.

2) Artai c urmtoarele propoziii sunt tautologii:

i) p q q p, p q q p (comutativitate).

ii) p q r p q r, p q r p q r (asociativitate).

iii) p p r p, p p r p (absorie).

iv) p p p, p p p (idempoten).

v) p q r p q p r, p q r p q p r (distributivitate).

vi) p q p q , p q p q (legile lui De Morgan).

vii) p p (principiul dublei negaii).

3) Artai c urmtoarele propoziii sunt tautologii:

i) p q q r p r (implicaia este tranzitiv).

ii) p q r p r q r.

iii) p p q q (regula modus-ponens).

iv) p q q p .

4) Artai c p q q p nu este tautologie.

5) Fie A i B dou matrici ptratice (numerice) de ordinul doi, iar p i q propoziiile:

p: AB 0i

q: A 0 sau B 0,

unde 0 este matricea nul.Exprimai n limbajul condiie necesar, condiie suficient, condiie necesar i

suficient relaiile existente ntre aceste propoziii.Care este relaia n cazul n care A i B sunt matrici de ordinul 1?

6) S se afle negaia propoziiilor:

i) p q r

ii) p q r.

CALCULUL CU PREDICATE

Printre semnele (simbolurile) ntlnite n propoziiile matematicii se afl constante ivariabile.

Astfel se ntlnesc constante precum un numr, semnul de adunare, etc, toate avnd osemnificaie precis, care rmne neschimbat n decursul desfurrii raionamentelor.

Deosebirea capital dintre constante i variabile const n aceea c n timp ce primeleau o semnificaie prin ele nsele, ultimele nu au aceast semnificaie.

Spre exemplu propoziia 1 2i este un numr real are un coninut clar (este fals) darpropoziia x este un numr real nu are o semnificaie precis, ea capt o astfel desemnificaie numai dup nlocuirea variabilei x.

Definiie. Expresiile de forma px,y, z, . . , care atunci cnd nlocuim variabilelex,y, z, . . cu constante, se transform n propoziii bine determinate, se numesc predicateunare, binare, etc, dup cum avem 1,2, etc, variabile.

Observaie. Operatorii logici studiai permit introducerea unor noi predicate.De exemplu, pentru predicate px i qx putem considera noile predicate

p x,px qx,px qx, etc.

n afara operatorilor logici de mai sus, n matematic, mai intervin i ali operatori,anume cuantificatorul universal, notat , i cuantificatorul existenial, notat .Prin cuantificatorul se trece de la predicatul px la propoziia

x pxcare este fals numai dac exist o constant a astfel ca pa s fie fals.Prin cuantificatorul se trece de la predicatul px la propozi ia

x pxcare este adevrat numai dac exist (cel puin) o constant a astfel ca pa s fieadevrat.

Prin urmare avem tautologiile:x px x p x

ix px x p x

care apar ca o completare a legilor lui De Morgan.

Ele arat c prin negare se schimb n , iar se schimb n .

Observaie. Avem urmtoarea proprietate de comutativitate a cuantificatorilor deacelai tip:

xy px,y yx px,yi

xy px,y yx px,ysunt tautologii.

Observaie. Fie px i qx dou predicate unare. Dac propoziiax px qx

este adevrat, vom notapx qx.

A arta c propoziia de mai sus este fals nseamn a gsi o constant a astfel ca pas fie adevrat, iar qa s fie fals.

Unui astfel de exemplu i se spune contraexemplu la propoziia dat.

Analog vom spune c px este echivalent cu qx i vom scriepx qx,

dac propoziiaxpx qx

este adevrat.

Exerciii.

1) S se arate c oricare ar fi predicatul binar px,y avem:xy px,y yx px,y.

Este adevrat implicaia reciproc?

2) S se arate c px,y qx,y, undepx,y: xy x y x y

iqx,y: x 0i y 0

iar x i y sunt numere reale.

Ce putei spune despre qx,y px,y?

ELEMENTE DE TEORIA MULIMILOR

Conceptul de mulime este unul de baz n matematic.

Toate obiectele matematice se reduc, n ultim instan, la acest concept.

Vom considera c aceast noiune este deja asimilat din anii de liceu.

Nu vom incerca s definim noiunea de mulime sau s prezentmaxiomele teoriei mulimilor.

Studentul interesat poate vedea modul n care materialul pe care-l vom prezenta poate fiaxiomatizat, consultnd urmtoarele lucrri:

P.R. Halmos - Naive Set Theory

N.T. Hamilton, J. Landin - Set Theory

P. Suppes - Axiomatic Set Theory

OPERAII CU MULIMI

x A nseamn c x este un element al lui A; se mai spune c x aparine lui A sau cmulimea A conine elementul x.

x A nseamn c x nu aparine lui A.

Definiie. Fie A i B dou mulimi. Spunem c A este o submulime a lui B dac oriceelement al lui A este i element al lui B.

n acest caz scriem A B.

Dac A B dar exist un element al lui B care nu este element al lui A, spunem c Aeste o submulime proprie a lui B i scriem A B.Definiie. Dou mulimi A i B se numesc egale dac conin aceleai elemente.

n acest caz scriem A B.

Observaie. A B A B i B A.

Definiie. Dac A i B sunt dou mulimi, atunci intersecia lor, notat A B, estemulimea tuturor elementelor care aparin ambelor mulimi.

Definiie. Dac A i B sunt dou mulimi, atunci reuniunea lor, notat A B, estemulimea tuturor elementelor care aparin cel puin uneia dintre cele dou mulimi.

Observaie

A B x x Ai x B

A B x x A sau x BObservaie. Am presupus, n mod tacit, c intersecia i reuniunea a dou mulimi este

tot o mulime. Aceasta implic, printre altele, existena unei mulimi care nu are nici unelement (deoarece, dac A i B nu au elemente comune, atunci intersecia lor nu are niciun element).

Definiie. Mulimea care nu are nici un element se numete mulimea vid i se va notacu .

Definiie. Dou mulimi A i B care nu au elemente comune (i.e. A B ) se numescdisjuncte.

Teorem. Fie mulimile A, B i C.Atunci avem:

i) proprietatea de idempoten:A A A A A.

ii) proprietatea de comutativitate:A B B A

iA B B A.

iii) proprietatea de asociativitate:A B C A B C

iA B C A B C.

iv) proprietatea de distributivitate:A B C A B A C

iA B C A B A C.

Observaie. Prin inducie matematic se definescA1 A2 . . .An

iA1 A2 . . .An.

Mai general, fiind dat o familie de mulimi Aj, cu j J, putem considera

jJ Aj

mulimea tuturor elementelor care aparin cel puin unei mulimi Aj i

jJ Aj

mulimea tuturor elementelor care aparin tuturor mulimilor Aj.

Definiie. Dac A i B sunt dou mulimi, atunci complementara lui B n raport cu Aeste mulimea tuturor elementelor lui A care nu aparin lui B i se va nota cu A B.

ObservaieA B x x Ai x B.

Observaie. Uneori mulimea A este subneleas, nefiind necesar s fie menionatexplicit. n acest caz A B se va numi complementara lui B.

Teorem. Pentru dou mulimi A i B avem:A B A B

iA A B A B.

LEGILE LUI DE MORGAN (1806-1871, profesor la University College, Londra).Pentru dou mulimi A i B avem:

A B C A B A Ci

A B C A B A C.

Definiie. Dac A i B sunt dou mulimi, atunci produsul cartezian, notat A B, al luiA cu B, este mulimea tuturor perechilor ordonate a,b, cu a A i b B.

Observaie.a,b def a,a,b

ia,b a ,b a a i b b .

FUNCII

Pentru matematicienii de acum un secol i jumtate, cuvntul funcie nsemna, n modobinuit, o formul, ca de exemplu

fx x2 3x 5,care asocia oricrui numr real un alt numr real.

Faptul c anumite formule, ca de exemplufx x 5 ,

nu asociau numere reale oricrui numr real, era binecunoscut dar nu era considerat ca unmotiv destul de solid pentru a extinde noiunea de funcie.

ntrebarea dac asociereahx |x|

este o funcie, a nscut controverse la acel timp, deoarece, n definitiv, definiia lui |x|este dat pe buci, anume

|x| x, dac x 0x, dac x 0 .

Pe msur ce matematica s-a dezvoltat, a devenit din ce n ce mai clar c cerina ca ofuncie s fie dat printr-o formul este foarte restrictiv i c o definiie mai general estenecesar.

Iat o definiie provizorie a funciei: O funcie f de la o mulime A la o mulime B esteo lege de coresponden care asociaz ORICRUI element x din A un UNIC element fxdin B.

S observm c aceast definiie are un punct slab, anume ambiguitatea expresiei legede coresponden.

Am dori s eliminm acest inconvenient prin definirea funciei numai n termeni deteoria mulimilor. Aceast abordare are dezavantajul de a fi oarecum artificial, dar ctiguln ceea ce privete rigoarea este mult mai important comparativ cu orice altfel dedezavantaje.

Definiie. Fie A i B dou mulimi. O funcie de la A la B este tripletul format cu acestedou mulimi i o submulime f a lui A B cu proprietile urmtoare:

i) pentru orice a A exist b B astfel ca a,b f.

ii) dac pentru a A i b,b B avem a,b f i a,b f, atunci b b .

Observaie. A se numete domeniul lui f, iar B se numete codomeniul lui f.

Observaie. Tripletul A,B, f se mai noteaz f : A B.

Observaie. Faptul c a,b f se mai noteaz fa b. Se mai spune c b estevaloarea lui f n a sau c b este imaginea lui a prin f.

Definiie. Fie f o funcie cu domeniul A i codomeniul B iar g o funcie cu domeniul B

i codomeniul C, unde B B . Definim o nou funcie, notat g f care are domeniul A icodomeniul C, dat de

g f a,c A C exist b Bastfel caa,b f i b,c g.

Observaie. Avem decig f : A C

i

g fx gfx,pentru orice x A.

Definiie. O funcie f : A B se numete bijectiv dac:

i) f este injectiv, i.e. pentru orice a,a A i b B astfel ca a,b f i a ,b favem a a ,

i

ii) f este surjectiv, i.e. pentru orice b B exist a A astfel ca a,b f.

Observaie. feste injectiv

fa fa a a

a a fa fa

i feste surjectiv

pentru orice b B exist a A astfel ca

fa b

i feste bijectiv

pentru orice b B exist un unic a A astfel ca

fa b.Definiie. Fie f : A B o funcie bijectiv. Atunci inversa lui f, notat cu f1, este

funcia cu domeniul B, codomeniul A if1 b,a B A a,b f.

Observaie. Avem f1 : B A if1b a fa b.

Definiie. Fie f : A B i E A. Atunci imaginea lui E prin funcia f estesubmulimea lui B dat de

fE fx x E.

Propoziie. Fie f : A B i E,F A. Atunci avem:1) E F fE fF.2) fE F fE fF.

3) fE F fE fF.4) fE F fE.

Observaie. n 2), incluziunea este, n general, strict.

Definiie. Fie f : A B i H B. Atunci imaginea invers (sau preimaginea) lui H,prin funcia f, este submulimea lui A dat de

f1H x x A i fx H.

Observaie. Nu am cerut n definiia de mai sus ca f s fie bijectiv. Totui, dac f estebijecie, atunci f1H din definiia de mai sus, este imaginea lui H prin inversa lui f, anumeprin f1.

Propoziie. Fie f : A B i G,H B. Atunci avem:

1) G H f1G f1H.

2) f1G H f1G f1H.

3) f1G H f1G f1H.

4) f1G H f1G f1H.

MULIMI FINITE I INFINITE

Scopul acestei seciuni este de a introduce noiunile de mulime finit, numrabil iinfinit. Studentul interesat ntr-un studiu aprofundat al acestor noiuni poate consulta W.Sierpinski - Cardinal and Ordinal Numbers.

Vom presupune cunoscut mulimea numerelor naturale N 0,1,2,3, . . ..

Vom nota cu N mulimea 1,2,3, . . ..N este bine ordonat, i.e. orice submulime nevid a sa are un cel mai mic element.

Acest fapt este echivalent cu principiul induciei matematice.

Definiie. Un segment iniial, determinat de k N, al lui N este o submulime a lui Nde forma 0,1,2, . . . ,k.Definiie. O mulime A se numete finit dac este vid sau dac exist o bijecie ntre

ea i un segment iniial al lui N. n caz contrar mulimea se numete infinit.

Definiie. O mulime A se numete numrabil dac exist o bijecie ntre ea i N.

Definiie. O mulime A se numete cel mult numrabil dac este finit saunumrabil.

Observaie. Mulimile 2,4,6, . . ., 1,3,5, . . . i Z sunt numrabile.

Propoziie. Orice submulime a unei mulimi finite este finit. Orice submulime a uneimulimi numrabile este cel mult numrabil.

Teorem. Reuniunea unei familii finite de mulimi finite este finit. Reuniunea uneifamilii cel mult numrabile de mulimi cel mult numrabile este cel mult numrabil.

Observaie. Q este cel mult numrabil deoareceQ

nN An,

undeA0 0

i

An 1n , 1n , 2n , 2n , 3n , 3n , . . ..

Observaie. R nu este cel mult numrabil.

Vom prezenta o demonstraie dat de ctre Georg Cantor

Este suficient s artm c 0,1 nu este cel mult numrabil (de ce?).

Presupunem cunoscut faptul c orice x 0,1 are o reprezentare de formax 0,a1a2a3. . . . . ,

unde an 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 pentru orice n N.

Atenie, anumite numere reale au dou astfel de reprezentri.

De exemplu110 0,100000. . . 0,099999. . . . . .

0,1 nu poate fi finit deoarece n 0,1 se afl o infinitate de numere raionale.S presupunem, prin reducere la absurd, c 0,1 este numrabil i s considerm o

niruire a elementelor sale:x1 0,a1a2a3. . . . . ,x2 0,b1b2b3. . . . . ,x3 0,c1c2c3. . . . . ,

etc.Alegem y1 o cifr diferit de 0,9 i a1, y2 o cifr diferit de 0,9 i b2, y3 o cifr diferit

de 0,9 i c3, etc.

Fie y 0,y1y2y3. . . . . 0,1.y nu este nici unul dintre numerele cu dou reprezentri zecimale deoarece yn 0,9

pentru orice n N.De asemenea, y nu este nici unul dintre numerele xn, deoarece a n-a cifr din

reprezentrile zecimale ale lui y i xn difer.

Prin urmare y 0,1, ceea ce constituie o contradicie.Vom admite, cu statutul de axiom, urmtoarea afirmaie: Orice mulime infinit

conine o submulime numrabil.

EXERCIII

1) Dac A i B sunt mulimi numrabile, atunci A B este numrabil.2) Mulimea tuturor polinoamelor cu coeficieni raionali este numrabil.

3) Mulimea tuturor numerelor algebrice (i.e. a rdcinilor de polinoame cu coeficieniraionali) este numrabil.

4) Pentru a,b,c,d,h R avem c urmtoarele perechi de mulimi sunt n bijecie:0,ai 0,1,

a,b i a h,b h,0,1i 1,,

a,bi c,d,1,1 i R,a,b i a,b.

5) Mulimea numerelor iraionale nu este numrabil.6) Mulimea numerelor transcendente (i.e. cele care nu sunt radcini de polinoame cu

coeficieni raionali) nu este numrabil.

SISTEMUL NUMERELOR REALE

n acest capitol vom discuta proprietile numerelor reale.

Dei este posibil s se construiasc R pornind de la N sau de la Q (vezi, spre exemplu,Constantin Meghea, Bazele Analizei Matematice

oriIon Ichim, Capitole de Analiz Matematic)

noi nu vom proceda astfel.

n schimb, vom prezenta o list de proprieti ale numerelor reale i vom arta cum pot fideduse alte proprieti din acestea.

Vom introduce pentru nceput proprietile algebrice ale numerelor reale, apoi pe cele deordine, iar n final proprietatea de completitudine a corpului numerelor reale.

CORPURI

Definiie. O operaie binar pe o mulime A este o funcie cu domeniul A A icodomeniul A.

Observaie. n loc de a,b vom folosi notaia a b sau a b.

Definiie. O mulime A se numete corp dac exist dou operaii binare pe A, notate cu i , numite adunarea i nmulirea, astfel ca:

A 1.a b b a,

pentru orice a,b A.

A 2.a b c a b c,

pentru orice a,b,c A.

A 3 Exist un (unic) element 0A astfel ca0A a a 0A a,

pentru orice a A.

A 4. Pentru orice a A exist un (unic) element a A astfel caa a a a 0A.

I 1.a b b a,

pentru orice a,b A.

I 2.a b c a b c,

pentru orice a,b,c A.

I 3. Exist un (unic) element 1A 0A astfel ca1A a a 1A a,

pentru orice a A.

I 4. Pentru orice a A 0A exist un (unic) element a1 A astfel caa1 a a a1 1A.

D.a b c a b a c

i

a b c a c b c,pentru orice a,b,c A.

Observaie. De obicei, 0A se numete zeroul lui A, iar 1A se numete identitatea lui A.Propoziie-Exerciiu. Fie A un corp. Atunci avem:

1) Pentru b A 0A i t,w At b b t 0A

i

w b b w 1A.

2) Pentru a,b A, ecuaiaa x b

are unica soluie

x b a.

3) Pentru a A 0A i b A, ecuaiaa x b

are unica soluie

x a1 b.

4)a 0A 0A,

pentru orice a A.

5) a a 1A

i

a b a bpentru orice a,b A.

6) a a

pentru orice a A i1A 1A 1A.

7)a11 a

pentru orice a A 0A.

8) Pentru a,b Aa b 0A a 0A sau b 0A.

9)a b a b

i

a b a bpentru orice a,b A.

Observaie. Vom nota1A 1A 2,

1A 1A 1A 3,etc.

Observaie. Este posibil s avem1A 1A 2 0A

sau

1A 1A 1A 3 0A.

Totui, pentru corpurile folosite n acest curs, i n analiza matematic n general, avemn not 1A 1A ... 1A not n1A 0A,

pentru orice n N , unde suma are n termeni, adic vom lucra numai cu corpuri decaracteristic zero.

De fapt, vom lucra, n principiu, cu corpuri ordonate, i, aa cum vom vedea, astfel decorpuri au caracteristic zero.

Observaie. Orice corp A de caracteristic zero conine o submulime care este n bijeciecu N (facem identificarea n 1A 1A ... 1A, unde suma conine n termeni).

Mai mult, privim chiar pe Z i pe Q ca fiind scufundate n orice corp de caracteristiczero, prin identificrile

mn m1A n1A1

i

mn m 1A n1A1.

Aadar, pentru un corp de caracteristic zero are sens noiunea de element raional al su.

Toate elementele corpului care nu sunt raionale se numesc iraionale.

CORPURI ORDONATE

Definiie. O submulime nevid P a unui corp A se numete clas pozitiv dac:

i)a,b P a b P .

ii)a,b P a b P .

iii) pentru un a A, avem exact una dintre situaiile:a P

sau

a Psau

a 0A.

Observaie. N a a P se numete clasa negativ (relativ la P).

Observaie. EvidentA P 0 N .

Exemplu. Q t,, ., undeQ t PQ P,Q Q X,Q 0,

este un corp, iarP PQ coeficientul termenului dominat din PQeste pozitiv

este o clas pozitiv.

Definiie. Dac P este o clas pozitiv a unui corp A, atunci vom spune c A este ordonat(de P).

Un element a A se numete strict pozitiv, i scriem a 0, dac a P .

Un element a A se numete pozitiv, i scriem a 0, dac a P sau a 0.

Dac a b P atunci scriem a b, iar dac a b P sau a b 0 scriem a b.

Propoziie-Exerciiu. Fie A un corp ordonat i a,b,c,d A.

Atunci avem:

1) a b i b c a c.

2) exact una dintre situaiile urmtoare este valabil: a b sau b a sau a b.

3) a b i b c a c.

4) a 0A a a not a2 0A.

5) 1A 0A.

6) n n 1A 0A, pentru orice n N , adic orice corp ordonat este de caracteristiczero.

7) a b a c b c.

8) a b i c d a c b d.

9) a b i c 0A a c b c; n particular, a 0A i c 0A a c 0A.

10) a b i c 0A a c b c; n particular, a 0A i c 0A a c 0A.

11) a 0A a1 0A.

12) a 0A a1 0A.

13) a b a 21a b not ab2 b; n particular, alegnd b 0A, deducem cntr-un corp ordonat nu exist un cel mai mic element strict pozitiv.

14) a b 0A a 0A i b 0A sau a 0A i b 0A.

VALOAREA ABSOLUT

Definiie. Pentru un corp ordonat A, cu o clas pozitiv P , definim funcia|.| : A P 0A, dat prin

|a| a, dac a 0Aa, dac a 0A.

Propoziie-Exerciiu. n condiiile de mai sus, avem, pentru a,b A:

1) |a| 0A a 0A.

2) |a| |a|.

3) |a b| |a| |b|.

4) pentru orice c A, c 0A, avem|a| c c a c.

5) |a| a |a|.

6) ||a| |b|| |a _ b| |a| |b|.

CORPURI ORDONATE ARHIMEDEENE

Definiie. Fie A un corp ordonat i a,b A astfel ca a b.

Atunci

x A a x b not a,bse numete intervalul deschis determinat de a i b,

x A a x b not a,bse numete intervalul nchis determinat de a i b,

iar

x A a x b not a,bi

x A a x b not a,bse numesc intervale semi-nchise (semi-deschise) determinate de a i b.

Experiena pe care o avei din liceu v ndeamn, probabil, s credei c pentru oriceelement al unui corp ordonat A exist un numr natural mai mare dect el.

Altfel spus, orice element pozitiv dintr-un corp ordonat este coninut ntr-un interval deforma n,n 1, cu n N .

Acest fenom nu este valabil pentru un corp ordonat arbitrar.

De fapt, exist corpuri ordonate care au elemente pozitive mai mari dect orice numrnatural.

De exemplu, n Q t, pentru un polinom cu degP 1 i coeficientul termenului dominantpozitiv, avem n P, pentru orice n N ).

Definiie. Un corp ordonat A se numete corp Arhimedeean dac pentru orice x A existun numr natural n astfel ca

x n.

Arhimede (287-212 .C.) a fost unul dintre fondatorii metodei tiinifice; a fost numit celmai luminat cap al antichitii.

Arhimede a studiat, la Alexandria, cu succesorii lui Euclid. A fost prieten cu regele Hieronal doilea al Siracusei. Arhimede a inventat multe dispozitive folosite n lupte, n special nrzboaiele de aprare duse de Siracusa mpotriva romanilor condui de Marcellus. El aperfectat o metod de integrare, care i-a permis s calculeze arii, volume i suprafee. Aobinut o aproximare foarte bun a lui =. A descoperit celebrul principiu care descriecomportamentul unui corp scufundat ntr-un lichid. A fost omort de ctre un soldat roman ntimpul capturrii Siracusei de ctre romani n al doilea rzboi punic.

Teorem. Fie A un corp Arhimedeean.

Atunci pentru orice y, z A avem:

a) dac y 0A i z 0A, atunci exist un numr natural n astfel caz n y.

b) dac z 0A, atunci exist un numr natural n astfel ca0A 1n

not n1 z,adic ntr-un corp Arhimedeean exist numere raionale orict de mici.

c) dac y 0A, atunci exist un numr natural n astfel can 1 y n.

Demonstraie.

a) Deoarecex zy1 not zy 0A,

exist un numr natural n astfel can zy ,

de undeny z.

b) Deoarecez1 not 1z 0A,

exist un numr natural n astfel can 1z ,

de undez 1n .

c) Exist un numr natural m astfel cam y.

FieM r N y r.

M .Fie n cel mai mic element al lui M .Atunci

n 1 y n.

Observaie. Q este un corp Arhimedeean, deci nu este neaprat adevrat c ntr-un corpArhimedeean exist elemente iraionale.

Totui, vom arta c dac un corp Arhimedian are cel puin un element iraional, atunci elare elemente iraionale orict de mici.

Teorem. Fie A un corp Arhimedeean care conine un element iraional pozitiv . Dac zeste un element pozitiv al lui A, atunci exist un numr natural m astfel ca elementul pozitiviraional m satisface inegalitatea

0A m z.

Demonstraie. Deoarece 0A z , exist un numr natural m astfel caz m,

de undem z.

n continuare vom arta c n orice corp Arhimedeean A, elementele raionale sunt dense,n sensul c ntre orice dou elemente din A, exist un element raional al lui A.

Teorem. Dac y i z sunt elemente ale unui corp Arhimedeean A i y z, atunci exist unelement raional r al lui A, astfel ca y r z.

Demonstraie.Putem presupune, fr pierderea generalitii, c

0A y z (de ce?).Exist m N astfel ca 0A 1m y

i 0A 1m z y (de ce?).

Fie M k N k 1m y ,

iar n cel mai mic element al su.

Aadar n 1m y nm .

Artm acum c nm z,

de unde deducem y nm z,

i alegem r nm .

S presupunem, prin reducere la absurd, c z nm .

Avem atunci n 1m y z nm .

Drept urmare, avem z y 1m ,

(de ce?), ceea ce contrazice relaia 1m z y.

Teorem. Dac un corp Arhimedeean A conine un element iraional i dac pentruy, z A avem y z, atunci exist un element raional r al lui A astfel ca elementul iraionalr satisface relaia

y r z,i.e. ntr-un corp Arhimedian cu cel puin un element iraional, elementele iraionale suntdense, n sensul c ntre orice dou elemente ale sale, exist un element iraional al su.

INTERVALE NCHISE INCLUSE

Urmtorul rezultat furnizeaz baza teoretic pentru dezvoltarea n baza 2 a priifracionare a unui element dintr-un corp Arhimedeean.

Un rezultat asemntor este valabil i pentru alt baz.

Teorem. Fie x un element al unui corp Arhimedeean A. Atunci, pentru orice numrnatural n, exist un interval nchis

In an,an 12n

care conine pe x, unde elementele an sunt raionale iIn1 In,

pentru orice n N .Demonstraie.Fr pierderea generalitii, putem presupune c x 0A (de ce?).

Atunci exist un numr natural n0 astfel cax I0 not n0,n0 1.

Alegema0 n0.

Considerm intervalele nchise a0,a0 12 i a0 12 ,a0 1, obinute prin njumtirealui I0.

Dac x a0,a0 12 , alegem a1 a0.

Dac x a0 12 ,a0 1, alegem a1 a0 12 .

Aadar x I1 not a1,a1 12 .

n continuare njumtind intervalul I1, obinem dou intervale, anume a1,a1 122 ia1 122 ,a1 12 .

Dac x a1,a1 122 , alegem a2 a1.

Dac x a1 122 ,a1 12 , alegem a2 a1 122 .

Aadar x I2 not a2,a2 122 .

Se continu acest procedeu.

Observaie. Vom spune c un ir de intervale nchise In, n N , formeaz un ir deintervale nchise incluse dac

I1 I2 I3 ... In In1 ... .

Observaie. Cu aceast terminologie, rezultatul de mai sus se enun astfel: Orice elemental unui corp Arhimedeean este punctul comun al unui ir de intervale nchise incluse din acelcorp.

Observaie. O consecin important a rezultatului anterior este faptul c oricruielement al unui corp Arhimedeean i corespunde un element de pe o dreapt. ntr-adevr,alegnd pe dreapta respectiv o origine i o unitate de msur, se pot marca punctelecorespunztoare numerelor ntregi. De ndat ce un element al corpului a fost ncadrat ntredou numere ntregi ale lui A, se njumtete n mod repetat intervalul respectiv i astfel seasociaz un unic element al dreptei oricrui element al corpului. Nu este adevrat c oriceelement al dreptei este corespondentul unui element din corp (vezi cazul lui Q ).

Observaie. Rezultatul de mai sus nu afirm c dac InnN este ir de intervale nchiseincluse nevide, atunci exist un element al corpului care se afl n fiecare interval.

Spre exemplu, nu pentru orice ir de intervale nchise incluse nevide din Q exist unelement din Q care se afl n fiecare interval.

Diferena esenial dintre sistemul numerelor reale R i orice alt corp Arhimedeean estec pentru orice ir de intervale nchise incluse nevide din R , exist un element din R care seafl n fiecare interval.

SISTEMUL NUMERELOR REALE

R este un corp Arhimedeean cu o proprietate suplimentar.

Definiie. Un corp Arhimedeean R se numete complet dac pentru orice ir de intervalenchise incluse nevide, exist un element al corpului care se afl n fiecare interval.

Vom presupune c exist un corp Arhimedeean complet iar el se va numi sistemulnumerelor reale i va fi notat cu R .

EXISTENA LUI R

ntr-adevr, exist un corp Arhimedeean complet.

Menionm aici dou construcii ale lui R .Construcia lui Dedekind (metoda tieturilor lui Dedekind) care se gsete prezentat n:W. Rudin, Principles of Mathematical AnalysisE. Landau, Foundations of AnalysisC.Meghea, Bazele Analizei Matematicei

Construcia lui Cauchy care se gsete prezentat n:I. Colojoar, Analiz MatematicN.T. Hamilton i J. Landin, Set Theory.

Richard Dededekind s-a nscut n 1831 la Braunschweig, Germania. A frecventat coalaMartino-Catharineum din Brunswick unde, pentru nceput acord o atenie sporit fizicii ichimiei. Ulterior atenia sa se ndreapt ctre matematic. n 1850 se nscrie la Universitateadin Gttingen, avnd o solid pregtire matematic dobndit n timpul frecventrii, ncepndcu anul 1848, a colegiului Carolinum. La Gttingen i are ca profesori pe Gauss, Dirichlet i peWeber. n 1852 obine de la aceast universitate un doctorat, sub direcia lui Gauss. n 1855devine titularul catedrei rmase libere prin moartea lui Gauss. Din 1858 se mut la Politehnicadin Zrich. Aici, prednd pentru prima dat un curs de calcul diferenial i integral, este condusla construcia numerelor reale prin tieturi.Din 1860 devine profesor la Politehnica dinBrunswick, de unde se i pensioneaz n 1894. El a introdus noiunea de ideal, noiune careeste de o importan capital n algebr. Pe lng conceptele introduse i rezultatele obinute,Dedekind a marcat matematica prin abilitatea sa de a-i exprima extrem de clar ideile, faptcare a introdus un nou stil n matematic, stil care a avut o influen major asupra generaiilorurmtoare de matematicieni. A fost membru al Academiei din Gttingen (din 1862), a celei dinBerlin (din 1880), al celei din Roma, precum i al Academiei de tiine din Paris (din 1900). Amurit n 1916.

Dedekind rmne n istoria matematicii prin cel puin dou contribuii eseniale, anume prindefinirea numerelor iraionale cu ajutorul tieturilor i prin introducerea noiunii de ideal.

UNICITATEA LUI R

n ce msur un corp Arhimedian complet este unic?

n cadrul teoriei naive a mulimilor se poate arta c dac R1 i R2 sunt corpuri ordonatecomplete, atunci exist o bijecie : R1 R2 astfel ca

i) pentru orice element raional r R1, r este un element raional din R2.

ii) a b a bi

a b a b

pentru orice a,b R1.

iii) pentru orice a R1, a 0R1 , a 0R2 .

Pentru demonstraie putei consulta I. Colojoar, Analiz Matematic.

SUPREMUMUL I INFIMUMUL UNEI SUBMULIMI A LUI R

Definiie. Fie S R .

Un element u R se numete majorant al lui S dacs u,

pentru orice s S.

Similar, un element u R se numete minorant al lui S dacs u,

pentru orice s S.

Observaie. Anumite submulimi ale lui R nu au majorant.Dac o submulime ale lui R are un majorant, atunci ea are o infinitate de majorani.

Definiie. Dac o submulime ale lui R are un majorant, atunci ea se numete mrginitsuperior (sau majorat) iar dac are un minorant, atunci ea se numete mrginit inferior(sau minorat).

Dac o submulime ale lui R este mrginit superior i inferior, ea se numete mrginit.n caz contrar, ea se numete nemrginit.

Definiie. Fie S o submulime nevid majorat ale lui R .

Un majorant al lui S se numete supremumul lui S (sau marginea superioar a lui S) daceste mai mic dect orice alt majorant al lui S.

Similar, fie S o submulime nevid minorat ale lui R .

Un minorant al lui S se numete infimumul lui S (sau marginea inferioar a lui S) daceste mai mare dect orice alt minorant al lui S.

Observaie. Altfel spus, u R este supremumul lui S dac:

i) s u pentru orice s S.

ii) dac pentru v R avem s v

pentru orice s S, atunci u v.

Observaie. Definiia este coerent, n sensul c exist un unic u R care satisface i) i ii).

Observaie. Supremumul lui S se noteaz supS iar infimumul lui S se noteaz infS.

Observaie. n legtur cu apartenena lui supS la S nu se poate afirma nimic.

Lem. u R este supremumul unei submulimi nevide S a lui R dac i numai dacsatisface urmtoarele dou proprieti:

i) nu exist s S astfel ca u s.

ii) dac v R i v u, atunci exist s S astfel ca v s.

Demonstraie.

i) implic c u este un majorant al lui S. Presupunnd, prin reducere la absurd, c u supS,

exist v un majorant al lui S astfel ca v u, dar din ii) rezult c v nu este majorant al lui S.

Fie u supS.Atunci i) este valabil cci u este un majorant al lui S,Dac v u, atunci v nu este majorant al lui S, de unde ii).

Stabilim n continuare un rezultat profund i fundamental referitor la R .

Teorem. Orice submulime nevid S a lui R , care este mrginit superior, are supremum.

Demonstraie.Fie a R astfel nct a nu este majorant al lui S i fie b R astfel nct b este majorant al

lui S.

Fie I1 a,b.

Dac ab2 este majorant al lui S, alegem

I2 a, a b2 ,

iar dac ab2 nu este majorant al lui S, alegem

I2 a b2 ,b.

n ambele cazuri vom nota captul din stnga al lui I2 cu a2 iar pe cel din dreapta cu b2.

Dac a2b22 este majorant al lui S, alegem

I3 a2, a2 b22 ,

iar dac a2b22 nu este majorant al lui S, alegem

I3 a2 b22 ,b2.

n ambele cazuri vom nota captul din stnga al lui I3 cu a3 iar pe cel din dreapta cu b3.

Continund acest procedeu obinem un ir de intervale nchise incluse astfel ca lungimealui In este ba2n1 , captul din stnga al lui In nu este majorant al lui S, iar captul din dreapta allui In este majorant al lui S.

Atunci, exist un element x din R astfel cax In,

pentru orice n N .

Vom arta, folosind lema precedent, c x supS.Verificm i).

Presupunem, prin reducere la absurd, c exist s S astfel cax s.

Atunci s x 0A, deci exist un numr natural n astfel ca

lungimea lui In b a2n1 bn an s x. (de ce?).

Cum x In, avem an x bn,

deci bn s an x 0A,

de unde bn s,

ceea ce contrazice faptul c bn este un majorant al lui S.

Verificm ii).

Fie v R , v x.Atunci x v 0A, deci exist un numr natural m astfel ca

lungimea lui Im b a2n1 bm am x v.

Cum x Im, avem am x bm,

deci v am x bm 0A,

de unde v am.

Dar am nu este majorant al lui S, deci exist s S astfel ca

am s .

Prin urmare v s , cu s S.

Corolar. Orice submulime nevid S a lui R , care este mrginit inferior, are infimum.

Observaie. Sistemul numerelor reale poate fi de asemenea caracterizat n modul urmtor:un corp ordonat n care este valabil teorema de mai sus.

Exerciii

1) S se arate c, n contextul de la rezultatul referitor la unicitatea lui R , avem: dac A1este o submulime mrginit superior a lui R1, atunci A1 este o submulime mrginitsuperior a lui R2 i

supA1 supA1.

2) S se arate c dac A x Q 0 x i x2 2, atunci A nu are supremum (n Q ).

3) Fie A o submulime mrginit a lui R .

Atunci

i) a supApentru orice x A avem x aipentru orice 0 exist x A astfel ca a x .

ii) b infApentru orice x A avem x bipentru orice 0 exist x A astfel ca b x .

4) Fie A i B dou submulimi mrginite a lui R .Notm

A a a A,

A B a b a A, b Bi

A B a b a A, b B.

Atunci:

i) A este mrginit i supA infA supA infA.

ii) A B este mrginit iinfA infB infA B supA B supA supB.

iii) dac a 0A i b 0A, pentru orice a A i b B, atunci A B este mrginit iinfA infB infA B supA B supA supB.

Observaie. Dac A i B nu sunt mulimi care au toate elementele pozitive, egalitateainfA infB infA B nu mai rmne valabil aa cum arat exemplul:

A 1n n N iB 1 1n n N

unde infA 0, infB 2 i infA B 2.

iv) dac A B atunciinfB infA supA supB,

i.e. marginile unei submulimi se situeaz ntre marginile mulimii.

v) A B este mrginit iinfinfA, infB infA B supA B supsupA, supB.

MULIMEA TRIADIC A LUI CANTOR

Vom prezenta o submulime a lui 0,1 care este de un interes deosebit i care este utilizatfrecvent n construirea unor exemple i contraexemple n analiza matematic.

Vom nota aceast mulime cu C.Un mod de a descrie pe C este urmtorul: C este muimea numerelor din 0,1 care au o

dezvoltare n baza 3 care folosete numai cifrele 0 i 2.

O descriere alternativ este urmtoarea: considerm

C1 0, 13 23 ,1,

C2 0, 19 29 ,

13

23 ,

79

89 ,1,

iar n general dac Cn a fost construit i const n reuniunea a 2n intervale nchise deforma k3n , k13n , obinem pe Cn1 prin eliminarea intervalelor deschise de forma k3n 13n1 , k3n 23n1 .

Atunci C nN Cn.

Observaie.

i) C este n bijecie cu 0,1.

ii) C nu conine nici un interval (nevid).

iii) C nu are lungime pozitiv.

FUNCIILE EXPONENIAL, PUTERE i LOGARITMIC

Definiie. Pentru x R i n N definim xn, inductiv, astfel:x0 1

i

xn1 xn x.

Propoziie. Pentru orice x R i n N , exist un unic a R , astfel caan x.

a se numete rdcina aritmetic de ordin n a lui x i vom folosi notaia

a not x 1n n x .

Definiie. Pentru x R i r Q , r pq , cu p N i q N , elementulxp 1q x 1q p

nu depinde de fracia pq care reprezint r.

El se numete puterea de exponent r a lui x i se va nota cu xr.

Dac r Q i r 0, definim xr def 1xr 1x r.

Propoziie. Pentru orice x R , x 1 (respectiv x 1) exist o unic funcie f : R R astfel ca:

i) f este strict cresctoare (respectiv strict descresctoare).

ii) fa b fa fb,

pentru orice a,b R .

iii) f1 x.

Observaie. Dac a Q , atunci fa xa, iar mai general, pentru a R , avemfa supxr r Q i r a infxr r Q i r a,

pentru x 1, respectivfa infxr r Q i r a supxr r Q i r a,

pentru x 1.

Observaie. Funcia de mai sus este surjectiv.

Observaie. Funcia de mai sus se numete funcia exponenial de baz x i se noteaz cuexpx iar inversa ei se numete funcia logaritmic de baz x i se noteaz cu logx.

Observaie. Pentru a R funcia p : R R , dat depx xa,

pentru orice x R se numete funcia putere de exponent a.

Observaie. Se pot demonstra, pe baza definiiilor de mai sus, toate proprietilecunoscute ale acestor funcii. n aceast direcie se poate consulta cursul AnalizMatematic, de Nicu Boboc.

ELEMENTE DE TOPOLOGIE PE R n

Dac X1, X2,..., Xn sunt mulimi nevide, atunci produsul lor cartezian, X1 X2 ... Xnconst n toate perechile ordonate x1,x2, ...,xn, cu xi Xi, pentru orice i 1,2, ...n.

n cazul n care toate mulimile Xi sunt identice, adic X1 X2 ... Xn X, vom notaprodusul cartezian

X1 X2 ... Xn not Xn.

Vom lucra n cele ce urmeaz cu R n.

Observaie. Aa cum uneori ne referim la R 1 ca fiind dreapta real, la fel vom numiuneori R 2 planul real sau R 3 spaiul real.

Observaie. Pentru simplificarea scrierii, vom notax x1,x2, ...,xn,

iar x1,x2, ...,xn se vor numi prima component, a doua component, ...., a n-a component alui x.x va fi numit vector sau punct din R n.

Elementul

0 0,0, ..., 0se numete originea sau vectorul zero al lui R n.

Vom introduce dou operaii algebrice pe R n.

Definiie. Dac c R i x x1,x2, ...,xn R n, atunci definim c x (notat pe scurt cucx), numit produsul numrului real c cu vectorul x, astfel

c x cx1,cx2, ...,cxn R n.

Dac y y1,y2, ...,yn R n, atunci definim x y, numit suma vectorilor x i y, prinx y x1 y1,x2 y2, ...,xn yn R n.

Teorem. Fie x,y, z R n i b,c R . Atunci avem:

A 1. x y y x.

A 2. x y z x y z.

A 3. 0 x x 0.

A 4. x 1x 1x x 0.

I 1 1x x.

I 2. bcx bcx.

D cx y cx cyi

b cx bx cx.Observaie. Prin urmare, R n, cu cele dou operaii descrise mai sus, este spaiu vectorial

peste R .

Observaie. Vom folosi urmtoarele notaii1x not x

i

x y not x y.

Definiie. Pentru x x1,x2, ...,xn R n i y y1,y2, ...,yn R n definim x y (notat pescurt xy), numit produsul scalar al vectorilor x i y, prin

x y x1y1 x2y2 ... xnyni norma lui x, notat x, prin

x x x x12 x22 ... xn2 .

Propoziie. Pentru x,y, z R n i c R avem:

i) x x 0.ii) x x 0 x 0.

iii) x y y x.

iv) x y z x y x zi

x y z x z y z.

v) cx y cx y x cy.

Vom prezenta acum un rezultat care a fost demonstrat de ctre Cauchy.Deoarece Buniakovski i Schwarz au dat generalizri utile ale acestui rezultat, el se

numete inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz.

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz. Dac x,y R n, atuncix y xy.

Mai mult, dac x i y nu sunt zero, atunci avem egalitate dac i numai dac exist unnumr real strict pozitiv c astfel ca

x cy.Demonstraie. Dac a,b R i z ax by, atunci

z z 0,de unde, folosind proprietile precedente, avem

0 a2x x 2abx y b2y y.Alegem a y i b x.Prin urmare avem 0 y2x2 2yxx y x2y2

2xyxy x y,

de unde x y xy.

Dac x cy, cu c 0, atunci x cy, decix y cy y cy y cy2 cyy xy.

Reciproc, dac x y xy, atunci pentru a y i b x elementul z ax byare proprietatea c

z z 0,de unde z 0, adic yx xy.

Prin urmare x cy unde c xy (cci y 0).

Corolar. Dac x,y R n, atunci |x y| xy.

Mai mult, dac x i y nu sunt zero, atunci avem egalitate dac i numai dac exist unnumr real c astfel ca

x cy.

Observaie. Dac x y 1, atunci |x y| 1, iar n acest caz x y poate fiintepretat geometric ca fiind cosinusul unghiului dintre x i y. n R 2 sau R 3, unde se poatedefini unghiul dintre x i y, se arat c x y xycos; aceast formul este folositadesea pentru a defini produsul scalar x y.

Vom prezenta acum principalele proprieti ale normei (sau lungimii) unui vector.

Propoziie-Proprietile Normei-Exerciiu. Fie x,y R n i c R . Atunci:

i) x 0.

ii) x 0 x 0.

iii) cx |c|x.

iv) |x y| x y x y.

Observaie. Numrul real x poate fi gndit ca fiind lungimea lui x sau ca fiind distanade la 0 la x.

Mai general, x y poate fi interpretat ca distana de la x la y.

Astfel

i) spune c distana de la x la y este un numr real pozitiv care este 0 dac i numai dacx y,

iii), pentru c 1, arat c x y y x, adic distana de la x la y este egal cudistana de la y la x,

iar iv) implic inegalitatea x y x z z y

care este cunoscut sub numele de inegalitatea triunghiului.

Definiie. Fie x R n i r R , r 0.

Atunci mulimea y R n x y r

se numete bila deschis cu centrul x i raza r (din R n),

mulimea y R n x y r

se numete bila nchis cu centrul x i raza r (din R n),

iar mulimea y R n x y r

se numete sfera cu centrul x i raza r (din R n).

Propoziie (Identitatea Paralelogramului). Dac x,y R n, atuncix y2 x y2 2x2 y2.

Observaie. Numele de Identitatea Paralelogramului este justificat de urmtoareainterpretare geometric: n paralelogramul cu vrfurile 0,x,x y i y, suma ptratelorlungimilor diagonalelor este egal cu suma ptratelor lungimilor laturilor.

Prezentm acum un rezultat care arat relaiile dintre lungimea unui vector i valorileabsolute ale componentelor sale.

Propoziie. Pentru x x1,x2, ...,xn R n, avem|xi | x n sup|x1 |, |x2 |, ..., |xn |.

Observaie. Inegalitatea de mai sus arat c dac lungimea lui x este mic, atuncilungimile componentelor lui x sunt mici i reciproc.

Exerciii.

1) Artai c funcia f : R n R dat defx x1 |x1 | |x2 | ... |xn |,

pentru orice x x1,x2, ...,xn R n, satisface proprietile normei dar nu satisface identitateaparalelogramului.

2) Artai c funcia f : R n R dat defx x sup|x1 |, |x2 |, ..., |xn |,

pentru orice x x1,x2, ...,xn R n, satisface proprietile normei dar nu satisface identitateaparalelogramului.

3) Descriei mulimile S1 x R 2 x1 1

S2 x R 2 x 1

S x R 2 x 1.4) Artai c exist a i b numere reale strict pozitive astfel ca

ax1 x bx1,pentru orice x R n.

5) Artai c exist a i b numere reale strict pozitive astfel caax1 x bx1,

pentru orice x R n.

6) Dac x,y R n este adevrat c |x y| x1y1i |x y| xy?

7) Dac x,y R n este adevrat c x y x y

dac i numai dac exist c 0 astfel ca x cy sau y cx?

8) Dac x,y R n este adevrat c x y x y

dac i numai dac exist c 0 astfel ca x cy sau y cx?

9) Dac x,y R n atunci x y2 x2 y2

dac i numai dac x y 0.

n acest caz spunem c x i y sunt ortogonali sau perpendiculari.

NOIUNI ELEMENTARE DE TOPOLOGIE

Multe dintre rezultatele importante ale analizei se bazeaz pe noiuni i rezultate detopologie. Vom introduce conceptele de baz ale topologiei i vom prezenta cteva dintreproprietile topologice cruciale ale lui R n.

Definiie. O submulime D a lui R n se numete deschis n R n (sau simplu deschis) dacpentru orice punct x din D exist un numr real strict pozitiv r astfel ca bila deschis cucentrul x i raza r s fie coninut n D.

Observaie. Altfel spus, mulimea D din R n este deschis dac orice punct al su estecentrul unei bile deschise coninut n D.

Exemple-Exerciii.

1) R n este deschis.

2) 0,1 este deschis n R , dar 0,1 nu este deschis n R .

3) x,y R 2 x2 y2 1 i x,y R 2 0 x2 y2 1 sunt deschise n R 2, darx,y R 2 x2 y2 1 nu este deschis n R 2.

4) x,y R 2 x 0,1 i y 0 nu este deschis n R 2 ( a se compara cu 2)).

5) x,y R 2 x 0,1 este deschis n R 2.

6) x,y R 2 x 0,1 nu este deschis n R 2.

7) Orice bil deschis din R n este deschis n R n.

Propoziie-Proprietile Mulimilor Deschise-Exerciiu.

i) i R n sunt deschise (n R n).

ii) Intersecia oricror dou mulimi deschise din R n este o mulime deschis din R n.

iii) Reuniunea unei familii arbitrare de mulimi deschise din R n este o mulime deschisdin R n.

Definiie. O submulime F a lui R n se numete nchis n R n (sau simplu, nchis) dacR n F este deschis n R n.

Observaie. Prin inducie matematic se poate arta c intersecia unei familii finite demulimi deschise din R n este o mulime deschis din R n. Intersecia unei familii infinite demulimi deschise din R n nu este, n general, o mulime deschis din R n, aa cum araturmtorul exemplu: Dn 1n , 1 1n R , pentru orice n N .

Exemple-Exerciii.

1) R n este nchis.

2) 0,1 i x R 0x sunt nchise n R .

3) x,y R 2 x2 y2 1 este nchis n R 2.

4) x,y R 2 y 0 este nchis n R 2.

5) x,y, z R 3 x y z este nchis n R 3.

6) Orice bil nchis din R n este nchis n R n.

Propoziie-Proprietile Mulimilor nchise-Exerciiu.

i) i R n sunt nchise (n R n).

ii) Reuniunea oricror dou mulimi nchise din R neste o mulime nchis din R n.

iii) Intersecia unei familii arbitrare de mulimi nchise din R n este o mulime nchis dinR n.

Observaie. Dei n vorbirea curenta, ca de exemplu atunci cind te referi la o u sau ofereastr, cuvintele deschis i nchis sunt antonime, nu acelai lucru este valabil n contextulde mai sus.

Spre exemplu R n i sunt mulimi deschise i nchise (n R n), iar 0,1 nu este nicideschis nici nchis (n R ).

Vom introduce acum o alt noiune topologic care ne va fi util ulterior i care permitecaracterizarea mulimilor deschise i nchise n alt mod.

Definiie. Dac x R n, atunci orice mulime care conine o mulime deschis (n R n) ceconine x se numete vecintate (n R n) a lui x.

Definiie. Un element x R n se numete punct interior al mulimii A dac A este ovecintate (n R n) a lui x.

Definiie. Un element x R n se numete punct de acumulare al mulimii A dac oricevecintate (n R n) a lui x conine cel puin un punct al lui A diferit de x.

Exerciii

1) O mulime V R n este vecintate a lui x R n dac i numai dac exist o bildeschis din R n, cu centrul n x, coninut n V.

2) Un element x R n este punct interior al mulimii A dac i numai dac exist o bildeschis din R n, cu centrul n x, coninut n A.

3) Un element x R n este punct de acumulare al mulimii A dac i numai dac pentruorice n N exist xn A astfel ca 0 |x xn | 1n .

4) Orice punct din 0,1 este punct de acumulare al lui 0,1. Orice punct din 0,1 estepunct interior al lui 0,1, dar 0 i 1 nu sunt puncte interiore ale lui 0,1.

5) Orice punct al lui 0,1 este punct de acumulare i punct interior al lui 0,1. Totui, 0 i1 sunt de asemenea puncte de acumulare ale lui 0,1, deci un punct de acumulare al uneimulimi nu aparine neaprat mulimii respective.

6) S se determine punctele de acumulare i cele interioare pentru A 0,1 Q .

7) O submulime finit a lui R n nu are puncte de acumulare i nici puncte interioare.

Propoziie-Exerciiu. Pentru o submulime A a lui R n, urmtoarele afirmaii suntechivalente:

i) A este deschis (n R n).

ii) Orice punct al lui A este un punct interior al lui A.

iii) A este vecintate (n R n) pentru orice punct al su.

Propoziie. O submulime F a lui R n este nchis (n R n) dac i numai dac F conineorice punct de acumulare al su.

Demonstraie. Fie x un punct de acumulare al lui F.S presupunem, prin reducere la absurd, c x F, i.e. x R n F, care este mulime

deschis, deci R n F este o vecintate a lui x.

Cum x este un punct de acumulare al lui F, R n F conine cel puin un punct din F.Aceast contradicie ncheie demonstraia acestei implicaii.

Vom arta c R n F este deschis.

Fie y R n F. Atunci y nu este un punct de acumulare al lui F, deci exist o vecintate Va lui y care nu conine puncte din F, deci V R n F, adic R n F este o vecintate a lui y.

Prin urmare, cum y a fost ales arbitrar n R n F, deducem c R n F este deschis.

Reamintim c dac a,b R , cu a b, intervalul deschis din R , notat cu a,b, estemulimea deschis

a,b x R a x b.

Similar, intervalul nchis din R , notat cu a,b, este mulimea nchisa,b x R a x b.

Produsul cartezian a dou intervale se numete dreptunghi, iar produsul cartezian a treiintervale se numete paralelipiped. Pentru simplitate, vom folosi termenul de interval (din R n),indiferent de n.

Definiie. Un interval deschis J din R n este produsul a n intervale deschise din R .

Observaie. Prin urmare, exist a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn R , a1 b1, a2 b2, ...,an bn, astfel ca

J x 1,2, ...,n R n ai i bi, pentru orice i 1,2, ...n.

Similar, avem:

Definiie. Un interval nchis I din R n este produsul a n intervale nchise din R .

Observaie. Prin urmare, exist a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn R , a1 b1, a2 b2, ...,an bn, astfel ca

I x 1,2, ...,n R n ai i bi, pentru orice i 1,2, ...n.

Definiie. O submulime a lui R n este mrginit dac exist un interval n care esteconinut.

Exerciii

1) Un interval deschis din R n este mulime deschis.

2) Un interval nchis din R n este mulime nchis.

3) O submulime a lui R n este mrginit dac i numai dac exist o bil n care esteconinut.

Aa cum am vzut, proprietatea crucial a sistemului numerelor reale este faptul c pentruorice ir de intervale nevide nchise incluse din R , exist un element, din R , care se afl nfiecare interval.

Vom arta c aceast proprietate este valabil i pentru R n.

Teorem (a intervalelor nevide nchise incluse). Fie Imm1 un ir de intervale nevidenchise incluse din R n, deci, astfel ca

I1 I2 ... Im Im1 ....Atunci exist un element din R n care se afl n fiecare interval.

Demonstraie.

Pentru orice m N , exist

a1m, a2m, ..., anm, b1m, b2m, ..., bnm R

i

a1m b1m, a2m b2m, ..., anm bnm,

astfel ca

Im x 1,2, ...,n R n aim i bim, pentru orice i 1,2, ...n.

Atunci, aim,bimm1 este ir de intervale nevide nchise incluse din R , pentru oricei 1,2, ...n, deci exist i R , astfel ca

i aim,bim,pentru orice m N .

Drept urmare 1,2, ...,n Im,

pentru orice m N .Urmtorul rezultat este extrem de important pentru ceea ce urmeaz a fi prezentat n

continuare.

Teorema Bolzano -Weierstrass. Orice submulime mrginit i infinit a lui R n are unpunct de acumulare.

Demonstraie.

Fie B o submulime mrginit i infinit a lui R n.

S considerm I1 un interval nchis astfel caB I1.

Prin njumtirea laturilor lui I1 se obin 2n intervale nchise incluse n I1.

Deoarece B este infinit, cel puin unul dintre cele 2n intervale nchise incluse n I1 vaconine o infinitate de elemente din B (de ce?).

Fie I2 un astfel de interval nchis inclus n I1.

Se repet procedeul de mai sus i se obine un ir Ikk1 de intervale nevide nchise inclusedin R n.

Conform rezultatului precedent exist R n astfel ca Ik,

pentru orice k N .

Vom arta c este punct de acumulare al lui B, ceea ce va ncheia demonstraia.

S observm pentru nceput c

0 lIk def maxb1k a1k ,..., bnk ank 12k1 lI1,

unde Ik a1k ,b1k ...ank ,bnk,

pentru orice k N .

Fie V o vecintate arbitrar a lui .

Atunci exist r R , r 0, astfel caz R n astfel ca z r z V.

Alegem k, suficient de mare, astfel nct s avemIk V.

Alegerea unui astfel de k este posibil deoarece pentru i w din Ik avem

w n lIk n2k1 lI1,

de unde, folosind faptul c R este corp Arhimedeean, exist k, suficient de mare, astfelnct s avem

n2k1 lI1 r.

Pentru un astfel de k avem Ik V.

Deoarece Ik conine o infinitate de elemente din B, deducem c V conine cel puin unelement al lui B diferit de .

Prin urmare este punct de acumulare al lui B.Exerciii

1) S se gseasc o submulime a lui R 2 care nu este nici deschis nici nchis.

2) Orice submulime deschis a lui R n este reuniunea unei familii numrabile de muliminchise.

3) Orice submulime nchis a lui R n este intersecia unei familii numrabile de mulimideschise.

4) Pentru o submulime A a lui R n, fie A intersecia tuturor submulimilor nchise a lui R ncare conin pe A.

A se numete nchiderea lui A i este cea mai mic (n sensul incluziunii) mulime nchiscare conine pe A.

S se arate c:

i) A este o mulime nchis.

ii) A A.

iii) A A.

iv) A B A B.

v) Este adevrat c A B A B ?

5) Pentru o submulime A a lui R n fieA reuniunea tuturor submulimilor deschise a lui R n

care sunt coninute n A.A se numete interiorul lui A i este cea mai mare (n sensul incluziunii) mulime deschis

care este coninut n A.

S se arate c:

i)A este o mulime deschis.

ii) A A.

iii)A

A .

iv) A B

A B .v) R n R n.

vi) Exist o submulime A a lui R n astfel caA i A R n ?

6) S se arate c dac A i B sunt mulimi deschise din R , atunci A B este mulimedeschis din R 2.

7) Fie A i B submulimi ale lui R . Atunci A B este o mulime nchis din R 2 dac inumai dac A i B sunt mulimi nchise din R .

8) Dac A este o submulime a lui R n, atunci exist o submulime numrabil C a lui Aastfel c dac x A i R , 0, atunci exist un element z C astfel ca x z .Deci, orice element al lui A este fie n C, fie un punct de acumulare al lui C.

9) Dac A este o submulime a lui R n, atunci x R n este un punct de acumulare al lui Adac i numai dac orice vecintate a lui x conine o infinitate de puncte din A.

10) O submulime finit a lui R n nu are puncte de acumulare. Exist submuliminemrginite ale lui R n care nu au puncte de acumulare.

11) Dac A este o submulime a lui R n, atunci x R n se numete punct frontier al lui Adac orice vecintate a lui x conine (cel puin) un punct din A i (cel puin) un punct dinR n A. Artai c mulimea A este deschis dac i numai dac nu conine nici unul dintrepunctele sale frontier. Artai c mulimea A este nchis dac i numai dac conine toatepunctele sale frontier.

MULIMI CONEXE

Definiie. O submulime D a lui R n se numete neconex dac exist dou mulimideschise A i B astfel ca A D i B D sunt nevide, disjuncte i reuniunea lor este D.

Definiie. O submulime C a lui R n se numete conex dac nu este neconex.

Exemple-Exerciii

1) N este neconex n R .

2) Mulimea { 1n n N este neconex n R .

3) Q 0, este neconex n R .

Teorem. Mulimea I 0,1 este conex n R .

Demonstraie. S presupunem, prin reducere la absurd, c exist dou mulimi deschise Ai B astfel ca A I i B I sunt nevide, disjuncte i reuniunea lor este I.

S presupunem c 1 B.

Fie c supA I A B.

Dac c A, atunci c 0,1.Deoarece A este deschis i l conine pe c, atunci exist puncte din A I mai mari dect c,

ceea ce contrazice definiia lui c.

Dac c B, atunci c 0,1 (de ce?).Deoarece B este deschis i l conine pe c, atunci exist c1 c astfel ca intervalul c1, 1

este coninut n B I (de ce?), ceea ce contrazice definiia lui c.

Prin urmare, I este o mulime conex.

Observaie. Similar se arat c mulimea 0,1 este conex n R .

Teorem. Mulimea R n este conex (n R n).

Demonstraie. S presupunem, prin reducere la absurd, c exist dou mulimi deschise Ai B astfel ca A R n i B R n sunt nevide, disjuncte i reuniunea lor este R n.

Fie x A i y B.

Atunci A1 t R x ty x Ai

B1 t R x ty x Bsunt dou mulimi deschise (din R ) ( de ce?), astfel nct A1 0,1 i B1 0,1 sunt nevide,disjuncte iar reuniunea lor este 0,1.

Prin urmare 0,1 nu este conex (n R , contradicie care ncheie demonstraia.

Corolar. Singurele submulimi ale lui R n care sunt deschise i nchise sunt i R n.Demonstraie.

Fie A o submulime a lui R n care este deschis i nchis.

Atunci B R n A este de asemenea deschis i nchis.

Dac A nu este sau R n, atunci A i B sunt dou mulimi deschise, nevide, disjuncte ireuniunea lor este R n, ceea ce contrazice teorema de mai sus.

Aadar, A este sau R n.

Exerciiu. O submulime deschis A a lui R n este conex dac i numai dac nu existdou submulimi deschise, nevide, disjuncte ale lui R n a cror reuniune s fie mulimea A.

Este util,uneori, s avem un alt criteriu pentru a decide dac o submulime deschis a luiR n este conex.

n acest scop avem nevoie de urmtoarea definiie.

Definiie. O linie poligonal care unete punctele x i y, din R n, este o mulime P pentrucare exist segmentele L1, L2, ..., Ln, din R n, astfel nct L1 are extremitile x i z1, L2 areextremitile z1 i z2, ..., Ln are extremitile zn1 i y, iar P L1 L2 ... Ln.

Teorem. Fie G o mulime deschis din R n. Atunci G este conex dac i numai dacorice dou puncte din G pot fi unite printr-o linie poligonal inclus n G.

Demonstraie.

S presupunem c G nu este conex.

Aadar, exist A i B dou mulimi deschise astfel nct A G i B G sunt nevide,disjuncte i reuniunea lor este G.

Fie x A G i y B G.

Conform ipotezei, exist segmentele L1, L2, ..., Ln, din G, astfel nct L1 are extremitile xi z1, L2 are extremitile z1 i z2, ..., Ln are extremitile zn1 i y.

Fie k cel mai mic numr natural astfel nct extremitatea zk1 a lui Lk se afl n A G iar zkse afl n B G ( de ce exist un astfel de k ?).

Atunci mulimile A1 t R zk1 tzk zk1 A Gi

B1 t R zk1 tzk zk1 B G

au proprietatea c sunt mulimi deschise iar A1 0,1 i B1 0,1 sunt nevide, disjuncte ireuniunea lor este 0,1.Prin urmare, am obinut o contradicie, anume aceea c 0,1 nu este mulime conex.

Fie x G.

Fie

G1 y G exist segmentele L1, L2, ..., Ln, din G, astfel nct L1 are extremitile x iz1, L2 are extremitile z1 i z2, ..., Ln are extremitile zn1 i y

iar

G2 y G nu exist segmente L1, L2, ..., Ln, din G, astfel nct L1 are extremitile xi z1, L2 are extremitile z1 i z2, ..., Ln are extremitile zn1 i y .

Evident G1 G2 .Cum x G1, deducem c G1 este nevid.

Vom arta c G1 este mulime deschis n R n.

Fie y G1 G.

Deoarece G este mulime deschis, exist r R , r 0, astfel ca w y r w G.

Dar, folosind definiia lui G1, exist segmentele L1, L2, ..., Ln, din G, astfel nct L1 areextremitile x i z1, L2 are extremitile z1 i z2, ..., Ln are extremitile zn1 i y.

Pentru un w R n, astfel ca w y r, va rezulta c exist segmentele L1, L2, ..., Ln iy,w, din G, astfel nct L1 are extremitile x i z1, L2 are extremitile z1 i z2, ..., Ln areextremitile zn1 i y, y,w are extremitile y i w, deci w G1.

Prin urmare G1 este mulime deschis n R n.

Similar se arat c G2 este mulime deschis n R n (exerciiu).

Atunci G2 este vid (cci altfel se contrazice faptul c G este conex), ceea ce a ncheiatdemonstraia acestei implicaii.

MULIMI COMPACTE

Teorema Bolzano-Weierstrass este strns legat de noiunea de mulime compact.

Definiie. O submulime K a lui R n se numete compact dac pentru oriceD

D R n A astfel ca K

A D, exist J A, J finit, astfel ca K

J D, i.e.

pentru orice acoperire cu mulimi deschise, din R n, a lui K, exist o subacoperire finit a sa.

Exemple-Exerciii1) Orice submulime finit a lui R n este compact.

2) 0, nu este compact ( n R ).3) 0,1 nu este compact ( n R ).4) 0,1 este compact ( n R ).Nu este o sarcin uoar s se arate, folosind numai definiia, c o mulime este compact.Vom prezenta o teorem care caracterizeaz mulimile compacte din R n.

Teorema Heine-Borel. O submulime K a lui R n este compact dac i numai dac estenchis i mrginit.

Demonstraie.S artm c K este nchis.

Fie x R n K.Pentru orice m N s considerm mulimile deschise

Gm y R n y x 1m .

AtuncimN Gm R n x, deci K

mN Gm.

Cum K este compact, exist n0 N astfel caK G1 G2 ... Gn0 Gn0 (de ce?).

Atunci z R n z x 1n0 R n K,

ceea ce arat, avnd n vedere c x a fost ales arbitrar, c n R n K este deschis.

S artm c K este mrginit.

Fie mulimile deschise Hm x R n x m, m N .

Atunci K R n mN Hm.

Cum K este compact, exist n0 N astfel caK H1 H2 ... Hn0 Hn0 ,

ceea ce arat c K este mrginit.

Fie D

D A astfel ca

K A D.

Deoarece K este mrginit, exist un interval nchis I1, din R n, astfel caK I1.

Spre exemplu, putem alegeI1 1,2, ...,n |i | r pentru orice i 1,2, ...,n,

pentru un r suficient de mare.

S presupunem c K nu este coninut n nici o reuniune finit de elemente din mulimeaD

D A.

Atunci, cel puin unul dintre cele 2n intervale nchise obinute prin njumtirea laturilorlui I1 conine puncte din K i intersecia lui K cu acest interval nu este coninut n nici oreuniune finit de elemente din mulimea D

D A ( de ce?).

Fie I2 un astfel de interval.

Continund acest procedeu obinem un ir IkkN de intervale nevide nchise incluse astfelnct, pentru orice n N , mulimea nevid K In nu este coninut n nici o reuniune finitde elemente din mulimea D

D A.

Fie y kN Ik.

Atunci y este un punct de acumulare al lui K (de ce?).

Cum K este nchis, y K, deci exist 0 A astfel ca y D0 .

Prin urmare, exist 0 astfel ca

w y w D0 .

ntruct lungimea laturilor lui Ik este r2k2 , avem c

w Ik w y r n2k1 ,

deci dac k este ales astfel ca r n2k1 ,

atunci toate punctele lui Ik se gsesc n D0 , ceea ce contrazice faptul c Ik K nu esteconinut n nici o reuniune finit de elemente din mulimea D

D A.

Vom prezenta n continuare un rezultat datorat lui Cantor care ntrete proprietatea decompletitudine de mai sus, aici fiind considerate mulimi nchise mrginite n loc de intervale.

Demonstraie.

Conform teoremei lui Heine-Borel, F1 este o mulime compact.

Fie, pentru orice k N , mulimile deschiseGk R n Fk.

S presupunem, prin reducere la absurd, c

kN Fk .

Atunci F1 R n kN Gk

i cum F1 este o mulime compact, exist G1, G2, ..., Gp astfel ca

F1 k1,2,...,p

Gk Gp,

deci

Fp F1 Fp ,

de unde contradicia Fp .

Prin urmare, demonstraia este ncheiat.

Teorema lui Cantor. Fie F1 o submulime a lui R n, nchis, nevid i mrginit iarF1 F2 ... Fn Fn1

un ir de mulimi nevide i nchise.Atunci exist un punct din R n care aparine tuturor mulimilor Fn.

Teorema de acoperire a lui Lebesgue. Fie DA o acoperire cu mulimi deschise dinR n a unei submulimi compacte K a lui R n. Atunci exist un numr real strict pozitiv astfelca pentru orice x,y K, cu x y , exist 0 A astfel ca x,y D0 .

Demonstraie.

Pentru orice punct u a lui K, exist u A astfel ca u Du .

Fie u 0 astfel ca v u 2u v Du .

Atunci SuuK, unde Su v R n v u u,

este o acoperire a lui K cu mulimi deschise.

Prin urmare, cum K este compact, exist u1, u2, ...., up K, astfel caK Su1 Su2 ... Sup .

Alegem minu1 ,u2 , ...,up 0.

Dac x,y K, cu x y , atunci exist j 1,2, ...,p, astfel cax Suj Duj ,

decix uj uj .

Atunci y uj y x x uj uj 2uj ,

i drept urmare y Duj .

Prin urmare x,y Duj .

Exerciii

1) S se arate, fr a folosi teorema Heine-Borel, c dac K este o submulime compact alui R n iar F K este o mulime nchis, atunci F este compact (n R n).

2) S se arate c dac K este o submulime compact a lui R , atunci K este o submulimecompact a lui R 2.

3) Dac K este o mulime compact din R n iar x un punct arbitrar din R n, atunci mulimeaKx x y y K este de asemenea compact.

4) Intersecia a dou mulimi deschise este compact dac este vid. Este posibil caintersecia unei familii infinite de mulimi deschise s fie o mulime nevid compact?

Teorem. Fie F o submulime nchis din R n i x R n F. Atunci exist cel puin unpunct y F astfel ca

z x y x,pentru orice z F.

Demonstraie. Deoarece F este mulime nchis i x R n F, atuncid infz x z F 0

(de ce?).

Fie, pentru orice k N , mulimile nchiseFk z F z x d 1k .

F1 este mrginit i F1 F2 ... Fn Fn1 ...

iar Fk este nevid, pentru orice k N ( de ce?).

Conform teoremei lui Cantor,kN Fk .

Fie y kN Fk. Atunci x y d (de ce?).

Exerciiu. Este y unic?

Teorema lui Baire. Fie HkkN o familie numrabil de submulimi nchise din R n astfelnct

kN Hk conine o mulime nevid deschis. Atunci cel puin una dintre mulimile Hk

conine o mulime nevid deschis.

Demonstraie.

Fie G0 o mulime nevid deschis inclus nkN Hk.

S presupunem, prin reducere la absurd, c pentru orice k N , nu exist nici o mulimenevid deschis inclus n Hk.

Dac x1 G0 H1 (de ce exist un astfel de x1?), atunci exist r1 0, astfel ca

G1not x R n x x1 r1 F1 not x R n x x1 r1 G0

iF1 H1 ( de ce?).

La fel, dac x2 G1 H2, atunci exist r2 0, astfel ca

G2not x R n x x1 r2 F2

not x R n x x2 r2 G1i

F2 H2 .Continund acest procedeu, obinem, pentru orice k N , xk Gk1 Hk i rk 0, astfel ca

Gk Fk x R n x xk rk Gk1i

Fk Hk .Aplicnd teorema lui Cantor familiei FkkN , gsim un element w astfel ca

w kN Fk.

Deoarece, pentru orice k N , Fk Hk ,w G0

kN Hk.

Pe de alt parte, pentru orice k N , Fk G0, deci w G0.Aceast contradicie ncheie demonstraia, artnd c cel puin una dintre mulimile Hk

conine o mulime nevid deschis.

ncheiem aceast seciune cu dou aplicaii ale teoremei lui Baire.

Corolar. Spaiul R 2 nu poate fi prezentat ca reuniunea unei familii numrabile de drepte.

Demonstraie.Presupunem, prin reducere la absurd, c exist familia Lnn1 de drepte (care sunt mulimi

nchise) astfel caR 2

nN Ln.

Deoarece R 2 este o mulime nevid i deschis, rezult, n conformitate cu teorema luiBaire, c exist n0 N astfel ca Ln0 s conin o mulime nevid i deschis, ceea ce nu esteadevrat ( de ce?).

Q este o reuniune numrabil de mulimi nchise astfel nct nici una dintre aceste muliminu conine o mulime deschis nevid. Vom arta c R Q nu are aceast proprietate.

Corolar. Nu exist nici o familie cel mult numrabil de mulimi nchise astfel nct niciuna dintre aceste mulimi nu conine o mulime deschis nevid i astfel ca R Q s fiereuniunea mulimilor din aceast familie.

Demonstraie. Presupunnd contrariul i avnd n vedere observaia precedent, ar rezultac exist o familie cel mult numrabil de mulimi nchise astfel nct nici una dintre acestemulimi nu conine o mulime deschis nevid i astfel ca R s fie reuniunea mulimilor dinaceast familie. Acest fapt contrazice teorema lui Baire.

Exerciii1) Dac submulimea A a lui R n nu conine o mulime nevid deschis (din R n), este

posibil ca A s conin o mulime nevid deschis (din R n)?2) Dac submulimea B a lui R n conine o mulime nevid nchis (din R n), trebuie ca i

B

s conin o mulime nevid nchis (din R n)?3) Nu exist o familie cel mult numrabil de mulimi deschise a cror intersecie s fie Q .4) O submulimea A a lui R n se numete dens n R n dac orice punct din R n este punct de

acumulare pentru A. Artai c A este dens n R n dac i numai dac A R n.5) Dai un exemplu de o mulime deschis i de una nchis care este dens n R n. Sunt

unice?6) Dac DnnN este o familie de mulimi deschise dense n R n, atunci

nN Dn este dens

n R n.

CONVERGEN

ELEMENTE INTRODUCTIVE DESPRE IRURI

Definiie. Un ir din R n este o funcie cu domeniul N (sau N k k,k 1,k 2, ....) icodomeniul o submulime a lui R n.

Observaie. Dac x : N R n este un ir, valoarea lui x n n se va nota xn, n loc de xn,iar funcia x : N R n se va nota xnnN .

Definiie. Dac xnnN i ynnN sunt dou iruri din R n, atunci definim suma lor cafiind irul, din R n, xn ynnN , diferena lor ca fiind irul, din R n, xn ynnN , iar produsullor scalar ca fiind irul, din R , xn ynnN .

Definiie. Dac xnnN este un ir din R iar ynnN un ir din R n, atunci definimprodusul lor ca fiind irul, din R n, xnynnN .

Definiie. Dac xnnN este un ir din R n iar ynnN un ir din R astfel ca, pentru oricen N , s avem yn 0, atunci definim ctul lor ca fiind irul, din R n, xnyn nN .

Definiie. Dac xnnN este un ir din R n, un element x R n se numete o limit a luixnnN dac, pentru orice vecintate V a lui x, exist nV N , astfel ca pentru oricen N ,n nV s avem

xn V.

Vom spune c irul xnnN converge ctre x.

Dac un ir are o limit vom spune c el este convergent iar n caz contrar l vom numidivergent.

Teorem - Exerciiu. Dac xnnN este un ir din R n, un element x R n este o limita asa dac i numai dac pentru orice 0 exist n N , astfel ca pentru orice n N ,n n s avem

xn x .

Teorem - Unicitatea Limitei- Exerciiu. Un ir din R n nu poate avea mai mult de olimit.

Observaie. Dac xnnN este un ir din R n care are limita x R n, vom scrie

nlim xn x

sau

limxn xsau

xn x.

Propoziie - Exerciiu. Un ir convergent din R n este mrginit.

Urmtorul rezultat arat c studiul convergenei unui ir din R n se reduce la studiulconvergenei unor iruri din R .

Teorem. Un ir xmmN din R n, unde pentru orice m N , avemxm 1m,2m, ...,nm,

converge ctre un element y 1,2, ...,n R n dac i numai dac, pentru oricei 1,2, ...,n, irul immN din R converge ctre i.

Demonstraie.

Pentru orice 0 exist m N , astfel ca pentru orice m N ,m m s avemxm y .

Dar, pentru orice i 1,2, ...,n,|im i | xm y,

fapt care arat c, pentru orice i 1,2, ...,n, irul immN , din R , converge ctre i.

Pentru orice 0 exist m N , astfel ca pentru orice m N ,m m s avem|im i | n ,

pentru orice i 1,2, ...,n (de ce?).

Prin urmare, pentru orice m N ,m m, avem

xm y2 n

i1 |im i |2 2,

adic irul xmmN , din R nconverge ctre y.

Definiie. Dac xnnN este un ir din R n iar k1 k2 ... kn ... un ir strictcresctor de numere naturale, atunci irul din R n, dat de xknkN , se numete un subir alsu.

Observaie. Fie k : N N strict cresctoare. Atunci k definete un subir al luix xnnN prin x k i orice subir al lui xnnN poate fi definit n acest mod.

Propoziie - Exerciiu. Dac irul xnnN , din R n, converge ctre x R n, atunci oricesubir al su converge ctre x.

Corolar. Dac irul xnnN , din R n, converge ctre x R n iar m N atunci irulxmnnN converge ctre x.

Urmtorul rezultat arat ce nseamn c un ir nu converge ctre x.

Propoziie - Exerciiu. Dat fiind irul xnnN , din R n, i x R n, urmtoarele afirmaiisunt echivalente:

i) xnnN nu converge ctre x.

ii) exist o vecintate V a lui x astfel ca pentru orice n N , exist mn N , mn n,astfel nct xmn V.

iii) exist o vecintate V a lui x i un subir al lui xnnN astfel nct nici unul dintreelementele subirului nu se afl n V.

Propoziie - Exerciiu.

a) Fie irul xnnN i ynnN , din R n, convergente ctre x, respectiv y. Atunci irurilexn ynnN , xn ynnN i xn ynnN converg ctre x y, x y i respectiv x y.

b) Fie irul xnnN , din R n, convergent ctre x R n i ynnN , din R , convergent ctrey R . Atunci irul xnynnN , din R n, convergent ctre xy R n.

c) Fie irul xnnN , din R n, convergent ctre x R n i ynnN , din R , convergent ctrey R . Atunci irul 1yn xnnN , din R n, convergent ctre 1y x R n.

Propoziie. Fie irul xnnN , din R n, convergent ctre x R n. Dac exist c R n ir R , c 0, astfel ca

xn c r,pentru orice n N , atunci

x c r.

Demonstraie.

Mulimea V y R n y c r este deschis.

Dac x V, atunci V este o vecintate a lui x, deci exist nV N , astfel ca pentru oricen N , n nV s avem xn V, ceea ce contrazice ipoteza.

Prin urmare x V, adic x c r.

Exerciii

1) Fie irurile xnnN i ynnN , din R , convergente, astfel ca, pentru orice n N savem xn yn. Atunci

nlim xn

nlim yn.

2) Fie irul xnnN , din R , astfel nct s existenlim xn1xn 1. Atunci

nlim xn 0.

3) Fie irul xnnN , din R , astfel nct s existenlim xn1xn 1. Atunci xnnN diverge.

4) Fie irul xnnN , din R , astfel nct s existenlim xn 1n 1. Atunci

nlim xn 0.

5) Fie irul xnnN , din R , astfel nct s existenlim xn 1n 1. Atunci xnnN diverge.

6) Dac a,b R i 0 b a s se calculezenlim an bn 1n .

7) Fie irul xnnN , din R i R astfel canlim |xn | 1 i, pentru orice m,n N ,

avem |xn xn | . S se arate c xnnN este convergent i s se precizeze posibilele valoriale limitei lui xnnN .

8) S se arate c irul sinnnN nu este convergent.

CRITERII DE CONVERGEN PENTRU IRURI

Pentru a arta c un ir este convergent, cu metodele prezentate pn acum, trebuie scunoatem sau s intuim care este limita irului.

De multe ori, acest lucru nu este uor de realizat.

Rezultatele urmtoare vor elimina acest inconvenient.

Teorema convergenei monotone. Fie xnnN un ir de numere reale care este cresctor(i.e. xn xn1 pentru orice n N ). Atunci xnnN este convergent dac i numai dac estemrginit, caz n care

nlim xn

nN sup xn.

Demonstraie.

Am vzut acest rezultat n seciunea precedent.

Mai mult, fie l nlim xn.

Atunci, pentru orice 0, exist n N astfel ca pentru orice n N , n n s aveml xn l ,

de unde, avnd n vedere c irul xnnN este cresctor, deduceml

nN sup xn l .

Prin urmare,nN sup xn

nlim xn ,

pentru orice 0, decinlim xn

nN sup xn.

ExistnN sup xn not l.

Atunci xn l,

pentru orice n N .

Mai mult, pentru orice 0, exist xn astfel cal xn ,

de unde, avnd n vedere c irul xnnN este cresctor, deducem cl xn l,

pentru orice n N , n n, adicl

nlim xn

nN sup xn.

Corolar. Fie xnnN un ir de numere reale care este descresctor (i.e. xn xn1 pentruorice n N ). Atunci xnnN este convergent dac i numai dac este mrginit, caz n care

nlim xn

nN inf xn.

Teorema de mai sus este un instrument extraordinar de util dar are inconvenientul c seaplic numai pentru iruri monotone.

Am dori, ca atare, un alt criteriu care s implice convergena chiar dac irul nu estemonoton.

Acesta este criteriul lui Cauchy.

Pentru nceput vom prezenta o forma a teoremei Bolzano-Weierstrass specializat pentruiruri.

Lema lui Cesaro. Un ir mrginit din R n are un subir convergent.

Demonstraie.Fie xnnN un ir mrginit din R n.Dac exist numai un numr finit de valori distincte pentru elementele irului, atunci cel

puin una dintre aceste valori se repet de o infinitate de ori, i, prin urmare, putem obine unsubir al lui xnnN , alegnd aceast valoare de fiecare dat cnd ea apare.

Dac exist un numr infinit de valori distincte pentru elementele irului, cum mulimeatermenilor irului este mrginit, conform teoremei Bolzano-Weierstrass, exist un punct deacumulare, l R n, al mulimii termenilor irului.

Fie xn1 un element al irului astfel ca xn1 l 1.

Cum l este punct de acumulare pentru mulimea S1 xn n N ,l este punct de acumulare i pentru mulimea

S2 xn n N , n n1 ( de ce?).

Prin urmare, exist un xn2 S2, deci n2 n1, astfel nctxn2 l 12 .

Continund n acest mod, gsim un subir xnkkN al lui xnnN , astfel nctxnk l 1k ,

pentru orice k N , deciklim xnk l.

Definiie. Un ir xnnN , din R n, se numete ir Cauchy dac pentru orice 0 existn N astfel nct pentru orice m,n N , m,n n avem

xm xn .

Lem-Exerciiu. Un ir convergent xnnN , din R n, este ir Cauchy.

Lem-Exerciiu. Un ir Cauchy xnnN , din R n, este mrginit.

Lem. Un ir Cauchy xnnN , din R n, care are un subir convergent, este convergent.

Demonstraie.

Deoarece irul xnnN este Cauchy, pentru orice 0 exist n N astfel nct pentruorice m,n N , m,n n avem

xm xn .

Dac subirul xnkkN converge ctre l R n, atunci pentru orice 0 exist k N ,nk n astfel nct s avem

xnk l .

Fie n orice numr natural astfel ca n n.

Atunci xn l xnk l xn xnk 2.

Prin urmare, irul xnnN converge ctre l.

Criteriul lui Cauchy. Un ir xnnN , din R n, este convergent dac i numai dac esteCauchy.

Demonstraie.

Vezi una dintre lemele de mai sus.

Dac irul xnnN , din R n, este Cauchy, atunci, aa cum am vzut mai sus, estemrginit. Conform lemei lui Cesaro, el are un subir convergent. Lema de mai sus implicfaptul c irul xnnN este convergent.

Exerciii

1) S se studieze convergena irului xnnN , din R , dat de x1 1, x2 2, ...,xn xn1xn22 , pentru orice n N , n 2.

2) S se studieze convergena irului xnnN , din R , dat de xn 11! 12! ... 1n1

n! ,pentru orice n N .

3) S se studieze convergena irului xnnN , din R , dat de xn 11 12 ... 1n , pentruorice n N .

4) Fie , 0,1, x1 i xn1 xn xn xn, pentru orice n N . S sestudieze convergena irului xnnN .

5) Fie f : 0, R , dat de

fx lnx, x 20, x 0,2 .

Fie a 0,, x1 a, xn1 fxn, pentru orice n N , n 1. S se arate c xnnN esteconvergent.

6) Dac irul xnnN , din R , este mrginit ixn1 xn 12n ,

pentru orice n N , atunci xnnN este convergent.

IRURI DE FUNCII

Definiie. Fie fnnN un ir de funcii, fn : D R p R q, pentru orice n N , if : D0 D R p R q.

Spunem c irul fnnN converge (simplu), pe D0, ctre f, i vom nota fns f, dac pentru

orice x D0 avem

nlim fnx fx,

i.e.x D0 0 nx, N n N n nx,avem fnx fx .

Exemple-Exerciii

1) S se studieze convergena simpl a irului de funcii, fn : R R , fnx xn , pentruorice x R i n N .

2) S se studieze convergena simpl a irului de funcii, fn : 0,1 R , fnx xn, pentruorice x R i n N .

3) S se studieze convergena simpl a irului de funcii, fn : R R , fnx x2nxn , pentruorice x R i n N .

4) S se studieze convergena simpl a irului de funcii, fn : R R , fnx sinnxn ,pentru orice x R i n N .

Definiie. Fie fnnN un ir de funcii, fn : D R p R q, pentru orice n N , if : D0 D R p R q.

Spunem c irul fnnN converge uniform, pe D0, ctre f, i vom nota fnu f, dac

0 n N n N , n n x D0avem fnx fx .

Lem. Fie fnnN un ir de funcii, fn : D R p R q, pentru orice n N , if : D0 D R p R q.

Atunci fnnN nu converge uniform, pe D0, ctre f, dac i numai dac exist 0 R ,0 0, un subir fnkkN al lui fnnN i un ir xnnN de elemente din D0, astfel nct

fnkxk fxk 0,pentru orice k N .

Exemple-Exerciii. S studieze convergena uniform a irurilor de funcii prezentate maisus.

Definiie. Dac f : D R p R q este o funcie mrginit, definim norma lui f prinf

xDsup |fx|.

Exerciiu. S se arate c . verific proprietile normei.

Propoziie-Exerciiu. Un ir fnnN de funcii mrginite, fn : D R p R q, convergeuniform, pe D0, ctre f : D R p R q dac i numai dac

nlim fn f 0.

Exerciiu. S se aplice aceast propoziie pe exemplele de mai sus.

Criteriul lui Cauchy pentru convergen uniform. Fie irul fnnN de funciimrginite, fn : D R p R q.

Atunci exist f : D R p R q astfel nct fnnN converge uniform, pe D, ctre f dac inumai dac pentru orice 0 exist n N astfel ca pentru orice m,n N , m,n navem

fn fm .

Exerciii

S se studieze convergena simpl i uniform pentru urmtoarele iruri de funcii:

i) fn : 1,1 R , fnx x1n2x2 , pentru orice n N i x 1,1.

ii) fn : 0,1 R , fnx xn1 xn, pentru orice n N i x 0,1.

iii) fn : 0, R , fnx xxn , pentru orice n N i x 0,.

iv) fn : a,b R , fnx xxn , pentru orice n N i x a,b, unde 0 a b.

v) fn : 1,1 R , fnx 1xn1x , pentru orice n N i x 1,1.

LIMITA SUPERIOAR I INFERIOAR A UNUI IR

Supremumul unei submulimi S a lui R poate fi descris ca fiind infimumul mulimii acelornumere reale ce sunt mai mari dect orice element al lui S.

Este util s se relaxeze aceast condiie i s considere infimumul mulimii acelor numerereale pentru care exist numai un numr finit de elemente ale lui S mai mari dect ele.

Din mai multe motive, n cazul irurilor de numere reale este important s se considere ouoar modificare a acestui concept.

ntr-adevr, un ir xnnN , de numere reale, furnizeaz o submulime a lui R , dar irulposed o structur suplimentar prin faptul c elementele sale sunt indexate dup N , deci avemaici o ordonare care nu este prezent n cazul unei mulimi arbitrare de numere reale.

Ca urmare, acelai numr poate s apar de mai multe ori n mulimea termenilor irului,fenomen ce nu este prezent pentru mulimi arbitrare de numere reale.

Definiie. Fie xnnN un ir de numere reale mrginit superior. Atunci limita superioara sa, notat

lim sup xnsau

limxn,este infimumul mulimii numerelor reale v cu proprietatea c exist un numr finit de numerenaturale n astfel nct v xn.

Similar, fie xnnN un ir de numere reale mrginit inferior. Atunci limita inferioar a sa,notat

lim inf xnsau

limxn,este supremumul mulimii numerelor reale v cu proprietatea c exist un numr finit denumere naturale n astfel nct v xn.

Observaie. Dac xnnN este un ir de numere reale mrginit, atunci limita superioari limita inferioar exist i sunt unice.

Observaie. Unii autori folosesc notaia lim sup xn pentru a marca faptul c irulxnnN , de numere reale, este nemrginit superior.

Exist i alte moduri de a caracteriza limita superioar a unui ir de numere reale.Anume avem:Propoziie-Exerciiu. Fie xnnN un ir de numere reale mrginit superior.Atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) l lim sup xn.

ii) pentru orice 0 exist un numr finit de numere naturale n astfel nct l xn,dar exist un numr infinit de numere naturale n astfel nct l xn.

iii) l mN inf

nN , nmsup xn.

iv) l mlim

nN , nmsup xn.

v) l supx R exist un subir xnkkN al lui xnnN astfel caklim xnk x.

Exerciiu. Formulai i demonstrai propoziia analoag pentru limita inferioar.

Teorem-Exerciiu. Fie xnnN i ynnN dou iruri de numere reale mrginite.Atunci avem:

a) lim infxn lim supxn.

b) dac c R , c 0, atuncilim inf cxn c lim inf xn

i

lim sup cxn c lim sup xn.

b) dac c R , c 0, atuncilim inf cxn c lim sup xn

i

lim sup cxn c lim inf xn.

c) lim inf xn lim inf yn lim inf xn yn.

d) lim sup xn yn lim sup xn lim sup yn.

e) dac xn yn, pentru orice n N , atunci lim inf xn lim inf yn i lim sup xn lim supyn.

Observaie. n general, inegalitile de mai sus sunt stricte. Studiai cazul xn 1n iyn 1n1, pentru orice n N .

Teorem. Fie xnnN un ir de numere reale mrginit.Atunci el este convergent dac i numai dac

lim inf xn lim sup xn,caz n care limita irului este aceast valoare comun.

Demonstraie.

Fie l nlim xn.

Atunci, pentru orice 0, exist n N , astfel ca pentru orice n N , n n aveml xn l .

Ultima inegalitate arat c lim sup xn l

iar prima c l lim inf xn.

Prin urmare lim sup xn lim inf xn 2,

pentru orice 0, deci lim inf xn lim sup xn nlim xn.

Fie l lim inf xn lim sup xn.Atunci, pentru orice 0, exist n1 N , astfel ca pentru orice n N , n n1 avem

xn l i exist n2 N , astfel ca pentru orice n N , n n2 avem

l xn.Atunci, pentru orice n N , n maxn1,n2avem l xn l ,

deci l lim inf xn lim sup xn nlim xn.

S se gseasc lim inf xn i lim sup xn pentru:

i) xn 21n1n1n sin n2 , pentru orice n N.

ii) xn 11n2 1n n2n1 , pentru orice n N .

iii) xn 1 1n n 12 1n cos n2 , pentru orice n N .

iv) xn 1 21n1 31 nn12 , pentru orice n N .

Exerciii

SIMBOLURILE LUI LANDAU

Este important, de multe ori, s se estimeze ordinul de mrime al unei cantiti sau s secompare dou cantiti relativ la ordinul lor de mrime.

n aceste situaii este nimerit s se ignore termenii care au ordinul de mrime mic deoareceei nu au o contribuie esenial din punctul de vedere expus mai sus.

Pentru a fi mai exaci, s considerm irurile definite de xn 2n 17 i yn n2 5n,pentru orice n N .

ntr-un anumit sens, 17 nu joac un rol esenial din punct de vedere al ordinului de mrimentruct atunci cnd n este foarte mare contribuia esenial este dat de 2n.

Vom spune c, pentru n mare, ordinul de mrime al lui xn este acelai cu cel al lui 2n.Similar, pentru n mare, termenul n2 domin pe 5n, deci ordinele de mrime ale lui yn i n2

sunt identice.Mai mult, dei primii termeni ai lui xn sunt mai mari dect termenii corespunztori ai lui yn,

pe msur ce n crete situaia se inverseaz radical.Vom spune c, pentru n mare, ordinul de mrime al lui xn este mai mic dect cel al lui yn.

Definiie. Fie xnnN un ir de elemente din R p iar ynnN un ir de elemente dinR q 0.

Vom spune c cele dou iruri sunt echivalente, i vom scriexnnN ynnN ,

dac

nlim xnyn 1.

Vom spune c xnnN are ordinul de mrime mai mic dect cel al lui ynnN , i vom scriexnnN oynnN ,

dac

nlim xnyn 0.

Vom spune c xnnN este dominat de ynnN , i vom scriexnnN OynnN ,

dac exist K R i n0 N , astfel nctxn Kyn,

pentru orice n N , n n0.

Observaie. Uneori, n cazul n care, R p R q R , se scriexnnN ynnN

numai atunci cnd o condiie mai restrictiv, anumenlim xnyn 1, are loc.

Observaie.

Dac xnnN ynnN sau dac xnnN oynnN , atunci xnnN OynnN .

Dac xnnN ynnN , atunci ynnN xnnN .

Dac xnnN oynnN atunci este imposibil ca